eindhoven university of technology master schatting van ... · rekenen door de navier-stokes...
TRANSCRIPT
Eindhoven University of Technology
MASTER
Schatting van stromingsprofielen in de Carotis
Aelen, F.W.L.
Award date:1993
Link to publication
DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
, r r ." LJ !0 o . ..
Schatting van stromingsprofielen
in de Carotis
F.W.L. Aelen
Verslag van het afstuderen van Frank Aelen in de vakgroep Biofysica,
Faculteit der Geneeskunde, Rijksuniversiteit Limburg.
Begeleider RL, faculteit der Geneeskunde, vakgroep Biofysica: Dr. Ir. APG
Hoeks.
Begeleider TUE, faculteit der Technische Natuurkunde, vakgroep Analyse
van Fysische Meetmethoden: Dr. Ir. C Massen.
3
Samenvatting
De snelheden en shear rates van het bloed aan de wanden van grote bloedvaten, zoals
de carotis (halsslagader), zijn erg interessant omdat deze mogelijk een rol spelen bij de
vorming van atherosclerose. Snelheden van bloed kunnen gemeten worden met behulp
van gepulst ultrageluid. De waarden van de op deze manier gemeten snelheden zijn echter
onbetrouwbaar dicht bij de wand vanwege de vaatwandfilters. Om toch informatie te krijgen
over de snelheden en shear rates aan de wand zijn er enkele modellen opgesteld om
uitgaande van de gemeten snelheden in het midden van het bloedvat (deze zijn wel
betrouwbaar) en de gemeten vaatwandbeweging de rest van het stromingsprotiel uit te
rekenen door de Navier-Stokes vergelijkingen numeriek op te lossen.
De carotis wordt in eerste instantie opgevat als een starre, rechte buis waarbij de niet
lineaire termen in de Navier-Stokes vergelijkingen verwaarloosd worden. De axiale drukgra
diënt wordt geschat aan de hand van de stroming in het midden van het bloedvat. De
Navier-Stokes vergelijkingen worden opgelost door er een differentievergelijking van te
maken (Cranck-Nicolson methode). Het model is gecontroleerd met behulp van de
analytische oplossing van de Navier-Stokes vergelijkingen voor een harmonische
drukgradiënt en blijkt goed te voldoen. De berekende stromingsprofielen komen echter over
een groot deel van de buis niet overeen met de in vivo gemeten stromingsprofielen.
Hierna is een meer realistisch model opgesteld om de stroming van het bloed door de carotis
te benaderen. De carotis wordt hierbij opgevat als een rechte, elastische buis. Ook de niet
lineaire termen in de Navier-Stokes vergelijkingen worden mee in betrekking genomen. De
vergelijkingen worden opgelost d.m.v. machtreekssubstitutie. Ook nu zijn er grote
verschillen tussen berekende en in vivo gemeten stromingsprofielen. Kleine fouten die in
het model ontstaan wanneer de stromingsprofielen erg vlak zijn kunnen deze grote
verschillen niet verklaren. Deze kleine fouten kunnen waarschijnlijk voorkomen worden door
een andere substitutie in de Navier-Stokes vergelijkingen, mogelijk van Womersley
profielen.
Om het model te testen zijn er metingen verricht aan een elastische buis met een
sinusaidale flow, waarin aan de in het model gemaakte aannames (redelijk) goed is voldaan.
Het model blijkt de gemeten stromingsprofielen hierin goed te beschrijven. De conclusie is
dan ook dat de grote verschillen tussen berekende en in vivo gemeten stromingsprofielen
veroorzaakt wordt door het niet geldig zijn van een of meerdere van de gemaakte
aannames in het model (o.a. het verwaarlozen van reflecties van de drukgolf, de niet
Newtonse eigenschappen van bloed en de veronderstelling dat de carotis recht is). Het
model zal in de toekomst aangepast moeten worden door enkele aannames te laten vallen.
Ook zal er experimenteel onderzoek gedaan moeten worden naar meer realistische
modellen van de stroming van het bloed in de carotis.
5
Summary
Veloeities and shear rates of blood near the walls of large arteries, like the carotid artery, are
very interesting because they may play a role in the development of atherosclerosis. Local
veloeities of blood can be measured by means of ultrasound. However, the values of
these measured veloeities are not reliable close to the vessel wall because of tissue filters.
In order to obtain intermation about veloeities and shear rates near the vessel wall, some
models are made that can extrapolate the veloeities in the midvessel region (these are
reliable) to the wall. This is done by solving the Navier-Stokes equations numericaly.
In first instanee the carotid artery is approximated by a straight rigid tube. The nonlinear
terms in the Navier-Stokes equations are neglected. The axial pressure gradient is
estimated using the veloeities on the axis of the tube. The linear Navier-Stokes equations
are solved by means of a finite ditterenee method (Cranck-Nicolson). The model is
confirmed by means of the analytic solution of these equations tor a harmonie pressure
gradient. However, there are large ditterences between calculated and in vivo measured
velocity profiles over a large region of the vessel.
After this a more realistic model is made to approximate the flow of blood through the carotid
artery. The carotid artery is approximated by a straight distensible tube. Also the nonlinear
terms in the Navier-Stokes equations are being taken into consideration. The equations are
solved by means of a power series substitution. Again large ditterences exist between
calculated and in vivo measured velocity profiles. Smal! errors that are being made when
the velocity profiles are very flat can not account tor these large differences. These smal!
errors can probably be prevented by an ether substitution in the Navier-Stokes equations,
possibly of Womersley profiles.
In order to test the model, measurements are done on a straight distensible tube with a
sinusoidal flow in wich the used approximations are (reasonably) fulfilled. The model
appears to describe the measured velocity profiles well. The conclusion is that the large
ditterences between calculated and in vivo measured velocity profiles are caused by the
tact that some of the assumptions that are made in the model (e.g. the negleetien of
reflections of the pressure wave, the non-Newtonian properties of blood and the
assumption that the carotid artery is straight) are not valid. In the future the model has to be
adjusted by dropping some of the assumptions that are now being made. Also more
experimental research has to be done in order to obtain more realistic models of the flow of
blood through the carotid artery.
7
Inhoudsopgave
Samenvatting ................................................................................................................ 3
Summary ........................................................................................................................ 5
Inhoudsopgave ............................................................................................................. 7
1. lnleiding ...................................................................................................................... 9
1.1. De bloedsomloop ...................................................................................... 9
1.2. Rheologische eigenschappen van bloed ............................................. 1 2
1.3. Atherosclerose ........................................................................................... 1 5
1.4. Ultrageluid .................................................................................................. 17
1.5. Opdracht ..................................................................................................... 29
1.6. Stroming van bloed in grote bloedvaten .............................................. 30
1.7. Stromingsvergelijkingen .......................................................................... 31
1.8. Opzet ........................................................................................................... 32
2. Carotis opgevat als rechte, starre buis ................................................................. 34
2.1. Inleiding ...................................................................................................... 34
2.2. Stroming van bloed door een starre buis ............................................. 34
2.3. Resultaten ................................................................................................... 37
2.4. Invloed van de parameters ..................................................................... .41
2.5. Analytische oplossing voor harmonische drukgradiënt.. .................. .42
2.6. Conclusies .................................................................................................. 43
3. Carotis opgevat als rechte, elastische buis ........................................................ .45
3.1. Inleiding ...................................................................................................... 45
3.2. Stroming van bloed door een elastische buis ..................................... 45
3.3. Resultaten ................................................................................................... 52
3.4. Invloed van de parameters ...................................................................... 59
3.5. De radiële drukgradiënt ........................................................................... 61
3.6. Axiale snelheid aan de wand ................................................................. 66
3.7. Conclusies .................................................................................................. 69
4. Metingen verricht aan een elastische buis .......................................................... 71
5. Conclusies ................................................................................................................. 78
Literatuurlijst .................................................................................................................. 82
Appendix A ..................................................................................................................... 85
Appendix 8 ..................................................................................................................... 86
9
1. Inleiding
1.1. De bloedsomloop
Een van de functies van de bloedsomloop is het van energie voorzien van
alle lichaamsdelen [LEE 92]. Deze energie wordt ontleend aan de
biologische verbranding van ons voedsel. In ons voedsel komen stoffen met
een hoge energiewaarde voor. Deze stoffen worden in het lichaam
afgebroken tot substanties met een lagere energiewaarde. Deze
verbranding kan zich afspelen bij lichaamstemperatuur dankzij tal van
biokatalysatoren, enzymen genaamd. Voor de verbranding is, net als bij
industriële en huishoudelijke verbrandingsprocessen, zuurstof nodig en
worden kooldioxide en water geproduceerd. Behalve voor de energie
voorziening dient voedsel ook voor de vervanging en reparatie van onze
weefsels, waarvan de cellen over het algemeen een aanzienlijk kortere
levensduur hebben dan ons totale lichaam. Bovendien vergt de groei van
kinderen een aanzienlijke aanvoer van bouwmaterialen.
Voor de biologische verbranding is de bloedsomloop van essentiële
betekenis. De bloedsomloop zorgt ervoor dat bouw- en brandstoffen en
zuurstof in de vereiste hoeveelheden bij de cellen worden afgeleverd en dat
kooldioxide en water worden afgevoerd. Daarnaast staat de bloedsomloop
nog ten dienste van andere lichaamsfuncties zoals bijvoorbeeld de
temperatuurregeling door het transport van warmte die bij energieomzetting
vrijkomt. Behalve transport van zuurstof, kooldioxide, voedings- en
afvalstoffen en van warmte dient de circulatie ook nog voor transport van
een zeer groot aantal andere stoffen en van vrij in het bloed voorkomende
rode en witte bloedcellen die voor, respectievelijk, het transport van zuurstof
en de afweer tegen ziekteverwekkende micro-organismen zorgen, en bloed
plaatjes die een belangrijke rol spelen bij de stolling. Hormonen die door
diverse klieren aan het bloed worden afgegeven kunnen dankzij de
bloedsomloop over het hele lichaam worden verspreid en dus op soms
grote afstand van de klier waar zij vandaan komen hun werking uitoefenen.
Behalve de hormonen die in speciale klieren worden geproduceerd
transporteert de circulatie nog talloze andere stoffen, die als chemische
boodschappers tussen cellen kunnen worden beschouwd.
10
De bloedsomloop kan men onderverdelen in de macrocirculatie, ten
behoeve van de aan- en afvoer van stoffen en warmte door het hart via de
slagaders en de aders, en de microcirculatie ten behoeve van de
uitwisseling van stoffen en warmte tussen het bloed en de cellen van
weefsels of organen.
Zuurstof lost slecht op in water en diffundeert langzaam. Om de cellen van
de weefsels voldoende van zuurstof en voedingsstoffen te voorzien, moet
ondanks de belangrijke verbetering van het transport door de circulatie de
diffusie heel efficiënt gebeuren. Voor diffusie geldt de Wet van Fick. Volgens
die wet is de transportsnelheid evenredig met de concentratiegradiënt van
de ditfunderende stof en van het voor diffusie beschikbare oppervlak. In de
circulatie worden de grote afstanden overbrugd door de bloedstroom,
diffusie gebeurt pas op het eind, van bloedvat naar weefsel en vice versa.
De afstand tussen bloedvat en weefselcellen is altijd heel kort, niet meer
dan enkele honderdste millimeters. De concentratiegradiënt is daardoor
groot en dat maakt diffusie efficiënt. Bovendien is het oppervlak waarover
diffusie plaats vindt altijd heel groot. Bloedvaten vertakken daartoe tot een
zeer fijn netwerk van haarvaten (capillairen). Zowel de korte afstand als het
grote oppervlak zorgen voor een hoge transportsnelheid.
Het dichte netwerk van haarvaten, met de daarop aansluitende aan- en
afvoerende vaten, die arteriolen en venuien worden genoemd, heet de
microcirculatie. Alle organen hebben een microcirculatie. Een belangrijk
stelsel van haarvaten komt voor in de longen. Daar vindt uitwisseling plaats
van zuurstof uit de lucht tegen kooldioxide uit het bloed. In de capillaire
vaatsystemen van de andere organen worden zuurstof en voedingsstoffen
afgestaan aan het weefsel terwijl kooldioxide en andere afbraakprodukten
juist in het bloed worden opgenomen. Kooldioxide wordt door de circulatie
naar de longen afgevoerd; niet-gasvormige afbraakprodukten worden in de
nieren uit het bloed verwijderd en afgevoerd met de urine. Bij de opname
van voedingsstoffen vanuit de darmen speelt de microcirculatie van de darm
een belangrijke rol. Naast passief transport t.g.v. de door concentratie
verschillen gedreven diffusie komt ook actief transport voor.
De pomp die het bloed rondpompt in de bloedsomloop is het hart. De
linkerhartkamer (linkerventrikel) pompt het bloed naar het lichaam via de
grote lichaamsslagader (aorta). De aorta vertakt in dunnere slagaders
(arteriën) en die vertakken op hun beurt weer in nog dunnere bloedvaten,
de arteriolen. Via eindvertakkingen met een doorsnede van minder dan een
tiende millimeter stroomt het bloed naar de capillaire netwerken, waar de
1 1
uitwisseling van stoffen en warmte plaatsvindt. De capillairen komen samen
in een groot aantal venulen, die weer samenkomen in de aderen (venen).
Het bloed passeert eerst de kleine venen en komt vervolgens in de grotere
aderen die uiteindelijk samenkomen in de grote holle ader, die uitmondt in
de rechterhartkamer. Deze pompt het bloed naar de longen. Via
vertakkingen van de longslagader bereikt het bloed de haarvaten van de
longen, waar zuurstof wordt opgenomen en kooldioxide wordt afgegeven.
Vervolgens stroomt het zuurstofrijke bloed naar de linkerhartkamer om een
nieuwe rondreis te beginnen.
Hart en bloedvaten kunnen de bloedstroom zo regelen, dat er niet te weinig
doorbloeding van de hersenen en de organen plaatsvindt. Maar ook niet te
veel, omdat door het onnodig rondpompen van grote hoeveelheden bloed
erg veel energie verloren gaat. Ten gevolge van het pompen van het hart
varieert de druk in de aorta, en bijgevolg ook in de andere grote arteriën,
met de hartslag. De maximale druk in een arterie wordt de systolische druk
genoemd, de minimale de diastolische druk. De grootte van deze drukken
wordt door een groot aantal factoren bepaald. De belangrijkste zijn de
pompaktie van het hart, de weerstand die de bloedstroom ondervindt van de
kleine slagaders en arteriolen (de zogenaamde perifere weerstand) en de
elasticiteit van de grote slagaders.
co..Rohs . commums
Figuur 1. 1. De carotis
12
In dit onderzoek zal de nadruk liggen op de stroming van het bloed in de
carotis communis (in het vervolg kortweg de carotis). Dit is de
gemeenschappelijke halsslagader, die het hoofd van bloed voorziet. De
carotis splitst zich voordat hij het hoofd bereikt in tweeën, zie figuur 1.1.
Deze splitsing noemt men een bifurcatie.
1.2. Rheologische eigenschappen van bloed
Bloed is een suspensie van gevormde deeltjes (de verschillende bloed
cellen) en vloeistofdeeltjes (de chyomicrons) in een plasma [STE 84]. Het
plasma is een waterachtige oplossing die veel laag-moleculair-gewicht
deeltjes van organisch en anorganisch materiaal in lage concentraties en
bovendien ongeveer 7% proteïnen bevat. De bloedcellen kunnen
onderscheiden worden in rode en witte bloedcellen en bloedplaatjes.
Rheologie is de studie van die eigenschappen van materialen die hun
responsie bepalen op een mechanische belasting. Een belangrijke
rheologische eigenschap van een vloeistof is de viscositeit. Dit is de
verhouding tussen de afschuifspanning en de afschuifsnelheid.
Afschuifspanning (shear stress) is de kracht per oppervlakte-eenheid die
een vloeistof uitoefent· op dat oppervlak (door er langs te stromen), in een
richting evenwijdig aan het oppervlak. Dit oppervlak kan ook een denk
beeldig oppervlak in de vloeistof zijn. Afschuifsnelheid (shear rate) is de
afgeleide van de snelheidscomponent evenwijdig aan het oppervlak, in de
richting van de normaal op het oppervlak.
Composition of the red cel/
Water Memhrane comronent~
trrotein, rho~pholipid, cholc~terol) Haemoglohin lnor~tanic:
Pl'la~~ium
Sodium Magne~ium
Calcium
Figuur 1.2. Vorm en samenstelling van rode bloedcel
Percentage of mass
65 3
32
0·420 g per 100 mi 0·025 g per 100 mi 0·006 g per 100 mi
small amount
De belangrijkste groep cellen die de rheologische eigenschappen van het
bloed bepalen zijn de rode bloedcellen, daar zij in de hoogste concentratie
,
13
voorkomen (±45%). In de rode bloedcel zit het hemoglobine, dat er voor
zorgt dat het bloed rood lijkt en zuurstof kan vervoeren. In onvervormde
toestand is de cel een concaaf geheel (zie figuur 1.2) met een soortelijke
massa van 1 ,06·1 o3 kgtm3.
De rode bloedcel is zeer sterk deformeerbaar. Bij hoge afschuifspanningen
wordt zij dan ook langgerekt. Een bijzondere eigenschap is verder dat de
rode bloedcellen aggregeren; dit wordt ook wel rouleaux-vorming genoemd.
Het mechanisme hiervan is nog onduidelijk. Het lijkt erop dat de rode
bloedcellen elkaar aantrekken en dat deze aantrekking bepaald wordt door
geladen molecuulgroepen aan het oppervlak van de cel. Maar ook hangt
het nauw samen met de concentraties van fibrinogeen en globulines;
zonder hun aanwezigheid vindt het niet plaats. De rouleaux-vorming
geschiedt bovendien alleen bij cellen in onvervormde toestand. In de
carotis, waar in dit onderzoek de aandacht op is gevestigd, is de stroming
van het bloed zeer instatienair en komen hoge afschuifsnelheden (tot hoger
dan 1 000/s) voor. Hier zal dan ook geen rouleaux-vorming plaatsvinden.
10
RBC IN PLASMA
t HTC=45%
__".L\,lV"i I I e seMJ I I I 1111d I I I I 1111. I '--!-L.A.UO""="_....._ •I 'l. ~
10-,!, 10 l 10 10 10
K(s -I)--+
b
asymptotic val u es
~~1--~--~1~0--~1~00~~1~0~00~ -I
K(s )-
a Typisch verloop van schuifspanning t
en viscositeit rt tegen afschuifsnelheid K voor 45\ RBC in plasma, ~ Spreiding in re-sultaten voor menselijk bloed.
Figuur 1.3. Viscositeit van bloed
14
De tweede groep van in het plasma opgeloste cellen zijn de witte
bloedcellen. Zij zijn van belang bij het bestrijden van infecties. Door hun
geringe aantal hebben zij slechts weinig invloed op de viscositeit van bloed.
De bloedplaatjes, van belang bij het stoppen van een bloeding, zijn wel veel
groter in aantal. Maar omdat zij ongeveer 10 maal kleiner zijn dan de rode
bloedcel zijn zij voor de viscositeit van bloed van veel minder belang.
Een vloeistof waarvoor een lineair verband geldt tussen afschuifspanning
en afschuifsnelheid noemt men een Newtonse vloeistof. Bloed blijkt zich niet
als een Newtonse vloeistof te gedragen maar als een zogenaamde niet
Newtonse vloeistof. De viscositeit is niet meer eenduidig en hangt af van de
afschuifsnelheid. Indien de stroming niet zo instatienair is dat zich geen
rouleaux kunnen vormen, neemt de viscositeit bij lage afschuifsnelheden
(kleiner dan 50/s) sterk toe (shear thinning), zie figuur 1.3.
Dit niet-lineaire effect hangt onder andere samen met de vorming van
rouleaux bij lage afschuifsnelheden, de buiging, het richteffect en de
geleidelijke afbraak van de rouleaux bij iets hogere afschuifsnelheden en
de vervorming en het richteffect van de elastische rode bloedcellen bij hoge
afschuifsnelheden.
Bloed blijkt zich ook plastica-viskeus te gedragen: afschuifsnelheden treden
pas op als de afschuifspanning een bepaalde kritieke waarde heeft
overschreden (de yield-stress). De oorzaak van dit fenomeen moet gezocht
worden in de rouleaux-vorming van de rode bloedcellen bij lage
afschuifspanningen en het dan vormen van een verbonden netwerk van
geaggregeerde cellen. Het blijkt dat wanneer de afschuifsnelheid periodiek
verloopt met een bepaalde frequentie, er een faseverschil is tussen
afschuifsnelheid en afschuifspanning. Dit houdt in dat men een complexe viscositeit krijgt, die kan worden beschreven door een viskeuze ( llv) en een elastische ( lle) component, zie figuur 1.4.
Voor afschuifsnelheden boven de 1 0/s gaat de viskeuze component naar
een limietwaarde en de elastische component naar nul. De verklaring voor
de frequentie-afhankelijkheid van de viskeuze en elastische componenten
van de viscositeit blijkt, net zoals voor het niet-lineaire stromingsgedrag
onder stationaire condities, nauw samen te hangen met de aggregatie en
deformatie van de rode bloedcellen. Met het toenemen van de oscillatie
frequentie boven de 0,1 Hz wordt de rouleaux-grootte, waarschijnlijk onder
de invloed van de cyclische vervorming, toenemend kleiner en neemt de
elastische component van de viscositeit af. Bij frequenties van 1 Hz of hoger
zijn in de suspensie nauwelijks nog rouleaux aanwezig. De elastische
•
15
component van de viscositeit wordt dan alleen nog bepaald door de
elastische vervorming van de individuele rode bloedcellen.
'l
10 I Mensenbloed HTC=43% f = 2Hz
110 -----------~~ 4 ---------- n~~-- I ',v 'nE
(mNs/m2) 1
n ,nE V 2
(mNs/m 1
.01
Figuur 1.4. Viskeuze (llv) en elastische (Tle) component van de complexe
viscositeit als functie van de afschuifsnelheid {K0 ) en frequentie (f)
Zoals eerder reeds vermeld, is de stroming van het bloed in de carotis zeer
instatienair (met frequentiecomponenten tot ongeveer 20 Hz), zodat hier
vrijwel geen rouleaux-vorming plaats vindt. Voorgaande niet-lineaire
rheologische eigenschappen van het bloed zijn in de carotis, en andere
grote bloedvaten, dan ook verwaarloosbaar. Bloed kan hier als Newtons
opgevat worden [REU 91), met een constante viscositeit van tussen de 3 en
4 ·1 o-3 Ns I m2•
1.3. Atherosclerose
De begrippen arteriosclerose en atherosclerose hebben met elkaar gemeen
dat ze beide slaan op afwijkingen in de wanden van bloedvaten [LEE92).
Deze wanden bestaan grofweg uit drie lagen, van binnen naar buiten de
intima, de media en de adventitia. Atherosclerose is de meest voorkomende
vorm van arteriosclerose. Er is sprake van wanneer de intima van grote en
middelgrote arteriën is aangedaan.
In verreweg de meeste gevallen ligt aan aandoeningen van hart en
bloedvaten atherosclerose ten grondslag. Aan atherosclerose gerelateerde
ziektebeelden, zoals het hartinfarct, de beroerte (herseninfarct) en gangreen
vormen nog steeds de belangrijkste doodsoorzaak in Noord-Amerika en
West-Europa.
16
De officiële definitie van atherosclerose luidt: "de zeer algemeen
voorkomende laesie (beschadiging) in arteriën, die gekenmerkt wordt door
plaatselijke verdikkingen (plaques) bestaande uit ophopingen van lipiden
en collageen-achtige (bindweefsel) vezels, die beide in zeer verschillende
verhoudingen aanwezig kunnen zijn". Deze definitie geeft enkele
fundamentele aspecten van atherosclerose weer, bijvoorbeeld dat de
laesies meestal op bepaalde plaatsen in de vaatwanden ontstaan waar
wervelingen in de bloedstroom optreden, zoals bij vertakkingen van de
vaten. Ook hoeven de afwijkingen niet alleen in de binnenste laag van de
vaten (intima) voor te komen, al is dat meestal wel het geval. Bovendien
vermeldt de definitie de ingewikkelde opbouw van de atherosclerotische
plaque. Zo'n plaque bestaat uit een kern van lipiden (het atheroom},
voornamelijk afkomstig uit het bloed, omgeven door afgestorven
bindweefsel tussen het atheroom en de vaatwand en levend bindweefsel
dat het atheroom aan de andere kant bedekt en scheidt van de bloedstroom.
Als de inhoud van het atheroom vrijkomt in de bloedstroom, ontstaat in de
slagader acuut een stolsel. Dit leidt tot belemmering en soms blokkade van
de bloedtoevoer naar de organen waar de slagader en de vertakkingen
ervan uitkomen. Vooral het hart en de hersenen zijn hiervoor erg gevoelig.
Beide worden van bloed voorzien door zeer dunne slagaderen, die
gemakkelijk geblokkeerd kunnen raken. Atherosclerose komt relatief vaak
voor bij de bifurcatie van de carotis.
Belangrijke factoren die mogelijk het ontstaan van atherosclerose
beïnvloeden zijn:
• leeftijd
• mannelijk geslacht
• familiaire aanleg
• verhoogd LOL-cholesterol (> 4,2 mMol/1)
• verlaagd HOL-cholesterol (< 0,9 mMol/1)
• roken van sigaretten (> 1 0/dag)
• verhoogde bloeddruk (> 160/95 mm Hg)
• diabetes mellitus
• vetzucht (Quetelet-index >27)
Bovendien speelt waarschijnlijk ook de hemodynamica (=stromingsgedrag)
van het bloed in de arteriën een rol bij het ontstaan van atherosclerose, met
name het stromingsgedrag dicht bij de wand [REU 91], [SIM 90]. Belangrijke
parameters die de stroming dicht bij de wand karakteriseren zijn de
afschuifsnelheid en afschuifspanning aan de wand, de zogenaamde wall
17
shear rate respectievelijk wall shear stress. Vooral op plaatsen waar een
lage of een sterk oscillerende wall shear rate heerst, komt atherosclerose relatief vaak voor [RIN 89].
Het is belangrijk om meer te weten te komen over het stromingsgedrag van
het bloed dicht bij de wand. Een manier om stromingsprofielen van bloed in
arteriën, met name de carotis, te meten is met behulp van ultrageluid.
1.4. Ultrageluid
Ultrageluid is geluid met een frequentie die hoger ligt dan de maximale
frequentie die door het menselijk oor kan worden waargenomen [MED 87),
[LOl 90]. Deze ligt in de orde van 20kHz. In de medische diagnostiek wordt
van aanzienlijk hogere frequenties gebruik gemaakt. Afhankelijk van de
toepassing is de ultrageluidsfrequentie in de orde van 2 tot 10 Mhz. De
snelheid c, waarmee geluid zich in een medium voortplant, is afhankelijk
van het medium. In water is deze snelheid ongeveer 1550 m/s. Akoestisch
gesproken bestaat het lichaam voornamelijk uit water, zodat we daar
dezelfde snelheden zien. Een extreme uitzondering hierop vormt botweefsel
met een geluidssnelheid van ongeveer 4000 m/s.
Het basisprincipe van ultrageluidssystemen, zoals deze in de klinische
diagnostiek worden gebruikt, is gelegen in het gegeven dat de tijd die het
geluid nodig heeft om een bepaalde afstand af te leggen, een directe maat
voor die afstand is. Voor het bepalen van de afstand is het noodzakelijk
slechts in een bepaalde richting ultrageluid uit te zenden en slechts voor die
richting waarnemingsgevoeligheid te hebben. Dit is noodzakelijk omdat het
anders onbekend is waar het terugkomende signaal vandaan komt. Het
geluid moet in een smalle bundel worden uitgezonden en slechts
reflectoren die zich binnen deze bundel bevinden mogen bijdragen tot het
ontvangen signaal. Bij frequenties van 2 tot 10 Mhz is de diameter van de
geluidsbundel 1 tot 2 mm. Met behulp van een korte geluidspuls kan men
dus de (eventuele) aanwezigheid en plaats van reflectoren in de
geluidsbundel vaststellen. Varieert men de richting/plaats van de
geluidsbundel in opeenvolgende zend/ontvangstcycli ('scanner'), dan
resulteert dit in een tweedimensionale afbeelding van structuren in de
geluidsscan. De manier waarop de richting/plaats van de geluidsbundel
wordt gevarieerd is afhankelijk van het type scanner. De tijd nodig voor het
maken van een scan kan zo kort gemaakt worden dat het voor het oog lijkt
alsof er geen overgangen tussen opeenvolgende scans zitten. De
verandering in plaats (beweging) van structuren kan dus met behulp van
18
ultrageluid gevolgd worden. Dit reai-time karakter is een zeer aantrekkelijke
eigenschap van de medische diagnostiek met behulp van ultrageluid. Ook
kunnen zachte weefsels zonder gebruik van een contrastmiddel worden
afgebeeld. Er zijn tot nu toe geen duidelijke aanwijzingen dat de
geluidsintensiteiten, zoals deze gebruikelijk zijn in de medische diagnostiek,
tot schadelijke effecten leiden.
Ultrageluid is patiënt-vriendelijk. Het kan door de intacte huid heen worden
toegepast en het biedt directe terugkoppeling naar de onderzoeker.
Beweging en structuren kunnen worden gevisualiseerd. Geluid biedt echter
ook de mogelijkheid om de snelheid van bewegende reflectoren (b.v. rode
bloedcellen) te kwantificeren. Wordt geluid gereflecteerd door een
bewegende reflector dan verandert de frequentie van het geluid evenredig
met de snelheid van die reflector. Dit noemt men het Doppler-effect en
hiermee is het mogelijk de snelheid van het bloed te kwantificeren. In de
afgelopen jaren zijn er ultrageluidssystemen ontwikkeld waarin de Doppier
systemen geïntegreerd zijn.
Voor de voortplanting van geluid zijn deeltjes (atomen, moleculen) nodig,
die elastische interactie met elkaar kunnen hebben. De akoestische
impedantie, gelijk aan de ratio van de deeltjessnelheid en de drukvariatie, is
een materiaaleigenschap. Dat wil zeggen dat ieder medium zijn eigen akoestische impedantie (Z) heeft. Dit komt tot uiting in de relatie Z =pc, met
p de soortelijke massa van het medium. Wat er gebeurt met een geluidsgolf
aan het grensvlak tussen media met verschillende akoestische impedantie
is in hoge mate afhankelijk van de afmetingen van het grensvlak ten opzichte van de golflengte (À.= effe) van het ultrageluid. Deze golflengte is
ongeveer 0,25 mm voor een frequentie van 6 MHz. In het geval dat de
afmetingen van de reflector/grensvlak vele malen groter zijn dan de
golflengte van het ultrageluid, vindt er gedeeltelijke reflectie plaats, waarbij
de hoek van inval gelijk is aan de hoek van reflectie. Het gedrag van een
geluidsgolf aan het grensvlak van een akoestische inhomogeniteit met
afmetingen die aanzienlijk kleiner zijn dan de gebruikte golflengte
(bijvoorbeeld een rode bloedcel) is volledig anders. De rode bloedcel gaat
in zijn geheel meetrillen en geeft daardoor de beweging in alle richtingen af:
verstrooiing van het geluid. Slechts een klein gedeelte van het invallende
geluid zal dan via verstrooiing de bron/ontvanger bereiken. De mate van
reflectie wordt dus niet alleen bepaald door het verschil in akoestische
impedantie, maar ook door de afmetingen van de verstrooier. Naarmate de
afmetingen groter worden is er minder sprake van verstrooiing en meer van
19
reflectie. In het menselijk lichaam zien we bij alle overgangen een
combinatie van reflectie en verstrooiing. Dat is de reden waarom een grens
vlak dat scheef staat op de voortplantingsrichting van het geluid toch een
reflectie zal opleveren, hoewel de grootte hiervan aanzienlijk minder zal zijn
dan bij loodrechte inval.
Wanneer ultrageluid zich door een medium voortplant neemt de intensiteit
ervan geleidelijk af. Hiervoor zijn verschillende redenen aan te geven,
onder andere divergentie van de geluidsbundel, verstrooiing en
gedeeltelijke reflectie van ultrageluid bij akoestische overgangen. De
belangrijkste reden voor de afname van de geluidsintensiteit als functie van
de afstand tot de transducent is echter de absorptie, waarbij geluidsenergie
verloren gaat als warmte. De mate van absorptie is afhankelijk van de
afgelegde afstand, de frequentie en het soort medium. Dit komt tot
uitdrukking in de relatie D = A1d, waarin D aangeeft met welke fractie de
geluidsintensiteit is afgenomen, A de weefselafhankelijke verzwakkings
coëfficiënt, f de frequentie en d de afgelegde weg. Hoge frequenties kunnen
alleen toegepast worden, indien het onderzoeksgebied dicht onder de huid
ligt, terwijl de lagere frequenties in aanmerking komen voor onderzoek van
dieper gelegen structuren. Een eventuele luchtlaag tussen de transducent
en het huidoppervlak zal transmissie van ultrageluid nagenoeg verhinderen.
Om dit te vermijden wordt tussen de transducent en de huid een gel (een
doorgaans kleurloze substantie met de akoestische impedantie van water)
aangebracht.
Voor het omzetten van elektrische in akoestische energie (bij zenden) en
omgekeerd (bij ontvangen), wordt gebruik gemaakt van keramisch materiaal
dat bij aanbrengen van een elektrische spanning een vormverandering
ondergaat en andersom (akoestische) drukveranderingen omzet in een
elektrisch signaal. Dit is het zogenaamde piëzo-elektrische effect. De duur
van de geluidspuls is ongeveer twee perioden zodat de axiale resolutie in
de orde ligt van één golflengte. Hoe korter de uitgezonden geluidspuls, des
te beter is de axiale resolutie, omdat dan reflectoren dichter bij elkaar
mogen liggen voordat de echo's elkaar overlappen. Voor een geluidspuls
met een duur van één microseconde moeten de achter elkaar liggende
reflectoren minimaal 0,75 mm van elkaar afliggen. De axiale resolutie kan
men verbeteren door een hogere emissiefrequentie te gebruiken. Dit wordt
beperkt door de gewenste indringdiepte, die een bovengrens stelt aan de
frequentie (vanwege de absorptie).
Naast de axiale resolutie speelt ook de laterale resolutie (het vermogen om
twee naast elkaar liggende reflectoren van elkaar te onderscheiden) een
20
belangrijke rol voor de kwaliteit van een ultrageluidssysteem. De laterale
resolutie wordt bepaald door de breedte van de geluidsbundel. De vorm van
de geluidsbundel is te zien in figuur 1.5.
.·
·. Fig.3 De vorm van de geluidsbundel. Focussering leidt tot een lokaal smallere bundel maar elders tot extra divergentie.
Figuur 1.5. De vorm van de geluidsbundel
In het nabije veld convergeert de geluidsbundel en in het verre veld
divergeert de geluidsbundel. Door focussering kan dit effect versterkt
worden. Focussering kan men bereiken door ofwel de transducent
schotelvormig (in plaats van vlak) te maken, dan wel de voorzijde van de
transducent te voorzien van een akoestische lens. Deze lens is dan hol en
gemaakt van materiaal waarin de geluidssnelheid hoger is dan in water. De
keuze van mate van focussering is afhankelijk van het gewenste gebied
waar de bundel zo smal mogelijk moet zijn. Dit betekent dat men afhankelijk
van de toepassingsdiepte steeds een transducent met andere afmetingen
nodig heeft. Men kan dit vermijden door in plaats van mechanische
(akoestische lens, schotelvormige transducent) elektronische focussering
toe te passen. Het laatste is mogelijk indien de transducent is opgebouwd
uit meer transducenten, die samen voor de bundelvorming zorgen. Door de
transducenten elk met een bepaald tijdsverschil aan te sturen kan de
geluidsbundel gefocusseerd worden. Het omgekeerde gebeurt bij
ontvangst. Door gebruik te maken van variabele vertragingselementen
waarvan de vertraging een functie is van de tijd tussen zenden en ontvangst
is het nu mogelijk om het focuspunt dynamisch aan te passen (dynamische
focussering). De ontvangstbundel kan daardoor over een groot gebied
gefocusseerd worden.
Wanneer een geluidspuls wordt uitgezonden zullen de diverse structuren in
de geluidsbundel echo's veroorzaken. Naarmate de structuren verder weg
liggen van de transducent zal enerzijds de looptijd toenemen, anderzijds zal
de amplitude afnemen als gevolg van verzwakking (absorptie, gedeeltelijke
21
transmissie, verstrooiing, divergentie van de bundel). De geleidelijke
verzwakking is zowel een voordeel als een nadeel. Doordat de
echoamplitudes afnemen tot beneden het detecteerbare niveau, kan na
enige tijd opnieuw een geluidspuls worden uitgezonden zonder dat eerder
uitgezonden geluidspulsen tot verwarrende echo's leiden. Anderzijds
limiteert de verzwakking de penetratiediepte. Zoals reeds eerder vermeld
kan men de penetratiediepte vergroten door een lagere emissiefrequentie te
kiezen. De pulsherhalingsfrequentie (PAF: pulse repetition frequency) moet
men dan dienovereenkomstig aanpassen. Voor een goede evaluatie van de
echo's is het gewenst dat dezelfde reflector tot een ongeveer gelijke echo
amplitude leidt, onafhankelijk of deze reflector dicht bij de transducent ligt of
ver weg. Dit kan men bereiken door de elektronische versterking van het
ontvangen signaal afhankelijk te maken van de tijd die verlopen is tussen
emissie en ontvangst. Om te voorkomen dat een zwakke reflector in de buurt
van een sterke reflector niet gezien wordt kan men compressie toepassen,
dat wil zeggen dat grote echo's minder versterkt worden dan kleine echo's.
Dit is een niet-lineaire bewerking.
Er bestaan een aantal verschillende modes voor ultrageluidssystemen. De
eenvoudigste mode is de zogenaamde A-mode. Hierbij wordt na iedere
uitgezonden geluidspuls de terugontvangen echo's als functie van de tijd
(dus als functie van de diepte) door dezelfde transducent opgevangen
waarbij de drukfluctuaties worden omgezet in elektrische spannings
variaties. Na diepte-afhankelijke versterking wordt de amplitude
(omhullende) van het signaal gedetecteerd. Tegelijkertijd met de emissie
van de geluidspuls wordt de tijdbasis gestart van een oscilloscoop met op
de verticale as de amplitude van het gedetecteerde signaal. Als gevolg
hiervan ziet men als functie van de diepte de echo-amplitude. Het frequent
herhalen van de zend/ontvangstcyclus geeft de waarnemer de indruk van
een vast beeld.
In plaats van de amplitude van een echo weer te geven met een verticale
uitwijking kan men dit ook doen door middel van helderheidsmodulatie.
Naarmate de echo groter is, wordt de afbeelding hiervan helderder. Dit is de
zogenaamde 8-mode (brightness mode), die de basis vormt van alle
tweedimensionale echo-scanners. In de M-mode (motion mode) wordt het
echosignaal in 8-mode als functie van de diepte op een geheugendisplay
(geheugenoscilloscoop, videomonitor met geheugen) weergegeven waarbij
de plaats van de afbeeldingslijn geleidelijk wordt verschoven. Op deze
manier wordt het beeld in een aantal seconden volgeschreven. Het is
22
daardoor mogelijk om de plaats van specifieke structuren als functie van de
tijd te visualiseren.
Varieert men de geluidsbundel in positie en/of richting dan is het hierdoor
mogelijk om een tweedimensionale afbeelding van anatomische structuren
te maken op een geheugendisplay. Daarbij wordt de positie en richting van
de transducent vastgesteld met behulp van opnemers, die ingebouwd zijn in
een flexibele arm die het echo-apparaat met de transducent verbindt. Een
dergelijke afbeelding wordt een C-scan (compound-scan) genoemd. Wordt
de richting van de geluidsbundel tijdens het scannen gewijzigd, dan is het
onvermijdelijk dat bepaalde punten meermalen (vanuit verschillende
richtingen) geobserveerd worden. Er zijn verschillende verwerkings
metheden (algoritmen) aan te geven hoe er met deze situatie moet worden
omgegaan. De compound-scan heeft een tweetal nadelen. Ten eerste moet
de transducent met een arm verbonden worden aan een vast punt, hetgeen
een beperking oplegt aan de bewegingen van de transducent. Bovendien is
de C-mode ongeschikt voor onderzoek van bewegende structuren. Deze
overwegingen hebben geleid tot de ontwikkeling van echo-apparatuur
waarvan de transducent automatisch en sneller bewogen kan worden.
Dergelijke systemen zijn geschikt voor reai-time 2D-echorepresentatie.
Het concept om meer transducenten in een behuizing (probe) onder te
brengen en deze achtereenvolgens te activeren vindt men terug bij de
lineaire array. Hierbij wordt de array gevormd door een groot aantal
transducenten (in de orde van 50 tot 150), die in een rij gerangschikt zijn.
ledere transducent kan afzonderlijk geactiveerd worden, waarbij de selectie
elektronisch wordt uitgevoerd. Dit heeft als consequentie dat de bundel in
een lateraal vlak verplaatst wordt. Groepsgewijze aansturing opent tevens
de mogelijkheid tot elektronische focussering. Maakt men de afmetingen
van een transducentelementje kleiner dan de golflengte, dan gaat dit
elementje nagenoeg als puntbron fungeren. Activeert men een groot aantal
elementjes met een onderling juiste tijdvertraging, dan kan men de
geluidsbundel richten: in een bepaalde richting zullen de geluidsgolven van
de afzonderlijke elementjes elkaar versterken terwijl in de overige richtingen
juist uitdoving plaatsvindt. Varieert men de onderlinge tijdvertraging, dan
verandert de richting van de geluidsbundel. Van dit principe wordt gebruik
gemaakt in de phased array systemen.
Ultrageluid kan ook gebruikt worden voor het meten van snelheden,
bijvoorbeeld van bloed [LOl 90]. Deze methode berust op het Dopplerprincipe. Hierbij wordt ultrageluid met een bepaalde frequentie (fz) het
23
lichaam ingezonden, waar het in de bloedvaten verstrooid op de
bewegende rode bloedcellen. Het terugontvangen signaal heeft een andere
frequentie dan het uitgezonden signaal. Het verschil noemt men de Doppier-frequentie (f0 ). De relatie tussen fz en f0 is f0 = 2fzvcosajc, met c
de geluidssnelheid, v de snelheid van de rode bloedcel en a de hoek
waarmee de rode bloedcel beweegt ten opzichte van de geluidsbundel. Voorbeeld: met fz=6 MHz en vcosa=0,75 m/s is de Doppier-frequentie f0 =6
kHz. Zijn er meer deeltjes met een verschillende snelheid in de geluids
bundel, dan krijgt men een spectrum van Doppler-frequenties. Om van een
gegeven signaal het frequentiespectrum te bepalen staan er verschillende
methoden ter beschikking. De meest bekende methode om van een stukje
signaal met een duur van T seconden het bijbehorende frequentiespectrum
te krijgen (spectrale analyse) is die van de Fourier-analyse. Hiervoor wordt
het signaal eerst bemonsterd met een vooraf gekozen bemonste
ringsfrequentie. Voor een signaal met duur T geeft een bemonsteringsfrequentie f5 in totaal N = Tf5 bemonsteringspunten. Deze waarden
worden in digitale vorm omgezet en vervolgens met een computer bewerkt.
Kiest men N gelijk aan een macht van 2 dan is het mogelijk om de
bewerkingsprocedure aanmerkelijk te vereenvoudigen zodat de
berekeningen aanzienlijk sneller worden. Men noemt dit de Fast Fourier
Transferm (FFT). De bemonsteringsfrequentie moet minimaal tweemaal de
maximaal te verwachten Doppier-frequentie zijn. Is dit niet het geval dan
worden verkeerde frequenties uitgerekend. Dit noemt men dan aliasing .
.-----ontvangelement
r--- akoestische gel
Figuur 1.6. Meetsituatie bij een CW-systeem
24
Bij een CW-Doppler (continuous wave) systeem wordt continu ultrageluid
uitgezonden. Hiertoe heeft men aparte zend- en ontvangsttransducenten
nodig, die vlak bij elkaar gemonteerd zijn, zie figuur 1.6.
De uitgezonden bundel mag niet te smal zijn, daar het bloedvat dat men wil
onderzoeken volledig in de geluidsbundel gevangen moet kunnen worden
om een juist beeld te krijgen van de snelheidsverdeling. Door een piëzo
elektrische oscillator wordt een hoogfrequent geluidssignaal het lichaam
ingezonden. Het door de ontvanger ontvangen hoogfrequente signaal wordt
in een demodulator vergeleken met het hoogfrequente referentiesignaal van
de oscillator. Door demodulatie ontstaat een signaal waarvan de
verschilfrequentie (het te bestuderen Doppler-signaal) de belangrijkste
component is. Deze Doppier-component is een laagfrequent (hoorbaar) signaal {f0 <1 0 kHz). Door het ontvangen signaal te demoduleren met een
tweetal signalen met dezelfde frequentie en een onderling faseverschil van
90 graden ontstaat een complex signaal, waaruit ook de richting van de
snelheid bepaald kan worden. Men is alleen geïnteresseerd in frequenties
van signalen die afkomstig zijn van de bloedlichaampjes. Storende
hoogfrequente signalen die bij demodulatie zijn ontstaan en ruis en
storende laagfrequente vaatwandsignalen (tot ongeveer 200-300 Hz)
kunnen worden weggefilterd met een banddoorlaatfilter.
weefsel
deeltjessnelheid v
zend- en ontvangkristal
akoestische gel
bloedvat
Figuur 1. 7. Meetsituatie bij een gepulst Doppier-systeem
25
Beide componenten van het complexe signaal worden op dezelfde wijze
behandeld. Het aldus ontstane signaal omvat het volledige Doppier
spectrum veroorzaakt door het stromende bloed. De erg lage Doppier
frequenties (snelheden), die voornamelijk dicht bij de wand van het bloedvat
voorkomen, zijn er echter uitgefilterd.
Bij een CW-Doppler-systeem weet men niet van welke diepte het verwerkte
signaal komt. Een gepulst Doppier-systeem verschaft deze informatie wel. In
een gepulst Doppier-systeem wordt daartoe repeterend (overeenkomstig
een pulsechosysteem) een korte geluidspuls uitgezonden met een duur in
de orde van grootte van 1 microseconde, zie figuur 1.7.
De transducer wordt vervolgens als ontvanger gebruikt en het
terugontvangen signaal (het zogenaamde RF-signaal, zie figuur 1.8), na
diepteafhankelijke versterking, geanalyseerd. Bij een gepulst Doppler-
4
2
0
-2
-4
5 15 25 35 c\it<p~ _..,
Figuur 1.8. Het RF-signaal op een bepaald tijdstip
systeem wordt de Doppier-component en dus de bloedsnelheid op een
geselecteerde diepte bepaald. Dit kan gebeuren door alleen echopulsjes te
analyseren die van een bepaalde (gekozen) diepte afkomstig zijn. In ieder
zend/ontvangstcyclus krijgt men op deze manier een punt van het complexe
Doppler-signaal. Het Doppier-signaal is dus bemonsterd met de
pulsrepetitiefrequentie (PRF). Het volume-elementje waar het signaal
vandaan komt noemt men het bemonsteringsvolume. De afmeting hiervan
wordt door een groot aantal factoren bepaald. De belangrijkste zijn de
26
lokale breedte van de geluidsbundel (in de orde van 1 mm voor
oppervlakkig gelegen bloedvaten) en de duur van een geluidspulsje (de
lengte van het meetvolume is ongeveer 0,5 mm).
Een andere ontwikkeling is de multikanaalsscanning, waarmee men
gelijktijdig in een groot aantal aan elkaar grenzende meetvolumes de
gemiddelde snelheid als functie van de tijd kan meten, zie figuur 1.9.
snelheidsprotiel
Figuur 1.9. Multikanaalssysteem
De gehele verwerking van de signalen afkomstig van de verschillende
meetvolumes kan door hetzelfde circuit gebeuren (serieel). Men bepaalt in
feite de snelheidsverdeling langs een lijn. De positie van deze lijn kan in
een 8-mode echobeeld op een scherm afgebeeld worden.
Omdat men slechts een korte puls uitzendt, krijgt men van een enkele
reflector, gelegen op een gegeven afstand van de transducer, ook een kort
signaal terug. Het is onmogelijk om uit deze korte puls een eventuele
frequentieverschuiving ten opzichte van de referentiefrequentie af te leiden.
Men kan slechts informatie verkrijgen over het faseverschil van het terugont
vangen signaal ten opzichte van het referentiesignaaL Bij beweging van de
reflector zal in opeenvolgende zend/ontvangstcycli dit faseverschil
veranderen. De manier waarop deze faseverandering (bemonsterd met de
PAF) verloopt, bepaalt de frequentie-inhoud van het uiteindelijk
resulterende complexe Doppier-signaaL De Doppier-informatie moet
verkregen worden uit een signaal dat af en toe (met de regelmaat van de
pulsrepetitiefrequentie, PAF) het gebiedje belicht. Men bepaalt met behulp
van dit golfpakketje de gemiddelde faseverandering van de reflectoren ten
opzichte van de referentiesignalen in het meetvolume.
27
De methode die gebruikt wordt om de gemiddelde Doppierfrequentie te
schatten is gebaseerd op de autocorrelatiefunctie van het complexe
Doppier-signaal [BRA 92], [HOE 91 ]. In tegenstelling tot CW-Doppler kan bij
gepulste Doppier aliasing optreden (indien de Doppier-frequentie hoger is
dan PRF/2). Een voorbeeld van een frequentiespectrum op een bepaalde
plaats (niet dicht bij de wand) en tijd is weergegeven in figuur 1.1 0.
a:np <dB>
80
50
.;o
20
0
Figuur 1. 10. Frequentiespectrum
De smalle hoge piek is het gevolg van de laagfrequente vaatwandbeweging
en kan er met een hoogdoorlaatfilter uitgefilterd worden. Dit geeft echter
problemen op plaatsen waar de snelheid van het bloed laag is, bijvoorbeeld
dicht bij de wand. De piek ten gevolge van de vaatwandbeweging ligt dan
midden in het frequentiespectrum van het bloed, zodat het onduidelijk is
welke frequenties van de vaatwand afkomstig zijn en welke van het bloed.
Hoogdoorlaatfilteren verwijdert dan ook het signaal van het bloed zelf.
Daarom is het niet mogelijk om snelheden dicht bij de wand nauwkeurig te
meten.
Recent is er een nieuwe methode ontwikkeld waarbij de faseverschuiving
(die vertaald kan worden naar verplaatsing van de reflectoren binnen het
meetvolume) tussen opeenvolgende lijnen rechtstreeks uit de ontvangen
signalen is af te leiden door deze signalen met elkaar te correleren [HOE].
De plaats van het maximum van de correlatiefunctie is dan een maat voor
de verplaatsing. De gedetecteerde verplaatsing gedeeld door de PRF geeft
28
dan de snelheid. Hiervoor is geen referentiesignaal nodig. Dit maakt de
methode ongevoelig voor de invloed van frequentieafhankelijke verzwak
king door het weefsel. Bovendien kan dan de lengte van het meetvolume vrij
gekozen worden. Dit maakt het mogelijk om de middeling over tijd, dat wil
zeggen over opeenvolgende lijnen, (gedeeltelijk) te vervangen door
middeling over diepte (langer meetvolume). Men bereikt dan een betere
nauwkeurigheid dan bij het traditioneel gepulst Doppier-systeem indien de
lengte van het meetvolume maal de tijdlengte hetzelfde is. Lange meetvo
lumes hebben het nadeel dat de resolutie in de diepte verloren gaat. Men
kan dit (gedeeltelijk) herstellen door de opeenvolgende meetvolumes
gedeeltelijk te laten overlappen (dit gebeurt ook bij gepulste Doppler
systemen). Omdat er bij deze methode geen gebruik wordt gemaakt van een
referentiesignaal is er in die zin geen sprake van een Doppler-systeem.
Probleem is wel hoe de sterke echo's afkomstig van niet of langzaam
bewegende structuren, uit het ontvangen signaal te verwijderen.
Multikanaals-gepulste ultrageluids-systemen bieden dus onder andere de
mogelijkheid om de snelheidsverdeling als functie van de hartcyclus over
een lijn door de dwarsdoorsnede van een bloedvat te meten. Een
stromingsprotiel zoals hiermee gemeten in de carotis is te zien in figuur
1.11.
28 48 G8
Figuur 1. 11. Stromingsprotiel van bloed in de carotis, gemeten met behulp
van een multikanaals gepulst ultrageluid systeem
29
Hier is in het linkerplaatje de snelheid van het bloed als functie van tijd (van
links naar rechts) en diepte in het bloedvat (van voor naar achteren) in de
hoogte weergegeven. In het rechterplaatje zijn de contourlijnen (hoogte
lijnen) van de snelheid weergegeven als functie van de tijd (van boven naar
beneden) en diepte (van links naar rechts). Zoals gezegd zijn de gemeten
snelheden dicht bij de wand onbetrouwbaar. De hoge piek in het begin is de
systole fase, daarna komt de diastole fase.
De plaats van de vaatwanden kan ook niet erg nauwkeurig bepaald worden.
Wat wel nauwkeurig gemeten kan worden is de verandering van positie van
de vaatwanden (met een nauwkeurigheid van ongeveer 1 0 micrometer). Dit
is weergegeven in figuur 1.12.
0.65
0.55
0.45
0.35
Figuur 1. 12. Verandering van positie van de vaatwanden
1.5. Opdracht
Het stromingsgedrag van het bloed dicht bij de wand, in grote bloedvaten, is
erg interessant. De snelheden dicht bij de wand beïnvloeden namelijk de
wand, en spelen mogelijk een rol bij de vorming van atherosclerose.
Stromingsprofielen van bloed in grote bloedvaten, zoals de carotis, kunnen
gemeten worden met behulp van ultrageluid. Het probleem hierbij is echter,
dat juist de snelheden dicht bij de wand niet nauwkeurig gemeten kunnen
worden. De snelheden van het bloed kunnen wel in een groot gebied van
het midden van het bloedvat nauwkeurig gemeten worden. Ook de
beweging van de vaatwanden is goed te meten.
De opdracht is, om met behulp van deze meetgegevens, de snelheden van
het bloed in de rest van het bloedvat te schatten, met name dicht bij de
30
wand. Een belangrijke grootheid die hierbij geschat moet worden, is de wall
shear rate. Dit schatten van de snelheden bij de wand zal gedaan worden
door de zogenaamde Navier-Stokes vergelijkingen, die de stroming van
een incompressibele viskeuze vloeistof beschrijven, numeriek op te lossen.
1.6. Stroming van bloed in grote bloedvaten
De stroming van bloed in de grote bloedvaten kan een zeer complex gedrag
vertonen. Dit komt voor een groot deel door de complexe geometrie van de
arteriën. Deze zijn namelijk maar op enkele plaatsen, over een relatief klein
stuk {maximaal ± 10 cm), als recht te beschouwen. De arteriën zijn in het
algemeen elastisch, gebogen, splitsen zich in tweeën bij bifurcaties en
lopen iets taps toe [STE].
Ten gevolge van o.a. de kromming en het elastisch zijn, zullen er behalve
axiale snelheden ook radiële en tangentiële snelheden in de arteriën
voorkomen. Dit noemt men een secundair stromingsprotieL In bochten zal
zich een secundair stromingsveld instellen als in figuur 1. 13.
/ /
/ /
Figuur 1. 13 Secundair stromingsveld in een bocht
Zoals reeds eerder vermeld is de stroming in de grote bloedvaten, zoals de
carotis, bij benadering als Newtons op te vatten. De kinematische viscositeit {v), dit is de viscositeit {f.l) gedeeld door de dichtheid {=1,06·103 kg/m3
),
heeft een constante waarde die ligt tussen 3 en 4 mm2/s. In de
berekeningen zal een waarde van 3,5 mm2/s genomen worden. Omdat de
31
stroming in de carotis visceus is, zal de axiale snelheid van het bloed aan
de wand nul zijn. Dit is de zogenaamde no-slip conditie.
Het Reynoldsgetal (Re) is een maat voor de verhouding tussen de niet
lineaire convectieve traagheidskrachten en de viskeuze krachten. Wanneer geldt Re< 250 ·a (met a= R~rojv, R de straal van de buis, ro de
hoekfrequentie en v de kinematische viscositeit) zal er geen turbulentie
optreden. In de carotis heeft het Reynoldsgetal een maximale waarde van
ongeveer 1 000 en a ligt in de grootte-orde van 1 0. Hier zal dan ook geen
turbulentie optreden en is de stroming als laminair op te vatten.
Het bloed in de carotis kan bovendien beschouwd worden als een
onsamendrukbare vloeistof. Dit alles (onsamendrukbaar, Newtons, niet
turbulent) zorgt ervoor dat de stroming van het bloed in de carotis
beschreven kan worden door middel van de zogenaamde Navier-Stokes
vergelijkingen, zie §1.7. Om deze (numeriek) op te kunnen lossen zullen we
echter nog enkele aannames moeten maken.
De eerste aanname is met betrekking tot de geometrie van het bloedvat.
Zoals gezegd zal de carotis in het algemeen iets gebogen zijn. Bovendien
loopt de carotis iets taps toe. Beide effecten zullen we verwaarlozen en we
vatten de carotis op als een rechte buis. In eerste instantie als een starre
buis, later als een elastische. Het gevolg hiervan is dat in de berekeningen
geen tangentiële snelheden en drukgradiënten meegenomen hoeven te
worden. In een rechte (starre of elastische) buis zal bovendien ook de
radiële drukgradiënt verwaarloosbaar zijn ten opzichte van de axiale
drukgradiënt De druk is dan dus constant over de doorsnede van het
bloedvat. De radiële snelheden zullen voor de elastische buis niet verwaar
loosbaar zijn. De instroomlengte in een rechte elastische buis is L = 2R · Repiek/a2 en is van de grootte-orde van 5 cm. Instroomeffecten
zullen verwaarloosd worden.
Verder zal aangenomen worden dat de drukgolf zich met een constante
snelheid van ongeveer 6 m/s voortplaatst, en dat er geen reflecties van de
drukgolf optreden. In werkelijkheid zal een gedeelte van de drukgolf wel
reflecteren in de carotis, o.a. aan de bifurcatie waar de carotis zich in tweeën
splitst [REU 91 ).
1.7. Stromingsvergelijkingen
De wetten van behoud van massa en impuls zijn voor een
onsamendrukbare vloeistof met een constante viscositeit [VOS 86]:
32
Behoud van massa: div v = 0 (1.7.1)
Behoud van impuls: p ~~ + p(v,grad v) + grad p- Tl V 2 v = o (1.7.2)
2 3 4
Hierin is p de soortelijke massa van de vloeistof, Tl de viscositeit, p de druk en v = (v,.v2,v3 ) de snelheidsvector van een vloeistofelement
Vergelijking 1.7.2 is een st~lsel van drie vergelijkingen, voor iedere
component van v één. Dit stelsel wordt de Navier-Stokes vergelijkingen
genoemd. De eerste term in de Navier-Stokes vergelijkingen weerspiegelt
de instatienairs traagheidskrachten. De tweede term vertegenwoordigt de
convectieve traagheidskrachten, welke niet-lineair zijn. De derde term
vertegenwoordigt de drukkrachten en de laatste term de viskeuze krachten.
De zwaartekrachtsterm is verwaarloosd.
In cylindercoödinaten zien deze vergelijkingen er als volgt uit:
(1.7.3)
(1.7.4)
(1. 7.5)
met u de radiële snelheid, w de axiale snelheid, r de radiële coördinaat, z de
axiale coördinaat en v = 11/P de kinematische viscositeit. De snelheden en
de drukgradiënt in de tangentiële ( e) richting zijn nul verondersteld.
Met behulp van het stelsel vergelijkingen (1.7.3) - (1.7.5) is het mogelijk om
het gedrag van een onsamendrukbare, Newtoniaanse vloeistof in een starre
of elastische buis te beschrijven.
1.8. Opzet
We zullen beginnen met de eenvoudigste benadering, namelijk met het
opvatten van de carotis als een starre buis. Hierbij worden de radiële
33
snelheden en de radiële drukgradiënt verwaarloosd. De Navier-Stokes
vergelijkingen zijn bij deze benadering lineair. De (axiale) snelheid aan de
wand wordt nul genomen. Om de theorie te testen zal een vergelijking
plaatsvinden met de analytische oplossing van de vergelijkingen voor een harmonische drukgradiënt
Daarna zullen we van een meer realistische benadering uitgaan, door de
carotis op te vatten als een rechte, elastische buis. De radiële drukgradiënt
wordt in eerste instantie weer verwaarloosd, de radiële snelheden zullen
wel mee in beschouwing genomen worden. Dit houdt in dat er met de niet
lineaire Navier-Stokes vergelijkingen gerekend zal worden. Hierna zal ook
de radiële drukgradiënt bekeken worden. In eerste instantie wordt ook de
axiale snelheid aan de wand nul genomen, later vervalt deze eis. Om de
theorie te testen zullen er metingen verricht worden aan een proefopstelling met een elastische buis.
34
2. Carotis opgevat als rechte, starre buis
2.1. Inleiding
Het is het eenvoudigste om de carotis op te vatten als een starre buis. Dit
wordt in eerste instantie dan ook gedaan. Wanneer men in een starre buis
zo ver van de instroom van de buis af is dat instroomeffecten verwaarloosd
kunnen worden, blijkt namelijk dat volstaan kan worden met vergelijking
1. 7.4 om het gehele stromingsgedrag van het bloed vast te leggen. De
radiële drukgradiënt en de radiële snelheden zijn dan verwaarloosbaar
t.o.v. de axiale drukgradiënt respectievelijk de axiale snelheden (d.w.z. de
vergelijkingen 1. 7.3 en 1.7.5 kunnen verwaarloosd worden). Ook de niet
lineaire termen en de term met de tweede afgeleide naar de axiale richting
zijn verwaarloosbaar in vergelijking (1. 7.4). Dus het hele stromingsgedrag
van het bloed in een starre buis, ver van de instroomopening, wordt
beschreven door:
(2.1.1)
met a = p/J.l = v-1
2.2. Stroming van bloed door een starre buis
In vergelijking 2.1.1 is w(r,t) de onbekende die bepaald moet worden. Ook
de drukgradiënt is onbekend, maar hiervan weten we wel dat hij bij
benadering constant is over de doorsnede van de buis (zie §1.6). De
stroming in het midden van de buis kan met behulp van gepulst ultrageluid
gemeten worden. Wanneer we nu in vergelijking 2.1.1 r = 0 invullen, krijgen
we een benadering voor de drukgradiënt voor r = 0:
..!_ àp = 2 à2 w(O, t) _a àw(O, t)
J.l é)z r=O é)r2
é)t (2.2.1)
Aangezien de drukgradiënt constant is over de doorsnede van de buis kan
deze waarde voor de drukgradiënt voor alle waarden van r worden
ingevuld.
35
(2.2.2)
In plaats van de drukgradiënt is nu dus de axiale snelheid op de as van de
buis de drijvende kracht van de stromingsvergelijkingen geworden [SIM 90].
De m.b.v. gepulst ultrageluid gemeten waarden van de snelheid van het
bloed zijn echter niet alleen op de as van het bloedvat betrouwbaar. Tot op
ongeveer 0,5 mm afstand van de wand kan met redelijke nauwkeurigheid
gemeten worden. Een betere benadering voor de drukgradiënt kan dan ook
verkregen worden door vergelijking 2.1.1 voor meerdere (N) waarden van r
in te vullen. Van de drukgradiënten die men hiermee krijgt kan het
gemiddelde genomen worden, om zo tot een betere schatting van de
werkelijke drukgradiënt te komen. Het resultaat is:
(2.2.3)
met als randvoorwaarde w(R,t) = 0, Ris de straal van de starre buis.
Vergelijking 2.2.3 met bijbehorende randvoorwaarde kan numeriek opgelost
worden door er een differentievergelijking van te maken. Om de
differentiaalvergelijking om te zetten in een differentievergelijking is
gekozen voor de Crank-Nicolsen methode [TUE 89], [KRE 88]. Dit is een
impliciete methode die onvoorwaardelijk asymptotisch stabiel is (d.w.z.
kleine verstoringen in de oplossing op een bepaald tijdstip blijven klein). Bij
de Crank-Nicolsen methode worden afgeleiden naar tijd en naar plaats als volgt omgezet in eindige differenties (met r = i~ren t = j~t):
36
----.:'-----..!... :::} - + --'--....:;,_~-~.......;;_---!,. aw(r,t) 1 [w(i+1,j)-w(i-1,j) w(i+1,j+1)-w(i-1,j+1)] ar 2 2L\r 2L\r
a2w(r,t) 1 [w(i+1,j)-2w(i,j)+w(i-1,j) -----7---....!... :::} - +
ar2 2 L\r2
w(i + 1,j + 1)- 2w(i,j + 1) + w(i -1,j+ 1)] L\r2
aw(r,t) w(i,j+1)-w(i,j) ----'~:::}__.,!...:..=,_~-~
at L\t
Invullen in de Navier-Stokes vergelijking 2.2.3 geeft:
Ai· w(i+ 1,j+ 1)+ B· w(i,j+ 1)+ Ci · w(i -1,j+ 1)-
met:
.:!_{1+ ( 1
)}·w(N,j+1)=Di N 2 N-1
A = 1 + _:!_ B = -(2 + P) s· = -(2- P) C = 1- _:!_ p = 2a(L\r)2
I 2i 1 1 1 I 2i 1 L\t 1
Di= -Ai ·w(i+1,j)-B. ·w(i,j)-Ci ·w(i-1,j)+_!_{I[B·w(k,j+1)+ N k=1
Ck (w(k -1,j+ 1)+ w(k -1,j))+ Ak · w(k + 1,j)+ s· · w(k,j)) + N-2 L,[ Ak · w(k + 1,j+ 1)]+ 4[ w(1,j + 1)- w(O,j + 1) + w(1,j)- w(O,j)] k=1
- P[ w(O,j + 1)- w(O,j)].
(2.2.4)
(2.2.5)
(2.2.6)
Stel R = W · L\r. Voor 0 :5 i< N is w(i,j) bekend (gemeten) voor alle j, d.w.z. op
ieder tijdstip. Ook geldt w(W,j)=O voor alle j, d.w.z. de snelheid is nul aan de
wand. Indien het stromingsprotiel op tijdstip j=O bekend is, is Di op tijdstip j+ 1
steeds te berekenen uit het berekende stromingsprotiel op tijdstip j.
Tijdstip j=O wordt gekozen in de einddiastole fase, net voor de systole. Op dit
tijdstip is de drukgradiënt al enige tijd bijna konstant. De oplossing van
vergelijking 2.1.1 voor een constante drukgradiënt is een parabool zodat
voor het stromingsprotiel op tijdstip j=O een parabolisch profiel genomen
kan worden. Dit wordt bevestigd door metingen m.b.v. gepulst ultrageluid,
zie figuur 2.1.
37
tine = 0.00 "sec:
ff«\(S 90
70
50
30
J.O
0 J.2 24 36 49 60
·~P~~~....,
Figuur 2. 1. Gemeten stromingsprotiel in einddiastole fase
Men heeft nu, op ieder tijdstip j, (W-1-N) onafhankelijke vergelijkingen voor
(W-1-N) onbekenden w(i,j), met N si< W. Deze vergelijkingen kunnen dus
opgelost worden. Hiervoor is een programma geschreven in de
programmeertaal TurboC.
De wall shear rate wordt gegeven door:
WSR(t) = awl => w(W-2,j)-4w(W-1,j)+3w(W,j) ar r=R 2ór
(2.2.7)
2.3. Resultaten
In figuur 2.2 is nog een keer het met gepulst ultrageluid in de carotis
gemeten stromingsprotiel uit §1.4 te zien. De maximale snelheid in de piek
systole fase is ongeveer 670 mm/s.
De diameter variëert gedurende een hartcyclus met ongeveer 8%.
Aangezien we hier met een starre buis rekenen, moeten we een
gemiddelde waarde hiervan nemen. De gemiddelde diameter uit de meting
van figuur 2.2 wordt geschat op ongeveer 5,72 milimeter.
38
28 48 68
Figuur 2.2. M.b.v. ultrageluid gemeten stromingsprotiel (gedurende 640 ms)
In figuur 2.3 is het resultaat van de berekeningen te zien voor N=15. Hier is
in de berekeningen even een iets grotere diameter (6,63 mm) genomen.
Dan is namelijk het duidelijkste te zien dat er iets mis gaat (voor 2R=5,72
gaat hetzelfde mis; het is echter niet zo duidelijk in een figuur te zien).
28 48
Figuur 2.3. Berekend snelheidsprotiel; het aantal meegenomen punten uit
gemeten stromingsprotiel is N= 15, 2R=5, 72 mm
Voor het middenstuk van het profiel worden de gemeten waarden van de
snelheid genomen. Hier wordt dan de drukgradiënt uit bepaald. Dit gaat
68
39
blijkbaar mis. Wanneer het midden van het bloedvat iets verkeerd wordt
gekozen, zodat men het midden ergens op de schuine flank van het profiel
kiest, krijgt men een helemaal verkeerde schatting van de drukgradiënt Het
probleem is, dat het midden van het bloedvat niet erg nauwkeurig te
bepalen is. Dit is gedeeltelijk het gevolg van het feit dat de gemeten
snelheidsprofielen altijd in meer of mindere mate asymmetrisch zijn, zodat
men hierdoor een verkeerde drukgradiënt schat.
Dit probleem is enigszins op te lossen door de drukgradiënt niet meer over
een heel traject in het midden van de buis te schatten, maar slechts uit te
gaan van het temporale gedrag van de stroming op de as van de buis (zie
figuur 2.4), d.w.z. door N=1 te nemen.
axial uelocttw <""/s)
60
50
40
30
20
I \V; 10 _/
3 7
ti .... e c .... sec:)
Figuur 2.4. Snelheid op de as van het bloedvat (gedurende 1000 ms)
Het resultaat van de berekeningen met N=1 is te zien in figuur 2.5.
In figuur 2.6 is de berekende wall shear rate weergegeven.
40
28
Figuur 2. 5. Berekend snelheidsprofiel, N= 1, 2R=5, 72 mm (gedurende 640 ms)
wallshearrate (1/sec)
10
6
2
-2
1 3 7
tine:
Figuur 2.6. Berekende wal/ shear rate, N=1, 2R=5,72 mm (gedurende 640 ms)
48
In het berekende stromingsprotiel is een grote mate van terugstroming te
zien, in een traject van de vaatwand tot halverwege het midden van de buis.
Dit wordt echter niet gemeten, ook niet in het gebied waar nog redelijk
nauwkeurig gemeten kan worden met ultrageluid. Blijkbaar is er dus nog
meer mis. Mogelijke oorzaken zijn:
41
• het verkeerd schatten van de diameter van de buis (zie §2.4)
• het verkeerd schatten van het midden van de buis (zie §2.4) • verkeerde waarde voor de viscositeit (zie §2.4)
• het elastisch zijn van de vaatwand (zie hoofdstuk 3)
• het verwaarlozen van de niet-lineaire termen in de Navier-Stokes
vergelijkingen (zie hoofdstuk 3)
• het verwaarlozen van een radiële drukgradiënt (zie §3.5)
• het niet Newtons zijn van bloed
• het niet exact recht zijn van de carotis
• tapering van de carotis
• het verwaarlozen van reflecties van de drukgolf
• puls-Doppier is niet in staat om de lage (negatieve) snelheden te meten
vanwege het wandfilter
2.4. Invloed van de parameters
Een probleem is dat de plaats waar de vaatwanden zich bevinden, niet
nauwkeurig gemeten kan worden. De diameter en het midden van het
bloedvat moeten dus geschat worden. Om de invloed van het schatten
hiervan na te gaan, zijn deze parameters gevarieerd. De grootheden die bij
dit variëren steeds bepaald zijn, zijn de over de tijd gemiddelde wall shear
rate (gedurende 500 msec vanaf het begin van de systole fase), de
minimum en maximum wall shear rate, en het verschil tussen deze laatste
twee. Deze grootheden zijn een maat voor het stromingsgedrag van het
bloed dicht bij de wand, waarin we geïnteresseerd zijn. Voor één
karakteristieke meting is dit weergegeven in tabel 2.1.
V=3,5 mmÏs 2R=4,80 mm 2R=5,26 mm 2R=5,72 mm 2R=6,18 mm
Gemiddelde 206,9 190,1 176,4 165,6
WSR
Maximum WSR 1294 1293 1293 1292
Minimum WSR -446 -485 -509 -524
(Maximum- 1740 1778 1802 1816
Minimum) WSR
Tabel2.1. Invloed van geschatte diameter van bloedvat
42
Het blijkt dat de gemiddelde WSR afneemt bij toenemen van de geschatte
diameter. Dit is te verklaren doordat het berekende profiel dan platter wordt.
Het is opmerkelijk dat de maximum WSR voor de meeste metingen vrijwel
constant blijft bij het variëren van de diameter. Voor sommige metingen
wordt de maximum WSR kleiner bij toenemende geschatte diameter.
Ook de in de berekeningen genomen waarde van de viscositeit is
gevarieerd. Het resultaat hiervan is te zien in tabel 2.2.
2R=5,72mm V=3,0 mm/s V=3,5 mm/s V=4,0 mm/s Gemiddelde 178,2 176,4 175,1
WSR
Maximum WSR 1392 1293 1211
Minimum WSR -565 -509 -459
(Maximum- 1957 1802 1671
Minimum) WSR
Tabel 2.2. Invloed van waarde van de viscositeit
Bij toenemende viscositeit neemt de maximum WSR af en de minimum
WSR toe. De snelheden dicht bij de wand zullen dan namelijk de snelheid
in het midden van het bloedvat (oftewel de axiale drukgradiënt) steeds
minder goed kunnen volgen. De invloed van het variëren van de viscositeit
op de gemiddelde WSR is klein.
Voor de rest van de metingen, zie Appendix A.
De invloed van het schatten van de diameter en het midden van het
bloedvat en de viscositeit van het bloed is dusdanig klein dat ze het grote
verschil tussen berekende en gemeten snelheidsprofielen niet kunnen
verklaren.
2.5. Analytische oplossing voor harmonische drukgradiënt
Het blijkt mogelijk te zijn om het model te testen met een analytische
oplossing. Door Womersley werd namelijk een analytische oplossing ge
geven voor vergelijking 2.1.1 met een harmonische drukgradiënt [VOS 81]:
43
( t) = -~[1 - J0 (ai312ll)] irot w 11. . J ( ·3/2) e
lW 0 al (2.5.1)
met ~ ~~ =A· eirot, a= R.jYv, 11 = ~ en J0 (y) de nulde orde Besselfunctie
met complex argument, a is het zogenaamde Womersley getal. Ook hier
geldt dat de drukgradiënt constant is over de doorsnede. Invullen van w(O, t) = w0eirot, w0 reëel, geeft:
(2.5.2)
Aangezien A onafhankelijk is van 11 kan deze waarde van A ingevuld
worden voor alle Tl· Dit geeft:
J ( ·3/2 ) J ( ·3/2 ) ( t) 0 al - 0 al 11 irot
W 11 =W· e 'I• o Jo(ai3/2)-1 (2.5.3)
Voor een sinusvormige snelheid op de as van de buis, kunnen we m.b.v.
vergelijking 2.5.3 dus de snelheid voor iedere radiële positie, als functie van
de tijd, uitrekenen. Dit kan vergeleken worden met wat het programma
uitrekent voor een sinusvormige snelheid op-de as. M.b.v. vergelijking 2.5.2.
kan ook de hierbij berekende drukgradiënt vergeleken worden met de
Womersley-theorie.
Dit vergelijken is gedaan voor een aantal waarden van de Womersley
parameter a (namelijk 5, 10 en 15), op een aantal radiële posities 11
(namelijk 0,09, 0,50 en 0,82). De berekende snelheden en drukgradiënt
blijken alle binnen de nauwkeurigheid waarmee gerekend is (±1% van de
maximum snelheid) overeen te stemmen met de Womersley-theorie.
Aangezien vergelijking 2.1.1 lineair is, zal er ook overeen stemming zijn
voor een willekeurige, niet-harmonische drukgradiënt
2.6. Conclusies
Er is een model opgesteld, waarmee het stromingsgedrag van het bloed in
de carotis uitgerekend kan worden, uitgaande van de (m.b.v. gepulst
ultrageluid gemeten) stroming in het midden van het bloedvat. Hierbij wordt
de carotis opgevat als een rechte, starre buis. Het model is gebaseerd op de
44
Navier-Stokes vergelijkingen, waarbij de niet-lineaire termen verwaarloosd
worden. De radiële drukgradiënt wordt verwaarloosd. De axiale
drukgradiënt wordt geschat aan de hand van de stroming in het midden. Het
blijkt dat men de beste schatting van de drukgradiënt krijgt, door slechts uit
te gaan van het temporale gedrag van de stroming op de as, en niet van
een heel traject in het midden van de buis. Het model is gecontroleerd met
behulp van de door Womersley gegeven analytische oplossing van deze
vereenvoudige Navier-Stokes vergelijkingen voor een harmonische
drukgradiënt, en blijkt goed te voldoen.
In het berekende stromingsprotiel is een grote mate van terugstroming te
zien, in een traject van de vaatwand tot halverwege het midden van de buis.
Dit wordt echter niet gemeten, ook niet in het gebied waar nog redelijk
nauwkeurig gemeten kan worden met ultrageluid. Mogelijke oorzaken die
dit verschil tussen gemeten en berekende snelheidsprofielen kunnen
verklaren zijn genoemd in §2.3. Het mogelijk verkeerd schatten van de
diameter en het midden van de buis, en de waarde van de viscositeit van
het bloed, zal het verschil niet kunnen verklaren.
45
3. Carotis opgevat als rechte, elastische buis
3.1. Inleiding
Nu zullen we een meer realistische benadering van de stroming van het
bloed door de carotis bekijken. De carotis wordt hierbij opgevat als een
rechte, elastische buis. De niet-lineaire termen in vergelijking 1. 7.2 worden
niet meer verwaarloosd, zodat ook de radiële snelheden in de
berekeningen betrokken worden. De radiële drukgradiënt wordt echter, in
eerste instantie, wel verwaarloosd t.o.v. de axiale drukgradiënt Deze axiale
drukgradiënt wordt dan weer constant verondersteld over de doorsnede van
de (elastische) buis. Bovendien wordt verondersteld dat de drukgolf zich
met een constante snelheid c::::6 m/s door de buis verplaatst en dat er geen
reflecties van de drukgolf optreden.
Het blijkt dat met deze benaderingen de stroming van het bloed door de
carotis te beschrijven is met slechts de vergelijkingen 1.7.3 en 1.7.4, indien
de axiale snelheid op de as bekend is.
3.2. Stroming van bloed door een elastische buis
Wanneer men op de vergelijkingen 1. 7.3 en 1.7.4 de coördinaten
transformatie
r r~ll=-
R(z, t)
toepast, krijgen deze de volgende vorm:
(3.2.1)
(3.2.2)
(3.2.3)
Ter herinnering: w is de axiale snelheid en u is de radiële snelheid. De term
met de tweede afgeleide van w naar z is weer verwaarloosd t.o.v. de term
met de tweede afgeleide van de axiale snelheid naar 11·
46
We willen nu weer op dezelfde manier als voor de starre buis, de (axiale) drukgradiënt die geschat wordt voor Tl= 0, gebruiken in de vergelijkingen
voor iedere waarde van Tl· Voor Tl= 0 geldt uit symmetrieoverwegingen dat
de radiële snelheid nul is. Tl= 0 invullen in vergelijking 3.2.3 geeft:
1 ap awo awl 2v a2w
-p az =at+ Wo az TJ=O- R2 all2 TJ=O (3.2.4)
waarin w0 de axiale snelheid op de as is. Deze waarde voor de axiale
drukgradiënt kunnen we invullen in vergelijking 3.2.3:
aw _ _!_(Ttw aR- U+ Tl aR) aw + w aw _ _y_(a2w +_!_ aw) =
at R az at all az R2 àll2 Tl àTt
awo awl 2v a2w
at+ Wo az TJ=O- R2 all2 TJ=O
(3.2.5)
Dit is een niet-lineaire, partiële differentiaalvergelijking, die opgelost moet
worden met gebruikmaking van vergelijking 3.2.2. We gaan dit doen door
een geschikte vorm van een machtreeks voor de axiale snelheid w te
substitueren [BEL 91 a], [BEL 92]. Het resultaat is een stelsel van niet
lineaire, gewone differentiaalvergelijkingen, dat numeriek opgelost kan
worden.
Het probleem in vergelijking 3.2.5 zijn de afgeleiden naar de axiale richting,
aw;az en aRjaz, en de radiële snelheid u. De axiale snelheden en de straal
worden namelijk maar door één doorsnede gemeten respectievelijk
geschat, d.w.z. voor één z. De radiële snelheid wordt bij het meten
verwaarloosd t.o.v. de axiale snelheid, zodat ook hier geen informatie over
beschikbaar is. Voor aw;az en u is dit probleem op te lossen door
vergelijking 3.2.2 naar Tl te integreren (eerst vermenigvuldigen met TtR):
Tl ( au ) Tl aw Tl aR aw f Tt~-~+u dTt 1 + fTt~R~Tt~- f(Tt')2--1
dTt1 =0 0 all 0 az 0 az all
(3.2.6)
Hieruit volgt:
aR 2 aR JTJ I d I R JTJ , aw d I U= TtW---- Tl W Tl-- Tl Tl az Tl az 0 Tl 0 az
(3.2.7)
47
De radiële snelheid van het bloed aan de wand is gelijk aan de radiële
snelheid van de wand zelf. De axiale snelheid aan de wand is nul. Voor
Tl= 1 moet dus gelden:
aR u( TJ, z, t )1."=1 = at, w( TJ, z, t )1."=1 = 0. (3.2.8)
zodat (integeren tot Tl= 1):
(3.2.9)
1
We voeren nu een functie f(TJ) in die voldoet aan de relatie I TJf(TJ)dTJ = 1, 0
maar die verder willekeurig is, zodat de laatste term binnen de integraal
gehaald kan worden:
1 aw
1 ( 2 aR 1 aR ) I TJ.::.:.:.ciTJ =-I Tl w--+-- t( Tl) dTJ
0 az
0 R az R at
(3.2.1 0)
De benadering is nu dat de gelijkheid van deze twee integralen voortgezet
wordt naar de integranden:
aw 2 aR 1 aR - = ---w---f(TJ) az R az R at
(3.2.11)
Omdat w(1,z, t) = 0, moet ook gelden dat awl = 0, zodat f(1) = 0 moet zijn. az TJ=1
Indien we f(TJ) willen uitdrukken in een machtreeks van de orde N (de reden 1
hiervoor volgt beneden), dan volgt samen met de relatie I TJf(TJ)dll = 1, dat: 0
(3.2.12)
Invullen in vergelijking 3.2.11 levert:
aw =-~aR w +~aR_!_ f k + 1 ( Tl2k _ 1) az R az R at N k=1 k
(3.2.13)
48
Wanneer men dit in vergelijking 3.2.7 invult krijgt men een uitdrukking voor de radiële snelheid:
aR aR aR Tl N 1 2k u= T)W-+T)----L -(Tl -1)
az at at N k=l k (3.2.14)
De enige term die nu nog moeilijkheden veroorzaakt is aR;az. Er werd
verondersteld dat de drukgolf zich met een constante snelheid c:::=6 m/s
verplaatst door de buis. De diameterverandering zal eenzelfde gedrag vertonen, zodat de term aR;az overal vervangen kan worden door:
aR 1 aR az c at
(3.2.15) -=---
Bovendien gaan we nu voor w(ll,Z, t) een machtreeks invullen van de vorm
N
w(11, z, t) =I, ak (z, t)( 112k -1) (3.2.16) k=1
Deze vorm van de machtreeks zorgt ervoor dat de axiale snelheid aan de wand nul is. Er worden alleen even machten van Tl gebruikt, zodat het
stromingsprotiel symmetrisch is t.o.v. de as van de buis. Dit verklaart ook waarom f(ll) in de vorm van zo'n zelfde soort machtreeks gekozen werd.
De vergelijkingen 3.2.13, 3.2.14 en 3.2.16 voldoen aan de continuïteitsvergelijking 3.2.2 voor alle Tl.
3.2.15 en 3.2.16 invullen in 3.2.13 en 3.2.14 geeft:
(3.2.17)
u= Tl aR [ 1- f {( ak + ..!..!)( Tl2k _ 1)}] at k=1 c N k
(3.2.18)
Vergelijkingen 3.2.16 tot 3.2.18 invullen in vergelijking 3.2.5 geeft, na
herrangschikken, zodat alle gelijke machten van 11 bij elkaar staan:
2N~S 2k ~p 2k [~aak T aw0 2 aR ~(ak 1 k+1)] _ O Tl LJ Tl + LJ Tl - LJ-- +--w --LJ -+--- -k=1 k k=1 k k=1 at at 0 R at k=1 c N k
49
(3.2.19)
met:
S = _g_ aR~[ ·(ai _ _! N+k-2j-1)] k R :I+ LJ aN+k-j N . '
UL j=k C j k = 1, ... ,N (3.2.20)
p = aak _ _g_ aR~ [a (ai + _! j- k + 1) +a. ( ak + _! k + 1 )] + k at R at ~ k c N j 1 c N k
_g_aR~[ ·(ak-i _!k-2j+1)]- 4v(k 1)2 ( R at ~ al c + N k _ j R2 + ak+1, aN+1 = 0 ), (3.2.21)
k = 1, ... ,N
(3.2.22)
Vergelijking 3.2.19 moet gelden voor iedere waarde van 11 tussen 0 en 1,
zodat de coëfficiënten van iedere macht van 11 afzonderlijk nul moeten zijn:
k=1, ... ,N (3.2.23)
(3.2.24)
(3.2.25)
Invullen van 11 = 0 in vergelijking 3.2.16 geeft bovendien nog de volgende
relatie:
(3.2.26)
Vergelijking 3.2.26 invullen in vergelijking 3.2.25, die hoort bij de nulde
macht van 11, geeft:
~aak- awo L.J----k=1 at at
(3.2.27)
We hebben nu dus een stelsel van 2N+ 1 niet-lineaire, gewone differentiaalvergelijkingen voor de N onbekenden ak (t). Om dit stelsel op te lossen voor
de ak (t), moet een geschikte keuze van N vergelijkingen hieruit gekozen
50
worden. 11 ligt tussen 0 en 1, zodat de vergelijkingen horende bij de laagste
machten van 11 het zwaarst meetellen.
We gebruiken dus vergelijking 3.2.27 en nemen hierbij nog de
vergelijkingen uit 3.2.24, met k=1, ... ,N-1 zodat we een stelsel van N niet
lineaire, gewone differentiaalvergelijkingen voor N onbekenden overhouden:
a~k = Ak, k = 1, .. ,N-1
aaN - - awo -~A = A - LJ k- N at at k=1
(3.2.28)
met:
(3.2.29)
Dit zijn dus de vergelijkingen die horen bij de N laagste machten van 11· De
andere vergelijkingen worden verwaarloosd.
De vergelijkingen uit 3.2.28 zijn in compacte vorm te schrijven als:
(3.2.30)
met ä = (a,,a2 , ... ,aN) en Ä = (A,,A2 , ... ,AN)·
Dit stelsel van vergelijkingen kan opgelost worden met behulp van de 4-de
orde Runge-Kutta methode [KRE 88], [PRE 88]. Deze methode werkt als volgt:
k1 = ót·Ä(tn,än)
k2 = ót · Ä(tn +i ót,än + !k,)
k3 = ót·Ä(tn +!ót,än +!k2)
k4 = ót·Ä(tn +ót,än +k3)
ót = tn+l- tn
Dit wordt verder verduidelijkt in figuur 3.1 en de tekst daaronder.
(3.2.31)
51
Figuur 3. 1. De 4-de orde Runge-Kutta methode
Eerst wordt aa;at m.b.v. vergelijking 3.2.30 bepaald op het tijdstip tn,
waarop a reeds bekend is. Met deze waarde voor de afgeleide naar de tijd wordt a op het tijdstip tn +~ót berekend. Dit wordt weer ingevuld in 3.2.30
zodat men nu een waarde heeft voor aa;at op het tijdstip tn + ~ öt. Met
behulp van deze waarde wordt nu nog een keer opnieuw a en aa;at op het
tijdstip tn + ~ öt bepaald. Tot slot wordt met behulp van voorgaande
afgeleide de waarde van a bepaald op het tijdstip tn + öt. De uiteindelijke
waarde van a op het tijdstip tn+1 = tn + öt is een gewogen gemiddelde van
de berekende waarden op de tijdstippen tn, tn +~ót en tn +ót. Op deze
manier heffen fouten tot de vierde orde in öt elkaar op.
Het begintijdstip wordt weer in de einddiastole fase gekozen, zodat als
beginprofiel een parabolisch profiel genomen kan worden (zie §2.2).
De afgeleiden van de straal en de axiale snelheid op de as, naar de tijd,
worden op voorgaande tijdstippen gegeven door:
awo I = Wo(tn+1)- Wo(tn-1) dt t 2ót '
n
(3.2.32)
aw 0 I = w 0 ( tn+2)- w 0 ( tn) dt t 2öt
n•1
De straal R heeft op tijdstip tn + ~ öt de waarde:
(3.2.33)
52
Om het stelsel vergelijkingen 3.2.31 op ieder tijdstip op te lossen is een
progamma geschreven in de programmeertaal TurboC.
De axiale drukgradiënt, de wall shear rate (WSR) en de flow (aantal
milliliters dat per seconde door de doorsnede van de buis stroomt) worden
ook door dit programma berekend. Ze worden respectievelijk door de
volgende formules weergegeven:
(3.2.33)
(3.2.34)
R 1 N k Flow(t) = J 2mw(r, t)dr = R2 J 21t11W(ll. t)dfl = -rcR2 :L-ak
0 0 k=1 k + 1 (3.2.35)
3.3. Resultaten
In figuur 3.2 is nog een keer het met gepulst ultrageluid in de carotis
gemeten stromingsprotiel uit §1.4 te zien. De maximale snelheid in de piek
systole fase is ongeveer 670 mm/s.
28 48 68
Figuur 3.2. M.b.v. ultrageluid gemeten stromingsprotiel (gedurende 640 ms)
53
De gemeten diameter (-verandering) is te zien in figuur 3.3. De begin
diameter is uit het gemeten beginprofiel geschat op 5,03 mm.
5.70
5.60
5.50
5.40
5.30
5.20
5.10
3 7
Figuur 3.3. Diameter (gedurende 1000 ms)
In de figuren 3.4 en 3.5 is respectievelijk het axiaal en het radiëel berekend
stromingsprotiel te zien.
Figuur 3. 4. Berekend axiaal stromingsprotiel
54
Figuur 3.5. Berekend radiëel stromingsprotiel
In figuur 3.6 is de geschatte axiale drukgradiënt te zien en in de figuren 3.7
en 3.8 de berekende wall shear rate respectievelijk flow.
pressure gradient / density (""/~
•103
4
0
-4
-a
-J.2
0
Figuur3.6. Geschatte axiale drukgradiënt
55
wallshearrate Cl/sec)
*102
10
6
2
-2
-6
1 3
tine <Msec)
Figuur 3. 7. Berekende wal/ shear rate
f'low c ... t/s)
11
9
7
5
3
l 1 )
1 3 5 7
ti"e Ct1sec>
Figuur 3.8. Berekende flow
Net als in hoofdstuk 2 (bij de berekeningen met de benadering van een
starre buis) is in het berekende axiaal stromingsprotiel een grote mate van
terugstroming te zien in een traject van de vaatwand tot ongeveer
halverwege het midden van de buis. Dit wordt echter niet gemeten, zoals
toen reeds vermeld. Ook niet in het gebied waar nog redelijk nauwkeurig
gemeten kan worden met ultrageluid.
Blijkbaar is er dus nog steeds iets mis. Het niet meer verwaarlozen van de
vaatwandbeweging en de niet-lineaire termen in de Navier-Stokes
56
vergelijkingen heeft dit grote verschil tussen gemeten en berekende
stromingsprofielen niet opgelost. In §2.3 zijn een aantal mogelijke oorzaken
voor dit verschil genoemd. De mogelijke oorzaken die overblijven zijn:
• het verkeerd schatten van de diameter van de buis (zie §3.4)
• het verkeerd schatten van het midden van de buis (zie §3.4)
• verkeerde waarde voor de viscositeit (zie §3.4)
• het verwaarlozen van een radiële drukgradiënt (zie §3.5)
• het niet Newtons zijn van bloed
• het niet exact recht zijn van de carotis
• tapering van de carotis
• het verwaarlozen van reflecties van de drukgolf
Indien we in het model een constante diameter en een harmonische
snelheid op de as invullen, kan weer een vergelijking plaatsvinden met de
analytische oplossing van de Womersley theorie (zie §2.5). N.B. De niet
lineaire termen in de differentiaalvergelijking 3.2.5 zijn voor een constante
diameter nul. De vergelijking heeft plaatsgevonden voor enkele waarden
van de Womersleyparameter a (namelijk 5, 10 en 15), op een aantal radiële posities 11 (namelijk 0,09, 0,50 en 0,82). Voor a=5 blijken de berekende
snelheden en drukgradiënten alle binnen de nauwkeurigheid waarmee
gerekend is (±1% van de maximum snelheid) overeen te stemmen met de
Womersley-theorie. Voor a=1 0 en a=15 onstaan er wel afwijkingen, terwijl
het model uit hoofdstuk 2 met de eindige differentie methode geen
afwijkingen gaf. De afwijkingen treden op in de buurt van de wand (vanaf ongeveer 11=0,7), op tijdstippen dat het stromingsprotiel erg vlak is, en
liggen in de grootte-orde van 10 tot 15% van de snelheid op de as. Dichter
in het midden is er wel overeenstemming. In figuur 3.9 zijn de stromings
profielen op een tijdstip weergegeven voor a=1 0. Links het stromingsprotiel
uitgerekend m.b.v. het eindige differentie model uit hoofdstuk 2, rechts
uitgerekend m.b.v. het model uit dit hoofdstuk. Het linkerprofiel komt
overeen met de analytische oplossing.
0
57
wallshearrate = 161~.098 /sec
•102
7
'""' (/) :5 ........
~ ~
3
i 1
-1
1.8 3.6 5.4 7.2 9.0 0 1.8 3.6 :5.4
Figuur 3.9. Stromingsprotie/en voor a=10.
In deze figuur is duidelijk te zien dat er aan de wand verschillen optreden.
De oorzaak hiervan is gelegen in de vorm van de machtreeks (zie
vergelijking 3.2.16) die in de differentiaalvergelijking 3.2.5 gesubstitueerd is.
Om zo'n vlak snelheidsprotiel in het midden van de buis te krijgen, moeten de coëfficiënten die horen bij de hoge machten van 11 erg groot worden.
Hierdoor onstaan dichter bij de wand afwijkingen van de analytische
oplossing.
Bij de snelheidsprofielen die uitgerekend zijn uitgaande van de gemeten
diameter en snelheid op de as, zullen hierdoor ook fouten ontstaan
wanneer het snelheidsprotiel erg vlak is. Dit is in de systole fase, zie figuur
3.1 0. Hierin is weer het linkerprofiel het juiste, en het rechterprofiel is
uitgerekend d.m.v. machtreekssubstitutie.
Dicht bij de wand is een afwijking te zien van ongeveer 15% van de waarde
op de as. Deze afwijking werkt nog korte tijd door, ook als daarna het
snelheidsprotiel veel minder vlak is. In de eind diastole fase zijn de
verschillen tot kleiner dan 1% (zie figuur 3.11 ). Alleen heel dicht bij de wand
is er dan nog een klein verschil te zien.
7.2 9.0
7
-1
7
-1
58
wallshearrate = -448.300 /sec wallshearrate = -807.864 ,
0.:5
7
-1
1.:5 2.:5 3.:5 4.:5 :5.:5 0.:5 1.:5 2.:5 3.:5
c\ieçl= ( MM)
Figuur 3. 10. Berekende snelheidsprotie/en (starre buis), uitgaande van
gemeten waarden, direct na systole fase
4.:5 :5.:
wallshearrate = 297.737 /sec wallshearrate = 94.265 /
0.:5
7
-1
1.:5 2.:5 3.:5 4.:5 5.5 0.:5 1.:5 2.5 3.5
Figuur 3. 11. Berekende snelheidsprotie/en (starre buis), uitgaande van
gemeten waarden, in eind diastole fase
Kleine verschillen dicht bij de wand kunnen echter nog redelijk grote
afwijkingen in de wall shear rate veroorzaken. In tabel 3.1 is voor dezelfde
diameters als in §2.4 weer de invloed van de waarde van de diameter op de wall shear rate weergegeven:
4.5 5
59
V=3,5 mmÏs 2R=4,80 mm 2R=5,26 mm 2R=5,72 mm 2R=6,18 mm
Gemiddelde 212,4 194,4 187,4 169,3
WSR
Maximum WSR 1487 1501 1504 1491
Minimum WSR -359 -636 -839 -947
(Maximum- 1846 2137 2343 2438
Minimum) WSR
Tabel3.1. Invloed diameter op WSR
De gemiddelde wall shear rate vertoont maar kleine verschillen tussen
beide methoden. De maximum wall shear rate is wel een stuk hoger (±15%)
en de minimum wall shear rate is een stuk lager. Kleine verschillen in wall
shear rate kunnen ook nog ontstaan doordat de wall shear rate voor beide
methoden op een andere manier berekend is (vergelijk 2.2.7 met 3.2.34).
De afwijkingen, die ontstaan door het niet goed kunnen maken van erg
vlakke snelheidsprofielen d.m.v. de machtreeks uit vergelijking 3.2.16, zijn
dusdanig klein dat ze geen verklaring kunnen zijn voor het uitrekenen van
de grote mate van terugstroming bij de wand!
3.4. Invloed van de parameters
Zoals reeds eerder vermeld is het een probleem dat de plaats waar de
vaatwanden zich bevinden niet nauwkeurig gemeten kan worden. De
diameter en het midden van het bloedvat moeten dus geschat worden. Om
de invloed van het verkeerd schatten hiervan na te gaan, zijn deze
parameters gevarieerd. De grootheden die bij dit variëren steeds bepaald
worden zijn, net als in §2.4, de over de tijd gemiddelde wall shear rate
(gedurende 500 msec na begin van de systole fase), de minimum en
maximum wall shear rate, en het verschil tussen deze laatste twee. Deze
grootheden zijn een maat voor het stromingsgedrag van het bloed dicht bij
de wand, waarin we geïnteresseerd zijn. Voor één karakteristieke meting is
dit weergegeven in tabel 3.2.
60
V=3,5 mmÏs 2 R(0)=4,58 mm 2 R(0)=5,03 mm 2 R(0)=5,49 mm
Gemiddelde 176,4 162,9 160,4
WSR
Maximum WSR 1238 1276 1295
Minimum WSR -440 -670 -833
(Maximum- 1678 1946 2128
Minimum) WSR
Tabel3.2. Invloed van geschatte begindiameter op WSR
N.B. De diameter in de piek systole fase is ongeveer 0,6 mm meer dan R(O).
Vergeleken met de waarden voor de wall shear rate in tabel 3.1, voor de
starre buis, is te zien dat de gemiddelde WSR voor de elastische buis een
stuk lager is. De maximum WSR is lager en de minimum WSR is hoger. De
elasticiteit van de vaatwand zorgt ervoor dat het stromingsprotiel aan de
wand vlakker wordt en dat de WSR minder varieert over de hartcyclus.
Ook de in de berekeningen genomen waarde van de viscositeit is
gevarieerd. Het resultaat hiervan is te zien in tabel 3.3 .
2 R(0)=5,03 mm V=3,0 mmÏs . v=3,5 mmÏs V=4,0 mmÏs
Gemiddelde 171,2 162,9 163,5
WSR
Maximum WSR 1379 1276 1181
Minimum WSR -887 -670 -469
(Maximum- 2266 1946 1650
Minimum) WSR
Tabel3.3. Invloed van waarde van de viscositeit
Bij toenemende viscositeit neemt, evenals bij de starre buis, de maximum
WSR af en de minimum WSR toe. De snelheden dicht bij de wand zullen de
snelheid in het midden dan steeds minder goed kunnen volgen. De invloed
van het variëren van de viscositeit op de gemiddelde WSR is klein.
Om de invloed van de niet-lineaire termen in de Navier-Stokes
vergelijkingen na te gaan, is de wall shear rate ook bepaald voor
verwaarlozing van deze termen. Het resultaat hiervan is te zien in tabel 3.4.
----------------------------
61
V=3,5 mm/s 2 R(0)=4,58 mm 2 R(0)=5,03 mm 2 R(0)=5,49 mm
Gemiddelde 192,7 178,0 172.2
WSR
Maximum WSR 1395 1423 1434
Minimum WSR -537 -768 -918
(Maximum- 1932 2191 2352
Minimum) WSR
Tabe/3.4. Verwaarlozing van de niet-lineaire termen
Het blijkt dat de niet-lineaire termen er voor zorgen dat het stromingsprotiel
aan de wand vlakker wordt. De wall shear rate varieert minder over de
hartcyclus ten gevolge van de niet-lineaire termen.
Voor de rest van de metingen, zie Appendix B.
De invloed van het schatten van de diameter en het midden van het
bloedvat, de viscositeit van het bloed en de voortplantingssnelheid van de
drukgolf (c) is dusdanig klein dat ze het grote verschil tussen berekende en
in vivo gemeten snelheidsprofielen niet kunnen verklaren.
3.5. De radiële drukgradiënt
In het voorgaande is steeds de radiële drukgradiënt (en daarmee ook
vergelijking 1.7.5) verwaarloosd ten opzichte van de axiale drukgradiënt
Om de grootte van de radiële drukgradiënt af te schatten, gaan we de
berekende waarden van de axiale en de radiële snelheid, en hun
afgeleiden naar plaats en tijd, invullen in vergelijking 1.7.5. We krijgen dan
voor ieder tijdstip een waarde voor de radiële drukgradiënt op iedere radiële
positie. Dit is weergegeven in figuur 3.12.
Het blijkt dat de radiële drukgradiënt gedurende bijna de gehele hartcyclus
veel keiner is dan de axiale drukgradiënt De maximale radiële drukgradiënt
is 300 mm/s2 en de maximale axiale drukgradiënt is 13000 mm/s2•
62
Figuur 3. 12. De radiële drukgradiënt
Vergelijking met de axiale drukgradiënt (zie figuur 3.6) laat zien dat de
radiële drukgradiënt alleen gedurende een korte tijdsperiode tijdens de
systole fase van vergelijkbare grootte met de axiale drukgradiënt is. Het is
echter net na deze tijdsperiode dat de terugstroming berekend wordt.
Daarom is het nuttig om te proberen of er in de berekeningen niet
gecorrigeerd zou kunnen worden voor de radiële drukgradiënt, om het effect
hiervan op het berekende stromingsprotiel na te gaan.
Dit corrigeren blijkt te kunnen op de volgende manier. Zie figuur 3.13:
~=1-----------------------------------Tl () Z+AZ () I Tl ()
Po +I ~ dT} Po + I ...E. dz + I ...E. dT} 0 u 11 z Z dZ TJ=O 0 i1T1 Z+t.Z ... ..
~ = 0··························• .......................................................... ;., ............................................ .. p Z+I\Z () I
o p + I ...E. dz o ()z
z Tt=O
z Z+~Z
Figuur 3. 13. Druk in de elastische buis
----------------- ----
63
Uit deze figuur volgt dat de axiale drukgradiënt ten gevolge van de radiële
drukgradiënt niet meer constant is over de doorsnede, maar afhankelijk is
van 11:
(3.5.1)
Aangezien we er van uit gingen dat de drukgolf zich met een constante
snelheid c=6 m/s door de buis verplaatst, kunnen we weer de differentiatie
naar de axiale richting z, vervangen door een differentiatie naar de tijd t:
(3.5.2)
De opzet is nu om er in eerste instantie van uit te gaan dat de radiële
drukgradiënt nul is, zodat de axiale drukgradiënt constant is over de
doorsnede. We rekenen de axiale en de radiële snelheid uit, m.b.v. de
vergelijkingen 3.2.2 en 3.2.3, en vullen deze in de radiële Navier-Stokes
vergelijking (1.7.5) in. Zo krijgen we een schatting voor de radiële drukgradiënt Door deze te integreren naar Tl krijgen we, m.b.v. vergelijking
3.5.2, een nieuwe waarde voor de axiale drukgradiënt, nu afhankelijk van Tl·
Deze waarde van de axiale drukgradiënt kunnen we invullen in vergelijking
3.2.3 om zo weer opnieuw de axiale en de radiële snelheid uit te rekenen.
Dit proces kan een aantal keren herhaald worden. Zo is het mogelijk om
iteratief het stelsel vergelijkingen 1.7.5, 3.2.2 en 3.2.3 op te lossen. Om de axiale drukgradiënt in de vorm van een machtreeks in Tl te krijgen, is
het nodig om eerst de coördinatentransformatie 3.2.1 uit te voeren op
vergelijking 1.7.5. Deze krijgt dan de volgende vorm:
(3.5.3)
Hierbij is au;az vervangen door -~au;at. Invullen van de machtreeksen
voor de axiale en de radiële snelheid en hun afgeleiden naar 11 en t geeft
een uitdrukking van de volgende vorm:
1 a N-2 P _ ~s 2k+1
---LJ k'Tl p d'Tl k=O
(3.5.4)
64
met
(3.5.5)
en
o, = ( :" + k~). p, = ~:~ o, +~~~a~,. s, =~oio,_; -2to;&.. k-1 k-1 N k-1
ck = 2 I ojok-j (k-j), ok = I ajok-j - I (a jok + akoj ). Ek = 2 I aiok-j (k-j), j=1 j=1 j=1 j=1
k-1 N
Pk = I,ai~k-i- I,(ai~k +ak~i) j=1 j=1
Hier zijn weer alleen de N laagste machten van Tl meegenomen. De hogere
machten zijn verwaarloosd.
Het is nu mogelijk om de integraal uit vergelijking 3.5.2 uit te voeren:
We definiëren:
R = sk_, k- 2k
zodat:
(3.5.6)
(3.5.7)
(3.5.8)
65
Dit invullen in vergelijking 3.5.2 geeft:
(3.5.9)
Wanneer we Tk als volgt definiëren:
T =~ap T =-~aRk k 1 N 0 a I k c at I = t•••t -1
p z 11=0
(3.5.1 0)
dan geldt:
1 ap _ ~T 2k -- - L..J kll p az 11 k=O
(3.5.11)
zodat we nu de gewenste uitdrukking voor de axiale drukgradiënt hebben.
Nadat dus eerst de axiale en de radiële snelheid op een tijdstip zijn
uitgerekend en daarna, m.b.v. vergelijking 3.5.11, de daarbij behorende
radiële drukgradiënt op dat tijdstip, kan de axiale drukgradiënt gecorrigeerd
worden. Hiertoe lost men nog een keer het stelsel niet-lineaire differentiaalvergelijkingen 3.2.30 op, maar nu met Ak vervangen door:
(3.5.12)
Dit corrigeren in de axiale drukgradiënt kan, zoals reeds vermeld, iteratief
gedaan worden. Zo rekent men, tijdstip voor tijdstip, het hele stromings
protiel uit en de oplossing die men zo krijgt voldoet aan alledrie de
vergelijkingen 3.2.2, 3.2.3 en 3.5.3. De oplossing blijkt, op ieder tijdstip,
reeds na de eerste correctie van de axiale drukgradiënt niet meer te
veranderen (verschillen kleiner dan 1%o van de snelheid op de as).
Het stromingsprotiel dat men op deze manier verkrijgt, verschilt niet
wezenlijk van het stromingsprotiel dat uitgerekend wordt uitgaande van een
drukgradiënt die constant is over de doorsnede van de buis. De verschillen
zijn kleiner dan 1% van de snelheid op de as. De invloed op de wall shear
rate is te zien in tabel 3.5 en blijkt erg klein te zijn (vergelijk met tabel 3.2).
66
V=3,5 mmj( 2 R(0)=4,58 mm 2 R(0)=5,03 mm 2 R(0)=5,49 mm
Gemiddelde 177,4 164,0 161,7
WSR
Maximum WSR 1253 1294 1315
Minimum WSR -447 -678 -842
(Maximum- 1700 1972 2157
Minimum) WSR
Tabel3.5. Invloed van radiële drukgradiënt op WSR
Ook de terugstroming op het traject van de wand tot halverwege het midden
van de buis is dus niet verdwenen.
De conclusie is dat het verwaarlozen van de radiële drukgradiënt
toegestaan is, indien men de carotis opvat als een rechte, elastische buis,
met het verwaarlozen van reflecties van de drukgolf. De mogelijkheid
bestaat echter wel nog, dat er toch een niet-verwaarloosbare radiële
drukgradiënt in de carotis aanwezig is wanneer deze benaderingen niet
geldig zijn. De carotis is bijvoorbeeld in het algemeen niet helemaal recht
en loopt iets taps toe en er zijn reflecties van de drukgolf (zie §1.6).
3.6. Axiale snelheid aan de wand
In het voorgaande is steeds de aanname gemaakt dat de axiale snelheid
aan de wand nul is. Dit is een aanname die in de literatuur overal gemaakt
wordt. Het is echter interessant om eens na te gaan wat het effect is van het
laten vallen van deze aanname. Men zou zich hierbij kunnen voorstellen dat
zich dicht bij de wand een kleine grenslaag gevormd heeft. Dit kan
gebeuren ten gevolge van de niet-Newtonse eigenschappen van bloed, die
vooral dicht bij de wand mogelijkerwijs niet meer verwaarloosbaar zijn. De
axiale snelheid aan de wand zelf blijft nul, maar heel dicht bij de wand, net
buiten de grenslaag, is de snelheid hoger. Dit kan benaderd worden door te
veronderstellen dat de axiale snelheid aan de wand niet nul is.
De aanname, dat de axiale snelheid aan de wand nul is, werd in het
voorgaande model voor de elastische buis in rekening gebracht door de
vorm van de machtreeks in vergelijking 3.2.16. We zullen deze vergelijking
nu dus moeten aanpassen aan de eis dat deze snelheid niet meer
67
noodzakelijk nul is. Dit kan gedaan worden door vergelijking 3.2.16 te
vervangen door:
N
w(rt.t) = :Lak(t)(rt2k -1)+a(t) (3.6.1) k=1
met a(t) = w(1, t), de axiale snelheid aan de wand. De vorm van de snelheid
aan de wand kan gekozen worden door uit te gaan van de veronderstelling
dat de snelheid aan de wand een bepaald percentage is van de snelheid op
de as met een gegeven onderling faseverschil:
a(t)=b·w0 (t+t) (3.6.2)
De snelheid aan de wand zal in het algemeen vóórlopen op de snelheid op
de as. Het faseverschil t zal dus positief zijn. Vergelijking 3.6.1 wordt nu:
N
W(Tt, z, t) =Lak (t)( Tt2k -1) + b · W0 (t + t) (3.6.3)
k=1
Bij het omzetten van de radiële snelheid en de afgeleide van de axiale
snelheid naar z in de machtreeksen 3.2.17 en 3.2.18 werd gebruik gemaakt
van de veronderstelling dat de axiale snelheid aan de wand nul is (zie
vergelijking 3.2.8). Deze veronderstelling is nu niet meer geldig. Dit
probleem zullen we omzeilen door de niet-lineaire termen in de Navier
Stokes vergelijking te verwaarlozen. Het gehele stromingsgedrag ligt nu
vast door de volgende vergelijking:
(3.6.4)
Hierin substitueren we vergelijking 3.6.3. Weer worden alleen de termen horende bij de N laagste machten van 11 meegenomen zodat uiteindelijk, in
analogie met vergelijking 3.2.28, geldt:
aak= A k 1 N at k• = , .. , (3.6.5)
met
68
(3.6.6)
Dit stelsel (lineaire) differentiaalvergelijkingen is weer opgelost met behulp
van de 4-de orde Runge-Kutta methode.
Voor b=0,1 en t=33 ms is het zo berekende axiale stromingsprotiel weergegeven in figuur 3.14:
Figuur 3. 14. Axiale snelheid aan de wand niet nul
Er is nog steeds geen overeenstemming tussen berekend en gemeten
stromingsprotiel voor deze waarden van b en t. Er wordt opnieuw terug
stroming berekend over een groot traject van de buis. Ook voor andere
waarden van b en t gebeurt dit. Slechts wanneer men b zeer groot neemt
(bijvoorbeeld 0,7) wordt geen terugstroming meer berekend. Dan krijgt men
echter weer een ander stromingsprotiel dat helemaal niet overeenkomt met
het gemeten profiel. De snelheden bij de wand zijn dan namelijk veel te groot.
De conclusie is dus dat het niet nul zijn van de axiale snelheid aan de wand
het verschil tussen gemeten en berekend stromingsprotiel niet kan verklaren.
69
3.7. Conclusies
Er is een model opgesteld waarmee het stromingsgedrag van het bloed in
de carotis uitgerekend kan worden uitgaande van de (m.b.v. gepulst
ultrageluid gemeten) stroming in het midden van het bloedvat. Hierbij wordt
de carotis opgevat als een rechte, elastische buis. Het model is gebaseerd
op de Navier-Stokes vergelijkingen, waarbij ook de niet-lineaire termen
mee in beschouwing genomen worden. De radiële drukgradiënt wordt in
eerste instantie verwaarloosd. De axiale drukgradiënt wordt geschat aan de
hand van de stroming in het midden.
In het op deze manier berekende stromingsprotiel is, net als bij de
benadering met een starre buis, een grote mate van terugstroming te zien, in
een traject van de vaatwand tot halverwege het midden van de buis. Dit
wordt niet gemeten. Ook niet in het gebied waar nog redelijk nauwkeurig
gemeten kan worden met ultrageluid.
Indien we in het model een constante diameter en een harmonische
snelheid op de as invullen, kan een vergelijking plaatsvinden met de
analytische oplossing van de Womersley theorie. Voor waarden van de
Womersley-parameter tot ongeveer a=6 is er overeenstemming tussen de
analystische en de numerieke oplossing, binnen de nauwkeurigheid
waarmee gerekend is (±1% van de maximale snelheid op de as). Voor
hogere waarden van de Womersley-parameter komen er afwijkingen (tot
ongeveer 15% van de snelheid op de as) bij de wand. Deze afwijkingen
treden op tijdens en direct na perioden in de hartcyclus wanneer het
stromingsprotiel erg vlak is. De oorzaak van de afwijkingen is gelegen in de
vorm van de machtreeks (zie vergelijking 3.2.16) die in de differentiaal
vergelijking 3.2.5 gesubstitueerd is. Om zo'n vlak snelheidsprotiel in het
midden van de buis te krijgen, moeten de coëfficiënten die horen bij de hoge machten van 11 erg groot worden. Hierdoor onstaan dichter bij de
wand afwijkingen van de analytische oplossing. De afwijkingen in de
stromingsprofielen worden al snel na de systole fase kleiner. De invloed op
de wall shear rate blijft echter redelijk groot omdat kleine afwijkingen in het
stromingsprotiel aan de wand nog steeds een groot effect op de wall shear
rate kunnen hebben. De afwijkingen, die ontstaan door het niet goed
kunnen maken van erg vlakke snelheidsprofielen d.m.v. de machtreeks uit
vergelijking 3.2.16, zijn dusdanig klein, dat ze geen verklaring kunnen zijn
voor het uitrekenen van de grote mate van terugstroming bij de wand.
70
Het verkeerd schatten van de diameter en het midden van de buis, en de
waarde van de viscositeit van het bloed, kan het verschil tussen gemeten en
berekende snelheidsprofielen ook niet verklaren.
In §3.3 zijn enkele mogelijke oorzaken voor het waargenomen verschil
genoemd. Een aantal van deze mogelijke oorzaken zijn nader bekeken. Het
model is gecorrigeerd voor het optreden van een radiële drukgradiënt Deze
correctie geeft geen wezenlijke verandering in het berekende
stromingsprofiel. Bovendien is nagegaan wat de invloed is van de
veronderstelling dat de axiale snelheid aan de wand niet nul is. Ook
hiermee kan geen betere overeenstemming tussen gemeten en berekende
stromingsprofielen bereikt worden. De terugstroming die uitgerekend wordt
komt overeen met theoretische resultaten in de literatuur: [BEL 91 a], [BEL
91b], [BEL 92], [XU 91].
Om het model verder te testen en om na te gaan of de gebruikte
benaderingen geldig zijn, is het nodig om aan een proefopstelling met een
elastische buis te gaan meten, en het model hier op toe te passen.
71
4. Metingen verricht aan een elastische buis
In het model, dat opgesteld is om het gemeten stromingsprotiel in het
midden van een bloedvat te extrapoleren naar de wand met behulp van de
Navier-Stokes vergelijkingen, zijn een aantal aannames gemaakt. De
oorzaak van het grote verschil tussen gemeten en berekende
stromingsprofielen zou kunnen zijn dat deze aannames niet geldig zijn.
Daarom is het nodig om het model te testen in een situatie waarin aan deze
aannames (redelijk goed) voldaan is. In het Biomechanica Laboratorium
van de faculteit Werktuigbouwkunde op de TUE bestaat een opstelling met
een elastische buis, waarin een op een constante flow gesuperponeerde
sinusaidale flow van een vloeistof opgewekt kan worden. Aan deze
opstelling is gemeten met zowel ultrageluid als laser Doppier anemometrie.
De opstelling bestaat uit een stuk elastische buis van ca. 40 cm lengte en
een diameter van ongeveer 20 mm. De elastische buis bevindt zich in een
bak met een vloeistof met ongeveer dezelfde soortelijke massa als de
vloeistof die door de buis stroomt, zodat de buis recht blijft hangen. Om
instroomeffecten te voorkomen stroomt de vloeistof voordat het de elastische
buis bereikt eerst door een starre buis met een diameter van 20 mm en een
lengte van ca. 3 meter (±150 maal de diameter). Op deze manier stelt zich
een goed ontwikkeld profiel in. De stroming wordt opgewekt door twee
pompen, een stationaire pomp en een sinusaidale instationaire pomp, die
onafhankelijk van elkaar ingesteld kunnen worden. De drukgolf plant zich in
de buis voort met een snelheid van ca. 7 mis. Er treden bij de uitstroming uit
de elastische buis reflecties op, waarvan de grootte onbekend is.
Om een geschikte vloeistof te vinden met een constante viscositeit
(onafhankelijk van shear rate en frequentie) waar ultrageluid voldoende op
verstrooid om een goed signaal te krijgen, is een kleine proefopstelling in
elkaar gezet, waar enkele vloeistoffen mee zijn uitgeprobeerd. Bij een
aantal vloeistoffen, zoals halfvolle en volle melk, bleek het ultrageluid
slechts te verstrooien op de luchtbellen die zich in de vloeistof bevinden.
Polystereen in water bleek te gaan drijven en Sephadex in water bleek te
gaan zinken. Een veelbelovende vloeistof, waar ultrageluid goed op
verstrooide, was chocomel (van het merk Choq). Deze vloeistof bleek echter
niet-Newtons te zijn. Tot slot werden we opmerkzaam gemaakt op een
vloeistof die speciaal ontwikkeld is voor ultrageluidsmetingen (een op water gebaseerde oplossing van deeltjes met een diameter van 1 0-30 J.1 m). Deze
vloeistof heeft een constante kinematische viscositeit van ongeveer 1 ,9
72
mm2 /s en verstrooid ultrageluid goed. Een andere mooie eigenschap van
de vloeistof is, dat er ook met behulp van laser Doppier anemometrie aan
gemeten kan worden, zodat een vergelijking kan plaatsvinden tussen
ultrageluid en deze methode. Deze vloeistof is dan ook voor de metingen
gebruikt.
De ultrageluidsprobe is boven de buis in de bak met vloeisto.f bevestigd,
onder een hoek van 65 graden, zodat er schuin van boven naar beneden
door het symmetrievlak van de buis een stromingsprotiel wordt gemeten.
Aangezien de snelheid van de drukgolf ongeveer 7 mis is, zal dit profiel
overeenkomen met een profiel dat recht van boven naar beneden is
gemeten.
De stroming die in de elastische buis is opgewekt zorgt voor een bijna
harmonische axiale snelheid op de as van de buis met een amplitude van
ongeveer 40 mm/s, gesuperponeerd op een centsante snelheid op de as
van ongeveer 135 mm/s, zie figuur 4.1 rechts. De als functie van de tijd
gemeten diameter (-verandering) van de elastische buis is weergegeven in
het linkerplaatje van figuur 4.1.
mrt'\ 19.8 ,......----...,--------,.------, 188~---mm~/~5~----~-------
19.7
19.6
19.5
19.4
19.3
168
148
128
188
19.2 L.-----.....J.-----......_ ___ __. 88~------~--------~--------8 58 188
-t~ol~ 158 8 58
Figuur 4.1. Links: diameter, rechts: Axiale snelheid op de as
De gebruikte frequentie voor de harmonische component van de flow is 0,5 Hz. Samen met de viscositeit van 1 ,9 mm2 /s en de diameter van ongeveer
20 mm zorgt dit voor een Womersley-getal van ongeveer 13. Dit is ook een
karakteristieke waarde van het Womersley-getal in de carotis. Ten gevolge
van de hoge stationaire component van de snelheid op de as van ongeveer
135 mm/s zullen in de elastische buis echter niet zulke vlakke profielen
73
voorkomen als in de carotis. Het model zou hier dan ook goed moeten
voldoen, zodat deze metingen een goede test voor het model zijn.
Het gehele gemeten stromingsprotiel (met contourplaatje) is te zien in figuur
4.2.
rd'ept~ -{gd 48n-·~~~~~--~~~~------~
)
38\" 0 '1
28 .... '
18
Figuur 4.2 Het gemeten stromingsprotiel
De lijnen in het contourplaatje geven de volgende snelheden aan: -5, 0, 25,
50, 75, 1 00, 125, 150, 165 mm/s. Dicht bij de wand wordt gedurende korte
tijd terugstroming gemeten over een klein traject. Ook is er in het
contourplaatje duidelijk een asymmetrie te zien tussen links en rechts,
vooral in de buurt van de wanden. In het gemeten stromingsprotiel zijn
enkele gaten te zien. Deze ontstaan op plaatsen waar op een bepaald
tijdstip even niet genoeg deeltjes in de vloeistof aanwezig zijn waar het
ultrageluid op kan verstrooien. Dicht bij de voorwand van de buis zullen de
gemeten profielen niet erg nauwkeurig zijn, omdat daar op erg kleine
afstand van de probe gemeten wordt. Omdat de diameter van de buis zo
groot is (20 mm) zullen de meetvolumes bij de achterwand bijna buiten het
bereik van de ultrageluidsprobe liggen. Aan de achterwand ontstaan ook
meetfouten door reflecties van het ultrageluid. Ook daar zullen de waarden
voor de snelheid niet nauwkeurig zijn.
Het met behulp van de, als functie van de tijd, gemeten snelheid op de as en
diameter (-verandering) berekende stromingsprotiel is weergegeven in
figuur 4.3.
-
74
SB Figuur 4.3. Het berekende stromingsprotiel
In tegenstelling tot de carotis, zijn er nu geen grote verschillen te zien tussen
gemeten en berekende stromingsprofielen. In het contourplaatje is net als
bij het gemeten profiel gedurende korte tijd terugstroming te zien in een
klein traject bij de wand. Het gat in het gemeten profiel, ten gevolge van het
wegvallen van het signaal, wordt natuurlijk niet gereproduceerd. In figuur
4.4 zijn ter verduidelijking 11 stromingsprofielen op verschillende tijdstippen
in de cyclus te zien. Links de gemeten en rechts de berekende waarden.
--~ 2BB r----------.--------. "i 288 ,-----------r------~ ~
~
:0 1SB
J188
~ j_ SB
lsD1~
J1s8
~188 (/)
jss ! 8
-SB~----------~----------~ -s8~----------~-----------B SB 188 8
diepte~
Figuur 4.4. Gemeten en berekende stromingsprotie/en
28
)
) -28
75
In het gemeten profiel is weer het gat te zien. Dicht bij de rechterwand
bevindt zich bovendien een bult in het profiel op sommige tijdstippen. Ook
dit is waarschijnlijk een meetfout.
In figuur 4.5 zijn de verschillen tussen de gemeten en berekende profielen
weergegeven, links de absolute verschillen (in mm/s), rechts de verschillen
gedeeld door de snelheid op de as (in procenten).
38~----------~----------~
Figuur 4.5. Verschillen tussen gemeten en berekende stromingsprotie/en
De verschillen liggen in de groott-orde van ongeveer 10%. Slechts op de
plaats waar het gat in het gemeten profiel zich bevindt en aan de
rechterwand waar het gemeten profiel op sommige tijdstippen een bult
vertoont zijn de verschillen groter. Ook is te zien dat de verschillen aan de
linkerkant van het profiel niet gelijk zijn aan de verschillen aan de
rechterkant. Aangezien het berekende stromingsprotiel symmetrisch is, moet
deze asymmetrie afkomstig zijn van het gemeten snelheidsprotieL Om dit te
onderzoeken is in figuur 4.6 de afwijking van het puntsgewijze gemiddelde
van het linker- en rechter stromingsprotiel weergegeven. Hiertoe is
puntsgewijs het verschil tussen linkerhelft en rechterhelft door twee gedeeld.
Het blijkt dat de asymmetrie van het gemeten snelheidsprotiel van dezelfde
grootte-orde is als het verschil tussen gemeten en berekende
(symmetrische) snelheidsprofielen. Dit verschil zal dus grotendeels
verklaard kunnen worden met deze asymmetrie. Verdere afwijkingen
kunnen nog onstaan door meetfouten, reflecties van de drukgolf en het niet
exact recht zijn van de elastische buis.
,
76
38 ,.------~------......,
28
-38~-----~--------~ -15~----------~-----------8 58 188 8
Figuur 4.6. Asymmetrie van het gemeten stromingsprotiel
(links in mm/s, rechts in procenten van de snelheid op de as)
In figuur 4.7 is de berekende wall shear rate en de berekende flow weergegeven.
188r-------~------~------~ 35,.--------r-------,-------
-58 ....__ ___ ___._ ____ ...___ ___ ___. 5...._ ___ ___._ ____ ...___ __ _ 8 58 158 8 58
Figuur 4. 7. Berekende wal/ shear rate en flow
We kunnen concluderen dat de verschillen tussen gemeten en berekende
stromingsprofielen van dezelfde grootte-orde zijn als de nauwkeurigheid
waarmee gemeten wordt en de mate waarin een goed symmetrisch profiel
77
opgewekt kan worden. De juistheid van het model kan bevestigd worden
binnen een nauwkeurigheid van ongeveer 10 procent. De grote verschillen
tussen gemeten en berekende stromingsprofielen in de carotis zal dus
veroorzaakt worden door het niet geldig zijn van een of meerdere van de
gemaakte aannames.
78
5. Conclusies
De snelheden en shear rates van het bloed aan de wanden van grote
bloedvaten (zoals de carotis) zijn erg interessant omdat deze mogelijk een
rol spelen bij de vorming van atherosclerose. Snelheden van bloed kunnen
gemeten worden met behulp van gepulst ultrageluid. De waarden van de op
deze manier gemeten snelheden zijn echter onbetrouwbaar dicht bij de
wand vanwege de vaatwandfilters. Om toch informatie te kunnen krijgen
over de snelheden aan de wand en de wall shear rate zijn er enkele reken
modellen opgesteld om, uitgaande van de gemeten snelheden in het
midden van het bloedvat (deze zijn wel betrouwbaar) en de gemeten
vaatwandbeweging, de rest van het stromingsprotiel uit te rekenen door de
Navier-Stokes vergelijkingen numeriek op te lossen. Het bloed wordt hierbij opgevat als een incompressibele, Newtonse ( v=3,5 mm2/s) vloeistof. Om
de Navier-Stokes vergelijkingen op te kunnen lossen moeten nog enkele
aannames gemaakt worden.
De carotis wordt in eerste instantie opgevat als een starre, rechte buis
waarbij de niet-lineaire termen in de Navier-Stokes vergelijkingen verwaar
loosd worden. Het stromingsprotiel wordt verondersteld symmetrisch te zijn
om de as van de buis. De radiële drukgradiënt wordt verwaarloosd. De
axiale drukgradiënt wordt geschat aan de hand van de stroming in het
midden van het bloedvat. Ook de diameter zal geschat moeten worden. De
Navier-Stokes vergelijkingen worden met deze aannames opgelost door er
volgens de Cranck-Nicolson methode een differentie vergelijking van te
maken.
Het blijkt dat men de beste schatting van de drukgradiënt krijgt, door slechts
uit te gaan van het temporale gedrag van het bloed op de as, en niet van
een heel traject in het midden van de buis. Het model is gecontroleerd met
behulp van de door Womersley gegeven analytische oplossing van deze
vereenvoudigde Navier-Stokes vergelijkingen voor een harmonische
drukgradiënt en blijkt goed te voldoen.
In het berekende stromingsprotiel is een grote mate van terugstroming te
zien, in een traject van de vaatwand tot halverwege het midden van de de
buis. Dit wordt echter niet gemeten, ook niet in het gebied waar nog redelijk
nauwkeurig gemeten kan worden met behulp van ultrageluid. Het mogelijk
verkeerd schatten van de diameter en het midden van de buis, en de
waarde van de viscositeit van het bloed, zal het verschil niet kunnen
79
verklaren. Enkele mogelijke oorzaken die dit verschil wel zouden kunnen
verklaren zijn genoemd in §2.3.
Hierna is een meer realistisch model opgesteld om de stroming van het
bloed door de carotis te benaderen. De carotis wordt hierbij opgevat als een
rechte elastische buis. Nu worden ook de niet-lineaire termen in de Navier
Stokes vergelijkingen mee in beschouwing genomen. De radiële
drukgradiënt wordt in eerste instantie verwaarloosd. De axiale drukgradiënt
wordt weer geschat aan de hand van de stroming op de as van de buis. De
diameterverandering wordt gemeten. De begindiameter moet geschat
worden. Verder wordt van de veronderstelling uitgegaan dat de drukgolf
zich met een constante snelheid c==6 m/s door de buis voortplant. De Navier
Stokes vergelijkingen worden opgelost door een geschikte vorm van een
machtreeks voor de axiale snelheid te substitueren. Het resultaat is een
stelsel van niet-lineaire, gewone differentiaalvergelijkingen, dat numeriek
opgelost kan worden.
In het op deze manier berekende stromingsprotiel is, net als bij de starre
buis, een grote mate van terugstroming te zien in een traject van de
vaatwand tot halverwege het midden van de buis. Zoals gezegd wordt dit
niet gemeten, ook niet in het gebied waar nog redelijk nauwkeurig gemeten
kan worden met behulp van ultrageluid.
Indien we in het model een constante diameter en een harmonische
snelheid op de as invullen kan weer een vergelijking plaatsvinden met de
analytische oplossing van de Womersley-theorie. Het blijkt dat er
afwijkingen optreden op tijdstippen dat het stromingsprotiel erg vlak is. De
oorzaak van de afwijkingen is gelegen in de vorm van de machtreeks die in
de Navier-Stokes gesubstitueerd wordt. Voor erg vlakke profielen tellen de
hoge machten zwaar mee. Hierdoor ontstaan dicht bij de wand afwijkingen
(tot ongeveer 15% van de snelheid op de as). Deze afwijkingen zullen, voor
de profielen die uitgerekend zijn voor de carotis, optreden tijdens en direct
na de systole fase en daarna afnemen. De afwijkingen die ontstaan door het
niet goed kunnen omgaan met erg vlakke stromingsprofielen zijn dusdanig
klein dat ze geen verklaring kunnen vormen voor het uitrekenen van de
grote mate van terugstroming aan de wand.
Ook het verkeerd schatten van de begindiameter en het midden van de buis,
en de waarde van de viscositeit van het bloed, kan het verschil tussen
gemeten en berekende stromingsprofielen niet verklaren.
In §3.3 zijn enkele mogelijke oorzaken voor het waargenomen verschil
genoemd. Een aantal van deze mogelijke oorzaken zijn nader bekeken. Het
80
model is gecorrigeerd voor het optreden van een radiële drukgradiënt Deze
correctie geeft geen wezenlijke verandering in het berekende stromings
protieL Bovendien is nagegaan wat de invloed is van de veronderstelling
dat de axiale snelheid aan de wand niet nul is. Ook hiermee kan geen
betere overeenstemming tussen gemeten en berekende stromingsprofielen
bereikt worden. De terugstroming die uitgerekend wordt komt overeen met
theoretische resultaten in de literatuur.
In het model, dat opgesteld is om het gemeten stromingsprotiel in het
midden van een elastisch bloedvat te extrapoleren naar de wand met
behulp van de Navier-Stokes vergelijkingen, zijn een aantal aannames
gemaakt. De oorzaak van het grote verschil tussen gemeten en berekende
stromingsprofielen zou kunnen zijn dat deze aannames niet geldig zijn.
Daarom is het model getest in een situatie waarin aan deze aannames
(redelijk goed) voldaan is. Er is gemeten met gepulst ultrageluid aan een
opstelling met een elastische buis, waarin een op een constante flow
gesuperponeerde sinuscidale flow opgewekt is. Het Womersley-getal was
ongeveer 13. Dit is ook een karakteristieke waarde van het Womersley-getal
in de carotis. Ten gevolge van een vrij hoge stationaire component van de
snelheid op de as zullen in de elastische buis echter niet zo'n vlakke
profielen voorkomen als in de carotis. Het model zou hier dan ook goed
moeten voldoen, zodat de metingen een goede test voor het model zijn.
Het blijkt dat de verschillen tussen gemeten en berekende stromings
profielen van dezelfde grootte-orde zijn als de nauwkeurigheid waarmee
gemeten wordt en de mate waarin een goed symmetrisch profiel opgewekt
kan worden. De juistheid van het model kan bevestigd worden binnen een
nauwkeurigheid in snelheden van ongeveer 10 procent van de snelheid op
de as. De grote verschillen tussen gemeten en berekende stromings
profielen in de carotis zal dus veroorzaakt worden door het niet geldig zijn
van een of meerdere van de gemaakte aannames.
De algehele conclusie is dat het model redelijk goed het gedrag van een
Newtonse vloeistof in een elastische buis beschrijft. Het is mogelijk om de
axiale drukgradiënt te schatten aan de hand van de stroming in het midden
van de buis. Kleine afwijkingen in de stromingsprofielen, veroorzaakt door
de vorm van de gekozen machtreeks die in de Navier-Stokes vergelijkingen
gesubstitueerd is, ontstaan wanneer de profielen erg vlak zijn. Het model
zou wat dit betreft verbeterd kunnen worden door een andere substitutie in
de Navier-Stokes vergelijkingen, mogelijk van Womersley-profielen. Het
81
model kan de gemeten stromingsprofielen in de carotis echter niet verkla
ren, en kan dus geen goede benadering geven voor de hier aanwezige wall
shear rates. Enkele mogelijke oorzaken die het grote verschil tussen bere
kende en in vivo gemeten stromingsprofielen zouden kunnen verklaren zijn
nader bekeken. Dit bleek echter geen essentiële verbetering op te leveren.
Enkele mogelijke oorzaken die overblijven zijn:
• het niet recht zijn van de carotis
• het niet-Newtons zijn van bloed
• tapering van de carotis
• reflecties van de drukgolf
Om dit verder te onderzoeken kan het model aangepast worden door enkele
van deze aannames te laten vallen, en de gevolgen hiervan voor het
berekende stromingsprotiel te bekijken. Het is ook zeer zeker de moeite
waard om een opstelling te bouwen met een meer realistische flow dan een
sinusoidale. Wanneer men een flow kan opwekken van de vorm zoals deze
ook gemeten wordt in de carotis, kunnen voorgaande mogelijke oorzaken
voor het verschil tussen berekende en in vivo gemeten stromingsprofielen
experimenteel (in vitro) nader onderzocht worden. Zo kan meer inzicht
verkregen worden in de mate waarin de gemaakte aannames het
stromingsprotiel beïnvloeden. Indien het mogelijk blijkt het opgestelde
model voor deze condities aan te passen, kan dit op deze manier
experimenteel geverifieerd worden. Hopelijk is het mogelijk om op deze
manier tot een meer betrouwbare benadering van de stroming van bloed
aan de wanden van grote bloedvaten te komen.
82
Literatuurlijst
[BEL 91 a] E. Belardinelli and S. Cavalcanti
A new nonlinear two-dimensional model of blood motion in
tapered and elastic vessels
Comput. Biol. Med. 21: 1-13, 1991
[BEL 91 b] E. Belardinelli and S. Cavalcanti
[BEL 92]
[BRA 92]
lnfluence of arterial wall thickening on the blood velocity profiles shape
Proceedings of computers in cardiology
Venice, ltaly, September 23-26, 1991
E. Belardinelli and S. Cavalcanti
Theoretica! analysis of pressure pulse propagation in arterial
vessels
J. Biomechanics, 25: 1337-1349, 1992
P.J. Brands and A.P.G. Hoeks
A comparison methad for mean frequency estimators for Doppier ultrasound
Ultrasonic lmaging, 14: 367-386, 1992
[HOE 91] A.P.G. Hoeks, M. Hennerici and A.S. Reneman
Speetral composition of Doppier signals
Ultrasound in Med. & Biol.17: 751-760,1991
[HOE] A.P.G. Hoeks, T.G.J. Arts, P.J. Brands and A.S. Reneman
Comparison of the accuracy of the RF cross correlation and
Doppier autocorrelation technique to estimate the mean
velocity of simulated ultrasound signals
[KRE 88]
Ultrasound in Med. & Biol., submitted
E. Kreyszig
Advanced engineering mathematics, 6-th edition, 1988
John Wiley & Sans, New Vork
[LEE 92]
[LOI90]
M. van Leeuwen et al
Bloedsomloop
83
Cahiers Bio-Wetenschappen en maatschappij
15-de jaargang, No.4, november 1992
Thijssen et al
Handboek echografie
LOl, 1990
[MED 87] Beeldvormende technieken
Medifo, jaargang 3, nummer 2, juli 1987
Bohn, Scheltema & Holkema, Utrecht
[PRE 88] W.H. Presset al
[REU 91]
[RIN 89]
[SIM 90]
[STE 84]
Numerical Recipes, The art of scientific computing
Cambridge University Press, Cambridge, 1988
P. Reuderink
Analysis of the flow in a 3D distensible model of the carotid
artery bifurcation
Thesis, Eindhoven University of Technology, the Netherlands,
1991
C. Rindt
Analysis of the three-dimensional flow field in the carotid artery
bifurcation
Thesis, Eindhoven University of Technology, the Netherlands,
1989
A.C. Simon, J. Levensen and P. Flaud
Pulsatile flow and asciilating wall shear stress in the brachial
artery of normotensive and hypertensive subjects
Cardiovascular Research, 1990; 24: 129-136
A.A. van Steenhoven
Rheologie en Microcirculatie
Collegedictaat Humane Stromingsleer, TUE, 1984
84
[STE] A.A. van Steenhoven
Velocity profiles in large arteries
stencils uitgedeeld op het college Humane Stromingsleer, TUE
[TUE 89] Inleiding in de numerieke methoden
collegedictaat TUE, 1989
[VOS 81] F. van de Vosse
Gedrag van stromingen veroorzaakt door een harmonische
drukgradiënt in starre en elastische buizen
stageverslag TUE, 1981
[VOS 86] G. Vossers
[XU 91]
Fysische Transportverschijnselen voor W
collegedictaat TUE, 1986
X.Y. Xu, M.W. Collins and C.J.H. Jones
Flow studies in canine artery bifurcations using a numerical
simuiatien methad
J. of Biomechanica! Engineering, 114: 504-511, 1992
85
Appendix A
Wall shear rates volgend uit de berekeningen waarin de carotis opgevat
wordt als een rechte, starre buis.
File PBCA01 .ASC
V=3,5 mm/s 2R=4,80 mm 2R=5,26 mm 2R=5,72 mm
Gemiddelde 232,6 212,1 195,8
WSR
Maximum WSR 1513 1504 1497
Minimum WSR -252 -293 -329
(Maximum- 1765 1797 1827
Minimum) WSR
File PBCA05.ASC
V=3,5 mm/s 2R=4,80 mm 2R=5,26 mm 2R=5,72 mm
Gemiddelde 211,6 195,3 182,2
WSR
Maximum WSR 1292 1292 1291
Minimum WSR -446 -485 -511
(Maximum- 1738 1777 1802
Minimum) WSR
File PBCA03.ASC
V=3,5 mm/s 2R=4,80 mm 2R=5,26 mm 2R=5,72 mm 2R=6,18 mm
Gemiddelde 206,9 190,1 176,4 165,6
WSR
Maximum WSR 1294 1293 1293 1292
Minimum WSR -446 -485 -509 -524
(Maximum- 1740 1778 1802 1816
Minimum) WSR
86
Appendix 8
Wall shear rates volgend uit de berekeningen waarin de carotis wordt
opgevat als een rechte, elastische buis. Deze wall shear rates kunnen niet
direct vergeleken worden met de wall shear rates uit Appendix A omdat
beide op een andere manier (vergelijk 2.2.7 met 3.2.34) berekend zijn. Dit
geeft verschillen (zie §3.3).
File PBCA01 .ASC
V=3,5 mmi{ 2 R(0)=4,58 mm 2 R(0)=5,03 mm 2 R(0)=5,49 mm
Gemiddelde 220,2 199,8 183,7
WSR
Maximum WSR 1531 1517 1501
Minimum WSR -457 -390 -428
(Maximum- 1988 1907 1929
Minimum) WSR
File PBCA05.ASC V=3,5 mmi{ 2 R(0)=4,58 mm 2 R(0)=4,97 mm 2 R(0)=5,37 mm
Gemiddelde 152,0 143,0 122,5
WSR
Maximum WSR 1304 1330 1334
Minimum WSR -919 -1051 -1113
(Maximum- 2223 2381 2447
Minimum) WSR
File PBCA03.ASC.
V=3,5 mmi{ 2 R(0)=4,58 mm 2 R(0)=5,03 mm 2 R(0)=5,49 mm
Gemiddelde 176,4 162,9 160,4
WSR
Maximum WSR 1238 1276 1295
Minimum WSR -440 -670 -833
(Maximum- 1678 1946 2128
Minimum) WSR
87
Appendix C
De metingen die verricht zijn aan de elastische buis, zoals beschreven in
hoofdstuk 4, zijn gedaan m.b.v. zowel ultrageluid als laser Doppier
anemometrie [BHA 82]. Bij ultrageluid werd schuin van boven naar beneden
door het vertikale symmetrievlak van de buis een stromingsprotiel gemeten,
bij laser Doppier anemometrie door het horizontale symmetrievlak.
Aangezien de stroming in de buis niet geheel symmetrisch is kan een
directe vergelijking tussen beide meetmethoden niet plaatsvinden. Ook niet
op de as van de buis aangezien er bij ultrageluid schuin gemeten is, zodat
het midden van de buis zich hierbij niet op dezelfde axiale positie hoeft te
bevinden als bij de metingen met laser Doppier anemometrie. Wel kan, net
als bij de ultrageluidsmetingen, een vergelijking plaatsvinden tussen de
laser Doppier metingen en de voorspellingen van het in hoofdstuk 3
beschreven model voor de stroming van een Newtonse vloeistof door een
elastische buis. In deze appendix zullen de resultaten van de laser Doppier
metingen besproken worden (vergelijk met hoofdstuk 4).
In figuur A.1 is links de diameter en rechts de axiale snelheid op de as van
de buis weergegeven, zoals deze gemeten zijn met behulp van de laser
Doppier metingen.
: i' 'Î 18.8 ,....------,----~--------.
18.7
18.&
18.5
18.4
18.3
18.2 8
",.'"' ~~ ---
// 188
/ 1&8 /
/ 148
/ /
~-~ ~-
128
188 5 18 15 8
{~.;\ ~ i\.{cl ~ '-·
.._;
Figuur A. 1. Links: diameter, rechts: Axiale snelheid op de as
De weergegeven diameter is m.b.v. een beeldverwerkingssysteem
gemeten. Vergelijking met figuur 4.1 laat zien dat bij de ultrageluids-
58
88
metingen de begindiameter te hoog geschat is (ca. 1 mm). De snelheid op
de as ligt bij de laser Doppier metingen ca. 10% hoger dan bij de ultra
geluidsmetingen. Zoals gezegd kan dit verschil veroorzaakt worden door het
niet exact op dezelfde axiale positie meten met beide methodes. Het gehele
stromingsprotiel zoals dit gemeten is, is weergegeven in figuur A.2.
- ~ -;\k~:t ......
18 28 Figuur A.2. Het m.b.v. laser Doppier anemometrie gemeten stromingsprofiel.
De lijnen in het contourplaatje geven de volgende snelheden aan: -5, 0, 25,
50, 75, 100, 125, 150, 175 mm/s. Ook nu is er weer gedurende korte tijd
terugstroming te zien over een klein traject en is er weer een duidelijke
asymmetrie tussen voor en achter. Het met behulp van de, als functie van de
tijd, gemeten snelheid op de as en diameter berekende stromingsprotiel is
weergegeven in figuur A.3.
89
Net als bij de ultrageluidsmetingen is er op het eerste gezicht een goede
overeenkomst tussen gemeten en berekende stromingsprofielen. Om dit
nader te bekijken zijn in figuur A.4 11 stromingsprofielen op verschillende
tijdstippen in de cyclus te zien. Links de gemeten en rechts de berekende
waarden.
~-
.!)188
~ J58 ~ 8
_ _.Cl
-58L-------~------~------~ 18 28 38 8 18 28
;J~c::p~ -~ j.\eçk-::, Figuur A.4. Gemeten (links) en berekende (rechts) stromingsprotie/en
Op sommige tijdstippen is er een gat te zien in het gemeten stromingsprotiel
als gevolg van het wegvallen van een goed signaal. Dit wordt door de
berekeningen natuurlijk niet gereproduceerd. In figuur A.5 zijn de
verschillen tussen gemeten en berekende profielen weergegeven, links de
absolute verschillen (in mm/s), rechts de verschillen gedeeld door de
snelheid op de as (in procenten).
18
-. ~ 8 _;
~..;
·--18
~ ~-28
38
-48L-------~------~------~ -38 L...------'-____ ...._ ___ __,
8 18 28 38 8 18 28 31 a\,\~~~ v\i'<{)ie ~
Figuur A.S. Verschillen tussen gemeten en berekende stromingsprotie/en
-;.;::. 18
_.I
y
1 -r) 8
.:r. '-c ':: 1
,J. :....18
90
De verschillen liggen voor het grootste gedeelte weer in de grootte-orde van
ongeveer 10%. De asymmetrie van de gemeten profielen is in figuur A.6 te
zien.
15
'18 ~ ... ,, .... · y
5 ~ .) s: 8 ~ 57_5 ~ -18
-28~------~------~------~ -15~------~------~----8 18 38 8 18
Figuur A. 6. Asymmetrie van het gemeten stromingsprotiel
(links in mm/s, rechts in procenten van de snelheid op de as)
28
:j\Q~:
De asymmetrie van het gemeten stromingsprotiel is bij de laser Doppier
metingen iets kleiner dan bij de ultrageluidsmetingen. Dit komt wellicht door
het feit dat bij ultrageluid door een vertikaal vlak gemeten wordt en bij laser
Doppier door een horizontaal vlak. Ook nu blijkt dat de verschillen tussen
gemeten en berekende stromingsprofielen van ongeveer dezelfde grootte
orde zijn als de nauwkeurigheid waarmee gemeten wordt en de mate
waarin een goed symmetrisch profiel opgewekt kan worden.
In figuur A. 7 is de berekende wall shear rate en de berekende flow
weergegeven. Deze blijken van dezelfde grootte-orde te zijn als bij de
ultrageluidsmetingen. De absolute waarden van de wall shear rates liggen
bij de laser Doppier metingen iets hoger dan bij de ultrageluidsmetingen. Dit
wordt veroorzaakt doordat de begindiameter bij de laatste te laag geschat is.
91 .
158~----------~----------~ 35~----------~----------~
188 f-
-
-
-58L-------------~·------------~ 5 L--------------1'---------------.J 8 58 188 8 58
Figuur A. 7. Berekende wal/ shear rate en flow
De conclusie dat de grote verschillen tussen gemeten en berekende
stromingsprofielen in de carotis veroorzaakt worden door het niet geldig zijn
van een of meerdere van de gemaakte aannames in het rekenmodel blijft
gehandhaaft. De verschillen worden niet veroorzaakt door de meetmethode.
Resolutie beperkende voorwaarden zijn in het in vitro model minder
stringent doordat het model opgeschaald is (in het in vitro model is de
diameter drie tot vier maal groter dan in de carotis).
[BHA 82] B.K. Bharadvaj, R.F. Mabon, D.P. Giddens
Steady flow in a model of the human carotid bifurcation. Part 2 -
laser Doppier anemometer measurements
J. Biomechanics 15: 363-378, 1982
188