el problema de halting

5/9/2018 El Problema de Halting - slidepdf.com

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5.2

EL PROBLEMA DE

HALTING



El problema de Halting o problema de la

parada o problema de la detención es el

primer problema indecidible mediantemaquinas de Turing.

Equivale a construir un programa que te digasi un problema de ordenador finaliza alguna

vez o no.



El problema de la parada o problema de la

detención para máquinas de Turing es el

ejemplo de problema irresoluble másconocido.

Consiste en determinar si una máquina de

Turing se detendrá con cierta entrada o si

quedará en un ciclo infinito.



El concepto de problema indecidible oirresoluble se aplica a problemas a los quepodemos decir si tienen solución o no.

El razonamiento a seguir sería: si suponiendoque un problema es decidible, se puede

demostrar que el problema de la parada tienesolución, entonces podemos llegar a laconclusión de que el problema en cuestión nola tiene, por reducción al absurdo.



supongamos que existe una máquina de

Turing que es capaz de determinar si otra

máquina de Turing terminará con una entradadeterminada.

Llamemos Termina a esta máquina.



Esta máquina recibiría como entrada la

cadena M,w , donde M es la codificación de

una máquina de Turing y w es la codificaciónde la cadena que se le alimenta a M.



La máquina Termina terminará en un estado

de aceptación si M para ante la entrada w , y

en otro caso terminará en un estado derechazo, pero nunca entrará en un ciclo

infinito.



Referencias

http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/teoriad

elacomputacion/index.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_

parada#Demostraci.C3.B3n_por_construcci.

C3.B3n_de_m.C3.A1quinas_de_Turing



Definicion del problema

El problema del paro consiste en determinarsi una máquina de Turing cualquiera sedetendrá ante cualquier entrada dada.

Es decir, si existe una máquina MThcapaz de

determinar si cualquier otra máquina se va adetener o no.

Es conocido que elproblema del altoesindecidible



Demostración de la indecibilidad

Para demostrar que el problema del alto es

indecidible tenemos que probar la siguienteafirmación:

NO existe una máquina MT que tomando como

entrada cualquier máquina MT0, termine después

de un tiempo finito y responda SÍcuandoMT0termine y NOcuando MT0no termine.MTh



Funcionamiento de la máquina hipotética MT MTh

Cuando MT0termina

Si MThexiste existe el problema es decidible

Si MThNO existe NOel problema es indecidible



Estrategia de la demostración

Por contradiccióndemostraremos que no existe una máquina MThque resuelva el problema del

alto.

Hipótesis:

Supondremos que existe MTh.

Al final llegaremos a una contradicción derivada

de esta hipótesis.



Estrategia de la demostración

Construyamos una nueva máquina MTs que secomporte de la siguiente manera:

La nueva máquina MTstomará como entrada una

máquina dada MT0. MTsejecutará la máquina MThy le dará como entrada la

máquina MT0. Por hipótesis, MThterminará en algúnmomento y responderá SÍ o NO (según MT0termine ono).

Si MTh dice SÍ, entonces MTsentra en un ciclo infinito y no termina.

Si MTh dice NO, entonces MTsse detiene inmediatamente(la salida no importa).



La nueva máquina MT MTs

Si MT0terminaMTSno termina

Si MT0 no terminaMTStermina



¿Qué sucede si MT es la entrada de sí misma? Existe cierta entrada para la cual MTs produce unacontradicción.La máquina de entrada que causa esta contradicciónes la propia MTs (MT0=MTs).

Para ver por qué la entrada MTscausa unacontradicción, supongamos dos casos:

1. Que MTstermina cuando es entrada de sí misma.2. Que MTsno termina cuando es entrada de sí misma.



Caso 1 MTs es dada como su propia entrada (una copia).



2. MTh recibe como entrada a MTs.



3. Por hipótesis, MTh responderá SÍ ya que

supusimos que MTstermina.



4. Una vez que MTh responde SÍ, comienza un

ciclo infinito.



Esto implica que la suposición de que MTstermina

al aplicarse a sí misma, implica que MTsno termina!



MT no termina cuando es la entrada de sí

misma. MTs.



Caso 2

1. MTs es dada como su propia entrada (una copia).



2. MTh recibe como entrada a MTs.



3. Por hipótesis, MTh responderá NO ya que

supusimos que MTsno termina.



4. Una vez que MTh responde NO, MTs

termina.



Esto implica que la suposición de que MTsno

termina al aplicarse a sí misma implica queMTstermina!



Conclusiones

De los dos casos anteriores, concluimos que

cualquiera de las suposiciones sobre MTs(queMTstermine o no) implica su negación.

Esto quiere decir que es imposible tanto que MTstermine como que no termine!



Conclusión final

Ya que MTs fue construido legalmente, la únicaparte que puede ser responsable de lacontradicción es la máquina hipotética MTh.

La conclusión final es que una máquina de TuringMThque resuelva el problema del paro no existe.

Por lo tanto el problema del paro es indecidible.

el problema de halting

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