eindhoven university of technology master studie …studie van het dynamische model van een...

Eindhoven University of Technology

MASTER

Studie van het dynamische model van een rotatie-translatie robot

Bax, W.H.M.

Award date:1989

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

https://research.tue.nl/nl/studentthesis/studie-van-het-dynamische-model-van-een-rotatietranslatie-robot(4f2acca0-75c1-4de1-9f66-a14f1f70a7e4).html

Studie van het dynamische model

van een rotatie-translatie robot.

Afst udeerrapport WP A-{J787

W.H.M. Bax.

Eindhoven, augustus 1989.

Technische Universiteit Eindhoven, faculteit Werktuigbouwkunde

Begeleider: ir. P .C. Mulders.

Afstudeerhoogleraar: prof.dr.ir. J.E. Rooda.

SAHENVATTING.

Voor de vakgroep VPA op de TU-Eindhoven is door L. v. Bommel in 1984

een translatiemodule ontworpen. In 1988 is door G. Kreffer een

rotatiemodule ontworpen. De beide modules zijn gebouwd bij de C.T.D. en

samengevoegd tot een twee dimensionale robot (rotatie en translatie).

Om de robot goed te kunnen besturen wil men een adaptieve regeling

toepassen. Om een adaptieve regeling toe te kunnen passen moet er een

goed maar eenvoudig dynamisch model voor de robot beschikbaar zijn. Om

een goed eenvoudig model te verkrijgen wordt er eerst een ui tgebreid

dynamisch model gemaakt dat geverifieerd kan worden door middel van

modale analyse. Met dat model wordt een dynamische analyse uitgevoerd,

bestaande uit het bepalen van de eigenfrequenties, de

overdrachtsfuncties en de impulsresponsies. Rekening houdend met de

uitkomsten van de dynamische analyse en van de modale analyse kan het

dynamische model vereenvoudigd worden om toegepast te worden bij de

adaptieve regeling. In dit rapport wordt een uitgebreid dynamisch model

afgeleid en vervolgens een dynamische en een modale analyse van dat

model uitgevoerd. Uit de dynamische analyse blijkt dat de laagste

eigenfrequentie van de robot 15 -:- 20 Hz. is. Ui t de modale analyse

blijkt dat die frequentie ook inderdaad in het systeem voorkomt en

zelfs nog iets lager is. Daaruit voIgt dat het dynamische model de

werkelijkheid goed beschrijft voor de laagste eigenfrequentie. Omdat de

laagste eigenfrequentie het dynamische gedrag voor de robot in

belangrijke mate bepaald kan voor de adaptieve regeling uitgegaan

worden van een model met twee graden van vrijheid voor de rotatie en

met een graad van vrijheid voor de translatie. Door de modelparameters

van het vereenvoudigde model zo aan te passen dat de laagste

eigenwaarde voor iedere radiale positie van de robot arm zo goed

mogelijk overeenkomt met de gemeten eigenwaarden wordt een eenvoudig

dynamisch model verkregen dat de werkelijkheid goed beschrijft.

2

SYllBOLENLIJST.

x radiale positie

7 tangentiale positie

J~ massatraagheid van onderdeel i van de rotatiemodule

Jr massatraagheid van onderdeel i van de translatiemodule

mj massa van onderdeel i van de translatiemodule

'i hoekverdraaiing van onderdeel i van de rotatiemodule

;j hoekverdraaiing van onderdeel i van de translatiemodule

Si verplaatsing van onderdeel i van de translatiemodule

R torsiestijfheid tussen onderdeel i en j van de k- -1 J

rotatiemodule

T torsiestijfheid tussen onderdeel i j van de k- - en 1) translatiemodule

kij axiale stijfheid tussen onderdeel i en j van de translatiemodule

b!j materiaaldemping tussen onderdeel i en j van de rotatiemodule (t.g.v. torsie)

brj materiaaldemping tUBS en onderdeel i en j van de translatiemodule (t.g.v. torsie)

bij materiaaldemping tussen onderdeel i en j van de translatiemodule (t.g.v. axiale rek)

b! dempingsfactor van onderdeel i van de rotatiemodule

bt dempingsfactor van onderdeel i van de translatiemodule

bi dempingsfactor of materiaaldemping van onderdeel i van de translatiemodule

.R 1- -

1 1 overbrenging tussen onderdeel i en j van de rotatiemodule

.T 1 spindel-moer overbrenging van translatiemodule

R rendement van overbrenging .R '7i i 1- -I]

'7T rendement van overbrenging .T

1

TJ!. 1 uitwendig koppel op onderdeel i van de rotatiemodule

Tt uitwendig koppel op onderdeel i van de translatiemodule

3

[ m. ]

[rad.]

[kgm~]

[kgm~]

[ kg.]

[rad. ]

[rad. ]

[ m. ]

1m [rad' ]

[ !!. ] m

[Nms .] rad

[ NS.] m

[Nms .] rad

[Nms .] rad

[ NS.) m

[ - ]

m [rad .J

[ - )

[ - ]

[ Nm.]

[ Nm.]

OPDRACHTOKSCHRIJVING

SAKENVATTING

SYKBOLENLIJST

1. INLEIDING

INBOUDSOPGAVE.

2. KECHANISCBE CONSTRUCTIE VAN DE ROBOT

3. DYNAMISCHE ANALYSE VAN DE ROBOT

3.1. Deelmodel voor de radiale richting

3.2. Deelmodel voor de tangentiale richting

2

3

4

6

7

15

15

17

3.3. Bepaling van de gelineariseerde toestandsvergelijkingen 19

3.4. Resultaten van de dynamische analyse 24

4. VERIFICATIE VAN HET MODEL 26

5. VEREENVOUDIGING VAN HET KODEL 29

6. CONCLUSIE 32

LITERATUUR 33

BIJLAGEN 34

Bijlage 1. Kodelparameters 35

1.1. Kodelparameters voor de radiale richting 35

1.2. Kodelparameters voor de tangentiale richting 37

Bijlage 2. Bepaling van de lineaire toestandsvergelijkingen 40

2.1. Niet-lineaire bewegingsvergelijkingen 40

2.2. Niet-lineaire toestandsvergelijkingen 49

2.3. Gelineariseerde toestandsvergelijkingen 52

Bijlage 3. Resultaten van de dynamische analyse 61

3.1. Eigenfrequenties 61

3.2. Eigenvector horend bij laagste eigenfrequentie 62

3.3. Overdrachtsfuncties 64

3.4. Impulsresponsies 77

4

Bijlage 4. Resultaten van de modale analyse 90

4.1. Toestandsvergelijkingen van het complete model 90

4.2. Berekende eigenwaarden 92

4.3. Gemeten eigenwaarden 93

4.4. Berekende overdrachtsfuncties 94

4.5. Gemeten overdrachtsfuncties 101

Bijlage 5. Het vereenvoudigde model 114

5.1. Afleiding van de niet-lineaire bewegingsvergelijkingen 114

5.2. Afieiding van de lineaire toestandsvergelijkingen 116

5.3. Bepaling van de modelparameters 120

5.4. Aanpassen van de modelparameters 123

5.5. Overdrachtsfuncties 124

5.6. Impulsresponsies 134

5

1. ItfLEIDltfG.

Door L. v. Bommel en G. Kreffer is een tweedimensionale robot ontwopen

voor de vakgroep W.P.A. Om die robot goed te kunnen besturen wil men

een adaptieve regeling toepassen. Daarvoor is het noodzakelijk een

eenvoudig dynamisch model van de robot te hebben. Bet afleiden van een

dynamisch model dat te gebruiken is voor een adaptieve regeling is

onder te verde len in drie stadia:

afleiding van een uitgebreid dynamisch model ten behoeve van de

dynamische analyse (bepalen van: * eigenfrequenties

* overdrachtsfuncties

* impulsresponsies).

verificatie van bet aode1 door middel van modale analyse (eventueel

modelparameters aanpassen om het model beter met de werkelijkheid overeen te laten komen).

vereenvoudiging van het uitgebreide model om een model te

verkrijgen dat toe te passen is bij de adaptieve regeling (rekening

houdend met de uitkomsten van de dynamische analyse).

In dit rapport wordt eerst een uitgebreid model afgeleid, waarop

vervolgens een dynamisch analyse is uitgevoerd en dat is geverifieerd

met behulp van modale analyse. Daarna wordt het model vereenvoudigd en

worden de parameters van het vereenvoudigde model aangepast om de

eigenwaarden van het model zo goed mogelijk overeen te Iaten komen met

de gemeten eigenwaarden.

6

2. K!CBANISCBE CONSTRUCTI! VAN D! ROBOT.

De robot bestaat uit een translatiegedeelte geplaatst boven op een

rotatiegedeelte (Fig. 1). De robot heeft dus twee graden van vrijheid.

Bet transiatiegedeelte is ontworpen door L. v. BOHel ([Lit. 1]) en vervolgens gebruikt en getest als Iineaire robotarm met een graad van

vrijheid. Later is door G. Kreffer een rotatiemodule ontworpen

([Lit. 2]) om een twee-dimensionale robot te verkrijgen.

u u

Fig. 1. Zijaanzicht van de robot.

De rotatiemodule bestaat uit een motor die via een vier traps

tandwieloverbrenging een draaiplateau laat roteren (Fig. 2 en 3). Om

speling te voorkomen zijn de tandwielen gedeeld en voorgespannen door

middel van torsieveren. Als Iagering voor het draaiplateau is een

draadlager toegepast dat zeer stijf is in radiale richting (~ 8*108 !. m

[Lit. 2]). Bet meetsysteem voor de rotatie is een direct incrementeel

meetsysteem. Bet bestaat uit een flexibele meetband, die direct om het

draaiplateau gespannen is, en die beweegt langs een vast opgestelde

optische meetkop. Het oplossend vermogen bedraagt ongeveer 3,1*10-4 0

( [Li t. 2]).

7

Fig. 2. Doorsnede A-A van de rotatiemodule (zie fig. 1).

8

I~ i

I: I l i '-,1

I : . I i I

; I I! I . , , : :

. !

I I

rig. 3. Doorsnede B-B van de robot (zie fig. 2).

9

De lineaire robotarm bestaat uit een translerend gedeelte (arm, motor,

motorstoel, spindel, meetlineaal en last) en een vast gedeelte

(lagerhuis, grondplaat, kogelomloopmoer (met steun) en meetkop) (Fig. 3

en 4). Het translerende gedeelte wordt aangedreven via een spindel met

kogelomloopmoer. Om speling te voorkomen en om de axiale stijfheid van

de spindel te vergroten is de spindel voorgespannen met behulp van een

schotelveer. De positie wordt bepaald .et een direct incrementeel

meetsysteem, bestaande uit een meetlineaal die langs een optische

meetkop beweegt. Het oplossend vermogen bedraagt 0,01 mm. ([Lit. 1]).

56 57

Fig. 4. Langsdoorsnede van de lineaire robotarm.

In de figuren 2, 3, 4 en 5 worden de belangrijkste onderdelen

aangegeven met een nummer. Een korte omschrijving van die onderdelen

wordt gegeven in tabel 1.

10

Nr. Rotatiemodule 38. Lagerhuis met afdichting r--4r-------------------------~ 39. Lagerhuis met afdichting

1. Draaitafelhuis met onderplaat 40. Lagerdeksel met afdichting 2. Draaiplateau 41. Lagerdeksel met afdichting 3. Gelijkstroommotor met 42. Lagerdeksel met afdichting

tachogenerator 43. Hoekmeetsysteem 4. Tandkrans (tandwiel 4; z=136) 44. Ring voor meetband 5. Draadlager 45. Pulsgever 6. Bovenste lagerring 46. Koppeling 7. Onderste lagerring 47. Eindschakelaar (microswitch) 8. Versteviging (T-profiel; 2*) 48. Bevestigingsplaat 9. Afdichtingsring eindschakelaar

10. Tussenplaat 49. Steun (12*) 11. Tussenplaat 50. Beschermkap 12. Tussenplaat 51. Keetkop 13. Bovenplaat 52. Bevestigingsplaat meetkop 14. Topplaat 53. Hall-effect schakelaar (2*) 15. Montageflens 54. Eindpositiegever (magneet; 2*) 16. montagedeksel 55. Aanslag eindschakelaar (2*) 17. Afstandblok (15*) ~ 18. As (as 3.> Translatiemodule I

19. Gedeeld tandwiel -----------------------------1 (tandwiel 3.2; z=23) . Armprofiel

20. Tussenbus (bus 3.) • Spindel (spoed: 25 mm.) 21. Torsieveer (torsieveer 3.) 58. Kogelomloopmoer 22. Gedeeld tandwiel 59. Lagerhuis

(tandwiel 3.1; z=83) 60. Grondplaat 23. Hoekcontactlager (2*) 61. Achterste kopplaat

[ - boven: lager 3.2.J 62. Voorste kopplaat - onder: lager 3.1. 63. Hoekcontactlager (2*)

24. As met ronsel 64. Hoekcontactlager (2*) (as 2. en tandwiel 2.2; z=23) 65. Lagerspanplaat

25. Contraschijf (contraschijf 2.> 66. Schotelveer 26. Tussenbus (bus 2.) 67. Bevestigingsplaat last 27. Torsieveer (torsieveer 2.) 68. Steun kogelomloopmoer 28. Gedeeld tandwiel 69. Roibiok

(tandwiel 2.1; z=83) 70. Trekspie 29. Hoekcontactlager (2*) 71. Geleidingsprofiel

[ - boven: lager 2.2'J 72. GeIijkstroommotor met - onder: lager 2.1. tachogenerator

30. As met ronsel 73. Kotorstoel (as 1. en tandwiel 1.1; z=21) 74. Koppeling

31. Contraschijf (contraschijf 1.) 75. Keetlineaal 32. Tussenbus (bus 1.) 76. Keetkop 33. Torsieveer (torsieveer 1.> 77. Bevestigingsplaat meetkop 34. Gedeeld tandwiel 78. Klemplaat meetkop

(tandwiel 2.2; z=45) 79. Hall-effect schakelaar (2*) 35. Hoekcontactlager (2*) 80. Eindpositiegever (magneet; 2*)

[ - boven: lager 1.2'J 81. Eindschakelaar (microswitch) - onder: lager 1.1. 82. Bevestigingsplaat

36. Ronsel (tandwiel 0; z=21) eindschakelaar 37. Lagerhuis met afdichting 83. Aanslag eindschakelaar (2*)

Tabel 1. Onderdelen van de robot.

11

De specificaties van de lineaire robot arm zijn ([Lit. 1]):

De

- maximale verplaatsing: 0,635 m.

- maximale snelheid 1,0 m 8'

- maximale versnelling 10,0 m 82 '

- maximale lastmassa 50 kg.

- een spindel-moer overbrenging.

- een gelijkstroommotor als aandrijving.

- een lineair meetsysteem met een oplossend vermogen van 0,01 mm.

- een spelingvrije overbrenging.

specificaties van de rotatiemodule zijn ([Lit. 2]) :

- maximale hoekverdraaiing: ., rad •

- maximale hoeksnelheid ., rad 2" - . s

- maximale hoekversnelling: 7r rad 2" -::"Ir •

s~

- dezelfde gelijkstroommotor als bij de lineaire robotarm.

- een hoekmeetsysteem, dusdanig dat voor de grootste

ui tsteeklengte van de lineaire robotarm de posi tie aan het

uiteinde van de arm op 0,01 mm. te bepalen is.

- een spelingvrije overbrenging.

- een zo laag mogelijke modulehoogte.

Om het dynamisch gedrag van de robot te kunnen onderzoeken wordt er een

tweedimensionaal assenstelsel aangenomen (Fig. 5), met als coordinaten:

- 7 : hoekverdraaiing van de arm.

- x afstand tussen de rotatieas en bet midden van het

armprofiel.

De twee coordinaten worden in hun grootte beperkt door Ball-effect

eindschakelaars. De Hall-effect schakelaars worden geactiveerd door het

magnetisch veld van kleine magneetjes die geplaatst zijn op de robotarm

en op het draaiplateau.

12

Fig. 5. Bovenaanzicbt van de robot (zonder bescbermkap).

De Hall-effect eindscbakelaars zijn op interruptbasis met de

micro~omputer gekoppeld, die voor de besturing van de robot zorgt. Door

een tegenspanning naar de motor te sturen als een interrupt van een

eindscbakelaar binnenkomt, gaat de motor als actieve rem werken,

waardoor een korte remweg verkregen wordt. Ter extra beveiliging is er

nog zowel voor de translatie als voor de rotatie een mecbanische

scbakelaar (microswitch) voorzien die de bijbehorende motor uitzet als een van de Hall-effect scbakelaars niet gefunctioneerd beeft. Omdat

deze mechanische scbakelaars recbtstreeks op de versterkers van de motoren aangesloten zijn is bet niet mogelijk een tegenspanning naar de

motor te sturen. De remweg is dan dus langer.

13

Rekening houdend met de remweg is de radiale slag van de robot arm door

de Hall-effect schakelaars beperkt tot:

-0,270 ~ x ~ 0,365 m.

De tangentiale slag van de robot arm is door de Ball-effect schakelaars

beperkt tot:

o ~ 1 ~ ~ rad.

14

3. DYNAKISCHE ANALYSE VAN DE ROBOT.

Het dynamisch model van de robot bestaat uit twee gekoppelde

deelmodellen (Fig. 6). Er is een deelmodel voor de radiale riehting

(translatie) en er is een deelmodel voor de tangentiale richting

(rotatie). Bet model voor de rotatie is gekoppeld met het model voor de

translatie door de optredende eentrifugaal- en eorioliskrachten.

3.1. Deelmodel voor de radiale richtinq.

Omdat het toegepaste naaldlager in radiale richting zeer stijf is

(~ 8*10 8 ~. [Lit. 2]) en omdat het huis van de rotatiemodule eveneens zeer stijf is (~ 2,2*10 12 !. [Lit. 2]), is het deelmodel voor de m radiale richting gebaseerd op het model van de lineaire robotarm dat in

[Lit. 1] gepresenteerd is. Om dit deelmodel beter de werkelijkheid te

laten representeren is er een extra vrijheidsgraad toegevoegd, waardoor

een beweging als star lichaam mogelijk wordt. Bovendien. wordt het

rendement van de voorgespannen spindel-moer overbrenging meegenomen in

het model en krijgt de tachogenerator een aparte vrijheidsgraad, zodat

de tachogenerator kan bewegen ten opziehte van de motor. Deze

uitbreidingen leveren een deelmodel met 5 vrijheidsgraden op. De

verschillende modelparameters hebben de volgende betekenis:

J& massatraagheid van de tacho.

Jr massatraagheid van de motor, de helft van het gedeelte van

de spindel tussen motor en moer en de koppeling.

Ji massatraagheid van het resterende deel van de spindel.

mo massa van de moer, de steun en de helft van het lagerhuis. ml massa van het deel van de spindel dat niet bij m2 hoort.

m2 massa van de helft van het gedeelte van de spindel tussen de

achterste lagering en de moer, de motor met tachogenerator,

de motorstoel, de meetlineaal, het armprofiel met

geleidingen, de kopplaten, de spindeluiteinden, de

koppeling, de bevestigingsplaat (voor de last) en de last.

k&' I: torsiestijfheid van de as tussen de motor en de

tachogenerator.

15

J~ J~

..., ..... cQ . 0'\

t:1 ~ :;:1 I» a ..... III ..... n

0'\ :::r-a 0 P-ro I-'

< I» :;:1

P-ro t1 0 tT 0

"" .

i-.-R--j

J~ I 123 , kR. I R I

~_1]..2 •. L.! 34

ROTA TIE •

. R. ~4::145~5

)')

J~ '-.-R-:--j I 145 I

I R I

~_'L4J'L1

JR 5

TRANSLATIE .

-- ,Yj 1 ,

TI ~ __ 1Ll

R k56

.R ~6::1 Ii 7~7

'),

J!

j-.Y-j I 167 I I R I

~_1]_6Ll

T T T b o b l b.) b"

7~77777~77777~~7777777777777777777777~~

J~' R k78

.R ¥18=18 9~!i

')')

J~ '-.-R--j I 189 , I R. I

~_1]_8_9_1

q ::

J~

~o

~t

~3

~5

V'7

'1

"0 ."

"2 S I

X

kT 2: torsiestijfheid van het gedeelte van de spindel tussen de

motor en de moer.

ko: axiale stijfheid van het lagerhuis.

i 12 : axiale stijfheid van het gedeelte van de spindel tussen de

motor en de moer.

b~ dempingsfactor van de taehogenerator.

bi dempingsfactor van de motor.

b~ dempingsfaetor van de moer.

b2 dempingsfactor van de rolbloiken. T • d bo 1 • materiaaldemping van de as tussen de motor en e

tachogenerator (t.g.v. torsie). T b12: materiaaldemping van de spindel (t.g.v. torsie).

bo: materiaaldemping van het lagerhuis (t.g.v. axiale rek).

b 12 : materiaaldemping van de spindel (t.g.v axiale rei).

iT overbrengverhouding van de spindel-moer overbrenging.

~T rendement van de voorgespannen spindel-moer overbrenging.

JL JI I m I' m2' iT 2 en It 12 hangen at van de radiale posi tie van de linea ire robotarm: x{t). De massa's en de massatraagheden van de

bewegende delen van de lineaire robot arm zijn voor een dee I afgeleid

ui t de afmetingen van die onderdelen en voor de rest overgenomen ui t

[Lit. 1] (Bijlage 1.1.1.). De waarden voor de overige modelparameters

zijn gedeeltelijlt geschat en gedeelteliji overgenomen uit [Lit. 1]

(Bijlage 1.1.2.).

3.2. Deelmodel voor de tanqentiale richtinq.

Bet deelmodel voor de tangentiale richting is gebaseerd op het in

[Lit. 21 voorgestelde model, omdat de lineaire robot arm en de lagering

met rolblokken zeer stijf is in tangentiale richting ([Lit. 1]). Om ook

dit deelmodel beter met de werielijiheid overeen te laten komen is er

een vrijheidsgraad toegevoegd voor de tachogenerator en is de beweging

als star lichaam mogelijk gemaait. Tevens zijn de rendementen van de

voorgespannen tandwieloverbrengingen meegenomen. Dat leidt tot een

deelmodel met 6 graden van vrijheid.

17

De betekenis van de verschillende modelparameters voor dit deelmodel is

als voIgt:

J~ J~ J~ . .

J~

J~

J~

J~

J~

J:

J~

kR • (\ J •

R k12 : It

k S4 : Jt

kS6: R

k7S:

b~ b~ b~ b~ b~ b~ b:

b~ b:

b~

massatraagheid van de tachogenerator.

massatraagheid van de motor zonder de halve motoras.

massatraagheid van tandwiel 0., de balve motoras, de

koppeling en de pulsgever.

massatraagheid van tandwiel 1.2. en het bovenste deel van

as 1. met contraschijf 1., torsieveer 1. en bus 1.

massatraagheid van tandwiel 1.1. en het onderste deel van


massatraagheid van tandwiel 2.1. en bet onderste deel van


massatraagheid van tandwiel 2.2. en bet bovenste deel van


massatraagheid van tandwiel 3.1. en het onderste deel van

as 3. met torsieveer 3. en bus 3.

massatraagheid van tandwiel 3.2. en het bovenste deel van

as 3. met torsieveer 3. en bus 3.

massatraagheid van tandwiel 4., draaiplateau, ring voor

meetband, beschermkap en van de lineaire robotarm met last

(afhankelijk van de radiale positie x(t». torsiestijfheid van de as tussen de motor en de

tachogenerator.

torsiestijfheid van as 0 (motoras).

torsiestijfheid van as 1.

torsiestijfheid van as 2.

torsiestijfheid van as 3. dempingsfactor van de tachogenerator.

dempingsfactor van de motor.

dempingsfactor van de pulsgever.

dempingsfactor van lager 1.1.




dempingsfactor van lager 3.t. dempingsfactor van lager 3.2.

deapingsfactor van bet draadlager van het draaiplateau.

18

R materiaaldemping bol : van de as tussen de motor en de

tachogenerator (t.g.v. torsie) . R materiaaldemping (t.g.v. torsie) . b 12: van as 0 R materiaaldemping (t.g.v. torsie) • b34 : van as 1 R •

b56 • materiaaldemping van as 2 (t.g.v. torsie) • R materiaaldemping (t.g.v. torsie) • b78: van as 3

.R 123: overbrengverhouding tussen tandwiel o. en tandwiel 1.2. .R 145: overbrengverhouding tussen tandwiel 1.1. en tandwiel 2.1. .R 167: overbrengverhouding tussen tandwiel 2.2. en tandwiel 3.1. .R overbrengverhouding tussen tandwiel 3.2. tandwiel 4. 189: en R

'123: rendement van de overbrenging tussen tandwiel O. en 1.2. R

'145: rendement van de overbrenging tussen tandwiel 1.1. en 2.1. R. rendement de overbrenging 1767: van tussen tandwiel 2.2. en 3.1. R rendement de overbrenging tussen tandwiel 3.2. 4. 1789: van en

De meeste roterende delen van de rotatiemodule zijn voor de montage

gewogen. Uit de massa's en de afmetingen van die onderdelen zijn de

massatraagheden bepaald (Bijlage 1.2.1.). In bijlage 1.2.2. is het

massatraagheidsmoment om de rotatieas van de lineaire robot arm

afgeleid, terwij1 de waarden van de overige modelparameters geschat

zijn of overgenomen uit [Lit. 2] (Bijlage 1.2.3.).

3.3. Bepalinq van de qelineariseerde toestandsverqelijkinqen.

Het in de vorige paragrafen gepresenteerde dynamische model heeft 11

graden van vrijheid:

De bewegingsvergelijkingen van bet model zijn te bepalen met behulp van

de vergelijkingen van Lagrange.

19

De vergelijkingen van Lagrange hebben in het algemeen de volgende vorm:

q =

. .

kinetische energie

potentiele energie

( 3.1.)

niet van een potentiaal af te leiden gegeneraliseerde krachten

8Ekin 8Ekin 8E pot

Sq. 8q I Sql

8Ekin 8Ekin 8Epot

8q2 8q2 8q2

Ek · • = Ekin,q = Epo t,q = In,q

8Ekin 8Ekin 8E pot

8qn 8qn 8qn

De vergelijkingen van Lagrange vormen voor het model van de robot een

stelsel van 11 2de-orde gekoppelde differentiaalvergelijkingen die niet

allemaal lineair zijn (Bijlage 2.1.).

20

Na lineariseren kunnen de differentiaalvergelijkingen in matrixnotatie

geschreven worden:

M • q + C * q + K * q = f ( 3.2.>

M massamatrix (11 * 11)

C dempingsmatrix (11 * 11)

K stijfheidsmatrix (11 * 11)

f uitwendige krachten (11 * 1 )

De niet-gelineariseerde differentiaalvergelijkingen kunnen omgeschreven

worden in toestandsvergelijkingen in differentiaalvorm:

x(t) = f (x(t) ,u(t) ,t) ( 3.3.)

met bijbehorende uitgangsvergelijkingen in differentiaalvorm:

x(t) toestandsvector

y(t) uitgangsvector

y (t) = g (x (t) , u (t) , t)

f, g vectoriele functies van hun argumenten

u(t) ingangsvector

t tijd

. (3.4.)

Vergelijkingen 3.3. en 3.4. zijn de systeemvergelijkingen van de robot.

Om deze systeemvergelijkingen te bepalen wordt de volgende

toestandsveetor aangenomen:

x =

21

Vergelijking 3.1. omgeschreven naar toestandsvergelijking 3.3. leidt

tot een stelsel van 22 l e -orde differentiaalvergelijkingen in de

toestand (niet-lineair) (Bijlage 2.2.>. Om deze vergelijkingen te

lineariseren wordt verondersteld dat het systeem slechts kleine

afwijkingen (perturbaties) rond een nominale trajectorie en

bijbehorende nominale ingang vertoont. Dit betekent dat de

begintoestand ~(to) en het ingangssignaal ~(t) slechts weinig afwijken

van de nominale begintoestand ~o(to) en het nominale ingangsignaal

uo(t):

u(t) = uo(t) + u(t), toS t S te ( 3.5.)

( 3.6.)

u(t) : perturbatie in de ingang.

~(to): perturbatie in de begintoestand.

De als gevolg van de perturbaties in de begintoestand en in het

ingangssignaal optredende toestand x(t) zal ook een kleine afwijking

vertonen ten opzichte van de nominale trajectorie:

x(t) = xo(t) + x(t), to~ t ~ te ( 3.1.)

x(t) perturbatie in de toestand.

22

Substi tutie van vergelijkingen 3.5. en 3.1. in toestandsvergelijking

3.3. levert na een taylorreeksontwikkeling rondom ~o(t) en ~o(t) en na

aftrekking van de toestandsvergelijking voor de nominale trajectorie de

toestandsvergelijking met betrekking tot de perturbaties ~(t) en ~(t):

. itt} = Jfx(~O(t},~o(t},t} * itt) + Jfu(~O(t),~o(t},t) * ~(t) 3.S.}

af J fx = - =

ax

af I af 1

ax 1 8x2

af 2 8t 2

8t J fu =-=-=

au

at 1 af,

au, 8u2 8t 2 8f 2

Substitutie van de nominale trajectorie xo(t} en de nominale ingang

~I)(t) in de Jacobimatrices Jfx en J fu doet deze resulteren in de

matrices A(t) en B(t). Daaruit voIgt de gelineariseerde

toestandsvergelijking bestaande uit een stelsel van 22 lineaire

differentiaalvergelijkingen (Bijlage 2.3.):

. itt) = A(t) * x(t) + B(t} * u{t) ( 3.9.)

A(t) Jfx(~O(t) '';o(t) ,t).

B(t) Jfu(~O(t) '';o(t) ,t).

23

De samenhang tussen vergelijking 3.9. en vergelijking 3.2. wordt

duidelijk door vergelijking 3.2. te herschrijven als:

(ei] (0 I] (q] [0] - = -I -I 1< - + -I 1< f ~ -K C -K K ~ -K

o nulmatrix (11 1< 11)

I eenheidsmatrix (11 1< 11)

( 3.10.)

Omdat uitgangsvergelijking 3.4. line air is, is die meteen in

matrixnotatie te schrijven:

yet) = C(t) 1< itt) + D(t) .. \itt) ( 3.11.)

3.4. Resuitaten van de dynamische analyse.

Om het dynamisch gedrag van de robot te onderzoeken zijn van de in de

vorige paragraaf bepaalde toestandsvergelijkingen de eigenfreqenties

bepaald. Dit komt neer op het bepalen van de eigenwaarden van

systeemmatrix A(t). Omdat zowel stijfheden als dempingen in het model

zijn meegenomen, zullen de eigenwaarden voorkomen in complex

geconjugeerde paren. Omdat voor beide bewegingsriehtingen een beweging

als star lichaam mogelijk is, zullen er 4 eigenwaarden voorkomen met

een imaginair dee I dat gelijk is aan 0 (eigenfrequentie van 0 Hz.).

Deze eigenwaarden zijn voor de dynamische analyse verder ~iet van

belang. Er blijven dUs 18 verschi11ende eomp1exe eigenwaarden over in 9

paren. Dat wi1 zeggen dat er 9 verschillende eigenfrequenties voorkomen

die van belang zijn. sommige van deze eigenfrequenties blijken

afhankelijk te zijn van de radiale coordinaat x(t) en van de lastmassa

mL

(Bijlage 3.1.), De nominale rotatie- en translatiesnelheid blijken

zo goed als geen inv10ed te bebben op de eigenfrequenties. Omdat de

laagste eigenfrequentie het belangrijkste is voor de dynamische

analyse, wordt de bij die eigenfrequentie borende eigenveetor bekeken.

Bij die eigenfrequentie ( ~ 17 Hz.) blijkt aIleen de rotatiemodule te bewegen. Door de vrijheidsgraden van de rotatiemodule naar de motoras

te transformeren is het mogelijk de relatieve verplaatsingen van de

vrijheidsgraden te vergelijken.

24

Tussen ~7 en 1 blijkt de grootste verplaatsing op te treden. Door de

stijfheid van de as tussen '7 en 1 ( k~8) te vergroten zal de laagste

eigenfrequentie hoger worden (= 35 Hz. bij een 10 keer zo grote

stijfheid). De laagste eigenfrequentie zou veel hoger worden

( = 429 Hz.) als alle stij fheden getransformeerd naar de motoras in

dezelfde ordegrootte als de stijfheid van de motoras zouden liggen (Bijlage 3.2.).

Tevens zijn met bebulp van de toestandsvergelijkingen

overdrachtsfuncties en impulsresponsies bepaald bij verschillende

nominale trajectorien. De overdrachtsfuncties en impulsresponsies zijn

bepaald met all ingang het motor koppel van beurtelings de rotatiemodule

en de translatiemodule. A1s uitgang is zowel de radiale als de

tangentiale positie gebruikt (x(t) en 1(t». De resultaten hiervan zijn

weergegeven in bijlage 3.3. en bijlage 3.4. Hoevel de demping van de

robot gering is blijkt uit de impulsresponsies dat er bijna geen

overshoot optreedt. De translatiemodule blijkt sterker gedempt te zijn

dan de rotatiemodule. De rotatiemodule trilt daardoor heftiger maar

bereikt wei eerder de eindstand.

25

4. Verificatie van het model.

Om het dynamische model van de robot te verifieren is gebruik gemaakt

van modale analyse apparatuur. Met die apparatuur is bet mogelijk de

overdrachtsfuncties van een systeem te met en en daaruit de complexe

eigenwaarden te bepalen. lIs exitator voor de robot werd beurtelings de

gelijkstroommotor van de rotatiemodule en van de translatiemodule

gebruikt door witte ruis (pseudo random ruis) als ingangssignaal voor de bijbehorende motorversterkers te gebruiken. Als uitgangssignaal is

bet signaal van een voor op de robot arm gemonteerde versnellingsopnemer

gebruikt. Door beide signalen toe te voeren aan de modale analyse

apparatuur kan de overdrachtsfunctie worden bepaald. Tevens wordt dan

de coherentiefunctie bepaald die aangeeft in welke mate het

uitgangssignaal veroorzaakt wordt door het ingangssignaal. Als de

coherentie slecht is wordt het uitgangssignaal v~~r een deel

veroorzaakt door ext erne storingsbronnen en niet-lineariteiten in het

systeem. In de gemeten overdrachtsfuncties zijn diverse

resonantiepieken zichtbaar. De bij deze resonanties horende

eigenwaarden kunnen eveneens door de modale analyse apparatuur bepaald

worden door curve fitting. In bijlagen 4.3. en 4.5 zijn de resultaten

van de metingen aangegeven voor verschillende posities van de robotarm.

Omdat alleen lagere frequenties interessant zijn voor de dynamische

analyse is er gemeten tot 800 [Hz.]. De gebruikte versnellingsopnemer

is speciaal ontworpen voor lagere frequenties en werkt via het

piezo-electrisch principe. Om de eigenwaarden nauwkeurig te kunnen

bepalen zijn er overdrachtsfuncties bepaald voor kleinere

frequentiegebieden. Omdat de rotatiemodule een gesloten constructie is

is het niet mogelijk ander vrijheidsgraden te meten dan 7. Daarom zijn

aIleen de overdrachtsfuncties naar de vrijheidsgraden x en 7 gemeten.

Om de berekende overdrachtsfuncties te kunnen vergelijken met de

gemeten overdrachtsfuncties moeten de in bijlage 5.2. afgeleide

gelineariseerde toestandsvergelijkingen uitgebreid worden met

differentiaalvergelijkingen die het dynamisch gedrag van de

gelijkstroommotoren en de bijbehorende versterkers beschrijven.

26

Deze vergelijkingen worden rechtstreeks overgenomen uit [Lit. 2], onder

verwaarlozing van het spanningsverlies in de motorborstels en de offset

spanning van de versterkers:

K~ = - - lit

Ra

Ta(t): motor koppel

Ke : motorconstante

Ra ankerweerstand

;m(t}: motortoerental

Kv versterkingsfactor

ui (t): ingangsspanning

Kv*Ke f,m(t) + -- * ui (t)

Ra

[ Mm.]

[Vs/rad. ] [ Q. ]

[rad/s.]

[ - ]

[ V. ]

( 4.1.)

In bijlage 4.1. zijn de lineaire toestandsvergelijkingen voor het

complete model afgeleid. Olldat bij de metingen met de modale analyse

apparatuur niet de verplaatsing maar de versnelling gemeten wordt moet

voor de berekende overdrachtsfuncties de matrix C(t) van v~rgelijking

3.11. aangepast worden zodat de versnelling uitgangsssignaal is

(Bij lage 4.1.). Omdat bij de modale analyse allen gemeten kon worden

met nominale snelheden gelijk aan nul, zijn de twee deelmodellen

waaruit het dynamisch Ilodel bestaat niet gekoppeld. In bijlage 4.4.

zijn daarom de overdrachtsfuncties naar de versnelling apart

weergegeven woor de rotatie en de translatie. In bijlage 4.2. zijn de

berekende complexe eigenwaarden gesplitst naar de rotatie en de

translatie weergegeven.

In bijlage 4.3. en bijlage 4.5. zijn respectievelijk de gemeten

complexe eigenwaarden en de gemeten overdrachtsfuncties weergegeven.

Vergelijking van de gemeten overdrachtsfuncties met de berekende

overdrachtsfuncties toont aan dat niet aIle resonantiepieken bij

dezelfde frequenties optreden en dat er meer pieken optreden bij de

gemeten overdrachtsfuncties. Voor de belangrijke laagste

eigenfrequenties komen de overdrachtsfuncties echter goed overeen.

27

De gemeten en de berekende laagste eigenfrequenties liggen in dezelfde orde van grootte:

- rotatie: * gemeten :

* berekend:

- translatie: * gemeten :

* berekend:

f = 11 ~ 13 Hz.

f = 18 ~ 20 Hz.

f = 95 f 99 Hz.

f ~ 110 f134 Hz.

28

5. Vereenvoudiaina van het model.

Om een adaptieve regelwet toe te kunnen passen voor de robot is het

noodzakelijk dat er een eenvoudig dynamisch model beschikbaar is dat

niettemin het dynamisch gedrag van de robot goed beschrijft. Uit de

modale analyse (hoofdstuk 4.) blijkt dat de rotatiemoduh de laagste

eigenfreqentie vertoont ( ~ 11 Hz.). Daarom wordt voor de rotatiemodule

een dynamisch model aangenomen dat twee graden van vrijheid heeft r

(fig. 7). J 1 hangt daarbij af van de radiale positie van de robotarm:

x (t). Omdat de laagste eigenfrequentie van de translatiemodule veel

hoger ligt ( ~ 95 Hz.) wordt voor de translatiemodule een dynamisch

model met een graad van vrijheid aangenomen (fig. 7).

Rotatie. Translatie.

Fig. 7. Vereenvoudigd dynamisch model.

Het totale vereenvoudigde model voor de robot bezit dus 3 graden van

vrijheid:

qT = [ 70 71 X ]

Het behulp van de vergelijkingen van Lagrange zijn de 3

bewegingsvergelijkingen te bepalen (Bijlage 5.1.).

29

Deze niet-lineaire bewegingsvergelijkingen kunnen weer omgeschreven

worden naar lineaire toestandsvergelijkingen door als toestandsvector

aan te nemen:

en de daaruit af te leiden niet-lineaire toestandsvergelijkingen te

lineariseren rond een nominale trajectorie. Daaruit volgen dan 6

lineaire toestandsvergelijkingen van de robot ( Bijlage 5.2.).

Om de modelparameters van het vereenvoudigde model te bepalen wordt er

uitgegaan van het in hoofdstuk 3 gepresenteerde uitgebreide model. Door

aIle stijfheden en materiaaldempingen te transformeren naar de

uitgaande as blijft er een model met 3 vrijheidsgraden over (Fig. 8.)

dat gelijkgesteld wordt aan het vereenvoudigde model (Fig. 1.>.

Daaruit volgen dan de waarden voor de modelparameters van het

vereenvoudigde dynamische model (Bijlage 5.3.). Om het vereenvoudigde

model te kunnen gebruiken voor de regeling van de robot en om de

eigenwaarden te kunnen vergelijken met de gemeten eigenwaarden worden

de differentiaalvergelijkingen voor de gelijkstroommotoren en

versterkers {vgl. 4.1.} toegevoegd aan het model (Bijlage 5.4.).

Om de eigenfrequentie van het eenvoudige model voor de rotatiemodule

overeen te laten komen met de gemeten laagste eigenfrequentie voor

iedere radiale positie van de robotarm, worden verschillende

modelparameters aangepast. Tevens worden verschillende dempingen

aangepast om de reele delen van de eigenwaarden zo goed mogelijk

overeen te laten komen (Bijlage s.4.).

30

Rotatie.

.R. .R .R .R. 1231 451 671 89'70

.R . R. . R 1451 671 8910

T~

»

B. R 0+JI+J2

»

j-.Y-i j-.Y-j I 1:13 I R I 145 I I R I 3+J 4 I R I

L'1..2Al L.!t4_5_1

Translatie.

I ·T X 1

»

mO

I .fi I 1 I I T I L_'7 __ 1

T T T

R s+Ja

x ---+

bo+b 1+b 2 b2

77777~77777177177777111~777

j-.Y-i I 167 I I R I

L!t6Ll

.R lS910

~

R j-.Y-j I 189 I 7+J 8 I R I

L!tS.J_l

Fig. 8. Uitgebreid model getransformeerd naar eenvoudig model .

.. In bijlage 5.5. ZlJn de overdrachtsfuncties naar de versnelling 11 van

het aangepaste model (rotatie) en de gemeten overdrachtsfuncties

weergegeven voor verschillende radiale posities van de robotarm. In

bij1age 5.6. zijn de impulsresponsies weergegeven van het aangepaste

model voor de rotatie voor verschi11ende radiale posities van de

robotarm. A1s uitgang is daarbij de verplaatsing it gebruikt.

31

6. CONCLUSIE.

Hoewel de demping van de robot gering is blijkt uit de impulsresponsies

dat er bijna geen overshoot optreedt. De translatiemodule blijkt

sterker gedempt te zijn dan de rotatiemodule. De rotatiemodule trilt

daardoor heftiger maar bereikt weI eerder de eindstand.

Het in dit rapport gepresenteerde model is vrij uitgebreid. Veel

modelparameters zijn moeilijk te bepalen, zodat veel modelparameters

schattingen zijn. De laagste berekende eigenfrequentie is erg laag

(15';' 20 Hz.), maar uit de modale analyse blijkt dat die laagste

eigenfrequentie in werkelijkheid nog lager is ( 11 .;. 13 Hz.). Daarom

zal het noodzakelijk zijn om een adaptieve regeling te ontwerpen die

rekening houdt met die lage eigenfrequentie. Daartoe is het eerst

afgeleide uitgebreide model vereenvoudigd tot een model dat een

eigenfrequentie vertoond. Daarna zijn de modelparameters zodanig

aangepast dat die eigenwaarde zo goed mogelijk overeenkomt met de

gemeten laagste eigenwaarde. De verwachting is dat met dat model het

dynamisch gedrag van de robot goed beschreven wordt.

32

LITERATUUR.

1. van Bommel, L.V.K., Ontwerp, productie en de dynamische analyse van

een lineaire actuator. TU-Eindhoven, oktober 1984, WPB-0067.

2. Kreffer, G.J., len ontwerp van een rotatiemodule en een studie naar

een adaptieve regeling van de RT-robot. TU-Eindhoven, mei 1988, WPA-0575.

3. van Campen, D.H., de Kraker, A., Bet dynamisch gedrag van

constructies. TU-eindhoven, versie 1984, dictaatnummer 4.552.1.

4. Kok, J.J., Werktuigkundige regeltechniek II. TU-Eindhoven, versie

1985/86, dictaatnummer 4.594.

5. Sax, W.H.K., Studie van het dynamische model van een

rotatie-translatie robot. TU-Eindhoven, juni 1989, WPA-0749.

33

Bijlage 1. Kodelparameters.

De modelparameters zijn rechtstreeks overgenomen uit [Lit. 5].

Bijlage 1.1. Modelparameters voor de radiale richtinq.

J~ massatraagheid van de tacbogenerator:

J~ • 1,60*10- 4 kgm~

J'f massatraagheid van de motor, de beHt van het gedeelte van de

spindel tussen motor en moer en de koppeling:

J'f = 1,35*10- 3- 1,03*10- 4* x(t) kgm~

J~ massatraagheid van het resterende deel van de spindel:

J~ • 2,16*10- 4+ 1,03*10- 4• x(t) kgm~

mo massa van de moer, de steun en de helft van het lagerhuis:

mo • 26,09 kg.

m, massa van het deel van de spindel dat niet bij m2 boort:

m, • 3,13 + 1,63 * x(t) kg.

m2 massa van de belft van het gedeelte van de spindel tussen de

acbterste lagering en de moer, de motor met tacbogenerator, de

motorstoel, de meetlineaal, bet armprofiel met geleidingen, de

kopplaten, de spindeluiteinden, de koppeling, de

bevestigingsplaat (voor de last) en de last:

m2 = 79,94 - 1,63 * x(t) + mL kg.

k~,: torsiestijfbeid van de as tussen de motor en de tacbogenerator:

k~l· 1,10*10 3 ::d o

kT2: torsiestijfbeid van het gedeelte van de spindel tussen de motor

en de moer:

kT2= 1,46*108+ 688 * x(t} 11m rad'

ko axiale stijfbeid van het lagerhuis:

ko • 1,25*108 N - m· k'2! axiale stijfheid van bet gedeelte van de spindel tussen de motor

en de moer:

35

b~ dempingsfactor van de tachogenerator:

b~ = 1.0*10- 3 Nms rad'

b7 dempingsfactor van de motor: b'f = 3,29*10- 3 Nms

rad'

bi . dempingsfactor van de moer: . bi = 1.6*10- 2 Nms

rad'

b2 deapingsfactor van de rolblokken: Ns b2 = 120 -. --m

T bot: materiaaldemping van de as tussen de motor en de tachogenerator (t.g.v. torsie): bT = 8 0*10-7 Nms o t, rad'

T b t2 : materiaaldemping van de spindel (t.g.v. torsie): bT = 8 0*10-7 Nms 12" rad"

bo materiaaldemping van het lagerhuis (t.g.v. axiale rek): bo = 0,05 Ns

m

b12 : materiaaldemping van de spindel (t.g.v axiale rek): Ns b 12= 0,05 -. m

iT overbrengverhouding van de spindel-moer overbrenging: .T = 0,025 = 3 98*10- 3 m 1 2*.- I rad'

qT rendement van de voorgespannen spindel-moer overbrenging: qT = 0,90 •

36

Bijlage 1.2. Modelparameters voor de tangentiale richting.

J~ massatraagheid van de tachogenerator:

J~= 1.6*10- 4 kgm~

J~ massatraagheid van de motor zonder de halve motoras:

J~= 9.94*10- 4 kgm~

J~ massatraagheid van tandwiel 0., de halve motoras, de koppeling

en de pulsgever:

J~= 4,51*10- 5 kgm~

J~ : massatraagheid van tandwiel 1.2. en het bovenste dee 1 van as 1.

met contraschijf 1., torsieveer 1. en bus 1.:

J~= 5,88*10- 4 kgm~

J! massatraagheid van tandwiel 1.1. en het onderste deel van as 1.


J!= 1,44*10- 4 kgm~

J~ massatraagheid van tandwiel 2.1. en het onderste deel van as 2.


J~= 7,89*10- 3 kgm~

J~ massatraagheid van tandwiel 2.2. en het bovenste deel van as 2.


J~= 4,13*10- 4 kgm:

J~ massatraagheid van tandwiel 3.1. en het onderste deel van as 3.

met torsieveer 3. en bus 3.:

J~= 1,56*10- 2 kgm:

J~ massatraagheid van tandwiel 3.2. en het bovenste deel van as 3.

met torsieveer 3. en bus 3.:

J~= 5,39*10- 3 kgm~

J~ massatraagheid van tandwiel 4., draaiplateau, ring voor

meetband, beschermkap en van de lineaire robot arm met last

(afhankelijk van de radiale positie x(t»:

J~= ( 83,06 + mL)*(x(t»2+ ( 1,4S*m

L- 19,09 )*x(t) + 32.37 +

+ 0,5S*mL

kgm:

31

k~l: torsiestijfheid van de as tussen de motor en de tachogenerator:

k~l= 1,10*10 3 ::d-lL

kJ2! torsiestijfheid van as 0 (motoras):

k~2= 2,60*10 5 1m rad'

R kS4 : torsiestijfheid van as 1: R 1m

k34=.-!QQ... rid' R ,

k56' torsiestijfheid van as 2:

k~6= 3,54*103 1m rad'

R k7S: torsiestijfheid van as 3:

k~8= 1,10*10 4 1m rad-

1>~ dempingsfactor van de tachogenerator: R Nms 1>0 = 0,025 rad-

1>~ dempingsfactor van de motor: R Nms 1>1 = 0,025 rad'

1>~ dempingsfactor van de pulsgever: R Nms 1>2 = 0,01 rad'

b~ dempingsfactor van lager 1.1: R Nms 1>3 = 0,01 rad'

1>! dempingsfactor van lager 1.2: R Nms 1>4 = 0,01 rad'

1>~ dempingsfactor van lager 2_1: R Nms 1>5 = 0,01 rad'

1>~ dempingsfactor van lager 2_2: lL Nms 1>6 = 0,01 rad'

1>~ dempingsfactor van lager 3.1: R Nms 1>7 = 0,01 rad-

1>~ dempingsfactor van lager 3,2: R Nms 1>8 = 0,01 rad-

1>~ dempingsfactor van bet draadlager van het draaiplateau: R Nms

1>9 =~ rad-

38

R bOI: materiaaldemping van de as tussen de motor en de tachogenerator

(t.g.v. torsie): bR - 8 0*10-7 Nms

01- , rad'

b~2: materiaaldemping van as 0 (t.g.v. torsie): bi. - 8 0*10-7 Nms

12- , rad' i. b34: materiaaldemping van as 1 (t.g.v. torsie):

bR - 8 0*10-7 Nms 34- , rad'

b~6: materiaaldemping van as 2 (t.g.v. torsie): bi. = 8 0*10-7 Nms 56' rad'

i. b78: materiaaldemping van as 3 (t.g.v. torsie): bR - 8 0*10-7 Nms 78- , rad'

i~3: overbrengverhouding tussen tandwiel O. en tandwiel 1.2: .R 45 2 14 123= 21 =, •

i!5: overbrengverhouding tussen tandwiel 1.1. en tandwiel 2.1: .R 83 3 95 145= 21 =, •

i!7: overbrengverhouding tussen tandwiel 2.2. en tandwiel 3.1: .R 83 3 61 167= 23 =--..'~-

i~9: overbrengverhouding tussen tandwiel 3.2. en tandwiel 4: .R 136 1.89= 23 = 5,91

R ry23: rendement van de overbrenging tussen tandwiel O. en 1.2:

1]~3= 0,96 •

R ry4S: rendement van de overbrenging tussen tandwiel 1.1. en 2.1: R 1145= 0,96 •

R • • 1]67' rendement van de overbrenging tussen tandw1el 2.2. en 3.1: R

'167= 0,96 •

R 1189: rendement van de overbrenging tussen tandwiel 3.2. en 4: R '189= 0,96 •

39

Bijlage 2. Bepaling van de lineaire toestandsverqelijkinaen.

Bijlage 2.1. Niet-lineaire beweginqsverqelijkinqen. \

Om de bewegingsvergelijEing'en van het in hoofdstuk 3 gepresenteerde

dynamische model van de robot te kunnen bepalen (Fig. 6.), wordt het

model verdeeld in 7 kleinere deelaodellen. Ter plaatse van de

overbrengingen wordt het model losgemaakt door daar uitwendige koppels

in te voeren (Fig. b.2.1. en Fig. b.2.2.> •

'Po TR . R .R

'PI 'P2=12S'PS 'Pg 'P4=145'P5 ~I ~ )0) ~ »

R bo I

1 b l2 R bS4

T~ T~ J~ J!

T!

b~ b~

77777;];7777777);777777

b~ b~

7777~7777777Jr777777 Fig. b.2.1. Deelmodellen voor de rotatie.

Voor de uitwendige koppels g'elden de volgende relaties:

R T3=

1 "123* .R * 123 T~

1 T5=

R "145* .1 * 145 T!

R T7=

R "'67*

.1 * 167 T: ( b.2.1.>

R T9=

1 "189* .R * 189 T~

40

· T." SO=SI-1 "2

TTT .----'~ '1 2 .T

1

)

b2

7?777777?777??77?777l777

Fig. b.2.2. Deelmodellen voor de translatie.

De volgende modelparameters hangen a£ van x(t) en dus van de tijd t:

Als vector met onafhankelijke vrijheidsgraden wordt aangenomen:

41

Om de bewegingsvergelijkingen te bepalen worden de vergelijkingen van

Lagrange gebruikt:

Ekin kinetische energie

Epot! potentiele energie

( b.2.2.)

Q* niiet van een potentiaal af te leiden gegeneraliseerde krachten

aE kin aE kin aEpot ql

sci 1 8q I Sq,

aEkin aEkin aE pot q2

8ci 2 aq2 aq2

q = ;, Ekin,ci = Ekio,q = Epot = ,q

aE k in 8E kin 8E pot qn

aci n aqn 8qn

( b.2.3.)

( b.2.4.)

42

BEkinR , d dt) 1,', -,- = J!o,o Jo'o

8'0 8E kin

d :R' dt) R·· = J"I J ,CPI 8;,

8Ekin d

[ I, . I, 2 1,]' dt [I, I, 2 1,] •. --: iJ 2 (123) +Ja'a ~ J 2{i 23 ) +Js CPs 8;3

eEkin d

[ 1,(' I, ) 2 Rr dt) I, I, 2 1,] ,. --: J 4 145 +J 5 '5 [J 4 (i u ) +J 5 '5 8;5

BEkin d

[ I, . I, ) 2 1,]' dt [I, I, 2 1]" --: J 6 ( 1 6 7 +J 7 cP 7 ~ J 6 (i 67 ) +J 7 CP7 8;7

aEkin d

1 t I, . R 2 1]' dt) [J~(i~9)2+J:]1+:~97 = --: J 8 ( 1 89 ) +J 9 '1 87

I,

[J~(i~9) 2+J :];'-*9x7

eEkin T' d dt T, -- = Jo"o ~ Jo 0

a~o

aEkin T' d T dt T, dJ" -- = JIt"1 ~ J, 1+ dt ",

a~1 d 8E kin T

[ T .T 2). .T- dt T T 2], T" d 2~ --= J 2+mO (1) 2-m01 S t ~ [J 2+mo(i} 2-mOi S\+cr 2 8.2

alkin . T ' d dt T" ( J" dm I' -.- = ... moi ~2+[mo+ml]SI ~ -moi 2+ mO+ml Sl+dt SI

as 1

eEkin d

, dt) .. dm2' -- = 1Il2X m2x+- x

ax dt

--=.....-:--=--=--=--=--= a,o

eEkin alkin 81kin = -. = -- = -- = 0

e"l 8'2 aS t

8Ek · 1 T T __ l_n: 1 dJ 9 '2+ !. dJ I .i.2+ !. dJ2.i.2+ !. dmls2+ !. dm2x2

'2 dx '1 2 dx "I 2 dx "2 2 dx 1 2 dx ax

43

( b.2.S.)

( b.2.6.)

a~t

8Epot -::

8Epot -=

8E pot --=

8Epot --=

ax

( b.2.7.)

De afge~eiden naar de tijd en naar de x-coHrdinaat van de

modelpar.meters worden verwaarloosd met uitzondering van de afgeleide

van J~. Om de tolomvector met gegeneraliseerde krachten ~* te bepalen wordt uitgegaan van de virtuele arbeid:

6W :: Q* * 6qT ( b.2.8.) - -

44

ow = [-b~~O+b~1 (~I-~O)]OtpO+ [T~-b~;I-b~1 (;I-;O)+b~2<;2-;I)]Otpl+

+ [~T~-b~~2-b~2(;2-;I)]Otp2+ [T~-b~;3+b~4(;4-;3)]Otp8+

+ [-T!-b!;4-b~4(;4-;3)]Otp4+ [T~-b~;5+b~6(;6-;S)]Otp5+ + [~T~-b~;6-b~6(;6-;5}]0'6+ [T~-b~;7+b~S(;8-;7)]6'7+ + [-+T~-b~;8-b~8{;8-;7}]6'8+ [t:-b:l]6,...

+ [~b~~O+b~ I (~I-~o>]6.o+ [Ti-bi~,-b~ 1 (~I-~O) +bi 2 <#2-#1) ]6.,+

+ [(rl-1}TI-bI#2-bi2(#2-~I>] 6.2+ [-bOso]6so+ [bI2(X-SI)]OSI+

+ [~b2X-bI2(X-Sl)]OX =

ow :: [-b~~O+b~, (~I-;O)]O,O+ [T~-b~;I-b~1 (;I-~O)+b~2(123;3-;I)]6tpl+

Q =

+ [~i23T~-b~(i23)2;3-b~2i23(i23;3-;I)+T~-b~;3+b~4(i45;5-;3)]OtpS+

+ [~i45T!-b!(i45)2~5-b~4i45(i45~5-;3)+T~-b~;5+b~6(167~7-;5)]6'5+

+ [-i67Tl-bl(i67}2;7-b~6i67(i67;7-;5)+T~-b~;7+b~8(i891-;7 )]6tp7+

+ [-i89T~-b~(i89)21-b~8i89(i897-;7}+T:-b:l]6,...

+ [-b~#O+b~ 1 (~I-#O) ]0'0+ [Ti-b i#l-b~ s<#,-~O) +b i 2 (~2-#1) ]0'1 +

+ [(ryT-l)TI-bI#2-bi2(#2-#I}+bOiT(SI-iT#2)]0'2+

+ [~bO(SI-iT#2}+bI2(X-SI>]OSI+ [-b2x-bI2(x-SI>]6x

- [b~+b~ t1~O+b~ 1;1

T~+b~I;O-[b~+b~l+b~2]~I+b~2i~3;8

(~l3-1)i~ST~+b~2i~S;I-[{b~2+b~) (i~S)2+b~+b~4];S+b~4i!5;5 (ry~5-1)i!5T!+b~~i!5;3-[{b~4+b!) (i!5)2+b~+b~6];5+b~6i~7;7 (ry17-1)i~7T~+b~61~7;5-[(b~6+b~) (i~7)2+b}+b}8];7+b}8i~97

('1~ 9-1) 1 ~ 9T~+b} 81 ~ 9;7- [(b~ 8+b~) (i ~ 9) 2+b~]':'

- [b~+ba .].O+ba I ••

Ti+bS'#O-[bi+bS I +bi2].I+bi2#2 T T T' [T T . T "]. . T -

('1 -1)T2+b I2.1- b12+b2+bO(1 )* '2+b01 81

-[bO+bI2]SI+bOiT'2+bI2X

-b 128 - [b 2+b I2]X

45

( b.2.9.)

Vergelij~ingen b.2.3. tot en met b.2.7. en vergelijking b.2.9. ingevuld

in verge~ijking b.2.2. levert de volgende vergelijkingen:

[J~(i~3)~+J~]~3-k~2i~3'1+[k~2(i~3)2+k~4]'3-k~4i!6'6-b~2i~3~1+ +[(b~+b~2)(i~3)2+b~+b~4)~s-b~4i!6~5= (~~8-1}i~3T~

[J!(i!6)2+J~)~6-k~4i~5~3+[k~4{i!6)2+k~6)~5-k~6i~i~7-b~4i!5~3+ +[(b!+b~4) (i!5)2+b~+b~6]~5-b~6i~7~7= (~!5-1)i!5T!

[J~( i ~ 7) 2+J~)~7-k~6i ~ 7IP5+ {k~6 (i ~ 7) 2+k~ 8]~7-k~ si! 9,b~6i ~ 7~5+ +[(b~+b~6) (i~7)2+b~+b~S]~7-b~si~97 = (~~7-1)i~7T~

R [ R R t R]" dJ 9 .• R R R R 2 R ll· Js(i S9 )+J9 1*dx x,k78is9tp7+k7S(is9) ,b 78i 89tp7+

+[(b!+b~s) (i!9)2+b~]7 = (ry~9-1)i:9T:

-moiT~2+[mo+ml]SI-kOiT.2+[kO+kI2JSI-kI2X+[bO+bI2]il-bOiT~2-bI2X = 0

.. 1 dJ!. 2 . [ ] . m2 x-2 dx 1 -kI2SI+kI2X-bI2S1+ b2+b 12 x = 0

46

( b.2.10.)

Om de uitwendige koppels bebalve de motorkoppels te elimineren worden

relatiesvoor die koppels bepaald door lokaal evenwicbt te bekijken:

T! R J! 1EEoo-

-k 34 [¥'4-WSJ

1--b4~4

Ji -kI2 ['2-'1] iEE---

-bt~2

( b.2.11.)

T!=-J!i!5~5-[b!+b~4]i!5;5+b~4;3-k~4i!5~6+k~4~S ( b.2.12.)

( b.2.13.)

Tl=-Jlil9~[bl+b~8]il9i+b~8;7-k~8il91*k78~7 ( b.2.14.)

( b.2.15.)

47

Verqelijkinqen b.2.11. tot en met b.2.1S. inqevuld in verqelijkinq b.2.10. qeeft de ~iet-lineaire beweqingsverqelijkinqen van de robot:

[~~3J~(i~3}2+JfJ's-~~3b~2i~3;1+[~~3(b~+b~2}(i~3)2+bf+bf4];S+ ~b~4i!5;5-~~3k~2i~3'1+[~~3k~2(i~3}2+kf4]'s-k~4i!5'5= 0

('1~ r,J! (i' 5) 2+J~]'5-?J! 5b~ 4i ! 5;3+ [?J! 5 (b!+b~ 4) (i! 5) 2+b~+b~ 6];5 +

-b~6i!7;7-?J!5k~4i!5'3+[?J!5k~4(i!5)2+k~6]'5-k~6i!7'7= 0

[~!7J!(i~7)2+J~]~7-~!7b~6i!7;5+[~!7(b!+b~6) (i!7)2+b~+b~8];7+ -b~8i~91-~!7k~6i!7'5+[~!7k~6(i!7}2+k~8]'7-t~8i~97 = 0

[ T T .. T 2]:.1. . T.. T T J. [T T T . T 2].1 . T' ?J J2+moh) "2-m01 Sl-~ b I2"1+ ?J (b 12+b 2)+bo(1) "2-b01 sl+

-~Tti2.1+[~Tti2+ko(iT)2].2-toiTS1= 0

-moiT'2+[mo+ml]SI-bOiT~2+(bO+b12]SI-bI2X-kOiT.2+[tO+kl2JS 1 -t 12X = 0

a .. 1 dJ t . 2 . [ ] .

m2x-2 dx 7 -b 12SI+ b2+b 12 X-tI2SI+kI2X = 0

48

( b.2.16.)

Bijlage 2.2. Niet-lineaire toestandsverqeliikinqen.

De in de vorige paragraaf bepaalde bewegingsvergelijkingen van de robot

( b.2.16d kunnen omgesehreven worden in toestandsvergelijkingen in

differentiaalvorm:

x(t) = f{x(t) ,u(t} ,t)

met bijb~borende uitgangsvergelijkingen in differentiaalvorm:

x(t) toestandsvector

yet) uitgangsvector

yet) = g(x(t),u(t),t)

f, 9 vectoriele funeties van hun argument en

t tijd

( b.2.17.)

b.2.18.}

Om de toestandsvergelijkingen te bepalen wordt de volgende

toestand$vector aangenomen:

Om de bewegingsvergelijkingen ( b.2.16.) om te kunnen sebrijven naar

toestand$vergelijkingen moeten de gde en de lOde vergelijking eerst

ontkoppeld worden:

[~TJi+mo(iT)2]~2-moiTSt-~Tbi2~1+[ryT(bi2+bi)+bO(iT)2]~2-boiTs t +

_~Tki2'1+[~Tki2+ko(iT)2]'2-koiTsl=O

-moiT~2+[mo+ml]sl-boiT~2+[bo+bI2]SI-bI2X-koiT'2+[ko+kl2]St-k12X=O I*al -------------------------------------------------------------------------------------+

.T a=~

mO+ml

49

Daaruit volgen twee ontkoppelde bewegingsvergelijkingen die meteen als

toestandsvergelijkingen in differentiaalvorm te schrijven zijn:

s t=rlb i2~t- ['1T

(bI+bi 2) p+boi T6]~2+ [b o6-b 12'::]8 l+b 12eX+'1TkT 2~1 +

_['1TkT2P+koiT6]'2+[ko6-kI2e]sl+k12€X

( b.2.19.)

50

Vergelijkingen b.2.19. samen met de rest van het stelsel

bewegingsvergelijkingen ( b.2.16.) lever en de 22 (niet-lineaire) toestandsvergelijkingen van de robot op:

. . 'Po= 'Po;

. . x = x

:J. l[[T TJ' T· T T] ¥O= -r - bo+b ol 'O+bOI'I-kOI'O+kOI'1 J o

:.J. 1 [T' [T T T]' T· T [T T] T ] ¥1= T bo1'o- b l +b ol +b t2 'l+b I2'2+k Ot'O- k 01 +k 12 't+k I2'2 J I

.2= IT' ['7TbT 2~1- ['7T (b~+b T 2) +boi T P]~2+ [bo,B-b t 20']8 t+b 1 2aX+fl kT 2'1 +

J 2

- ['7TkT 2+koi T P]'2+ [ko}3-k 120']S 1 +k 1 2O'X ]

51= '7TbI2~1-['7T(b~+bT2)~boiTOJ.2+[boO-bI2e]sl+bI2eX+'7TkT2~1+

_['7TkT2p+koiTo]'2+[koo-kI2e]sl+kI2ex

51

( b. 2.20. )

Bijlage 2.3. Gelineariseerde toestandsveraeliikingen.

Om de toestandsvergelijkingen b.2.20.) te lineariseren wordt

verondersteld dat het systeem slechts Kleine afwijkingen (perturbaties)

rond een nominale trajectorie en bijbehorende nominale ingang vertoont.

Dit betekent dat de begintoestand x(to> en het ingangssignaal u(t) ~ -

slechts weinig afwijken van de nominale begintoestand ~o (to) en het

nominale ingangsignaal ~o(t):

u(t) = ~o(t) + u(t), to~ t ~ te ( b.2.21.)

~(to)= ~o(to) + x(to> ( b.2.22.>

u(t) : perturbatie in de ingang.

~(to): perturbatie in de begintoestand.

De als gevplg van de perturbaties in de begintoestand en in het

ingangssign~al optredende toestand x(t} zal ook een kleine afwijking

vertonen te~ opzichte van de nominale trajectorie:

x(t) = xo(t) + x(t), toS t S te ( b.2.23.)

x(t) pert~rbatie in de toestand.

Daaruit res~lteert de gelineariseerde toestandsvergelijking bestaande ,

uit een stelsel van 22 lineaire differentiaalvergelijkingen :

x(t) = A(t) * x(t) + B(t) * u(t)

A(t) Jfx(~O(t} ,~o(t) ,t).

B(t) Jfu(xo(t) ,uo(t) ,t). ,. -

52

( b.2.24.>

at 1 at 1 af 1 af 1 at I afl

aXI 8x2 aXn au I 8u2 aUn af 2 af 2 af 2 8f 2 8f 2 8f 2

ax, 8x2 aXn aU I 8u2 SUn af at

J fx = - = J fu = a: = ax

Sf n af n af n Sf n af n af n

ax, 8X 2 aXn aU I aU2 SUn

Omdat uitgangsvergelijking b.2.18. lineair is, is die meteen in


y{t) = C(t) * itt) + D(t) * ii (t) ( b.2.25.)

Y = ( : ] 000 0 100 0 0 0 0 000 000 0 0 0

:] D=[: :] c • [ : o 0 000 0 0 0 0 1 000 0 0 0 0 000

53

af I af I af I lPo = 0 - = 1 = 0 alPo···ax a;, 0 a;'0· •• 8x IPI

af 2 af 2 8f 2 IPs = 0 -= 1 = 0

6IPo··. a;'o a;'t a;'3··· 8x 1P0

af s Bfs afs 1P7 = 0 -= 1 = 0

a'Po··. a;', 8;'3 8;'0···8x 7

af 4 8f 4 af 4 "0 = 0 -= 1 = 0 aIPO .•• a;'3 8;'0 a;'7··· 8x ",

Bfll af 0 af s "2 = 0 -= 1 = 0 alPo ..• 8;'s a;'i a7 ... ax s,

af 6 af 6 8f 6 X = 0 -= 1 = 0 X =

8IPo ••• 8;'7 a7 a~o •• ·ax · 'PO

· af i af 7 af 7 'PI = 0 -= 1 = 0 a'Po' .. 87 8~0 8~1'" ax · IPs

· afs af s afs 'Ps = 0 -= 1 = 0

8'Po· .. a~o 8~1 a~2· •. aX lPi

af 9 · af 9 af 9 7 = 0 -= 1 = 0

alPo ... a~1 a~2 as l' •• ax "0 af 10 af 10 af10 ~I

= 0 -= 1 -=0 a'P0 ••• a"2 as I ax ~2

af I I af 1 I S I = 0 -= 1 a'Po' •. as I ax · X

54

8f l2 a

kOI af 12 a

ko I 8£12 -= - -=- = 0 8~o J~ a~1 J~ a~3···ax

8£12 a R

bo+bo I af 12 R

bO I 8£12 -= - -= = 0 a;o J~ acPl J~ &P3··· aX

af lS R

af 13 I. R

at 13 kR. .1 af l3 ItOI ko l+k 12 12123 -= -= - -= = 0 a~o J~ 8~1 J~ a~3 J~ a~5···aX

af 13 R af 13 R. R R af 13 b1 .1 af 13 bOI b t+bo t+b I2 12123

-= -= - -= = 0 a;o J~ 8;t J~ a;3 J~ a;5··· aX

af l4 at 14 I. kl. . I. 1123 12123 8f 14

I. I. .1. 2 I. 1123k I2(123) +It S4

-= 0 -= -= -a~o a~1

Il' a~3

I.' J s J3

8f l4 kR .R.

34145 af 14 af 14 I. b . 1123 12123 -= = 0 -= a~5

I.' a~7···a;0 a;1

I.' Js J3

af l4 I. I. I. .R 2 I. R 1123(b 2+b I2 ) (123) +b 3+b 34 af 14 bR .R

34145 8t l4 -= - -= = 0 8;a

R' 8;5

I.' 8;7··· aX J 3 Ja

af l5 af I 5 I. kl. . I. 1145 34 1 45 af 15

R I. .R)2 R 1145k 34(145 +k56

= 0 -= - = -8~o···a~1 a~3

R' a~5

R' J5 J5

af I 5 kR .R 561 67 at l5 af 15

R bR .R 1145 34 145

-= = 0 -= 8~7

i' 8-y ••• a;\ 8;3

R' J5 J5

Sf lS I. (I. I. .R 2 I. a 1145 b4+b 34 ) (145) +b 5+b 56 8t 15 bR .1.

56167 af l5 - = - -= = 0 a~s

I.' 8;7

I.' 8;-... ax J 5 Js

af l 6 af 16 I. Ita . I. 1167 56167 af 16

I. I. .1. 2 I. 1167k 56(161) +k18

= 0 -= -= -a~o···a~s a~5

a' 8'7

a' J 7 J7

af l6 Ita . I.

78189 af 16 af 16 a bl. .1. 1167 56167

-= = 0 -= a-y i' a'o ... a;s a;5

I.' J 7 J7

8f l6 I. (R R .1. 2 I. I. 1167 b6+b56) (167) +b 7+b 78 8f l6

bl. .1. 78189 8f 16

-= - -= = 0 8;7

a' 8;- a' a.o ... ax J7 J7

55

---=0

---=0 a,o· .. Bs I

I. bl. . I. '189 781 89

-= I.'

J9

---=0 a~o· .. Bs I

af 18 = 0

a¥,o' .. '1

8f l8 T T

bo+bo j -= -a~o J~

---= 0 a¥,o' .. '1

T T T b j +bo l +b I2

-= -J'f

---= 0 a¥'o· .. '0

8f 2 0 kot1-kl2Q

- = --..,....--R' J 9

T kOI

-=-a~1 J~

T 8f l9 ko t

a,o = J'f af 19

- == 0 ax

T af 19 b 12 -=-a~2 J'f af 20 TJTk'f2 - = -T-'-a'l J2

-""'--... T' ax J 2

- = - ------:----Tt J2

-= T T '7 k 1 211-

56

-= -

---=0 afO···a~5

---=0 a~2···aX

-= -

---=0 a~o .. * 81

8fl9 ---=0

-= -

---=0 a~o* .. a~o

af 20 bot1-b 12Q

---=0 8'2* .. B1

-= --,-a~l J; af 20 b 12lr

-.- =-V ax J2

at 21 at 2 I at 2 I a£21 T T - :: koo-k 12 e - ~ k l2e :: 0 -= 1] b 1 2J.i as I 8x a~o ••• a~o a~1

at 21 _[ryT(bi+bi2)~boiTo]

af 21 8f 21 -= -.- = boo-b 12e -.- :: b 12e 8~2 as 1 ax

8f 22 atu kl2 af 22 k12 af 22 = 0 -=- -~- = 0

8¥'0···alr2 8s I m2 ax m2 a~0 ••• a~7

af 22 [dJ~l .

8tu 8£22 b 12 8£22 b2+b 12 70 -=

dx x: = 0 -=- -= -

81 m2 a~o ... a~2 as 1 m2 ax m2

af I ..• at 12 8f 18 1 af I4 ••• 8f 22 = 0 = - = 0

[ :n 8T} aT} J} aT} U =

af I ••• 8f 18 af 19 1 at 20' •• af 22 -= 0 :: = 0

8T'f 8T'f Ji 8Ti

Ingevuld in vergelijking b. 2.24. leveren deze afgeleiden de matrices

A(t) en B(t) op:

57

A =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

K~ K~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B} B~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K~ K! K~ 0 0 0 0 0 0 0 0 B~ B! B~ 0 0 0 0 O. 0 0 0

0 K~ K~ K~ 0 0 0 0 0 0 0 0 B~ B~ B~ 0 0 0 0 0 0 0

0 0 R R

K9 K I 0 R

KII 0 0 0 0 0 0 0 0 R R

B9 B I 0 R

BII 0 0 0 0 0 0

0 0 0 R

KI2 R R

K 13 K 14 0 0 0 0 0 0 0 0 R

B 12 R

B 13 R

B 14 0 0 0 0 0

0 0 0 0 R R

K 15 K 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R B 15

R B 16 0 0 0 0 CI

0 0 0 0 0 0 KI K~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 BI B~ 0 0 0

0 0 0 0 0 0 K; KI KI 0 0 0 0 0 0 0 0 B; BI Br 0 0

0 0 0 0 0 0 0 K~ K~ K~ K~ 0 0 0 0 0 0 0 B! B~ B~ B~ 0 0 0 0 0 0 0 T T

KIO KII T T

KI2 KI3 0 0 0 0 0 0 0 T BIO

T BII

T T B 12 B 13

0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T

KI4 K I5 0 0 0 0 0 C2 0 0 0 T T

BI4 BI5

aT= [ :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l/J~ 0 0 0 0 0 0 0 0

: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l/Jlo 0

T ['0 '1 '8 '5 '7 7 ;0 ;1 ;2 SI

. . . . . -7 ~O ~I ~2

. xl x = x '0 ,. '3 '5 '7 S I -

T [ T~ TI ] u = -

58

R R

K~ ko I

K~ ko J

= = J~ J~

II R R. kR .R

K~ kOI R. ko l+k l 2

K~ 12123

;: K4 ;: - ;:

J~ J~ J~ R kR .R R R .R 2 R kR. .R

K~ '123 12123

K~ '123 t 12 (123) +k34

K: 34 145

;: = = R' R' R' J a J 3 Ja

R kR .R R R .R. 2 R. kR. .R.

K~ '145 34 145 R '145k34(145) +k56

K~I= 56167

= KIO= -R' R' R' J5 J5 J&

R kR . R. R. R .R. 2 R. kR. .R. R '167 56167 R. '167k56(167) +k78 R. 78189

K12= I' Kla= - R' K14= Rt J 1 J 7 Jl

R kB. .R. B. R. .R. 2 R '1~g 7S189 R. '189k 78(lS9)

KI5= R' K 16= - at J9 J g

T T l'

k!)l

K~ kOI

KI = - = J& J&

T T T T

K1 kot T 101+k 12

Ki kl2

= 14 ;: - ;:

Jr Jr Jr

T T TkT k .T{3 ko.8-k 12Q kl2Q K!

TJ k12 K~

TJ 12+ 01 K~ Ki = -T-'- = - = = TO T' T'

J 2 J 2 Ja J 2

T K, 0=

T T 1] k I 21-'

T KII = - [,?k'f 2¢koi T6J T

K12= k()6-kI2e T

K13= k12.:!

T k'2 T KI2 K14= K15=

m2 m2

59

a a bo+bo 1

J~

B~ =

a B 1 2= --a-:'''---

J1

R. bR. . R. '189 78189

a' J 9

b~+b~l BI = - --

J~ T

B~ bo I

= J~

T T

B~ '1 b 12

= -T-'-J 2

T T T B I 0= fJ b I 2/J

a Blo= -

a B,s= -

BI = -

BT =

a a R. b,+bo l+b 12

J~

'1~3(b~+b~2){i~a)2+b~+b~4 a'

Ja

'1!6(b!+b~4)(i!6)2+b~+b~6 I'

"6 fJ~7(b~+b~6) (i~1)2+b~+b~8

T T T b l +bo l +b I2

a' "7

T b 12

B1 = -JT "T

T T T .T bo~bl2a TJ (b2+b I2)+bo1 !3

B~ = T' T' J2 "2

T B16= - ---

60

Bijlage 3. Resultaten van de dynamische analyse.

Bijlage 3.1. Eigenfrequenties.

Met behulp van PC-matlab zijn voor verschillende nominale trajectorien

en verschillende lastmassa' s de eigenfrequenties bepaald van de in

bijlage 2. bepaalde systeemmatrix A(t). Omdat wrijving gemodelleerd is

als viskeuze demping zal de systeemmatrix A(t) (22 * 22) 22 complexe

eigenwaarden hebben die in complex geconjugeerde paren voorkomen. De

imaginaire delen van zo'n paar zijn aan elkaar gelijk en de ling door

2*1r levert de eigenfrequentie OPe Omdat de robot twee bewegingen als

star lichaam kan maten (rotatie en translatie), zijn er twee

geconjugeerde paren die een eigenfrequentie van 0 Hz. hebben en verder

niet interessant zijn voor de dynamische analyse. Sommige

eigenfrequenties blijken afhankelijk te zijn van de nominale radiale

positie Xo (t) en van de lastmassa. De nominale rotatie- en

translatiesnelheid blijken vrijwel geen invloed te hebben op de grootte

van de eigenfrequenties. In tabel b.l. staan de eigenfrequenties voor

verschillende lastmassa's en verschillende waarden van de nominale

radiale positie xo(t).

mL

[kg. ] 0 50

Xo [me ] -0,27 0 0,365 -0,27 0 0,365

f 1 [Hz .] 18 20 19 17 17 15

£2 110 122 134 98 109 120

fs 182 182 182 182 182 182

f4 284 284 284 284 284 284

£5 366 371 377 366 371 376

f6 435 439 443 435 439 443

£7 445 445 445 445 445 445

fa 488 506 528 487 504 524

£9 6590 6590 6590 6590 6590 6590

Tabel b.l. Eigenfrequenties.

61

8ij1age 3.2. Eigenvector horend bii de

laaaste eigenfreguentie.

Omdat de eigenvectoren niet veel varieren met de radiale positie van de

robot arm x(t) is de eigenvector beschouwd die hoort bij x(t)=O m. De

laagste eigenfrequentie is dan 20 Hz. De eigenvector blijkt aIleen te

bestaan uit bewegingen van de vrijheidsgraden van de rotatiemodule:

IPo 1,0000

IPI 0,9980

q'= IPs u = 0,4657

IPs 0,1060

IP7 0,0150

7 -0,0068

q': vrijheidsgraden van de rotatiemodule.

u eigenvector.

Door alle vrijheidsgraden te transformeren naar de motoras kunnen ze

beter onderiing vergeleken worden:

'Po 1,0000

IP1 0,9980 .R 0,9979 q"= 123IP3 u'= .R .R 1231 45IPI) 0,8978 .R .R .R 1281 461 67IP7 0,4770 .R .R .R .R 1231 45 1 611 897 -1,2290

q": getransformeerde vrijheidsgraden.

u': getransformeerde eigenvector.

De grootste relatieve verplaatsing blijkt op te treden tussen IP7 en 7.

62

Door de stijfheid tUssen '1 en 7 ( k~8) met een factor 10 te vergroten

wordt de laagste eigenfrequentie 35 Hz. en wordt de getransformeerde eigenvector:

1,0000

0,9930

u'= 0,9928

0,6687

0,6600

-1,1882

Door er voor te zorgen dat aIle naar de motoras getransformeerde

stijfheden in de orde van grootte van de stijfheid van de motoras

liggen wordt de laagste eigenfrequentie 429 Hz. De bijbehorende

eigenvector wordt dan:

k~2= 2,60*10 5

k~4= (i~3)2k~2= 1,19*10 6

k~6= (i~3i!5)2k~2= 1,86*10 7

k~8= (i~3i!5i~7)2k~2= 2,43*10 8

u'=

1,0000

-0,0583

-0,0611

-0,0636

-0,0657

-0,0676

Omdat de stijfheid van de as tussen de motor en de tachogenerator niet

verandert is, vertoont de tacho dan een grote relatieve verplaatsing.

Maar de ander vrijheidsgraden staan dan bijna stil ten opzichte van

elkaar.

63

Bijlage 3.3. Overdrachtsfuncties.

V~~r verschillende nominale trajectorien zijn de overdrachtsfuncties

bepaald, gebruik makend van PC-matlab. De overdrachtsfuncties zijn

gedefinieerd als de verhouding tussen de optredende verplaatsing (1(t)

en/of x(t» en het motorkoppel (T~ of Ti). Als de robot een nominale

snelheid heeft in radiale en/of tangentiale richting zal er een

overdracht zijn naar zowel de radiale all de tangentiale coordinaat

(1(t) en x(t}}, omdat de deelmodellen voor de rotatie en de translatie

dan gekoppeld zij n. In de figuren b. 3.1. tot en met b. 3 .12. zijn de overdrachtsfuncties weergegeven voor verschillende nominale

trajectorien en verschillende lastmassa' s. De modulus van de overdrachtsfunctie is daarbij dubbellogarithmisch uitgezet tegen de

frequentie.

I H I modulus van de overdrachtsfunctie f frequentie [ Hz. J

Als een grafiek uit twee lijnen bestaat, dan geldt voor de twee

lijnsoorten:

overdracht naar 1

------ overdracht naar x

In tabe! b.2. is aangegeven welke nominale trajectorien en welke

lastmassa's voor de verschillende figuren gebruikt zijn.

. m . o rad . m . ,.. rad xo= o S. 10= s . xo= 1 s· 10= '2 s·

xo [m.J -0,27 0 0,365 -0,27 0 0,365 mL

[kg .J

Fig. b.3.1. b.3.2. b.3.3. b.3.4. b.3.5. b.3.6. 0

Fig. b.3.7. b.3.S. b.3.9. b.3.10. b.3.ll. b.3.12. 50

Tabel b.2. Nominale trajectorien.

64

fH I

1

10-1

10-15

I 10-22~~~~~~~~~~~--~~~~--~~~~

100 101 102 103

~ f [ Hz.]

Fig. b.3.1.a. Overdrachtsfunctie met T~ als ingangssignaal.

100

10-8

104

10-16~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103

~ f [ Hz.]

Fig. b.3.1.b. Overdrachtsfunctie met Ti als ingangssignaal.

104

10-1

10-8

10-15

10-22~~~~~--~~~~--~~~~--~~~~

100 101 102 103

~ f [ Hz.]


100

10-8

104

10-16~~~~~--~~~~--~~~~~~~~

100 101 102 103

~ f [ Hz.]

Fig. b.3.2.b. Overdrachtsfunctie met Ti als ingangssignaal.

10-1

10-8

10-15

10-22~~~~~1~1~11~11~~~~~\~1~1!~1'~~~~~I~I~II~II~~~~~I~I~II~II

100 101 102 103

----?> f [ Hz.]


100

10-8

104

10-16~i --~~~~ __ ~~~~ __ ~~~~ __ ~~~~

100 101 102 103

----?> f [ Hz.]

Fig. b.3.3.b. Overdrachtsfunctie met TI als ingangssignaal.

104

10-1

IHI

110-7

10-13

10-19

10-25~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103

~ f [ Hz.]

Fig. h.3.4.a. Overdrachtsfuncties met T~ als ingangssignaal.

100

10-7

10-14

, , , ........ ,

........ , .... ,,/\ \ I \ . \ , , , , , , , , , , , ,

" , , , , .... , .... " .... .... , ,

104

, . , , . . ,

10-21~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103

~ f [ Hz.]

Fig. h.3.4.h. Overdrachtsfuncties met T1 als ingangssignaal.

104

10-1

IHI

t 10-7

10-13

10-19

101 102 103 104

---;.. f [ Hz.]

Fig. b.3.S.a. Overdrachtsfuncties met T~ als ingangssignaal.

100

IHI

1 10-7

10-14

10-21~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103 104

---;.. f [ Hz.]

Fig. b.3.S.b. Overdrachtsfuncties met TI als ingangssignaal.

10-1

10-13

10-19

,

10-25~~~~~~~~~~~~--~~~~~~~

100 101 102 103

~ f [ Hz.]

Fig. h.3.6.a. Overdrachtsfuncties met T~ ais ingangssignaal.

100

--------------------------.... -........ _-

..... _- ........ _------/",\, \

10-7

10-14

'" ' .. .... " i'/'''''\

\ I' \ '/ \ \ " " '"

""" , .. " " " "" ...

" .. '" ,

"

104

... ",

" ... "

10-21~~~~~--~~~~--~~~~--~~~~

100 101 102 103 104

~ f [ Hz.]

Fig. h.3.6.h. Overdrachtsfuncties met Ti ais ingangssignaal.

10-1

10-8

10-15

10-22~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103 104

---+- f [ Hz.]

Fig. h.3.7.a. Overdrachtsfunctie met T~ als ingangssignaal.

10-1

10-9

10-17~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103 ---+- f [ Hz.]

Fig. h.3.7.h. Overdrachtsfunctie met T1 als ingangssignaal.

10-1

10-8

10-15

10-22~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103 104

~ f [ Hz.]

Fig. b.3.S.a. Overdrachtsfunctie met T~ als ingangssignaal.

10-1

IHI

1

10-9

10-17~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103 104

~ f [ Hz.]

Fig. b.3.8.b. Overdracbtsfunctie met Ti als ingangssignaal.

10-1

10-8

10-15

10-22~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103 104

~ f [ Hz.]

Fig. h.3.9.a. Overdrachtsfunctie met T~ als ingangssignaal.

100

10-8

10-16~~~~~--~~~~--~~~~--~~~~

100 101 102 103 104

~ f [ Hz.]

Fig. h.3.9.h. Overdrachtsfunctie met Ti als ingangssignaal.

10-1

IHI

1 10-7

10-13

10-19

10-25'~ --~~~~--~~~~--~~~~~~~~~

100 101 102 103

~ f [ Hz.]

Fig. b.3.10.a. Overdrachtsfuncties met T~ als ingangssignaal.

10-1

10-8

10-15

10-22~~~~~~~~~~--~~~~--~~~~

100 101 102 103 104

~ f [ Hz.]

Fig. b.3.10.b. Overdrachtsfuncties met Ti als ingangssignaal.

10-1

IHI

t 10-7

10-13

10-19

10-25~~~~~~~~~~~~~~~~--~~~~

100 101 102 103

---;;a. f [ Hz.]


100

10-7

10-14

104

10-21~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

100 101 102 103 104

--?> f [ Hz.]

Fig. b.3.11.b. Overdrachtsfuncties met TI als ingangssignaal.

100

10-8

10-16

101 102 103 104

----;.. f [ Hz.]


100

10-7

10-14

10-21~~~~~~~~~~--~~~~--~~~~

100 101 102 103

----;.. f [ Hz. J Fig. b.3.12.b. Overdrachtsfuncties met Ti als ingangssignaal.

Bijlage 3.4. Impulsresponsies.

Met behulp van PC-matlab zlJn voor verschillende nominale trajectorien

de impulsresponsies bepaald. De impulsresponsie is de verplaatsing van de robot als er een eenheidsiapu1s op een van de ingangen (T~ of Tt> gezet wordt. A1s de robot een nominale snelheid heeft in radiale en/of tangentia1e richting za1 er een responsie zijn naar zowel de radiale

als de tangentia1e coordinaat (7{t) en %(t», oadat de deelmodellen

voor de rotatie en de translatie dan gekoppeld zijn. In de figuren

b. 3 .13. tot en met b. 3.24. zijn de illpulsresponsies weergegeven voor

verschillende noainale trajectorien en verschillende last_assa's.

t tijd [sec. ]

Als een grafiek uit twee lijnen bestaat, dan geldt voor de twee

lijnsoorten:

iapulsresponsie van 7

iapulsresponsie van %

In tabel b.3. is aangegeven welke nominale trajectorien en welke

lastmassa's voor de verschillende figuren gebruikt zijn.

. o ! . 70= 0 rad . • 7 ~ rad %0= - . %0= 1 s· 0= 2' s· s s

Xo [a. J -0,27 0 0,365 -0,27 0 0,365 mL

[kg .J

rig. b.l.13. b.3.U. b.3.15. b.3.16. b.3.17. b.3.18. 0

rig. b.3.19. b.3.20. b.3.2l. b.3.22. b.3.23. b.3.24. 50

Tabel b.2. Noainale trajectorien.

77

0.1~----~------~----~------~------

1

r 0.08

x

0.06

0.04

0.02

O~------~------J-------~------~------~

o 0.2 0.4 0.6 0.8 -;.. t [sec.]

Fig. h.3.13.a. Impulsresponsie met T~ als ingangssignaal.

1

O.2~------~--------~--------~------~

I 0.15

0.1

0.05

o~--------~--------~----------~--------~ o 0.5 1 1.5

-;.. t [sec.]

Fig. h.3.13.h. Impulsresponsie met T1 als ingangssignaal.

2

0.1 r-----..,-----r-------.---------,-------,

'7

1 0.08

x

0.06

0.04

0.02

o~------~------~--------~------~------~

o 0.2 0.4 0.6 0.8 ----?> t [sec.]

Fig. b.3.14.a. Impulsresponsie met T~ als ingangssignaal.

1

0.2~------~-----~------~-----~

1 0.15

0.1

0.05

O~--------~----------L---------~----------

o 0.5 1 1.5 ----;.. t [sec.]

Fig. b.3.14.b. Impulsresponsie met Ti als ingangssignaal.

2

O.1~----~------~------~----~------~

'1

1 0.08

x

0.06

0.04

0.02

o~------~--------~------~--------~------~

o 0.2 0.4 0.6 0.8 ~ t [sec.]

Fig. b.3.1S.a. Impulsresponsie met T~ als ingangssignaal.

1

0.2;--1 -----,..------..,..------r----------,

1 0.15

0.1

0.05

o~--------~----------~--------~--------~ o 0.5 1 1.5

---+ t [sec.] Fig. b.3.1S.b. Impulsresponsie met Ti als ingangssignaal.

2

0.1~----~------~------~----~------~

To.08 0.06

0.04

0.02

o -----------,-------------------------------------------------------------------------

- 0.02 L--__ --I... ____ ---'----___ ..l...--__ ---'-___ ----'

X,7

o 0.2 0.4 0.6 0.8 ----+ t [sec.]

Fig. b.3.16.a. Impulsresponsies met T~ als ingangssignaal.

1

0.2~--------~,----------~,----------~,--------~

" ,--~,--_/-----'----------------------------------------------------

f 0.15 I

;~

I , , r

r #-,

-

0.1

I I

I t

I I I

I I I I I I I I J f I

0.05 ! r t I I I r I r r

I

I I

I

o ---o I I J

0.5 1 1.5 ----+ t [sec. ]

Fig. b.3.16.b. Impulsresponsies met Ti als ingangssignaal.

-

-

2

1,X

1

1

0.1

0.08

0.06

I 0.04

0.02

o -----------------------------------------------------------------------------------

-0.02 '---__ ---1.... ___ ......1.-___ .1....--______ _

o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ~ t [sec.]


O.2~--------~,----------~,----------r-,--------,

,~~"~J_J~_-"-~-~--J-'-~---~-----------'--------------------------,~' ;-

0.15

I I

/ I

I I

0.1 r- f I I I f I I i J I I

0.05 r- ; J I I I I I I I I

I

r I I

I~I

/' /

/

,..1

OL-~=====±========±=======~========~

o 0.5 1 1.5 ~ t [sec.]

Fig. b.3.17.h. Impulsresponsies met TI als ingangssignaal.

2

O.1~----~------~------~------~----~

-y,x

1 0.08

x,-y

1

0.06

0.04

0.02

o o

--------,------'------------------------------------------------------------------

0.2 0.4 0.6 0.8 ~ t [sec.]


1

0.2,------,------r--------,--------,

0.15

(

0.1 I f

I I I I

I I I I

0.05 I ,

I , I I I I I I

o

r /

/ I

{

{

/

,{J

,J _.1'..1-

_~~.--,~-~A-----~.---y-----~'~--~-----------------------------... """..."

-0.05 '--------'-------'---------"-------' o 0.5 1 1.5 2

~ t [sec.]

Fig. b.3.18.b. Impulsresponsies met Ti als ingangssignaal.

O.l~----~------~------~----~------~

1

t 0.08

0.06

0.04

0.02

o~------~------~--------~------~------~

o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ~ t [sec.]


0.2~------~--------~--------~------~

x

1 0.15

0.1

0.05

o~--------~--------~--------~--------~ o 0.5 1 1.5 2

~ t [sec.]

Fig. b.l.19.b. Impulsresponsie met Ti als ingangssignaal.

0.1.-------~,--------~,------~,--------,,-------,

'1

1 0.08

0.06

0.04 f-

0.02

0 1; I I I I

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ~t [sec. ]


0.2~------~--------~--------~------~

x

1 0.15

0.1

0.05

o~--------~----------~--------~--------~ o 0.5 1 1.5 2

~ t [sec.]

Fig. b.3.20.b. Impulsresponsie met Tt als ingangssignaal.

O.1~----~------~----~------~----~

7

1 0.08

0.06

0.04

0.02

O~------~-------L------~--------~----~

o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ---+ t [sec.]


0.2~------~--------~------~--------~

x

1 0.15

0.1

0.05

O~--------~--------~----------~------~

o 0.5 1 1.5 2 ---+ t [sec.]

Fig. b.3.21.b. Impulsresponsie met TT als ingangssignaal.

0.1r-------~1--------~1--------~,-------r------~

7,X 1 0.08

0.06

0.04

0.02

o ~--------------------------------____________________________________________________ _

-O.02~------~------~'------~'------~------~

o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ~ t [sec.]


0.2~1 --------~--------~~--------~--------,

i 0.15

0.1 I I I I

I I I I I

0.05 I I I I ,

I , I (

I I (

I I

{ I

I I

I I I I

I I

I

/ /

I

/","';

,-

,,'

_--------------r--------------------------------------------"",,,,,,,-

OL--=====~==~~~~~====~========

o 0.5 1 1.5 2 ~ t [sec.]

Fig. b.3.22.b. lmpulsresponsies met T1 als ingangssignaal.

1,X

t

0.1

0.08

0.06 1

0.04

0.02

. I

I; ~~---------------------------------------O~~c---------_----~r--_---------------~--------------~--~----

o 0.2 0.4 0.6 0.8 ~ t [sec.]

Fig. h.3.23.a. Impulsresponsies met T~ als ingangssignaal.

1

O.2~--------~,----------~,----------~,--------~

----~------------------------------------------------...".--""",----..,

t 0.15 /

/

,,/ /'

"'"' "".,., ....

0.1

0.05

{ I

f I I I

I / I I I I I I I I

,/ /

I I

I I ,

/ /

O~ __________________________________ ~

-0.05~----~'----~'----~'------------~

o 0.5 1 1.5 2 ~ t [sec.]

Fig. h.3.23.h. Impulsresponsies met Tr als ingangssignaal.

x"

1

O.OB~------~,--------~,------~,--------,-,------,

0.06

0.04 -

0.02

-; ;;

~-----------------------------------------------------------------;-

_/

If _/

-_/-O~=;--------~I--------~I--------~I--------~I----------

o 0.2 0.4 0.6 0.8 ~ t [sec.]

Fig. h.3.24.a. Impulsresponsies met T~ als ingangssignaal.

1

0.2~--------~,----------~,--------~--------~

~-'-~-~-----~---------------------------------------------------

0.15

0.1

0.05

I I

I I

I I I

I I I I I I I I

I I I I ! I

I I

(

I

I ./

,," ;' ,-

",-",,-

,.- -

-

o~ ------------------------------------~

-O.05~--------~'----------~'----------~'--------~

o 0.5 1 1.5 ~ t [sec.]

Fig. h.3.24.h. Impulsresponsies met T1 als ingangssignaal.

2

Bijlage 4. Resultaten van de modale analyse.

Bijlage 4.1. Toestandsvergelijkingen van het complete model.

Om de toestandsvergelijkingen van het complete model te verkrijgen

worden de in bijlage 2.3. afgeleide lineaire toestandsvergelijkingen uitgebreid met vergelijkingen die het dynamisch gedrag van de

gelijkstroommotoren en de bijbehorende versterkers beschrijven.

Deze vergelijkingen worden rechtstreeks overgenomen uit [Lit. 2], onder

verwaarlozing van het spanningsverlies in de motorborstels en de offset spanning van de versterkers:

K~ Ky*Ke T m (t) = - - * ~m (t) + -- * u i (t) ( b.4.1.)

Tm(t}: motorkoppel [ Nm.]

Ke motorconstante [Vs/rad.]

Ra ankerweerstand [ o. ] ~m(t): motortoerental [rad/s.]

Kv versterkingsfactor [ - 1 ui(t): ingangsspanning [ v. ]

Door vergelijking b.4.1. in te vullen in de lineaire

toestandsvergelijkingen veranderen de matrices A, B en de ingangsvector

u als voIgt:

B! = -

1 R 1 ? b t+bo I +b t 2-Ke/Ra

J~ BI = -

Ky*K e 000000000000--

100000 0 000

Ra*J t

Kv*Ke 000000000000 0 OOOOO--TOOO

Ra*J,

: elementen van A.

u =

ingnagsspanning voor de versterker van de rotatie [ V.].

ingangsspanning voor de versterker van de translatie [ V.l.

90

[:n

Tevens wordt de matrix C zo aangepast dat de versnelling in plaats van

de verplaatsing als uitgang dient. V~~r nominale snelheden gelijk aan

nul wordt C dan:

[

0 0 0 0 X~5 K~6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B~5 B~6 0 0 0 0 0] C - T T T T o 0 0 0 0 0 0 0 0 K14 K15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B14 B I 5

R R R R T T T T K15' K16' B15' B16 , K14 , K16' 8 14 , 8'5 elementen van A. V~~r de betekenis van de elementen van A wordt verwezen naar

bijlage 2.3.

91

Bijlage 4.2. Berekende eigenwaarden.

In tabel b. 3. staan de met behulp van PC-matlab berekende complexe

eigenwaarden voor bet complete model van de robot (inclusief

vergelijkingen voor de motoren en de versterkers). Daarbij staat het

reele deel van de eigenwaarde voor de dempingscoefficient en het

imaginaire deel voor de gede.pte eigenfrequentie. Ir is van uitgegaan

dat de lastmassa nul is, omdat de modale analyse uitgevoerd is zonder

last.

B2tat1e.

x = 0 m. x = 0,365 m. x = -0,27 m.

rad/s. Hz. rad/s. Hz. rad/s. Hz.

reeel imaginair reeel imaginair reeel imaginair

-21,14 41406 6590 -21,14 41406 6590 -21,14 41406 6590

-63,42 2798 445 -63,42 2798 445 -63,42 2798 445

-4,48 1785 284 -4,48 1785 284 -4,48 1785 284

-4,13 1145 182 -4,13 1145 182 -4,13 1145 182

9,17 122,7 19,5 9,77 118,6 18,9 10,69 113,0 18,0

Translatie.

x = 0 m. x = 0,365 m. x = -0,27 m.



-16,60 3180 506 -13,13 3317 528 -18,84 3065 488

-0,40 2759 439 2,16 2785 445 -4,08 2735 435

-4,16 2331 371 -4,54 2366 377 -3,39 2300 366

16,86 764,9 122 1,70 842,6 134 16,61 689,5 110

Tabel b.3. Berekende eigenwaarden.

92

Bijlage 4.2. Berekende eiqenwaarden.

De gemeten eigenwaarden zijn bepaald met de modale analyse apparatuur

uit de gemeten overdrachtsfuncties. (Bijlage 4.5.), door op de plaatsen

waar de overdrachtsfunctie een resonantiepiek vertoont een bekende

overdrachtsfunctie met een eigenfrequentie zo goed mogelijk overeen te

laten komen met dat gedeelte van de gemeten overdrachtsfunctie (curve

fitting). De op deze manier bepaalde eigenwaarden staan in tabel b.4.

Rotatie.

x = 0 m. x = 0,365 m. x = -0,27 m.



37,11 2790 444,1 35,26 3076 489,5 20,62 2488 396,0

39,27 2458 391,2 38,17 2990 475,9 41,23 2360 375,5

42,19 2149 342,1 61,19 2299 365,9 33,26 2122 337,8

33,92 1794 285,6 49,25 1742 277,3 95,51 1755 279,3

44,89 996,1 158,5 33,01 1230 195,8

15,04 725,8 115,5 17,40 762,9 121,4 13,10 632,1 100,6

26,91 84,3 13,4 29,76 73,2 11,6 26,83 68,2 10,9

Translatie.

x = 0 m. x = 0,365 m. x = -0,27 m.



121,41 3519 560,1 52,32 3406 542,1 102,02 3384 538,5

82,56 860,7 137,0 60,64 834,2 132,8 77,45 866,5 137,9

21,15 736,8 117,3 18,47 741,8 118,1 37,34 621,7 98,9

42,62 601,4 95,7 47,43 594,5 94,6

Tabel b.4. Gemeten eigenwaarden.

93

Bijlage 4.4. Berekende overdrachtsfuncties.

De met de vergelijkingen van bijlage 4.1. (met de versnelling als

uitgangssignaal) bepaalde overdrachtsfuncties staan op de volgende

pagina's. Eerst voor de rotatie en vervolgens voor de translatie voor

verschillende radiale posities x(t):

(1) x = 0 m. (2) x = 0,365 m. (3) x = -0,27 m.

94

40~------~,------~,------~,------~

30 -

20

10

o~~A~A __ l~ __ ~I~ o 200

200

100

o V

-100 -

-200 o

I

"

\.

I

200

400 600 800

I I

-

-

I I

400 600 800

30~------~1--------'~------~'------~

25

20

15 -

10 -

5

OL-~==~~~~~--_L-I------~I------~ o 200

200

100 I-

o ~

-100

-20{} a

I

\

\.

I

200

400 600 800

i I

-

-

I I

400 600 800

20~------~!------~1------~!~----~

15

10 -

5 -

OL-~==~~b=~~--~I--------IL-----~ o 200

200

100

o V

-100

-200 o

I

'I

\.

I

200

400 600 800

I I

-

-

I I

400 600 800

80~----~------~----~------~

60 I J 40~

I I

20f ! I

0 0 200 400 600 800

2001

I ( 100 1

r I

o

-100

I

-200 1---. __ ----l-__ ---l-__ --l--__ --l

o 200 400 600 800

BO~------I~------I~------i~------

60 r-

1 40

20

~ OL-------~[~=-L/~~~)L-----~=-----~ o 200 400 600 800

200~1 ------~------~------~------~

I --

100

o

-100

-200 1--. - __ --l.-___ -"--___ ...1...-__ ----I

o 200 400 600 800

80~----~------~------~------~

60

40 J

20

O~· ------~====~~--~==~----~

o 200 400 600 800

l

100

o

-100

- 200 l...----__ ------l ______ --'-______ ---..J.. _____ ---l

o 200 400 600 800

Bijlage 4.5. Gemeten overdracbtsfuncties.

De met de modale analyse apparatuur bepaalde overdracbtsfuncties staan

op de volgende pagina's. Eerst voor de rotatie en vervolgens voor de

translatie voor verscbillende radiale posities x(t):

(1) x = 0 m.

(2) x = 0,365 m. (3) x = -0,27 m.

101

TRANS

20.000

MAG

0.0

COHER

900.00 m

MAG

0.0

RI;

0.0

RI;

0.0

1 IA; 75

HZ BOO. 0

2 IA: 75

HZ BOO. 0

TRANS RI: 1 IA: 75 180.00-. ____________ ~----------------------~--

PHASE

-180. 00 ~--~--...pu. ~ __ r_--____,--_"T- - ~-- - -~-----I

0.0 HZ 800. a

TRANS RI: 1 fA: 75

15.000

IMAG

-15.000

-60.000 REAL 60.000

TRANS

so.ooo

MAG

0.0

COHER 900.00

m

MAG

0.0

Rf:

0.0

Rf:

0.0

1 fA: 100

HZ 800. 0

2 fA: 100

HZ 800. 0

TRANS RI: 1 IA: 100 180.00....,.... ____ ......,-___ .",....,...-__ -=-_______ -..:-_---.

PHASE

0.0 HZ 800. 0

TRANS RI: 1 fA: 100 ao.ooo....,-_________ ~~--------------,

IMAG

-ao. 000 ......L...-.------r---,.-----,------.r----r----...,---,---.......,.--'

-80.000 REAL 80.000

TRANS RI: 1 IA: 75 10.000-r.-------------------------------------------~

MAG

0.0

COHER

BOO.OO m

MAG

0.0

0.0

0.0

HZ BOO. 0

2 IA: 75

HZ BOO. 0

TRANS RI: 1 IA: 75 1BO . 00 ---y-_--;--_

PHASE

-1BO. 00 -+-----'----y-----r-----r---.....!.r-----r-----r-~-____,_---__I

TRANS

B.OOOO

IMAG

-B. 0000

0.0

RI:

-20.000

HZ BOO. 0

1 fA: 75

REAL 20.000

TAANS RI: 1 IA: 75 a5.000-r------~------------------------------------~

MAG

0.0

COHER

900.00 m

MAG

0.0

0.0

0.0

HZ BOO. 0

AI: 2 IA: 75

TRANS RI: 1 IA: 75 1BO.OO....,....~~ _____________ ---:-__ --rr-__ -.,

PHASE

TRANS

30.000

IMAG

-30.000

0.0

RI:

-100.00

HZ 800. 0

fA: 75

REAL 100.00

TRANS

35.000

MAG

0.0

COHER

900.00 m

MAG

0.0

0.0

0.0

Rt: 1 fA: 50

HZ BOO. 0

Rt: 2 fA: 50

TRANS RI: 1 fA: 50 180. OO~-'-r-------_______ -::--__ -;--__ ----'

PHASE

-180. 00 -+-~"--~--'"T"'""""--r-----r----r----,--~....,.---l

TRANS

SO.OOO

IMAG

-SO.OOO

0.0

RI: 1

-100.00

HZ 800. 0

fA: 50

REAL 100.00

TRANS

35.000

MAG

0.0

C:OHER

900.00 m

MAG

0.0

0.0

0.0

Rf: 9 fA: 50

HZ BOO. 0

Rf: 10 fA: 50

HZ BOO. 0

TRANS Rf: 9 fA: 50 180.00....,....---:-1::--____________ -: ___ --:-__ -----,

PHASE

-180. 00 -+-~--.---...__--.....__-___.--............. --___r_-....lI-...,.._-----i

TRANS

ao.ooo

IMAG

-ao.ooo

0.0

Rf:

-100.00

HZ 800. 0

9 fA: 50

REAL 100.00

Bij lage 5.

Bij1age 5.1.

Bet vereenvoudigde model.

Afleiding van de niet-lineaire bewegingsvergelijkingen.

In figuur b.5.1. is het in hoofdstuk 5. voorgestelde eenvoudige twee

dimensionale model met drie graden van vrijheid weergegeven.

Rotatie. Translatie.

t bo

~ Fig. b.S.l. Vereenvoudigd dynamisch model.

De massatraagheid J; en de massa m& hangen daarbij af van de radiale

positie x(t) van de robotarm. De beide deelmodellen zijn daardoor aan

elkaar gekoppeld. Als vector met vrijheidsgraden wordt aangenomen:

qT = [ 70 71 X J

Het behulp van de vergelijkingen van Lagrange (vgl. b.2.2.) zijn nu de

niet-lineaire bewegingsvergelijkingen te bepalen.

114

r. --: J 010

870

8Ekin r. -- = JIll

871

8Ek in t. -.- = mox

aX

8Ekin 8Ekin --=--=0

870 871

aEpot r --= -kOI (71-10) a,o

8Epot r --= ko t (71-10)

a71

8Epot 0 --=

ax

:

=

d r r d t r .. dJ,· r •• dJ I •• ~ J111+dt 1, = J111+dx XlI

d dt) t..

mox

8E k . r 1n 1 dJ.· 2 -;-= '2 dx 7.

r r k 01 70-k Ot11

r r -ko 17o+ko 171

115

( b.5.1.)

Bijlage 5.2. Afleiding van de lineaire

toestandsvergeliikingen.

De in bijlage 5.1. afgeleide niet-lineaire bewegingsvergelijkingen

( b.S.l.) kunnen weer omgeschreven worden naar toestandsvergelijkingen

( b.2.17.) door als toestandsvector aan te nemen:

Dat levert 6 niet-lineaire toestandsvergelijkingen op:

· . "Yo= "Yo

· . "Yl = "YI

· . x = x

( b.S.2.>

Door de toestandsvergelijkingen te lineariseren rond een nominale

trajectorie op dezelfde manier als in bijlage 2.3. wordt bet mogelijk

de toestandsvergelijkingen en de bijbeborende uitgangsvergelijkingen te

scbrijven in matrixnotatie:

x(t) = A(t) * x(t) + B(t) * u(t)

ACt) Jfx(l50(t),~o(t),t).

B(t) J fu (l5 0 (t) ,~o(t} ,t).

116

( h.S.3.)

at I 8t 1 at I at 1 8t I 8f l ... ax, 8x2 8xn aU I aU2 SUn

at 2 af 2 af 2 at 2 8f 2 af 2

ax, aX2 8xn SUI aU 2 SUn Sf at

Jfx=a~= J f =-=-= U au

af n af n af n Sf n af n Sf n

ax, SX 2 aXn SUI aU2 SUn

y(t) = C(t) .. x(t) + D(t) .. u(t) ( b.S.4.) - -

Omdat uitgangsvergelijking b.S.4. line air is, is die meteen in


o 1 0 0

1 0 0 0

:] D=[: :] c = [ :

117

8f I 8f I 8f I 10 = 0 -= 1 = 0

810··· 8x 810 811' •• 8x 11

8f 2 8f 2 8f 2 X = 0 -= 1 = 0 X =

810' •• 8;'c 811 8x · 10

· af 3 8f s 11 = 0 -= 1

810' •• 811 ax · X

c c 8f 4 ko! af 4 kOI af 4

-= - -=- -= 0 c r 810 Jo 811 Jo ax

r r r 8f 4 bo+bo I af 4 bOI 8f 4 -= - -= -= 0 a10

r 811

r ax J o Jo

r r af 5 kOI 8f 5 ko) afs -= -= -::=0 r r 810 J 1 811 Jo 8x

r [dJ;] . r r

a~, • _ [dJ;] • . af 5 bO I 8fS Xo bl+bo l 110 -= -=

- dx x: 810 r

811 r r c

J I J) J 1 ax dx xo J,

af 6 af 6 af 6 -: 0 -= 0 -: 0

810 a11 ax

r;] . t

8f6 8f6 110 af 6 bo -= 0 -=

dx x: -t -= - t

a.yo a11 mo 8x mo

118

Ingevuld in vergelijking b.S.3. leveren deze afgeleiden de matrices

A(t} en B(t) op:

. 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

A ::: r r r r r kOI kOI bo+bo I bo 1 - - - 0 - - 0 r r r r Jo Jo Jo Jo

r r r [ '] . r r

r:] .

kOI kOI bo I dJI Xo b I+bo l 110 - - 0 -- dx x: J~ - - dx x:

-r r r r J 1 Jo J, J 1 J 1

[dJ:] 710 t

bo 0 0 0 0 - *,. -,.

dx Xo mo mo

0 0 10

0 0 11

0 0 [ :n x B ::: u :: X :: r - - · I/Jo 0 10

0 · 0 11 t · 0 limo x

119

Bijlage 5.3. Bepaling van de modelparameters.

Door het uitgebreide model van hoofdstuk 3. te transformeren naar een

model met 3 vrijheidsgraden (Fig. b.5.2.) en dat model gelijk te

stellen aan bet vereenvoudigde model van hoofdstuk 5. (Fig. b. 5.1. )

kunnen de modelparameters van het eenvoudige model bepaald worden.

. R .R .R .R 1231 451 67 1 8910

»

T~ R R j-.Y-j I 128 I o+J 1+J 2 I R , L_''t2_3_1

R 3+J 4

Rotatie .

j-.Y-j R I 140 I

, B. , 5+J 6

L_''LU_l

j-.Y-j , 167 I I B. I

L''L6Ll

.R 18910

R 7+J S

» 70

--»0

b~+b~+b~ b~+b~ b~+b~ b~+b~ b~

7777;J:7777777777777:!:77777777777;JrJ77777777777:!:777777777777777IJ;77

j .T X 1

»

Translatie.

mo

Fig. b.S.2. Uitgebreid model getransformeerd naar eenvoudig model.

120

Daaruit volgen de volgende relaties tussen de 80delparameters van het

uitgebreide model en van het eenvoudige model:

r Il J l = Jg

t T JT' Tt mo = ~ ....!!JL2 + 8,

(i T)

1 + 1 + 1 (~Il)4k~l(i~)2 (~Il)4k~2(i~)2 (~Il)Sk~4(i~)2

1 -r- = kOI

+ --::--=-....;1~_ ~Ilk~8(i~)2 Il 4 Il Il Il 2

(~) [b o I+b 12] (io> +

r b l

Il = bg

t T bT' + bI' bo = ~~2

(iT)

r 4

To = (rl> T~i~

t T TT Fo =fJ !.l.

.T

Il' Jo =

Il' J2 =

1

J~+J~+J~

Jr = J}+J~ T' T T T Jo = JO+J I +J 2

Il' Il Il Il be = bo+b t +b 2

Il' b~+b! b l =

Il' b~+b~ b2 = Il' b~+b~ bs =

T' b~+br+bI bo = T'

b l = bo

121

.Il 10=

.Il *,Il .Il *.11 123 145*167 169 .Il 11= .Il *,1 *.1 145 167 189 .Il 12= .Il *.Il 167 189 .Il 13=

.Il 189

Deze relaties leveren de volgende waarden op voor de modelparameters

van het eenvoudige model:

r Jo = 42,10 kgm?

r 2 2 J, = (83,06+mL)*(x(t» + (l,48*m

L-19,09)*x(t) + 32,37 + O,5S*mL kgm.

t mo = 181. 2 to'.

k~l= 2,79*10 5 ::d. r

bo l = 0,050 r

bo = 1799 r

b l = 0,10 t

bo = 1273

Nms rad·

Nms rad· Nms rad· Ns . In

122

Bijlage 5.4. Aanpassen van de modelparameters.

Omdat aIleen het vereenvoudigde model van de rotatie een eigenwaarde

vertoont, kan aIleen dat model aangepast worden. Daartoe worden de

nominale snelheden gelijk aan nul genomen en worden de in bijlage 5.2.

afgeleidde lineaire toestandsvergelijkingen gesplitst in een deel voor

de rotatie en een deel voor de translatie. Bet modle voor de rotatie

wordt uitgebreid met de vergelijking voor de motor en de versterker op

dezelfde manier als in bijlage 4.1. Tevens wordt de matrix C weer .. aangepast zodat de versnelling 11 uitgang is. Daarna is door

beurtelings parameters aan te pass en het verschil tussen de gemeten

eigenwaarden en de berekende eigenwaarden geminimaliseerd. De volgende

modelparameters zijn aangepast:

J~ = 166,91*(x(t»2- 28,27*x(t) + 27,93 kgm 2 r Hm

to l = 156123 rad. r Nms

bo l = 583.29 rad. r Nms

bo = 6647 rad.

123

Bij1age 5.5. Overdrachtsfuncties.

De met de vergelijkingen van bijlage 5.4. (met de versnelling als

uitgangssignaal) bepaalde overdrachtsfuncties van het eenvoudige model

van de rotatiemodule staan op de volgende pagina's. Eerst de berekende

en vervolgens de gemeten oVerdrachtsfuncties voor verschillende radiale posities x(t}:

(1) x = 0 m. (2) x = 0,365 m. (3) x = -0,27 m.

124

12~----~----~----~----~----~

10

8

6

4

2

o~----~----~----~----~----~

o 10 20 30 40 50

100 r------..,..--------,----........,------r------_

-50

-100

-150 L.-I ____ ---'--___ ----J... ____ ----l. ____ .l....--_---!

o 10 20 30 40 50

10~----~----~----~----~~--~

8

6

4

2

o~· ----~------~----~----~----~ o 10 20 30 40 50

100~1 ----~------~----~----~-----.

! 50~

I o

-50

-100

-150~----~----~----~-----~~--~

o 10 20 30 40 50

8~----~----~----~----~----~

6

4

2

o~----~----~----~----~----~

o 10 20 30 40 50

100~1 ----~----~------~----~----~ I

\

50

o

-50

-100

-150~----~----~----~----~----~

o 10 20 30 40 50

MAG

0.0

C9HER

~O°ni°O I

MAG

0.0 0.0

RI: 5 fA: 75

RI: 6 fA: 75

HZ 50.0 0

TRANS Rf: 5 fA: 75 1BO.00-r--______ ~------------------------------------_,

PHASE

- ~BO. 00 -I--___r-~.,__-....,_-__..,..-_..,r__-_r__-__r_-___r--.,__-_I

0.0 HZ 50.0 0

TRANS 25.000-r------------------~r_------------------------_,

Rf: 5 fA: 75

i i

I

IMAG

-~5. 000 -----.,.---,------,r------.-----r-----r---.,-----....... I i

-BO.OOO REAL BO.OOO

TRANS

40.000

MAG

0.0

COHER

900.00 m

MAG

0.0 0.0

Rf: s fA: 75

Rf: fA: 75

HZ 50.0 0

TRANS Rf: 3 fA: 75 lBO.OO.....,--___ ~-----------------___,

PHASE

-lBO. 00 -+----...-~_r__-_,_-__r_-__,--..,..__-_r_-_r--r______f

0.0 HZ 50.0 0

TRANS Rf: 3 fA: 75

30.000

IMAG

-30.000

-100.00 REAL 100.00

TRANS RI: 5 fA: 75 14.000-r--------~----------------------------------_,

MAG

0.0

COHER

900.00 m

MAG

0.0 0.0

RI: 6 fA: 75

HZ 50.0 0

TRANS RI: 5 fA: 75 180.00-r-------r----------------____________________ ~

PHASE

-180.00~--_,--~._--_.--_.----._--_.--~----._--_.--~

0.0 HZ 50.0 0

TRANS RI: 5 fA: 75

10.000

IMAG

-10.000

-30.000 REAL 30.000

Bijlage 5.6. Impulsresponsies.

De met de vergelijkingen van bijlage 5.4. (met de verplaatsing als

uitgangssignaal) bepaalde impulsresponsies van het eenvoudige model van

de rotatiemodule staan op de volgende pagina-s voor verschillende

radiale posities x(t):

(1) x = 0 m. (2) x = 0,365 m.

(3) x = -0,27 m.

134

0.2 ....------.I-----rl------,-"""TI----r,-----,

0.15

0.1

0.05

I I I . I

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.15 r----=-"\--, I 11r-------r'---"""T,----r,-----,

~------------------~

0.1

0.05

I I , ,

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.15 r-----~--~____:__,.__,...__--,...__-____,

0.1

0.05

O~--~--~--~--~-~

O' 0.1 0.2 , 0.3 0.4 0.5

eindhoven university of technology master studie …studie van het dynamische model van een...

Documents