engineering mathematics iocw.snu.ac.kr/sites/default/files/note/5091.pdf · 2018-01-30 · ch 2...

EEngineering Mathematics Ingineering Mathematics I

Prof. Dr. Yong-Su Na g(32-206, [email protected], Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,

9th Edition, Wiley (2006)

Ch 2 SecondCh 2 Second Order Linear ODEsOrder Linear ODEsCh. 2 SecondCh. 2 Second--Order Linear ODEsOrder Linear ODEs2.1 Homogeneous Linear ODEs of Second Order

2.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients

2.3 Differential Operatorsp

2.4 Modeling: Free Oscillations. (Mass-Spring System)

2 5 Euler Cauchy Equations2.5 Euler-Cauchy Equations

2.6 Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian

2.7 Nonhomogeneous ODEs

2.8 Modeling: Forced Oscillations. Resonance

2.9 Modeling: Electric Circuits

2 10 Solution by Variation of Parameters2.10 Solution by Variation of Parameters

2

Ch. 2 SecondCh. 2 Second--Order Linear ODEsOrder Linear ODEsC Seco dC Seco d O de ea O sO de ea O s(2(2계계 선형상미분방정식선형상미분방정식))

자주 접하게 될 공학문제들의 상당수가 2계 미분방정식으로 표현된다.

기계적 진동 문제 RLC 전기회로 Laplace 방정식 열전도 방정식- 기계적 진동 문제, RLC 전기회로, Laplace 방정식, 열전도 방정식,

파동 방정식 등

내용 : 2계 선형미분방정식의 해법 (제차, 비제차)

22.1 .1 Homogeneous Linear ODEs of Homogeneous Linear ODEs of o oge eous ea O s oo oge eous ea O s oSecond Order Second Order (2(2계계 제제차차 선형상미분방정식선형상미분방정식))

( ) ( ) ( )xryxqyxpy =++ ''' : 선형상미분방정식 계2

•

( ) 식 갖는 항으로 번째 첫 을 : ''yForm Standard 표준형

( ) ( ) 0=xr: 제차 sHomogeneou

•

( ) ( )g

( ) ( ) 0≠xr: 비제차 eousNonhomogen


제차 선형 상미분방정식 : 중첩의 원리 또는 선형성의 원리

제차 선형 상미분방정식에 대한 기본 정리

제차 선형미분방정식에 대해, 어떤 열린구간 I 에서 두 개의 해의제차 선형미분방정식에 대해, 어떤 열린구간 I 에서 두 개의 해의

일차결합은 다시 구간 I 에서 다시 제차 선형미분방정식의 해가 된다.

특히, 그러한 방정식에 대해서 해들의 합과 상수곱도 다시 해가 된다. 특히, 러한 방정식에 대해서 해들의 합과 상수곱 다시 해가 된다

단, 이 정리는 비제차 선형방정식 또는 비선형 방정식에서는 성립하지 않는다.

0'' =+ yyEx.1 Homogeneous linear ODE.

xcxcxx sincos ,sin ,cos 21 + 21


Ex.2 Nonhomogeneous linear ODE .

함수 와 는 위의 방정식의 해이지만,

1'' =+ yy

xy cos1+= xy sin1+=수 와 위의 식의 해이지

이들의 합은 해가 아니다.

예를 들어 나 도 해가 아니다.

y y

( )xcos12 + ( )xsin15 +

Ex.3 Nonhomogeneous linear ODE .

( )

0''' =− xyyy

함수 와 는 위의 방정식의 해이지만,

이들의 합은 해가 아니다.

2xy = 1=y

예를 들어 도 해가 아니다.2x−


Initial Value Problem (초기값 문제)

• Initial Conditions (초기 조건): ( ) ( ) 1000 ' , KxyKxy ==


• Initial Value Problems (초기값 문제)

: 제차 선형 상미분방정식과 두 개의 초기조건으로 구성

Ex.4 Solve the initial value problem.

( ) ( ) 5.00' ,0.30 ,0'' −===+ yyyy



• Initial Conditions (초기 조건): ( ) ( ) 1000 ' , KxyKxy ==


• Initial Value Problems (초기값 문제)

: 제차 선형 상미분방정식과 두 개의 초기조건으로 구성

Ex.4 Solve the initial value problem.

( ) ( ) 5.00' ,0.30 ,0'' −===+ yyyy

Step 1 일반해를 구함 (Ex.1에 의하여)

일반해 : xcxcy sincos 21 +=일반해

Step 2 초기조건 적용 :

y 21

( ) ( ) ( )xcxcycycy cossin' 5.00' ,0.30 2121 +−=−==== ∵

특수해 : xxy sin5.0cos0.3 −=


General Solution (일반해):

구간 I 에서 비례하지 않는 제차방정식의 해 y1, y2 와 임의의 상수

2211 ycycy +=

c1, c2 를 갖는 해이다.

Particular Solution (특수해): 일반해의 기본형태에서 c1, c2 에

특정한 값을 지정하면, 구간 I 에서 제차방정식의 특수해(particular

solution)가 얻어진다.

Basis of Solution (기저): y1, y2 를 구간 I 에서의 제차방정식의

기저(Basis) 또는 기본계 (Fundamental System)라고 함.

기저는 1차 독립인 해의 쌍임기저는 1차 독립인 해의 쌍임.


Linearly Independent (일차독립): 구간 I 에서

일 때 이 된다면 두 함수 y y 와 k k 를

02211 =+ ykyk0== kk일 때 , 이 된다면 두 함수 y1, y2 와 k1, k2 를

구간 I 에서 일차 독립(linearly independent)이라고 한다.

021 == kk

Linearly Dependent (일차종속): 적어도 하나가 0이 아닌 상수

k k 에 대하여 식 이 성립한다면0=+ ykykk1, k2 에 대하여 식 이 성립한다면,

이 함수들을 일차 종속(linearly dependent)이라고 부른다

02211 =+ ykyk


Method of Reduction of Order (차수축소법) - Lagrange:Method of Reduction of Order (차수축소법) Lagrange:

한 개의 해를 알고 있을 때 1계의 미분방정식으로부터 y 를 구할 수 있다.

제차 선형상미분방정식 : ( ) ( ) 0''' =++ yxqyxpy

( ) ( ) =+++++⇒

++==⇒+==⇒==

quyuyyupuyyuyu

uyyuyuyyuyyuyyuyyy

111111

111211212

0''''''2''

''''2'''''' ''''

(주어진 미분방정식에 대입)

( ) ( )

=+

+⇒

=+++++⇒

ypyyuu

qypyyupyyuyu

1

11

111111

0'2' ''

0''''2' ''

0''' 111 =++ qypyy∵

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⇒== Up

yyUuUuU

y

1

1

1

0'2 ' ''' ,' (변수분리형)

∫−−=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⇒ dxpyUdxp

yy

UdU

11

1 ln2ln '2

∫===∴⇒ ∫− Udxyuyyey

U dxp1122

1

,1


Ex. 7 Find a basis of solutions of the ODE.

( ) 0'''2 =+−− yxyyxx

첫 번째 해 :

( ) yyy

xy =1


Ex. 7 Find a basis of solutions of the ODE.

( ) 0'''2 =+−− yxyyxx

첫 번째 해 :

( ) yyy

xy =1

차수축소법 적용

−=−

==∫=∫=⇒−

−=−

−= −−− 111111 1

122

1ln2

11

221

2 xxxxe

xe

xe

yU

xxxxp xdx

xpdx

∫∫ +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−==⇒ 1ln1ln]11[ 212 xx

xxxdx

xxxUdxyy


PROBLEM SET 2.1

HW 23 24HW: 23, 24

22.2 .2 Homogeneous Linear ODEs with Homogeneous Linear ODEs with C t t C ffi i t C t t C ffi i t Constant Coefficients Constant Coefficients ((상수계수를상수계수를 갖는갖는 제제차차 선형상미분방정식선형상미분방정식))

상수계수를 갖는 2계 제차 선형상미분방정식: 0''' =++ byayy2Characteristic or Auxiliary Equation (특성방정식 or 보조방정식):

일반해

02 =++ baλλ

특성방정식 에서

• 경우 1 이면 서로 다른 두 실근 일반해: 042 >− ba , 21 ⇒λλ xx ececy 21

21λλ +=

02 =++ baλλ

• 경우 2 이라면 실 이중근 일반해:

• 경우 3 이라면 공액복소근

2 ⇒−= aλ ( ) 221

axexccy −+=042 =− ba

042 <− ba 2 ωλ ia ±−= 22 1 ab −=ω Prove!경우 3 이라면 공액복소근 ,

일반해:

04 <ba 2 ωλ i±

( )xBxAeyax

ωω sincos2 += − ⇒4

abω

titit i*E l F l

Prove!

titeit sincos +=*Euler Formula


Ex. 5 Solve the initial value problem.

( ) ( ) 30' ,00 ,004.9'4.0'' ===++ yyyyy


Ex. 5 Solve the initial value problem.

( ) ( ) 30' ,00 ,004.9'4.0'' ===++ yyyyy

Step 1 일반해

이므로근이의특성방정식 i3200049402 ±==++ λλλ

일반해:

이므로근이의 특성방정식 i32.0004.94.0 ±−==++ λλλ

( )xBxAey x 3sin3cos2.0 += −

Step 2 특수해

( ) ( ) 이므로 xBxAexBxAey xx 3cos33sin33sin3cos2.0' 2.02.0 +−++−= −−

초기조건을 적용

특수해 :

( ) ( ) 1 ,0 332.00' ,00 ==⇒=+−===⇒ BABAyAy

xey x 3sin2.0−=

Euler 공식: titeit sincos += ( )xixeeia axx ωωωλ λ sincos 22 ±=⇒±−=

−


PROBLEM SET 2.2

HW 33HW: 33

22.3 .3 Differential OperatorsDifferential Operators ((미분연산자미분연산자))33 e e a Ope a o se e a Ope a o s ((미분연산자미분연산자))

Operators (연산자): 함수를 다른 함수로 변형하는 변환을 의미

Operational Calculus (연산자법): 연산자와 그에 해당하는 기법Operational Calculus (연산자법): 연산자와 그에 해당하는 기법

Differential Operator (미분연산자):

Identity Opterator (항등연산자):

'yDy =

yIy =Identity Opterator (항등연산자):

2계 미분연산자의 도입

yIy

( ) ( ) byayyyDPLybIaDDDPL ++==⇒++== '''2( ) ( ) byayyyDPLybIaDDDPL ++==⇒++==

22.4 .4 Modeling: Free Oscillations (MassModeling: Free Oscillations (Mass--g (g (Spring System) Spring System) ((자유진동자유진동 ((질량질량--용수철시스템용수철시스템))))

• 기초적인 역학계인 용수철에 매달린 질량의 운동에 대해 논의한다.

• 계의 모형화(수식화) 및 해를 구하고 운동의 유형에 대해 논의한다.

Undamped System (비감쇠 시스템)

물리적 법칙물리적 법칙

• Newton’s 2nd law: 질량 X 가속도 = 힘

• Hooke’s law: 용수철에 작용하는 힘은Hooke s law: 용수철에 작용하는 힘은

용수철의 길이의 변화에 비례한다.

Mechanical mass-spring tsystem


모델화모델화

• 정적 평형 상태에 있는 시스템

00 ksF −= (k: 용수철 상수)0kWF

동적인 시스템

00

물체의 무게 : mgW =000 =+−=+ mgksWF

• 동적인 시스템

복원력 :

(Newton의 제 2법칙)

kyF −=1 (Hooke의 법칙)

'' Fmy =0'' =+kymy

(Newton의 제 2법칙)1Fmy =

Harmonic oscillation (조화진동):

( ) ( )i CA δ( ) ( )

)/arctan( , ,

,cossincos

2220

000

ABBACmk

tCtBtAty

=+==

−=+=

δω

δωωω


Damped System (감쇠 시스템)Damped System (감쇠 시스템)

Damping force (감쇠력)

'2 cyF −= (c : damping constant (감쇠 상수))

0''' =++ kycymy21'' FFmy += (Newton의 제 2법칙)

0=++ kycymy

( ) ( ) ( ) ( )2 ββ• Overdamping (과감쇠) ( ) ( ) ( ) ( )

mmkc

mc

ecectymkc tt

24 ,

2

: 42

212

−==

+=> +−−−

βα

βαβα


C iti l d i (임계감쇠) ( ) ( ) ( ) ct2• Critical damping (임계감쇠) ( ) ( ) ( )mcetcctymkc t

2 , : 4 21

2 =+== − αα

• Underdamping (저감쇠) ( ) ( ) ( ) ( )δωωω αα −=+=< −− tCetBtAetymkc tt *cos*sin*cos : 42

2222

/tan* BACABck+==−= δω 2 ,/tan ,

4BACAB

mm+δω


PROBLEM SET 2.4

HW 8HW: 8

22.5 .5 EulerEuler--Cauchy Equations Cauchy Equations 55 u eu e Cauc y qua o sCauc y qua o s((오일러오일러--코시코시 방정식방정식))

Euler-Cauchy Equations (오일러-코시 방정식): 0'''2 =++ byaxyyx

Auxiliary equation (보조방정식):

General Solution

( ) 012 =+−+ bmam

보조방정식 에서

• 경우 1 서로 다른 두 실근 일반해 :

( ) 012 =+−+ bmam

, 21 ⇒mm 21

21mm xcxcy +=경우 서 다른 두 실근 일반해

• 경우 2 이중근 일반해 :

경우 3 공액복소근 일반해 :

, 21 21y( ) 21 ⇒−= am ( ) ( )amxxccy m −=+= 1

21 ,ln21

⇒± υμ im• 경우 3 공액복소근 일반해 : ⇒±= υμ im

( ) ( )[ ]xBxAxy lnsinlncos υυμ +=

22.5 .5 EulerEuler--Cauchy Equations Cauchy Equations 55 u eu e Cauc y qua o sCauc y qua o s((오일러오일러--코시코시 방정식방정식))

PROBLEM SET 2.5

HW 16 (A)HW: 16 (A)

22.6 .6 Existence and Uniqueness of Existence and Uniqueness of qqSolutions. Solutions. WronskianWronskian ((해의해의 존재성과존재성과 유일성유일성))

Existence and Uniqueness Theorem for Initial Value Problems

초기값 문제 에서

와 가 어떤 열린 구간 I (1.1절 참조)에서 연속함수이고, 가

( ) ( ) ( ) ( ) 10 0' ,0 ,0''' KyKyyxqyxpy ===++

( )xp ( )xq 0x구간 I 내에 있다면, 초기값 문제는 구간 I 에서 유일한 해를 갖는다.


Wronskian or Wronski Determinant (행렬식)Wronskian or Wronski Determinant (행렬식)

( ) ''21 yyW ( ) ''

'', 1221

2121 yyyy

yyyyW −==

Linear Dependence and Independence of Solutions

상미분방정식이 열린 구간 I 에서 연속인 계수 p(x)와 q(x)를 갖는다고 가정.

이 때 구간 I 에서 제차 선형상미분방정식의 두 개의 해 y1, y2가 구간 I 에서 일

차종속이 되기 위한 필요충분조건은 그들의 Wronskian이 구간 I 내의 어떤 x0

에서 0이 되는 것임 x = x 에서 W = 0 이라면 구간 I 에서 W ≡ 0에서 0이 되는 것임. x = x0 에서 W = 0 이라면, 구간 I 에서 W ≡ 0.

만약 W가 0이 아닌 x1 이 구간 I 내에 존재하면, 구간 I 에서 y1, y2는 일차독립.

E 1 2 0'' 2+ ywy 0'2'' =+− yyyEx. 1, 2. ,0'' =+ ywy 02 =+− yyy


Existence of a General SolutionExistence of a General Solution

p(x)와 q(x)가 어떤 열린 구간 I 에서 연속이면, 제차 선형상미분방정식은 구간 I 에서

일반해를 갖는다일반해를 갖는다.

A General Solution Includes All Solutions

제차 선형상미분방정식이 어떤 열린 구간 I 에서 연속인 계수 p(x)와 q(x)를 갖는다면,

구간 I 에서 제차 선형상미분방정식의 모든 해 y = Y(x)는

( ) ( ) ( )xyCxyCxY +=

의 형태인데, 여기서 y1, y2는 구간 I 에서 제차 선형상미분방정식의 해의 어떤 기저

를 형성하고 C C 는 적당한 상수이다

( ) ( ) ( )xyCxyCxY 2211 +=

를 형성하고, C1, C2는 적당한 상수이다.

그러므로, 제차 선형상미분방정식은 특이해(Singular Solution, 즉 일반해로부터 얻을

수 없는 해)를 갖지 않는다수 없는 해)를 갖지 않는다.


PROBLEM SET 2.6

HWHW:

22.7 .7 NonhomogeneousNonhomogeneous ODEsODEso o oge eouso o oge eous O sO s((비제차비제차 상미분방정식상미분방정식))

Nonhomogeneous linear ODE:

제차방정식과 비제차방정식의 해 사이의 관계

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,''' ≠=++ xrxryxqyxpy

• 어떤 열린구간 I 에서 비제차방정식의 두 해의 차는 구간 I 에서 제차방정식의

해이다.

• 구간 I 에서의 비제차방정식의 해와 구간 I 에서의 제차방정식의 해의 합은

구간 I 에서 비제차방정식의 해이다.

General Solution: ( ) ( ) ( )xyxyxy ph +=

여기서 는 구간 I 에서의 제차 상미분방정식의 일반해이고,

는 구간 I 에서의 임의의 상수를 포함하지 않는 비제차방정식의 어떤 해이다.

2211 ycycyh +=

py


Method of Undetermined Coefficients (미정계수방법)

T i Ch i f( )Term in Choice for ( )xr py

ke xγ Ce xγ

( )

xk

nkxn

ωcos

,1 ,0 =

xMxK

KxKxKxK nn

nn

ωω sincos

011

1

+

++++ −−

k

xkx

ω

α

sin

( )MKxα i

xke

xkex

x

ω

ω

α

α

sin

cos ( )xMxKe x ωωα sincos +


Choice Rules for the Method of Undetermined Coefficients

• ( ) ( ) 중의 함수 있는 열에 미정계수법의 가 비제차방정식에서 만약 : xrRule Basic기본규칙( ) ( )

결정한다. 미정계수를 써

도입함으로 비제차방정식에 도함수를 그 와 선택하고, 를 함수 대응하는 하나라면, pp yy

•

곱한다를해당한다면에

이중근 방정식의 특성 방정식의 제차 이해가 만약 또는 에 선택된 된다면, 해가 식의

제차방정 대응하는 비제차방정식에 항이 선택된 로 만약

)

(2x

xy

y

p

p : Rule) ion(Modificat변형규칙

• ( )선택한다를합으로합수들의있는줄에응하는

대 열의 두번째합이라면, 함수들의 있는 열에 번째 첫 가 만약 xr : Rule) (Sum합규칙

곱한다.를 해당한다면에 )x

선택한다.를합으로합수들의 있는 줄에응하는 py


Ex 1 Solve the initial value problemEx. 1 Solve the initial value problem.

( ) ( ) 5.10' ,00 ,001.0'' 2 ===+ yyxyy


Ex 1 Solve the initial value problemEx. 1 Solve the initial value problem.

( ) ( ) 5.10' ,00 ,001.0'' 2 ===+ yyxyy

Step 1 제차 상미분방정식의 일반해

제차 상미분방정식 : 0'' =+ yy

i일반해 :

Step 2 비제차 상미분방정식의 특수해

xBxAy sincos +=

( )( ) 001.02

2'' ,2' , 001.02

012

22

212012

22

=+++⇒

=+=++=⇒=

xKxKxKK

KyKxKyKxKxKyxxr ppp

002.0001.0

002.0 ,0 ,001.0 2

012

−=⇒

−===⇒

xy

KKK

p

002.0001.0sincos 2 −++=⇒ xxBxAy


Step 3 초기조건 적용

이므로xxBxAyyy ph 02.0cossin''' ++−=+=

( ) ( )( ) ( )002.0001.0sin5.1cos002.0

5.10' ,0002.002 −++=⇒

===−=

xxxyByAy


PROBLEM SET 2.7

HW E l 2 3HW: Example 2, 3

22.8 .8 Modeling: Forced Oscillations. Modeling: Forced Oscillations. 88 ode g o ced Osc a o sode g o ced Osc a o sResonanceResonance ((모델화모델화: : 강제진동강제진동. . 공진공진))

Free Motion (자유운동): external forces(외력)이 없는 경우의 운동

지배방정식 :

Forced Motion (강제운동): 외부로부터의 힘이 물체에 작용하는

0''' =++ kycymy

경우의 운동

지배방정식 : ( )trkycymy =++ '''

• Input (입력) or Driving Force (구동력):

• Output (출력) or Response (응답) of the system:

( )tr

( )typ (출력) p (응답) y ( )y


With Periodic external forces:

tFkycymy ωcos''' ++ tFkycymy ωcos''' 0=++

미정계수법에 의한 결정py

sincos tbtay ωω +=

( )( ) ( )202

220

0 ,

sincos

cFbmFa

tbtayp

ωωω

ωω

=−

=

+=

( ) ( ) 222220

20222220

20 ,cmcm ωωωωωω +−+−

mk /=ω mk /0 =ω


Case 1 Undamped Forced Oscillations (비감쇠 강제진동)Case 1. Undamped Forced Oscillations (비감쇠 강제진동)

( ) ( ) ( ) tm

FtCytm

Fyc p ωωω

δωωωω

coscos cos 022

0

0022

0

0

−+−=⇒

−=⇒=

이 출력은 두 개의 조화진동의 중첩을 나타냄.

( ) ( )00

• 고유주파수 : ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

seccycles

20

πω

• 구동력의 주파수 :

Resonance (공진) : 입력주파수와 고유주파수가 정합됨으로써

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

seccycles

2πω

Resonance (공진) : 입력주파수와 고유주파수가 정합됨으로써

( ) 발생하는 큰 진동의 여기현상0ωω =

ttFy 0 sinω=tFyy 02 cos'' ωω =+ ttm

yp 00

sin2

ωω

=tm

yy 00 cosωω =+


Tacoma Narrows Bridge(1940 11 4)(1940. 11. 4)


Beats (맥놀이): 입력주파수와 고유주파수의 차가 적을 때의

강제 비감쇠진동 (w → w0)

( )( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=−

−= tt

mFtt

mFy

2sin

2sin2 coscos 00

220

0022

0

0 ωωωωωω

ωωωω


Case 2 Damped Forced Oscillations (감쇠 강제진동)Case 2. Damped Forced Oscillations (감쇠 강제진동)

• Transient Solution (과도해): 비제차 방정식의 일반해 (y)

Steady State Solution (정상상태해): 비제차 방정식의 특수해 (y )• Steady-State Solution (정상상태해): 비제차 방정식의 특수해 (yp)

순수 사인파 형태의 구동력이 주어지는 감쇠진동 시스템의 출력은

충분하게 긴 시간 후에 실제적으로 주파수가 입력주파수인 조화진동이 됨.

과도해는 정상상태해로 접근한다.

Practical Resonance: 비감쇠의 경우 ω가 ω0 에 접근할 때 yp 의 진폭이 무한대로

접근하는 반면에, 감쇠의 경우에는 이와 같은 현상은 발생하지 않는다.

이 경우에는 진폭은 항상 유한하나, c에 의존하는 어떤 ω 에 대해 최대값을 가질 수 있다.

( )tCt *)(ib ( )ηω −= tCtyp cos*)(

( )220

sincos

cFbmFa

tbtayp

ωωω

ωω

−

+=

( )( ) ( ) 22222

02022222

02

00 ,

cmFb

cmFa

ωωωωωω +−=

+−=


yp 의 진폭 (ω의 함수로 표현): ( )RF

cm

FbaC 0

222220

2

022

)(* =

+−=+=

ωωωω

b( ))(

tan22

0 ωωωωη−

==m

cab

⎞⎛

)]22(2[1

]2)2)((2[21*

2222/3

2220

22/30 ωωωω

ω

kRF

cmRFddC

⎟⎞

⎜⎛

+−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−

−

일 때 는k22 > ( )*C)]22(2[2

2222/30 ωω mmkcRF +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

220

22 cck

−=−= ωω

일 때 는

w가 증가함에 따라 단조 감소함.

mkc 22 > ( )ω*C

( )222

022max

2* mFbaC =+=ω

202max 22 mmmωω

220

24 cmc −ω


ω0

의미

일 때 는 유한하다는 것을 알 수 있다0> ( )*C• 일 때 는 유한하다는 것을 알 수 있다.

• 일 때 의 값은

c가 감소함에 따라 증가하고, c가 0에 접근함에 따라 무한대로 접근한다.

0>c ( )max* ωCmkc 22 < ( )max* ωC

가 감 함에 따라 증가하 , 가 에 접근함에 따라 무한대 접근한다


PROBLEM SET 2.8

HW 26HW: 26

22.9 .9 Modeling: Electric CircuitsModeling: Electric Circuits99 ode g ec c C cu sode g ec c C cu s((모델화모델화: : 전기회로전기회로))

< 저항, 유도기, 축전기를 이용한 RLC 회로 >

< RLC 회로의 각 구성요소를 통한 전압강하 >


Kirchhoff의 전압법칙(KVL): 폐루프 위에 부여된 전압(기전력)은 루프의 다른 요소들Kirchhoff의 전압법칙(KVL): 폐루프 위에 부여된 전압(기전력)은 루프의 다른 요소들

양단의 전압 강하의 합과 같다.

전압법칙을 적용한 모델화

( ) ( )tEICdt

dIRdt

IdLtEIdtC

RIdtdIL '1 1

2

2

=++⇒=++ ∫

Electromotive Force(기전력) : ( ) tEtE ωsin0= tEICdt

dIRdt

IdL ωω cos102

2

=++

( )b θii ( )

RS

ba

SREbaI

SRREb

SRSEa

tItbtaI p

=−=+

=+=+

=+

−=

−=+=

θ

θωωω

tan , , ,

sinsincos

22022

0220

220

0

RbSRSRSR +++

• Reactance (리액턴스) : CLS

ωω 1

−=

EProve!

• Impedance (임피던스) :0

022

IESR =+


A l f El i l d M h i l Q i iAnalogy of Electrical and Mechanical Quantities

• 완전히 다른 물리적 시스템이나 서로 다른 시스템이 같은 수학적인 모델을 가질

수 있다수 있다.

• 상사성의 실제적 중요성 : 전기회로는 조립하기 쉽고, 전기적인 양은 기계적인 것에

비하여 훨씬 빠르고 정확하게 측정될 수 있다. – 시간, 비용절약

tEIC

RILI ωω cos1''' 0=++

tFkycymy ωcos''' 0=++

C 0

< 전기량과 역학량의 상사성 >


PROBLEM SET 2.9

HW 9HW: 9

22.10 Solution.10 Solution by Variation of Parameters by Variation of Parameters 0 So u o0 So u o y a a o o a a e e sy a a o o a a e e s((매개변수의매개변수의 변환에변환에 의한의한 풀이풀이))

cf) 차수축소법

Method of Variation of Parameter (매개변수 변환법) - Lagrange

• 미정계수법은 단지 특별한 우변을 가지는 상계수 방정식에만 적용됨.

cf) 차수축소법

미정계수 지 특별한 우 을 가지 상계수 방정식에 적용

• 매개변수 변환법은 일반적이나 적분이 복잡함.

• 어떤 구간 I 에서 연속인 임의의 변수 을 갖는 미분방정식( ) ( ) ( )xrxqxp , ,어떤 구간 에서 연속인 임의의 변수 을 갖는 미분방정식

에 적용된다

• 반드시 표준형으로 쓰여진 미분방정식에 적용한다.

( ) ( ) ( )qp ,,

( ) ( ) ( )xryxqyxpy =++ '''

반드시 표준형으로 쓰여진 미분방정식에 적용한다. 만약 방정식이 으로 시작한다면 로 나누어라.

공식

( ) ''yxf ( )xf

공식 :

( ) dxW

ryydxW

ryyxyp ∫∫ +−= 12

21 WW


Ex 1 Solve the nonhomogeneous ODEEx. 1 Solve the nonhomogeneous ODE.

xyy sec'' =+

제차 상미분방정식의 해의 기저 : xyxy sin ,cos 21 ==

Wronskian :

매개변수변환법 적용

( ) ( ) 1sinsincoscos, 21 =−−= xxxxyyW

매개변수변환법 적용

xxxxxdxxxxdxxxyp sincoslncosseccossinsecsincos +=+−= ∫∫

일반해 :( ) ( ) xxcxxcyyy ph sincoscosln 21 +++=+=


Id f h M h dIdea of the Method

• 제차상미분방정식의 일반해 : 2211 ycycyh +=제차상미분방정식의 일반해 :

• 비제차상미분방정식의 특수해 :

2211 ycycyh +

( ) ( ) 21 yxvyxuyp +=

⇒ 주어진 비제차상미분방정식 에 대입

• 추가 조건 : 0'' 21 =+ yvyu

( ) ( ) ( )xryxqyxpy =++ '''

추가

• 정리하여 얻어진 식 :

21 yy

( )xryvyu =+ '''' 21

dxW

ryvdxW

ryuW

ryv'W

ryu' ∫∫ =−=⇒=−=⇒ 1212 , ,

Prove!


PROBLEM SET 2.10

HW 18HW: 18

engineering mathematics iocw.snu.ac.kr/sites/default/files/note/5091.pdf · 2018-01-30 · ch 2...

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