equacoes de redes eletricas

8/15/2019 Equacoes de Redes Eletricas

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EQUAÇÕES DE REDES ELÉTRICAS

revisão de abr05

1 - Introdução

Os probe!as de redes e"#ri$as era! resovidos a#rav"s de si!%a&ão e! abora#'rios( Ossi!%adores era! $o)s#r%*dos ob+e#iva)do represe)#ar os $o!po)e)#es das redes e"#ri$as e!

#er!os de ,o)#es de #e)são resis#.)$ias rea#/)$ias e #ra)s,or!adores( Es#a represe)#a&ão era bas#a)#e ,ie !as o $%s#o das a)ises di,i$%#ava as i)!eras si#%a&2es )e$essrias para se pa)e+ar o% operar os sis#e!as e"#ri$os( Os si!%adores era! pra#i$a!e)#e a )i$a ,erra!e)#ae3is#e)#e a#" a d"$ada de 40(

o+e e! dia o $%s#o da a)ise de redes e"#ri$as a#rav"s de $o!p%#adores "de$isiva!e)#e !ais ade6%ada( As si!%a&2es de sis#e!as e"#ri$os e! $o!p%#adores depe)de!das e6%a&2es da rede( 7or#a)#o " i!por#a)#e $o)8e$er a ,or!%a&ão das e6%a&2es de o)de os

pro9ra!as $o!p%#a$io)ais ob#.! as so%&2es(

2 - Equação de nós

A ,or!%a&ão das e6%a&2es a#rav"s da api$a&ão das eis dos )'s " base para %!ae3$ee)#e so%&ão dos probe!as de sis#e!as e"#ri$os de po#.)$ia( O $ir$%i#o da ,i9%ra :(0 serve$o!o e3e!po para derivar as e6%a&2es de ad!i#/)$ia )oda(

;i9( :(0

7ara ,a$ii#ar a ,or!%a&ão das e6%a&2es as d%as ,o)#es de #e)são da ,i9%ra :(0 pode! ser#ra)s,or!adas e! ,o)#es de $orre)#e( Des#a ,or!a ei!i)a-se dois )'s )o $ir$%i#o da ,i9%ra(

1

1

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=5 4v

a v b



;i9( :(1

De a$ordo $o! as eis dos )'s o so!a#'rio das $orre)#es 6%e i)$ide! e! %! )' " i9%a a

>ero( Assi! para o )' 1 ob#"!-se?

0=1:101 =−++ −−− aiiii :(0

S%bs#i#%i)do as $orre)#es por ,%)&2es de #e)são e de)o!i)a)do a barra de re,er.)$ia$o!o 0 a e6%a&ão :(0 #or)a-se e!?

ai yvv yvv yv =−+−+− −−− =1=1:1:1011 @A@A@0-0A :(1

Os #er!os e! ,%)&ão de v1 pode! ser a9r%pados assi!?

aiv yv yv y y y =−−++ −−−−− ==1::11=1:101 @A :(:

De)o!i)a)do o so!a#'rio de ad!i#/)$ias 6%e i)$ide! )o )' 1 $o!o y1-1 e)#ão?

aiv yv yv y =−− −−− ==1::1111 :(<

De ,or!a se!e8a)#e a e6%a&ão :(< pode-se ob#er as e6%a&2es $orrespo)de)#es aos )'sres#a)#es( Co)8e$e)do as 6%a#ro e6%a&2es )odais pode-se $o)s#r%ir a e6%a&ão !a#ri$ia$orrespo)de)#e ao $ir$%i#o da ,i9%ra :(1 assi!?

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y y y y

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Observa-se )a e6%a&ão :(= 6%e as $orre)#es )o ve#or de i)+e&2es e)#ra)do )os )'s são posi#ivas e 6%e os ee!e)#os $o)e$#ados B barra de re,er.)$ia são $o)sideradas )a dia9o)a da!a#ri> de ad!i#/)$ias( E! #er!os res%!idos a e6%a&ão !a#ri$ia :(= pode ser represe)#ada$o!o?

:

1

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= i b

ia



[ ] [ ] [ ]nnn iv y = :(5

o)de [ ]n y " a matriz de admitância de nós o% si!pes!e)#e matriz de admitância [ ]nv " o vetor

de tensões de nós e [ ]ni " o vetor de correntes de nós( A !a#ri> de ad!i#/)$ia de )'s " si!"#ri$a

e ad!i#e i)versa( A !a#ri> de ad!i#/)$ia de sis#e!as e"#ri$os de po#.)$ia )or!a!e)#e " !%i#oesparsa o% se+a a !a#ri> $o)#"! rea#iva!e)#e po%$os ee!e)#os )ão >eros(

Se o ve#or de $orre)#es ,or $o)8e$ido o res%#ado do ve#or de #e)s2es pode ser ob#ido$o!o?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nnnnn i z i yv == − 1 :(4

o)de a i)versa da !a#ri> [ ]n y " de)o!i)ada de matriz z de barra o% matriz z de nós.

3 - Equação de malhas

O e3e!po da ,i9%ra :(0 pode ser %#ii>ado para ,or!%ar as e6%a&2es de !a8as( Os$ir$%i#os ad!i#e! diversas $o),i9%ra&2es de !a8as( A ,i9%ra <(0 aprese)#a %!a das$o),i9%ra&2es de !a8as poss*veis(

;i9%ra <(0

A e6%a&ão $orrespo)de)#e a !a8a 1 " dada por?

aa i z i z i z i z i z v 0=0=:=110=1=1115 =++−−− −−−−− <(0

A9r%pa)do os #er!os re,ere)#es a $orre)#e da !a8a 1 ob#"!-se?

avi z i z i z z z =−−++ −−−−− =0=:=110==115 @A <(1

O so!a#'rio das i!ped/)$ias ao o)9o da !a8a 1 pode ser de)o!i)ado de z 11( De ,or!ase!e8a)#e a e6%a&ão <(1 pode-se ob#er as e6%a&2es das o%#ras #r.s !a8as( A e6%a&ão !a#ri$iaa9r%pa)do as 6%a#ro e6%a&2es "?

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A e6%a&ão <(: )a ,or!a res%!ida pode ser es$ri#a $o!o?

[ ] [ ] [ ]mmm vi z = <(<

o)de [ ]m z " a matriz z de malha o% si!pes!e)#e matriz de impedâncias [ ]mi " o vetor i de

malhas e [ ]mv " o vetor de tensão de malhas. Da !es!a !a)eira 6%e a$o)#e$e $o! a !a#ri> dead!i#/)$ia de )'s a !a#ri> de i!ped/)$ias de sis#e!as e"#ri$os de po#.)$ia " #a!b"! esparsa(

A !a#ri> de i!ped/)$ia de !a8as " si!"#ri$a e #e! a $orrespo)de)#e i)versa por#a)#o seo ve#or de #e)são " $o)8e$ido pode de#er!i)ar as $orre)#es de !a8a $o!o?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]mmmmm v yv z i == − 1 <(=

o)de a i)versa da !a#ri> [ ]m z " de)o!i)ada de matriz de admitância de malhas.

4 - Transformações estrela triângulo

O )!ero de e6%a&2es o% o #a!a)8o das !a#ri>es pode ser red%>ido pea ei!i)a&ão de)'s da rede( U!a !a)eira si!pes de se red%>ir a 6%a)#idade de )'s de %!a rede " a#rav"s de#ra)s,or!a&2es es#rea #ri/)9%o(

As ,'r!%as 6%e rea$io)a! os ee!e)#os da ,i9%ra =(0 são ?

abbcacbcabacabc y y y y y y y y C@A ++= =(0

ccbbacaab z z z z z z z z C@A ++= =(1

;i9( =(0

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$

a b

$



As o%#ras e6%a&2es se9%e! a !es!a '9i$a 6%e as e6%a&2es =(0 e =(1( U!a o%#ra!a)eira de red%>ir )'s de redes " a#rav"s de !a)ip%a&2es a9"bri$as das e6%a&2es o% e)#ãoa#rav"s de #ra)s,or!a&2es !a#ri$iais(

5 - Ciruitos om transformadores

Os $ir$%i#os $o! #ra)s,or!adores pode! ser resovidos #a)#o peo !"#odo das !a8as6%a)#o peo !"#odo dos )'s( A ,i9%ra 5(0 !os#ra %! e3e!po de %! $ir$%i#o !o)o,si$o $o!%! #ra)s,or!ador(

;i9( 5(0

A so%&ão do probe!a da ,i9%ra peo o !"#odo dos )'s pode ser ,ei#a !a)ip%a)do-se ase6%a&2es o% por !"#odos !a#ri$iais de 6%a6%er ,or!a " )e$essrio !o)#ar as e6%a&2es de$orre)#es de $ada )'( As e6%a&2es dos )'s do $ir$%i#o da ,i9%ra são respe$#iva!e)#e?

0-0@A 01:1:1 =+− −− i yvv

0-0@A@A@A <:<:0:0:1:1: =−+−+− −−− yvv yvv yvv

0-0@A 0<:<:< =+− −− i yvv

0-0@A 0=5=5= =+− −− i yvv

0-0@A@A 0505=5=5 =−+− −− yvv yvv

5(0

A e6%a&ão de #e)são do #ra)s,or!ador "?

K vvvv C@A@A 0=0< −=− 5(1

De ,or!a se!e8a)#e a e6%a&ão de $orre)#e do #ra)s,or!ador "?

0=<0 −×−= i K i 5(:

As e6%a&2es 5(0 5(1 e 5(: pode! ser or9a)i>adas )a ,or!a !a#ri$ia( A e6%a&ão re,ere)#e ao )'1 pode ser despre>ada desde 6%e a #e)são da ,o)#e de #e)são se+a $o)8e$ida(

7ara 6%e #odos os ee!e)#os da dia9o)a se+a! di,ere)#es de >ero #or)a-se )e$essrio obede$er%!a orde! )a $o)s#r%&ão da !a#ri>( A orde! das e6%a&2es para !o)#ar a !a#ri> )ão a,e#a ores%#ado e)#re#a)#o diversos !"#odos !a#ri$iais par#e! da s%posi&ão de 6%e #odos os ee!e)#osda dia9o)a são di,ere)#es de >ero(

5

1 : < = 51?

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5(<

! - Ciruitos om im"edânias m#tuas

Sis#e!as #ri,si$os )or!a!e)#e $o)#"! !#%as e)#re as ,ases( A ,i9%ra abai3o !os#ra oe3e!po de %! 9erador #ri,si$o a#errado $o)e$#ado a %!a i)8a e a i)8a por s%a ve>$o)e$#ada B #erra( O $ir$%i#o da ,i9%ra pode ser resovido #a)#o peo !"#odo das !a8as 6%a)#o

peo !"#odo dos )'s(

;i9%ra 4(0

S%po)do o 9erador e a i)8a de #ra)s!issão $o)#e)8a! i!ped/)$ias !#%as e 6%e a $o)e3ão dai)8a B #erra $o)#e)8a so!e)#e i!ped/)$ias pr'prias a e6%a&ão da !a8a re,ere)#e a ,ase 'a' do$ir$%i#o !os#rado )a ,i9%ra "?

0=−−−−−−− aaat c

acl b

abl a

aal c

ac g b

ab g a

aa g a i z i z i z i z i z i z i z e 4(0

As e6%a&2es das o%#ras d%as ,ases pode! ser $o)s#r%*das de !a)eira si!iar B e6%a&ão 4(0( Ase6%a&2es re,ere)#es Bs #r.s ,ases do $ir$%i#o da ,i9%ra pode! ser or9a)i>adas )a se9%i)#ee6%a&ão !a#ri$ia?

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A9r%pa)do as e6%a&2es 4(5 4(4 e 4(H de #a ,or!a 6%e as #e)s2es de $ada )' se+a! e3pi$i#adas#e!-se?

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y y y y y y

y y y y y y

4(

A e6%a&ão 4( pode ser es$ri#a de ,or!a si!pi,i$ada $o!o?

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Ta)#o a e6%a&ão 4( 6%a)#o a 4(J represe)#a! o $ir$%i#o $o!pe#o e)#re#a)#o so!e)#e pode serresovida ap's a separa&ão das i)$'9)i#as dos vaores $o)8e$idos( Sabe)do 6%e a #e)são do )' 1" $o)8e$ida a e6%a&ão 4( a$i!a pode ser red%>ida a?

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+−−−+−−−

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y y y y y y y y y

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4(10

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A e6%a&ão 4(10 pode ser resovida e! #er!os !a#ri$iais sabe)do 6%e o ve#or de $orre)#es podeser de#er!i)ado a par#ir dos vaores das #e)s2es do 9erador( E a ,or!a si!pi,i$ada da e6%a&ão4(10 ei!i)a)do o )' 1 "?



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l l g 4(1:

$ - Ciruitos trif%sios om neutro

Os $ir$%i#os e"#ri$os #ri,si$os !%i#as ve>es poss%e! $o)d%#ores )e%#ros( Os $o)d%#ores)e%#ros pode! #er diversas ,i)aidades( A ,i9%ra abai3o !os#ra o $aso de %! $ir$%i#o $o)sidera)do a i!ped/)$ias de )e%#ro #a)#o dai)8a de #ra)s!issão 6%a)#o do 9erador( A ,i9%ra abai3o !os#ra 6%e o )e%#ro pode ser$o)siderado $o!o se ,osse %!a quarta fase( Essa i)#erpre#a&ão ,a$ii#a a ,or!%a&ão dase6%a&2es(

;i9%ra H(0

A e6%a&ão 6%e de,i)e as i!ped/)$ias de %!a i)8a de #ra)s!issão #ri,si$a $o! )e%#ro e)#re os)'s : e < "?

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z z z z z z z z

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H(0

O 9erador pode #er %!a e6%a&ão se!e8a)#e a H(0( As !6%i)as 9eradoras )ão $o)#e!e)roa!e)#os de )e%#ro( A i!ped/)$ia de )e%#ro do 9erador 6%a)do )e$essria " i)s#aada )oado e3#er)o da !6%i)a( 7or#a)#o a i!ped/)$ia de )e%#ro de 9eradores o% !es!o de#ra)s,or!adores )ão $o)#"! !#%as( A e6%a&ão 6%e de,i)e os par/!e#ros de 9eradores podeser?

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A e6%a&ão $o!pe#a do $ir$%i#o da ,i9%ra a$i!a pode ser de,i)ida $o!o?

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O)de a !a#ri> [ ]l

z e a e6%a&ão [ ] g

z são de,i)idas respe$#iva!e)#e peas e6%a&2es H(0 e H(1 e

os ve#ores de #e)são de $ada %! dos )'s se re,ere ao )e%#ro e as #r.s ,ases(

O so!a#'rio das $orre)#es do )e%#ro )o )' 1 " dado por?

c g

b g

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nnnnc g

b g

a g

n iii yvviiii −−−−==−−− −− :1:1:1 @A0 H(<

O ve#or de $orre)#es [ ]10−i da e6%a&ão H(: pode ser e)$o)#rado a#rav"s da e6%a&ão H(< por#a)#o?

[ ]

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i 10 H(=

7ara resover a e6%a&ão H(: " )e$essrio separar as i)$'9)i#as dos vaores $o)8e$idos( A e6%a&ãoH(: pode ser si!pi,i$ada ao se ei!i)ar os vaores $o)8e$idos do ve#or de #e)s2es( A so%&ãodas e6%a&2es de $ir$%i#os #ri,si$os $o! )e%#ro se #or)a !ais si!pes ado#a)do-se $o!o nó de

referência ao i)v"s da #erra o )' 'n' ( Assi! 0-01

=nv e 0-0:

≠nv apesar do )' '!n' es#ar

a#errado( Assi! o ve#or de #e)s2es [ ]1v e6%ivae a?

[ ]

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1

1

1 H(5

S%bs#i#%i)do o vaor de [ ]1v )a se9%)da i)8a da e6%a&ão !a#ri$ia H(: ob#"!-se?

10



[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0

0

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e z H(4

S%po)do 6%e as #e)s2es do 9erador se+a! $o)8e$idas e separa)do as i)$'9)i#as dos vaores$o)8e$idos ob#"!-se?

[ ] [ ] [ ] [ ]

×=

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×+ −−−−

c g

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11H(4

A $o!posi&ão da e6%a&ão H(4 e a #er$eira i)8a da e6%a&ão !a#ri$ia H(: res%#a e!?

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

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−−

−−−

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111 g g

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l l g e z

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z z z H(4

A e6%a&ão H(4 #e! so%&ão desde 6%e as #e)s2es do 9erador se+a! $o)8e$idas(

& - Ciruitos trif%sios om neutro e terra

Os $ir$%i#os #ri,si$os )or!a!e)#e e)vove! a #erra( A %#ii>a&ão )or!a da #erra "$o!o %!a re,er.)$ia para a #e)são( E! $asos de ,a#as a #erra " %#ii>ada para $o)d%>ir $orre)#es(A #erra pode #a!b"! servir $o!o $o)d%#ora de e)er9ia e! i)8as de dis#rib%i&ão de bai3a

po#.)$ia(

A ,or!%a&ão !a#e!#i$a de $ir$%i#os #ri,si$os e)vove)do )e%#ro e #erra pode ser ,ei#a a#rav"sde %! $ir$%i#o $o! $i)$o ,ases o)de as 6%ar#a e 6%i)#a ,ases são respe$#iva!e)#e o )e%#ro e a#erra( a ;i9%ra abai3o !os#ra o $aso de %! sis#e!a si!pes $o)#e)do %! 9erador e! s"rie $o!%!a i)8a de #ra)s!issão(

;i9%ra (0

11

1$

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1a

1b

<#:#1#



7ara #or)ar as e6%a&2es %)i,or!es " $o)ve)ie)#e $o)siderar o 9erador $o!o se #ivesse $i)$o,ases assi! a e6%a&ão do 9erador pode ser?

−

−

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00

00

0000

00000

(0

To!a)do $o!o )' de re,er.)$ia o )' n e sabe)do 6%e as #e)s2es do 9erador são $o)8e$idas o)' pode ser ei!i)ado( Ei!i)a)do o )' " as $orre)#es res%#a)#es do 9erador e i)+e#adas )o )'! são?

∞

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00000

1

1

1

1

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:0

:0

:0

(1

A e6%a&ão da i)8a de #ra)s!issão e)vove)do )e%#ro e #erra pode ser ,or!%ada $o!?

[ ] [ ]

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o)de a !a#ri> de resis#.)$ias [ ] $ " dada por?

[ ]

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$

$

$ $

$

0000

0000

0000

00000000

(<

e a !a#ri> [ ] K " dada por?

1:



ΓΓΓΓΓΓ

ΓΓΓΓΓΓ

ΓΓΓΓΓΓ

ΓΓΓΓΓΓ

ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ

@C)A@C)A@C)A@C)A@C)A





cccbcacn

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A e6%a&ão (< pode ser ,or!%ada $o!o?

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(5

Co)8e$e)do [ ] g z dado pea e6%a&ão (0 e [ ]l z dado pea e6%a&ão (5 a e6%a&ão

$orrespo)de)#e ao $ir$%i#o da ,i9%ra (0 "?

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

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111 g g

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l l g e z

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z z z (4

& - Ciruitos trif%sios om one'ões ao neutro e(ou ) terra

A ,i9%ra abai3o !os#ra %! $ir$%i#o $o! i!ped/)$ias $o)e$#adas ao )e%#ro do $ir$%i#o(

;i9%ra J(0

A $o)e3ão de ee!e)#os B #erra o% ao )e%#ro pode! ser represe)#adas se! a%!e)#ar a di!e)sãodas !a#ri>es( A e6%a&ão de $orre)#e re,ere)#e ao )' '&n' pode ser dada por?

0-0<<<<<<:< =+++ −−−− cban iiii J(0

1<

1

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)



De)o!i)a)do as ad!i#/)$ias 6%e $o)e$#a! os )'s ao )e%#ro $o!o h a e6%a&ão de $orre)#es (0e! #er!os de #e)s2es e6Givae a?

0-0@A@A@A<<<<<<<<<:<

=−+−+−+−ccnbbnaann hvvhvvhvvi J(1

o)de?

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nnn yvv yvv yvv yvvi @A@A@A@A:<:<:<:<:<

−+−+−+−=− J(:

A e6%a&ão de $orre)#es do )' '&a' pode ser dada por?

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ccbnl

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aaanaaa yvv yvv yvvhvvii @A@A@A@A0-0:<:<:<<<<:<<<

−+−+−+−==+ −− J(<

A e6%a&ão !a#ri$ia do $ir$%i#o $o! i!ped/)$ias $o)e$#adas ao )e%#ro pode ser ,or!%ada $o!o a%3*io das e6%a&2es J(1 J(: e J(< assi!?

=

+−−−−−

+−−−−−

+−−−−−

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−−−−++++

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yh y yh y y y y y

y yh yh y y y y y

h yh yh yhhh y y y y y





J(=

A e6%a&ão J(= pode ser es$ri#a de ,or!a red%>ida $o!o?

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

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111 g g

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z z z J(5

o)de a !a#ri> de $o)e32es $orrespo)de a?

[ ]

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00

00J(4

E'em"lo &*+ - De#er!i)e as $orre)#es e #e)s2es do $ir$%i#o da ,i9%ra( S%po)8a 6%e a ,ase 'a' )o

po)#o es#e+a $o)e$#ada ao )e%#ro e as o%#ras d%as ,ases e! aber#o e 6%e o )e%#ro do 9eradores# $o)e$#ado B #erra a#rav"s de %!a rea#/)$ia i)d%#iva de 10 o8!s( S%po)8a #a!b"! 6%e o$o)d%#or )e%#ro da i)8a de #ra)s!issão #e)8a i!ped/)$ia despre>*ve(

1=



As !a#ri>es de i!ped/)$ia e! O8!s do 9erador e i)8a de #ra)s!issão são respe$#iva!e)#e?

[ ]

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−+−

−−+

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=

0J5-:H4:-0H4:-0

H4:-00J5-:H4:-0

H4:-0H4:-00J5-:

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z z z

z z z

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g e [ ]

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1055

5105

5510

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(olu)ão * A ,i9%ra abai3o !os#ra o $ir$%i#o #ri,si$o do e3e!po(

O probe!a pode ser ,or!%ado se9%i)do a e6%a&ão (5( E! #er!os de ad!i#/)$ias e! !8os#e!-se respe$#iva!e)#e para o 9erador e i)8a de #ra)s!issão?

[ ]

−=

I14J-0=44I-0=44I-0

=44I-0I14J-0=44I-0

=44I-0=44I-0I14J-0

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−−+

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15-005-005-0

05-015-005-0

05-005-015-0

# yl

A $o)e3ão do )e%#ro e)#re os )'s : e < de a$ordo $o! o $ir$%i#o #ri,si$o " %!a i!ped/)$ia)%a( 7or#a)#o i)$%i)do o )e%#ro as $orrespo)de)#es !a#ri>es de ad!i#/)$ias são?

[ ]

−=

I14J-0=44I-0=44I-00

=44I-0I14J-0=44I-00

=44I-0=44I-0I14J-00

0001-0

# y g e [ ]

+−−

−+−

−−+

∞

−=

15-005-005-00

05-015-005-00

05-005-015-00

000

# yl

A e6%a&ão !a#ri$ia de $o)e32es (4 $orrespo)de)#e ao )' < de a$ordo $o! as $o)di&2es do probe!a e6Givae a?

15

K10 !

, M 05Ω! - M :0Ω!

4J N5 NAM <0P

M 4P

7 Υ

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1a

1b



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00

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hh

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cc

bb

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A ,o)#e de #e)são do 9erador e6Givae)#e " <CJ-4 N( As ,o)#es de #e)são pode! sers%bs#i#%*das por ,o)#es de $orre)#es( Ass%!i)do 6%e o po)#o )e%#ro do 9erador #e! #e)são )%ae)#ão )a e6%a&ão a$i!a o vaor do ve#or de $orre)#es "?

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∠

−∠

=

∠

∠

∠

−=

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:=0@<CJ-4A

0@<CJ-4A

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=44I-0I14J-0=44I-0

=44I-0=44I-0I14J-0

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:

:

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i

i

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S%bs#i#%i)do as ,o)#es de #e)são por ,o)#es de $orre)#es os )'s 1a 1b e 1$ são ei!i)ados( A,i9%ra abai3o !os#ra o $ir$%i#o #ri,si$o e6Givae)#e do e3e!po(

S%bs#i#%i)do os vaores das !a#ri>es de ad!i#/)$ia )a e6%a&ão (5 ob#"!-se?

=

+−−−++

−+−+−+

−−∞+∞−++−

∞−∞+∞∞−

−++

+−+

++−

∞−∞+

−

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0

0

0

0

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05-015-005-0005-015-005-00

05-005-015-005-005-015-00

00000

15-005-005-00J44J-0=14I-0=14I-00

05-015-005-00=14I-0J44J-0=14I-00

05-005-015-00=14I-0=14I-0J44J-00

0000001-0

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Resove)do a e6%a&ão a$i!a o res%#ado "?

14

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:a <a

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=50-<I54-1

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Co)8e$e)do as #e)s2es )a i)8a de #ra)s!issão as respe$#ivas $orre)#es são?

[ ]

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+

++

+−−

−+−

−−+

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−

−

−

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−

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000-0000-0

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000-0J01-0

000-0J01-0

000-0I0=-1

15-005-005-0

05-015-005-0

05-005-015-0

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<:

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A

E'em"lo &*2 - De#er!i)e as $orre)#es e #e)s2es do $ir$%i#o do e3e!po J(1( A i)8a de#ra)s!issão poss%i )e%#ro e es# a#errada e! a!bas e3#re!idades( Os par/!e#ros por ! dai)8a de #ra)s!issão são dados pea se9%i)#e e6%a&ão !a#ri$ia?

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+

+

+

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∆

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∆

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554:-0@45-1CI=J)A@50-:CI=J)A@5J-:CI=J)A@I=JCI=J)A

@45-1CI=J)A554:-0@I5-0CI=J)A@00-:CI=J)A@I=JCI=J)A

@50-:CI=J)A@I5-0CI=J)A554:-0@1H-:CI=J)A@I=JCI=J)A

@5J-:CI=J)A@00-:CI=J)A@1H-:CI=J)A554:-0@I=JCI=J)A

@I=JCI=J)A@I=JCI=J)A@I=JCI=J)A@I=JCI=J)A@I=JCI=J)A0055J:-0

Fa e6%a&ão !a#ri$ia a$i!a os par/!e#ros são e! Ω! e @00155=-0CI=J)A= ' e0H5=-0×= #. (


1H

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:)1)

1a

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<#:#



E! #er!os de ad!i#/)$ia a !a#ri> dos par/!e#ros da i)8a de #ra)s!issão "?

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∆

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0-00-00-00-00-0055J:-0

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∆

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0HHIH-00H01I-001:=I-00::01-001:5=-001HH1-001J45-001J<4-00-0

01:=I-00::01-00H5I=-00H44<-001:5<-00:I=I-001:4=-001J4<-00-0

01:5=-001HH1-001:5<-00:I=I-00H455-00H=<=-001:<4-001J4J-00-0

01J45-001J<4-001:4=-001J4<-001:<4-001J4J-00HHJH-004JJ-00-0

0-00-00-00-00-0II<-1H

A e6%a&ão $o!pe#a do $ir$%i#o #ri,si$o da ,i9%ra ei!i)a)do o )' 1 $orrespo)de a?

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

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<

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l l

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o)de [ ]h são as !a#ri>es de $o)e32es( E3pa)di)do a !a#ri> a$i!a o res%#ado "?

=

−−−−

−−−−

+∞+∞−−−−−

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tt l

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y y y y y y y y

y y y y y y y y

y y y y y y y y

y y



y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

y y

S%bs#i#%i)do os vaores $o)8e$idos )a e6%a&ão a$i!a o res%#ado "?

1



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+∠−

+∠−

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∠

∠

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c

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n

t

+, - Ciruitos trif%sios om transformadores

A ,i9%ra abai3o !os#ra %! 9erador #ri,si$o $o)e$#ado a %! #ra)s,or!ador ∆ Υ ( Ta)#o o9erador 6%a)#o o #ra)s,or!ador es#ão a#errados a#rav"s de i!ped/)$ias( A rea&ão de espiras do#ra)s,or!ador " dada por /01(

;i9%ra 10(0

O #ra)s,or!ador " represe)#ado por %! transformador ideal e! s"rie $o! s%a i!ped/)$ia pr'pria( A si!%a&ão do #ra)s,or!ador idea pode ser ,ei#a a#rav"s de d%as e6%a&2es %!ae6%a&ão de #e)s2es e %!a de $orre)#es(

A e6%a&ão de $orre)#es do )' '!a' e '!n' são respe$#iva!e)#e?

0-0::1: =++− acaba iii

0-0=:1:

=+ −−nn ii

10(0

1J

<

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1 =: A?



De,i)i)do 6%e / 1 K C= e sabe)do 6%e anab i K i<:

×−= as e6%a&2es 10(0 pode! ser

,or!%adas $o!o?

0-0@A@A@A@A <<1:1:1:1: =×+×−−+−+−+− cnanac

g ccab

g bbaa

g aaan

g nn

i K i K yvv yvv yvv yvv

0-0@A@A=:=:1:1:

=−+− −−nnnnnn yvv yvv

10(1

E! #er!os !a#ri$iais as e6%a&2es 10(1 re,ere)#es ao )' : pode! ser es$ri#as $o!o?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0==:1:=: =−+−

+ −− v yi yv yv y y n2 v g

n g 10(:

o)de?

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K K

K K v yi y

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0000

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00

0000

10(<

As e6%a&2es do )' < re,ere)#es as ,ases 'a' e 'n' pode! ser dadas por?

0-0@A=<=<<=<<

=−+=+ −−aaaanaan yvviii

0-0@A<<<=<=<<<<=<

=−−−−=+++ −−cnbnannnnncnbnan iii yvviiii

10(=

Sabe)do 6%e?

K vvvv naba C@A<<::

−=− 10(5

As e6%a&2es 10(= pode! ser es$ri#as $o!o?

[ ] 0-0@@A=<=<::<

=−+−+ −aanbaan yvvvv K i

0-0@A<<<=<=<

=−−−− −cnbnannnn iii yvv

10(4

E! #er!os !a#ri$iais as e6%a&2es 10(4 re,ere)#es ao )' < pode! ser dadas por?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0=:R =−+ v yv yi y t t 2 3

10(H

:0



o)de?

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10(

As e6%a&2es do )' = re,ere)#es as ,ases 'a' e 'n' pode! ser dadas por?

[ ] 0-0@A@A<::=<=<=<=

=−−−=−= −−at

nbaaaaaa yvvv K v yvvi

0-0@A@A:=:=<=<=

=−+− −−nnnnnn yvv yvv

10(J

E! #er!os !a#ri$iais as e6%a&2es do )' = pode! ser dadas por?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0=:=S

:R

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n10(10

O)de?

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i

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000

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000

10(11

Ado#a)do o )' 'n' $o!o re,er.)$ia e ei!i)a)do o )' 1 re,ere)#e Bs < ,ases e o )e%#ro ae6%a&ão !a#ri$ia do sis#e!a da ,i9%ra passa a #er J i)$'9)i#as de #e)são e < i)$'9)i#as de$orre)#es do #ra)s,or!ador #o#ai>a)do e)#ão 1: i)$'9)i#as( A e6%a&ão se9%i)#e !os#ra a !a#ri>de admitâncias do sis#e!a?

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

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t 3 t

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v

i

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y y y y y

y y y

y y y y

10(1:

:1



E'em"lo +,*+ - De#er!i)e as $orre)#es e #e)s2es do $ir$%i#o da ,i9%ra( S%po)8a 6%e a ,ase 'a' )o po)#o es#e+a $o)e$#ada ao )e%#ro e as o%#ras d%as ,ases e! aber#o( S%po)8a #a!b"! 6%e

#a)#o o )e%#ro do 9erador 6%a)#o o do #ra)s,or!ador são a#errados a#rav"s de rea#/)$ias i)d%#ivasde 10 o8!s(


A !a#ri> [ ] g y do 9erador $orrespo)de a?

[ ]

−=

+−−

−+−

−−+−=

−

I14J-0=44I-0=44I-00

=44I-0I14J-0=44I-00

=44I-0=44I-0I14J-00

000100-0

0J5-:H4:-0H4:-00

H4:-00J5-:H4:-00

H4:-0H4:-00J5-:0

00000-10 1

# # y g

S%po)do 6%e a re,er.)$ia das #e)s2es se+a o )' n e)#ão as #e)s2es do 9erador são dadas por?

[ ]

∠

∠

∠=

1:0JI=-<

:=0JI=-<

0JI=-<

0-0

g e

Assi! ei!i)a)do o )' " as $orre)#es i)+e#adas )o )' ! $orrespo)de! a?

::

K4J N5 NAM <0PM 4P

7 Υ

4JN4JN M H P10 NA

∆ Υ

4J?<J=

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[ ] [ ]

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∠

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∠

∠

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1:0JI=-<

:=0JI=-<

0JI=-<

0-0

I14J-0=44I-0=44I-00

=44I-0I14J-0=44I-00

=44I-0=44I-0I14J-00

000100-0

#e y g g

A !a#ri> [ ]t y do #ra)s,or!ador $orrespo)de a?

[ ]

−=

−=

−

0<0-0000

00<0-000

000<0-00

000100-0

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0<<-<<00

00<<-<<0

00000-10 1

# # yt

A !a#ri> de $o)e32es ao )e%#ro [ ]=h $orrespo)de a

[ ]

∞+∞−

∞−∞+

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0000

0000

00

00

= #h

I)$%i)do as $o)e32es ao )e%#ro a !a#ri> $o!pe#a do $ir$%i#o da ,i9%ra $orrespo)de a?

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

++−−

−

−+

−−

−−

==:SR

:=

R

=:=:

h y y y y y

y y y

y y y y

nt t t

n

t 3 t

nvn g

E! #er!os )%!"ri$os a !a#ri> a$i!a e6Givae a?

−++−

−+−+

∞+−∞−+−

∞−∞+∞+−+∞−

−−+

−+−

−+−

−−−−

−+−−−

−+−−−

+−−−−

− ∞∞+−

0<-00000000<-01H<:-001H<:-00

00<-0000000<-01H<:-01H<:-000

000<-00000<-001H<:-01H<:-00

001-000010-0000

0<-00001000<-01H<:-001H<:-00

00<-0000100<-01H<:-01H<:-000

000<-000010<-001H<:-01H<:-00

0001-011110-00000

0000HH=-5HH=-500I14J-0=44I-0=44I-00

00000HH=-5HH=-50=44I-0I14J-0=44I-00

0000HH=-50HH=-50=44I-0=44I-0I14J-00

00000000001-0

# # # #

# # # #

# # # #

# #

# # # #

# # # #

# # # #

# #

# # #

# # #

# # #

#

Resove)do a e6%a&ão $orrespo)de)#e ao $ir$%i#o da ,i9%ra ob#"!-se?

:<



+∠

+∠

+∠

+∠

+∠

+∠

+∠

+∠+∠

−∠

−∠

+∠

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−

+

+

+

+

+−

−−+−

−

−

+

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1:JJ-<=

:J1J-<=

0-00-0

0-00-0

0-00-0

0-00-0

1:01H1-0

:10H1-11:0JI-<

J-HH10-:

<-=:10-:

0-00-0

1I-:HJ<-:1

54-<:5I-1:

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00

00

00

1=I-00I5-0

I5-0=I-1=5-<JJ-1

05-:==-0

=1-155-1

00

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=

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v

v

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n

c

b

a

n

E'em"lo +,*2 - De#er!i)e as $orre)#es e #e)s2es do $ir$%i#o da ,i9%ra s%po)do 6%e )a barra < a,ase 'a' es# e! $o)#a#o $o! o )e%#ro( O $o)d%#or )e%#ro se es#e)de da barra : a#" a barra 4( O$o)d%#or )e%#ro " a#errado )a barra : a#rav"s de %!a resis#.)$ia de 5 O8!s e )a barra 5 de 100O8!s( O )e%#ro do 9erador e6Givae)#e es# a#errado a#rav"s de %!a resis#.)$ia de 1 O8! edes$o)e$#ado do )e%#ro do sis#e!a( Os #re$8os :-< e 5-4 es#ão !o)#ados )as !es!as es#r%#%ras

$o),or!e !os#ra a ,i9%ra de disposi&ão dos $o)d%#ores( Os $o)d%#ores da a#a e bai3a #e)são #.!respe$#iva!e)#e raios !"dios 9eo!"#ri$os e6Givae)#es a 1:J5 $! e 1110 $! e resis#.)$ias de0554 e 15JH O8!s!(

(olu)ão * A ,i9%ra abai3o !os#ra o $ir$%i#o #ri,si$o do e3e!po( E3is#e! diversas a#er)a#ivas para se represe)#ar as $o)e32es do )e%#ro e e)#re o )e%#ro e a #erra( 7ara #or)ar a represe)#a&ão!a#ri$ia !ais %)i,or!e pode-se i!a9i)ar %! $o)d%#or 'terra' #a)#o para o 9erador 6%a)#o parao #ra)s,or!ador #or)a)do s%as !a#ri>es de i!ped/)$ias si!iares Bs das i)8as(

Os $ir$%i#os de a#a e bai3a #e)são $o!par#i8a! as !es!as es#r%#%ras )%!a e3#e)são de 01 !(Assi! os 5! deve! ser divididos e! dois #re$8os os pri!eiros =J ! $o)#e)do so!e)#e a a#a#e)são e os res#a)#es 01 ! $o)#e)do os $ir$%i#os a$opados( Os $ir$%i#os a$opados poss%e!%! )i$o $o)d%#or )e%#ro e #erra( Ado#a)do o $o)d%#or )e%#ro e #erra $o!o par#es da do $ir$%i#ode a#a #e)são i!pi$a 6%e o $ir$%i#o de bai3a #e)são )ão os poss%i(

:=

1< N:5 NA M 15P

K

Υ

1<N0<N M H P

015 NA

∆ Υ 5 ! 0 1 !

: = 4 H

04 ! 0:5 ! 05 !

0: !0: !0: !

1: !



A e6%a&ão de $orre)#es para as ,ases 'a' e 'n' do )' < $orrespo)de! a?

0-0=<:<

=+ −−aa ii e 0-0

=<:< =+ −−

nn ii

E! #er!os de #e)s2es as e6%a&2es a$i!a $orrespo)de! a?

0-0@A@A@A@A@A

@A@A@A@A@A

@A@A@A@A@A

4H4H4H4H4H4H4H4H4H4H

=<=<=<=<=<=<=<=<=<=<

:<:<:<:<:<:<:<:<:<:<

=−+−+−+−+−

+−+−+−+−+−

+−+−+−+−+−

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−−−−−

−−−−−

a4 4 4 a1 1 1a/ / /a5 5 5 a2 2 2

acccabbbaaaaannnat t t


yvv yvv yvv yvv yvv

yvv yvv yvv yvv yvv

yvv yvv yvv yvv yvv

E3pa)di)do e e6%a&ão a$i!a para #odas as ,ases e as res$reve)do e! #er!os !a#ri$iais?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0-0H4H44H==<<=<<:<::<

=+−−++− −−−−−− v yv yv yv yv yv y

De)o!i)a)do l o pri!eiro #re$8o da a#a #e)são h o #re$8o a$opado de a#a #e)são e 6 o #re$8oa$opado de bai3a a e6%a&ão a$i!a pode ser es$ri#a $o!o?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0-0H4=<<: =+−−++− v yv yv yv yv yv y h6 h6 hhhhll ll

As e6%a&2es do )' = dão ori9e! a?

:5

1<?0:1J

HJHN

:1 5 4=

H

∞ Ω

0 Ω5 Ω 100 Ω

0 Ω

0 Ω

0 Ω

0 Ω1 Ω

∞ Ω

∞ Ω

<



0-0

@A@A@A@A@A

@A@A@A@A@A

55

H4H4H4H4H4H4H4H4H4H4

<=<=<=<=<=<=<=<=<=<=

=×+×−

+−+−+−+−+−

+−+−+−+−+−

−−−−−

−−−−−

cnan

a4 4 4 a1 1 1a/ / /a5 5 5 a2 2 2


i K i K

yvv yvv yvv yvv yvv

yvv yvv yvv yvv yvv

0-0@A

@A@A@A

@A@A@A@A@A

5=5=

H4H4H4H4H4H4

<=<=<=<=<=<=<=<=<=<=

=−

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+−+−+−+−+−

−

−−−

−−−−−

nnnn

n4 4 4 n1 1 1n/ / /

ncccnbbbnaaannnnnt t t

yvv

yvv yvv yvv

yvv yvv yvv yvv yvv

Es#e)de)do para #odas as ,ases as e6%a&2es !a#ri$iais são?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0H4=< =−−++− 2 vh6 h6 hhhh i yv yv yv yv y

o)de?

[ ] [ ]

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c

b

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bcbbbabn

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tt

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v

y y y y

y y y y

y y y y

y y y y

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[ ] [ ]

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c

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b4 b1b/

a4 a1a/

n4 n1n/

t4 t1t/

h6

v

v

v

v

v

y y y

y y y

y y y

y y y

y y y

v y

4

4

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00

00

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[ ] [ ]

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+−

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−

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nn

tt

2 v

i

i

i

v

v

K K

K K

K K

y

y

i y

5

5

5

5

5

5=

5=

000

000

000

0000

0000

As e6%a&2es do )' 5 para as ,ases 'a' e 'n' dão ori9e! a?

0-0455

=+ −aan ii e 0-0

55545=5 =++++ −−

ncnbnann iiiii

As e6%a&2es a$i!a e! #er!os de #e)s2es e6Givae a?

:4



0-0U@AV@A4545==545455

=−+−×+=−+ −− / /n 1 /an / / /an yvvvv K i yvvi

0-0@A@A5554545=5=5

=−−−−+− −−cncnannnnnnnnn iii yvv yvv

Es#e)de)do as e6%a&2es a$i!a para #odas as ,ases e! #er!os !a#ri$iais #e!-se 6%e?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0445==5555 =−− −−− v yv yi y

o)de?

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As e6%a&2es do )' 4 para as ,ases 'a' e 'n'" i9)ora)do as $o)e32es paraeas dão ori9e! a?

0-0H454

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nn ii

Sabe)do 6%e o #re$8o de i)8a de bai3a #e)são )ão poss%i )e%#ro o% #erra pois o )e%#ro e o #erra per#e)$e! ao $ir$%i#o de a#a #e)são as e6%a&2es a$i!a e! #er!os de #e)s2es e6Givae a?

0-0@A@A@A@A@A

@A@A@A

@A@A@A@A@A

@A@A@A

<=<=<=<=<=<=<=<=<=<=

H4H4H4H4H4H45

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H4H4H4H4H4H45

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/4 4 4 /1 1 1 // / /an

yvv yvv yvv yvv yvv

yvv yvv yvvi

yvv yvv yvv yvv yvv

yvv yvv yvvi

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0-00-0@A@A@A@A H45454H4H45454 =×−+−=−+− −−−

nnnnnnnnnnnnnn vv yvv yvv yvv

Es#e)de)do as e6%a&2es a$i!a para #odas as ,ases e! #er!os !a#ri$iais #e!-se 6%e?

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0-0H45=< =−+−+− v yv yi yv yv y 66 66 iv 6h 6h

o)de?

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v

v

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0000

A !a#ri> $o!pe#a do $ir$%i#o da ,i9%ra se! evar e! $o)#a as $o)e32es paraeas do $ir$%i#o Éde,i)ida $o!o?

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

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h6 h6 vhhhh

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ll ll g g

g g

A !a#ri> [ ] g y do 9erador $orrespo)de a?

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A !a#ri> [ ]t y do #ra)s,or!ador $orrespo)de a?

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#

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As i)8as $o)e$#a)do as barras <-= e 4-H são a$opadas( De)o!i)a)do a i)8a <-= $o! e#ras!i)s$%as e a i)8a 4-H $o! !ais$%as a !a#ri> e6Givae)#e #e! a ,or!a?

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

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66 66 6h

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66 6h

h6 hhacopladaacoplada

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+ # + # $

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z z z y

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@40-0C)A@01:J5-0C)A@10-1C)A@::4-1C)A@C)A

@H0-1C)A@10-1C)A@01:J5-0C)A@=H1-1C)A@C)A

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@:00-0C)A@01110-0C)A@:00-0C)A00

@=00-0C)A@:00-0C)A@01110-0C)A00

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00000

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@JJ1-1C)A@I1:-1C)A@4<I-1C)A00

@40-0C)A@=0-0C)A@:0-0C)A00

@C)A@C)A@C)A00

0H5=-01-0h6 +

[ ]

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@JJ1-1C)A@I1H-1C)A@JJ1-1C)A@40-0C)A@C)A

@I1:-1C)A@41J-1C)A@I1:-1C)A@=0-0C)A@C)A

@4<I-1C)A@=::-1C)A@4<I-1C)A@:0-0C)A@C)A

00000

00000

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Sabe)do 6%e I=J=Γ ! #e!-se 6%e?

[ ]

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I=HJ-04:JJ-05HH4-000

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=544-0=4<H-0=H1<-000

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=544-0=4<5-0=544-05=H0-00

=4<H-0=H::-0=4<H-05HH4-00

=H1<-0=I:0-0=H1<-04:JJ-00

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Sabe)do 6%e 015J0-0= K e 6%e I=-1= # yt −= as e6%a&2es !a#ri$iais [ ][ ]2 v i y e [ ]=R v yt do

$ir$%i#o da ,i9%ra $orrespo)de! a?

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y y y y y

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14 11 1/ 15 12 1c 1b 1a 1n 1t

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54 51 5/ 55 52 5c 5b 5a 5n 5t

24 212/25 22 2c2b2a2n2t

c4 c1c/c5 c2 cccbcacnct

b4 b1b/b5 b2 bcbbbabnbt

a4 a1a/a5 a2 acabaaanat

n4 n1n/n5 n2 ncnbnannnt

t4 t1t/t5 t2 tctbtatntt

linha

y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y

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y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y

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y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y

y

<1



A e6%a&ão $o!pe#a do $ir$%i#o $orrespo)de a?

++ - E'erios

E'erio ++*, - De#er!i)ar o dia9ra!a de i!ped/)$ias e a !a#ri> de ad!i#/)$ia )oda dosis#e!a da ,i9%ra( U#ii>ar %!a po#.)$ia de base de 100 NA e #e)são de base de 1< N )a

barra /( Os dados do #ra)s,or!ador de #r.s e)roa!e)#os são 37S M 0P 37T M 50P e 3TS M050P )as bases )o!i)ais dos #er!i)ais o pri!rio " de 4J N e 10 NA o se$%)drio " de 4JN e H5 NA e o #er$irio " de <=5 N e :5 NA( prova de /( de !mai89 @

E'erio ++*+ - De#er!i)ar a !a#ri> de ad!i#/)$ia )oda do sis#e!a da ,i9%ra( prova de /(

de -9mai8: @(

E'erio ++*2 - De#er!i)ar a !a#ri> de ad!i#/)$ia )oda do $ir$%i#o da ,i9%ra $o)sidera)do 6%eo #ra)s,or!ador eevador es#e+a $o)e$#ado )o ado de bai3a )o #ap de 4 N( U#ii>ar po#.)$iade base de 100NA e #e)são de base de 4JN )o 9erador( prova de /( de !:ago8: @(

,i!

<:

≈

RM0:= Ω!

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$M0:= Ω!

7M050 Ω!

M<00 Ω×!

NA4JN

H5 NA + MP44N1<N

10 NA $M05PWM10P4JN4JN

5X+:@ NA

equacoes de redes eletricas

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