eksponencijalna funkcija
TRANSCRIPT
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 1/40
Експоненцијална функци
ја, график и особине
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 2/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
а се по!се"и#о$%&"а је "о функција'%С(ако пра(ило, пропис или !ого(ор по ко#е се
с(ако# еле#ен"у пр(ог скупа при!ру)ује "а*но је!ан еле#ен" !ругог скупа на+и(а#о функција
$ f X Y →
, - . / x X y Y f x y∀ ∈ ∃ ∈ ∴ =
$ f x y→
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 3/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% Скуп 0 на+и(а#о облас" !ефинисанос"ифункције, "ј!о#ен функције 1 f 2 3% Скуп 4 на+и(а#о облас" (ре!нос"и функције или ко!о#ен% x на+и(а#о не+а(исно про#ен5и(а, .или
оригинал/, а% y на+и(а#о +а(исно про#ен5и(а .или слика/, и +а(иси о! пра(ила f и оригинала
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 4/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% а се по!се"и#о$% &"а је график функције'% Скуп с(и6 уре7ени6 паро(а
% 8 f 2 . x,9 / : y 2 f . x /, x 0који цр"а#о у коор!ина"но# сис"е#у
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 5/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% Коју би функцију на+(али експоненцијално# функцијо#'% Функцију облика y = а x , тј. функцију
код које се независно променљива
налази у експоненту називамо
експоненцијалном функцијом.
;, <a a≠ >
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 6/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% П=И>Е=И ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА
% При#ери $
% али и$
? , x y = @ ,
x y = ?. / ,@
x y =
;. / ,?
x y =;
. / ,@
x y =?
. /@
x y =
? ;, x y = − @ , x y = − ;@
. / ,?
x y +=
;. / ;,?
x y = +
;? . / ,
@
x y = ×;?
. /@
x y −=
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 7/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% Како Aе#о нацр"а"и график и испи"а"и с(ојс"(а експоненцијалне функције'% Напра(иAе#о "аблицу, и+ра*уна"и
(ре!нос"и y 2 а x, нацр"а"и коор!ина"ни сис"е# и уцр"а"и !обијене "а*ке и на осно(у Bи6 нацр"аAе#о график,
% А након "ога са графика уо*а(аAе#оособине експоненцијални6 функција
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 8/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ери% Напра(и "аблицу (ре!нос"и +афункцију y 2а x, и+ра*унај (ре!нос"и
с"епена, нацр"ај коор!ина"ни сис"е#,уцр"ај !обијене "а*ке и нацр"ај график"ра)ене функције
х -3 -2 -1 1 2 3
у=a!
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 9/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ер ; y 22 x
% При#ер ? y 23 x % При#ер @ y =(3/2) x
% При#ер C y=(1/2) x
% При#ер D y=(1/3) x
% При#ер E y=(2/3) x
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 10/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ер ;FреGеBех -3 -2 -1 1 2 3
у=2! 1"# 1"$ 1"2 1 2 $ #
y
x
y=2 x
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 11/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ер ?FреGеBех -3 -2 -1 1 2 3
у=3! 1"2% 1"& 1"3 1 3 & 2%
y
x
y=3 x
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 12/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ер @FреGеBех -3 -2 -1 1 2 3
у='3"2(! #"2% $"& 2"3 1 3"2 &"$ 2%"#
y
x
y=(3/2) x
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 13/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ер CFреGеBех -3 -2 -1 1 2 3
у='1"2(! # $ 2 1 1"2 1"$ 1"#
y
x
y=(1/2) x
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 14/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ер DFреGеBех -3 -2 -1 1 2 3
у='1"3(! 2% & 3 1 1"3 1"& 1"2%
y
x
y=(1/3) x
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 15/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ер EFреGеBех -3 -2 -1 1 2 3
у='2"3(! 2%"# &"$ 3"2 1 2"3 $"& #"2%
y
x
y=(2/3) x
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 16/40
ОСОHИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА
&IА УОJАKА>О'
&IА ЈЕ СЛИJНО'
А &IА =АLЛИJИIО'
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 17/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
y 2 ? x,
y 2 @ x,
y 2 .@M?/ x
y=2 x
y=3 x y=(3/2) x
x
y
•
)',1(
*.+. =
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 18/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
y 2 .;M?/ x,
y 2 .;M@/ x,
y 2 .?M@/ x
y=(1/2) x
y=(2/3) x
y=(1/3) x
x
y
•
)',1(
*.+. =
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 19/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
x
y y=2 x y=(1/2) x
y=3 x y=(1/3) x
y=(3/2) x
y=(2/3) x
рас"уAе опа!ајуAе
;
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 20/40
ОСОHИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА
; Облас" !ефинисанос"и и облас"(ре!нос"и експоненцијалне функције
Облас" !ефинисанос"и 1 f 202N, Облас" (ре!нос"и 42 N O
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 21/40
ОСОHИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА
?Нуле експоненцијалне функције%Експоненцијалне функција не#а нула,"ј +а
било коју (ре!нос" x, yP<%Qрафик експоненцијалне функције ниг!е не пресеца RFосу
@Пресек графика са 9Fосо#%Qрафик експоненцијалне функције пресеца9Fосу у "а*ки .<,;/ у с(и# слу*аје(и#а
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 22/40
ОСОHИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА
CLнак експоненцијалне функције
%Експоненцијална функција јепо+и"и(на на цело# !о#ену,Qрафик је у(ек и+на! x-осе
, < x R y∀ ∈ >
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 23/40
ОСОHИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА
D Аси#п"о"е експоненцијалне функције%Аси#п"о"а је пра(а којој се графикфункције с"ално прибли)а(а али је ника!а
не !о!ирне
%Експоненцијална функција и#а 6ори+он"алну аси#п"о"у, "о је x-оса, "јпра(а y2<
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 24/40
ОСОHИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА
E>оно"онос" функције, "ј раGAеBе иопа!аBе функције
%Уо*а(а#о !(а слу*аја$; Lа a>;, експоненцијална функција је рас"уAа,"ј ако је x;S x?, он!а је
? Lа <<аS;, експоненцијална функција јеопа!ајуAа, "ј ако је x;S x?, он!а је
; ? x xa a<
; ? x xa a>
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 25/40
ОСОHИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА
TЕкс"ре#не (ре!нос"и%Експоненцијална функција не#а
екс"ре#ни6 (ре!нос"и, "ј не#а #ини#у# и #акси#у#
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 26/40
ОСОHИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА
&"а је "о број e?
Како би и+гле!ао график и које биособине и#але функције облика$
;?
, x
y e= ;. / , x ye
=
Microsoft Oce
erPoint 97-2003
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 27/40
КО>ПОLИЦИЈА ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ИЛИНЕА=НИ0 ФУНКЦИЈА, Q=АФИК И ОСОHИНЕ
а се по!се"и#о$%Ко#по+иција функција је (f ◦g)(x)=f(g(x))
Ко#по+ицијо# (f ◦g)(x) или (g ◦ f )(x)
при *е#у је$ g(x)=a x и f(x)=kx +n,
#о)е#о !оби"и неке о! сле!еAи6 функција$, ? ;, x y = − @ , x y = −;.@ M ?/ , x y +
=
.;M ?/ ;, x y = + ? .;M @/ , x y = ×;.?M@/ x y −
=
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 28/40
Q=АФИК И ОСОHИНЕ КО>ПОLИЦИЈЕЕКСПОНЕНЦИЈАЛНЕ И ЛИНЕА=НЕ ФУНКЦИЈЕ
Како Aе#о нацр"а"и график и испи"а"ис(ојс"(а о(и6 функција'%Напра(иAе#о "аблицу, и+ра*уна"и
(ре!нос"и функције, уцр"а"и !обијене"а*ке у коор!ина"ни сис"е# и нацр"а"и
график
%Са графика уо*а(аAе#о особине о(и6функција и у"ицај пара#е"ара
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 29/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ери% Напра(и "аблицу (ре!нос"и +афункцију y = f(x), и+ра*унај (ре!нос"и
функције, нацр"ај коор!ина"ни сис"е#,уцр"ај !обијене "а*ке и нацр"ај график"ра)ене функције
х -3 -2 -1 1 2 3у= f(x)
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 30/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
% При#ер ; y=2 x
-1% При#ер ? y=-3 x
% При#ер @ y=(3/2) x+1
% При#ер C y=(1/2) x+1% При#ер D y=2(1/3) x
% При#ер E y=(2/3) x-1
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 31/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер ;FреGеBе
х -3 -2 -1 1 2 3
у=2! 1"# 1"$ 1"2 1 2 $ #
у=2!-1 -%"# -3"$ -1"2 1 3 %
y
x
y=2
x
y=2 x-1
•
•
)1',1(
)2',(
*.+. =
*.+. =-1
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 32/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер ?FреGеBе
х -3 -2 -1 1 2 3у=3! 1"2% 1"& 1"3 1 3 & 2%
у=-3! -1"2% -1"& -1"3 1 -3 -& -2%
y
x
y=3
x
y=-3 x
)1',1(
*.+. =•
•
)2',-1(*.+. =
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 33/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер @FреGеBе
х -3 -2 -1 1 2 3
у='3"2(! #"2% $"& 2"3 1 3"2 &"$ 2%"#
у='3"2(!1 $"& 2"3 1 3"2 &"$ 2%"# #1"1
y
x
y=(3/2)
x
y=(3/2) x+1
••
*.+. =
)3',3"2(
*.+. =
) 1',1(
•
)2'1,3"2(
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 34/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер CFреGеBе
х -3 -2 -1 1 2 3
у='1"2(! # $ 2 1"2 1"$ 1"#
у='1"2(!1 & / 3 1 3"2 /"$ &"#
y
x
y=(1/2) x
y=(1/2) x+1•
)2',2(
)1',1(
*.+. =1
*.+. =
•
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 35/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер DFреGеBе
х -3 -2 -1 1 2 3
у='1"3(! &"2 /"2 3"2 1"2 3"$ /"# &"1
у=2'1"3(! & / 3 1 3"2 /"$ &"#
y
x
y=(1/3) x
y=2(1/3) x)2',2(
) 1',1( •
• *.+. =
*.+. =
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 36/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер EFреGеBе
х -3 -2 -1 1 2 3
у='2"3(! 2%"# &"$ 3"2 1 2"3 $"& 1"2%
у='2"3(!-1 #1"1 2%"# &"$ 3"2 1 2"3 $"&
y
x
y=(2/3) x
y=(2/3) x-1
)3',3"2( )1',1(
•• *.+. =
*.+. =
•)2'-1,3"2(
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 37/40
Q=АФИК ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНЕ ФУНКЦИЈЕ
Qрафик експоненцијалне функције у = а х #еBа се након
ко#по+иције са линеарно# функцијо# y=kx+n, у +а(иснос"и о!пара#е"ара на сле!еAи на*ин$%у 2 а хO U F"ранслација ко#ле"ног графика по у оси +а о!се*ак Uна(иGе, функција не#а нулу, аси#п"о"а се по#ера на(иGе, пресекграфика функције са у осо# је у I.< , ;OU/,
%у 2 а х V U F"ранслација ко#ле"ног графика по у оси +а о!се*ак Uнани)е , функција и#а нулу, аси#п"о"а се по#ера нани)е, пресекграфика функције са у осо# је у I.< , ;FU/,%у 2 а х-c график се "ранслира по 6 оси у!есно +а (ре!нос" 0 ,аси#п"о"а ос"аје ис"а, +нак функције је ис"и, функција не#а нуле,
#еBа се "а*ка пресека са у осо#,%у 2 а х+c график се "ранслира по 6 оси уле(о +а (ре!нос" 0 ,аси#п"о"а ос"аје ис"а, +нак функције је ис"и, функција не#а нуле,#еBа се "а*ка пресека са у осо#,
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 38/40
Q=АФИК ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНЕ ФУНКЦИЈЕ
% у 2 W а х, график функције се "ранслира по 6Fоси и #еBа се "а*ка
пресека графика са уFосо#, аси#п"о"а функције ос"аје ис"а,функција не#а нуле, функција је у(ек по+и"и(на,% у 2 FW а х , график функције се "ранслира по 6Fоси, си#е"ри*но се
преслика(а у о!носу на 6Fосу и #еBа се "а*ка пресека графикаса уFосо# , аси#п"о"а функције ос"аје ис"а, функција не#а
нуле, фнкција је у(ек нега"и(на,матрамо да су сви параметри позитивни тј. веи од нуле.
7/23/2019 Eksponencijalna funkcija
http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 39/40
ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
Qрафик функције y
2 .;M?/ x-5
y=(1/2) x-5 y>0
y<0
•
а4ка пресека са x -осом