Eindhoven University of Technology

MASTER

Mantelspanningen in "cross-bonded" kabelsystemen

van Dongen, J.J.A.C.

Award date:1974

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

AFDELING DER ELEKTR~TECHNIEK

TIOHNISCHE WJGESCHOOL

Vakgroep Technieken van de Energievoorzienin~

Ma.'1 telsparulingen in "cross-

bonded" kabelsystemen

J.J.A.C. van Dongen

EO. 74. A. 19

8TUDIL;:.;UD,"HEEK

!LEKTHüTECHN1EK1~

Afstudeeronderzoek verricht o.l.v

dr.ir. L.M.L.F. Hosselet

prof. ir. G.A.L. van Hoek

Voorzitter Vakgroep:

Prof.Dr. D.Th.J. ter Horst

oktober 1974

T E C H NIS C H E H 0 GES C H 0 0 LEI N D H 0 VEN

..

INHOUDSOPGAVE

Inleiding

I. Zelfinductie en mutuele inductie in een systeem bestaan­

de uit n parallelle cylindrische geleiders

I I. Berekening van zelf- en mutuele inductie-coëfficienten.

II-a. De zelfinductiecoëfficient van een hol Ie cylinder­

vormige geleider.

II-b. De mutuele-inductiecoëfficient van 2 concentrische

cylindervormige geleiders.

II-c. Mutuele-inductiecoëfficient van 2 cylindervormige

geleiders, die tamelijk ver van elkaar verwijderd

zijn.

111. Experimentele bepal ing van de mutuele koppeling tussen

twee parallelle cyl indervormige geleiders.

IV. Zelf- en mutuele-inductiecoëfficienten in een systeem be­

staande uit n in de bodem gelegen parallelle cylindrische

geleiders.

V. Drie parallelle éénaderige kabels in de aarde gelegen.

V-a. Drie parallel Ie niet getransponeerde loodmantelka­

bels.

V-b. Drie parallel Ie symmetrische loodmantelkabels.

VI. Mantel- en binnengeleiderkruisingen.

VI-a. Berekening van de mantelspanningen en mantelstromen.

VI-a-l. Slechte aarding van het mantelcircuit.

VI-a-2. Goede aarding van het mantelcircuit.

VII. De synchrone, inverse en homopolaire impedantie van een

hoogspanningskabel tracé.

VIII. Het dynamisch gedrag van een kabelsectie, uitgevoerd met

mantelkruisingen.

VI I I-a. Ontwerp van een meervoudig ~-netwerk.

VI I I-a-l. Bepal ing van de dwars-impedanties.

VI I l-a-2. Bepal ing van de langs-impedanties.

IX. Metingen verricht aan het analogon.

IX-a. Mantelspanningen t.g.v. diverse stationaire sto­

ringen_

bldz.

3

11

18

18

20

21

23

27

30

30

34

40

46

51

5766

77

828286

93

93

X.

-2-

IX-b Invloed van de capacitieve laadstromen op de ma'~el­

spanningen.

IX-c.Bepal ins van de golfimpedanties en de voortplantings­

snelheden.

IX-d.Frequentie-karakteristieken.

IX-e.Mantelspanningen t.g.v. platsel inge toestandsverande­

ringen.

Een eenvoudige methode voor de bepaling van manteloverspan­

ningen in gekruiste kabel systemen.

Literatuurl ijst.

..

bI dz.

93

93

96

104

118

131

INLEIDING

Met het gedurig stijgende verbruik van electrische energie neemt ook de

energieafnamedichtheid steeds toe. In steeds meer gevallen moeten zeer

grote vermogens tot in het centrum van de verbruikersgebieden worden ge­

transporteerd. Om daarbij de transportverl iezen te beperken moeten hoge

bedrijfsspanningen worden toegepast. Het gebruik van hoogspanningsl ijnen

zou hier een economische oplossing kunnen bieden ware het niet dat om

andere redenen deze mogelijkheid vaak niet acceptabel is. Als voorbeel­

den waarbij het minder gewenst is om bovengrondse 1ijnen te gebruiken

noemen we het transport van grote vermogens naar verbruikerscentra ge­

legen in dichtbevolkte gebieden, het doorkruisen van een recreatiegebied

of een landschappel ijk uniek gebied door een hoogspanningslijn. Ook het

leggen van een hoogspanningskabelcircuit door een rivier kan noodzakeli jk

zijn om hinder voor de scheepvaart t.g.v. hoogspanningslijnen te voor­

komen. Het gevolg van deze faktoren zal zijn dat in de toekomst, ondanks

de veel hogere kosten die hiermee gepaard gaan, er steeds meer hoogspan­

ningskabels zullen worden toegepast en wel eenaderige lood- of aluminium­

mantelkabels voor bedrijfsspanningen hoger dan 130 kV. Voor hogere span­

ningen worden 3-aderige kabels te onhandelbaar, terwijl bovendien de be­

lastbaarheid nadel ig wordt beinvloed door de minder goede koeling van

3-aderige kabels.

De transpo~tcapaciteit van de toe te passen kabeltransmissiesystemen,

waarvan de investering ruwweg 10x zo hoog ligt als van equivalente boven­

grondse transmissiesystemen [251, zal men uiteraard zo goed mogelijk

willen benutten. Daarom zal men enerzijds de overspanningen, die in een

kabelcircuit optreden zo laag mogelijk willen houden teneinde tijdens

normaal bedrijf het beschikbare isolatieniveau zo goed mogel ijk te kun­

nen benutten. Anderzijds zal men trachten de stroombelastbaarhei~ van de

kabels te vergroten.

Bij de huidige hoogspanningskabels wordt tijdens normaal bedrijf de ka­

bel temperatuur hoofdzakelijk bepaald door de energieverl iezen t.g.v. de

belastingsstroom.(12R » U2wC.tg 5). Door de eisen, die aar de kabeltem­

peratuur (zowel de-binnengeleider- als de buitenoppervlaktetemperatuur)

moeten worden gesteld, worden tevens grenzen opgelegd aan de stroombe­

lastbaarheid van een kabel.

-4-

In principe kan de belastbaarheid van kabels worden verhoogd door de

verl iezen te beperken, d~or het toepassen van isolatiematerialen die

hogere temperaturen toelaten en door de koel ing van de kabels te ver­

beteren.

Worden de eenaderige kabels ingegraven dan kan de koeling worden verbe­

terd door het aanbrengen van een goed warmtegeleidend bodemmateriaal.

Ook kan de koeling worden verbeterd door de afstand tussen de parallel­

le kabels te vergroten, zodat de warmteafvoer naar de omgeving wordt

vergemakkelijkt en minder wederzijdse temperatuursverhogingen optreden.

De verl iezen in de kabel bestaan uit binnengeleiderverliezen, mantelver­

liezen en dielectrische verl iezen. Blijven de mantels van de hoogspannings­

kabels aan het begin en einde geaard, zoals bij laagspanningskabels ge­

bruikelijk is, dan zal het aandeel van de mantelverlip.zen in Je totale

kabelverl iezen absoluut maar ookrelatiet toenemen met "het stijgen van de

kabeltransportcapaciteit. Bij eenaderige loodmantel kabels

kunnen hoge mantelverl iezen optreden, omdat t.g.v. het magnetische veld

van de binnengeleiderstromen hoge spanningen in de langsrichting van de

mantels worden geinduceerd, die bij tweezijdige aarding van de man­

tels hoge mantelstromen tot gevolg hebben. Bij kabels met een geleider­

doorsnede van 2000 mm2 en tweezijdige mantelaarding kunnen de daarbij

optredende mantelverl iezen het veelvoudige bedragen van de binnengeleider­

verl iezen (zie hoofdstuk V). Deze mantelverliezen kunnen worden geël imi­

neerd door maatregelen te nemen die verhinderen dat er mantelstromen kun­

nen gaan vloeien.

Dit kan worden bereikt door:

a) de impedantie van het mantelcircuit te vergroten (fig. 1 en 2),

b) de totale geinduceerde spanning in het mantelcircuit te mini­

maiiseren (fig. 3).

Zo bestaat een methode, die gerangschikt kan worden onder a), uit het

opdelen van de mantels in gel ijke stukken, waarbij elke mantelsectie aan

een zijde wordt verbonden met een paral lel meegevoerde geaarde geleider

(figuur 1). Deze methode wordt slechts toegepast bij kortere kabelcircuits.

Bij langere circuits wordt d~ aardleiding een te grote complicatie geacht.

Denk bijvoorbeeld aan de maatregelen die getroffen moeten worden om te

voorkomen dat zo'n aardleiding als gevolg van corrosie door zwerfstromen

-5-

( )

, J

1( ()

- - - '- '--

f i g. 1

wordt aangetast. En denk aan de gevaren van beschadiging van deze aard­

leiding door derden. Ook gaan de kosten bij langere circuits een niet

onbelangrijke rol spelen.

Een methode, die bij langere kabelcircuits kan worden toegepast bestaat

uit het tweezijdig aarden van de mantelsecties, waarbij echter een ext~a

stroombegrenzende impedantie in de vorm van een verzadigbare'z=lfinduc­

tie in het mantelcircuit is opgenomen (26) (zie figuur 2). Deze spoelen

zijn zodanig geconstrueerd, dat zij tijdens normale bedrijfsomstandighe­

den niet verzadigd raken. Treedt er echter een kortsluiting op dan is de

geinduceerde spanning in een mantel sectie hoog genoeg om verzadiging te

veroorzaken. Hierdoor kunnen kortsluitstromen wel via de mantels hun te­

rugweg vinden. Naast deze zelfinducties moeten nog stroomafhankelijke

weerstanden of condensatoren worden toegepast om manteloverspanningen

t.g.v.loopgolven te bestrijden (zie hoofdstuk X).

Een elegantere oplossing voor het beperken van de mantelstromen, die.

steeds meer wordt toegepast bij langerekabelcircuits werd reeds in 1914

aangegeven door de uitvinder van de oliedrukkabel : Emanuel i . De methode

bestaat hierin, dat de opgedeèlde ~antels van de R, S en T kabels steeds

in series van drie gel ijke lengten kruiselings met elkaar worden doorver­

bonden (zie figuur 3). Tijdens normaal bedrijf worden in deze drie man­

telsecties (M R, MS en MT) spanningen geinduceerd, die opgeteld een som

opleveren, die nagenoeg nul is (zie figuur 4). Daardoor is het mogelijk

steeds na 3 mantel~ecties demantefcîrcuïtsmet elkaar en met aarde te

-6-

L L

f i g. 2

M

J1I

kabelsubsecti~

L = verzadigbare spoel.

kabelhoofdsectie

f i g. 3 Kabelhoofdsectie met mantelkruisingen.

..fi g. 4

-7-

verbinden zonder dat hierdoor tijdens normale bedrijfsomstandigheden gro­

te mantelstromen gaan vloeien (zie hoofdstuk VI). De laadstromen en aard­

sluitstromen vinden een continue retourverbinding over de mantels, zodat

ook hier, evenal5 bij de oplossing van figuur 2, geen extra parallel Ie

aardgeleider vereist is.

De lengte van een zo'n mantelsectie is afhankelijk van de mantelspanning,

die men tijdens normaal bedrijf tegen aarde wi I toelaten en zal dus af­

hankel ijk zijn van de belastingsstroom en de hart op hart afstand tussen

de kabels (zie tabel A).

Door het toepassen van mantelkruisingen, ook wel cross-bondings genoemd,

is het mogelijk om de kabels verder van elkaar te leggen, waardoor weer

een betere koeling wordt verkregen. Worden geen mantelkruisingen toege­

past dan zal het voordeel van een betere koel ing dat ontstaat bij het

vergroten van de hart op hart afstand van de kabels weer voor een belang­

rijk deel worden tenietgedaan door de hogere mantelverliezen die hiervan

het gevolg zijn. In tabel A is namel ijk te zien dat door het vergroten

van de kabelafstand de geinduceerde spanningen toenemen en daarmee de

mantelstromen.

Door het toepassen van kruisverbindingen en een gunstigere ligging van

de kabels in de grond behoort een verdubbel ing van de transportcapaciteit

van een hoogspanningskabel transmissie-systeem tot de mogelijkheden. Dit

belangrijke voordeel gaat echter ten koste van enkele nadelen. Zo is de

synchrone impedantie van een transmissiesysteem met mantel kruisingen ho­

ger dan die van een ongekruist systeem (zie hoofdstuk VI I). Een tweede

nadeel bestaat uit de hoge geinduceerde mantelspanningen bij optredende

kortsluitingen, waardoor de mantel isolatie en de isolatie in de onder­

brekingsmoffen aan hogere eisen zal moeten voldoen. Het laatstgenoemde

nadeel treedt ook op bij de oplossing van fig 1, echter niet bij de op­

lossing van figuur 2, omdat daar wel mantelstromen kunnen gaan vloeien

wanneer de kortsluitstromen van dien aard zijn dat de spoelen in de ver­

zadiging geraken.

Is het mantelcircuit van figuur 3 slecht geaard (zie hoofdstuk VI-a-l)

dan kunnen t.g.v. homopolaire binnengeleiderstromen hoge spanningen

tussen de mantels èn aarde ontstaan (zie tabel B). Is daarentegen de

aardverbinding aan beide zijden ideaal dan ontstaan t.g.v. deze homopolaire

stromen lechts zeer l~ge spanningen in het mantelcircuit « 10 V per km lengte

-8-

en per kA homopolai re stroom).

..TABEL A

Mantelspanningen per km mantel t.g.v. een normaal binnengeleiderstroom­

stelsel van 1 kA.

230/400 kV Kabelafstand hart op ha rt

01 iedrukkabel 15 cm 30 cm 50 cm 80 cm 100 cm

geleiderdoorsnede: 2000mm2

loodmantelbuiten- 91 V 135 V 167 V 196 V 210 V

diameter: 115 mm

••TABEL B

Mantelspanningsval in 1 km mantel t.g.v. een homopolair binnengeleider­

stroomstelsel van 1 kA. Hi~rbij is een:slechte aarding verondersteld.

230/400 kV 01 iedrukkabel Soorte 1ij ke weerstand van de aardbodem

geleiderdoorsnede: 20002 tin} .mm Pa

loodmantel diameter: 115 mm 10 rlm 10 3 rlm 105 rlm

15 cm 1270 V 1710 V 2150 V

Kabe 1afs tand 30 cm 1180 V 1620 V 2060 V

hart op hart 50 cm 111 8 V 1560 V 2000 V

80 cm 1055 V 1495 V 1935 V

100 cm 1030 V 1470 V 1910 V

In tegenstel ling tot de mantelspanning t.g.v. een normaal binnengeleider­

stroomstelsel neemt de spanning bij een slechte aarding van het mantel­

circuit t.g.v. een homopolair binnengeleiderstroomstelsel af bij toene­

mende kabelafstanden. Dit is te verklaren door het feit dat het circuit

voor de homopolaire stroom bestaat uit de drie parallelle binnengelei-

• Bij de berekening hiervan is gebruik gemaakt van tabel VI-3. en be­

rekend is de spanning in de buitenste kabelmantel .

•• Bij de berekening hierva~ is gebruik gemaakt van tabel VI-2 ...De gegeven spanningen gelden zowel voor de binnenste als de buiten-

liggende kabels.

ders als heengaande en de aarde als retourgeleider. De zelfinductie van

dit circuit wordt kleiner naarmate de afstand tussen de kabels groter

wordt. De effectieve straal van de heengaande geleider wordt hierdoor

vergroot.

In wezen is dit hetzelfde effect dat optreedt bij een bundelgeleider.

Daar wordt namelijk ook de effectieve straal van de geleider vergroot

door de afstand tussen de afzonderl ijke geleiders van de bundel te ver­

groten. Het gevolg daarvan is oek een verlaging van de zelfinductie­

co~fficient in ~et circuit.

Uit het bovenstaande volgt, dat de kwal iteit van de aardingen een grote

rol speelt. Wordt de homopolaire retourstroom door de hoge aardversprei­

dingsweerstanden gedwongen om door de aarde terug te keren dan ontstaan

in het mantelcircuit zeer hoge spanningen t.o.v. aarde. Deze hoge span­

ningen kunnen de mantel isolatie beschadigen, waardoor de loodmantel niet

langer tegen corrosie wordt beschermd. Het is zelfs voorgekomen dat t.g.v.

manteloverspanningen een perforatie van de loodmantel is opgetreden,

waardoor de olie uit de kabel kon vloeien. [27J

Naast deze manteloverspanningen t.g.v. quasi-stationaire verschijnselen

ontstaan ook manteloverspanningen t.g.v. golfverschijnselen. Deze worden

veroorzaakt door het inschakelen van de kabels of door blikseminslagen

op aangesloten bovengrondse hoogspanningsinstal laties. Deze transi~nte

manteloverspanningen treden op wanneer de mantels gekruist worden. Zijn

de mantels niet gekruist dan zal de inkomende golf zich voortplanten in

de binnengeleider-mantel kabel. De goed geleidende mantel kan daarbij

als een electro-magnetische afscherming gezien worden tussen het inwen­

dige van de kabel en de buitenwereld. Buiten de kabel tal bijna niets

van de aanwezigheid van een golf in de kabel te merken zijn. Worden de

mantels echter gekruist dan wordt op de plaats van de kruisingen de golf

gebroken en er zullen golfverschijnselen buiten de kabels optreden, die

wel hoge spanningen van de mantels t.o.v. aarde veroorzaken.

Deze transi~nte overspanningen zijn tijdens het afstudeeronderzoek be­

studeerd m.b.v. een nabootsing van een gekruist kabel transmissie-systeem

bestaande uit drie subsecties. Het ontwerp van dit analogon is besproken

in hoofdstuk VI I I .-Bij deze studie werd geconstateerd, dat de spanning

over de mantel isolatie hoger wordt naarmate de verhouding van de golf­

impedanties van de binnengeleider-mantel kabel (Z ) en van de mantel-gm

-10-

aa rde kabe I (Z ), Z /Z , afneemt.m gm m

Zo kunnen, wanneer geen beschermende maatregelen worden getroffen, bij

het inschakelen van het kabelcircuit mantelspanningen ontstaan, die de-

zelfde topwaarden bereiken als de bedrijfsfasespanning (zie hoofdstukken

IX en X). Dit zal het geval zijn wanneer de soortelijke weerstand van

de bodem waarin de kabels gelegen zijn zeer hoog is, of wanneer de kabels

in een goot I iggen met alleen lucht als omringend medium. In deze geval­

len kan de verhouding van de genoemde golfimpedanties, Z /Z, een waardegm mbereiken van û,l.

De doorslagvastheid van p.v.c. (polyvinylchloride), het gebruikelijke

mantel isolatiemateriaal , bedraagt 15 f 40 kV/mmo De dikte van deze man­

tplisolatie bedraagt 4 f 6 mmo Uit deze gegevens bI ijkt dat het toepas­

sen van overspanningsafleiders in de vorm van spanningsafhankel ijke weer­

standen, vonkenbruggen of combinaties hier~an, op de plaatsen van de

mantelkruisingen voor de hogere spanningsniveaux noodzakel ijk is.

Als afsluitende conclusie kan gesteld worden dat de overspanningen

t.g.v. quasi-stationaire verschijnselen, zoals kortsluitingen, minder

gevaarlijk zijn dan de overspanningen t.g.v. transiënte verschijnselen.

De eerste zijn echter wel belangrijk wanneer het kabelcircuit is bevei­

ligd door overspanningsafleiders, omdat deze apparaten slechts geduren­

de een korte tijd grote stromen kunnen voeren .

..

-11-

I. ZELFINDUCTIE EN MUTUELE-INDUCTIE IN EEN SYSTEEM BESTAANDE

UIT n PARALLELLE CYLINDRISCHE GELEIDERS.

In een syste8m bestaande uit n circuits, die magnetisch met elkaar

gekoppeld zijn en waarin stromen vloeien 11

tlm In bedraagt de aan­

wezige magnetische veldenergie 111:

Wm

n n

! k~l j~l Ljk·Ij'l k ' 1-1

met: I. = stroom in het j-de circuit,J

Ljk Lkj mutuele koppeling tussen het

j-de en het k-de circuit,

L.. = zelfinductie-coëfficient van hetJJ

j-de circuit.

Deze magnetische veldenergie kunnen we ook bepalen door de energie

te berekenen die per volumeeenheid in het systeem wordt gebracht en

deze daarna te sommeren over alle volume-elementen.

Daartoe veronderstellen we dat in eell volume-element t:,V een stroom­

dichtheid J en een geinduceerde electrische veldsterkte e. d aanwe­In

zig is. Deze geinduceerde electrische veldsterkte oefent per volu-

me-element een kracht uit op de lading, t.W.

met:q.e. d

InF

e q = .~ = ladingsdichtheid, {C/m 3 }v

v snelheid van de electronen. {mis}

Om deze kracht van electrische oorsprong in evenwicht te houden moet een

kracht F van niet electrische oorsprong per volume-eenheid aanwezigu

zijn, die tegengesteld gericht is. Alleen dan kan deze lading zich

met een constante snelijeid v bI ijven verplaatsen. We kunnen dus stel­

len:

Fu

1-2

~e energie t:,W, die op deze manier per tijdselement t:,t en per volume­

element t:,V aan het systeem wordt toegevoerd is :

t:,V.F .65 = t:,V.M.F .vu u -t:,V.M.q.v.ë. d

In

.. -J.e. d.M.t:,V.In

Dit is de toename van de magnetische veldenergie gedurende het tijds­

element t:,t, t.g.v. de actie in het volume-element t:,V.

Voor de berekening van de geïnduceerde electrische veldsterkte in het

-12-

systeem bestaande ui L de n parallelle cyl indrische geleiders gaan we

op de hieronder beschreven wijze te werk.

Beschouw een oneindig lange geleider waardoor ~en stroom I. vloeit.J

De retourweg voor deze stroom wordt gevormd door een hypothetische

cyl inder met een oneindig grote diameter. (Zie fig. 1-1)

-cB

o-A

~------------=-~- - ---

~l

---------~- - - - - - --

tig I - 1

Dit systeem is duidelijk cylinder-symmetrisch. De z-component van de

electrische veldsterkte kunnen we berekenen met behulp van de volgen­

de wet van Maxwell:

J Ë.dï<5 rr S.da6t J J

A

da ~ oppervlakteelement. 1-4

Als contour nemen we de omtrek van de zich tot in het oneindige uit­

strekkende rechthoek ABCD. De kringintegraal kunnen we als volgt ver­

eenvoudigen:

C D A B~ Ë.dï = J E.dï +J Ë.dï + J Ë.dï + f E. d I =

B C D A

B= f Ë.dï = AB.Ez (Rj) . 1-5

A

Immers, omdat het systeem als onafhankelijk van z kan worden be­

schouwd mogen we schrijven:

C A,E.dl f Ë.di,J = -

B D

en omdat in het oneindige E=O, geldt ook:

CJ E.dl O.D

-13-

De oppervlakte-integraal kunnen we als volgt schrijven:

<5 JJ - -- &t ABCD B. da

00

_ AB.L J B.d-;'.<5 t r=Rj

1-6

Voor de electrische veldsterkte in de z-richting op een afstand Rj

van de as van de j-de geleider vinden we daarom,00

E <5 J B.dr.z(Rj) = - "6 Rj

1-7

De magnetische inductie B in de ruimte wordt veroorzaakt door de

n parallelle stromen I., j = 1, .... ,n., ofwel:J

- - -B = B

1+ B

2+ + B

n

n

= k~l Bk

Bk(l k) .

Voor de electrische veldsterkte Ez(Rj) schrijven we:

00 n

E - -.L Jz(Rj) - M Rj

n 00

.L k~l J Bk· di-.Ot Rj

-Uit het gegeven V.B 0 volgt: (zie fig. 1-2):

00 00

1-8

J Bk·d-;'Rj

J Bk·dr.Rj k

Rjk is de afstand van de as van geleider k tot een punt A, dat een

afstand Rj van de as van geleider j is verwijderd. Voor de electrische

veldsterkte in de z-richting in dit punt A kunnen we nu schrijven:

n 00

E - i- k~l J Bk·dr;z (Rj) Ot Rjk

n 00

E-&~~ L: J Bk

Ik. dr;= - - k=l~z(Rj) Ot Rjk

BAangezien de term ~ onafhankelijk is van de tijd mag men ook schrijven:

k..

1-10

Omdat

-14-

geleider k

geleider

fig. I - 2

00 BkJ --I.dr al leen afhankelijk is van de geometrie van de k-de ge­

Rjk k

leider en de afstand Rjk kunnen we stellen:

00 BJ -Ik. dr

Rjk k1-11

zodat voor de electrische veldsterkte in de z-richting op de plaats

A geschreven kan worden:

n tllk

- k~ 1 Cj k (Rj)· tl t 1-12

De vermeerdering van de magnetische veldenergie per volume-element

tlV. en per tijdselement fit is (zit:: vgl. 1-3):J

- JR··e. d R·· tlV .. M ,J In •. J JtlW =

tlV. ,MJ

met: JR .. J

stroomdichtheid in de geleider j op

een afstand Rj van de geleideras;

e. d R' = de geinduceerde electrische veld­In • J

sterkte in de geleider j op een af-

-15-

stand Rj van de geleideras,

~V. = volume-element in de geleider j op eenJ

afstand Rj van de geleideras.

Indien we aan~emen dat de stroomdichtheid in de geleider constant

is kunnen we schrijven:

1 •

- JA e. d ,., .• ~V .. ~t =jin . "J J

= 1-13

met: A.J

de doorsnede van de geleider j.

~Ik is de verandering van de stroom door de geleider k in het tijds­

element van t naar t + ~t. In de I imietovergang geldt:

dW dV. ,dtJ

1-14

De, gedurende het tijdselement At via de~j-de g~leider, toegevoerde

magnetische veldenergie bedraagt:

dW. dJ, t

nl. Rukg1 I i.dlk· fR.Cjk(Rj).2IIr.dr,

J I

1-15

r.;e t: lengte van geleider j ;

2Ru = buitendiameter van geleider j ;

2Ri binnendiameter van geleider j.

Indien we voor de overzichtelijkheid stellen:

..

IA.

J

Ru[i Cj k (Rj) . 2rr r . d r , 1-16

-16-

dan kunnen we voor de. via de geleider j gedurende het tijdselement dt

toegevoerde magnetische veldenergie schrijven:

n

dWj,dt =k~l Djk · Ij.dl k· 1-17

Wanneer we aannemen dat op het tijdstip t=O alle stromen nul waren dan

kunnen we voor de magnetische veldenergie, toegevoerd via de j-de ge­

leider schrijven:

W.J

1-18

Voor de totale aan het systeem toegevoerde magnetische veldenergie

kan vervolgens geschreven worden:

nW= .. L

1W.=

. J= J1-19

Uit het feit dat Ween toestandsfunctie is, dus niet afhangt van de

manier waarop de stromen I., j=1 , .... ,n, hun eindwaarden bere"iken,J

kan men afleiden dat moet gelden:

1-20

zodat we voor de in het systeem aanwezige magnetische veldenergie

kunnen schrijven:

n n

W = ~ j ~1 k~l Dj k· Irik' 1-21

Deze uitdrukking is identiek met de eerste uitdrukking van dit

hoofdstuk wanneer gesteld wordt:

I RuA

jLCjk(Rj) .2iTr.dr, 1-22

..

met:00 BkJ - .dr.Rjk Ik

1-11

-1]-

De zelf- en mutuele inductie-coêfficienten per lengteeenheid kunnen

we dus als volgt schrijven:

Lj kI

= 1Ä-:

J

Ru 00 BJ {J -Ik .dr}Ri Rj k k

2ITr .dr. 1-23

====~===============================

..

-18-

11. BEREKENING VAN ZELF- EN MUTUELE INDUCTIECOEFFICIENTEN

Omdat we hierna uitsluitend systemen beschouw~n, die bestaan uit

holle cyl indervormige geleiders, die óf concentrisch óf op betrek­

kelijk grote afstanden van elkaar gelegen zijn, zullen we hier

berekenen:

a) de zelfinductie-coëfficient van een hol Ie cylinder­

vormige geleider;

b) de mutuele inductie-coëffici~nt van Z concentrische

cylindervormige geleiders;

c) de mutuele inductie-coëfficient van Z tamel ijk ver

van elkaar verwijderde cyl indervormige geleiders.

Hierbij zal steeds worden verondersteld, dat de stroomdichtheid

in de geleiders constant is en dat de relatieve p~rmeabi i iteit

van het geleidermateriaal en de omringende ruimte gelijk is aan 1.

a) DE ZELFINDUCTIE-COEFFICIENT VAN EEN HOLLE CYLINDERVORMIGE

GELEIDER.

De binnen- en buitendiameter van de geleider zijn respectievelijk

ZRi en ZRu.

Bij een homogene stroomverdeling in de geleider vinden we voor

de magnetische inductie als functie van de afstand tot de gelei­

deras R.:J

BRj = 0

BRjllo R' Z Ri

ZJ -

= ZJIRj Z Ri Z'I .

Ru - J

BRjllo

1 •ZJIRj J

voor

voor

voor

Rj~R i

Ri<Rj<Ru;

Rj> Ru .

I I-la

I 1-1 b

I 1- 1c

Voor Cjj(Rj) met Ri<Rj<Ru vinden we dan:

..

+

CD

f BR'Ru P·dR 1

J

Cjj(Rj) =

-19-~o 1 Ru R,221T {2 2 J (Rj - RIJ'] dRj

Ru - Ri Rj+

00

JdR iFr'}

Ru J )

C. , (R' \J J . J J

,+ In Ru } .

R,2 1 RU)- I n -, l

RJ+

Voor de zelfinductie coêfficient per lengte-eenheid vinden we:

Ljj

Cjj (Rj).21TRj. d~j t

L..JJ

~o{In 00

21TIn Ru + Ri 4 Ru

2 22 ln-R'I(Ru ":Ri )

+

1 Ru2 - 3Ri 2+ - }

4 R 2 R,2u - I

11-2a

~=====================================================

Wanneer Ri~O dan gaat deze uitdrukking over in

~oL.. = - { In 00

JJ 21TIn Ru 1

+ '4 L 11-2b

Wanneer Ri.Ru dan gaat de uitdrukking I 1-2a over in

L ..JJ

~o=-

21T{In 00 In RuL 11-2c

~ot Over de term 21T lnoo wordt hierna nader geinformeerd wanneer

de aarde als retourgeleider in het beschouwde systeem wordt

verwerkt.

-20-

b) DE MUTUELE 1NDUCT I E-COEFF I CI ENT VAN 2· CONCENTR 1SCHE

CYLINDERVORMIG[ GELEIDERS.

Voor deze configurati~waarvoorwe de mutuele inductie coëfficient

; Ljk willen berekene~ maakt het niet uit of uitgegaan wordt van het

B-veld dat ontstaat t.g.v. een stroom door de holle geleider dan wel

van het B-veld t.g.v. een stroom door de massieve geleider.

k

fig. 11-1

Het eenvoudigst komt men tot het gewenste resultaat wanneer uit­

gegaan wordt van het B-veld veroorzaakt door de stroom in de

holle geleider.

Wanneer Rj<Ri vinden we voor Cjk(Rj):

00 BkJ-I.dR.

Rj k

~o Ri 2 Ru2n {! - 2 2· In Ri + In 00 - In Ru}

Ru Ri

m.a.w. Cjk(Rj) is constant.

Voor de mutuele koppel ing per lengte-eenheid vinden we:

*Ru/ Cjk(Rj) .2nRj .dRj,

.-.met: Ru de straal van de massieve binnen-

geleider ...

-21-

Ri 2 Ru2 2·ln~

Ru - Ri I

- 1n Ru}. 11-3a

==========================================~===============

Indien Ri~Ru gaat bovenstaande vergelijking over in de volgende

eenvoudige vorm:

{In 00 In Ru} . 11-3b

Bezien we de vergelijkingen 11-3b'en I 1-2c dan kunnen we consta­

teren dat Je hierboven gevonden mutuele inductie-coëfficient gel ijk

is aan de zelf-inductie coëfficient van een dunwandige cylinder­

vormige geleider.

c) MUTUELE INDUCTIE COEFFICIENT VAN 2 CYLINDERVORMIGE GELEI­

DERS, DIE TAMELIJK VER VAN ELKAAR VERWIJDERD ZIJN.

Wanneer de afstand tussen de geleiders veel groter is dan de afme­

tingen ~an de geleiders zelf (fjk > Ru) dan mogen we stellen dat

in de geleider j overal gerekend mag worden met eenzelfde waarde

voor de coëfficient Cjk(Rj)' M.a.w. Cjk(Rj) is géén functie van

de afstand van het volume-element in de geleider j tot de as

van deze geleider (Rj).

geleide r k

..

~-...........,.,(3/ Hu

',1

geleide r j .......... ......

fig. 11-2

We mogen daarom stellen dat:

00 BC J -l drJ. k (RJ' ,\ = I'

Rj k

00 BJ -f-. dRj .

1jk k

Buiten de geleider k kunnen we voor de magnetische inductie Bk als

functie van de afstand tot de as van deze geleider schrijven:

zodat~o21T • {ln 00 - ln f jk }= constant.

Hiermee vinden we voor de mutuele inductie-coëfficient per lengte­

eenheid:

1= Aj

~o21T • { ln 00

Ru (j)J 2nr.dr;

Ri (j)

L ~o ()jk = I; { ln 00 - ln L

k} .

========================= J ===11-4

.'In hët hierna volgende hoofdstuk is via een eenvoudig experiment

nagegaan in hoeverre de hier toegepaste benaderingen toelaatbaar

zijn.

..

-23-

I I I. EXPERIMENTELE BEPALING VAN DE MUTUELE KOPPELING TUSSEN

2 PARALLELLE CYLINDERVORMIGE GELEIDERS.

In het labor3torium is nagegaan in hoeverre de hiervoor gevonden

uitdrukkingen voor 'de mutuele-inductie coëfficient van 2 concen­

trische geleiders en 2 "ver" van elkaar verwijderde cyl indrische gelei­

ders tot bruikbare resultaten kan leiden. Hiertoe werd een proef­

opstell ing gebouwd welke bestond uit twee paar concentrische bui-

zen. De mantels hiervan waren 4,5 meter en de binnengeleiders 5

meter lang. De mantels werden aan een uiteinde met elkaar verbon-

den, terwijl aan de andere zijde de spanning werd gemeten, die

door de stroom in de binnengeleiders werd geinduceerd. De proef­

opstelI ing is in figuur 111-1 weergegeven. Wanneer de mutuele

inductie-coëfficient per lengte-eenheid tussen de binnengeleider

en de bijbehorende mantel oeI ijk is aan L 1 1 resp. L 2 2' dan geldt- m g m ghier vanwege de symmetrie:

L = Lm1g1 m2g2

De mutuele inductie-coëfficienten per lengte-eenheid tussen de

binnengeleider en de mantel van de andere "kabel" noemen we resp.

Lm1g2

en Lm2g1

, uit symmetrie overwegingen kunnen we ook hier

schrijven:

L oi: Lm1g2 m2g1

De gemeten spanning moet dan, met 1=11=-1

2, gelijk zijn aan:

v = jw.2P.I.{Lm1g1 - L~1gZ}'

met: e= lengte van een mantel = 4,5 m.

Door het meten van de binnengeleiderstroom I en de gein­

duceerde spanning V, is het dus mogel ijk om de factor {Lm1g1

- Lm1g2 }

..

-24-

te bepalen als functie van de hartafstand (5) tussen de 2 paral­

lelle 'Ikabels 'l aangezien het volgende verband aanwezig is:

{L - L } =~mlgl mlg2~ ~.

Wanneer de dikte van de mantels wordt verwaarloosd vinden we

theoretisch voor deze factor:

l10 5{I 1 1 - L 1 2} = -2 . In -R 'm g m g TI U

met: Lmlgl

Lmlg2

{In 00

{In 00

- I n Ru}

- In 5 } •

Hierbij is 5 de hart op hart afstand tussen de twee "kabels '1 en

Ru is de buitenstraaI van de mantels.

In figuur 111-2 zijn zowel de experimenteel bepaalde als de theore­

tisch gevonden waarden weergegeven. De conclusie die we hieraan

kunnen verbinden is dat de theoretisch bepaalde inductie coëffi­

cienten ondanks de verschi llende verwaarlozingen die zijn gemaakt

zelfs blijven voldoen bij zeer korte afstanden tussen de beide

IIkabels 'l .

e=4.5 rDu..---- 1

u •...-----j---- ----- --- ------- --1----..,~----<r--L-___I----------- - ---- -- - - - -1-------'

u

v

Vm 2•w

- - - - - - - - - - - - - -- - - - - - i---...,'-----i-- - -- - - - - -~----- - --- -- - +-__....J

•

s

IN\J1

I

TRANSFORMATOR Yd-11

pr ima ir 380 V

secundair: 20 V 800 A

1 = 11 = - 12 = 400 A.

B.V. = buisvoltmeter

Binnengeleider holle cylinder van mess*ng

inwendige diameter 34 mm

uitwendige diameter 38 mm

Mantel holle cylinder van aluminium

inwendige diameter 2Ri = 94 mm

uitwendige dianeter 2Ru = 100 mm

FIGUUR 111-1

•

6

5

3

2

1

fig III - 2 elm1g1 - Lm1g2 ): Fes'

=---7

~--------10 H'm

/ ~

) V/

l.fo S- ln Ru2~

• gemeten

IN(j'\

I

25 50 75 --- s 100 cm

-27-

IV. ZELF- EN MUTUELE INDUCTIE-COEFFICIENTEN IN EEN SYSTEEM BESTAANDE

UIT n IN DE BODEM GELEGEN PARALLELLE CYLINDRISCHE GELEIDERS

De in hoofdstuk I1 berekende zelf- en mutuele' inductie-coëfficienten

zijn alleen bruikbaar om de spanning-stroom relaties voor de n gelei­

ders op te stellen wanneer de som van de n geleiderstromen nul is.

Alleen dan verdwijnt de ongedefinieerde term Ill n 00 I1 uit deze relaties.

Dit impl iceert evenwel dat de gevonden coëfficienten niet gebruikt

kunnen worden bij problemen waarbij de aarde, waariD de n geleiders zijn

gelegen, als retourgeleider dienst doet.

Wanneer we echter de hiervoor bepaalde coëfficienten vergelijken11

met de zelf- en mutuele inductie-coëfficienten die Rüdenberg [2] vindt

Wdnneer wel rekening wordt gehouden met de mogel ijkheid dat de aarde

als retourgeleider kan optreden, dan bI ijkt dat deze uitdrukkingen ge­

lijk worden aan de hiervoor afgeleide formules wanneer we stellen:

In 002In -YX

Y IV-1

met: j = /-1

X = J~~'W {..!.}m

W = 2nf

p = soortelijke weerstand van de

aardbodem {rlm} ;

Y = 1,7811 = constante van Euler.

Bij deze afleiding van Rüdenberg is verondersteld dat:

1<-

2Xén h < 1

2XIV-2a

IV-Zb

Veelal wordt gerefereerd aan de resultaten van Carson welke slechts

weinig verschillen met de resultaten die Rüdenberg via een simpeler

beschouwing vindt ...

-28-

Hierbij is I de afstand tussen de kabels en h de afstand van de kabels

tot het aardoppervlak,

TABEL IV - 1

waarden van 1 als functie van p en fX

~ =J"J2 p {m} SO Hz SOO Hz S kHz SO kHzX )low

p = 10 2 rl m 711 224 71 22,4

p = 10 3 rlm 2240 711 224 71

p = 104 rlm 7110 2240 711 224

p = lOS rlm 22400 7110 2240 711

~ Zo'an~ vo~d~an is aan de ongelijkheden IV-2a en IV-2b kunnen we dus

voor de zelf- en mutuele inductie-coëfficienten van cylindervormige

geleiders in de bodem schrijven:

a) Zelfinductie per meter van een massieve cyl indrische geleider

L..JJ

)10 {Y + ~ - In Ru};2n'

IV-3

b) Zelfinductie per meter van een dunwandige cylindrische gelei­

der,

L, ,JJ

)10

2n {Y - In Ru} IV-4

c) Mutuele inductie per meter van 2 concentrische cyl indrische

geleiders,(Ru is de straal van de dunwandige mantel)

)10

2n {Y - In Ru} IV-S

d) Mutuele inductie per meter van 2 ver van elkaar verwijder­

de geleiders (fjk

is de afstand tussen de assen van de ge­

leiders j en k),

..

llO eL

J. k = -2 {Y - In. k}

TI JIV-6

Oe constante Y ill de vergelijkingen IV-3 t/m IV-6 is gegeven door

vergelijking IV-l .

..

-30-

V. DRIE PARALLELLE EENAD~RIGE KABELS IN DE AARDE GELEGEN.

In dit hoofdstuk beschouwen we een transmissie-circuit bestaande

uit 3 parallelle éénaderige kabels met een t.o.v. aarde geisoleerde

loodmantel. Deze kabels zijn niet voorzien gedacht van een bewapening

bestaande uit ferromagnetisch materiaal.

In eerste instantie gaat de belangsteIl ing uit naar de stromen in de

mantels en de spanningen van deze mantels t.o.v. aarde. De mantel­

stromen zijn belangrijk om een inzicht te krijgen in de extra warmte­

verliezen in de mantel; deze kunnen namel ijk van dien aard zijn dat

de transportcapaciteit van de kabel sterk verminderd moet worden,

omdat een gegeven maximale geleidertemperatuur niet mag worden over­

sr.hreden. De spanning van de mantel t.o.v. aarde mag niet zo hoog

zijn dat de mantel isolatie electrisch te zwaar wordt belast.

Dat er mantelstromen gaan vloeien is te verwachten en wel om de vol­

gende redenen:

a) uit veil igheidsoverwegingen moeten de mantels aan het

begin en het einde van een traject worden geaard,

b) in de mantels worden spanningen geinduceerd door de

aanwezigheid van de mutuele koppeling met de stroomvoe­

rende binnengeleiders,

c) er bestaat uiteraard een capacitieve koppeling tussen

de mantels en de binnengeleiders.

De capacitieve stromen zullen we voorlopig buiten beschouwing laten

omdat zal blijken dat deze een betrekkeI ijk kleine bijdrage leveren

in de situaties zoals die hier bekeken gaan worden.

V-a. DRIE PARALLELLE NIET GETRANSPONEERDE LOODMANTELKABELS

Het transmissie-circuit bestaat uit 3 loodmantelkabels die over

een afstand € parallel gelegen zijn in een plat vlak evenwijdig aan

het aardoppervlak. De afstand tussen 2 naast elkaar gelegerl kabels

is S (zie fig V-l) ~

M.b.v. de zelf- en mutuele inductie-coëfficienten gegeven in hoofdstuk

IV kunnen de spanning-stroom relaties voor de binnengeleiders en de

mantels worden opgesteld.

Om de spanningen over de binnengeleiders en de stromen door deze binnen­

geleiders aan te geven gebruiken we de hoofdletters U en I. Voor de

spanningen en stromen behorende bij de mantels gebruiken we de kleine

letters u en i. Zo ook duiden, bij de indices van de inductie-coëf­

ficienten de hoofdletters op de binnengeleiders en de kleine letters

op de mantels van de kabels R,S en T.

De spanning-stroom relaties voor de binnengeleiders en de mantels kun-

nen in het algemeen geschreven worden als het product van een sym­

metrische impedantiematrix met een stroomvector. Omwi Ile van de duidel ijk­

heid zijn in de onderstaande vergel ijking de onderdiagonaal~coëffi­

cienten van deze symmetrische impedantiematrix weggelaten.

_ I tot

I .i I I

~ S ~. S ../

1IR tiR

.. tig v- 1

URR + pL

RR pL RS pL RT pL RrpL Rs ~LRt IR

U R + pLSS plST pL Sr ~i.Ss pL

St ISs

UT R + pLTT pLTr pLTs

pLTt IT

= •uR

r + pL pL rs pL rt i Rrr

Us r + pL pL s t iSss

uT r + pLtt i Tl...

met: p j .w óf óp =­

ót

Wanneer we aannemen dat de mantels een verwaarloosbare wanddikte

bezitten mogen we stellen dat

LRR].10

{Y - d 1 H/m,LSS LTT

- ln-+-}2rr 2 4

L L L LRr LSsLTt

].10In Ru}= -{V -

rr ss tt 2rrH/m,

LTr

].10

2rr {Y - In 2S} H/m,

..

met: L.. = L.. = inductie coëfficient vanIJ J I

de geleiders i en j,

d = diameter van de binnengeleider,

Ru straal van de mantel,

R = ohmse weerstand van de

binnengeleider per meter;

r = ohmse weerstand van de man-

tel per meter .

-33-

Na enig rangschikken kunnen de zes hierboven genoemde spanning-stroom

relaties ook als volgt geschreven worden:

UR = {(R ... A) IR + B. iR - C. (I T + i T) + I tot' D} ~ V-a-l

Us {(R + A)I S + B. iS + I . D} € V-a-2tot

Ut {(R + A) IT + B. iT - C. (I R + i R) + Itot·D}e V-a-3

uR = { (r + B) i R + B.I R - C. ( 1T + iT) + Itot·D}e V-a-4

Us {(r + B) iS + B.I S + I . D}.e V-a-5tot

\/-a-6

Hierbij zijn de nog onbekende symbolen als volgt gedefinieerd:

A j .w.Ilo

{In ~ .!.} Q/m V-a-7= +27T d 4

B j .w.Ilo

In S= 21r Q/m V-a-8Ru

C j .w.Ilo

In 2 Q/m V-a-9= , 27T

D =-j.w.Ilo

In S j .w. Y27T +

2 -7 + j .w •Ilo 2 Q/m, V-a-l0= 7T . f. 10 In --27T YXS

1IR IS IT + i R + iS iT' V-a-lltot = + + +

Het voordeel V3n deze schrijfwijze is gelegen in het feit dat het

effect van de stroom door de aarde (I ) duidelijk is gescheidentot

van de overige termen. De aardstroom induceert in alle geleiders dezelf-

de spanning per meter nl.:

1 • D •tot

..

-34-

De hierboven gegeven spanning-stroom relaties vormen de basis van de

hierna volgende beschouwingen, betreffende het statisch~ gedrag van

een kabel-transmissie systeem alsook bij de behandel ing van het dy­

namische gedrag. In het laatste geval wordt de factor jw vervangen6

door de Laplace-operator: p = 6t

V-b DRIE PARALLELLE SYMMETRISCHE LOODMANTELKABELS.

Zoals uit de spanning-stroom relaties V-a-l L/m V-a-6 bI ijkt zijn

de drie kabels in electrisch opzicht niet aan elkaar gelijk. Wan-

neer de kabelsectie geen onbelangrijk onderdeel is van het totale trans­

missie-systeem waarin het zich bevindt, dan kan deze asymmetrie de

bron zijn van een invers draaistroomsysteem [6]. Het ontstaan van een

invers stroomstelsel zal men zoveel mogelijk trachten te vermijden,

vooral wanneer dit inverse stelsel continu aanwezig is. Een invers

draaistroomstelsel heeft namelijk tot gevolg dat in de rotoren van

generatoren een extra verwarming van de demperwikkeling zal op­

treden. In de rege I za I men dan ook vee I zorg bes teden om het trans­

missie-en distributiesysteem zo symmetrisch mogelijk te houden. In

het geval van de hiervoor genoemde paral lelIe kabels kan men dit be­

reiken op twee verschi I lende manieren t.w.,

a) De kabels op gelijke afstand van elkaar leggen zoals in

figuur V-2-a is weergegeven,

b) De kabels in hun geheel cyclisch te verwisselen zoals dat

is aangegeven in figuur V-2-b.

Wanneer de symmetrie wordt verkregen op de onder a) genoemde manier

dan zijn de spanning-stroom relaties voor de zes geleiders dezelfde

als genoemd onder de vergelijki~gen V-a-l t/m V-a-6, met dien verstande

dat de constante C nul wordt.

Wanneer de onder b) genoemde manier is toegepast dan is op eenvoudige

wijze m.b.v. de vergelijkingen V-a-l t/m V-a-6 af te leiden dat de

spanning-stroom relaties zijn zoals die gegeven zijn onder vergelijking

V-b-l t/m V-b-6.

..

tig V-2-b

tig V-2-a

."..!epI

.;..p

kabel R

kabe l S

iIj-

s

S

_.l._.__c:==Ir-----k-a-b-e-l-T---J

--t--

u = { (R + A) . IR + B. i R - ('T + iT

+ IS + • ) C I .D}.3t V-b-lR IS ·3 + tot

Us { (R + A) . IS + B.is

- (I R + iR

+ IT

+ • ) C 1 .D}.3e; V-b-2I T ·3 + tot

U = {(R+A).IT

+ B. iT (I S + is + IR + • ) C I .D}.3P; V-b-3

T IR ·3 + tot

{(r + B).iR

+ B.IR

(IT

+ iT

+ IS + • ) C I .D}.3€; v-b-4u = IS ·3 +R tot

{(r + B) . is + B. IS - (I R + . + IT

+ • ) C I .D}.3~; V-b-5Us = IR I T ·3 + tot

{(r + B) .iT

+ B. IT

- (I S + is + IR +.) C I .D}.3P; V-b-6u = IR • ~T tot

Wanneer we bedenken dat:

dan kunnen we de vergelijkingen V-b1 t/m V-b-6 nog vereenvoudigen tot

de volgende gedaante:

UR { (R + A) . IR + iR·B + (I R • ) C (0 - }) . I }. 3~ V-b-7+ IR .} + tot

Us { (R + A) . ! S + iS·B + (I S + • ) C (0 - }) . I } .3 F V-b-8= IS .3' + tot

UT { (R + A) . IT + irB + (I T + • ) C (0 - }) . Itot} . 3 f V-b-9= I T '"3 +

{(r + B).i R + IR·B + (! R + • ) C (0 - }) . I tot}. 3 f V-b-10uR IR .} +

{(r + B).i S + IS·B + (I S + • ) C (0 - }) . Itot}. 3e V-b-11Us = IS·} +

{(r + B).iT + 'T· B + (I T + • ) C (0 - }) . I tot}. 3P V-b-12uT I T .} +

Voor de verklaring van de gebruikte symbolen zie hoofdstuk V~a (pag. 33).

We vragen ons nu af hoe groot de stromen door de mantels zijn wan­

neer de uiteinden van de mantels aan beide zijden van de kabel sec­

tie zeer sol ide zijn geaard, en er door de binnengeleiders een syn­

chroon stroomstelsel vloeit.

Omdat de uiteinden van de mantels sol ide zijn geaard mogen we stellen

dat:

en omdat

11

. a,

mogen we schrijven

-37-

Oe spannings-stroom relaties voor de drie mantels gaan dan over in:

,...f.)u =0= r. i R + ( I1 + i R) (B + j) + (i R + i + iT) (0 V-b-13R s 3

r. iS +2

iS) (B + .f.) (i R iS + iT

) (0 .f.) V-b-14u =0= (a I1 + + +S 3 3

r. iT

+ (a. I1 i T) (Bc

(i R + iS + iT) (0 - .f.)u =0= + + -) + . V-b-15T 3 3

Uit bovenstaande vergelijkingen volgt dat de stromen in de mantels

eveneens een synchroon stelsel vormen want:

- I1i R a. iS

2 . iT

a r

BC + 1+-3

ofwel

- I1i R = r 3

j.W.110 In S.12 + 12n Ru

V-b-16

V-b-17

Het verband tussen de mantel-wanddikte en de diameter van de cyl­

inder-wand blijkt voor loodmantelkabels bij benadering te voldoen aan

de vergel ijking: [])

t o,o85.Ru,

met: Ru de straal van de mantel {cm},

t = de dikte van de mantel {cm}.

Voor de weerstand per meter van de mantel vinden we daarmee:

{Qm}. V-b-18

Wanneer vergel ijking V-b-18 gesubstitueerd wordt in vergelijking V-b-17

is de verhouding van de mantel stroom en de binnengeleiderstroom uitge­

drukt in de straal van de mantelcyl inder en de afstand tussen twee na-

..

burige kabels (5). In figuur V-3 is deze verhouding weergegeven als

functie van de diameter met de afstand 5 als parameter.

Uit deze figuur bI ijkt dat de verhouding I~I groter wordt naarmate

de diameter van en de afstand tussen de k1bels toenemen. Naarmate

het via de kabels te transporteren vermogen stijgt zullen zowel de

mantelbuitendiameter als de afstand tussen de kabels groter moeten wor­

den.

l ...-----,r----,....------,------r----T"----

I:~ I.8 t---------,I-------t--------l-------l~~~~:____J___,.,;tIl!!!!!::::.:....-.--__1

.6t-----+-----+----*-~~L---+________,~"""-----_I__---_I

."t------+-----+-~~~-~----_+_----_+----......J

.2t------+---/:'h'~~----_+_-----+__----_I__---_I

2.5 5 7.5 10 12.5 cm

Buitendiameter van de mantel = 2.Ru

tig v- 3

De toename van de diameter spreekt zonder meer voor zichzelf. de ver­

groting van de afstand 5 is noodzakelijk om een betere warmteafvoer

van de kabels naar de omgeving te bewerkstelligen. Het zal wel duidelijk

zijn dat bij het opvoeren van de transportcapaciteit van de kabels

er een ogenbl ik moet komen waarop de stroom door de mantels een zoda-

nige waarde bereikt, dat de verliezen in de mantels ten gevolge van

deze stroom de belastbaarneid van de kabels erg nadelig gaan bein­

vloeden. Men is daarom verpl icht te zoeken naar methoden die de mantel­

stromen verkleinen maar daarentegen wel de mogelijkheid openlaten

om de mantels op regelmatige afstanden te aarden. Zoals hierna

zal blijken geeft de toepassing van mantel- en binnengeleiderkrui ­

singen een oplossing voor dit probleem.

-40-

VI. MANTEL- EN BINNENGELEIDERKRUISINGEN

Wanneer we uitgaan van loodmantelkabels, die in een plat vlak, op een

afstand S parallel aan elkaar I iggen en daarbij aannemen, dat de man­

tels stroomloos zijn en de stromen door de binnengeleiders een syn­

chroon stelsel vormen, d.w.z.,

met: a =

I 1,

( .21T)exp JT

dan worden in de mantels over een lengte Pde volgende spanningen ge­

induceerd, (zie vergel ijkingen V-a-4, V-a-5 en V-a-6)

VI-l

VI-2

uR I1. (B - aC) . €

11.a2 .B. IUs = =

uT = 11

. (aB - C) . e=

II we /o (/ 1 /2 ' ~) .'I .~. 3. n + J. I n Ru '

2 lloW ~, Sa • 11 .Z'TI' J • I n RU

II W~a I 0 (-/3 In /2 + J·.ln s/2), VI-3. 1·--z:rr·· Ru

Deze drie spanningen opgeteld levert:

ofwe I :

VI-4

Stel dus dat we in een hoofdsectie met een lengte 32 en bestaande

uit 3 paral lelIe kabels de mantels opsplitsen in 3 subsecties dan

ontstaan 9 mantels met een lengte P. (MR1

, MR2 , MR3

, MS1

' etc.)

Deze mantels kunnen zodanig met elkaar verbonden worden dat 3 sym­

metrische mantel-circuits ontstaan die elk 1/3 deel van de oor­

spronkel ijke mantels MR

, MS

en MT

bevatten. De geinduceerde spanning

over een lengte 31 is voor de drie nieuw ontstane mantel-circuits

gelijk en bedraagt:

..

-41-

Zie 0 , ]..10 IJ I Z 2UR + Us + UT = a . l' .t = J.w· Z1f ·r..·'l· n .a. VI-5

Aangezien de geinduceerde spanningen in de drie mantel-circuits ge­

lijk zijn kunnen de uiteinden hiervan met elkadr verbonden worden

zonder dat er hinderlijke mantelstromen gaan vloeien. Wanneer we

echter beide uiteinden van de mantel-circuits met aarde verbinden

zullen er wel mantelstromen gaan vloeien, maar zoals we hierna zul­

len zien zijn deze stromen veel kleiner dan de mantelstromen die

optraden in het geval dat er geen kruisverbindingen waren toegepast.

Om te voorkomen dat het aantal indices van spanningen en stromen

de vergel ijkingen onleesbaar maken spreken we af wat de van hieraf

gebruikte symbolen voorstellen.

Om aan te duiden dat een mantelcircuit uit meerdere delen bestaat

s ch rij ven we:

MR = MR1 + MSZ + MT3 ; VI-6-a

MS = MS1 + MTZ + MR3

, VI-6-b

MT = Mn + MRZ + MS3

; VI-6-c

Voor de spanningen geinduceerd in de mantel-circuits MR' MS en MTkunnen we noteren:

VI-7-a

VI-7-b

VI-7-c

Het verband tussen de stromen door de mantels van de subsecties en

de samengestelde mantel-circuits is als volgt:

..

figuur VI-1

----- uR1

--........- i R1

r=:"':::.-(==t:.=.:~~-:---" - U- - - - - -:.- - -U- - - - - - ...- - LJ;' - - - - -I-J-"1- R-4 - --+---1- - - - - - - - R.2- - --1----1- - -- - - -"+ - - --

\-----------l~iR3

I,J::­N

I

I-_..-iS1

I - uS2 I · uSJ

_--4- - - - - - -- - tt - - -- - --1--:"'--1- - -- - - - - -- -u-:- -- - - -+----1- - - - - --- tj- - - - -- - -\--'--_1---- - --~- - - - _S.l_ _ _ _ _ ~ ~2_ __ _ _ "":.. S_3 L_r--I

I

L-R

UR( u R

m777T.77--- IIS

L-S

.. -I;

_I }Ii tot

! '" "~l

j

esubsectie 3

3. e .hoofdsectie

I - - - -_- - - TI - - - - +----11- - - - - - - -0: - - - - -1----1- - - - - - - 0': - - - - - -.1=::Jf---1"'---/---------"}:.:l--- ---=:: ----T-2___ --=-==-=-I..3- -- --! . . ! . I .!.l- ----1-- I Tl I -----1,..... I T2 ! ---.- I T3I i I!- e .. i e • i·! subsectie 1 subsectie 2

!I"""

-43-

i R = i R1 = i S2 i 13;

iS = iS 1 iT2 = iR3

;

i T = in i R2 i S3;

VI-8-a

VI-8-b

v/-8-c

Voor de binnengeleiders kunnen we overeenkomstige relaties tussen

de spanningen en stromen van hoofd- en subsecties opschrijven:

IR IR 1 = IR2 'R3; VI-lO-a

IS = IS1 = IS2 I

S3; VJ-l0-b

I = In = 1T2 = 113

; VI-10-cT

De spanning-stroom relaties voor de binnengeleiders en de mantel­

circuits van een hoofdsectie worden gevonden door eerst de relaties

op te schrijven voor de 3 subsecties (zie hiervoor vergelijkingen V-a-1

t/m V-a-6), en hierin de mantel- en binnengeleiderstromen te vervan­

gen door iR

, iS' iT

, IR' IS en IT

m.b.v. de vergelijkingen VI-8 en

VI-l0. Na het sommeren van deze vergelijkingen op de manier zoals

die is aangegeven door de vergelijkingen VI-7 en VI-9 vinden we de

spanning-stroom relaties voor een hoofdsectie. Deze luiden als volgt:

UR = O(R + A)IR

+ (B -C) (iR +iS

+iT

) - 3I C + 3.1 .Dt.e; V1-11T tot

Us = o (R +. A)IS

+ B. (iR +iS +iT

) + 3.1 .D}.P; VI-12tot

UT = O(R + A)IT

+ (B -C) (iR +iS

+iT

) - 3I C +3.1 t.DLf; VI-UR to

-44-

uR = {3(r+B)i R + B(IR+IS+IT) - e(IT+iT+IR+iS) + 3. l tot ·0}.P; vl-14

Us {3(r+B)iS + B(IR+IS+.IT) - e(IT+iT+I R+iR) + 3. I tot' O} • e; VI-15

uT = {3(r+B)iT + B(IR+IS+IT) - e(I +i +I +i ) + 3.1 .O}.e; VI-16T s R R tot

met: A

B

e

o

I tot =

.).Jo 2Sj .w'2lT· (In d + i,);

,).Jo Sj.w.

2lT• ln-;Ru

-7 2 ,).Jo 210 .lT.f + j .w· 2lT • In --S

. YX

R = ohmse weerstand van de binnengeleider

per meter;

r = ohmse weerstand van de mantel per meter.

Voor het geval de stromen door de binnengeleiders een synchroon stroom­

stelsel vormen kunnen we voor de spanning-stroom relaties van de man­

tel-ei rcui ts schrijven:

UI = {3(r + B)i~ + e(a 2Il + i 1) + Il 00- e)}. P; VI-17R R tot

uI {3(r + B)i~ + e(a 2Il + i 1) + Il 00- e)} . e; VI-18s s tot

uI = {3(r + B)ii + e(a2Il + ii) + Il 00 - e)}. f, VI-19T tot '

met: Il = 'I + i 1 + i 1tot "R S T'

Indien de binnengeleiderstromen een invers stroomstelsel vormen

gaan de spanning-stroom relaties VI-14 t/m VI-16 over in de volgende

vergel ijkingen: ..

-45-

2 {3(r + B) i~ + C(aI2 + '2 ) + I2 (30 - C)}. e; VI-20UR 'Z.-R tot

u2 {3(r + B)i~ + C(aI2 + i~) + I2 (30 - C)}.2; VI-21S tot

u2 = {3(r + B)i~ + C(aI2 + i~) + I2 (30 - C)}. e· VI-22T tot '

met: I 2 = '2 + i 2 '2tot 'Z.-R S + 'Z.-T·

Indien een homopolair stroomstelsel (IR = IS = I T = IO) door de

binnengeleiders vloeit gaan de spanning-stroom relaties voor de

mantel-circuits over in:

uO = {3(r + B)i~ + 3BIO + C(IO + ia) + IO (30- c)} . e; VI-23R R tot

uO {3(r + B)i~ + 3BIo + C(IO + ia) + IO (30- n VI-24s s totc)}.,;

uO {3(r + B)i~ + 3BIo + C(IO + ia) + IO (30.- cn of; VI-25T T tot

met: IO = 3Io + '0 + iO '0tot 'Z.-R S +'Z.-r

OPMERKING:

Oe hoge indices 1,2 en ° duiden hier respectivel ijk op het synchro­

n~ het inverse en het homopolaire stelsel. Zo is u~ de spanning over

het mantel-circuit MS ten gevolge van een homopolair stroomstelsel

door de binnengeleiders. Het is niet zo dat de mantel-grootheden)

die het gevolg zijn van een bepaald stroomstelsel in de binnengelei­

ers ook een dergel ijk stroomstelsel vormen. Al thans niet voor de

normale en inverse stroomstelsels in de binnengeleiders .

..

•

-46-

VI.a BEREKENING VAN DE MANTELSPANNINGEN EN MANTELSTROMEN.

Indien de mantelcircuits aan beide uiteinden wordén geaard en bedra­

gen de aardverspreidingsweerstanden aan het begin en het einde van

de mantel-circuits resp. Raa en Rab, dan kan men voor de spanningen

in de vergelijkingen VI-17 t/m VI-25 ook schrijven:

- Ra (i j + ij + ij) .. R ST'

met: j 1, 2 en 0,

Ra = Raa + Rab.

VI-26

M.b.v. deze vergelijking VI-26 en de vergelijkingen VI-17 t/m VI-25

is het mogel ijk om de mantelstromen te berekenen wann8er de stromen

in de binnengeleiders bekend zijn. Indien deze mantelstromen op deze

manier berekend worden is het weer mogelijk om de spanningsval per

meter in de mantels te berekenen m.b.v. de vergelijkingen V-a-4

V-a-5 en V-a-6, door hierin de bekende mantelstromen en binne~gelei­

derstromen te substitueren. M.b.v. vergelijking VI-26 en de bere­

kende mantelstromen kan de spanning over de totale aardverspreidings­

weerstand worden berekend.

Al deze berekeningen zijn uitgevoerd voor drie verschil lende situaties

nl. voor de gevallen dat er:

a) een synchroon stroomstelsel,

b) een invers stroomstelsel en

c) een homopolair stroomstelsel

door de binnengeleiders vloeit.

De resultaten hiervan zijn weergegeven in tabel VI-1

Voor twee uiterste gevallen zijn deze berekeningen herhaald en wel

voor het geval dat de som van de a?rdverspreidingsweerstanden het

allergrootste gedeelte van de mantel-circuit-impedantie uitmaakt

en voor de situatie waarbij deze som een verwaarloosbaar klein ge­

deelte hiervan uitmaakt .

..Het eerste geval doet zich voor bij korte geaarde kabelsecties, waar-

-47-

bij kort hier wi I zeggen:

30 9. Ra

• ~ < < -::----"~~-=-­3.z + C + 3.r ' VI-27

met: 3.2 = de lengte van een hoofdsectie,

z = B + 3.D - C.

Bovendien doet een dergelijke situatie zich ook voor wanneer een

uiteinde van de mantel-circuits niet is geaard. (Maar de mantels onderl ing

wel met elkaar zijn doorverbonden).

Wanneer een kabelverbinding is uitgerust met zeer goede aardverbin­

dingen, bijv. een kabelverbinding tussen twee goed geaarde schakel­

stations, kan men uitgaan van vArwaarloosbaar kleine aardversprei­

dingsweerstanden, zodat we dan met de tweede situatie hebben te ma­

ken.

IR_._ .. _ .. - ... -.- .. -. - ..

I_._._._--._.-._------.-._._.-._,-

Raa Rab

fig VI- 2

BINNENGZLEIDERSTROMEN SYNCHROON STELSEL

I l = IR = aIS = a2I T

INVERS STELSEL

I 2 ~ I 2I IR=a S=a T

HOMOPOLAIR STELSEL

IO = I = I = IR S T

Mantelstromen:

i =i =i =R S T -a.C.I2

i2

= :3 (1'* + z) + C

t--------------+--~----------+_------------+_------------,Span~ingsva] per meter.

in;

{ B 2C (r + z). a . C }I2- a - 3(rw + z) + C

_ (r +.z + C) .C}Il3(r- + z) + C a {B -

I.t=""co

I

{a2B _ C _ (r + z) .a.C }I23 (r· + z) + C

23Ra. a . C I l

3 (r· + z) + C·

Spanning over de totale

aardverspreidingsweer­

stand: uR + Us + uT ='----------__-1- -+- ..1-- _

-met: z = B + 3D - C en r· = r + Ra/e

TABEL VI - 1

BINNENGELEIDERSTROMEN

Ra » (3z + 3r + C) • 1 SYNCHROON STELSEL INVERS STELSEL HOMOPOLAIR STELSEL3 2 2Il = I = aI = a I

TI2 = I = a IS = aIT

IO = I = I = IR S - R .. R S T

mantelstromen: *

i R = iS = i T = i 1 :0::: 0 i 2 = 0 iO = 0

Spal'\l1ingsval per meter

in:

MR1' MR2 en MR3

(B - aC),Il (B - lc) .I2 z .IO

MS1' MS2 ' en MS3

a2B.Il aB.I2 z .IO

MT1 ' MT2 en MT3

(aB C) .I1 2 C) .I2 z .IO- (a B -

Spanning over de totale

aardverspreidingsweer- 2 F 1 aC. e.I2 3z. e.IOa C. .Istand: uR ~ Us + uT =

TABEL VI - 2

Als tabel VI-1 maar voor het speciale geval dat de som van de

aardverspreidingsweerstand een zeer grote waarde aanneemt

IJ:­I..D

I

.-BINNENGELEIDERSTROMEN

Ra = Raa + Rab = 0 SYNCHROON STELSEL INVERS STELSEL HOMOPOLAIR STELSEL

Il = I = aI2 I2 = I 2 aIT

Q= a I T = a IS =R S R I = I = I = Imantelstromen:

R S T

iS = i T = i R2

aC -(3z + C)= i 1= - a CC.Il i 2 -

c'I2 i Q C.IQ

3 (r + z) = 3 (r + z) = 3 (r + z)+ + +

spanningsval per meter

in:, ••• •

(B 2 C) 1 2 C) 2 - rC IQMR1' M

R2en M

R3- aC - a ·3· I (B - a C - a'3 .I 3 (r + z) + C

(a2

B 2 C) 1 • C) 2 • + 2rC ••MS1' M

S2en M

S3- a '3 .I (aB - a'3 .I 3 (r + z)

IQ+ C

2 C) 1 •(a

2B C) 2 • - rC ••

MTl ' MT2

en Mn (aB - C - a '3 .I - C - a'3 .I 3 Cr + z)IQ

+ C

Spanning over de tota Ie

aardverspreidingsweer- 0 0 0

stand:u R + Us + U =T

I\J'1Cl

I

TABEL VI - 3

Als tabel VI-l maar nu voor het speciale geval dat Ra = Raa + Rab = 0

• Hier bij is aangenomen dat C « z

•• Deze termen zijn te verwaarlozen t.o.v. de spanningsval ·t.g.v. de synchone en inverse stroomstelsels omdat:

a) I2 > IQ, I 1 > IQ

b) rC « B3(r + z) + C

-51-

De resultaten van de. berekeningen voor deze twee gevallen zijn weer­

gegeven in de tabellen VI-2 en VI-3.

M.b.v. de tabellen VI-1, VI-2 en VI-3 is het nu mogelijk om de spanning

van de mantels t.o.v. aarde te bepalen, omdat m.b.v. de theorie der

symmetrische componenten elke voorkomende stroomconfiguratie in de bin­

nengeleiders te ontbinden is in de drie genoemde symmetrische stroom­

stelsels, waarvoor m.b.v. de genoemde tabellen alle interessante span­

ningen en stromen in de mantelcircuits zijn te berekenen. Door sommatie

van de gevonden spannings- en stroomcomponenten, wat toegestaan is om­

dat het hier een I ineair systeem betreft, vinden we de spanningen en

stromen t.g.v. de oorspronkelijke stroomconfiguratie in de binnengelei­

ders .

SLECHTE AARDING VAN HET MANTEL-CIRCUIT.

Als voorbeeld van de eerste categorie nemen we een kabel sectie bestaande

uit drie subsecties, waarvoor geldt dat de aardverspreidingsweerstanden

aan het begin en het einde van de mantel-circuits aan elkaar gelijk

zijn, maar zeer hoge waarden ~ebben. In deze situatie willen we de

spanning van de mantels t.o.v. aarde berekenen, in het geval dat achter

de kabelsectie een twee-fasen aardsluiting optreedt. Deze storing is

daarom gekozen, omdat bij dit soort storingen zowel een groot synchroon

maar vooral ook een groot homopolair stroomstelsel door de binnenge­

leiders vloeit. De aanwezigheid van een homopolair stroomstelsel is na­

delig omdat dit de grootste spanningsval in de mantels tot gevolg heeft,

aangezien in het algemeen gesteld mag worden dat:

Iz.II > /a.B.II· VI-z8

De homopolaire' stromen zijn dan ook het gevaa.-lijkst voor de isolatie

tussen de mantels en aarde.

De stromen in de mantels zijn verwaarloosbaar klein zoals tabel VI-2

ons Ieert.

Indien we aannemen dat gesteld mag worden Zl = Z2 = ZO' en dat de span-

..

-52-

ning op de R-fasegeleider voor de storing en op de plaats van de stro­

ring e f bedraagt dan vinden we voor de foutstromen [8]:

VI-29

efmet: I

k3= z- = drie-fasen kortsluitstroom.

1

De symmetrische componenten van dit stroomstelsel zijn:

VI-30

Voor de spanningsval per meter in de mantels om de R, S en T geleider

vinden we m.b.v. tabel VI-2 resp.:

{2(B - aC) (B 2 I k3eR - - a C) - z~

3

{(2a2B - aB) -I

k3eS z}_·

3 '

2 I k3eT = {2 (aB - C) - (a B - C) - z }-3-;

VI-31-a

VJ-31-b

Voor de spanningen t.o.v. aarde aan het begin (a) en het einde (b) van

de mantel-circuits vinden we in het geval dat geldt Raa = Rab:

Vaa

Vab

2 I k3 D(2a C - aC - 3z) .-6-· t,

- Vaa.

VI-32-a

VI-32-b

Gaan we uit van bijvoorbeeld een kabelhoofdsectie met een lengte van

3 km (1 subsectie is een km lang: ~ = 1 km) bestaande uit drie paral­

lelle hoogspanningskabels met een loodmanteldiameter 2Ru = 10 cm, ge­

legen in een plat vlak op een onderl inge afstand S = 75 cm, dan vin-

den we voor de constanten B, C,en z, wanneer we als bedrijf~frequentie 50 Hz

nemen en verond~rstellen dat p = p = 1000 ~m:aarde a

-53-

B. ).Jo S j.

-4= J .w•21T' 1n Ru 1,7.10 nim

).J -4• 0 1 ? j .C = J.w. 21T . n = 0,4.10 nim ,

2 7 .).Jo Sz = B - C + 3D = 3n f.l0- + J.w· 21T {ln 2Ru +

= 1,49 10-4 + j 16,65 10-4 nim.

f i 9 VI- 3

23ln -}.YXS '

Wanneer deze waarden worden gesubstitueerd in de vergelijkingen VI-31

en VI-32 dan vinden we:

(- 0, 15 j-4

e = - 4,92).10 Ik3R

0,97 j-4

eS = - 5,83).10 Ik3

eT (- j-4

= 1,97 - 5,97).10 Ik3

(- 0,57 j-1

Vaa = 8 , 37) . 10 I k3

Vab - Vaa...

Vlm

Vlm

Vlm;

V

-54-

Voor de spanningen t.O.V. aarde op de plaatsen van de mantel kruisingen

vinden 'we:

Vaa - e e= (- 0,42 - j -1VAR = 3,45) .10 I

k3VR

Vaa - e f = (- 1 ,53 - j -1VAS S 2,54).10 Ik3

V

VAT Vaa - eT ~ 1 ,41 - j -12,40) . 10 I k3 V

Vab + eS f + j -1VBR = 1,53 2,54).10 I

k3V

Vab + eTe (- 1 ,41 + j -1VBS = 2 ,40) • 10 I

k3V

eRe 0,42 + j -1VBT

= Vab + = 3,45) .10 Ik3

V

In figuur VI-4 zi jn de spanningen van de mantels Lo.v. aarde gegeven,

waarbij aangenomen is dat Ik3

1 ampère bedraagt.

Uit deze figuur zien we dat in dit speciale geval de totale spanning

over de aardverspreidingsweerstanden kan oplopen tot ca. 1,6 V per am­

père drie-fasen kortsluitstroom. In het ongunstige geval dat één aarding

veel slechter is dan de andere kan deze spanning volledig over de

grootste aardverspreidingsweerstand komen te staan. Afhankel ijk van de

te verwachten drie-fasen kortsluitstroom kan deze spanning oplopen tot

waarden die in de buurt liggen van 100 kV. Dit zijn uiteraard ontoelaat­

bare spanningen en men zal dan ook alles in het werk stellen om deze te­

rug te brengen tot acceptabe Ie waa rden·. Een man i er i s he t ve rIagen

van de aardverspreidingsweerstanden Raa en Rab, maar dat men tot zeer

lage weerstandswaarden moet gaan bI ijkt wel uit figuur vr5. Hierin is

uitgezet de spanning over de totale aardverspreidingsweerstand Ra

IVaa - Vabl. Deze grafiek is bepaald m.b.v. een model, waarmee de in

het rekenvoorbeeld beschreven kabel sectie is nagebootst. Hierover meer

in hoofdstuk VI I I ...

.,.,-.laCC

"'"<-

IJ:-.

lil A 3:- 0 OJC "'" :::l-. rt rtrt lil ro-. - -:::l C lilla -. "'0

rt OJ0 lil :::l

"'0 rt :::lrt "'" -"'" 0 :::lro 0 laro :3 ro0... :::lrt

_.:::l rt I

rt V1C :r 0 V1lil ro Ilil rt <ro:::l la

ro OJ0... < OJro OJ "'"- 0...-n roOJ rolil "'" "'0ro ro.:l ro "'"ro(/) :::l OJ

:3rt "'0

-i ~ ro'ro "'"ro ro ro:::l I

-n 0...OJ OJ "'"OJ lil -."'" ro ro0... :::l Iro -n

A OJ0 lil

"'" rort :::l

I

,,'/

//

Volt per ampère I k3

,./

//

/,/

,/

benaderde mantelspanningen t.o.V.

aarde in het geval Raa=O en Rab=oo

.....~'.:-.,

,.~ ......'.:-. ',,' ......

,/ ..~......

3 10- 11 / "':':~:-~~ Raa = Rab ....~ 1/' ',;0.. ......... » ~

''lo......'.~~.

".,ee..

6 10-1~'~ 1,.,// I -(7 I

9 10-11 Raa = iy/I //.

//// I

12 10-1~ I 1/. //' I

15 10-1\, I I 7'//' I

a subsectie 1 AR subsectie 2 SR subsectie 3 b

AS Ss

AT ST

-56-

{ }

Ra="" --- --~- - -1- -Kr-"-v

~./

/-'./

",e.

cr~v

/'lZ"

VV

~

~V

/I I

.1 2 3 4 51 6 7 a 9 1 .12 2 3 4 5 6 7 8 9 1Ra = Raa + Rab .12

0.1o

2

cucu>

-0cu> 0.2

o>

l""'\.::L

hiQ)L­

IQ)0..EcuL- 0.6Q)0..

.. . (z + r. + }) . eFiguur VI-5. IVaa - Vabj = f(Ra),

gegevens: Kabel: massieve koperen binnengeleider

loodmantel buitendiameter

wanddikte

soortelijke weerstand van de aarde Pa

lengte van een subsectie f

gS 40 mm

100 mm

5 mm

= 10 3 .l2m

10 3 m=

Uit figuur VI-5 bI ijkt dat men voor de beschouwde kabel moet eisen dat

de som van de aardverspreidingsweerstanden in de orde grootte van 0,1 ­

0,5 .12 moet I iggen om de gevaarl ijke spanningen over de aardverspreidings­

weerstanden en daarmee de spanning van de mantels t.O.v. aarde tot aan­

vaa rdba re waa rden te rug te brengen .

In vele gevallen zal niet aan een dergelijk zware eis kunnen worden vol­

daan zodat men dan moet overgaan tot het verkleinen van de subsectie­

lengte. Het toepassen van overspanningsafleiders heeft hier geen zin ...

VI-a-2 GOEDE AARDING VAN HET MANTELCIRCUIT.

8eschouwen we nu de situatie waarbij de mantel-circuits zeer sol ide

zijn geaard, dan kunnen we, wanneer wederom wordt verondersteld dat

het verband tussen de weerstand van de loodmantel per meter (r) en

de diameter van de loodmantel (2Ru) gegeven is door vergelijking

V-b-18:

r = ~/m

'1 -2m.b.v ..ge tabel VI-3 zowel de verhouding \trl = \]71 als de verhou-

ding I~I berekenen als functie van de buitendiameter. Aangenomen althans.

dat de soortelijke weerstand van de aarde p en de bedrijfsfrequentiea

gegeven zijn . In de figuren VI-6 en VI-7 zijn deze functies

weergegeven. In de figuren VI-6-a-en VI-7-a zijn deze verhoudingen nogmaals

gegeven maar daarbij is de soortelijke weerstand van de aarde als

onafhankelijke variabele gekozen.

Uit de genoemde figuren blijkt duidelijk dat in situaties waarvoor geldt:

a) p > 10 2 ~m,a

b) de loodmanteldiameter is groter dan 6 cm,

c) de afstand tussen 2 naburige geleiders is kleiner

dan 2 meter,

d) de bedrijfsfrequentie is 50 à 60 Hz en

e) de invloed van de aardverspreidingsweerstanden is te

verwaarlozen,

gesteld kan worden dat de stromen in de mantels te verwaarlozen zijn

wanneer er door de binnengeleiders een synchroon en/of een invers

stroomstelsel vloeit en dat, wanneer er door de binnengeleiders een

homopolair stelsel vloeit, de mantelstromen vrijwel gelijk

maar tegengest~ld gericht zijn aan de homopolaire binnengeleider­

s tromen .

Hiermee is bewezen dat door het toepassen van I'cross-bondings'l de mantel­

stromen tijdens normaal bedrijf slechts een fractie bedragen van de

mantelstromen, die zouden optrèden wanneer geen mantel-kruisingen waren

toegepast.

Alvorens de mantel spanningen te berekenen ten gevolge van enkele storings-

-58-

10

8

6

2

x lÖ3

~

J~v---

!/ '1

I~I\Irl = = f(manteldiameter)

Pa = 1000 Qm

314-1

w = 5

ma ntel d i ame ter .

S=lm=O.6m=0.2m

Fig. VI-6

5 10 15 cm 20

10 ~--~~--+------+---+----I

8 I--------t-------"~+--~~---+----I

6r---------t----+----1-------t=~-~

Fig VI-6-a

t •

'1 . 2

IIrI = I~I = f(p)

2 t---------j 4iameter van de mantel: 0.1 m

.. w = 314-1

5

10

0.8

0.2

0.6

0.4

j ~~

5=0.2 5=1rr

J

I

li QIpL = f(manteldiameter)

Pa = 1000 ltm

314-1

Ui = 5

mantel diameter

Fig VI-7

5 10 15 20 cm

5 =0.2 m

Fig VI-7-a

10 ltm 10 S1010

5 = lm

5=0.2 m --...".,.. .---- .--......" ...- ...-~--

.-"'" _...-"""..,,'"

.... ....-........ 5 = 1 m

~........ ..... ~ ........./'" ///

1// ~

/'V ......

I~I = f (p )a

10 cm-diameter van de mantel

3.5 cm ---

11' = 314 5- I

Pa2 '3 1410

0.9

0.8

O. 7

0.6

-60-

gevallen kan hier opgemerkt worden dat de spanning geinduceerd door ho­

mopolaire stromen te verwaarlozen is t.o.v. de spanningen geinduceerd

door een synchroon of invers stroomstelsel, aangezien gesteld mag worden

dat:

rC3(r + z) + C

« B. VI-33

Dit is zeker het geval wanneer aan de hiervoor genoemde voorwaarden

a t/m e is voldaan. Bovendien is in de praktijk de homopolaire compo­

nent kleiner of gelijk aan de synchrone component van het stroomstelsel

door de binnengeleiders. In tegenstelling tot de situatie waarbij het

mantel-circuit slecht was geaard kan hier bij de berekening van de

mantelspanningen t.o.v. aarde de homopolaire stroomcomponent verwaar­

loosd worden.

In het hierna volgende zal de spanning van de mantels t.o.v. aarde

dan ook bepaald worden in het geval van twee typen storingen achter

de kabelhoofdsectie t.w.:

a) een symmetrische drie-fasen kortsluiting en

b) een twee-fasen kortsluiting tussen de fasen T en S

zonder verbinding naar aarde.

We spreken hierbij weer af dat Zl = Zz en dat e f de spanning is op de

plaats van de storing en voor de storing van de fase R geleider.

Terwijl Ik3

de drie-fase kortsluitstroom voorstelt.

DE SYMMETRISCHE DRIE-FASEN KORTSLUITING.---------------------------------------

Bij dit soort storingen geldt:

ofwel uitgedrukt in symmetrische componenten:

o en IO = O.

Tabel VI-3 leert ons dat de spanningen over de verschillende mantels

-61-

ge I ijk zi jn aan:

eR' ~ = e. (B aC a2C VI-34-au R1= u R2 u R3

= - - -3-) .Ik3

eS' f = e. (a 2B}C VI-34-bu S1

= u S2= u

S3= - -3-) .Ik3

= uT2 = uT3 = eT' e= e. (aB}C VI-34-cuT1

- C - -3-) .Ik3 .

Wanneer we hetzelfde kabelcircuit beschouwen als hiervoor dan vinden

we voor deze spanningen:

(0,231

eT' f = (-1.59

+

-1j 0,78) .10 .I

k3;

-1j 1,20). 10 . I k3 .

In figuur VI-8-a zijn deze spanningen als vectoren weerge~even. Uit

deze figuur bI ijkt dat de maximale spanning tussen de mantels 0ptreedt

in de verbindingsmof, op de plaats van de cross-bonding, waar de man­

tels van de twee buitenste kabels samen komen. Deze maximale spanning

bI ijk t te zij n :

VI-35

De maximale spanningen van de mantels t.o.v. aarde treden bij dit soort

storingen op, op de plaats van de cross-bondings, in de mantels van de

buitenste kabeis.

In figuur VI-8-b is weergegeven de effectieve waarde van de spanning

t.o.V. aarde an de mantels langs de kabel sectie ten gevolge van een

drie-fasen kortsluiting, waarbij is uitgegaan van: Ik3

= 1 ampère .

..

-62-

uR1 VBT=-VAR

,Ik3

1 d i v. = 0,06 V/A

/ ~~/

Al """""- US1

/VBS=-VATI

k3 I k3

Figuur VI-8-b

Figuur VI-8-a

~....M~? -j - /

.,0, 15 V/A /

/,

/'. , .~'. .... /

.Y~s.1/

IvBR.l.-,~..... /~.-... ;.>:::...... ~.0' ...-

~~'/// MT2 MR2· ....,.. ~~

o Og ",,",Jp \U>/ /~' ~ '.•v' '\.' / '.p ", '\

,7 / .... ~

~i' / .~". '\l

... / ". "I

0,Q3 .... / ...... "\..p/ .....~... /..../ ",

'.

f/ ..:,f/

subsectie subsectie 2 subsectie 3

Spanning van de mantels t.o.v. aarde t.g.v. een drie-fasen kortsluiting.

-63-

~~~:E~?~~_~Q~I?~~!I!~9_I~~?~~_Q~_E~?~~_~_~~_I_~Q~Qs~_~s~ê!~Q!~§

MET AARDE.---------

Wanneer deze situatie optreedt kan men voor de foutstromen in de

binnengeleiders schrijven:

I = 0 en I = - IR S T

ef-J' 1 13 - - -J' 1 13 T

'"2"' 'z - '2:' '~k3'

1

ofwel ontbonden in symmetrische componenten:

en IO =0.

M.b.v. tabel VI-3 vinden we dat voor de spanningsval over de mantels

bij dit soort storingen geschreven kan worden:

eR-f (a2

a)C. e.t.Ik3; VI-36-auR1 = uR2 uR3

= -

eS' e= (a 2 a)(B - }). e.~.Ik3; VI-36-buS1 = uS2 = uS3

-

Wanneer we weer uitgaan van de hiervoor genoemde kabelsectie dan

vinden we voor deze mantelspanningen:

0,23-1

VuR1 = 10 .Ik3

1,36-1

VUs 1 = 10 .Ik3

=-1.59-1

VuT1 10 .Ik3

VI-36-c

In figuur VI-9-a zIJn deze spanningen weergegeven als vectoren. uit­

gaande van een drie-fasen kortsluitstroom van 1 ampère. De maximale

spanning tussen de mantels bedraagt in deze situatie. zoals uit de

figuur VI-9-a bi ijkt:

..

VI-37

-64-

Figuur VI-9-a

....un uR1 uS1- - -I

k3I

k3I

k3

1 cm = 0,03 V/A uR1 = - VAR = V8T

Us 1 = - VAS = V8R

uT 1 = - VAT';" V 8S

Figuur VI-9-b

0, 15 V/A

IVATMR/ v8s 1.......... ..... /..... '\..

~,vAsl .... '/...~........ /

.. .. .................. .. ...... -.

o nq .' /,

/ ,/ IV8R ".,.~,

/ ,.....// , ,

~,.'/./

/" •....~~0,03 ~.""/

//~'? A2 ", ,~ ....~// MT2', ,

\5'.;> ".'..//

.j'/ lt(,

MR3 -~~R' - IVARI IVBTI --./ --

subsectie subsectie 2 subsectie 3

Spanning van de mantels t.o.v. aarde t.g.v. een twee-fasen kortslui­

tind zonder verbinding met aarde. (lk3 = 1 A).

-65-

In figuur VI-9-b zijn de effectieve waarden van de mantelspanningen t.o.V.

aarde gegeven weer uitgaande van een drie-fasen kortsluitstroom van

1 ampère.

Uit de voorbeeldenl

die hier behandeld zijn kan worden geconcludeerd dat

de spanningen van de mantels t.O.V. aarde het grootst zijn wanneer de

mantel-circuits slecht zijn geaard. De spanningen kunnen in dat geval

5 à 10 maal zo groot worden als de spanningen t.o.V. aarde in het ge­

val de mantel-circuits wel zeer solide zijn gQaard.

T.a.v. de situatie wáarbij de mantel-circuits zeer goed geaard zijn

kan men stellen dat, wanneer de sluiting plaats vindt op een plaats

waar gesteld kan worden dat Zl = Z2 ' dan de drie-fasen kortsluiting

het gevaarlijkst is, aangezien in dat geval de hoogste spanning tussen

de mantels optreedt. Zie vergel ijkingen VI-35 en VI-37.

Ligt de kabel evenwel in de buurt van generatoren of motoren dan kan

het zijn dat Z2 < Zl' zodat daar een geisoleerde twee-fasen sluiting

gevaarl ijkere spanningen kan introduceren, omdat de kortsluitstromen

daar ter plaatse groter kunnen worden dan de waarden die hier bij een

dergel ijke storing zijn aangenomen.

-66-

VI I. DE SYNCHRONE, INVERSE EN HOMOPOLAIRE IMPEDANTIE

VAN EEN HOOGSPANNINGSKABEL-TRAC~

Tot nu toe hebben we ons hoofdzakel ijk bezig gehouden met de verschijn­

selen in de mantels. Wanneer we echter kijken naar de spannings-stroom

relaties, die gelden voor de binnengeleiders over de lengte van een

hoofdsectie dan valt de orlgel ijke vorm op van deze drie vergel ijkingen

(zie de vergel ijkingen VI-ll, VI-12 en VI-13). Indien men de mantels op

de hiervoor beschreven wijze kruisel ings met elkaar verwisselt, dan zal

de hoofdsectie dus een asymmetrisch element in het transmissie-systeem

introduceren. Om eerder vermelde redenen is dit een onaanvaardbare toe­

stand, wanneer de impedantie van een dergel ijk asymmetrisch transmissie­

systeem niet te verwaarlozen is ten opzichte van de totale impedantre

van het circuit. Aan deze asymmetrie kan worden ontkomen wanneer men

in plaats van de mantels de binnengeleiders kruisel ings verwisselt.

Deze manier van kruisen staat in engeland bekend onder de naam I'Kirke­

Shearing cross-bonding". Het voordeel hi~rvan is dat op deze manier

dus bereikt wordt dat tijdens normaal bedrijf de invloed van de mantels

kan worden verwaarloosd, omdat daarin afgezien van de capacitieve laad­

stromen geen stromen vloeien. Bij het toepassen van deze methode is men

echter gedwongen om een groter oppervlak te reserveren voor het aanbren­

gen van de kruisverbindingen. Wat soms bij het toepassen van hoogspan­

ningskabels als een nadeel kan worden gezien. Een ander nadeel is gele­

gen in het feit dat de mantel-circuits nu niet meer symmetrisch zijn,

wat al leen tot uiting komt wanneer door de binnengeleiders een homopo­

lair stroomstelsel vloeit. Dit laatste nadeel is er de oorzaak van dat

bij de berekening van de mantelspanningen en -stromen is uitgegaan van

de methode waarbij de mantels werden verwisseld. Zoals bI ijkt uit tabel

VI-l zijn de mantel-circuits in dat geval wel symmetrisch ongeacht wel­

ke stromen door de binnengeleiders vloeien. Naar mijn mening zouden de

conclusies ten aanzien van de mantelspanningen niet anders luiden wan­

neer ",as uitgegaan van de "Kirke-Shearing ll methode.

Bij de berekening van de synchrone, de inverse en homopolaire impedantie

van een kabeltracè is het wenselijk dat de kabelsectie voor alle symme­

trische stroomstels~ls in de binnengeleiders, zich ook als een symmetrisch

orgaan gedraagt.

-67""

Dit blijkt het geval te zijn wanneer men drie hoofdsecties, zoals die

in hoofdstuk VI zijn geschetst, met elkaar verbindt op de manier zoals

die voorgeschreven wordt door de "Kirke-Shearing 'l methode. Men verkrijgt

dan een symmetrische kabelsectie, welke is getekend in figuur VI /-1.

De karakteristieke vergelijkingen, die deze doorverbindingen beschrijven

zijn de volgende: ( Voor de betekenis van de gebruikte symbolen zie

figuur VII-l)

voor de binnengeleiders:

VII-1-a

VII-1-b

VII-1-c

IR = I R1:z: I

S2 = In; VII-2-a

IS = I S1 = I T2 I R3 ; VI J -2-b

I T = In = I R2 I S3 ; VII-2-c

voor de mantel-c1rcuits:

uR = uR1 + u

T2+ U

S3; VII-3-a

Us = uS1 + uR2 + uT3 ; VII-3-b

uT = un + uS2 + uR3

; VII-3-c

i R = 1,R 1 1,T2 = 1,S3; VII-4-a

i,. = i S1 iR2 1,13; VII-4-b

;:)

...

i T 1,~1 1,S2 = i R3 ; VII-4-c

•

; I R2 •

1.:....UR1 -------

•

-

IS1 .. I I II

I j' !I- lO ~ ... I

iS 1 i S2iS3

0'00

I

In .I I112

IT3 II

... .,.

I 1 \ \ 1 \~ I.. I .- •

iTlI

,iT2 inI I I

I I ,1

\- uR1 -, ,- uR2 -I j ... uR3I

hoofdsectie 1 3.~I I

hoofdsectie 2 : 3. ~I hoofdsectie 3 3.~

I : I I I

I1- symmetrische kabel sectie

,'-1

Figuur VII-l

De spanning-stroom relaties voor een symmetrische kabel sectie worden

nu gevonden door eerst de spanningstroom relaties op te schrijven voor

de binnengeleiders en de mantels van de 3 hoofdsecties (zie hiervoor

de vergelijkingelI VI-11 t/m VI-16). De stromen in deze vergelijkingen

dienen vervolgens met behulp van de vergelijkingen VI I-Z en VI 1-4 te

worden vervangen door de stromen die de symmetrische kabel sectie bin­

nentreden, en tot slot moeten de spanningen die over de hoofdsecties

staan, gesubstitueerd worcien in de vergelijkingen VII-1 en VII-3.

De spannings-stroom relaties die op deze manier gevonden worden lui­

den als volgt:

voor de binnengeleiders:

VII-5

VII-6

VII-7

voor de mantel-circuits:

UR = {9 (r+B)iR + OB-ZC) (IR+IS+IT) - 3C (iT+i s ) + 9I tot ·D}.P

Us {9 (r+B)is + OB-ZC) (IR+IS+IT) - ?C (iR+iT) + 9l t .D}. fot

U = {9 (r+B) i T + OB-ZC) (IR+IS+IT) - 3C(i s+i R) + 9I tot ·D}.fT

Voor de volledigheid kan hier worden opgemerkt da t:

a) de lengte van een symmetrische kabelsectie 9.eb) de lengte van een hoofdsectie = 3.f

c) de lengte van een subsectie = e.

VII-8

VII-9

V11-10

..

-70-

BEREKENING VAN DE SYNCHRONE EN INVERSE IMPEDANTIE PER METER-----------------------------------------------------------y~~_gg~_~Y~~gI31~Ç~s_~~~sb~sÇIlg,

Wanneer we de vergel ijkingen voor de mantel-cicuits n?der beschouwen

dan zien we dat, wanneer voldaan is aan:

a) IR alS2 of IR

2alT= = a I T a IS = en

b) uR = Us uT'

dat dan geldt:

~R = ~S ~T = o •

M.a.w. wanneer er door de binnengeleiders een synchroon enlof een in­

vers stroomstelsel vloeit en bovendien de beide uiteinden van de drie

mantel-circuits met elkaar zijn verbonden, dan zijn de mantel-circuits

stroomloos. De wijze van aarding aan het begin en einde van de mantel­

circuits speelt hierbij geen rol.

De inverse en synchrone impedantie van de kabels zal daarom onafhankel ijk

zijn van de kwal iteit van de aardingen.

Wanneer voldaan is aan de eis:

dan kunnen de spanning-stroom relaties van de binnengeleiders dus als

volgt worden vereenvoudigd:

u. = {9(R + A) + 3C}.2.I.J J

VI 1-11

Voor de synchrone en inverse impedantie vinden we daarmee:

ofwe I :

Zl Z2

..

U.J =~

J

nim, VII-12

Zl

-71-

"~o 2S"~2Z2 = R + J.w· 2n " {In d +~} rl/m. VII-13

êgBg~g~l~~_~~~_Qg_~Q~QeQb~lBg_l~egQ~~Ilg_egB_~gIgB_~~~_gg~

SYMMETRISCHE KABELSECTIE.------------------------

Wanneer de aardverspreidingsweerstanden aan het begin en het einde van

de mantel-circuits weer gel ijk zijn aan resp. Raa en Rab dan kunnen we

weer sellen dat:

VII-14

met: Ra = Raa + Rab.

Zie ook figuur VI-2 en vergelijking VI-26.

De stromen i R, iS en i T in vergelijking VI 1-14 zijn het gevolg van een

homopolai r stroomstelsel· in de binnengeleiders omdat zoals reeds is

aangetoond, de synchrone en inverse stroomstelsels geen mantelstromen

tot gevolg hadden.

Wanneer we nu aannemen dat in de binnengeleiders uitsluitend een homo­

polair stroomstelsel vloeit, zodat geldt:

1° = I = I = I ,R S T VII-15

dan vinden we m.b.v. de vergel ijkingen VII-S, VII-9, VII-l0, VII-14 en

VI 1-15 voor de mantelstromen:

-(3z + C) .10

+ r) + 3z + CVII-16

met: z = B + 3D - C.

Dit gesubstitueerd in de spanning-stroom relaties van de binnengelei­

ders (vergel ijkingen VII-5, VII-6 en VI 1-7) levert op voor de spannings­

val over deze binnengeleiders:

r) (3z + c) 1 fJ"

J

.9 . r .JV.r) + 3z + C

-72-

De homopolaire impedantie van een symmetrische kabelsectie per meter

is daarom:

r) + 3z + C

URZO =~O

9.~. I

(Ra + r) (3 z + C)R + A - B + _31=-- _

Ra3(31 +

Q/m VII-17

We kunnen nu twee extreme situaties onderkennen nl. de situatie waar­

bij de som van de aardverspreidingsweerstande~ verwaarloosbaar klein

is en de situatie waarbij deze som juist heel erg groot is t.o.V. de

andere impedanties van het kabelcircuit.

In het geval dat Ra o vinden we voor de homopolaire impedantie:

ZO R + r + A - B Q/m) VII-18

aangezien in hoofdstuk VI reeds is aangetoond dat bij hoogspannings­

kabels gesteld mag worden:

3z + C3r + 3z + C 1.

De homopolaire impedantie per meter kan ook als volgt geschreven worden:

]..l .

ZO R • 0 {' 1 2Ru}= + r + J.W· 2TI • 4 + n --d- Q/m. VII-19

Wanneer we vergelijking VI 1-19 goed bezien dan valt op dat hier in

feite staat de impedantie per meter van een eenaderige kabel. Dit is

echter niet zo verwonderl ijk indien men bedenkt dat de mantelstromen

vrijwel gel ijk zijn aan de binnengeleiderstromen en dat de aarde bij

een zeer sol ide tweezijdige aarding van de mantel-circuits niet effectief

als retourgeleider dienst doet. Men zou de situatie waarin uit-

sluitend homopolaire stromen aanwezig zijn dan ook kunnen zien als

geschetst in figuur VI 1-2.

In de situatie waarvoor we mogen stellen dat Ra ~oo vinden we voor

de homopolaire impedantie per meter:

..

-73-

Kabe 1 R

°<-. 0I ...

( ) )

""' 1°Kabe 1 S

( V 1°-() )• 1°

Kabe 1 T1°( () -

UO 0 )"'4 1°

~ symmetrische kabel sectie~

///////// -//////.//

Figuur VI 1-2. Homopolaire stroomverdeling in de situatie dat Ra 0

ZO R + A - B + C r2/m tz +-3

== R + A + 3D - ~ r2/m,3

ofwe I:2 -7 II 2S 2 2ZO . 0 {' 2} r2/m. VII-20= R + 3n f. 10 + J .w· 2n · 1< + In - + 31n- - -1 n

d YXS 3

In het geval dat de binnengeleiders een homopolair stroomstelsel voeren

kan men stelle~ dat door de mantels geen stroom vloeit, indien de aar­

ding van de mantel-circuits slecht genoemd mag worden. De som van de

binnengeleiderstromen moet door de aarde terugvloeien naar de bron van

de homopolaire stromen, vandaar dat nu de geleidbaarheid van de aarde

wel in de homopolaire impedantie is terug te vinden.

Om een indruk te geven van de grootte van de hiervoor berekende synchro­

ne, inverse en homopolaire impedanties zijn in figuur VI 1-3 deze impe~

danties per ki lometer weergegeven als functie van de afstand (S) tussen

de in een plat vlak gelegen parallel Ie kabels. Hierbij is uitgega~n van

een kabel, die bestaat uit een massieve ronde koperen binnengeleider met

een diameter van 4 cm en een loodmantel met een binnen- en buitendiameter

van resp. 9 en 10 cm. Bij de berekening is uitgegaan van een homogene

..

-74-

stroomverdel ing in de geleiders, zodar kon worden gerekend met de gelijk­

stroomweerstanden. De werkel ijke weerstanden zullen iets groter zijn

ten gevolge van het skin. - en het proximity-effect. Bij de berekening

van de homopolaire impedantie in het geval dat de aardingen slecht zijn

is aangenomen dat de soortelijke weerstand van de aarde gelijk is aan

1000 rim.

Voor het geval dat géén cross-bonding is toegepast vindt men met behulp

van de vergel ijkingen V-b-7 en V-b-16 dat de synchrone impedantie per

meter van een kabel tracé gel ijk is aan:

Zl+ + ++ ++= Rl + j.X I

R + A C(B + 1) 2

ri/m • V11-21= + - - C3 r + B + 3'

Als vergel ijkingsmateriaal is deze impedantie, voor dezelfde kabel

en onder dezelfde aannamen eveneens in frguurVI 1-3 weergegeven.

Uit figuur VI 1-3 kunnen we de volgende conclusies trekken;

a) Wanneer de aardverspreidingsweerstanden verwaarloosbaar klein

zijn is de homopolaire impedantie van een kabeltransmissie

systeem eerder kleiner als groter dan de synchrone impedantie,

Dit in tegensteIl ing tot hoogspanningsl ijnen.

b) Bij goede aardingen van de mantel-circuits is de homopolaire

impedantie onafhankelijk van de afstand tussen de kabels, en

onafhankel ijk van de geleidbaarheid van de aarde.

c) Wanneer de aarding van het mantel-circuit slecht genoemd

kan worden is het mogelijk dat de homopolaire impedantie 5 à

10 maal zo groot is als de synchrone impedantie van het kabel­

t racè .

d) De synchrone impedantie van een kab~l-tracë waar cross-bonding

is toegepast, is groter dan de synchrone impedantie van een

niet gekruist kabeltrace van dezelfde afmetingen. Hierbij

valt op dat de ohmse component in het laatste geval groter is

dan de ohmse component van de synchrone impedantie bij toepas­

sing van kruisingen. Bij de reactieve component is dit juist

andersom. Een en ander wordt ook duidelijk wanneer men de

vergel ijkingen VII-12 en VII-21 naast elkaar beschouwt.

..

-76-

Figuur VII-3

Zl = Rl + j Xl

2 R2 + jX2Z

ZO RO + j XO =

ZO+= + jXO+ =RO +1++ ' 1++ . t+

Z = R + JX =

synchrone impedantie per km;

inverse impedantie per km;

homopolaire impedantie per km indien Ra = 0;

homopolaire impedantie per km indien Ra = 00, en Pa = 1000 Om

synchrone impedantie per km indien geen cross-bonding

is toegepas t.

koper

lood

---.---.-}+ . 4 cm----L-

T

Ii

-·i-I·-·rlII

9 cmLLTT

10 cm

2, u------.-------,

rl/km

~)c

'>(,)(

X'x

X'x.1,8 I-----t-----r--x:;--------r------.---------r-----+-----·

)(.')c,.

'IC.")C..

.Ir~

~~

1 I ~,9 I-----"""JI---------j

1,7" ,......,.~,," " " , , ,-+--+--I-+-/+-

'i' " , " " ,,' " , , " ',,; , ,,',,' " ,,/. " " "

0, 3t-----+-----t------+-----+--.-----j~-----+-----1"

_......­.. ~--"..----I- --........ .."...---,.",",,,-

,~ RO+0, 2t----____1----:,;;;"'~.L-____1----__+----__+----__+----___+----li.::...--1

++-++~+- ... + ...... + -+- ..... ~ ... ~ .......................... --+--+- ......

RO.. 1+ +...... .. 0...... .. _ _................ .. ~

.' •. ' ••.••••••• ,•••.••••••.••.••••••. '" •• , ••...• o.•...•• 'Roï++...... "......

0,1 t-----+--.-:-:..,..-..'.c:..:••t-----+-----/-----J----+-----1.. '.. '

.~.,4---.....,~---+-----+----___l_---__1-- XO

------- -- -.- -- - .. - ----- --~--0,2 0",4 0,6 0,8 1,2 m

afstand S .

-77-

VI I I. HET DYNAMISCH GEDRAG VAN EEN KABELSECTIE UITGEVOERD

MET MANTELKRUISiNGEN.

In het voorgaande was de aandacht vooral gericht op het stationaire

gedrag van gekruiste kabels. Men kan zich echter ook afvragen wat

de gevolgen zijn van plotsel inge veranderingen, zoals bijvoorbeeld

ten gevolge van: a) het inschakelen van de kabelsectie )

b) het ontstaan van een kortsluiting;

c) blikseminslag op een hoogspanningsl ijn, die

aangesloten is op de kabelsectie.

Bij deze en andere plotselinge toestandsveranderingen kunnen zeer

hoge spanningen in de mantels worden geinduceerd. Deze kunnen zelfs

zodanig hoge waarden aannemen, dat, wanneer geen bescherme~de maat­

reg~len worden genomen, de beschermende p.v.c.-laag tussen mantel en

aarde kan worden geperforeerd. Hierdoor wordt de mantel d.m.v. het

binnendringende vocht op een niet gewenste plaats geaard. Zwerfstromen

kunnen via deze plaats de mantel binnendringen en door plaatse-

1ijk optredende hoge stroomdichtheden kan electro-chemische·corrosie

van de mantel optreden. Om dit te voorkomen is het uiterst belangrijk

te weten tegen welke spanningen men de mantel isolatie bestand moet

maken.

De theoretische behandel ing van dit probleem is juist door de aanwe­

zigheid van de mantelkruisingen zeer ingewikkeld. Deze kruisingen in-

troduceren nl. discontinuiteiten , waardoor ontelbare reflecties ontstaan.

Vele van deze reflecties moeten bij de berekeningen worden meegeno­

men, omdat bij experimenten is gebleken, dat op diverse plaatsen de

maximale spanning tussen mantel en aarde in vele g~vallen optreedt

eerst nadat verschi llende signalen t.g.v. deze reflecties zijn gesom­

meerd. (9). Een andere moeil ijkheid wordt geintroduceerd door de aan­

wezigheid van de aarde, welke eveneens als parallelle geleider kan op­

treden. In vele publ icaties worde de aarde als een ideale geleider

voorgesteld, zodat deze als een electro-magnetische afscherming tus­

sen de kabels zou optreden.f9J (10) (11]. Aan de juistheid van deze

veronderstel I ing mag worde~ getwijfeld, omdat zelfs bij hogere frequen-

..

-78-

ties de effectieve retourweg van de aardstroom nog kan worden gezien

als,een paral lelIe geleider gelegen op een afstand v~n vele meters

van de kabels (zie tabel IV-l), zodat ook bij deze hoge frequenties

nog sprake is van een mutuele inductie tussen de kabels.

Aan de andere kant is de demping van de aarde voor hoog-frequente

signalen zo groot dat we wel licht mogen veronderstellen, dat de

stromen in de aarde paral lel aan de kabels bij hoge frequenties te

verwaarlozen zijn t.o.V. de stromen in de binnengeleiders en mantels.Al deze overwegingen hebben geleid tot de conclusie dat het gewenst

is om het dynamische gedrag van een kabel sectie te bestuderen aan

de hand van een model, hetgeen tijdens het afstudeeronderzoek is gebeurd.

Nagebootst is daarom een kabelsectie bestaande uit 3 subsecties van

elk 1 km lang. Om het model niet nodeloos ingewikkeld te maken werd

verondersteld dat de kabels gelegen waren in de hoekpunten van een

gelijkzijdige driehoek (zie figuur V-2). Bovendien zijn alleen de

mantels gekruist op de manier zoals aangegeven in figuur VI-l.

Wanneer hierna concrete berekeningen worden uitgevoerd, zal gebruik

worden gemaakt van de kabel-circuit gegevens welke zijn vermeld in

tabel VIII-l.

Tabel VIII-l

Gegevens betreffende de na te bootsen kabelsectie.

d = 4- cm

2Ru = 10 cm

2Ri = 9 cm

Er 1 = 3,5

~ = 4 mm

E = 7r2

S = 75 cm

Q = 1 km

Pa = 10 3 Sim

E = 2.5ra ,

loodman te 1: buitendiameter

binnendiameter

relatieve permittiviteit v.d. binnenisolatie

mantel isolatie: materiaal p.v.c.

Aarde: soortel ijke weerstand

relatieve permittiviteit

Kabel (220 kV fasespanning, 1500 amp Inom)

binnengeleider: massieve koperen binnengeleider

met diameter

Af~tand tussen de kabels

Lengte van een kabelsubsectie

isolatiedikte

relatieve permittiviteit

Van het model, dat zal gaan dienen als analogon voor het hierboven ge­

noemde kabel tracé zal geëist worden, dat het geschikt is voor de bestu­

dering van zowel statische als verschijnselen, die het gevolg zijn van

schakelmanipulaties, waaronder ook worden begrepen overgangsverschijnse­

len t.g.v. optredende kortsluitingen. De frequenties, die hierbij ontstaan

in een reëel transmissie-systeem bI ijven in het algemeen beneden de

grens van ZO kHz. De vraag die we ons nu stellen is: met hoeveel TI-net­

werken moet een subsectie nagebootst worden om te kunnen aannemen, dat

het model voor deze frequenties een goede nabootsing van de werkelijkheid

is. Om hierop een antwoord te vinden gaan we uit van de exacte tweepoort­

vergelijkingen, die gelden voor een enkelvoudige lange leiding.

Deze luiden als volgt: (zie figuur VIII-1)

VII 1-1

VIII-Z

met: ~ = langsimpedantie per meter, (S"2/m)

y = afleidings- admittantie per meter, (51m)-l

e= lengte van de lange leiding.

De tweepoortvergelijkingen van het n-netwerk, dat als nabootsing zou

moeten dienen van deze enkelvoudige lange leiding, luideh: (zie figuur

VII J-Z)

{ 1Zl

Z1• IZ VIII-3El = + Tl. EZ + •~Z

1 {ZZl

+ {1Zl

VIII-4I 1 = + Tl. EZ + Tl.1z·Zz Z Z

~ ;;.

} langeE2

leiding

f ig VII!-1 f · "['I"I g V I - L

-80-

De vergel ijkingen van het TI-netwerk worden identiek aan die van de lan­

ge leJding wanneer we stellen:

21 = ~~ sinh 1/iY , VIII-5

22

21

VIII-6en = fhycosh 1

Een dergel ijke impedantie is echter slechts bij benadering met behulp

van discrete elementen te real iseren. Om na te gaan hoe nauwkeurig een

benadering van de gewenste impedanties met behulp van eenvoudige compo­

nenten kan zijn, schrijven we de vergelijkingen VI 11-5 en VI I 1-6 in de

vorm van een machtreeks.

21

= f.:d 1 fu + ...... } )+ 6

2 f2 i!Y ...... } .22

= -r:y{ 1 + 12 +

VIII-7

VIII-8

Uit deze reeksontwikkel ingen kunnen we concluderen dat een TI-netwerk

met:

21

= f.i! = de totale langs impedantie van de lange leiding

en = tweemaal de totale dwars impedantie van de lange

leiding,

als een goede nabootsing van de lange leiding mag worden beschouwd voor

die frequenties waarvoor geldt:

VIII-9

Bij de constructie van hoogspanningskabels tracht men de verliezen tot

een minimum te beperken, zodat evenals bij een verliesvrije kabel ge­

steld mag worden:

fv = 7;y J

..

met: v = voortplantingssnelheid,

f signaal frequentie .

VI I 1-10

-81-

Wanneer we dit substitueren in vergel ijking VI I 1-9 dan vinden we als

b r ui kb aarc rite r i um :

VI I 1-11

Uit deze vergelijking volgt, dat een kabel met een lengte van een kilo­

meter en een voortplantingssnelheid van 1,2 10 8 mis (zie IX-c) voor

frequenties lager dan

f = i./6.g = 66 kHz,

met: 9 = 0,05

voorgesteld kan worden door middel van één TI-netwerk.

De voortplantingssnelheid van golven tussen twee kabelmantels bedraagt

1,8 10 7 mis (zie IX-c), zodat hier een enkel TI-netwerk slechts tot ca.

10 kHz een goede nabootsing is voor een mantel-mantel-kabel van 1 km

lengte.

Om aan de eerder gestelde eis van 20 kHz te kunnen voldoen zouden dus

per subsectie twee TI-netwerken in het analogon dienen te worden opgeno­

men. Door gebrek aan componenten kon dit helaas niet tijdig worden ge­

realiseerd, zodat in het analogon een subsectie van 1 km lengte uit­

eindelijk werd gesimuleerd door één samengesteld TI-netwerk .

..

VIII-a

-82-

ONTWERP VAN EEN MEERVOUDIG ~-NETWERK

VI I l-a-1 BEPALING VAN DE DWARS-IMPEDANTIES

Het meervoudig TI-netwerk, dat als nabootsing moet dienen van een

kabel-subsectie, kan slechts gereal iseerd worden wanneer de spanning­

stroom relaties van het kabel-tracé zowel in de langs- als in de dwars­

ric~ting bekend zijn. De spanning-stroom relaties in de langsrichting

zijn reeds uitvoerig behandeld bij de stationaire beschouwingen. Hierop

komen we later nog terug. Voor de spanning-stroom relaties in de dwars­

richting maken we gebruik van de algemeen bekende vergelijkingen, waar­

mee in een systeem van n parallelle geleiders de dwarsstromen kunnen

worden berekend, die van de ene geleider afvloeien naar de overige (n-1)

geleiders en het referentiepunt. Deze luiden als volgt:

nI. = Y. •V. +. L: Y••• (V. - V.) ~

I 10 I J=l IJ I JVII 1-12

met: I. dwarsstroom van geleider i,I

V. = de spanning van geleider i t.o.v.I

het referentiepunt 0,

I.Yi 0 (i) Vk=V. ' k = 1,2, ..... , n .

I I

I.

Yi j - (V~ )Vk=D, k cF j' k 1,2, ... ,n .

Om de dwars-admittanties Y.. te kunnen berekenen zullen we de situatie,IJ

zoals die in werkelijkheid bestaat iets vereenvoudigen, namelijk door

aan te nemen dat:

a) De potentiaal van een plat vlak, gelegen op een afstand

h =x -1 onder de kabels nul is, zodat dit equipotentiaal­

vlak als referentiepunt voor de spanningen kan worden be­

schou\'Jd.

b) De kabels zich bevinden in een homogeen medium met een

soortelijke weerstand p en een permittiviteit E: E: "a 0 r~

dat zich uitstrekt tot in het oneindige boven het refe-

rentievlak.

c) De veldlijnen in de mantel isolatie radiaal gericht zijn .

..

-83-

d) De diëlectrische verliezen in de kabel en de mantel isola­

tie verwaarloosd mogen worden.

-1De afstand h = X onder ad a) is zo gekozen, omdat dit ongeveer de

effectieve afstand is tussen de kabels en de aardretourstroom. Door de

aanname onder ad c) mogen we stellen, dat het buitenoppervlak van de

mantelisolatie een equipotentiaalvlak vormt, wat van hieraf de buiten­

mantel zal worden genoemd. In feite hebben we nu dus een systeem bestaan­

de uit 9 equipotentiaalvlakken te weten:

3 binnengeleiders R, S en T,

3 loodmantels r, s en t,

3 buitenmantels u, v en w.

Hiervan hebben de buitenmantels geen verbinding met de buitenwereld of

anders geformuleerd; de langs-impedantie van een buitenmantel is on­

eindig groot, zodat we kunnen stellen:

I = Iu v

1 = O.w

VIII-U

In figuur VIII-3 is het model weergegeven, waaruit de dwars-admittanties

van een kabel subsectie zullen worden berekend.

In het volgende zal worden uitgegaan van ondergenoemde veronderstellin-

gen:

a) CRr CSs CTt Firn d) R R R rlmuv vw wu

b) C = C C Firn e) R = R = R rlmru sv tw ua va wa

c) C = C = C Firn f) Cua C Cwa . Firnuv vw wu va

Uit figuur VII 1-3 is onmiddellijk te zien dat:

Y = j.w. C • P= j . w.ru ru

e. 27f .E:o E: r1

I 2Rin -d-

e.2:r.E: E: 2o rRu + /:;I n --=.-:-~

Ru

j .w. 2,4 10-7

j .w. 4,9 10-6

Y. = 0, met:10

..= R, St T, r, 5 en t. VIII-16

Uit de theoretische electrotechniek is bekend, dat het product van de

capaciteit, die besteat tussen twee equipotentiaalvlakken, met de ge-

-84-

I ijkstroomweerstand, welke gemeten wordt tussen deze twee vlakken, ge-

1ijk is aan het product van de soortelijke weerstand en de permittivi­

teit van het medium, waarin deze equipotentiaalvla~kenzijn gelegen [121.

M.a.w. hier geldt:

R .Cuv uvR .C

ua ua P .E: E: •a 0 raVIII-17

v

_. .__ ..•.eRr

T

IX

11

L:

fig. VIII- 3

Hieruit kan geconcludeerd worden, dat de weerstanden R en R bekenduv uazij n, wanneer de capaciteiten C en C zijn gegeven.uv uaAangezien het systeem, bestaande u i t de 3 buitenmantels en het referen-

tievlak veel overeenkomst vertoont met de situatie waar 3 lijnen sym-

metrisch zijn opgehangen op een

nen we bij de bepal ing van deze

van de in de I iteratuur bekende

hougte h boven het aardoppervlak, kun~

capaciteiten C en C gebruik makenuv uacapaciteitsberekeningen aan hoogspan-

VIII-18m

{Farad}j2h 4h

2

In Ru + ~ . In S(Ru + ~)

..C = 21T.E: E:uv 0 ra

ningslijnen, en vinden zo: [131 (l4]

In ~5

-85-

VI I 1-19{Fa rad/m} •e = eua uv

SIn Ru + t:"

In ~S

Bij de afleiding van de vergel ijkingen VI I \-18 en VII 1-19 is aangenomen:

(Ru + t:,,) « h én S« h.

Zoals uit tabel IV-l blijkt is h = x- 1 frequentieafhankelijk. In het

geval dat de soortel ijke weerstand van de aardbodem 1000 ~m bedraagt,

kunnen we echter als gemiddelde waarde aannemen: h = 200 m.

M.b.v. de vergelijkingen VI I 1-17, VI I 1-18 en VI I 1-19 vinden we:

n-lf .R

1 uvr .Rua

= 3,32

4,25

te uvf.e ua

6,47

5,08

nF

nF.VIII-20

Voor al Ie frequenties, die hier van belang zijn, kunnen de capaciteiten

e en e t.o.V. de weerstanden R en R verwaarloosd worden.uv ua uv ua

Verder kan bewezen worden, dat de netwerken van figuur VI I 1-4-a en

VIII-4-b equival~nt zijn, wanneer we stellen: ;'-

VIII-21

n-lR • t

ua = 1, 13 ~R~+ 3Rua

=n-l •0,88 ~ en:- [. Rua

n-lR • t

uvR

uv + 3Rua

0-1 •t .Ruv

Op dit ogenblik zijn alle afleidings-impedanties van het meervoudige

n-netwerk, dat als nabootsing moet dienen van een subsectie met een leng­

te van 1 km, bekend.

•R

_1--f-=­.,.

R

T

u

R..J@.

1

Rua

T

uo---.....r-I------o v

Fig VIII-4-a Fig VIII-4-b

-86-

VIII-a-2

De langs impedanties van een kabelsubsectie met een lengte van 1 km

kunnen worden afgeleid m.b.v. de spanning -stroom relaties, die zijn

vermeld in hoofdstuk V (vergel ijkingen V-a-l t/m V-a-6). Bij het ont­

werp van het model zijn we uitgegaan van symmetrisch gelegen parallel­

le kabels, zodat in de genoemde vergel ijkingen de constante egelijk

aan nul gesteld kan worden. De spanning- stroom relaties voor de bin­

nengeleiders én de mantels luiden in dat geval als volgt:

~o_o.: _d~_'?.i_n_n_e~9~!~ij~.r::.~:

VIII-22-a

FIGUURVIII-5

1- ..I

r. f

IS R.e (A-B).~ B.eo-----i__.......I--------CIt.------At.---o

- kabel S [ J~~-===:;:..~===IIf--------=.'I.II:;ij!.I::.--~oIS r.t B.e

o :J

kabel T

B.t

[+Hl]o~==:;:...:-{===I------2IIE••I··I.I·~--Oi T r.E B.e

-87-

voor de mantels:-----------

u. = uJ. (x) - u. ( 0) = {( r+B) . i. + B. I. + D. 1 } . f,

J J x+t J J tot

met: j = R,S en T.

VIII-22-b

Het blijkt dat het schema gegeven in figuur VI I 1-5 voldoet aan boven­

staande spanning-stroom relaties.

In tegensteIl ing tot de componenten in de dwarsrichting, zijn enkele

componenten ir. de langsrichting sterk frequentie-afhankelijk, met na­

me de ohmse weerstanden van de binnengeleiders en de mantels en de mu­

tuele inductiecoëfficient D, welke de koppeling van de kabelgeleiders

met de aarde als retourgeleider, voorstelt.

De frequentie-afhankelijkheld van de ohmse weerstanden van de massie­

ve binnengeleider wordt gegeven door de volgende betrekking (15):

L Rdc ' (x + 0,25) voor x > 1 ;

voor x < 1 I

VIII-23

waarbij: x = ~ ./nf.a. ~o~r;

r straal van de geleider;

Rdc = gel ijkstroomweerstand per meter

geleider;

e= lengte van een subsectie;

cr = geleidbaarheid van het geleider-. -1 -1

materiaal ~ m ;

~o~r permeabiliteit van het geleider­

mater ;aa I .

De frequentie-afhankel ijkheid van de loodmantelweerstand kan worden be­

paald m.b.v. figuur VI I1-6, welke is ontleend aan referentie 16. Deze

figuur geeft weer de verhouding van de wisselstroomweerstand R(f) en de

gelijkstroomweerstand Rdc per kilometer lengte van een homogene buis­

vormige geleider, als functie van de verhouding - 1Rf- .\,j dc

__~ De zelf- en mutuel~ inductiecoëfficienten in de langsrichting zIJn vrIJ-

wel frequentie-onafhankelij~, uitgezonderd de coëfficient, welke de mag­

netische koppel ing van de kabelstromen met de aard~8tourstroom represen-

-88-

0,06

20015050

t/d 0,5 0,25 0,122, n.....-----.----.------.--..---:...r----:--i---...----:=--;---r----,---II

1,

1,

1 , d--------r------,-----/-I----+t---+-+-+-----r-~tt--:-------t~

1,911----l-----l---+--I---+-+--+---+--f----t-----r----r-"1

1, R-.lilR

1,4 dc

1 ".t1--------}----+l------j+---++--+---+--r~II_-______t--___v1 0 .03,

1, 11-----I-----J-~+I--_II~-_+-~~~-___,f-7t!':....-t---t_-----r"i

Fig. VI I 1-6 (f in Hz, Rdc

= weerstand per km)

teert. De frequentie-afhankelijkheid hiervan wordt gegeven d.m.v.

vergelijking V-a-l0:

D. f = (Re ( D) + j. Im(D) ) . f i

- e {2 f -] . llo 2 IJD. = TI • .10 + J. w.-2• In -s}. 1-TI YX VIII-24

Door een geschikte keuze van kernmateriaal en kernafmetingen alsmede

van de wikkeldraaddiameter, is het mogelijk gebleken d.m.v enkelvou-

dige componenten de_frequentie-afhankel ijkheid van de elementen van een

kabelsubsectie redel ijk goed na te bootsen tot frequenties van ca. 30 kHz.

Alleen voor de nabootsing van de mutuele impedantie D. f was deze fre­

quentie-afhankelijkheid slechts te real iseren door het toepassen van een

netwerk bestaande uit meerdere componenten

In de grafieken VI I 1-1 tim VI I 1-4 zijn de theoretische en de gereal i­

seerde weerstandswaarden en inductiecoëfficienten van de verschillende

elementen van de 1 km lange kabelsubsectie gegeven als functie van de

frequentie.

Nu zowel de impedanties in de dwars- als in de langsrichting bekend

zijn, is het mogel ijk om voor elke kabel subsectie een analogon te

bouwen. Door deze modellen vervolgens op de juiste manier met elkaar te

verbinden krijgt men de nabootsing van de totale kabelhoofdsectie zoals

die is weergegeven in figuur VII 1-7. [17]

GRAF IEK VII 1-1 GRAFIEK VIII-2

Ohmse weerstand van 1 km mantelgeleider

als functie van de frequentie.

Ohmse weerstand van 1km binnengeleider

als functie van de frequentie.

,

R.~ (A-B).€ B.~

~--aJ--o

. r.Q ~

~apparaat - ~Theoretisch

r.~ B.eO~--1c=Jl----Ii3,.---vo

meetapparaat

Theoret i sch

I\.0o

I

gereal iseerd gerea 1i seerd.

1 ~

B. ~.....--J ·w

1 mH

0,1 mH

-- - - - - -,7

I.... .-V \.-V/ J......-'

Vv

RJ~

--'"17 /

L/ t,..v

~ -- I,..-lo-.:="I::"

1 ~

A.ej .w

o,1

1 mH

0, 1

1- ....

-JI'''.'" 7

r.e ./ ~V./ ~I-- >--- -IA ...~:..,..... """"~""-- -- .-0, 1

100 Hz 1 kHz f 10 kHz... 100 Hz 1 kHz --L- 10kHz

GRAF lEK VI I I - 3 GRAFIEK VIII-4

Oe som van de binnengeleider- en mantelweer­

stand van 1 km (R+r).f als functie van de

frequentie.

Mutuele koppel ing tussen de kabelgeleiders en

de aardretourgeleider per km als functie van

de frequentie.

II.D

1 mH

10 mH

0,1 mH

10kHzf1 kHz

Im(O) = F(f) Theoretisch

Re(O) = F(f) Theoretisch

---- Re(O) = F(f) gereal iseerd

100 Hz

............... Im D' = F(f) oereal iseerc.

V ........

.~.//'"rI .'"

" /./ V

~/V.... 0- . ..... ,~~ Ir. ..

~ ~--f--

/. ""--.

V .....""',,-/

r7 "'"~" -" -"./

vV,

.;'VV

10

o,1

B.e

10kHzf1 kHz

J(

l(

IC

~ /~It ,,;,

11',1( §"IC

lo-~)C~

V-l-'" ",,'"

~ "~./- ./

~",)f _

1--'

jI--l ~t<: --+++ /f-"'~

meetapparaat

Theoretisch.

R.f

meetapparaat

1= iR R++++

1 rI

0,1100 Hz

Figuur VIII-7: Nabootsing v.e. Kabelhoofdsec tie

l: 1 km l I I l II. "I I • I i •.1

I I·I

I II I II R, X, I I II I I I

kabel C,R R 2

CS' ."

R, X, .,

kabel Ci5 R 2

I\.D

N C") N_.' . I,

eidc: c

.9! <LIX, t .....

U<LI <LI

kabel til til

X2 .0 .0

T R2 ~ ::JVI

Io' I I ---I <LI I <LII .0 I .0I I

<9 co @) fO.:Je. .:Je.

Raa abRI. Rs XJ RI,

R, '" Rol j'" X I =(A-BU C, =(CRr /2).1~R2 : rol j"'X 2 = B .1 C 2 s(Cru /2).1

/ R) :R~y.2/1RI, :R;u 02/ 1 "RS • jWXJ : 0.1

IX. METINGEN VERRICHT AAN HET ANALOGON:

Metingen aan het analogon hebben de berekeningen in de hoofdstukken

VI-a-l en VI-a-2 bevestigd. De afwijkingen tussen de berekende en de

gemeten spanningen in de diverse storingsgeval len bedroegen slechts

5 %en worden waarschijnl ijk veroorzaakt door het feit dat bij de

bouw van het analogon is uitgegaan van symmatrisch ten opzichte van

elkaar gelegen kabels, terwijl de berekeningen zijn uitgevoerd aan

een systeem waarin de drie paral lelIe kabels in een plat vlak liggen.

In hoofdstuk V is aangenomen dat de spanningen in het mantel-circuit

t.g.v. de capacitieve laadstromen verwaarloosd kunnen worden. Metin­

gen aan het analogon hebben inderdaad aangetoond dat deze spanningen

te verwaarlozen zijn t.o.V. de mantelspanningen welke worden geinduceerd

door de bedrijfsstromen. Wanneer we namelijk het begin van de nageboot­

ste hoofdsectie, waarvan de mantelcircuits aan beide uiteinden zijn

geaard, verbinden met een synchroon spanningssysteem met een gekoppel­

de spanning van 15 V en een frequentie van 50 Hz, dan bedraagt de maxi­

male spanning tussen de mantels op de plaats van de mantelkruisingen

ongeveer 1,5 mV.

Onder normale bedrijfsomstandigheden (IR=ls·a=IT.a2=ll=1500 A en Egek380 kV) betekent dit, dat de maximale bijdrage tot de spanning tussen

de mantels bedraagt:

a) t.g.v. de capacitieve laadstromen: 38 V

b) t.g.v. debelastingsstroom (zie vergel ijking VI-35): 660 V.

Deze laatste getallen zijn uiteraard betrokken op het hier nagebootste

kabelcircuit.

Bij de bepal ing van de golfimpedanties en de voortplantingssnelheden

werden in het model de mantels niet gekruist, zodat drie parallelle

golfimpedantie:

voortplantingssnelheid:

kabels van elk 3 km lengte ontstonden. Bij de bepal ing van de golfimpe­

dantie en de voortplantingssnelheid van een circuit werden de in- en

uitgangen van de overige circuits open gelaten. Aan de ingang van het

te onderzoeken circuit werd een eenheidsstap spanning (0/00 golf) toege­

voerd, terwijl het uiteinde van dit circuit werd afgesloten met een im­

pedantie, zodanig dat de eerste top van de spanningsvormen op 1 km en

2 km afstand van de ingang en die van de spanningsvorm aan het circuit­

einde gel ijk is aan de maximale ingangsspanning. Het tijdsverschi I tus­

sen de spanningssprong aan de ingang en het moment waarop de hierboven

genoemde spanningen gelijk zijn aan de helft van de ingangsspanning,

wordt gebruikt om de voortplantingssnelheid te berekenen.

Op deze manier vinden we voor een kabelcircuit bestaande uit een binnen­

geleider en een bijbehorende loodmantel, een zogenaamde 'Ibinnengeleider­

mantel kabel " :

z = 33 Q,gmv = 1,2 10 8 m/s.gm

Voor een kabe I gevormd door twee loodman te Is, een zogenaamde liman te 1­

mante I kabe 111, v i nden we:

golfimpedantie:

voortplantingssnelheid:

Zmmvmm

- 22 Q,

1,8 10 7 m/s.

Wanneer de ohmse weerstanden en de inwendige reactantie van de binnen­

geleider' verwaarloosd worden vinden we theoretisch voor de tlbinnenge ­

leider-mantel kabel tl met srl 3,5:

gJ I f i mpedan tie: Zgm32 Q, IX-l

voortplantingssnelheid: vgmIX-2

Voor de 'Imantel-mantel kabel" vinden we onder dezelfde verwaarlozingen:

golfimpedantie: Zmm

RU+lI] tRu 21 Q, IX-3

voortplantingssnelheid:

IX-4

Hieruit blijkt dus dat de theorie en het experiment goed overeenstemmen,

alleen de gemeten voortplantingssnelheden zijn iets lager dan berekend,

wat waarschijnl ijk verklaard kan worden uit de verwaarlozing van de

ohmse weerstanden.

Naast de twee genoemde "kabels· 1 kunnen we nog een derde mogel ijkheid be­

schouwen namel ijk een "kabel" gevormd door een loodmantel en de aarde.

Op de hiervoor beschreven wijze kan getracht worden de golfimpedantie

van deze " man tel-aarde kabel" te bepalen. Het bi ijkt evenwel dat de ge­

noemde methode hier vrij onnauwkeurig is. Experimenteel vinden we geen

scherp gedefinieerde golfimped~ntie maar een weerstandsgebied waarin

deze gelegen zou kunnen zijn, nl.:

14 Q < Z < 20 Q.ma

De reden van deze onnauwkeurigheid in het bepalen van deze golfimpedan­

tie Z wordt veroorzaakt door de aanzienlijke verl iezen die in dezema"kabel" optreden, terwijl bovendien door de frequentièafhankelijkheid

van de mutuele koppel ing tussen aarde en mantel ook de golfimpedantie

en de voortplantingssnelheid frequentieafhankel ijk zijn.

I nd ien we de go 1f i mpedant i e van deze Ilmante I-aa rde kabe 111 berekenen

m.b.v. de vergel ijking geldend voor een verl iesvrije kabel dan vinden

we:

IX-S

Bij de verschillende frequenties wordt hiermee voor de golfimpedantie

gevonden:f Zma

S kHz 18.6 Q

SO kHz 17,3 Q

SOO kHz 16, 1 Q

Deze waarden ligge~ binnen de door het experiment aangegeven grenzen.

De golfimpedantie

tie van de mantel

De golfimpedantie

Z kan opgebouwd gedacht worden uit de golfimpedan-ma(Z ) en de golfimpedantie van de aardretourgeleider (Z ).m avan de aardretourgeleider bedraagt dan bij benadering:

IX-d.

Z = Z - Z ~ 6,5 Q •a ma m )

hierbij is gesteld: Z = t Z = 11 Q,m mmZ ~ 17,5 Q.ma

IX-6

Om een indruk te krijgen welke frequenties in het kabel-systeem belang­

rijk zijn, werden enige frequentie-karakteristieken oogenomer.. Bij de

bepaling van deze karakteristieken werden in het analogon de mantelkrui­

singen tussen de subsecties aangebracht terwijl de mantel-circuits aan

het begin en einde zonder tussenschakeling van extra aardverspreidings­

weerstanden aan aarde werden gelegd. De in- en uitgangen van de kabels

werden open gelaten, terwijl alleen aan de ingang van de R-kabel een

wisselspanningsbron (UR(O)) werd aangesloten. De spanningen verderop

in de kabelhoofdsectie werden gemeten als functie van de frequentie van

deze spanningsbron.

Alleen bij de meetresultaten gegeven in de grafieken IX-3b, IX-4a en

Ix-4b waren de crossbondings en de mantelverbindingen aan het begin en

einde van de hoofdsectie niet aangebracht, maar waren tussen de subsec­

ties de mantels op de normale manier doorverbonden, zodat drie 3 km

lange parallelle kabels ontstonden.

Van drie "kabels", LW. de "binnengeleider-mantel il-, de I'mantel-mantell'­

en de "man tel-aarde kabel", werden de frequentie-karakteristieken bij

open uiteinden bepaald. De resultaten zijn weergegeven in de drie ge­

noemde grafieken IX-3b, IX-4a en Ix-4b.

Uit de opgenomen frequentie-karakteristieken (zie tabel IX-1) blijkt

dat:

a) voor de binnengeleider bij frequenties hoger dan 18 kHz het ef-

fect van de mantelkr~lslngen is verdwenen, aangezien voor der-..gelijke frequenties de karakteristieken van de grafieken IX-3a

Tabel IX-l

Opgenomen frequentie-karakteristieken

Grafiek Spann i ng=F (f) cross- mantels kabel in- en Raa=Rab

no. bonded kortgesloten uitgangen

IX-la

IX-lb

IX-2a

IX-2b

IX-2c

IX-3a

IX-3b

IX-4a

IX-4b

v - VAR - AT en

VBR - VBT ·

VAS - VAR en

VBS - VBR ·

VAT - VAS en

VBT - VBS ·

UR(l km) ,U R(2 km)

en UR(3 km).

UR(l km) ,U R(2 km)

en UR(3 km).

u Urs (1 km)' rs (2km)

en Urs (3km) .

U Ura(lkm)' ra (2km)

en Ura (3km).

ja

ja

ja

ja

ja

ja

neen

neen

neen

ja

ja

ja

ja

ja

ja

neen

neen

neen

open

open

open

open

open

open

open

open

open

oo

o

o

o

o

00

00

00

en IX"3b vrijwel identiek zijn.

lets dergel ijks was te verwachten omdat t.g.v. de lage voort­

plantingssnelheid in de "méln tel-mantel kabel" (v ), het meer-mm

voudige ~-netwerk voor deze hoofdsectie slechts een goede na-

bootsing vormt voor frequenties tot ca. 11 kHz. Dit impl iceert

ook dat de overige frequentie-karakteristie~enslechts betrouw­

baar kunnen zijn to~ de grens van iS kHz ...

b) t.g.v. cross-bonding de spanningsopsl ingering in de binnenge-

-98-

leider met ruim een factor 2 wordt verlaagd t.o.v. de situ­

atie waar geen mantelkruisingen zijn toegepast. (grafieken

IX-3a en IX-3b)

c) de frequentie waarbij de grootste mantel spanningen ontstaan

11 kHz bedraagt (grafieken IX-l en IX-2), Bij deze frequentie

bedraagt de golflengte in de "binnengeleider-mantel kabel" met

voortplantingssnelheid v = 1,2 10 8 mis:gm

;\11 kHz v If = 11 km.gm

De hoofdsectie gedraagt zich voor deze frequentie als een ~À­

lijn. Andere frequenties waarbij hoge mantelspanningen ontstaan

zijn 2,9 kHz en 5 kHz, de golflengten hiervan bedragen in een

"man tel-mantel kabel" met een voortplantingssnelheid v =1,8 107mm

mis, respectievelijk 6,2 km en 3,6 km. Bij benadering kunnen

we daarom stellen, dat die frequenties, waarvoor de lengte van

de kabelhoofdsectie gel ijk is aan of de helft is van de golfleng­

ten i n de " man te I-man te I kabe JlI, hoge mante Ispann i ngen tot ge­

volg hebben.

d) de demping van loopgolven in de "man tel-mantel kabel" en "mantel­

aarde kabel" met frequenties hoger dan 10 kHz zeer groot is

t.g.v. de optredende verliezen in de aardbodem. Zie de grafie­

ken IX-4a en IX-4b.

Berekenen we de voortpJantingsconstante y = Ct + jB van een l'mantel-manteJ

kabel" m.b.v. de volgende vergel ijkingen r15]:

Y{{V«R2 I -1Ct = + w2L2) (G2 + w2C2) + RG - w2LC} {km }j IX-7-a

~{-J(R2B = + w2L2) (G2 + w2C2) - RG + w2LC} {km- 1} IX-7-b,

met: Ct = verzwakkingsconstante per km;

B = fase-verdraaiing per km;

R = ohmse weerstand van de kabel per km

.'

NV. Drukker'J "MCrCUrlUl" Wormerveer

GRAFIEK IX -1 a

~ V DrlJ~ke'lJ "Mercurius" Wormerveer No 1473 k'f11 :09. verdeeld l·lO J y....as log verdeeld 1.10- Een:,eld 50 mm

I\..D\..D

I

y-es Jog. verdeeld 1·10~ Een:,elc 50 mmGRÀFrÊK 'tx :":rë 1.10'

GRAFI EK IX - -2 b4~6789110' ~ 4

1

5678910' 34678910'

1~~a~~~~~~~~~3~i~~~~!~'~''~'~ft$~$~~~I~:mi~o·= 'i ~

"4.V DruûenJ .. Mer-:unus" WormerveerNo 1473"-I.v. DrukkenJ ..Mcrc\,Jrlus" WorfT1erveer

.-

.-

r'I

N.v. DruklcenJ "Mercurius" Wormerveer \,I.V. Oru'lc~erIJ "Mercurius" Wormrrveer No 1473 'hU :og....erotc:el.:l '.103 y-as lag. verdeeld '.104 Eonheld 50 mm

Cl

.'

f\I,V. DrukkenJ "MerCUriUS" Vvormeoflleer

GRAFI EK lX-4a

f'\; V. Drukkerij .. "'1ercuflus" Wormerveer

GRAFIEK lX- 4b

No. 1473 X'dl :og. werd .... eid '.103 y·as log verdeeld '.104 ten;,eld 50 mm

oN

I

-103-

/

-1km

Cl

10, 1

v

11I

v

-1km

(3

1

/' // "

0, 1100 kHz10 kHz f

- - - .- ...-1'"

./v

0,01 __

1 kHz

Figuur IX-V. Cl functie van de frequentie,

(3 = functie van de frequentie.

-1km

-1km

y Cl +j (3 voortplantingsconstante van een "mantel­

mantel-kabel " .

V(x) V(0) exp(-y.x) .

27ff {km} voortplantingssnelheid.vf = =13 5

Cl en (3 van de mantel-mantel-kabel in het geva I Ruv = 880 IlmCl en (3 van de mantel-mantel-kabel in het geval Ruv = O.

..

-104-

L zelfinductie-coëfficient per km2B. 10 3

{H/km} ; B = gegeven door (V-a-8) •j .w

C = capac i tei t tussen de mantels per km

10 3 . Ci..-} . *ru {=

2 (1 + w2 C 2R· 2) km 'ru uv

G = de afleiding tussen de beide mantels in

Siemens per km,

10 3 .w2 .C 2.R­ru uv

"dan vinden we inderdaad in deze "man tel-mantel kabel een grote demping

voor signalen van 10 kHz en hoger. Deze demping wordt voornamelijk ver­

oorzaakt door dissipatie in de aardbodem; Nemen we namel ijk voor R =0uvdan bI ijkt de demping zeer laag te zijn zelfs voor frequenties hoger dan

40 kHz. Zie hiervoor figuur IX-S.

Om enig inzicht te krijgen in de gevolgen van plotselinge toestands­

veranderingen in de kabelhoofdsectie, zijn een aantal proeven genomen

met het analogon. Hierbij werden twee verschi llende situaties onderschei­

den, namelijk het geval waarbij een van de kabels een plotselinge poten­

tiaalsprong ondergaat aan het begin van de hoofdsectie en het geval waar­

bij via een hoogspanningslijn een loopgolf de kabel binnentreedt.

De eerste serie proeven (diagrammen IX-6 t/m IX-9) geven de mantelspan­

ningen, die kunnen ontstaan bij een eenfasig inschakelen van de kabel­

sectie of bij het aarden van een opgeladen kabel. De afsluitimpedanties

aan het einde van de kabelsectie geven aan of de kabelsectie is verbon­

den met een hoogspanningsl ijn (afsluitimpedantie 400~, zie de diagrammen

IX-6 en IX-9) of is aangesloten op een volgende kabelsectie (afsluitim­

pedantie 33 ~, zie de diagrammen IX-7 en IX-8}.

Hierbij is de capaciteit C verwaarloosd t.o.V. de weerstand Ruv uv

-105-

Bij al de gedane metingen valt meteen op, dat de frequenties in de man­

telspànningssignalen betrekkelijk laag zijn. De oorzaken hiervan zijn de

grote dempingen ..'oor hogere frequenties in de 11man tel-mantel kabels· l en

het feit, dat het analogon voor hogere frequenties (> 18 kHz) niet meer

als een correcte nabootsing van een gekruiste kabel sectie kan worden be­

schouwd.

Bij de metingen met de spanningsbron voeding werd geconstateerd, dat op

diverse plaatsen de mantelspanningen hun maximale waarde bereiken eerst

nadat diverse gereflecteerde golven deze plaats hebben bereikt. De hoog­

ste mantelspanning, die in deze kabel sectie werd gemeten treedt echter

op tussen de mantels van de geactiveerde kabel voor en achter de eerste

mantelonderbreking (VAR - VAT)' Dit spanningsmaximum is vrijwel onafhan­

kelijk van de manier waarop de kabels zijn afgesloten en geaard, zodat

mag worden verondersteld, dat dit maximum ontstaat op het moment dat de

inkomende golf op deze eerste mantel-kruisingsplaats wordt gebroken.

Nagenoeg identieke spanningsvormen werden gemeten wanneer in diagram

IX-] de aardverspreidingsweerstand Rab aan het einde van de kabelsectie

zeer groot werd gekozen. Alleen wanneer de aarding aan de voedingszijde

van de kabel slecht is kunnen de mantel-aarde-spanningen hogere waarden

aannemen. (Diagram Ix-8).In diagram IX-9 zijn in de geactiveerde kabel aan het begin en einde over­

spanningsafleiders opgenomen in de vorm van anti-serie geplaatste zener­

diodes. De restspanning van deze overspanningsafleiders is gel ijk aan de

maximale waarde van de ingangsspanning. Uit de metingen bI ijkt, dat het

toepassen van deze afleiders niet direct voordel ig is wat betreft de hoog­

te van de optredende mantelspanningen. Vergel ijk hiervoor de diagrammen

Ix-6 en IX-9. De verklaring hiervoor is dat door het aanspreken van de

overspanningsafleider aan het einde van de kabel platsel ing grote binnen­

geleiderstromen kunnen ontstaan, waardoor weer hoge spanningen in de man­

tel-circuits worden geinduceerd.

De m~ximale mantelspanning (VAR - VAT) bedraagt ongeveer 23 % van de po­

tentiaalsprong aan het begin van de geactiveerde kabel. Theoretisch kun­

nen tweemaal zo hoge spanningen worden verwacht wanneer namel ijk een ka­

bel, opgeladen tot een spanning -E, wordt verbonden met een spanningsbron

met een e.m.k. +E.

Eveneens kunnen hoge~e spanningen ontstaan wanneer de kabel driefasig

wordt ingeschakeld (1]).

-106-

T.a.v. de gemeten mantelspanningen in die situaties, waarbij een O/~

golf vanuit een bovengrondse I ijn de kabel binnentreedt (zie de diagram­

men IX-10 t/m IX-13) kunnen de eerder gemaakte opmerkingen worden her­

haald. Ook hier hedr3agt de maximale mantel-mantel spanning (VAR - VAT)

ongeveer 25 à 33 % van de inkomende golfspanning aan het begin van de

kabelsectie ofwel ongeveer 1.9 à 2,5 % van de golfspanning in de boven­

grondse I ijn. Dit bij een golfimpedantieverhouding:

..

ZI ••I J n

Zkabe I

40033

400 n

...400 !l

SUBSECTiESUBSECTiE

Jo ... ,." • > 0,' .Dia 9ra m IX- 6

"

SUBSECTIE

R,g=O

, ,'-;.,"'l.

I.....Clco

I

tr\/bo~' Iv

" VAR-VAT

1\V l\A.l\ r':

TV\ '? \/v V

'.

r~7ZScr=1VAS

/

.-

1 div. vu t. = 0.05 E 1 div. hor. = 0.1 ms

33A

33 Q...,

')') A.

•3

!>ua5ECTI ESUBSECTIE

Diagram IX - ::7

•1

SUBSECTiE

S

R

T

0-

h~=I<"1v

, VAS

I~L\~=-----~I'.

/""... ~[~ -(II

v

/ \. ---j '",

rI

V

I-o\.0

I

1 div. vert. = O.OS.E 1 div. hor. = 0.1 ms

33~

33.Q

•3

SUB~Er.TiESUBSECTiE

....' p '.'

Di.agram I X- 8

,.

R

s

T

•

/ ........

/ ----.....( "'-

'\..

I--oI

VBR- VaT

~---::-----'rf§f= gv

I~I W~~IVeT

,........." -'f ...,......

I

;

\/

y !

'"\

.-

, div, nrt.::: 0.0 S E , div. hor. = 0.1 ms

I

~

~

I

....~b= 0

SUBSECTIE

r VB,-VBS

2'

. VaT

~~~~, l.

SUBSECTIE

..

" Diagram IX- <3. . .

'.

l'

SUBSECTiE

S

Raa=O

~~~_. I

,E;F=. I

~~V~"<T?> I

--T---U R(Q):1.E

I-V kèlrölkteristiekovers p::lnni n95-öl' Ie iqer

.-

, div. vert. = 0.05 E 1 div. hor. = 0.1 ms

DIAGRAM IX -10

LJ R(3km)U Rl2km)R

400Q

IJ+

33,n

40. lU(tl ____ """..

40V 1- 2- 3-

SUBSECTIE SUBSECTIE SUBSECTIET

0100 golf 400 33a

Raa =0':~ab=O! óf~b=oo

'0,

I-"

IU 'RIO) , NI

VAR VeR .t::=I

WR11 km)

r::=:=;gVes."

U Rl2 km)

ESS321UJRl3kml

Ir:: : I==I I

1 div. ver t. =2 V1 di v. vert. =0.2 v" 1 div. hor. =0. 1 ms

1 div. hor. =0,1 ms

Diagram IX -11

IJR(2km)~(1km)

...,....

R400n

L "OV "00.0

"O.U{t).V _____ ~1" 2" 3"

,SUBSECTIE SUBSECTIE SUBSECTIE

0/00 golf "000

VeT'"

VAT R : °ót 00

Raa =° ab ~

I i Î

UR(O) \..V

VAR V - v 'kB:, I

VeR BR BT

1 I

U R<1km)

VAS-VAR kc, jVAS.- I I

UJ R(2km)

Iz=, I !VST

- VBS

VAT V -VVeT UJRC)km)AT AS

I~=, ,

1 div. nrt = DV

1 div. vut. = 0,2 V 1 div_ hor. = 0.1 ms , div. hor. = 0.1 ms

Diagram IX-12

SUBSECTIE

IUR (2 kni

,...... ,t.,...........

R

'::'~)T--_-S

/,0 V l.COn ,. 2'

T SUBSECTIE SUBSECTIE

O/aJ golf /,OOn

Raa=co V~

V1I

, div. "'crt. = 2 V

, div. hor. =O.'ms.

U Rlol

Ic,t:-;

h=:::, ,I

ti===~..

DE SPANNINGEN TUSSEN DE

MANTELS ZYN GELYK VOOR

Raa=O EN '\a =00

, div. hor. = 0.1 m 5, div. vert. = 0.2 V

/

( "'-../ ""/ '\

-

"•

.-

0'I

R =0 óf 00ab

, I

•1

SUBSECTIE

1 div. vcr!. = O. S V1 div. hor. = 0.1 ms

~.;; I~(2kml

~:" I

1

t

IUR (2km)

v - Vas BR

V - VBR ST

SUBSECTIE

Diagram IX -13

1 div. hor. = 0.1 ms

S

400

t- ,.

SUBSECTIE

4000.

Raa =0VAT

VAR-VAT

VSR

400n

V - VAT AS

OVERSPANNING AFLEIDER: RESTSPANNJNG 0.9 V

0100 golf

*

1 div. vcr t. = O.OS V

\

0-

e=Zg.i,

e'=Z.i ' ,g

-118-

X. EEN EENVOUDIGE METHODE VOOR DE BEPALING VAN MANTELOVERSPANNINGEN

IN GEKRUISTE KABELSYSTEMEN.

In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat de eerste top van de span­

ningsvormen op de mantels tussen de subsecties vrijwel onafhankel ijk is

van de manier waarop de kabelhoofdsectie is belast aan het begin en ein­

de. (Zie de diagrammen IX-G t/m IX-13). Bovendien is daarbij geconsta­

teerd, dat bij invoeding d.m.v. een blokv6rm!ge spanning aan het begin

van de R-kabel, de eerste top van de spanning tussen de punten AR en AT

ook de maximale spanning is, die in het mantel-circuit werd gemeten.

Het is daarom redelijk te veronderstellen dat de eerste spanningstoppen

uitsluitend het gevolg zijn van de eerste breking van de inkomende gol­

ven op de plaats van de cross-bondings. In dit hoofdstuk zal een metho­

de worden behandeld met behulp waarvan de eerste top van de mantelspan­

ningen kan worden berekend. Deze methode, welke is ontleend aan referen­

tie 21, gaat uit van de idee dat de golfverschijnselen in verliesvrije

kabels beschreven kunnen worden door twee relevante parameters namelijk

de karakteristieke golfimpedantie en de voortplantingssnelheid.

Op de plaatsen waar de discontinuïteiten optreden worden netwerkvergel ij­

kingen opgesteld waarmee berekening van de gereflecteerde en doorlopen­

de golven mogel ijk is.

Nemen we als voorbeeld een kabel met golfweerstand Z , die is afgeslo­g

ten door een netwerk waarvan de golfimpedantie Z bedraagt, dan bestaane

de volgende relaties tussen de inkomende en gereflecteerde golven in de

kabe I :

X-l

met: e, = spanning en stroom van de inkomende golf,

spanning en stroom van de gereflecteerde

golf.

Het verband tussen de spanning en stroom op de plaats van de disconti­

nuïteit luidt als volgt:

E = Z .1,e..

met: E = e + el en = - i I •

X-2

-119-

Wanneer de spanning en stroom van de gereflecteerde golf worden geël i­

mineerd uit vergel ijking X-2 dan houden we over:

2.e - E = Z . I eng

E = Z . I .e

X-3

Deze twee vergelijkingen kunnen worden verduidel ijkt aan de hand van

figuur X-1. Dit schema kan ook worden beschouwd als het vervangingssche­

ma van de situatie waarin de kabeldiscontinuiteit wordt getroffen door

een inkomende golf met amplitude e .

...zg

EZ

eFig. X-1

Wanneer Z de golfimpedantie voorstelt van een andere kabel, dan stelte

E de amplitude voor van de daarin doorlopende golf, terwijl de ampl itude

van de gereflecteerde golf bedraagt:

el = E - e. x-4

Om deze berekeningsmethode te kunnen toepassen op de plaats van de cross­

bondings moeten we een vervangingsschema construeren voor de drie in de

aardbodem gelegen éénaderige kabels. De kabels die hier beschouwd worden

bestaan uit een binnengeleider en een t.o.v. aarde geïsoleerde loodmantel.

De loodmantel kan als een perfecte electro-magnetische afscherming tussen

de binnengeleider en de geleidende aarde worden gezien. Het is hierdoor

mogelijk dat een golf aanwezig is in de "binnengeleider-mantel kabel ll

zonder dat de overige kabelgeleiders daarvan enige invloed van ondervin­

den.

Anders is de situatie bij golfverschijnselen op de mantels. Hierbij is

het niet mogelijk om een enkele golf tussen de mantel en de geleidende

aarde aan te nemen, aangezien door de afwezigheid van een electro-magne­

tische afscherming hierdoor ook golfverschijnseien op de andere manteis

geinduceerd worden. Deze eigenschap introduceert grote problemen bij de

-120-

behandel ing van de breking van mantelgolven op de cross-bonding-plaatsen.

Om dit probleem te omzeilen kunnen met twee verschil lende benaderings­

methoden de mantelspanningen worden berekend.

Bij de eerste methode zal worden aangenomen, dat de aarde wel een electro­

magnetische afscherming vormt tussen de mantels.

Bij de tweede methode wordt verondersteld dat het gehele kabel systeem

vrij van aarde is opgehangen. Hierdoor zullen geen golven tussen de man­

tels en aarde =anwezig zijn, om~at de golfimpedantie hier oneindig hoog

wordt verondersteld. Wel is het mogelijk dat een golf zich voortplant

tussen twee mantels zonder dat de derde mantel daarvan iets merkt aan­

gezien we met een symmetrischqel~gen kabel systeem rekenen~

De eerste methode benadert de werkel ijkheid meer naarmate de geleidbaar­

heid van de aarde toeneemt. Teïwijl de tweede methode gebruikt kan worden

bij kabels, die gelegen zijn in een bodem met een uitzonderl ijk lage ge­

leidbaarheid, of bij kabels die zijn opgehangen in een tunnel.

In de hier nagebootste situatie lijkt het verstandig om te kiezen voor

de eerste methode, omdat t.g.v. de lage waarde van de weerstand R /1uv

de spanning tussen de buitenmantels en de bijbehorende mantels hoog zal

zijn t.o.V. de spanning tussen de buitenmantels, aannemende dat de

frequenties niet al te hoog zijn ( < 20 kHz).

Als golfimpedantie voor de IIman tel-aarde kabel l' nemen we (zie hoofdstuk

IX, vergelijking IX-6):

z = -!.Z .m mm

In figuur X-2 is het vervangingsschema weergegeven van de cross-bonding­

plaats tussen de eerste en tweede subsectie. Hierbij zijn al leen inkomen­

de golven aangenomen in de R-kabel en tussen de R-mantel en aarde, resp.

eR1f en e r1f . Deze beide golven veroorzaken in alle kabels, dus ook in

de kabels waarin de inkomende golven zich bevinden, golfverschijnselen

waarvan de amplitudes te berekenen zijn m.b.v. de schema's in de figu­

ren X-3 en x-4. De amplitudes van de gereflecteerde golven in de kabels

waarin de inkomende golven zich bevinden staan niet in de genoemde ver­

vangingsschema's aangegeven, maar kunnen worden berekend m.b.v. de ver­

gelijking x-4.

\,\««,\,

-121-

'" " " " " " " " , " " , " "" " , " " " "/" " " " " " " 4; "" " " " " \;" ,

1.. ......

,,' " " " " " , " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """ "

R

2.eR1f

L------1~.t 2 f

I'Î guur X-2

R

Zgm

Zgm

-122-

Figuur X-3

AR

+

2. er1 fe

T1b ~I·e T'2f

T

Zm ~~1 Zm

-..Fi guur x-4

-123-

De vervangingsschema's zijn identiek aan dat van figuur X-2, alleen zijn

hier de golfimpedanties op voor rekendoeleinden geschiktere manieren ge­

rangschikt. De schema1s in de figuren X-3 en X-4 zijn respectievel ijk be­

doeld voor de bestudering van de breking van binnengeleider- en mantel­

golven.

T.a.v. de in de schema's gebruikte notaties kunnen we het volgende opmer­

ken; de zich naar rechts voortplantende golven in de eerste en tweede

subsectie zijn voorzien van de indices 1f resp. 2f (forward) en de zich

naar links voortplantende golven zijn voorzien van de indices 1b resp.

2b (backward).

De amplitudes van de zich van de cross-bonding plaats verwijderende gol­

ven hangen op de door vergelij~ing X-5 gegeven wijze af van de amplitu­

des van de zich naar de cross-bonding plaats toe bewegende golven. Deze

vergelijking, waarvan de coëfficienten uit soortgelijke schema1s als

die gegeven in de figuren X-3 en X-4 zijn berekend, kunnen we de brekings­

vergel ijking noemen. (Voor vgl. X-5 zie de volgende bladzijde).

Op soortgel ijkewijze kunnen de brekingsvergel ijkingen voor het begin en

einde van de kabelhoofdsectie worden bepaald. En zijn deze eveneens be­

kend dan is het in principe mogel ijk om de mantel-aarde spanningen te

berekenen uit de golfbrekingen op de cross-bonding plaatsen en die aan

het begin en einde van de kabelhoofdsectie. Dit is echter een zeer tijd­

rovende methode, zodat het gebruik van een digitale computer hierbij on­

ontkoombaar lijkt.

In het onderstaande voorbeeld zal alleen berekend worden de eerste span­

ningssprong van de mantel-aarde spanningen tussen de

subsecties, t.g.v. een stapvormige spanningsgolf geinjecteerd in de R-ka-

"bel. Hierbij behoeven uitsluitend de golven in de binnengeleider-mantel

kabels" in rekening gebracht te worden, aangezien de voortplantingssnel­

heid in de "mantel-mantel kabels 'l veel lager is dan die in de eerderge­

noeolde kabe 1s, bovend i en i s de demp i ng i n de "man te I-aa rde kabe 1s" zeer

hoog.

Wordt op het tijdstip t o een stapvormige golf met een ampl itude eR1f ge­

injecteerd in de R-kabel dan bereikt deze op het tijdstip t + 6t deo

plaats van de eers.te cross-bonding. (t>t = e/v ). T.g.v. deze ene inko­gmmende golf berekenen we dan m.b.v. de brekingsvergel ijking X-5:

voor de mantel spanningen t.o.V. aarde

eR1 b 2Q -Q -Q -P 0 P P+Q Q Q -P P 0 eRlf

eS1b -Q 2Q -Q P -P 0 Q P+Q Q 0 -P P eSlf

eT1b -Q -Q 2Q 0 P -P Q Q P+Q P 0 -P eTlf

• e r1 b -2Q 2Q 0 -2Q Q Q 2Q -2Q 0 Q P+Q Q erlf

es1b 0 -2Q 2Q Q -2Q Q 0 2Q -2Q Q Q P+Q es lf

et1b 2Q 0 -2Q Q Q -2Q -2Q 0 2Q P+Q Q Q etlf I.....N

--------------- ~- - - - - - - - - - - --- - - J:-• I

eR2f P+Q Q Q P 0 -P 2Q -Q -Q -P P 0 eR2b

eS2f Q P+Q Q -P P 0 -Q 2Q -Q 0 -P P eS2b

eT2f Q Q P+Q 0 -P P -Q -Q 2Q P 0 -P eT2b

e r2f 2Q 0 -2Q Q Q ~+Q -2Q 0 2Q -2Q Q Q er2b

es2f -2Q 2Q 0 P+Q Q Q 2Q -2Q 0 Q -2Q Q es2b

e t2f 0 -2Q 2Q Q P+Q Q 0 2Q -2Q Q Q -2Q et~b

4z zmet: P = 4z

gmQ = 4z

mgm + 3Zm

en + 3Zgm m

Vergel ijking X-5: Brekingsvergelijking.

-125-

x-6

2.Q.eR1f ·U( )t-lit-to

voor de spanningen tussen de binnengeleiders en bijbehorende mantels:

X-7

met:4z

p = gm4z + 3Zgm m

Zm

, Q = T4-z-"";'+;";"""""3""""Z-gm m

Z = 11 nm

en Zgm 33 n.

Voor de eerste spanningssprong van de mantel-aarde spanningen tussen de

tweede en derde subsectie, die het gevolg is van de golven in de I'binnen­

geleider-mantel kabels", vinden we weer m.b.v. de brekingsvergelijking

X-5:

VSR = es3f =(- 2Q. eR2 f' + 2Q.eS2f ) ,U(t-2lit-t )

0

= -O.108.eRlf ·U( )t-2lit-t ', 0

VSS = et3f = (-2Q.eS2f · + 2Q.eT2f )U(t-2lit-t ) = o. X-8

0

VST e r3f = (2Q.eR2f - 2Q.eT2f) .U( )t-2lit- t0

= +O.108.eRlf ,U(t_2lit_t ).0

Deze resultaten zijn tesamen met de gemeten eerste spanningsmaxima van

de mantel-aarde spanningen weergegeven in tabel X-l. De experimentele..resultaten zijn ontleend aan de meetresultaten van de diagrammen IX-7 en

IX-13. Juist deze resultaten zijn gekozen, omdat enerzijds de kabeluit-

-126-

gangen karakteristiek zijn afgesloten, zodat hier geen storende reflec­

ties ontstaan (diagram IX-7) en anderzijds de spanningsmaxima scherp

zijn afgetekend (diagram IX-13).

Afgezien van de geindiceerde meetresultaten, die duidel ijk het gevolg

zijn van latere reflecties, laat tabel X-l een goede overeenkomst zien

tussen de experimentele en berekende resultaten, zodat we mogen conclu­

deren dat de toegepaste vereenvoudigingen bij de berekening acceptabel

zijn. Bij benadering kunnen we daarom stellen dat de maximale spanning

lVAR - VATI bepaald kan worden m.b.v. de relatie:

4z + 3Z .eRlfgm m

•

TABEL X-l

Berekende en experimenteel bepaalde spanningen van de mantels na de

eerste breking van de inkomende golf e R1f op de cross-bonding plaatsen.

In procenten van de amplitude van de inkomende golf.

Spanning berekend gemeten in gemeten in

diagram IX-7 diagram IX-U

VAR -13 .3 -12 -12,2

+ 8 • •VAS0 ~ 6,7

VAT +13,3 +12 +12,2

VAR-VAT -26,6 -23 -24,5

VAS-VAR +13 ,3 +13 +12,2

VAT-VAS +13,3 +11 +12,2

VBR -10,8 - 8 - 8,5

• •VBS 0 - 8 - 7,8

VBT +10,8 +12 +11

VBR-VBT -21 ,6 -19 -20

VBS-VBR+10,8 + 7 + 6,7

VBT-VBS +10,8 +16 +14

In de diagrammen IX-7 en IX-13 is duidelijk te zien, dat deze spannings­

maxima in tegensteIl ing tot de andere maxima het gevolg zijn van later

optredende reflecties.

-127-

Hieruit volgt dat de maximale spanning over een mantelonderbreking me­

de afhangt van de golfimpedantie Z . Deze maximale spanning neemt daar­m

om af naarmate de afstand tussen de kabels afneemt aangezien volgens

de vergel ijkingen IX-3 en IX-6 voor deze golfimpedantie geschreven kan

worden:

Z = 1. Z =m 2 mm ( ]t

).10 S 1 Ru+lI-2 .[ln ~R'2 .ln -R-

TI u TI.€ € 2 uo r

[ ]

1).10 S 1-;22TI •{I n RU}' -C-

ru

In figuur X-5 is deze karakteristieke impedantie Z gegeven als functiem

van de verhouding S/Ru met als parameter de capaciteit tussen de mantel

en de buitenmantel over een afstand van 1 km (C .10 )3.ruHierbij dient echter te worden opgemerkt, dat deze afhankel ijkheid slechts

geldt wanneer de kabels in een omgeving gelegen zijn waarvan de soorte­

lijke weerstandswaarde p binnen bepaalde grenzen 1igt.a

Is de soortelijke weerstand p nl. zeer klein dan zal steeds meer dea .

idee van de ideaal geleidende aarde worden benaderd, in welk geval de

karakteristieke impedantie van de mantel-aarde kabel Z. gel ijk wordtm

aan:

1 ~o Ru+lIZm = zn' lË € 2' In Ru

o r

60 ~.~ Ai' Ru

X-la

In dat geval is Z over het algemeen zeer laag (2 -.- 8n) en onafhankel ijkm

van de afstand S tussen de kabels.

Is de soortel ijke weerstand p zeer hoog dan zal de weerstand R groota uv

worden t.o.V. de impedantie l/wC (zie hoofdstuk VI I I). De aanwezig-uvheid van de aarde kan dan het beste worden voorgesteld door de capaci-

teit C i .p.v. de weerstand R en dit impl iceert dat de golfimpedan-uv uvtie van een mantel-aarde kabel gel ijk wordt aan [22, 231:

X-ll

Bij vergelijking X-ll is v~rondersteld, dat de relatieve permittiviteit

van de manteliso~atie gelijk is aan die van de aardbodem. In figuur

X-6 is deze karakteristieke impedantie weergegeven als functie van de

verhouding S/Ru met de relatieve permittiviteit van de aarde € alsra

2 -S.. 4 6 8 10 15 20 2Ru ~

Fig. X-5 Jllo S 1Fig. x-6Zm = 21T In- '-C-Ru

ru

10 2 < p < 10 4 ~ma

200

.n

100

80

60

40

10

8

6

1--

-I- f,..---

V I--

~~ --I- f,..---

./ ,...-",/ /"

~

~ -~--/ I-----V

~ -~ -I-~-/" ,,-10-"",. ....... -V ~l-r--

/ I.--~--~

c .10 3ru

0,5 llF/km

2

4

8

200

n

100

80

60

40

10

8

6

.-~

~~V

/~

" ............./ ~

/' l..o-' io"'"

./I'

./~, /' ,...-

./ -./" .....V

J"

/" /v

/' ~

~V/' .....V"

"..~,

,,/,

~./ ~

V "..~'// l/

/~

/'/

~ 4 6 8 10 15 20Ru _ __

1 S JlloZ = -2.ln-R'm 1T u e: e:o ra

p > 10 6 ~ma

3

9

27

81

e: ra

t

I~

N0:>

I

-129-

1 ,2

1 ,0

,8

,6

,4

,2

ZGM

IVAR - VATI ~~Ijg~ft On

eRlf V./

.....V~~500

/ ,/ vV~

v ./ .......v,..../ V ,/

/ V

~~~,/

~~

~V

v ~

1/ "".--: "...~~ :::~f--

2 3 4 6 8 10 20 40 6080100 200stZ "m

ng. X-7. IVAR - VATI 4ZMf (ZM)= 4z GM + 3ZM.. " eRlf

parameter. (E is ongeveer 2,5 voor een droge bodem en 80 voor eenrazeer vochtige bodem)

In figuur X-7 is weergegeven de eerste sprong van de mantel spanning

VAR - VAT als functie van de karakteristieke impedantie Zm

Bij de bepal ing van de karakteristieke golfimpedantie Z kan voorm

practische waarden van C bij benadering gesteld worden, dat de ideeruvan de ideaal geleidende aarde bruikbaar is wanneer p < 10 Sim en het

amodel van de vrij opgehangen kabels is bruikbaar wanneer p > 10 6 stm.

a< 10 4 stm dan kan voor het berekenen van Z het bestem

Indien 100 < pa

gebruik gemaakt worden van vergel ijking X-9.

Uit de figuren X-S, x-6 en X-7 vinden we dat de spanning over de eer­

ste mantelonderbreking zeer hoog kan worden, zelfs hoger dan de ampl i­

tude van de binnenkomende golf eR1f

, wanneer de kabels in een droge

hobgohmige bodem zijn gelegen.

-130-

Aangezien de keuringseisen voor de mantel isolatie van ~ijvoorbeeld een

hoofdkabel voor 150 kV bedrijfsspanning overeenkomen met een net van

3 kV [24] is het gewenst om spanningsbegrenzers in het mantelcircuit

op te nemen. Bij voorkeur neemt men daarvoor in de practijk 3 spannings­

afhankel ijke weerstanden, die in een sterschakel ing zijn verbonden met

de drie mantels. Het sterpunt wordt dan veelal met aarde verbonden [9,

19, 211.

Afhankelijk van de grootte van de stroom duor deze weerstanden kan hier­

door de schijnbare golfimpedantie worden teruggebracht tot enkele ohms,

zodat de maximale spanning (VAR - VAT) in vrijwel alle gevallen beperkt

bI ijft tot minder dan 10 %van de binnenkomende spanningsgolf. De ma­

ximale spanning van de mantel t.o.v. aarde blijft dus kleiner dan 5 %van de in de kabel lopende golf.

-131-

LITERATUURLIJST

1. Kamerbeek, E.M.H.: On the theoretical and experimental determination

of electro-magnetic torque in electrical machines.

Dissertatie Technische Hogeschool Eindhoven.

pag. 36 - 38.

2. Rüdenberg, R.: Elektrische Schaltvorgänge. pag. 276 - 285.

Springer Verlag. Berl in, München. 1953.

3. Carson, J.R.: Wave propagation in overhead wires with ground­

return.

5. CI arke, E.:

8. CIarke, E.:

4. Carson, J.R.:

12. Bessonov, L.

6. CI arke, E.:

7. Barnes, C.C.:

Bell System Technical Journal. 5,539/550,(1926).

Ground return impedance of undergound wires with

earth return.

Bell System Technical Journal. 8,94,(1929).

Circuit analysis of A.C. power systems.

Vo I. 1, pag. 373.

John Wiley & Sons Inc. New Vork, London. 1950.

idem. pag. 225 - 230.

Power cables. Their design and instal'letion.

pag. 37. Chapman & Hall. London 1966.

Circuit analysis of A.C. power systems. Vol. 1.

pag. 140 -141.

John Wi ley & Sons Inc. New Vork, London. 1950.

9. Provoost, P.G., Janssen, M.J.G.:

Stootspanningen in kabels met onderbroken lood­

mantels. Elektrotechniek. 20,474/483,(1969).

10. Toshio Mai, Yoshi Haru Watanabe:

Calculation of travel I ing waves on single conduc­

tor cabte-circuits with cross-bonding.

IEEE Transactions on power apparatus an systems.

PAS n, 1507/1512,(1968).

11. Heaton, A.G., /ssa, A.M.H.:

Transiënt response of cross-bonded cable systems.

Proc. lEE, .!..!l,578/586,(1970).

Applied Electricity for engineers.

Moscow, MIR, 1968.

13. ter Horst, D.T~.J.: Hoogspanningstechniek 1,

Collegedictaat. Technische Hogeschool Eindhoven,

paragraaf 2.3.

24. Kreuger, F.H.:

-132-

14. Clarke, E.: Circuit analysis of A.C. power systems.

Vol. 1, pag. 474.

New Vork, London. Joh,) Wiley & Sons Inc. 1950.

15. zur Megede, W.: Fortleitung elektrischer Energie längs leitungen

in Starkstrom- und Fernmeldetechnik. pag. 23.

Springer Verlag. Berlin. 1950.

16. Clarke, E.: Circuit analysis of A.C. power systems. Vol. 2.

Pag. 25.

John Wi ley & Sons Inc .. New Vork, London. 1950.

17. Clerici, A., Manara, R.:

Transiënt network analyser study of overvoltages

in cross-bonded A.C. cables. Pag. 454 - 460.

lEE Conference Publ ication number 44.

18. Watson, W., Erven, C.C.:

Surge potentials on underground cable sheath

and joint isolation.

IEEE, PAS 82,239/249,(1963).

19. von Petry, Wolfgang, Vierfuss, Hans, K.:

Einleiterkabel mit ausgekreuzten Mänteln.

Elektricitätswirtschaft. J!l,7531761 ,(1971).

20. Stephanides, H.V., Schmid, M.:

Uberspannungen bei Blitzschlägen an Kabeln mit

ausgekreuzten Mänteln.

Bull. SEV. ~,125/134,(1972).

21. BalI, E.H., Occhini, E., Luoni, G.:

Sheath overvoltages in high voltage cables resul­

ting from special sheath-bonding connections.

IEEE. PAS. 84,974/987,(1965).22. Wedepohl, L.M.: Application of matrix methods to the solution

of traveIl ing-wave phenomena in polyfase systems.

Proc. lEE. ~,2200/2212,(1963).

23. Shigenori Hayashi, D. Eng.:

Surges on transmission systems.

chapter 1-1.

Denki-Shoin Inc., Kyoto, Japan. (1955).150 kV kabelverbindingen voor grote vermogens.

Elektrotechniek, ~,459/463,(1969).

25. Banks, J.:

-133-

Electrical power transmission: the elegant

'31ternative.

Proc. lEE. ..!l.!.,49/58, (1974).

26. Fallou, M.: Analyses des procédés permettant de supprimer

les pertes dans les gaines métall iques de cables

unipolaires à courant alternatif.

Revue générale d'Electricité. 74,481/498,(1965).

27. Wollaston, F.O., Kidd, K.H.:

Cable sheath jacket requirements to withstand

abnormal voltage stresses.

AIEE. PAS. ~,1116/1129,(196l) .

..