escuela t ecnica superior de ingenieros industriales...

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales

Area de conocimiento: Ingenierıa Electrica

Trabajo Fin de Grado

DETERMINACION DE LA CORRIENTE DE PUESTA ATIERRA EN APOYOS Y CABLES DE TIERRA DE

FORMA EXACTA MEDIANTE UN ANALISIS NODAL.COMPARACION DE RESULTADOS CON LA NORMA

UNE-EN 60909-3

Autor: David Sanchez Leonardo

Director: Rosa Marıa de Castro Fernandez

2017

Ut ego ad parentes.

Agradecimientos

Este trabajo requiere agradecerselo, por un lado, a mi familia por el apoyo incondicio-

nal y ayuda, tanto durante todo el Grado como con este Trabajo Fin de Grado. Y, por

otro lado, a mi tutora, por haberme dado la oportunidad hacer este trabajo con ella y la

ayuda que me ha dado siempre que lo he requerido.

v

Resumen

El objetivo principal de este Trabajo Fin de Grado es desarrollar un metodo gene-

ral para el calculo de la corriente de puesta a tierra en lıneas y subestaciones sea cual

sea la configuracion del sistema y se verificara comparandolo con el metodo simplificado

propuesto en la Norma UNE-EN 60909-3. Todo el trabajo se basa en la aplicacion de la

teorıa de circuitos al sistema en estudio. Se muestran los pasos a seguir para la obtencion

del circuito equivalente completo de dicho sistema, ası como de los circuitos simplificados

que se derivan de este. Con ellos se puede entender el significado de las componentes

de las corrientes que circulan por los cables de tierra, al igual que conceptos tales como

distancia de alejamiento, coeficiente de reduccion, impedancia de entrada de los circui-

tos de puesta a tierra, etc. Se deducen, tambien, los circuitos indicados en las normas

para la realizacion de los calculos e, incluso, aquellos que corresponden a situaciones no

contempladas en ellas. Ademas, se incluyen ejemplos de las diferentes situaciones con el

objetivo de facilitar la comprension de los diferentes casos de estudio y su resolucion ante

una situacion dada.

vii

Indice

Indice de Figuras xii

Indice de Tablas xiii

Lista de Sımbolos xiii

Lista de Acronimos xiii

1. Introduccion del trabajo 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Ecuaciones de Carson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Modificacion de las ecuaciones de Carson . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Desarrollo 7

2.1. Caso de falta en una subestacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Ejemplo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2. Ejemplo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Caso de falta en un apoyo de la lınea alejado de los extremos . . . . . . . . 20

2.2.1. Ejemplo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2. Ejemplo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Caso de falta en un apoyo de la lınea cercano a una de las subestaciones . 29

2.3.1. Ejemplo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2. Ejemplo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. Simplificaciones consideradas en la norma UNE-EN 60909-3 . . . . . . . . 35

2.4.1. Impedancia de entrada de la red en escalera del circuito de puesta

a tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2. Distancia de alejamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ix

x INDICE

2.4.3. Metodo simplificado de la Norma UNE-EN 60909-3 . . . . . . . . . 40

2.4.4. Coeficiente de reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. Comparacion de los resultados obtenidos con el analisis por nudos frente

al obtenido con el metodo simplificado de la Norma . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.1. Resultados del ejemplo 2.1.2: Caso de falta en una subestacion . . . 46

2.5.2. Resultados del ejemplo 2.2.2: Caso de falta en un apoyo lejano a

una subestacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5.3. Resultados del ejemplo 2.2.3: Caso de falta en un apoyo cercano a

una subestacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6. Caso de falta en lıneas de doble circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.1. Caso de falta en una subestacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6.2. Caso de falta en una fase de un apoyo de la lınea alejado de los

extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. Conclusion 61

4. Planificacion temporal y presupuesto 63

4.1. Planificacion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1. Estudio de la disciplina y documentacion de trabajo . . . . . . . . . 63

4.1.2. Analisis y desarrollo de la metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.3. Desarrollo del programa de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.4. Analisis de los resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.5. Elaboracion de la presente memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2. Presupuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5. Anexos 67

5.1. Anexo A: Codigo del programa desarrollado en Matlab utilizado para la

resolucion de los ejemplos de este documento . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2. Anexo B: Impedancias propias de los cables de tierra e impedancias mutuas

entre los cables de tierra y un conductor equivalente a los conductores de

fase de las lıneas electricas aereas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.1. Lınea con un circuito y un cable de tierra . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.2. Lınea con un circuito y dos cables de tierra . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.3. Lınea con dos circuitos y un cable de tierra . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.4. Lınea con dos circuitos y dos cables de tierra . . . . . . . . . . . . . 83

Indice de Figuras

1.1. Conductores y sus imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Falta a tierra en una instalacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1. Falta en una subestacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Circuito equivalente del sistema con falta en una subestacion . . . . . . . . 8

2.3. Circuito primera transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Circuito segunda transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5. Circuito tercera transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6. Circuito simplificado ideal para el analisis por nudos . . . . . . . . . . . . . 11

2.7. Circuito simplificado ideal para el analisis por nudos con coeficiente de

reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8. Circuito del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.9. Falta en un apoyo alejado de las subestaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.10. Circuito equivalente del sistema con falta en un apoyo alejado de las sub-

estaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


2.12. Circuito ideal para el analisis por nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.13. Circuito equivalente al sistema con falta en el segundo apoyo . . . . . . . . 30

2.14. Circuito resultante de aplicar superposicion con fuente en B . . . . . . . . 36

2.15. Circuito resultante de aplicar superposicion con fuente en A . . . . . . . . 36

2.16. Dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.17. Circuito simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38



2.20. Circuito simplificado de la Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.21. Circuito simplificado de la Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.22. Circuito explicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

xi

xii INDICE DE FIGURAS

2.23. Circuito explicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.24. Circuito equivalente a una lınea de doble circuito con falta en la subestacion A 49



2.27. Circuito equivalente a una lınea de doble circuito con falta en la lınea . . . 51


2.29. Circuito segunda transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


Indice de Tablas

2.1. Configuracion de la lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Configuracion cables de tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Resultados de las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16








2.11. Resultados de las corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46





2.16. Configuracion de la lınea de doble circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


xiii

capıtulo 1

Introduccion del trabajo

1.1. Introduccion

La Instruccion Tecnica Complementaria numero 7 de Reglamento de Lıneas Electri-

cas de Alta Tension, promulgado en febrero de 2008, ITC-LAT 07, referente a las lıneas

electricas aereas, introduce bastantes modificaciones y aportaciones respecto del anterior

Reglamento tecnico de lıneas electricas aereas de alta tension. Una de estas aportaciones

hace referencia al calculo de las tensiones en las puestas a tierra de las lıneas cuando se

produce una falta a tierra en alguno de los apoyos [1]. El metodo descrito, para ello, en el

Reglamento, se basa, a su vez, en lo establecido en la Norma CEI 60909-3 o su equivalente

UNE-EN 60909-3, que cubre, ademas, el caso en el que la falta se produce en una de las

subestaciones situadas en los extremos de una lınea [2].

Hay que decir que el espacio dedicado por el nuevo Reglamento para lo que este tema

requiere es insuficiente, por lo que es difıcil entender lo que en el se expone. Incluso en

un trabajo ya publicado con la finalidad de aclarar algunos aspectos del Reglamento [3],

tampoco se ha desarrollado este punto lo suficiente para que el tecnico que vaya a realizar

este tipo de estudios pueda abordar los diferentes casos que puedan presentarse.

El estudio de la distribucion de corriente en los cables de tierra y en las puestas a

tierra de las lıneas, ası como en las puestas a tierra de las subestaciones situadas en sus

extremos, no es algo nuevo y no es difıcil encontrar bibliografıa donde estan expuestos

metodos a seguir para los calculos. Se pueden seleccionar de esta bibliografıa las publica-

ciones [4] y [5], ya que han servido de base para la elaboracion de la Norma CEI 60909-3.

Constituyen una referencia fundamental en este campo.

Para facilitar el entendimiento de este trabajo, se ha seguido en el desarrollo un meto-

1

2 INTRODUCCION DEL TRABAJO

do tutorial, tal como se explicarıa a unos alumnos en clase, con diferentes ejemplos, por lo

que puede parecer un poco reiterativo a las personas conocedoras de este campo, aunque

lo agradeceran aquellos que se enfrentan por primera vez a este tema.

1.2. Ecuaciones de Carson

Las ecuaciones de Carson son una pieza fundamental de la base de este trabajo debido

a la introduccion del efecto de retorno por tierra, no considerando la tierra como ideal ya

que no lo es.

En 1926, el Dr. John R. Carson publico sus ecuaciones para calcular la impedancia

de un circuito, considerando el efecto de retorno por tierra. Estas ecuaciones actualmente

son muy utilizadas para el calculo de parametros de lıneas de transmision aerea y sub-

terranea. Carson supone que la tierra es una superficie uniforme, plana, solida e infinita

con una resistividad constante. Cualquier efecto en los extremos de la lınea en los puntos

de aterrizamiento son despreciables para frecuencias de estado estacionario. Carson hizo

uso del metodo de las imagenes para los conductores que consiste en que cada conductor,

que esta a una distancia dada sobre la tierra, tiene un conductor imagen a la misma dis-

tancia por debajo de la tierra [6]:

Figura 1.1 Conductores y sus imagenes

Haciendo referencia a la figura, las ecuaciones originales de Carson son:

Para la inductancia propia:

ECUACIONES DE CARSON 3

Zii = ri + 4ωPiiG+ j(Xi + 2ωG · ln Sii

RDi

+ 4ωQiiG) Ω/km

Para la inductancia mutua entre los conductores i y j:

Zij = 4ωPijG+ j(2ωG · ln Sij

Dii+ 4ωQijG) Ω/km

donde, Zii es la impedancia propia del conductor i en Ω/km,

Zij es la impedancia mutua entre los condutores i y j en Ω/km,

ri es la resistencia del conductor i en Ω/km,

ω es la frecuencia en rad/s,

G = 1 · 10−4 Ω/km,

Ri es el radio exterior del conductor i en metros,

Dij es la distancia entre el conductor i y j en metros,

Sij es la distancia entre el conductor i y la imagen de j en metros,

RDi es el radio del conductor i en metros,

GMR es el radio geometrico del conductor en metros,

ρ es la resistividad de la tierra en Ω ·m,

f es la frecuencia del sistema en hercios.

los terminos P y Q representan los terminos de unas series infinitas procedentes

de la resolucion de una ecuacion diferencial.[7]

1.2.1. Modificacion de las ecuaciones de Carson

Se pueden hacer aproximaciones que involucran a los terminos Pij y Qij para encontrar

las ecuaciones modificadas de Carson. Las ecuaciones originales no pueden ser utilizadas

porque la resistencia de tierra, el radio geometrico de la tierra y las distancias de conduc-

tores a tierra no eran conocidos. Las ecuaciones de Carson modificadas tienen definidos

los parametros ausentes:

rd = 0, 049348 Ω/km

lnDid ·Ddi

GMRd

= lnDdj ·Did

GMRd

= 6, 83707

Las ecuaciones de Carson con las aproximaciones descritas son:

Zii = ri + 0, 00098696 · f + j0, 00125664 · f(ln1

GMRi

+ 6, 4905 +1

2lnρ

f) Ω/km

Zij = 0, 00098696 · f + j0, 00125664 · f(ln1

Dij

+ 6, 4905 +1

2lnρ

f) Ω/km


Ahora se asume que la frecuencia es 50 Hz (en Europa se utiliza una frecuencia de 50

Hz, mientras que en America se usa una frecuencia de 60 Hz) y que la resistividad de la

tierra es 100 Ω ·m. De tal forma que las ecuaciones modificadas de Carson son:

Zii = ri + 0, 049348 + j0, 062832(ln1

GMRi

+ 6, 83707) Ω/km

Zij = 0, 049348 + j0, 062832(ln1

Dij

+ 6, 83707) Ω/km

1.3. Planteamiento del problema

Cuando se produce una falta a tierra en un punto de una instalacion, la corriente de

defecto se dirige a tierra a traves de todos los caminos posibles que, en el caso del sistema

de la figura 1.1, son los cables de tierra de la lınea y las puestas a tierra de los apoyos de

la lınea y de las subestaciones.

Figura 1.2 Falta a tierra en una instalacion

Se va a suponer conocido el valor de la corriente de cortocircuito, a partir de un

calculo previo con los modelos de red empleados habitualmente en este tipo de estudios,

ası como las aportaciones a esta corriente de cortocircuito desde los elementos del sistema.

El cable de tierra se supone conectado en la parte superior de los apoyos y tiene una

impedancia propia por unidad de longitud Z ′W Ω/m. Esta impedancia se calcula, supuesto

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 5

un retorno por tierra de la corriente, mediante la expresion:

Z ′W = R′W +ωµ0

8+ jω

µ0

2π

[µr

4n+ ln

δ

rWW

](1.1)

donde, R′W es la resistencia del cable de tierra por unidad de longitud,

ω la pulsacion,

µ0 la permeabilidad del vacıo: 4π · 10−7 H/m,

µr la permeabilidad relativa del material constituyente del cable de tierra:

cables de aluminio/acero con una capa de aluminio: µr = 5..,10

otros cables de aluminio/acero: µr = 1

cables de acero: µr = 75

δ la profundidad equivalente de penetracion de la corriente en un terreno de re-

sistividad ρ:

δ =1, 85√ωµ0

ρ

(1.2)

n el numero de cables de tierra,

rWW el radio equivalente del cable o cables de tierra:

si hay un solo cable de tierra: rWW = rW (radio del cable de tierra)

si hay dos cables de tierra iguales separados una distancia dW : rWW =√rWdW

Ası mismo, se va a considerar un conductor de fase equivalente a los tres conductores

de fase de la lınea por el que circula una corriente:

IL = IL1 + IL2 + IL3 = 3I0 (1.3)

donde, I0 es la componente homopolar de las corrientes de fase de la lınea. Entre este

conductor de fase equivalente y el cable de tierra hay una impedancia mutua por unidad

de longitud de valor Z ′WL Ω/m. Esta impedancia, supuesto un retorno por tierra de la

corriente de ambos conductores, se obtiene, como valor medio en toda su longitud para

una lınea trifasica de un circuito con trasposiciones, mediante la expresion:


Z ′WL =ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dWL

(1.4)

donde, dWL es la distancia media geometrica, en metros, entre el cable de tierra y los

conductores de fase L1, L2 y L3.

De este modo, para un solo cable de tierra: dWL = 3√dWL1 · dWL2 · dWL3

para dos cables de tierra: dWL = 6√dW1L1 · dW1L2 · dW1L3 · dW2L1 · dW2L2 · dW2L3

dWiLj es la distancia entre el cable de tierra Wi y el conductor de fase Lj.

En el Anexo B se deducen las expresiones (1.1) y (1.4) de las impedancias Z ′W y Z ′WL

para lıneas con uno o dos cables de tierra, incluso en configuraciones asimetricas y con

cables de tierra diferentes. Ası mismo, se obtienen ecuaciones intermedias que permiten

determinar la corriente en cada uno de los cables de tierra.

Habitualmente se toma una longitud media de los vanos de la lınea, dT , y un valor

unico para la resistencia de puesta a tierra de los apoyos, RT . Estas aproximaciones, como

se vera en el estudio de un caso practico, permiten realizar los calculos de forma comoda

con medios simples. Si se utilizan los valores reales de longitudes de los vanos y de resis-

tencias de puesta a tierra de los apoyos, no se pueden utilizar los metodos simplificativos

de las normas y hay que recurrir, necesariamente, a un programa de ordenador, tal como

se propone en este trabajo. No obstante, hay que pensar que los valores disponibles de

resistividad del terreno a lo largo de la lınea, si se tienen, varıan a lo largo del tiempo,

con lo que las resistencias RT solo se pueden tomar como una estimacion de las reales.

capıtulo 2

Desarrollo

A continuacion se van a desarrollar los diferentes casos de estudio acompanados de

varios ejemplos.

2.1. Caso de falta en una subestacion

Se va a suponer una lınea conectada entre dos subestaciones, A y B, como se muestra

en la figura 2.1, en la que se ha producido una falta monofasica a tierra en la subestacion A.

Figura 2.1 Falta en una subestacion

En los dos extremos hay transformadores con conexion triangulo-estrella con el neutro

a tierra, que permiten la circulacion de corriente homopolar por la lınea hacia el punto

7

8 DESARROLLO

donde se ha producido la falta. La aportacion de corriente de cortocircuito por los con-

ductores de fase de la lınea se ha representado mediante las corrientes 3I0A y 3I0B, que

son la suma de las que circulan por los conductores de fase desde la subestacion A y B,

respectivamente. Es importante observar que, en la subestacion A, la parte de la corrien-

te de falta 3I0A no circula hacia tierra, sino que retorna a la lınea por el conductor de

conexion a tierra del neutro del transformador.

En la figura 2.2 se representa el circuito equivalente del sistema de la figura 2.1, en el

que las corrientes 3I0A y 3I0B, respectivamente, que son conocidas, se han representado

mediante fuentes de intensidad de ese mismo valor. Igualmente se han representado las

impedancias de cortocircuito de los transformadores ambas subestaciones ZTA y ZTB. La

lınea se considera formada por tramos sucesivos de longitud dT , por lo que la impedancia

propia del conductor de fase equivalente, ZL, la propia del cable de tierra, ZW , y la mutua

entre el cable de tierra y el conductor de fase equivalente, ZWL, mostradas en el circuito,

tienen los siguientes valores:

ZL = Z ′L · dT (2.1)

ZW = Z ′W · dT (2.2)

ZWL = Z ′WL · dT (2.3)

Figura 2.2 Circuito equivalente del sistema con falta en una subestacion

CASO DE FALTA EN UNA SUBESTACION 9

A continuacion, pueden eliminarse las impedancias en serie con las fuentes de inten-

sidad, sin que el resto del circuito se vea afectado por este cambio (las unicas afectadas

serıan las tensiones de las fuentes de intensidad, que no son de interes en este estudio).

Ademas, se elimina el lazo en el que ha quedado unicamente la fuente de intensidad de

valor 3I0A (que no afecta al resto del circuito) y se sustituyen las caıdas de tension en

el cable de tierra debidas al acoplamiento mutuo con el conductor de fase equivalente,

ZWL · 3I0B, por fuentes ideales de tension de ese mismo valor. Al realizar dichos cambios

se obtiene el siguiente circuito:

Figura 2.3 Circuito primera transformacion

Si, ahora, se sustituyen las fuentes reales de tension, formadas, cada una de ellas, por

la fuente ideal de tension de valor ZWL ·3I0B en serie con la impedancia ZW , por la fuente

real de intensidad equivalente, se obtiene:

Figura 2.4 Circuito segunda transformacion

10 DESARROLLO

Es muy importante observar que el cable de tierra de cada vano de la lınea esta re-

presentado en esta figura por dos ramas en paralelo, por lo que la intensidad que circula

por dicho cable de tierra, IWj, de acuerdo con las referencias indicadas, viene dada, para

el vano generico j, por la expresion:

IWj = IWM + IWTj (2.4)

donde

IWM = (ZWL/ZW ) · 3I0B (2.5)

Observese que IWM es la misma en todos los vanos de la lınea. Se dice que es la com-

ponente de la corriente en el cable de tierra debida al acoplamiento inductivo de este con

los conductores de fase.

En este momento se puede aplicar una propiedad de los circuitos electricos, segun la

cual, un circuito que tiene una fuente ideal de intensidad conectada entre dos nudos A y

B, es equivalente a otro en el que la misma fuente de intensidad, manteniendo el sentido

de su referencia de polaridad (en este caso, dirigida de A a B), se conecta en paralelo con

cada una de las ramas del circuito que forman un camino alternativo entre dichos nudos

A y B ([8], pags. 189-190). De esta forma se obtiene el circuito siguiente:

Figura 2.5 Circuito tercera transformacion


Por ultimo, si se sustituyen las dos fuentes ideales de intensidad, que han quedado en

paralelo, por una equivalente cuyo valor es la suma algebraica de los valores de dichas

fuentes, el circuito queda de siguiente forma:

Figura 2.6 Circuito simplificado ideal para el analisis por nudos

La aplicacion del metodo de analisis por nudos a este circuito permite determinar las

tensiones y las corrientes en las puestas a tierra de los apoyos y de las subestaciones.

Tambien se puede determinar la componente IWTj de la corriente en los cables de tierra,

en cada vano de la lınea que, anadida al valor conocido de la componente IWM , permite

calcular la corriente IWj que circula por dichos cables de tierra. Las ramas que representan

las puestas a tierra estan en una zona del circuito que no ha sufrido modificacion, por lo

que las tensiones y corrientes en ellas, calculadas en cualquiera de los circuitos anteriores,

coinciden con las del circuito original.

Una forma comoda de estudiar el circuito de la figura 2.6 consiste en modificar, de

nuevo, la geometrıa, convirtiendo la fuente de intensidad conectada entre A y B por otras

iguales a ella conectadas en paralelo con ramas que forman un camino alternativo entre

A y B (en este caso, las resistencias RA y RB). Obteniendose el circuito de la figura 2.7,

donde se ha hecho:

r = 1− (ZWL/ZW ) (2.6)

r se conoce como coeficiente de reduccion del cable de tierra de la lınea.

12 DESARROLLO

Figura 2.7 Circuito simplificado ideal para el analisis por nudos con coeficiente de reduc-cion

Una vez deducido el circuito de analisis se resuelve aplicando un analisis por nudos.

Igualmente, la norma UNE-EN 60909-3 propone unas formulas de resolucion en las que

se asumen unas simplificaciones, que se comentaran mas adelante.

2.1.1. Ejemplo I

En el sistema de la figura 2.1, la lınea que conecta las subestaciones A y B es una

lınea trifasica de 50 Hz, de un circuito y dos cables de tierra. Se ha producido una falta

monofasica a tierra en la subestacion A, y la aportacion de corriente de falta desde la

lınea es de 1 kA.

La configuracion de la lınea esta definida por las coordenadas siguientes:

Conductor Coordenada

de fase x(m) y(m)

L1 -3,8 22,0

L2 -4,3 26,4

L3 -3,8 30,8

Tabla 2.1 Configuracion de la lınea

Cable de Coordenada

tierra x(m) y(m)

W1 -5,3 34,1

W2 5,3 34,1

Tabla 2.2 Configuracion cables de tierra


Los cables de tierra son iguales, de acero y 9 mm de diametro, con una resistencia

por unidad de longitud de 4,095 Ω/km y una permeabilidad relativa µr = 75. Para las

resistencias de puesta a tierra de los apoyos se va a considerar un valor medio de 10 Ω y

para las subestaciones se va a tomar RA = RB = 5 Ω.

Se va a suponer que la lınea tiene 200 vanos con una longitud media de 300 m y que

la resistividad del terreno tiene un valor medio de 150 Ωm.

A partir de los datos anteriores, se obtienen los siguientes parametros:

Z ′WL = 0, 04935 + j0, 3026 Ω/km

Z ′W = 2, 0968 + j1, 1269 Ω/km

y para una longitud media de vano, dT = 0, 3 km:

ZWL = 0, 0148 + j0, 0908 Ω

ZW = 0, 6291 + j0, 3381 Ω

De la ecuacion (2.6) se obtiene el coeficiente de reduccion:

r = 0, 9216− j0, 1022

que, al ser un numero complejo, en ocasiones, por comodidad, se sustituye por su

modulo y de forma aproximada por su parte real. En este caso:

|r| = 0, 9272 Re(r) = 0, 9216

Con los parametros anteriores se tienen los datos suficientes para analizar el circuito

de la figura 2.7, en el que las fuentes de intensidad, supuesta I0B con argumento cero,

tienen el valor:

r · 3I0B = 0, 9216− j0, 1022 kA

Por tanto, el circuito a analizar con los parametros obtenidos es el siguiente:

14 DESARROLLO

Figura 2.8 Circuito del ejemplo

El metodo de analisis por nudos aplicado a este circuito da lugar al sistema de ecua-

ciones siguiente:

[Y n] · [Un] = [Ial.n]

donde la matriz de admitancias de nudo [Y n] es:

1

RA

+1

ZW

− 1

ZW

0 0 · · · 0 0 0 0

− 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0 · · · 0 0 0 0

0 − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

· · · 0 0 0 0

......

......

. . ....

......

...

0 0 0 0 · · · − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0

0 0 0 0 · · · 0 − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0 0 0 0 · · · 0 0 − 1

ZW

1

RB

+1

ZW

y los vectores de tensiones de nudo [Un] y las intensidades de alimentacion de nudo

[Ial.n] son:


[Un] =

UA

UM1

UM2

UM3...

UMn−1

UMn

UMn+1

UB

[Ial.n] =

r · 3I0B0

0

0...

0

0

0

−r · 3I0B

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, se obtienen las tensiones de nudo, que coin-

ciden con las tensiones en las puestas a tierra de las subestaciones y de los apoyos:

UA = 1, 7660 + j0, 1118 kV

UM1 = 1, 3663− j0, 0020 kV

UM2 = 1, 0527− j0, 0698 kV

UM3 = 0, 8077− j0, 1063 kV ...

Para los modulos de las tensiones en las puestas a tierra de las subestaciones resultan

los valores siguientes:

UA = UB = 1, 7695 kV

y para los modulos de las tensiones de puesta a tierra de los apoyos:

16 DESARROLLO

Apoyo Tension (kV) Apoyo Tension (kV)

1 1,3663 9 0,1727

2 1,0550 10 0,1333

3 0,8146 11 0,1030

4 0,6290 12 0,0795

5 0,4857 13 0,0614

6 0,3751 14 0,0474

7 0,2896 15 0,0366

8 0,2236 16 0,0283

Tabla 2.3 Resultados de las tensiones

Por la simetrıa del circuito, los mismos resultados anteriores se obtienen para los apo-

yos simetricos situados en el extremo B de la lınea.

A partir de las tensiones de nudo se puede determinar la componente IWTj de la co-

rriente en los cables de tierra, en cada vano de la lınea:

IWT1 = (UA − UM1)/ZW = 0, 5684− j0, 1245 kA

IWT2 = (UM1 − UM2)/ZW = 0, 4317− j0, 1243 kA

IWT3 = (UM2 − UM3)/ZW = 0, 3265− j0, 1174 kA ...

y con

IWM = (ZWL/ZW ) · 3I0B = 0, 0784 + j0, 1022 kA

se obtiene la corriente que circula por el cable de tierra equivalente a los dos que tiene

la lınea, en cada vano de esta:

IW1 = IWT1 + IWM = 0, 6468− j0, 0224 kA

IW2 = IWT2 + IWM = 0, 5102− j0, 0222 kA

IW3 = IWT3 + IWM = 0, 4049− j0, 0152 kA ...

Para determinar la corriente que circula por cada uno de los dos cables de tierra, I1W

e I2W , se tiene, para cada vano de la lınea, las ecuaciones (4.11) y (4.12) del Anexo B,


que particularizadas para el tramo comprendido entre la subestacion A y el apoyo 1 de la

lınea para el caso en estudio son:

Z ′W1 · dT · I1W1 + Z ′W1W2 · dT · I2W1 = U1W − Z ′W1L · dT · 3I0B

Z ′W1W2 · dT · I1W1 + Z ′W2 · dT · I2W1 = U1W − Z ′W2L · dT · 3I0B

con

Z ′W1 = Z ′W2 = 4, 1443 + j1, 9599 Ω/km

Z ′W1W2 = 0, 04935 + j0, 2939 Ω/km

Z ′W1L = 0, 04935 + j0, 3200 Ω/km

Z ′W2L = 0, 04935 + j0, 2853 Ω/km

que junto con la ecuacion

I1W1 + I2W1 = IW1

constituye un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas: U1W , I1W1 e I2W1, que, una

vez resuelto, permite obtener:

I1W1 = 0, 32192− j0, 01482 kA I2W1 = 0, 32488− j0, 00754 kA

De manera analoga se procede para determinar la corriente en cada uno de los cables

de tierra en los sucesivos vanos de la lınea. Los resultados son:

I1W2 = 0, 25361− j0, 01472 kA I2W2 = 0, 25657− j0, 00744 kA

I1W3 = 0, 20097− j0, 01123 kA I2W3 = 0, 20393− j0, 00395 kA ...

2.1.2. Ejemplo II

El ejercicio que se va a resolver a continuacion es el que se encuentra en el Anexo B.3

de la Norma UNE-EN 60909-3 [2].

18 DESARROLLO

A diferencia del metodo usado en la norma, se va a llevar a cabo su resolucion por el

metodo de analisis por nudos.

Se trata de un sistema compuesto por una lınea trifasica, un cable de tierra y tres

subestaciones A, B y C. Es un sistema de 132 kV a 50 Hz. Las distancias son de 40 km

entre las subestaciones A y B, y de 100 km entre las subestaciones B y C. Se produce un

cortocircuito monofasico a tierra dentro de la subestacion B.

Los datos conocidos son los siguientes:

Subestacion A:

Impedancia de cortocircuito ZA = (0 + j6, 4) Ω

Impedancia homopolar del transformador Z(0)A = (0 + j12) Ω

Subestacion B:

Impedancia de cortocircuito ZB = (0 + j7, 6) Ω

Impedancia homopolar del transformador Z(0)B = (0 + j7) Ω

Resistencia de la malla de puesta a tierra RB = 5 Ω

Subestacion C:

Impedancia de cortocircuito ZC = (0 + j21) Ω

Impedancia homopolar del transformador Z(0)C = (0 + j20, 3) Ω

Lınea aerea:

Conductores 3 x 2 x 240 / 40 mm2 ACSR

Hilo de tierra 1 x 240 / 40 mm2 ACSR

Impedancia de secuencia directa por unidad de longitud Z ′(1)L = Z ′L = (0, 06+j0, 298)

Ω/km


Impedancia homopolar por unidad de longitud Z ′(0)L = (0, 272 + j1, 48) Ω/km

Resistividad de la tierra ρ = 1000 Ωm

Profundidad equivalente de penetracion en tierra δ = 2950 m

Impedancia del hilo de tierra por unidad de longitud Z ′W = (0, 17 + j0,801) Ω/km

Factor de reduccion del hilo de tierra rA = rC = r= 0.6-j0.03

Resistencia de puesta a tierra del apoyo RT=10 Ω

Distancia entre apoyos dT = 400 m

Longitud de la lınea aerea entre A y B l1 = 40 km

Longitud de la lınea aerea entre B y C l2 = 100 km

A continuacion se procede a resolver el ejercicio.

A traves de los datos proporcionados se obtienen las corrientes de falta y las impedan-

cias mutua y propia del cable de tierra:

3I0A = 0, 226− j1, 33 kA

3I0B = 0, 228− j13, 9 kA

3I0C = 0, 1− j0, 562 kA

ZW = dT ∗ Z ′W = 0,068 + j0,3204 Ω

ZWL = dT (1− r) ∗ ZW = 0,0176 + j0,1302 Ω

Una vez calculados los parametros se procede a resolver mediante el analisis por nudos

y se llega a los siguientes valores de tensiones en los apoyos y subestaciones:

20 DESARROLLO

Apoyo Tension (kV)

UA 1,198

... ...

98 0,7341

99 0,8451

UB 0,9819

101 08530

102 0,7410

... ...

UC 0,507


A partir de las tensiones de nudo y junto con los valores de IWMA e IWMB se obtienen

finalmente las intensidades en los cables de tierra en cada vano de la lınea:

IW1 = −0, 079883 + j1, 1401 kA

...

IW98 = −0, 047642− j0, 89414 kA IW99 = −0, 083944− j0, 95795 kA

IW100 = −0, 18365 + j1, 0944 kA IW101 = 0, 073903− j0, 72719 kA

IW102 = 0, 021761− j0, 65968 kA ...

2.2. Caso de falta en un apoyo de la lınea alejado de

los extremos

En la siguiente figura se representa el caso en el que la falta se produce en uno de los

apoyos de la lınea situado a una distancia suficientemente grande de sus dos extremos:

CASO DE FALTA EN UN APOYO DE LA LINEA ALEJADO DE LOS EXTREMOS 21

Figura 2.9 Falta en un apoyo alejado de las subestaciones

A continuacion se representa el circuito equivalente al sistema de la figura:

Figura 2.10 Circuito equivalente del sistema con falta en un apoyo alejado de las subes-taciones

Por un razonamiento analogo al seguido en el caso de falta en la subestacion se llega

al siguiente circuito:

22 DESARROLLO


Las fuentes ideales de intensidad situadas en paralelo entre los nudos A y F y entre los

nudos F y B se concentran en una sola, respectivamente, y, acto seguido, se sustituyen por

fuentes de intensidad de su mismo valor conectadas en paralelo con caminos alternativos

de ramas entre dichos nudos, lo que da lugar al siguiente circuito:

Figura 2.12 Circuito ideal para el analisis por nudos

El analisis por nudos de este circuito permite obtener las tensiones y las intensidades

en las puestas a tierra.

2.2.1. Ejemplo I

En la lınea estudiada en el ejemplo 2.1.1. se va a suponer que se ha introducido una

falta en el apoyo numero 90, que da lugar a unas aportaciones a la corriente de cortocir-

cuito de valor 3I0A = 2 kA y 3I0B = 1 kA (ambas corrientes complejas se van a suponer

con argumento cero).

De forma analoga a la del ejemplo 2.1.1. se obtienen los siguientes parametros:


ZWL = 0, 0148 + j0, 0908 Ω

ZW = 0, 6291 + j0, 3381 Ω

r = 0, 9216− j0, 1022

El sistema de ecuaciones que resulta al analizar por nudos el circuito de la figura 2.12

tiene la misma matriz de admitancias de nudo, [Y n], obtenida en el ejemplo 2.1.1.:

1

RA

+1

ZW

− 1

ZW

0 0 · · · 0 0 0 0

− 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0 · · · 0 0 0 0

0 − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

· · · 0 0 0 0

......

......

. . ....

......

...

0 0 0 0 · · · − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0

0 0 0 0 · · · 0 − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0 0 0 0 · · · 0 0 − 1

ZW

1

RB

+1

ZW


[Ial.n] son:

24 DESARROLLO

[Un] =

UA

UM1

UM2...

UM89

UM90

UM91...

UMn

UMn+1

UB

[Ial.n] =

IA

0

0...

0

IF

0...

0

0

IB

donde las intensidades de alimentacion de nudo son, ahora:

IA = −r · 3I0A = −1, 8432 + j0, 2044 kA

IB = −r · 3I0B = −0, 9216 + j0, 1022 kA

IF = r · (3I0A + 3I0B) = 2, 7648− j0, 3066 kA

Una vez resuelto este sistema de ecuaciones, se obtienen las tensiones de nudo, que

coinciden con las tensiones de puestas a tierra de las subestaciones y de los apoyos.

En las puestas a tierra de las subestaciones los modulos de las tensiones son:

UA = 3, 5390 kV

UB = 1, 7695 kV

Para las puestas a tierra el apoyo en el que se ha producido la falta y de los apoyos

contiguos a este se tiene:



90 3,6878 98 0,4660

91 2,8475 99 0,3598

92 2,1988 100 0,2779

93 1,6978 101 0,2146

94 1,3110 102 0,1657

95 1,0123 103 0,1279

96 0,7816 104 0,0988

97 0,6035 105 0,0763


y para los apoyos de los vanos situados en los extremos de la lınea:


1 2,7327 194 0,2236

2 2,1100 195 0,2896

3 1,6293 196 0,3751

4 1,2581 197 0,4857

5 0,9714 198 0,6290

6 0,7501 199 0,8146

7 0,5792 200 1,0550

8 0,4472 201 1,3663




IWT1 = (UA − UM1)/ZW = −1, 1367 + j0, 2491 kA

IWT2 = (UM1 − UM2)/ZW = −0, 8635 + j0, 2487 kA

IWT3 = (UM2 − UM3)/ZW = −0, 6529 + j0, 2347 kA

...

26 DESARROLLO

IWT89 = (UM88 − UM89)/ZW = −0, 9154 + j0, 1967 kA

IWT90 = (UM89 − UM90)/ZW = −1, 1996 + j0, 1775 kA

IWT91 = (UM90 − UM91)/ZW = 1, 1996− j0, 1775 kA...

y con

IWMA = −(ZWL/ZW ) · 3I0A = −0, 15689− j0, 20433 kA

IWMB = (ZWL/ZW ) · 3I0B = 0, 078443 + j0, 10217 kA



IW1 = IWT1 + IWMA = −1, 2936 + j0, 0447 kA

IW2 = IWT2 + IWMA = −1, 0203 + j0, 0443 kA

IW3 = IWT3 + IWMA = −0, 8098 + j0, 0304 kA

...

IW89 = IWT1 + IWMA = −1, 0723− j0, 0077 kA

IW90 = IWT2 + IWMA = −1, 3564− j0, 0268 kA

IW91 = IWT3 + IWMB = 1, 2780− j0, 0754 kA ...


e I2W , se tiene para el tramo comprendido entre la subestacion A y el apoyo 1 de la lınea

para el caso en estudio son:

Z ′W1 · dT · I1W1 + Z ′W1W2 · dT · I2W1 = U1W − Z ′W1L · dT · 3I0A

Z ′W1W2 · dT · I1W1 + Z ′W2 · dT · I2W1 = U1W − Z ′W2L · dT · 3I0A

con


Z ′W1 = Z ′W2 = 4, 1443 + j1, 9599 Ω/km

Z ′W1W2 = 0, 04935 + j0, 2939 Ω/km

Z ′W1L = 0, 04935 + j0, 3200 Ω/km

Z ′W2L = 0, 04935 + j0, 2853 Ω/km


I1W1 + I2W1 = IW1



I1W1 = −0, 64977 + j0, 01508 kA I2W1 = −0, 64385 + j0, 02964 kA



I1W2 = −0, 51314 + j0, 01488 kA I2W2 = −0, 50721 + j0, 02944 kA

I1W3 = −0, 40787 + j0, 00790 kA I2W3 = −0, 40194 + j0, 022467 kA

...

I1W89 = −0, 53913− j0, 01111 kA I2W89 = −0, 5332 + j0, 00345 kA

I1W90 = −0, 68118− j0, 02069 kA I2W90 = −0, 67526− j0, 00613 kA

I1W91 = 0, 63603− j0, 04496 kA I2W91 = 0, 64196− j0, 03040 kA...

2.2.2. Ejemplo II




28 DESARROLLO


El sistema a tratar es identico al del ejemplo 2.1.2. pero en este caso el cortocircuito

monofasico a tierra se produce en un apoyo T de una lınea aerea de las subestaciones B y

C y entre ellas. La distancia entre el apoyo en el que se produce la falta y la subestacion

B es de 60 km.

Al igual que en el ejemplo 2.1.2. primero se calculan las corrientes de falta y las im-

pedancias mutua y propia del cable de tierra:

3I0A = 0, 042− j0, 135 kA

3I0B = 0, 214− j1, 443 kA

3I0C = 0, 241− j1, 91 kA

ZW = dT ∗ Z ′W = 0,068 + j0,3204 Ω

ZWL = dT (1− r) ∗ ZW = 0,0176 + j0,1302 Ω

Una vez calculados los parametros se procede a resolver mediante el analisis por nudos

correspondiente al sistema, obteniendose:


UA 0,1255 248 1,6624

... ... UF (249) 1,9136

UB(100) 0,7461 250 1,6624

101 0,6418 251 1,4441

102 0,563 ... ...

... ... UC 1,7095


A partir de las tensiones de nudo y junto con los valores de IWMA, IWMB y IWMC se

obtienen finalmente las intensidades en los cables de tierra en cada vano de la lınea:

IW1 = −0, 024178 + j0, 11731 kA

CASO DE FALTA EN UN APOYO DE LA LINEA CERCANO A UNA DE LAS SUBESTACIONES 29

...

IW99 = −0, 063757− j0, 27514 kA IW100 = 0, 0095529− j0, 38058 kA

IW101 = −0, 1537 + j1, 0077 kA IW102 = −0, 11529 + j0, 95552 kA

...

IW248 = −0, 078792 + j1, 4767 kA IW249 = −0, 18002 + j1, 6086 kA

IW250 = 0, 18398− j1, 7418 kA IW251 = 0, 082753 + j1, 61 kA

...

IW350 = 0, 044274− j1, 6304 kA ...

2.3. Caso de falta en un apoyo de la lınea cercano a

una de las subestaciones

Este caso tiene un interes especial porque se pueden alcanzar valores de tensiones en

la puesta a tierra del apoyo donde se ha producido la falta, y en la puesta a tierra de la

subestacion mas proxima a la falta, superiores a las que resultan con falta en la subes-

tacion o en un apoyo de la lınea alejado de sus extremos. Hay que tener en cuenta que

las corrientes de cortocircuito, que se consideran conocidas, dependen del punto donde se

produce la falta. (Vease [2], Anexo B).

Para este caso mantiene su validez el circuito de la figura 2.12, deducido para faltas

en apoyos lejanos de las subestaciones. En la siguiente figura se muestra el caso en el que

la falta se ha producido en el segundo apoyo, contado a partir de la subestacion A:

30 DESARROLLO

Figura 2.13 Circuito equivalente al sistema con falta en el segundo apoyo

Como se dijo anteriormente, este circuito se puede estudiar comodamente mediante

analisis por nudos.

2.3.1. Ejemplo I

Se va a estudiar la distribucion de corriente en las puestas a tierra de la lınea y de las

subestaciones en el caso de que la falta se produzca en el apoyo no 2 de la lınea del ejemplo

2.1.1. Se van a tomar como aportaciones de las corrientes de cortocircuito: 3I0A=2,5 kA

y 3I0B=1 kA (ambas corrientes complejas se van a suponer con argumento cero).

Este caso, al ser estudiado mediante el metodo de analisis por nudos, es analogo al

caso de falta en un apoyo de la lınea alejado de los extremos.

En primer lugar se obtienen los siguientes parametros:

ZWL = 0, 0148 + j0, 0908 Ω

ZW = 0, 6291 + j0, 3381 Ω

r = 0, 9216− j0, 1022

El sistema de ecuaciones que resulta al analizar por nudos el circuito de la figura 2.13

tiene la misma matriz de admitancias de nudo, [Y n], obtenida en el ejemplo 2.1.1. y 2.2.1.:


1

RA

+1

ZW

− 1

ZW

0 0 · · · 0 0 0 0

− 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0 · · · 0 0 0 0

0 − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

· · · 0 0 0 0

......

......

. . ....

......

...

0 0 0 0 · · · − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0

0 0 0 0 · · · 0 − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0 0 0 0 · · · 0 0 − 1

ZW

1

RB

+1

ZW


[Ial.n] son:

[Un] =

UA

UM1

UM2

UM3

UM4...

UMn

UMn+1

UB

[Ial.n] =

IA

0

IF

0

0...

0

0

IB

donde las intensidades de alimentacion de nudo son, ahora:

IA = −r · 3I0A = −2, 3039 + j0, 2554 kA

IB = −r · 3I0B = −0, 9216 + j0, 1022 kA

IF = r · (3I0A + 3I0B) = 3, 2254− j0, 3576 kA


32 DESARROLLO



UA = 0, 8987 kV

UB = 1, 7695 kV

y para las puestas a tierra de los apoyos de los vanos situados en los extremos de la

lınea:


1 0,7490 9 0,1757

2 2,3313 10 0,1356

3 1,8002 ... ...

4 1,3900 197 0,4857

5 0,8274 198 0,6290

6 0,4941 199 0,8146

7 0,2946 200 1,0550

8 0,2275 201 1,3663




IWT1 = (UA − UM1)/ZW = −2, 1578 + j0, 3602 kA

IWT2 = (UM1 − UM2)/ZW = −2, 2327 + j0, 3622 kA

IWT3 = (UM2 − UM3)/ZW = 0, 7652− j0, 0460 kA

IWT4 = (UM3 − UM4)/ZW = 0, 5873− j0, 0736 kA...

y con

IWMA = −(ZWL/ZW ) · 3I0A = −0, 19611− j0, 25542 kA


IWMB = (ZWL/ZW ) · 3I0B = 0, 078443 + j0, 10217 kA



IW1 = IWT1 + IWMA = −2, 3539 + j0, 1047 kA

IW2 = IWT2 + IWMA = −2, 4288 + j0, 1068 kA

IW3 = IWT3 + IWMB = 0, 8436 + j0, 0562 kA

IW4 = IWT4 + IWMB = 0, 6658 + j0, 0285 kA ...


e I2W , se tiene para el tramo comprendido entre la subestacion A y el apoyo 1 de la lınea

para el caso en estudio son:

Z ′W1 · dT · I1W1 + Z ′W1W2 · dT · I2W1 = U1W − Z ′W1L · dT · 3I0A

Z ′W1W2 · dT · I1W1 + Z ′W2 · dT · I2W1 = U1W − Z ′W2L · dT · 3I0A

con

Z ′W1 = Z ′W2 = 4, 1443 + j1, 9599 Ω/km

Z ′W1W2 = 0, 04935 + j0, 2939 Ω/km

Z ′W1L = 0, 04935 + j0, 3200 Ω/km

Z ′W2L = 0, 04935 + j0, 2853 Ω/km


I1W1 + I2W1 = IW1



I1W1 = −1, 1807 + j0, 04327 kA I2W1 = −1, 1733 + j0, 06147 kA

34 DESARROLLO



I1W2 = −1, 2181 + j0, 04430 kA I2W2 = −1, 2107 + j0, 06250 kA

I1W3 = 0, 41812 + j0, 01900 kA I2W3 = 0, 42552 + j0, 03719 kA

I1W4 = 0, 32918 + j0, 00516 kA I2W4 = 0, 33659 + j0, 02337 kA...

2.3.2. Ejemplo II





El sistema a tratar es identico al del ejemplo 2.1.2. pero en este caso el cortocircuito

monofasico a tierra se produce en un apoyo T con el numero n=10 en la lınea aerea entre

las subestaciones B y C a una distancia de 4,4 km de la subestacion B.

Al igual que en los ejemplos anteriores, primero se calculan las corrientes de falta y

las impedancias mutua y propia del cable de tierra a partir de los datos conocidos:

3I0A = 0, 192− j0, 845 kA

3I0B = 0, 638− j8, 892 kA

3I0C = 0, 112− j0, 765 kA

ZW = dT ∗ Z ′W = 0,068 + j0,3204 Ω

ZWL = dT (1− r) ∗ ZW = 0,0176 + j0,1302 Ω

Una vez calculados los parametros se procede a resolver mediante el analisis por nu-

dos correspondiente al sistema, un analisis que es bastante semejante al realizado en el

ejemplo 2.2.2, obteniendose:

SIMPLIFICACIONES CONSIDERADAS EN LA NORMA UNE-EN 60909-3 35


UA 0,7615 109 3,6011

... ... 110 4,5525

UB (100) 4,3169 UF (111) 5,5523

101 3,4128 112 4,8235

102 2,5348 ... ...

... ... UC 0,6866


A partir de las tensiones de nudo y junto con los valores de IWMA, IWMB y IWMC se

obtienen finalmente las intensidades en los cables de tierra en cada vano de la lınea:

IW99 = 0, 052493− j1, 5035 kA IW100 = 0, 57643− j1, 9907 kA

IW101 = 0, 27944 + j6, 6636 kA IW102 = 0, 53708 + j6, 4739 kA

...

IW110 = 0, 36599 + j6, 8348 kA IW111 = 0, 037656 + j7, 1227 kA

IW112 = 0, 5516− j3, 048 kA IW113 = 0, 2148− j2, 7198 kA ...

2.4. Simplificaciones consideradas en la norma UNE-

EN 60909-3

2.4.1. Impedancia de entrada de la red en escalera del circuito

de puesta a tierra

Si, en el circuito de la figura 2.7, se aplica el principio de superposicion, se obtienen

los dos siguientes circuitos:

36 DESARROLLO

Figura 2.14 Circuito resultante de aplicar superposicion con fuente en B

Figura 2.15 Circuito resultante de aplicar superposicion con fuente en A

Ambos circuitos estan formados por una red en escalera a la que se conecta en uno de

sus extremos una fuente real de intensidad.

La red en escalera de la figura 2.15 se puede considerar que esta constituida por un

conjunto de cuadripolos iguales en Γ invertida, como el enmarcado por la lınea de trazos

y puntos, conectados en cascada. Solo es diferente el ultimo de estos cuadripolos, en el

que RT esta sustituido por RB. Si se supone que el numero de vanos de la lınea es grande

y que el valor de RB esta proximo al de RT , como suele ser habitual, se puede decir que

la impedancia de entrada, ZP , del dipolo que queda a la derecha de los terminales 1-1’ va

a ser practicamente igual que la del dipolo que queda a la derecha de los terminales 2-2’.

En ese caso, el dipolo de terminales 1-1’ puede sustituirse por el de la figura siguiente:


Figura 2.16 Dipolo

En el que se tiene:

ZP = ZW +RT · ZP

RT + ZP

(2.7)

De aquı se obtiene la ecuacion de segundo grado en ZP siguiente:

ZP2 − ZW · ZP − ZW ·RT = 0 (2.8)

de la que se despeja ZP ,

ZP =ZW

2+

√[ZW

2

]2+ ZW ·RT (2.9)

Se toma como solucion valida de ZP la que tiene la parte real positiva.

2.4.2. Distancia de alejamiento

Es interesante, desde el punto de vista practico, analizar como varıa la tension en las

resistencias de puesta a tierra de los apoyos cuando se aplica una fuente de intensidad a

uno de los extremos de la red en escalera, como sucede en las figuras 2.14 y 2.15.

Si en el circuito de la figura 2.15 se sustituye la red en escalera que queda a la derecha

de RA por su impedancia equivalente, ZP , se obtiene el circuito simplificado siguiente:

38 DESARROLLO

Figura 2.17 Circuito simplificado

Y a partir de este circuito se obtienen los representados a continuacion, intercalando,

sucesivamente, cuadripolos elementales constituidos por ZP y RT :



De estos circuitos se deduce:

IWT1 =RA

RA + ZP

r · 3I0B (2.10)

UM1 =RT · ZP

RT + ZP

IWT1 (2.11)


IWT2 =RT

RT + ZP

IWT1 (2.12)

UM2 =RT · ZP

RT + ZP

IWT2 =RT · ZP

RT + ZP

RT

RT + ZP

IWT1 =RT

RT + ZP

UM1 (2.13)

Y, de forma general:

IWT,n+1 = [RT

RT + ZP

]nIWT1 (2.14)

UM,n+1 = [RT

RT + ZP

]nUM1 (2.15)

Se puede ver, que, para los valores habituales de ZP y RT , la tension UM,n+1 va dismi-

nuyendo progresivamente al aumentar n. Se puede definir una distancia de alejamiento,

DF , a partir de la cual, UM,n+1 es menor que 0, 05·UM1. Esto es, a partir de DF , la tension

y la corriente en las puestas a tierra de los apoyos pueden considerarse poco significativas.

En [2] se da la siguiente expresion para calcular DF :

DF =3 · dT

√RT

Re

[√ZW

] (2.16)

Una expresion equivalente puede obtenerse de la ecuacion (2.15) al imponer la condi-

cion:

∣∣∣∣UM,n+1

UM1

∣∣∣∣nF

=

∣∣∣∣ RT

RT + ZP

∣∣∣∣nF

= 0, 05 (2.17)

o bien

∣∣∣∣RT + ZP

RT

∣∣∣∣nF

=

∣∣∣∣1 +ZP

RT

∣∣∣∣nF

= 20 (2.18)

40 DESARROLLO

de donde se despeja nF :

nF =DF

dT=

ln20

ln

∣∣∣∣1 +ZP

RT

∣∣∣∣=

3

ln

∣∣∣∣1 +ZP

RT

∣∣∣∣(2.19)

y, de aquı,

DF =3dT

ln

∣∣∣∣1 +ZP

RT

∣∣∣∣(2.20)

Si en el numerador de las expresiones (2.16) y (2.20) se sustituye el factor 3 por un

4, la distancia que se obtiene es a la que se encuentra un apoyo en el que la tension de

puesta a tierra se ha reducido, aproximadamente, al 2 % de |UM1|.

2.4.3. Metodo simplificado de la Norma UNE-EN 60909-3

Puesto que la distancia entre las subestaciones A y B es muy superior a la distancia

de alejamiento, DF , de lo anterior se deduce que si, en el caso de la falta en la subestacion

A, se quiere analizar lo que sucede en las puestas a tierra de la subestacion A y de los

apoyos proximos a esta, basta con estudiar el circuito de la figura 2.15. Analogamente,

para conocer lo que sucede en las puestas a tierra de la subestacion B y de los apoyos

proximos a esta, basta con estudiar el circuito de la figura 2.14. Se aplican, para ello, las

ecuaciones (2.10), (2.11), (2.14) y (2.15) indicadas anteriormente.

Como se ha visto, el circuito de la figura 2.15 se puede sustituir por el circuito equi-

valente de la figura 2.17, por lo que la tension de puesta a tierra de la subestacion A, UA,

se calcula mediante la expresion:

UA =1

1

RA

+1

ZP

· r · 3I0B = ZEtot · IEtot (2.21)


donde

ZEtot =1

1

RA

+1

ZP

(2.22)

se denomina impedancia total de puesta a tierra de la subestacion en la que se ha

producido la falta e

IEtot = r · 3I0B (2.23)

se denomina corriente total a tierra en el punto de cortocircuito.

Si se quiere estudiar la corriente en el apoyo mas proximo a la subestacion en la que

se ha producido la falta se puede utilizar el circuito de la figura 2.18, del que se obtiene:

IM1 =ZP

RT + ZP

IWT1 (2.24)

donde, IWT1 se obtiene mediante la ecuacion (2.10).

Si se sigue este procedimiento de forma recurrente se pueden determinar las tensio-

nes e intensidades en apoyos sucesivos. Tambien se puede aplicar el metodo de analisis

por nudos al circuito simplificado formado por un determinado numero de vanos, a par-

tir de la subestacion A, cerrado por la impedancia ZP , como el mostrado en la figura 2.19.

Analogamente, para el caso de falta en un apoyo de la lınea alejado de los extremos

una distancia mayor que DF , si se aplica superposicion al circuito de la figura 2.12 se

puede estudiar la circulacion de corriente por las puestas a tierra de las subestaciones A y

B y de los apoyos proximos a estas. Tambien se puede estudiar la circulacion de corriente

por las puestas a tierra del apoyo en el que se ha producido la falta y de los cercanos a

42 DESARROLLO

este. En este ultimo estudio, si se sustituyen las redes en escalera que quedan a ambos

lados de la resistencia de puesta a tierra del apoyo en el que se ha producido la falta, por

su impedancia de entrada, se obtiene el circuito simplificado siguiente:

Figura 2.20 Circuito simplificado de la Norma

De aquı se deduce inmediatamente

UM =1

1

ZP

+1

RT

+1

ZP

(r · 3I0A + r · 3I0B) = ZEtot · IEtot (2.25)

donde

ZEtot =1

1

ZP

+1

RT

+1

ZP

(2.26)

se denomina impedancia total de puesta a tierra del apoyo en el que se ha producido

la falta e

IEtot = r · 3I0A + r · 3I0B (2.27)

es la corriente total a tierra en el punto de cortocircuito.

Asimismo,


IWT1A = IWT1B =UM

ZP

(2.28)

con lo que, si se quiere estudiar la corriente en los apoyos contiguos, se puede utilizar

el siguiente circuito:

Figura 2.21 Circuito simplificado de la Norma

de este circuito resulta

IM1A = IM1B =ZP

ZP +RT

IWT1A (2.29)

Si se sigue este procedimiento de forma recurrente, se pueden determinar las tensiones

e intensidades en apoyos sucesivos.

La mayor diferencia aparece al utilizar el metodo simplificado de la Norma en el caso

de falta en un apoyo de la lınea cercano a una de las subestaciones: mientras que en

el metodo de analisis por nudos mantiene su validez el circuito deducido para faltas en

apoyos lejanos de las subestaciones como se vio en el apartado 2.3, al utilizar el metodo

simplificado de la Norma, basado en el principio de superposicion, hay que modificar dicho

circuito. Esto se debe a que las fuentes de intensidad situadas en el extremo de la red en

escalera cercano al punto de falta y en dicho punto de falta, influyen de forma significativa

en las corrientes y tensiones de las puestas a tierra de la subestacion y de los apoyos de

la lınea cercanos a la falta. No se puede emplear, por tanto, la ecuacion (2.25).

En [2] se dan expresiones para calcular las corrientes de puesta a tierra en la subesta-

cion proxima a la falta y en el apoyo donde esta se ha producido, ası como la impedancia

44 DESARROLLO

de entrada de una red en escalera de un numero de elementos reducido.

2.4.4. Coeficiente de reduccion

De todo lo anterior se deduce que, a partir de la distancia de alejamiento DF , medida

desde las subestaciones o desde el punto de falta en la lınea, la corriente en las puestas a

tierra de los apoyos IMj, y la componente IWTj de la corriente en el cable de tierra son

despreciables, como se indica en la siguiente figura:

Figura 2.22 Circuito explicativo

Por tanto, de la ecuacion (2.4) se obtiene:

IWj = IWM = (ZWL/ZW ) · 3I0 (2.30)

Dado que la corriente que circula por los conductores de fase hacia el punto de falta

tiene un valor

IL1 + IL2 + IL3 = 3I0 (2.31)

(donde I0 puede ser I0A o I0B, segun los casos). Se puede obtener la parte de esta

corriente de falta que retorna por tierra, IRT , mediante la aplicacion de la primera ley de

Kirchhoff al sistema siguiente:


Figura 2.23 Circuito explicativo

Se define el coeficiente de reduccion del cable de tierra de la lınea, r, como:

r =IRT

IL1 + IL2 + IL3(2.32)

es decir, el factor que determina la fraccion de la corriente aportada por la lınea a la

falta, IL1 + IL2 + IL3, que circula por tierra en una zona alejada del punto de falta y de

la puesta a tierra de la subestacion[2]:

IRT = r · 3I0 (2.33)

es decir,

r = 1− (ZWL/ZW ) (2.34)

que coincide con la expresion ya dada en (2.6).

46 DESARROLLO

2.5. Comparacion de los resultados obtenidos con el

analisis por nudos frente al obtenido con el meto-

do simplificado de la Norma

En este apartado se van a comparar los resultados obtenidos, tanto de tensiones en

los apoyos y subestaciones como de corrientes por el cable de tierra, en los ejemplos de

la norma al ser resueltos tanto por el metodo de analisis por nudos como por el metodo

simplificado de la Norma. La resolucion de cada ejemplo con el metodo de analisis por

nudos ya se ha plasmado anteriormente en este trabajo y su resolucion mediante el meto-

do de la Norma no se va a exponer de forma detallada, sino simplemente los resultados

obtenidos al utilizar las formulas de la misma [2].

2.5.1. Resultados del ejemplo 2.1.2: Caso de falta en una sub-

estacion

Metodo de analisis por nudos Metodo simplificado de la Norma

Apoyo Tension (kV) Tension (kV)

98 0,7341 0,7341

99 0,8451 0,8450

UB(100) 0,9819 0,9723

101 0,8530 0,8450

102 0,7410 0,7341



Vano Corriente (kA) Corriente (kA)

98 0,8954 0,8954

99 0,9616 0,9616

100 1,1097 1,0349

101 0,7309 0,7253

102 0,6600 0,6546

Tabla 2.11 Resultados de las corrientes

COMPARACION DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON EL ANALISIS POR NUDOS FRENTE AL OBTENIDO CON EL

METODO SIMPLIFICADO DE LA NORMA 47

2.5.2. Resultados del ejemplo 2.2.2: Caso de falta en un apoyo

lejano a una subestacion



UB(100) 0,7461 0,7392

101 0,6481 0,6421

102 0,5630 0,5578

... ... ...

248 1,6624 1,6624

UB(249) 1,9136 1,9137

250 1,6624 1,6624

251 1,4441 1,4442




100 0,3807 0,3290

101 1,0194 1,0143

102 0,9625 0,9574

... ... ...

248 1,4788 1,4788

249 1,6186 1,6186

250 1,7515 1,7515

251 1,6121 1,6121


48 DESARROLLO

2.5.3. Resultados del ejemplo 2.2.3: Caso de falta en un apoyo

cercano a una subestacion



UB(100) 4,3169 4,517

101 3,4128 3,4106

102 2,5348 2,5765

... ... ...

110 4,5525 4,5013

UF (111) 5,5523 5,2810

112 4,8235 5,0545




100 2,1664 2,0091

101 6,5317 6,1999

102 6,3323 5,8440

... ... ...

110 6,7195 6,6597

111 7,0215 7,2016

112 3,1689 3,2877


CASO DE FALTA EN LINEAS DE DOBLE CIRCUITO 49

2.6. Caso de falta en lıneas de doble circuito

La Norma presenta un metodo simplificado de calculo en el que solo se contempla la

existencia de un cable de tierra y un solo circuito, sin embargo, de acuerdo a la deduccion

del circuito equivalente de analisis mostrado a lo largo de este documento se puede ex-

tender sin dificultad al caso en el que la lınea que aporta corriente de cortocircuito hacia

la falta, o esta afectada por la falta, tiene dos (o mas) circuitos.

2.6.1. Caso de falta en una subestacion

En el caso de una falta a tierra en la subestacion A, que esta conectada con la subes-

tacion B por una lınea de doble circuito, se obtiene el siguiente circuito:

Figura 2.24 Circuito equivalente a una lınea de doble circuito con falta en la subestacionA

Por cada circuito de la lınea se consideran unos conductores de fase equivalentes de

impedancias ZL1 y ZL2, por los que circulan las intensidades 3I0B1 y 3I0B2, respectiva-

mente. De igual forma, el acoplamiento de cada conductor de fase equivalente con el cable

de tierra se tiene en cuenta con las impedancias mutuas ZWL1 y ZWL2, respectivamente.

Del circuito anterior y siguiendo los pasos que ya se vieron para lıneas con un solo

circuito, se puede obtener el siguiente circuito:

50 DESARROLLO


Por ultimo, si se agrupan en una sola las dos fuentes de intensidad y se modifica la

geometrıa del circuito se obtiene el circuito mostrado a continuacion:


donde

IA = [1− (ZWL1/ZW )] · 3I0B1 + [1− (ZWL2/ZW )] · 3I0B2 = 3r1 · I0B1 + 3r2 · I0B2 (2.35)

IB = IA (2.36)

Si, como suele ser habitual, I0B1 = I0B2 = I0B/2, donde I0B es la aportacion total

desde la subestacion B a la corriente de falta, se obtiene una expresion mas compacta


IA = 3r · I0B (2.37)

con

r =

[1− ZWL1 + ZWL2

2ZW

](2.38)

El circuito de la figura anterior se puede analizar por nudos o se puede estudiar por

el metodo simplificado de la Norma.

2.6.2. Caso de falta en una fase de un apoyo de la lınea alejado

de los extremos

En este caso el circuito que se tiene es:

Figura 2.27 Circuito equivalente a una lınea de doble circuito con falta en la lınea

Ahora, por el conductor de fase equivalente del circuito 1 de la lınea, que no esta

afectado por la falta, circula una corriente 3I0B1 en toda la longitud de la lınea, mientras

52 DESARROLLO

que en el conductor de fase equivalente del circuito 2, en el que se ha producido la falta,

se dirigen hacia el punto de falta unas corrientes 3I0A2 y 3I0B2, desde las subestaciones

A y B, respectivamente.

A partir del circuito anterior y siguiendo los pasos que ya se vieron para lıneas con un

solo circuito, se deduce el siguiente circuito:


Acto seguido, se ha sustituido la fuente de intensidad de valor 3I0B1 conectada entre

los nudos A y B por otras dos de ese mismo valor entre los nudos A, F y F, B, respecti-

vamente, con lo que el circuito resultante queda de la siguiente forma:


Figura 2.29 Circuito segunda transformacion

Finalmente, se agrupan las fuentes de intensidad que estan en paralelo y se modifica

de nuevo la geometrıa del circuito para obtener el circuito repesentado a continuacion:


donde

IA = [1− (ZWL2/ZW )] · 3I0A2 − [1− (ZWL1/ZW )] · 3I0B1 = 3r2 · I0A2 − 3r1 · I0B1 (2.39)

IB = [1− (ZWL1/ZW )] · 3I0B1 + [1− (ZWL2/ZW )] · 3I0B2 = 3r1 · I0B1 + 3r2 · I0B2 (2.40)

54 DESARROLLO

Las dos fuentes de intensidad conectadas en paralelo en el nudo F se pueden sustituir

por otra equivalente de valor

IF = IA + IB = [1− (ZWL2/ZW )] · 3I0A2 + [1− (ZWL2/ZW )] · 3I0B2 = 3r2 · (I0A2 + I0B2)

(2.41)

2.6.3. Ejemplo

Se va a estudiar el sistema del ejemplo 2.1.1 en el caso en que la lınea tiene dos cir-

cuitos con la configuracion siguiente:

Conductor Coordenada

de fase x(m) y(m)

1L1 -3,8 22,0

1L2 -4,3 26,4

1L3 -3,8 30,8

2L1 3,8 30,8

2L2 4,3 26,4

2L3 3,8 22,0

Tabla 2.16 Configuracion de la lınea de doble circuito

Se va a suponer una falta a tierra en el circuito 2 de la lınea, en el apoyo numero 3

mas proximo a la subestacion A. La corriente de cortocircuito por el circuito 1 es 3I0B1=

1 kA y por el circuito 2: 3I0A2= 1 kA y 3I0B2= 1 kA. Todas las intensidades complejas

se van a suponer con argumento cero.

A partir de los datos anteriores, se obtienen los siguientes parametros:

Z ′WL1 = 0, 04935 + j0, 3026 Ω/km

Z ′WL2 = 0, 04935 + j0, 3026 Ω/km

Z ′W = 2, 0968 + j1, 1269 Ω/km


y para una longitud media de vano, dT = 0, 3 km:

ZWL1 = ZWL2 = 0, 0148 + j0, 0908 Ω

ZW = 0, 6291 + j0, 3381 Ω

Los coeficientes de reduccion para cada circuito son:

r1 = r2 = 0, 9216− j0, 1022

El sistema de ecuaciones que resulta al analizar por nudos el circuito 2.12 tiene la

misma matriz de admitancias de nudo, [Y n], obtenida en el ejemplo 2.1.1. y 2.2.1.:

1

RA

+1

ZW

− 1

ZW

0 0 · · · 0 0 0 0

− 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0 · · · 0 0 0 0

0 − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

· · · 0 0 0 0

......

......

. . ....

......

...

0 0 0 0 · · · − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0

0 0 0 0 · · · 0 − 1

ZW

1

RT

+2

ZW

− 1

ZW

0 0 0 0 · · · 0 0 − 1

ZW

1

RB

+1

ZW


[Ial.n] son:

56 DESARROLLO

[Un] =

UA

UM1

UM2

UM3

UM4...

UMn

UMn+1

UB

[Ial.n] =

IalA

0

0

IalF

0...

0

0

IalB

donde las intensidades de alimentacion de nudo son (determinadas mediante las ecua-

ciones (2.39) a (2.40)):

IalA = −IA = −(r2 · 3I0A2 − r1 · 3I0B1) = 0 kA

IalB = −IB = −(r1 · 3I0B1 + r2 · 3I0B2) = −1, 8431 + j0, 20433 kA

IalF = IA + IB = r2 · (3I0A2 + 3I0B2) = 1, 8431− j0, 20433 kA




UA = 1, 6293 kV

UB = 3, 5390 kV

y para las puestas a tierra de los apoyos de los vanos situados en los extremos de la

lınea:



1 1,8376 9 0,5622

2 2,1703 10 0,4341

3 2,6527 ... ...

4 2,0483 197 0,9714

5 1,5816 198 1,2581

6 1,2212 199 1,6293

7 0,9430 200 2,1100

8 0,7281 201 2,7327




IWT1 = (UA − UM1)/ZW = −0, 3231 + j0, 0425 kA

IWT2 = (UM1 − UM2)/ZW = −0, 5064 + j0, 0555 kA

IWT3 = (UM2 − UM3)/ZW = −0, 7234 + j0, 0549 kA

IWT4 = (UM3 − UM4)/ZW = 0, 8553− j0, 1710 kA...

y con

IWMA = −(ZWL2 · 3I0A2 − ZWL1 · 3I0B1)/ZW = 0 kA

IWMB = (ZWL1 · 3I0B1 + ZWL2 · 3I0B2)/ZW = 0, 15689 + j0, 20433 kA



IW1 = IWT1 + IWMA = −0, 3231 + j0, 0425 kA

IW2 = IWT2 + IWMA = −0, 5064 + j0, 0555 kA

IW3 = IWT3 + IWMA = −0, 7234 + j0, 0549 kA

58 DESARROLLO

IW4 = IWT4 + IWMB = 1, 0122 + j0, 0333 kA ...

Igual que se ha hecho en el caso de una lınea con un circuito, se puede determinar

la intensidad que circula por cada cable de tierra mediante las ecuaciones (4.27) y (4.28)

del Anexo B, particularizadas para el caso en estudio en el tramo comprendido entre la

subestacion A y el apoyo 1:

Z ′W1 · dT · I1W1 +Z ′W1W2 · dT · I2W1 = UW − (Z ′W1Le1 · dT · 3I0B1 +Z ′W1Le2 · dT · 3I0A2)

Z ′W1W2 · dT · I1W1 +Z ′W2 · dT · I2W1 = UW − (Z ′W2Le1 · dT · 3I0B1 +Z ′W2Le2 · dT · 3I0A2)

con

Z ′W1 = Z ′W2 = 4, 1443 + j1, 9599 Ω/km

Z ′W1W2 = 0, 04935 + j0, 2939 Ω/km

Z ′W1Le1 = 0, 04935 + j0, 3200 Ω/km

Z ′W2Le1 = 0, 04935 + j0, 2853 Ω/km

Z ′W1Le2 = 0, 04935 + j0, 2853 Ω/km

Z ′W2Le2 = 0, 04935 + j0, 3200 Ω/km


I1W1 + I2W1 = IW1



I1W1 = −0, 16154 + j0, 02126 kA I2W1 = −0, 16154 + j0, 02126 kA



I1W2 = −0, 25318 + j0, 02777 kA I2W2 = −0, 25318 + j0, 02777 kA


I1W3 = −0, 3617 + j0, 02746 kA I2W3 = −0, 3617 + j0, 02746 kA

I1W4 = 0, 50611 + j0, 01665 kA I2W4 = 0, 50611 + j0, 01665 kA...

capıtulo 3

Conclusion

En este trabajo ha quedado de manifiesto como la aplicacion de la teorıa de circuitos

permite deducir los circuitos equivalentes necesarios para el estudio de la distribucion de

la corriente de falta a tierra entre las puetas a tierra de las lıneas y subestaciones y los

cables de tierra de las lıneas. Al aplicar a estos circuitos el metodo de analisis por nudos se

tiene mayor generalidad que con el metodo abreviado indicado en las normas, lo que per-

mite estudiar vanos de diferentes longitudes y valores diferentes de resistencias de puesta

a tierra de los apoyos a lo largo de la lınea. Se pueden estudiar todos los casos posibles de

localizacion de la falta, sin mas que modificar el valor de las fuentes de alimentacion de

nudo y su situacion en los nudos del circuito. A su vez, este metodo proporciona resultados

mas exactos debido a que no esta sujeto a simplificaciones como el metodo de las normas.

Por otro lado, aunque parece que puede resultar tedioso la resolucion del sistema me-

diante el analisis por nudos cuando el numero de nudos es elevado, esto se puede solucionar

a traves del desarrollo de programas, que a partir de los datos conocidos, son capaces de

resolver el sistema rapidamente, como el programa que se ha desarrollado en este trabajo

y cuyo codigo se encuentra en el Anexo A. Dicho programa se ha elaborado de forma que

permite resolver sistemas de simple o doble circuito, con uno o dos cables de tierra y en

los que la falta se produzca en cualquier punto de dicho sistema.

En este documento se ha extendido el estudio a lıneas de doble circuito con uno o dos

cables de tierra, que no estan contemplados en las normas.

Ademas, se han deducido en el Anexo B las expresiones de las impedancias propias

del cable de tierra equivalente y de las impedancias mutuas entre el conductor equiva-

lente a los conductores de fase y el cable de tierra equivalente. Se ha hecho de forma

general, con la posibilidad de que haya cables de tierra diferentes (por ejemplo, uno de

61

62 CONCLUSION

ellos con fibra optica), para lıneas de uno o dos circuitos y con uno o dos cables de tierra.

Con ecuaciones intermedias, obtenidas en este estudio, se puede determinar la corriente

que circula por cada uno de los cables de tierra en el caso de lıneas con dos cables de tierra.

Por ultimo, aunque se puede generalizar a mas casos y se pueden desarrollar progra-

mas de calculo mas generales y complicados, cabe destacar que se ha buscado desarrollar

un documento lo mas didactico posible con la inclusion de ejemplos resueltos paso a paso

con el fin de hacer asequible el estudio de faltas a tierra en las lıneas electricas.

capıtulo 4

Planificacion temporal y presupuesto

4.1. Planificacion temporal

La estructura en la que se ha desarrollado este trabajo se ha dividido en las siguientes

partes:

- Estudio de la disciplina que se aborda y documentacion del trabajo.

- Analisis y desarrollo de la metodologıa.

- Desarrollo del programa de calculo.

- Analisis de los resultados obtenidos.

- Elaboracion de la presente memoria.

En los siguientes apartados se pasa a definir y desarrollar cada una de estas partes.

4.1.1. Estudio de la disciplina y documentacion de trabajo

En este apartado se incluye principalmente el repaso de conceptos y bibliografıas ya

conocidas que son necesarias para llevar a cabo el entendimiento del trabajo a desarrollar

y poder llevarlo a cabo.

El repaso de teorıa de circuitos, de conceptos basicos de intalaciones electricas, estu-

dio de la Norma UNE-EN 60909-3, la revision de la bibliografıa relativa a Matlab y el

63

64 PLANIFICACION TEMPORAL Y PRESUPUESTO

aprendizaje de la bibliografıa de LaTex, entre otros, se incluyen aquı.

4.1.2. Analisis y desarrollo de la metodologıa

Una vez documentado de los conocimientos necesarios para desarrollar el trabajo, se

pasa al analisis y realizacion del mismo. Se analiza tanto el documento proporcionado

como la Norma UNE-EN 60909-3 para poder realizar el trabajo propuesto y comparar los

metodos utilizados en cada uno.

4.1.3. Desarrollo del programa de calculo

Al realizar el trabajo, que se basa fundamentalmente en el metodo de analisis por

nudos para calcular las tensiones en los apoyos y subestaciones y a su vez las intensida-

des es los cables de tierra para diferentes configuraciones, es indispensable desarrollar un

programa de calculo propio para resolver los diferentes sistemas.

4.1.4. Analisis de los resultados obtenidos

Despues del analisis de los dos metodos tratados en el trabajo y del desarrollo del

programa de calculo se pasa a resolver los ejemplos de los casos estudiado para ambos

metodos, obteniendo unos resultados diferentes para cada metodo que son objeto de anali-

sis y posteriores conclusiones.

4.1.5. Elaboracion de la presente memoria

La parte teorica de la memoria se ha podido ir llevando a cabo junto con algunos de

los otros apartados. Y para la parte practica (ejercicios de aplicacion), una vez finalizado

el estudio y el analisis de los resultados obtenidos para llegar a las conclusiones pertinen-

tes, se ha procedido a la ejecucion de la parte practica de la memoria incluyendo todo el

desarrollo realizado.

A modo de resumen, haciendo un balance cualitativo de las horas empleadas en la rea-

lizacion de este trabajo, se puede decir que se ajusta a las horas asignadas para realizarlo

segun los creditos ECTS (12 ECTS equivalen a entre 300 y 360 horas).

PRESUPUESTO 65

4.2. Presupuesto

Al ser un trabajo teorico, es decir, un trabajo de estudio y analisis principalmente, ha

sido barato. Los costes de este trabajo se pueden dividir en coste de los recursos humanos

y en coste de los recursos materiales.

Por un lado, en lo que se refiere al coste de los recursos humanos se tiene el coste

economico de las horas empleadas en completarlo.

Mientras que, por otro lado, en lo que se refiere al coste de los recursos materiales se

tiene: el consumo electrico, la amortizacion del equipo informatico y las licencias de los

diferentes programas utilizados (LaTex, Matlab,...).

capıtulo 5

Anexos

5.1. Anexo A: Codigo del programa desarrollado en

Matlab utilizado para la resolucion de los ejem-

plos de este documento

El programa desarrollado a continuacion permite obtener las corrientes que circulan

por los cables de tierra en lıneas tanto de simple como de doble circuito, con uno o dos

cables de tierra y tanto en casos en los que la falta se produzca en una subestacion como

en los casos en los que la falta se produzca en un apoyo de la lınea.

1 di sp ( ’ Programa para c a l c u l a r e l r epar to de l a c o r r i e n t e de f a l t a

ent r e l o s c a b l e s de t i e r r a y l a s puestas a t i e r r a de l o s

apoyos de l a s l i n e a s y de l a s sub e s t a c i on e s ’ )

2

3 % Datos

4 di sp ( ’ Introduzca l o s datos ’ )

5 f=input ( ’ Valor de l a f r e c u e n c i a de l s i s tema ( h e r c i o s ) : ’ ) ;

6 c=input ( ’Numero de c i r c u i t o s de l a l i n e a (1 o 2) : ’ ) ;

7 n=input ( ’Numero de c a b l e s de t i e r r a (1 o 2) : ’ ) ;

8 f a l t a=input ( ’La f a l t a se produce en una subes tac i on ( i n t r o 1) o

l a f a l t a se produce en un apoyo de l a l i n e a ( i n t r o 2) : ’ ) ;

9 i f ( c==1 && f a l t a ==1)

10 I 0B=input ( ’ Valor de l a c o r r i e n t e de f a l t a (kA) : ’ ) ; % Es 3

I 0B

11 e l s e i f ( c==1 && f a l t a ==2)

12 M=input ( ’Numero de l apoyo en que se produce l a f a l t a : ’ ) ;

67

68 ANEXOS

13 I 0A=input ( ’ Valor de l a c o r r i e n t e de f a l t a de l a sube s tac i on

A (kA) : ’ ) ; % Es 3 I 0A

14 I 0B=input ( ’ Valor de l a c o r r i e n t e de f a l t a de l a sube s tac i on

B (kA) : ’ ) ; % Es 3 I 0B

15 e l s e i f ( c==2 && f a l t a ==1)

16 I 0B1=input ( ’ Valor de l a c o r r i e n t e de f a l t a de l a

sube s tac i on B por e l c i r c u i t o 1 (kA) : ’ ) ; % Es 3 I 0B1



18 e l s e i f ( c==2 && f a l t a ==2)

19 M=input ( ’Numero de l apoyo en que se produce l a f a l t a : ’ ) ;





22 I 0A2=input ( ’ Valor de l a c o r r i e n t e de f a l t a de l a

sube s tac i on A por e l c i r c u i t o 2 (kA) : ’ ) ; % Es 3 I 0A2

23 e l s e

24 di sp ( ’La c o n f i g u r a c i o n no es c o r r e c t a ’ )

25 break ;

26 end

27

28 R T=input ( ’ Valor medio de l a r e s i s t e n c i a de puesta a t i e r r a de

l o s apoyos ( ohmnios ) : ’ ) ;

29 R A=input ( ’ Valor de l a r e s i s t e n c i a de puesta a t i e r r a de l a

sube s tac i on A ( ohmnios ) : ’ ) ;

30 R B=input ( ’ Valor de l a r e s i s t e n c i a de puesta a t i e r r a de l a

sube s tac i on B ( ohmnios ) : ’ ) ;

31 vanos=input ( ’Numero de vanos de l a l i n e a : ’ ) ;

32 d T=input ( ’ Longitud media de l o s vanos (km) : ’ ) ;

33 rho=input ( ’ Valor medio de l a r e s i s t i v i d a d de l t e r r eno ( ohmnios∗m) : ’ ) ;

34

35 di sp ( ’ Conf igurac ion de l a l i n e a en metros ’ )

36 i f ( c==1 && n==1)

37 x 1L1=input ( ’ Valor coordenada x conductor de f a s e L1 : ’ ) ;



40 y 1L1=input ( ’ Valor coordenada y conductor de f a s e L1 : ’ ) ;

ANEXO A: CODIGO DEL PROGRAMA DESARROLLADO EN MATLAB UTILIZADO PARA LA RESOLUCION DE LOS

EJEMPLOS DE ESTE DOCUMENTO 69



43 x W1=input ( ’ Valor coordenada x cab l e de t i e r r a W1: ’ ) ;

44 y W1=input ( ’ Valor coordenada y cab l e de t i e r r a W1: ’ ) ;

45

46 e l s e i f ( c==1 && n==2)











57

58 e l s e i f ( c==2 && n==1)















73

74 e l s e i f ( c==2 && n==2)






70 ANEXOS












91

92 e l s e

93 di sp ( ’La c o n f i g u r a c i o n no es c o r r e c t a ’ )

94 break ;

95 end

96

97 di sp ( ’ C a r a c t e r i s t i c a s de l o s c a b l e s de t i e r r a ’ )

98 diam=input ( ’ Diametro ( metros ) : ’ ) ;

99 Rp W=input ( ’ R e s i s t e n c i a por unidad de l ong i tud ( ohmnios/km) : ’ ) ;

100 mu r=input ( ’ Permeabi l idad r e l a t i v a : ’ ) ;

101 mu 0=4∗pi ∗10ˆ−7; % Permeabi l idad de l vac io (H/m)

102 w=2∗pi ∗ f ; % Frecuenc ia angular ( rad/ s )

103 de l t a =1.85/ s q r t ( (w∗mu 0) / rho ) ; % Profundidad eq . de penet rac ion

de l a c o r r i e n t e en un t e r r eno de r e s i s t i v i d a d rho (m)

104

105 % Reso luc ion de l problema

106 i f ( c==1 && n==1)

107 d W1L1=s q r t ( ( x 1L1−x W1) ˆ2+(y 1L1−y W1) ˆ2) ;



110 d WL=(d W1L1∗d W1L2∗d W1L3) ˆ(1/3) ;

111 Zp WL=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i )∗ l og ( de l t a /d WL) )∗ j ;

112 Zp W=Rp W+w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( mu r/4/n+log (

de l t a /( diam /2) ) ) )∗ j ;

113 Z WL=Zp WL∗d T ;

114 Z W=Zp W∗d T ;

115 f p r i n t f ( ’Z WL= % s\n ’ , num2str (Z WL) )

116 f p r i n t f ( ’Z W= % s\n ’ , num2str (Z W) )



117 r=1−(Z WL/Z W) ;

118 i f f a l t a==1

119 I a lA=r∗ I 0B ;

120 I a lB=−r∗ I 0B ;

121 e l s e i f f a l t a==2

122 I a lA=−r∗ I 0A ;

123 I a lB=−r∗ I 0B ;

124 I a l F=r ∗( I 0A+I 0B ) ;

125 end

126

127 e l s e i f ( c==1 && n==2)







134 d W1W2=s q r t ( (x W1−x W2) ˆ2+(y W1−y W2) ˆ2) ;

135 d WL=(d W1L1∗d W1L2∗d W1L3∗d W2L1∗d W2L2∗d W2L3) ˆ(1/6) ;

136 Zp WL=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i )∗ l og ( de l t a /d WL) )∗ j ;

137 Zp W=Rp W/2+w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( mu r/4/n+log (

de l t a / s q r t ( ( diam /2)∗d W1W2) ) ) )∗ j ;

138 Z WL=Zp WL∗d T ;

139 Z W=Zp W∗d T ;

140 f p r i n t f ( ’Z WL= % s\n ’ , num2str (Z WL) )


142 r=1−(Z WL/Z W) ;

143 i f f a l t a==1

144 I a lA=r∗ I 0B ;

145 I a lB=−r∗ I 0B ;

146 e l s e i f f a l t a==2

147 I a lA=−r∗ I 0A ;

148 I a lB=−r∗ I 0B ;

149 I a l F=r ∗( I 0A+I 0B ) ;

150 end

151

152 e l s e i f ( c==2 && n==1)



72 ANEXOS





159 d W1L1=(d W11L1∗d W11L2∗d W11L3) ˆ(1/3) ;

160 d W1L2=(d W12L1∗d W12L2∗d W12L3) ˆ(1/3) ;

161 Zp WL1=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i )∗ l og ( de l t a /d W1L1) )∗j ;

162 Zp WL2=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i )∗ l og ( de l t a /d W1L2) )∗j ;

163 Zp W=Rp W+w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( mu r/4/n+log (

de l t a /( diam /2) ) ) )∗ j ;

164 Z WL1=Zp WL1∗d T ;


166 Z W=Zp W∗d T ;

167 f p r i n t f ( ’Z WL1= % s\n ’ , num2str (Z WL1) )



170 r1=1−(Z WL1/Z W) ;

171 r2=1−(Z WL2/Z W) ;

172 i f f a l t a==1

173 I a lA=r1∗ I 0B1+r2∗ I 0B2 ;

174 I a lB=−(r1∗ I 0B1+r2∗ I 0B2 ) ;

175 e l s e i f f a l t a==2

176 I a lA=−(r2∗ I 0A2−r1∗ I 0B1 ) ;

177 I a lB=−(r1∗ I 0B1+r2∗ I 0B2 ) ;

178 I a l F=−(I a lA+I a lB ) ;

179 end

180

181 e l s e i f ( c==2 && n==2)















194 d W1W2=s q r t ( (x W1−x W2) ˆ2+(y W1−y W2) ˆ2) ;

195 d W1L1=(d W11L1∗d W11L2∗d W11L3) ˆ(1/3) ;

196 d W1L2=(d W12L1∗d W12L2∗d W12L3) ˆ(1/3) ;

197 d W2L1=(d W21L1∗d W21L2∗d W21L3) ˆ(1/3) ;

198 d W2L2=(d W22L1∗d W22L2∗d W22L3) ˆ(1/3) ;

199 Zp WL1=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i )∗ l og ( de l t a / s q r t (

d W1L1∗d W2L1) ) )∗ j ;

200 Zp WL2=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i )∗ l og ( de l t a / s q r t (

d W1L2∗d W2L2) ) )∗ j ;

201 Zp W=Rp W/2+w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( mu r/4/n+log (

de l t a / s q r t ( ( diam /2)∗d W1W2) ) ) )∗ j ;



204 Z W=Zp W∗d T ;




208 r1=1−(Z WL1/Z W) ;

209 r2=1−(Z WL2/Z W) ;

210 i f f a l t a==1

211 I a lA=r1∗ I 0B1−r2∗ I 0B2 ;

212 I a lB=−(r1∗ I 0B1+r2∗ I 0B2 ) ;

213 e l s e i f f a l t a==2

214 I a lA=−(r2∗ I 0A2−r1∗ I 0B1 ) ;

215 I a lB=−(r1∗ I 0B1+r2∗ I 0B2 ) ;

216 I a l F=−(I a lA+I a lB ) ;

217 end

218

219 end

220

221 % Datos n e c e s a r i o s en caso de haber dos c a b l e s de t i e r r a (n=2)

para separar en l o s dos cab le s , s i t uado s aqui para no

meter lo s en un buc le ( i r i a n en e l f o r f i n a l )

222 i f ( c==1 && n==2)

223 Zp W1=Rp W+w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( mu r/4+

log ( de l t a /( diam /2) ) ) )∗ j ;

74 ANEXOS


log ( de l t a /( diam /2) ) ) )∗ j ;

225 Zp W1W2=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( l og ( de l t a /

d W1W2) ) )∗ j ;

226 Zp W1L=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( l og ( de l t a /(

d W1L1∗d W1L2∗d W1L3) ˆ(1/3) ) ) )∗ j ;

227 Zp W2L=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( l og ( de l t a /(

d W2L1∗d W2L2∗d W2L3) ˆ(1/3) ) ) )∗ j ;

228 e l s e i f ( c==2 && n==2)


log ( de l t a /( diam /2) ) ) )∗ j ;


log ( de l t a /( diam /2) ) ) )∗ j ;

231 Zp W1W2=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( l og ( de l t a /

d W1W2) ) )∗ j ;

232 Zp W1Le1=w∗mu 0∗1000/8+((w∗mu 0∗1000/2/ p i ) ∗( l og ( de l t a

/d W1L1) ) )∗ j ;


/d W2L1) ) )∗ j ;


/d W1L2) ) )∗ j ;


/d W2L2) ) )∗ j ;

236 end

237

238 % A n a l i s i s por nudos [Yn ] ∗ [ Un]=[ I a l n ]

239 % [Yn]

240 f o r i =1:( vanos+3)

241 f o r j =1:( vanos+3)

242 i f ( i==1 && j==1)

243 Y( i , j )=1/R A+1/Z W;

244 e l s e i f ( ( i==(vanos+3) )&& ( j==(vanos+3) ) )

245 Y( i , j )=1/R B+1/Z W;

246 e l s e i f ( ( i >1) && ( i<(vanos+3) ) && ( i==j ) )

247 Y( i , j )=1/R T+2/Z W;

248 e l s e i f ( ( i==j +1) | | ( i==j−1) )

249 Y( i , j )=−1/Z W;

250 e l s e

251 Y( i , j ) =0;



252 end

253 end

254 end

255

256 % [ I a l n ]

257 i f ( f a l t a ==1)

258 j =1;

259 f o r i =1:( vanos+3)

260 i f ( i ==1)

261 I ( i , j )=I a lA ;

262 e l s e i f ( i==(vanos+3) )

263 I ( i , j )=I a lB ;

264 e l s e

265 I ( i , j ) =0;

266 end

267 end

268 e l s e i f ( f a l t a ==2)

269 j =1;

270 f o r i =1:( vanos+3)

271 i f ( i ==1)

272 I ( i , j )=I a lA ;

273 e l s e i f ( i==(vanos+3) )

274 I ( i , j )=I a lB ;

275 e l s e i f ( i==M+1)

276 I ( i , j )=I a l F ;

277 e l s e

278 I ( i , j ) =0;

279 end

280 end

281 end

282

283 % [Un] Tensiones en l o s apoyos y en l a s s ub e s t a c i on e s

284 U=inv (Y)∗ I ;

285 di sp ( ’ [Un ] ’ )

286 f p r i n t f ( ’U A= % s\n ’ , i , num2str (U(1 , 1 ) ) )

287 f p r i n t f ( ’U B= % s\n ’ , i , num2str (U( vanos +3 ,1) ) )

288 f o r i =1:( vanos+1)

289 f p r i n t f ( ’U M% d= % s\n ’ , i , num2str (U( i +1 ,1) ) )

290 end

76 ANEXOS

291 f p r i n t f ( ’U B= % s\n ’ , i , num2str (U( vanos +3 ,1) ) )

292

293 % Inten s idade s que c i r c u l a n por l o s c a b l e s de t i e r r a

294 i f ( c==1 && f a l t a ==1)

295 I WM=(Z WL/Z W)∗ I 0B ;

296 e l s e i f ( c==1 && f a l t a ==2)

297 I WMA=−(Z WL/Z W)∗ I 0A ;

298 I WMB=(Z WL/Z W)∗ I 0B ;

299 e l s e i f ( c==2 && f a l t a ==1)

300 I WM=(Z WL1∗ I 0B1+Z WL2∗ I 0B2 ) /Z W;

301

302 e l s e i f ( c==2 && f a l t a ==2)

303 I WMA=−(Z WL2∗ I 0A2−Z WL1∗ I 0B1 ) /Z W;

304 I WMB=(Z WL1∗ I 0B1+Z WL2∗ I 0B2 ) /Z W;

305 end

306

307 di sp ( ’ I Wi ’ )

308

309 f o r i =1:( vanos+2)

310 I WTi=(U( i , 1 )−U( i +1 ,1) ) /Z W;

311 i f f a l t a==1

312 I Wi=I WTi+I WM;

313 e l s e i f f a l t a==2

314 i f i<=M

315 I Wi=I WTi+I WMA;

316 e l s e

317 I Wi=I WTi+I WMB;

318 end

319 end

320

321 i f n==1

322 f p r i n t f ( ’ I W % d= % s\n ’ , i , num2str ( I Wi ) )

323

324 % Si s o l o hay un cab l e de t i e r r a (n=1) , l a c o r r i e n t e que

c i r c u l a por e l cab l e de t i e r r a para cada vano i de

l a l i n e a es I Wi

325

326 % En caso de que haya dos c a b l e s de t i e r r a (n=2) , l a

c o r r i e n t e que c i r c u l a por e l cab l e de t i e r r a



equ iva l en t e a l o s dos que t i e n e l a l i n e a para cada

vano i es I Wi y a cont inuac ion hay que determinar l a

c o r r i e n t e que c i r c u l a por cada uno de l o s dos c a b l e s

de t i e r r a

327

328 % Se cons ideran l o s dos c a b l e s de t i e r r a i g u a l e s que es

l o hab i tua l

329 e l s e i f ( c==1 && n==2)

330 A=[Zp W1∗d T ,Zp W1W2∗d T ,−1;Zp W1W2∗d T , Zp W2∗d T

, −1 ; 1 , 1 , 0 ] ;

331 i f f a l t a==1

332 B=[−Zp W1L∗d T∗ I 0B;−Zp W2L∗d T∗ I 0B ; I Wi ] ;

333 e l s e i f f a l t a==2

334 B=[−Zp W1L∗d T∗ I 0A;−Zp W2L∗d T∗ I 0A ; I Wi ] ;

335 end

336 C=inv (A)∗B;

337 f p r i n t f ( ’ I 1W % d= % s\n ’ , i , num2str (C(1 , 1 ) ) )


339 e l s e i f ( c==2 && n==2)

340 A=[Zp W1∗d T ,Zp W1W2∗d T ,−1;Zp W1W2∗d T , Zp W2∗d T

, −1 ; 1 , 1 , 0 ] ;

341 i f f a l t a==1

342 B=[−(Zp W1Le1∗d T∗ I 0B1+Zp W1Le2∗d T∗ I 0B2 ) ;−(

Zp W2Le1∗d T∗ I 0B1+Zp W2Le2∗d T∗ I 0B2 ) ; I Wi ] ;

343 e l s e i f f a l t a==2

344 B=[−(Zp W1Le1∗d T∗ I 0B1+Zp W1Le2∗d T∗ I 0A2 ) ;−(

Zp W2Le1∗d T∗ I 0B1+Zp W2Le2∗d T∗ I 0A2 ) ; I Wi ] ;

345 end

346 C=inv (A)∗B;



349 end

350 end

78 ANEXOS

5.2. Anexo B: Impedancias propias de los cables de

tierra e impedancias mutuas entre los cables de

tierra y un conductor equivalente a los conduc-

tores de fase de las lıneas electricas aereas

5.2.1. Lınea con un circuito y un cable de tierra

Si se supone una lınea trifasica con tres conductores, L1, L2 y L3, recorridos por las

corrientes de fase IL1, IL2 e IL3, la tension inducida en un cuarto conductor, como puede

ser un cable de tierra, W, en un tramo de longitud l, se obtiene mediante la expresion:

UWL = (Z ′WL1 · l)IL1 + (Z ′WL2 · l)IL2 + (Z ′WL3 · l)IL3 (5.1)

donde Z ′WLk es la impedancia mutua por unidad de longitud entre los conductores W

y Lk con retorno por tierra, y esta dada por la ecuacion:

Z ′WL =ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dWL

(5.2)

Si se supone una lınea con trasposiciones, de manera que su longitud l se divide en

tres tramos de longitud l/3, la tension inducida en el cable de tierra sera:

UWL = [Z ′WL1IL1 · l/3 + Z ′WL2IL2 · l/3 + Z ′WL3IL3 · l/3]+

[Z ′WL2IL1 · l/3 + Z ′WL3IL2 · l/3 + Z ′WL1IL3 · l/3]+

[Z ′WL3IL1 · l/3 + Z ′WL1IL2 · l/3 + Z ′WL2IL3 · l/3]

(5.3)

donde cada termino entre corchetes representa la tension inducida en el cable de tie-

rra en cada tercio de la longitud de la lınea. Los conductores de fase se van rotando en

las posiciones L1, L2 y L3, de forma que Z ′WLmILn es la tension inducida en el cable de

tierra, por unidad de longitud, por el conductor de fase Ln situado en la posicion Lm, con:

ANEXO B: IMPEDANCIAS PROPIAS DE LOS CABLES DE TIERRA E IMPEDANCIAS MUTUAS ENTRE LOS CABLES DE

TIERRA Y UN CONDUCTOR EQUIVALENTE A LOS CONDUCTORES DE FASE DE LAS LINEAS ELECTRICAS AEREAS

79

Z ′WLm =ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dWLm

(5.4)

Si se agrupan los terminos en la ecuacion (4.3) se obtiene:

UWL = [(Z ′WL1 + Z ′WL2 + Z ′WL3)/3] · l · (IL1 + IL2 + IL3) = Z ′WL · l · 3I0 (5.5)

donde

Z ′WL =1

3

[ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dWL1

+ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dWL2

+ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dWL3

]=

1

3

[3ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ3

dWL1dWL2dWL3

]=ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ3√dWL1dWL2dWL3

(5.6)

es la impedancia mutua por unidad de longitud, considerada como un valor medio para

toda la longitud de la lınea, entre el cable de tierra y un conductor equivalente a los tres

de fase.

La impedancia propia del cable de tierra es la dada en (1.1) para un solo cable de tierra:

Z ′W = R′W +ωµ0

8+ jω

µ0

2π

[µr

4n+ ln

δ

rWW

](5.7)

5.2.2. Lınea con un circuito y dos cables de tierra

Si se considera un vano de la lınea de longitud dT , se puede escribir para la caıda de

tension en el cable de tierra W1, teniendo en cuenta la tension inducida por los conducto-

res de fase, Z ′W1L ·dT ·3I0, la debida a la corriente que circula por el propio cable de tierra,

80 ANEXOS

Z ′W1 ·dT · I1W , y la debida al acoplamiento entre los dos cables de tierra, Z ′W1W2 ·dT · I2W :

UW1 = Z ′W1L · dT · 3I0 + Z ′W1 · dT · I1W + Z ′W1W2 · dT · I2W (5.8)

De manera analoga se obtiene la caıda de tension en el cable de tierra W2:

UW2 = Z ′W2L · dT · 3I0 + Z ′W1W2 · dT · I1W + Z ′W2 · dT · I2W (5.9)

En las dos ecuaciones anteriores, Z ′W1W2 es la impedancia mutua entre los dos cables

de tierra, separados una distancia dW1W2, por los que circulan las corrientes I1W e I2W ,

respectivamente:

Z ′W1W2 =ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dW1W2

(5.10)

Dado que los cables de tierra se conectan a los apoyos, se cumple UW1 = UW2 = UW ,

con lo que las ecuaciones (4.8) y (4.9) se pueden escribir de la forma:

Z ′W1 · dT · I1W + Z ′W1W2 · dT · I2W = UW − Z ′W1L · dT · 3I0 (5.11)

Z ′W1W2 · dT · I1W + Z ′W2 · dT · I2W = UW2 − Z ′W2L · dT · 3I0 (5.12)

de donde se pueden despejar las intensidades I1W e I2W :

I1W =ZW2(UW − ZW1L · 3I0)− ZW1W2(UW − ZW2L · 3I0)

ZW1ZW2 − Z2W1W2

(5.13)



81

I2W =ZW1(UW − ZW2L · 3I0)− ZW1W2(UW − ZW1L · 3I0)

ZW1ZW2 − Z2W1W2

(5.14)

y, con ellas, determinar la intensidad que circularıa por un cable de tierra equivalente

a los dos dados:

IW = I1W + I2W =(ZW1 + ZW2 − 2ZW1W2)

ZW1ZW2 − Z2W1W2

UW+

(ZW1L + ZW2L)ZW1W2 − (ZW1ZW2L + ZW2ZW1L)

ZW1ZW2 − Z2W1W2

3I0

(5.15)

De aquı se puede despejar la caıda de tension en los cables de tierra:

UW =−(ZW1L + ZW2L)ZW1W2 + (ZW1ZW2L + ZW2ZW1L)

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

3I0 +ZW1ZW2 − Z2

W1W2

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

IW

(5.16)

que si se pone en la forma:

UW = ZWL · I0 + ZW · IW (5.17)

permite obtener las siguientes expresiones para la impedancia propia de un conductor

equivalente a los dos cables de tierra, ZW , y la impedancia mutua entre el conductor equi-

valente a los dos cables de tierra y un conductor equivalente a los conductores de fase, ZW :

ZW =ZW1ZW2 − Z2

W1W2

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

(5.18)

82 ANEXOS

ZWL =−(ZW1L + ZW2L)ZW1W2 + (ZW1ZW2L + ZW2ZW1L)

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

(5.19)

En el caso, habitual, de que los dos cables de tierra sean iguales, ZW1 = ZW2, las

expresiones anteriores se convierten en:

ZW =ZW1 + ZW1W2

2(5.20)

ZWL =ZW1L + ZW2L

2(5.21)

que son las recogidas en la norma CEI 60909-3, ya que, al sustituir las ecuaciones (1.1)

y (1.3) en (4.20) y (4.21), considerando impedancias por unidad de longitud, resulta:

Z ′W =1

2

[R′W +

ωµ0

8+ jω

µ0

2π

[µr

4+ ln

δ

rW

]+ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dW1W2

]=

=R′W2

+ωµ0

8+ jω

µ0

2π

[µr

4 · 2+ ln

δ√rWdW1W2

] (5.22)

Z ′WL =1

2

[ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dW1L

+ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ

dW2L

]=

=ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ√dW1LdW2L

(5.23)

donde dW1L y dW2L son las distancias medias geometricas entre los conductores de

fase y los cables de tierra W1 y W2, respectivamente.



83

5.2.3. Lınea con dos circuitos y un cable de tierra

En este caso, se inducen en el cable de tierra tensiones debidas al acoplamiento

magnetico con los conductores de fase de los dos circuitos, que se pueden agrupar en

dos conductores de fase equivalentes, por los que circulan las corrientes 3I01 y 3I02, res-

pectivamente. Para un tramo de longitud dT se tiene:

UW = Z ′WLe1 · dT · 3I01 + Z ′WLe2 · dT · 3I02 + Z ′W · dT · 3IW (5.24)

donde, Z ′WLe1 y Z ′WLe2 son las impedancias mutuas por unidad de longitud entre cada

uno de los conductores de fase equivalentes de cada circuito y el cable de tierra.

5.2.4. Lınea con dos circuitos y dos cables de tierra

De manera analoga al caso de lınea con un solo circuito se puede escribir para las

caıdas de tension en los cables de tierra:

UW1 = Z ′W1Le1 · dT · 3I01 + Z ′W1Le2 · dT · 3I02 + Z ′W1 · dT · I1W + Z ′W1W2 · dT · I2W (5.25)

UW2 = Z ′W2Le1 · dT · 3I01 + Z ′W2Le2 · dT · 3I02 + Z ′W1W2 · dT · I1W + Z ′W2 · dT · I2W (5.26)

donde Z ′WiLej es la impedancia mutua por unidad de longitud entre el conductor de

fase equivalente del circuito j y el cable de tierra Wi.

Este sistema de ecuaciones se puede escribir en la forma:

Z ′W1 · dT · I1W +Z ′W1W2 · dT · I2W = UW − (Z ′W1Le1 · dT · 3I01 +Z ′W1Le2 · dT · 3I02) (5.27)

84 ANEXOS

Z ′W1W2 · dT · I1W +Z ′W2 · dT · I2W = UW − (Z ′W2Le1 · dT · 3I01 +Z ′W2Le2 · dT · 3I02) (5.28)

donde se ha hecho UW1 = UW2 = UW .

Si de aquı se despejan I1W e I2W , se obtiene para la corriente IW que circularıa por

un cable de tierra equivalente a los dos de la lınea:

IW = I1W + I2W =(ZW1 + ZW2 − 2ZW1W2)

ZW1ZW2 − Z2W1W2

UW−

−(ZW1ZW2Le1 + ZW2ZW1Le1)− (ZW1Le1 + ZW2Le1)ZW1W2

ZW1ZW2 − Z2W1W2

3I01−

−(ZW1ZW2Le2 + ZW2ZW1Le2)− (ZW1Le2 + ZW2Le2)ZW1W2

ZW1ZW2 − Z2W1W2

3I02

(5.29)

y, de aquı, se obtiene:

UW =ZW1ZW2 − Z2

W1W2

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

IW +(ZW1ZW2Le1 + ZW2ZW1Le1)− (ZW1Le1 + ZW2Le1)ZW1W2

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

3I01+

+(ZW1ZW2Le2 + ZW2ZW1Le2)− (ZW1Le2 + ZW2Le2)ZW1W2

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

3I02

(5.30)

con lo que resulta:

ZW =ZW1ZW2 − Z2

W1W2

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

(5.31)



85

ZWL1 =(ZW1ZW2Le1 + ZW2ZW1Le1)− (ZW1Le1 + ZW2Le1)ZW1W2

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

(5.32)

ZWL2 =(ZW1ZW2Le2 + ZW2ZW1Le2)− (ZW1Le2 + ZW2Le2)ZW1W2

ZW1ZW2 − 2ZW1W2

(5.33)

Si, como suele ser habitual, los dos cables de tierra son iguales, ZW1 = ZW2, se obtiene:

ZW =ZW1 + ZW1W2

2(5.34)

ZWL1 =ZW1Le1 + ZW2Le1

2(5.35)

ZWL2 =ZW1Le2 + ZW2Le2

2(5.36)

Ecuaciones analogas se obtienen para las impedancias por unidad de longitud, con lo

que para Z ′W es valida la expresion (76) y para Z ′WL1 y Z ′WL2 resulta:

Z ′WL1 =ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ√dW1L1dW2L1

(5.37)

Z ′WL2 =ωµ0

8+ jω

µ0

2πln

δ√dW1L2dW2L2

(5.38)

donde dWiLj es la distancia media geometrica entre el cable de tierra Wi y los conduc-

tores de fase del circuito j.

Bibliografıa

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tias de seguridad en las lıneas electricas de alta tension y sus instrucciones tecnicas

complementarias, ITC-LAT 07, Artıculo 7.3.4.3, febrero 2008.

[2] AENOR. UNE-EN 60909-3:2004, Corrientes de cortocircuito en sistemas trifasicos

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87

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