Ing. Miguel Alvarez 1

Diseño de Recipientes a Presión y Tuberías

Esfuerzos en Placas planas

Ref.: Jhon F. Harvey, P.E. “Theory and Design of Pressure Vessels” 2da. Ed. , Edit. Chapman & Hall,

New York, 1991

Comportamiento de las Placas Planas.

Las placas planas pueden ser consideradas como vigas de 2 dimensiones. Se usan como tapas den recipientes o brida ciega en agujeros de registro. Se flexiona en 2 planos

perpendiculares. Fig. 3.1 carga vs deflexión. De

O a A deflexión proporcional a la carga y sólo es debida a la flexión. Esta es la zona que será discutida. De A hasta B, ocurre la fluencia sobre el espesor total de la placa.

El esfuerzo elástico es pequeño comparado con el resto.

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Comportamiento de las Placas Planas

Las placas se pueden clasificar en 3 grupos: 1. Placas gruesas, en las cuales es importante el esfuerzo

cortante, similar a una viga de alma pequeña. 2. Placas de mediano espesor, en las cuales el esfuerzo flector

es el más importante. 3. Placas delgadas, cuyos esfuerzos dependen principalmente

de las direcciones de la tensión acompañada de contracción en su plano medio.

En recipientes a presión son muy usadas las placas circulares, tanto en: tapas de cilindros o tapas semi-esféricas, para el acceso por mantenimiento.

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Placas: flexión en una dirección

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Todas las líneas rectas que

son paralelas al eje “z” en una sección transversal curva permanecen normal a os lados de la sección.

Su radio de curvatura será: (3.2.3)

Placas: flexión en una dirección Placa de espesor constante h

Fig. 3.3a, Flexión en un plano, producida por momento en el borde largo o carga normal a la superficie. Suficiente considerar una viga de ancho unitario de sección rectangular y largo a. En Fig. 3.3b, de la condición de

continuidad no hay distorsión en la viga de ancho unitaria durante la flexión. Ambos lados de la fibra ss esta

sometida al esfuerzo longitudinal de tracción σx y a un esfuerzo de tracción lateral σz lo suficiente para contrarrestar la contracción.

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Placas: flexión en una dirección Placa de espesor constante h

Asumiendo que la viga unitaria permanece plana durante la flexión, la deformación unitaria en x e z, en Fig. 3.3b, será:

𝑒𝑒𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑟𝑟

y 𝑒𝑒𝑧𝑧 = 0 (3.2.4)

En dichas direcciones los esfuerzos serán, de Ec. 2.3.4 y 2.3.5:

𝜎𝜎𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝐸𝐸1−𝜇𝜇2

= 𝐸𝐸𝑦𝑦1−𝜇𝜇2 𝑟𝑟

(3.2.5)

𝜎𝜎𝑧𝑧 = 𝜇𝜇 𝑒𝑒𝑥𝑥𝐸𝐸1−𝜇𝜇2

= 𝜇𝜇 𝐸𝐸𝑦𝑦1−𝜇𝜇2 𝑟𝑟

(3.2.6)

El momento flector en cualquier sección transversal será:

𝑀𝑀 = � 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑 𝑦𝑦 =𝐸𝐸

1 − 𝜇𝜇2 𝑟𝑟

+ℎ/2

−ℎ/2 � 𝑦𝑦2 𝑑𝑑 𝑦𝑦 =

𝐸𝐸 ℎ3

12 1 − 𝜇𝜇2 𝑟𝑟

+ℎ/2

−ℎ/2

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Placas: flexión en una dirección Placa de espesor constante h Haciendo Ec. (3.2.8) da (3.2.9),

1𝑟𝑟

= 𝑀𝑀𝐷𝐷 (3.2.8) 𝐷𝐷 = 𝐸𝐸 ℎ3

12 1−𝜇𝜇2= 𝐸𝐸𝐸𝐸

1−𝜇𝜇2 (3.2.9)

D = rigidez a la flexión de la placa y toma el lugar de EI en la fórmula de la viga. Fig. 3.3, a lo largo del borde libre a de la placa no hay momentos

externos aplicados y ninguno se genera por la restricción lateral de la deformación. Ver Sección A-A de Fig. 3.3a, notar que adicionalmente el borde de la

placa también se curva. El radio de curvatura del borde libre es dado aproximadamente por Ec. (3.2.3). La parte fuera de los bordes libres se flexiona en forma cilíndrica y su

deflexión puede ser calculada por Ec. 3.2.8. Para pequeñas deflexiones,

𝐷𝐷 𝑑𝑑2𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑥𝑥2= −𝑀𝑀 (3.2.10)

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Placas: flexión en dos direcciones Placa de espesor constante h

Fig. 3.4 a: placa sometida a momentos uniformes por unidad de longitud M1 y M2 en bordes paralelos.

El plano medio de la placa (superficie neutra) no esta sometida a deformación cuando la placa es ligeramente curvada con una pequeña deflexión w.

Como w depende de x e y, la 1ra. derivada dará la pendiente en dichas direcciones y la 2da. derivada dará las curvaturas:

1𝑟𝑟1

= −𝜕𝜕2𝜔𝜔𝜕𝜕𝑥𝑥2

, 1𝑟𝑟2

= −𝜕𝜕2𝜔𝜔𝜕𝜕𝑦𝑦2

(3.3.1)

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Placas: flexión en dos direcciones Placa de espesor constante h

r1: radio de curvatura de superficie neutra en secciones paralelas al plano xz y r2: radio de curvatura en secciones paralelas al plano yz. En Fig. 3.4 se indican los sentidos positivos, el plano xy pasa por la

mitad de la placa (superficie neutra). Fig. 3.4b, se asume que durante la flexión del elemento (dx-dy) los

bordes rotan alrededor del eje neutro n-n. Momentos aplicados en Fig.3.4a originan compresión en la parte

superior y tracción en la parte inferior del elemento. Las deformaciones unitarias del elemento abcd a una distancia z de la

superficie neutra y los respectivos esfuerzos (de Ec. 2.3.4 y 2.3.5) serán:

𝑒𝑒𝑥𝑥 = − 𝑧𝑧𝑟𝑟1

y 𝑒𝑒𝑦𝑦 = − 𝑧𝑧𝑟𝑟2

(3.3.2)

𝜎𝜎𝑥𝑥 = 𝑧𝑧 𝐸𝐸1−𝜇𝜇2

1𝑟𝑟1

+ 𝜇𝜇 1𝑟𝑟2

(3.3.3) 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 𝐸𝐸1−𝜇𝜇2

1𝑟𝑟2

+ 𝜇𝜇 1𝑟𝑟1

(3.3.4)

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Placas: flexión en dos direcciones Placa de espesor constante h

Fig. 3.4 a y b, por equilibrio de momentos, se tiene:

∫ 𝜎𝜎𝑥𝑥𝑧𝑧 𝑑𝑑 𝑦𝑦 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = 𝑀𝑀1𝑑𝑑 𝑦𝑦+ℎ/2−ℎ/2 (3.3.5) ∫ 𝜎𝜎𝑦𝑦𝑧𝑧 𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = 𝑀𝑀2𝑑𝑑 𝑥𝑥+ℎ/2

−ℎ/2 (3.3.6)

Reemplazando por los esfuerzos de las Ec. (3.3.3) y (3.3.4),da

𝐷𝐷 1𝑟𝑟1

+ 𝜇𝜇 1𝑟𝑟2

= 𝑀𝑀1 (3.3.7) 𝐷𝐷 1𝑟𝑟2

+ 𝜇𝜇 1𝑟𝑟1

= 𝑀𝑀2 (3.3.8)

Estas ecuaciones pueden ser escritas en función de la deflexión w, reemplazando los radios de curvatura de Ec. (3.3.1),da

−𝐷𝐷 𝜕𝜕2𝜔𝜔𝜕𝜕𝑥𝑥2

+ 𝜇𝜇 𝜕𝜕2𝜔𝜔𝜕𝜕𝑦𝑦2

= 𝑀𝑀1 (3.3.9) −𝐷𝐷 𝜕𝜕2𝜔𝜔𝜕𝜕𝑦𝑦2

+ 𝜇𝜇 𝜕𝜕2𝜔𝜔𝜕𝜕𝑥𝑥2

= 𝑀𝑀2 (3.3.10)

Estas ecuaciones corresponden a una viga recta. Si M1=M2=M la curvatura será igual en x e y, la deflexión será una superficie esférica con curvatura (1/r) y estará dada por Ec (3.3.7), 1/r=M/D(1+µ) (3.3.11) Será independiente si la placa es cuadrada, rectangular o redonda.

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Esfuerzos térmicos en Placas Si la expansión térmica no esta restringida, en una placa calentada

uniformemente a través de su espesor no se producirán esfuerzos térmicos. Si la placa no es calentada uniformemente, existirá una distribución

lineal de temperatura través del espesor y por lo tanto habría un ∆T, correspondiendo una dilatación por flexión y como los bordes están libres se deformará como superficie esférica. La diferencia entre la dilatación máxima o mínima y la dilatación de la

superficie media es α∆T/2 y la curvatura resultante será:

𝛼𝛼 ∆ 𝑇𝑇2

= ℎ2𝑟𝑟

(3.4.1) 1𝑟𝑟

= 𝛼𝛼 ∆ 𝑇𝑇ℎ

(3.4.2)

Observar que la deflexión es pequeña comparada con el espesor. Si los bordes son empotrados (no pueden girar libremente), se

generaran momentos flectores alrededor de los bordes de una magnitud suficiente como para eliminar la curvatura por ∆T. Ver (3.4.2)

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Esfuerzos térmicos en Placas

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E Esta es la misma ecuación del esfuerzo térmico en cilindros (2.12.22). Ec. (3.4.4) desarrollada para placas planas, puede ser usada con

suficiente aproximación para recipientes cilíndricos y esféricos. También, aunque Ec. (3.4.4) muestra que el esfuerzo térmico es

independiente del espesor de la placa, en la práctica es probable que ∆T sea mayor para placas gruesas que para delgadas.

Flexión de placas circulares Placas de espesor constante

La deflexión de una placa circular con carga uniforme sobre un círculo central y perpendicular a la placa, depende de una sola variable x. Fig. 3.5 representa una sección

diametral con eje de simetría OZ y w la deflexión de cualquier punto A a una distancia x del eje. La pendiente en A, para pequeños

valores de w es φ = - dw/dx y la curvatura de la placa en la sección diametral xz es,

(3.5.1)

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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante Fig. 3.5, r2: radio de curvatura en dirección perpendicular al plano xz,

puede notarse que la línea recta original mn permanece recta después de la flexión, pero está inclinada un ángulo φ respecto al eje central oz; es decir la superficie cilíndrica (mn vertical) en la placa no esforzada que tiene la línea oz. Para esta geometría, resulta una superficie cónica con vértice en B.

Entonces AB representa el radio r2 y de la Fig. 3.5 da: (3.5.2)

Despreciando el efecto de corte sobre la flexión y sustituyendo loa valores de las curvaturas de Ec. 3.5.1 y 3.5.2 en Ec. 3.3.7 y 3.3.8, da

(3.5.3) (3.5.4) Ambos momentos son por unidad de longitud, M1 actúa sobre las

secciones cilíndricas (mn de Fig. 3.5) y M2 actúa sobre secciones diametrales xz de Fig. 3.6.

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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante

Las Ec. 3.5.3 y 3.5.4 dependen de la variable φ y puede ser calculada por equilibrio del elemento de la Fig. 3.6. Según el sentido de momentos,

parte superior esta a compresión y parte inferior esta a tracción. El plano neutro (mitad de h) en

estado no deformado. Momento total actuante en lado

mmnn es, M1xdθ (3.5.5) Momento total actuante en lado

m1m1n1n1 es,

𝑀𝑀1 + 𝑑𝑑 𝑀𝑀1𝑑𝑑 𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 (3.5.6)

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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante

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Despreciando términos de 2do. orden en (3.5.6),

𝑀𝑀1𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 𝑀𝑀1𝑑𝑑 𝑥𝑥

𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑀𝑀1𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑 (3.5.7)

Momento total en lados mnm1n1 es M2dx y por el ángulo dφ se origina un momento resultante en el plano xz, además, considerando que para ángulos pequeños sen α ~ α rad., se tiene:

2 𝑀𝑀2 𝑑𝑑 𝑥𝑥 sin 𝑑𝑑𝑑𝑑2

= 𝑀𝑀2 𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 (3.5.8)

Debido a la simetría no existen fuerzas cortantes en los lados mm1nn1,

pero existe fuerza cortante V por unidad de longitud sobre los lados mmnn siendo el total Vxdθ. Para el lado m1m1n1n1, la fuerza cortante total es,

𝑉𝑉 + 𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

Flexión de placas circulares Placas de espesor constante

Las fuerzas cortantes original un momento resultante en el plano xz,

𝑉𝑉𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥2

+ 𝑉𝑉 + 𝑑𝑑𝑉𝑉𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥

2 (3.5.9)

Despreciando términos de 2do. Orden da: 𝑉𝑉𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 (3.5.10) Por equilibrio de momentos (Ec. 3.5.5, 3.5.7, 3.5.8 y 3.5.10), se tiene:

𝑀𝑀1 + 𝑑𝑑 𝑀𝑀1𝑑𝑑 𝑥𝑥

𝑥𝑥 −𝑀𝑀2 + 𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0 (3.5.11)

Reemplazando las expresiones para los momentos Ec. 3.5.3 y 3.5.4 en 3.5.11 se obtiene,

𝑑𝑑2∅𝑑𝑑𝑥𝑥2 + 1

𝑥𝑥 𝑑𝑑∅𝑑𝑑𝑥𝑥− ∅

𝑥𝑥2 = − 𝑉𝑉𝐷𝐷 (3.5.12)

Teniendo en cuenta el equilibrio de fuerzas, V se puede calcular y con la Ec. 3.5.12 se puede determinar la pendiente φ y la deflexión w de la placa.

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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante

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De lo anterior, si una placa circular esta sometida a una carga uniforme q en el círculo de radio x más una carga P aplicada en el centro, entonces la fuerza de corte V por unidad de longitud circunferencial sobre una sección de radio x debe ser igual a la carga total dividida entre la longitud de circunferencia de radio x.

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋 𝑥𝑥2𝑞𝑞+𝑃𝑃2 𝜋𝜋 𝑥𝑥

= 𝑞𝑞𝑥𝑥2

+ 𝑃𝑃2 𝜋𝜋 𝑥𝑥

(3.5.13)

Reemplazando en Ec. 3.5.12,

𝑑𝑑2∅𝑑𝑑𝑥𝑥2 + 1

𝑥𝑥 𝑑𝑑∅𝑑𝑑𝑥𝑥− ∅

𝑥𝑥2 = − 1𝐷𝐷

𝑞𝑞𝑥𝑥2

+ 𝑃𝑃2 𝜋𝜋 𝑥𝑥

(3.5.14)

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

1𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

(𝑥𝑥 ∅) = − 1𝐷𝐷

𝑞𝑞𝑥𝑥2

+ 𝑃𝑃2 𝜋𝜋 𝑥𝑥

(3.5.15)

Flexión de placas circulares Placas de espesor constante

La primera integral da, con la constante de integración C1:

1𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑥𝑥 ∅ = − 1𝐷𝐷

𝑞𝑞𝑥𝑥2

4+ 𝑃𝑃

2 𝜋𝜋 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝐶𝐶1 (3.5.16)

La segunda integral da, con la constante de integración C2:

𝑥𝑥 ∅ = − 𝑞𝑞𝑥𝑥4

16𝐷𝐷− 𝑃𝑃

2𝜋𝜋𝐷𝐷 𝑥𝑥2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒 𝑥𝑥

2− 𝑥𝑥2

4+ 𝐶𝐶1 𝑥𝑥

2

2+ 𝐶𝐶2 (3.5.17)

∅ = − 𝑞𝑞𝑥𝑥3

16𝐷𝐷− 𝑃𝑃𝑥𝑥

8𝜋𝜋𝐷𝐷 2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1 + 𝐶𝐶1𝑥𝑥

2+ 𝐶𝐶2

𝑥𝑥 (3.5.18)

Para pequeñas deflexiones φ = - dw/dx y la ecuación resulta,

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

= 𝑞𝑞𝑥𝑥3

16𝐷𝐷+ 𝑃𝑃𝑥𝑥

8𝜋𝜋𝐷𝐷 2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1 − 𝐶𝐶1𝑥𝑥

2− 𝐶𝐶2

𝑥𝑥 (3.5.19)

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Flexión de placas circulares Placas de espesor constante

Integrando nuevamente da,

𝑑𝑑 = 𝑞𝑞𝑥𝑥4

64𝐷𝐷+ 𝑃𝑃𝑥𝑥2

8𝜋𝜋𝐷𝐷 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒 𝑥𝑥 − 1 − 𝐶𝐶1𝑥𝑥2

4− 𝐶𝐶2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶3 (3.5.20)

Esta es la ecuación general para la deflexión de una placa circular

sometida a una carga simétrica. Las constantes de integración C1, C2, y C3 se determinan con las

condiciones de borde, para cada caso particular de carga.

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