Engenharia de Sistemas e Computacao

Sistemas de Comunicacao

Sergio M.M. Jesussjesus@ualg.pt

Unidade de Ciencias Exactas e HumanasUniversidade do Algarve

1999/2000

Ultima revisao: 5 de Maio de 2000

ftp://ftp.ualg.pt/users/sjesus/pub/sc99-00.pdf (ou ps.gz)

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Programa

1. Introducao 5

2. Sinais determinısticos 62.1 Amostragem 62.2 Energia e potencia 122.3 Sistemas lineares e invariantes 122.4 Transformada de Fourier 132.5 Sinais passa-banda e transformada de Hilbert 162.6 Passagem em banda base 17

3. Sinais estocasticos 193.1 Probabilidades elementares 193.2 Conceito de variavel aleatoria e de funcao de distribuicao 203.3 Funcao densidade de probabilidade 213.4 Esperanca matematica 223.5 Funcao caracterıstica 233.6 Leis de distribuicao usuais 233.6.1 Uniforme 233.6.2 Exponencial unilateral 243.6.3 Exponencial bilateral 243.6.4 Normal (ou gaussiana) e distribuicoes associadas 243.6.5 χ2 com d graus de liberdade 253.7 O teorema do limite central 253.8 Nocao de processo aleatorio 263.9 Media e variancia de um processo aleatorio 273.10 Covariancia e correlacao 283.11 Estacionaridade e ergodicidade 303.12 Energia e potencia 313.13 Filtragem linear de sinais aleatorios 323.14 Ruıdo branco 333.15 Estimacao espectral 363.16 Sinais cicloestacionarios 383.17 Quantidade de informacao e entropia 39

4. Canais de transmissao 404.1 Linhas de transmissao 404.2 Fibra optica 424.3 Transmissao radio 44

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5. Modulacao e desmodulacao analogica 455.1 Modulacao de amplitude com duas bandas laterais (AM-DSB) 455.2 Modulacao de amplitude com supressao de portadora (AM-SC) 485.3 Modulacao de amplitude de banda lateral unica (AM-SSB) 495.4 Modulacao de amplitude em quadratura (QAM) 505.5 Modulacao de angulo 505.6 Multiplexagem no tempo e na frequencia 535.7 Desmodulacao AM e FM 54

6. Modulacao de impulsos (PAM) 556.1 Introducao 556.2 Generalidades 556.3 Medidas de desempenho 576.4 Formas de pulso 586.5 PAM em banda base 656.6 PAM em banda passante 676.6.1 Emissor - modulador 676.6.2 Receptor - desmodulador 696.7 Spread spectrum 73

7. Introducao a codagem 747.1 Escolha do alfabeto 747.2 Constelacoes 757.3 Codagem diferencial e DPSK 77

8. O receptor correlador optimo 798.1 Em banda base 798.2 Em banda passante 81

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AnexosA.1 Transformada de Fourier do degrau unitario 82A.2 Tabelas de transformadas de Fourier 84A.3 Relacoes trigonometricas usuais 86A.4 Desenvolvimentos em serie 87A.5 Algumas relacoes uteis 88

Folhas de exercıcios 89

Bibliografia 106

Metodo de avaliacao 107

NOTA PREVIA

Esta e a versao 1.0 da sebenta da disciplina de Sistemas de Comunicacao. Como talencontra-se certamente cheia de erros e gralhas. Conto convosco - leitores atentos- para as correcoes 1. A ler e usar com precaucao, tomando sempre o cuidado decomplementar com a leitura da bibliografia e os apontamentos das aulas.

Boa leitura !...

1agradecem-se correcoes e comentarios para sjesus@ualg.pt: em troca oferece-se uma copiaelectronica gratuita devidamente zipada !

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1. Introducao

Os sistemas de comunicacao sao todos os instrumentos que permitem transmitir in-formacao de um ponto para outro. Geralmente o ponto de partida da informacao echamado emissor enquanto o ponto de chegada e chamado receptor. O que se en-contra entre o emissor e o receptor e chamado meio de transmissao ou simplesmentecanal de transmissao. Frequentemente pretende-se que a transmissao da informacaoseja efectuada nos dois sentidos, atraves do mesmo canal de transmissao, e entao oemissor e tambem receptor e vice-versa.

Encontramos sistemas de comunicacao seja no emissor, seja no receptor. Geral-mente o papel do sistema de comunicacao no emissor e o de adaptar o sinal a trans-mitir ao canal de transmissao. No receptor trata-se de recolocar o sinal recebido soba forma original enviada no emissor. Tendo em conta que o sinal foi transformadono emissor e sofreu alteracoes durante a sua passagem pelo canal de transmissao -nomeadamente a influencia de ruıdo - o papel do sistema de recepcao sera de colocaro sinal recebido numa forma o mais fiel quanto possıvel em relacao ao sinal emitido.

Como exemplos de canais de transmissao podemos citar: a atmosfera, atraves daqual podemos enviar ondas electromagneticas (p. ex. radio, televisao, telemovel,etc...), o cabo electrico bifilar (telefone, computador a baixo debito), o cabo coaxial(computador, TV por cabo,...) e a fibra optica, a agua (sonar, telefone submarino,etc...) e o vacuo (satelite, naves espaciais, etc..). Cada um destes exemplos de canaisde transmissao tem caracterısticas proprias que necessitam sistemas de comunicacaodedicados.

Existe hoje em dia uma grande variedade de sistemas de comunicacao, cada ummais sofisticado que o outro. Uma comunicacao por telefone pode, por exemplo,utilizar varios canais de transmissao, passando de cabo bifilar para linha digital,depois fibra optica em seguida via radio para um satelite, etc... No entanto uma dascaracterısticas essenciais de cada canal de transmissao e a a sua capacidade, i.e., emtermos simples, a quantidade maxima de informacao que podemos transmitir atravesdele sem distorsao apreciavel. As nocoes de quantidade de informacao e de distorsaoserao introduzidas de forma precisa mais adiante.

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2. Sinais determinısticos

Ja dissemos no capıtulo anterior que a mensagem era transmitida da fonte para oreceptor atraves do canal de transmissao gracas a um sistema emissor na fonte e aum sistema receptor no receptor. A informacao a transmitir e codificada na fontesob a forma de um sinal que e geralmente uma voltagem. A variacao dessa tensao aolongo do tempo contem a informacao desejada - diz-se que o sinal serve de suporteda informacao.

Geralmente, a tensao variavel emitida na fonte e uma tensao, dita, analogica, i.e.,o sinal pode ser representado por uma funcao de variavel real do tempo, v(t). No en-tanto, grande parte dos sistemas de comunicacao hoje em dia efectuam operacoes emsinais sob forma discreta e por isso seremos levados a manipular seja sinais contınuosseja discretos e comecaremos por rever a nocao de amostragem.

2.1 Amostragem

Neste capıtulo estudaremos as caracterısticas e as propriedades do processo de amostragem.Este processo, descrito na figura 2.1, consiste em formar, a partir de um sinal contınuox(t), uma nova funcao, x(t) chamada funcao amostrada. Esta funcao obtem-se a par-tir da funcao inicial x(t) atraves de um processo de amostragem periodico (de perıodoτ segundos). Noutras palavras, a funcao x(t) e obtida pelo produto de x(t) com afuncao de amostragem s(t), que e uma serie periodica de impulsos estreitos (emrelacao a τ). Assim a funcao x(t) modula em amplitude s(t) para formar x(t). Aoperacao inversa consiste no processo de reconstrucao do sinal inicial x(t) a partirdas amostras da funcao amostrada x(t). Isto e realizado na fig. 2.1 por um filtroideal de interpolacao.

Figura 2.1: processo de amostragem e de reconstrucao.

Consideremos um sinal x(t), passa-baixo, com uma banda limitada, tendo umespectro |X(f)| que e nulo fora de uma banda (−W, W ) (ver fig. 2.2). Num problemade comunicaao servimo-nos em geral de uma portadora de frequencia ω0, de tal modo

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que o sinal modulado e

v(t) = x(t) cos ω0t, ω0 = 2πf0 (2.1)

Como sabemos que a representacao frequencial de cos ω0t e constituida por dois Diracscolocados a ω = −ω0 e ω = ω0 o produto temporal da eq. (2.1) torna-se numaconvolucao no domınio da frequencia. O resultado e

V (f) = X(f) ∗ TF[cos(2πf0t)] =1

2X(f + f0) +

1

2X(f − f0) (2.2)

Figura 2.2: espectro do sinal original.

Isto esta ilustrado na fig. 2.3. Este resultado pode ser generalizado para o casoem que s(t) e uma soma de funcoes periodicas a frequencias multiplas de ω0, isto e,±kω0. Neste caso o produto de (2.1) da no domınio da frequencia uma repeticao doespectro de x(t) as frequencias harmonicas ±kω0.

Figura 2.3: espectro do sinal amostrado.

Teorema de amostragem (ou de Shanon)

A forma que deve ter a funcao periodica s(t), para realizar uma amostragem ideal,e dada por uma serie periodica de impulsos de Dirac. Noutras palavras, pode-sedefinir a funcao de amostragem ideal por

s(t) =∞∑

n=−∞δ(t − nτ), (2.3)

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que evidentemente tem como espectro

S(f) =1

τ

∞∑

k=−∞δ(f − kfs), (2.4)

onde fs = 1/τ e a frequencia de amostragem. A funcao amostrada x(t) e formadapelo produto da funcao inicial x(t), de espectro limitado, com a funcao s(t). Pode-seportanto escrever

x(t) = x(t)s(t) =∞∑

n=−∞x(nτ)δ(t − nτ), (2.5)

e o espectro desta funcao amostrada e evidentemente

X(f) = X(f) ∗ S(f) =1

τ

∞∑

k=−∞X(f − kfs). (2.6)

Pode-se ver desta maneira, que o espectro de X(f) se encontra a partir do espectrodo sinal inicial, X(f), retardando este de ±kfs, isto e, valores multiplos da frequenciade amostragem. Este processo de amostragem e ilustrado na fig. 2.4.

Estes resultados foram obtidos considerando o caso particular em que a frequenciade amostragem era suficientemente elevada em relacao a frequencia maxima do sinalx(t), isto e, fs > W . Observando a fig. 2.4 torna-se evidente que, para que nao existasobreposicao de dois espectros consecutivos, e necessario e suficiente que a frequenciade amostragem fs seja superior ou igual a 2W , isto e, que

fs > 2W. (2.7)

Esta condicao e absolutamente necessaria para poder reconstituir o sinal x(t) a partirde x(t) atraves da filtragem passa-baixo deste ultimo. Neste caso

Y (f) = Hr(f)X(f) = X(f)τrect(f

W) = X(f), (2.8)

quando W ≤ fs/2. Este processo de reconstituicao esta tambem representado na fig.2.4. Neste momento podemos estabelecer o teorema fundamental da amostragem,tambem chamado de Nyquist ou de Shanon:

Teorema

“Se uma funcao nao contem componentes superiores a uma frequencia W (hz),entao essa funcao pode ser completamente determinada especificando o seu valor auma serie de pontos espacados no maximo de 1/(2W) segundos.”

Evidentemente a transformada inversa da eq. (2.8) e

x(t) = hr(t) ∗ x(t) = hr(t) ∗∞∑

n=−∞x(nτ)δ(t − nτ), (2.9)

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Figura 2.4: processo de amostragem e reconstituicao.

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que se pode tambem escrever

x(t) =∞∑

−∞x(nτ)hr(t − nτ), (2.10)

no caso do filtro passa-baixo ideal, a funcao de interpolacao que e a TF−1 da funcaoporta e

hr(t − nτ) = τsin 2πW (t − nτ)

π(t − nτ), (2.11)

o que nos da por substituicao na eq. (2.10) e com τ = 1/(2W ),

x(t) =∞∑

−∞x(nτ)

sin 2πW (t − nτ)

2πW (t − nτ). (2.12)

Esta formula permite-nos determinar a funcao contınua x(t) a partir das amostrasx(nτ).

Teorema de amostragem de sinais passa-banda

Ja vimos o teorema de amostragem para as funcoes passa-baixo. No caso deuma funcao passa-banda, como por exemplo um sinal modulado, a frequencia deamostragem nao deve forcosamente ser ≥ a duas vezes a frequencia maxima do sinal.Isto deve-se ao facto que o espectro de um sinal passa-banda tem “buracos” comganho nulo. Para estes sinais o teorema de amostragem escreve-se

Teorema

“Se uma funcao x(t) tem um espectro passa-banda nao nulo entre fc − W e fc

entao a frequencia de amostragem mınima e

fs =2fc

m, (2.13)

onde m e o maior inteiro inferior a fc/W . Atencao: todas as frequencias superioresa fs definida pela eq. (2.13) nao sao forcosamente utilizaveis devido ao problema desobreposicao de espectros.”

Podemos fazer a prova grafica do teorema acima sem dificuldade. Consideremoso sinal X(f) de banda W e frequencia maxima fc com fc/W = 2.5 e escolhamosarbitrariamente fs = 1.1fc. O resultado pode ver-se na fig. 2.5. Atraves de umareconstrucao grafica deste tipo pode-se chegar aos varios valores de fs que se podemobter para um dado fc/W .

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Figura 2.5

A fig. 2.6 mostra um abaco que permite determinar a frequencia de amostragemmınima para sinais passa-banda a partir da frequencia maxima fc e da banda W dosinal.

Figura 2.6: abaco para determinar fs no caso de sinais passa-banda.

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Representacao por modulacao de impulsos

A partir do que foi dito acima, podemos deduzir que o sinal discreto ideal xn =x(nτ) e

xn = x(nτ) =∫ +∞

−∞x(t)δ(t − nτ)dt (2.14)

obtemos entao o sinal discreto no tempo, representado pela sequencia de amostrasxn. Inversamente o sinal amostrado x(t) pode ser representado por uma soma finitade impulsos modulados em amplitude pela sequencia xn,

x(t) =∞∑

n=−∞xnδ(t − nτ) (2.15)

E esta ultima forma de representacao que nos permite introduzir a nocao de mod-ulacao de amplitude de impulsos (pulse amplitude modulation - PAM) da qual falare-mos mais adiante.

2.2 Energia e potencia

A energia de um sinal e uma quantidade fundamental em sistemas de comunicacao.Assim definimos a energia de um sinal por

Ex =∫ ∞

−∞|x(t)|2dt, e Ex =

∞∑

k=−∞|xk|2 (2.16)

para sinais contınuos e discretos respectivamente. Sendo a potencia igual a energiapor unidade de tempo, so poderemos calcular a potencia contida num sinal comosendo a energia media dada por

Px = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2|x(t)|2dt, e Px = lim

K→∞

1

K

K/2−1∑

k=−K/2

|xk|2. (2.17)

2.3 Sistemas lineares e invariantes

Um sistema e considerado linear se obedece as condicoes de homogeneidade e desobreposicao.

Homogeneidade: um sistema e considerado homogeneo se

x(t) ⇒ y(t),

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entaokx(t) ⇒ ky(t). (2.18)

Sobreposicao: um sistema obedece a lei da sobreposicao se

x1(t) ⇒ y1(t),

x2(t) ⇒ y2(t),

entaox1(t) + x2(t) ⇒ y1(t) + y2(t). (2.19)

De uma forma condensada

kx1(t) + kx2(t) ⇒ ky1(t) + ky2(t).

Ainda uma sub-classe dos sistemas lineares sao os sistemas lineares invariantes paraos quais se

x(t) ⇒ y(t),

entaox(t − t0) ⇒ y(t − t0). (2.20)

Uma das caracterısticas essenciais resultantes da definicao acima e de que a respostade um sistema linear invariante a uma excitacao e dado pela equacao de convolucao

y(t) = h(t) ∗ x(t) =∫

h(τ)x(t − τ)dτ (2.21)

onde h(t) e a resposta impulsiva do sistema, i.e., e a resposta do sistema a um impulsoδ(t).

Para sistemas caracterizados no espaco de tempo discreto a equacao de convolucaoescreve-se

yk = hk ∗ xk =∑

k

h(l)x(k − l) (2.22)

2.4 Transformada de Fourier

O integral de Fourier, ou simplesmente transformada de Fourier (TF), que permitepassar de um sinal temporal contınuo s(t) (periodico ou aperiodico) a um sinal nodomınio da frequencia S(ω) e definida por

S(ω) =∫ +∞

−∞s(t)e−jωtdt. (2.23)

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Em geral a S(ω) chama-se espectro de s(t), mesmo se essa designacao deva ser reser-vada para |S(ω)|, que e tambem chamada densidade espectral em amplitude. Demodo analogo a transformada inversa e definida por

s(t) =1

2π

∫ +∞

−∞S(ω)ejωtdω, (2.24)

que permite determinar a funcao temporal s(t) de modo unico a partir do seu espectroS(ω). A transformada de Fourier directa, S(ω), e geralmente complexa.

TF de um sinal discreto no tempo - DTFT

A transformada de Fourier de um sinal discreto e definida por

X(f) =1

T

∞∑

k=−∞x(k)e−j2πfkT , (2.25)

onde T e o intervalo de amostragem. Do mesmo modo a transformada inversa eobtida por

x(k) =∫ 1/2

−1/2X(f)ej2πfkTdf, (2.26)

no intervalo [−1/2T, 1/2T ] visto que X(f) e uma funcao periodica, de perıodo 1/T,pois trata-se da transformada de Fourier de um sinal obtido por amostragem. Comefeito esta propriedade demonstra-se facilmente a partir da eq. (2.25). Assim

X(f + 1/T ) =∞∑

k=−∞x(k)e−j2πfkT e−j2πk = X(f), (2.27)

visto que e−j2πk = 1 para qualquer k inteiro. Tendo em mente esta diferenca essencialentre a TF de sinais contınuos e de sinais discretos podemos demonstrar todas asoutras propriedades da TF para os sinais discretos de modo analogo ao dos sinaiscontınuos. Frequentemente, para simplificar a notacao, as definicao (2.25) e (2.26)sao utilizadas com um intervalo de amostragem T = 1.

Exemplos:

A) sinal porta: calcular a TF do sinal discreto

p(k) = rectN(k) =

1, −N/2 ≤ k ≤ N/2 − 10, para todo outro k.

Aplicando a relacao de definicao

P (f) =N/2−1∑

k=−N/2

e−j2πfk,

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fazendo l = k + N/2, tem-se que k = l − N/2 e por substituicao

P (f) = ejπfNN−1∑

l=0

e−j2πfl,

o valor do somatorio pode ser calculado observando que se trata de uma progressaogeometrica de N termos e de razao r = e−j2πf . Assim

P (f) = ejπfN 1 − e−j2πfN

1 − e−j2πf,

que se pode escrever tambem

P (f) = ejπf sin(πfN)

sin(πf).

B) sinal amostrado: dado o sinal amostrado, sob a sua forma de modulacao deamplitude de impulsos

x(t) =∑

k

xkδ(t − kT )

demonstrar que a TF, X(ω) = TF [x(t)] e igual a DTFT da sequencia discreta xk,i.e., que

X(ω) = DTFT[xk]

Com efeito, calculando a TF de x(t) temos

X(ω) =∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt

=∫ ∞

−∞

∑

k

xkδ(t − kT )e−jωtdt

=∑

k

xk

∫ ∞

−∞δ(t − kT )e−jωt

=∑

k

xke−jωkT

= X(ω)= DTFT[xk]

No entanto, a TF de sinais discretos - DTFT, e de relativamente pouca utilidadena pratica, pois que de modo a permitir o processamento do sinal frequencial porcalculadores numericos, e necessario que a variavel f seja tambem discreta. Assim,definiremos mais tarde a transformada de Fourier discreta que chamaremos de modoabreviado TFD (ou DFT=Discrete Fourier Transform).

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2.5 Sinais passa-banda e a transformada de Hilbert

Como ja tivemos a ocasiao de mencionar na introducao, um dos papeis desempe-nhados pelos sistemas de comunicacao colocados no emissor, e o de adaptar o sinalao canal de comunicacao. Frequentemente, uma das caracterısticas essenciais docanal de comunicacao e de que a sua banda de frequencias e limitada em tornoa um determinado valor: dizemos que se trata de um canal ”passa-banda” - e ocaso do canal radio-frequencia. O sistema de comunicacao emissor tera entao detransformar o sinal contendo a mensagem a emitir num sinal passa-banda compatıvelcom o canal de transmissao. Vamos agora descrever o formalismo matematico quepermite representar sinais passa-banda e a sua manipulacao ao longo da cadeia detransmissao.

Vamos considerar o sinal passa-banda s(t) com o espectro S(f). Primeiramentevamos considerar um novo sinal que contenha apenas a parte positiva do espectro des(t),

S+(f) = 2u(f)S(f), (2.28)

onde u(f) e a funcao degrau unidade e o factor 2 tem em conta a conservacao daenergia, i.e., S+(f) e S(f) tem a mesma energia. No domınio do tempo temos

s+(t) =∫ ∞

−∞S+(f)ej2πftdf

= TF−1[2u(f)] ∗ TF−1[S(f)].(2.29)

Visto que (ver apendice A.1)

TF−1[2u(f)] = δ(t) +j

πt(2.30)

temos

s+(t) =[

δ(t) + j1

πt

]

∗ s(t). (2.31)

O sinal s+(t) e chamado pre-envelope de s(t) ou sinal analıtico. A partir do segundotermo do segundo membro de (2.31) define-se o sinal

s(t) =1

πt∗ s(t)

=1

π

∫

s(τ)

t − τdτ

(2.32)

como sendo a Transformada de Hilbert de s(t), cuja notacao e

H[s(t)] =1

π

∫

s(τ)

t − τdτ. (2.33)

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Uma forma alternativa de ver a transformada de Hilbert e de considerar que o sinals(t) pode ser visto como o sinal de saıda de um filtro cuja resposta impulsiva e

h(t) =1

πt, −∞ < t < ∞ (2.34)

excitado pelo sinal s(t) a entrada. Este filtro e entao chamado um transformador deHilbert e a sua resposta em frequencia escreve-se

H(f) = TF[h(t)] = −jsgn(f) =

−j f > 00 f = 0j f < 0

. (2.35)

Podemos notar que a funcao de tranferencia do filtro de Hilbert e tal que o seu moduloe |H(f)| = 1 e a sua fase e

Φ(f) =

−π2

f > 0π2

f < 0(2.36)

o que nos faz dizer que este filtro e basicamente um desfasador puro de π/2 paratodas as frequencias do sinal de entrada, enquanto a amplitude nao e alterada.

2.6 Passagem em banda-base

O sinal analıtico s+(t) e um sinal passa-banda, i.e., toma valores diferentes de zeropara uma banda de frequencias em torno a uma frequencia fc, e e zero para todos osoutros valores de f . Para colocar o sinal s+(t) em banda base, i.e., numa banda defrequencias em torno a f = 0, teremos de fazer uma translacao de fc Hz. Assim o sinalem banda base equivalente a s+(t) sera (no domınio da frequencia) Sbb(f) = S(f +fc)ou seja no tempo

sbb(t) = s+(t)e−j2πfct

= [s(t) + js(t)]e−j2πfct (2.37)

e de forma equivalente[s(t) + js(t)] = sbb(t)e

j2πfct (2.38)

de onde fazendo sbb(t) = x(t) + jy(t) e igualando partes reais e imaginarias de (2.38)obtemos

s(t) = x(t) cos(2πfct) − y(t) sin(2πfct), (2.39a)

s(t) = x(t) sin(2πfct) + y(t) cos(2πfct). (2.39b)

A equacao (2.39a) e uma representacao do sinal passa-banda s(t) no qual as suascomponentes em banda-base x(t) e y(t) se encontram como moduladoras dos cos e dosin as frequencias centrais fc; x(t) e y(t) sao chamadas as componentes em quadraturado sinal s(t) visto que as funcoes que elas modulam estao desfasadas de π/2. Alterna-tivamente, utilizando a representacao exponencial dum numero complexo, podemosescrever

sl(t) = a(t)ejθ(t) (2.40)

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ondea(t) =

√

x2(t) + y2(t) (2.41a)

θ(t) = tan−1 y(t)

x(t)(2.41b)

onde a(t) e θ(t) sao chamados o envelope da fase de s(t), respectivamente.

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3. Sinais estocasticos

Em muitos problemas fısicos e necessario associar um valor numerico ao resultado deuma experiencia aleatoria. Por exemplo, o sinal da figura 3.1 poderia representar avoltagem medida aos bornos de uma resistencia geradora de ruıdo. Poderia tambemrepresentar a temperatura, em graus centigrados, medida num dado local em funcaodo tempo. Em ambos os casos ao resultado de uma experiencia imprevisıvel foi asso-ciado um valor numerico. Este conceito, extremamente importante na modelizacao desinais fısicos nao determinısticos, sera progressivamente introduzido neste capıtulo.

0 50 100 150 200 250 300-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Time (s)

Ampli

tude

(V)

Figura 3.1: sinal aleatorio.

3.1 Probabilidades elementares

Comecemos por considerar uma determinada experiencia cujo resultado designare-mos por ω. A realizacao dessa experiencia pode resultar numa serie, ou conjunto,de acontecimentos que constitui o conjunto de acontecimentos possıveis Ω. Para oexperimentador, de entre os resultados possıveis pode ser assinalavel o acontecimentode ω0 ∈ Ω para o qual gostaria de saber qual a “probabilidade” para que aconteca. In-tuitivamente podemos dizer que a probabilidade do acontecimento ω0, que notaremosPr(ω0), pode ser considerada como o limite, quando o numero de experiencias tendepara infinito, do quociente entre o numero de vezes que ω0 aconteceu e o numerototal de experiencias realizadas. Assim,

Pr(ω0) = limN→∞

numero de ω = ω0

N(3.1)

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Portanto 0 ≤ Pr(ω0) ≤ 1. A probabilidade definida em (3.1) e chamada prob-abilidade elementar do acontecimento ω0. Recordam-se algumas regras basicas demanipulacao de probabilidades elementares.

A cada acontecimento, A, podemos associar o acontecimento complementar ouseja a nao realizacao de A que notaremos A∗. Intuitivamente podemos dizer quePr(A) + Pr(A∗) = 1. Considerando agora um outro acontecimento, B, cuja prob-abilidade e Pr(B), podemos definir acontecimentos compostos, ou seja, um novoacontecimento composto pela realizacao de A e B, que nos notaremos A∩B ou AB.Para podermos deduzir qual o valor da probabilidade deste novo acontecimento ABtemos que recordar o conceito de independencia: dois acontecimentos A e B saoindependentes se a realizacao de um deles nao altera em nada a probabilidade derealizacao do outro. Assim, se A e B sao independentes Pr(AB) = Pr(A)Pr(B).Outra forma de composicao de acontecimentos e o de obter o acontecimento A ou oacontecimento B. Isto nota-se A∪B ou A+B. A probabilidade Pr(A+B) e igual aprobabilidade de A, Pr(A), mais a probabilidade de B, Pr(B), se A e B nunca acon-tecem simultaneamente, ou seja se Pr(AB) = 0, entao Pr(A+B) = Pr(A)+Pr(B).Neste caso diz-se que os acontecimentos A e B sao mutuamente exclusivos.

Por ultimo, devemos relembrar o conceito de probabilidade condicional que sepode introduzir considerando a probabilidade que um dado acontecimento A acontecasabendo que B ja aconteceu e que se escreve Pr(A|B) (le-se ‘probabilidade de A seB’). Por definicao

Pr(A|B) =Pr(AB)

Pr(B)(3.2)

Combinando Pr(A|B) e Pr(B|A) obtemos a regra de Bayes que se escreve

Pr(B|A) =Pr(B)Pr(A|B)

Pr(A)(3.3)

3.2 Conceito de variavel aleatoria e de funcao de distribuicao

Teoricamente, uma variavel aleatoria (VA) e o resultado de uma aplicacao do espacode probabilidade Ω no eixo dos numeros reais R[−∞,∞]. Em termos praticos, trata-se apenas de uma funcao determinıstica X(ω), que a realizacao de um certo acon-tecimento aleatorio ω associa um valor numerico X(ω). Esse valor numerico adquireassim um caracter aleatorio porque depende de uma tiragem aleatoria. A carac-terizacao duma VA, X(ω), faz-se atraves da funcao de distribuicao FX(x) definidapor

FX(x) = Pr[ω|X(ω) ≤ x]. (3.4)

Le-se: a probabilidade para que exista um acontecimento ω tal que a variavel aleatoriaX(ω) seja inferior ou igual a um valor pre-determinado x. Para simplificar a notacao

20

e costume designar a VA X(ω), simplesmente por X e a sua funcao de distribuicaopor F (x). Uma nocao importante e a de igualdade entre VA’s. Duas VA’s X e Y saoconsideradas iguais com probabilidade 1 se

F (x) = F (y) (3.5)

ou seja, se possuem a mesma funcao de distribuicao. Importa salientar que tal naosignifica que X = Y em todos os pontos, mas apenas que o conjunto de pontosI = ω|X(ω) = Y (ω) e tal que Pr(I) = 1. A funcao de distribuicao tem comopropriedades evidentes

F (−∞) = 0 e F (+∞) = 1, (3.6)

e tambem quePr(a < X ≤ b) = F (b) − F (a). (3.7)

Esta ultima relacao indica que F (b)−F (A) ≥ 0 o que significa tambem que a funcaode distribuicao e uma funcao monotona nao decrescente.

Ate agora temos falado de VA’s contınuas mas podemos, de igual forma, definirVA’s discretas. Se o conjunto de acontecimentos possıveis Ω tem um numero finitode elementos, e se considerarmos uma funcao X(ω) mensuravel, entao esta so poderatomar um numero finito de valores designados por Xi = X(ωi). Neste caso X e umaVA discreta. A funcao de distribuicao de uma VA discreta pode ser definida por

F (x) =k∑

i=1

Pr(Xi = xi). xk < x < xk+1 (3.8)

Como resultado, a funcao de distribuicao de uma VA discreta e uma funcao crescenteem escada, tomando valores constantes entre cada valor xi, xi+1 como representadona figura 3.2.

Figura 3.2: funcao de distribuicao de uma VA discreta.

21

3.3 Funcao densidade de probabilidade

Admitindo que a funcao de distribuicao da VA contınua X e derivavel, para qualquerx, podemos definir a funcao densidade de probabilidade p(x) por

p(x) =dF (x)

dx, (3.9)

que admite como propriedades derivadas de (3.6) e (3.7),

F (b) − F (a) =∫ b

ap(x)dx (3.10)

e que∫ ∞

−∞p(x)dx = 1, (3.11)

por outro lado usando (3.9)

p(x) = Pr(x < X ≤ x + dx). (3.12)

Para as VA’s discretas torna-se difıcil definir a derivada de uma funcao do tipo darepresentada na figura 3.2 pois esta apresenta discontinuidades. Esta dificuldadepode ser contornada se considerarmos que a funcao de distribuicao F (x) de uma VAdiscreta como a representada na figura e o resultado de uma soma de funcoes degrauunidade atrasadas de xi e multiplicadas por pi, assim

F (x) =k∑

i=1

piu(x − xi), (3.13)

a partir da qual, e utilizando a “funcao” Delta de (x), como a derivada da funcaodegrau unidade, u(x), obtemos

p(x) =dF (x)

dx=

k∑

i=1

piδ(x − xi) (3.14)

3.4 Esperanca matematica

Acabamos de ver que uma VA X se encontra completamente caracterizada pela suafuncao de distribuicao F (x). Isto e um “luxo” que raramente acontece na pratica,onde nos limitamos ao conhecimento do seu valor medio e/ou desvio padrao. O valormedio, ou esperanca matematica de X e definida por

E[X] =∫

xp(x)dx, (3.15)

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que da uma nocao de media de X, no sentido de probabilidade, quando o numero deexperiencias aumenta. Para uma VA discreta

E[X] =∑

xipi. (3.16)

Da mesma maneira, a esperanca matematica da funcao determinıstica da VA X, g(x)e definida por

E[g(x)] =∫

g(x)p(x)dx. (3.17)

Uma das mais importante formas que podera tomar a funcao g(x) sera provavelmentexk, o que permite introduzir a definicao de momento de ordem k como sendo

mk = E[Xk] =∫

xkp(x)dx. (3.18)

Para k = 1 obtem-se o momento de ordem um, ou media, definida em (3.15). Emmuitos casos teremos m1 = 0 porem, quando m1 6= 0 a VA Y = X − m1 tera medianula, o que leva ao conceito de momentos centrados de ordem k cuja definicao e

µk = E[(X − m1)k]. (3.19)

O momento mais conhecido e µ2, a que se chama variancia, e que e igual ao quadradodo desvio padrao σ2

µ2 = σ2 = E[(X − m1)2] = m2 − m2

1. (3.20)

Recordemos que o desvio padrao da uma nocao da variacao da VA em torno ao seuvalor medio.

3.5 Funcao caracterıstica

A funcao caracterıstica de uma VA X e definida pela esperanca matematica da funcaog(x) = exp(juX), assim

φ(u) = E[exp(juX)] =∫

exp(jux)p(x)dx, (3.21)

e no caso em que X e uma VA discreta

φ(u) =∑

i

exp(juxi)pi. (3.22)

Uma das maiores utilidades da funcao caracterıstica e a forma relativamente simplesque esta funcao toma para certas leis de distribuicao que veremos mais adiante. Alemdisso, a partir da funcao caracterıstica e extremamente simples deduzir os momentosde qualquer ordem. Demonstra-se que

mk = j−k dkφ(0)

duk(3.23)

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3.6 Leis de distribuicao usuais

3.6.1 Uniforme

A densidade de probabilidade de uma VA X que obedece a uma distribuicao uniformeescreve-se

p(x) =

1b−a

a ≤ x ≤ b0 x 6∈ [a, b]

(3.24)

a respectiva funcao de distribuicao F (x) e

F (x) =

x−ab−a

a ≤ x ≤ b0 x ≤ a1 b ≤ x

(3.25)

Exercicio: demonstrar que a esperanca matematica e a variancia de uma VA uni-forme se escrevem respectivamente

E[X] =a + b

2

V [X] = σ2 =(b − a)2

12

3.6.2 Exponencial unilateral

A densidade de probabilidade de uma VA X distribuida segundo uma lei exponencialescreve-se

p(x) = u(x)a exp(−ax), a > 0 (3.26)

onde u(x) e a funcao degrau unidade definida anteriormente. A esperanca matematicae variancia sao

E[X] =1

a

V [X] = σ2 =1

a2

Exercicio: demonstrar a esperanca matematica e variancia acima. Calcular afuncao caracterıstica φ(u).

3.6.3 Exponencial bilateral

A densidade de probabilidade de uma VA X distribuida segundo uma lei exponencialbilateral escreve-se

p(x) =a

2exp(−a|x|), a > 0 (3.27)

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que e evidentemente uma funcao par e portanto todos os momentos de ordem imparsao nulos. Assim

E[X] = 0

V [X] = σ2 =2

a2

Exercıcio: demonstrar a esperanca matematica e variancia.

3.6.4 Normal (ou gaussiana) e distribuicoes associadas

A densidade de probabilidade de uma VA normal X, algumas vezes notada abrevi-adamente por N(m, σ2), e dada por

p(x) =1√

2πσ2exp−(x − m)2

2σ2, (3.28)

a sua media e evidentemente igual a m e variancia igual a σ2. Nao existe uma formaanalıtica fechada para a funcao de distribuicao de uma variavel Gaussiana, assimdeveremos utilizar o integral

FX(x) =1√

2πσ2

∫ x

−∞exp−(u − m)2

2σ2du, (3.29)

A funcao complemento da distribuicao Gaussiana centrada e muito utilizada em co-municacoes, nota-se Q(x) e e definida por

QX(x) = Pr[X > x] = 1 − FX(x) =1√2π

∫ ∞

xe−u2/2du. (3.30)

Igualmente muito utilizada em comunicacoes e a distribuicao da funcao de erro erf eo seu complemento erfc definidas por

QX(x) =1

2erfc[

x√2] =

1

21 − erf[

x√2 (3.31)

Exercıcio: demonstrar que a funcao caracterıstica de uma variavel aleatoria gaus-siana se escreve

φ(u) = ejum−σ2u2

2 (3.32)

3.6.5 χ2 com d graus de liberdade

A densidade de probabilidade de uma VA X segundo a lei do χ2 com d inteiro > 1graus de liberdade escreve-se

p(x) =

0 se x ≤ 0e−

x2 x

d−22

2d/2Γ( d2)

se x ≥ 0(3.33)

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onde

Γ(α) =∫ ∞

0xα−1e−xdx para x > 0 (3.34)

e cuja media e m = d e o desvio padrao e σ =√

2d. A importancia desta lei deprobabilidade vem do facto de que se tivermos n VA’s X1, X2, . . . , Xn independentese de mesma lei gaussiana G(m, σ) entao a VA

Y =n∑

i=1

(Xi − m

σ)2 (3.35)

segue uma lei de probabilidade χ2(n). A expressao (3.32) surge frequentementequando se trabalha com sinais aleatorios (discretos) de densidade de probabilidadegaussiana e se pretende calcular a sua energia total num dado segmento de tempo(ou frequencia). Nesse caso i representa o tempo (ou a frequencia), n representa otempo total e a soma dos quadrados (3.32) nao e mais senao a energia total do sinalno intervalo de tempo considerado.

3.7 O teorema do limite central

A importancia da distribuicao gaussiana repousa no facto que muitos fenomenosnaturais podem ser descritos, com uma boa aproximacao, por esta distribuicao. Umadas razoes que explica este facto e o teorema do limite central. Essencialmente, oteorema do limte central diz que quando muitas pequenas contribuicoes contribuempara um dado resultado, a fluctuacao aleatoria deste pode ser aproximada por umaVA gaussiana.

Considere um conjunto de n VAs estatısticamente independentes

X1, X2, . . . , Xn (3.36)

e a VA definida por

Y =1√n

n∑

i=1

Xi (3.37)

O teorema do limite central postula que, sob um serie de condicoes pouco severas,a densidade de probabilidade da VA Y aproxima-se de uma distribuicao gaussianaquando n → ∞ independentemente da distribuicao das VA’s Xi, i.e.,

p(y) → 1

σy

√2π

exp−(y − y)2

2σ2y

(3.38)

onde a media e a variancia de Y , y e σ2y respectivamente se escrevem

y =1√n

n∑

i=1

xi (3.39a)

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σ2y =

1

n

n∑

i=1

σ2xi

(3.39b)

onde xi e σ2xi

sao a media e a variancia de Xi respectivamente. Uma condicao suficientepara a validade do teorema para grandes valores de n e que

limn→∞

∑ni=1 E[(xi − xi)

2+δ](

∑ni=1 σ2

xi

)1+δ/2= 0 (3.40)

para δ > 0. Podemos interpretar esta condicao da seguinte forma: suponhamos queδ = 0 e nesse caso a fracao e 1. Se δ > 0, o numerador aumentara mais lentamente doque o denominador se houver uma pequena tendencia de xi para se desviar da media ecomparativamente a variancia e portanto a fracao tendera para zero quando n → ∞.Frequentemente a condicao relativa a independencia dos Xi pode ser aliviada masnesse caso a convergencia sera menos rapida.

3.8 Nocao de processo aleatorio

A nocao de processo aleatorio esta na base da representacao matematica de sinaisaleatorios. Um sinal temporal aleatorio, que nos representaremos X(t, w) sera, acada instante t, uma VA cuja distribuicao dependera do acontecimento w. Assim oprocesso aleatorio X(t, w) sera:

• para t fixo, uma VA dependente do acontecimento w.

• para w fixo, uma funcao contınua de variavel contınua t, chamada usualmentetrajectoria.

Deste modo X(t, w) pode ser assimilado a uma “famılia” de trajectorias depen-dentes da realizacao de w. Se t e uma variavel contınua, geralmente definida em[−∞,∞], diz-se que X(t, w) e um processo estocastico contınuo. Se t toma val-ores num conjunto finito de pontos ti, diz-se que X(ti, w) e um processo estocasticodiscreto.

Considerando um processo aleatorio discreto X(ti, w) que toma valores para osinstantes ti; i = 1, . . . , n poderemos formar um vector aleatorio de dimensao n,Xt = [X(t1), X(t2), . . . , X(tn)]. Apesar de ainda nao termos estudado conjuntosde variaveis aleatorias, ou variaveis aleatorias multidimensionais, podemos desde jaadiantar que o vector aleatorio X sera completamente definido em termos estatısticos,por uma funcao de distribuicao F (x) que sera funcao de x1 = X(t1), x2 = X(t2),

..., xn = X(tn). Obviamente, o objectivo aqui e o de substituir o estudo da famıliainfinita de trajectorias no intervalo t1 ≤ t ≤ tn por um numero finito de VA’s. Estasubstitucao nao e matematicamente correcta mas justifica-se atraves das condicoesde amostragem temporal (que ja estudamos) por um lado, e atraves de condicoes de“estacionaridade” em termos estatısticos (que veremos mais a frente) por outro. Isto

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e, se o sinal aleatorio for amostrado obedecendo as regras de amostragem mınimasja enunciadas, e se a sua funcao de distribuicao F (x) tiver certas propriedades nointervalo considerado [t1, tn], entao a reducao de X(t, w) a X e justificada. Uma dascondicoes estatısticas de base e que

F (xi) = F (x), ∀i ∈ [1, n]

ou seja que a funcao de distribuicao de x seja independente de t. Na sequenciadeste capıtulo, para simplificar, utilizaremos a notacao X(t) em vez de X(t, ω), comofizemos no caso das VA’s.

3.9 Media e variancia de um processo aleatorio

A media de um sinal aleatorio e definida por

m(t) = E[X(t)], (3.41)

onde se pode observar que neste caso a media m(t) e uma funcao do tempo t. Sea funcao de distribuicao de X for independente do tempo, entao m(t) = m, seratambem independente do tempo. A variancia de um sinal real e dada por

V [X(t)] = σ2(t) = E[X(t) − m(t)2] = E[X2(t)] − m2(t). (3.42)

A media e a variancia de sinais aleatorios tem um importante significado fısico.Na maior parte dos casos teremos que m(t) = 0 e nos casos em que m(t) 6= 0 entaopoderemos achar conveniente considerar o sinal aleatorio X(t) − m(t). A varianciado sinal aleatorio de media nula sera entao σ2(t) = E[X2(t)], ou seja, representara asua potencia media.

3.10 Covariancia e correlacao

Consideremos agora dois instantes t1 e t2. As duas variaveis aleatorias X1 = X(t1)e X2 = X(t2) podem ser comparadas em termos estatısticos atraves da funcao decovariancia que se define por

γ(t1, t2) = COV [X1, X2] = E[(X1 − m1)(X2 − m2)] = E[X1X2] − m1m2, (3.43)

onde m1 = m(t1) e m2 = m(t2). Obviamente a variancia σ2 e obtida quando t1 =t2 = t, i.e., atraves de

σ2(t) = γ(t, t) = COV [X, X] (3.44)

Em muitos casos, e em particular em caso de estacionaridade, teremos que a co-variancia sera uma funcao apenas do intervalo τ = t1 − t2 e entao

γ(t1, t2) = γ(τ), (3.45)

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a qual se chama geralmente funcao de correlacao do sinal aleatorio X(t). Por outraspalavras a funcao de correlacao de um sinal aleatorio (estacionario) e definida por

γ(τ) = γ(t, t − τ) = E[X(t) − mX(t − τ) − m]. (3.46)

Definiremos mais adiante o conceito de estacionaridade.

Pela primeira vez falaremos aqui de variaveis aleatorias complexas, numa pre-ocupacao de maior generalidade dos resultados e porque sao necessarias em muitasaplicacoes. Uma VA complexa Z nao e mais do que um conjunto de duas VA’s reaisligadas por Z = X+jY . Todas as propriedades basicas podem ser deduzidas das VA’sreais tendo em conta que Z2 = |Z|2. A extensao e evidente para sinais aleatorios com-plexos a partir de sinais aleatorios reais. No caso da funcao de correlacao, um sinalaleatorio estacionario complexo de valor medio m admite por funcao de correlacao

γ(τ) = E[X(t)X∗(t − τ)] − |m|2, (3.47)

que no caso dos sinais reais (3.47) reduz-se a

γ(τ) = E[X(t)X(t − τ)] − m2. (3.48)

Como consequencia da estacionaridade e claro que podemos substituir t por t+ τ nasrelacoes (3.47) e (3.48) e notar que a funcao de correlacao de um sinal real e umafuncao par de τ e que em especial a variancia σ2 = γ(0).

No caso das VA’s discretas podemos fazer a extensao obvia da funcao de covariancia

γ(k1, k2) = E[X(k1)X∗(k2)] − m(k1)m

∗(k2), (3.49)

e para a funcao de correlacao

γ(p) = E[X(k)X∗(k − p)] − |m|2, (3.50)

onde p, k1 e k2 sao numeros inteiros.

A funcao de covariancia da uma medida fısica do caracter aleatorio de um sinal.Isto e mais claro no caso da funcao de correlacao: se ela e nula significa que os sinaisX(t) e X(t− τ) sao nao correlados qualquer que seja o valor de t, veremos mais tardeque isto significa que o sinal X(t) perdeu a memoria do seu valor a t − τ .

Algumas outras propriedades da funcao de covariancia sao:

(a) Existencia: a partir da desigualdade de Schwartz 1 temos que

|γ(t1, t2)|2 ≤ γ(t1, t1)γ(t2, t2), (3.51)

1E[AB]2 ≤ E[A2]E[B2]

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e portanto a existencia da funcao de covariancia esta garantida sempre que γ(t, t) <∞.

(b) Simetria: para sinais reais podemos dizer que γ(t1, t2) = γ(t2, t1). No casoestacionario, em que a funcao de correlacao e apenas uma funcao de τ = t2 − t1,temos que γ(τ) = γ∗(−τ) se os sinais forem complexos e γ(τ) = γ(−τ) se os sinaisforem reais.

(c) Valores extremos: no caso estacionario temos que

|γ(τ)| ≤ γ(0), (3.52)

por outro lado quando τ → ∞ os sinais tendem a ser descorrelados e por isso podemosdizer que em geral

limτ→∞

γ(τ) = 0. (3.53)

(d) Adicao de covariancias: sejam dois sinais X1(t) e X2(t) nao correlados e decovariancias respectivas γ1 e γ2. A covariancia do sinal X(t) = X1(t) + X2(t) nointervalo (ti, tj) e

γ(ti, tj) = γ1(ti, tj) + γ2(ti, tj). (3.54)

(e) Produto de covariancias: consideremos dois sinais aleatorios de media nula eindependentes. Devido a propriedade de independencia o sinal Y (t) = X1(t)X2(t)tem como covariancia

γy(ti, tj) = γ1(ti, tj)γ2(ti, tj). (3.55)

(f) Tempo de correlacao: como foi dito atras para sinais reais a funcao de correlacaotende para zero quando o tempo tende par infinito. Esta variacao pode ser maisou menos rapida e e costume caracteriza-la por um parametro chamado tempo decorrelacao, τc, que pode ser definido de varias formas. Na pratica para t > τc os sinaissao ditos nao correlados.

3.11 Estacionaridade e ergodicidade

O conceito de estacionaridade foi referido mais do que uma vez neste capıtulo semque uma definicao precisa tenha sido dada. O conceito mais importante de esta-cionaridade prende-se com a nocao de invariancia por translacao temporal. No casodos sinais aleatorios diz-se que o sinal aleatorio X(t) e estacionario no sentido es-trito se as suas propriedades estatısticas sao invariaveis por qualquer translacao daorigem do tempo. Invariancia temporal no sentido estrito requer que a funcao dedistribuicao seja identica a qualquer instante de −∞ a +∞. Esta propriedade edifıcilmente verificavel na pratica e uma das maneiras para se poder aliviar um poucoesta definicao e de considerar que para muitos problemas e suficiente que apenas

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os momentos ate a segunda ordem sejam temporalmente invariantes. Diz-se nessecaso que o sinal e estacionario de segunda ordem ou estacionario no sentido lato.O conceito de estacionaridade reveste-se de uma importancia primordial em analisede sinais sendo no entanto um conceito puramente matematico devido ao facto denunca poder ser verificado na pratica. Com efeito, e impossıvel verificar a estacionar-idade na pratica porque toda a experiencia no mundo real tem forcosamente umaduracao limitada. Nocoes de semi-estacionaridade e estacionaridade local para sinaislimitados no tempo sao frequentes e geralmente aceites na pratica.

A nocao de ergodicidade e bastante mais subtil. Comecemos por considerar umprocesso aleatorio X(t, w). Para w = w0 X(t, w0) e uma simples funcao do tempo aqual chamamos trajectoria. Na pratica e essa trajectoria que e medida ao longo dotempo. E comum calcular-se uma media temporal no intervalo de observacao T apartir de

m(T ; ω0) =1

T

∫ T

0X(t, ω0)dt (3.56)

que nao deve ser confundida com a esperanca matematica do sinal X(t). A questao ede saber em que medida e que a media temporal (3.56) esta relacionada com a mediade conjunto ou esperanca matematica E[X(t)] ? A nocao de ergodicidade prende-seexactamente com a resposta a esta questao, postulando que para um sinal ergodico,existe equivalencia, para largos valores de T , entre as medias de conjunto e as mediastemporais. A ergodicidade e uma propriedade importante na pratica e que, mais umavez e difıcil (senao impossıvel) de verificar devido a impossibilidade de efectuar umaserie infinita de tiragens aleatorias de modo a poder calcular uma media de conjuntoestatısticamente valida. E de notar que ergodicidade nao implica necessariamenteestacionaridade e vice-versa, apesar de se encontrarem quase sempre associadas napratica.

3.12 Energia e potencia

Como no caso dos sinais determinısticos, qualquer quantidade que faca intervir umarelacao quadratica do sinal contem uma nocao de energia. Para um sinal estocasticocomplexo e de media nula X(t, ω), a grandeza

P (t, ω) = |X(t, ω)|2, (3.57)

e a potencia aleatoria instantanea. Os sinais aleatorios para os quais P (t, ω) < ∞sao chamados de segunda ordem e, de acordo com (9.4), P (t) = E[P (t, ω)] = γ(t, t).Mais, se alem disso o sinal X(t, ω) for de segunda ordem e estacionario entao a mediade potencia instantanea torna-se independente do tempo e

P (t) = P = γ(0), (3.58)

que nao e mais do que a variancia do sinal em questao. Por outras palavras, parasinais de media nula a potencia media instantanea e igual a variancia. O conceito de

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energia e um pouco mais subtil de tal modo que, sabendo que a energia e a potenciadurante um determinado intervalo de tempo, a energia total contida num sinal e

J(ω) =∫

|X(t, ω)|2dt, (3.59)

onde o integral vai de −∞ a ∞. Esta energia nao sera geralmente finita. Porem,num intervalo de tempo finito ela sera tambem finita. A energia media (em termosestatısticos) e

J = E[J(ω)] =∫

P (t)dt =∫

γ(t, t)dt (3.60)

Sinais estacionarios, para os quais P (t) = P = constante, a energia J e infinita. Eo mesmo caso observado para os sinais determinısticos periodicos para os quais aenergia tambem e infinita. Neste ponto e util introduzir a nocao de potencia media,calculada num intervalo de tempo limitado, que sera

PT (ω) =1

T

∫ T

0P (t, ω)dt, (3.61)

a partir da qual podemos, sob condicao de ergodicidade, dizer que

P (t) = limT→∞

PT (ω). (3.62)

E obvio que, se a energia (3.60) do sinal for finita, entao a potencia media PT (ω)tendera para zero quando T → ∞, que e a mesma nocao que ja vimos para sinaisdeterminısticos, para os quais se tiverem uma energia finita a sua potencia mediatemporal sera nula.

3.13 Filtragem linear de sinais aleatorios

Ja vimos que um sistema (ou filtro) linear e um sistema para o qual a relacao entre aentrada e a saıda se escreve atraves de uma equacao de convolucao. Isto, no quadrode sinais determinısticos. Vejamos agora no caso de sinais aleatorios. Nesse casopodemos escrever

y(k) =∑

h(l)x(k − l), (3.63)

para o caso de sinais discretos, onde x(k) e o sinal de entrada, h(k) e a resposta im-pulsiva do filtro e y(k) e o sinal de saıda. Poderiamos ter escrito tambem (3.63) para ocaso de sinais contınuos sem alteracao do resultado que se pretende demonstrar nestecapıtulo. Para podermos admitir (3.63) teremos que considerar que o filtro e absolu-tamente estavel e que o sinal de entrada e de media finita de modo a assegurar queo somatorio (geralmente calculado de −∞ a ∞) seja finito. O problema interessanteaqui e de, conhecendo as propriedades estatısticas de x(k), determinar as do sinal desaıda y(k) que sera, neste caso, tambem aleatorio. Como vimos anteriormente umaVA encontra-se completamente caracterizada estatısticamente pela sua funcao de dis-tribuicao. No caso de um sinal aleatorio, como y(k), a sua caracterizacao estatıstica

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faz-se pela famılia de funcoes de distribuicao das VA’s de que e formado, no intervalode tempo considerado. Determinar a famılia de funcoes de distribuicao do sinal desaıda a partir das distribuicoes do sinal de entrada e uma tarefa extremamente difıcil,senao impossıvel, na maioria dos casos. Por exemplo, no caso em que filtro e FIR, osinal de saıda e uma soma finita de termos aleatorios, e portanto uma soma finita deVA’s. Utilizando regras simples de combinacao de VA’s poderemos calcular a funcaocaracterıstica de um VA Y tal que

Y =N∑

i=1

Xi (3.64).

Agora, passar da funcao caracterıstica a funcao de distribuicao e uma operacao querequer uma transformada de Fourier inversa multidimensional que nao e de modonenhum facil de obter em geral. Se as funcoes de distribuicao sao, em geral, extrema-mente difıceis de obter, as esperancas matematicas sao, elas, relativamente faceis.Assim,

my(k) =∑

h(l)mx(k − l), (3.65)

ou seja, se a entrada e de media nula a saıda tambem sera de media nula. No casoda segunda ordem,

γy(k1, k2) =∑

l1

∑

l2

h(l1)h∗(l2)γx(k1 − l1, k2 − l2). (3.66)

Finalmente no caso de sinais estacionarios, o que para os filtros significa que saoinvariantes temporalmente, podemos escrever

my = mx

∑

h(k), (3.67)

e queγy(k) =

∑

l1

∑

l2

h(l1)h(l2)∗γx(k + l2 − l1), (3.68)

o que tem a obvia vantagem de podermos dizer que tambem a media e a covarianciado sinal de saıda sao estacionarias.

3.14 Ruıdo branco

Apesar de ser um pouco cedo neste curso para introduzir a nocao de ruıdo na suageneralidade torna-se importante para a compreensao dos proximos capıtulos a in-troducao da nocao de ruıdo branco que se justifica pela sua importancia na pratica.

Ruıdo branco e por si so um nome extremamente utilizado na literatura mas quee, devido a um abuso de linguagem, um pouco enganador. Deveria dizer-se sinalbranco. Na realidade trata-se de um modelo estatıstico que descreve um certo tipode sinais que tem determinadas propriedades. Quase sempre essas propriedades sao

33

indesejaveis num sinal e por isso chama-se-lhe ruıdo daı que quase todos os sinaisbrancos sao ruıdos brancos o que justifica o nome. Um sinal aleatorio estacionario demedia nula, x(k), e branco se a sua funcao de correlacao se escreve

γ(k) = σ2δ(k), (3.69)

onde σ2 e a potencia media (ou variancia) do sinal. A expressao (3.69) significa quex(k) e x(l) sao descorrelados para l 6= k o que, por outras palavras, quer dizer que osinal x(k) e uma sequencia de VA’s nao correladas e com a mesma variancia. Veremosno proximo capıtulo que a partir de (3.69) podemos calcular a densidade espectralde potencia (DEP ou PSD=power spectral density) de x(k) atraves da DFT de γ(k)obtendo assim Px(f) = P = σ2. O nome de branco vem da optica onde a cor brancatem um espectro muito largo e constante, por oposicao a luz colorida, que tem umespectro mais estreito. Existe uma diferenca entre nao correlacao e independencia 1,da qual ja falamos, e que nos leva naturalmente a nocao de ruıdo branco no sentidoestrito, que consiste num ruıdo branco como definido acima, mas onde todas as VA’sseguem a mesma lei de probabilidade. Este e evidentemente o mais simples sinalaleatorio que possa existir. Em particular, e veremos a sua importancia mais tarde,se a lei de probabilidade for gaussiana dizemos estar em presenca de ruıdo brancogaussiano.

0 50 100 150 200 250 300-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

(a)

1Lembramos que independencia entre duas variaveis aleatorias significa que o conhecimento deuma de entre elas nao nos traz nenhuma informacao sobre a outra, i.e., Pr(A/B) = Pr(A). Naocorrelacao significa desigualdade ou perda de memoria entre duas VA’s.

34

0 50 100 150 200 250 3000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(b)

0 50 100 150 200 250 300-3

-2

-1

0

1

2

3

4

(c)Figura 3.3 - ruıdo branco: binario (a), uniforme (b) e gaussiano (c)

Para exemplificar de um modo grafico estes conceitos representamos na figura 3.3algumas sequencias de ruıdo branco: em (a) com amplitude discreta, em (b) dis-tribuido segundo uma lei uniforme e em (c) segundo uma lei gaussiana. Os sinaisda figura 3.3 foram gerados com base num gerador de numeros aleatorios existenteem qualquer computador. Trata-se na realidade, como e de conhecimento geral, deuma sequencia pseudo-aleatoria pois esta repete-se ao fim de um certo numero detiragens, que no entanto e suficientemente elevado, para podermos dizer que saoquasi-independentes. A questao inversa que se pode fazer quando observamos umasequencia aleatoria e se se trata de um sinal branco ou nao ? Trata-se de um problemade interesse consideravel na pratica. Pode-se, por exemplo, calcular a sua funcao decorrelacao atraves da media temporal (o que implica uma hipotese de ergodicidade)e determinar se obedece a (3.69).

Nao existe nenhum metodo simples para verificar se se trata de uma sequencia

35

de VA’s independentes. Existem testes estatısticos (que nao descreveremos) que nospermitem afirmar com algum grau de confianca se se trata ou nao de uma sequencia deVA’s independentes. Estudaremos mais a frente a filtragem linear de ruıdos brancos ededuziremos as condicoes de transformacao de um sinal nao branco, num sinal brancoatraves de filtragem que se designa pelo termo anglo-saxonico “whitening filter”. Naofalaremos no entanto de ruıdo branco contınuo pois tem bastante menos interessepratico e, apesar de ter um tratamento semelhante, requer alguns conhecimentossobre calculo integral que estao fora do ambito desta disciplina.

3.15 Estimacao espectral

As nocoes de estacionaridade e ergodicidade introduzidas no capıtulo anterior sao deimportancia fundamental na estimacao do conteudo espectral dos sinais aleatorios.Intuitivamente, podemos compreender que so fara, em princıpio, sentido falar decomponentes espectrais de um sinal que tem um determinado grau de repetitividadetemporal. Esta nocao intuitiva de repetitividade so existe em sinais estacionarios e epor essa razao que nao faz sentido calcular o espectro de sinais nao estacionarios.

A primeira ideia que e preciso ter bem presente e de que, para um sinal aleatoriox(t), nao limitado no tempo a sua transformada de Fourier nao existe, pois o integralnao converge entre [−∞,∞]. Veremos mais a frente como definir a densidade espec-tral de um sinal aleatorio quando este e limitado no tempo. Por enquanto, podemosdefinir a densidade espectral de potencia de um sinal aleatorio estacionario x(t)atraves de

Pxx(f) =∫ ∞

−∞rxx(τ)e−j2πfτdτ (3.70)

onde rxx(τ) e a funcao de autocorrelacao do sinal x(t) definida por

rxx(τ) = E[x(t)x(t − τ)]. (3.71)

A relacao (3.70) e fundamental em teoria do sinal e toma o nome de teorema da au-torrelacao ou teorema de Wiener-Khintchine (WK). A quantidade Pxx(f) e chamadaespectro de potencia ou densidade espectral de potencia, que e um termo mais exactopois a sua unidade exprime-se em watts/Hertz. Por isso a potencia total (em watts)do sinal x(t), por exemplo na banda [f1, f2] escreve-se

P =∫ f2

f1

Pxx(f)df. (3.72)

Inversamente podemos calcular a funcao de autocorrelacao de x(t) a partir de Pxx(f)atraves de

rxx(t) =∫ ∞

−∞Pxx(f)ej2πftdf. (3.73)

Visto que a funcao de autocorrelacao e a densidade espectral de potencia formamum par de TF, as suas propriedades sao as mesmas da TF. Aconselha-se o leitor a

36

rever estas propriedades na materia de Sistemas e Sinais e/ou Matematica Aplicada.A aplicacao pratica do teorema de WK encerra visivelmente um problema: e quea funcao de autocorrelacao (3.71) nao pode ser calculada de forma exacta pois naodispomos de um numero infinito de tiragens aleatorias do processo x(t) para calcular

a E[.]. E aqui que entra a hipotese de ergodicidade, permitindo admitir que a mediade conjunto pode ser substituida pela media temporal, i.e., que para um processoergodico temos que

E[x(t)x(t − τ)] = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)x(t − τ)dt. (3.74)

Porem, o problema do calculo da densidade espectral atraves do teorema de WKainda nao esta completamente resolvido, pois na pratica nos nao dispomos de umintervalo temporal infinito e por isso (3.74) nao nos e util. Utilizando (3.74) numintervalo T finito obtemos, nao a funcao de autocorrelacao, mas uma sua estimadarxx(t). E aqui que se apreende a razao fundamental pela qual o calculo do espectro desinais aleatorios reais nao se chama simplesmente calculo espectral mas sim estimacao

espectral. Para sinais reais nos nunca teremos acesso a verdadeira densidade espectralmas apenas a uma estimativa dessa densidade espectral.

Voltemos enao ao problema da indefinicao da TF de um sinal aleatorio como im-pedimento para o calculo de sua densidade espectral. Ja vimos, quando da definicaoda TF, que a densidade espectral de energia se escreve, para o caso dos sinais deter-minısticos, como

Sxx(f) = |X(f)|2 (3.75)

o que impede o seu uso no caso dos sinais aleatorios e o facto de X(f) nao existirpara o caso dos sinais aleatorios definidos em [−∞,∞]. Porem, acabamos de ver queos sinais reais sao forcosamente observados num intervalo de tempo limitado e queportanto tem uma energia finita. Consideremos um intervalo de observacao [0, T ]. Aenergia total de x(t) neste intervalo e dada por

∫ T

0x2(t)dt =

∫ ∞

−∞x2(t)dt =

∫ ∞

−∞|X(f)|2df. (3.76)

Esta ultima igualdade vem do teorema de Parseval que postula que a energia total econservada quando da passagem do domınio do tempo para o domınio da frequencia.A potencia total no mesmo intervalo escreve-se entao, tendo em conta (3.76),

PT =1

T

∫ ∞

−∞|X(f)|2df, (3.77)

que tambem se pode escrever fazendo T → ∞ e invertendo a ordem do limite e dointegral

P =∫ ∞

−∞

[

limT→∞

|X(f)|2T

]

df. (3.78)

37

Comparando esta ultima equacao com (3.72) (com bornos ∞) podemos, por identi-ficacao tirar que a densidade espectral de potencia se escreve

Pxx(f) = limT→∞

1

T

∣

∣

∣

∣

∣

∫ T

0x(t)e−j2πftdt

∣

∣

∣

∣

∣

2

. (3.79)

O termo

ST (f) =1

T

∣

∣

∣

∣

∣

∫ T

0x(t)e−j2πftdt

∣

∣

∣

∣

∣

2

, (3.80)

representa a potencia media no intervalo T . Para que

Pxx(f) = limT→∞

ST (f),

seja valido e necessario ainda que ST (f) seja um estimador consistente, i.e., quequando T → ∞

E[ST (f)] = Pxx(f), e σ2ST

= 0

uma variancia nula quer dizer que ST (f) toma um unico valor (quando T → ∞) quee Pxx(f). Assim podemos escrever que

ST (f) = E[ST (f)], quando T → ∞ se σ2ST

= 0

e daı escrever a relacao

Pxx(f) = limT→∞

1

TE[|

∫ T

0x(t)e−j2πftdt|2]. (3.81)

As relacoes (3.70) e (3.81) constituem duas formas equivalentes (mas diferentes) deestimar a densidade espectral de potencia de um processo aleatorio. Estas duas for-mas enquadram-se naquilo que se chama a estimacao espectral classica por oposicaoa outros tipos de metodos ditos baseados em modelos parametricos e/ou de alta res-olucao. A miriade de metodos de estimacao espectral existentes hoje em dia fruto doconceito fundamental que representa no processamento da informacao e do esforco aela dedicado pela comunidade cientıfica durante os ultimos 20/30 anos encontram-sedescritos em inumeros livros da especialidade e motivam uma cadeira de opcao destecurso (ver ftp.ualg.pt/users/sjesus/pub/eea99-00.pdf).

3.16 Sinais cicloestacionarios

Sinais cicloestacionarios sao sinais aleatorios cujas funcoes de autocorrelacao saoperiodicas. Assim, a funcao de autocorrelacao

rxx(t + τ, t) = E[x(t + τ)X∗(t)] (3.82)

38

e tal querxx(t + τ + kT, t + kT ) = rxx(t + τ, t) (3.83)

e portanto de perıodo T . A caracterizacao destes sinais atraves da sua densidadeespectral faz-se introduzindo a media temporal da sua funcao de autocorrelacao numperıodo que e

rxx(τ) =1

T

∫ T/2

−T/2rxx(t + τ, t)dt, (3.84)

permitindo o calculo da densidade espectral de potencia media de um processo ci-cloestacionario definida por

Pxx(f) =∫ ∞

−∞rxx(τ)e−j2πfτdτ. (3.85)

3.17 Quantidade de informacao e entropia

A entropia e uma forma de medir a quantidade de informacao. Intuitivamente umamenssagem tem tanta mais informacao quanto maior for o seu grau de aleatoriadadeou imprevisibilidade. Por exemplo, se dissermos: ”o sol nasceu esta manha”. Temosaqui uma menssagem com uma certa quantidade de informacao. Agora se dissermos:”houve um terramoto em Lisboa.” Qual das duas frases tem mais informacao ?Intuitivamente seremos levados a dizer que a segunda tem mais informacao que aprimeira. Isto, porque a segunda mensagem era mais imprevisıvel, ou seja representaum acontecimento que ocorre menos vezes que o da primeira mensagem. A entropiatenta traduzir uma forma de quantificar este conceito. Assim, por exemplo, a entropiado processo estocastico discreto x e definida por

H(x) = E[− log2 pX(x)] = −∑

x∈Ωx

pX(x) log2 pX(x) (3.86)

Nesta equacao percebemos o porque da densidade de probabilidade e do sinal de- pois a entropia devera ser tanto maior quanto menos provavel for processo - etambem percebemos o porque da E[.] que realiza uma ”media” sobre todas as tiragenspossıveis. Mas de onde vem o log2 ? A introducao do logaritmo esta ligada com ofacto de que se considerarmos dois processos estocasticos independentes X e Y , ainformacao do acontecimento conjunto de X e de Y devera ser simplesmente a somadas quantidades de informacao de um e do outro. Assim devera haver um logaritmotal que

H(x, y) = E[− log2 pXY (x, y)]= E[− log2 pX(x) − log2 pY (y)]= H(x) + H(Y )

onde pXY (x, y) nao e mais do que a densidade de probabilidade conjunta das va’s Xe Y , tal que, visto que as va’s sao independentes, pXY (x, y) = pX(x)pY (y).

39

4. Canais de transmissao

4.1 Linhas de transmissao

Talvez o meio mais antigo e tambem mais utilizado ate hoje para transmitir in-formacao tenha sido o cabo bifilar. E no entanto cada vez menos utilizado hoje emdia devido a sua fraca capacidade para suportar grandes quantidades de informacao.A sua utilizacao encontra-se quase praticamente restrita a curtas distancias e a baixodebito. As razoes principais devem-se essencialmente a: grande sensibilidade a in-terferencias electromagneticas, cross-talk e atenuacao elevada em funcao da distanciapercorrida pelo sinal. O cross-talk e definido como sendo a interferencia gerada numcabo por um outro na sua proximidade devido ao campo electromagnetico gerado pelacorrente que o atravessa. A atenuacao e uma funcao da resistencia propria do condu-tor e directamente ligado ao material empregue e a sua seccao. Outros efeitos comoo efeito de bobine e de condensador tornam a atenuacao dependente da frequencia,o que faz o cabo actuar como um filtro e limitar fortemente a banda de frequenciasdo sinal que o pode atravessar e por isso a quantidade de informacao.

O cabo coaxial e utilizado para transmissao de maiores quantidades de informacao.A atenuacao aumenta aproximadamente com a raız da frequencia do sinal transmi-tido e por isso requer alguma adaptacao para altas frequencias a longas distancias.Uma vantagem tıpica dos cabos coaxiais e a sua grande imunidade a interferenciaselectromagneticas. Esta deve-se a construcao concentrica do cabo na qual o condutorexterior se encontra a massa e portanto faz o papel de gaiola de Faraday nao deixandosair para o exterior quase nenhuma radiacao. Encontram-se cabos coaxiais capazesde suportar uma banda de 60 MHz correspondente a cerca de 140 Mbit/s.

Figura 4.1: linha de transmissao uniforme.

Devido as elevadas frequencias e ao comprimento das linhas de transmissao a suaanalise reveste-se da particularidade de a tensao e a corrente serem funcoes nao dotempo mas tambem do espaco. Assim, e considerando a fig. 4.1, podemos dizer que

40

a tensao e a corrente no momento t e no ponto x do eixo colocado ao longo da linhasao

V (x, ω) = V (x)ejωt, I(x, ω) = I(x)ejωt (4.1)

onde V (x) e I(x) sao dois termos complexos representando a dependencia espacial dopotencial e corrente electrica respectivamente. O potencial e a corrente na linha detransmissao sao resultantes da sobreposicao de uma onde que se propaga na direccaox > 0 e outra na direccao x < 0. Podemos entao escrever

V (x) = V+e−γx + V−eγx, I(x) =1

Z0

(V+e−γx − V−eγx), (4.2)

onde os termos V+ e V− correspondem as ondas no sentido positivo e negativo respec-tivamente, γ e chamada a constante de propagacao, complexa e dada por γ = α + jβ- α e a atenuacao e β e a constante de fase - e finalmente Z0 e a impedancia carac-terıstica da linha. Substituindo, por exemplo, a parte positiva de (4.2) na expressaoda tensao de (4.1) obtemos que o atraso de fase de um lado ao outro da linha eφ = βL/2π e portanto o tempo que demora (a frequencia ω) e de

t0 =β

ωL sec

visto que a distancia total e L podemos tirar da eq. precedente que a velocidade depropagacao e v = ω/β.

Atraves das condicoes de adaptacao de impedancia podemos dizer que quando umalinha de transmissao se encontra fechada por uma impedancia de carga ZL igual aimpedancia caracterıstica Z0 entao a impedancia de entrada e igual a impedanciacaracterıstica e existe uma condicao de adaptacao em potencia.

Figura 4.2: modelo parametrico de uma seccao de linha de transmissao.

A forma mais usual de analise de linhas consiste em considerar um modelo fısicocomo o representado na fig. 4.2. O interesse deste modelo e de permitir calculardirectamente os valores caracterısticos da linha a partir de constantes fısicas, i.e.,

41

para o caso da fig. 4.2,

Z0 =

√

R + jωL

G + jωC, γ =

√

(R + jωL)(G + jωC). (4.3)

No caso de cabos bifilares os parametros fısicos tomam os seguintes valores tıpicos:

• capacidade = 0.0515 µF/km, sensivelmente independente da frequencia nabanda de utilizacao corrente.

• conductancia e extremamente baixa e desprezıvel.

• inductancia = 0.62 mH/km a baixa frequencia diminuindo ate cerca de 70%deste valor com o aumento da frequencia.

• resistencia e aproximadamente proporcional a raız quadrada da frequencia nagama de frequencias mais alta, devido ao efeito de pele (tendencia para a cor-rente circular na camada exterior do conductor a alta frequencia - skin effect).

Como nota adicional podemos referir que existe hoje em dia uma esperanca realısticade que a introducao de novos materiais super conductores levem ao fabrico de linhasconductoras praticamente sem perdas. Nesse caso ideal terıamos

Z0 =

√

L

C, γ = jω

√LC, (4.4)

neste caso a impedancia caracterıstica e puramente resistiva, por isso facil de adaptar,e visto que a constante de propagacao e imaginaria pura o termo de atenuacao α = 0,como era de esperar. Nao existe atenuacao ao longo da linha.

4.2 Fibra optica

A fibra optica utiliza a luz para transmitir informacao. E o meio de transmissaopor excelencia hoje em dia. O sinal transmitido pode ser do tipo microondas ouno espectro do visıvel. As frequencias sao da ordem de, ou superiores a, 1014 Hz.Neste caso o canal de transmissao comporta-se como um guia de ondas no qual aconstrucao da fibra e extremamente importante de forma a manter duas camadas(uma interna e outra externa) com ındices de refraccao diferentes de modo a evitar

que a onda saia para fora do guia de ondas. E tambem importante manter o angulode reflexao na interface entre as duas zonas sempre inferior a um valor limite θm demodo a que o sinal seja totalmente reflectido e nao haja refraccao evitando assim aperda de energia. Como ilustracao do princıpio basico vejamos a fig. 4.3 onde temosdois meios de propagacao 1 e 2, de ındices de refracao n1 e n2 respectivamente.

42

Figura 4.3: ilustracao da lei de Snell: a) angulo de incidencia < ao angulo crıtico;b) angulo de incidencia = ao angulo crıtico e c) angulo de incidencia > ao angulocrıtico.

A fig. 4.3a mostra o caso em que o raio incidente no meio 1 segundo um angulo θ1

e parcialmente transmitido para o meio de 2, segundo um angulo θ2, de acordo coma lei de Snell,

sin θ1

sin θ2=

n2

n1< 1 (4.5)

Mantendo os mesmos ındices de refracao mas aumentando o angulo de incidenciachegamos ao valor chamado angulo de incidencia crıtico θc, para o qual θ2 = π/2 (fig.4.3b) e entao a partir de (4.5) temos

sin θc =n2

n1, (4.6)

e a luz e refractada ao longo da interface entre os dois materiais. Aumentandoposteriormente o angulo de incidencia temos reflexao interna total na qual o angulode incidencia e de reflexao sao iguais. E este ultimo modo de propagacao que eempregue na fibra optica.

Existem essencialmente tres factores mais importantes que limitam a banda, e porisso a capacidade de transmissao da fibra optica, que sao:

• atenuacao do material: atraves de quatro mecanismos: difusao devido a im-purezas, absorpcao, perdas nos conectores e perdas introduzidas pela curvaturado cabo.

• dispersao modal: e devida a diferenca de velocidade de propagacao dos difer-entes modos do guia de ondas. Por outras palavras a energia injectada numaextremidade do guia de ondas nao vai chegar a outra extremidade toda aomesmo tempo. Este facto causa um alargamento dos impulsos transmitidos epor isso uma sobreposicao entre sımbolos, chamada interferencia intersimbolica(ISI - intersymbol interference).

43

• dispersao cromatica: e causada pelas diferencas de velocidade de propagacao adiferentes comprimentos de onda.

Tem sido feitos enormes progressos ultimamente nos dispositivos de geracao e decontrolo dos raios luminosos para ataque das fibras opticas. Atingem actualmentetaxas de transmissao tıpicas de 100 a 1000 GB-km/sec. Este e um campo de inves-tigacao intensa hoje em dia.

4.3 Transmissao radio

Nestes sistemas o sinal e primeiro aplicado a uma antena antes de atravessar o canalde propagacao. Inversamente, no receptor, o sinal e primeiro captado por uma antenaantes de ser processado para ser retirada a informacao util. O canal de propagacaopropriamente dito pode ser mesmo assim de varios tipos: a propagacao pode serem linha de vista atraves da camada baixa da atmosfera; pode ser reflectida nascamadas de ar superiores da atmosfera (ionosfera) e assim o sinal pode ser recebidoem pontos nao directamente radio visıveis entre si; ou ainda pode ser atraves doespaco sem atmosfera como e o caso das comunicacoes espaciais ou via satelite. Asperdas de transmissao das ondas radio sao proporcionais ao logaritmo da distanciaentre o emissor e o receptor, o que levaria a considerar que as transmissoes a longadistancia seriam preferivelmente efectuadas atraves de ondas radio. Porem esta leide atenuacao so e praticavel para emissores em linha de vista o que limita na praticao seu raio de accao.

Vejamos o efeito dos dois factores mais importantes em transmissao via radio quesao a atenuacao e o atrazo do sinal. Vamos supor que a atenuacao e A e a distancia ed a uma velocidade de propagacao de c provocando um atrazo de τ = d/c segundos.Assim o sinal passabanda recebido escreve-se

s(t) =√

2AReu(t − τ)ejωc(t−τ) (4.7)

onde u(t) e o sinal transmitido em banda base. Podemos ainda escrever (4.7) fazendosobressair a constante de propagacao κ = ωcτ/d,

s(t) =√

2ReAu(t − τ)ejκdejωct (4.8)

Podemos entao modelizar o canal de transmissao como um filtro de resposta impulsiva

h(t) = Ae−jωτejκd (4.9)

mostrando uma dependencia da frequencia que e linear devido ao atrazo τ . Recep-tores moveis sao bastante mais sensıveis a pequenas mudancas em d - que produzemdiferencas de fase - do que a variacoes no atrazo.

44

5. Modulacao analogica de onda sinusoidal

A modulacao de portadora sinusoidal compreende a modulacao de amplitude, de fasee de frequencia, que constituem uma famılia de metodos de modulacao nos quais a am-plitude, a fase ou a frequencia de uma sinusoide de frequencia central pre-determinadae alterada em funcao do sinal modulador. A modulacao de amplitude (AM) e carac-terizada por uma relativa simplicidade de representacao e uma fraca necessidade debanda passante. Por outro lado a sua eficiencia em termos de potencia e bastantebaixa quando comparada com os metodos de modulacao angular (fase e frequencia).Os metodos de modulacao AM sao ainda hoje frequentemente empregues em difusaoradio e TV, comunicacoes ponto a ponto (SSB) e multiplexagem em telefonia. Osmetodos de modulacao de fase e frequencia sao mais difıceis de implementar masbastante mais eficientes e imunes ao ruıdo e daı uma qualidade de recepcao bastantesuperior.

5.1 Modulacao de amplitude com duas bandas laterais (AM-DSB)

Uma portadora de frequencia central fc e amplitude Ac e modulada em amplitudepor um sinal m(t) quando se escreve

s(t) = [1 + am(t)]c(t) (5.1)

onde m(t) e a mensagem a transmitir, passa-baixo, dentro da banda −W, W e c(t) =Ac cos(2πfct) e a portadora onde se supoe que fc > W/2 e 0 ≤ a ≤ 1 e um coeficientereal denominado indice de modulacao. O sinal m(t) e a mensagem m(t) normalizada,i.e., tal que

m(t) =m(t)

max |m(t)| (5.2)

Obviamente (como alias ja vimos no caso da amostragem - capıtulo 2.1) este tipo demodulacao resulta no domınio da frequencia num espectro que se escreve

S(f) =Ac

2[aM(f − fc) + δ(f − fc) + aM(f + fc) + δ(f + fc)] (5.3)

onde o espectro do sinal modulador (normalizado) foi deslocado de −fc e +fc,frequencias as quais encontramos igualmente um impulso correspondente a porta-dora. Todo o espectro foi multiplicado por 1/2 devido ao princıpio de conservacao deenergia. A banda ocupada pelo sinal modulador e de 2W .

Exemplo: considere o sinal

m(t) =

1 0 ≤ t < t0/3−2 t0/3 ≤ t < 2t0/30 para todo outro t

45

com t0 = 0.15 e que modula uma portadora de frequencia fc = 250 Hz, com Ac = 2e um ındice de modulacao a = 0.8.

a) determine a expressao do sinal modulador normalizado m(t)

b) calcule a expressao do sinal modulado s(t)

c) determine o espectro de m(t) e de s(t)

O sinal modulador normalizado escreve-se facilmente, tendo em conta que

max |m(t)| = 2

o que implica que

m(t) =

1/2 0 ≤ t < t0/3−1 t0/3 ≤ t < 2t0/30 para todo outro t

A expressao do sinal modulado obtem-se comecando por considerar que o sinalmodulador normalizado se escreve como uma soma de duas funcoes porta de largurat0/3: uma positiva, de amplitude 1/2 e atrasada de t0/6, outra negativa de amplitude-1 e atrasada de t0/2. Assim podemos escrever

m(t) =1

2p

(

t − t0/6

t0/3

)

− p

(

t − t0/2

t0/3

)

onde p(t) e a funcao porta tıpica, centrada e de amplitude unidade. Podemos entaoescrever o sinal modulado

s(t) = 2[1 + 0.8m(t)] cos(500πt)

= 2

[

1 + 0.4p

(

t − t0/6

t0/3

)

− 0.8p

(

t − t0/2

t0/3

)]

cos(500πt)

O espectro do sinal modulador m(t) obtem-se a partir da expressao temporal acimasabendo que TF[p(t)] = sinc(f) e portanto que devido a um atraso t0 e a uma largurade porta τ temos que

TF[

p(

t − t0τ

)]

= τe−j2πft0sinc(fτ)

de onde aplicando a expressao de m(t) acima obtemos

M(f) =t06

e−jπft0/3sinc(t0f

3) − t0

3e−jπft0sinc(

t0f

3)

=t03

e−jπft0/3sinc(t0f

3)[1/2 − e−j2πft0/3]

46

Por outro lado a expressao do espectro do sinal modulado obtem-se a partir daequacao anterior deslocando-a de +fc e de −fc e adicionando os Diracs as mesmasfrequencias, correspondentes a portadora e tendo em conta Ac = 2,

S(f) = δ(f − fc) + δ(f + fc)+

0.8t03

e−jπ(f−fc)t0/3sinc(t0(f − fc)

3)[1/2 − e−j2π(f−fc)t0/3]+

0.8t03

e−jπ(f+fc)t0/3sinc(t0(f + fc)

3)[1/2 − e−j2π(f+fc)t0/3]

que e o espectro do sinal modulado s(t).

Podemos calcular igualmente a potencia do sinal modulado que se exprime uti-lizando a eq. (2.17) como

Ps = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2s2(t)dt

= limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2A2

c [1 + am(t)]2 cos2(2πft)dt

= limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2[A2

c cos2(2πft)dt + A2ca

2m2(t) cos2(2πft)+

+2A2cam(t) cos(2πft)]dt

=A2

c

2+

A2ca

2

2Pm + 0,

(5.4)

onde se assumiu que a media do sinal modulador normalizado m(t) era igual a zero.

Exemplo: voltando ao sinal m(t) do exemplo anterior, calcular as potencias Pm ePs.

Podemos por exemplo calcular para o sinal nao normalizado m(t),

Pm =1

T

∫ T/2

−T/2m2(t)dt

=3

t0

∫ t0/3

012dt +

3

t0

∫ 2t0/3

t0/322dt

= 5,

de onde podemos deduzir

Pm =Pm

22=

5

4.

No que diz respeito a potencia do sinal s(t) podemos escrever, utilizando a eq. (5.4),com Ac = 2 e a = 0.8

Ps =Ac

2+

A2ca

2

2Pm

= 2 +4(0.8)2

2

5

4= 3.6.

47

5.2 Modulacao de amplitude com supressao de portadora (AM-CS)

Neste caso temos o mesmo tipo de modulacao que no caso anterior, a diferenccaconsistindo apenas na supressao da moduladora. Assim, o sinal modulado escreve-se

s(t) = m(t)c(t), (5.5)

onde, como anteriormente, m(t) e a mensagem ou sinal modulador e c(t) e a por-tadora. Com c(t) = Ac cos(2πfct) encontra-se facilmente o espectro de s(t) comosendo

S(f) =Ac

2M(f − fc) +

Ac

2M(f + fc). (5.6)

A principal vantagem deste tipo de modulacao e o de a potencia necessaria no sinalmodulado ser bastante inferior mantendo no entanto a mesma quantidade de in-formacao transmitida. E por isso um sistema de modulacao mais eficaz que o anterior.A potencia em S(f) e

Ps =A2

c

2Pm, (5.7)

valor inferior de A/c2 a do caso anterior.

Figura 5.1: exemplificacao da modulacao AM-SSB.

48

5.3 Modulacao de amplitude de banda lateral unica (AM-SSB)

Nos dois exemplos de modulacao descritos anteriormente a informacao relativa a men-sagem m(t) encontrava-se a frequencia fc e depois repetida em −fc. Isto e redundante.Na modulacao em banda lateral unica (SSB - single side band) pretende-se acabarcom esta redundancia de forma a dividir por dois a potencia necessaria para trans-mitir a mesma quantidade de informacao. A fig. 5.1 mostra um sinal m(t) em bandabase (fig. 5.1a) e o seu espectro modulado em AM-DSB (fig 5.1b). Para transmitira informacao contida na fig. 5.1a bastaria que o sinal modulado contivesse as partessuperiores e inferiores do espectro de m(t) resultado da passagem do espectro da fig.5.1b, por exemplo, por um filtro passa-alto de frequencia de corte fc (representado

pela linha em ponteado) resultando no espectro indicado na fig. 5.1c. Obviamenteum raciocınio identico poderia ser feito com uma filtragem passa-baixo de frequenciade corte fc e cujo resultado seria o de preservar no sinal modulado apenas a com-ponente inferior da mensagem m(t). A modulacao exemplificada no primeiro casoe chamada USSB - upper SSB e no segundo e LSSB - lower SSB. Como ja tivemosocasiao de ver no capıtulo 2.5, um sinal apenas com a componente espectral positivaescreve-se

m′(t) =1

2[m(t) + jm(t)], (5.8)

onde o 1/2 serve para manter uma energia constante e m(t) e a transformada deHilbert de m(t). Neste caso o sinal modulado no domınio do tempo escreve-se

s′(t) = Acm′(t) cos(2πfct). (5.9)

O espectro de s′(t) obtem-se sabendo que

M(f) =

−jM(f) f > 00 f = 0jM(f) f < 0,

(5.10)

e portanto

M ′(f) =1

2M(f) +

j

2M(f)

=

M(f) f > 01/2M(f) f = 00 f < 0.

(5.11)

Finalmente,

S ′(f) =

Ac

2M(f + fc) + Ac

2M(f − fc), fc ≤ |f |

0, outro f .(5.12)

No caso agora exemplificado apenas foram retidas as frequencias positivas e porisso trata-se do caso USSB. No caso LSSB terıamos

m′(t) =1

2[m(t) − jm(t)], (5.13)

49

e como resultado final para o espectro de s′(t),

S ′(f) =

Ac

2M(f + fc) + Ac

2M(f − fc) fc ≥ |f |

0, outro f .(5.14)

5.4 Modulacao de amplitude em quadratura (QAM)

A ultima tecnica de modulacao em amplitude e denominada modulacao de amplitudeem quadratura (QAM - quadrature amplitude modulation). Neste caso dois sinaistemporais e reais a(t) e b(t) formam o sinal modulador m(t) = 1

2[a(t) + jb(t)]. Assim

o sinal modulado escreve-se

s(t) = Acm(t) cos(2πfct) (5.15)

O sinal passa banda resultante nao e nem analıtico nem tem simetria complexoconjugada em torno a f = fc. O sinal tem, em geral, bandas laterais superior einferior sem simetria em torno a frequencia da portadora. Escreve-se neste caso apartir de (5.15)

s(t) = AcRe[a(t) + jb(t)]ejωct= Aca(t) cos(ωct) − jAcb(t) sin(ωct)

(5.16)

de onde provem a denominacao de modulacao de amplitude em quadratura (QAM)visto tratarem-se de dois sinais modulados independentemente, a mesma frequencia,mas com uma desfasagem relativa de π/2. Em termos de banda passante, e paraa mesma banda de base, QAM requere a mesma banda que AM-DSB e o dobroda de AM-SSB, porem permite enviar dois reais sinais portadores de informacao.A sua eficacia e portanto equivalente a de AM-SSB porem sem a sua dificuldadede implementacao pratica. QAM tornou-se por isso a tecnica de modulacao maisutilizada em sistemas de comunicacao digital.

5.5 Modulacao de angulo

Modulacao de angulo e um termo generico para designar um tipo de modulacao naqual o angulo da portadora sinusoidal varia em funcao do sinal modulador, i.e.,

u(t) = Ac cos[φ(t)] (5.17)

onde a fase φ(t) = f [m(t)], sendo m(t) o sinal modulador. Dois casos sao possıveis namodulacao de angulo, que sao: a modulacao de fase (phase modulation, PM)e a mod-ulacao de frequencia (frequency modulation, FM). Em termos praticos a modulacaode angulo tem como vantagem a de a portadora manter um amplitude constante, oque a torna mais eficiente em termos de potencia transmitida no emissor, e tambem

50

de ser mais imune ao ruıdo. E o caso bem conhecido da qualidade superior do radioFM em relacao a AM.

No caso da modulacao de fase, φ(t) escreve-se

φ(t) = 2πfct + βam(t), (5.18)

onde βa e a constante de modulacao de fase, que se encontra ligada ao ındice demodulacao ka por

ka = βa max |m(t)|. (5.19)

No caso da modulacao de frequencia, que abordaremos mais em profundidade de-vido a sua importancia pratica, φ(t) escreve-se

φ(t) = 2πfct + 2πβf

∫ t

−∞m(τ)dτ, (5.20)

onde βf e a constante de modulacao e m(t) e sempre o sinal modulador. Podemosassim definir a frequencia instantanea

fi =1

2π

dφ

dt= fc + βfm(t) (5.21)

e em geral define-se o ındice de modulacao como sendo

kf =βf max |m(t)|

W(5.22)

onde W e a largura de banda de m(t). Neste caso se a mensagem m(t) for talque |m(t)| < 1 entao podemos dizer que a constante βf corresponde a excursaomaxima em frequencia em torno a portadora fc. Isto levaria a pensar que a largurade banda ocupada pelo sinal modulado em FM seria na ordem de 2βf o que, sefosse verdade, seria extraordinario, pois quereria dizer que a largura de banda dosinal modulado seria independente da largura de banda do sinal modulador !... Oque obviamente e impossıvel. Vejamos o caso particular de um sinal moduladorsinusoidal m(t) = cos(ωmt),

u(t) = Ac cos[ωct + 2πβf

∫ t

0cos(ωτ)dτ ] (5.23)

e portanto

u(t) = Ac cos[ωct +2πβf

ωmsin(ωmt)] = Ac cos[ωct + α sin(ωmt)] (5.24)

com α = βf/fm e o racio entre o desvio maximo em frequencia βf e a frequencia dosinal modulador. O sinal modulado pode ainda exprimir-se como

u(t) =Ac

2ejωctejα sin(ωmt) +

Ac

2e−jωcte−jα sin(ωmt) (5.25)

51

Considerando, por exemplo, apenas o termo de frequencia positiva podemos dizerque, tratando-se de uma funcao periodica de pulsacao ωm, este se pode escrever sobforma de uma expansao em serie de Fourier do tipo

ejα sin(ωmt) =∑

n

Cnejnωmt (5.26)

onde os coeficientes Cn dependem do coeficiente α. Esta relacao entre Cn e α nao esimples, mas pode-se demonstrar que se escreve como

Cn = Jn(α) (5.27)

onde Jn(α) e a funcao de Bessel de α de ordem n [M. Abramowitz and I.A. Stegun,editors. Handbook of Mathematical Functions. U.S. Government Printing Office,1968]. Na pratica podemos dizer que o espectro do sinal modulado se encontracentrado em +fc e −fc. Em torno a cada um destes valores o espectro do sinal m(t)estende-se em linhas a frequencias multiplas e sub-multiplas de fm com amplitudesque dependem de (5.27). Em princıpio a decomposicao em serie de Fourier (5.26)tem um numero infinito de termos. Porem na pratica |Cn| decresce rapidamente para|n| > α e considerar apenas uma banda ±(1 + α)fm e suficiente em termos praticos.Assim a banda total do sinal modulado escreve-se

W = 2fm(1 + α) = 2fm + 2α (5.28)

e por isso e igual a duas vezes a excursao maxima em frequencia mais duas vezes abanda do sinal modulador. Apesar de nao se tratar de uma demonstracao rigorosapodemos deduzir que a banda util de um sinal modulado em FM e aproximadamente

W = 2B + 2α (5.29)

onde B e a banda do sinal modulador.

Figura 5.2: croquis de um sistema de multiplexagem temporal.

52

5.6 Multiplexagem no tempo e na frequencia

A multiplexagem e uma tecnica que permite enviar varias mensagens distintas atravesdo mesmo canal de transmissao simultaneamente. A multiplexagem pode fazer-se sejano tempo seja na frequencia. No tempo torna-se obvio que o envio de N mensagenspelo mesmo canal requere um canal de transmissao cujo bit/rate e pelo menos N× obit rate de cada um dos canais. Na realidade o bit rate total sera sempre superior aesse numero pois torna-se necessaria a inclusao de bits de controlo, de correccao deerros, de identificacao dos canais, etc... Um dispositivo mecanico basico que exempli-fica a multiplexagem temporal encontra-se representado na figura 5.2. Na pratica amultiplexagem temporal e efectuada electronicamente por dispositivos de comutacao.

Figura 5.3: multiplexagem frequencial (FDM).

Mais importante, e mais utilizada, do que a multiplexagem temporal e a multiplex-agem em frequencia (frequency division multiplexing, FDM). A figura 5.3 exemplicaum tal sistema. Cada uma das mensagens e modulada em amplitude a uma frequenciaportadora diferente. Em seguida os sinais de cada um dos canais sao somados e envia-dos no canal de transmissao. Torna-se obvio que, para cada uma das mensagens possaser recuperada intacta no receptor (desmultiplexagem), e necessario que nao existasobreposicao entre espectros contiguos, i.e., que a separacao entre as frequencias das

53

portadoras de cada uma das mensagens seja superior ou igual a largura de banda dasmesmas mensagens. Foram definidas normas para a transmissao de canais telefonicosque agrupam linhas em bandas de frequencias conforme os numeros de canais dese-jados (tabela 5.1).

Canal 1 canal (4kHz)Grupo 12 canais (48 kHz)Supergrupo 5 grupos 60 canais (240kHz)Mastergrupo 5 supergrupos 300 canais (1.2 MHz)Supermastergrupo 3 mastergrupos 900 canais (3.6 MHz)

Tabela 5.1: Hierarquia de FDM publicada pela CCITT

Frequentemente utiliza-se uma tecnica de modulacao eficiente, tipo AM-SSB, emcada um dos canais introduzidos no FDM e depois o sinal composto obtido e denovo modulado, utilizando por exemplo uma modulacao FM, antes de transmissaointercontinental atraves de um canal de fibra optica ou satelite.

5.7 Desmodulacao AM e FM

A desmodulacao de sinais modulados em AM faz-se atraves de um simples detectorde envelope. Um detector de envelope tem a vantagem pratica de nao necessitar oconhecimento da fase da portadora o que simplifica enormemente o circuito necessario,que pode simplesmente ser constituido por um diodo em serie com uma resistenciaem paralelo com um condensador. O envelope da portadora nao e mais do que aamplitude da componente passa-baixo do sinal modulado, i.e., a amplitude do sinalmodulador.

Qualquer sinal passa-banda u(t) se pode escrever como

u(t) = uf(t) cos(2πfct) − uq(t) sin(2πfct) (5.30)

onde uf e uq sao sinais passa-baixo, componentes em fase e em quadratura de u(t).Assim o envelope de u(t) e

a(t) =√

u2f(t) + u2

q(t) (5.31)

Um desmodulador FM pode ser simplemente um dispositivo que traduz a variacaode frequencia em variacao de amplitude seguido de um detector de envelop, comoexplicado acima.

54

6. Modulacao de impulsos (PAM)

6.1 Introducao

Hoje em dia a maior parte da informacao encontra-se sob forma discreta, apesar departe dessa informacao ser na origem analogica ela e discretizada e quantificada nafonte. Como exemplos podemos citar a voz no caso do telefone, a musica, a im-agem, etc...O mais curioso e que quer a informacao ja discreta na origem quer aanalogica discretizada devem ser adaptadas ao canal de transmissao que, ele, e essen-cialmente analogico por natureza. Este processo de adaptacao ao canal de transmissaoe chamado modulacao. Ja vimos exemplos de modulacao analogica no capıtulo ante-rior.

Comecaremos por descrever a tecnica de base, de longe a mais utilizada hoje em dia,que e a modulacao de amplitude de impulsos ou pulse amplitude modulation (PAM).Nesta tecnica uma serie de impulsos de base sao modulados por uma sequencia desımbolos que constituem ”uma imagem” da mensagem a transmitir. A tecnica PAMsera primeiramente descrita em banda base, i.e., numa banda de frequencias queinclui a componente contınua (zero Hz). Em seguida falaremos do caso em bandapassante onde introduziremos um sinal PAM como modulador de uma portadorasinusoidal (caso analogo ao caso da modulacao AM).

Existe um numero impressionante de variantes de PAM segundo o tipo de alfabetoutilizado. Por alfabeto entende-se o metodo de codagem utilizado para representar asequencia de bits em sımbolos. O problema da codagem e da adaptacao ao canal detransmissao sera discutido no proximo capıtulo. Aqui limitar-nos-emos a discutir oscasos particulares de PAM, como sejam o phase-shift keying (PSK), o frequency-shiftkeying (FSK) e o modulacao de amplitude em quadratura (QAM).

Figura 6.1: sistema de transmissao em banda base.

6.2 Generalidades

Um sistema de comunicacao tıpico encontra-se representado na fig.6.1. Nesta figura

55

estao representados essencialmente tres grandes blocos: o transmissor, o canal detransmissao e o receptor.

O transmissor e formado internamente por dois sub-blocos: o codificador e ofiltro de transmissao. A sequencia de bits de entrada Bn e aplicada ao codificadoronde e transformada numa sequencia de sımbolos Ak. A sequencia de bits podeassumir os valores 01 enquanto a sequencia de sımbolos pode tomar qualquer valorde um alfabeto escolhido. Uma das caracterısticas principais do codificador e deque a relacao entre Bn e Ak pode nao ser de um para um. Isto significa que doisbits diferentes podem ser representados pelo mesmo sımbolo e inversamente podemexistir sımbolos que nao correspondem a nenhum dos bits de entrada. E por essarazao que a taxa de transmissao da sequencia de bits e simbolizada pelo ındice n

e chamada bit rate= 1/Tb (Tb e o intervalo de amostagem da sequencia de bits) e ataxa de transmissao dos sımbolos e simbolizada pelo indice k e e chamada symbol rate= 1/Ts (onde Ts e o intervalo de amostragem da sequencia de sımbolos). Na praticaos dois casos 1/Tb > 1/Ts ou 1/Tb < 1/Ts sao possıveis. Normalmente se a bit ratee superior a symbol rate dizemos que ha compressao, no caso contrario dizemos queexiste redundancia. Neste capıtulo assumiremos que nao existe nem redundancia nemcompressao e que os sımbolos saıdos do codificador sao independentes e identicamentedistribuidos formando um processo aleatorio branco (sinal branco).

O segundo sub-bloco do transmissor e o filtro de transmissao que tem por papelo de receber a entrada uma sequencia de sımbolos discretos e gerar a saıda um sinalanalogico. Este sinal e formado por uma serie de impulsos de forma de base g(t)modulados pela sequencia Ak, portanto a saıda s(t) pode ser expressa pela equacaode convolucao

s(t) =∞∑

m=−∞Amg(t − mTs), (6.1)

onde 1/Ts e a symbol rate e g(t) e a forma de impulso (ou pulse shape). O sinals(t) pode ser interpretado como sendo formado por uma sequencia de impulsos g(t),possivelmente sobrepostos, cujas amplitudes sao dadas pelo sımbolos Am. O casoque acabamos de descrever refere-se a PAM em banda base, ou seja, o caso no qual ocanal de transmissao admite a passagem da componente d.c. No caso contrario o sinalPAM tera de ser colocado em banda passante atraves de um processo de modulacaode uma portadora.

O canal de transmissao e neste exemplo, e em muitos casos na pratica, repre-sentado por um filtro linear invariante, cuja resposta impulsiva e b(t) e o ruıdo n(t) econsiderado do tipo aditivo. Assim o sinal a saıda do canal, ou a entrada do receptor,e dado por

r(t) =∫ ∞

−∞b(τ)

∞∑

m=−∞Amg(t − mTs − τ)dτ + n(t). (6.2)

56

Esta equacao pode ser rescrita como

r(t) =∞∑

m=−∞Amh(t − mTs) + n(t). (6.3)

ondeh(t) = b(t) ∗ g(t), (6.4)

e chamado o impulso recebido, i.e., a forma de pulso passada pelo canal de trans-missao.

O terceiro bloco da fig. 6.1. e o receptor. O receptor recebe a entrada um sinalcontınuo r(t). De forma a poder extrair deste sinal uma sequencia de bits discretadevera, para comecar, amostrar este sinal a mesma taxa de amostragem e sincronizadacomo a taxa utilizada na emissao. Portanto e necessario que o receptor tenha umsinal de sincronismo o que, para emissores e receptores, a grandes distancias podecolocar problemas praticos relevantes. O sinal de sincronismo e ou fornecido a parteda messagem ou extraıvel da messagem propriamente dita. Neste capıtulo vamossimplesmente ignorar esta questao e supor que o sinal de sincronismo se encontradisponıvel e o problema esta resolvido. O filtro de recepcao e um dos componentesmais importantes de toda a cadeia de transmissao pois ele permitira compensar osefeitos de atenuacao e distorsao do canal e permitira tambem diminuir a influenciado ruıdo. O desenho de receptores optimos para casos de canais bem conhecidos e oobjecto de outros capıtulos desta sebenta.

E essencial que no desenho do receptor exista um modelo do canal, porem existemtambem filtros de recepcao que tem a capacidade de se adaptar a qualquer tipo decanal dentro de determinadas classes. Ja que o efeito deste filtro de recepcao e o decompensar os efeitos do canal tomam o nome de equalizadores.

O filtro de recepcao e seguido por um amostrador do qual ja tivemos a ocasiao defalar e em seguida o sinal e aplicado a um decisor. Este decisor tem como papel ode, em funcao do sinal aplicado a sua entrada, ’decidir’ qual o sımbolo do alfabetopresente e coloca-lo a saıda. Por fim a sequencia de sımbolos e descodificada (que e aoperacao inversa do primeiro sub-bloco do transmissor) colocando a saıda a sequencia

de bits estimada Bn.

6.3 Medidas de desempenho

Como ja tivemos a ocasiao de referir uma das medidas de desempenho de um deter-minado sistema de comunicacao e a bit rate que permite realizar num determinadocanal de transmissao. Assim e, por exemplo, frequente referir que um determinadomodem tem uma taxa de transmissao de 1200, 2400 ou 9600 bits/s. Obviamentequando mais elevada e a bit rate, maior e o desempenho, apesar de nao ser referida ataxa de erro obtida para este desempenho. Pressupoe-se que esta seja suficientemente

57

baixa, o que e subjectivo. Neste capıtulo vamos calcular a bit rate para uma seriede canais e metodos de transmissao diferentes supondo que nao existe interferenciaentre sımbolos (intersymbol interference, ISI). Os sistemas desenvolvidos serao rel-ativamente simples o que implica que existira uma probabilidade nao nula de queexistam erros de deteccao de sımbolos no receptor. Estes erros de deteccao podemser tornados arbitrariamente baixos aumentando a complexidade do emissor/receptor.Evitaremos entrar neste campo de compromisso entre bit rate versus complexidade.

Outra medida de desempenho normalmente aceite e definida pela bit rate porlargura de banda. Noutras palavras, uma bit rate mais alta requer uma banda maislarga, portanto um sistema sera tanto mais eficiente quanto maior for a sua, chamada,eficiencia espectral dada por

ν =bit rate

largura de banda, (6.5)

que se mede em bits/s Hz.

Por exemplo, um sistema com um alfabeto ΩA de dimensao, |ΩA| admite umataxa de transmissao de log2 |ΩA| bits por cada sımbolo, no caso simples em que existeuma relacao um para um entre grupos de bits e cada sımbolo. Assim, a bit ratesera, neste caso, dada por log2 |ΩA|/Ts (1/Ts e a symbol rate) e por isso a eficienciaespectral escreve-se

ν =log2 |ΩA|

BTs,

onde B e a largura de banda em Hz.

Portanto, e em resumo, a symbol rate encontra-se limitada na pratica pela largurade banda do canal de transmissao. Como demonstraremos mais adiante, se quiser-mos evitar completamente a interferencia intersimbolica a symbol rate podera ser nomaximo o dobro da largura de banda do canal. Por outro lado, a dimensao do alfa-beto encontra-se limitada pela potencia maxima transmissıvel e pelo nıvel de ruıdo nocanal. Estas duas limitacao, na symbol rate e na dimensao do alfabeto, e que limitamefectivamente a bit rate alcancada num determinado sistema de transmissao.

6.4 Formas de pulso

No capıtulo 6.2 falamos, quando da equacao (6.1), na funcao g(t) a qual chamamosforma de pulso (pulse shape). A escolha da forma de pulso permite uma melhoradaptacao as caracterısticas do canal de transmissao. Como ja tivemos a ocasiao dereferir, a sequencia de sımbolos Ak pode ser, numa primeira aproximacao, consideradabranca, estacionaria de media nula e de variancia σ2

A = E[|A|2]. Assim o seu espectrode potencia e,

PA(ω) = σ2A. (6.6)

58

Considerando o sinal PAM em banda base dado por

s(t) =∞∑

m=−∞Amg(t − mT ), (6.7)

primeiro notaremos que

E[s(t)] =∞∑

m=−∞E[Am]g(t − mT ) = 0, (6.8)

visto que E[Am] = 0. Agora a funcao de autocorrelacao de s(t) escreve-se

γs(t + τ, t) = E[s(t + τ)s∗(t)], (6.9)

e por substituicao de (6.7) em (6.9) obtemos

γs(t + τ, t) =∞∑

m=−∞

∞∑

n=−∞γA(m − n)g(t + τ − mT )g∗(t − nT ), (6.10)

ondeγA(m − n) = E[AmA∗

n], (6.11)

fazendo uma primeira mudanca de variavel i = m − n, obtemos

γs(t + τ, t) =∞∑

i=−∞γA(i)

∞∑

n=−∞g(t + τ − iT − nT )g∗(t − nT ), (6.12)

e agora uma segunda mudanca de variavel u = t − nT ,

γs(u + nT + τ, u + nT ) =∞∑

i=−∞γA(i)

∞∑

n=−∞g(u + τ − iT )g∗(u), (6.13)

e podemos facilmente deduzir que γs e uma funcao periodica de perıodo T , o que sig-nifica que s(t) e um processo periodicamente estacionario ou cicloestacionario. Comotivemos ocasiao de referir anteriormente, o calculo do espectro dos sinais cicloesta-cionarios faz-se atraves da TF da media da funcao de autocorrelacao do processo numperıodo. Essa media escreve-se neste caso como

γs(τ) =1

T

∫ T

0γs(t + τ, t)dt, (6.14)

e por isso substituindo (6.13) em (6.14) com a mudanca de variavel t = u + nT , oque implica que quando t = 0, u = −nT e para t = T , u = −(n − 1)T e entao

γs(τ) =∞∑

i=−∞γA(i)

∞∑

n=−∞

1

T

∫ −(n−1)T

−nTg(u + τ − iT )g∗(u)du, (6.15)

59

de onde, combinando o somatorio em n e o integral num intervalo T , podemos escrever

γs(τ) =∞∑

i=−∞γA(i)

∫ ∞

n=−∞

1

Tg(u + τ − iT )g∗(u)du, (6.16)

e finalmente

γs(τ) =1

T

∞∑

i=−∞γA(i)γg(τ − iT ), (6.17)

onde

γg(τ) =∫ ∞

n=−∞g(t + τ)g∗(t)dt. (6.18)

Escrevendo finalmente o espectro de potencia de s(t) como a TF de γs(τ), i.e.,

Ps(f) =∫ ∞

−∞γs(τ)e−j2πfτdτ, (6.19)

e notando que (6.17) representa apenas a convolucao das autocorrelacoes de Ak e dafuncao de pulso g(t), permite chegar a

Ps(f) =1

T|G(f)|2PA(f), (6.20)

e que para este caso, em virtude de (6.6),

Ps(f) =σ2

A

T|G(f)|2, (6.21)

de onde podemos concluir que o espectro do sinal a transmitir e perfeitamente inde-pendente da mensagem dependendo apenas do espectro da funcao de pulso g(t). Napratica somos levados a determinar g(t) de forma a que o seu espectro se adapte aocanal de transmissao.

Como exemplo de escola podemos referir que se o canal de transmissao for umcanal passa-baixo ideal, dado por

B(ω) =

1, |ω| < W0, |ω| ≥ W ,

(6.22)

entao o espectro da funcao de pulso e

G(ω) =

π/W, |ω| < W0, |ω| ≥ W ,

(6.23)

que no domınio do tempo e uma funcao sinc,

g(t) =sin(Wt)

Wt. (6.24)

60

Dado que esta funcao tem as suas passagens por zero para multiplos de π/Wpoderemos escolher a duracao de cada sımbolo como Ts = π/W . Este ”symbol rate”de 1/Ts e o valor maximo (e por isso optimo) que pode ser obtido para um canal delargura de banda W e sem ISI. Infelizmente, sinais de banda limitada como o descritoem (6.23) nao sao realizaveis na pratica e somos por isso relegados para o problemado desenho de uma forma de pulso que seja por um lado realizavel e por outro quemaximize a ”symbol rate” para uma dada banda W .

Na pratica o valor mınimo da largura de banda do impulso W = π/T e sempreexcedido de forma a simplificar a implementacao. Este aumento da largura de bandada forma do impulso e chamado excesso de banda e varia geralmente entre 10 e 100%.Por exemplo um excesso de banda de 100% corresponde a uma largura de banda de2π/T . Para obter um excesso de banda igual a zero e uma ISI tambem igual a zero,a forma do impulso e unica e e dada pelo sinc, porem para um excesso de banda naonulo existem varias formas de pulso possıveis e por isso trata-se agora de selecionaraquelas que tem ISI nula. O criterio de selecao que permite determinar as formas depulso com ISI nula chama-se criterio de Nyquist.

O sinal de entrada no amostrador pode ser representado por

q(t) =∞∑

m=−∞Amp(t − mT ) + u(t), (6.25)

onde u(t) = f(t) ∗ n(t) representa o ruıdo introduzido pela transmissao do sinalfiltrado e onde p(t) = g(t)∗b(t)∗f(t), sendo b(t) e f(t), a resposta impulsiva do canalde transmissao e do filtro de recepcao, respectivamente. Supondo que a amostragemdo sinal q(t) e perfeitamente sıncrona com a a frequencia dos sımbolos, temos que

Qk =∞∑

m=−∞Amp(kT − mT ) + u(kT ), (6.26)

e entao fazendo sair do somatorio o termo k = m,

Qk = Akp(0) +∑

m6=k

Amp(kT − mT ) + u(kT ). (6.27)

Olhando atentamente para esta expressao podemos notar que uma recepcao semerros implicaria simplesmente Qk = Ak. Todo o resto desta expressao significa umaparte indesejavel no resultado. E obviamente o caso do ruıdo u(t) e do segundo termoda expressao (6.27). Este segundo termo e chamada interferencia intersimbolica ouISI (intersymbol interference). Uma forma de anular a ISI seria fazer com que o sinalp(t) passa-se em zero para todos os valores de t multiplos de T , i.e.,

p(kT ) = δk, (6.28)

61

e portanto (6.26) se escrevesse

Qk =∞∑

m=−∞Amδk−m + uk = Ak + uk. (6.29)

A esta forma de anular a ISI chama-se criterio de ”zero-forcing”. Este criterio naoe de forma nenhuma optimo pois e puramente determinıstico e nao tem em conta oruıdo. O problema agora e de, a partir do criterio de ”zero-forcing”, estabelecer umarelacao que permita desenhar a forma de pulso g(t). Tomando a TF de (6.28)

TF[p(kT )] = TF[p(t)∞∑

k=−∞δ(t − kT )] = 1, (6.30)

ou ainda, sabendo que a TF do produto e a convolucao das TF’s e que a TF de umpente de Diracs no tempo e um pente de Diracs na frequencia,

1

2πP (ω) ∗ 2π

T

∞∑

k=−∞δ(ω − k

2π

T) = 1, (6.31)

e finalmente resolvendo o produto de convolucao

1

T

∞∑

k=−∞P (ω − k

2π

T) = 1. (6.32)

A equacao (6.32) e chamada criterio de Nyquist. Existem uma infinidade de funcoesp(t) cuja TF satisfaz (6.32). A primeira dessas funcoes e a funcao sinc no tempo delargura de banda mınima, i.e., de excesso de banda 0%. Ja vimos que tal sinal temuma largura de banda W = π/T e nesse caso a taxa de transmissao de sımbolos(symbol rate) sera 1/Ts = W/π. Esta corresponde tambem a mais alta taxa detransmissao de sımbolos que pode ser obtida.

Devido as razoes de realizacao pratica ja apontadas anteriormente, as formas depulso mais utilizadas, e que verificam o criterio de Nyquist, pertencem a famılia dos’raised cosine’ e sao dadas por

p(t) =

[

sin(πt/T )

πt/T

] [

cos(απt/T )

1 − (2αt/T )2

]

, (6.33)

que tem como transformada de Fourier

P (ω) =

T, 0 ≤ |ω| ≤ (1 − α)π/TT2[1 − sin[ T

2α(|ω| − π

T)]], (1 − α) π

T≤ |ω| ≤ (1 + α) π

T

0, |ω| > (1 + α)π/T(6.34)

62

Para α = 0, o ’raised cosine’ toma a forma de uma funcao porta no domınio dafrequencia, por isso corresponde ao caso optimo do excesso de banda mınimo. Umaumento progressivo de α tem como efeito um aumento correspondente da largura debanda com uma passagem cada vez mais gradual do valor maximo para zero conformerepresentado na fig. 6.2., α e chamado o valor de ’roll-off’ e variando entre 0 e 1 fazcom que o excesso de banda varie entre 0 e 100%.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (s)

Am

plitu

de

(a)

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Frequency(Hz)

Mod

ule

(b)

Figura 6.2: funcao ’raised cosine’ (a) no tempo e (b) na frequencia, para diferentesvalores do factor de ’rool-off’: α=0 (–), α = 0.5 (...), α = 0.75 (- .) e α = 1 (- -).

Aparentemente a escolha judiciosa da forma do sinal p(t) permite obter umacondicao ideal com ISI nula. Porem nao devemos esquecer que p(t) = g(t)∗f(t)∗ b(t)e, na pratica, mesmo se g(t) e f(t) podem ser determinados arbitrariamente peloutilizador, o mesmo nao acontece com b(t) que e a resposta impulsiva do canal detransmissao sobre o qual o utilizador tem pouco, ou mesmo nenhum, controlo. O quequer dizer que nao existe uma forma fechada para f(t) e g(t) de forma a que p(t)tenha a forma desejada. Mesmo quando b(t) e conhecido, obter uma ISI nula podeser extremamente dispendioso em termos de complexidade de g(t) e/ou f(t).

63

Diagrama de olho

Uma das formas tradicionais de determinar o grau de ISI de um sistema de co-municacao e atraves do chamado diagrama de olho. O nome vem do facto de quea sua forma e semelhante a do olho humano. Esta e a forma tradicional de testedo grau de ISI porque pode ser facilmente implementada atraves da observacao numosciloscopio do sinal de saıda do filtro de recepcao no qual a entrada de trigger e osinal de sincronismo dos sımbolos.

Figura 6.3: um sinal PAM binario com impulsos do tipo raised cosine e excesso debanda de 50% (topo), zoom de uma transicao (a) e diagrama de olho(b).

A fig. 6.3 mostra um exemplo de uma sequencia de sımbolos (topo) e um zoomde uma transicao (a) e uma sobreposicao de sımbolos como poderia ser observada noecran de um osciloscopio (b). Quando existe ISI e o criterio de Nyquist nao e verifi-cado, o sımbolo 0 e 1 tendem a confundir-se fechando o centro do ’olho’ verticalmente.O facto do olho estar aberto verticalmente significa igualmente que a quantidade deruıdo necessario para produzir erros de identificacao e maior e dessa forma compreen-demos que quanto maior a abertura vertical maior a imunidade ao ruıdo. Por outrolado o ponto de cruzamento dos diferentes tracos determina a abertura horizontal doolho e depende directamente do sincronismo temporal da symbol rate. No seu geral aforma do olho depende da forma de pulso e do excesso de banda utilizado no ’raisedcosine’. Por exemplo a fig. 6.4 mostra dois diagramas de olho, em (a) com 25% deexcesso de banda e em (b) com 100% de excesso de banda. Assim podemos ver obenefıcio de aumentar o excesso de banda obtendo um ’olho’ mais aberto e portantouma maior imunidade ao ruıdo e uma diminuicao dos erros de sincronismo. O precoa pagar foi uma maior largura de banda e no limite uma menor taxa de transmissao

64

na mesma banda e portanto uma diminuicao da eficiencia espectral do sistema.

Figura 6.4: diagrama de olho com 25% de excesso de banda (a) e com 100% de excessode banda (b).

6.5 PAM em banda base

O sistema de comunicacao no seu essencial e formado pelo conjunto transmissor ereceptor. Concentraremos a nossa atencao no receptor que e aquele que e geralmentemais elaborado no caso em que o bit rate desejado e inferior a capacidade do canalde transmissao.

Um receptor simples amostra o sinal a taxa de transmissao (assumida sıncronacom o emissor, para simplificar) e compara as amostras obtidas com um nıvel e, apartir daı, decide qual dos sımbolos se encontra presente. Este receptor simples egeralmente longe do optimo porque ignora o filtro f(t), que devera ser usado parafiltrar as componentes fora da banda do canal de transmissao de forma a minimizaro ruıdo a entrada do amostrador/decisor. Assim f(t) (e de alguma forma tambemg(t)) tem um duplo objectivo: por um lado devera assegurar uma forma de p(t) quesatisfaca ”razoavelmente” o criterio de Nyquist e que assegure uma ISI nula (ou baixa)e por outro lado que minimize a taxa de ruıdo. Estes dois objectivos nem sempre(ou quase nunca) podem ser atingidos a 100% e por vezes o tentar manter umacomplexidade aceitavel limita o desempenho de f(t) de forma que torna-se necessarioencontrar um compromisso entre ISI e relacao sinal/ruıdo a entrada do decisor. Oproblema coloca-se frequentemente em termos da dupla minimizacao do ruıdo e daISI ou, alternativamente, na minimizacao do ruıdo mantendo uma ISI a um nıvelaceitavel.

65

Podemos entao escrever para o sinal p(t) a saıda do filtro receptor

P (ω) = F (ω)B(ω)G(ω), (6.35)

e portanto temos que para o filtro F (ω)

F (ω) =

P (ω)B(ω)G(ω)

, ∀ω, quando B(ω)G(ω) 6= 0

0, ∀ω, quando B(ω)G(ω) = 0.(6.36)

O facto de forcar F (ω) a zero para toda uma gama de frequencias nao e restritivopois nessa mesma gama de frequencias B(ω)G(ω) = 0 o que quer dizer que o sinal asaıda seria zero de qualquer forma. Geralmente a forma de G(ω) e determinada porquestoes de custo e por isso F (ω) desempenhara todo o papel na filtragem do ruıdoe na minimizacao da ISI. Mais a frente estudaremos quais as implicacoes do ruıdona taxa de erro do decisor, por enquanto nao ficaremos surprendidos se admitirmosque a taxa de erro cresce monotonamente com a diminuicao da relacao sinal/ruıdo.Retomando as expressoes (6.25) a (6.27) do sinal q(t) a saıda do filtro temos que nocaso com ISI nula no qual

Qk = Ak + uk, (6.37)

onde Ak e a amostra desejada e uk e o ruıdo u(t) = f(t) ∗n(t) filtrado e discretizado,de variancia σ2

u. Assim podemos escrever a SNR a saıda do filtro

SNR =E[|Ak|2]

σ2u

. (6.38)

E corrente assumir que os sımbolos se encontram normalizados, de tal forma queE[|Ak|2] = 1 e por isso temos que

SNR =1

σ2u

. (6.39)

Em resumo, podemos dizer que, tendo fixado a forma do pulso G(ω), por um ladoF (ω) tera que compensar (equalizar) o canal B(ω), segundo (6.36), e por outro teraque diminuir a variancia do ruıdo a sua saıda, segundo (6.39), de forma a aumentar arelacao SNR e assim diminuir a taxa de erro. Como ja dissemos estes dois objectivospodem ser contraditorios, o que se pode facilmente perceber, por exemplo, paravalores de ω nos quais B(ω)G(ω) tenha valores proximos de 0, e assim F (ω) tomevalores muito elevados para os quais o ruıdo se encontrara fortemente amplificado asaıda aumentando assim a probabilidade de erro. O compromisso ISI vs. SNR e umeterno quebra-cabecas no desenho de equalizadores. Mais a frente estudaremos umtipo de equalizadores chamado equalizador de Viterbi, para o qual se demonstra quepermite minimizar, ou por vezes eliminar, esta amplificacao do ruıdo. Este tipo deequalizadores sao altamente nao lineares.

66

Tendo em conta o que foi dito nos ultimos capıtulos poderemos agora introduzir umnovo modelo equivalente ao sistema da fig. 6.1 no qual o filtro de transmissao, canal efiltro de recepcao se encontram juntos num unico bloco caracterizado atraves da suaentrada, a sequencia de sımbolos Ak e da sua saıda pk. Este novo modelo equivalenteencontra-se representado na fig. 6.5. De notar que visto que tanto a entrada comoa saıda deste novo filtro sao discretos, todo o modelo passa a ser completamentediscreto, tanto que

pk = p(kT ) = [g(t) ∗ b(t) ∗ f(t)]t=kT , (6.40)

e a sequencia de ruıdo filtrado (nao branco)

uk = u(kT ) = [n(t) ∗ f(t)]t=kT . (6.41)

Figura 6.5: sistema discreto equivalente ao sistema PAM em banda base.

6.6 PAM em banda passante

6.6.1 Emissor - modulador

Na pratica muitos canais de transmissao nao sao compatıveis com a transmissao deum sinal em banda base e por isso e necessario modular o sinal PAM que assimse transforma num sinal PAM em banda passante. Quem diz modulacao do sinalPAM diz tambem desmodulacao do mesmo sinal ao nıvel do receptor. O princıpio,geralmente verificado na pratica, e que o processo de modulacao e desmodulacaodevera ser transparente para o utilizador tanto do ponto de vista do tratamentomatematico como do desempenho do sistema.

Como ja tivemos ocasiao de ver a passagem de um sinal complexo s(t) em bandabase para um sinal x(t) em banda passante traduz-se por

x(t) =√

2Res(t)ejωct, (6.42)

onde, se s(t) for PAM em banda base, x(t) sera chamado PAM em banda passante.Anteriormente discutimos varios metodos de modulacao de amplitude, entre os quais

67

AM-DSB, AM-SC, SSB e QAM. Tomaremos aqui o caso mais eficiente que e a mod-ulacao QAM. A grande vantagem deste tipo de modulacao e de que permite a trans-missao de sinais em banda base complexos onde a parte real e a parte imaginariapodem nao ter forcosamente nenhuma ligacao entre si, i.e., ambas podem conterinformacao. Na pratica, isto significa que no sinal PAM

s(t) =∞∑

k=−∞akg(t − kT ), (6.43)

os coeficientes ak ou a funcao de pulso g(t), ou ambos, podem ser complexos. Emparticular, quase nunca acontece que g(t) seja complexo, porem, a possibilidade queak tome valores complexos e altamente interessante porque duplica a quantidade deinformacao que pode ser contida no mesmo alfabeto. O esquema blocos de um talmodulador (transmissor) encontra-se representado na fig. 6.6.

Figura 6.6: um sistema modulador PAM passa banda

Substituindo (6.43) em (6.42) podemos escrever,

x(t) =√

2Re

ejωct∞∑

k=−∞akg(t − kT )

, (6.44)

que e efectivamente uma forma de representar um sinal PAM passa banda. Alterna-tivamente, podemos escrever

x(t) =√

2

cos(ωct)∞∑

k=−∞Reakg(t − kT )

−√

2

sin(ωct)∞∑

k=−∞Imakg(t − kT )

,

(6.45)tendo em conta que g(t) e real. A representacao (6.45) e equivalente a modulacaode dois sinais reais que se encontram desfasados de π/2, i.e., que se encontram emquadratura e portanto adapta-se perfeitamente ao caso da modulacao QAM.

Uma terceira representacao possıvel para o sinal PAM em banda passante e dadapor

x(t) =√

2Re

∞∑

k=−∞cmej(ωct+θm)g(t − kT )

=√

2∞∑

k=−∞cm cos(ωct + θm)g(t − kT ),

(6.46)

68

onde se utilizou a definicao polar para am = cmejθm. Aqui, trata-se de uma re-presentacao interessante pois ve-se que a funcao de pulso multiplica uma portadoracuja amplitude e fase dependem da informacao enviada am. Esta e por vezes de-nominada modulacao AM/PM (amplitude/phase - modulation). Esta representacaosugere igualmente que PSK (phase shift keying) e um caso especial de PAM am bandapassante, o que e verdade.

6.6.2 Receptor - desmodulador

O funcionamento de um sistema desmodulador ja foi referido anteriormente. E essen-cialmente constituido por dois blocos: um primeiro bloco que elimina as frequenciasnegativas do sinal passa banda (este bloco e frequentemente chamado ’phase splitter)e um segundo bloco que realiza uma translacao em frequencia da banda da portadorapara a banda base. Este sistema representa uma visao muito simplista do problemapois ignora, por um lado, o ruıdo de transmissao, e por outro, ignora tambem que napratica podem existir varios sinais que se encontrem multiplexados em frequencia aoutras portadoras.

Figura 6.7: um sistema desmodulador PAM: filtro-splitter-desmodulador (a), filtro/-splitter-desmodulador (b) e desmodulador-filtro passa baixo (c).

69

Por estas razoes o primeiro bloco encontrado no receptor e um filtro de respostaimpulsiva f(t) que, em banda, se escreve 2f(t) cos(ωct). Tres estruturas do sistemareceptor/desmodulador encontram-se representadas na fig. 6.7. A fig. 6.7a mostraum sistema desmodulador no qual o sinal recebido em banda y(t) e primeiro filtradopor um filtro f(t) passa-banda, depois a sua componente negativa e eliminada nophase splitter e finalmente a componente em banda restante e transferida em bandabase atraves de uma translacao em frequencia de −ωc. Na fig. 6.7b o filtro passabanda e o phase splitter sao agrupados num so bloco resultando num filtro passabanda de resposta impulsiva √

2f(t)e−jωct

que so deixa passar as frequencias positivas seguido sempre da passagem em bandade base. Este e chamado filtro passabanda analıtico. Por ultimo na fig. 6.7c, o sinale primeiramente colocado em banda de base e depois filtrado por um filtro passabaixo. Esta operacao, de translacao frequencial e filtragem passa-baixo encontra-se representada esquematicamente na fig. 6.8. Pode-se facilmente provar que estaterceira estrutura e equivalente as precedentes notando que

e−jωct∫ ∞

−∞y(τ)

√2f(t − τ)ejωc(t−τ)dτ =

∫ ∞

−∞y(τ)e−jωcτ

√2f(t − τ)dτ

= (e−jωcty(t)) ∗ (√

2f(t)).(6.47)

Figura 6.8: operacao de desmodulacao de um sinal PAM com translacao em bandabase seguida de filtragem passa-baixo.

Ate agora apenas temos focado o problema da desmodulacao. O sinal obtido depoisde passagem em banda base necessita igualmente de filtragem obtendo-se sempre um

70

sinal em banda base. Assume-se que a partir daqui teremos um sistema como o dafig. 6.1., composto de um amostrador, de um decisor e de um descodificador aterecuperar uma estimada da trama de bits transmitida. Porem existe uma difererencafundamental decorrente do sistema de modulacao/desmodulacao que e o facto de queo sinal em banda de base que sai do desmodulador e agora complexo enquanto antesare real. Este facto ira necessitar no mınimo um amostrador/decisor/descodificadorcomplexo ou entao uma separacao em quadratura para implementar separadamentea parte real e a parte imaginaria.

Para alem desta existe uma outra questao que e a do ruıdo. Vejamos o que se passaa saıda Z(t) de um filtro/desmodulador se aplicarmos a entrada um ruıdo branco eGaussiano de densidade espectral SN (ω) = N0/2. Consideremos a estrutura da figura6.7b. A densidade espectral da saıda do filtro analıtico passa banda e

SM(ω) = N0|F (ω − ωc)|2 (6.48)

e em seguida a passagem em banda base implica que

SZ(ω) = SM(ω + ωc) = N0|F (ω)|2 (6.49)

expressao que mais uma vez sugere a diminuicao da largura de banda do filtro derecepcao para minimizar a potencia do ruıdo na saıda.

Figura 6.9: esquema bloco do sistema equivalente em banda base. Z(t) e o ruıdo n(t)depois de filtrado pelo receptor e colocado em banda base.

Finalmente poderemos dar uma representacao equivalente em banda base do trans-missor/canal/receptor incluindo a parte de modulacao/desmodulacao. Este canalequivalente encontra-se representado na fig.6.9. onde ak e a trama de sımbolos(complexa) e p(t) e o sinal a saıda do filtro de recepcao sendo todo o bloco emis-sor/canal/receptor representado por

P (ω) = G(ω)B(ω + ωc)F (ω),

71

que e uma expressao semelhante ao equivalente banda de base ja encontrado an-teriormente, so com a diferenca que agora temos B(ω + ωc) em vez de B(ω) paraindicar que se trata das propriedades do canal em torno a ωc e nao em banda basee tambem e preciso notar que as TF−1 das quantidades aqui representadas nao saonecessariamente funcoes reais e ate na grande maioria dos casos serao mesmo com-plexas. Como anteriormente, de forma a evitar/eliminar a ISI, deveremos escolher ofiltro de recepcao F (ω) tal que

F (ω) =

P (ω)B(ω+ωc)G(ω)

, ∀ω, quando B(ω + ωc)G(ω) 6= 0

0, ∀ω, quando B(ω + ωc)G(ω) = 0.(6.50)

como anteriormente F (ω) tera um ganho elevado para frequencias com fracos valoresde B(ω + ωc)G(ω), amplificando o ruıdo.

Sera util determinar a representacao discreta equivalente ao total do sistema decomunicacao PAM em banda passante, eventualmente utilizando a representacao embanda base equivalente ao bloco transmissor/canal/receptor (fig. 6.9). Esta rep-resentacao discreta equivalente encontra-se na fig. 6.10 que se abstrai de toda aparte modulacao/desmodulacao incluindo-a num unico bloco de entrada Ak e saıdapk = p(kT )

Figura 6.10: sistema PAM em banda passante: equivalente discreto.

6.7 Spread spectrum

Os sistemas spread spectrum sao hoje bastante utilizados. Na pratica, um sistemaspread spectrum e um sistema PAM, no qual e utilizada, de forma deliberada, umalargura de banda muito maior do que o mınimo necessario imposto pelo criterio deNyquist. As vantagens sao as seguintes:

1. demonstra-se que a relacao sinal/ruıdo a saıda do filtro receptor e independenteda largura de banda, dependendo somente e essencialmente da energia do pulso.

2. prova-se tambem na pratica que sinais com banda mais larga tornam-se maisimunes a variacoes do canal de transmissao, que sao, na sua maioria, localizadasem frequencia, obtendo-se assim uma maior imunidade ao efeito de ’fading’devido a multiplos caminhos entre o emissor e receptor (multipath).

72

3. sinais spread spectrum sao mais robustos a interferencias propositadas ou nao(jamming).

4. sinais spread spectrum podem ser ”escondidos”, i.e., usando sinais de bandamuito larga podem ocupar uma zona de frequencia ja ocupada por outros sinaisde banda estreita sem interferir nem serem perturbados por estes.

5. a mesma banda de frequencias pode ser utilizada por varios utilizadores spreadspectrum sem interferirem uns com os outros.

E sobretudo a imunidade que um sinal de banda larga tem a outros sinais debanda estreita que determina a eficacia da tecnica spread spectrum. Prova-se quepara um impulso spread spectrum h(t) de banda B e potencia σ2

h, utilizado paratransmitir uma trama de bits Ak, de potencia σ2

A, em presenca de uma interferenciaI, de potencia PI/2B na mesma banda, entao a relacao sinal/ruıdo (SNR) a saıda deum detector optimo (descrito no capıtulo 8) escreve-se

SNR = 2Bσ2

Aσ2h

PI, (6.51)

e portanto, desde que a banda do pulso aumente SNR aumenta na mesma proporcao.

73

7. Introducao a codagem

No esquema da fig. 6.1 existe logo a entrada do sistema de comunicacao um blocodenominado codificador. O seu papel e o de transformar a trama de bits Bn numatrama de sımbolos Ak. Ao processo que permite passar de Bn para Ak e chamadacodagem. Neste capıtulo faremos uma breve introducao aos prıncipios da codagemsem entrar em muito detalhe. O processo de codagem devera ser um processo re-versıvel, visto que no final da cadeia de transmissao teremos que efectuar o processoinverso, i.e., passar da trama de sımbolos Ak estimada para a trama de bits Bn.Alem disso, a trama de sımbolos devera conter a mesma quantidade de informacaoque a trama de bits. Finalmente, o processo de codagem podera permitir incluirinformacao adicional de forma a permitir uma descodificacao mais eficiente e maisrobusta ao ruıdo que possa ser incluido na cadeia de transmissao. Esta informacaoadicional e normalmente chamada, codigo de erros e existem hoje em dia inumerastecnicas e algoritmos sofisticados em cujos detalhes tambem nao entraremos aqui.

7.1 Escolha do alfabeto

O primeiro passo na codagem e a escolha do alfabeto. O alfabeto e o conjuntode sımbolos disponıveis para transmissao. Um sistema de transmissao em bandabase tem um alfabeto real, por exemplo, A1 = −3,−1, 1, 3. Um sistema PAMpassa banda tem um alfabeto complexo, por exemplo, A2 = −b,−jb, jb, b. Emambos os exemplos a dimensao do alfabeto e M = 4, por isso cada sımbolo poderepresentar log2 M = 2 bits. Por exemplo no caso do alfabeto A2 os sımbolos podemser representados pelo numero complexo

Am = bejφm , (7.1)

e assim o sinal transmitido escreve-se (utilizando (6.46))

x(t) = b√

2∞∑

m=−∞cos(ωct + φm)g(t − mT ), (7.2)

onde a variavel φm pode tomar os valores 0, π/2, π, 3π/2. Assim podemos ver quea informacao e transmitida apenas pela fase da portadora e por isso este tipo demodulacao toma o nome de ’phase shift keying’ ou PSK. Neste caso trata-se de umPSK de quatro nıveis e por isso se chama 4-PSK ou ’quadrature PSK’.

Outros alfabetos determinam outros tipos de codagem e portanto de modulacao(BPSK , N-QAM, etc...). Assim a escolha do alfabeto determina implicitamente o tipoparticular de modulacao. Um ponto importante na escolha do alfabeto e o facto de queno receptor os sımbolos estimados Ak vao-se encontrar a saıda do decisor em funcaodas amostras de entrada Qk. Visto que existe ruıdo (e na ausencia de ISI) as amostrasQk vao-se encontrar contaminadas e portanto a escolha do sımbolo de saıda tambem.

74

Noutras palavras, se a amostra de Qk nao for exactamente igual a Ak (devido aoruıdo de transmissao) mas se encontrar mais ”proximo” de Ak do que de qualqueroutro sımbolo do alfabeto entao um decisor intuitivo escolhera (acertadamente) Ak.

Na pratica, e de modo intuitivo, o erro no decisor sera tanto menor quanto maiorfor a ”distancia” entre os sımbolos permitindo uma maior variancia do ruıdo e man-tendo uma taxa de erro aceitavel em saıda. Continuando o nosso raciocınio intuitivopodemos dizer que deveremos escolher sımbolos ”distantes” uns dos outros o quereduz o seu numero, porem sabemos pelo contrario que quantos mais sımbolos tiver-mos melhor pois maior sera a quantidade de informacao transmitida (ou eficienciaespectral). Existe portanto um compromisso a respeitar. Uma nocao essencial nestecompromisso e a nocao de ”distancia” entre sımbolos e que nao foi definida ate agora.

7.2 Constelacoes

Figura 7.1: constelacao 4-PSK: sem ruıdo (a) e com ruıdo (b).

Para falar de distancias entre sımbolos a nocao de constelacao e essencial. Umaconstelacao e a representacao de um alfabeto complexo num plano complexo. Porexemplo o alfabeto A2 descrito acima encontra-se representado na fig.7.1(a). Serepresentarmos no mesmo plano as amostras recebidas Qk na presenca de ruıdo vamosobter uma serie de pontos sensivelmente em torno aos pontos do alfabeto formandoum conjunto de ”nuvens” como representado na fig. 7.1(b). As nuvens de pontosserao tanto mais concentradas quanto menor for a variancia do ruıdo e vice-versa.A nocao de distancia torna-se clara neste caso se pensarmos na distancia euclidianaentre os pontos do plano. Assim o decisor escolhera para cada amostra Qk o sımboloAk que minimiza

|Qk − Ak|2. (7.3)

Este decisor, baseado na distancia Euclidiana, coincide com o decisor chamado demaxima verosimilhanca e e o decisor optimo para ruıdo Gaussiano. De acordo com(7.3) o plano pode ser dividido em regioes de decisao. A imunidade de um determi-

75

nado alfabeto ao ruıdo de transmissao mede-se pela distancia mınima entre os pontosda constelacao: quanto maior for essa distancia minima maior sera a imunidade.

De acordo com a relacao (6.20) para um sequencia de sımbolos branca e de varianciaσ2

A, a potencia espectral escreve-se PA(ω) = σ2A, e a potencia espectral do sinal PAM

correspondente e

Ps(ω) =σ2

A

T|G(ω)|2. (7.4)

Assim a potencia total transmitida na banda de frequencias e dada por

P =1

2π

∫

ΩPs(ω)dω =

σ2A

Tσ2

g , (7.5)

onde

σ2g =

1

2π

∫

ΩG(ω)dω.

A potencia P para s(t) e a mesma que a do sinal x(t) em banda passante equivalentea s(t), que se escreve

x(t) =√

2Reejωcts(t), (7.6)

assim podemos finalmente escrever

P =1

Tσ2

Aσ2g , (7.7)

que demonstra que se a potencia transmitida P for limitada entao a potencia σ2A nao

podera exceder TP/σ2g . Esta restricao na potencia maxima transmissıvel impoe uma

restricao efectiva na distancia maxima para um dado alfabeto (ou constelacao).

A escolha de um alfabeto passa pela maximizacao da distancia entre sımboloscom uma potencia limitada. Portanto o problema pode ser recolocado como umaminimizacao da potencia dada uma distancia maxima entre sımbolos. Prova-se assimque a potencia e mınima quando a media do alfabeto e zero. Com efeito dado umdeterminado conjunto de sımbolos A = ai, o problema de achar o numero m talque

E[|A − m|2] =M∑

i=1

|ai − m|2pA(ai), (7.8)

seja mınimo e identico ao problema da busca do ”centro de massa” de um conjunto deM pontos onde a massa de cada um e pA(ai). Prova-se facilmente que a localizacaom que resolve o problema corresponde ao centro de gravidade (ou centroide) dadistribuicao. Portanto a melhor escolha e

m = E[A]. (7.9)

Exercıcio: demonstrar que (7.9) e o valor de m que minimiza (7.8).

76

Alguns tipos de constelacoes mais utilizados encontram-se representadas na fig.7.2. como exemplos: 16-QAM (a), constelacoes em cruz M=2 (b) e M=8 (c) e 8-PSK(d).

Figura 7.2: exemplos de constelacoes muito utilizadas: 16-QAM (a), constelacoesem cruz M=2 (b) e M=8 (c) e 8-PSK (d).

7.3 Codagem diferencial e DPSK

Todas estas constelacoes, e outras ainda mais complexas, tem geralmente um prob-lema pratico importante: e que sao invariantes por uma rotacao dos eixos (tipicamentemultiplos de π/2). Isto implica que mesmo que o nıvel da amostra seja estimadocorrectamente ele pode ser incorrectamente colocado na constelacao se esta estiverrodada de um multiplo do seu angulo de invariancia rotacional. O resultado e que, apartir daı todos os sımbolos serao erradamente descodificados.

77

Este problema e correntemente solucionado atraves de um outro metodo que toma onome de ”codagem diferencial” no qual a informacao se encontra a partir da mudancade posicao do sımbolo na constelacao e nao na posicao do sımbolo ela mesma. E umpouco a mesma coisa do que a activacao de um circuito quando de uma mudancade nıvel do que segundo o valor do nıvel. A codagem diferencial e hoje em diaamplamente utilizada em comunicacoes moveis juntamente com PSK e assim tomao nome de PSK diferencial ou DPSK. No caso de DPSK a informacao encontra-secontida na diferenca de fase entre sımbolos e nao na fase ela mesma de cada sımbolo,i.e., cada sımbolo Ak escreve-se

Ak = ejφk (7.10)

ondeφk = φk−1 + ∆k (7.11)

e e ∆k que contem a informacao. Existem duas formas de determinar a diferencade fase no sinal DPSK: uma coerente que necessita o conhecimento de uma fase dereferencia, e uma diferencial que apenas determina a diferenca de fase sem ter emconta o seu valor absoluto. Este segundo metodo e melhor quando podem existirsaltos de fase importantes de um simbolo para o proximo e evita de estimar o valorabsoluto da fase, porem tem uma desvantagem que e uma perda de cerca de 3 dB emrelacao sinal/ruıdo em relacao ao caso metodo coerente (mais informacao em [1], pp.222-223).

78

8. O receptor correlador optimo

Como ja tivemos oportunidade de referir o filtro receptor constitui o elemento centraldo sistema de comunicacao pois ele permite realizar duas tarefas essenciais:

• eliminar ou pelo menos diminuir a ISI a entrada do amostrador e do decisortrabalhando em conjunto com o filtro emissor e a definicao da funcao de pulso.

• aumentar a relacao sinal ruıdo a entrada do decisor e assim diminuir a proba-bilidade da escolha de um sımbolo errado.

Ja vimos igualmente que estas duas tarefas apesar de nao serem completamentecontraditorias necessitam o estabelecimento de um compromisso tendo em conta acomplexidade pratica dos sistema a implementar. O problema da equalizacao docanal de transmissao para a diminuicao da ISI vai ser deixado para a cadeira deComunicacoes Digitais. Aqui vamos apenas abordar a questao da maximizacao darelacao SNR a entrada do decisor assumindo que nao existe ISI e nesse caso vamosdeterminar qual o receptor optimo. Veremos entao que esse receptor optimo e oreceptor correlador ou filtro adaptado (matched filter).

8.1 Em banda base

A maximizacao da relacao sinal/ruıdo a saıda de um filtro e um problema classicoem teoria do sinal e pode ser transposto para o caso da recepcao de mensagensnum sistema de comunicacao considerando primeiramente que: o sistema se encontraem banda base (ou seu equivalente) e que apenas um sımbolo e transmitido, o quesignifica que nao existe ISI. O sinal recebido pode ser entao

y(t) = A0h(t) + n(t) (8.1)

onde A0 e o sımbolo transmitido, h(t) e a forma de pulso depois de passada no canale n(t) e o ruıdo suposto aditivo branco e Gaussiano. Neste caso o sinal a saıda dofiltro de recepcao de resposta impulsiva f(t) escreve-se

q(t) =∫ ∞

−∞y(τ)f(t − τ)dτ. (8.2)

O sinal q(t) encontra-se depois amostrado ao instante t = 0 (para retirar o sımboloA0) e entao

Q0 =∫ ∞

−∞y(τ)f(−τ)dτ. (8.3)

Substituindo agora (8.1) em (8.3) temos

Q0 = A0

∫ ∞

−∞h(τ)f(−τ)dτ +

∫ ∞

−∞n(τ)f(−τ)dτ, (8.4)

79

na qual o primeiro termo corresponde ao sinal e o segundo corresponde ao ruıdo.Intuitivamente o desempenho do nosso decisor sera tanto melhor quanto maior oprimeiro termo for em relacao ao segundo, i.e., quanto maior for a relacao SNR asaıda do filtro. Esta relacao SNR escreve-se

SNRout =energia sinal

energia ruido(8.5)

onde ambas as energias sao medidas a saıda do filtro. A energia do sinal Es e dadapela E[.] do primeiro termo da eq. (8.4), i.e.,

Es = σ2A|∫ ∞

−∞h(τ)f(−τ)dτ |2, (8.6)

enquanto a energia do ruıdo (suposto estacionario e ergodico), En, a saıda do filtro edada por

En = E[n20] =< n2

0 >=∫ ∞

−∞|F (f)|2Pn(f)df (8.7)

onde < . > indica media temporal e onde o ruıdo branco Pn(f) = cte = N0 e porisso, utilizando de novo o teorema de Parseval

En = N0

∫ ∞

−∞f 2(τ)dτ (8.8)

O problema agora e de determinar de forma unica o filtro f(t) que maximize

SNRout =σ2

A|∫ ∞

−∞h(τ)f(−τ)dτ |2

N0

∫ ∞

−∞f 2(τ)dτ

. (8.9)

A demonstracao mais simples passa pela utilizacao da desigualdade de Schwarzque diz que

|∫ b

ag1(x)g2(x)dx|2 ≤

[

∫ b

a|g1(x)|2dx

] [

∫ b

a|g2(x)|2dx

]

(8.10)

onde a igualdade so e verificada quando g2(x) = Kg1(x), K constante. Portanto,utilizando (8.10) no numerador de (8.9) chegamos a conclusao que o valor maximodo SNR e obtido quando

f(t) = Kh(−t). (8.11)

Este valor do filtro f(t) e chamado filtro adaptado ou matched filter. Mais, quandof(t) e o matched filter entao obtemos o valor maximo do SNR que e

SNRmax =σ2

Aσ2h

N0(8.12)

80

onde σ2h e a energia na funcao de pulso recebida

σ2h =

∫ ∞

−∞|h(t)|2dt. (8.13)

O matched filter tem como resposta impulsiva a forma do sinal de entrada revertidano tempo (time-reversal), h(−t) e a sua TF e H∗(ω) isto e o conjugado da formado sinal de entrada. Podemos assim perceber que a resposta do filtro adaptado”equaliza” exactamente a fase do sinal de entrada resultando numa saıda que e reale igual a |H(ω)|2. O valor do sinal de saıda do filtro adaptado escreve-se a partir de(8.3) como

Q0 =∫ ∞

−∞y(τ)h(τ)dτ. (8.14)

o que nao e mais do que o valor da funcao de correlacao entre a entrada e a forma depulso esperada para o instante t = 0. Por isso o filtro adaptado e por vezes tambemchamado receptor correlador.

Demonstramos que o filtro adaptado constitui o receptor optimo de um unicoimpulso em ruıdo branco e Gaussiano. Este resultado pode ser facilmente generalizadoao caso de uma sucessao de impulsos desde que nao exista ISI. Para que tal naoaconteca e necessario e suficiente que cada impulso h(t) do sinal recebido estejacontido num e so num intervalo de sımbolo.

8.2 Em banda passante

No caso do sinal PAM em banda passante um unico pulso recebido no receptor escreve-se

y(t) =√

2ReA0h(t)ejωct + n(t) (8.15)

onde agora o pulso recebido h(t) e o sımbolo A0 podem ser complexos. A demonstra-cao de que o correlador receptor ou matched filter maximizam o SNR a saıda do filtroreceptor segue exactamente os mesmos passos que no caso banda base mas onde os[.]2 foram alterados em |.|2 devido ao facto de h(t) ser agora uma funcao complexa.

Desafiamos o leitor a fazer essa demonstracao que resulta no evidente resultadoque o matched filter se escreve neste caso

f(t) = h∗(−t) (8.16)

81

ANEXOS

A.1. Transformada de Fourier do degrau unitario

O calculo da transformada de Fourier (TF) da funcao degrau unidade u(t) ultrapassalargamente o ambito desta disciplina, pois necessita o conhecimento de algumas fer-ramentas aplicaveis a funcoes generalizadas (ou distribuicoes) das quais o Dirac eum exemplo. Uma dessas ferramentas, necessaria neste caso, e a nocao de integrallimite de Cesaro. Quando um integral e divergente no sentido usual de Rieman e,nalguns casos praticos, possıvel obter convergencia, multiplicando a funcao integralpor um “factor de convergencia”, assim, no sentido de limite de Cesaro - indicadopelo sımbolo (C) antes do integral -

(C)∫ +∞

−∞g(t)dt = lim

b→0+

∫ +∞

−∞g(t)e−b|t|dt. (A.1.1)

No nosso caso, calcularemos o integral

∫ +∞

0sin(at)dt

no limite de Cesaro, atraves de

∫+∞0 sin(at)dt = lim

b→0+

∫ +∞

−∞sin(at)e−btdt

= limb→0

a

a2 + b2

=

1/a a 6= 00 a = 0

(A.1.2)

e escrever simplesmente∫ +∞

0sin(at)dt =

1

a. (A.1.3)

Voltemos agora ao caso da TF do Dirac, equacao (2.29),

TF[δ(t)] = 1 ⇒ TF−1[1] = δ(t)

e portanto

δ(t) =∫ +∞

−∞ej2πftdf =

∫ +∞

−∞cos(2πft)df + j

∫ +∞

−∞sin(2πft)df. (A.1.4)

Da mesma forma temos que

TF[1] =∫ ∞

−∞e−j2πftdt = δ(f) (A.1.5)

82

que se deduz de A.1.4 notando que f e uma simples variavel de integracao e fazendof → −f , obtendo o mesmo resultado dado que δ(f) = δ(−f) porque e uma funcaopar. Agora a partir de A.1.5 e como a funcao seno e impar, temos que

δ(f) = 2∫ +∞

0cos(2πft)dt. (A.1.6)

Estamos agora prontos para discutir o problema proposto, i.e.,

TF[u(t)] =∫ +∞

0e−j2πftdt, (A.1.7)

ou seja,

TF[u(t)] =∫ +∞

0cos(2πft)dt − j

∫ +∞

0sin(2πft)dt, (A.1.8)

utilizando (A.1.6) no primeiro termo de (A.1.8) e (A.1.3) no segundo podemos escre-ver

TF[u(t)] =1

2δ(f) − j

2πf, (A.1.9)

que e o resultado pretendido.

Ja agora, podemos determinar igualmente a relacao inversa, i.e.,

TF−1[u(f)] =∫ ∞

−∞u(f)ej2πftdf. (A.1.10)

Podemos escrever

TF−1[u(f)] =∫ ∞

−∞cos(2πft)df + j

∫ ∞

−∞sin(2πft)df (A.1.11)

e utilizando o mesmo argumento de que a funcao seno e impar e portanto o seu integralentre [−∞,∞] e zero em (A.1.4.) temos que de forma analoga ao caso directo

TF−1[u(f)] =δ(t)

2+

j

2πf(A.1.12)

83

A.2 Tabelas de Transformadas de Fourier

84

85

A.3 Relacoes Trigonometricas Usuais

sin2 x + cos2 x = 1 cos2 x =1 + cos 2x

2sin2 x =

1 − cos 2x

2

sin x =ejx − e−jx

2jcos x =

ejx + e−jx

2tanx =

ejx − e−jx

j(ejx + e−jx)

Adicao

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

tan(a + b) =tan a + tan b

1 − tan a tan btan(a − b) =

tan a − tan b

1 + tan a tan b

Multiplicacao

sin(2a) = 2 sin a cos a =2t

1 + t2

cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a =1 − t2

1 + t2

tan(2a) =2 tan a

1 − tan2 a=

2t

1 − t2comtana = t

cos a cos b =1

2[cos(a + b) + cos(a − b)] sin a sin b =

1

2[cos(a − b) − cos(a + b)]

sin a cos b =1

2[sin(a + b) + sin(a − b)]

cos p + cos q = 2 cosp + q

2cos

p − q

2cos p − cos q = −2 sin

p + q

2sin

p − q

2

sin p + sin q = 2 sinp + q

2cos

p − q

2sin p − sin q = 2 sin

p − q

2cos

p + q

2

tan p + tan q =sin(p + q)

cos p cos qtan p − tan q =

sin(p − q)

cos p cos q

Trigonometria Hiperbolica

cosh x + sinh x = exp(x) cosh x − sinh x = exp(−x) cosh2 x − sinh2 x = 1

86

sinh(a+ b) = sinh a cosh b+sinh b cosh a sinh(a− b) = sinh a cosh b− sinh b cosh a

cosh(a+b) = cosh a cosh b+sinh a sinh b cosh(a−b) = cosh a cosh b− sinh a sinh b

sinh 2a = 2 sinh a cosh a cosh 2a = cosh2 a sinh2 a = 1 + 2 sin2 a = 2 cosh2 a − 1

cosh2 a =1 + cosh 2a

2sinh2 a =

cosh 2a − 1

2tanh2 a =

cosh 2a − 1

cosh 2a + 1

tanh 2a =2 tanh a

1 + tanh2 a

sinh x =ex − e−x

2cosh =

ex + e−x

2tanh =

ex − e−x

ex + e−x

cosh jx = cos x sinh jx = j sin x tanh jx = j tanx

A.4 Desenvolvimentos em serie

sin x = x − x3

3!+ x5

5!+ . . . + (−1)n x2n+1

(2n+1)!+ x2n+1ε(x)

cos x = 1 − x2

2!+ x4

4!+ . . . + (−1)n x2n

(2n)!+ x2nε(x)

tan x = x − x3

3+ 2x5

15+ x5ε(x)

sinh x = x + x3

3!+ . . . + x2n−1

(2n−1)!+ x2n−1ε(x)

cosh x = 1 + x2

2!+ . . . + x2n

(2n)!+ x2nε(x)

tanh x = x − x3

3+ 2x5

15+ x5ε(x)

arcsin x = x + x3

6+ . . . + 1.3.5...(2n+1)

2.4.6...(2n)x2n+1

(2n+1)!− x2n+1ε(x)

arctan x = x − x3

3+ x5

5+ . . . + (−1)n x2n+1

(2n+1)!+ x2n+1ε(x)

sinh−1 x = x − x3

6+ . . . + (−1)n 1.3.5...(2n+1)

2.4.6...(2n)x2n+1

(2n+1)!+ x2n+1ε(x)

tanh−1 x = x + x3

3+ x5

5+ . . . + x2n+1

(2n+1)!+ x2n+1ε(x)

ex = 1 + x + x2

2!+ x3

3!+ . . . + xn

n!+ xnε(x)

log(1 + x) = x − x2

2+ x3

3+ . . . + (−1)n−1 xn

n+ xnε(x)

(1 + x)α = 1 + αx + α(α − 1)x2

2+ . . . + α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn

n+ xnε(x)

11−x

= 1 + x + x2 + . . . + xn + xnε(x)

87

11+x

= 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)nxn + xnε(x)

A.5 Algumas relacoes uteis

A.5.1 Integrais

∫∞0 e−ax2

dx = 12

√

πa

∫∞0 xe−ax2

dx = 12a

∫∞0 x2e−ax2

dx =√

π4a3/2

∫∞0 x3e−ax2

dx = 12a2

∫∞0 x4e−ax2

dx = 38a2

√

πa

A.5.2 Series

Geometrica: u1 + qu1 + q2u1 + . . . + qn−1u1 = u11−qn

1−q

Aritmetica: u1 + qu1 + 2qu1 + . . . + (n − 1)qu1 =

A.5.3 Derivadas

[af(x)]′ = log aaf(x)f ′(x)

A.5.4. Trigonometria do cırculo

0 π6

π4

π3

π2

sin x 0 1/2√

2/2√

3/2 1

cos x 1√

3/2√

2/2 1/2 0

tan x 0√

3/3 1√

3 ∞cot x ∞

√3 1

√3/3 0

88

Folhas de Exercıcios

TD1 Sinais determinısticos ITD2 Sinais determinısticos IITD3 Sinais estocasticos ITD4 Sinais estocasticos IITD5 Sinais estocasticos IIITD6 Modulacao e desmodulacao ITD7 Modulacao e desmodulacao IITD8 Modulacao PAM ITD9 Modulacao PAM II

89

Teorico-Praticas - Folha 1

Sinais determinısticos I

Exercıcio 1:

O sinal amostrado

x(t) = τx(t)∞∑

n=−∞δ(t − nτ), com τ < π/ωc

e reconstituido pelo seguinte filtro interpolador passa-baixo ideal

Hr(ω) = H0e−jt0ωpωc(ω)

onde pωc(ω) e uma funcao porta de largura 2ωc. Tendo em conta que o sinal x(t) ede banda limitada, i.e., X(ω) = 0 para |ω| > ωc, demonstre que a resposta do filtrointerpolador e

y(t) = H0x(t − t0)

Exercıcio 2:

Uma linha de atraso seguida de um integrador como indicado na figura e um exemplode um dispositivo que “retem” o valor de uma amostra em memoria e que pode servirpara reconstituir o sinal contınuo a partir de um sinal amostrado.

a) demonstre que a funcao do sistema e

H(jω) =Y (jω)

X(jω)= τ

sin(ωτ/2)

ωτ/2e−

jωτ2

b) demonstre graficamente o funcionamento deste circuito para um sinal de entradaamostrado com um intervalo de amostragem τ igual ao atraso da linha.

90

c) determine o espectro Y (f) do sinal de saıda em funcao do espectro inicial X(f).Note que

x(t) = x(t)∑

n

δ(t − nτ)

Exercıcio 3:

Dado um sinal contınuo e periodico de perıodo T0 tal que

x(t) =∞∑

n=∞Cne

jnω0t

a) calcular a sua TF

b) aplicar ao calculo da TF de um ”trem de Diracs” Θ(f)

γ(t) =∞∑

k=−∞δ(t − kT )

Exercıcio 4:

Demonstre que se um sistema de resposta impulsiva complexa tem uma entrada realele pode ser representado por dois sistemas de resposta impulsiva real. Faca umesboco desse sistema. Demonstre que o mesmo se aplica a um sistema real com umaentrada complexa.

Exercıcio 5:

a) demonstre que um sistema complexo pode ser representado por quatro sistemareais.

b) demonstre que se os quatro sistemas reais que representam um sistema complexoforem lineares o sistema complexo tambem e linear.

Exercıcio 6:

Dada a representacao de um sinal amostrado x(t) funcao de uma soma de impulsosmodulados em amplitude, demonstre que

X(f) = TF[x(t)] = TF[x(k)]

91

Teorico-Praticas - Folha 2

Sinais determinısticos II

Exercıcio 1:

Um sistema ”phase spliter” e tal que a sua resposta em frequencia se escreve

Φ(ω) =

1, ω ≥ 00, ω < 0

demonstre que a resposta do sistema ”phase splitter” a um sinal real x(t) e

y(t) =1

2x(t) + jx(t)

onde x(t) = H[x(t)] e a transformada de Hilbert de x(t).

Exercıcio 2:

Considere o esquema de blocos da figura 1, onde y(t) e um sinal passa banda como seu espectro centrado em ωc e φ(t) e a resposta impulsiva de um ”phase splitter”indicado no exercıcio 1.

a) demonstre que o sinal de saıda u(t) e um sinal passa baixo que se escreve

u(t) =1√2y(t) + jy(t)e−jωct

b) demonstre que u(t) e y(t) tem a mesma energia devido ao coeficiente√

2.

Exercıcio 3:

Atendendo a que H[x(t)] = x(t) demonstre que

H[x(t)] = −x(t)

92

Exercıcio 4:

Considerando o sinalx(t) = cos(ω0t)

a) calcule a transformada de Hilbert x(t)

b) calcule H[x(t)]. Verifique o resultado do exercıcio anterior.

Exercıcio 5:

a) calcule a transformada de Hilbert x(t) de

x(t) =1

1 + t2

b) faca um esboco de x(t) e x(t)

Exercıcio 6:

Considere o espectro de um sistema realizavel h(t)

H(ω) = R(ω) + jX(ω)

comR(ω) = πδ(ω)

Determine a parte imaginaria X(ω)

93

Teorico-Praticas - Folha 3

Sinais estocasticos I

Exercıcio 1:

Considere uma VA X, gaussiana de funcao densidade de probabilidade (FDP)

p(x) =1√

2πσ2exp −(x − m)2

2σ2

com os parametros m = 0 e σ2 = 1. Demonstre que

a) o integral de p(x) e igual a 1

b) a sua variancia e tambem igual a 1.

c) a sua funcao caracterıstica ΦX(u) e

log ΦX(u) = jmu +σ2u2

2

Exercıcio 2:

Ao resultado da experiencia de jogar uma moeda ao ar associamos uma VA discretaX. Esta VA discreta so toma um numero finito de valores, neste caso igual a dois:“cara” ou “coroa”. A acontecimento de obter coroa associamos a probabilidade p,Pr(ω =′ coroa′|X = 0) = p, assim Pr(ω =′ cara′|X = 1) = 1 − p = q.

a) qual a esperanca matematica E[X] ? E o momento de ordem k, E[Xk] ?

b) calcular a variancia V [X].

c) demonstrar que a funcao caracterıstica da VA X, φX(u) se escreve

φX(u) = 1 + q[exp(ju) − 1]

Exercıcio 3:

Uma VA discreta X segundo a distribuicao de Poisson toma os valores inteiros0, 1, 2, . . . com as probabilidades,

pk = Pr(X = k) =mk

k!exp(−m) (1)

94

a) demonstrar que o momento de ordem 1, m1 = m.

b) demonstrar que o momento de ordem 2, σ2 = m.

c) calcular as probabilidades

P+ = Pr(X = numero par)

eP− = Pr(X = numero impar)

sabendo que, obviamente, P+ + P− = 1.

d) calcular a funcao caracterıstica de X, φX(u) com a distribuicao de Poisson (1).

Exercıcio 4:

Demonstrar que para uma VA Gaussiana X de media µ e variancia σ2 temos

Pr[X > x] = Q(

x − µ

σ

)

Exercıcio 5:

Considere uma combinacao linear arbitraria de N VA’s Gaussianas Xi, independentes,de media zero e variancia σ2,

Z = a1X1 + . . . + aNXN

Utilizando a funcao caracterıstica demonstre que Z e tambem Gaussiana de medianula e de variancia

σ2Z = (a2

1 + . . . + a2N)σ2

95

Teorico-Praticas - Folha 4

Sinais estocasticos II

Exercıcio 1:

Demonstre que um processo estocastico branco e estacionario Xk, filtrado por umfiltro de reposta impulsiva hk ja nao e branco mas contınua a ser estacionario.

Exercıcio 2:

A densidade de probabilidade de Cauchy e

p(x) =a/π

x2 + a2−∞ < x < ∞ (1)

a) determine a media e a variancia de X

b) determine a funcao caracterıstica de X

Exercıcio 3:

Uma VA Y e definida por

Y =1

n

n∑

i=1

Xi

onde Xi; i = 1, . . . , n e um conjunto de n VA’s estatısticamente independentes eindenticamente distribuidas segundo a distribuicao de Cauchy (1).

a) determine a funcao caracterıstica de Y

b) detemine a densidade de probabilidade de Y

c) considere a densidade de probabilidade de Y quando n → ∞. O teorema do limitecentral verifica-se ? Justifique a sua resposta.

96

Teorico-Praticas - Folha 5

Sinais estocasticos III

Exercıcio 1:

Considere um processo estocastico com a seguinte forma

X(t) =∞∑

n=−∞ang(t − nT )

onde an e uma sequencia discreta de variaveis aleatorias de media mn = E[an] efuncao de autocorrelacao

raa(k) =1

2E[ana∗

n+k],

que representa a mensagem a transmitir e g(t) e um sinal determinıstico que repre-senta a funcao de pulso.

Calcule

a) a media do processo X(t)

b) a funcao de autocorrelacao de X(t), rxx(t + τ, t)

c) demonstre que X(t) e um processo cicloestacionario

d) para ma = 0, raa(k) = σ2a

2δ(k) e

g(t) =

cos(ω0t), −T/2 ≤ t ≤ T/2, ω0 = π/T0, outro t

determine rxx(t + τ, t).

e) nas mesmas condicoes que em d) determine a funcao de autocorrelacao media doprocesso X(t)

rxx(τ) =1

T

∫ T/2

−T/2rxx(t + τ, t)dt

f) a partir de rxx(τ) calculada em e) determine a densidade espectral media depotencia, Pxx(f) = TF[rxx(τ)].

97

Exercıcio 2:

Considere um processo estocastico de media nula e estacionario X(t) com a densidadeespectral de potencia

Pxx(f) =

1, |f | ≤ W0, |f | > W

O processo X(t) e amostrado a uma taxa 1/T para obter um processo discreto X(n) =X(nT ) determine:

a) a expressao da funcao de autocorrelacao de X(n)

b) o valor mınimo de T que resulta numa sequencia branca e constante na frequencia

c) repita b) para uma densidade espectral de potencia de X(t)

Pxx(f) =

1 − |f |/W, |f | ≤ W0, |f | > W

Exercıcio 3:

A funcao de autocorrelacao de um processo estocastico de ruıdo branco X(t) e

rxx(τ) =1

2N0δ(τ)

Supondo que x(t) e o sinal de entrada de um sistema tendo como reposta em frequencia

|H(f)| =

1, −B/2 ≤ |f − fc| ≤ B/20, outro valor de f

Determine a potencia total de ruıdo a saıda do filtro.

98

Teorico-Praticas - Folha 6

Modulacao e desmodulacao I

Exercıcio 1:

Considere o seguinte sinal modulador

m(t) =

sinc(100t), |t| ≤ t00, outro t

com t0 = 0.1. Este sinal modula uma portadora de frequencia fc = 250 Hz emAM-SC.

a) represente graficamente o sinal modulador m(t)

b) calcule o sinal modulado u(t)

c) determine e represente graficamente os espectros de m(t) e de u(t).

d) determinar a potencia do sinal modulador e do sinal modulado

Exercıcio 2:

Utilizando o mesmo sinal modulador do exercıcio anterior determinar:

a) a tranformada de Hilbert do sinal modulador m(t) no domınio da frequencia

b) o sinal u(t) modulado em AM-LSSB e o seu espectro.

c) a potencia do sinal modulador e do sinal modulado.

99

Teorico-Praticas - Folha 7

Modulacao e desmodulacao II

Exercıcio 1:

Seja vi(t) e vq(t) dois sinais passa baixo numa banda W < fc, com energias Ei

e Eq respectivamente. Utilize a generalizacao do teorema de Parseval (equacao deRayleigh)

∫ ∞

−∞v(t)w∗(t)dt =

∫ ∞

−∞V (f)W ∗(f)df

para demonstrar que

a)∫∞−∞ vbp(t)dt = 0 onde o sinal passa banda

vbp(t) = vi(t) cos(ωct) − Vq(t) sin(ωct)

e que

b) a energia do sinal passa banda e igual a (Ei + Eq)/2

Exercıcio 2:

Considere o sinal modulador x(t) = cos(2πfct)u(t). Represente graficamente o sinalmodulado no tempo xc(t) e na frequencia Xc(f) para

a) uma modulacao AM com a = 1

b) uma modulacao AM com a > 1

c) uma modulacao DSB

Exercıcio 3:

Provar que para o sinal modulado

xc(t) = Ac[1 + ax(t)] cos(ωct + φ)

onde x(t) e um sinal aleatorio ergodico de media nula e φ e uma variavel aleatoriade fase, independente de x(t) e uniformemente distribuida em [0, 2π] a energia mediaescreve-se

E[x2c(t)] =

1

2A2

c(1 + a2Sx)

onde Sx = E[x2(t)].

100

Teorico-Praticas - Folha 8

Modulacao PAM I

Exercıcio 1:

Considere um processo estocastico Z(t), definido por

Z(t) = S(t)ejωct

onde S(t) e um processo estocasticos estacionario. Demonstre que se E[S(t)] = 0entao Z(t) e tambem estacionario e que as funcoes de correlacao sao ligadas por

RZ(τ) = RS(τ)ejωct

Determine igualmente o espectro PZ(ω) de Z(t).

Exercıcio 2:

Demonstre que Z(t) e Z∗(t) (do exercıcio anterior) sao conjuntamente estacionariosse e so se

RSS∗(τ) = 0

Demonstre ainda que esta mesma condicao implica tambem que

RZZ∗(τ) = 0

Exercıcio 3:

Considerando o sinal estocastico complexo S(t) = R(t) + jI(t), demonstre queRSS∗(τ) = 0 implica

RR(τ) = RI(τ)

e queRRI(τ) = −RIR(τ) = −RRI(τ)

Exercıcio 4:

O equivalente em banda base de um sinal PAM passa banda pode-se escrever

S(t) =∞∑

k=−∞Akh(t − kT + Θ)

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onde h(t) pode ser complexo e Θ e um termo de fase aleatorio. Considerando que Ak

e uma sequencia aleatoria estacionaria e independente de Θ, demonstre que

a) uma condicao suficiente para que RSS∗(τ) = 0 e que

E[AkAm] = 0 (1)

b) que para que (1) seja satisfeita e suficiente que as partes real e imaginaria de Ak

tenham a mesma funcao de autocorrelacao e que seja descorreladas uma da outra.

Exercıcio 5:

Seja

X(t) =√

2ReZ(t) =1√2[Z(t) + z∗(t)]

a) demonstre que X(t) e estacionario se e so se S(t) tiver media nula, for tambemestacionario e tal que

RSS∗(τ) = 0

b) demonstre tambem que sob as condicoes enumeradas em a) a funcao de autocor-relacao de X(t) se escreve

RX(τ) = ReRZ(τ) = ReejωcτRS(τ)

c) calcule a densidade espectral de X(t).

102

Teorico-Praticas - Folha 9

Modulacao PAM II

Exercıcio 1:

Considere um sistema PAM em banda base que utiliza impulsos raised cosine. Fazendoa hipotese de que a sequencia a transmitir e branca e normalizada de forma que oseu espectro se escreve

SA(ω) = 1

demonstre que a potencia transmitida e independente de T para qualquer valor dofactor de rool-off α.

Exercıcio 2:

Considere um canal limitado a |ω/2π| ≤ 1500 Hz. Qual e o valor maximo da symbolrate que pode ser atingida nesse canal para um excesso de banda de 50o filtro derecepcao e do tipo passa-baixo e que nao existe ISI.

Exercıcio 3:

Considere o seguinte sinal PAM em banda base

u(t) =∑

n

[ang(t − 2nT ) − jbng(t − 2nT − T )

onde an e bn sao duas sequencias aleatorias estatisticamente independentes e afuncao de pulso g(t) e

g(t) =

sin(πt/2T ), 0 < t < 2T0, outro t

No sinal u(t) as sequencias an e bn sao transmitidas a velocidade 1/2T bits/senquanto u(t) e transmitido a 1/T bits/s.

a) demonstre que o envelope |u(t)| e constante independentemente de an e de bn.

b) determine a densidade espectral de u(t)

Exercıcio 4:

Considere um sinal 4-PSK definido pelo seu equivalente banda base

u(t) =∑

n

Ing(t − nT )

103

onde In toma um dos valores entre quatro possıveis 1/√

2(±1,±j) com igual prob-abilidade. A sequencia resultante e branca.

a) calcule e represente a densidade espectral de u(t) quando

g(t) =

A, 0 ≤ t ≤ T0, outro t

b) repita a) com

g(t) =

A sin(πt/T ), 0 ≤ t ≤ T0, outro t

c) compare os espectros obtidos em a) e b) em termos de largura de banda a -3 dBe largura de banda no primeiro zero.

104

Bibliografia

Digital Communication, Edward A. Lee and David G. Messerschmitt, Sec. Edition,Kluwer Academic Publishers, 1994.

Communication Systems, A. Bruce Carlson, McGrawHill.

Information Transmission, Modulation and Noise, M. Schwartz, McGrawHill.

Sistemas de Comunicacao, B.P. Lathi, Editora Guanabara.

105

Metodo de avaliacao

1. Controlo contınuo

• Teste escrito (TE) : teste escrito em data a marcar.

• Teorico-praticas (TP1,TP2) : avaliacao do conhecimento dos exercıcios propos-tos em mini-teste surpresa durante as aulas teorico-praticas.

A nota de controle contınuo (CC) sera a media aritmetica de 2×TE, TP1 e TP2

CC =2TE + TP1 + TP2

4

• Se CC ≥ 10 valores, o aluno esta dispensado do exame.

• Se 4 ≤ CC ≤ 10, o aluno vai a exame.

• Se CC < 4 o aluno poder-se-a apresentar ao exame de recurso.

2. Exame

A nota final (NF) da disciplina sera a nota do CC no caso de dispensa ao exame oupara os alunos que vao a exame

NE = EE

onde EE e a nota obtida no exame.

• Se NE for ≥ 10 o aluno esta aprovado e NF=NE.

• Se NE < 8 o aluno esta reprovado e NF=NE.

• Se 8 ≤ NE < 10 o aluno podera passar uma prova oral na qual sera atribuida umanota (NO) e assim a nota final sera NF=(NE+NO)/2.

3. Melhorias

O aluno aprovado no controle contınuo ou no exame de primeira epoca poderainscrever-se para melhoria de nota no exame de recurso.

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4. Recurso

So se poderao matricular na epoca de recurso os alunos que se tenham apresentadopelo menos a um momento de avaliacao (TE, TP, P ou exame).

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