elementos finitos de placas

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Placas

Placas de Kirchhoff

Placas deReissner-Mindlin

Elementos Finitos de Placas

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INTECInstituto Tecnologico de Santo Domingo

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Placas de Kirchhoff


Indice

1 PlacasIntroduccionPlacasPlacas de KirchhoffPlacas de Reissner-Mindlin


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Seccion 1

Placas


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Objetivos de la unidadIntroducir al alumno a problemas de estructuras constituidaspor placas y estructura laminares.


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Placas

Placas. Conceptos basicos

1 Placa: solido paralelepıpedo en el que una de susdimensiones (espesor t) es mucho mas pequena que lasotras dos.

2 Plano medio de la placa: superficie plana equidistantede las caras mayores dimensiones de la placa.

3 Estado de placas: estado de carga en el que solo actuancomo cargsa exteriores fuerzas normales al plano medio ymomentos cuyos ejes estan contenidos en dicho plano.


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Placas

Placas1 Placas delgadas: teorıa de Kirchhoff (t/L< 0,05).2 Placa gruesa : teorıa de Reissner-Mindlin

(0,1< t/L< 0,25).La teorıa de Kirchhoff asume que las secciones ortogonales yplanas al plano medio de la placa se mantienen planas yortogonales despues de la deformacion de la placa. La teorıa deRM asume que se mantienen planas pero NO ortogonalesdespues de la deformacion.


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Placas

Teorıa de Kirchhoff vs Teorıa de Reissner-Mindlin

Espesor

Plano xz Normal inicial

Deformada realde la normal

Deformada supuesta

Plano yz

Plano medio

Espesor

Plano xz

Normal inicial


Deformada supuesta

Plano yz

Plano medio

Teoría de Kirchho Teoría de Reissner-Mindlin

Figura 1 : Placa delgada y placa gruesa.


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Placas de Kirchhoff

Hipotesis fundamentales1 Los puntos del plano medio solo se mueven verticalemnte u = v = 0.2 Todos los puntos contenidos es una normal al plano medio tienen el

mismo desplazamiento vertical.3 Tension normal σz es despreciable.4 Los puntos sobre rectas normales al plano medio antes de la

deformacion, permanecen sobre rectas tambien ortogonales a ladeformada del plano medio despues de la deformacion.


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Placas de Kirchhoff

Campo de desplazamientos

u(x ,y ,z) = −zθx (x ,y) (1.1)v(x ,y ,z) = −zθy (x ,y) (1.2)w(x ,y ,z) = w(x ,y) (1.3)

θx =∂w∂x (1.4)

θy =∂w∂y (1.5)

Plano medio

Figura 2 : Definicion geometrica de la placa.


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Placas de Kirchhoff

Campo de deformaciones

εf =

(εxεyγxy

)=

∂u∂x∂v∂y

∂u∂y + ∂v

∂x

=

−z ∂2u∂x2

−z ∂2v∂y2

−2z ∂2u∂x∂y

(1.6)

La cuarta hipotesis de Kirchhoff conduce a que lasdeformaciones transversales γxz y γyz sean nulas.


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Placas de Kirchhoff

Relacion Tension-Deformacion

σ =

σxσyσxy

(1.7)

σ = Dεf (1.8)

D =E

1 −ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

(1.9)


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Placas de Kirchhoff

Vector de Esfuerzos

σf =

MxMyMxy

=

∫ t/2

−t/2z

σxσyσxy

dz =

∫ t/2

−t/2zDεf dz (1.10)

σf =∫ t/2

−t/2z2Dεf dz =

t3

12Dεf (1.11)

εf =(

−∂2w∂x2 −∂2w

∂y2 −2 ∂2w∂x∂y

)T(1.12)


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Figura 3 : Convenios de signos para tensiones y momentos en una placa.


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Placas de Kirchhoff

Expresion de los principios de trabajos virtuales∫∫∫VδεTσdV =

∫∫AδwqdA+

∑iδwi Wi (1.13)

δU =

∫∫∫VδεT

f σdV =

∫∫∫V(zδεT

f )σdV (1.14)

=

∫∫AδεT

f

(∫ t/2

−t/2zσdz

)dA (1.15)

=

∫∫AδεT

f σf dA (1.16)

=−∫∫

A

[∂2w∂x2 Mx +

∂2w∂y2 My +2 ∂

2w∂x∂y Mxy

]dA (1.17)


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Ecuaciones de Equilibrio de la Placa∂Qx

∂x+∂Qy

∂y+ q = 0 (1.18)

∂Mx

∂x+∂Mxy

∂y−Qx = 0 (1.19)

∂My

∂y+∂Mxy

∂x−Qy = 0 (1.20)

∂2Mx

∂x2 + 2∂2Mxy

∂x∂y+∂2My

∂y2 =−q (1.21)

∂4w∂x4 + 2

∂4w∂x2∂y2 +

∂w4

∂y4 =qD

(1.22)

∇4w =qD

(1.23)

D =Et3

12(1−ν2)(1.24)


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Concepto basico

Se aprecia claramente que el trabajo de deformacion virtual dela placa puede obtenerse a partir de las contribuciones deltrabajo que realizan cada uno de los momentos sobre lascurvaturas correspondientes. Ademas aparecen derivadassegundas de la flecha, lo que exige que tanto la flecha como suprimera derivada sean continuas (continuidad de clase C1).


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Placas de Reissner-Mindlin

Expresion de los principios de trabajos virtuales Hipotesisfundamentales

1 Los puntos del plano medio solo se mueven verticalemnte u = v = 0.2 Todos los puntos contenidos es una normal al plano medio tienen el

mismo desplazamiento vertical.3 Tension normal σz es despreciable.4 Los puntos sobre rectas normales al plano medio antes de la

deformacion, permanecen sobre uma misma recta, sin que esta tengaque ser necesariamente ortogonal a la deformada del plano mediodespues de la deformacion.


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Teorıa de Kirchhoff vs Teorıa de Reissner-Mindlin

Espesor

Plano xz Normal inicial


Deformada supuesta

Plano yz

Plano medio

Espesor

Plano xz

Normal inicial


Deformada supuesta

Plano yz

Plano medio

Teoría de Kirchho Teoría de Reissner-Mindlin

Figura 4 : Placa delgada y placa gruesa.


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Campo de desplazamientos

u(x ,y ,z) = −zθx (x ,y)(1.25)

v(x ,y ,z) = −zθy (x ,y)(1.26)

w(x ,y ,z) = w(x ,y) (1.27)

θx =∂w∂x +φx (1.28)

θy =∂w∂y +φy (1.29)

Plano medio

Figura 5 : Definicion geometrica de la placa.


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Campo de deformaciones

εf =

εxεyγxy......γxzγyz

=

∂u∂x∂v∂y

∂u∂y + ∂v

∂x......

∂u∂z + ∂w

∂x∂y∂z + ∂w

∂y

=

−z ∂θx∂x

−z ∂θy∂y

−z(∂θx∂y +

∂θy∂x

)......

∂w∂x −θx∂w∂y −θy

=

(εf......εc

)

(1.30)


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Distribucion Tensiones de Corte

Distribución exacta Distribución supuesta

Figura 6 : Distribucion tensiones de corte.


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Relacion Tension-Deformacion

σ =

(σfσc

)(1.31)

σ =

Df . 0... . ...0 . Dc

εf......εc

(1.32)

Df =E

1 −ν2

1 ν 0ν 1 00 0 (1 −ν)/2

Dc =αE

2(1+ν)

(1 00 1

)(1.33)


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Distribucion Tensiones de Corte

Distribución exacta Distribución supuesta

Figura 7 : Distribucion tensiones de corte.


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Vector de Esfuerzos

σ =

σf.......σc

=

MxMyMxy.......QxQy

=

∫ t/2

−t/2z

zσxzσyzσxy.......σxzσyz

dz

=

∫ t/2

−t/2

(zσfσc

)dz (1.34)


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Vector de Esfuerzos

σ =

σf.......σc

=

∫ t/2

−t/2

zDf εf.......Dcεc

dz =

∫ t/2

−t/2

−z2Df

∂θx∂x∂θy∂y

∂θx∂y + ∂θy

∂x

.......

Dc

(∂w∂x −θx∂w∂y −θy

)

dz =

t3

12Df εf.......

tDc εc

(1.35)


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Convenio De Signos

Figura 8 : Distribucion Tensiones De Corte.


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Expresion de los principios de trabajos virtuales∫∫∫VδεTσdV =

∫∫AδwqdA+

∑iδwi Wi (1.36)

δU =

∫∫∫VδεTσdV =

∫∫∫Vδ(

z εTf , ε

Tc

)(σf ,σc)dV

(1.37)

=

∫∫Aδε

(∫ t/2

−t/2[zσf ,σc ]dz

)dA (1.38)

No aparecen derivadas de los movimientos de un orden mayor al primero.Esto implica que basta con exigir a los elementos finitos continuidad declase Co , a diferencia de la formulacion de Kirchhoff, donde la presencia delas derivadas segundas exigıan continuidad de clase C1.


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Formulacion en EFCampos de los desplazamientos

u =

( wθxθy

)=

nodo∑i=1

( Ni wiNiθxiNiθyi

)= Nue (1.39)

Campo de las deformaciones generalizadas

ε=

(εf.....εc

)=

−∂θx∂x

−∂θy∂y

−(∂θx∂y +

∂θy∂x

)......

∂w∂x −θx∂w∂y −θy

=

nodo∑i=1

−∂Ni∂x θxi

−∂Ni∂y θyi

−(∂Ni∂y θxi +

∂Ni∂x θyi

)......

∂Ni∂x wi −Niθxi∂Ni∂y wi −Niθyi

(1.40)


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Formulacion en EFCampo de las deformaciones generalizadas

ε=

nodo∑i=1

( Bfi...

Bci

)ue (1.41)

Bfi =

0 −∂Ni∂x 0

0 0 −∂Ni∂y

0 −∂Ni∂y −∂Ni

∂y

Bci =

(∂Ni∂x −Ni 0∂Ni∂y 0 −Ni

)(1.42)


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Formulacion en EFMatriz de rigidez

Ke =

∫∫A[Bf ,Bc ]

T · D · [Bf ,Bc ]dA = Kfe +Kc

e (1.43)

Ecuacion de Equilibrio Global

(Kgf +Kg

c )ug = f g (1.44)

Problema de Bloqueo por Cortante

(Et3

12(1−ν2)Kg

f +GtKgc )u

g = f g (1.45)

(Kgf +

12(1−ν2)GEt2 Kg

c )ug =

12(1−ν2)

Et3 f g (1.46)

(1.47)

Que pasa cuando t 7−→ 0?


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Caracterıstica del elemento de placa de Reissner-Mindlin

1 Debe estar libre del efecto de bloqueo de placas delgadas.2 No debe tener mecanismos internos de solido rıgido.3 Debe satisfacer los requisitos usuales de invarianza y

convergencia.4 Debe proporcionar soluciones precisas de movimientos,

momentos y cortante y ser relativamente insensible adistorsiones geometricas.

5 Su formulacion no debe basarse en elementos de ajustes.6 Facil de implementar usando programas de ordenador.


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Cual de las teorıas es mas recomendable?Al dıa de hoy no hay una respuesta categorica. Si bien,nuestras preferencias se inclinan por las placas gruesas, suutilizacion debe hacerse con mucha precaucion.


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Eugenio Onate Ibanez de Navarra.Calculo de estructuras por el metodo de elementos finitos: analisis elastico lineal.1992.

Calos. A Felippa.Home page of carlos a. felippa.://www.colorado.edu/engineering/CAS/Felippa.d/FelippaHome.d/Home.html.

E. L. Wilson.Three dimensional static and dynamic analysis of structures: a physical approach with emphasis onearthquake engineering.Computers and Structures Inc, 2, 1998.

Olgierd Cecil Zienkiewicz.El metodo de los elementos finitos.Reverte, 1981.


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