eps zil on delta

8/20/2019 Eps Zil on Delta

1/8

© www.mateking.hu FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKÉNEK DEFINÍCIÓJA .

[email protected]

tel: 06705411417

1

mateking.hu

FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKÉNEK DEFINÍCIÓJA

A függvények határértékének vizsgálatát kezdjük

a következő remek függvénnyel:

38

32)(

xha

xha x x f

Ahogyan az ábrán is látszik, ez a függvény az x=3 helyen 8-at vesz föl, mégis ahogyan az x-ek egyre jobban közelednek a 3-hoz, a függvényértékek annál közelebb kerülnek a 6-hoz, és ebben még az a

körülmény sem képes őket eltántorítani, hogy a függvényérték a 3-ban 8.

Ezt a tényt, hogy ha az 3 x akkor 6)( x f úgy mondjuk, hogy a 3-ban a függvény határértéke6 és így jelöljük:

6)(lim3

x f x

Ez a terminológia, hogy minél közelebb van x a 3-hoz, a függvényértékek annál közelebb kerülnek a

6-hoz, matematikailag úgy tehető precízzé, hogy tetszőlegesen kicsi 0 -ra van olyan 0 ,hogy ha az x-ek -nál közelebb vannak a 3-hoz, akkor az )( x f -ek -nál közelebb kerülnek a

6-hoz.

Vagyis, ha 33 x akkor 6)(6 x f

Van azonban egy kis gond. Mégpedig az, hogy ha történetesen 3 x , akkor nem igaz, hogy 6)(6 x f , és ez a rajzon is remekül látszik, ugyanis 8)3( f .

Ez a kis kellemetlenség úgy küszöbölhető ki, ha megtiltjuk x-nek, hogy 3 legyen.Helyesen tehát úgy szól az állítás, hogy ha x közel van a 3-hoz de nem 3, akkor )( x f közel van a 6-

hoz, vagyis:

Ha 3 x de 3 x akkor 6)( x f

Mindezt általánosítva kapjuk a függvényhatárérték definícióját

1 2 3 4 5

8

6

4

2

3 3

6

6


2/8


[email protected]

tel: 06705411417

2

mateking.hu

Az )( x f függvény határértéke az 0 x helyen B, ha minden 0 -ra van olyan 0 , hogy ha

0 x x de 0 x x akkor B x f )(

Vagyis, bármilyen –hoztalálunk –t úgy, hogyha x -nál közelebb

van0

x -hoz, akkor

)( x f -nál közelebbkerül B-hez.

A határérték definíciója alapján igazoljuk, hogy 73lim 2

2

x

x

A definíció szerint bármilyen –hoz kell találnunk olyan –t, hogy ha 2 x akkor

7)( x f

Abból indulunk ki, hogy 7)( x f vagyis

732 x

és addig kell bűvészkednünk, amí g az 2 x valahogyan meg nem jelenik.

Először is elvégezzük a kivonást:

42 x

Aztán életösztönünk azt diktálja, hogy szorzattá alakítsunk:

22 x x

És itt képbe kerül az 2 x

222 x x x

Mivel pedig x nagyon közel van a 2-höz, 2 x felülről becsülhető mondjuk 5-tel.

A helyzet ugyanis a következő

0 x 0 x 0 x

B

B

B


3/8


[email protected]

tel: 06705411417

3

mateking.hu

Először tegyük fel, hogy 1 . Ekkor 2 x miatt az x-ek közelebb vannak a 2-höz, mint 1,

vagyis

31 x és így 5232 x

Van tehát egyszer, hogy

2 x

és aztán 52 x

ezekből

522 x x

Ha most 5 és így 5

az jó is. Mivel azonban feltettük, hogy 1 még ki kell találnunk,

vajon mi történik akkor, ha 5 , ami egyébként nem szokása. Nos ekkor legyen 1 .Mindezt összefoglalva:

51

55

ha

ha

Győződjünk meg róla, hogy ez valóban jó is. Ha 5 akkor

5

és ugye 1 tehát

52

x és

52

x

amiket összeszorozva:

55

22 x x

és éppen ezt akartuk.

Ha valamilyen rejtélyes okból pedig 5 , akkor 1 valóban jó, hiszen

12 x és 52 x

amiket összeszorozva:

55122 x x

mivel pedig 5 így

55122 x x

1 2 3 4 5


4/8


[email protected]

tel: 06705411417

4

mateking.hu

A határérték definíciója alapján igazoljuk, hogy

4

3

5

3lim

3

x

x

x


4

3)( x f

Abból indulunk ki, hogy

4

3

5

3

x

x

és addig kell ezúttal is bűvészkednünk, amíg az 3 x valahogyan meg nem jelenik.

Először is elvégezzük a kivonást:

4

3

5

3

x

x

204

153124

x

x x

Összevonás után a számlálóban megjelenik x-3, ennél jobb nem is történhetne.

204

3

x

x

Mivel ugye 3 x a számlálót felülről becsüljük -val, a nevezőt pedig alulról kéne becsülni,

hogy megszabaduljunk az x-től.

204204

3

x x

x

Mivel x nagyon közel van a 3-hoz, 204 x alulról becsülhető mondjuk 28-cal.

Ha ugyanis 1 , akkor 3 x miatt

az x-ek közelebb vannak a 3-hoz,mint 1, vagyis 42 x és így

3620428 x

Ekkor

28204204

3

x x

x

Vagyis 28 jó is. Mivel azonban feltettük, hogy 1 még ki kell találnunk, mi történik akkor, ha túl nagy, vagyis 128 . Nos ekkor legyen 1 .

1 2 3 4 5


5/8


[email protected]

tel: 06705411417

5

mateking.hu

28

11

28

128

ha

ha

Győződjünk meg róla, hogy ez valóban jó is.

Ha28

1 akkor

28 és ugye 1 tehát

283 x és 20428 x

amiből

28

28

28204

3

x

x


Ha valamilyen rejtélyes okból pedig 28

1, akkor 1 valóban jó, hiszen

12 x és 20428 x

amiből

28

1

204

3

x

x

mivel pedig 28

1 így

28

1

204

3

x

x

A határérték definíciója alapján igazoljuk, hogy 23lim 2

1

x x

x


2)( x f


232 x x

és addig kell ezúttal is bűvészkednünk, amíg az 1 x valahogyan meg nem jelenik.


6/8


[email protected]

tel: 06705411417

6

mateking.hu

Érdemes megjegyezni, hogy ilyenkor esetben mindig gyökteleníteni kell. Így hát

gyöktelenítünk:

23

2323

2

22

x x

x x x x

A számlálóban alkalmazzuk az 22 bababa azonosságot:

23

43

2

2

x x

x x

Végül szorzattá alakítjuk a másodfokú izét. Az amatőrök úgy, hogy előtte kiszámolják a másodfokúizé gyökeit, a profik ránézésre. Így vagy úgy, de

23

41

2 x x

x x

Ezek után pedig jön a szokásos becslés. A számlálót kell növelnünk, a nevezőt csökkenteni. A nevezőcsökkentéséhez életösztönünk azt diktálja, hogy elhagyjuk a gyökös kifejezést, a számlálóban pedig

1 x

2

4

23

41

23

41

22

x

x x

x x

x x

x x

Ha pedig 1 x , akkor az x-ek nagyon közel

vannak az 1-hez, tehát 24 x

Legalábbis akkor, ha 1 . Ha mégse lenne így, azt meg majd megint külön megnézzük.

2

2

2

4

23

41

23

41

22

x

x x

x x

x x

x x

Vagyis jó is.

11

1

ha

ha

Győződjünk meg róla, hogy ez valóban jó.Ha 1 akkor

1 x és 24 x tehát

2

2

23

41

23

232323

22

222

x x

x x

x x

x x x x x x

Ha pedig 1 akkor 1

1

2

2

23

41

23

232323

22

222

x x

x x

x x

x x x x x x

0 1 2 3


7/8


[email protected]

tel: 06705411417

7

mateking.hu

A határérték definíciója alapján igazoljuk, hogy

012

lim

2

1

x

x

x

A definíció szerint bármilyen –hoz kell találnunk olyan –t, hogy ha 2

1 x akkor

0)( x f


012

x

x

A számlálóban kiemelünk 2-t:

x

x2

12

A számlálót felülről, a nevezőt alulról kell becsülnünk. Addig minden rendben, hogy 2

1 x

x x

x 22

12

A kérdés, hogy a nevezőt hogyan becsüljük alulról. Mert ugye x alulról becsülhető nullával, de akkor

nulla lesz a nevezőben, ami nem tűnik megnyugtatónak. Mivel azonban x közel van az 1/2-hez,tudunk találni a nullánál jobb alsó becslést is, csak -nak kicsinek kell lennie.Legyen 4/1 .Ekkor

4

1

2

1 x

tehát

4

3

4

1 x

és így 4/34/1 x a becslés tehát megvolna:

84/1

222

12

x x

x

Ha most 8 az jó is, vagyis8

.

Mivel azonban feltettük, hogy 4/1 még ki kell találnunk, mi történik akkor, ha 2 .Nos ekkor legyen 4/1 .

-1/2 0 1/2 1 3/2

1/4 3/4


8/8


[email protected]

tel: 06705411417

8

mateking.hu

Összefoglalva:

24

1

28

ha

ha

Győződjünk meg róla, hogy ez valóban jó is. Ha 2 akkor

8

és ugye 4/1 tehát

82

1 x és x4/1

amiből

4/1

82

4/1

22

12

2

12

x

x

x

x


Ha valamilyen pedig 2 , akkor 4/1 valóban jó, hiszen

4/12

1 x és x4/1

amiből

24/1

)4/1(22

12

2

12

x

x

x

x

mivel pedig 2 így

24/1

)4/1(22

12

2

12

x

x

x

x

eps zil on delta

Documents