eindhoven university of technology master analyse en … · graag wil ik ron sebregts en jan van...

Eindhoven University of Technology

MASTER

Analyse en voorspelling van sterftekansen

en de invloed hiervan op de technische voorziening van een pensioenfonds

Weerts, E.H.J.

Award date:2009

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.

Download date: 28. Jul. 2018

Analyse en voorspellingvan sterftekansen

en de invloed hiervan op

de Technische Voorziening

van een pensioenfonds

Ellen WeertsAfstudeerscriptie juli 2009

Technische Universiteit Eindhoven

Faculteit Wiskunde en InformaticaLeerstoel Stochastische Besliskunde

Begeleider TU/e: prof. dr. ir. J. van der WalBegeleider Watson Wyatt: ir. drs. R.G.C Sebregts AAG

Voorwoord

Deze scriptie dient als afronding van mijn studie Industrial and Applied Mathematics, richtingStatistics, Probability and Operations Research, aan de Technische Universiteit van Eindhoven.Tevens dient deze scriptie ook als afronding van mijn stage bij Watson Wyatt Eindhoven.Watson Wyatt is onder andere actief op het gebied van pensioenadvisering voor pensioen-fondsen en pensioenrecht. Het onderwerp van deze scriptie, het analyseren en voorspellen vansterftekansen en de invloed op de Technische Voorziening van een pensioenfonds, speelt hierbijeen belangrijke rol.

Graag wil ik Ron Sebregts en Jan van der Wal bedanken voor de goede begeleiding gedurendemijn stage. Daarnaast zou ik graag mijn collega’s van Watson Wyatt Eindhoven willen bedan-ken voor hun hulp, maar zeker ook voor de gezellige tijd. Ook zou ik graag mijn ouders willenbedanken. Zij hebben het tenslotte mogelijk gemaakt dat ik deze studie kon volgen. Tot slotzou ik graag mijn vriend Tom, maar ook mijn vrienden/vriendinnen willen bedanken voor desteun en interesse in deze scriptie. In het bijzonder wil ik Linda bedanken voor het feit dat zegedurende onze hele studie altijd voor me klaar stond.

Ellen Weerts

Samenvatting

Er bestaan reeds veel verschillende modellen voor het voorspellen van sterftekansen, zoals deprognose van het Actuarieel Genootschap (AG), de prognose van het CBS en het prognosemo-del van Lee-Carter (dat in de Verenigde Staten gebruikt wordt). Deze methoden zijn echterniet allemaal even makkelijk te begrijpen en vaak niet makkelijk te reproduceren. Daaromis het eerste doel van de scriptie de sterftekansen te analyseren en een eenvoudig model teontwikkelen om de sterftekansen zo goed mogelijk te kunnen voorspellen. Bij de analyse vande sterftekansen blijkt dat tussen 1970 en 1990 een sterke toename in levensverwachting heeftplaatsgevonden voor zowel mannen als vrouwen. Tussen 1990 en 2000 is er bij vrouwen bijnageen toename in levensverwachting geweest. Bij mannen wel, alleen is die toename minder sterkdan in de jaren ervoor. Vanaf 2003 zijn de sterftekansen voor beiden weer sterk gedaald; erheeft dus een trendbreuk plaatsgevonden. Het zelf ontwikkelde model is een model op basis vansterftetrends, Voorspelling1 genoemd. Of dit model de sterftekansen voor de toekomst goedkan voorspellen weet niemand, omdat de sterftekansen voor de toekomst niet bekend zijn. Eris wel op verschillende manieren gekeken of de uitkomsten van het model aannemelijk zijn, bij-voorbeeld door het model te testen op data tot en met 2005 en dan voor 2006 en 2007 te kijkenof de voorspelling overeenkomt met de werkelijke waarden. Het blijkt dat de prognose afwijkt,maar dat was bij de prognose van het AG, de prognose van het CBS en bij het prognosemodelvan Lee-Carter ook het geval.

Het tweede doel van de scriptie is om te kijken wat de invloed is van de verschillende progno-ses op de Technische Voorziening (TV) van een pensioenfonds. De TV die een pensioenfondsverplicht dient aan te houden, wordt bepaald op basis van individuele voorzieningen. Dezeindividuele voorziening wordt onder andere berekend door voor elke persoon de opgebouwdeaanspraak op ouderdomspensioen en nabestaandenpensioen te vermenigvuldigen met de bijbe-horende factoren. Deze factoren hangen af van rente en sterfte. De TV die een pensioenfondsmoet aanhouden, blijkt volgens Voorspelling1 gemiddeld 5% hoger te zijn dan volgens de prog-nose van het AG. De TV die volgens het CBS moet worden aangehouden is 4,5% hoger dande TV volgens het AG. Verder blijkt dat de invloed van verandering van rente groter is dande verandering van sterftekansen. Voor deze renteveranderingen dekken pensioenfondsen zichtegenwoordig steeds meer in. Sterfte-ontwikkeling speelt dus een steeds belangrijkere rol bij debepaling van de voorziening.

De eindconclusie van deze scriptie is dat sterftekansen erg moeilijk zijn te voorspellen; detoekomst is immers onzeker. De sterftekansen van de AG prognose lijken echter aan de hogekant. Door deze te hoge sterftekansen, lijkt de TV die de pensioenfondsen momenteel aanhoudtte laag. Het is dus erg belangrijk de sterftekansen goed te monitoren en zo goed mogelijk tevoorspellen. Desnoods door elk jaar een nieuwe prognose uit te brengen. Met een eenvoudigmodel zoals is ontwikkeld in deze scriptie, kan dit op een effectieve en efficiente wijze.

Inhoudsopgave

Voorwoord 3

Samenvatting 5

1 Inleiding 11

1.1 Doel van de scriptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Structuur van de scriptie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Het pensioengebouw 13

2.1 De 1e pijler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 AOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2 Anw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 De 2e pijler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Ouderdomspensioen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Nabestaandenpensioen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3 Arbeidsongeschiktheidspensioen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 De 3e pijler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 De verschillende pensioenregelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1 Beschikbare premieregeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.2 Eindloonregeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.3 Middelloonregeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Actuariele aspecten van pensioen 19

3.1 Het Financieel Toetsingskader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Technische Voorziening (TV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2 Kostendekkende premie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.3 (Minimaal) vereist eigen vermogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.4 Continuıteitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.5 Herstelplannen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Interestrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Sterftekansberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Factoren berekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.1 Factor voor ouderdomspensioen (OP-factor) . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.2 Factor voor nabestaandenpensioen (NP-factor) . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 De gemiddelde levensduur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8 INHOUDSOPGAVE

4 Bestaande modellen voor het opstellen van een prognosetafel 274.1 Prognose van het AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 De gebruikte data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Het Van Broekhoven algoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.3 Het CRC-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.4 Prognose vs werkelijke cijfers 2004-2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Prognose van het CBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.1 Het CBS model 2008-2050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.2 Hart- en vaatziekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.3 Kwaadaardige nieuwvormingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.4 Levensverwachting oude vs nieuwe prognose . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Prognose volgens het Lee-Carter model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.1 Het Lee-Carter model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2 Prognose vs werkelijke cijfers 2006-2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Analyse van de sterftekansen 1950-2007 415.1 De sterftekansen door de jaren heen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Spreiding in sterftekansen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.1 De verwachte sterftekans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2.2 Programma voor de simulatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.3 De gesimuleerde sterftekansen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3 De toekomst van de levensverwachting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Eigen ontwikkelde modellen voor het opstellen van een prognosetafel 536.1 Het afronden van de data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.1.1 Het afrondingsalgoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1.2 Toelichting op gemaakte keuzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2 Voorspellingen op basis van sterftetrend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2.1 Model voor mannen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2.2 Model voor vrouwen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.3 Voorspellingen op basis van generaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.1 Het model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Plausibiliteit van het eigen ontwikkelde prognosemodel 637.1 Controle van de afronding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.1.1 Controle voor mannen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.1.2 Controle voor vrouwen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2 Controle model op basis van verleden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3 Verandering in levensverwachting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8 Gevoeligheidsanalyse op de TV 738.1 TV bij gebruik van verschillende prognosemodellen . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.1.1 Jong pensioenfonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.1.2 Standaard pensioenfonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.1.3 Oud pensioenfonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

INHOUDSOPGAVE 9

8.1.4 Samenvatting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.2 TV bij gebruik van verschillende data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3 TV bij gebruik van verschillende rekenrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.4 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Conclusie en discussie 79

Bijlagen 85

A Toelichting op enkele begrippen uit het pensioengebouw 85A.1 De 1e pijler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.1.1 WAO, WIA en Wajong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85A.1.2 IOAW en IOAZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.2 De 3e pijler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.2.1 Lijfrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.2.2 Kapitaalverzekering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.2.3 Arbeidsongeschiktheidsverzekering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.2.4 Premievrijstelling bij arbeidsongeschiktheid . . . . . . . . . . . . . . . . 87

B Recursieve formule voor OP- en NP factoren 89

C Ervaringssterfte 91

D Simulatie code 93

Bibliografie 95

10 INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1

Inleiding

Iedereen die in Nederland woont of werkt bouwt pensioen op volgens de Algemene Ouderdoms-wet (AOW). Daarnaast is het mogelijk om aanvullend pensioen op te bouwen via een levens-verzekeraar of pensioenfonds. Het is de taak van de Nederlandse Bank (DNB) om toezicht tehouden op deze instellingen. DNB controleert pensioenfondsen op basis van de Pensioenwet(Pw). Om de opgebouwde rechten van deelnemers in de toekomst te kunnen uitkeren reser-veert een pensioenfonds geld. De hoogte van de gereserveerde geldsom wordt de TechnischeVoorziening (TV) genoemd. Ieder pensioenfonds moet zijn verplichtingen kunnen nakomen.Om als pensioenfonds te voldoen aan deze eis is het van belang de waarde van de voorzieningnauwkeurig vast te stellen en de risico’s behorende hierbij af te dekken. Door goed toezichtte houden verkleint DNB de kans dat pensioenfondsen en levensverzekeraars in moeilijkhedenkomen. Toch hebben veel pensioenfondsen momenteel een dekkingstekort, dat wil zeggen teweinig vermogen in verhouding tot de TV, vanwege de economische crisis. Ze hebben een her-stelplan ingeleverd bij DNB waarin ze laten zien door welke maatregelen ze over drie jaar uitde financiele problemen zijn.

De waarde van een pensioenverplichting is afhankelijk van drie onzekere factoren, namelijksterfte, inflatie en rente. In deze scriptie zal de nadruk liggen op de onzekerheid met betrekkingtot sterfte. Als een deelnemer overlijdt, hoeft zijn ouderdomspensioen in de toekomst niet meeruitgekeerd te worden. Daarentegen als een nabestaandenpensioen verzekerd is en de deelnemereen partner heeft of kinderen jonger dan 18 jaar, dan moet dit nabestaandenpensioen vanafhet moment van overlijden jaarlijks uitgekeerd worden (zolang de partner en kinderen aanbepaalde voorwaarden voldoen). Er spelen dus twee overlijdensrisico’s een rol bij het bepalenvan de pensioenverplichting. De onzekerheid over de rente, die elke maand anders is, wordtin deze scriptie aangenomen altijd 4% te zijn. Onzekerheid over inflatie is van toepassing opgeındexeerde verplichtingen. Ook deze onzekere factor wordt buiten beschouwing gelaten. Inde berekening voor de pensioenverplichting wordt in deze scriptie dus geen rekening gehoudenmet indexatie; er wordt uitgegaan van nominale verplichtingen.

1.1 Doel van de scriptie

Aangezien de negatieve gevolgen van onderschatting van het aantal ouderen op bijvoorbeeld deoudedagreserveringen, investeringen in de gezondheidszorg en andere voorzieningen behoorlijkzijn, is onderzoek naar sterftekansen erg belangrijk. Er bestaan reeds veel verschillende mo-dellen voor het voorspellen van sterftekansen. Deze methoden zijn echter niet allemaal evenmakkelijk te begrijpen en vaak niet makkelijk en dus niet snel te reproduceren. De bedoeling

12 Inleiding

van deze scriptie is om de beschikbare data te analyseren en vervolgens een zo eenvoudig moge-lijk model op te stellen dat de sterftekansen zo goed mogelijk kan voorspellen. Daarna wordendeze voorspelde sterftekansen vergeleken met de voorspelde sterftekansen van het ActuarieelGenootschap (AG). Ook wordt er gekeken naar de invloed van deze twee verschillende prognosesop de Technische Voorziening (TV) van een pensioenfonds.

1.2 Structuur van de scriptie

Watson Wyatt is onder andere actief op het gebied van pensioenadvisering voor pensioen-fondsen en pensioenrecht. Daarom wordt in hoofdstuk 2 eerst besproken uit welke pijlers hetpensioengebouw bestaat en op welke manieren er pensioen kan worden opgebouwd. In hoofd-stuk 3 wordt uitgelegd wat de rol is van het Financieel Toetsingskader bij het vaststellen van deTechnische Voorziening. Ook wordt uitgelegd hoe factoren bepaald kunnen worden waarmeede Technische Voorziening van een pensioenfonds wordt berekend. Aangezien voor de bereke-ning van deze factoren, en dus ook voor de Technische Voorziening, onder andere toekomstigesterftekansen nodig zijn, bestaan er verschillende modellen om sterftekansen mee te voorspel-len. In hoofdstuk 4 worden drie van zulke modellen beschreven, namelijk de AG prognose, deCBS prognose en het Lee-Carter model. Ook wordt gekeken hoe goed deze modellen het hedenkunnen voorspellen op basis van het verleden.

Deze modellen blijken niet eenvoudig te reproduceren. Dit leidt tot het eerste doel van descriptie, het analyseren en eenvoudig voorspellen van de sterftekansen. Deze analyse gebeurtin hoofdstuk 5. Ook wordt er in dat hoofdstuk gekeken naar de toekomst van de levensver-wachting. In hoofdstuk 6 wordt eerst een zelf ontwikkeld afrondingsalgoritme besproken envervolgens worden de twee zelf ontwikkelde prognosemodellen uitgelegd. Een van deze prog-noses, Voorspelling1, wordt gebruikt in deze scriptie en het andere model is een aanbevelingvoor verder onderzoek. Maar hoe plausibel is Voorspelling1 eigenlijk? Dit wordt bekeken inhoofdstuk 7 door de afgeronde sterftekansen te vergelijken met de ruwe sterftekansen, maar ookdoor het heden te voorspellen op basis van het verleden. In hoofdstuk 8 komt het tweede doelvan deze scriptie aan bod; de invloed van de verschillende prognoses op de Technische Voorzie-ning van pensioenfondsen. Ook wordt er gekeken naar het verschil in Technische Voorzieningals we Voorspelling1 gebruiken met verschillende invoerdata. Tot slot volgt er een conclusie endiscussie.

Hoofdstuk 2

Het pensioengebouw

Een van de practices bij Watson Wyatt is Benefits, ofwel pensioenactuariaat. Pensioen is eenverzamelnaam voor periodieke uitkeringen (meestal maandelijks), die het vroegere salaris ver-vangen in geval van ouderdom of arbeidsongeschiktheid. In het geval van overlijden is pensioeneen vervangend salaris voor de nabestaanden. Het Nederlandse pensioengebouw bestaat uitdrie pijlers. Tot de eerste pijler behoren de voorzieningen die door de overheid zijn getroffen.Tot de tweede pijler behoren de voorzieningen die tot stand komen in overleg tussen werkgeveren werknemer. Tot de derde pijler behoren de voorzieningen die individueel door iemand ge-troffen worden als aanvulling op zijn/haar AOW en ouderdomspensioen (zie [1]).Een overzicht hiervan is te zien in het schema in figuur 2.1.

O u d e r d o m

O v e r l i j d e n

A r b e i d s o n g e s c h i k t

A O W

A n w

W A O / W I AW a j o n gI O A W / I O A Z

O u d e r d o m s p e n s i o e n

N a b e s t a a n d e n p e n s i o e n

A r b e i d s o n g e s c h i k t h e i d s -p e n s i o e nP r e m i e v r i j s t e l l i n g b i ja r b e i d s o n g e s c h i k t h e i d

L i j f r e n t eK a p i t a a l v e r z e k e r i n g

L i j f r e n t eK a p i t a a l v e r z e k e r i n g

A r b e i d s o n g e s c h i k t h e i d s -r e n t eP r e m i e v r i j s t e l l i n g b i ja r b e i d s o n g e s c h i k t h e i d

Figuur 2.1: Het 3-pijler systeem

Het totale pensioen bestaat uit de inkomsten van de drie pijlers bij elkaar opgeteld. In dithoofdstuk zullen de belangrijkste begrippen uit figuur 2.1 worden toegelicht. In deze scriptieligt de nadruk echter op de tweede pijler, omdat deze pijler werkgerelateerd is. Pensioen uit dezepijler kan bij een pensioenfonds worden ondergebracht. De voorziening die een pensioenfondsdient aan te houden, is gebaseerd op de aanspraken die de deelnemers hebben opgebouwd. Deopbouw van deze aanspraken kan op verschillende manieren gebeuren. De drie meest voorko-mende pensioenregelingen zijn de eindloonregeling, de middellloonregeling en de beschikbarepremieregeling. Ook deze regelingen worden in dit hoofdstuk nader toegelicht.

14 Het pensioengebouw

2.1 De 1e pijler

De AOW en de Anw zijn verplichte verzekeringen voor alle inwoners van Nederland vanaf 15jaar, werkend of niet werkend. De WAO, WIA en Wajong zijn wetten die recht geven op uit-kering in geval van langdurige arbeidsongeschiktheid. Het zijn werknemersverzekeringen. DeIOAW en de IOAZ zijn inkomensvoorzieningen voor oudere en gedeeltelijk arbeidsongeschiktewerkloze werknemers of gewezen zelfstandigen. Het zijn geen sociale verzekeringen maar voor-zieningen. Ze worden niet door premies gefinancierd, maar uit algemene middelen. In dezesectie zullen de begrippen AOW en Anw nader toegelicht worden. Voor een toelichting van deandere begrippen zie bijlage A.

2.1.1 AOW

AOW staat voor algemene ouderdomswet. De AOW is een volksverzekering. Dit betekent datiedereen die tot de kring van verzekerden behoort, is verzekerd en iedereen moet verplicht overhet inkomen premie betalen. Als hoofdregel behoort iemand tot de kring van verzekerden alshij/zij in Nederland woont, maar ook als hij/zij in het buitenland woont en in Nederland eenbaan heeft. Men spaart echter niet voor zijn/haar eigen AOW, maar men betaalt voor demensen die al 65 jaar of ouder zijn. Verder geldt dat de AOW is gebaseerd op 50 jaar. Voorelk jaar dat men niet verzekerd is, bijvoorbeeld door te wonen in het buitenland, wordt 2%gekort op de uitkering. Gebaseerd op de 50 verzekerde jaren, is de AOW een bodemvoorzieningvoor de noodzakelijke kosten van levensonderhoud na het 65e jaar. De AOW garandeert eenuitkering op minimumniveau, zodat men geen beroep op de bijstand hoeft te doen. De hoogtevan de uitkering is wel afhankelijk van de leefvorm van de AOW’er. Een ongehuwde AOW’erkrijgt netto 70% van het nettominimumloon en een gehuwde AOW’er krijgt 50%, zodat hij/zijsamen met zijn/haar partner 100% krijgt. Als de partner van een gehuwde AOW’er echter noggeen 65 is dan heeft deze recht op de AOW-toeslag. Indien de partner een baan heeft, danwordt via een vrijlatingsregeling bepaald hoeveel er gekort moet worden op de toeslag (de 50%voor de partner dus) die de AOW’er voor zijn/haar partner krijgt. De AOW-toeslag verdwijntoverigens vanaf 2015. Op het moment dat een AOW’er overlijdt, stopt de uitkering.

2.1.2 Anw

Anw staat voor algemene nabestaandenwet. Ook dit is, evenals de AOW, een volksverzekering.Iedereen die tot de kring van verzekerden behoort, is dus verzekerd. De Anw wordt gefinancierddoor premies. De Anw-premie wordt betaald door alle verzekerden, ongeacht de leeftijd. DeAnw dekt het risico van overlijden van de partner (gehuwd of ongehuwd samenwonend) en van deouders. Het maakt niet uit hoe lang men al verzekerd is, omdat het een risicoverzekering is. Departner heeft echter alleen maar recht op deze uitkering als hij/zij met een ongehuwd kind onderde 18 achterblijft, als hij/zij voor meer dan 45% arbeidsongeschikt is of als hij/zij is geborenvoor 1950. Wezen jonger dan 16 jaar hebben recht op een wezenuitkering. Deze uitkering stoptals hij/zij erkend, gewettigd of geadopteerd wordt. Wezen ouder dan 16 jaar hebben recht opeen wezenuitkering als ze jonger dan 21 zijn en meer dan 213 klokuren per kwartaal aan schoolbesteden, als ze 16 of 17 zijn en meer dan 45% arbeidsongeschikt zijn of als ze jonger dan 21 zijnen zorg dragen voor een huishouden met minstens een andere wees met wezenuitkering. Verderis het zo dat de nabestaandenuitkering ten hoogste het sociaal minimum voor een alleenstaandebedraagt, dus 70% van het nettominimumloon. Als de nabestaande andere inkomsten heeft,dan wordt via een vrijlatingsregeling bepaald hoeveel er gekort moet worden op de uitkering.Op het moment dat de nabestaande overlijdt, stopt de uitkering.

2.2 De 2e pijler 15

2.2 De 2e pijler

De verzekerde risico’s bij een pensioenregeling zijn de risico’s van ouderdom, overlijden enarbeidsongeschiktheid. De pensioengerechtigden zijn de (gewezen) werknemer, de (gewezen)partner en hun eigen kinderen en pleegkinderen jonger dan 30 jaar. De tweede pijler is werk-gerelateerd en een aanvulling op de eerste pijler.

2.2.1 Ouderdomspensioen

Een ouderdomspensioen zorgt bij ouderdom van een(gewezen) werknemer voor een inkomen.Het wordt opgebouwd in de relatie werknemer/werkgever. Als de werknemer de dienstbetrek-king met de werkgever beeindigt, betekent dit niet dat hij daardoor zijn opgebouwde pensioen-aanspraken verliest. Verder is er geen minimumpensioenleeftijd, maar meestal gaat het op 65jarige leeftijd in. Uiterlijk dient het op 70-jarige leeftijd in te gaan. Zodra de arbeidswerkzaam-heden door pensionering zijn beeindigd, kan geen pensioen meer worden opgebouwd en dientde uitkeringsfase in te treden. Men kan onder bepaalde voorwaarden wel al van het pensioengenieten, terwijl de arbeidswerkzaamheden in die dienstbetrekking nog niet zijn beeindigd. Deuitkering van het ouderdomspensioen is levenslang.

2.2.2 Nabestaandenpensioen

Wanneer een werknemer overlijdt dan krijgen zijn nabestaanden op grond van het nabestaanden-pensioen een uitkering. Nabestaanden zijn de partner van de werknemer en eventuele kinderen.De hoogte van de uitkering is voor beide categorieen verschillend. Het partnerpensioen ismaximaal 70% van het ouderdomspensioen. Een ex-echtgenoot of ex-partner kan ook aan-spraak maken op het partnerpensioen. Hij/zij krijgt dan een zodanige premievrije aanspraakop het partnerpensioen als de werknemer ten behoeve van de gewezen partner zou hebbenverkregen indien op het tijdstip van de scheiding zijn deelneming aan de pensioenregeling zouzijn beeindigd. Soms bevat een pensioenregeling een bepaling op grond waarvan een partner-pensioen eindigt op het moment dat de partner hertrouwt. Op het moment dat het ouderdoms-pensioen al is ingegaan en de huidige partner overlijdt of er een echtscheiding plaatsvindt, dankan een eventuele nieuwe partner geen aanspraak meer maken op het nabestaandenpensioen.Het wezenpensioen wordt direct na het overlijden uitgekeerd aan de kinderen van de overle-dene. Over het algemeen eindigt het wezenpensioen op 18-jarige leeftijd. Wanneer een kindnog studeert of arbeidsongeschikt is dan kan het wezenpensioen doorlopen tot 30-jarige leeftijd.Het wezenpensioen bedraagt maximaal 14% van het ouderdomspensioen.

2.2.3 Arbeidsongeschiktheidspensioen

Als een werknemer langer dan een jaar arbeidsongeschikt is, vindt een uitkering op grond vanhet arbeidsongeschiktheidspensioen plaats. De maximale hoogte van de uitkering is niet wet-telijk bepaald, maar wordt overgelaten aan wat naar maatschappelijke opvattingen redelijkwordt geacht. De hoogte wordt ook bepaald door de mate van arbeidsongeschiktheid. Eenarbeidsongeschiktheidspensioen heeft voornamelijk betekenis voor werknemers met een loonboven het maximum premieloon voor de werknemersverzekeringen. Op het moment dat dewerknemer weer arbeidsgeschikt wordt verklaard, dan wel bij het behalen van de pensioenleef-tijd als ook op het moment van overlijden, wordt het arbeidsongeschiktheidspensioen stopgezet.


Premievrijstelling bij arbeidsongeschiktheid kan worden verzekerd. Deze dekking zorgt ervoordat bij arbeidsongeschiktheid de opbouw van het ouderdomspensioen gewoon doorgaat.

2.3 De 3e pijler

Ook bij deze verzekeringen kan weer een onderscheid gemaakt worden tussen een uitkering bijouderdom, bij overlijden en bij arbeidsongeschiktheid. Bij deze pijler behoren de voorzieningendie iemand extra kan opbouwen bovenop het pensioen uit de eerste twee pijlers. Het verschiltussen deze voorzieningen en de voorzieningen uit de eerste twee pijlers is de manier waarop erbelasting wordt geheven. Een ander verschil is dat de nabestaande in deze pijler iedere persoonkan zijn. Het hoeft dus geen gezinslid te zijn. In bijlage A zijn de belangrijkste voorzieningentoegelicht.

2.4 De verschillende pensioenregelingen

Een pensioenfonds moet genoeg voorziening aanhouden om de opgebouwde aanspraken vande deelnemers in de toekomst te kunnen uitkeren. De opbouw van deze aanspraken kan opverschillende manieren gebeuren. Deze manier van opbouwen wordt vastgelegd in de pensioen-regeling. Een pensioenregeling kan als een van de belangrijkste secundaire arbeidsvoorwaardenworden beschouwd. De inhoud van een pensioenregeling is bepalend voor het pensioensysteemdat zal worden toegepast. Er zijn drie soorten pensioenovereenkomsten, namelijk

• premieovereenkomst (hierbij is de ingelegde premie gegarandeerd)

• uitkeringsovereenkomst (hierbij is de uitkering vooraf gegarandeerd)

• kapitaalovereenkomst (hierbij is het verzekerd kapitaal gegarandeerd)

De drie meest voorkomende pensioenregelingen zijn de beschikbare premieregeling, de eind-loonregeling en de middelloonregeling. De eindloon- en middelloonregeling zijn beide uitke-ringsovereenkomsten.

2.4.1 Beschikbare premieregeling

Bij een beschikbare premieregeling is niet de pensioenuitkomst de maatstaf maar vormen depremies het uitgangspunt van de pensioentoezegging. Er is sprake van een premieovereenkomst.De premie hangt af van factoren zoals leeftijd, carriere- en salarisverloop. Een te verwachtenpensioen op basis van een beschikbare premieregeling mag niet hoger zijn dan een pensioenop basis van een eindloonregeling. Een voordeel van een beschikbare premieregeling is datgestreefd wordt naar een volwaardige pensioenopbouw van 70% van het eindloon. Een andervoordeel is dat men bijvoorbeeld alleen een ouderdomspensioen verzekert in plaats van een ou-derdomspensioen en een nabestaandenpensioen. Een nadeel is dat voor oudere werknemers dielaat carriere maken, maar ook bij een hoge inflatie, het kan voorkomen dat er geen volwaardigepensioenopbouw plaatsvindt. Andere nadelen kunnen zijn tegenvallende rendementen en dehoogte van de rekenrente op het moment dat een werknemer zijn pensioen wil laten ingaan.

2.4 De verschillende pensioenregelingen 17

2.4.2 Eindloonregeling

Bij een eindloonregeling wordt per dienstjaar vanaf de datum van indiensttreding of vanaf destartdatum van de regeling, een vast percentage aan pensioen opgebouwd van de laatst gel-dende pensioengrondslag. De pensioengrondslag is gelijk aan een jaarsalaris verminderd metde franchise. De franchise is een bepaald bedrag waarover je geen pensioen opbouwt, omdatje al een AOW-uitkering krijgt zodra je 65 jaar wordt. Over elke toekomstige verhoging vande pensioengrondslag worden daarom pensioenaanspraken toegekend over alle achterliggendedienstjaren vanaf de datum van indiensttreding respectievelijk vanaf de startdatum van de rege-ling, backservice genoemd, maar ook over alle toekomstige dienstjaren, comingservice genoemd.De hoogte van het bereikbare ouderdomspensioen hangt dus af van het salaris dat de deelnemerop de pensioendatum heeft. Dit is te zien in figuur 2.2.

Figuur 2.2: Eindloonregeling

De maximale opbouw van pensioen bij een eindloonregeling is 2% van de pensioengrondslagper jaar. Een voordeel van de eindloonregeling is dat een salarisverhoging invloed heeft ophet al opgebouwde deel. Over de voorgaande jaren worden de pensioenaanspraken namelijkverhoogd, zodat de pensioenaanspraak gelijk blijft aan de 70% van de pensioengrondslag.

2.4.3 Middelloonregeling

Een middelloonregeling wordt ook wel een gemiddelde salarisregeling of opbouwregeling ge-noemd. In dit systeem wordt per dienstjaar vanaf de datum van indiensttreding of vanaf destartdatum van de regeling, een vast percentage aan pensioen opgebouwd van de in dat jaar gel-dende pensioengrondslag. Het op de pensioendatum uit te keren pensioen wordt berekend doorhet in ieder dienstjaar opgebouwde pensioen (verhoogd met eventuele indexaties) bij elkaar opte tellen. Dit is te zien in figuur 2.3.

Figuur 2.3: Middelloonregeling

De maximale opbouw van pensioen bij een middelloonregeling is 2,25% van de pensioengrond-slag per jaar. Een salarisverhoging bij een middelloonregeling heeft geen gevolgen voor hetal opgebouwde pensioen, maar wel voor het nog op te bouwen pensioen. Afhankelijk van de


regeling worden de opgebouwde aanspraken jaarlijks verhoogd met een indexatie. Werknemersmet een sterk stijgend salaris zijn met een middelloonregeling minder goed af dan met eeneindloonregeling.

2.5 Samenvatting

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat het Nederlandse pensioengebouw bestaat uit drie pijlers.De AOW samen met het opgebouwde ouderdomspensioen en een eventuele extra opgebouwdevoorziening uit de derde pijler is het pensioen. De manier hoe een pensioen uit de tweede pijlerwordt opgebouwd ligt vast in de pensioenregeling die is overeengekomen tussen werknemer enwerkgever. De werkgever heeft weer een overeenkomst met een pensioenfonds (of verzekeraar)die de door de werknemer betaalde pensioenpremie in ontvangst neemt. Op deze manier bouwteen deelnemer bij het pensioenfonds pensioenaanspraken op. Voor deze opgebouwde aansprakendient een pensioenfonds genoeg geld te reserveren om in de toekomst te kunnen uitkeren. Dehoogte van de gereserveerde geldsom wordt de Technische Voorziening (TV) genoemd. Hoedeze voorziening wordt vastgesteld en aan welke eisen deze moet voldoen, zal worden uitgelegdin het volgende hoofdstuk.

Hoofdstuk 3

Actuariele aspecten van pensioen

In het vorige hoofdstuk zijn de drie pijlers besproken waaruit het pensioen bestaat en de driemogelijke pensioenregelingen die de manier van pensioenopbouw vastleggen. Het pensioen isnamelijk onderworpen aan bepaalde regels die vermeld zijn in de Pensioenwet. Het FinancieelToetsingskader (FTK) is verankerd in deze pensioenwet. Het bevat nadere uitleg van de be-grippen en verplichtingen die in de pensioenwet worden gesteld. Een pensioenfonds is verplichtop elk moment genoeg bezittingen te hebben om aan de verplichtingen te kunnen voldoen. Bijde berekening van deze verplichtingen, de Technische Voorziening, worden onder andere renteen sterftekansen gebruikt. In dit hoofdstuk zal worden uitgelegd hoe de voorziening berekendwordt; namelijk met behulp van factoren die afhangen van rente en sterfte.

3.1 Het Financieel Toetsingskader

Het doel van het Financieel Toetsingskader, FTK genoemd, is het bereiken van meer trans-parantie en betere vergelijkbaarheid van financiele kerngegevens van instellingen. Bovendiensluit het toezicht op deze wijze beter aan bij de internationale ontwikkelingen in de financielewereld op het gebied van risicobeheer en verslaglegging. In het besluit FTK komen de volgendeonderwerpen voor:

• technische voorzieningen

• kostendekkende premie

• (minimaal) vereist eigen vermogen

• continuıteitsanalyse

• herstelplannen

3.1.1 Technische Voorziening (TV)

De Technische Voorziening (TV) moet minstens voldoende zijn om de opgebouwde onvoorwaar-delijke rechten te dekken. De rente die moet worden gehanteerd bij het vaststellen van dezevoorziening is de actuele rentetermijnstructuur die DNB maandelijks publiceert. Voor de sterftedient het pensioenfonds rekening te houden met de verwachte stijging van de overlevingskansen.Daarom heeft het AG een prognosetafel 2005-2050 opgesteld, waarin deze verwachte stijgingal is verwerkt. Er hoeft vervolgens geen rekening gehouden te worden met onzekerheden rondde verwachtingen. Een buffer voor deze onzekerheden maakt deel uit van het vereist eigenvermogen dat fondsen moeten aanhouden. Watson Wyatt gebruikt de rentetermijnstructuurvan DNB en de prognosetafel van het AG.

20 Actuariele aspecten van pensioen

3.1.2 Kostendekkende premie

De kostendekkende premie is gelijk aan de actuarieel benodigde premie voor de inkoop vande onvoorwaardelijke onderdelen van de pensioentoezegging. De kostendekkende premie moetworden vastgesteld op basis van de sterftegrondslagen die ook voor de TV worden gehanteerd.De rekenrente kan wel afwijken van de rekenrente bij de TV. Een consequentie van het FTK isdus dat de kostendekkende premie van jaar tot jaar kan varieren.

3.1.3 (Minimaal) vereist eigen vermogen

Een pensioenfonds is verplicht op elk moment genoeg bezittingen te hebben om aan de ver-plichtingen te kunnen voldoen. Het totale minimaal vereist eigen vermogen moet 5% van deTV zijn. Dit wordt een dekkingsgraad van 105% genoemd. Als een pensioenfonds een dek-kingsgraad van minder dan 105% heeft, dan spreekt men van een dekkingstekort.

Daarnaast moet er een extra buffer aan eigen vermogen aanwezig zijn. Deze buffer plus hetminimaal vereist eigen vermogen wordt het vereist eigen vermogen genoemd. Zo wordt met97,5% zekerheid voorkomen dat het pensioenfonds binnen een periode van een jaar over minderwaarden beschikt dan de TV. De hoogte van het vereist eigen vermogen in de evenwichtssituatieis afhankelijk van het risicoprofiel van het fonds. Het vereist eigen vermogen verschilt dus perpensioenfonds. Stel een fonds moet een vereist eigen vermogen van 17% van de TV hebben.Dan betekent dit dat het fonds een dekkingsgraad van minimaal 117 % moet hebben. Alshet pensioenfonds dan een dekkingsgraad van minder dan 117% heeft, spreekt men van eenreservetekort.

3.1.4 Continuıteitsanalyse

Bij de continuıteitsanalyse wordt getoetst of de risico’s op lange termijn (15 jaar) zich binnende geldende risiconormen bevinden. Deze toets is vooral bedoeld om inzage te krijgen in definanciele opzet van de instelling en om de kapitaaltoereikendheid te toetsen.

3.1.5 Herstelplannen

Indien het eigen vermogen van een pensioenfonds lager is dan het vereist eigen vermogen maarhoger dan het minimaal eigen vermogen, dus bij een reservetekort, moet het pensioenfondsbinnen drie maanden een langetermijn herstelplan indienen bij DNB. Dit herstelplan geeft aanhoe het pensioenfonds binnen de maximale termijn van 15 jaar zal gaan voldoen aan de eis vanhet vereist eigen vermogen.Indien het eigen vermogen van een pensioenfonds lager is dan het minimaal vereist eigen vermo-gen, dus bij een dekkingstekort, moet het pensioenfonds binnen twee maanden een kortetermijnherstelplan indienen bij DNB. Uit dit plan moet blijken hoe het pensioenfonds binnen drie jaarhet eigen vermogen zal laten toenemen tot minstens het minimaal vereist eigen vermogen.Momenteel zitten we midden in de kredietcrisis, waardoor de nominale rentetermijnstructuur,maar ook de aandelenkoersen, de afgelopen tijd flink zijn gedaald. Dit houdt in dat veelpensioenfondsen een reservetekort, of zelfs een dekkingstekort hebben. Vanwege deze extre-me situatie wordt door DNB onder bepaalde voorwaarden toegestaan om pas na vijf jaar uitdekkingstekort te geraken.

3.2 Interestrekening 21

3.2 Interestrekening

Vanaf het moment dat een pensioenfonds een premie of koopsom ontvangt, houdt dit het geldnatuurlijk niet passief vast. Het geld wordt belegd waardoor een rendement, ook wel renteof interest genoemd, wordt behaald. Indien deze rente niet wordt opgenomen, maar weeropnieuw wordt belegd, dan zal ook over deze rente weer rente gegenereerd worden. Op dezemanier groeit het startkapitaal in de tijd steeds sneller. Dit effect wordt ook wel rente op renteofwel samengestelde interest genoemd. Het rendement dat het pensioenfonds verondersteltte behalen wordt de rekenrente genoemd. Deze rekenrente wordt bepaald aan de hand vande nominale rentetermijnstructuur op dat moment (maandelijks gepubliceerd door DNB) enverschilt dus per maand. Deze schommelingen in rekenrente hebben grote invloed op de TVvan een pensioenfonds. Een pensioenfonds kan deze schommelingen echter hedgen. Hedgenwil zeggen het afdekken van de beleggingsrisico’s door middel van termijncontracten, zoalsbijvoorbeeld swaptions. Dat zijn opties om in de toekomst een swap (derivaat waarbij eenpartij een bepaalde kasstroom of risico wisselt tegen dat van een andere partij) tegen eenbepaald renteniveau. Dat betekent dat je bent gevrijwaard van de gevolgen van een mogelijkerentedaling beneden dit niveau. Dat kost natuurlijk wel premie (zie [2]). Aangezien steeds meerfondsen ervoor kiezen om dit renterisico af te dekken wordt het sterfterisico steeds belangrijker.

3.3 Sterftekansberekening

Pensioenen zijn gekoppeld aan personen, die elk jaar met een bepaalde kans blijven leven danwel overlijden. Factoren die invloed hebben op deze overlevingskansen/sterftekansen, zowelpositief als negatief, zijn:

• ontwikkelingen op medisch en genetisch gebied

• ontwikkelingen in het gedrag en de levenswijze

• ontwikkelingen in het milieu

• ontstaan van nieuwe ziekten

• calamiteiten

Voor de bepaling van het sterftepatroon maakt het pensioenfonds gebruik van overlevingstafels.Er zijn twee verschillende soorten overlevingstafels, periodetafels en generatietafels. Periodeta-fels zijn eendimensionale tafels, dat wil zeggen een kolom met voor iedere leeftijd een bepaaldesterftekans. Generatietafels zijn tweedimensionale tafels, dat wil zeggen dat voor elke leeftijd desterftekans per geboortejaar wordt weergegeven. Generatietafels bieden naast waarnemingenuit het verleden ook de mogelijkheid om toekomstige ontwikkelingen mee te nemen. In datgeval wordt gesproken van prognosetafels.

Tegenwoordig gebruikt men prognosetafels bij het opstellen van een TV, vanwege de nadelen vande traditionele overlevingstafels, zoals de Gehele Bevolking Mannen (GBM) en Gehele BevolkingVrouwen (GBV). Dit zijn periodetafels en die houden dus geen rekening met de ontwikkeling vande sterftekansen in de toekomst, terwijl dit wel van belang is voor een verantwoorde vaststellingvan de TV. Een ander punt is dat zowel de periode- als de prognosetafels worden berekend opbasis van cijfers van de gehele bevolking. Uit onderzoeken is echter gebleken dat de sterfteonder verzekerden lager ligt dan de sterfte onder de gehele bevolking. Bij Watson Wyatt wordtdaarom gewerkt met ervaringssterfte. Ervaringssterfte houdt in dat de sterftekans van een θ-jarige uit de prognosetafel vermenigvuldigd wordt met een bepaald percentage behorende bij


leeftijd θ en geslacht. Door deze ervaringssterfte toe te passen, wordt de sterftekans verlaagdmet als gevolg dat de resterende levensduur hoger is. Zie bijlage C voor de percentages van degebruikte ervaringssterfte.

3.4 Factoren berekenen

Om te bepalen hoe groot de TV van een pensioenfonds moet zijn, wordt gebruik gemaakt vanfactoren die afgeleid zijn van sterftekansen en rekenrente. Met behulp van deze factoren kunje berekenen wat de contante waarde van een opgebouwde aanspraak is. De contante waardeis de waarde op dit moment. Deze heb je onder de aangenomen rekenrente en sterftekansennodig om de toekomstige uitkeringen die voortvloeien uit de opgebouwde aanspraak te doen.De rekenrente is het rentepercentage dat je elk jaar over het ingelegde bedrag krijgt. Dit kaneen vast, maar ook een variabel percentage zijn.

Een pensioenuitkering is een periodieke uitkering. Een reeks van periodieke betalingen wordtook wel aangeduid met annuıteit. Wanneer de periodieke betalingen aan het begin van elk jaarplaatsvinden dan spreekt men van een prenumerando annuıteit. Als de periodieke betalingenaan het eind van elk jaar plaatsvinden dan spreekt men van een postnumerando annuıteit.Laten we eerst nog een paar definities geven:

• x = leeftijd man

• y = leeftijd vrouw

• px = P(x-jarige man wordt x + 1 jaar) = overlevingskans van een man op leeftijd x

• tpx = px · px+1 · . . . · px+t−1 = t-jarige overlevingskans van een man op leeftijd x

• qx = 1− px = sterftekans van een man op leeftijd x

• tqx = 1− tpx =t∑

z=0

zpxqx+z

• i = rentepercentage/100

• v = 11+i

• ax = direct ingaande levenslange prenumerando gelijkblijvende uitkering

• ax = direct ingaande levenslange postnumerando gelijkblijvende uitkering voor de man

• ax = direct ingaande levenslange continue gelijkblijvende uitkering voor de man

• axy = direct ingaande prenumerando gelijkblijvende uitkering zolang de man en de vrouwin leven zijn

• ax|y = ingaande prenumerando gelijkblijvende uitkering vanaf het moment dat de manoverlijdt, zolang de vrouw leeft

• ax,m = prenumerando gelijkblijvende uitkering gedurende m jaar voor de man

• n|ax = prenumerando levenslange gelijkblijvende uitkering n jaar uitgesteld voor de man

Als we in bovenstaande definities x en y verwisselen, dan heeft men de definities voor de vrouw.Uiteraard moet dan in de definitie ook ’man’ door ’vrouw’ worden vervangen en vice versa.

3.4 Factoren berekenen 23

3.4.1 Factor voor ouderdomspensioen (OP-factor)

De totale voorziening die een pensioenfonds verplicht dient aan te houden, wordt bepaald op ba-sis van de individuele voorzieningen. Deze individuele voorziening wordt onder andere berekenddoor voor elke persoon de opgebouwde aanspraak op ouderdomspensioen te vermenigvuldigenmet de bijbehorende factor, waardoor je de contante waarde bepaalt. Met andere woorden jemaakt de opgebouwde aanspraak contant. Voor iedere persoon die nog niet met pensioen iswordt dus de 65−x|ax ofwel 65−y|ay berekend (uitgaande van een pensioenleeftijd van 65 jaar)en voor iedere persoon die wel al met pensioen is de ax ofwel ay. Dit zijn dan de OP-factoren.

Dit kun je als volgt beredeneren. Stel men wil weten wat men als 60-jarige in moet leggen omvanaf 65 jaar elk jaar 1 euro aan pensioen te krijgen. Dan hebben we dus de factor nodig diehoort bij een 60-jarige. Met behulp van deze factor berekenen we dan de zogenoemde contantewaarde. Die 1 euro kunnen we namelijk contant maken door rekening te houden met de rentedie men nog gedurende 5 jaar over het ingelegde bedrag krijgt. Als iemand 60 is en hij wil opzijn 65e 1 euro ontvangen, dan hoeft hij maar 1

(1+i)5in te leggen op zijn 60e. Bovendien moet

de persoon in kwestie ook nog die jaren overleven. Je krijgt dus 1 euro op je 65e met kansp60 · p61 · p62 · p63 · p64 =5 p60 en 1 euro op je 66e met kans p60 · p61 · p62 · p63 · p64 · p65 =6 p60, etc.Op deze manier volgt er dus de volgende formule voor de berekening van de factor:

5p60

(1 + i)5+

6p60

(1 + i)6+

7p60

(1 + i)7+. . . . . . =

∞∑t=65−60

vttp60 = 65−60|ax = 5|ax = OP-factor 60-jarige man

In het algemeen geldt voor een x-jarige man (zie [3]):

Factor OP x-jarige man = 65−x|ax = ax − ax,65−x

=∞∑

t=0

vttpx −

65−x−1∑t=0

vttpx

=∞∑

t=65−x

vttpx

Als we in bovenstaande formules x en y zouden verwisselen, dan vinden we de formule voor deOP-factor van de vrouw.

3.4.2 Factor voor nabestaandenpensioen (NP-factor)

De totale voorziening die een pensioenfonds verplicht dient aan te houden, wordt bepaaldop basis van de individuele voorzieningen. Deze individuele voorziening wordt onder andereberekend door voor elke persoon de opgebouwde aanspraak op nabestaandenpensioen te ver-menigvuldigen met de bijbehorende factor, waardoor de contante waarde wordt bepaalt. Metandere woorden je maakt de opgebouwde aanspraak contant. Als je aanneemt dat iedere per-soon een partner heeft van het andere geslacht, dan wordt voor iedere persoon de ax|y ofwelay|x berekend. Dit zijn de NP-factoren.

Dit kun je als volgt beredeneren. Stel men wil weten wat men als 60 jarige in moet leggenzodat zodra hij overlijdt zijn even oude vrouw direct 1 euro krijgt. Dan hebben we dus weerde factor nodig die hoort bij een 60 jarige. Alleen kijken we nu per jaar. Elk jaar heeft de mannamelijk een kans om te overlijden en vanaf dan krijgt de vrouw de uitkering zolang als zij nog


leeft. Als de man meteen overlijdt, dus op zijn 60e, dan krijgt de vrouw direct 1 euro en ookde jaren erna krijgt ze 1 euro op voorwaarde dat ze dus nog leeft. Die ene euro die ze op haar61e krijgt kun je nu weer contant maken, want er is maar 1

1+inodig op haar 60e om op haar

61e die ene euro te kunnen betalen. Maar het kan ook zo zijn dat de man zijn 60e overleeften op zijn 61e sterft. In dat geval moet de vrouw ook haar 60e overleven en dan krijgt ze ophaar 61e die 1 euro uitbetaald. Alleen hoefde hiervoor maar 1

1+iingelegd te zijn. Uiteindelijk

krijgen we dan de volgende formule:

qx=60(1 +py=60

(1 + i)+

2py=60

(1 + i)2+

3py=60

(1 + i)3+ . . . . . .)

+px=60 qx=61(py=60

(1 + i)+

2py=60

(1 + i)2+

3py=60

(1 + i)3+ . . . . . .)

+2px=60 qx=62(2py=60

(1 + i)2+

3py=60

(1 + i)3+ . . . . . .) + . . . . . . . . .

=∞∑

t=0

tpx=60 q(x=60)+t

∞∑z=t

vzzpy=60

=∞∑

t=0

∞∑z=t

tpx=60 q(x=60)+t vzzpy=60

=∞∑

z=0

z∑t=0

tpx=60 q(x=60)+t vzzpy=60

=∞∑

t=0

t∑z=0

zpx=60 q(x=60)+z vttpy=60

=∞∑

t=0

vttpy=60

t∑z=0

zpx=60 q(x=60)+z

= ax=60|y=60

= NP-factor 60-jarige man als partner een 60-jarige vrouw

In het algemeen geldt voor een x-jarige man met een y-jarige partner (zie [3]):

Factor NP x-jarige man met een y-jarige vrouw = ax|y= ay − axy

=∞∑

t=0

vttpy −

∞∑t=0

vttpx tpy

=∞∑

t=0

vttpy (1− tpx)

=∞∑

t=0

vttpy tqx

=∞∑

t=0

vttpy

t∑z=0

zpx qx+z

Als we in bovenstaande formule x en y verwisselen, dan vinden we de formule voor de NP-factorvan de vrouw met een mannelijke partner.

3.5 De gemiddelde levensduur 25

Voor het numeriek berekenen van de factoren wordt het programma Excel gebruikt. Om deformules voor de OP- en NP-factoren makkelijk te kunnen invoeren in Excel is het beter omeen recursieve formule te gebruiken. In bijlage B wordt uitgelegd hoe deze recursieve formulewordt opgesteld.

3.5 De gemiddelde levensduur

Een manier om te weten te komen hoe lang pensioen gemiddeld uitgekeerd moet worden, isdoor te kijken naar het gemiddeld aantal nog te leven jaren als iemand nu θ jaar oud is.

Laten we beginnen met de levensduur van een 0-jarige. Definieer Nθ,θ+j als het aantal jarendat een nu θ jarige de komende j jaar in leven is. We weten dat P(0-jarige wordt 1 jaar) = p0.Er geldt nu dat

E[N0,1] = 1 · p0 + 0 · (1− p0) = p0

E[N0,2] = 2 · 2p0 + 1 · 1p0 · (1− 1p1) = 2p0 + 1p0

E[N0,3] = 3 · 3p0 + 2 · 2p0 · (1− 1p2) + 1 · 1p0 · (1− 1p1) = 3p0 + 2p0 + 1p0

...

E[N0,j] = jp0 + j−1p0 + . . . . . . + 2p0 + 1p0

Stel dat we aannemen dat vanaf 126 jaar de overlevingskans nul is, dus p126 = p127 = . . . = 0.Voor een θ-jarige is de gemiddelde levensduur als volgt te berekenen:

E[Nθ,126] = 126pθ + 125pθ + 124pθ + . . . . . . + 1pθ + 0pθ

Dit komt overeen met een direct ingaande prenumerando uitkering voor een θ-jarige en eenrente van 0%. Immers aθ =

∑∞t=0 vt

tpθ met v = 11+i

. Als i = 0, dan is

E[Nθ,∞] = aθ =∞∑

t=0

tpθ.

Als we nu θ = 65 nemen dan kunnen we ’het gemiddeld aantal jaar dat een pensioen uitgekeerdmoet worden’ berekenen.

3.6 Samenvatting

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat in het FTK is opgenomen aan welke eisen een pen-sioenfonds moet voldoen. Zo moet een fonds een TV aanhouden. Daarbovenop moeten zebijvoorbeeld nog een vereist eigen vermogen (circa 17% van de TV) in kas hebben. Voor deberekening van deze TV zijn factoren nodig. Deze factoren hangen af van zowel de rekenrenteals de sterftekansen. Voor de rente moet de actuele rentetermijnstructuur (vastgesteld doorDNB) worden gebruikt en voor sterfte de AG prognosetafel 2005-2050. Er mag ook een andereoverlevingstafel worden gebruikt, mits deze een gelijke of hogere TV vaststelt als bij gebruik vande AG prognosetafel. In het volgende hoofdstuk zal worden uitgelegd hoe de prognosetafel vanhet AG is opgesteld. Verder zullen er nog twee andere bekende prognoses worden besproken,zoals de prognose van het CBS en de prognose op basis van het Lee-Carter model.

Hoofdstuk 4

Bestaande modellen voor het opstellenvan een prognosetafel

Overlevingstafels worden in actuariele kring gehanteerd als basis voor de berekening van voor-zieningen voor pensioenaanspraken, verzekeringsverplichtingen en prijzen van verzekeringspro-ducten. Voor de berekening van de TV gebruikt Watson Wyatt de prognosetafel van hetActuarieel Genootschap (AG). In dit hoofdstuk wordt uitgelegd welke data en welk model hetAG gebruikt voor het opstellen van hun prognose. Een ander bekend model is het prognosemo-del van het CBS. Zij maken bij hun voorspelling gebruik van doodsoorzaken. In de VerenigdeStaten wordt het Lee-Carter model gebruikt om sterftekansen te voorspellen. Ook deze tweeprognosemodellen zullen in dit hoofdstuk worden toegelicht.

4.1 Prognose van het AG

Het AG stelde in het verleden elke vijf jaar de periodetafels Gehele Bevolking Mannen (GBM)en Gehele Bevolking Vrouwen (GBV) op. Deze waren gebaseerd op de waarnemingen van vijfopeenvolgende jaren. In 2003 kwam bijvoorbeeld GBM/GBV 1995-2000 uit. Watson Wyattgebruikte deze tafels, echter met toepassing van enkele correcties. Zo verhoogde Watson Wy-att voor sommige fondsen de TV met een jaarlijkse opslag om alvast te anticiperen op eennieuwe overlevingstafel. Uit het verleden bleek namelijk dat de TV op basis van twee op-eenvolgende periodetafels circa 1,25% scheelt. Na bijvoorbeeld twee (van de vijf) jaar werddan de TV verhoogd met 0,5%. Verder gebruikte Watson Wyatt voor iedere deelnemer eenleeftijdsterugstelling van bijvoorbeeld drie jaar voor mannen en een jaar voor vrouwen, omdatde beroepsbevolking een hogere levensverwachting heeft dan de totale bevolking. In plaatsvan deze leeftijdsterugstelling gebruiken ze nu de ervaringssterfte. Als correctie voor de dalingin sterftekansen maakt het AG nu prognosetafels (generatietafels) in plaats van periodetafels.Deze prognose heeft als uitgangspunt de GBM/GBV 2000-2005. Voor de berekening van deGBM/GBV rond het AG de ruwe sterftekansen van het CBS af met behulp van het Van Broek-hoven algoritme, zie sectie 4.1.2. Tot slot wordt met behulp van het CRC-model, zie sectie4.1.3, een prognose opgesteld.

4.1.1 De gebruikte data

De basisgegevens voor de GBM/GBV zijn afkomstig van het Centraal Bureau voor de Statistiek(CBS). De door het CBS gebruikte gegevens zijn:

28 Bestaande modellen voor het opstellen van een prognosetafel

• leeftijd van het aantal levenden per geslacht die op 1 januari zijn opgenomen in de GBA(Gemeentelijke Basis Administratie)

• het aantal sterfgevallen van de in de GBA opgenomen personen

• het migratiesaldo

• overige correcties

De afgeronde kansen die het AG gebruikt voor het opstellen van de prognosetafel zijn gebaseerdop de ruwe sterftekansen van het CBS. Het CBS berekent rechtstreeks deze ruwe sterftekansenuit de waargenomen aantallen overledenen en overlevenden in de periode die in beschouwingwordt genomen. In de berekening neemt het CBS ook migratie en een correctie mee. Dit gaatals volgt:

Definieer

TBt (totale bevolking) =t+2∑

j=t−2

# mensen van leeftijd θ op 1 januari in jaar j

OBt (overleden bevolking) =t+2∑

j=t−2

# overleden mensen van leeftijd θ gedurende jaar j

MSt (migratiesaldo) =t+2∑

j=t−2

# migranten van leeftijd θ gedurende jaar j

OBgt (generatie) =t+2∑

j=t−2

# overleden mensen van leeftijd θ in jaar j uit generatie (j − θ)

MSgt (generatie) =t+2∑

j=t−2

# migranten van leeftijd θ gedurende jaar j uit generatie (j − θ)

De formule die het CBS hanteert voor de berekening van de sterftekansen is nu als volgt:

Sterftekans leeftijd θ in jaar (t) =OBt

TBt + OBgt − 0, 5 ·MSgt + 0, 25 ·MSt

Deze formule is echter niet helemaal correct. De correctie 0, 25 ·MSt is tegenwoordig niet meergoed. Het CBS gebruikte deze term omdat ze in het verleden geen splitsing van leeftijden ingeboortejaren hadden. Nu hebben ze dat wel, dus hoort die term er eigenlijk niet meer in thuis.Het CBS weet dit, maar vanwege de consistentie houden ze het toch nog aan. De termen OBgt

en MSgt zijn vanwege deze geboortejaren. Gedurende jaar t zijn namelijk de mensen uit tweeverschillende generaties θ jaar oud. De immigratie in jaar t zit in de bevolkingscijfers van 1januari van jaar t+1. Echter in jaar t lopen de immigranten het risico te overlijden. Dit gebeurtgemiddeld genomen gedurende een half jaar, vandaar de factor 0,5 voor MSgt. Verder wordteen gemiddelde genomen over 5 jaar zodat het effect van afzonderlijke jaren wat kleiner wordt.Op deze manier voorkomt men dus te sterke fluctuaties van de sterftekansen per kalenderjaarals er in een bepaald jaar bijvoorbeeld een extreme winter of zomer of een griepepidemie isgeweest.

4.1 Prognose van het AG 29

4.1.2 Het Van Broekhoven algoritme

We weten nu hoe het AG aan de ruwe sterftekansen komt. Deze ruwe kansen vertonen echternog een onregelmatig verloop, vooral op hoge leeftijden. Een dergelijk verloop is voor actuarieledoeleinden ongewenst. We willen namelijk dat op hoge leeftijd de sterftekans van een θ-jarigekleiner is dan de sterftekans van een (θ + 1)-jarige. Bij de ruwe cijfers is dit niet altijd hetgeval. Daarom worden de ruwe sterftekansen door het AG afgerond met behulp van het VanBroekhoven algoritme, zie [4]. De doelstellingen van deze afronding zijn als volgt:

• minimaliseren van de kwadratische afwijking tussen de ruwe en de afgeronde sterftekansen

• de met de afgeronde sterftekansen berekende gemiddelde levensduur wijkt niet of nauwe-lijks af van de met de ruwe sterftekansen berekende levensduur

• over het gehele leeftijdsbereik wordt een goede fit bereikt tussen de ruwe en de afgerondesterftekansen.

Definieer nu:

• qrθ = de ruwe sterftekansen voor leeftijd θ

• qθ = de met het Van Broekhoven algoritme afgeronde sterftekansen voor leeftijd θ

Om de ruwe data glad te strijken wordt de kleinste kwadraten methode gebruikt. De klein-ste kwadraten methode wordt echter niet direct op de ruwe sterftekansen toegepast, maar opeen transformatie daarvan, aangeduid met fr(θ) = ln[− ln(1 − qrθ)]. Het algoritme bepaaltvervolgens

minA,B,C

m∑

k=−m

[f(θ + k)− fr(θ + k)]2,

waarbij het AG veronderstelt dat m = 5 en f(θ) = A + Bθ + Cθ2. Voor de leeftijden 0 en 1geldt dat qr0 = q0 en qr1 = q1 en voor de leeftijden θ = 2, . . . , 5 wordt gebruikt dat m = θ− 1.De resulterende f(θ) levert nu de gladgestreken sterftekansen via q(θ) = 1− e−ef(θ)

.

Hoe hoger de waarde van m des te gladder is de benadering, omdat de lokale regressie gebaseerdis op een groot aantal datapunten. Verder rechtvaardigt het AG de toepassing van dit algoritmevanuit de gedachte dat de sterftewet van Gompertz (dat wil zeggen de sterfte-intensiteit stijgtexponentieel [3]) overeenkomt met een lineaire f(θ + k). Aangezien niet voor alle leeftijdsinter-vallen de waargenomen sterftekansen lineair zijn, wordt uitgegaan van een kwadratische functief(θ + k). Een Gompertz verdeelde populatie wordt dus niet door het algoritme vervormd.Echter data die afkomstig is uit een populatie met een andere verdeling zullen op een of anderemanier wel vervormd worden.

Het is mogelijk f(θ) te bepalen met behulp van matrix rekening. Dan geldt dat:

f(θ) = [1 θ θ2](XT X)−1XT Z

met

X =

1 θ −m (θ −m)2

1 θ −m + 1 (θ −m + 1)2

......

......

......

1 θ + m− 1 (θ + m− 1)2

1 θ + m (θ + m)2

en Z =

fr(θ −m)fr(θ −m + 1)

...

...fr(θ + m− 1)

fr(θ + m)


In Excel zijn met behulp van deze methode de ruwe sterftecijfers glad gemaakt. Het gaf nau-welijks tot geen verschil met de glad gemaakte data van het AG.

In figuur 4.1 zijn zowel de ruwe sterftekansen uit de GBM 2000-2005 als de met het VanBroekhoven algoritme afgeronde sterftekansen te zien.

V e r s c h i l l e n r u w e n a f g e r o n d

0 , 0 0 0 1 0 0 0

0 , 0 0 1 0 0 0 0

0 , 0 1 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0 0

1 , 0 0 0 0 0 0 00 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119

L e e f t i j d

Sterfte

kans G B M 0 0 - 0 5 a f g e r o n d

G B M 0 0 - 0 5 r u w

Figuur 4.1: Ruwe sterftekansen vs afgeronde sterftekansen

Het valt op dat de lijn van de afgeronde sterftekansen inderdaad een redelijk gladde versie isvan de lijn die door de ruwe sterftekansen loopt. Als je echter inzoomt op een klein deel van degrafiek dan ziet dit eruit als in figuur 4.2.

S t a a r t v a n s t e r f t e k a n s e n G B M 0 0 - 0 5 a f g e r o n d

0 , 3 0 0 0 0 0 0

0 , 3 5 0 0 0 0 0

0 , 4 0 0 0 0 0 0

0 , 4 5 0 0 0 0 0

0 , 5 0 0 0 0 0 0

0 , 5 5 0 0 0 0 0

0 , 6 0 0 0 0 0 0

95 96 97 98 99 100

101

102

103

104

105

106

107

108

L e e f t i j d

Sterfte

kans

G B M 0 0 - 0 5 a f g e r o n d

Figuur 4.2: De met het Van Broekhoven algoritme afgeronde sterftekansen vanaf leeftijd 95

Het valt op dat de afronding toch niet zo glad is als dat op het eerste ogenblik lijkt. Dit komtdoordat voor elke leeftijd θ een kwadratisch polynoom f door de ruwe sterftekansen van deleeftijden θ−5 tot en met θ+5 wordt gefit. Als we in dit polynoom f dan de leeftijd θ invullendan vinden we de waarde van de getransformeerde sterftekans voor een θ-jarige.

4.1.3 Het CRC-model

Het CRC (Commissie Referentietarief Collectief)-model is het model dat het AG gebruikt omde prognose 2005-2050 op te stellen. Het model gaat uit van de waargenomen sterftekansen

4.1 Prognose van het AG 31

van de hele bevolking. Op basis van de waargenomen historische ontwikkelingen en de daarinte onderkennen trends worden de sterftekansen voor iedere leeftijd geextrapoleerd. Daarbij zijnde volgende uitgangspunten in acht genomen:

• Eerst worden de ruwe sterftekansen van het CBS voor 1988 en voor 2003 met behulp vanhet van Broekhoven algoritme afgerond (sectie 4.1.2).

• De jaarlijkse reductie van de sterftekans wordt verondersteld een vast percentage te zijnbij gegeven leeftijd en geslacht. De formule voor de reductiefactor van leeftijd θ is:

αθ = (Q2003,θ

Q1988,θ

)(2003−1988)−1

Hierin is Qt,θ de afgeronde sterftekans voor leeftijd θ in jaar t.

• Vervolgens worden de reductiefactoren per geslacht op basis van een 11-jarig voortschrij-dend gemiddelde over de leeftijden afgerond.

• De sterftekansen voor 2005,. . . , 2050 kunnen worden berekend met de formule:

q2003+k,θ = (αθ)kQ2003,θ

voor k = 1, . . . , 50.

• Daar waar de sterftekansen van vrouwen boven de sterftekansen van mannen komen, zijnde reductiefactoren van de vrouwen zodanig aangepast dat de sterftekansen van mannenen vrouwen in het jaar 2050 gelijk zijn.

Zie het boek van het AG [5] voor meer details van het model. De voorspelling van het AG zieteruit als in figuur 4.3.

V o o r s p e l l i n g 2 0 0 5 - 2 0 5 5 m a n n e n

0 , 0 0 0 0 0 0 00 , 1 0 0 0 0 0 00 , 2 0 0 0 0 0 00 , 3 0 0 0 0 0 00 , 4 0 0 0 0 0 00 , 5 0 0 0 0 0 00 , 6 0 0 0 0 0 00 , 7 0 0 0 0 0 00 , 8 0 0 0 0 0 00 , 9 0 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 0 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

L e e f t i j d

Sterfte

kans

2 0 0 5 2 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 8 2 0 0 9 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 1 2 2 0 1 3 2 0 1 4 2 0 1 5 2 0 1 6 2 0 1 7 2 0 1 82 0 1 9 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 2 2 0 2 3 2 0 2 4 2 0 2 5 2 0 2 6 2 0 2 7 2 0 2 8 2 0 2 9 2 0 3 0 2 0 3 1 2 0 3 22 0 3 3 2 0 3 4 2 0 3 5 2 0 3 6 2 0 3 7 2 0 3 8 2 0 3 9 2 0 4 0 2 0 4 1 2 0 4 2 2 0 4 3 2 0 4 4 2 0 4 5 2 0 4 62 0 4 7 2 0 4 8 2 0 4 9 2 0 5 0 2 0 5 1 2 0 5 2 2 0 5 3 2 0 5 4 2 0 5 5

2 0 0 82 0 5 0

Figuur 4.3: Voorspelling van de sterftekansen voor mannen


Deze prognose lijkt er vrij apart uit te zien. Tot en met leeftijd 85 neemt de sterftekans perkalenderjaar af, dan is tot en met leeftijd 95 de sterftekans vrijwel gelijk voor alle kalenderjaren,vervolgens neemt de sterftekans weer af per kalenderjaar tot en met leeftijd 105 en vanaf danzijn de sterftekansen van alle kalenderjaren weer gelijk.

Voor vrouwen heeft de grafiek dezelfde vorm, alleen zijn de verschillen in sterftekansen tussen2008 en 2050 nog kleiner dan bij de mannen. Bij vrouwen is er volgens het AG dus mindersterfteverbetering dan bij mannen.

4.1.4 Prognose vs werkelijke cijfers 2004-2007

De prognose van het AG is gemaakt voor 2005 tot en met 2050. Officieel is de prognosetafelopgesteld vanaf 2000-2005 tot en met 2050-2055, dat wil zeggen van 2003 tot en met 2053.Hierbij is 2000-2005 gelijk aan de GBM/GBV 2000-2005. Aangezien we nu een paar jaarverder zijn, kunnen we voor 2004 tot en met 2007 de sterftekansen uit de prognose vergelijkenmet de ruwe 5-jaars gemiddelde sterftekansen afgerond door het Van Broekhoven algoritme.Dit ziet er voor mannen en vrouwen uit als in figuur 4.4.

A f w i j k i n g s p e r c e n t a g e v a n p r o g n o s e A G t o v r u w e d a t a a f g e r o n d e 5 - j a a r s g e m d a t a

- 5 0 , 0 0 %- 4 0 , 0 0 %- 3 0 , 0 0 %- 2 0 , 0 0 %- 1 0 , 0 0 %0 , 0 0 %

1 0 , 0 0 %2 0 , 0 0 %3 0 , 0 0 %4 0 , 0 0 %5 0 , 0 0 %

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88

L e e f t i j d

Percen

tage

2 0 0 4

2 0 0 5

2 0 0 6

2 0 0 7

A f w i j k i n g s p e r c e n t a g e v a n p r o g n o s e A G t o v r u w e d a t a a f g e r o n d e 5 - j a a r s g e m d a t a

- 5 0 , 0 0 %- 4 0 , 0 0 %- 3 0 , 0 0 %- 2 0 , 0 0 %- 1 0 , 0 0 %0 , 0 0 %

1 0 , 0 0 %2 0 , 0 0 %3 0 , 0 0 %4 0 , 0 0 %5 0 , 0 0 %

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88

L e e f t i j d

Percen

tage

2 0 0 4

2 0 0 5

2 0 0 6

2 0 0 7

Figuur 4.4: De afwijkingen van mannen links en van vrouwen rechts

We zien dat de afwijking van de prognose van het AG ten opzichte van de afgeronde gemiddeldedata bij mannen voor 2004 maximaal 16% is en voor 2007 maximaal 31%. Voor vrouwen is dezeafwijking voor 2004 maximaal 11% is en voor 2007 maximaal 32%. We zien dat de afwijkingbij zowel mannen als vrouwen voor de meeste leeftijden positief is, wat dus betekent dat de desterftekansen uit de AG prognose voor deze leeftijden hoger zijn dan de afgeronde gemiddeldedata.

4.2 Prognose van het CBS

Het CBS publiceert niet alleen de bevolkingscijfers, het maakt ook zelf sterfteprognoses. Deprognose van het CBS wordt opgesteld aan de hand van sterfte naar doodsoorzaken. Hetonderscheiden van doodsoorzaken geeft meer inzicht in de factoren die de veranderingen in desterfte bepalen, zoals doorbraken in de medische wetenschap en leefstijl. De te onderscheidendoodsoorzaken kunnen per prognose verschillen.

4.2 Prognose van het CBS 33

Zo zijn de te onderscheiden doodsoorzaken in de prognose 2004-2050 als volgt (zie [6]):

• kwaadaardige nieuwvormingen; gesplitst in longkanker, borstkanker, prostaatkanker eneen groep ’overige’ kanker

• hart- en vaatziekten

• ziekten van ademhalingsorganen

• niet-natuurlijke doodsoorzaken

• diabetes

• overige doodsoorzaken

De te onderscheiden doodsoorzaken in de prognose 2008-2050 zijn (zie [7]):

• hart- en vaatziekten

• kwaadaardige nieuwvormingen, onderscheiden naar longkanker, borstkanker, prostaatkan-ker en een groep ’overige’ kanker

• COPD (chronic obstructive pulmonary disease; verzamelnaam voor chronische vernau-wingen van de luchtwegen, zoals bronchitis)

• niet-natuurlijke doodsoorzaken

• overige doodsoorzaken

In de volgende subsecties zal besproken worden hoe het model voor de prognose eruit ziet en opwelke manier het CBS de twee grootste doodsoorzaken, namelijk hart- en vaatziekten en kwaad-aardige nieuwvormingen, meeneemt in deze prognose, zie [7]. COPD is verantwoordelijk voor10% van de totale sterfte, niet-natuurlijke doodsoorzaken voor 4% en overige doodsoorzakenvoor 23%. Let wel, als het aantal sterfgevallen door de andere doodsoorzaken in de toekomstterugloopt, dan betekent dit dat de sterfte in de groep ’overige doodsoorzaken’ belangrijkerwordt.

4.2.1 Het CBS model 2008-2050

In de prognose 2008-2050 worden per leeftijdsgroep en per geslacht de meest voorkomendedoodsoorzaken geprognosticeerd. De gebruikte leeftijdsgroepen zijn 0, 1-19,20-49, 50-69, 70-79en 80 jaar en ouder. Vanaf 80-jarige leeftijd worden geen doodsoorzaken meer onderscheiden.De in de vorige prognoses gehanteerde randvoorwaarde dat de overlevingskans per doodsoor-zaak en leeftijdsklasse voor vrouwen hoger moet zijn dan voor mannen, tenzij de meest recentewaarneming het tegenovergestelde toont, is losgelaten. Sterfte door longkanker is een voorbeeldhiervan.

Bij het opstellen van de prognose tot en met leeftijd 80 wordt gewerkt met de kernindicator ’deoverlevingskans per leeftijdsinterval’. Per doodsoorzaak worden veronderstellingen opgesteldover het toekomstig verloop van deze indicator bij mannen en vrouwen. De relatieve afnamevan de sterftekans is geschat door de logaritme van de sterftekans te fitten met een lineairregressie model, met periode als verklarende variabele. De geschatte jaarlijkse reductie wordttoegepast vanaf het laatste waarnemingsjaar. Bij enkele doodsoorzaken worden de kansen aan-gepast op basis van inhoudelijke inzichten, verkregen door onder andere artsen.


De waardes van de overlevingskansen worden bepaald voor de steekjaren 2018, 2034 en 2050.Door middel van interpolatie worden de overlevingskansen van de tussenliggende jaren berekend.

Bij het opstellen van de prognose vanaf leeftijd 80 wordt alleen nog maar rekening gehoudenmet de totale sterfte, onafhankelijk van doodsoorzaak. Bij sterfgevallen van 80-plussers spelennamelijk vaak meerdere oorzaken tegelijk een rol. Bij mannen bestaat er een relatie tussen desterftetrends op middelbare leeftijd en die op hoge leeftijd binnen hetzelfde geboortecohort. Bijvrouwen is er geen duidelijk verband tussen de sterfteontwikkeling op middelbare en op hogeleeftijden per geboortecohort. In de sterfteprognose worden daarom voor vrouwen van 80 jaarof ouder recente trends in de periodesterfte doorgetrokken. Bij mannen wordt aan de hand vande waargenomen ontwikkelingen per geboortecohort op middelbare leeftijden de ontwikkelin-gen op hoge leeftijden geschat. Voor de langere termijn, als er geen waarnemingen meer zijnvoor de cohortsterfte op middelbare leeftijd, wordt net zoals bij de vrouwen aangesloten op deveronderstelde cohortontwikkelingen bij de 70- tot 80-jarigen.

4.2.2 Hart- en vaatziekten

In 2007 waren hart- en vaatziekten nog maar verantwoordelijk voor ongeveer 33% van detotale sterfte, zie linker grafiek in figuur 4.5. Daarmee heeft hart- en vaatziekten de eersteplaats afgestaan aan kwaadaardige nieuwvormingen. In figuur 4.5 is de rechter grafiek hetaantal sterftes aan hart- en vaatziekten per 100.000 mannen/vrouwen gestandariseerd voor deleeftijdssamenstelling van de bevolking per geslacht met standaardjaar 2007 (zie [7]). Hierin iste zien dat sinds 1970 de sterfte door hart- en vaatziekten voor zowel mannen als vrouwen ruimgehalveerd is.

P e r c e n t a g e a a n t a l s t e r f t e s d o o r h a r t - e n v a a t z i e k t e n v a nh e t a a n t a l s t e r f t e s d o o r a l l e o o r z a k e n

0 , 0 %5 , 0 %

1 0 , 0 %1 5 , 0 %2 0 , 0 %2 5 , 0 %3 0 , 0 %3 5 , 0 %4 0 , 0 %4 5 , 0 %5 0 , 0 %

1969

1971

1973

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

J a a r t a l

Percen

tage

M a nV r o u w

Figuur 4.5: Sterftepercentage (links) en het aantal per 100.000 mannen/vrouwen (rechts) doorhart- en vaatziekten

De coronaire hartziekten (zoals acute hartinfarcten) is de grootste doodsoorzaak binnen dehart- en vaatziekten. Voor mannen is dit ongeveer een derde en bij vrouwen is dit een kwartvan de totale sterfte door hart- en vaatziekten. Op de tweede plaats komen de beroertes (voormannen 20% en voor vrouwen 26%). De sterke daling van de coronaire hartziekten zijn vooralte danken aan een snellere diagnostiek, een betere behandeling van de hartziekten zelf (bypass,dotteren) en betere medicatie (bloeddruk- en cholesterolverlagers). Daarnaast is er tegenwoor-dig ook meer aandacht besteed aan preventie. Leefstijlen zoals roken, overgewicht, lichamelijkeinactiviteit, alcoholgebruik, te grote inname van verzadigde vetten en te geringe consumptievan groenten, fruit en vezels hebben grote invloed op het ontstaan van hart- en vaatziekten.


Ter voorkoming van deze slechte gewoonten, worden volop campagnes gevoerd door onder an-dere SIRE en het Voedingscentrum. Ook het rookverbod in de horeca zal waarschijnlijk inpositieve zin bijdragen.

De vraag is of voor de toekomst deze dalende trend wel of niet doorzet. In de voorgaandeprognoses werd verondersteld dat de daling van de sterfterisico’s voor hart- en vaatziekten rond2018 zou afzwakken ten opzichte van het tempo sinds 1970. Deze veronderstelling is in dehuidige prognose losgelaten, want er is geen reden om de waargenomen trend voor de toekomstte wijzigen. Het totale percentage rokers daalt namelijk nog steeds en ook de bloeddrukbehan-delingen zijn steeds beter. Daarentegen stijgt het aantal mensen met overgewicht en diabeteswel. Deze oorzaken zijn echter beter aan te pakken. Zo is, en wordt nog steeds, veel onderzoekgedaan naar het ontstaan van diabetes en de preventie ervan. Ook wordt er volop onderzoekgedaan naar voeding en de effecten van bepaalde voeding op het lichaam.

4.2.3 Kwaadaardige nieuwvormingen

In 2007 waren de kwaadaardige nieuwvormingen in totaal verantwoordelijk voor 27% bij devrouwen en 33% bij de mannen van de totale sterfte, zie figuur 4.6. Van 1986 tot en met 2003is de verhouding tussen het aantal sterftes door kanker en het totale aantal sterftes ongeveergelijk gebleven. De laatste jaren is deze verhouding echter toegenomen. Dit wil zeggen dat erin ieder geval geen verbetering is geweest in het aantal sterftes door kanker (ten opzichte vande andere doodsoorzaken).

P e r c e n t a g e a a n t a l s t e r f t e s d o o r k w a a d a a r d i g e n i e u w v o r m i n g e n v a n h e t a a n t a l s t e r f t e s d o o r a l l e o o r z a k e n

0 , 0 %

5 , 0 %

1 0 , 0 %

1 5 , 0 %

2 0 , 0 %

2 5 , 0 %

3 0 , 0 %

3 5 , 0 %

4 0 , 0 %

1969

1971

1973

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

J a a r t a l

Percen

tage

M a nV r o u w

Figuur 4.6: Percentage sterfte door kwaadaardige nieuwvormingen t.o.v. het totale aantalsterftes

Bij zowel mannen als vrouwen is longkanker de grootste doodsoorzaak binnen de kwaadaardigenieuwvormingen. In 2007 is dit bij mannen 30% van het totale aantal kwaadaardige nieuwvor-mingen en bij vrouwen 19%. Het verloop van longkanker in verhouding tot het totale aantalsterftes veroorzaakt door alle oorzaken is te zien in de linker grafiek van figuur 4.7. In de rechtergrafiek is het aantal sterftes door longkanker te zien per 100.000 mannen/vrouwen gestandari-seerd voor de leeftijdssamenstelling van de bevolking per geslacht met standaardjaar 2007 (zie[7]).


P e r c e n t a g e a a n t a l s t e r f t e s d o o r l o n g k a n k e rv a n h e t a a n t a l s t e r f t e s d o o r a l l e o o r z a k e n

0 , 0 %

2 , 0 %

4 , 0 %

6 , 0 %

8 , 0 %

1 0 , 0 %

1 2 , 0 %

1 4 , 0 %19

6919

7119

73

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

J a a r t a l

Percen

tage

M a nV r o u w

Figuur 4.7: Het sterftepercentage (links) en het aantal sterftes per 100.000 mannen/vrouwen(rechts) door longkanker

Zoals in de grafieken is te zien geldt voor vrouwen dat het sterfte aandeel door longkankergroter is geworden, zowel absoluut als relatief. Voor mannen is het aantal sterftes per 100.000mannen vanaf 1988 flink gedaald. Het percentage is ook gedaald vanaf 1988, echter vanaf 2003is dit weer gestegen. Dit houdt in dat het aandeel sterfte door longkanker ten opzichte vande totale sterfte de laatste jaren is gestegen. Longkanker is een nog moeilijk te behandelenvorm van kanker. De hoofdoorzaak van longkanker is roken. Het rookverbod in de horecazal in de toekomst waarschijnlijk bijdragen aan een daling van de sterfte door longkanker. Inde prognose is voor mannen het volgende verondersteld voor de ontwikkeling van sterfte doorlongkanker: Een stijging in overleving tot 2018, vervolgens een stabilisatie tot 2034 en tot slotweer een stijging in overleving tot 2050. Deze ontwikkeling heeft het CBS gebaseerd op hetrookgedrag. Voor vrouwen tot 50 jaar wordt stabilisatie verondersteld tot 2018 en vervolgenseen lichte stijging in de overleving. Voor vrouwen van 50 tot 70 jaar wordt verondersteld datde overlevingskans rond 2018 stabiliseert en na 2034 gaat stijgen. Voor vrouwen van 70 tot 80jaar wordt verondersteld dat de overlevingskans blijft dalen tot 2034 en vervolgens stabiliseert.

De tweede grote doodsoorzaak is bij mannen prostaatkanker (11% van totale aantal kwaad-aardige nieuwvormingen) en bij vrouwen borstkanker (18% van totale aantal kwaadaardigenieuwvormingen). Het verloop van deze twee oorzaken in verhouding tot het totale aantalsterftes door alle oorzaken is te zien in figuur 4.8.

P e r c e n t a g e a a n t a l s t e r f t e s d o o r b o r s t k a n k e r / p r o s t a a t k a n k e rv a n h e t a a n t a l s t e r f t e s d o o r a l l e o o r z a k e n

0 , 0 %

1 , 0 %

2 , 0 %

3 , 0 %

4 , 0 %

5 , 0 %

6 , 0 %

1969

1971

1973

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

J a a r t a l

Percen

tage

M a n( p r o s t a a tk a n k e r )

V r o u w( b o r s t -k a n k e r )

Figuur 4.8: Het sterftepercentage door borst- en prostaatkanker tov de totale sterfte


In de grafiek is te zien dat voor vrouwen het sterfte aandeel door borstkanker kleiner is gewor-den. In 2007 is het aantal sterfgevallen door longkanker zelfs voor het eerst hoger dan de sterftedoor borstkanker, zie grafiek 4.7 en 4.8. Voor mannen is het aandeel van prostaatkanker tenopzichte van de totale sterfte juist toegenomen.

In figuur 4.9 is links het aantal sterftes door borstkanker te zien per 100.000 vrouwen en rechtshet aantal sterftes door prostaatkanker per 100.000 mannen. Beide zijn gestandariseerd voorde leeftijdssamenstelling van de bevolking per geslacht met standaardjaar 2007 (zie [7]).

Figuur 4.9: Het aantal sterftes per 100.000 vrouwen/mannen door borstkanker/prostaatkanker

Voor vrouwen is ook hier een duidelijke daling te zien in aantal sterftes door borstkankerper 100.000 vrouwen. Deze daling wordt deels veroorzaakt door de invoering van het bevol-kingsonderzoek, waardoor borstkanker eerder wordt ontdekt, en deels door meer succesvollebehandelingen. Voor mannen is vanaf 1995 een daling te zien in sterftes door prostaatkankerper 100.000 mannen. De vroegere opsporing en daarmee vroegere behandeling van prostaat-kanker heeft bijgedragen aan deze daling. Het totaal aantal sterfgevallen is dus gedaald vanaf1995, echter het aandeel van prostaatkanker in de totale sterfte is gestegen. In de prognoseheeft het CBS voor mannen het volgende verondersteld voor de ontwikkeling van sterfte doorprostaatkanker: De stijging in de overleving sinds 1995 wordt afgezwakt met een factor 0,5 toten met 2050, omdat het percentage mannen waarbij de ziekte vroeg wordt ontdekt niet kanblijven dalen. Voor vrouwen heeft het CBS in de prognose het volgende verondersteld voor deontwikkeling van sterfte door borstkanker: De huidige dalende trend wordt voor alle leeftijdenafgezwakt doorgezet met een factor 0,5.

4.2.4 Levensverwachting oude vs nieuwe prognose

Het CBS maakt iedere twee jaar een prognose op basis van doodsoorzaken. Na elke twee jaarblijkt dat ze de sterftekansen te hoog hebben ingeschat. De dalende trend wordt steeds bijiedere prognose afgevlakt. Overigens vlakt de prognose van het AG de dalende trend vande sterftekansen ook af. Het verschil in levensduur van een 65-jarige volgens de verschillendeprognoses van het CBS is te zien in grafiek 4.10.


L e v e n s v e r w a c h t i n g v a n e e n 6 5 - j a r i g e m a n

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

2 0

2 1

2 220

0020

0220

0420

0620

0820

1020

1220

1420

1620

1820

2020

2220

2420

2620

2820

3020

3220

3420

3620

3820

4020

4220

4420

4620

4820

50

J a a r t a l

Gem

# jaren

nog t

e lev

en

C B S 0 4 - 5 0C B S 0 6 - 5 0C B S 0 8 - 5 0

L e v e n s v e r w a c h t i n g v a n e e n 6 5 - j a r i g e v r o u w

1 9

2 0

2 1

2 2

2 3

2 4

2 5

2001

2003

2005

2007

2009

2011

2013

2015

2017

2019

2021

2023

2025

2027

2029

2031

2033

2035

2037

2039

2041

2043

2045

2047

2049

J a a r t a l

Gem

# jaren

nog t

e lev

en

C B S 0 4 - 5 0C B S 0 6 - 5 0C B S 0 8 - 5 0

Figuur 4.10: De prognoses van het CBS voor de levensduur van een 65-jarige man en vrouw

De prognose van 2004-2050 voorspelt voor 2006 een levensverwachting voor een 65-jarige vrouwdie 0,5 jaar lager is dan de daadwerkelijke waarde in 2006. De prognose van 2006-2050 voorspelteen levensverwachting voor een 65-jarige man die 0,4 jaar lager is dan de daadwerkelijke waar-de in 2008. In 2050 zijn de verschillen tussen de verschillende prognoses nog groter, namelijkongeveer 1 jaar per opeenvolgende prognose. De voorspellingen blijken dus keer op keer weer telaag ingeschat te worden, waardoor bij herziening van de prognosetafels blijkt dat de mensentoch weer langer zijn blijven leven dan men dacht.

Deze verschillen zijn vooral veroorzaakt doordat in de vorige prognoses werd aangenomen datde snelle sterftereductie bij hart- en vaatziekten op termijn sterk zou vertragen. Deze veron-derstelling is in de huidige prognose losgelaten. Ook het omslagmoment van stijgende naardalende sterfterisico’s voor longkanker is vervroegd bij 20- tot 50-jarige vrouwen en naar eenlater tijdstip verschoven bij 70- tot 80-jarige.

In figuur 4.11 zijn de eenjarige overlevingskansen van drie leeftijdsgroepen te zien, links voormannen en rechts voor vrouwen.

Figuur 4.11: Overlevingskansen van mannen (links) en vrouwen (rechts) tot 80 jaar

In deze grafiek is te zien dat de grootste toename in overlevingskans tussen de twee CBSprognoses plaatsvindt bij de leeftijdsgroep 70-79 jaar. De toename van de overlevingskanstot 80 jaar wordt vooral veroorzaakt door het feit dat er meer vijftigers de 80-jarige leeftijdbereiken. Bij de leeftijden tot 50 jaar treedt niet meer veel verandering op (zie [7]).

4.3 Prognose volgens het Lee-Carter model 39

4.3 Prognose volgens het Lee-Carter model

In de Verenigde Staten wordt onder andere het Lee-Carter model gebruikt voor de ’continuousmortality investigation’. Het is een model dat gebruik maakt van de waargenomen sterfte-intensiteiten. Het bestaat uit twee delen, namelijk een verdelingsfunctie voor de sterfte overde leeftijden en een tijdreeksmodel voor het doortrekken van trends uit de geschiedenis. In devolgende subsectie zal dit model verder uitgelegd worden. Tot slot zal er gekeken worden hoegroot de afwijkingen tussen de prognose volgens het Lee-Carter model en de ruwe data zijn.

4.3.1 Het Lee-Carter model

De centrale sterftekans

m(θ, t) =D(θ, t)

N(θ, t)=

# overledenen van leeftijd θ gedurende jaar t

# levenden van leeftijd θ op 1 januari van jaar t

is een benadering voor de sterfte-intensiteit µ(θ, t) en wordt gemodelleerd door de volgendevergelijking:

ln[m(θ, t)] = a(θ) + b(θ)k(t)

Hierin is a(θ) de historisch gemiddelde geschatte ln[m(θ, t)] per leeftijd θ en b(θ) is de matewaarin ln[m(θ, t)] afhangt van een algemene sterfte-index k(t). Het idee voor de prognose is,dat we voor iedere leeftijd θ een a(θ) en b(θ) bepalen en dan vervolgens met behulp van k(t)een tijdreeksmodel te maken.

De opzet van het model verloopt in de volgende stappen:

1. Eerst wordt op basis van zoveel mogelijk beschikbare sterftedata a(θ) bepaald, omdatdeze nodig is voor het bepalen van b(θ) en k(t).Dit gaat als volgt: a(θ) = 1

T

∑Tt=1 ln[m(θ, t)], met t = 1, . . . , T .

2. Om b(θ) en k(t) te bepalen moeten we de matrix R(θ, t) = ln[m(θ, t)] − a(θ) creeren.Op deze matrix R wordt vervolgens de ’singular value decomposition’ toegepast. Daaruitvolgt R = USV T . Met behulp van de de matrices U , S en V kunnen nu b(θ) en k(t)bepaald worden.De eerste kolom van matrix U is gelijk aan b(θ), dat wil zeggen b(θ) = U(θ, 1). De eerstekolom van matrix V vermenigvuldigd met het eerste getal uit matrix S is gelijk aan k(t),dat wil zeggen k(t) = S(1, 1) · V (t, 1). Eisen voor b(θ) en k(t) zijn b(θ) · b(θ) = 1 enk(t) = 0.

3. Vervolgens wordt k(t) zodanig herschat, dat de totale sterfte-aantallen van het modelvoor ieder historisch jaar overeenkomen met de geschatte sterfte-aantallen. Met anderewoorden er moet gelden: Dt =

∑Tt=1 N(θ, t) · ea(θ)+b(θ)·k(t).

4. Nu zijn a(θ), b(θ) en k(t) bekend en kan met behulp van k(t) een voorspelling gedaanworden. De een-jarige sterftekansen zijn nu als volgt: q(θ, t) ≈ 1− e−m(θ,t).

Zie voor meer details van het model Lee en Carter [8].


4.3.2 Prognose vs werkelijke cijfers 2006-2007

Het Lee-Carter model is een vrij ingewikkeld model om de sterftekansen mee te voorspellen.Bij zowel het AG als bij het CBS waren grote afwijkingen te zien als we de sterftekansen van deprognose vergeleken met de waargenomen sterftekansen. Maar hoe verhouden de afwijkingenzich bij het Lee-Carter model? Om hierop antwoord te kunnen geven, hebben we het Lee-Cartermodel toegepast op data van 1950 tot en met 2005 om vervolgens een voorspelling voor 2006tot en met 2050 te doen. De afwijking van de sterftekansen volgens de Lee-Carter prognose tenopzichte van de ruwe sterftekansen (m(θ, t)) ziet eruit als in figuur 4.12.

A f w i j k i n g s p e r c e n t a g e v a n L e e - C a r t e r t o v r u w e d a t a t / m 2 0 0 5

- 6 0 , 0 0 %

- 4 0 , 0 0 %

- 2 0 , 0 0 %

0 , 0 0 %

2 0 , 0 0 %

4 0 , 0 0 %

6 0 , 0 0 %

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

L e e f t i j d

Perce

ntage

2 0 0 6

2 0 0 7

A f w i j k i n g s p e r c e n t a g e v a n L e e - C a r t e r t o v r u w e d a t a t / m 2 0 0 5

- 4 0 , 0 0 %

- 2 0 , 0 0 %

0 , 0 0 %

2 0 , 0 0 %

4 0 , 0 0 %

6 0 , 0 0 %

8 0 , 0 0 %

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

L e e f t i j d

Perce

ntage

2 0 0 6

2 0 0 7

Figuur 4.12: De afwijkingen van mannen links en vrouwen rechts

We zien dat de afwijking tot en met 50 jaar bij vrouwen hoger is dan bij mannen. Tussen 60 en80 jaar is de afwijking bij vrouwen juist kleiner dan bij mannen (bij vrouwen ongeveer tussen0% en 10% en bij mannen tussen 0% en 30%). Voor 85 jaar en ouder zijn de sterftekansenvolgens de Lee-Carter prognose lager in vergelijking met de ruwe sterftekansen.

4.4 Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we gezien hoe drie verschillende prognosemodellen zijn opgesteld. Bijde prognose van het AG is de ruwe data (vijf-jaars gemiddelde sterftekansen) die gebruiktwordt niet helemaal correct. Deze vijf jaars gemiddelde ruwe sterftekansen worden vervolgensafgerond. Daarna worden reductiefactoren bepaald op basis van deze data. Ook deze reductie-factoren worden weer gemiddeld (over 11 jaar). Vervolgens maken ze nog de aanname dat inwerkelijkheid de sterftekansen van de mannen niet lager kunnen zijn dan de sterftekansen vanvrouwen, vandaar dat ze de reductiefactoren aanpassen om dit doel te bereiken. Er wordt dusveel afgerond en de gemaakte aanname valt te betwijfelen.Het CBS maakt een prognose door de sterfte naar doodsoorzaak te voorspellen. Deze methodeis erg moeilijk te reproduceren door iemand anders dan het CBS, omdat er gebruik wordt ge-maakt van inhoudelijke inzichten, verkregen van onder andere artsen. Bovendien kost het veeltijd om de prognose op te stellen.Het Lee-Carter model is een model dat bestaat uit een verdelingsfunctie voor de sterfte over deleeftijden en een tijdreeksmodel voor het doortrekken van trends uit de geschiedenis. Het is eeningewikkeld model en het kost aardig wat tijd om het model uit te voeren. Alle drie de modellenzijn dus ingewikkeld en tijdrovend. Daarnaast zijn voor alle drie de modellen afwijkingen tezien als we op basis van data uit het verleden het heden voorspellen. Daarom gaan we in hetvervolg van deze scriptie kijken hoe de sterftekansen zich door de jaren heen hebben gedragen.Op basis daarvan zal er een eenvoudig prognosemodel ontwikkeld worden.

Hoofdstuk 5

Analyse van de sterftekansen 1950-2007

In hoofdstuk 4 hebben we de drie bekendste prognosemodellen gezien. Deze modellen zijn nieteenvoudig te reproduceren. Het doel van deze scriptie is de sterftekansen te analyseren eneen eenvoudig model op te stellen om de sterftekansen te voorspellen. Laten we daarom nubeginnen met de analyse van de sterftekansen. Via Statline op de website van het CBS zijnde kerncijfers van de bevolking te krijgen voor de leeftijden θ = 0, . . . , 98 in de kalenderjarent = 1950, . . . , 2007. Hierin staat onder andere opgesplitst voor mannen en vrouwen het aantalmannen/vrouwen van leeftijd θ op 1 januari van kalenderjaar t en het aantal gestorven man-nen/vrouwen van leeftijd θ per kalenderjaar t. Bij het berekenen van de sterftekansen in eenbepaald jaar heeft het CBS ook migratie meegenomen. De invloed van migratie is echter ergklein. Daarom zijn in de berekening van de sterftekansen in dit onderzoek de migratiecijfers nietmeegenomen. Met behulp van de volgende formule kunnen we de ruwe sterftekansen berekenen:

qrθ,t =# overleden mensen van leeftijd θ gedurende jaar t

# mensen in leven van leeftijd θ op 1 januari van jaar t=

Aθ,t

Rθ,t

met θ = 0, . . . , 98 en t = 1950, . . . , 2007. De op deze wijze verkregen sterftekansen worden indit hoofdstuk geanalyseerd.

5.1 De sterftekansen door de jaren heen

Zoals we zagen in sectie 4.2.4, moet het CBS elke twee jaar haar prognose bijstellen. Blijk-baar zijn de afgelopen jaren de sterftekansen veel meer gedaald dan men dacht op basis van desterftekansen uit het verleden. Dit is ook te zien in figuur 5.1. In dit figuur is de procentueleafwijking te zien van de sterftekans van iemand van leeftijd θ in jaar t ten opzichte van degemiddelde sterftekans voor een θ-jarige berekend over 1950 tot en met 2007. Als het afwij-kingspercentage van een θ-jarige in jaar t positief is dan wil dat zeggen dat de sterftekans voordie θ-jarige in jaar t hoger is dan de gemiddelde sterftekans van de θ-jarigen van 1950 tot enmet 2007. Als het percentage lager is dan geldt het tegenovergestelde.

Wat meteen opvalt zijn de twee duidelijke diagonalen bij zowel mannen als vrouwen. Dezediagonalen representeren de generaties 1920 (een jaar na Spaanse griep) en 1946 (een jaar natweede wereldoorlog). Deze twee generaties hebben een hogere sterftekans voor alle leeftijdendan de generaties ervoor en erna. Bij mannen zijn de generaties van 1880 tot en met 1890een stuk beter dan de omliggende. Bij vrouwen zijn dit juist erg slechte generaties. Als we nuniet per generatie kijken, maar per leeftijd (met andere woorden horizontaal), dan valt op dat

42 Analyse van de sterftekansen 1950-2007

de sterfte van 0 tot 12 jaar ontzettend is verbeterd vanaf 1950 tot 2007 bij zowel mannen alsvrouwen.

0

9 9

....

....

1 9 5 0 2 0 0 7. . . . . . . . . . . .

> 1 5 0 % 1 0 0 - 1 4 0 % 6 0 - 9 0 % 5 0 % 1 0 %2 0 %3 0 %4 0 % - 2 0 %- 1 0 %0 % - 6 0 - 9 0 %- 5 0 %- 4 0 %- 3 0 % > 9 0 %

0

9 9

....

....

1 9 5 0 2 0 0 7. . . . . . . . . . . .

> 1 5 0 % 1 0 0 - 1 4 0 % 6 0 - 9 0 % 5 0 % 1 0 %2 0 %3 0 %4 0 % - 2 0 %- 1 0 %0 % - 6 0 - 9 0 %- 5 0 %- 4 0 %- 3 0 % > 9 0 %

Figuur 5.1: De afwijking van de sterftekans tov de gem sterftekans per leeftijd voor 1950-2007;boven mannen en beneden vrouwen

Als we naar het hele figuur kijken, dan valt op dat bij mannen de algemene dalende trend voor0 tot en met 30 jarigen tegelijk inzet met de vrouwen (ongeveer rond 1976). Voor de leeftijden30 tot en met 85 geldt voor mannen dat hoe hoger de leeftijd des te later de daling pas isbegonnen. Van 85 tot en met 99 jaar zijn de sterftekansen vanaf 1950 vrij geleidelijk gedaald,want de afwijkingen liggen over de hele linie ongeveer tussen de 20% en -20%. Bij vrouwen isde daling voor alle leeftijden tegelijk begonnen. Voor de 0 tot en met 45 jarigen en voor de 65

5.1 De sterftekansen door de jaren heen 43

tot en met 90-jarigen is een flinke daling te zien van 1950 tot en met 2007. Voor de 45 tot enmet 65-jarigen zijn de sterftekansen wel gedaald, maar veel minder sterk.

Om preciezer te kunnen zien hoe sterk de sterftekansen de laatste jaren zijn gedaald, is dezelfdefiguur nog een keer gemaakt, maar dan voor 1990 tot en met 2007. Dit is te zien in figuur 5.2.Hierin is de procentuele afwijking te zien van de sterftekans van iemand van leeftijd θ in jaart ten opzichte van de gemiddelde sterftekans voor een θ-jarige berekend over 1990 tot en met2007.

0 %- 1 0 %- 2 0 %- 3 0 %- 4 0 %- 5 0 %- 6 0 - 7 0 %< - 7 0 %

> 9 0 %6 0 - 9 0 %5 0 %4 0 %3 0 %2 0 %1 0 %

0

....

....

9 9

1 9 9 0 2 0 0 7. . . . .

0 %- 1 0 %- 2 0 %- 3 0 %- 4 0 %- 5 0 %- 6 0 - 7 0 %< - 7 0 %

> 9 0 %6 0 - 9 0 %5 0 %4 0 %3 0 %2 0 %1 0 %

0

....

....

9 9

1 9 9 0 2 0 0 7. . . . .

Figuur 5.2: De afwijking van de sterftekans tov de gem sterftekans per leeftijd voor 1990-2007;links mannen en rechts vrouwen

Er is te zien dat bij mannen vanaf 1990 een sterkere daling in sterftekansen heeft plaatsgevondendan bij vrouwen. Daarnaast is de versnelling van deze daling bij mannen vanaf 2003 begonnenvoor de leeftijden tot en met 85 jaar. Voor vrouwen is deze versnelling van de daling voor alleleeftijden te zien, maar wel in mindere mate en pas vanaf 2004. Verder is bij vrouwen een ster-kere fluctuatie van de sterftekansen te zien bij de leeftijden van 0 tot en met 30 dan bij mannen.

Een andere manier om te kijken hoe de ruwe data zich heeft ontwikkeld in de loop der jaren isdoor te kijken naar de kans dat een 0-jarige θ jaar oud wordt, zie sectie 3.5. Deze kansen zijnberekend op basis van de ruwe sterftekansen uit een bepaald kalenderjaar en dus niet op basisvan generaties. De overlevingscurve is voor mannen links te zien in figuur 5.3 en voor vrouwenrechts.

In de grafieken is te zien dat bij de mannen de ruimte tussen de curve van 1970 en 1990 bijnanet zo groot is als de ruimte tussen de curve van 2000 en 2007. Dit betekent dus een extremetoename in levensverwachting vanaf 2000 in vergelijking met het verleden. Tussen 1950 en 1970is helemaal niet veel verbetering te zien, alleen op de lagere leeftijden. In 1970 is de kans om60 jaar of ouder te worden zelfs kleiner dan in 1950. Bij vrouwen is er een grote verbetering tezien tussen 1950 en 1970, maar ook tussen 1970 en 1990. Tussen 1990 en 2003 is vrijwel geen


K a n s d a t e e n 0 - j a r i g e m a n l e e f t i j d x b e r e i k t

0 , 0

0 , 1

0 , 2

0 , 3

0 , 4

0 , 5

0 , 6

0 , 7

0 , 8

0 , 9

1 , 00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

105

110

115

120

125

T e b e r e i k e n l e e f t i j d

Kans

1 9 5 01 9 7 01 9 9 02 0 0 02 0 0 32 0 0 52 0 0 7

K a n s d a t e e n 0 - j a r i g e v r o u w l e e f t i j d x b e r e i k t

0 , 00 , 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 91 , 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

105

110

115

120

125


Kans

1 9 5 01 9 7 01 9 9 02 0 0 02 0 0 32 0 0 52 0 0 7

Figuur 5.3: Overlevingscurve o.b.v. de ruwe sterftekansen uit verschillende jaren (links man enrechts vrouw

toename te zien. Daarna is de toename wel weer te zien. De ruimte tussen de curve van 2000en 2007 is veel kleiner dan de ruimte tussen die curves bij mannen. Mannen hebben dus eensterkere toename in levensverwachting de afgelopen jaren, dan vrouwen.

In een artikel van het CBS over de toekomst van de levensverwachting [9] staat dat de overle-vingscurve steeds rechthoekiger wordt. Hiermee wordt bedoeld dat meer mensen tot op hogeleeftijd in leven blijven, maar daarna het overlijden in een steeds kortere tijdsspanne plaats-vindt. Aangezien een meer rechthoekige vorm van de overlevingscurve inhoudt dat de gemid-delde leeftijd bij overlijden sneller toeneemt dan de hoogste waargenomen levensduur, wordtdit verschijnsel vaak opgevat als bewijs dat de levensverwachting een biologische limiet nadert.In de grafieken van figuur 5.3 is dit rechthoekiger worden van de overlevingscurve een beetje tezien, vooral bij de vrouwen. Het hoeft echter niet perse te duiden op een biologische leeftijds-limiet, want de eindleeftijd schuift in dit geval bij de vrouwen gewoon een stukje mee.

In tabelvorm ziet de ruwe levensverwachting voor een 0-jarige eruit als in figuur 5.4.

Figuur 5.4: Tabel van de ontwikkeling in ruwe levensverwachting van een 0-jarige

De tabel toont dat vrouwen tot en met 1990 een veel sterkere daling in sterftekansen hebbengehad dan mannen, waardoor het verschil in levensverwachting tussen mannen en vrouwensteeds groter werd. Echter vanaf 1990 hebben mannen een sterkere daling in sterftekansenmeegemaakt dan vrouwen. Het verschil in levensverwachting tussen mannen en vrouwen wordtdus vanaf 1990 kleiner. Verder is te zien dat voor mannen de sterke daling die vanaf 2000plaatsvond veel groter is dan de daling in het verleden. In 7 jaar hebben mannen namelijk eenwinst geboekt van 2,4 jaar wat betreft de levensverwachting en vrouwen een winst van 1,7 jaar.

Voor een pensioenfonds is het vooral interessant om te weten hoe lang een 65-jarige gemiddeldnog leeft. Als we daarom kijken naar het totale gemiddeld aantal jaren nog te leven van een65-jarige vanaf 1850, dan ziet dit eruit als in figuur 5.5.

5.1 De sterftekansen door de jaren heen 45

A a n t a l n o g t e l e v e n j a r e n a l s n u 6 5 j a a rN e d e r l a n d m a n n e n

0 , 0 02 , 0 04 , 0 06 , 0 08 , 0 0

1 0 , 0 01 2 , 0 01 4 , 0 01 6 , 0 01 8 , 0 02 0 , 0 0

1850

1857

1864

1871

1878

1885

1892

1899

1906

1913

1920

1927

1934

1941

1948

1955

1962

1969

1976

1983

1990

1997

2004

J a a r t a l

Aanta

l jaren

A a n t a l n o g t e l e v e n j a r e n a l s n u 6 5 j a a rN e d e r l a n d v r o u w e n

0 , 0 02 , 0 04 , 0 06 , 0 08 , 0 0

1 0 , 0 01 2 , 0 01 4 , 0 01 6 , 0 01 8 , 0 02 0 , 0 02 2 , 0 0

1850

1862

1874

1886

1898

1910

1922

1934

1946

1958

1970

1982

1994

2006

J a a r t a l

Aanta

l jaren

Figuur 5.5: De levensverwachting van een 65-jarige in Nederland van 1850 t/m 2050

Bij de mannen is er eerst een lineaire trend te zien met een grotere piek naar beneden bij 1945,het einde van de tweede wereldoorlog. Daarna is er een flinke stijging in levensverwachtingvanwege het feit dat de ’zwakkeren’ al gestorven zijn gedurende de oorlog; de ’sterkeren’ zijnovergebleven. Daarna daalt de lijn weer iets, maar vanaf 1972 is er wederom een stijgendetrend. Bij de vrouwen is er tot en met 1945 ongeveer dezelfde lineaire trend te zien als bij demannen. Echter van 1945 tot en met 1980 is er in tegenstelling tot bij de mannen een sterkelineaire trend omhoog te zien, veel sterker dan de trend tot en met 1945. Daarna zwakt dezestijging weer af.

In Frankrijk is een soortgelijke trend te zien, zie figuur 5.6. Alleen blijft bij de mannen hetgemiddeld aantal jaren nog te leven van 1850 tot en met 1945 schommelen tussen de 9 en12 jaar. Van 1946 tot en met 1970 treedt er een lichte stijging op en vanaf 1971 stijgt hetgemiddeld aantal jaren nog te leven nog sterker. Deze stijging is groter dan in Nederland. In2006 ligt daarom de gemiddelde leeftijd van een 65-jarige man in Frankrijk 1,3 jaar hoger danin Nederland. Bij de vrouwen is het verloop tot en met 1980 vrijwel identiek, maar vanaf danblijft het gemiddeld aantal jaren nog te leven in Frankrijk stijgen, terwijl het in Nederlandvanaf dan afzwakt.

A a n t a l n o g t e l e v e n j a r e n a l s n u 6 5 j a a rF r a n k r i j k m a n n e n

02468

1 01 21 41 61 82 0

1850

1857

1864

1871

1878

1885

1892

1899

1906

1913

1920

1927

1934

1941

1948

1955

1962

1969

1976

1983

1990

1997

2004

J a a r t a l

Aanta

l jaren

A a n t a l n o g t e l e v e n j a r e n a l s n u 6 5 j a a rF r a n k r i j k v r o u w e n

02468

1 01 21 41 61 82 02 22 4

1850

1862

1874

1886

1898

1910

1922

1934

1946

1958

1970

1982

1994

2006

J a a r t a l

Aanta

l jaren

Figuur 5.6: De levensverwachting van een 65-jarige in Frankrijk van 1850 t/m 2050

Zowel in Frankrijk als in Nederland stijgt het gemiddeld aantal jaren nog te leven van een 65-jarige man al vanaf 1850. De gerontologische groep, zoals is beschreven in hoofdstuk 6, beweertdat die stijging steeds meer afvlakt, maar waarom? Er is zelfs een sterkere stijging te zien vanaf1993.


5.2 Spreiding in sterftekansen

Het aantal mensen van een bepaalde leeftijd wordt naarmate de leeftijd toeneemt steeds kleiner.Hierdoor wordt de betrouwbaarheid van de ruwe sterftekansen naarmate de leeftijd toeneemtsteeds slechter. Om te kijken hoe groot de spreiding in de sterftekansen kan zijn, is er inVisual Basic een simulatie geschreven, zie bijlage D voor de programmacode. Deze simulatiesimuleert 200 keer hoeveel sterftegevallen er in een bepaald jaar zijn. In sectie 5.2.1 wordtuitgelegd volgende welke verdeling mensen sterven en in sectie 5.2.2 wordt uitgelegd hoe hetsimulatieprogramma werkt. Hoe groot deze spreiding van de sterftekansen is na 200 runs wordtnader toegelicht in sectie 5.2.3.

5.2.1 De verwachte sterftekans

Allereerst een paar notaties:

• Rx,t is het aantal mensen van leeftijd x aan het begin van kalenderjaar t

• Ax,t is het geobserveerde aantal overleden mensen op leeftijd x in jaar t

• qx,t is de verwachte sterftekans op leeftijd x in jaar t

• K is de realisatie van Ax,t en dus een random variabele die het aantal doden in een jaarweergeeft

Aangezien de berekening voor elk jaar en voor elke leeftijd hetzelfde is, laten we in het vervolgde x en de t in de notatie weg. Neem aan dat de kans op overlijden van het ene individuonafhankelijk is van de kans op overlijden van het andere individu. Dan kan K beschouwdworden als de som van een aantal Bernoulli random variabelen Xi, i = 1, . . . , R, met kansq ∈ [0, 1]. Dus Xi heeft verwachting q en variantie q(1− q). De som van R Bernoulli verdeelderandom variabelen is binomiaal verdeeld met parameters R en q. Dus de kansdichtheidsfunctieis als volgt:

P(K = k) =R!

k!(R− k)!qk(1− q)R−k

De verwachting en de variantie kunnen we als volgt berekenen:

E[K] = E[R∑

i=1

Xi] = Rq

Var[K] = Var[R∑

i=1

Xi] = Rq(1− q)

In de praktijk zijn R en A bekend, maar q is onbekend. Daarom bepalen we voor q een maximumlikelihood schatter q∗ ∈ [0, 1] (zie [10]). Laat

log L(q) = logP(K = A) = l(q) = ln(R!

k!(R− k)!) + A ln q + (R− A) ln(1− q)

Deze functie l(q) is concaaf, dus door middel van l′(q) = 0 is q∗ te vinden.

∂l(q∗)∂q∗

=A

q∗− R− A

1− q∗= 0 ⇒ q∗ =

A

R

5.2 Spreiding in sterftekansen 47

Hiermee volgt dat

E[q∗] = E[R∑

i=1

Xi/R] = q

Var[q∗] = Var[R∑

i=1

Xi/R] = q(1− q)/R

5.2.2 Programma voor de simulatie

In de simulatie worden per leeftijd θ 200 sterftekansen gegenereerd uitgaande van de sterfte-kansen uit het jaar 2000. Op deze manier kunnen we dan kijken hoeveel spreiding er in desterftekansen en dus ook in de prognose kan zitten. Met name op hoge leeftijden, waar hetaantal in leven zijnde θ-jarigen afneemt, weten we niet hoe betrouwbaar de cijfers zijn die wenu als waar aannemen.

In sectie 5.2.1 is uitgelegd dat A, het aantal doden per jaar, BIN(R, q) verdeeld is. AangezienR, het aantal mensen op het begin van een jaar, grote waarden kan aannemen, is het behoorlijkbewerkelijk om de exacte kansen te berekenen. Nu is het zo dat als geldt Rq > 5 en R(1−q) > 5,dan kan de BIN(R, q)-verdeling benaderd worden met een N(Rq, Rq(1− q))- verdeling. In onzesituatie geldt inderdaad dat Rq > 5 en dat R(1 − q) > 5 voor alle voorkomende waarden vanR en q.

Definieer het gesimuleerde aantal doden van leeftijd θ in jaar t als Dθ,t. Er geldt dat Aθ,t derealisatie is van het aantal doden van leeftijd θ in jaar t. Neem nu aan dat deze waarden deechte gemiddelden zijn. Aangezien geldt dat qθ,t =

Aθ,t

Rθ,t, volgt dat Dθ,t ∼ N(Aθ,t, Aθ,t(1− Aθ,t

Rθ,t)).

De stappen van het programma zijn als volgt:

• Voor een bepaald jaar t, in dit geval t = 2000, en voor iedere leeftijd θ ∈ (0, 98) worden Aθ,t

en Rθ,t ingelezen uit de ruwe data van het CBS. Hierbij wordt dus geen sterfteverbeteringmeegenomen, omdat we de sterftekansen van het jaar 2000 gebruiken.

• Per leeftijd θ wordt 200 keer een N(0, 1)-verdeeld random getal gegenereerd door middelvan het Law-Kelton algoritme.Noem dit random getal rvi

θ met i = 1, . . . , 200 en θ = 0, . . . , 98.

• Het aantal doden in jaar t van leeftijd θ in run i wordt nu als volgt bepaald: Dθi,t =

rviθ ∗ Aθ,t(1− Aθ,t

Rθ,t) + Aθ,t, met θ = 0, . . . , 98 en i = 1, . . . , 200.

Nu geldt dus inderdaad: Dθ,t ∼ N(Aθ,t, Aθ,t(1− Aθ,t

Rθ,t)).

• Voor t = 2000 wordt het volgende gedaan om de 200 sterftekansen per θ-jarige te krijgen:

qθi,t =Dθi,t

Rθ,tmet θ = 0, . . . , 98 en i = 1, . . . , 200.

5.2.3 De gesimuleerde sterftekansen

Om te kijken hoeveel spreiding er in de sterftekansen kan zitten, zijn de 200 gesimuleerdesterftekansen van mannen geplot in figuur 5.7. Rechts is een uitvergroting te zien van desterftekansen voor mannen van 80 tot en met 99 jaar.


2 0 0 r u n s j a a r 2 0 0 0 v a n 2 5 t / m 9 8 j a a rm a n n e n

0 , 0 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0

0 , 2 0 0 0 0 0

0 , 3 0 0 0 0 0

0 , 4 0 0 0 0 0

0 , 5 0 0 0 0 0

0 , 6 0 0 0 0 0

0 , 7 0 0 0 0 0

2 5 2 8 3 1 3 4 3 7 4 0 4 3 4 6 4 9 5 2 5 5 5 8 6 1 6 4 6 7 7 0 7 3 7 6 7 9 8 2 8 5 8 8 9 1 9 4 9 7L e e f t i j d

Sterfte

kans

2 0 0 r u n s j a a r 2 0 0 0 v a n 8 0 t / m 9 8 j a a rm a n n e n

0 , 0 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0

0 , 2 0 0 0 0 0

0 , 3 0 0 0 0 0

0 , 4 0 0 0 0 0

0 , 5 0 0 0 0 0

0 , 6 0 0 0 0 0

0 , 7 0 0 0 0 0

8 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8L e e f t i j d

Sterfte

kans

Figuur 5.7: De 200 gesimuleerde sterftekansen van mannen in het jaar 2000

Zoals verwacht is de spreiding op hoge leeftijd het grootste. Dit komt doordat de groep x-jarigemannen op hoge leeftijden steeds kleiner wordt, waardoor de fluctuatie in de sterftekansensteeds groter wordt.

In figuur 5.8 zijn de 200 gesimuleerde sterftekansen van vrouwen geplot. Rechts is een uitver-groting te zien van de sterftekansen voor vrouwen van 80 tot en met 99 jaar.

2 0 0 r u n s j a a r 2 0 0 0 v a n 2 5 t / m 9 8 j a a rv r o u w e n

0 , 0 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0

0 , 2 0 0 0 0 0

0 , 3 0 0 0 0 0

0 , 4 0 0 0 0 0

0 , 5 0 0 0 0 0

0 , 6 0 0 0 0 0

0 , 7 0 0 0 0 0

2 5 2 8 3 1 3 4 3 7 4 0 4 3 4 6 4 9 5 2 5 5 5 8 6 1 6 4 6 7 7 0 7 3 7 6 7 9 8 2 8 5 8 8 9 1 9 4 9 7L e e f t i j d

Sterfte

kans

2 0 0 r u n s j a a r 2 0 0 0 v a n 8 0 t / m 9 8 j a a rv r o u w e n

0 , 0 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0

0 , 2 0 0 0 0 0

0 , 3 0 0 0 0 0

0 , 4 0 0 0 0 0

0 , 5 0 0 0 0 0

0 , 6 0 0 0 0 0

0 , 7 0 0 0 0 0

8 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8L e e f t i j d

Sterfte

kans

Figuur 5.8: De 200 ruwe gesimuleerde sterftekansen van vrouwen in het jaar 2000

Voor vrouwen is de spreiding op hoge leeftijden veel minder dan bij mannen. Dit komt doordathet aantal vrouwen op hoge leeftijden veel groter is dan het aantal mannen, dus dan zijn desterftekansen betrouwbaarder.

Volgens de ruwe data van het CBS geldt R65,2000 = 1.131, dat wil zeggen het aantal mannelijkedoden van 65 jaar in het jaar 2000 is 1131. De standaard deviatie is

√1.131 = 33, 63. Als we

nu kijken naar de 200 simulatieruns voor mannen, dan ziet dit eruit als in figuur 5.9.

Voor deze 200 simulatieruns geldt dat:

E[# mannelijke doden van 65 jaar in 2000] = 1.129

σ(# mannelijke doden van 65 jaar in 2000) = 33, 93

5.3 De toekomst van de levensverwachting 49

g e s i m u l e e r d e a a n t a l d o d e n v a n 6 5 j a a r i n 2 0 0 0

9 0 09 5 0

1 0 0 01 0 5 01 1 0 01 1 5 01 2 0 01 2 5 0

Run 1

Run 1

0Ru

n 19

Run 2

8Ru

n 37

Run 4

6Ru

n 55

Run 6

4Ru

n 73

Run 8

2Ru

n 91

Run 1

00Ru

n 109

Run 1

18Ru

n 127

Run 1

36Ru

n 145

Run 1

54Ru

n 163

Run 1

72Ru

n 181

Run 1

90Ru

n 199

Aanta

l dod

en

Figuur 5.9: Het gesimuleerde aantal doden van 65 jaar in het jaar 2000

Deze waarden liggen komen vrijwel overeen met de werkelijke waarden, ondanks dat het maar200 runs zijn. Er geldt namelijk hoe meer runs hoe nauwkeuriger de schatting van de verwach-ting en spreiding is.

5.3 De toekomst van de levensverwachting

Zoals we hebben gezien in tabel 5.4 heeft er de afgelopen jaren een flinke daling in de sterfte-kansen plaatsgevonden, vooral bij mannen. De vraag is nu of en ook hoe lang deze daling zaldoorzetten. En wat gebeurt er daarna met de sterftekansen; stabiliseren ze, nemen ze toe, ofblijven ze toch afnemen? De vraag hoe de levensverwachting zich in de toekomst zal ontwikkelenlijkt deskundigen in twee kampen te verdelen met sterk verschillende meningen. Zo beschouwtde gerontologische school veroudering als een natuurlijk proces dat maar in bescheiden mate kanworden beınvloed. Zij gaan uit van een geleidelijke afvlakking van de stijgende levensverwach-ting, tot circa 85 jaar. (Gerontologie is de wetenschap die zich bezig houdt met veroudering.)Daarentegen verwacht de geriatrische school dat de gunstige trend in de levensverwachting uitde afgelopen jaren in de komende decennia zal aanhouden. Dit zou uiteindelijk leiden tot eenlevensverwachtingen van 100 jaar of meer. (Geriatrie is een vorm van geneeskunde die zichricht op preventie, diagnostiek en behandeling van ziekten die oorzakelijk samenhangen met deveroudering.) Laten we kijken naar figuur 5.10 (bron: presentatie van APG).

Figuur 5.10: De levensverwachting van een vrouw uit het land met op dat moment de hoogstelevensverwachting


Hierin zien we het land met de op dat moment hoogste levensverwachting. Er is duidelijk eenlineaire trend te zien met een toename in levensverwachting van 3 maanden per kalenderjaar.De geriatrische school noemt een aantal redenen waarom een voortzetting van de stijgende,lineaire trend waarschijnlijk is. Een reden is dat deskundigen steeds hebben gesteld dat delevensverwachting een limiet benadert en het telkens bij het verkeerde eind hebben gehad. Eenandere reden is dat de trendmatige toename van het land met de de hoogste levensverwachtingzou moeten afvlakken als de levensverwachting een limiet benadert. [9]

Maar hoe doet Nederland het ten opzichte van deze beste landen? In figuur 5.11 is te zien hoede Nederlandse vrouwen (links) en mannen (rechts) het doen ten opzichte van die lineaire lijn(bron: presentatie van APG).

N i e u w- Z e e l a

n d

N o o r we g e n

I J s l a nd J a p a n

N i e u w- Z e e l a

n d

N o o r we g e n

I J s l a nd J a p a n

Figuur 5.11: De levensverwachting van vrouwen (links) en van mannen (rechts) in Nederland(zwarte lijn) tov het land met hoogste levensverwachting op dat moment (gekleurde lijn)

Tot en met 1950 heeft de curve van mannen ongeveer dezelfde vorm als de curve van vrouwen.Alleen de piek rond 1945 is bij mannen iets groter dan bij vrouwen, vanwege de vele mannendie aan het front zijn gestorven tijdens de tweede wereldoorlog. Vanaf 1950 tot 1970 gaat decurve bij vrouwen naar de lineaire lijn toe, terwijl de curve van de mannen er juist vanaf gaat.Vanaf 1970 loopt de curve weer gelijk aan de lineaire lijn, alleen 10 jaar lager. Bij vrouwen gaatvanaf 1985 de curve ook weg van de lineaire lijn. Deze afwijkingen ten opzichte van de lineairelijn, komt waarschijnlijk door het percentage rokers.

Figuur 5.12: Het percentage mannelijke en vrouwelijke rokers in Nederland

In grafiek 5.12 is het percentage mannelijke en vrouwelijke rokers in Nederland te zien voor elkkalenderjaar (bron: presentatie van APG).

5.3 De toekomst van de levensverwachting 51

De vraag is nog steeds hoe gaat deze Nederlandse curve in de toekomst verder? In figuur 5.13 isde lineaire trend van de vrouwen in Japan te zien samen met de Nederlandse levensverwachtingvan de man verlengd met de afgelopen drie CBS-voorspellingen (bron: presentatie van APG).

L e v e n s v e r w a c h t i n g

J a a r t a l

Figuur 5.13: De voorspelling van het CBS voor mannen

De voorspelling van het CBS wijkt steeds weer van de lineaire trend af, terwijl het zelfs lijktalsof de levensverwachting van de man net weer langzaam naar de lineaire lijn toe gaat.

De mening die wel alle wetenschappers delen is het feit dat er geen biologische reden is waaromde mens niet veel ouder kan worden. We lopen immers niet met een biologische klok ronddie afloopt wanneer we moeten sterven. Niet de ouderdom is dodelijk, maar de ziekte die aanouderdom gerelateerd is [11]. De vraag is dan wel hoe goed we vat kunnen krijgen op dieouderdomsziekten. Ongeveer 64% van alle sterfte doet zich voor op de leeftijd van 75 jaar ofouder. Hiervan is 55% man en 72% vrouw. Bij veel ziekten werd tot voor kort altijd rustonmisbaar geacht voor genezing. Hoewel nu veel minder bedrust wordt voorgeschreven, gaatziekenhuisopname nog steeds gepaard met veel bedlegerigheid. Bedlegerigheid van enige duurleidt echter tot veranderingen in de meeste orgaansystemen, die op complicaties kunnen uitlo-pen. Geriatrische patienten zijn door hun verminderde fysiologische reserve extra gevoelig voordie gevolgen. Zo kunnen trombose, gedaalde vitale capaciteit, verminderde eetlust, obstipatie,spieratrofie, decubitus, vereenzaming en afgenomen energiebehoefte gevolgen zijn van bedlege-righeid die voor ouderen grote invloed kunnen hebben op hun gesteldheid (zie [12]). Op ditgebied is er dus genoeg ruimte voor gezondheidsverbeteringen. Verder laat ook de leefstijl vanouderen vaak te wensen over. Zo heeft 60% van de ouderen overgewicht, hun voedingspatroonen lichaamsbeweging zijn verre van optimaal en 25% van alle oudere mannen rookt. Daaromzijn er ook op dit gebied veel mogelijkheden wat betreft gezondheidsverbetering (zie [9]).

Een andere mogelijkheid voor een langere levensverwachting is de vermindering van het aantalsterfgevallen binnen de twee grootste groepen, namelijk hart- en vaatziekten en kwaadaardigenieuwvormingen. Op het gebied van de preventie van deze ziekten zijn momenteel veel ontwik-kelingen gaande. Zo is er de verwachting dat er over twee jaar een soort ’superpil’ voor het hartop de markt komt. Deze pil bestaat uit vier substanties die dokters nu veel voorschrijven bijde preventie van hart- en vaatziekten. Naar schatting zou deze pil het aantal sterfgevallen doorcardiovasculaire ziekten met minstens 80% kunnen verminderen [13]. Ook is er een bloedtestom borstkanker bij jonge vrouwen vroegtijdig op te sporen wanneer het op een mammografie


nog niet te zien is. Als de Indiase pilotstudie succesvol blijkt, dan zal deze test ook in deWesterse ziekenhuizen geıntroduceerd worden. Daarnaast is er een robotje ontwikkeld dat nietalleen borstkanker kan ontdekken, maar ook meteen de kwaadaardige cellen kan vernietigen(ingebracht in borst en aangestuurd door arts). Tot slot is er een nieuw medicijn (in pilvorm)dat metastatische borstkanker (uitzaaiing vanuit elders) kan behandelen. Zie [14] voor dezedrie ontwikkelingen.

5.4 Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat er twee generaties zijn (1920 en 1946) die veel lage-re sterftekansen hebben dan de generaties ervoor en erna. Verder hebben we gezien dat desterftekansen voor mannen pas zijn beginnen te dalen vanaf 1970. Vanaf 2003 is deze dalingflink toegenomen. Voor vrouwen zijn juist tussen 1950 en 1990 de sterftekansen sterk gedaald,vervolgens is tot en met 2003 deze daling flink afgenomen en vanaf 2004 is de daling weertoegenomen. Ook hebben we gezien dat de spreiding van de sterftekansen voor mannen toe-neemt vanaf 85 jaar en bij vrouwen vanaf 90 jaar. Bij vrouwen is deze spreiding kleiner dan bijmannen, omdat op hoge leeftijd de populatie vrouwen groter is dan de populatie mannen.

Tot slot hebben we gezien dat het land met in dat kalenderjaar de hoogste levensverwachting alvanaf 1880 lineair toeneemt met ongeveer 3 maanden per kalenderjaar. De levensverwachtingvan de Nederlandse vrouwen is tussen 1940 en 1970 bijna gelijk aan de hoogste levensverwach-ting, echter vanaf 1970 wordt deze levensverwachting geleidelijk lager dan de lineaire lijn (in2005 ongeveer 5 jaar). Bij de Nederlandse mannen loopt vanaf 1970 de levensverwachting pa-rallel aan de lineaire lijn van het land met de hoogste levensverwachting, maar wel ongeveer10 jaar lager. In de prognose van het CBS wordt deze lineaire trend echter afgebogen. Maarwaarom? Er is namelijk nog veel ruimte voor verbetering van het aantal sterftes, zowel bij detwee grootste doodsoorzaken als bij ouderdomsziekten. De toekomstige levensverwachting zoudus toch kunnen blijven dalen. Maar of de huidige sterk dalende trend doorzet en zo ja hoelang, dat blijft de vraag. In de volgende hoofdstukken zullen we toch proberen de data zo goed,maar ook zo eenvoudig mogelijk, te voorspellen.

Hoofdstuk 6

Eigen ontwikkelde modellen voor hetopstellen van een prognosetafel

Nu we de data hebben geanalyseerd is het de bedoeling een zo goed mogelijke voorspelling tedoen over de ontwikkeling van de sterftekansen in de toekomst. De overlevingskansen nemenin de tijd echter niet constant toe. Dit compliceert het voorspellen van de ontwikkeling vande overlevingskansen in hoge mate. Om deze sterftekansen te voorspellen kunnen verschillendemodellen gebruikt worden. In hoofdstuk 4 hebben we al drie verschillende modellen gezien. Debestaande modellen voor het opstellen van prognosetafels zijn niet allemaal makkelijk uit tevoeren. Het model van het CBS bijvoorbeeld gebruikt hun ’kennis’ over de medische wetenschapom bepaalde aannamen te maken voor het verloop van het aantal doden aan een bepaalde ziekte.Aangezien deze kennis subjectief is en het CBS niet precies uitlegt hoe dit wordt toegepast, kaniemand buiten het CBS deze prognose erg moeilijk reproduceren. In de praktijk moet er eenbalans zijn tussen enerzijds de kwaliteit en anderzijds de bruikbaarheid en inzichtelijkheid vanhet model. In dit hoofdstuk zullen twee prognosemodellen besproken worden die eenvoudig ensnel zijn te reproduceren. In deze twee prognoses worden als basis de afgeronde sterftekansenvolgens de methode uit paragraaf 6.1 gebruikt. Voor alle handelingen die gedaan moetenworden, zoals de kleinste kwadraten methode, het schuin inlezen van de sterftekansen, etc, zijnprogramma’s geschreven in Visual Basic.

6.1 Het afronden van de data

We hebben in sectie 4.1.2 gezien dat de sterftekansen afgerond met het Van Broekhoven algo-ritme geen vloeiend verloop hebben. Dit komt doordat het algoritme steeds een kwadratischpolynoom fit op basis van 10 sterftekansen. Aangezien het allemaal om voorspellingen gaat diewaarschijnlijk nooit precies uitkomen, kan men zich afvragen waarom je dan wel zo precies diesterftekansen moet afronden. Waarom zou je niet een zo goed mogelijke vloeiende stijgendelijn door de ruwe data fitten? Daarom is een andere manier om de ruwe sterftekansen gladte maken door een exponentiele functie te fitten. Maar waarom een exponentiele functie? Deredenen hiervoor zijn als volgt:

• Een e-macht geeft positieve waarden wat handig is omdat sterftekansen ook niet negatiefkunnen zijn.

• Gezien het verloop van de data lijkt een exponentiele functie een goede fit

Het verloop van de sterftekansen voor zowel mannen als vrouwen is voor het jaar 2007 te zienin figuur 6.1.

54 Eigen ontwikkelde modellen voor het opstellen van een prognosetafel

R u w e s t e r f t e k a n s e n i n 2 0 0 7o p l o g a r i t m i s c h e s c h a a l

0 , 0 0 0 0 1 0 0

0 , 0 0 0 1 0 0 0

0 , 0 0 1 0 0 0 0

0 , 0 1 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0 0

1 , 0 0 0 0 0 0 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

105

110

115

120

125

L e e f t i j d

Sterft

ekan

s

M a nV r o u w

Figuur 6.1: Grafiek op logaritmische schaal van de sterftekansen van mannen en vrouwen in2007

Een mogelijke verklaring waarom de sterftekansen bij mannen tussen de 18 en 30 jaar zo hoogzijn, is het grote aantal verkeersslachtoffers op die leeftijden. Verder loopt de lijn van 30 toten met 98 jaar vrij lineair bij mannen. Voor vrouwen is de lijn van 25 tot en met 98 jaar niethelemaal lineair, er zit een lichte golf in.

6.1.1 Het afrondingsalgoritme

Definieer weer:

• qrx = de ruwe sterftekansen van mannen voor leeftijd x

• qx = de afgeronde sterftekansen van mannen voor leeftijd x

• qry = de ruwe sterftekansen van vrouwen voor leeftijd y

• qy = de afgeronde sterftekansen van vrouwen voor leeftijd y

Voor het bepalen van de qx voor een gegeven x wordt uitgegaan van de waargenomen sterfte-kansen qrx met x = 25, . . . , 85 voor mannen. Voor het bepalen van de qy voor een gegeven ywordt uitgegaan van de waargenomen sterftekansen en qry met y = 25, . . . , 90 voor vrouwen.We beginnen bij x = y = 25, vanwege het afwijkende verloop van de sterftekansen bij de leef-tijden van 0 tot en met 25 jaar. Dit afwijkende verloop is goed te zien in figuur 6.1. Voor eenpensioenfonds is dit slechte deel echter niet relevant, omdat bijna alle deelnemers ouder zijn dan25 jaar. De reden waarom we de sterftekansen boven de 85 voor mannen en boven de 90 voorvrouwen buiten beschouwing laten, is de kleine populatie op hoge leeftijd. De sterftekans voordeze hoge leeftijden fluctueert hierdoor namelijk sterk. Deze fluctuatie (ruis) is voor mannente zien in de rechter grafiek van figuur 5.7 en voor vrouwen in de rechter grafiek van figuur 5.8.

Om de ruwe data glad te maken wordt de kleinste kwadraten methode gebruikt. De kleinstekwadraten methode wordt echter niet direct op de ruwe sterftekansen toegepast, maar op eentransformatie daarvan, voor mannen aangeduid met fr(x) = ln( qrx

1−qrx). Deze transformatie

passen we toe, zodat voor de afgeronde sterftekansen geldt qx ∈ [0, 1]. Bij vrouwen wordt de-zelfde transformatie toegepast vanwege dezelfde reden.

6.1 Het afronden van de data 55

Het algoritme bepaalt vervolgens voor mannen en vrouwen respectievelijk

minA1,A2

85∑i=25

[f(xi)− fr(xi)]2 min

a1,a2,a3,a4

90∑i=25

[f(yi)− fr(yi)]2

met f(x) = A1 +A2xc en f(y) = a1 +a2y +a3y

2 +a4y3. In de volgende sectie zal de keuze voor

deze functies nader worden toegelicht.

Met behulp van de gevonden A1 en A2 kun je de sterftekansen voor de mannen voor leeftijden0 t/m 125 bepalen door:

qx =eA1+A2x

1 + eA1+A2xc =ef(x)

1 + ef(x)

Voor de vrouwen zijn met behulp van de gevonden a1, a2, a3 en a4 de sterftekansen voorleeftijden 0 t/m 125 te bepalen door:

qy =ea1+a2y+a3y2+a4y3

1 + ea1+a2y+a3y2+a4y3 =ef(y)

1 + ef(y)

De versie van de kleinste kwadraten die in Excel het makkelijkste is uit te voeren is de versiedie gebruik maakt van matrices, namelijk

f(x) = [1 xc](XT X)−1XT Z1 en f(y) = [1 y y2 y3](Y T Y )−1Y T Z2

met

X =

1 x25...

......

...1 x85

, Y =

1 y25...

......

...1 y90

, Z1 =

fr(x25)......

fr(x85)

en Z2 =

fr(y25)......

fr(y90)

Hieruit volgen voor mannen de A1 en A2, want [A1 A2]T = (XT X)−1XT Z1. Voor vrouwen

volgen de a1, a2, a3 en a4, want [a1 a2 a3 a4]T = (Y T Y )−1Y T Z2.

6.1.2 Toelichting op gemaakte keuzes

De keuze om bij mannen een lineaire functie voor f(x) te gebruiken (c=1) is gebaseerd op hetfeit dat fr(x) bij benadering een rechte lijn vormt, zie grafiek 6.2.

f r ( x ) v o o r d a t a u i t 2 0 0 7

- 1 0 , 0 0 0 0 0 0

- 8 , 0 0 0 0 0 0

- 6 , 0 0 0 0 0 0

- 4 , 0 0 0 0 0 0

- 2 , 0 0 0 0 0 0

0 , 0 0 0 0 0 0

2 , 0 0 0 0 0 0

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97

L e e f t i j d

Waard

e

f r ( x )( c = 1 ) f ( x )

G e n e r a t i e 1 9 4 6

G e n e r a t i e 1 9 2 0

Figuur 6.2: De functie fr(x) en de gefitte functie f(x)


In deze grafiek zie je de twee slechtere generaties uit 1946 en 1920, die ook in figuur 5.1 en 5.2duidelijk te zien waren. De roze lijn in de grafiek is de lineaire fit voor fr(x). Wat opvalt isdat vanaf 33 tot en met 70 jaar f(x) iets hoger ligt dan fr(x) en vanaf 70 jaar juist veel lager.De fit is dus twijfelachtig. Aangezien de afgeronde sterftekansen worden berekend met behulpvan deze fit, gaan we kijken wat het effect is op de afgeronde sterftekansen. In figuur 6.3 zijnde ruwe (tot en met 99 jaar) versus de afgeronde sterftekansen te zien (rechts op logaritmischeschaal).

D e s t e r f t e k a n s e n v o o r 2 0 0 7r u w v s a f g e r o n d

0 , 0 00 , 1 00 , 2 00 , 3 00 , 4 00 , 5 00 , 6 00 , 7 00 , 8 00 , 9 01 , 0 0

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

105

109

113

117

121

125

l e e f t i j d

sterft

ekan

s g l a d g e m a a k t e q x

r u w e q x


0 , 0 0 0 0 1 0 0

0 , 0 0 0 1 0 0 0

0 , 0 0 1 0 0 0 0

0 , 0 1 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0 0

1 , 0 0 0 0 0 0 0

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

105

109

113

117

121

125

l e e f t i j d

sterft

ekan

s

g l a d g e m a a k t e q x

r u w e q x

Figuur 6.3: De ruwe sterftekansen vs de afgeronde sterftekansen van mannen in 2007

De afronding blijkt de werkelijkheid niet goed te benaderen. Van 33 tot en met 70 jaar is deafronding hoger dan de werkelijke cijfers en vanaf 85 jaar is de afronding te laag. Bij de fit vanfr(x) was dit ook het geval. Daarom is nu de volgende functie gebruikt bij het afronden van desterftekansen: eA1+A2xc

. Voor de mannen is voor verschillende jaartallen gekeken welke waardevan c de beste fit geeft. Door middel van trial and error bleek, als we kijken naar 1 decimaal,c = 1, 5 het beste te zijn. In hoofdstuk 7 zal nader worden toegelicht waarom c = 1, 5 veel beteris dan bijvoorbeeld c = 1, 7. In figuur 6.4 zijn dezelfde sterftekansen gebruikt als in figuur 6.2en figuur 6.3.

f r ( x ) v o o r d a t a u i t 2 0 0 7

- 9 , 0 0 0 0 0 0- 8 , 0 0 0 0 0 0- 7 , 0 0 0 0 0 0- 6 , 0 0 0 0 0 0- 5 , 0 0 0 0 0 0- 4 , 0 0 0 0 0 0- 3 , 0 0 0 0 0 0- 2 , 0 0 0 0 0 0- 1 , 0 0 0 0 0 00 , 0 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 02 , 0 0 0 0 0 0

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97

L e e f t i j d

Waard

e f r ( x )( c = 1 , 5 ) f ( x )


0 , 0 0 0 0 1 0 0

0 , 0 0 0 1 0 0 0

0 , 0 0 1 0 0 0 0

0 , 0 1 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0 0

1 , 0 0 0 0 0 0 0

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

105

109

113

117

121

125

l e e f t i j d

sterft

ekan

s

g l a d g e m a a k t e q x

r u w e q x

Figuur 6.4: c = 1, 5: Links fr(x) inclusief fit en rechts de ruwe vs de afgeronde sterftekansen

Met deze fit voor fr(x) benaderen nu de afgeronde sterftekansen de werkelijke sterftekanseneen stuk beter.

Voor vrouwen ziet de grafiek van fr(y) eruit als in figuur 6.5. Er zijn drie verschillende fitsgebruikt, namelijk een eerstegraads, een tweedegraads en een derdegraads polynoom.

6.2 Voorspellingen op basis van sterftetrend 57

f r ( y ) v o o r d a t a u i t 2 0 0 7

R 2 = 0 , 9 9 2R 2 = 0 , 9 8 4 7

- 1 0 , 0 0 0 0 0 0

- 8 , 0 0 0 0 0 0

- 6 , 0 0 0 0 0 0

- 4 , 0 0 0 0 0 0

- 2 , 0 0 0 0 0 0

0 , 0 0 0 0 0 0

2 , 0 0 0 0 0 025 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97

L e e f t i j d

Waa

rde

f r ( y )

( d e r d e g r a a d s ) f ( y )

P o l y . ( f r ( y ) )

L i n e a r ( f r ( y ) )R ^ 2 = 0 , 9 9 6 5


0 , 0 0 0 0

0 , 0 0 0 1

0 , 0 0 1 0

0 , 0 1 0 0

0 , 1 0 0 0

1 , 0 0 0 0

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

105

109

113

117

121

125

L e e f t i j d

sterft

ekan

s

g l a d g e m a a k t e q y

r u w e q y

Figuur 6.5: Derdegraads polynoom: Links fr(y) inclusief fit en rechts de ruwe vs afgerondesterftekansen

Zoals te zien komt de lineaire fit niet helemaal overeen, vanwege de ’golvende’ vorm van decurve van fr(y). De keuze om de getransformeerde sterftekansen van vrouwen te fitten met eenderdegraads polynoom zal in hoofdstuk 7 nader worden toegelicht. Het blijkt namelijk dat deafgeronde sterftekansen structureel niet kloppen ten opzichte van de ruwe sterftekansen als weeen van de andere twee functies gebruiken.

6.2 Voorspellingen op basis van sterftetrend

Het eerste model is gebaseerd op de sterftetrend die zich in de loop der jaren heeft voorgedaan.Deze manier van voorspellen komt overeen met het begin van het model van Cairns, Blake enDowd [15]. Zij gebruiken het verloop van deze trends als startpunt van hun model. Echterhet vervolg van het model is erg complex. In deze scriptie zijn we op zoek naar een eenvoudigmodel. Daarom is het model van Cairns et al. alleen als uitgangspunt gebruikt voor dit mo-del. Vervolgens is er door middel van logisch nadenken op een eigen manier mee verder gewerkt.

Zoals beschreven in sectie 6.1 worden per kalenderjaar de getransformeerde sterftekansen vanmannen afgerond met behulp van de functie eA1+A2x1,5

. De getransformeerde sterftekansenvan vrouwen worden afgerond met behulp van de functie ea1+a2y+a3y2+a4y3

. Aangezien voormannen en vrouwen twee verschillende functies worden gebruikt, zullen we in sectie 6.2.1 hetmodel voor mannen bespreken en in sectie 6.2.2 het model voor vrouwen. In de volgendehoofdstukken zullen we als naam voor deze prognose op basis van sterftetrend ’Voorspelling1’gebruiken.

6.2.1 Model voor mannen

Voor mannen ronden we een transformatie van de ruwe sterftekansen af met de functie eA1+A2x1,5

voor de jaren 1950 tot en met 2007. Hierdoor hebben we nu ook de verschillende waarden vanA1 en van A2 voor 1950 tot en met 2007. Deze A1 en A2 gaan we nu gebruiken om de A1 ende A2 voor de toekomstige jaren, 2008 tot en met 2050, te voorspellen. Aan de hand van dieA1 en A2 kunnen dan de sterftekansen per kalenderjaar worden bepaald voor leeftijd x doormiddel van

qx =eA1+A2x1,5

1 + eA1+A2x1,5


De grafieken van A1 en A2 voor mannen zijn te zien in figuur 6.6. Er geldt dat A1 vanaf 1950blijft dalen terwijl A2 juist stijgt.

F i t d o o r r u w e A 1 m a n

- 9 , 5 0

- 9 , 0 0

- 8 , 5 0

- 8 , 0 0

- 7 , 5 0

- 7 , 0 0

1950

1954

1958

1962

1966

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

J a a r

Waa

rde r u w A 1

k w a d r a t i s c h ef i t A 1

y = - 0 , 0 0 0 2 x ^ 2 - 0 , 0 0 1 1 x - 8 , 2 4 1R ^ 2 = 0 , 9 5 2

F i t d o o r r u w e A 2 m a n

0 , 0 0 7 80 , 0 0 8 00 , 0 0 8 20 , 0 0 8 40 , 0 0 8 60 , 0 0 8 80 , 0 0 9 00 , 0 0 9 20 , 0 0 9 40 , 0 0 9 6

1950

1954

1958

1962

1966

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

J a a r

Waa

rde r u w A 2

l i n e a i r e f i t A 2y = 1 E - 0 5 x + 0 , 0 0 8 6R ^ 2 = 0 , 8 2 7 3

Figuur 6.6: De A1 en A2 voor de man van 1950 t/m 2007

In de grafieken uit figuur 6.6 is de rode lijn de fit voor respectievelijk A1 en A2. Voor beidekunnen we de hele dataset gebruiken. Op basis van deze dataset kunnen we A1 het beste kwa-dratisch fitten vanwege de duidelijk zichtbare boog in de data. Kwadratisch lijkt een goede fit,want R2 = 0, 95. Vanaf 2003 is een sterke daling van A1 te zien. Voor A2 is een lineaire fithet beste, omdat de waarden van A2 vrijwel lineair oplopen. Bij 1956, 1970 en 1992 zijn weldrie duidelijke veranderingen van trend te zien. Stel we zouden zowel A1 als A2 lineair fitten,dan blijkt dat de sterftekansen voor 2008 tot en met 2050 steeds groter worden in plaats vankleiner. Dit is niet realistisch, vandaar dat een kwadratische fit voor A1 de beste optie is.

Nu we de waarden hebben van A1 en A2 voor 2008 tot en met 2050, kunnen we de sterftekansenvoor 2008 tot en met 2050 berekenen. Deze sterftekansen nemen per jaar flink af bij de man,zie figuur 6.7.

V o o r s p e l l i n g 1 2 0 0 8 - 2 0 5 0 m a n n e n

0 , 0 0 0 0 0 0 00 , 1 0 0 0 0 0 0

0 , 2 0 0 0 0 0 00 , 3 0 0 0 0 0 00 , 4 0 0 0 0 0 0

0 , 5 0 0 0 0 0 00 , 6 0 0 0 0 0 00 , 7 0 0 0 0 0 00 , 8 0 0 0 0 0 0

0 , 9 0 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 0 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

105

110

115

120

125

L e e f t i j d

Sterfte

kans

2 0 0 8 2 0 0 9 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 1 2 2 0 1 3 2 0 1 4 2 0 1 5 2 0 1 6 2 0 1 7 2 0 1 8 2 0 1 92 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 2 2 0 2 3 2 0 2 4 2 0 2 5 2 0 2 6 2 0 2 7 2 0 2 8 2 0 2 9 2 0 3 0 2 0 3 12 0 3 2 2 0 3 3 2 0 3 4 2 0 3 5 2 0 3 6 2 0 3 7 2 0 3 8 2 0 3 9 2 0 4 0 2 0 4 1 2 0 4 2 2 0 4 32 0 4 4 2 0 4 5 2 0 4 6 2 0 4 7 2 0 4 8 2 0 4 9 2 0 5 0

Figuur 6.7: De voorspelling 2008-2050 voor mannen

6.2 Voorspellingen op basis van sterftetrend 59

De vraag is nu, is deze daling in sterftekansen reeel? Zoals al besproken in hoofdstuk 4.2 zijner de mening van de gerontologische school (veroudering als een natuurlijk proces dat maarin bescheiden mate kan worden beınvloed) en de geriatrische school (de gunstige trend in delevensverwachting uit de afgelopen jaren zal in de komende decennia aanhouden). Het CBSmaakt iedere twee jaar een prognose op basis van doodsoorzaken. Na elke twee jaar blijkt weerdat de sterftekansen te hoog ingeschat zijn. De dalende trend wordt bij iedere prognose tochweer afgevlakt, net zoals bij de prognose van het AG. De voorspellingen blijken dus keer opkeer weer te laag ingeschat te worden, waardoor bij herziening van de prognosetafels blijkt datde mensen toch weer langer zijn blijven leven dan men dacht. Hierdoor moet de TV van eenpensioenfonds ook weer naar boven worden bijgesteld. De sterke daling in sterftekansen inVoorspelling1 kan dus best reeel zijn.

6.2.2 Model voor vrouwen

Voor vrouwen ronden we een transformatie van de ruwe sterftekansen af met behulp van defunctie ea1+a2y+a3y2+a4y3

voor de jaren 1950 tot en met 2007. Hierdoor hebben we dus ook deverschillende waarden van a1 tot en met a4 voor 1950 tot en met 2007. Deze waarden gaanwe nu gebruiken om de a1, a2, a3 en a4 voor de toekomstige jaren, 2008 tot en met 2050, tevoorspellen. Aan de hand van die a1 tot en met a4 kunnen dan de sterftekansen per kalenderjaarworden bepaald voor leeftijd y door middel van

qy =ea1+a2y+a3y2+a4y3

1 + ea1+a2y+a3y2+a4y3

De grafieken van a1, a2, a3 en a4 voor vrouwen zijn te zien in figuur 6.8. Er geldt dat a1 en a3

vanaf 1950 blijft dalen terwijl a2 en a4 juist stijgen.

F i t d o o r r u w e a 1 v r o u w

- 1 5 , 0 0- 1 4 , 0 0- 1 3 , 0 0- 1 2 , 0 0- 1 1 , 0 0- 1 0 , 0 0- 9 , 0 0- 8 , 0 0- 7 , 0 0- 6 , 0 0

1950

1954

1958

1962

1966

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

J a a r

Waard

e r u w a 1

l i n e a i r e f i t a 1

y = - 0 , 0 8 4 1 x - 7 , 9 7 4R ^ 2 = 0 , 9 1 2 1


- 0 , 0 5 0 00 , 0 0 0 00 , 0 5 0 00 , 1 0 0 00 , 1 5 0 00 , 2 0 0 00 , 2 5 0 00 , 3 0 0 0

1950

1954

1958

1962

1966

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

J a a r

Waa

rde

r u w a 2

l i n e a i r e f i t a 2y = 0 , 0 0 4 x - 0 , 0 0 3 8R ^ 2 = 0 , 9 0 1 2


- 0 , 0 0 4 0- 0 , 0 0 3 0

- 0 , 0 0 2 0- 0 , 0 0 1 0

0 , 0 0 0 00 , 0 0 1 0

0 , 0 0 2 0

1950

1954

1958

1962

1966

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

J a a r

Waard

e r u w a 3


y = - 7 E - 0 5 x + 0 , 0 0 1 2R ^ 2 = 0 , 9 0 5 3


- 0 , 0 0 0 0 1 0- 0 , 0 0 0 0 0 50 , 0 0 0 0 0 00 , 0 0 0 0 0 50 , 0 0 0 0 1 00 , 0 0 0 0 1 50 , 0 0 0 0 2 00 , 0 0 0 0 2 5

1950

1954

1958

1962

1966

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

J a a r

Waard

e

r u w a 4


y = 4 E - 0 7 x - 3 E - 0 6R ^ 2 = 0 , 8 9 8 8

Figuur 6.8: De a1 tot en met a4 voor de vrouw van 1950 t/m 2007


In figuur 6.8 is te zien dat voor alle a’s de trend lineair is. Vanaf 1982 is er wel een kleineverandering te zien qua trend. Toch lijkt er weinig reden om data weg te laten. Voor alle a’sgebruiken we dus alle data en fitten we een lineaire lijn.

Nu we de waarden van a1 tot en met a4 voor 2008 tot en met 2050 hebben bepaald, kunnenwe de sterftekansen voor 2008 tot en met 2050 berekenen. Deze sterftekansen nemen per jaarveel minder af dan bij de mannen, zie figuur 6.9. Dit is op basis van de analyse uit hoofdstuk 5zeer reeel, aangezien de sterke daling bij vrouwen de afgelopen jaren een beetje is afgenomen,terwijl die daling bij mannen juist flink is toegenomen.

V o o r s p e l l i n g 1 2 0 0 8 - 2 0 5 0 v r o u w e n

0 , 0 0 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0 00 , 2 0 0 0 0 0 0

0 , 3 0 0 0 0 0 0

0 , 4 0 0 0 0 0 00 , 5 0 0 0 0 0 0

0 , 6 0 0 0 0 0 0

0 , 7 0 0 0 0 0 0

0 , 8 0 0 0 0 0 00 , 9 0 0 0 0 0 0

1 , 0 0 0 0 0 0 0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

105

110

115

120

125

L e e f t i j d

Sterfte

kans

2 0 0 8 2 0 0 9 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 1 2 2 0 1 3 2 0 1 4 2 0 1 5 2 0 1 6 2 0 1 7 2 0 1 8 2 0 1 92 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 2 2 0 2 3 2 0 2 4 2 0 2 5 2 0 2 6 2 0 2 7 2 0 2 8 2 0 2 9 2 0 3 0 2 0 3 12 0 3 2 2 0 3 3 2 0 3 4 2 0 3 5 2 0 3 6 2 0 3 7 2 0 3 8 2 0 3 9 2 0 4 0 2 0 4 1 2 0 4 2 2 0 4 32 0 4 4 2 0 4 5 2 0 4 6 2 0 4 7 2 0 4 8 2 0 4 9 2 0 5 0

Figuur 6.9: De voorspelling 2008-2050 voor vrouwen

6.3 Voorspellingen op basis van generaties

Het tweede model is gebaseerd op het sterftepatroon per generatie. In het hoofdstuk over deanalyse van sterftekansen kwamen er twee duidelijk generaties naar voren. Dit wekt meteende vraag of het niet beter is de sterftekansen voor generaties te voorspellen in plaats vanper kalenderjaar. Daarnaast is het voor de bepaling van de TV van een pensioenfonds nodigom te weten wat de gemiddelde resterende levensverwachting is van alle personen die in eenkalenderjaar 65 worden en dus allemaal in hetzelfde jaar zijn geboren. Deze methode heeftechter als nadeel dat de levensverwachting van deze personen pas over 35 jaar uitgerekendkan worden omdat dan pas bijna het hele cohort is uitgestorven. Dit tekort aan data bleekproblemen te geven bij het voorspellen van de sterftekansen. Daarom is deze methode in hetvervolg van deze scriptie niet meer gebruikt. Aangezien het wel een goede methode kan zijnvoor verder onderzoek, zal het model kort beschreven worden.

6.3 Voorspellingen op basis van generaties 61

6.3.1 Het model

In 2007 is de generatie van 1882 helemaal uitgestorven als we aannemen dat mensen niet ouderdan 125 jaar worden. Daarom kijken we naar de generaties geboren in 1882 tot en met 2007.De sterftetafel met de afgeronde sterftekansen moet dan schuin worden afgelezen. In figuur6.10 is een voorbeeld te zien voor de generatie van 1950. We nemen dan de 0-jarige sterftekansin 1950, de 1-jarige sterftekans in 1951, etc, tot en met de 57-jarige sterftekans in 2007.

Figuur 6.10: Uit de afgeronde sterftetafel de sterftekansen per generatie uitlezen

De data die voorhanden is, zijn de sterftekansen van 1950 tot en met 2007. Voor de generatieuit 1882 hebben we dan de sterftekans van een 68-jarige in 1950 tot en met de sterftekans vaneen 125-jarige in 2007. Voor de generatie uit 1883 hebben we de sterftekans van een 67-jarigein 1950 tot en met de sterftekans van een 124-jarige in 2007, etc. Voor de generaties van 1882tot en met 1950 zijn er dus per generatie voor 58 leeftijden de sterftekansen voorhanden. Voorde generaties van 1951 tot en met 2007 gaat dit op dezelfde manier, alleen wordt per generatiehet aantal leeftijden waarvoor de sterftekansen voorhanden zijn steeds een minder. Voor degeneratie 2007 is er alleen nog maar de sterftekans van een 0-jarige bekend. Voor alle generatieshebben we nu dus maar een deel van de sterftekansen, terwijl we graag voor alle leeftijden desterftekansen willen weten, of in ieder geval vanaf 20 jaar. Daarom gaan we met behulp van hetalgoritme uit sectie 6.1 per generatie een functie fitten door de beschikbare data. Voor deze fitgebruiken we de data vanaf 25 jaar of indien de beschikbare data pas na 25 jaar begint dan dedata vanaf de leeftijd dat de data beschikbaar is. De sterftekans van bijvoorbeeld een 24-jarigeman zouden we dan als volgt kunnen berekenen:

qθ=24 =eA1+A2∗(−1)c

1 + eA1+A2∗(−1)c

Om geen complexe sterftekans te krijgen, moeten we dus c = 1 gebruiken. Voor de generatiesvanaf 1974 zijn er te weinig sterftekansen beschikbaar om een goede fit te kunnen maken. Voor1974 geldt bijvoorbeeld dat we een fit moeten maken op basis van de sterftekansen vanaf 25jaar tot en met 33 jaar, want in 2007 hebben de mensen uit generatie 1974 de leeftijd 33. Ditis erg weinig data om een goede fit op te kunnen baseren, aangezien er een verschillend verloopvan de sterftekansen voor 30 jaar en na 30 jaar plaatsvindt (zie figuur 6.1).


In figuur 6.11 zijn voor een paar mannelijke generaties de sterftekansen uitgezet tegen de leeftijd.

S t e r f t e k a n s e n p e r g e n e r a t i e

0 , 0 0 0 0 0 0 00 , 1 0 0 0 0 0 00 , 2 0 0 0 0 0 00 , 3 0 0 0 0 0 00 , 4 0 0 0 0 0 00 , 5 0 0 0 0 0 00 , 6 0 0 0 0 0 00 , 7 0 0 0 0 0 00 , 8 0 0 0 0 0 00 , 9 0 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 0 0

1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105

113

121

L e e f i t j d

Sterfte

kans

1 8 8 21 9 0 21 9 2 21 9 4 21 9 6 21 9 7 2

Figuur 6.11: De sterftekansen voor een paar generaties

Je ziet dat voor de generaties van 1962 en 1972 de sterftekansen veel te laag liggen. Een 125-jarige heeft daar namelijk kleiner of gelijk aan 50% kans om te overlijden. De sterftekansen zijndus erg onbetrouwbaar op deze manier.

Wat nu nog resteert is de omzetting van sterftekansen per generatie naar sterftekansen perkalenderjaar. We hebben nu namelijk de sterftekansen van een 0-jarige tot en met een 125-jarige van de generaties 1882 tot en met 1974. Wat we willen is een prognosetafel, dat wilzeggen de sterftekansen per kalenderjaar van 2007 tot en met 2050. De 60-jarige sterftekans uitgeneratie 1960 wordt nu dus de 60-jarige sterftekans in het kalenderjaar 2020 en de 61-jarigesterftekans uit generatie 1960 wordt nu de 61-jarige sterftekans in het kalenderjaar 2021, etc.Omdat we vanaf 1974 geen fit hebben gemaakt, zijn de sterftekansen in 2008 pas vanaf 35 jaarbeschikbaar, in 2009 pas vanaf 36 jaar, etc.

6.4 Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we twee modellen gezien om sterftekansen te voorspellen. Het model opbasis van generaties zal in het vervolg van deze scriptie niet meer aan bod komen. Het tekort aandata bleek problemen te geven bij het voorspellen van de sterftekansen. Het is wel een aanradervoor verder onderzoek, omdat we in de figuren 5.1 gezien hebben dat bepaalde generaties beter(of slechter) zijn dan andere. Het model op basis van sterftetrends, Voorspelling1 genaamd, iseen eenvoudig en snel uit te voeren prognosemodel. Maar hoe geloofwaardig is dit model? Inhet volgende hoofdstuk zal daarom een aantal controles worden uitgevoerd om te kijken hoeplausibel dit model is.

Hoofdstuk 7

Plausibiliteit van het eigen ontwikkeldeprognosemodel

In het vorige hoofdstuk is het zelf ontwikkelde afrondingsalgoritme en het zelf ontwikkeldemodel op basis van sterftetrends uitgelegd. In dit hoofdstuk wordt gecontroleerd of deze afron-dingsfuncties robuust genoeg zijn, maar ook of deze functies de ruwe data goed weerspiegelen.Vervolgens wordt Voorspelling1 gecontroleerd, door het model toe te passen op het verleden.We gebruiken dus bijvoorbeeld data tot en met 2000 en voorspellen daarmee de sterftekansenvoor 2001 tot en met 2007.

7.1 Controle van de afronding

Zoals we hebben gezien in sectie 6.2, wordt er voor mannen een andere afrondingsfunctie ge-bruikt dan voor vrouwen. De keuze voor deze afrondingsfunctie wordt in dit hoofdstuk nadertoegelicht. De controle is opgesplitst in een controle voor mannen en een controle voor vrouwen.

7.1.1 Controle voor mannen

Een transformatie van de ruwe sterftekansen wordt bij mannen afgerond met de functie eA1+A2xc,

met c = 1, 5. Maar hoe robuust is deze functie eigenlijk? Zoals is beschreven in sectie 5.2 is ereen simulatie geschreven in Visual Basic om te kijken hoe groot de spreiding in sterftekansenkan zijn. Om te kijken hoe deze functie reageert op de spreiding van de sterftekansen, gaan wede ruwe gesimuleerde sterftekansen afronden met behulp van de methode die beschreven is insectie 6.1. We gebruiken dus voor alle 200 runs de functie eA1+A2xc

met c = 1, 5. De afgerondesterftekansen zijn geplot in grafiek 7.1.

2 0 0 r u n s j a a r 2 0 0 0 g l a d g e m a a k tm a n n e n v a n 2 5 t / m 1 2 5 j a a r

0 , 0 0 0 0 0 00 , 1 0 0 0 0 00 , 2 0 0 0 0 00 , 3 0 0 0 0 00 , 4 0 0 0 0 00 , 5 0 0 0 0 00 , 6 0 0 0 0 00 , 7 0 0 0 0 00 , 8 0 0 0 0 00 , 9 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 0

25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103

109

115

121

L e e f t i j d

Sterfte

kans

2 0 0 r u n s j a a r 2 0 0 0 g l a d g e m a a k tm a n n e n v a n 8 0 t / m 9 8 j a a r

0 , 0 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0

0 , 2 0 0 0 0 0

0 , 3 0 0 0 0 0

0 , 4 0 0 0 0 0

0 , 5 0 0 0 0 0

0 , 6 0 0 0 0 0

0 , 7 0 0 0 0 0

8 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8L e e f t i j d

Sterf

tekan

s

Figuur 7.1: De 200 afgeronde gesimuleerde sterftekansen van mannen in het jaar 2000

64 Plausibiliteit van het eigen ontwikkelde prognosemodel

In de rechter grafiek is te zien dat vanaf 80 jaar de afgeronde functies steeds iets verder uitelkaar gaan lopen. Dit komt door de grotere spreiding van de sterftekansen op hoge leeftijden,zoals ook in de rechter grafiek van figuur 5.7 te zien was. De e-macht reageert bij mannen dusmatig op de grote spreiding in ruwe data, wat aangeeft dat de stochastiek van beperkte invloedis.

Een manier om het effect te onderzoeken van het uiteenlopen van de lijnen, is door te kijken naarhet gemiddeld aantal jaren nog te leven als iemand nu x jaar oud is. In sectie 3.5 is de maniervan berekenen van ’het gemiddeld aantal jaren nog te leven’ uitgelegd. Voor respectievelijkx = 30, 55, 65 en 85 is voor alle 200 simulaties het gemiddeld aantal nog te leven jaren voor demannen geplot. Dit is te zien in figuur 7.2.

Figuur 7.2: Het gesimuleerde gemiddeld aantal jaren nog te leven (man op leeftijd 30, 55, 65en 85)

Met de sterftekansen van het jaar 2000 (dus zonder sterfteverbetering) wordt een 30-jarige mangemiddeld 77,4 jaar oud, een 55-jarige man gemiddeld 78,8 jaar oud, een 65-jarige man gemid-deld 80,7 jaar oud en een 85-jarige man gemiddeld 89,3 jaar oud. De standaard deviatie, diede mate van spreiding aangeeft, is erg klein. De invloed van de uiteenlopende lijnen in grafiek7.1 is dus niet groot.

Nu we weten dat de e-macht robuust genoeg is, willen we kunnen beoordelen of de afgerondeen voorspelde sterftekansen logisch zijn. Laten we kijken naar figuur 7.3. In de linker drie

7.1 Controle van de afronding 65

grafieken is voor de afronding en voorspelling eA1+A2xcmet c = 1, 5 gebruikt en in de rechter

grafieken eA1+A2xcmet c = 1, 7.

0 , 0 0 0 00 , 0 0 0 20 , 0 0 0 40 , 0 0 0 60 , 0 0 0 80 , 0 0 1 00 , 0 0 1 20 , 0 0 1 40 , 0 0 1 60 , 0 0 1 8

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046

r u w e 3 0 j a r i g e

a f g e r o n d 3 0j a r i g e

V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0

0 , 0 0 0 00 , 0 0 1 00 , 0 0 2 00 , 0 0 3 00 , 0 0 4 00 , 0 0 5 00 , 0 0 6 00 , 0 0 7 00 , 0 0 8 0

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046



V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0

0 , 0 0 0 0

0 , 0 1 0 0

0 , 0 2 0 0

0 , 0 3 0 0

0 , 0 4 0 0

0 , 0 5 0 0

0 , 0 6 0 0

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046



V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0

0 , 0 0 0 00 , 0 0 0 20 , 0 0 0 40 , 0 0 0 60 , 0 0 0 80 , 0 0 1 00 , 0 0 1 20 , 0 0 1 40 , 0 0 1 60 , 0 0 1 8

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046



V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0

0 , 0 0 0 00 , 0 0 1 00 , 0 0 2 00 , 0 0 3 00 , 0 0 4 00 , 0 0 5 00 , 0 0 6 00 , 0 0 7 00 , 0 0 8 0

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046



V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0

0 , 0 0 0 0

0 , 0 1 0 0

0 , 0 2 0 0

0 , 0 3 0 0

0 , 0 4 0 0

0 , 0 5 0 0

0 , 0 6 0 0

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046



V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0

Figuur 7.3: De afgeronde sterftekansen van de man verlengd met de AG prognose en voorspell-ling1; links met c = 1, 5 en rechts met c = 1, 7

In figuur 7.3 zijn de ruwe en de afgeronde sterftekansen van een x-jarige man in 1950 tot enmet 2007 geplot, voor x = 30, 50 en 70. Voor die x-jarige man zijn de sterftekansen van hetAG en van Voorspelling1 van 2008 tot en met 2050 in dezelfde grafiek geplot. Wat meteenopvalt is het verschil in de afgeronde data als we c = 1, 5 gebruiken of c = 1, 7. In de rechtergrafieken zien we een grote fluctuatie in de afrondingen bij de 30- en 70-jarigen. Daarnaastweerspiegelt de afronding de ruwe cijfers helemaal niet. In de linker grafieken is de afrondingveel beter. Alleen bij de 70-jarigen zijn de afgeronde sterftekansen tussen 1962 en 1986 enigszinsaan de lage kant. Voor c = 1, 3 zijn er ook grote afwijkingen tussen de afgeronde en de ruwedata. Door middel van ’trial and error’ is gebleken dat c = 1, 5 de beste afronding geeft (alswe op 1 decimaal nauwkeurig kijken). Wat verder nog opvalt is dat de voorspelling van hetAG voor de leeftijden 30 en 50 een stuk hoger ligt dan Voorspelling1. Het AG zwakt de lineai-re daling die vanaf ongeveer 1970 is opgetreden flink af. Bij Voorspelling1 wordt dit niet gedaan.

In tabel 5.4 hebben we gezien dat vanaf 1970 de mannen een grotere stijging in levensverwach-ting hebben meegemaakt dan in de jaren ervoor. Dit verschijnsel is ook te zien in figuur 7.3.Vooral bij de 50- en 70-jarigen is er rond 1972 een omslag van een stijgende trend in een dalendetrend.

7.1.2 Controle voor vrouwen

Een transformatie van de ruwe sterftekansen wordt bij vrouwen afgerond met de functieea1+a2y+a3y2+a4y3

. Maar hoe robuust is deze functie eigenlijk? De 200 runs met ruwe gesimu-leerde sterftekansen gaan we afronden met behulp van de methode die beschreven is in sectie6.1. In figuur 7.4 kijken we hoe deze functie reageert op de spreiding van de sterftekansen.


2 0 0 r u n s j a a r 2 0 0 0 g l a d g e m a a k tv r o u w e n v a n 2 5 t / m 1 2 5 j a a r

0 , 0 0 0 0 0 00 , 1 0 0 0 0 00 , 2 0 0 0 0 00 , 3 0 0 0 0 00 , 4 0 0 0 0 00 , 5 0 0 0 0 00 , 6 0 0 0 0 00 , 7 0 0 0 0 00 , 8 0 0 0 0 00 , 9 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 0

25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103

109

115

121

L e e f t i j d

Sterfte

kans

2 0 0 r u n s j a a r 2 0 0 0 g l a d g e m a a k tv r o u w e n v a n 8 0 t / m 9 8 j a a r

0 , 0 0 0 0 0 0

0 , 1 0 0 0 0 0

0 , 2 0 0 0 0 0

0 , 3 0 0 0 0 0

0 , 4 0 0 0 0 0

0 , 5 0 0 0 0 0

0 , 6 0 0 0 0 0

0 , 7 0 0 0 0 0

8 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 9 0 9 1 9 2 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8L e e f t i j d

Sterf

tekan

s

Figuur 7.4: De 200 afgeronde gesimuleerde sterftekansen van vrouwen in het jaar 2000

Wat we zien is dat de afgeronde functies vanaf 80 jaar een klein beetje uit elkaar lopen. Bij devrouwen is dit minder dan bij de mannen. Dit komt doordat in de ruwe sterftekansen van devrouwen minder spreiding voorkomt vanwege de grotere populatie vrouwen. Ook bij vrouwenreageert de e-macht dus matig op de grote spreiding in ruwe data.

Om het effect te onderzoeken van het uiteenlopen van de lijnen, is ook voor vrouwen gekekennaar het gemiddeld aantal jaren nog te leven als iemand nu y jaar oud is. Voor vrouwen geldtdat met de sterftekansen van het jaar 2000 een 30-jarige vrouw gemiddeld 81,5 jaar oud wordt,een 55-jarige vrouw gemiddeld 82,6 jaar oud, een 65-jarige vrouw gemiddeld 83,9 jaar oud eneen 85-jarige vrouw gemiddeld 90,8 jaar oud. De standaard deviatie is voor alle 4 de leeftijdenongeveer 0, 02 kleiner dan bij mannen. Deze kleinere spreiding was ook te zien in de grafiekenuit figuur 5.8. Dus ook voor de vrouwen geldt dat de invloed van de uiteenlopende lijnen nietzo groot is.

Nu we gezien hebben dat ook deze e-macht robuust genoeg is, willen we controleren wat debeste afondingsfunctie is. Voor vrouwen zijn in figuur 7.5 de ruwe en de afgeronde sterftekansenvan een y-jarige in 1950 tot en met 2007 geplot, voor y = 30, 50 en 70. Voor die y-jarige vrouwzijn de sterftekansen van het AG en van Voorspelling1 van 2008 tot en met 2050 in dezelfdegrafiek geplot.

0 , 0 0 0 0

0 , 0 0 0 2

0 , 0 0 0 4

0 , 0 0 0 6

0 , 0 0 0 8

0 , 0 0 1 0

0 , 0 0 1 2

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046



V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0

0 , 0 0 0 0

0 , 0 0 1 0

0 , 0 0 2 0

0 , 0 0 3 0

0 , 0 0 4 0

0 , 0 0 5 0

0 , 0 0 6 0

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046



V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0

0 , 0 0 0 00 , 0 0 5 00 , 0 1 0 00 , 0 1 5 00 , 0 2 0 00 , 0 2 5 00 , 0 3 0 00 , 0 3 5 00 , 0 4 0 0

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046



V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0

0 , 0 0 0 0

0 , 0 0 0 2

0 , 0 0 0 4

0 , 0 0 0 6

0 , 0 0 0 8

0 , 0 0 1 0

0 , 0 0 1 2

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046


V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0


0 , 0 0 0 0

0 , 0 0 1 0

0 , 0 0 2 0

0 , 0 0 3 0

0 , 0 0 4 0

0 , 0 0 5 0

0 , 0 0 6 0

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046


V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0


0 , 0 0 0 00 , 0 0 5 00 , 0 1 0 00 , 0 1 5 00 , 0 2 0 00 , 0 2 5 00 , 0 3 0 00 , 0 3 5 00 , 0 4 0 0

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

2010

2016

2022

2028

2034

2040

2046


V o o r s p 1 0 8 - 5 0

A G 0 8 - 5 0


Figuur 7.5: De afgeronde sterftekansen van de vrouw verlengd met de AG prognose en voor-spellling1. Links: derdegraads polynoom, rechts: c = 1, 5

7.2 Controle model op basis van verleden 67

In de linker drie grafieken in figuur 7.5 is voor de afronding en voorspelling ea1+a2y+a3y2+a4y3

gebruikt en in de rechter grafieken eA1+A2ycmet c = 1, 5. Wat meteen opvalt in figuur 7.5 is

wederom het verschil in de afgeronde data als we ea1+a2y+a3y2+a4y3of ea1+a2yc

met c = 1, 5. In derechter grafieken weerspiegelt de afronding de ruwe cijfers niet. Bovendien is bij de 70-jarigende fluctuatie van de afronding veel groter dan de fluctuatie bij de ruwe cijfers, terwijl het af-ronden er net voor moet zorgen dat de grote fluctuaties worden afgevlakt. Daarnaast is deafronding voor de 30- en 70-jarigen structureel te hoog en voor een 50-jarige juist veel te laag.Dit verschijnsel doet zich ook voor als we een kwadratisch polynoom gebruiken. Bovendienhebben we in figuur 6.5 uit hoofdstuk 6 gezien dat zowel een lineaire fit als een kwadratischefit geen goede benadering is voor de getransformeerde sterftekansen (fr(y)). Een derdegraadspolynoom geeft dus de beste afronding, wat ook te zien is in de linker grafieken. Wat verdernog opvalt is dat bij de linker grafieken de voorspelling van het AG voor de 30-jarigen dezelfdevorm heeft als Voorspelling1, alleen ligt de curve iets hoger. Bij de 50-jarigen valt op dat devoorspelling van het AG een aparte vorm heeft. Deze vorm van voorspelling is niet wat je zouverwachten op basis van de sterftekansen. Bij de 70-jarigen is de voorspelling van het AG eenstuk hoger dan Voorspelling1. Het AG zwakt de daling die al vanaf 1950 plaatsvindt flink af.Bij Voorspelling1 wordt dit niet gedaan.

In tabel 5.4 hebben we gezien dat de levensverwachting van de vrouwen al vanaf 1950 stijgt.De mate van stijging is wel in de loop der jaren iets afgezwakt. Dit verschijnsel is ook terug tezien in de linker grafieken van figuur 7.5.

7.2 Controle model op basis van verleden

We hebben in hoofdstuk 4 gezien dat de voorspellingen op basis van de bestaande modellenvan het AG, CBS en Lee-Carter, alle drie afwijkingen vertonen ten opzichte van de werkelijkesterftecijfers. De vraag is nu of Voorspelling1 dit probleem ook heeft. Daarom zullen we voort = 1990, 1995, 2000 en 2006 de sterftekansen vanaf jaar t + 1 tot en met 2007 voorspellen metbehulp van Voorspelling1. Hierbij gebruiken we de sterftekansen vanaf 1950 tot en met jaar t.

In figuur 7.6 zijn voor de mannen de afwijkingspercentages te zien van de sterftekansen uitVoorspelling1 ten opzichte van de afgeronde sterftekansen. Als het percentage negatief is, danis de sterftekans van Voorspelling1 lager dan de afgeronde sterftekans en als het percentagepositief is dan is de voorspelling hoger dan de afronding.

In de grafieken uit figuur 7.6 is te zien dat tussen de lijn 2005 en de lijn 2006 steeds een grotesprong zit. Dit geeft aan dat in 2006 en 2007 de sterftekansen voor mannen dus veel sterkergedaald zijn dan in de jaren ervoor. Als we naar de grafiek linksboven kijken, dan zien wedat de de sterftekansen van Voorspelling1 eerst lager zijn dan de afgeronde sterftekansen endaarna hoger. Voorspelling1 op basis van data tot en met 1990 geeft voor de lage leeftijdendus een te lage sterftekans ten opzichte van de afronding. Dit betekent dat de daling van desterftekansen voor mannen tot en met 1990 sterker was dan de daling na 1990. Dit hebbenwe ook gezien in de tabel over de toename in levensverwachting in sectie 5.1. In de anderegrafieken is het afwijkingspercentage positief, dus de sterftekansen van Voorspelling1 zijn hogerdan de afgeronde sterftekansen. Dit komt overeen met de gegevens uit tabel 5.4, waarin te zienwas dat de daling vanaf 1990 tot en met 2000 zwakker is dan de daling vanaf 2000. Wat verdernog opvalt is dat de voorspelling voor het eerste jaar na de gebruikte data een steeds groterwordend afwijkingspercentage heeft.


A f w i j k i n g s p e r c e n t a g e v a n v o o r s p e l l i n g 1 t . o . v . a f r o n d i n gd a t a t / m 1 9 9 0

- 1 5 , 0 %

- 1 0 , 0 %

- 5 , 0 %

0 , 0 %

5 , 0 %

1 0 , 0 %

1 5 , 0 %

2 0 , 0 %

2 5 , 0 %

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

105

109

113

117

121

125

L e e f t i j d

Perce

ntage

1 9 9 11 9 9 21 9 9 31 9 9 41 9 9 51 9 9 61 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 02 0 0 12 0 0 22 0 0 32 0 0 42 0 0 52 0 0 62 0 0 7


- 5 , 0 %

0 , 0 %

5 , 0 %

1 0 , 0 %

1 5 , 0 %

2 0 , 0 %

2 5 , 0 %

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

105

109

113

117

121

125

L e e f t i j d

Perce

ntage

1 9 9 61 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 02 0 0 12 0 0 22 0 0 32 0 0 42 0 0 52 0 0 62 0 0 7


- 5 , 0 %

0 , 0 %

5 , 0 %

1 0 , 0 %

1 5 , 0 %

2 0 , 0 %

2 5 , 0 %

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

105

109

113

117

121

125

L e e f t i j d

Perce

ntage

2 0 0 1

2 0 0 2

2 0 0 3

2 0 0 4

2 0 0 5

2 0 0 6

2 0 0 7


0 , 0 %

5 , 0 %

1 0 , 0 %

1 5 , 0 %

2 0 , 0 %

2 5 , 0 %

25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101

105

109

113

117

121

125

L e e f t i j d

Perce

ntage

2 0 0 7

Figuur 7.6: De afwijkingspercentages voor mannen van Voorspelling1 tov de afronding op basisvan verschillende data

Voor 1991 is dit maximaal 2%, voor 1996, 4%, voor 2001 8% en voor 2006 zelfs 16%. Delage afwijking bij 1991 en 1996 wil zeggen dat de data voor 1995 vrij geleidelijk is gedaald.De grote afwijking bij 2006 ten opzichte van 2001 duidt dus op een hele sterke daling van desterftekansen vanaf 2000. Dit hebben we ook gezien in tabel 5.4. De sterker dalende trendin de sterftekansen vanaf 2000 is dus in kleine mate zichtbaar in de sterftekansen. Als eenbepaalde trend langer aanhoudt, dan wordt deze pas goed zichtbaar in de voorspelling. Voorvrouwen zijn de afwijkingspercentages van de sterftekansen uit Voorspelling1 ten opzichte vande afgeronde sterftekansen te zien in figuur 7.7.

A f w i j k i n g s p e r c e n t a g e v a n v o o r s p e l l i n g 1 t o v a f g e r o n d i n gd a t a t / m 1 9 9 0

- 2 0 , 0 0 %

- 1 0 , 0 0 %

0 , 0 0 %

1 0 , 0 0 %

2 0 , 0 0 %

3 0 , 0 0 %

4 0 , 0 0 %

25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100

103

106

109

112

115

118

121

124

L e e f t i j d

Perce

ntage

1 9 9 11 9 9 21 9 9 31 9 9 41 9 9 51 9 9 61 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 02 0 0 12 0 0 22 0 0 32 0 0 42 0 0 52 0 0 62 0 0 7


- 2 0 , 0 0 %

- 1 0 , 0 0 %

0 , 0 0 %

1 0 , 0 0 %

2 0 , 0 0 %

3 0 , 0 0 %

4 0 , 0 0 %

26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101

104

107

110

113

116

119

122

125

L e e f t i j d

Perce

ntage

1 9 9 61 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 02 0 0 12 0 0 22 0 0 32 0 0 42 0 0 52 0 0 62 0 0 7


- 2 0 , 0 0 %

- 1 0 , 0 0 %

0 , 0 0 %

1 0 , 0 0 %

2 0 , 0 0 %

3 0 , 0 0 %

4 0 , 0 0 %

26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101

104

107

110

113

116

119

122

125

L e e f t i j d

Perce

ntage

2 0 0 1

2 0 0 2

2 0 0 3

2 0 0 4

2 0 0 5

2 0 0 6

2 0 0 7


- 2 0 , 0 0 %

- 1 0 , 0 0 %

0 , 0 0 %

1 0 , 0 0 %

2 0 , 0 0 %

3 0 , 0 0 %

4 0 , 0 0 %

26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101

104

107

110

113

116

119

122

125

L e e f t i j d

Perce

ntage

2 0 0 7

Figuur 7.7: De afwijkingspercentages voor vrouwen van Voorspelling1 tov de afronding op basisvan verschillende data

7.3 Verandering in levensverwachting 69

In de grafieken in figuur 7.7 is te zien dat als er meer data wordt meegenomen, de percentagessteeds meer richting nul gaan. Vooral bij de voorspelling op basis van data tot en met 2006liggen de afwijkingspercentages vanaf 55 jaar rond 0%. Een verklaring waarom de afwijkingennegatief zijn en dus de sterftekansen van Voorspelling1 lager zijn dan de sterftekansen van deafronding, is de minder sterke daling vanaf 1990. We hebben in de tabel in sectie 5.1 gezien datvan 1990 tot en met 2000 de levensverwachting vrij weinig is toegenomen ten opzichte van dejaren voor 1990. Hierdoor is in de voorspelling de sterk dalende trend van voor 1990 voortgezet,terwijl deze daling in werkelijkheid niet meer zo sterk bleek te zijn. Vanaf 2000 neemt de dalingvan de sterftekansen weer toe, waardoor de afwijking bij de voorspelling op basis van data toten met 2006 juist rond de 0% ligt.

Deze controle op basis van het verleden wijst dus uit dat de veranderingen in sterftetrendsdie optreden door de jaren heen van grote invloed zijn op de voorspelling. Dit was echterook al duidelijk te zien bij de AG prognose, bij de CBS prognose en bij de voorspellingenop basis van het Lee-Carter model. Bovendien waren deze afwijkingen van te voren ook welte verwachten, omdat Voorspelling1 gebaseerd is op sterftetrends. Aangezien de afgelopen 5jaar de sterftekansen sterker zijn gedaald dan de jaren daarvoor, komt de voorspelling van desterftekansen voor die jaren veel te hoog uit. De dalende trend is dan immers maar gedeeltelijkin het model verwerkt.

7.3 Verandering in levensverwachting

In figuur 7.2 hebben we gezien dat een 65-jarige man op basis van de sterftekansen van 2000nog gemiddeld 15,7 jaar te leven heeft en een 65-jarige vrouw gemiddeld 18,9 jaar. Maar hoeverandert dit gemiddeld aantal nog te leven jaren in de loop der jaren? En door welke leeftijds-groep wordt deze verandering veroorzaakt? Een manier om te zien hoe de levensverwachtingvan een 65-jarige veranderd is aan de hand van de grafieken in figuur 7.8.

K a n s d a t 6 5 - j a r i g e m a n l e e f t i j d x b e r e i k t

0 , 0 00 , 1 00 , 2 00 , 3 00 , 4 00 , 5 00 , 6 00 , 7 00 , 8 00 , 9 01 , 0 0

65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101

104

107

110


Kans

A G 0 8 - 0 8 V o o r s p 1 0 8 - 0 8 V o o r s p 1 2 0 - 2 0 V o o r s p 1 3 0 - 3 0V o o r s p 1 4 0 - 4 0 V o o r s p 1 5 0 - 5 0 A G 0 8 - 5 0 V o o r s p 1 0 8 - 5 0

K a n s d a t 6 5 - j a r i g e v r o u w l e e f t i j d x b e r e i k t

0 , 0 00 , 1 00 , 2 00 , 3 00 , 4 00 , 5 00 , 6 00 , 7 00 , 8 00 , 9 01 , 0 0

65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101

104

107

110


Kans

A G 0 8 - 0 8 V o o r s p 1 0 8 - 0 8 V o o r s p 1 2 0 - 2 0 V o o r s p 1 3 0 - 3 0V o o r s p 1 4 0 - 4 0 V o o r s p 1 5 0 - 5 0 A G 0 8 - 5 0 V o o r s p 1 0 8 - 5 0

Figuur 7.8: De overlevingscurve voor een 65-jarige man en voor een 65-jarige vrouw op basisvan verschillende sterftetafels

Hierin betekent AG 08-08 de sterftekansen uit de AG prognose van 2008, dus de sterftetafelverticaal afgelezen. AG 08-50 betekent de sterftetafel schuin aflezen, dus voor een 25-jarigein 2008 eerst de 25-jarige sterftekans uit 2008 aflezen, dan de 26-jarige sterftekans uit 2009,etc. De prognose van het AG (2008-2050) begint bij de mannen vanaf 80 jaar ten opzichte vande Voorspelling1 prognose (2008-2050) sneller te dalen. Het verschil tussen de twee prognoses


wordt dus steeds groter. Dat wil zeggen, de sterftekansen op hogere leeftijden bij de AG prog-nose zijn groter dan bij Voorspelling1. Bij de vrouwen is het verschil tussen de AG prognose08-50 en Voorspelling1 08-50 voor alle leeftijden behoorlijk groot. Dit verschil is zelfs groterdan bij de mannen. In figuur 6.7 en 6.9 hebben we echter gezien dat bij Voorspelling1 de dalingvan 2008 tot en met 2050 bij mannen veel groter is dan bij vrouwen. Dit betekent dat het AGde daling in sterftekansen van de vrouwen op hoge leeftijden voor de toekomst dus erg heeftafgezwakt.

Om preciezer te kunnen zien welke leeftijdsgroepen de sterfteverbetering veroorzaken, is er eentabel gemaakt voor zowel de mannen als de vrouwen. Deze tabellen zijn te zien in figuur 7.9 enfiguur 7.10. In de tabellen geven de percentages aan hoe groot de invloed van een leeftijdsgroepis op het totaal aantal nog te leven jaren.

Figuur 7.9: De levensverwachting van 65-jarige man op basis van verschillende sterftetafels

Figuur 7.10: De levensverwachting van 65-jarige vrouw op basis van verschillende sterftetafels

Als we Voorspelling1 08-50 nu vergelijken met AG 08-50, dan zien we dat het percentage bij65 tot 75 jaar en bij 75 tot 85 jaar lager is bij Voorspelling1 dan bij het AG. De percentagesbij 85 tot 95 en bij 95 en ouder zijn juist veel groter. In figuur 7.8 wordt het verschil tussenAG 08-50 en Voorsp1 08-50 dus veroorzaakt door de 85-plussers. Als we nu naar voorsp1 10-10tot en met voorsp1 50-50 kijken, dan zien we dat de percentages bij 65 tot 75 jaar steeds lagerworden, terwijl de percentages bij 85 tot 95 jaar en bij 95 jaar en ouder juist steeds groterworden. De invloed van 85-plussers wordt dus, naarmate we verder in de prognose komen,steeds groter. Dit betekent dat de ’winst’ in het aantal jaren nog te leven van een 65-jarigeman wordt veroorzaakt door de steeds kleiner wordende sterftekansen van mensen boven de85 jaar. Bij het AG is dit verschijnsel ook te zien, echter in mindere mate. Bij beide prog-noses is het gemiddeld aantal jaren nog te leven op basis van alleen 2008 lager dan op basisvan de prognose 2008-2050. Dit komt doordat in het laatste geval de sterftetafel schuin wordtdoorlopen, waardoor sterfteverbetering wordt meegenomen in de berekening. Wat verder nogopvalt in deze tabel is dat als we naar de prognoses van 2008-2008 kijken dan zien we dat hetCBS het hoogste gemiddeld aantal nog te leven jaren voor een 65-jarige heeft en Voorspelling1

7.3 Verandering in levensverwachting 71

het kleinste aantal. Voor de prognoses van 2008-2050 heeft het CBS nog steeds het hoogsteaantal nog te leven jaren, maar nu heeft het AG het kleinste aantal jaren. Dit betekent datde daling in sterftekansen van 2008 tot en met 2050 bij Voorspelling1 veel groter is dan bij hetAG. Als we naar de prognoses van 2050-2050, dan zien we Voorspelling1 nu het hoogste aantalnog te leven jaren heeft voor en 65-jarige. De sterftekansen van Voorspelling1 dalen dus ookveel harder dan de sterftekansen van het CBS. Bij de vrouwen is er sprake van hetzelfde patroon.

Zoals we hebben gezien bij sectie 5.3 zijn er landen die het beter doen dan Nederland. Latenwe nu eens kijken naar de levensverwachting van Nederland ten opzichte van Frankrijk. Als wekijken naar de data vanaf 1950, zoals we die ook in Voorspelling1 gebruiken, dan ziet dit eruitals in figuur 7.11.


y = 0 , 0 0 2 x 2 - 0 , 0 8 4 5 x + 1 4 , 5 8 3R 2 = 0 , 9 2 4 7

y = 0 , 0 3 0 7 x + 1 3 , 4 5R 2 = 0 , 4 8 5 9

0 , 0 0

5 , 0 0

1 0 , 0 0

1 5 , 0 0

2 0 , 0 0

2 5 , 0 0

3 0 , 0 0

1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

2005

J a a r t a l

Aantal

jaren

2050


y = 0 , 0 9 7 7 x + 1 4 , 6 9 7R 2 = 0 , 9 5 9 2

0 , 0 0

5 , 0 0

1 0 , 0 0

1 5 , 0 0

2 0 , 0 0

2 5 , 0 0

3 0 , 0 0

1950

1956

1962

1968

1974

1980

1986

1992

1998

2004

J a a r t a l

Aanta

l jaren

2 05 0


Voor 65-jarige vrouwen komt in 2050 het gemiddeld aantal jaren nog te leven uit op 24,5. Voormannen is een lineaire fit wederom niet echt goed. Een kwadratische fit zou echter wel een ergzware aanname zijn. Het gemiddeld aantal nog te leven jaren van een 65-jarige man, zal dusergens ertussenin uitkomen. We zien bij de mannen een omslag van een kleine daling in eenlangzame stijging in 1972. Vanaf 1993 is er een sterkere stijging van de levensverwachting tezien. Daarom maken we nu ook nog een fit op basis van de data vanaf 1993, zie figuur 7.12.


y = 0 , 1 6 2 3 x + 1 4 , 1 7 3R 2 = 0 , 9 4 8 2

0 , 0 02 , 0 04 , 0 06 , 0 08 , 0 0

1 0 , 0 01 2 , 0 01 4 , 0 01 6 , 0 01 8 , 0 02 0 , 0 02 2 , 0 02 4 , 0 0

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

J a a r t a l

Aantal

jaren

2050


y = 0 , 0 8 4 2 x + 1 8 , 7R 2 = 0 , 8 2 2

0 , 0 02 , 0 04 , 0 06 , 0 08 , 0 0

1 0 , 0 01 2 , 0 01 4 , 0 01 6 , 0 01 8 , 0 02 0 , 0 02 2 , 0 02 4 , 0 0

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

J a a r t a l

Aanta

l jaren

2050


Het gemiddeld aantal nog te leven jaren in 2050 van zowel een 65-jarige man als een 65-jarigevrouw zou uitkomen op 23,6 jaar. In de tabellen was te zien dat het gemiddeld aantal jaren nogte leven voor een 65-jarige man in 2050 volgens het AG 20,11 jaar is en volgens Voorspelling1


24,15 jaar. Bij vrouwen is het gemiddeld aantal jaren nog te leven voor een 65-jarige vrouwvolgens het AG 21,81 jaar en volgens Voorspelling1 24,88 jaar. De waarde van de fit uit figuur7.11 voor vrouwen en uit figuur 7.12 voor mannen is dus voor beide bijna gelijk aan de waardevan Voorspelling1. De levensverwachting volgens het AG is veel te laag. Het AG heeft de dalingvan de sterftekansen kennelijk afgezwakt.

In sectie 5.3 hebben we gezien dat het CBS de prognose afzwakt ten opzichte van de lineairetrend die zich voordoet als we elk kalenderjaar kijken naar de hoogste levensverwachting dievoorkomt in de wereld. Maar hoe zit dit bij Voorspelling1? In grafiek 7.13 is voor mannen envrouwen te zien hoe Voorspelling1 de levensverwachting voor een 0-jarige voorspelt ten opzichtevan de lineaire lijn gevormd door het land met de hoogste levensverwachting.

D e l e v e n s v e r w a c h t i n g v a n e e n 0 - j a r i g e v a n a f 2 0 0 8 i s v o o r s p e l l i n g 1 g e b r u i k t

3 5

4 5

5 5

6 5

7 5

8 5

9 5

1 0 5

1 8 8 0 1 8 9 0 1 9 0 0 1 9 1 0 1 9 2 0 1 9 3 0 1 9 4 0 1 9 5 0 1 9 6 0 1 9 7 0 1 9 8 0 1 9 9 0 2 0 0 0 2 0 1 0 2 0 2 0 2 0 3 0 2 0 4 0 2 0 5 0J a a r t a l

Leve

nsve

rwac

hting

M a n n e nl e v e n s v e r w a c h t i n g

B e s t el e v e n s v e r w a c h t i n gu i t h e l e w e r e l d

V o o r s p e l l i n g 1

D e l e v e n s v e r w a c h t i n g v a n e e n 0 - j a r i g e v a n a f 2 0 0 8 i s v o o r s p e l l i n g 1 g e b r u i k t

3 5

4 5

5 5

6 5

7 5

8 5

9 5

1 0 5

1 8 8 0 1 8 9 0 1 9 0 0 1 9 1 0 1 9 2 0 1 9 3 0 1 9 4 0 1 9 5 0 1 9 6 0 1 9 7 0 1 9 8 0 1 9 9 0 2 0 0 0 2 0 1 0 2 0 2 0 2 0 3 0 2 0 4 0 2 0 5 0

J a a r t a l

Leve

nsve

rwac

hting

V r o u w e nl e v e n s v e r w a c h t in g

B e s t el e v e n s v e r w a c h t in g u i t h e l ew e r e l d

V o o r s p e l l i n g 1

Figuur 7.13: De levensverwachting van een 0-jarige links voor mannen en rechts voor vrouwenten opzichte van het land met de hoogste levensverwachting in dat jaar

Er is te zien dat Voorspelling1 bij mannen parallel loopt aan de lineaire lijn. Bij vrouwen looptVoorspelling1 iets van de lineaire lijn af.

7.4 Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat de stochastiek in de sterftekansen van beperkte invloedis op zowel de afronding van de sterftekansen als de gemiddelde levensduur van een 65-jarige.Ook weerspiegelen de afgeronde sterftekansen de ruwe sterftekansen goed als we kijken naareen bepaalde leeftijd in 1950 tot en met 2007. De controle die is uitgevoerd op basis van hetverleden gaf wel afwijkingen, net zoals we gezien hebben bij de bestaand modellen in hoofdstuk4. De verklaring voor de afwijkingen is het feit dat de sterftekansen de afgelopen jaren sterkgedaald zijn, vooral bij mannen. Deze daling wordt dan maar gedeeltelijk meegenomen in hetmodel, waardoor de sterftekansen van Voorspelling1 hoger zijn dan de werkelijke sterftekansen.Verder hebben we de prognoses van het AG en het CBS vergeleken met Voorspelling1. Hierbijhebben we gezien dat voor 2008 Voorspelling1 de laagste levensverwachting verwachtte en voor2050 juist de hoogste. De daling in sterftekansen is dus bij Voorspelling1 veel groter dan bij hetAG en CBS. Voor de prognose 2008-2050 verwacht het CBS de hoogste levensverwachting vooreen 65-jarige en het AG de laagste. In het volgende hoofdstuk gaan we kijken wat de invloedis op de TV als we gebruik maken van deze drie verschillende prognoses.

Hoofdstuk 8

Gevoeligheidsanalyse op de TV

In deze scriptie hebben we tot nu toe bestaande prognosemodellen bekeken, de sterftekansengeanalyseerd en zelf een prognosemodel opgesteld en gecontroleerd. In sectie 7.1 is wel duidelijkte zien dat de sterftekansen van Voorspelling1 lager zijn dan de sterftekansen van het AG. Voorhet berekenen van de TV wordt door Watson Wyatt de prognosetafel van het AG gebruikt.Maar wat betekent dit verschil in sterftekansen voor de TV van een pensioenfonds? Hoeveelvoorziening moeten ze dan meer of minder aanhouden? En wat is de invloed op de TV alswe als uitgangspunt van Voorspelling1 de sterftekansen van 1950 tot en met 2000 gebruikenin plaats van de sterftekansen van 1950 tot en met 2007? In dit hoofdstuk zullen deze vragenbeantwoord worden.

8.1 TV bij gebruik van verschillende prognosemodellen

Voor het berekenen van de TV gebruiken we in deze sectie de sterftekansen van het AG, desterftekansen van het CBS en de sterftekansen uit Voorspelling1. We zullen nu gaan kijkenwat de invloed van deze kansen is op de TV van drie verschillende pensioenfondsen; een jongfonds, een standaard fonds en een oud fonds. Voor de berekening van deze TV nemen we eenrekenrente van 4%. In de figuren 8.1, 8.2 en 8.3 zijn kolom 1 en kolom 4 de TV op basisvan de sterftekansen van het AG. In kolom 2 en 5 is de TV op basis van de sterftekansen vanVoorspelling1 en kolom 3 en 6 is de TV op basis van de sterftekansen van het CBS. In kolom 1,2 en 3 is geen ervaringssterfte toegepast; in kolom 4, 5 en 6 wel. De percentages in kolom 2 en 3is het procentuele verschil in voorziening tussen die kolom en kolom 1 (het AG). De percentagesin kolom 5 en 6 is het procentuele verschil in voorziening tussen die kolom en kolom 4 (het AGmet ervaringssterfte).

8.1.1 Jong pensioenfonds

Het bestand van het jonge pensioenfonds dat gebruikt wordt, heeft een gemiddelde leeftijdvan 35,63 jaar. Hierbij wordt geen rekening gehouden met het gewicht van de voorziening. Infiguur 8.1 zijn de technische voorzieningen te zien voor een jong pensioenfonds gebaseerd opverschillende prognoses.

De TV op basis van Voorspelling1 is 6,54% hoger dan de TV op basis van de AG prognose ende TV op basis van de CBS prognose is 3,62% hoger. Voor een jong fonds moet de TV op basisvan Voorspelling1 dus enkele procenten hoger zijn dan de TV op basis van het CBS. Als weook naar het verschil per leeftijdsgroep tussen Voorspelling1 en het CBS kijken, dan zien we

74 Gevoeligheidsanalyse op de TV

Figuur 8.1: De TV voor een jong pensioenfonds op basis van drie verschillende prognoses

dat tot leeftijdscohort 50-59 de TV volgens Voorspelling1 hoger moet zijn dan volgens het CBSen vanaf leeftijdscohort 60-69 is het juist omgekeerd. Dit wil zeggen dat de sterftekansen vanVoorspelling1 op lagere leeftijden iets lager zijn dan de sterftekansen van het CBS en op hogereleeftijd iets hoger. Omdat een jong fonds bestaat uit meer mensen jonger dan 60 jaar dan ouderdan 60 jaar moet de TV volgens Voorspelling1 hoger zijn dan de TV volgens het CBS. Tenopzichte van het AG zijn zowel de sterftekansen van Voorspelling1 als van het CBS veel lagervoor alle leeftijden. Aangezien Watson Wyatt ervaringssterfte gebruikt, is in kolom 4, 5 en 6de ervaringssterfte wel meegenomen. De TV wordt dan natuurlijk hoger, maar het percentagevan de TV volgens het AG ten opzichte van de TV van Voorspelling1 is iets lager. Het verschilin voorziening met of zonder ervaringssterfte is dik 2%. De bovenstaande conclusies veranderenechter niet door het gebruik van ervaringssterfte.

8.1.2 Standaard pensioenfonds

Het bestand dat gebruikt wordt voor een standaard pensioenfonds heeft een gemiddelde leeftijdvan 49,77 jaar. In figuur 8.2 zijn de technische voorzieningen te zien voor een standaardpensioenfonds gebaseerd op verschillende prognoses.

Figuur 8.2: De TV voor een gemiddeld pensioenfonds op basis van drie verschillende prognoses

De TV op basis van Voorspelling1 is 4,90% hoger dan de TV op basis van de AG prognose. DeTV op basis van de CBS prognose is 4,71% hoger dan de TV op basis van de AG prognose.

8.1 TV bij gebruik van verschillende prognosemodellen 75

Voor een gemiddeld fonds moet de TV op basis van het CBS dus ongeveer gelijk aan de TV opbasis van Voorspelling1. Als we ook naar het verschil per leeftijdsgroep tussen Voorspelling1 enhet CBS kijken, dan zien we wederom dat tot leeftijdscohort 50-59 de TV volgens Voorspelling1hoger moet zijn dan volgens het CBS en vanaf leeftijdscohort 60-69 is het juist omgekeerd. Eengemiddeld fonds bestaat uit ongeveer evenveel 60-plussers als mensen onder de 60, waardoorde TV volgens het CBS dus ongeveer gelijk moet zijn aan de TV volgens Voorspelling1. Tenopzichte van het AG zijn zowel de sterftekansen van Voorspelling1 als van het CBS veel lagervoor alle leeftijden. In kolom 4, 5 en 6 is de ervaringssterfte wel meegenomen bij het berekenenvan de TV. De TV wordt natuurlijk hoger, maar het percentage van de TV volgens het AGten opzichte van de TV volgens Voorspelling1 en volgens het CBS is iets lager. Het verschilin voorziening met of zonder ervaringssterfte is ongeveer 3%. Ook hier geldt weer dat debovenstaande conclusies niet veranderen door het gebruik van ervaringssterfte.

8.1.3 Oud pensioenfonds

Het bestand dat gebruikt wordt voor een oud pensioenfonds heeft een gemiddelde leeftijd van57,69 jaar. In figuur 8.3 zijn de technische voorzieningen te zien voor een oud pensioenfondsgebaseerd op verschillende prognoses.

Figuur 8.3: De TV voor een oud pensioenfonds op basis van drie verschillende prognoses

De TV op basis van Voorspelling1 is 3,66% hoger dan de TV op basis van de AG prognoseen de TV op basis van de CBS prognose is 4,73% hoger. Voor een oud fonds moet de TV opbasis van het CBS dus hoger zijn dan de TV op basis van Voorspelling1. Als we ook naar hetverschil per leeftijdsgroep tussen Voorspelling1 en het CBS kijken, dan zien we wederom dattot leeftijdscohort 50-59 de TV volgens Voorspelling1 hoger moet zijn dan volgens het CBSen vanaf leeftijdscohort 60-69 is het juist omgekeerd. Een oud fonds bestaat uit veel meer 60-plussers dan mensen onder de 60, waardoor de TV volgens het CBS dus veel hoger moet zijn danvolgens Voorspelling1. Ten opzichte van het AG zijn zowel de sterftekansen van Voorspelling1als van het CBS veel lager voor alle leeftijden. Als we ervaringssterfte meenemen, te zien in dekolommen 4,5 en 6, dan wordt de TV natuurlijk hoger, maar het percentage van de TV volgenshet AG ten opzichte van de TV van Voorspelling1 is iets lager. Het verschil in voorziening metof zonder ervaringssterfte is een kleine 3%. Wederom geldtdat de bovenstaande conclusies nietveranderen door het gebruik van ervaringssterfte.


8.1.4 Samenvatting

Voor een jong fonds moet de TV op basis van het CBS veel lager zijn dan de TV op basis vanVoorspelling1. Voor een standaard fonds moet de TV op basis van het CBS dus vrijwel gelijkzijn aan de TV op basis van Voorspelling1. Voor een oud fonds moet de TV op basis van hetCBS dus hoger zijn dan de TV op basis van Voorspelling1. De TV moet volgens Voorspelling1ten opzichte van de TV van het AG dus relatief steeds lager zijn (van jong naar oud fonds),terwijl de TV volgens het CBS procentueel juist hoger wordt. Dit betekent dat het verschilin sterftekansen tussen Voorspelling1 en het AG op lage leeftijden veel groter is dan op hogeleeftijden. Het verschil in sterftekansen tussen het CBS en het AG is juist op hoge leeftijdenveel groter dan op lage leeftijden. Voorspelling1 is gebaseerd op de sterftetrend uit het verledendie wordt geextrapoleerd voor de toekomst. De CBS prognose is gebaseerd op doodsoorzakenen de verwachte invloed van deze oorzaken op de sterfte in de toekomst. Beide hebben dus eenheel ander uitgangspunt, maar toch moet volgens beide prognoses een veel hogere voorzieningworden aangehouden dan volgens het AG. Hieruit volgt dus dat de sterftekansen van het AGveel te hoog zijn. De TV die pensioenfondsen nu aanhouden, gebruik makend van de AGprognose, is dus gemiddeld gezien ongeveer 4,5% te laag.

8.2 TV bij gebruik van verschillende data

In deze sectie wordt er gekeken wat de invloed op de TV zou zijn als we als uitgangspunt vanVoorspelling1 verschillende data zouden gebruiken om 2008 tot en met 2050 te voorspellen.In figuur 8.4 zijn de technische voorzieningen te zien voor een pensioenfonds met gemiddeldeleeftijd 52,33 gebaseerd op Voorspelling1 met verschillende invoerdata. Zo worden bijvoorbeeldbij ”data t/m 2004”de sterftekansen van 1950 tot en met 2004 gebruikt om de sterftekansenvan 2005 tot en met 2050 te voorspellen.

Figuur 8.4: De TV voor een gemiddeld pensioenfonds op basis van verschillende data

We zien dat als we steeds een jaar meer data meenemen vanaf 2003 de TV ten opzichte van deTV volgens het AG steeds meer moet zijn. Dit komt door de daling in sterftekansen die vanaf2003 weer heeft plaatsgevonden, zoals we gezien hebben in hoofdstuk 5. Wat verder opvalt ishet hoge percentage bij de kolom van data tot en met 1990. Op basis van data tot en met1990 zouden we 8,78% meer voorziening moeten aanhouden dan volgens de AG prognose. Ditis te verklaren door wat we gezien hebben in de grafieken uit sectie 7.2. Als we Voorspelling1namelijk controleren op basis van het verleden en we gebruiken de data tot en met 1990, dankomt eruit dat de sterftekansen voor de toekomstige jaren voor lage leeftijden te laag voorspeldworden. Dit komt door de sterke daling die de mannen en vrouwen hebben meegemaakt van1970 tot en met 1990. Van 1990 tot en met 2000 hebben de mannen en vrouwen een mindere

8.3 TV bij gebruik van verschillende rekenrentes 77

stijging in levensverwachting gehad, zie de tabel in sectie 5.1. Daarom daalt ook de TV tussende kolommen met data tot en met 1990 en met data tot en met 2000.

Echter welke periode we ook als invoerdata gebruiken, de TV moet gebaseerd op Voorspelling1altijd een stuk hoger zijn dan de TV gebaseerd op de AG prognose. Hierbij wordt vanaf 2003het verschil steeds groter naarmate de periode van de invoerdata groter wordt. Dit is een gevolgvan de afnemende sterfte vanaf 2003. Het is natuurlijk niet bekend of deze trend zich blijftdoorzetten in de toekomst. Het kan zijn dat deze trend afzwakt of zelfs omslaat.

8.3 TV bij gebruik van verschillende rekenrentes

We hebben gezien dat als we Voorspelling1 of de CBS prognose gebruiken in plaats van deAG prognosetafel bij het berekenen van de TV dat de voorziening gemiddeld over de driepensioenfondsen ongeveer 4,5% hoger moet zijn. Bij de berekening van deze voorziening hebbenwe de rente constant gehouden op 4%. Watson Wyatt gebruikt bij het bepalen van de TV echteraltijd de nominale rentetermijnstructuur. Deze wordt maandelijks door de Nederlandse Bankgepubliceerd en fluctueert dus nogal. Momenteel (31 mei 2009) komt deze rente overeen meteen vaste rekenrente van circa 3,9%. Voor de jaarwerken van 2008 wordt de nominale rentevan december 2008 gehanteerd. De bijbehorende vaste rekenrente is circa 3,5%. Om gevoel tekrijgen hoe groot de invloed van dit renterisico is ten opzichte van het sterfterisico, zullen we deTV berekenen op basis van de twee verschillende rekenrentes, namelijk 4% en 3,5%. In figuur8.5 zijn de technische voorzieningen voor een jong, standaard en oud pensioenfonds berekendop basis van die twee verschillende rentes.

Figuur 8.5: De TV voor een standaard pensioenfonds op basis van twee verschillende rekenrentes

Voor een jong fonds is de rente natuurlijk veel belangrijker dan voor een oud fonds. Het duurtgemiddeld namelijk langer voordat de uitkeringen plaatsvinden, waardoor er langer rendementover de ingelegde bedragen gemaakt kan worden. Dit is ook terug te zien in de tabel. Voor eenjong fonds geldt dat als we bij de berekening van de TV Voorspelling1 gebruiken in plaats van deAG prognose dat dit 6,54% scheelt, maar als we de AG prognose gebruiken met 3,5% in plaatsvan met 4% dan scheelt dit 13,16% in de TV. De rente heeft dus veel meer invloed dan de sterf-tekansen. Bij een gemiddeld fonds is deze invloed al iets kleiner en bij een oud fonds nog kleiner.

De sterftekansen kan een pensioenfonds zelf niet beınvloeden, althans ze kunnen zich er heelmoeilijk voor indekken. Voor de schommelingen in de rente daarentegen kunnen ze zich welindekken. Aangezien steeds meer fondsen ervoor kiezen om het renterisico af te dekken wordthet sterfterisico steeds belangrijker. Daarom is het dus wel belangrijk om onderzoek te doennaar het zo goed mogelijk voorspellen van sterftekansen en dit ook zo vaak mogelijk te updaten.


8.4 Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we gezien dat volgens zowel de prognose van het CBS als volgensVoorspelling1 een veel hogere voorziening dient te worden aangehouden dan volgens het AG.Hieruit volgt dus dat de sterftekansen van het AG veel te hoog lijken te zijn. De TV diepensioenfondsen nu aanhouden, gebruik makend van de AG prognose, is dan gemiddeld gezienongeveer 4,5% te laag. Zelfs als we verschillende periodes als invoerdata gebruiken dan dientde TV gebaseerd op Voorspelling1 altijd een stuk hoger te zijn dan de TV gebaseerd op de AGprognose. Verder hebben we nog gezien dat het renterisico veel groter is dan het sterfterisico.Echter steeds meer fondsen kiezen ervoor om het renterisico af te dekken, waardoor het sterf-terisico steeds belangrijker wordt. Daarom is het zeer belangrijk om onderzoek te doen naarhet zo goed mogelijk voorspellen van sterftekansen en dit ook zo vaak mogelijk te updaten.

Conclusie en discussie

Analyse sterftekansenHet eerste doel van de scriptie is de sterftekansen te analyseren en een eenvoudig model teontwikkelen om de sterftekansen zo goed mogelijk te kunnen voorspellen. Bij de analyse vande sterftekansen hebben we gezien dat tussen 1970 en 1990 een sterke toename in levensver-wachting heeft plaatsgevonden voor zowel mannen als vrouwen. Tussen 1990 en 2000 is er bijvrouwen bijna geen toename in levensverwachting geweest. Bij mannen wel, alleen is die dalingminder sterk dan in de jaren ervoor. Vanaf 2003 zijn de sterftekansen voor beiden weer sterkgedaald; er heeft infeite een trendbreuk plaatsgevonden.

Zelf ontwikkelde prognosemodelHet model dat is ontwikkeld is het model op basis van sterftetrends, Voorspelling1 genoemd.Of dit model de sterftekansen voor de toekomst goed kan voorspellen weet niemand, omdat desterftekansen voor de toekomst niet bekend zijn. We kunnen wel kijken of de uitkomsten vanhet model aannemelijk zijn. Dit is op verschillende manieren gedaan.

De eerste manier voor het controleren van het prognosemodel is door bijvoorbeeld de sterfte-kansen van 1950 tot en met 2005 als uitgangspunt te nemen om vervolgens de sterftekansenvoor 2006 en 2007 te voorspellen. Hierbij viel op dat bij mannen de voorspelling voor het eerstejaar na de gebruikte data een steeds groter wordend afwijkingspercentage heeft ten opzichtevan de afronding. Voor 1991 is het afwijkingspercentage namelijk maximaal 2%, voor 1996,4%, voor 2001 8% en voor 2006 zelfs 16%. De lage afwijking bij 1991 en 1996 wil dus zeggendat de sterftekansen voor 1995 vrij geleidelijk zijn gedaald. De grote afwijking bij 2006 tenopzichte van 2001 duidt dus op een hele sterke daling van de sterftekansen vanaf 2000. Eentrendbreuk is dus moeilijk op te nemen in het model. Zelfs een model zoals Lee-Carter, waarineen tijdreeksmodel voor het doortrekken van trends uit de geschiedenis is verwerkt, geeft geengoede voorspellingen voor de sterftekansen van 2006 en 2007. Bij vrouwen is bij Voorspelling1met data tot en met 1990 de sterk dalende trend van voor 1990 voortgezet, terwijl deze daling inwerkelijkheid niet meer zo sterk bleek te zijn. Hierdoor zijn de sterftekansen van Voorspelling1lager dan de afgeronde sterftekansen. Vanaf 2000 neemt de daling van de sterftekansen weertoe, waardoor de afwijking bij de voorspelling op basis van data tot en met 2006 juist rond de0% ligt. Overigens vertonen de sterftekansen volgens de AG prognose ook grote afwijkingenvoor 2004 tot en met 2007.

Een manier om Voorspelling1 te controleren is door te kijken naar het gemiddeld aantal jarennog te leven van een 65-jarige. We hebben gezien dat als we vanaf 1950 de lineair stijgendetrend van de levensverwachting van een 65-jarige vrouw voortzetten dit in 2050 uitkomt opgemiddeld nog 24,5 jaar te leven. Vanaf 1993 is er een sterkere stijging van de levensverwach-ting van een 65-jarige man te zien. Als we deze stijgende trend lineair voortzetten dan heefteen 65-jarige man in 2050 nog gemiddeld 23,6 jaar te leven. Dit is bij zowel mannen als bij


vrouwen vrijwel gelijk aan het gemiddeld aantal jaren nog te leven volgens Voorspelling1. Hetgemiddeld aantal jaren nog te leven voor een 65-jarige in 2050 is volgens het AG veel lager,namelijk 20,1 jaar voor mannen en 21,8 jaar voor vrouwen. Voorspelling1 ligt dus wel in de lijnder verwachting als de stijgende trend zo door blijft gaan.

Invloed van verschillende prognose op de voorzieningHet tweede doel van de scriptie is om te kijken wat de invloed is van de verschillende progno-ses op de Technische Voorziening (TV) van een pensioenfonds. De TV die een pensioenfondsverplicht dient aan te houden, wordt bepaald op basis van individuele voorzieningen. Dezeindividuele voorziening wordt onder andere berekend door voor elke persoon de opgebouwdeaanspraak op ouderdomspensioen en nabestaandenpensioen te vermenigvuldigen met de bijbe-horende factoren. Deze factoren hangen af van rente en sterfte. We hebben gezien dat de TVvan een jong fonds volgens Voorspelling1 6,5% hoger moet zijn dan volgens het AG. De TVvan een standaard fonds moet 4,9% hoger zijn en de TV van een oud fonds moet 3,7% hoger zijn.

Indien we verschillende invoerdata gebruiken als uitgangspunt voor Voorspelling1, dan varieertde TV die moet worden aangehouden. De TV blijft echter voor een standaard fonds wel altijdminstens 3% hoger dan de TV volgens het AG. De TV die volgens het CBS moet worden aan-gehouden is bij de drie fondsen respectievelijk 3,6%, 4,9% en 4,7% hoger dan de TV volgenshet AG. Verder hebben we gezien dat de invloed van verandering van rente groter is dan deverandering van sterftekansen. Voor deze renteveranderingen dekken pensioenfondsen zich te-genwoordig steeds meer in. Sterfte-ontwikkeling speelt dus een steeds belangrijkere rol bij debepaling van de TV.

Lineaire trend in levensverwachtingEen ander belangrijk punt dat in deze scriptie naar voren is gekomen is het volgende. Als wevoor elk kalenderjaar naar het land kijken met op dat moment de hoogste levensverwachting,dan blijkt dit een lineaire trend te vertonen; de levensverwachting neemt jaarlijks met ongeveer3 maanden toe. De levensverwachting van Nederland loopt vrij parallel aan die lineaire trend.In veel prognoses, bijvoorbeeld die van het CBS, wordt echter van de lineair stijgende trend inlevensverwachting afgeweken. Maar waarom zouden we dat doen? Er is namelijk nog ruimtegenoeg voor het verlagen van de sterftekansen en dus het voortzetten van de lineaire trend. Inde medische wereld wordt er namelijk veel onderzoek gedaan naar het voorkomen, een vroegerediagnostiek en een betere behandeling van ziekten. Zo zijn er enkele belangrijke ontwikkelingengaande voor hart- en vaatziekten, maar ook voor borstkanker. Daarnaast wordt er onderzoekgedaan naar factoren die het leven bij dieren kunnen verlengen. Misschien dat de wetenschap-pers in de toekomst ook dergelijke factoren voor mensen vinden. Verder vindt het grootstegedeelte van alle sterfte boven de 75 jaar plaats. Bij ouderen is daarom veel sterfteverbeteringmogelijk. Dit kan gebeuren door betere voeding, meer bewegen en niet meer roken. Het feit datVoorspelling1 een prognose blijkt te geven die voor mannen wel parallel loopt aan de lineairelijn en voor vrouwen er iets vanaf loopt, is dus reeel.

EindconclusieDe eindconclusie van deze scriptie is dat sterftekansen erg moeilijk zijn te voorspellen; detoekomst is immers onzeker. De sterftekansen van de AG prognose lijken echter aan de hogekant. Dit komt onder andere doordat in de huidige prognose de vanaf 2003 sterk dalende trendvan de sterftekansen nog niet is meegenomen. Daarnaast zwakken ze door het afronden enmiddelen van de sterftekansen en reductiefactoren, de daling in sterftekansen af. Door deze te

8.4 Conclusie 81

hoge sterftekansen, lijkt de TV die pensioenfondsen aanhouden te laag. Het is dus erg belangrijkde sterftekansen goed te monitoren en zo goed mogelijk te voorspellen. Desnoods door elk jaareen nieuwe prognose uit te brengen. Met een eenvoudig model, zoals Voorspelling1, kan dit opeen effectieve en efficiente manier. En waarom zou de prognosetafel maar een keer in de vijf jaarbijgesteld worden terwijl de nominale rentetermijnstructuur iedere maand wordt uitgebracht?

Bijlagen

Bijlage A

Toelichting op enkele begrippen uit hetpensioengebouw

In dit hoofdstuk worden de niet toegelichte begrippen uit hoofdstuk 2 uitgelegd.

A.1 De 1e pijler

Een toelichting op de resterende begrippen uit de 1e pijler.

A.1.1 WAO, WIA en Wajong

WAO, WIA, WAZ en Wajong zijn wetten die recht geven op uitkering in geval van langdurige ar-beidsongeschiktheid. WAO staat voor wet op de arbeidsongeschiktheidsverzekering, WIA staatvoor wet werk en inkomen naar arbeidsvermogen, WAZ staat voor wet op de arbeidsongeschikt-heidsverzekering zelfstandigen en de Wajong staat voor wet arbeidsongeschiktheidsvoorzieningjonggehandicapten. Iemand is arbeidsongeschikt als hij/zij door zijn/haar beperkingen, ver-oorzaakt door ziekte, met arbeid niet meer zijn oude loon kan verdienen. Het percentage vanongeschiktheid is (het oude loon minus het theoretisch te verdienen nieuwe loon) gedeeld doorhet oude loon maal 100%.De WIA verzekert werknemers die twee jaar ziek zijn geweest voor een loonvervangende ofloonaanvullende uitkering. Tijdens de twee jaar ziekte moet de werkgever minstens 70% vanhet loon (tot het maximale dagloon) doorbetalen. De WIA heeft per 29-12-2005 de WAO ver-vangen, omdat men zich moet concentreren op wat men wel nog kan en niet op wat men nietmeer kan. De WIA bevat financiele prikkels voor werkgevers en werknemers die erop gerichtzijn dat werknemers zoveel mogelijk aan het werk blijven of gaan. De WIA bestaat uit de IVA(regeling inkomensvoorziening volledig arbeidsongeschikten) en uit de WGA (regeling werkher-vatting gedeeltelijk arbeidsongeschikten). Mensen die voor 80 tot 100% arbeidsongeschikt zijnen ook niet meer kunnen herstellen worden volledig en duurzaam arbeidsongeschikt genoemd.Deze mensen hebben recht op een uitkering van 75% van het laatste loon tot het 65e levens-jaar via de IVA. Mensen die volledig arbeidsongeschikt zijn, maar niet duurzaam, krijgen eenuitkering van 70% van het dagloon via het WGA. Mensen die gedeeltelijk arbeidsongeschiktzijn, dat wil zeggen voor minstens 35%, krijgen ook een uitkering via het WGA. Ze moetenechter wel blijven werken voor zover dat mogelijk is. Hun inkomen wordt dan aangevuld meteen uitkering, zodat ze in totaal uitkomen op 70% van het laatste loon.De Wajong is bedoeld voor mensen die arbeidsongeschikt zijn geworden, maar nog geen ar-beidsverleden hebben. Om in aanmerking te komen voor een uitkering moet de jongere voor

86 Toelichting op enkele begrippen uit het pensioengebouw

minstens 25% arbeidsongeschikt zijn. De uitkering gaat in na 52 weken.De WAZ is hetzelfde als de WAO regeling, maar dan voor zelfstandigen. Deze regeling is per1-8-2004 afgeschaft.

A.1.2 IOAW en IOAZ

IOAW staat voor wet inkomensvoorziening oudere en gedeeltelijk arbeidsongeschikte werklozewerknemers. IOAZ staat voor wet inkomensvoorziening oudere en gedeeltelijk arbeidsonge-schikte gewezen zelfstandigen. De IOAW volgt op de werkeloosheidsuitkering op grond vande WW. De hoogte van de IOAW uitkering is gelijk aan de bijstandsuitkering, alleen heeft deIOAW geen vermogenstoets en een beperktere inkomenstoets. Werknemers die na hun 50e le-vensjaar werkloos zijn geworden en nadien de volledige uitkeringsduur van de loongerelateerdeWW-uitkering hebben bereikt en werknemers die na hun 57,5e levensjaar werkloos zijn gewor-den en nadien de volledige uitkeringsduur van de kortdurende WW-uitkering hebben bereikt,komen in aanmerking voor de IOAW.De IOAZ kan een aanvulling zijn op de WAZ uitkering en wordt gegeven nadat de zelfstandigezijn bedrijf heeft beeindigd. De hoogte van de IOAZ uitkering is gelijk aan de bijstandsuitke-ring, maar deze heeft een aangepaste vermogenstoets. Voor deze uitkering komen in aanmerkinggewezen zelfstandigen van 55 jaar of ouder, waarvan het inkomen beneden het sociaal mini-mum blijft, die de afgelopen drie jaar als zelfstandige een gemiddeld inkomen hebben gehadonder het sociaal minimum en die in de zeven jaar daarvoor gewerkt hebben. Ook komen inaanmerking voor een IOAZ uitkering gedeeltelijk arbeidsongeschikte gewezen zelfstandigen diehun bedrijf hebben moeten beeindigen als gevolg van arbeidsongeschiktheid en daarna mindergaan verdienen dan het sociaal minimum.

A.2 De 3e pijler

Een toelichting op de begrippen uit de 3e pijler.

A.2.1 Lijfrente

Er zijn twee voorwaarden waaraan een lijfrente moet voldoen. Ten eerste moet de periodiekeuitkering deel uit maken van een reeks van uitkeringen en ten tweede is de uitkering van deperiodieke uitkering afhankelijk van het in leven zijn van de verzekerde (het lijf) op de datumvan de uitkeringen. De lijfrente kan levenslang, maar ook voor een bepaalde periode wor-den uitgekeerd. Er zijn verschillende soorten lijfrenten, namelijk (tijdelijke) oudedagslijfrente,nabestaandenlijfrente, combinatievormen ervan en lijfrente meerderjarige, invalide kinderen.

A.2.2 Kapitaalverzekering

Een kapitaalverzekering heeft verschillende functies. Zo kan het gebruikt worden voor hetopbouwen van een oudedagsvoorziening, het aflossen van een geldlening of het afdekken vanfiscale claims. De kapitaalverzekering is onderworpen aan een reeks van fiscale bepalingen.Vooral is van belang dat uit een kapitaalverzekering een inkomstenbelastingvrije uitkering kanvoortvloeien.

A.2 De 3e pijler 87

A.2.3 Arbeidsongeschiktheidsverzekering

Er bestaat geen wettelijke lijfrente- of kapitaalverzekering die voorziet in een uitkering bij ar-beidsongeschiktheid. Wel kan een aparte arbeidsongeschiktheidsverzekering worden afgesloten.Bij arbeidsongeschiktheid voorziet deze verzekering in een periodieke uitkering.

A.2.4 Premievrijstelling bij arbeidsongeschiktheid

Bij een lijf- of kapitaalverzekering kan wel premievrijstelling bij arbeidsongeschiktheid wor-den meeverzekerd. Bij arbeidsongeschiktheid krijgt de verzekeringnemer geheel of gedeeltelijkvrijstelling van premiebetaling.

88 Toelichting op enkele begrippen uit het pensioengebouw

Bijlage B

Recursieve formule voor OP- en NPfactoren

Voor het numeriek berekenen van factoren wordt het programma Excel gebruikt. Om deze for-mule makkelijk te kunnen invoeren in Excel is het beter om een recursieve formule te gebruiken.

Als we aannemen dat vanaf 126 jarige leeftijd de sterftekans 1 is, en dus de overlevingskans 0,dan gaat de recursieve formule voor een direct ingaande levenslange prenumerando gelijkblij-vende uitkering, aθ, als volgt:

a126 = 1

a125 = 1 + 1|a126

∗= 1 + v1 · p125 · a126

= 1 + v1 · p125 · 1 ∗∗=

∞∑t=0

vttp125

a124 = 1 + 1|a125

∗= 1 + v1 · p124 · a125

= 1 + v1 · p124 · (1 + v1 · p125 · 1)

= 1 + v1 · p124 + v2 · 2p124∗∗=

∞∑t=0

vttp124

a123 = 1 + 1|a124

∗= 1 + v1 · p123 · a124

= 1 + v1 · p123 · (1 + v1 · p124 + v2 · 2p124)

= 1 + v1 · p123 + v2 · 2p123 + v3 · 3p123∗∗=

∞∑t=0

vttp123

...

...

a1 = 1 + v1p1 + v2 · 2p1 + v3 · 3p1 + . . . . . . + v125 · 125p1∗∗=

∞∑t=0

vttp1

a0 = 1 + v1p0 + v2 · 2p0 + v3 · 3p0 + . . . . . . + v126 · 126p0∗∗=

∞∑t=0

vttp0

90 Recursieve formule voor OP- en NP factoren

In de afleiding zijn de formules achter∗= de recursieve formules om in Excel in te voeren.

De formules achter∗∗= is een controle. De sommaties in de recursie gelden namelijk, omdat

tpx = px · px+1 · . . . · px+t−1 en p126 = p127 = . . . = 0. Op deze manier kun je ook makkelijk eenvariabele rente invoeren.

De OP-factor kan nu berekend worden met de volgende formule:

Factor OP x-jarige man = ax − ax,65−x

en de NP-factor met de formule:

Factor NP x-jarige man met een y-jarige vrouw = ay − axy

Bijlage C

Ervaringssterfte

In onderstaande tabel zijn de percentages voor de ervaringssterfte te zien (Watson Wyatt).

Leeftijd Man Vrouw0 0,97 0,6881 0,97 0,6882 0,97 0,6883 0,97 0,6884 0,97 0,6885 0,97 0,6886 0,97 0,6887 0,97 0,6888 0,97 0,6889 0,97 0,68810 0,97 0,68811 0,97 0,68812 0,97 0,68813 0,97 0,68814 0,97 0,68815 0,97 0,68816 0,97 0,68817 0,97 0,68818 0,97 0,68819 0,97 0,68820 0,97 0,68821 0,97 0,68822 0,97 0,68823 0,97 0,68824 0,97 0,68825 0,97 0,69526 0,97 0,69627 0,97 0,69728 0,97 0,69829 0,97 0,69930 0,97 0,731 0,97 0,70132 0,97 0,702

33 0,97 0,70334 0,97 0,70435 0,97 0,70536 0,97 0,70637 0,97 0,70738 0,97 0,70839 0,97 0,70940 0,97 0,71141 0,97 0,71242 0,97 0,71343 0,97 0,71444 0,97 0,71545 0,97 0,71646 0,97 0,71747 0,97 0,71848 0,97 0,71949 0,97 0,7250 0,97 0,72151 0,97 0,72252 0,97 0,72353 0,97 0,72454 0,97 0,72555 0,97 0,72656 0,97 0,72757 0,97 0,72858 0,97 0,72959 0,97 0,7360 0,97 0,73161 0,97 0,73262 0,97 0,73363 0,97 0,73464 0,97 0,73565 0,97 0,73666 0,97 0,737

67 0,97 0,73868 0,97 0,73969 0,97 0,7470 0,97 0,74171 0,97 0,74272 0,97 0,74373 0,97 0,74474 0,97 0,74575 0,97 0,74676 0,97 0,74777 0,97 0,74878 0,97 0,74979 0,97 0,7580 0,97 0,75181 0,97 0,76482 0,97 0,78583 0,97 0,80584 0,97 0,82685 0,97 0,84686 0,97 0,86787 0,97 0,88788 0,97 0,90889 0,97 0,92890 0,97 0,9391 0,97 0,938292 0,97 0,946493 0,97 0,954694 0,97 0,962895 0,97 0,97196 0,97 0,979297 0,97 0,987498 0,98 0,995699 0,99 1

100-125 1 1

92 Ervaringssterfte

Bijlage D

Simulatie code

Sub Genereer_Sterftekans_2000()

Dim sigma, mu, R As Double

’Voor het jaar 2000 en 25 t/m 99 jaar de mu en sigma aflezen en

vervolgens het aantal overledenen simuleren

For j = 3 To 76 ’leeftijd 25 staat in rij 3 en leeftijd 98 in rij 76

A = Sheet1.Cells(j, 12) ’in kolom 12 staat het aantal sterftes in jaar 2000

R = Sheet1.Cells(j, 2) ’in kolom 2 staat het aantal mensen op 1 jan 2000

sigma = Sqr(A*(1-(A/R)))

For i = 1 To 10

Sheet2.Cells(j + 6, i + 1) = Round(Trekken_Normale_Verdeling() * sigma + A, 0)

’wegschrijven van de per leeftijd 200 keer gesimuleerde aantal sterftes

Next i

Next j

’Voor het jaar 2006 en 25 t/m 99 jaar de mu en sigma aflezen en

vervolgens het aantal overledenen simuleren

For j = 3 To 77

A = Sheet1.Cells(j, 18)

R = Sheet1.Cells(j, 8)

sigma = Sqr(A*(1-(A/R)))

For i = 1 To 10

Sheet2.Cells(j + 6, i + 13) = Round(Trekken_Normale_Verdeling() * sigma + A, 0)

Next i

Next j

End Sub

Public Function Trekken_Normale_Verdeling()

’een N(0,1) verdeeld random getal genereren

Dim u1, u2, v1, v2, w, y, x1, x2 As Double

’Op basis van het Law-Kelton algoritme

line1: Randomize

u1 = Rnd()

94 Simulatie code

Randomize

u2 = Rnd()

v1 = 2 * u1 - 1

v2 = 2 * u2 - 1

w = v1 * v1 + v2 * v2

If w > 1 Then

GoTo line1

Else

y = Sqr(-2 * Log(w) / w)

x1 = v1 * y

x2 = v2 * y

End If

Trekken_Normale_Verdeling = x1

End Function

Bibliografie

[1] D.W. Bakker et al., De pensioengids, Kluwer 2008

[2] R. Muller en B. Dijkman, Niets doen is geen optie, PricewaterhouseCoopers: de Pensioen-fondsen Update, september 2005

[3] H. Wolthuis en R. Bruning, Levensverzekeringswiskunde deel 1, 1996

[4] W.J. Willemse, Aantekeningen bij het smoothing algoritme van het AG, 2 november 2006

[5] Actuarieel Genootschap, AG over sterfte en overleven, AG-tafels 2000-2005 en Prognose-tafels

[6] A. de Jong en A. van der Meulen, Prognose van sterfte naar doodsoorzaken: model enveronderstellingen, CBS bevolkingstrends, 2e kwartaal 2005

[7] A. van der Meulen, C. van Duin en J. Garssen, Bevolkingsprognose 2008-2050: model enveronderstellingen betreffende sterfte, CBS bevolkingstrends, 1e kwartaal 2009

[8] R.D. Lee en L.R. Carter, Modeling and forecasting U.S. mortality, Journal of the AmericanStatistical Association, Sept. 1992, Vol. 87, No. 419

[9] J. Garssen, De toekomst van onze levensverwachting, CBS bevolkingstrends, 3e kwartaal2005

[10] A. Azzalini, Statistical inference based on the likelihood, Chapman and Hall 1996

[11] H. Schellekens, Iedereen haalt 125 jaar, het Financieel Dagblad, 20 maart 2009

[12] F. Eulderink, T.J. Heeren, D.L. Knook en G.J. Ligthart, Inleiding gerontologie en geriatrie,1999

[13] C. de Ruyk, Medische doorbraken: superpil voor je hart, website www.goedgevoel.be, 31januari 2009

[14] C. de Ruyk, Medische doorbraken: eenvoudige test voor borstkanker, websitewww.goedgevoel.be, 31 januari 2009

[15] A.J.G. Cairns, D. Blake en K. Dowd, A two-factor model for stochastic mortality withparameter uncertainty: theory and calibration, Journal of risk and insurance, december2006

eindhoven university of technology master analyse en … · graag wil ik ron sebregts en jan van...

Documents