esfuerzo normal por flexion

8/18/2019 Esfuerzo Normal Por Flexion

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Esfuerzos Normales Debidos a la FlexiónIntroducción

En primer lugar analizaremos el caso de Flexión Pura. Supongamos unelemento AB de sección transversal simétrica, sometido a flexión.

A

MM

B

C

(Sección simétricarespecto al eje Y)

Y

Z

En cualquier sección intermedia C, se desarrollan fuerzas elementalesnormales, que representan la interacción con la porción (idealmente)suprimida.


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A

M

C

M

C

M

Momento Resistenteo Interno

Z

El sistema de fuerzas elementales debe ser equivalente al MomentoInterno M.En la sección transversal intermedia, C, las fuerzas son variables con la altura.

A

(Lineal o no, de acuerdo conel material)

C

M

A

C

T

M

C Resultante de las Fuerzas de Compresión.T Resultante de las Fuerzas de Tracción(generan el momento interno, resistente, M)


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d

C

T

C Volumen del Sólido deCompresiones.

T Volumen del Sólido deTracciones.

T = C (Equilibrio)M = Td = Cd

Condicionesde Equilibrio

Seleccionemos una sección transversal intermedia.

MM

M

z-z

y

y

Z

X

dF

dF

Y

En los elementos de área(simétricos) dA, se desarrollanfuerzas elementales normales

dF = xdA

siendo x el esfuerzo normal endirección X.


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Condiciones de Equilibrio:

Las deformaciones unitarias se definen por la ecuaciónc

y c

x

Si el momento M es de tal magnitud que los esfuerzos inducidospermanecen en el rango elástico lineal del material, puede usarse la Leyde Hooke: (x = Ex).


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La ecuación (3) muestra que en la zona de comportamiento lineal elástico

del material, el esfuerzo normal varía linealmente con la distancia medidadesde la superficie neutra.

yc

x Reemplazando la ecuación(3) en la condición deequilibrio (), obtenemos:

) A(

máx 0dAc

y cy máxx

(Diagrama de Esfuerzo Normal)

Igualdad que demuestra que el Eje Neutro de la Sección Transversalcoincide con un Eje Centroidal.

z

y

centroide


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La tercera condición del equilibrio () nos permite escribir

MdA)c

y(y) A(

máx

MdAyc) A(

2máx

pero

Z.CENTROIDALEJEal

respectoconl,TransversaSecciónlade

ÁreadelInerciadeMomento

IdAy z) A(

2

de donde . . . . (4)MIc

zmáx

zmáx I

Mc

NOTA. Si M < 0 . . . . (4.1)z

máxI

cM

Finalmente, reemplazando la ecuación (4) en la ecuación (3), obtenemos:

zx

I

My ………….(5)

denominada Fórmula de la Flexión Elástica.


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Nota. Observar que para y > 0 es x < 0 y que para y < 0 es x > 0 (en

casos de Flexión Positiva M > 0).

Definición. La ecuación (4) puede rescribirse)cI(

M

zmáx

El valor Iz/c depende únicamente de la forma geométrica de la seccióntransversal.Este valor se denominaMódulo Elásticode la Sección (S). Luego

. . . . (6)S

Mmáx

Nota. Debe recordarse que el Eje Neutro siempre coincide con el ejecentroidal de la sección transversal, si la viga está sujeta a esfuerzos

menores que el de fluencia del material y no se presentan fuerzasaxiales.

z

y

centroide

Eje Neutro


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Definición.c

1 c

(curvatura)

Usamos

z

máx

I

Mc y por la Ley de Hooke

zc

I

McE Por tanto

zEI

Mc

c

11

es decirz

EI

M1

. . . . (7), ecuación que define la Curvatura Elástica.

Si M < 0 z

EIM1

. . . . (7.1).

Definición. EIz se denomina Rigidez Flexional del Elemento.

[EIz] [FL2]

etc,pieklb

mN2

2


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Elementos con Sección Transversal Asimétrica

La flexión de vigas elásticas cuya sección transversal tiene un eje de simetría, quedaexpresada por la ecuación (5)

zx

I

My

Para deducir esta fórmula se aceptó que los momentos aplicados actúan en elplano de simetría (XY).

Estas limitaciones pueden simplificarse con el objeto de solucionar problemasde carácter más general. Las expresiones deducidas en las secciones anterioresse pueden utilizar para cualquier elemento que trabaje en Flexión Pura, siempreque los momentos flexionantes se apliquen en un plano paralelo a uno u otro de

los Ejes Principales de la sección transversal.

z

y

centroide

y

dAz

Sección Asimétrica

M M


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Los esfuerzos normales varían linealmente desde el eje neutro que pasa por elcentroide.

La suma de los momentos de estas fuerzas elementales, respecto al eje Z, generaun momento flexionante (interno). Sin embargo, por la asimetría de la sección,dichas fuerzas internaspodrían generar un momento con respecto al eje Y.


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El posible momento respecto del eje Y, será ) A(

zdF , es decir ) A(

máxxy zdAc

yM

) A(

máxxy yzdA

cM

La integral ) A(

yzdA define el Producto de Inercia del Área de la Sección Transversal. Si

los ejes Y, Z son los Ejes Principales del área (que pasan por el centroide), el Producto

de Inercia es nulo. Si este es el caso My = 0, y pueden usarse las fórmulas deducidasanteriormente.

Nota. Si se aplica un momento, M, flexionante que no es paralelo a ningún ejeprincipal, deberemos seguir el procedimiento de superposición (que estudiaremosmás adelante).

M

z

y


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Calcular el esfuerzo normal máximo inducido por el momento que actúasobre la viga representada.

4"

1/2"

1/2"

6" 1/2" 500lb-pie

30'

ALMA Viga de sección 500 lb-pie ALAS 500 lb-pie

Flexión Pura

|Mmáx| = 500 lb-pie

zmáx I

c|M|

z

C = 3"

C = 3"

y

centroideIz = 35.541 pulg

4

máx = 506.46 lb/pulg2

TRACCIONES

COMPRECIONES

z

506.46 lb/pulg

–506.46 lb/pulg2

NOTAR:M < 0

541.35)13)(12500(

máx

Diagrama de Esfuerzos


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Sabiendo que la sección representada admite los esfuerzos normales 120 MPaen tracción y 150 MPa en compresión, determinar el momento máximo quepuede aplicarse.

6 6 6 18 18

6

18

M (dimensiones

en mm)

Propiedades geométricas.

z

y

CG 15 mm

9 mm

A

B

(?)

Iz = 33.05×10-9 m4

Flexión. Por tratarse de flexión negativa, tenemos:

z CG

A

B

Zona en tracción

Zona en compresión

zmáx I

cM


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Luego:

z

Amáx

I

C|M| . . . . (tracción)

z

Bmáx

I

C|M| . . . . (compresión)

Reemplazando valores numéricos:

En 93

6

1005.33

)109(|M|10120

|M| = 440.67 N-m

En 93

6

1005.33

)1015(|M|10150

|M| = 330.50 N-m

Mmáx = 330.5 N-m (momento negativo)

Mmáx


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La viga cuya sección se representa, es sometida al momento M = 20 kN-m.Sabiendo que E = 200 GPa y = 0.29, determinar:

- El cambio de ancho en el ala superior- El cambio de longitud de la mitad superior CA del alma.(Dato Iz = 12.8210

6 mm4)

100 mm

A

X

Z

Y

200 mmM

(FlexiónPositiva)

Esfuerzo:

z

A A

I

MC (compresión) (CA = 100 mm)

6

33

A1086.12

101001020

A = 156.006106 Pa

C


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Deformación longitudinal:

4

9

6 A

Ax

108.710200

10006.156

E)(

Deformación transversal: Ax Az Ay )()()(

44 Az Ay 10262.2)108.7(29.0)()(

Cambio de Ancho en el Ala Superior. A t = 100 mm

t = (z) A t

t = 2.262×10-4×100 = 2.262×10-2 mm

t

C

Cambio de la longitud CA.

)0(2

1)(

AyCApromedio

Deformación enel eje neutro.

(puesto que la deformaciónvaría linealmente)

44

CA promedio 10131.1)10262.2(2

1)(

Luego CA (promedio)CA(CA)

CA 1.131×10-4×100 = 1.131×10-2 mm.

esfuerzo normal por flexion

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