EL CONTROL ROBUSTOEL CONTROL ROBUSTO

YY

EL ESPACIO DE PARÁMETROSEL ESPACIO DE PARÁMETROS

Roberto Hernández, Fernando Roberto Hernández, Fernando MorillaMorillaU.N.E.D.U.N.E.D.

RESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSTeorema de Teorema de KharitonovKharitonov, 1978: intervalo de polinomios., 1978: intervalo de polinomios.

20 1 2( , ) n

I nP s q q q s q s q s= + + + +L

1 2( , , , ) , [ , ]nn i i iq q q q R q q q− += ∈ ∈K

Necesario y suficiente: 4 polinomios distinguidos.Necesario y suficiente: 4 polinomios distinguidos.K s q q s q s q s q s q s q s1 0 1 2

23

34

45

56

6( ) ...;= + + + + + + +− − + + − − +

K s q q s q s q s q s q s q s2 0 1 22

33

44

55

66( ) ...;= + + + + + + ++ + − − + + −

K s q q s q s q s q s q s q s3 0 1 22

33

44

55

66( ) ...;= + + + + + + ++ − − + + − −

K s q q s q s q s q s q s q s4 0 1 22

33

44

55

66( ) ...;= + + + + + + +− + + − − + +

OlbrotOlbrot, 1983. , 1983. BarmishBarmish..

CONTROL ROBUSTO: modelo de perturbaciones.

Estructuradas: se establecen en los parámetros de la planta.

0< ≤ ≤− +q q qi i i

y se evita el mallado clásico

Extensión a otros casos: discreto, comportamiento robusto, ...

∀ n

Los coeficientes dependen de forma afín lineal de q

p s q s a q sni

i

i

n( , ) ( )= +

=

−∑

0

1

Teorema de la Arista, Teorema de Rantzer

ANÁLISIS: TEORÍA MADURA

(Barmish, 1993)(Ackermann, 1993)

OBJETIVO: RESULTADOS PARA EL PROBLEMA DE DISEÑO

■ POLITOPOS

RESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOS

RESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOS

I I I

( , )( , , ) : ( , , ) , ( , ) , ( , )

( , )p

p Pp

N s bP P s a b P s a b N s b N D s a D

D s a = = ∈ ∈

( )( )( )c

c

N sC sD s

=

( )y t+

-( )C s ( , , )IP s a b( )u t

I ( )= ( ) ( , ) ( ) ( , ) c p c ps N s N s b D s D s aδ +

Politopo

Paradigma de intervalo de plantas:

RESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSResultados previos:

Ghosh, 1985: Controladores positivos, 4 polinomios.

Chapellat-Bhattacharyya, 1989: 32 aristas distinguidas.

Hollot y Yang, 1990: Controladores de 1er orden. Todas

las plantas extremas.

Barmish et al., 1992: Controladores de 1er orden. 16 plantas

de Kharitonov.

Djaferis, 1993: 64 polinomios virtuales.

RESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSHernHernáández ndez et al.,et al., 1995 1995: : 32 polinomios virtuales.32 polinomios virtuales.

Se construyen en funciSe construyen en funcióón del controlador y de los polinomios den del controlador y de los polinomios de

Kharitonov Kharitonov del numerador y del denominador de la plantadel numerador y del denominador de la planta..

Propiedades y conservadurismoPropiedades y conservadurismo..

HernHernáández ndez et al.,et al., 1996, Hern 1996, Hernáández ndez et al.,et al., 1998 1998: : GeneralizaciGeneralizacióónn

del menor intervalo de polinomios que contiene al del menor intervalo de polinomios que contiene al politopopolitopo de de

polinomios.polinomios.

HernHernáández ndez et al.et al., 1999, 1999: Generalización de los polinomios de: Generalización de los polinomios de

BialasBialas, conservadurismo., conservadurismo.

RESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSRESULTADOS DE PUNTOS EXTREMOSCONCLUSICONCLUSIÓÓNN: : RPE PARA INTERVALO DE PLANTAS.RPE PARA INTERVALO DE PLANTAS.

PROBLEMA:PROBLEMA: ESTABILIZAR UN POLINOMIO. ESTABILIZAR UN POLINOMIO.

0( )

ni

ii

p s c s=

=∑ i

Kiii

Aii

ii sksaksp ∑∑

∈∀∈∀

+=//

),(

Coeficientes constantes:Coeficientes constantes:

Parámetros:Parámetros:

{ }constccaA iii === /

{ }constcckK iii ≠== /

OBJETIVOOBJETIVO: Determinar : Determinar KK, si existe, tal que , si existe, tal que pp((s,ks,k)) sea estable sea estable

ROUTHROUTH: : 2 par2 paráámetros metros Necesidad de resultados en el Necesidad de resultados en el

espacio de parespacio de paráámetros.metros.

ESPACIO DE PARÁMETROSESPACIO DE PARÁMETROSESPACIO DE PARÁMETROSRESULTADOS OBTENIDOS:RESULTADOS OBTENIDOS:

Condiciones necesarias y suficientes para estabilizar un polinomioCondiciones necesarias y suficientes para estabilizar un polinomio

en el en el espacioespacio de par de paráámetros: metros: EXISTENCIAEXISTENCIA DE SOLUCIDE SOLUCIÓÓN.N.

ALGORITMO para obtener un ALGORITMO para obtener un CONJUNTO DE PARÁMETROSCONJUNTO DE PARÁMETROS que que

estabiliza el polinomio.estabiliza el polinomio.

VVáálido para cualquier orden y cualquier nlido para cualquier orden y cualquier nºº de par de paráámetros.metros.

Resuelve de forma inmediata cuando Resuelve de forma inmediata cuando n < 12n < 12 y y 44 par paráámetros.metros.

ESPACIO DE PARÁMETROSESPACIO DE PARÁMETROSESPACIO DE PARÁMETROS

ALGORITMO para obtener un ALGORITMO para obtener un CONJUNTO DE PARÁMETROSCONJUNTO DE PARÁMETROS que que

estabiliza el estabiliza el POLITOPO DE POLINOMIOSPOLITOPO DE POLINOMIOS..

General.General.

Desarrollando expresiones analDesarrollando expresiones analííticas.ticas.

Posible resolver cualquier problema particular.Posible resolver cualquier problema particular.

EN LA ACTUALIDAD:EN LA ACTUALIDAD:

i

Kiii

Aii

ii sbsaksp ∑∑

∈∀∈∀

+=//

),(

ib : funci: funcióón lineal de los parn lineal de los paráámetrosmetros ik

CASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTOR

X

Y

Lh , ωh

Lv , ωv

Z

CASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTOR

Se controla el ángulo de asiento (variable controlada) con la tensión al motor principal (variable manipulada):- manteniendo bloqueado el eje vertical o- considerando que la tensión al motor de cola actúa como variable de perturbación.

1) A1) Aplicaciplicacióón de control monovariablen de control monovariable..

Modelo:Modelo: ( )( ) ( )

o3 2

3 2 1 o

b θG(s)

a s a s a θ s a θ=

+ + +

θθ = = áángulo de asiento que depende del punto de operacingulo de asiento que depende del punto de operacióón.n.

-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 00

20

40

60

80

100

120

140

θθ

bb00

CASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTOR

-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 02.05

2.1

2.15

2.2

2.25

2.3

2.35

2.4

2.45

2.5

2.55

θθ

a1

aa11

-45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 01.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

θθ

aa00

( ) [ ]ob θ 18.427, 137.9447∈

Modelo de incertidumbre: intervalo de plantasModelo de incertidumbre: intervalo de plantas

( ) [ ]oa θ 1.3993, 1.7407∈ ( ) [ ]1a θ 2.0535, 2.5423∈

2a 1,0711= 3a 1,4320=

primer orden primer orden 16 p. virtuales, dise 16 p. virtuales, diseñño no conservador.o no conservador.i

1C(s) K+sT

=

CASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORPlanta con numerador de grado cero Planta con numerador de grado cero 8 plantas virtuales 8 plantas virtuales. Soluci. Solucióón.n.

-5 0 5 10 15 20

x 104

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01Asín

Ti

k

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x 104

-0.016

-0.015

-0.014

-0.013

-0.012

-0.011

-0.01

-0.009

-0.008

-0.007

-0.006

Ti

k

Zona de estabilidad

Zona de estabilidad

7 polinomios estables, y 7 polinomios estables, y unouno inestable. inestable.

CASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTOR

( ) [ ]ob θ 18.427, 117.9447∈

Posible modelo conservador:Posible modelo conservador:

Conocimiento de la planta Conocimiento de la planta relaci relacióón lineal entre an lineal entre a00 y a y a11..

AproximaciAproximacióón n politpolitóópica pica de bde b00..

Por ejemplo, si:Por ejemplo, si: se estabilizanse estabilizan

los ocho polinomios.los ocho polinomios.

-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

-0.0125

-0.012

-0.0115

-0.011

-0.0105

Zona de estabilidad

Ti

k

Observaciones:Observaciones:

1) k negativo peque1) k negativo pequeññoo

2) Ti grande2) Ti grande

3) Comportamiento ???3) Comportamiento ???

CASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORUn parUn paráámetro mmetro máás: PID acads: PID acadéémico:mico:

DiseDiseñño conservador: 32 p. v. (16)o conservador: 32 p. v. (16)

Dise Diseñño no conservador (8 vo no conservador (8 véértices + aristas)rtices + aristas)

IP D

KC(s) K + K ,s

s= + P I DK ,K ,K 0>

-40 -20 0 20 40 60 80 100-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

ki

kp

Zona de estabilidadde los 8 vértices

kd=2;

Aristas: casi toda la zona estabiliza las aristas.Aristas: casi toda la zona estabiliza las aristas.

1)1)

CASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTOR

D P I K 2; K =1; K 5;= =

-12000 -10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000-400

-200

0

200

400

600

800Conjunto de valores

CASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTOR

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

-60

-40

-20

0

20

40

60

618.5 619 619.5 620 620.5 621 621.5 622

69.5

69.55

69.6

69.65

69.7

69.75

2)2)

3)3)D P I K 2; K =1.4; K 0.1;= =

D P I K 2; K =0.01; K 2.5;= =

CASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORCASO REAL: DOBLE ROTORComportamiento: Comportamiento: DD-estabilidad.-estabilidad.

El intervalo de plantas El intervalo de plantas puedepuede convertirse en convertirse en politopopolitopo::

Conservador en el modeloConservador en el modelo

Conservador en el diseConservador en el diseñño (menor coste computacional)o (menor coste computacional)

CControl multivariableontrol multivariable: m: máás pars paráámetros, mmetros, máás grado de los polinomioss grado de los polinomios

caractercaracteríísticos.sticos.

OTROS ÁMBITOSOTROS ÁMBITOSOTROS ÁMBITOSControl Control PredictivoPredictivo –– politopospolitopos de plantas. de plantas.

Resultados de anResultados de anáálisis:lisis:

GPC δ(s) es un politopo de polinomios, aplicación RPE

Mean level, Dead beat

CRHPC menos robusto que GPC

Influencia del polinomio T en δ(s)

DinDináámicas rmicas ráápidas y lentas: Generalizacipidas y lentas: Generalizacióón del Teorema den del Teorema de

KharitonovKharitonov intervalos de polinomios que pueden disminuir de grado. intervalos de polinomios que pueden disminuir de grado.

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