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8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v

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California Partners for Advanced Transit

and Highways (PATH)

UC Berkeley

Title:Modeling And Control Design For A Computer Controlled Brake System

Author:

Raza, H.Xu, Z.Ioannou, P.Yang, B.

Publication Date:

01-01-1995

Series:

Research Reports

Publication Info:

Research Reports, California Partners for Advanced Transit and Highways (PATH), Institute ofTransportation Studies, UC Berkeley

Permalink:

http://escholarship.org/uc/item/2dx3p56v

Keywords:

Automobiles--Automatic control, Motor vehicles--Automatic control, Automobiles--Brakes--Mathematical models

Abstract:In this paper, the problem of modeling and control design of a computer controlled brake system isaddressed. A nonlinear model for the brake system is developed by analyzing the input-output dataobtained from the test bench. A controller for the brake system is designed by applying feedbacklinearization techniques along with intuitive modifications to meet the closed loop specifications.
http://escholarship.org/uc/item/2dx3p56vhttp://escholarship.org/uc/its_path_reportshttp://escholarship.org/uc/search?creator=Yang%2C%20B.http://escholarship.org/uc/search?creator=Ioannou%2C%20P.http://escholarship.org/uc/search?creator=Xu%2C%20Z.http://escholarship.org/uc/search?creator=Raza%2C%20H.http://escholarship.org/uc/ucbhttp://escholarship.org/uc/its_pathhttp://escholarship.org/uc/its_pathhttp://escholarship.org/uc/its_pathhttp://escholarship.org/http://escholarship.org/http://escholarship.org/http://escholarship.org/


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ISSN 1055-1425

November 1995

This work was performed as part of the California PATH Program of the

University of California, in cooperation with the State of California Business,Transportation, and Housing Agency, Department of Transportation; and the

United States Department of Transportation, Federal Highway Administration.

The contents of this report reflect the views of the authors who are responsible

for the facts and the accuracy of the data presented herein. The contents do not

necessarily reflect the official views or policies of the State of California. This

report does not constitute a standard, specification, or regulation.

Report for MOU 57

CALIFORNIA PATH PROGRAM

INSTITUTE OF TRANSPORTATION STUDIES

UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY

Modeling and Control Design for a

Computer Controlled Brake System

UCB-ITS-PRR-95-37

California PATH Research Report

H. Raza, Z. Xu, P. Ioannou, B. Yang

University of Southern California

CALIFORNIA PARTNERS FOR ADVANCED TRANSIT AND HIGHWAYS


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M o d e l i n g a n d C o n t r o l D e s i g n f o r a C o m p u t e r C o n t r o l l e d

B r a k e S y s t e m

H . R a z a , Z . X u a n d P . I o a n n o u

D e p t . o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g - S y s t e m s

U n i v e r s i t y o f S o u t h e r n C a l i f o r n i a

L o s A n g e l e s , C A 9 0 0 8 9 - 2 5 6 3

2 1 3 7 4 0 - 4 4 5 2

A b s t r a c t . T h e b r a k e s u b s y s t e m i s o n e o f t h e m o s t s i g n i c a n t p a r t s o f a v e h i c l e w i t h

r e s p e c t t o s a f e t y . A c o m p u t e r c o n t r o l l e d b r a k e s y s t e m h a s t h e c a p a b i l i t y o f a c t i n g f a s t e r

t h a n t h e h u m a n d r i v e r d u r i n g e m e r g e n c i e s , a n d t h e r e f o r e h a s t h e p o t e n t i a l o f i m p r o v i n g

s a f e t y .

I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f m o d e l i n g a n d c o n t r o l o f a c o m p u t e r c o n t r o l l e d

b r a k e s y s t e m . T h e b r a k e m o d e l i s d e v e l o p e d u s i n g a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s c o n d u c t e d o n

a t e s t b e n c h w h i c h c o n t a i n s t h e f u l l s c a l e b r a k e s u b s y s t e m o f a L i n c o l n t o w n c a r

y

a n d a

c o m p u t e r c o n t r o l l e d a c t u a t o r d e s i g n e d b y F o r d M o t o r C o m p a n y . T h e d e v e l o p e d m o d e l

h a s t h e f o r m o f a r s t o r d e r n o n l i n e a r s y s t e m w i t h t h e s y s t e m n o n l i n e a r i t i e s l u m p e d i n

t h e m o d e l c o e c i e n t s . T h e u n k n o w n m o d e l p a r a m e t e r s a r e i d e n t i e d b y a p p l y i n g c u r v e

t t i n g t e c h n i q u e s t o t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e m a j o r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s y s t e m

i n p u t - o u t p u t c u r v e s s u c h a s t i m e d e l a y , e e c t o f s t a t i c f r i c t i o n , t r a n s i e n t a n d s t e a d y

s t a t e p a r t s , h a v e b e e n i d e n t i e d i n t e r m s o f m o d e l p a r a m e t e r s . T h e b r a k e c o n t r o l l e r

d e s i g n m a k e s u s e o f a s t a n d a r d f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e a l o n g w i t h i n t u i t i v e

m o d i c a t i o n s t o m e e t t h e c l o s e d l o o p p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s . T h e s i m u l a t i o n r e -

s u l t s s h o w t h a t t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r g u a r a n t e e s n o o v e r s h o o t a n d z e r o s t e a d y s t a t e

e r r o r f o r s t e p i n p u t s . T e s t o f t h e s a m e c o n t r o l l e r u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l b e n c h s e t u p

d e m o n s t r a t e s i t s e e c t i v e n e s s i n m e e t i n g t h e p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s .

K e y w o r d s : M o d e l i n g , B r a k e S y s t e m , D i s c r e t e T i m e C o n t r o l , F e e d b a c k L i n e a r i z a t i o n , A d -

v a n c e d V e h i c l e C o n t r o l S y s t e m s , A u t o m a t e d H i g h w a y S y s t e m s .

T h i s w o r k i s s u p p o r t e d b y t h e C a l i f o r n i a D e p a r t m e n t o f T r a n s p o r t a t i o n t h r o u g h P A T H o f t h e U n i v e r s i t y

o f C a l i f o r n i a a n d F o r d M o t o r C o m p a n y . T h e c o n t e n t s o f t h i s p a p e r r e e c t t h e v i e w s o f t h e a u t h o r s w h o

a r e r e s p o n s i b l e f o r t h e f a c t s a n d t h e a c c u r a c y o f t h e d a t a p r e s e n t e d h e r e i n . T h e c o n t e n t s d o n o t n e c e s s a r i l y

r e e c t t h e o c i a l v i e w s o r p o l i c i e s o f t h e S t a t e o f C a l i f o r n i a . T h i s p a p e r d o e s n o t c o n s t i t u t e a s t a n d a r d ,

s p e c i c a t i o n o r r e g u l a t i o n .

y

L i n c o l n t o w n c a r i s t h e t r a d e m a r k o f F o r d M o t o r C o m p a n y

i


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E x e c u t i v e S u m m a r y

I n t h i s p a p e r t h e p r o b l e m o f m o d e l i n g a n d c o n t r o l d e s i g n o f a c o m p u t e r c o n t r o l l e d b r a k e

s y s t e m i s a d d r e s s e d . T h e b r a k e s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s a t e s t b e n c h d e s i g n e d b y F o r d

M o t o r C o m p a n y , w h i c h c o n t a i n s t h e f u l l s c a l e b r a k e s u b s y s t e m o f L i n c o l n T o w n c a r a n d a

c o m p u t e r c o n t r o l l e d a c t u a t o r .

A n o n l i n e a r m o d e l f o r t h e b r a k e s y s t e m i s d e v e l o p e d b y a n a l y z i n g t h e i n p u t - o u t p u t d a t a

o b t a i n e d f r o m t h e t e s t b e n c h . T h e m o d e l i d e n t i e s t h e m a j o r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e b r a k e

s y s t e m , s u c h a s t i m e d e l a y , t r a n s i e n t a n d s t e a d y s t a t e b e h a v i o r . T h e m o d e l c a n b e u s e d i n

d e s i g n i n g a n d t e s t i n g v e h i c l e b r a k e c o n t r o l l e r s a n d i n c a l c u l a t i n g s a f e i n t e r - v e h i c l e s p a c i n g s

b y t k i n g i n t o a c c o u n t t h e t i m e d e l a y o f t h e b r a k e s y s t e m .

A c o n t r o l l e r f o r t h e b r a k e s y s t e m i s d e s i g n e d b y a p p l y i n g f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e

a l o n g w i t h i n t u i t i v e m o d i c a t i o n s t o m e e t t h e c l o s e d l o o p p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s . T h e

s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r g u a r a n t e e s n o o v e r s h o o t a n d z e r o s t e a d y

s t a t e e r r o r f o r s t e p i n p u t s . T e s t o f t h e s a m e c o n t r o l l e r u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l b e n c h s e t u p

d e m o n s t r a t e s i t s e e c t i v e n e s s i n m e e t i n g t h e p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s .

i i


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C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 1

2 B r a k e S y s t e m C o m p o n e n t s 2

2 . 1 A u x i l i a r y H y d r a u l i c M o d u l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

2 . 2 V a c u u m B o o s t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

2 . 3 M a s t e r C y l i n d e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

3 P r o p o s e d B r a k e M o d e l 6

4 P a r a m e t e r I d e n t i c a t i o n 9

4 . 1 S t e p I n p u t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

4 . 2 S t a i r c a s e I n p u t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

5 C o n t r o l D e s i g n 1 4

5 . 1 C o n t r o l l e r M o d i c a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 6

6 S t a b i l i t y A n a l y s i s 1 8

7 S i m u l a t i o n a n d I m p l e m e n t a t i o n R e s u l t s 1 9

8 C o n c l u s i o n 2 0

A L o o k u p T a b l e s 2 2

i i i


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L i s t o f F i g u r e s

1 B l o c k D i a g r a m o f t h e B r a k e S u b s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2

2 B l o c k D i a g r a m o f t h e A u x i l i a r y H y d r a u l i c M o d u l e : : : : : : : : : : : : : : 3

3 B l o c k D i a g r a m o f t h e V a c u u m B o o s t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

4 V a c u u m B o o s t e r O p e r a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

5 B l o c k D i a g r a m o f M a s t e r C y l i n d e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

6 B r a k e l i n e p r e s s u r e f o r b u i l d i n g m o d e . I n p u t s r a n g e f r o m d u t y c y c l e o f 7 6 t o

4 8 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

7 B r a k e l i n e p r e s s u r e f o r b l e e d i n g m o d e . T h e i n p u t i s e q u a l t o 4 8 f o r 0

t 3 0 s e c a n d i s c h a n g e d a t t = 3 0 s e c t o d i e r e n t d u t y c y c l e v a l u e s r a n g i n g

f r o m 5 0 t o 9 0 . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

8 T o p p o r t i o n o f t h e F i g u r e s h o w s t h a t f o r t h e r e l a x e d s y s t e m a l a r g e t i m e

d e l a y , 0 . 2 s e c , i s o b s e r v e d . H o w e v e r , f o r a n y s u b s e q u e n t c h a n g e s i n t h e i n -

p u t b o t t o m p o r t i o n , t h e t i m e d e l a y i s v e r y s m a l l 0 0 1 s e c . : : : : : : : 8

9 C h a n g e i n b f o r c h a n g e i n i n p u t f r o m 5 6 t o 5 0 u = 6 a n d f r o m 6 8

t o 6 4 u = 4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2

1 0 B l o c k d i a g r a m o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5

1 1 B l o c k d i a g r a m f o r i m p l e m e n t a t i o n o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d c o n t r o l s y s t e m . 1 6

1 2 B l o c k d i a g r a m o f t h e m o d i e d i n t e g r a t o r . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7

1 3 B l o c k d i a g r a m o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d c o n t r o l s y s t e m . : : : : : : : : : : : 2 0

1 4 A c o m p a r i s o n o f t h e a c t u a l a n d m o d e l o u t p u t f o r a s t e p i n p u t o f 5 2 i s

s h o w n i n t h e t o p p o r t i o n o f t h e F i g u r e . W h e r e a s i n t h e b o t t o m o n e i n p u t

c h a n g e s f r o m 4 8 t o 9 0 a t t = 3 0 s e c . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4

1 5 T h e t o p l e f t p o r t i o n o f t h e F i g u r e s h o w s t h e i n p u t s i g n a l b e i n g a p p l i e d t o a c -

t u a l s y s t e m a n d b r a k e m o d e l f o r c o m p a r i s o n . T h e s y s t e m a n d m o d e l o u t p u t s

a r e s h o w n i n t o p r i g h t p o s i t i o n f o r g i v e n i n p u t s i g n a l . A s t a i r c a s e a p p r o x i m a -

t i o n o f t h e s a m e i n p u t s i g n a l i s s h o w n i n b o t t o m l e f t g r a p h . T h e c o m p a r i s o n

o f o u t p u t s i s s h o w n i n b o t t o m r i g h t g r a p h . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5

1 6 C o m p a r i s o n o f c l o s e d l o o p r e s p o n s e f o r P I c o m p e n s a t o r w i t h a n d w i t h o u t

m o d i c a t i o n s . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 6

1 7 S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r s t e p i n p u t , c o r r e s p o n d i n g t o a

d e s i r e d p r e s s u r e o f 2 0 0 p s i . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7

1 8 S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r e x p o n e n t i a l i n p u t . : : : : : : : : 2 8

1 9 S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r s i n u s o i d a l i n p u t . : : : : : : : : : 2 9

2 0 C l o s e d l o o p s y s t e m r e s p o n s e f o r s i n u s o i d a l i n p u t o f 0 . 2 5 H z . t o p a n d 0 . 5 H z .

b o t t o m . T h e d e s i r e d p r e s s u r e i s s t e p i n p u t o f 1 0 0 p s i f r o m 0 t o 1 0 s e c , f r o m

1 0 s e c t o 2 0 s e c a s i n u s o i d a l i n p u t w i t h a m p l i t u d e o f 2 5 p s i i s s u p e r i m p o s e d

o n t h e s t e p i n p u t . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t s y s t e m b a n d w i d t h i s a r o u n d 0 . 5 H z . 3 0

2 1 C o m p a r i s o n o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d s y s t e m r e s p o n s e w i t h t h e e q u i v a l e n t

l i n e a r s y s t e m r e s p o n s e f o r t w o d i e r e n t i n p u t s . : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1

i v


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L i s t o f T a b l e s

1 S u m m a r y o f C o n t r o l L a w : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 6

2 C o m p a r i s o n o f p e r f o r m a n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8

3 L e a s t s q u a r e t v a l u e s o f f u n c t i o n s g , h a n d g

f o r t h e c u r v e s i n F i g u r e s 6

a n d 7 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2

4 L e a s t s q u a r e t v a l u e s o f b = h

u ; x f o r t h e c u r v e s i n F i g u r e 7 . A n X a s a

t a b l e e n t r y i n d i c a t e s a n i n v a l i d s t a t e f o r b l e e d i n g m o d e . : : : : : : : : : : : 2 3

v


8/38

1 I n t r o d u c t i o n

W i t h a n e v e r - i n c r e a s i n g n u m b e r o f v e h i c l e s o n t h e l i m i t e d h i g h w a y s , i t h a s b e c o m e u r g e n t t o

d e v e l o p s o p h i s t i c a t e d t e c h n i c a l s o l u t i o n s t o t o d a y ' s s u r f a c e t r a n s p o r t a t i o n p r o b l e m s . I n t e l -

l i g e n t T r a n s p o r t a t i o n S y s t e m s I T S i s a n a r e a w h o s e p u r p o s e i s t o i m p r o v e t h e e c i e n c y

o f t h e c u r r e n t t r a n s p o r t a t i o n s y s t e m t h r o u g h t h e u s e o f a d v a n c e d t e c h n o l o g i e s . T h e s e

t e c h n o l o g i e s w i l l b e u s e d t o a u t o m a t e v e h i c l e s , i n f r a s t r u c t u r e a n d i m p r o v e t h e i n t e l l i g e n c e

o f d e c i s i o n m a k i n g . A n i m p o r t a n t p a r t o f I T S i s t h e A d v a n c e d V e h i c l e C o n t r o l S y s t e m s

A V C S w h o s e p u r p o s e i s t o i m p r o v e s a f e t y a n d v e h i c u l a r t r a c o w r a t e s b y a u t o m a t i n g

s o m e o r a l l o f t h e b a s i c f u n c t i o n s o f t h e v e h i c l e , i . e . , t h r o t t l e , b r a k e a n d s t e e r i n g c o n t r o l .

I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r t h e c o m p u t e r c o n t r o l l e d b r a k e s u b s y s t e m f u n c t i o n . T h e o b -

j e c t i v e i s t o u n d e r s t a n d t h e d y n a m i c s o f t h e b r a k i n g f u n c t i o n b y m o d e l i n g i t s b e h a v i o r a s

a d y n a m i c s y s t e m a n d t o d e s i g n a n d t e s t c o n t r o l a l g o r i t h m s f o r c o n t r o l l i n g i t i n o r d e r t o

m e e t g i v e n p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s .

D u r i n g t h e p a s t f e w y e a r s , s e v e r a l a t t e m p t s h a v e b e e n m a d e b y d i e r e n t r e s e a r c h g r o u p s

t o d e v e l o p m o d e l s o f t h e b r a k e s u b s y s t e m f o r A V C S a p p l i c a t i o n s . O n e s u c h i m p o r t a n t

c o n t r i b u t i o n i s t h e w o r k o f G e r d e s e t . a l . 6 . A b o n d g r a p h m e t h o d f o r m o d e l i n g t h e

c o m p o n e n t s o f m a n u a l b r a k e s y s t e m i s c o n s i d e r e d i n t h e p a p e r b y K h a n , K u l k a r n i a n d

Y o c e f - T o u m i 7 . I n t h e s e s t u d i e s t h e e m p h a s i s w a s g i v e n o n i d e n t i f y i n g t h e d y n a m i c s a s s o -

c i a t e d w i t h e a c h b r a k e c o m p o n e n t . A c o m p r e h e n s i v e d y n a m i c m o d e l o f t h e b r a k e s u b s y s t e m

f o r A V C S a p p l i c a t i o n s , w h i c h i d e n t i e s t h e m a p p i n g f r o m i n p u t t o o u t p u t , h a s n o t b e e n

a d d r e s s e d . T h e m a i n p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o d e v e l o p a m o d e l a n d a c o n t r o l l e r f o r b r a k e

s u b s y s t e m t h a t c a n b e u s e d i n A V C S a p p l i c a t i o n s .

T h e b r a k e m o d e l i s d e v e l o p e d u s i n g a n e x p e r i m e n t a l s e t u p o n a b e n c h o f t h e f u l l s c a l e

L i n c o l n t o w n c a r b r a k e s u b s y s t e m . T h e b l o c k d i a g r a m o f t h e b r a k e s u b s y s t e m u n d e r s t u d y

i s s h o w n i n F i g u r e 1 . T h e t e s t b e n c h h a s a l l t h e c o n v e n t i o n a l b r a k e c o m p o n e n t s , i n a d d i -

t i o n , i t c o n t a i n s a n a u x i l i a r y h y d r a u l i c m o d u l e A H M w h i c h c o n s i s t s o f a h y d r a u l i c p u m p ,

c o n t r o l v a l v e s a n d a n a c t u a t o r . I t h a s b e e n d e s i g n e d b y F o r d s p e c i c a l l y f o r a u t o m a t i c

b r a k e a p p l i c a t i o n s . T h i s d e s i g n a l l o w s t h e d r i v e r t o o v e r r i d e a t a n y t i m e .

T h e d y n a m i c s y s t e m o r m o d e l d e s c r i b i n g t h e i n p u t - o u t p u t b e h a v i o r o f t h e b r a k e s u b -

s y s t e m i s d e v e l o p e d b y u s i n g a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s a n d c u r v e t t i n g t e c h n i q u e s t o i d e n t i f y

t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s . T h e r e s u l t i n g m o d e l i s a r s t o r d e r n o n l i n e a r d y n a m i c s y s t e m

t h a t a c c u r a t e l y d e s c r i b e s t h e d y n a m i c s o f t h e a c t u a l b r a k e s u b s y s t e m .

T h e b r a k e m o d e l i s u s e d t o d e s i g n a c o n t r o l l e r t h a t c a n m e e t t h e g i v e n p e r f o r m a n c e

a n d r e l i a b i l i t y r e q u i r e m e n t s . T h e c o n t r o l l e r e m p l o y s f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t o c a n c e l t h e

n o n l i n e a r i t i e s a n d a m o d i e d p r o p o r t i o n a l i n t e g r a l P I c o m p e n s a t o r t o a c h i e v e t h e d e -

s i r e d c o n t r o l a c t i o n . T h e m o d e l i n g a n d c o n t r o l t e c h n i q u e s u s e d i n t h i s p a p e r c a n b e e a s i l y

1


9/38

a p p l i e d t o o t h e r t y p e s o f b r a k e s u b s y s t e m s w i t h m i n o r m o d i c a t i o n s . O t h e r b r a k e c o n t r o l

s t r a t e g i e s w h i c h a r e u s e d a s p a r t o f v e h i c l e l o n g i t u d i n a l c o n t r o l l e r s c a n b e f o u n d i n 1 0 - 1 1 .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s :

S e c t i o n 2 d e s c r i b e s b r i e y t h e s t r u c t u r e o f t h e b r a k e s u b s y s t e m c o m p o n e n t s . F o r m o r e d e -

t a i l e d d e s c r i p t i o n s t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o 8 , 6 . T h e b r a k e s u b s y s t e m m o d e l i s d e v e l o p e d

i n s e c t i o n 3 . I n s e c t i o n 4 w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f i d e n t i c a t i o n o f t h e u n k n o w n m o d e l

p a r a m e t e r s . T h i s i s f o l l o w e d b y s i m u l a t i o n r e s u l t s a n d m o d e l v a l i d a t i o n . T h e c o n t r o l d e s i g n

w i t h t h e m o d i c a t i o n l o g i c f o r t h e P I c o m p e n s a t o r i s g i v e n i n s e c t i o n 5 . I n s e c t i o n 6 t h e

s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f t h e c o n t r o l l e r a n d s o m e r o b u s t n e s s i s s u e s a r e d i s c u s s e d b r i e y . T h e

c o n t r o l l e r i m p l e m e n t a t i o n a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e g i v e n i n s e c t i o n 7 .

2 B r a k e S y s t e m C o m p o n e n t s

T h e m a i n c o m p o n e n t s o f t h e b r a k e s u b s y s t e m s h o w n i n F i g u r e 1 a r e d i s c u s s e d b e l o w .

Pressure

SensorData

Acquisition

Vacuum

Pump

BoosterMaster

Cylinder

Actuating

Element

Micro-

Controller

Hydraulic

Pump

Control

ValvesActuator

Input Manual

Auto

PWMOn-Off

On-Off

Line Pressure

Auxiliary Hydraulic Module

*

* Brake pedal alongwith an actuator acts as a mechanical switch indicated in the block

F i g u r e 1 : B l o c k D i a g r a m o f t h e B r a k e S u b s y s t e m

2 . 1 A u x i l i a r y H y d r a u l i c M o d u l e

T h e f u n c t i o n o f t h e A H M i s t o p r o v i d e a n i n p u t f o r c e t o t h e v a c u u m b o o s t e r t h r o u g h a n

a c t u a t o r a n d b r a k e p e d a l . T h e A H M t a k e s t h e c o n t r o l i n p u t i n t h e f o r m o f a p u l s e w i d t h

m o d u l a t e d P W M s i g n a l a n d g e n e r a t e s a p r e s s u r e t o b e a p p l i e d t o t h e b r a k e p e d a l t h r o u g h

a n a c t u a t o r . T h e P W M s i g n a l i s i n t h e f o r m o f a s q u a r e w a v e o f x e d f r e q u e n c y b u t v a r y i n g

2


10/38

T

Hydraulic

Pump

Valve

#1

Valve

#4

PWM

On-Off

Actuator

To Brake Pedal

Control Valves

Valve open

Valve closed

F i g u r e 2 : B l o c k D i a g r a m o f t h e A u x i l i a r y H y d r a u l i c M o d u l e

d u t y c y c l e . T h e o u t p u t p r e s s u r e o f t h e a c t u a t o r a n d h e n c e t h e b r a k e l i n e p r e s s u r e c a n b e

c o n t r o l l e d b y c h a n g i n g t h e d u t y c y c l e o f t h e P W M s i g n a l .

A s s h o w n i n F i g u r e 2 t h e A H M c o n s i s t s o f a h y d r a u l i c p u m p , a n a r r a n g e m e n t o f v a l v e s

a n d a n a c t u a t o r . W h e n a c o n s t a n t a m o u n t o f u i d i s p u m p e d t h r o u g h t h e v a l v e s b y t h e

h y d r a u l i c p u m p , n o p r e s s u r e i s d e v e l o p e d i n s i d e t h e c y l i n d e r o f t h e a c t u a t o r i f t h e v a l v e s

a r e o p e n . W h e r e a s a s u d d e n r i s e o f p r e s s u r e i s o b t a i n e d i f t h e v a l v e s a r e c l o s e d c o m p l e t e l y .

H e n c e a n a v e r a g e a m o u n t o f p r e s s u r e c a n b e m a i n t a i n e d i n s i d e t h e c y l i n d e r o f t h e a c t u a t o r

b y s w i t c h i n g t h e v a l v e s a t h i g h f r e q u e n c y t y p i c a l l y 1 0 0 H z w i t h c h a n g e a b l e d u t y c y c l e

p e r c e n t a g e o f v a l v e o p e n t i m e i n o n e s w i t c h i n g p e r i o d . T h i s p r e s s u r e p u s h e s t h e p i s t o n o f

t h e a c t u a t o r a n d a p p l i e s f o r c e t o t h e b r a k e p e d a l .

W h e n t h e d u t y c y c l e i s c h a n g e d , t h e p r e s s u r e i n s i d e t h e c y l i n d e r o f t h e a c t u a t o r c h a n g e s

t o o . H e n c e t h e f o r c e a p p l i e d t o t h e b r a k e p e d a l c a n b e c o n t r o l l e d b y v a r y i n g t h e d u t y c y c l e

o f t h e P W M s i g n a l . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e m a x i m u m v a l u e o f d u t y c y c l e c o r r e s p o n d s

t o v a l v e s b e i n g o p e n f o r m o s t o f t h e t i m e a n d h e n c e n o f o r c e i s a p p l i e d t o t h e b r a k e p e d a l ,

w h i c h r e s u l t s i n m i n i m u m b r a k e l i n e p r e s s u r e a t t h e o u t p u t o f t h e m a s t e r c y l i n d e r . F r o m

t h e o v e r a l l s y s t e m p o i n t o f v i e w a n y p e r m i s s i b l e p r e s s u r e v a l u e a t t h e o u t p u t o f t h e m a s t e r

c y l i n d e r c a n b e o b t a i n e d b y s o m e p a r t i c u l a r v a l u e o f d u t y c y c l e . T h e m o d e l d e v e l o p e d i n

t h i s p a p e r i d e n t i e s t h e m a p p i n g f r o m d u t y c y c l e t o t h e l i n e p r e s s u r e .

3


11/38

Apply Chamber

Pushrod

Diaphram

Vaccum Chamber

To

Master Cylinder

To

Engine Manifold

Check Valve

Valve PlungerReaction Disc

F i g u r e 3 : B l o c k D i a g r a m o f t h e V a c u u m B o o s t e r

2 . 2 V a c u u m B o o s t e r

A s i m p l i e d d i a g r a m o f t h e v a c u u m b o o s t e r i s s h o w n i n F i g u r e 3 . T h e f o r c e a m p l i c a t i o n

i s c a u s e d b y a p r e s s u r e d i e r e n t i a l b e t w e e n t h e a p p l y a n d v a c u u m c h a m b e r s . I d e a l l y , t h e

a m p l i c a t i o n r a t i o b e t w e e n t h e i n p u t a n d o u t p u t f o r c e s s h o u l d b e c o n s t a n t o v e r t h e r e c o m -

m e n d e d r a n g e o f o p e r a t i o n . H o w e v e r , d u e t o b o o s t e r d y n a m i c s t h i s r a t i o i s n o t c o n s t a n t .

A c c o r d i n g t o t h e o p e r a t i o n o f t h e b o o s t e r e a c h b r a k e a p p l i c a t i o n o p e r a t i o n c a n b e b r o k e n

d o w n i n t o t h r e e b a s i c s t a g e s : s t a g e 1 : a p p l y ; s t a g e 2 : h o l d o r l a p ; s t a g e 3 : r e l e a s e . T h e s e

s t a g e s a r e s h o w n i n F i g u r e 4 .

I n t h e a p p l y s t a g e c o n t r o l v a l v e m o v e s f o r w a r d , t h e a t m o s p h e r i c v a l v e i s o p e n e d a n d

t h e v a c u u m v a l v e i s c l o s e d , h e n c e a p r e s s u r e d i e r e n t i a l i s c r e a t e d , c a u s i n g t h e d i a p h r a g m

t o m o v e f o r w a r d .

W h e n t h e d i a p h r a g m t r a v e l s f u r t h e r , t h e v a l v e h o u s i n g c a t c h e s u p w i t h t h e c o n t r o l v a l v e .

T h i s m o v e m e n t a l s o c l o s e s t h e a t m o s p h e r i c v a l v e . T h e d i a p h r a g m a n d t h e v a l v e b o d y a r e

n o w i n t h e h o l d s t a g e .

W h e n t h e b r a k e p e d a l i s r e l e a s e d , t h e c o n t r o l v a l v e m o v e s b a c k d u e t o t h e s p r i n g f o r c e ,

t h e a p p l y a n d v a c u u m c h a m b e r s a r e c o n n e c t e d a n d t h e p r e s s u r e d i e r e n t i a l i s r e d u c e d t o

z e r o .

S i n c e t h e i n e r t i a o f t h e p u s h r o d a n d d i a p h r a g m i s q u i t e s i g n i c a n t , t h e a s s o c i a t e d

d y n a m i c s c a n n o t b e n e g l e c t e d . F u r t h e r m o r e , t h e c h a n g e s o f p r e s s u r e i n t h e a p p l y a n d

v a c u u m c h a m b e r s a l s o g i v e r i s e t o t h e r m o d y n a m i c s . F o r m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e s e

e e c t s , s e e 6 .

4


12/38

To Atmospheric Chamber

Vaccum Valve Open

Atmospheric Valve

Closed

To Vaccum Chamber

Atmospheric

Pressure

Atmospheric Valve

Open

Vaccum Valve Closed

Valve Plunger

in Reaction Disc

Vaccum Valve Closed

Atmospheric Valve

Closed

From Push Rod

To Master

Cylinder

Release Stage

Apply Stage

Hold Stage

F i g u r e 4 : V a c u u m B o o s t e r O p e r a t i o n

5


13/38

2 . 3 M a s t e r C y l i n d e r

Secondary

Reservoir

Primary

Reservoir

Compensating

Port

Booster Input

Primary PistonReturn SpringPrimary Brake

Line

Secondary

Brake Line

Secondary

Piston

F i g u r e 5 : B l o c k D i a g r a m o f M a s t e r C y l i n d e r

T h e b l o c k d i a g r a m o f a t a n d e m m a s t e r c y l i n d e r i s s h o w n i n F i g u r e 5 . T h e i n p u t f o r c e ,

a f t e r b e i n g a m p l i e d b y t h e v a c u u m b o o s t e r , i s a p p l i e d t h r o u g h a p u s h r o d t o t h e p r i m a r y

p i s t o n . T h e s e c o n d a r y p i s t o n , h o w e v e r , i s p u s h e d b y t h e h y d r a u l i c f o r c e b u i l t u p b y t h e

p r i m a r y p i s t o n .

E a c h p o r t i o n o f t h e m a s t e r c y l i n d e r h a s i t s o w n s e p a r a t e r e s e r v o i r , c o m p e n s a t i n g p o r t

a n d o u t l e t p o r t . W h e n a n i n p u t f o r c e i s l a r g e e n o u g h t o m o v e t h e p r i m a r y p i s t o n t o c l o s e

t h e c o m p e n s a t i n g p o r t , p r e s s u r e b e g i n s t o b u i l d u p b e t w e e n t h e p r i m a r y a n d s e c o n d a r y

p i s t o n . W h e n t h e s e c o n d a r y c o m p e n s a t i n g p o r t i s c l o s e d , p r e s s u r e b u i l d u p o c c u r s i n t h e

s e c o n d a r y p o r t i o n t o o . A t t h e s a m e t i m e h y d r a u l i c p r e s s u r e d e v e l o p e d d u r i n g t h i s o p e r a t i o n

i s t r a n s f e r r e d t h r o u g h t h e p r i m a r y a n d s e c o n d a r y b r a k e l i n e s t o t h e b r a k e p a d s .

A s d i s c u s s e d i n 6 , s i n c e t h e m a s s e s o f t h e p i s t o n s a r e n e g l i g i b l e , t h e d y n a m i c s a s s o c i a t e d

w i t h t h e m c a n b e n e g l e c t e d .

3 P r o p o s e d B r a k e M o d e l

A s e r i e s o f e x p e r i m e n t s a r e c o n d u c t e d o n t h e t e s t b e n c h o f t h e b r a k e s u b s y s t e m . S o m e o f

t h e r e s u l t s o f t h e e x p e r i m e n t s w i t h s t e p i n p u t s o f d i e r e n t m a g n i t u d e s c o r r e s p o n d i n g t o

i n p u t s o f d i e r e n t d u t y c y c l e a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 . T h e s e g u r e s p o r t r a y t w o

b a s i c m o d e s o f o p e r a t i o n o f t h e s y s t e m : b u i l d i n g a n d b l e e d i n g p r e s s u r e m o d e s . A n o t h e r

6


14/38

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

300

time (sec)

line

pressure

(psi)

Plot of brake line pressure for different inputs

48 %

50 %

76 %

F i g u r e 6 : B r a k e l i n e p r e s s u r e f o r b u i l d i n g m o d e . I n p u t s r a n g e f r o m d u t y c y c l e o f 7 6 t o 4 8

i m p o r t a n t s y s t e m f e a t u r e , w h i c h c a n b e o b s e r v e d f r o m t h e s e g u r e s , i s t h e v a r i a b l e t i m e

d e l a y a s s o c i a t e d w i t h d i e r e n t i n p u t s a n d o p e r a t i n g m o d e s .

S i n c e , t h e t i m e d e l a y i s a n i m p o r t a n t f a c t o r i n b r a k i n g o p e r a t i o n s , a s p e c i a l a t t e n t i o n

w a s g i v e n t o i t i n t h i s s t u d y . A l a r g e t i m e d e l a y o f t h e o r d e r o f 0 . 2 s e c o n d i s o b s e r v e d f o r

t h e r e l a x e d s y s t e m , i . e . , w h e n t h e l i n e p r e s s u r e i s z e r o . T h i s t i m e d e l a y b e c o m e s n e g l i g i b l y

s m a l l 0 0 1 s e c f o r a n y l i n e p r e s s u r e o t h e r t h a n z e r o . H e n c e t h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g

t h e o r e t i c a l r e l a t i o n :

t

d

=

0 2 i f x = 0

0 0 1 i f x 0

1

w h e r e t

d

a n d x d e n o t e t h e d e l a y t i m e a n d b r a k e l i n e p r e s s u r e r e s p e c t i v e l y . T h e s y s t e m

r e s p o n s e i n F i g u r e 8 s h o w s t h e t i m e d e l a y s f o r t h e t w o c a s e s d i s c u s s e d a b o v e .

T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e 6 a n d 7 s u g g e s t t h e p r e s e n c e o f d o m i n a n t

r s t o r d e r d y n a m i c s . T h e s e r e s u l t s t o g e t h e r w i t h i n t u i t i o n m o t i v a t e t h e f o l l o w i n g n o n l i n e a r

d y n a m i c m o d e l :

_x t = f

1

x t ; u t

; u t

, T 2

T h e v a r i a b l e s i n 2 a r e :

7


15/38

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

300

time(sec)

line

pressure

(psi)

brake line pressure for different inputs

50 %, 52 %

60 %

88 %

F i g u r e 7 : B r a k e l i n e p r e s s u r e f o r b l e e d i n g m o d e . T h e i n p u t i s e q u a l t o 4 8 f o r 0 t 3 0 s e c

a n d i s c h a n g e d a t t = 3 0 s e c t o d i e r e n t d u t y c y c l e v a l u e s r a n g i n g f r o m 5 0 t o 9 0 .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

time (sec)

linepressure(psi),u

(%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

time (sec)

line

pressure(psi),u

(%)


16/38

x : s y s t e m s t a t e b r a k e l i n e p r e s s u r e

u : s y s t e m i n p u t d u t y c y c l e o f t h e P W M s i g n a l

f

1

: u n k n o w n f u n c t i o n t o b e i d e n t i e d

w h e r e x ; u 2 R

1

, t

= t , t

d

, t

d

i s t h e t i m e d e l a y d e n e d i n 1 , T i s s o m e s m a l l n u m b e r

t a k e n t o b e e q u a l t o t h e s a m p l i n g p e r i o d a n d u t

, T d e n o t e s t h e p r e v i o u s i n p u t . A s

g i v e n i n 1 , t h e v a l u e o f t

d

i s n e g l i g i b l y s m a l l e x c e p t w h e n t h e s y s t e m i s r e l a x e d . H e n c e

t

d

c a n b e s a f e l y a s s u m e d t o b e z e r o i n 2 . S i n c e , i n t h i s s t u d y w e u s e t h e i n p u t - o u t p u t

d a t a w h i c h i s o b t a i n e d a t s a m p l i n g i n s t a n t s o n l y , i n s t e a d o f t h e c o n t i n u o u s m o d e l i n 2 ,

w e p r o p o s e t h e d i s c r e t e t i m e m o d e l :

x k + 1 = f x k ; u k ; u k , 1 3

w h e r e k d e n o t e s t h e n u m b e r o f t h e s a m p l e , i . e . , t h e t i m e t = k T . T h e s h a p e o f t h e r e s p o n s e

f o r e a c h x e d i n p u t , s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 , c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a r s t o r d e r s y s t e m

g i v e n a s :

x k + 1 = x k + T b a , x k 4

w h e r e a ; b 2 R

+

. T h e p a r a m e t e r s a a n d b i n 4 m a y b e u s e d t o c h a r a c t e r i z e t h e s t e a d y

s t a t e v a l u e a n d t h e s p e e d o f t r a n s i e n t r e s p o n s e r e s p e c t i v e l y , f o r a g i v e n i n p u t u k . T h e s e

p a r a m e t e r s a r e n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f t h e i n p u t u a n d s t a t e x o f t h e s y s t e m . T h e e x p e r i m e n t s

s h o w t h a t t h e s t e a d y s t a t e v a l u e o f t h e p r e s s u r e a c a n b e m o d e l e d a s :

a = g x k ; u k 5

T h e s p e e d o f t r a n s i e n t r e s p o n s e t i m e c o n s t a n t b v a r y s i g n i c a n t l y f o r d i e r e n t i n i t i a l

c o n d i t i o n s a n d i s s e n s i t i v e t o t h e p r e v i o u s h i s t o r y o f t h e s y s t e m , i . e . , d e p e n d s n o t o n l y o n

t h e c u r r e n t i n p u t u k , b u t a l s o o n t h e p r e v i o u s i n p u t u k , 1 . T h i s p h e n o m e n o n c a n

b e e x p l a i n e d i n t e r m s o f n o n l i n e a r u i d d y n a m i c s . T h e c h a n g e i n p r e s s u r e i s s i g n i c a n t l y

s l o w i f a n i n p u t c h a n g e o c c u r s n e a r a s t e a d y s t a t e p r e s s u r e c o n d i t i o n . H e n c e t h e s y s t e m

t i m e c o n s t a n t r e p r e s e n t e d b y b d e p e n d s o n t h e c u r r e n t p r e s s u r e r e l a t i v e t o t h e s t e a d y s t a t e

p r e s s u r e f o r t h e p r e v i o u s i n p u t . T h i s s u g g e s t s a f u n c t i o n a l f o r m f o r t h e p a r a m e t e r b , w h i c h

i s g i v e n a s :

b = h x k ; u k ; u k , 1 6

I n 5 a n d 6 , g a n d h a r e u n k n o w n f u n c t i o n s t o b e i d e n t i e d .

4 P a r a m e t e r I d e n t i c a t i o n

T h e i d e n t i c a t i o n o f t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s f u n c t i o n s a , b w a s d o n e i n t w o s t e p s .

9


17/38

S t e p 1 : F i x e d s t e p i n p u t s w e r e u s e d t o i d e n t i f y t h e s t e a d y s t a t e v a l u e a a n d t i m e c o n s t a n t

1 = b f o r e a c h i n p u t .

S t e p 2 : A s e r i e s o f s t a i r c a s e s i g n a l s a r e u s e d t o m o d i f y t h e r e s u l t s o f s t e p 1 .

T h e m o t i v a t i o n o f b r e a k i n g d o w n t h e i d e n t i c a t i o n p r o c e s s i n t o t w o s t e p s f o l l o w s f r o m

t h e f a c t t h a t t h e s y s t e m r e s p o n s e s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 , f o r a x e d i n p u t , c a n b e a p -

p r o x i m a t e d b y t h e r e s p o n s e o f a l i n e a r s y s t e m t o a s t e p i n p u t . H e n c e s t a n d a r d r e s u l t s

f r o m l i n e a r s y s t e m i d e n t i c a t i o n c a n b e u s e d t o e s t i m a t e t h e p a r a m e t e r s . I n t h e s t e p 2 t h e

n o n l i n e a r b e h a v i o r o f t h e s e p a r a m e t e r s i s e x p l o r e d b y u s i n g s t a i r c a s e s i g n a l s . T h e s e s i g n a l s

c o v e r t h e p o s s i b l e c h a n g e s i n t h e i n p u t t h a t e x c i t e t h e b u i l d i n g a n d b l e e d i n g m o d e s o f t h e

s y s t e m a n d e n a b l e u s t o s t u d y t h e s w i t c h i n g p r o c e s s b e t w e e n t h e s e m o d e s . T h e r e s u l t s f r o m

t h e s e e x p e r i m e n t s a r e u s e d t o m o d i f y t h e p a r a m e t e r s a a n d b s o t h a t t h e i r v a l u e s a r e v a l i d

f o r p o s s i b l e i n p u t v a r i a t i o n s a p p l i e d t o t h e s y s t e m .

F i n a l l y i t i s s h o w n t h a t w i t h t h e s e p a r a m e t e r s , i d e n t i e d b y u s i n g s t e p a n d s t a i r c a s e

s i g n a l s , a f a i r l y a c c u r a t e m a t c h i n g b e t w e e n t h e m o d e l a n d t h e a c t u a l s y s t e m c a n b e a c h i e v e d

f o r c o n t i n u o u s l y v a r y i n g i n p u t s . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t a n y c o n t i n u o u s s i g n a l c a n b e

a p p r o x i m a t e d b y a s t a i r c a s e s i g n a l , w h e r e t h e a c c u r a c y o f t h e a p p r o x i m a t i o n d e p e n d s o n

t h e c h o s e n s t e p s i z e . T h i s a p p r o x i m a t i o n c a n b e r e p r e s e n t e d a s :

u t = u k T k T t k + 1 T 7

W h e r e T i s t h e s a m p l i n g t i m e a n d s h o u l d b e s u c i e n t l y s m a l l c o m p a r e d w i t h t h e b a n d -

w i d t h o f t h e i n p u t s i g n a l u t a n d s y s t e m d y n a m i c s .

4 . 1 S t e p I n p u t s

T h e s t e p r e s p o n s e c u r v e s s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 f o r e a c h x e d i n p u t u c a n b e a p p r o x -

i m a t e d a s a s o l u t i o n t o t h e r s t o r d e r l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n , d i s c r e t i z e d a t t i m e s t e p

k T , i . e . ,

x k = x 0 1 , T b

k

+ a 1 , 1 , T b

k

8

w h e r e

a : s t e a d y s t a t e v a l u e

1 = b : t i m e c o n s t a n t

x 0 : i n i t i a l c o n d i t i o n

1 0


18/38

T h i s s i m p l i c a t i o n h e l p s u s t o i d e n t i f y t h e p a r a m e t e r s a a n d b f o r e a c h i n p u t s e p a r a t e l y , b y

u s i n g s t a n d a r d c u r v e t t i n g t e c h n i q u e s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e a p p r o x i m a t i o n g i v e n

i n 8 w h i c h u s e s a s i n g l e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n d o e s n o t a c c u r a t e l y d e s c r i b e t h e s y s t e m

r e s p o n s e f o r i n p u t s w i t h d u t y c y c l e g r e a t e r t h a n 6 8 i n l o w p r e s s u r e r e g i o n . H e n c e t h e

d e v i a t i o n b e t w e e n t h e p r e d i c t e d s y s t e m r e s p o n s e u s i n g t h e m o d e l a n d a c t u a l s y s t e m i s l a r g e

f o r s m a l l l i n e p r e s s u r e s . H o w e v e r , l i n e p r e s s u r e s b e l o w 6 0 p s i , c o r r e s p o n d i n g t o t h e a f o r e -

m e n t i o n e d i n p u t s , h a v e l i t t l e o r n o s i g n i c a n c e i n a c t u a l b r a k i n g . H e n c e t h i s a p p r o x i m a t i o n

h a s n o e e c t o n m o d e l a c c u r a c y w i t h i n t h e r a n g e o f l i n e p r e s s u r e s o f i n t e r e s t .

T h e s t e a d y s t a t e v a l u e o f t h e l i n e p r e s s u r e , a , i n t h e b u i l d i n g m o d e i s f o u n d t o b e

r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o t h e s t a t e x o f t h e s y s t e m . F u r t h e r m o r e , t h e t w o m o d e s o f o p e r a t i o n

s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 h a v e d i e r e n t s t e a d y s t a t e v a l u e s a n d s l o p e s f o r t h e s a m e i n p u t s .

T h e r e a s o n i s t h e h y s t e r e s i s p r o d u c e d d u e t o f r i c t i o n , p r e - l o a d e d s p r i n g i n s i d e t h e v a c u u m

b o o s t e r a n d d e a d z o n e a s s o c i a t e d w i t h t h e m a s t e r c y l i n d e r a n d b o o s t e r . H e n c e s e p a r a t e

m a p p i n g s f o r t h e t w o m o d e s a r e r e q u i r e d . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n F i g u r e 6 s u g g e s t

t h a t f o r t h e b u i l d i n g m o d e b o t h a a n d b d e p e n d o n l y o n t h e c u r r e n t i n p u t , i . e . ,

a = g u k ; b = h u k b u i l d i n g 9

O n t h e o t h e r h a n d f o r t h e b l e e d i n g m o d e a i s a f u n c t i o n o f t h e c u r r e n t i n p u t w h e r e a s b

d e p e n d s a l s o o n t h e c u r r e n t s t a t e x , i . e . ,

a = g

u k ; b = h

u k ; x k b l e e d i n g 1 0

T h e s e m a p p i n g s g , h , g

a n d h

a r e g i v e n i n T a b l e s 3 a n d 4 r e s p e c t i v e l y .

4 . 2 S t a i r c a s e I n p u t s

A n o t h e r s e r i e s o f e x p e r i m e n t s w a s c o n d u c t e d w i t h i n p u t s c h a n g i n g f r o m o n e v a l u e t o a

d i e r e n t v a l u e a n d t h e s e c h a n g e s w e r e m a d e t o o c c u r a t d i e r e n t l i n e p r e s s u r e s . R e s u l t s

s h o w t h a t t h e v a l u e s o f a c a l c u l a t e d i n t h e s e c a s e s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h o s e g i v e n i n T a b l e

3 . T h e v a l u e s o f b , h o w e v e r , v a r y s i g n i c a n t l y a n d a r e f o u n d t o b e a f u n c t i o n o f t h e c u r r e n t

p r e s s u r e , x , a t w h i c h t h e i n p u t w a s c h a n g e d . E x p e r i m e n t s s h o w t h a t t h e c h a n g e i n t h e v a l u e

o f b i s n o t i c e a b l e i f t h e i n p u t i s c h a n g e d a t a p r e s s u r e w h i c h i s m o r e t h a n 5 0 o f t h e s t e a d y

s t a t e v a l u e o f t h e p r e v i o u s i n p u t . T h i s c h a n g e s h o w s a m o n o t o n i c a l l y d e c r e a s i n g b e h a v i o r ,

w i t h a m a x i m u m r e d u c t i o n o f a r o u n d 2 5 a t a p r e s s u r e a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o t h e s t e a d y

s t a t e v a l u e . T h e c h a n g e i n t h e v a l u e o f b a s a f u n c t i o n o f t h e c u r r e n t l i n e p r e s s u r e f o r t w o

d i e r e n t u i s s h o w n i n F i g u r e 9 . G u i d e d b y t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , t h e f o l l o w i n g l i n e a r

a p p r o x i m a t i o n w a s i n t r o d u c e d t o m o d e l t h i s c h a n g e :

b = h u k

5

4

,

x k

2 g u k , 1

w h e n x k

g u k , 1

2

1 1

T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a l s o i n d i c a t e t h a t t h e c h a n g e i n b o c c u r s o n l y i f t h e i n p u t

c h a n g e s , s i n c e b c o r r e s p o n d s t o t h e d y n a m i c s a s s o c i a t e d w i t h t h e s y s t e m w h i c h d o n o t

1 1


19/38

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.5

1

1.5

2

x (psi)

b

Change in b for du=6

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x (psi)

b

Change in b for du=4

F i g u r e 9 : C h a n g e i n b f o r c h a n g e i n i n p u t f r o m 5 6 t o 5 0 u = 6 a n d f r o m 6 8 t o

6 4 u = 4

s i g n i c a n t l y c h a n g e f o r a c o n s t a n t i n p u t . W h e r e a s , t h e r e l a t i o n g i v e n i n 1 1 u p d a t e s t h e

v a l u e o f b a t e a c h s a m p l i n g i n s t a n t , w h i c h c a n b e h a n d l e d b y i n t r o d u c i n g b a s a s t a t e o f t h e

s y s t e m a s f o l l o w s :

b k + 1 =

b k i f u = 0

p

b

b k + z

b

k e l s e

1 2

k =

8

:

h u k i f x k

g u k , 1

2

h u k

5

4

,

x k

2 g u k , 1

i f x k

g u k , 1

2

1 3

W h e r e u = u k , u k , 1 , p

b

a n d z

b

a r e d e s i g n p a r a m e t e r s t o s m o o t h o u t t h e e e c t s

o f s w i t c h i n g , w h i c h i s j u s t i a b l e s i n c e t h e s y s t e m d y n a m i c s d o n o t s h o w s u d d e n c h a n g e s .

A s e x p l a i n e d l a t e r , t h i s l t e r i n g w o u l d a l s o h e l p i n t h e c o n t r o l d e s i g n .

F r o m T a b l e 3 , i t i s o b v i o u s t h a t d u e t o h y s t e r e s i s , g

u k g u k . F r o m t h e

e x p e r i m e n t s i t w a s f o u n d t h a t i f a c h a n g e i n t h e i n p u t c a u s e s t h e s y s t e m s t a t e t o b e s w i t c h e d

f r o m b u i l d i n g t o b l e e d i n g m o d e w i t h g

u k g u k , 1 t h e n a = x k , a n d t h e l i n e

p r e s s u r e x w o u l d m a i n t a i n i t s p r e v i o u s v a l u e . H e n c e f o r t h e b l e e d i n g m o d e , a , i n 1 0 c a n

b e r e w r i t t e n a s :

a = m i n x k ; g

u k 1 4

T h e c o n d i t i o n f o r d e t e r m i n i n g t h e c u r r e n t m o d e o f o p e r a t i o n i s :

x g u k p r e s s u r e i s b u i l d i n g 1 5

1 2


20/38

T h i s m e a n s t h a t i f t h e c u r r e n t p r e s s u r e i s s t r i c t l y l e s s t h a n t h e s t e a d y s t a t e v a l u e f o r t h e

c u r r e n t i n p u t , t h e n t h e s y s t e m i s i n t h e b u i l d i n g m o d e . O n t h e o t h e r h a n d i f t h e c u r r e n t

p r e s s u r e i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o t h e s t e a d y s t a t e p r e s s u r e f o r t h e c u r r e n t i n p u t , t h e n

t h e s y s t e m i s i n t h e b l e e d i n g m o d e . H e n c e b y u s i n g t h e c o n d i t i o n 1 5 t h e r e s u l t s g i v e n i n

1 0 , 1 4 , 1 2 a n d 1 3 c a n b e c o m b i n e d t o g i v e t h e n a l f o r m o f t h e m o d e l a s :

x k + 1 = x k + T b k a k , x k 1 6

a k =

g u k i f x k g u k

m i n x k ; g

u k i f x k g u k

1 7

b k + 1 =

b k i f u = 0

p

b

b k + z

b

k e l s e

1 8

k =

8

:

h u k i f x k

g u k , 1

2

h u k

5

4

,

x k

2 g u k , 1

i f x k

g u k , 1

2

h

u k ; x k i f x k g u k

1 9

T h e m o d e l d e s c r i b e d b y 1 6 - 1 9 w a s s i m u l a t e d f o r d i e r e n t i n p u t s a n d i t s r e s p o n s e

c o m p a r e d w i t h t h a t o f t h e a c t u a l s y s t e m . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e s 1 4 a n d 1 5 . F r o m

F i g u r e 1 5 , w e s e e t h a t t h e a c t u a l s y s t e m a n d m o d e l o u t p u t d i e r f o r l o w p r e s s u r e v a l u e s

6 0 p s i . H o w e v e r , a s d i s c u s s e d b e f o r e , d u e t o t h e l e s s s i g n i c a n t e e c t s o f t h e s e p r e s s u r e

v a l u e s o n a c t u a l b r a k i n g , t h i s e r r o r i s n o t s e v e r e .

I t c a n a l s o b e s e e n f o r m F i g u r e 1 5 t h a t f o r p r e s s u r e v a l u e s g r e a t e r t h a n 6 0 p s i t h e e r r o r

i s w i t h i n 8 p s i . T h e s e e r r o r v a l u e s a r e n o t l a r g e c o n s i d e r i n g t h e f a c t t h a t t h e p r e s s u r e

s e n s o r u s e d i n t h e a c t u a l s y s t e m h a s r e s o l u t i o n o f 4 p s i . F u r t h e r m o r e , f r o m F i g u r e 1 5 i t

i s o b v i o u s t h a t t h e m o d e l o u t p u t f o r s t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o n o f c o n t i n u o u s s i g n a l s i s t h e

s a m e a s t h a t o f t h e o r i g i n a l s i g n a l . H e n c e , t h e e s t i m a t e s o f t h e p a r a m e t e r s a a n d b w h i c h

w e r e c a l c u l a t e d a s t h o u g h t h e i n p u t s i g n a l i s m a d e u p o f n i t e s t e p s h o l d e v e n w h e n t h e

s t e p w i d t h T i s r e d u c e d t o z e r o .

T h e l i m i t a t i o n s o f t h e m o d e l 1 6 - 1 9 a r e t h e f o l l o w i n g :

1 . T h e m o d e l a c c u r a c y d e p e n d s m a i n l y o n t h e a c c u r a c y o f i d e n t i c a t i o n o f t h e p a r a m e t e r s

a a n d b

2 . T h e m o d i c a t i o n f o r b g i v e n b y 1 1 h o l d s o n l y i f x g u k , 1 , i . e . , s t e a d y s t a t e i s n o t

a t t a i n e d . W h e n s t e a d y s t a t e i s a c t u a l l y a c h i e v e d , t h e v a l u e o f b s h o w s a f u r t h e r d e c r e a s e a s

t i m e i n c r e a s e s . I n o t h e r w o r d s , t h e l o n g e r t h e s y s t e m s t a y s a t o n e s t e a d y s t a t e v a l u e , t h e

h a r d e r i t i s f o r t h e s y s t e m t o c h a n g e t h e s t a t e . I t w a s f o u n d b y e x p e r i m e n t s t h a t f o r a x e d

i n p u t t h e s t e a d y s t a t e i s n o t a t t a i n e d f o r a s t e p w i d t h o f l e s s t h a n 5 s e c o n d s , h e n c e i n t h i s

c a s e t h e a p p r o x i m a t i o n g i v e n b y 1 1 h o l d s t r u e . T h i s i s n o t a s e v e r e l i m i t a t i o n c o n s i d e r i n g

t h e f a c t t h a t a c t u a l b r a k i n g c o m m a n d s d o f a l l i n t o t h i s c a t e g o r y .

1 3


21/38

5 C o n t r o l D e s i g n

T h e n o n l i n e a r i t y o f t h e m o d e l o f t h e b r a k e s u b s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s i n t h e f o r m

o f a h y s t e r e s i s a n d v a r i a b l e t i m e d e l a y . T h e m a i n o b j e c t i v e o f t h e c o n t r o l l e r d e s i g n i n t h i s

p a p e r i s t o m a k e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e b r a k e s u b s y s t e m a s u n i f o r m a n d r o b u s t a s p o s s i b l e

t h r o u g h o u t t h e r a n g e o f o p e r a t i o n . O n e w a y t o a c h i e v e t h i s o b j e c t i v e i s t o u s e f e e d b a c k

l i n e a r i z a t i o n t o c a n c e l t h e n o n l i n e a r i t i e s o f t h e s y s t e m .

T h e d e s i g n o f t h e b r a k e c o n t r o l l e r i n t h i s p a p e r f o l l o w s t h e g u i d e l i n e s p r o v i d e d b y t h e

f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e s g i v e n i n 1 2 . T h e b r a k e m o d e l g i v e n i n 1 6 h a s n o e x p l i c i t

c o n t r o l i n p u t t e r m . S i n c e t h e p a r a m e t e r a i n t h e b r a k e m o d e l i s a n o n l i n e a r f u n c t i o n o f t h e

c o n t r o l i n p u t u a n d s t a t e x a n d t h e i n v e r s e m a p p i n g

u k = g

, 1

a k ; x k 2 0

i s g u a r a n t e e d t o e x i s t f o r a l l v a l u e s o f a a n d x w i t h i n t h e o p e r a t i n g r a n g e S

o

; U

o

o f t h e

s y s t e m , w h e r e ,

S

o

= f y 2 R : y P

m a x

g U

0

= f u 2 R : u

m i n

u u

m a x

g 2 1

8 a ; x 2 S

o

g

, 1

e x i s t s a n d u 2 U

o

w h e r e P

m a x

i s t h e m a x i m u m a l l o w a b l e p r e s s u r e , u

m i n

a n d u

m a x

r e p r e s e n t t h e m i n i m u m

a n d t h e m a x i m u m a l l o w a b l e c o n t r o l i n p u t r e s p e c t i v e l y . H e n c e w i t h t h e c o n d i t i o n g i v e n i n

2 1 , w e c a n c o n s i d e r a t o b e t h e v i r t u a l c o n t r o l i n p u t . T h i s a s s u m p t i o n w o u l d h e l p u s t o

l i n e a r i z e t h e s y s t e m b y u s i n g s t a n d a r d i n p u t - o u t p u t f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e s . T h e

c o n t r o l l e r d e s i g n p r o c e e d s b y r s t l i n e a r i z i n g t h e b r a k e m o d e l 1 6 , w i t h o u t p u t x k a n d

i n p u t a , w i t h o u t c h a n g i n g t h e i n t e r n a l s t a t e d y n a m i c s b k g i v e n i n 1 8 .

W e r s t l e t

a k =

1

T b k

x k + ! k +

1 ,

1

T b k

x k 2 2

w h e r e i s s o m e d e s i g n c o n s t a n t a n d ! i s t h e n e w i n p u t . T h e r e s u l t i n g s y s t e m i s :

x k + 1 = x k + ! k 2 3

S i n c e a i s g i v e n b y 2 2 f o r s o m e c o n s t a n t a n d ! i s a s i g n a l t o b e c o m p u t e d , t h e c o n t r o l

i n p u t u c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g t h e i n v e r s e m a p p i n g 2 0 . T h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d s y s t e m

i s g i v e n b y 2 3 , w h o s e t r a n s f e r f u n c t i o n i s :

G z =

x z

! z

=

1

z ,

2 4

1 4


22/38

r x+

-

!

P

G z

1

z ,

D z

K T z ,

z , 1

F i g u r e 1 0 : B l o c k d i a g r a m o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m .

T h e i n p u t ! c a n n o w b e s e l e c t e d t o m e e t t h e c o n t r o l o b j e c t i v e f o r t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d

s y s t e m 2 3 . I n g e n e r a l ! c o u l d b e o f t h e f o r m :

! = D z r , x

a s s h o w n i n F i g u r e 1 0 , w h e r e D z w i l l b e c h o s e n t o m e e t t h e c o n t r o l o b j e c t i v e . F o r e x a m p l e ,

f o r :

D z = K

P

+

K

I

T

z , 1

=

K

P

z , 1 + K

I

T

z , 1

2 5

w e h a v e a P I c o m p e n s a t o r w h o s e p a r a m e t e r s K

P

, K

I

c a n b e c h o s e n f o r s t a b i l i t y a n d z e r o

s t e a d y s t a t e e r r o r . T h e l o o p t r a n s f e r f u n c t i o n w i t h t h e a d d i t i o n o f t h e P I c o m p e n s a t o r

b e c o m e s :

L z = K

P

z , 1 +

K

I

T

K

P

z , 1 z ,

2 6

H e n c e w i t h t h e a d d i t i o n o f a P I c o m p e n s a t o r t h e o r d e r o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m h a s

i n c r e a s e d . T h i s , h o w e v e r , c a n b e a v o i d e d b y c a r e f u l l y s e l e c t i n g t h e g a i n s K

P

a n d K

I

. O n e

s u c h c o m b i n a t i o n i s g i v e n b y :

K

P

= K T K

I

= K 1 ,

w h e r e K 0 i s a d e s i g n c o n s t a n t t o p l a c e t h e c l o s e d l o o p p o l e a t a d e s i r e d l o c a t i o n . H e n c e

t h e i n p u t ! i n 2 3 b e c o m e s :

! =

K T z ,

z , 1

r , x 2 7

T h e c l o s e d l o o p t r a n s f e r f u n c t i o n T s s h o w n i n F i g u r e 1 0 i s g i v e n b y :

T z =

x z

r z

=

K T

z , 1 + K T

2 8

T h e c o n t r o l l a w i s s u m m a r i z e d i n T a b l e 1 a n d i s r e p r e s e n t e d b y t h e b l o c k d i a g r a m s h o w n

i n F i g u r e 1 1 .

1 5


23/38

! k =

K T z ,

z , 1

r k , x k

a k =

1

T b k

x k + ! k +

1 ,

1

T b k

x k

u k = g

, 1

a k ; x k

T a b l e 1 : S u m m a r y o f C o n t r o l L a w

K T z

z 1

P

!

x + !

a

g

1

a x

u

G

xr +

1

T b

+ 1 ,

1

T b

x

F i g u r e 1 1 : B l o c k d i a g r a m f o r i m p l e m e n t a t i o n o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d c o n t r o l s y s t e m .

5 . 1 C o n t r o l l e r M o d i c a t i o n s

T h e c o n t r o l i n p u t g e n e r a t e d b y t h e f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n s h o w n i n T a b l e 1 i s c a l c u l a t e d

b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e r e i s n o s a t u r a t i o n o f t h e c o n t r o l i n p u t . H o w e v e r , f r o m

t h e s a f e t y p o i n t o f v i e w a l i m i t e d c o n t r o l a u t h o r i t y i s a v a i l a b l e i n t h e g i v e n s y s t e m . H e n c e

t o a v o i d p e r f o r m a n c e d e t e r i o r a t i o n , s o m e a d d i t i o n a l l o g i c i s e m b e d d e d w i t h i n t h e s t a n d a r d

P I c o m p e n s a t o r . T h e s e m o d i c a t i o n s a l o n g w i t h s o m e j u s t i c a t i o n a r e p r e s e n t e d b e l o w :

I n o r d e r t o a v o i d t h e i n t e g r a t i o n w i n d u p p r o b l e m s a l i m i t e d i n t e g r a t o r i s u s e d i n p l a c e

o f t h e i d e a l i n t e g r a t o r .

I n o r d e r t o a v o i d o v e r s h o o t w h i l e m a i n t a i n i n g s w i f t n e s s o f r e s p o n s e , t h e l o g i c s h o w n i n

F i g u r e 1 2 i s a d d e d t o t h e P I c o m p e n s a t o r . S i n c e t h e b r a k e s u b s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n

h a s a l a r g e d e l a y , 0 2 s e c . a t s t a r t u p , t h e b r a n c h l a b e l e d d e l a y k i l l i n F i g u r e 1 2 s t o p s

i n t e g r a t o r a c c u m u l a t i o n d u r i n g t h i s i n t e r v a l . T h i s r e d u c e s t h e s a t u r a t i o n o f t h e c o n t r o l

i n p u t d u r i n g t h e d e l a y p e r i o d a n d h e l p s t o a v o i d o v e r s h o o t a t l o w o p e r a t i n g p r e s s u r e s .

T o r e d u c e o v e r s h o o t a t h i g h p r e s s u r e , t h e b r a n c h l a b e l e d s h o o t k i l l c u t s o i n t e g r a t o r

w h e n e i t h e r :

- t h e n o n l i n e a r f u n c t i o n a , u s e d a s l i n e a r i z a t i o n i n p u t , e x c e e d s t h e m a x i m u m s t e a d y s t a t e

1 6


24/38

pressure value and the actual pressure x is less than the desired one - or when a is negative andthe brake pressure is greater than the desired. This modification results in minimum possibleovershoot for normal and high pressure regions. Hence during initial startup time and at thetime when the controller output is saturated, this logic avoids excessive integrator accumulation,that may cause subsequent overshoots. The output of the PI compensator is now given as:

Figure 12: Block diagram of the modified integrator.

where Pmin is the minimum line pressure in idle state, when the time delay is large. Since theinverse mapping, u = g

-1(a, x), is guaranteed to exist when the inputs a,x are within the physical

constraints imposed by the equipment, a saturation function p(.) is introduced at the output ofa .

(30)

where amin = 0 and amax = Pmax, Pmax is the maximum allowable pressure. Some simulationresults before and after addition of this logic are shown in Figure 16. A comparison

17


25/38

o f t h e a t t a i n a b l e p e r f o r m a n c e u s i n g t h i s m o d i c a t i o n , w i t h t h e s t a n d a r d P I c o m p e n s a t o r i s

g i v e n i n T a b l e 2 .

c o n t r o l l e r r i s e t i m e s e t t l i n g t i m e s : s : e r r o r o v e r s h o o t

S t a n d a r d P I 1 . 0 s e c 3 . 5 s e c 0 1 0

M o d i e d P I 1 . 1 s e c 2 . 5 s e c 0 0

T a b l e 2 : C o m p a r i s o n o f p e r f o r m a n c e

W i t h t h e p r o p o s e d m o d i c a t i o n , t h e m a i n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m a r e

s u m m a r i z e d a s f o l l o w s :

T h e s t e p r e s p o n s e i s f a s t e n o u g h t o m e e t t h e A V C S p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s 2

T h e r e i s n o o v e r s h o o t o r u n d e r s h o o t .

T h e s t e a d y s t a t e e r r o r f o r s t e p i n p u t s i s e q u a l t o z e r o .

6 S t a b i l i t y A n a l y s i s

W e r s t d i s c u s s t h e s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f t h e o p e n l o o p s y s t e m . T h e n o n l i n e a r f u n c t i o n s

a = g x ; u a n d b = h x ; u i n 1 7 a n d 1 8 a r e g u a r a n t e e d t o b e b o u n d e d , i . e . ,

g x ; u 2 C

1

= f y

1

2 R : a

m i n

y

1

a

m a x

g 3 1

h x ; u 2 C

2

= f y

2

2 R : b

m i n

y

1

b

m a x

g 8 u ; x 0 2 L

1

3 2

w h e r e a

m i n

0 a n d b

m i n

0 . H e n c e f o r a n y b o u n d e d i n i t i a l c o n d i t i o n , a n y b o u n d e d

i n p u t t o t h e s y s t e m w o u l d r e s u l t i n a b o u n d e d s t a t e , i . e . ,

u ; x 0 2 L

1

x 2 L

1

8 t 0

F u r t h e r m o r e , u 2 U

o

x 2 S

o

, w h e r e U

o

a n d S

o

a r e a s d e n e d i n 2 1 . A s d i s c u s s e d

b e f o r e , t h e n o n l i n e a r f u n c t i o n a i s u s e d i n p l a c e o f t h e c o n t r o l i n p u t u f o r l i n e a r i z a t i o n o f

o p e n l o o p p l a n t 1 6 . A s g i v e n b y c o n d i t i o n 2 1 , i f w e g u a r a n t e e t h a t a ; x 2 S

o

t h e n i t i m -

p l i e s t h a t u 2 L

1

, r a t h e r u 2 U

o

, w h e r e U

o

f o r m s t h e s e t o f a c c e p t a b l e i n p u t s t o t h e s y s t e m .

T h e o r e m 1 I f t h e c o n t r o l l e r g i v e n i n T a b l e 1 w i t h t h e m o d i c a t i o n 2 9 i s i n i t i a l i z e d s u c h

t h a t u k

0

2 U

o

, t h e n t h e c l o s e d l o o p s i g n a l s ! , , a , u a n d x a r e b o u n d e d a n d u 2 U

o

,

x 2 S

o

8 k k

0

1 8


26/38

P r o o f : T h e a s s u m p t i o n t h a t a t t = k

0

T , u 2 U

o

i s n o t r e s t r i c t i v e a s t h e c o n t r o l l e r

w o u l d b e i n i t i a l i z e d w i t h s o m e a c c e p t a b l e i n p u t . T o e s t a b l i s h t h e b o u n d e d n e s s o f a l l t h e

s i g n a l s i n c l o s e d l o o p , w e b e g i n a s f o l l o w s :

W e h a v e t h a t u k

0

2 U

o

x k

0

2 S

o

. C o n s i d e r i n g t h e P I c o m p e n s a t o r , w e c a n w r i t e :

! k = W z r k , x k 3 3

k ! k

2

k W z k

1

k r , x k

2

3 4

w h e r e r k i s t h e d e s i r e d o u t p u t t r a j e c t o r y , o b v i o u s l y r k 2 S

o

, r k

0

, x k

0

2 O S

o

S i n c e W z i s a s t a b l e p r o p e r t r a n s f e r f u n c t i o n , h e n c e f o r r k

0

, x k

0

2 O S

o

L

2

, w e

h a v e ! k

0

2 O S

o

L

2

. D e n o t i n g x k + ! k i n 2 2 b y k , w e h a v e :

k k

0

k

2

k x k

0

k

2

+ k ! k

0

k

2

3 5

w h e r e i s a n i t e d e s i g n c o n s t a n t c h o s e n e a r l i e r , k

0

2 O S

o

L

2

. A l s o f r o m 2 2

w e c a n w r i t e :

k a k

0

k

2

c

1

k k

0

k

2

+ c

2

k x k

0

k

2

3 6

w h e r e c

1

=

1

T b k

0

a n d c

2

= 1 , c

1

a r e n i t e c o n s t a n t s a s b k b

m i n

0 8 k , a k

0

2

O S

o

L

2

. F i n a l l y t h e s a t u r a t i o n f u n c t i o n p d e n e d i n 3 0 e n s u r e s t h a t a k

0

2 S

o

H e n c e , f r o m 2 1 w e g e t u k

0

+ 1 2 U

o

x k

0

+ 1 2 S

o

. N o w b y i n d u c t i o n w e c a n

s h o w t h a t c l o s e d l o o p s i g n a l s a r e b o u n d e d a n d u k 2 U

o

, x k 2 S

o

f o r a l l k k

0

2

7 S i m u l a t i o n a n d I m p l e m e n t a t i o n R e s u l t s

T h e m o d i e d c o n t r o l l a w g i v e n i n 2 9 , 2 2 , 3 0 a n d 2 0 i s s i m u l a t e d u s i n g M a t r i x x a n d

t h e n o n l i n e a r b r a k e m o d e l . T h e b l o c k d i a g r a m o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m i s s h o w n i n F i g u r e

1 3 . T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s o f t y p i c a l b r a k i n g s c e n a r i o s a r e s h o w n i n F i g u r e s 1 7 a - 1 9 a . T h e

s i m u l a t i o n r e s u l t s c o n r m t h e c l a i m s m a d e a b o u t p e r f o r m a n c e i n t e r m s o f z e r o s t e a d y s t a t e

e r r o r , n o o v e r s h o o t a n d s u c i e n t l y f a s t r e s p o n s e l i m i t e d b y t h e e q u i p m e n t c o n s t r a i n t s .

T h e c o n t r o l l e r g i v e n i n F i g u r e 1 3 i s a l s o i m p l e m e n t e d o n t h e a c t u a l b r a k e s y s t e m . T h e

r e s u l t s o b t a i n e d f r o m t h e a c t u a l c l o s e d l o o p s y s t e m a r e s h o w n i n F i g u r e s 1 7 b - 1 9 b . T h e

s i m u l a t i o n r e s u l t s i n F i g u r e s 1 7 a - 1 9 a a r e a l m o s t i d e n t i c a l t o t h e a c t u a l c l o s e d l o o p s y s t e m

r e s p o n s e s h o w n i n F i g u r e s 1 7 b - 1 9 b . F u r t h e r m o r e , o n e o f t h e d e s i g n o b j e c t i v e s t o m a k e

t h e s y s t e m b e h a v e l i n e a r l y i s p r o v e d b y c o m p a r i n g t h e a c t u a l c l o s e d l o o p s y s t e m r e s p o n s e

w i t h t h a t o f t h e e q u i v a l e n t l i n e a r s y s t e m

K T

z , 1 + K T

. T h e c o m p a r i s o n f o r t h e t h r e e i n p u t s

c o n s i d e r e d b e f o r e i s s h o w n i n F i g u r e 2 1 .

A f u n c t i o n f x s O x i f t h e r e e x i s t s a n i t e c o n s t a n t c 0 , s u c h t h a t f x c x 8 x

1 9


27/38

r +

P

K T i f f x 1 0 o r

e 0 a n d a 0 o r

a 2 6 0 a n d e 0 g

K T z

z 1

e l s e

!

e

1

T b

+ 1 ,

1

T b

x p .

a u

G

x

g

1

x a x + !

F i g u r e 1 3 : B l o c k d i a g r a m o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d c o n t r o l s y s t e m .

8 C o n c l u s i o n

A n o n l i n e a r m o d e l t h a t d e s c r i b e s t h e i n p u t o u t p u t b e h a v i o r o f t h e b r a k e s u b s y s t e m o f a

L i n c o l n t o w n c a r i s d e v e l o p e d . T h e m o d e l i s s i m p l i e d t o r e s e m b l e a r s t o r d e r l i n e a r s y s -

t e m w i t h n o n l i n e a r c o e c i e n t s a n d t i m e d e l a y s . T h e u n k n o w n p a r a m e t e r s a r e i d e n t i e d

b y a p p l y i n g t h e s t a n d a r d c u r v e t t i n g t e c h n i q u e s t o t h e d a t a o b t a i n e d b y c o n d u c t i n g e x -

p e r i m e n t s o n t h e t e s t b e n c h . T h e h y s t e r e s i s p h e n o m e n o n i s m o d e l e d b y i s o l a t i n g t h e t w o

o p e r a t i n g m o d e s , t h a t i s t h e b u i l d i n g a n d b l e e d i n g m o d e s , a n d i d e n t i f y i n g s e p a r a t e s e t s

o f p a r a m e t e r s f o r e a c h o n e . T h e w o r s t c a s e m o d e l i n g e r r o r w a s f o u n d t o b e l e s s t h a n 5

w i t h i n t h e r a n g e o f i n t e r e s t .

A b r a k e c o n t r o l l e r i s d e v e l o p e d u s i n g s t a n d a r d f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e s o n t h e

n o n l i n e a r v a l i d a t e d m o d e l . A P I c o m p e n s a t o r w i t h i n t u i t i v e m o d i c a t i o n s i s i n t r o d u c e d

i n t h e c l o s e d l o o p t o m e e t t h e p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s . T h e c o n t r o l l e r h a s b e e n s h o w n

t o m e e t t h e p o s s i b l e p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s i n a n A V C S a p p l i c a t i o n b y a p p l y i n g t o t h e

a c t u a l b r a k e s u b s y s t e m m o u n t e d o n a b e n c h .

A c k n o w l e d g m e n t

W e w o u l d l i k e t o t h a n k F o r d M o t o r C o m p a n y f o r d o n a t i n g t h e b r a k e t e s t b e n c h t o u s .

W e a l s o l i k e t o t h a n k D r . S t e v e E c k e r t a n d M r . M a r k P e t e r s o n f o r h e l p i n g u s t o s e t i t u p

a n d f o r m a n y u s e f u l t e c h n i c a l i n f o r m a t i o n s a n d g u i d a n c e .

R e f e r e n c e s

1 S h l a d o v e r , S . , E . , L o n g i t u d i n a l C o n t r o l o f A u t o m o t i v e V e h i c l e s i n C l o s e - F o r m a t i o n

P l a t o o n s " , A S M E J o u r n a l o n D y n a m i c S y s t e m s , M e a s u r e m e n t a n d C o n t r o l , v o l . 1 1 3 ,

1 9 9 1 , p p . 2 3 1 - 2 4 1 .

2 0


28/38

2 S h l a d o v e r , S . , E . , D e s o r , C . , A . , H e d r i c k , J . , K . , T o m i z u k a , M . , W a r l a n d , J . , Z h a n g ,

W . , B . , M c M o h a n , D . , P e n g , H . , S h e i k h o l s e l a m , S . , M c K e o w n , N . , A u t o m a t i c V e h i c l e

C o n t r o l D e v e l o p m e n t s i n P A T H P r o g r a m , I E E E T r a n s . o n V e h i c u l a r T e c h n o l o g y " , v o l .

4 0 , 1 9 9 1 , p p . 1 1 4 - 1 3 0 .

3 S h e i k h o l e l s l a m , S . , D e s o e r , C . , A . , A S y s t e m L e v e l S t u d y o f t h e L o n g i t u d i n a l C o n t r o l

o f a P l a t o o n o f V e h i c l e s " , A S M E J o u r n a l o f D y n a m i c S y s t e m s , M e a s u r e m e n t , a n d

C o n t r o l , 1 9 9 1 .

4 V a r a i y a , P . , S m a r t C a r s o n S m a r t R o a d s : P r o b l e m s o f C o n t r o l " , I E E E T r a n s a c t i o n s

o n A u t o m a t i c C o n t r o l , v o l . A C - 3 8 , n o . 2 , p p . 1 9 5 - 2 0 7 , 1 9 9 3 .

5 C h i e n , C . , C . , I o a n n o u , P . , A u t o m a t i c V e h i c l e F o l l o w i n g " , P r o c . A m e r i c a n C o n t r o l

C o n f e r e n c e , C h i c a g o , I l . , J u n e 1 9 9 2 .

6 G e r d e s , J . , C . , M a c i u c a , D . , B . , D e v l i n , P . , E . , H e d r i c k , J . , K . , B r a k e M o d e l i n g f o r

I V H S L o n g i t u d i n a l C o n t r o l " , W i n t e r A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n S o c i e t y o f t h e

M e c h a n i c a l E n g i n e e r s , 1 9 9 3 .

7 K h a n , Y . , K u l k a r n i , P . , a n d Y o u c e f - T o u m i , K . , M o d e l i n g , E x p e r i m e n t a t i o n a n d S i m -

u l a t i o n o f a B r a k e A p p l y S y s t e m " , P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 2 A m e r i c a n C o n t r o l C o n f e r -

e n c e , p p . 2 2 6 - 2 3 0 .

8 N u n n e y , M . , J . , L i g h t a n d H e a v y V e h i c l e T e c h n o l o g y " , 2 n d E d i t i o n , N e w n e s , O x f o r d

O X 2 8 D P , 1 9 9 2 , p p . 5 1 6 - 5 5 2 .

9 H e d r i c k J . K . , M c M a h o n D . , N a r e n d r a n V . , S w a r o o p D . , L o n g i t u d i n a l V e h i c l e C o n -

t r o l l e r D e s i g n f o r I V H S S y s t e m " , P r o c e e d i n g o f A m e r i c a n C o n t r o l C o n f e r e n c e " , V o l .

3 , p p . 3 1 0 7 - 3 1 1 2 , J u n e 1 9 9 1 .

1 0 X u Z . , I o a n n o u P . , T h r o t t l e a n d B r a k e C o n t r o l S y s t e m s f o r A u t o m a t i c V e h i c l e F o l -

l o w i n g " , I V H S J o u r n a l , 1 9 9 4 , V o l . 1 4 , p p . 3 4 5 - 3 7 7 .

1 1 H a u k s d o t t i r A . S . , F e n t o n R . E . , O n t h e D e s i g n o f V e h i c l e L o n g i t u d i n a l C o n t r o l l e r " ,

I E E E T r a n s a c t i o n o n V e h i c u l a r T e c h n o l o g y , V o l . V T - 3 4 , N o . 4 , p p . 1 8 2 - 1 8 7 , N o v . 1 9 8 5 .

1 2 S l o t i n e J . E . , L i W . , A p p l i e d N o n l i n e a r C o n t r o l " , P r e n t i c e H a l l , E n g l e w o o d C l i s ,

N J , 1 9 9 1 .

2 1


29/38

A L o o k u p T a b l e s

u a = g u p s i b = h u a = g

u p s i

4 8 2 5 3 1 . 8 2 5 3

5 0 2 2 6 1 . 7 2 5 3

5 2 2 0 2 1 . 6 2 5 2

5 4 1 8 1 1 . 4 2 5 1

5 6 1 5 9 1 . 2 2 4 5

5 8 1 4 0 1 . 0 2 3 3

6 0 1 2 4 0 . 9 2 1 9

6 2 1 0 8 0 . 7 5 1 9 4

6 4 9 4 0 . 6 5 1 8 2

6 6 8 3 0 . 5 0 1 7 0

6 8 7 0 0 . 3 5 1 5 7

7 0 6 0 0 . 2 0 1 4 8

7 2 4 8 0 . 1 1 3 8

7 4 3 0 0 . 1 1 2 9

7 6 5 0 . 1 1 1 6

7 8 0 0 . 1 1 0 7

8 0 0 0 . 1 9 4

8 2 0 0 . 1 7 9

8 4 0 0 . 1 6 5

8 6 0 0 . 1 5 7

8 8 0 0 . 1 4 0

9 0 0 0 . 1 2 9

T a b l e 3 : L e a s t s q u a r e t v a l u e s o f f u n c t i o n s g , h a n d g

f o r t h e c u r v e s i n F i g u r e s 6 a n d 7

2 2


30/38

u n x 0 3 0 6 0 8 0 9 5 1 0 5 1 2 5 1 4 5 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 5 2 5 3

4 8 X X X X X X X X X X X X 1 . 8

5 0 X X X X X X X X X X X 1 . 7 1 . 8

5 2 X X X X X X X X X X 1 . 6 1 . 7 1 . 8

5 4 X X X X X X X X X 1 . 4 1 . 6 1 . 7 1 . 9

5 6 X X X X X X X X 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 1 . 9

5 8 X X X X X X X 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 7 1 . 8 2 . 0

6 0 X X X X X X 0 . 9 1 . 0 1 . 2 1 . 5 1 . 7 1 . 9 2 . 1

6 2 X X X X X 0 . 7 5 0 . 9 1 . 0 1 . 3 1 . 5 1 . 8 1 . 9 2 . 2

6 4 X X X X 0 . 6 5 0 . 7 5 0 . 9 1 . 1 1 . 3 1 . 6 1 . 8 2 . 0 2 . 3

6 6 X X X 0 . 5 0 . 6 5 0 . 7 5 1 . 0 1 . 1 1 . 4 1 . 6 1 . 9 2 . 0 2 . 4

6 8 X X X 0 . 5 0 . 6 5 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 7 1 . 9 2 . 1 2 . 5

7 0 X X 0 . 2 0 . 5 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 5 1 . 8 2 . 0 2 . 2 2 . 6

7 2 X X 0 . 2 0 . 5 0 . 7 0 . 8 1 . 1 1 . 3 1 . 5 1 . 8 2 . 0 2 . 3 2 . 6

7 4 X 0 . 1 0 . 2 0 . 6 0 . 7 0 . 9 1 . 1 1 . 3 1 . 6 1 . 9 2 . 1 2 . 4 2 . 7

7 6 X 0 . 1 0 . 2 0 . 6 0 . 7 0 . 9 1 . 1 1 . 4 1 . 6 1 . 9 2 . 2 2 . 5 2 . 7

7 8 0 . 1 0 . 1 0 . 3 0 . 6 0 . 7 0 . 9 1 . 2 1 . 4 1 . 7 2 . 0 2 . 3 2 . 5 2 . 8

8 0 0 . 1 0 . 1 0 . 3 0 . 6 0 . 7 0 . 9 1 . 2 1 . 5 1 . 7 2 . 0 2 . 3 2 . 6 2 . 8

8 2 0 . 1 0 . 1 0 . 3 0 . 7 0 . 7 1 . 0 1 . 2 1 . 5 1 . 8 2 . 1 2 . 4 2 . 6 2 . 9

8 4 0 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 3 1 . 5 1 . 8 2 . 1 2 . 4 2 . 7 2 . 9

8 6 0 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 3 1 . 6 1 . 9 2 . 2 2 . 5 2 . 7 3 . 0

8 8 0 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 3 1 . 6 1 . 9 2 . 2 2 . 5 2 . 7 3 . 0

9 0 0 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 3 1 . 6 1 . 9 2 . 2 2 . 5 2 . 7 3 . 0

T a b l e 4 : L e a s t s q u a r e t v a l u e s o f b = h

u ; x f o r t h e c u r v e s i n F i g u r e 7 . A n X a s a t a b l e

e n t r y i n d i c a t e s a n i n v a l i d s t a t e f o r b l e e d i n g m o d e .

2 3


31/38

0 10 20 30 40 50 600

30

60

90

120

150

180

210

time(sec)

pressure(psi)

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

300

time(sec)

pressure(psi)

F i g u r e 1 4 : A c o m p a r i s o n o f t h e a c t u a l a n d m o d e l o u t p u t f o r a s t e p i n p u t o f 5 2 i s s h o w n

i n t h e t o p p o r t i o n o f t h e F i g u r e . W h e r e a s i n t h e b o t t o m o n e i n p u t c h a n g e s f r o m 4 8 t o

9 0 a t t = 3 0 s e c .

2 4


32/38

0 5 10 15 2055

60

65

70

75

80

85

90

time (sec)

input(%)

0 5 10 15 200

20

40

60

80

100

120

140

160

time (sec)

modelands

ystemo

utput(psi)

0 5 10 15 2055

60

65

70

75

80

85

90

time (sec)

input(%)

0 5 10 15 200

20

40

60

80

100

120

140

160

time (sec)

modelandsystemo

utput(psi)

F i g u r e 1 5 : T h e t o p l e f t p o r t i o n o f t h e F i g u r e s h o w s t h e i n p u t s i g n a l b e i n g a p p l i e d t o a c t u a l

s y s t e m a n d b r a k e m o d e l f o r c o m p a r i s o n . T h e s y s t e m a n d m o d e l o u t p u t s a r e s h o w n i n t o p

r i g h t p o s i t i o n f o r g i v e n i n p u t s i g n a l . A s t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o n o f t h e s a m e i n p u t s i g n a l i s

s h o w n i n b o t t o m l e f t g r a p h . T h e c o m p a r i s o n o f o u t p u t s i s s h o w n i n b o t t o m r i g h t g r a p h .

2 5


33/38

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

time (sec)

Simulation for controller without modifications

press

ure(psi),u

(%)

input

output

control input

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

time (sec)

Simulation for controller with modifications

pressure(ps

i),u

(%)

input

output

control input

F i g u r e 1 6 : C o m p a r i s o n o f c l o s e d l o o p r e s p o n s e f o r P I c o m p e n s a t o r w i t h a n d w i t h o u t m o d -

i c a t i o n s .

2 6


34/38

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

time (sec)

Simulation for step input

press

ure(psi),u

(%)

input

output

control input

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

time (sec)

Closed loop brake system output for step input

pressure(ps

i),u

(%)

input

output

control input

F i g u r e 1 7 : S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r s t e p i n p u t , c o r r e s p o n d i n g t o a d e s i r e d

p r e s s u r e o f 2 0 0 p s i .

2 7


35/38

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

30

60

90

120

150

180

210

time (sec)

Simulation for exponential input

press

ure(psi),u

(%)

input

output

control input

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

30

60

90

120

150

180

210

time (sec)

Closed loop brake system output for exponential input

pressure(ps

i),u

(%)

input

output

control input

F i g u r e 1 8 : S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r e x p o n e n t i a l i n p u t .

2 8


36/38

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

time (sec)

Simulation for sinusoidal input

press

ure(psi),u

(%)

input

output

control input

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

time (sec)

Closed loop brake system output for sinusoidal input

pressure(ps

i),u

(%)

input

output

control input

F i g u r e 1 9 : S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r s i n u s o i d a l i n p u t .

2 9


37/38

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

30

60

90

120

150

180

210

240

time(sec)

pressu

re(psi),u

(%)

input

output

control input

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

30

60

90

120

150

180

210

240

time(sec)

pressure(psi),u(%)

input

output

control input

F i g u r e 2 0 : C l o s e d l o o p s y s t e m r e s p o n s e f o r s i n u s o i d a l i n p u t o f 0 . 2 5 H z . t o p a n d 0 . 5 H z .

b o t t o m . T h e d e s i r e d p r e s s u r e i s s t e p i n p u t o f 1 0 0 p s i f r o m 0 t o 1 0 s e c , f r o m 1 0 s e c t o 2 0

s e c a s i n u s o i d a l i n p u t w i t h a m p l i t u d e o f 2 5 p s i i s s u p e r i m p o s e d o n t h e s t e p i n p u t . I t s h o u l d

b e n o t e d t h a t s y s t e m b a n d w i d t h i s a r o u n d 0 . 5 H z .

3 0


38/38

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

time (sec)

Comparison of Feedback linearized system with linear equivalent

pressure(psi)

linear system

actual system

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

time (sec)

Comparison of Feedback linearized system with linear equivalent

pressure(psi)

linear system

actual system

F i g u r e 2 1 : C o m p a r i s o n o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d s y s t e m r e s p o n s e w i t h t h e e q u i v a l e n t l i n e a r

s y s t e m r e s p o n s e f o r t w o d i e r e n t i n p u t s .

escholarship uc item 2dx3p56v

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