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EEngineering Mathematics IIngineering Mathematics II
Prof. Dr. Yong-Su Na g(32-206, Tel. 880-7204)
Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,
9th Edition, Wiley (2006)
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Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Integral TheoremsIntegral Theorems
10.1 Line Integrals
10.2 Path Independence of Line Integralsp g
10.3 Calculus Review: Double Integrals
10 4 Green’s Theorem in the Plane10.4 Green s Theorem in the Plane
10.5 Surfaces for Surface Integrals
10.6 Surface Integrals
10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss
10.8 Further Applications of the Divergence Theorem
10.9 Stokes’s Theorem10.9 Stokes s Theorem
2
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Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. Integral TheoremsIntegral Theorems
10.1 Line Integrals
10.2 Path Independence of Line Integralsp g
10.3 Calculus Review: Double Integrals
10 4 Green’s Theorem in the Plane10.4 Green s Theorem in the Plane
10.5 Surfaces for Surface Integrals
10.6 Surface Integrals
10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss
10.8 Further Applications of the Divergence Theorem
10.9 Stokes’s Theorem10.9 Stokes s Theorem
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Ch. 10 Vector Integral Calculus. Ch. 10 Vector Integral Calculus. ggIntegral TheoremsIntegral Theorems((벡터적분법벡터적분법. . 적분정리적분정리))
적분을 곡선(선적분), 면(면적분), 고체에 대한 적분으로 확장
((벡터적분법벡터적분법. . 적분정리적분정리))
적분을 곡선(선적분), 면(면적분), 체에 대한 적분 확장
: 고체역학, 유체흐름, 열역학에서 공학적 기본 응용으로 활용
적분의 변환은 계산을 간단히 하거나, 유용한 일반적인 공식을얻기 위해 수행
예. 퍼텐셜 이론(Potential Theory)
적분변환 공식
: Green의 공식, Gauss 공식, Stokes 공식
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))
선적분의 개념: 미적분학에서 공부한 정적분의 간단한 일반화
• 선적분(Line Integral) 또는 곡선적분(Curve Integral)
: 피적분함수(Integrand)를 공간(혹은 평면)내의 곡선을 따라 적분.
• 적분경로(Path of Integration) : 곡선• 적분경로(Path of Integration) : 곡선
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )btatztytxt, zt, ytxtC ≤≤++== : kjir
일반적인 가정
: 선적분의 모든 적분경로를 구분적으로 매끄럽다(Piecewise Smooth)
선적분의 정의와 계산
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dtddtttdtC:
b
aC
rrrrFrrFrFr =•=• ∫∫ ' ' : 선적분 의벡터함수 에서 곡선
b
( ) ( ) ( )∫∫∫ ++=++=•aCC
dtzFyFxFdzFdyFdxFd ''' 321321rrF
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))Ex.1 평면에서 선적분의 계산
( ) [ ] 구하라.값을선적분의때원호일까지의에서가이고 BACxyyxyy jirF −−=−−= ,( ) [ ] 구하라.값을선적분의 때 원호일까지의에서가이고 BACxyyxyy jirF ,
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))Ex.1 평면에서 선적분의 계산
( ) [ ] 구하라.값을선적분의때원호일까지의에서가이고 BACxyyxyy jirF −−=−−= ,( ) [ ] 구하라.값을선적분의 때 원호일까지의에서가이고 BACxyyxyy jirF ,
( ) [ ] ( )( ) ( ) sincos
2/0sincossincos==⇒
≤≤+==ttyttx
πt, tttt, tC jir 표현 로 를
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ] ii'
sincossin sin ,cos
+
−−=−−=⇒==⇒
ttttt
ttttytxtytttyttx
ji
jijirF
( ) [ ]
( ) [ ] [ ]cossinsincossin
cossincossin'2
0
−•−−=•⇒
+−=−=
∫∫π
dttt, ttt, d
tttt, t
C
rrF
jir
( ) ( ) ( ) 4521.0310
42cos1
21sincossin
0
1
22
0
2
0
22 ≈−−=−−−=−= ∫∫∫π
ππ
duudttdtttt
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))Ex.1 평면에서 선적분의 계산
( ) [ ] 구하라.값을선적분의때원호일까지의에서가이고 BACxyyxyy jirF −−=−−= ,( ) [ ] 구하라.값을선적분의 때 원호일까지의에서가이고 BACxyyxyy jirF ,
( ) [ ] ( )( ) ( ) sincos
2/0sincossincos==⇒
≤≤+==ttyttx
πt, tttt, tC jir 표현 로 를
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ] ii'
sincossin sin ,cos
+
−−=−−=⇒==⇒
ttttt
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ji
jijirF
( ) [ ]
( ) [ ] [ ]cossinsincossin
cossincossin'2
0
−•−−=•⇒
+−=−=
∫∫π
dttt, ttt, d
tttt, t
C
rrF
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( ) ( ) ( ) 4521.0310
42cos1
21sincossin
0
1
22
0
2
0
22 ≈−−=−−−=−= ∫∫∫π
ππ
duudttdtttt
Example 2
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))
선적분의 일반적인 성질
( )∫∫ •=• CC
kdkdk rFrF 상수 는
( )
∫∫∫
∫∫∫
+
•+•=•+CCC
ddd
ddd
FFF
rGrFrGF
∫∫∫ •+•=•21 CCC
ddd rFrFrF
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))
Ex.3 변하는 힘에 의해 행하여진 일
•
• ( ) 변위에서 따른 현을 작은 의 는 일 행해진 때, 변할 가 힘 변위에서 따르는 를 곡선
이다. 일 의한 에 힘 일정한 변위에서 따른 를 직선분
CWFtC:
dFWFd
r
•=
• 같다. 것과 정하는 를 선적분으로
있다. 수 정의할 극한으로 합의 일의 행해진
W
Ex.4 행해진 일은 운동에너지에서 증가와 같다.
( )( ) ( )b
dtdt =
∫∫
vrF 속도이다. 는 하면 시간이라 를 일이다. 선적분은 힘이면 가
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )btbb
aC
mdtmdttt'mWt'mt''mNewton
dtttdW
=
=⎟⎞
⎜⎛ •
=•=⇒==⇒
•=•=
∫∫
∫∫
2' vvvvvvrF
vrFrF
제2법칙의 ( ) ( ) ( ) ( )ataa
dtmdtttmWtmtmNewton=
=⎟⎠
⎜⎝
=•=⇒==⇒ ∫∫ 22 vvvvrF 제2법칙 의
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))
Ex.3 변하는 힘에 의해 행하여진 일
•
• ( ) 변위에서 따른 현을 작은 의 는 일 행해진 때, 변할 가 힘 변위에서 따르는 를 곡선
이다. 일 의한 에 힘 일정한 변위에서 따른 를 직선분
CWFtC:
dFWFd
r
•=
• 같다. 것과 정하는 를 선적분으로
있다. 수 정의할 극한으로 합의 일의 행해진
W
Ex.4 행해진 일은 운동에너지에서 증가와 같다.
( )( ) ( )b
dtdt =
∫∫
vrF 속도이다. 는 하면 시간이라 를 일이다. 선적분은 힘이면 가
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )btbb
aC
mdtmdttt'mWt'mt''mNewton
dtttdW
=
=⎟⎞
⎜⎛ •
=•=⇒==⇒
•=•=
∫∫
∫∫
2' vvvvvvrF
vrFrF
제2법칙의 ( ) ( ) ( ) ( )ataa
dtmdtttmWtmtmNewton=
=⎟⎠
⎜⎝
=•=⇒==⇒ ∫∫ 22 vvvvrF 제2법칙 의
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))선적분의 다른 형식
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫bb
선적분벡터인값이 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫ ==aaC
dttFtFtFdttdt rrrrFrF 321 , ,:선적분 벡터인 값이
Ex.5 ( ) [ ] .적분하라 를 따라서 나선을 xy, yz,z=rF
( )( ) [ ]22
0
222
0
6 ,6 ,023 ,cos3sin3 ,cos
21 ππ
ππ
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−=∫ tttttdttrF
경로 관련성
선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이
취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.
Ex.6 ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] .000010 22211 적분해보자 를 취해서 을 포물선 과 직선 에서 , xy, , t, tt:Ct, t, t:Ct ===≤≤ Frr
( )( ) ( ) ( )∫ =•⇒=•31 ' 11
211 dttt rrFrrF ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )∫
∫
=•⇒=•2
1
52 2'
3
224
22
1111
C
C
dttt rrFrrF
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))선적분의 다른 형식
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫bb
선적분벡터인값이 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫ ==aaC
dttFtFtFdttdt rrrrFrF 321 , ,:선적분 벡터인 값이
Ex.5 ( ) [ ] .적분하라 를 따라서 나선을 xy, yz,z=rF
( )( )( )( )
( )( ) [ ]22
0
222
0
6 ,6 ,023 ,cos3sin3 ,cos
21
]3,sin3,sin[cos
ππππ
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−=
=
∫ tttttdtt
tttttt
rF
rF
경로 관련성
선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이
취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.
Ex.6 ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] .000010 22211 적분해보자 를 취해서 을 포물선 과 직선 에서 , xy, , t, tt:Ct, t, t:Ct ===≤≤ Frr
( )( ) ( ) ( )∫ =•⇒=•31 ' 11
211 dttt rrFrrF ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )∫
∫
=•⇒=•2
1
52 2'
3
224
22
1111
C
C
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))선적분의 다른 형식
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫bb
선적분벡터인값이 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫ ==aaC
dttFtFtFdttdt rrrrFrF 321 , ,:선적분 벡터인 값이
Ex.5 ( ) [ ] .적분하라 를 따라서 나선을 xy, yz,z=rF
( )( )( )( )
( )( ) [ ]22
0
222
0
6 ,6 ,023 ,cos3sin3 ,cos
21
]3,sin3,sin[cos
ππππ
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−=
=
∫ tttttdtt
tttttt
rF
rF
경로 관련성
선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이
취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.
Ex.6 ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] .000010 22211 적분해보자 를 취해서 을 포물선 과 직선 에서 , xy, , t, tt:Ct, t, t:Ct ===≤≤ Frr
1( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )∫
∫
=•⇒=•
=•⇒=•1
52 2'
31 '
224
22
112
11C
dttt
dttt
rrFrrF
rrFrrF
( )( ) ( ) ( )∫2
52222C
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))선적분의 다른 형식
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫bb
선적분벡터인값이 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫ ==aaC
dttFtFtFdttdt rrrrFrF 321 , ,:선적분 벡터인 값이
Ex.5 ( ) [ ] .적분하라 를 따라서 나선을 xy, yz,z=rF
( )( )( )( )
( )( ) [ ]22
0
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0
6 ,6 ,023 ,cos3sin3 ,cos
21
]3,sin3,sin[cos
ππππ
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−=
=
∫ tttttdtt
tttttt
rF
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경로 관련성
선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이
취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.
Ex.6 ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] .000010 22211 적분해보자 를 취해서 을 포물선 과 직선 에서 , xy, , t, tt:Ct, t, t:Ct ===≤≤ Frr
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )∫
∫
=•⇒=•
=•⇒=•1
22'
31 '
4
112
11C
dttt
dttt
rrFrrF
rrFrrF
( )( ) ( ) ( )∫ =•⇒=•2
5 2 2222
C
dttt rrFrrF
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1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))선적분의 다른 형식
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫bb
선적분벡터인값이 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]∫∫∫ ==aaC
dttFtFtFdttdt rrrrFrF 321 , ,:선적분 벡터인 값이
Ex.5 ( ) [ ] .적분하라 를 따라서 나선을 xy, yz,z=rF
( )( )( )( )
( )( ) [ ]22
0
222
0
6 ,6 ,023 ,cos3sin3 ,cos
21
]3,sin3,sin[cos
ππππ
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−=
=
∫ tttttdtt
tttttt
rF
rF
경로 관련성
선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이
취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.
Ex.6 ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] .000010 22211 적분해보자 를 취해서 을 포물선 과 직선 에서 , xy, , t, tt:Ct, t, t:Ct ===≤≤ Frr
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )∫
∫
=•⇒=•
=•⇒=•1
22'
31 '
4
112
11C
dttt
dttt
rrFrrF
rrFrrF
( )( ) ( ) ( )∫ =•⇒=•2
5 2 2222
C
dttt rrFrrF
![Page 17: Engineering Mathematics IIocw.snu.ac.kr/sites/default/files/NOTE/4333.pdf · 2018-01-30 · Engineering Mathematics II Prof. Dr. Yong-Su Na (32-206, Tel. 880-7204) Text book: Erwin](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022070907/5f7b0d7db5f6f214f428b398/html5/thumbnails/17.jpg)
1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))1010.1 Line Integrals .1 Line Integrals ((선적분선적분))
PROBLEM SET 10.1
HW 10 18 19 20HW: 10, 18, 19, 20
17
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
경로 무관성
• [ ]= 321321 f, F, FF, F, FFD F 의 함수 어떤 가 만약 선적분은 연속인 가 에서 영역 공간의
( ) ( ) ( )∫ −=++⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=∂∂
=∂∂
==B
321321 , , grad
.
AfBfdzFdyFdxFfFfFfFfF
무관하다 경로에 영역에서 기울기이면
•
•
( ) ( ) ( )∫⎟⎠
⎜⎝ ∂∂∂ 321321 ,,g
A
ffyzyx
f
경로무관하다. 에서 영역 적분은이면, 적분값이 선적분의 곡선에서 닫힌 모든 의 영역 DD 0
를계수함수연속적인에서영역가미분형식 FFFDdzFdyFdxFd ++=• rF
완전(E t)
무관하다. 경로 에서 영역 선적분은 완전하면, 가지고
를,,계수함수연속적인에서영역가 미분형식
D
FFFDdzFdyFdxFd 321321 ++=• rF
완전(Exact)
성립 관계가 의 존재하여 가 함수 미분가능한 곳에서 모든 의 영역 dfdfD =• rF
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
Ex.1 경로 무관성
( )422 보이고 무관함을 경로 임의영역에서 가 적분 zdzydyxdxC∫ ++
( ) ( ) .222000 구하라 적분값을 까지 에서 , , B:, , A:
C
[ ] 2 4 ,2 ,2 gradz4 ,22 222321 ++=⇒==
∂∂
==∂∂
==∂∂
⇒== zyxfFzzfFy
yfFx
xffyx, F
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 168440 ,0 ,02 ,2 ,2422 =++=−=−=++
∴
∫ ffAfBfzdzydyxdxC
무관하다. 경로와 적분은
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
Ex.1 경로 무관성
( )422 보이고 무관함을 경로 임의영역에서 가 적분 zdzydyxdxC∫ ++
( ) ( ) .222000 구하라 적분값을 까지 에서 , , B:, , A:
C
[ ] 2 4 ,2 ,2 gradz4 ,22 222321 ++=⇒==
∂∂
==∂∂
==∂∂
⇒== zyxfFzzfFy
yfFx
xffyx, F
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 168440 ,0 ,02 ,2 ,2422 =++=−=−=++
∴
∫ ffAfBfzdzydyxdxC
무관하다. 경로와 적분은
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals
완전성과 경로 무관성에 대한 판별기준
pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
완전성과 경로 무관성에 대한 판별기준
( ) ( ) 321 에서선적분 dzFdyFdxFdCC∫∫ ++=• rrF
•
.321 하자 가진다고 일차편미분도함수를 연속적인 연속적이고, 에서 영역 가, F, FF
++=• dzFdyFdxFd 321 완전이 미분형식 rF
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
=⇒yF
xF,
xF
zF,
zF
yF
y
123123
321
curl 즉,
이미 형식
0F
•
무관하다경로선적분은
완전 은단순연결 가 성립하고 이 curl 321
⇒
++=•⇒= dzFdyFdxFdD rF0F
무관하다.경로 선적분은 ⇒
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
A sphere is simply connected because every loop can be contracted (on the surface) to a point.
A torus is not simply connected. Neither of the colored loops can be contracted to a point without leavingcontracted to a point without leavingthe surface.
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals
Ex.3 완전성과 경로 무관성. 퍼텐셜 결정
pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
적분기호 내의 미분형식이 완전함을 보여라.
( ) ( )[ ]dzyzyyzxdyyzzzxdxxyzIC
cos2cos2 2222∫ ++++=
( ) ( ) 구하라. 값을 의 적분 까지의 에서 그리고
된다. 무관하게 경로완전하며, 적분은
I, π, B:, , A: 241000
이
완전성 :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxxzzy FxzFFxyzFFyzyzyzzxF 12
23122
3 2 ,4 ,sincos2 =====−+=
f 구하기를
( ) ( ) ,sincos
22222 ++=+== ∫∫ zxgyzyzxdyyzzzxdyFf
f 구하기 를
( )
0' cos2'cos2
0 22
23
2
21
2
=⇒=⇒+==++=
=⇒=⇒==+=⇒
hhyzyyzxFhyzyyzxf
zhggxyzFgxyzf
z
xxx
상수
( ) ( ) 102
sin44
1 ,sin 22 +=−+⋅⋅=−+=∴ πππAfB fyzyzxf
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals
Ex.3 완전성과 경로 무관성. 퍼텐셜 결정
pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
적분기호 내의 미분형식이 완전함을 보여라.
( ) ( )[ ]dzyzyyzxdyyzzzxdxxyzIC
cos2cos2 2222∫ ++++=
( ) ( ) 구하라. 값을 의 적분 까지의 에서 그리고
된다. 무관하게 경로완전하며, 적분은
I, π, B:, , A: 241000
이
완전성 :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxxzzy FxzFFxyzFFyzyzyzzxF 12
23122
3 2 ,4 ,sincos2 =====−+=
f 구하기를
( ) ( ) ,sincos
22222 ++=+== ∫∫ zxgyzyzxdyyzzzxdyFf
f 구하기 를
( )
0' cos2'cos2
0 22
23
2
21
2
=⇒=⇒+==++=
=⇒=⇒==+=⇒
hhyzyyzxFhyzyyzxf
zhggxyzFgxyzf
z
xxx
상수
( ) ( ) 102
sin44
1 ,sin 22 +=−+⋅⋅=−+=∴ πππAfB fyzyzxf
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals
Ex.3 완전성과 경로 무관성. 퍼텐셜 결정
pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
적분기호 내의 미분형식이 완전함을 보여라.
( ) ( )[ ]dzyzyyzxdyyzzzxdxxyzIC
cos2cos2 2222∫ ++++=
( ) ( ) 구하라. 값을 의 적분 까지의 에서 그리고
된다. 무관하게 경로완전하며, 적분은
I, π, B:, , A: 241000
이
완전성 :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxxzzy FxzFFxyzFFyzyzyzzxF 12
23122
3 2 ,4 ,sincos2 =====−+=
f 구하기를
( ) ( ) ,sincos
22222 ++=+== ∫∫ zxgyzyzxdyyzzzxdyFf
f 구하기 를
( )
0' cos2'cos2
0 22
23
2
21
2
=⇒=⇒+==++=
=⇒=⇒==+=⇒
hhyzyyzxFhyzyyzxf
zhggxyzFgxyzf
z
xxx
상수
( ) ( ) 102
sin44
1 ,sin 22 +=−+⋅⋅=−+=∴ πππAfB fyzyzxf
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals
Ex.4 단순연결성 가정에 대하여
pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
, 0 , , 3222221 때일=+
=+
−= Fyx
xFyx
yF
( ) . 2221 관찰하자무관성을경로구하여을∫∫ ++−
=+=CC yx
xdyydxdyFdxFI
22 22222222 xyyyyxFxyxxyxF −⋅−+∂−⋅−+∂
( ) ( ) ( ) ( ) . 2 ,2222222
1222222
2 완전하다에서미분형식이이므로 Dyx
xy
yx
yyyxyF
yx
xy
yx
xxyxxF
+
−=
+
⋅−+−=
∂∂
+
−=
+
⋅−+=
∂∂
0이다곡선에서닫힌임의의무관하면경로에에서가적분만약 =IDDI .0 이다곡선에서닫힌임의의무관하면경로에에서가적분만약 =IDDI
=−=⇒=== θθθθθθ cos ,sin 1 ,sin ,cos , ddyddxrryrx그러나
∫ ==⇒=+=+−⇒π
πθθθθθθ2
0
22 21
cossin dIdddxdyydx 적분방향반시계
ID 없다수내릴결론을무관하다고경로가에서아니므로단순연결이가D∴ . I D , 없다수내릴결론을무관하다고경로가에서아니므로단순연결이가D∴
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals
Ex.4 단순연결성 가정에 대하여
pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
, 0 , , 3222221 때일=+
=+
−= Fyx
xFyx
yF
( ) . 2221 관찰하자무관성을경로구하여을∫∫ ++−
=+=CC yx
xdyydxdyFdxFI
22 22222222 xyyyyxFxyxxyxF −⋅−+∂−⋅−+∂
( ) ( ) ( ) ( ) . 2 ,2222222
1222222
2 완전하다에서미분형식이이므로 Dyx
xy
yx
yyyxyF
yx
xy
yx
xxyxxF
+
−=
+
⋅−+−=
∂∂
+
−=
+
⋅−+=
∂∂
0이다곡선에서닫힌임의의무관하면경로에에서가적분만약 =IDDI .0 이다곡선에서닫힌임의의무관하면경로에에서가적분만약 =IDDI
=−=⇒=== θθθθθθ cos ,sin 1 ,sin ,cos , ddyddxrryrx그러나
∫ ==⇒=+=+−⇒π
πθθθθθθ2
0
22 21
cossin dIdddxdyydx 적분방향반시계
ID 없다수내릴결론을무관하다고경로가에서아니므로단순연결이가D∴ . I D , 없다수내릴결론을무관하다고경로가에서아니므로단순연결이가D∴
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1010.2 .2 Path Independence of Path Independence of Line Integrals Line Integrals pp gg((선적분의선적분의 경로경로 무관성무관성))
PROBLEM SET 10.2
HW 3 10 16HW: 3, 10, 16
28