electron a photon with toroidal topology

8/7/2019 electron a photon with toroidal topology

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P u b l i s h e d i n : A n n a l e s d e l a F o n d a t i o n L o u i s d e B r o g l i e , V o l u m e 2 2 , n o . 2 , 1 3 3 ( 1 9 9 7 )

I s t h e e l e c t r o n a p h o t o n w i t h

t o r o i d a l t o p o l o g y ?

J . G . W i l l i a m s o n

( a )

a n d M . B . v a n d e r M a r k

( b )

( a )

G l a s g o w U n i v e r s i t y , D e p a r t m e n t o f E l e c t r o n i c s & E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g ,

G l a s g o w G 1 2 8 Q Q , S c o t l a n d

( b )

P h i l i p s R e s e a r c h L a b o r a t o r i e s ,

P r o f . H o l s t l a a n 4 , 5 6 5 6 A A E i n d h o v e n , T h e N e t h e r l a n d s

A b s t r a c t

W e s t u d y t h e p r o p e r t i e s o f a s i m p l e s e m i - c l a s s i c a l m o d e l o f a p h o t o n c o n n e d i n p e r i o d i c

b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f o n e w a v e l e n g t h . T h e t o p o l o g y o f t h i s o b j e c t , t o g e t h e r w i t h t h e

p h o t o n e l e c t r i c e l d , g i v e r i s e t o a c h a r g e o f t h e o r d e r o f 1 0

1 9

C o u l o m b a n d a h a l f - i n t e g r a l

s p i n , i n d e p e n d e n t o f i t s s i z e . T h e r a t i o o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e n e r g y i n s i d e a n d o u t s i d e t h e

o b j e c t l e a d s t o a n a n o m a l o u s s p i n g f a c t o r w h i c h i s c l o s e t o t h a t o f t h e e l e c t r o n . A l t h o u g h

a n i t e s i z e o f o r d e r 1 0

1 2

m e t e r a r i s e s i n a n a t u r a l w a y , t h e a p p a r e n t s i z e o f t h e o b j e c t w i l l

b e m u c h s m a l l e r i n e n e r g e t i c s c a t t e r i n g e v e n t s .

N o u s e t u d i o n s l e s p r o p r i e t e s d ' u n m o d e l e s e m i - c l a s s i q u e s i m p l e d ' u n f o t o n r e n f e r m e d a n s u n

d o m a i n e d ' u n e s e u l e l o n g u e u r d ' o n d e . L a t o p o l o g i e d e c e t o b j e t , a v e c l e c h a m p e l e c t r i q u e

d u f o t o n , a m e n e n t a u n e c h a r g e d e 1 0

1 9

C o u l o m b e t a u n s p i n d e m i - i n t e g r a l e , q u i s o n t

i n d e p e n d e n t s d e s a d i m e n s i o n . L a p r o p o r t i o n d e l ' e n e r g i e e l e c t r o m a g n e t i q u e d a n s e t h o r s

d e l ' o b j e t d o n n e u n r a t i o g y r o m a g n e t i q u e t r e s p r o c h e d e c e l u i d e l ' e l e c t r o n . B i e n q u e l ' o b j e t

a u n e d i m e n s i o n d e 1 0

1 2

m e t r e , l a d i m e n s i o n q u i p o u r r a s e m a n i f e s t e r d a n s l e s e x p e r i e n c e s

a h a u t e e n e r g i e s e r a b e a u c o u p p l u s p e t i t e .

1


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1 I n t r o d u c t i o n

D u r i n g t h e p a s t c e n t u r y t h e r e h a s b e e n m u c h i n t e r e s t i n d e s c r i b i n g e l e m e n t a r y p a r t i c l e s

p u r e l y a s e l d p h e n o m e n a . [ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 ] T h e

g e n e r a t i o n o f c h a r g e d p a r t i c l e s f r o m u n c h a r g e d e l d s , [ 1 8 , 1 9 , 2 0 ] a n d t h e c r e a t i o n o f f e r m i o n s

f r o m b o s o n s [ 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 ] h a v e b e e n a d d r e s s e d i n t h e l i t e r a t u r e . D e s p i t e t h i s w o r k , t h e

p h y s i c a l o r i g i n o f c h a r g e a n d h a l f - i n t e g r a l s p i n a r e n o t y e t f u l l y u n d e r s t o o d .

W i t h i n t h e c u r r e n t t h e o r y o f c h a r g e - p h o t o n i n t e r a c t i o n s , q u a n t u m e l e c t r o d y n a m i c s , b o t h

t h e c h a r g e a n d m a s s m u s t b e l e f t a s f r e e p a r a m e t e r s , t h e c h a r g e a n d m a s s o f t h e b a r e e l e c t r o n

d i v e r g e , a n d a r e n o r m a l i s a t i o n s c h e m e m u s t b e a d o p t e d t o i m p o s e t h e p h y s i c a l l y o b s e r v e d

v a l u e s e a n d m

e

. T h i s i m p l i e s t h a t q u a n t u m e l e c t r o d y n a m i c s , a s i t s t a n d s , c a n n o t d e s c r i b e

t h e o r i g i n o f c h a r g e a n d m a s s , a s t h e s e d e g r e e s o f f r e e d o m h a v e a l r e a d y b e e n u s e d i n s e t t i n g

u p t h e t h e o r y . [ 2 5 , 2 6 ] D e s p i t e i t s t r e m e n d o u s s u c c e s s i n d e s c r i b i n g t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n

e l e c t r o n s a n d p h o t o n s , t h e t h e o r y d o e s n o t a d d r e s s t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f t h e e l e c t r o n .

I n t h e c l a s s i c a l A b r a h a m - L o r e n t z t h e o r y o f t h e e l e c t r o n , [ 2 6 , 2 7 , 2 8 ] t h e e n e r g y c o n t a i n e d

i n t h e C o u l o m b e l d o f a c h a r g e e i n a l l s p a c e o u t s i d e i t s r a d i u s R i s

U

e l e c

=

Z

j ~r j R

"

0

2

E

2

d ~r =

Z

1

R

e

2

8 "

0

r

2

d r =

e

2

8 "

0

R

: ( 1 )

F o r a p o i n t c h a r g e , w i t h R = 0 , t h e t o t a l e n e r g y U

e l e c

i s i n n i t e . T h e p h y s i c a l m a s s o f t h e

e l e c t r o n , m

e

= U = c

2

= 0 : 5 1 1 M e V = c

2

, t h e n i m p o s e s a l o w e r l i m i t o n i t s s i z e o f t h e o r d e r o f

t h e s o - c a l l e d c l a s s i c a l e l e c t r o n r a d i u s r

0

2 R = 2 : 8 2 1 0

1 5

m . W e k n o w f r o m h i g h - e n e r g y

s c a t t e r i n g e x p e r i m e n t s , [ 2 9 ] o n t h e o t h e r h a n d , t h a t t h e e l e c t r o n i n t e r a c t i o n i s p o i n t - l i k e

d o w n t o l e n g t h s c a l e s b e l o w 1 0

1 8

m . N o t e t h a t t h i s d o e s n o t n e c e s s a r i l y i m p l y t h a t t h e

e l e c t r o n i s a p o i n t , b u t r a t h e r t h a t t h e e l e c t r o n b e h a v e s i n s c a t t e r i n g e v e n t s a s t h o u g h i t

i s a s i n g l e o b j e c t w i t h a 1 = r p o t e n t i a l , w i t h o u t e x t r a i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m . T h i s i s

i n c o n t r a s t t o t h e c a s e f o r t h e p r o t o n , f o r e x a m p l e , w h e r e o n e h a s a s e t o f s u b - c h a r g e s h e l d

t o g e t h e r b y b i n d i n g f o r c e s . W e c a n s u m m a r i s e t h e s e a p p a r e n t l y c o n t r a d i c t o r y e l e m e n t s a s

f o l l o w s : t h e e l e c t r o n m u s t h a v e a p o i n t - l i k e i n t e r a c t i o n a n d t h e r e f o r e m u s t b e a s i n g l e o b j e c t ,

b u t i t m u s t n e v e r t h e l e s s h a v e a n i t e e x t e n t .

U n l e s s t h e e l e c t r o n h a s s o m e i n t e r n a l s t r u c t u r e , t h e r e i s a l s o s o m e d i c u l t y i n r e c o n c i l i n g

t h e e l e c t r o m a g n e t i c m a s s m = U

e l e c

= c

2

w i t h t h e t o t a l m o m e n t u m o f i t s e l e c t r o m a g n e t i c

e l d . [ 2 6 , 2 7 , 2 8 , 3 0 , 3 1 , 3 2 ] T h e p r o b l e m c a n b e r e s o l v e d b y p o s t u l a t i n g s o m e i n t e r n a l

f o r c e s , t h e s o - c a l l e d P o i n c a r e - s t r e s s e s , w h i c h , i t h a s b e e n a r g u e d , [ 3 0 ] w i l l i n a n y c a s e h a v e

t o b e p r e s e n t t o p r e v e n t t h e e l e c t r o n f r o m y i n g a p a r t d u e t o t h e C o u l o m b i n t e r a c t i o n .

A s p o i n t e d o u t a b o v e , t h e p r e s e n c e o f t h e s e b i n d i n g f o r c e s b e t w e e n t h e e l e c t r o n c h a r g e

d i s t r i b u t i o n w o u l d i n t e r f e r e w i t h t h e p o i n t - l i k e i n t e r a c t i o n .

A n o t h e r a p p r o a c h t o s o l v i n g t h e p r o b l e m s i n t h e c l a s s i c a l t h e o r y i s t o r e d e n e t h e e l e c -

t r o m a g n e t i c e l d e n e r g y a n d m o m e n t u m i n e x p l i c i t l y c o v a r i a n t f o r m . [ 3 3 , 3 4 ] I f w e w a n t t o

2


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d e s c r i b e t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f t h e e l e c t r o n , h o w e v e r , t h i s h a s t h e s e r i o u s d r a w b a c k t h a t ,

e e c t i v e l y , t h e e l e c t r o n ' s i n t e r i o r e l d s a r e n o r m a l i s e d t o z e r o . [ 3 5 ] A g a i n , a s i s t h e c a s e f o r

q u a n t u m e l e c t r o d y n a m i c s , o n e c a n s a y n o t h i n g a b o u t t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f t h e e l e c t r o n .

I n t h i s p a p e r , w e f o r m u l a t e a s i m p l e m o d e l b a s e d o n a s i n g l e p o s t u l a t e : t h a t t h e r e e x i s t s

a s t a t e o f a s e l f - c o n n e d s i n g l e - w a v e l e n g t h p h o t o n . W e w i l l a r g u e t h a t t h e s e d i s t i n c t s t a t e s

a r e c r e a t e d a n d d e s t r o y e d i n c h a r g e - c o n j u g a t e p a i r s . I n e e c t w e r e p l a c e t h e p o s t u l a t e d

P o i n c a r e - s t r e s s e s , w h i c h c o n n e t h e e l e c t r o n c h a r g e , w i t h a p o s t u l a t e d s e l f - c o n n e m e n t

m e c h a n i s m f o r a p h o t o n . T h a t w e c h o o s e a p h o t o n r a t h e r t h a n a n e l e c t r o m a g n e t i c w a v e

i n t r o d u c e s t h e r e l a t i o n E = h ! , a n d t h e m o d e l w e p r o p o s e w i l l b e s e m i - c l a s s i c a l . T h e

a p p r o a c h i n w h a t f o l l o w s i s t o i n v e s t i g a t e t h e c o n s e q u e n c e s o f d e m a n d i n g p e r i o d i c b o u n d a r y

c o n d i t i o n s o f l e n g t h o n e w a v e l e n g t h o n a q u a n t i s e d e l e c t r o m a g n e t i c w a v e . W e w i l l s e e

t h a t t h i s l e a d s n a t u r a l l y t o a m o d e l w i t h a n o n - s i m p l y c o n n e c t e d t o p o l o g y . T h e m o d e l

s u g g e s t s a p o s s i b l e o r i g i n f o r b o t h c h a r g e a n d h a l f - i n t e g e r s p i n a n d a l s o r e c o n c i l e s t h e

a p p a r e n t l y c o n t r a d i c t o r y c r i t e r i a d i s c u s s e d a b o v e f o r t h e e l e c t r o n . A l t h o u g h w e h a v e s i m p l y

p o s t u l a t e d t h a t t h e p h o t o n m a y b e c o n n e d , w e w i l l a l s o d i s c u s s s o m e p o s s i b l e o r i g i n s f o r

t h i s c o n n e m e n t .

O u r m a i n m o t i v a t i o n f o r t h e c e n t r a l p o s t u l a t e s t a t e d a b o v e a r i s e s f r o m a c o n s i d e r a t i o n

o f t h e e x p e r i m e n t a l l y w e l l - e s t a b l i s h e d ( p a r a p o s i t r o n i u m ) e l e c t r o n - p o s i t r o n a n n i h i l a t i o n a n d

c r e a t i o n p r o c e s s e s [ 3 6 ]

e

+

e

! ( 2 )

W e h a v e a t i m e e v o l u t i o n o f a s t a t e c o n t a i n i n g , o n t h e o n e h a n d , t w o c h a r g e d s p i n - h a l f

l e p t o n s , a n d o n t h e o t h e r u n c h a r g e d b o s o n s o f h e l i c i t y o n e . I f i t w e r e n o t f o r t h e d i e r e n t

n a t u r e o f t h e s t a t e s o n t h e l e f t a n d r i g h t s i d e , t h i s r e a c t i o n w o u l d , i f t a k e n a l o n e , s e e m t o

s u g g e s t t h a t t h e l e p t o n s a n d p h o t o n s a r e i n f a c t d i e r e n t s t a t e s o f t h e s a m e o b j e c t . R a t h e r

t h a n h y p o t h e s i s i n g a n e w p a r t i c l e o r e l d w h i c h w o u l d b e t h e p r e c u r s o r o f b o t h t h e e l e c t r o n

a n d t h e p o s i t r o n , w e h a v e t r i e d t o u s e t h e p h o t o n i t s e l f , w h i c h i s t h e m o s t o b v i o u s p h y s i c a l

o b j e c t w i t h e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d c o m p o n e n t s w h i c h c o u l d g i v e r i s e t o t h e e l e c t r o n a n d

p o s i t r o n c h a r g e a n d m a g n e t i c d i p o l e .

2 T h e m o d e l

W e e n v i s a g e a q u a n t i s e d s o l u t i o n w h e r e , j u s t a s i s t h e c a s e f o r t h e f r e e p h o t o n , w e h a v e t i m e

v a r y i n g e l d s , b u t w h e r e t h e e l d d i s t r i b u t i o n i s s e l f - c o n n e d i n s p a c e .

T h e m a s s o f a n y c o n n e d p h o t o n w i l l b e m = U = c

2

w h e r e U = h c = i s t h e e n e r g y

o f t h e p h o t o n o f w a v e l e n g t h . F r o m r e l a t i o n ( 2 ) i t i s c l e a r t h a t f o r t h e c a s e w h e r e t h e

e l e c t r o n a n d p o s i t r o n a n n i h i l a t e a t r e s t , t h e d e c a y p h o t o n w a v e l e n g t h s a r e j u s t t h e e l e c t r o n

C o m p t o n w a v e l e n g t h

C

h = m

e

c 2 : 4 3 1 0

m . W e t h e r e f o r e , i n t h e r s t i n s t a n c e ,

3


4/25

F i g u r e 1 : a ) T w i s t e d s t r i p m o d e l f o r o n e w a v e l e n g t h o f a p h o t o n w i t h c i r c u l a r

p o l a r i s a t i o n i n a t s p a c e . T h e

~

B - e l d i s i n t h e p l a n e o f t h e s t r i p

a n d t h e

~

E - e l d i s p e r p e n d i c u l a r t o i t .

b ) A s i m i l a r p h o t o n i n a c l o s e d p a t h i n c u r v e d s p a c e w i t h p e r i o d i c

b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f l e n g t h

C

. T h e

~

E - e l d v e c t o r i s r a d i a l a n d

d i r e c t e d i n w a r d s , a n d t h e

~

B - e l d i s v e r t i c a l . T h e m a g n e t i c m o m e n t

~ , a n g u l a r m o m e n t u m

~

L , a n d d i r e c t i o n o f p r o p a g a t i o n w i t h v e l o c i t y

c a r e a l s o i n d i c a t e d .

l o o k f o r a q u a n t i s e d s o l u t i o n d e n e d b y p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f l e n g t h o n e C o m p t o n

w a v e l e n g t h

C

, w h i c h i s c o n n e d t o s o m e c l o s e d p a t h i n 3 - D s p a c e . N o t e t h a t , i n s o f a r a s

p h o t o n p r o p a g a t i o n d e n e s t h e s h o r t e s t d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s ( a g e o d e s i c ) , w e m a y

v i e w o u r p o s t u l a t e d c o n n e m e n t f o r c e a s b e i n g e q u i v a l e n t t o a c l o s e d , l o c a l l y c u r v e d s p a c e .

T h i s c u r v a t u r e c a n n o t a r i s e f r o m g r a v i t a t i o n a s i n g e o m e t r o d y n a m i c s [ 1 8 , 1 9 ] a s t h i s i s f a r t o

w e a k t o r e p l a c e a f o r c e o f t h e m a g n i t u d e o f t h e P o i n c a r e - s t r e s s e s . T h e k i n d o f c u r v a t u r e w e

a r e l o o k i n g f o r n e e d o n l y a p p l y t o t h e s e l f - c o n n e d p h o t o n , a n d w i l l n o t n e c e s s a r i l y a e c t

a n y o t h e r o b j e c t i n t h e v i c i n i t y . W e t h e r e f o r e e n v i s a g e a s o l u t i o n m o r e i n t e r m s o f M a x w e l l ' s

e q u a t i o n s t h a n i n t h e t h e o r y o f g r a v i t a t i o n . W e w o u l d l i k e t o e m p h a s i z e t h a t , e v e n i n t h e

c a s e o f t h e l i n e a r M a x w e l l e q u a t i o n s , l o c a l i s e d s o l u t i o n s h a v e b e e n s h o w n t o e x i s t , [ 1 4 , 1 5 , 1 6 ]

t h o u g h w e t h i n k t h a t n o n l i n e a r e e c t s [ 2 0 ] m u s t a l s o p l a y a r o l e , a s w e w i l l d i s c u s s l a t e r .

I n l o o k i n g f o r a p l a u s i b l e s o l u t i o n w e d e m a n d t h a t , a l o n g a l o c a l p a t h e l e m e n t i n t h i s

c u r v e d s p a c e , t h e p h o t o n i s a s s i m i l a r a s p o s s i b l e t o a f r e e - s p a c e p h o t o n . I n p a r t i c u l a r , w e

h a v e o n e o f t w o o r t h o g o n a l s t a t e s w i t h a n g u l a r m o m e n t u m h , c o r r e s p o n d i n g t o r i g h t o r

4


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l e f t c i r c u l a r p o l a r i s a t i o n . I n o r d e r t o g e t s o m e i n s i g h t i n t o t h e b e h a v i o u r o f a s u c h a 3 - D

s t a t e , w e m o d e l t h e c i r c u l a r l y p o l a r i s e d p h o t o n a s a t w i s t e d s t r i p a s i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 a .

T h e s t r i p r e p r e s e n t s a n e l e m e n t o f t h e p h y s i c a l p h o t o n a n d i s u s e d t o v i s u a l i s e t h e e v o l u t i o n

o f i t s

~

E a n d

~

B v e c t o r s . T h e s t r i p i s d i s t i n c t f r o m t h e c u r v e d c o - o r d i n a t e s y s t e m i n w h i c h

t h e p h o t o n m o v e s . T h e t w i s t o f t h e s t r i p r e p r e s e n t s t h e r o t a t i o n o f t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c

e l d v e c t o r s . H e r e w e s h o w a s i n g l e w a v e l e n g t h o f o n e s u c h s t a t e w i t h t h e m a g n e t i c e l d

v e c t o r

~

B i n t h e p l a n e o f t h e s t r i p a n d t h e e l e c t r i c e l d v e c t o r

~

E p e r p e n d i c u l a r t o i t .

A p p l y i n g p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f l e n g t h o n e w a v e l e n g t h c o r r e s p o n d s t o b r i n g i n g

t h e e n d s o f t h e s t r i p t o g e t h e r i n s u c h a w a y t h a t t h e r e i s s t i l l e x a c t l y o n e f u l l t w i s t i n t h e

r e s u l t i n g c l o s e d l o o p . T h e s i m p l e s t p o s s i b i l i t y i s t h e o b j e c t i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 b . O n l y o n e

o f m a n y p o s s i b l e s i m i l a r p a t h s i s s h o w n . T h i s c o n s t r u c t i o n h a s t h e r e m a r k a b l e p r o p e r t y o f

n a t u r a l l y f o r m i n g a d o u b l e l o o p , w i t h o n e o f t h e s i d e s o f t h e s t r i p a l w a y s f a c i n g o u t w a r d s .

M o v i n g b a c k w a r d s o r f o r w a r d s a l o n g t h e s t r i p r e p r e s e n t s a t r a n s f o r m a t i o n i n s p a c e , b u t

e q u a l l y w e l l a t r a n s f o r m a t i o n i n t i m e ( i . e . x c t ) . T h i s w o r k s f o r t h e p h o t o n i l l u s t r a t e d i n

F i g . 1 a , e i t h e r m o v i n g a l o n g t h e s t r i p , o r w a i t i n g f o r t h e s t r i p t o p a s s y o u b y , w i l l g i v e a

r o t a t i o n o f t h e e l d c o m p o n e n t s . D u e t o t h e l o c a l l y c u r v e d s p a c e i n F i g . 1 b , h o w e v e r , t h i s

r o t a t i o n i s c o m m e n s u r a t e w i t h t h e o r b i t a l r o t a t i o n o f t h e p h o t o n a r o u n d t h e c l o s e d p a t h .

M o v e m e n t i n s p a c e n o w c o r r e s p o n d s t o m o v i n g a l o n g t h e a x i s o f t h e t w i s t e d s t r i p . T h e

e l d s t i l l r o t a t e s , b u t s o t o o d o e s t h e d i r e c t i o n o f p h o t o n p r o p a g a t i o n , a n d t h e s e t w o e e c t s

c o m b i n e i n s u c h a w a y t h a t t h e e l e c t r i c e l d r e m a i n s i n w a r d - d i r e c t e d . A t t h e s a m e t i m e

t h e m a g n e t i c e l d v e c t o r p o i n t s u p w a r d s , a s i s c l e a r f r o m F i g . 1 b . I t i s t h e s e p r o p e r t i e s ,

t h e i n w a r d - d i r e c t e d e l e c t r i c e l d a n d t h e u p w a r d d i r e c t e d m a g n e t i c e l d w h i c h , a s w e w i l l

d i s c u s s i n w h a t f o l l o w s , g i v e r i s e t o a c h a r g e a n d a m a g n e t i c m o m e n t . W e w o u l d l i k e t o

e m p h a s i z e t h a t t h e p h o t o n r e m a i n s u n c h a r g e d . I t i s t h e c o n n e m e n t , t h e t o p o l o g y , a n d

t h e c o m m e n s u r a b i l i t y o f t h e e l d c o m p o n e n t s w i t h t h e o r b i t a l p a t h w h i c h a r e i m p o r t a n t .

I t i s c r u c i a l t h a t t h e r e i s e x a c t l y o n e f u l l t w i s t , a h a l f t w i s t o r d o u b l e t w i s t , f o r e x a m p l e ,

w o u l d n o t g i v e r i s e t o a c h a r g e . D e p e n d i n g o n t h e s e n s e o f p a t h c l o s u r e ( w h e t h e r t h e e n d s

o f t h e s t r i p h a v e b e e n b r o u g h t t o g e t h e r i n t o o r o u t o f t h e p l a n e o f t h e p a p e r ) , w e s e e t h a t

o u t s i d e t h e o b j e c t t h e r e s u l t a n t e l e c t r i c e l d v e c t o r a l w a y s p o i n t s i n w a r d s ( e l e c t r o n - l i k e ) o r

o u t w a r d s ( p o s i t r o n - l i k e ) . I n a c r e a t i o n p r o c e s s b o t h t h e s e s o r t s m u s t b e p r e s e n t i n p a i r s t o

e n s u r e t h e c o n s e r v a t i o n o f c h a r g e , f o u r - m o m e n t u m a n d a n g u l a r m o m e n t u m .

T h e s p e c i a l c a s e w h e r e b o t h l o o p s l i e o n t o p o f o n e a n o t h e r i s p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t .

T h e l o o p r a d i u s i s t h e n e x a c t l y

C

= 4 , a n d t h i s s c a l e o f l e n g t h i s i n t r i n s i c t o o u r m o d e l .

T h e c i r c u l a t i o n r e p e a t s i t s e l f w i t h a p e r i o d o f h a l f a w a v e l e n g t h . I n a t s p a c e , t h i s w o u l d

l e a d t o t o t a l d e s t r u c t i v e i n t e r f e r e n c e e v e r y w h e r e a l o n g t h e p a t h . W i t h i n o u r o b j e c t , w h e r e

w e h a v e d e m a n d e d t h a t s p a c e i s c u r v e d , t h e i n t e r f e r e n c e i s a l w a y s c o n s t r u c t i v e a s i s c l e a r

f r o m F i g . 1 b . A l t h o u g h t h e e l e c t r i c e l d v e c t o r i s a l w a y s i n w a r d d i r e c t e d , i t s t i l l u n d e r g o e s

a l o c a l r o t a t i o n a r o u n d t h e p a t h d i r e c t i o n o f 2 o n c i r c u l a t i n g t w i c e a r o u n d t h e l o o p , j u s t

5


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F i g u r e 2 : S c h e m a t i c o f t h e i n t e r n a l e n e r g y o w i n t h e m o d e l . T h e l i n e s o f

o w ( g e o d e s i c s ) c i r c u l a t e t w i c e a r o u n d a f a m i l y o f n e s t e d t o r o i d a l

s u r f a c e s b e f o r e c l o s i n g o n t h e m s e l v e s . T h e l e f t - h a n d e d c a s e i s i l l u s -

t r a t e d . F o r c l a r i t y , o n e c o m p l e t e d o u b l e - l o o p p a t h i s e m p h a s i s e d .

T h e t o r o i d a l s t r u c t u r e i s c h a r a c t e r i s e d b y a l e n g t h r =

C

= 4 .

a s i s t h e c a s e f o r a s i n g l e w a v e l e n g t h o f a f r e e - s p a c e p h o t o n . N o t e t h a t w e d o n o t h a v e a

s t a n d i n g w a v e , b u t a s t a t i o n a r y w a v e p r o p a g a t i n g a r o u n d a d o u b l e l o o p . H e n c e , t h i s s t a t e

w i l l h a v e a n g u l a r m o m e n t u m . W e w i l l c o m e b a c k t o t h i s i n t h e s e c t i o n o n t h e s p i n .

I n F i g . 1 b w e h a v e c o n s i d e r e d o n e p o s s i b l e p a t h w h i c h f u l l s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

S i n c e w e t a l k a b o u t a s i n g l e p h o t o n c o n n e d i n a r e g i o n o f t h e o r d e r o f i t s o w n w a v e l e n g t h

w e a r e r m l y i n t h e d i r a c t i v e l i m i t , w h e r e i t m a k e s l i t t l e s e n s e t o t a l k a b o u t a s p e c i c

p h o t o n \ p a t h " . A n y p a t h w h i c h f u l l s t h e c o n s t r a i n t o f h a v i n g l e n g t h

C

m a y c o n t r i b u t e

t o t h e s t r u c t u r e o f t h e c o m p l e t e o b j e c t . F u r t h e r , a s e l f - c o n s i s t e n t s e t o f p a t h s m u s t n o t

c r o s s e a c h o t h e r . I n F i g . 2 w e i l l u s t r a t e t h e g e o d e s i c s ( c o r r e s p o n d i n g t o t h e s t r e a m l i n e s

o f e n e r g y o w ) f o r a s e t o f p o s s i b l e p a t h s f u l l l i n g t h e s e c o n d i t i o n s . I n b o l d w e i l l u s t r a t e

o n e o f t h e p a r t i c u l a r d o u b l e - l o o p e d p a t h s ( s i m i l a r t o F i g . 1 b ) . F r o m t h i s w e s e e t h a t t h e

p a t h s c i r c u l a t e t w i c e a r o u n d a t o r o i d a l s u r f a c e b e f o r e c l o s i n g o n t h e m s e l v e s . I t i s c l e a r f r o m

6


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t h e d i a g r a m t h a t t h e m e a n r a d i u s o f e n e r g y t r a n s p o r t ( t h e e y e o f t h e t o r u s ) i s c l o s e t o t h e

i n t r i n s i c s c a l e o f l e n g t h i n o u r m o d e l (

C

= 4 ) , c o r r e s p o n d i n g t o t h e c a s e w h e r e b o t h t h e

l o o p s l i e o n t o p o f o n e a n o t h e r . W e w o u l d l i k e t o e m p h a s i z e t h a t i t i s p o s s i b l e t o d e v i s e

m a n y t o p o l o g i e s ( k n o t s ) w h i c h a r e c o n s i s t e n t w i t h o u r i n i t i a l p o s t u l a t e , b u t t h e t o r o i d a l

t o p o l o g y w h i c h a r i s e s f r o m t h e d o u b l e l o o p m o d e l i s t h e s i m p l e s t a n d m o s t n a t u r a l o f t h e s e .

T o p r o c e e d f u r t h e r , w e a l s o n e e d t o e s t i m a t e t h e t o t a l s i z e o f o u r o b j e c t , w h i c h i s c o n -

s i d e r a b l y l a r g e r t h a n t h e i n t r i n s i c l e n g t h s c a l e (

C

= 4 ) , a s i s c l e a r f r o m F i g . 2 . A n u p p e r

l i m i t o n t h e s i z e o f t h e o b j e c t i s o b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g t h e e x t r e m a l p a t h s w h i c h a l s o

f u l l t h e c o n d i t i o n t h a t t h e y h a v e l e n g t h

C

. T h e s e p a t h s , w h i c h c o r r e s p o n d t o t h e l i m i t i n g

c a s e w h e r e t h e c o n n e d p h o t o n t r a v e l s r a d i a l l y o u t w a r d s a n d i n w a r d s , h a v e m a x i m a l r a d i u s

C

= 2 . T h e l i m i t a t i o n o f t h e s p e e d o f l i g h t m e a n s t h a t o n l y p a t h s w i t h i n t h i s r a d i u s c a n

p r o v i d e a c o n t r i b u t i o n t o t h e c i r c u l a t i o n o f e n e r g y i n s i d e t h e o b j e c t . T h i s r a d i u s c o n s t i t u t e s

a \ r o t a t i o n h o r i z o n " a n d s e t s a n u p p e r l i m i t o n t h e s i z e o f t h e o b j e c t e q u a l t o a C o m p t o n

w a v e l e n g t h . A t t h e s a m e t i m e , w e c a n e s t i m a t e a l o w e r l i m i t o n t h e s i z e f r o m t h e f a c t t h a t

i t i s i m p o s s i b l e t o c o n n e a n a r b i t r a r y w a v e i n t o a b o x w h i c h i s s m a l l e r t h a n o n e h a l f o f

i t s w a v e l e n g t h . M o r e o v e r , t h e m i n i m u m d i a m e t e r o f , f o r e x a m p l e , a s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c

d i e l e c t r i c c a v i t y i s e q u a l t o a f u l l w a v e l e n g t h . T h e s e c o n d i t i o n s c o n s t r a i n t h e e e c t i v e s i z e o f

o u r s e l f - c o n n e d o b j e c t t o b e c l o s e t o o r e q u a l t o

C

. F o r s i m p l i c i t y i n t h e a b o v e a r g u m e n t ,

w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e r e l a t i v e d i e l e c t r i c c o n s t a n t a n d m a g n e t i c p e r m e a b i l i t y a r e u n i t y

e v e r y w h e r e t h r o u g h o u t t h e v o l u m e c o n t a i n e d w i t h i n t h e r o t a t i o n h o r i z o n .

T h e r o t a t i o n h o r i z o n f o r m s a b o u n d a r y b e t w e e n a n i n s i d e r e g i o n w h e r e s p a c e i s c u r v e d ,

a t l e a s t f o r t h e s p i n n i n g p h o t o n , a n d a n o u t s i d e r e g i o n w h e r e s p a c e i s r e l a t i v e l y a t . I n

t h i s o u t s i d e r e g i o n t h e r e m u s t a l s o e x i s t a n e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d i n o r d e r t o f u l l t h e

c o n d i t i o n s o f e l e c t r o m a g n e t i c c o n t i n u i t y a t t h e b o u n d a r y . T h e s e e x t e r n a l e l d s c o n s t i t u t e

t h e a p p a r e n t c h a r g e a n d m a g n e t i c d i p o l e . T h e e x t e r n a l e l d i s n o n - r o t a t i o n a l a n d w i l l

s l i g h t l y r e d u c e t h e e n e r g y a n d h e n c e s h i f t t h e w a v e l e n g t h a n d f r e q u e n c y o f t h e s p i n n i n g

p h o t o n i n s i d e t h e b o u n d a r y . W e w r i t e t h e i n t e r n a l w a v e l e n g t h a s = a

C

. A s w e w i l l s h o w ,

t h i s c o r r e c t i o n i s s m a l l a n d i s o f t h e o r d e r o f = 2 w h e r e 1 = 1 3 7 i s t h e n e - s t r u c t u r e

c o n s t a n t . A l t h o u g h w e h a v e a r g u e d t h a t , i n t e r n a l t o o u r m o d e l , w e h a v e a t o r o i d a l t o p o l o g y ,

i t i s n o t o b v i o u s w h a t t h e p r e c i s e f o r m o f t h e r o t a t i o n h o r i z o n s h o u l d b e . C l e a r l y , a l t h o u g h

t h e e l e c t r i c e l d i s r a d i a l a t l a r g e d i s t a n c e s , t h e p h y s i c a l e l e c t r o n i t s e l f c a n n o t b e p e r f e c t l y

s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c s i n c e i t h a s a m a g n e t i c m o m e n t . F o r s i m p l i c i t y , h o w e v e r , w e a s s u m e

t h a t w e h a v e a p h o t o n c o n n e d i n a s p h e r i c a l c a v i t y o f d i a m e t e r e x a c t l y .

O u r m o d e l h a s s o m e s t r i k i n g a n a l o g i e s w i t h t h e d e t a i l e d s o l u t i o n o f t h e e l e c t r o n m o t i o n

c a l c u l a t e d b y D i r a c . [ 3 7 ] H e h a s s h o w n t h a t o n e c a n a n a l y s e t h e e l e c t r o n m o t i o n i n t o a

p a r t t h a t d e s c r i b e s t h e ( r e l a t i v i s t i c ) m o t i o n o f t h e e l e c t r o n a s a w h o l e p l u s a l i g h t - s p e e d

o s c i l l a t o r y p a r t o f t w i c e t h e C o m p t o n f r e q u e n c y 2 !

C

, t h e s o - c a l l e d \ Z i t t e r b e w e g u n g " . [ 3 8 ]

F u r t h e r , a n y i n s t a n t a n e o u s m e a s u r e m e n t o f a n y c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r o n v e l o c i t y w i l l

7


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a l w a y s y i e l d o n e o f t h e e i g e n v a l u e s o f c . T h i s \ Z i t t e r b e w e g u n g " , t h e f r e q u e n c y 2 !

C

,

a n d t h e i n s t a n t a n e o u s v e l o c i t y e i g e n v a l u e s o f c a r e c l e a r l y a l s o f e a t u r e s o f o u r d o u b l e -

l o o p e d c o n n e d p h o t o n . T h i s c o r r e s p o n d e n c e b e c o m e s e v e n m o r e c l e a r i n t h e g e o m e t r i c a l

\ Z i t t e r b e w e g u n g i n t e r p r e t a t i o n o f Q u a n t u m M e c h a n i c s " d e v e l o p e d r e c e n t l y b y H e s t e n e s . [ 3 9 ]

I n t h i s w o r k i t i s s h o w n t h a t t h e Z i t t e r b e w e g u n g m a y b e u s e d t o i n t e r p r e t t h e h a l f - i n t e g r a l

e l e c t r o n s p i n , a n d t h a t t h e t r a j e c t o r y o f a m o v i n g D i r a c e l e c t r o n m a y b e v i e w e d a s s e r i e s o f

l i g h t - l i k e h e l i c e s o f r a d i u s

C

= 4 d e n e d b y t h e r o t a t i o n o f t h e e l e c t r o n e n e r g y - m o m e n t u m

u x i n a p l a n e p e r p e n d i c u l a r t o t h e s p i n . [ 4 0 , 4 1 ] T h i s i s j u s t t h e t r a j e c t o r y o f t h e e y e o f

t h e t o r u s f o r o u r m o d e l ( F i g . 2 ) . O u r m o d e l i s s e e n t o b e v e r y c l o s e t o t h i s g e o m e t r i c a l

i n t e r p r e t a t i o n o f t h e D i r a c e l e c t r o n , e x c e p t t h a t w e h a v e a r r i v e d a t t h i s s o l u t i o n f r o m a

p o s t u l a t e d ( p h o t o n ) s e l f - i n t e r a c t i o n , a n d t h e Z i t t e r b e w e g u n g i s t h a t o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c

e l d o f a c o n n e d p h o t o n r a t h e r t h a n t h a t o f a n e l e c t r o n w a v e f u n c t i o n .

3 T h e c h a r g e

N o t e t h a t i n e l e c t r o n - p o s i t r o n p a i r c r e a t i o n ( r e l a t i o n ( 2 ) ) t h e t o t a l e l e c t r i c e l d d i v e r g e n c e

o f t h e s y s t e m r e m a i n s z e r o , i n a c c o r d a n c e w i t h t h e c o n s e r v a t i o n o f c h a r g e . T h i s i s a l s o t h e

c a s e f o r o u r m o d e l , w h e r e e q u a l a n d o p p o s i t e l o c a l i s e d e l d d i v e r g e n c e s a r e c r e a t e d i n p a i r s .

I n F i g . 1 b t h e e l e c t r i c e l d i s a l w a y s i n w a r d ( o u t w a r d ) d i r e c t e d b e c a u s e t h e p h o t o n o r b i t a l

r o t a t i o n a n d t h e p h o t o n e l d r o t a t i o n a r e c o m m e n s u r a t e . L o c a l t o e i t h e r t h e \ e l e c t r o n " o r

t h e \ p o s i t r o n " , w e h a v e a n o n s i m p l y - c o n n e c t e d ( t o r o i d a l ) t o p o l o g y e m b e d d e d i n a s i m p l y -

c o n n e c t e d s p a c e . T h i s l e a d s t o a s o c a l l e d t o p o l o g i c a l c h a r g e . [ 4 2 ] I n o u r c a s e , s i n c e w e h a v e

a n e l e c t r o m a g n e t i c e l d p r e s e n t i n t h i s t o p o l o g y , t h i s m a y a l s o g i v e r i s e t o a r e a l e l e c t r i c

c h a r g e . [ 1 4 , 1 5 ] S i n c e w e o n l y h a v e a p h e n o m e n o l o g i c a l m o d e l w e w i l l n o t p r o v e r i g o r o u s l y

t h a t r

~

E 6= 0 f o r a n o u t s i d e o b s e r v e r . A s s u m i n g t h a t t h e e l d s c a n i n d e e d b e f o l d e d i n

s u c h a w a y , s o t h a t w e h a v e t w o e q u a l a n d o p p o s i t e c h a r g e s , w e c a n e s t i m a t e t h e c h a r g e

m a g n i t u d e f r o m t h e e l d m a g n i t u d e c l o s e t o e a c h o b j e c t .

T h e m a g n i t u d e o f t h e a p p a r e n t c h a r g e o f o u r m o d e l o b j e c t i s b a s e d o n t h e l e n g t h s c a l e s

e s t i m a t e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . W e c o n n e a n a r b i t r a r y p h o t o n w i t h w a v e l e n g t h t o

a s p h e r i c a l v o l u m e V =

4

3

( = 2 )

3

. T h e e n e r g y d e n s i t y o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d i n t h e

v o l u m e i s W =

1

2

( "

0

j

~

E j

2

+

1

0

j

~

B j

2

) . F o r a p r o p a g a t i n g p h o t o n i n s i d e t h e v o l u m e , w h e r e

s p a c e i s c u r v e d , w e t a k e E = c B a n d c

2

= "

0

0

a s i s t h e c a s e f o r a f r e e - s p a c e p h o t o n .

T h e e l e c t r i c e l d e n e r g y U

E

a n d t h e m a g n e t i c e l d e n e r g y U

B

a r e t h e n o n e h a l f o f t h e t o t a l

c o n n e d p h o t o n e n e r g y U ( i . e . U

E

= U

B

=

1

2

U ) . W e n d f o r t h e a v e r a g e e n e r g y d e n s i t y

o f t h e e l e c t r i c e l d i n t h e v o l u m e V , W

E

= U

E

= V =

1

2

U = V a n d a l s o W

E

=

1

2

"

0

E

2

. T h e

a v e r a g e m a g n i t u d e o f t h e e l e c t r i c e l d i n s i d e t h e m o d e l e l e c t r o n i s t h e n

h E i =

s

6 h c

"

0

4

; ( 3 )

8


9/25

T o e s t i m a t e t h e c h a r g e i n o u r m o d e l w e n e e d t o c o m p a r e t h e m a g n i t u d e o f t h e i n w a r d

d i r e c t e d e l e c t r i c e l d t o t h a t f o r a p o i n t c h a r g e a t t h e o r i g i n . M a k i n g t h e p l a u s i b l e a s s u m p -

t i o n s t h a t t h e r e l e v a n t l e n g t h s c a l e f r o m w h e r e t h e e l e c t r i c e l d i s e e c t i v e l y i n w a r d - d i r e c t e d

i s t h e m e a n r a d i u s o f e n e r g y t r a n s p o r t r = = 4 , a n d t h a t t h e a v e r a g e e l e c t r i c e l d o f t h e

c o n n e d p h o t o n , E q . ( 3 ) , i s a g o o d e s t i m a t e o f t h e e l d a t t h i s r a d i u s , w e o b t a i n t h e e e c t i v e

c h a r g e , q , b y c o m p a r i n g t h i s t o t h e C o u l o m b e l d o f a p o i n t c h a r g e a t d i s t a n c e r = r

E =

q

4 "

0

r

2

; ( 4 )

w h i c h t h e n y i e l d s t h e c h a r g e f r o m o u r m o d e l i n t e r m s o f t h e e l e m e n t a r y c h a r g e e

q =

1

2

q

3 "

0

h c 0 : 9 1 e ; ( 5 )

w h e r e t h i s a p p a r e n t c h a r g e a r i s e s f r o m t h e e l e c t r i c e l d o f t h e c o n n e d p h o t o n . N o t e t h a t

q i s i n d e p e n d e n t o f t h e e n e r g y o f t h e p h o t o n ( t h e s i z e o f t h e o b j e c t ) a n d i s a r e s u l t o f t h e

t o r o i d a l t o p o l o g y . I t d e p e n d s o n t h e d e t a i l e d d i s t r i b u t i o n o f t h e i n t e r n a l e l d s a n d a l s o

o n t h e p r e c i s e v a l u e w e c h o o s e f o r t h e e e c t i v e c h a r g e r a d i u s . N o t e , h o w e v e r , t h a t a n y

r e a s o n a b l e v a r i a t i o n o f t h e s e p a r a m e t e r s w i l l s t i l l y i e l d a n i t e v a l u e c l o s e t o t h a t o f t h e

e l e m e n t a r y c h a r g e . H e r e , w e h a v e m a d e t h e s i m p l e a s s u m p t i o n s t h a t t h e e l d d i s t r i b u t i o n

w i t h i n t h e o b j e c t i s h o m o g e n e o u s , a n d t h a t t h e r e l e v a n t t r a n s p o r t r a d i u s i s t h a t o f t h e

t o r o i d i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 . F o r t h e s e a s s u m p t i o n s q i s r e m a r k a b l y c l o s e t o t h e e l e m e n t a r y

c h a r g e .

4 S p i n

T h e e x i s t e n c e o f h a l f - i n t e g r a l s p i n i s i n t i m a t e l y c o n n e c t e d w i t h r e l a t i v i s t i c q u a n t u m m e -

c h a n i c s ; i t h a s n o c o r r e s p o n d e n c e i n c l a s s i c a l m e c h a n i c s . [ 3 7 , 4 3 ] A l t h o u g h i t i s w e l l k n o w n

t h a t o r b i t a l a n g u l a r m o m e n t a a r e u s u a l l y i n t e g r a l , t h i s n e e d n o t n e c e s s a r i l y b e t h e c a s e i n

a n o n - s i m p l y c o n n e c t e d t o p o l o g y . I n t h i s s e c t i o n w e w i l l s h o w t h a t , a t l e a s t f o r o n e s p e c i a l

d i r e c t i o n ( t h e z - a x i s i n F i g . 2 ) , t h e s p i n i n o u r m o d e l i s

1

2

h a s a r e s u l t o f t h e n o n - E u c l i d e a n

t o p o l o g y o f o u r m o d e l .

T h e c o n g u r a t i o n s p a c e o f t h e h a l f - i n t e g r a l q u a n t u m s p i n i s q u i t e d i e r e n t f r o m t h a t

o f a s p i n n i n g r i g i d b o d y . T h e q u a n t u m m e c h a n i c a l c o m m u t a t i o n r e l a t i o n s a l l o w o n l y t h e

t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m s q u a r e d L

2

a n d o n e s p a t i a l c o m p o n e n t , s a y L

z

, t o b e m e a s u r e d

s i m u l t a n e o u s l y , a n d f o r s p i n o n e h a l f a n y m e a s u r e m e n t w i l l y i e l d t h e v a l u e s L

2

=

3

4

h

2

a n d

L

z

=

1

2

h r e s p e c t i v e l y . T h i s b e h a v i o u r c a n n o t b e m o d e l e d b y a r o t a t i n g r i g i d b o d y s i n c e

i t h a s e e c t i v e l y o n l y o n e r o t a t i o n a x i s , w h i c h w i l l b e p r e s e r v e d i f n o e x t e r n a l f o r c e a c t s .

A l s o , f o r a r i g i d b o d y , t h e m a g n i t u d e o f t h e s p i n m e a s u r e d w i l l d e p e n d o n t h e p r o j e c t i o n o n

t h e m e a s u r e m e n t a x i s . I n c o n t r a s t t o t h e c l a s s i c a l c a s e , i n q u a n t u m m e c h a n i c s t h e r e i s n o

9


10/25

p r e - d e n e d d i r e c t i o n t o t h e s p i n a x i s . T h e s e p r o p e r t i e s p r o v i d e a f o r m i d a b l e c h a l l e n g e t o

a n y m e c h a n i c a l m o d e l o f t h e s t r u c t u r e o f t h e e l e c t r o n . D e s p i t e t h e s e o b v i o u s d i c u l t i e s i t

h a s p r o v e d p o s s i b l e t o d e v i s e c l a s s i c a l m o d e l s w h i c h s h a r e t h e p r o j e c t i o n a n d c o m m u t a t i o n

p r o p e r t i e s o f h a l f - i n t e g r a l s p i n . [ 4 4 , 4 5 ] C e r t a i n s o l i t o n s i n t o r o i d a l c o o r d i n a t e s h a v e b e e n

s h o w n t o b e c l a s s i c a l a n a l o g s o f f e r m i o n s . [ 4 9 , 5 0 , 5 1 , 5 2 ] T h e r e a r e s t r o n g a n a l o g i e s b e t w e e n

t h e t r a n s f o r m a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e c l a s s i c a l e l e c t r o m a g n e t i c e l d a n d s p i n o r s . [ 4 6 , 4 7 ] T h i s

p o i n t h a s b e e n d i s c u s s e d e x t e n s i v e l y b y K r a m e r s . [ 4 8 ] I n t h i s p a p e r w e w i l l n o t e x t r a c t t h e

f u l l q u a n t u m m e c h a n i c a l p r o j e c t i o n p r o p e r t i e s o r s t a t i s t i c s o f s p i n f r o m o u r s e m i - c l a s s i c a l

m o d e l b u t a s u b s e t o f t h e s e p r o p e r t i e s w h i c h , a t l e a s t , g o e s b e y o n d t h a t p o s s i b l e w i t h , f o r

e x a m p l e , a c h a r g e d r i g i d b o d y .

T h e r o t a t i o n a l e n e r g y o f a r e l a t i v i s t i c o b j e c t i s U

r o t

= L ! , w i t h L t h e a n g u l a r m o m e n t u m ,

a n d ! t h e a n g u l a r f r e q u e n c y . F o r a p h o t o n L = h , a n d t h e t o t a l e n e r g y o f a p h o t o n w i t h

f r e q u e n c y ! i s U

p h o t o n

= h ! . T h u s , t h e e n e r g y o f a p h o t o n i s e n t i r e l y e l e c t r o m a g n e t i c a n d

c o n t a i n e d i n i t s s p i n . T h e c o n n e d p h o t o n i n o u r m o d e l h a s t o t r a v e l a r o u n d t w i c e t o

c o m p l e t e i t s p a t h o f l e n g t h = 2 c = ! . C o n s e q u e n t l y , t h e i n t e r n a l r o t a t i o n a l f r e q u e n c y o f

t h e m o d e l i s t w i c e t h e p h o t o n f r e q u e n c y !

s

= 2 ! . T h e i n t e r n a l r o t a t i o n a l e n e r g y i s e q u a l

t o t h e c o n n e d p h o t o n e n e r g y , a n d w e m a y w r i t e U

m o d e l

= L !

s

= h ! . O u r m o d e l m u s t

t h e n h a v e a n i n t r i n s i c a n g u l a r m o m e n t u m L = h ! = !

s

=

1

2

h . W e s e e t h a t t h i s d e s c r i b e s a n

o b j e c t o f h a l f - i n t e g e r s p i n . I f t h e s p i n - s t a t i s t i c s t h e o r e m a p p l i e s , o u r s e l f - c o n n e d p h o t o n

s h o u l d b e a f e r m i o n . T h i s i s a g a i n a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e t o p o l o g y o f o u r m o d e l ; t h e

e l d v e c t o r s m u s t r o t a t e t h r o u g h 7 2 0

b e f o r e c o m i n g b a c k t o t h e i r s t a r t i n g p o s i t i o n w i t h

t h e s a m e o r i e n t a t i o n . I n q u a n t u m m e c h a n i c s , t h e s p i n a n g u l a r m o m e n t u m h a s a x e d v a l u e

s =

1

2

, t h e r e f o r e w e c a n n o t t a k e t h e i n t r i n s i c s p i n t o a c l a s s i c a l l i m i t b y l e t t i n g s ! 1

a n d t h e r e i s n o c l a s s i c a l c o r r e s p o n d e n c e w i t h h a l f - i n t e g e r s p i n . I n o u r m o d e l t h i s i s e n s u r e d

b e c a u s e , f o r o u r t o p o l o g y , w e h a v e n e c e s s a r i l y o n e a n d o n l y o n e w a v e l e n g t h , a n d t h i s g i v e s

a x e d , l e n g t h - s c a l e i n d e p e n d e n t v a l u e o f s .

W e n o w l o o k m o r e c l o s e l y a t t h e i n t e r n a l d y n a m i c s o f o u r m o d e l , a s i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 .

C o n s i d e r t h e o r b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m o f t h e l o c a l i s e d p h o t o n a t t h e m e a n e n e r g y t r a n s p o r t

r a d i u s ( r = = 4 ) . T h i s i s

L

o r b i t

= j ~r ~p j =

4

U

p h o t o n

c

=

h

2

; ( 6 )

H e r e t h e f a c t o r o f

1

2

a r i s e s b e c a u s e t h e p h o t o n , a s o b s e r v e d f r o m o u t s i d e , t r a v e r s e s a d o u b l e

l o o p w i t h i n t h e t o r o i d a l t o p o l o g y b e f o r e r e t u r n i n g t o i t s o r i g i n a l p o s i t i o n w i t h t h e s a m e

o r i e n t a t i o n . T h i s o r b i t a l s p i n i s a p r e - e x i s t i n g v e c t o r w i t h a d e n i t e d i r e c t i o n , b u t t h i s

i s n o t t h e w h o l e s t o r y . D e n e a c o - o r d i n a t e s y s t e m w i t h t h e z - a x i s t h e o r b i t a l s p i n a x i s

p a s s i n g t h r o u g h t h e c e n t e r o f t h e t o r u s . A t a n y i n s t a n t a n e l e m e n t o f e l d w i l l b e r o t a t i n g

b o t h a r o u n d t h i s a x i s , a n d a b o u t a p e r p e n d i c u l a r a x i s t a n g e n t i a l t o t h e e y e o f t h e t o r u s a n d

l o c a t e d i n t h e x ; y - p l a n e ( s e e F i g . 3 ) . T h i s t a n g e n t i a l s p i n a x i s i s a l w a y s p e r p e n d i c u l a r t o

1 0


11/25

F i g u r e 3 : D e n i t i o n o f a c o - o r d i n a t e s y s t e m w i t h t h e z - a x i s p a s s i n g t h r o u g h

t h e c e n t e r o f t h e t o r u s . A t a n y i n s t a n t a n e l e m e n t o f e l d w i l l b e

r o t a t i n g b o t h a r o u n d t h e z - a x i s ( o r b i t a l s p i n ) , a n d a b o u t a p e r -

p e n d i c u l a r a x i s t a n g e n t i a l t o t h e e y e o f t h e t o r u s ( i n t r i n s i c p h o t o n

a n g u l a r m o m e n t u m ) .

T h e t a n g e n t i a l s p i n - a x i s p e r f o r m s a r o t a t i o n i n t h e x ; y - p l a n e a b o u t

t h e z - a x i s w i t h f r e q u e n c y 2 !

C

a n d r a d i u s

C

= 4 .

1 1


12/25

z b u t p e r f o r m s a r o t a t i o n i n t h e x ; y - p l a n e a b o u t t h e z - a x i s w i t h f r e q u e n c y 2 !

C

a n d r a d i u s

C

= 4 . W e h a v e a r o t a t i o n a b o u t z c o m b i n e d w i t h a n a l t e r n a t i n g r o t a t i o n a b o u t x

0

a n d

y

0

, a n d h e n c e e e c t i v e l y h a v e t h r e e r o t a t i o n a x e s w h i l e w e s t i l l h a v e j u s t o n e o b j e c t . T h e

p r o j e c t i o n o n z o f t h e t a n g e n t i a l s p i n a x i s i s a l w a y s z e r o a n d t h e r e f o r e t h e z - c o m p o n e n t o f

t h e a n g u l a r m o m e n t u m w i l l r e m a i n t h e s h a r p v a l u e o f L

z

=

1

2

h w e h a v e c a l c u l a t e d f o r

t h e o r b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m . C l e a r l y , a l t h o u g h w e h a v e a s i n g l e o b j e c t , t h e m o t i o n i s

n o t d e s c r i b a b l e b y a r i g i d - b o d y r o t a t i o n b e c a u s e t h e t w o r o t a t i o n a x e s a r e s e p a r a t e d f r o m

e a c h o t h e r b y

C

= 4 , s o t h a t i t i s n o t e v e n p o s s i b l e t o d e n e a s i n g l e e e c t i v e i n s t a n t a n e o u s

r o t a t i o n a x i s . T h e c o n g u r a t i o n s p a c e o f o u r m o d e l i s a l r e a d y q u i t e d i e r e n t f r o m t h a t o f

a c l a s s i c a l t o p . F u r t h e r , t h e r o t a t i o n d e p e n d s o n t h e ( u n o b s e r v a b l e ) p h a s e o f t h e c o n n e d

p h o t o n . J u s t a s i s t h e c a s e i n q u a n t u m m e c h a n i c s t h e r e i s n o p r e - e x i s t i n g s p i n a x i s . T h e

p r o j e c t i o n o n t h e i n t e r n a l z - a x i s , h o w e v e r , i s a c o n s t a n t o f t h e m o t i o n a n d r e m a i n s

1

2

h .

F o r o u r o b j e c t t o b e a n e l e c t r o n t h e a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t u m a r o u n d b o t h x a n d y s h o u l d

b e a l s o

1

2

h b e c a u s e t h e n t h e s p i n m a g n i t u d e s q u a r e d L

2

= L

2

x

+ L

2

y

+ L

2

z

w o u l d h a v e t h e

q u a n t u m m e c h a n i c a l v a l u e o f ( + 1 ) h

2

. W e c a n s e e n o s i m p l e a r g u m e n t , h o w e v e r , a s t o w h y

t h e i n t r i n s i c p h o t o n a n g u l a r m o m e n t u m s h o u l d d i s t r i b u t e i t s e l f i n t h i s w a y . I t i s i n t e r e s t i n g

t o n o t e , h o w e v e r , t h a t t h e r e l a t i v i s t i c o r b i t a l v e l o c i t y o f t h e b o u n d p h o t o n g i v e s r i s e t o a n

a p p a r e n t r o t a t i o n o f t h e p h o t o n f r a m e a s s e e n b y a n e x t e r n a l o b s e r v e r . T h i s i s e s s e n t i a l l y t h e

s a m e e e c t a s t h a t , f o r e x a m p l e , l e a d i n g t o t h e T h o m a s p r e c e s s i o n o f a n e l e c t r o n o r b i t i n g

a b o u t a n u c l e u s . I t i s e a s y t o s h o w t h a t t h i s l e a d s t o a c o u n t e r - r o t a t i o n i n t h e x ; y - p l a n e

o f t h e i n t e r n a l f r a m e o f t h e p h o t o n w i t h t h e s a m e m a g n i t u d e a s , b u t w i t h o p p o s i t e s e n s e

t o t h e o r b i t a l r o t a t i o n . T h i s m e a n s t h a t a n y i n i t i a l s p i n d i s t r i b u t i o n w i l l a p p e a r t o r e m a i n

x e d . [ 5 3 ]

T h e a n g u l a r m o m e n t u m c o m p o n e n t c o r r e s p o n d i n g t o t h e i n t r i n s i c p h o t o n a n g u l a r m o -

m e n t u m a b o u t t h e e y e o f t h e t o r u s ( s e e F i g . 2 ) c o n s t i t u t e s a n e x t r a i n t e r n a l d e g r e e o f

f r e e d o m i n o u r m o d e l . T h i s h a s o n l y t w o p o s s i b l e v a l u e s c o r r e s p o n d i n g t o a r i g h t o r l e f t

c i r c u l a r l y p o l a r i s e d p h o t o n . W e i n t e r p r e t t h e s e t w o p o s s i b l e s t a t e s a s c o r r e s p o n d i n g t o t h e

S U ( 2 ) o f e l e c t r o n s p i n . T h e o w a r o u n d t h e c e n t r a l a x i s o f t h e t o r u s i s a l w a y s l e f t - h a n d e d

( r i g h t - h a n d e d f o r t h e p o s i t r o n - l i k e c a s e ) w i t h r e s p e c t t o t h e m a g n e t i c - m o m e n t d i r e c t i o n .

T h i s i s a n a t u r a l c o n s e q u e n c e o f h a v i n g a r i g h t - h a n d e d s e t f o r t h e p h o t o n c o - o r d i n a t e s y s -

t e m

~

E ,

~

B a n d ~c . N o t e , h o w e v e r , t h a t t h e m i r r o r i m a g e o f a n e l e c t r o n w i l l a l s o b e a n e l e c t r o n

b u t i n t h e o t h e r s p i n s t a t e .

I n c o n c l u s i o n t h e r e i s a n e x t r a i n t e r n a l v e c t o r i n o u r m o d e l c o r r e s p o n d i n g t o t h e t w o

s t a t e s o f t h e p h o t o n s p i n w h i c h l e a d s t o a n S U ( 2 ) s y m m e t r y , t h e r o t a t i o n o f t h e o b j e c t

a s a w h o l e i s n o t d e s c r i b a b l e a s a n y r i g i d - b o d y r o t a t i o n a n d , i n a t l e a s t o n e d i r e c t i o n , t h e

a n g u l a r m o m e n t u m i s h a l f - i n t e g r a l .

1 2


13/25

5 T h e m a g n e t i c d i p o l e m o m e n t

T h e t o t a l e n e r g y c o n t a i n e d i n t h e e l e c t r i c e l d o u t s i d e t h e r o t a t i o n h o r i z o n w i t h r a d i u s

r

h o r

= a

C

= 2 i s

U

E ; e x t

=

Z

j ~r j r

h o r

W

E

d ~r =

Z

1

r

h o r

q

2

8 "

0

r

2

d r =

0

2 a

h !

C

; ( 7 )

w i t h

0

t h e \ n e - s t r u c t u r e c o n s t a n t " f o r o u r m o d e l , d e n e d a s

0

q

2

4 "

0

h c

=

q

e

2

; ( 8 )

a n d a = =

C

. A s a l r e a d y d i s c u s s e d , t h e e x t e r n a l e l e c t r i c e l d i s n o n - r o t a t i o n a l . T h e

t o t a l e n e r g y i n t h e o b j e c t U

m o d e l

i s t h e s u m o f t h e e n e r g y i n t h i s n o n - r o t a t i n g e x t e r n a l p a r t

U

e x t

= U

m o d e l

0

= 2 a a n d t h e i n t e r n a l p a r t U

i n t

= U

m o d e l

( 1

0

= 2 a ) 0 : 9 9 9 U

m o d e l

, w h i c h

c o n t a i n s a l l t h e r o t a t i o n a l e n e r g y o f t h e b o d y . T h i s m e a n s t h a t t h e e e c t i v e f r e q u e n c y

! = U

i n t

= h o f t h e c o n n e d p h o t o n i s s l i g h t l y s m a l l e r t h a n t h e C o m p t o n f r e q u e n c y , a n d t h a t

t h e s i z e o f t h e r o t a t i o n h o r i z o n , a n d a l s o o f t h e e n e r g y t r a n s p o r t r a d i u s , h a s t o b e a d j u s t e d

a c c o r d i n g l y . S o w e h a v e

1

2

a !

s

= a ! = !

C

= U

m o d e l

= h , a n d U

i n t

=

1

2

h !

s

. H e n c e w e n d t h a t

a = 1 +

0

= 2 w h i c h g i v e s a c o r r e c t e d v a l u e o f t h e r o t a t i o n h o r i z o n o f ( 1 +

0

= 2 )

C

= 2 . A s

s t a t e d p r e v i o u s l y t h i s c o r r e c t i o n h a s n o e e c t o n e i t h e r t h e c h a r g e o r t h e i n t r i n s i c s p i n i n

o u r m o d e l . N o t e t h a t t h e r e i s a l s o s o m e e n e r g y i n t h e e x t e r n a l m a g n e t i c d i p o l e e l d i n o u r

m o d e l , w h i c h i s , h o w e v e r , t w o o r d e r s o f m a g n i t u d e l e s s t h a n f o r t h e e l e c t r i c e l d .

I n t h e s a m e w a y t h a t w e c o m p a r e d t h e e l e c t r i c e l d

~

E o f t h e p h o t o n w i t h t h e C o u l o m b

e l d t o o b t a i n t h e c h a r g e i n E q . ( 5 ) , w e n o w c o m p a r e

~

B w i t h t h e e l d o f a m a g n e t i c p o i n t

d i p o l e w i t h s t r e n g t h

d

. T h e c o m p o n e n t s o f t h e e l d a r e g i v e n b y

B

r

=

2

0

d

c o s

4 r

3

; ( 9 )

B

=

0

d

s i n

4 r

3

; ( 1 0 )

B

'

= 0 : ( 1 1 )

W e a s s u m e a g a i n t h a t t h e c o n n e d p h o t o n h a s t h e p r o p e r t i e s E = c B a n d

~

E ?

~

B , s o t h a t

i n t h e e q u a t o r i a l p l a n e ( =

1

2

) o f o u r m o d e l w e h a v e E

r

= c B

. U s i n g E q . ( 4 ) a n d ( 1 0 ) ,

i t n o w f o l l o w s d i r e c t l y t h a t q = "

0

=

0

d

c = r . H e n c e , w e n d

d

= q r c . T a k i n g , a s i n t h e

c a l c u l a t i o n o f t h e c h a r g e , r = r = a

C

= 4 w i t h

C

h = m

e

c , w e n d

d

=

1 +

0

2

!

q h

2 m

e

= s g

q

; ( 1 2 )

w i t h s =

1

2

t h e s p i n q u a n t u m n u m b e r , g = 2 a = 2 ( 1 +

0

= 2 ) t h e g y r o m a g n e t i c r a t i o , a n d

q

t h e m a g n e t o n f o r a n o b j e c t w i t h c h a r g e q a n d m a s s m

e

. A p p a r e n t l y , o u r m o d e l h a s v e r y

1 3


14/25

n e a r l y t h e s a m e a n o m a l y i n g a s t h e e l e c t r o n a n d m u o n . I n q u a n t u m e l e c t r o d y n a m i c s , i t

f o l l o w s f r o m ( r s t o r d e r ) r a d i a t i v e c o r r e c t i o n s [ 5 4 , 5 5 , 5 6 ] t h a t

g = 2

1 +

2

2 : 0 0 2 3 : ( 1 3 )

I n o u r m o d e l , t h e a n o m a l y i n g o r i g i n a t e s f r o m t h e f a c t t h a t a s m a l l f r a c t i o n o f t h e m a s s

( e n e r g y ) d o e s n o t c i r c u l a t e w i t h i n t h e b o d y , b u t a p p e a r s a s a n o n - r o t a t i o n a l e x t e r n a l e l d .

6 P o i n t - l i k e i n t e r a c t i o n a n d t h e \ h a r m o n y o f p h a s e s "

T h a t o u r m o d e l i s p u r e l y e l e c t r o m a g n e t i c r a t h e r t h a n m a t e r i a l h a s s o m e i n t e r e s t i n g c o n s e -

q u e n c e s w h e n i t i s v i e w e d f r o m a f r a m e i n r e l a t i v e m o t i o n .

W h e n t w o s p i n n i n g b o d i e s c o l l i d e , t h e o u t c o m e o f t e n d e p e n d s o n h o w t h e y a r e s p i n n i n g .

F o r e x a m p l e , t h e p a t h t a k e n b y a n e l e c t r o n a f t e r a c o l l i s i o n c a n b e a e c t e d b y i t s s p i n , j u s t

a s f o r a s p i n n i n g b i l l i a r d b a l l . I t i s c l e a r t h a t t h e i n u e n c e o f t h e s p i n o n a b i l l i a r d b a l l s

t r a j e c t o r y d e p e n d s o n t h e r a t i o o f t h e r o t a t i o n a l a n d k i n e t i c e n e r g y o f t h e b a l l . T h e i n u e n c e

o f t h e s p i n i n a c o l l i s i o n s h o u l d d e c l i n e a s t h e k i n e t i c e n e r g y o f a b a l l , w i t h g i v e n s p i n , i s

i n c r e a s e d . A t a s u c i e n t l y h i g h c o l l i s i o n e n e r g y i t s h o u l d m a k e n o d i e r e n c e w h e t h e r t w o

c o l l i d i n g b i l l i a r d b a l l s a r e s p i n n i n g t h e s a m e w a y o r i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s .

I n t h i s a r g u m e n t , w e h a v e m a d e o n e i m p o r t a n t a s s u m p t i o n i m p l i c i t l y , t h a t t h e r o t a -

t i o n a l e n e r g y o f t h e b a l l s i s n o t a e c t e d b y a l i n e a r a c c e l e r a t i o n . T h i s i s r e a s o n a b l e i f t h e

a c c e l e r a t i n g f o r c e a c t s o n t h e c e n t e r o f m a s s o f t h e b a l l , w h i c h c o i n c i d e s w i t h t h e a x i s o f

r o t a t i o n . T h e r e i s t h e n n o t o r q u e t o s p i n - u p t h e b a l l . T h e s i t u a t i o n i s q u i t e d i e r e n t f o r

p h o t o n s . I f w e b l u e - s h i f t a c i r c u l a r l y p o l a r i s e d p h o t o n i n , f o r e x a m p l e , a g r a v i t a t i o n a l e l d ,

i t s f r e q u e n c y , a n d h e n c e i t s r o t a t i o n a l e n e r g y i n c r e a s e s , w h i l s t i t s a n g u l a r m o m e n t u m r e -

m a i n s c o n s t a n t . E q u i v a l e n t l y , i f w e t r a n s f o r m t o a f r a m e m o v i n g p a r a l l e l b u t o p p o s i t e t o

t h e p h o t o n m o m e n t u m , s o t h a t t h e r e i s a L o r e n t z - c o n t r a c t i o n i n t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n ,

t h e a n g u l a r m o m e n t u m L = h w i l l b e c o n s e r v e d , b u t a g a i n t h e r o t a t i o n a l e n e r g y U = h !

w i l l b e l a r g e r d u e t o t h e b l u e s h i f t o f t h e f r e q u e n c y . W e n o w i n v e s t i g a t e w h a t h a p p e n s i n

t h e c a s e o f a l o c a l i s e d p h o t o n . T h e D o p p l e r s h i f t o f a f r e e p h o t o n w i t h a n g u l a r f r e q u e n c y !

a s e m i t t e d f r o m a s o u r c e m o v i n g w i t h v e l o c i t y ~v w i t h r e s p e c t t o s o m e f r a m e o f r e f e r e n c e i s

g i v e n b y

! = ( ! + ~v

~

k ) = ! ( 1 +

v

c

c o s ) ; ( 1 4 )

w i t h t h e a n g l e , i n t h e f r a m e o f t h e s o u r c e , b e t w e e n t h e w a v e v e c t o r o f t h e p h o t o n

~

k a n d

t h e v e l o c i t y ~v , a n d

=

1

q

1 v

2

= c

2

: ( 1 5 )

W e n o w c o n s i d e r a c o n n e d p h o t o n , g o i n g t h r o u g h s o m e a r b i t r a r y c l o s e d l o o p o f l e n g t h

S = , w i t h a n o r b i t a l f r e q u e n c y !

o r b

= ! e q u a l t o t h e f r e q u e n c y o f t h e i n t e r n a l p h o t o n .

1 4


15/25

T h e p a t h s h o w n i n F i g . 4 a i s a s p e c i a l c a s e o f t h i s . I f t h e o b j e c t m o v e s w i t h s p e e d ~v , t h e

i n t e r n a l p h o t o n w i l l b e a l t e r n a t e l y r e d a n d b l u e s h i f t e d d u r i n g a s i n g l e c y c l e ( s e e F i g . 4 b ) .

T o n d t h e t o t a l e n e r g y i n t h i s ( m o v i n g ) o b j e c t , w e i n t e g r a t e t h e i n s t a n t a n e o u s i n t e r n a l

f r e q u e n c y ^ ! , g i v e n b y E q . ( 1 4 ) , o v e r t h e c l o s e d p a t h S , w h i c h j u s t g i v e s t h e m e a n e n e r g y

o v e r o n e o s c i l l a t i o n p e r i o d o f t h e i n t e r n a l p h o t o n :

U =

h

S

I

S

! d s = h ! = h h ! i ; ( 1 6 )

w h e r e h ! i = ! i s t h e m e a n i n t e r n a l f r e q u e n c y o f t h e p h o t o n , a n d w e h a v e u s e d t h e f a c t

t h a t ~v r e p r e s e n t s a c o n s e r v a t i v e v e c t o r e l d ( a L o r e n t z f r a m e ) . T h i s l e a d s t o U = U

0

,

a n d t h u s , s i n c e U = m c

2

, t h a t m = m

0

a s f o r a n y m a s s i v e p a r t i c l e . W e c a n i n t e r p r e t

t h e i n c r e a s e o f t h e m a s s o f t h e o b j e c t a s a n i n c r e a s e o f t h e i n t e r n a l r o t a t i o n a l e n e r g y . T h e

a n g u l a r m o m e n t u m L o f t h e o b j e c t i s c o n s e r v e d i n s t a n t a n e o u s l y , s o t h e r o t a t i o n a l e n e r g y

U = L h ! i i n c r e a s e s w i t h h ! i . T h i s i m p l i e s t h a t t h e e e c t i v e s i z e o f t h e o b j e c t m u s t r e d u c e

w h e n v i e w e d f r o m a m o v i n g f r a m e s i n c e L = j ~r ~p j w i t h p = U = c i m p l i e s t h a t t h e m e a n

r a d i u s o f t h e e l d e n e r g y s c a l e s w i t h h ! i

1

. A l t h o u g h t h e p h o t o n u x i s c o n s e r v e d , t h e

e n e r g y - m o m e n t u m u x w i l l b e l a r g e r i n t h e b l u e s h i f t e d p a r t t h a n i n t h e r e d s h i f t e d p a r t ,

a s m u s t b e t h e c a s e i f t h e r e i s t o b e a n e t t r a n s p o r t i n t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n .

I n t h e p r o p e r f r a m e o f o u r m o d e l ( t h e r e s t f r a m e ) , b o t h t h e i n t e r n a l p h o t o n a n d i t s

o r b i t a l r o t a t i o n h a v e a n e i g e n f r e q u e n c y ! w h i c h i s e q u a l t o t h e C o m p t o n f r e q u e n c y !

C

. I n

a m o v i n g f r a m e , h o w e v e r , t h e y d i v e r g e : t h e m e a n i n t e r n a l f r e q u e n c y o f t h e p h o t o n h ! i = !

w i l l i n c r e a s e ; s i m u l t a n e o u s l y , t h e o r b i t a l f r e q u e n c y !

o r b

= ! = o f t h e p h o t o n w i l l d e c r e a s e

F i g u r e 4 : S c h e m a t i c d i a g r a m o f a l o c a l i s e d - p h o t o n m o d e l : a ) a t r e s t ( t h e

p r o p e r f r a m e ) , a n d b ) m o v i n g a t s p e e d ~v , w h e r e t h e o b j e c t a s

a w h o l e i s L o r e n t z c o n t r a c t e d i n t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n a n d t h e

c i r c u l a t i n g p h o t o n i s a l t e r n a t e l y r e d a n d b l u e s h i f t e d . T h e t i c k s

m a r k e q u a l i n t e r v a l s i n p h a s e , a n d t h e l i n e d e n s i t y r e p r e s e n t s t h e

m o m e n t u m d e n s i t y .

1 5


16/25

d u e t o t h e r e l a t i v i s t i c l a w o f t h e s l o w i n g d o w n o f c l o c k s . D e s p i t e t h e d i e r e n c e i n f r e q u e n c y ,

a t a n y p o i n t i n s p a c e - t i m e t h e s e t w o o s c i l l a t i o n s m u s t s t i l l b e i n p h a s e , j u s t a s t h e y a r e

i n t h e p r o p e r f r a m e . T h i s p r o v i d e s a p o s s i b l e p h y s i c a l o r i g i n f o r t h e p o s t u l a t e d l a w o f t h e

\ h a r m o n y o f p h a s e s " r s t p r o p o s e d b y d e B r o g l i e , [ 5 7 , 5 8 ] w h i c h l i e s a t t h e o r i g i n o f q u a n t u m

m e c h a n i c s . W e n o w d i s c u s s t h e c o n s e q u e n c e s o f t h e a b o v e i n m o r e d e t a i l .

I n t h e p r o p e r f r a m e , t h e p h a s e o f b o t h t h e o r b i t a l r o t a t i o n a n d t h e i n t e r n a l p h o t o n i s

= !

C

t

0

. I n a f r a m e w h e r e t h e o b j e c t i s m o v i n g w i t h v e l o c i t y ~v i n t h e x - d i r e c t i o n , t h e

p h a s e o f t h e o r b i t a l r o t a t i o n w i l l b e g i v e n b y = !

o r b

t , w h e r e t h e t i m e t i s l i n k e d w i t h t h e

p r o p e r t i m e t

0

b y t h e r e l a t i o n

t

0

=

t

v x

c

2

; ( 1 7 )

a n d t h e h e n c e t h e p h a s e o f t h e i n t e r n a l p h o t o n i n t h i s f r a m e c a n a l s o b e w r i t t e n a s

= !

C

t

0

= !

C

t

v x

c

2

: ( 1 8 )

T h i s e q u a t i o n c a n b e i n t e r p r e t e d a s d e c r i b i n g a w a v e o f h i g h e r f r e q u e n c y !

C

= h ! i , w h i c h

i s p r o p a g a t i n g a l o n g t h e x - a x i s w i t h p h a s e - v e l o c i t y

v

p

=

c

2

v

; ( 1 9 )

w h e r e t h e v e l o c i t y o f t h e p a r t i c l e v h a s t h e r o l e o f t h e \ g r o u p v e l o c i t y " . T h e d i s t a n c e i n

s p a c e b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e w a v e c r e s t s i s t h e n

B

=

2

h ! i

v

p

=

2 c

2

v !

C

=

h

m

0

v

; ( 2 0 )

w h i c h i s j u s t t h e d e B r o g l i e w a v e l e n g t h . T h i s e x t r a o s c i l l a t i o n a r i s e s a s a d i r e c t r e s u l t o f

h a v i n g a c o n n e d l i g h t - s p e e d w a v e . N o t e t h a t u s i n g x = v t i n E q . ( 1 8 ) i t i s e a s y t o s e e t h a t

!

o r b

t = !

C

t

0

a n d , i n d e e d t h e o r b i t a l a n d i n t e r n a l p h o t o n o s c i l l a t i o n s a r e i n p h a s e . N o w w e

m a y w r i t e f o r a m o v i n g f r a m e

h h ! i = h !

C

= U =

q

U

2

0

+ p

2

c

2

= h

q

!

2

C

+ !

2

B

; ( 2 1 )

f r o m w h i c h w e s e e t h a t t h e t o t a l e n e r g y m a y b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e t i m e - l i k e o s c i l l a t i o n

f r e q u e n c y o f t h e l o c a l i s e d p h o t o n !

C

d e n e d i n t h e p r o p e r f r a m e o f t h e o b j e c t a n d , a s a

c o n s e q u e n c e o f t h e r e l a t i v i s t i c t r a n s f o r m a t i o n o f t h i s , a n a d d i t i o n a l s p a c e - l i k e o s c i l l a t i o n

f r e q u e n c y !

B

= 2 c =

B

.

I t i s w e l l k n o w n t h a t i n h i g h - e n e r g y p h y s i c s s c a t t e r i n g e x p e r i m e n t s t h e i n t e r a c t i o n b e -

t w e e n t w o e l e c t r o n s r e m a i n s p o i n t - l i k e d o w n t o l e n g t h s c a l e s o f t h e o r d e r o f 1 0

1 8

m . T h e

s i z e o f o u r o b j e c t i s m u c h l a r g e r t h a n t h i s , b e i n g o f t h e o r d e r o f 1 0

1 2

m . D e s p i t e t h i s ,

t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f s u c h a s e l f - c o n n e d p h o t o n w i l l n o t b e r e s o l v e d r e g a r d l e s s o f t h e

s c a t t e r i n g e n e r g y , a s w e n o w s h o w .

1 6


17/25

P r o v i d e d t h a t t h e p h o t o n i s t h e o n l y c o n s t i t u e n t o f o u r o b j e c t , i . e . t h a t i t i n d e e d c o n n e s

i t s e l f , a l l o f t h e f o u r - m o m e n t u m w i l l b e c a r r i e d b y t h e p h o t o n . I n h i g h e n e r g y c o l l i s i o n s n o

i n t e r n a l s t r u c t u r e w i l l b e r e s o l v e d s i n c e t h e r e i s n o e x t r a p a r t i c l e o r e l d t o a b s o r b t h e e x c e s s

f o u r - m o m e n t u m . I n a h e a d - o n c o l l i s i o n b e t w e e n t w o c o n n e d p h o t o n s , t h e i n t e r a c t i o n w i l l b e

e s s e n t i a l l y b e t w e e n t h e b l u e - s h i f t e d r e g i o n s ( s e e F i g . 4 ) w h i c h a r e c o n v e r g i n g a n d w h i c h h a v e

a c h a r a c t e r i s t i c s i z e

C

= ( 4 ) , a n d n o t w i t h t h e r e d - s h i f t e d p a r t s w h i c h a r e s t i l l d i v e r g i n g

f r o m e a c h o t h e r a t t h e s p e e d o f l i g h t . T h e m a x i m u m r e s o l v i n g p o w e r o f o n e o b j e c t f o r t h e

o t h e r i s j u s t

B

= 2 i n t h e i r c e n t r e o f m a s s s y s t e m . U s i n g

C

h = ( m

0

c ) i n E q . ( 2 0 ) , w e n d

t h e r e l a t i o n

1

C

=

v

c

B

: ( 2 2 )

N o w t h e c h a r a c t e r i s t i c s i z e o f o u r o b j e c t

C

= ( 4 ) <

B

= 2 a n d t h u s t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e

o f n e i t h e r o f t h e o b j e c t s i s r e v e a l e d , r e g a r d l e s s o f t h e i r s c a t t e r i n g e n e r g y . I n h i g h e n e r g y

c o l l i s i o n s , t h e r e f o r e , t h e i n t e r a c t i o n w i t h t h i s o b j e c t w i l l s c a l e w i t h t h e e n e r g y a n d w i l l

r e m a i n p o i n t - l i k e . N o t e t h a t t h i s b e h a v i o u r i s a c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t o u r m o d e l i s

p u r e l y e l e c t r o m a g n e t i c a n d h e n c e , a t r e l a t i v i s t i c e n e r g i e s , s c a l e s i n e e c t i v e s i z e i n e x a c t l y

t h e s a m e w a y a s a f r e e - s p a c e p h o t o n .

I n o u r p i c t u r e , t h e e l e c t r o n r e m a i n s a s i n g l e e l e m e n t a r y p a r t i c l e , b u t t h a t e l e m e n t a r y

p a r t i c l e i s n o w a n e w s t a t e o f t h e p h o t o n . O u r m o d e l t h e r e f o r e f u l l s t h e t h r e e c o n d i t i o n s

m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n . N a m e l y t h a t w e h a v e a s i n g l e o b j e c t o f n i t e e x t e n t , b u t

w i t h a p o i n t - l i k e i n t e r a c t i o n .

W e h a v e a r g u e d t h a t i n o u r m o d e l a l l t h e e n e r g y i s e l e c t r o m a g n e t i c a n d c o n t a i n e d i n

t h e s p i n , r e g a r d l e s s o f i t s s t a t e o f m o t i o n . I n p r i n c i p l e s t r o n g s p i n e e c t s s h o u l d p l a y a

r o l e f o r p o l a r i s e d e l e c t r o n - e l e c t r o n s c a t t e r i n g . A s w e h a v e d i s c u s s e d a b o v e , h o w e v e r , i t i s

n o t c l e a r t h a t e l e c t r o n o v e r l a p w i l l o c c u r , e v e n f o r v e r y h i g h - e n e r g y s c a t t e r i n g . I n s p i n -

p o l a r i s e d p r o t o n s c a t t e r i n g , h o w e v e r , t h e s p i n h a s b e e n s h o w n t o h a v e a n u n e x p e c t e d l y

l a r g e e e c t . [ 5 9 , 6 0 ] T h e c r o s s - s e c t i o n f o r s p i n - p a r a l l e l p r o t o n - p r o t o n s c a t t e r i n g a t h i g h f o u r -

m o m e n t u m t r a n s f e r s w a s f o u n d t o b e s e v e r a l t i m e s l a r g e r t h a n t h a t f o r s p i n - a n t i p a r a l l e l

s c a t t e r i n g . W e e x p e c t p o l a r i s e d p a r t i c l e s c a t t e r i n g t o p r o v i d e a r o u t e f o r t h e e x p e r i m e n t a l

t e s t i n g o f o u r m o d e l .

7 C o n n e m e n t

A s d i s c u s s e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , t h e c o n n e m e n t o f t h e e l e c t r o n c h a r g e i s s t i l l a n o p e n

q u e s t i o n . C a s i m i r h a s p r o p o s e d t h a t a c h a r g e d c o n d u c t i n g s h e l l m a y b e b o u n d b y t h e

v a c u u m u c t u a t i o n s . [ 6 1 ] T h i s h a s b e e n s h o w n t o b e u n s t a b l e f o r a s p h e r i c a l s h e l l [ 6 2 , 6 3 ]

b u t m a y b e s t a b l e f o r a t t e r s y s t e m s s u c h a s a n o b l a t e s p h e r o i d o r a t o r u s . [ 6 4 ] T h i s m o d e l

h a s t h e a d v a n t a g e t h a t t h e \ P o i n c a r e - s t r e s s e s " a r e t h e m s e l v e s e l e c t r o m a g n e t i c , b u t l e a v e s

o p e n t h e q u e s t i o n o f t h e n a t u r e o f t h e s h e l l .

1 7


18/25

F o r o u r m o d e l , w e w o u l d l i k e t o b e a b l e t o w r i t e d o w n a s e t o f e q u a t i o n s , s i m i l a r t o

M a x w e l l ' s e q u a t i o n s , w h i c h d e s c r i b e t h e s e l f - g e n e r a t i o n o f t h e c o n n e d p h o t o n f r o m i t s c o n -

s t i t u e n t e l d s . W e d o n o t h a v e s u c h a d e t a i l e d d y n a m i c a l c o n n e m e n t s c h e m e , h o w e v e r , t h e

m o d e l a l l o w s u s t o d i s c u s s s o m e p o s s i b l e c o n n e m e n t m e c h a n i s m s i n a q u a l i t a t i v e w a y . T h e

p h o t o n m u s t c o n n e i t s e l f s i n c e i f a n y o t h e r p a r t i c l e s o r e l d s w e r e p r e s e n t , a s i s t h e c a s e

i n , f o r e x a m p l e t h e p r o t o n , t h e n t h i s w o u l d a e c t t h e p o i n t - l i k e i n t e r a c t i o n b e t w e e n e l e c -

t r o n s a n d p h o t o n s o b s e r v e d i n e x p e r i m e n t . A l t h o u g h , a s m e n t i o n e d p r e v i o u s l y , c i r c u l a t i n g

s o l u t i o n s o f t h e l i n e a r M a x w e l l e q u a t i o n s h a v e b e e n s h o w n t o e x i s t , [ 1 4 , 1 5 , 1 6 ] t h e f a c t t h a t

t h e e l e c t r o n d o e s n o t h a v e a r b i t r a r y m a s s m e a n s t h a t s o m e e x t r a , p r e s u m a b l y n o n - l i n e a r ,

e e c t m u s t a l s o p l a y a r o l e . I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e r e m a y b e s o l i t a r y - w a v e s o l u t i o n s

i n a n o n l i n e a r m e d i u m . T h e p o s s i b i l i t y t h a t s u c h d i s t u r b a n c e s m a y e x h i b i t p a r t i c l e - l i k e

b e h a v i o u r ( s o l i t o n s ) h a s b e e n r e c o g n i s e d f o r s o m e t i m e , [ 6 , 7 , 5 2 , 6 5 , 6 6 , 6 7 , 6 8 ] a n d i t h a s

b e e n s h o w n t h a t a t l e a s t s o m e o f t h e s e o b j e c t s a l s o f u l l t h e \ h a r m o n y o f p h a s e s " d i s c u s s e d

i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . [ 6 9 ]

W e h a v e a l r e a d y n o t e d t h a t t h e c u r v a t u r e o f s p a c e d u e t o t h e m a s s o f o u r o b j e c t i s f a r

t o o w e a k t o c o n n e a p h o t o n . I t h a s b e e n a r g u e d , h o w e v e r , t h a t a n i n t e n s e e l e c t r o m a g -

n e t i c e n e r g y d e n s i t y m a y c h a n g e t h e c u r v a t u r e o f s p a c e - t i m e , i n d e p e n d e n t o f t h e e e c t o f

g r a v i t a t i o n . T h i s m a y b e i n t e r p r e t e d a s b e i n g e q u i v a l e n t t o a n o n l i n e a r v a c u u m . [ 2 0 ] I t i s

w e l l k n o w n t h a t t h e v a c u u m m u s t b e n o n l i n e a r , a s i s i l l u s t r a t e d b y t h e s i m p l e f a c t t h a t

p a i r c r e a t i o n c a n o c c u r o n l y a b o v e a c e r t a i n t h r e s h o l d . A s o n e c o n n e s s u c c e s s i v e l y s h o r t e r

w a v e l e n g t h p h o t o n s i n t o a v o l u m e o f d i a m e t e r , t h e a v e r a g e e n e r g y d e n s i t y i n c r e a s e s a s

1 =

4

, w h e r e a s t h e e n e r g y ( a n d h e n c e t h e m a s s ) i n c r e a s e s o n l y a s 1 = . T h e e x i s t e n c e o f

p h o t o n s w i t h e n e r g i e s m u c h l a r g e r t h a n t h e e l e c t r o n m a s s , h o w e v e r , i m p l i e s t h a t s o m e t h i n g

m o r e i s r e q u i r e d t h a n s i m p l y a h i g h e n e r g y d e n s i t y t o c r e a t e a n e e c t i v e l o c a l c u r v a t u r e o f

s p a c e . I t i s k n o w n t h a t i n t h e v a c u u m , n o n - l i n e a r e e c t s c a n p l a y a r o l e i f

~

E a n d

~

B a r e n o t

p e r p e n d i c u l a r , o r i f E 6= c B . T h i s i s f o r e x a m p l e t h e c a s e i n s t r o n g l y f o c u s e d l a s e r b e a m s ,

o r p l a n e w a v e s i n t h e p r e s e n c e o f e x t e r n a l e l d s . [ 5 5 , 5 6 ] C o n s i d e r t h e p r o c e s s w h e r e t w o

i d e n t i c a l p h o t o n s ( i . e . w i t h t h e s a m e h e l i c i t y ) c o l l i d e h e a d - o n i n t h e r e f e r e n c e f r a m e w h e r e

b o t h h a v e t h e s a m e e n e r g y . T h e i n t e r f e r e n c e o f t w o c o u n t e r - p r o p a g a t i n g c i r c u l a r l y - p o l a r i s e d

e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s h a s b e e n d i s c u s s e d e x t e n s i v e l y i n t h e l i t e r a t u r e [ 7 0 , 7 1 , 7 2 ] , a n d g i v e s

r i s e t o a t w i s t e d - m o d e s t a n d i n g w a v e s o l u t i o n t o M a x w e l l ' s e q u a t i o n s w h e r e

~

B i s e v e r y w h e r e

a n d a t e v e r y i n s t a n t p a r a l l e l t o

~

E . T h i s m e a n s t h a t t h e P o y n t i n g v e c t o r m u s t b e i d e n t i c a l l y

z e r o e v e r y w h e r e ( a n d f o r a l l t i m e ) , a n d t h a t t h i s m o d e i s e v e r y w h e r e n o n - p r o p a g a t i n g . I t i s

j u s t t h i s c a s e , w i t h t h e e x t r a c o n d i t i o n t h a t w e h a v e t w o p h o t o n s w i t h a w a v e l e n g t h e q u a l t o

o r s h o r t e r t h a n t h e e l e c t r o n C o m p t o n w a v e l e n g t h , w h e r e p a i r c r e a t i o n c a n o c c u r . W e w o u l d

e x p e c t t h a t t h e v a c u u m n o n l i n e a r i t y c o u l d b e s t b e s t u d i e d i n a n e x p e r i m e n t a l c o n g u r a t i o n

o f t h i s k i n d , w h e r e i d e n t i c a l h e l i c i t y p h o t o n s t r a v e l i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s [ 7 1 ] . I n o u r m o d e l ,

w e v i e w t h e p a i r c r e a t i o n p r o c e s s a s a r i s i n g f r o m s u c h a n o n - p r o p a g a t i n g i n t e r m e d i a t e s t a t e

1 8


19/25

w i t h t h e r e q u i r e d c u r v e d s p a c e - t i m e . T h i s s t a t e m a y t h e n d e c a y b a c k i n t o t w o p h o t o n s o r

i n t o a n e l e c t r o n - p o s i t r o n p a i r . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t i f a c o n n e d p h o t o n s t a t e w i t h

t o r o i d a l t o p o l o g y i s f o r m e d , i t w i l l b e s t a b l e p r o v i d e d t h a t i t i s t h e l i g h t e s t s u c h o b j e c t w i t h

t h i s t o p o l o g y . [ 1 5 , 4 9 , 7 3 , 7 4 ]

8 O t h e r p a r t i c l e s

I f t h e e l e c t r o n i s i n d e e d c o n s t i t u t e d b y a p h o t o n , o t h e r e l e m e n t a r y p a r t i c l e s m a y a l s o b e

c o m p o s e d o f p h o t o n s t a t e s , b u t i n s o m e o t h e r c o n g u r a t i o n t o t h a t s h o w n i n F i g . 2 . T h e

p o s s i b i l i t y t h a t m u o n s a n d t a u o n s m a y b e f o r m e d b y e l e c t r o n - l i k e s t a t e s w i t h a d i e r e n t

i n t e r n a l c u r v a t u r e h a s b e e n d i s c u s s e d i n t h e l i t e r a t u r e . [ 3 9 ] W e s p e c u l a t e t h a t t h e h a d r o n s

m a y b e d e s c r i b e d b y c o m p o s i t e c o n n e d p h o t o n s t a t e s . I f w e i d e n t i f y a q u a r k w i t h a

c o n n e d p h o t o n s t a t e w h i c h i s n o t s u c i e n t i n i t s e l f t o c o m p l e t e a c l o s e d l o o p i n s p a c e ,

b u t t r a n s f o r m s a p h o t o n g o i n g i n o n e s p a t i a l d i r e c t i o n t o o n e t r a v e l l i n g i n a n o t h e r , i t w o u l d

t h e n o n l y b e p o s s i b l e t o b u i l d c l o s e d t h r e e - d i m e n s i o n a l l o o p s f r o m t h e s e e l e m e n t s w i t h q q q

a n d q q c o m b i n a t i o n s .

U n t i l n o w w e h a v e d i s c u s s e d t h e p o s s i b i l i t y t h a t a b o u n d p h o t o n s t a t e m a y g i v e r i s e t o

a n e l e c t r i c m o n o p o l e . E q u a l l y , w e c o u l d h a v e r e q u i r e d t h a t t h e m a g n e t i c e l d i n F i g . 1 b

w a s a l w a y s i n w a r d - d i r e c t e d a n d t h e e l e c t r i c e l d a l w a y s u p w a r d s , g i v i n g r i s e t o a n o b j e c t

w i t h a m a g n e t i c m o n o p o l e a n d a n e l e c t r i c d i p o l e . [ 7 5 ] T h e o n l y d i e r e n c e b e t w e e n t h e s e t w o

c a s e s i n o u r m o d e l i s a n i n t e r n a l 9 0

r o t a t i o n o f t h e e l d s a r o u n d t h e e y e o f t h e t o r u s . D i r a c

n o t e s t h a t t h e m a g n e t i c m o n o p o l e e l d s t r e n g t h i s 1 = ( 2 ) t i m e s l a r g e r t h a n t h e e l e c t r i c

m o n o p o l e e l d s t r e n g t h . [ 7 6 ] I t i s i m p o s s i b l e t o c o n s t r u c t s u c h a l a r g e e l d s t r e n g t h i n o u r

m o d e l b e c a u s e t h e m e a n r a d i u s o f e n e r g y t r a n s p o r t w o u l d h a v e t o b e o u t s i d e t h e r o t a t i o n

h o r i z o n . W e c o n c l u d e t h a t , g i v e n t h e D i r a c r e s u l t , i t i s n o t p o s s i b l e t o f o r m a s t a b l e m a g n e t i c

m o n o p o l e w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f o u r m o d e l .

9 C o n c l u s i o n s

T h e p r i m a r y r e a s o n t h a t t h e e l e c t r o n i s c o n s i d e r e d t o b e e l e m e n t a r y i s t h a t e x p e r i m e n t a l l y

i t a p p e a r s t o b e p o i n t - l i k e a n d h e n c e s t r u c t u r e l e s s . A t t h e s a m e t i m e w e a r e c o n f r o n t e d

w i t h t h e f a c t t h a t i t h a s a r i c h s e t o f p r o p e r t i e s w h i c h a r e f u n d a m e n t a l t o i t s n a t u r e . I t h a s

a n e l e m e n t a r y c h a r g e , a h a l f - i n t e g r a l s p i n , a d e n i t e m a s s , a w e l l d e n e d d i p o l e m o m e n t ,

a n a n o m a l o u s s p i n f a c t o r g 2 a n d o f c o u r s e a w a v e - p a r t i c l e n a t u r e . I t s e e m s i n a p p r o p r i a t e

t o t h i n k a b o u t s u c h t h i n g s a s t h e e l e m e n t a r y c h a r g e a s a s e p a r a t e b u i l d i n g b l o c k f r o m t h e

e l e m e n t a r y p a r t i c l e w h i c h c a r r i e s i t . A d e e p e r u n d e r s t a n d i n g r e q u i r e s a u n i c a t i o n o f t h e

a s p e c t s d i s c u s s e d a b o v e i n t e r m s o f a n u n d e r l y i n g p r i n c i p l e .

1 9


20/25

I n o u r m o d e l , t h e p o i n t - l i k e i n t e r a c t i o n o b s e r v e d i n h i g h - e n e r g y e l e c t r o n s c a t t e r i n g e x -

p e r i m e n t s i s e n s u r e d i n t h a t o n e , a n d o n l y o n e , c o n s t i t u e n t i s p r e s e n t , i n t h i s c a s e a s i n g l e

p h o t o n , a n d t h a t i t s s i z e s c a l e s w i t h t h e t o t a l e n e r g y . A l t h o u g h w e h a v e n o t a d d r e s s e d

t h e a b s o l u t e s c a l e o f l e n g t h i n o u r m o d e l , a n d h e n c e h a v e n o t x e d t h e e l e c t r o n m a s s , t h e

c h a r a c t e r i s t i c s i z e i s n i t e , a n d i s r e l a t e d t o t h e C o m p t o n w a v e l e n g t h i n a s i m p l e w a y . T h e

s t r u c t u r e i s t h e r e f o r e t h a t o f a s i n g l e o b j e c t o f n i t e e x t e n t , w i t h p r e s u m a b l y a n i t e s e l f -

e n e r g y . A c h a r g e a r i s e s i n o u r m o d e l f r o m t h e t o p o l o g y o f t h e p h o t o n p a t h , i n c o m b i n a t i o n

w i t h t h e p h o t o n e l e c t r i c e l d . A l t h o u g h w e h a v e n o t d i s c u s s e d t h e o r i g i n o f t h e q u a n t i s a -

t i o n o f c h a r g e , t h e v a l u e w e o b t a i n i s a t l e a s t i n d e p e n d e n t o f t h e l e n g t h ( m a s s ) s c a l e . W e

h a v e d i s c u s s e d t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n h a l f - i n t e g r a l s p i n a n d t h e t o p o l o g y o f o u r o b j e c t a n d

c o n c l u d e t h a t o u r m o d e l h a s a t l e a s t s o m e o f t h e p r o p e r t i e s o f a f e r m i o n . A n a n o m a l o u s

s p i n f a c t o r , g 2 , a r i s e s d i r e c t l y f r o m a c o n s i d e r a t i o n o f t h e e n e r g y i n t h e e x t e r n a l e l d i n

o u r m o d e l a n d i s i d e n t i c a l t o t h a t c a l c u l a t e d f o r t h e e l e c t r o n i n r s t - o r d e r q u a n t u m e l e c t r o -

d y n a m i c s . O u r m o d e l g i v e s a p h y s i c a l o r i g i n f o r t h e p o s t u l a t e o f t h e \ h a r m o n y o f p h a s e s "

p r o p o s e d b y D e B r o g l i e w h i c h l i e s a t t h e h e a r t o f q u a n t u m m e c h a n i c s . T h e m o d e l e x c l u d e s

t h e p o s s i b i l i t y o f a m a g n e t i c m o n o p o l e .

I n

electron a photon with toroidal topology

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