Estabilidade Assintotica Para Sistemas

Com Amortecimento Indefinido.

Taxa Otima.

por

MARIA NATIVIDAD ZEGARRA GARAY

IM-UFRJ

2009

Estabilidade assintotica para sistemas com

amortecimento indefinido: Taxa Otima.

Maria Natividad Zegarra Garay

Tese submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matematica da Universidade Federal

do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessarios a obtencao do grau de

Doutor em Ciencias.

Area de Concentracao: Matematica.

Aprovada por:

Prof. Jaime E. Munoz Rivera - UFRJ

(Orientador)

Prof. Gustavo Perla Menzala - UFRJ

Prof. Juan Soriano Palomino - UFM

Prof. Marcelo Moreira Cavalcanti - UFM

Prof. Octavio Vera Villagran - UBIOBIO - Chile

Prof. Angela Cassia Biazutti - UFRJ

(Suplente)

Rio de Janeiro

2009

i

FICHA CATALOGRAFICA

Zegarra Garay, Maria Natividad.

Estabilidade assintotica para sistemas com amortecimento indefinido.Taxa Otima.

Maria Natividad Zegarra Garay

Rio de Janeiro: IM/UFRJ, 2009.

vi, 132f.; 29cm.

Orientador: Jaime E. Munoz Rivera

Tese (Doutorado) - UFRJ. Instituto de Matematica, 2009

1. Falta de estabilidade exponencial para velocidades de propagacao diferentes.

2. Estabilidade assintotica do sistema com dissipacao friccional positiva.

3. Estabilidade assintotica do sistema de Timoshenko com dissipacao indefinida.

4. Taxa otima.

I. Munoz Rivera, Jaime E. II. Universidade Federal

do Rio de Janeiro, Instituto de Matematica. III. Tıtulo.

ii

Ao meu Senhor Jesus Cristo pela dadiva otorgada.

A meus pais Placida Pilar e Luis Braulio.

A meu guaguita com amor.

iii

Agradecimentos

Agradeco a Deus em nosso Senhor Jesuscristo.

Aos meus pais Pilar e Luis pelo seu devotado amor.

Aos meus irmaos Orlando, Martha y Aıda.

A banca examinadora desta tese.

Em especial ao Professor Jaime Rivera a quem Deus pus no meu caminho em momentos tao

incertos me incentivando a iniciar este doutorado e pela conclusao do propio, minha gratidao

por sempre.

Aos meus grandes amigos Ivo, Darci, Jeferson, Selene, Laura.P, Eugenio, Hugo, Pedro G,

Octavio meu irmao chileno, Juan Soriano, Richard, Vicky, que contribuiram a meu desen-

volvimento profissional, pela amizade e apoio que me deram sempre.

A Professora Angela Biazutti pelas excelentes aulas dadas com esmero e dedicacao.

Ao pessoal administrativo da Biblioteca da Facultade de Matematica.

Ao pessoal administrativo da Pos-graduacao da Matematica.

A Freddy, Andreita y Fabicho, Elena, Sandra, Mireya y Yanina.

A minha querida cidade Rio de Janeiro, por sempre.

Finalmente, gostaria tambem de registrar meu agradecimento pelo apoio recebido pela

CAPES.

iv

RESUMO

Neste trabalho, se estuda o comportamento assintotico do sistema de Timoshenko uni-

dimensional definido sobre o intervalo [0, l] ⊂ R. Se apresentam duas contribuicoes para o

modelo. Na primeira se mostra que a solucao decai para zero com a seguinte taxa

ln3/2(t)/√t

quando o dado inicial pertence ao domınio do operador D(A). Se mostra ainda que esta taxa

e otima. Isto e, nao e possıvel obter uma melhor taxa, exceto pelo logaritmo. Este resultado

melhora todos os anteriores sobre decaimento conhecidos para a equacao de Timoshenko.

A segunda contribuicao e com relacao ao decaimento do sistema de Timoshenko quando a

funcao a(x) que produz o mecanismo dissipativo, muda de sinal. Isto e conhecido como

amortecimento indefinido. Mais precissamente se

‖a− a‖L2(0, l) < ε,

para ε suficientemente pequeno, entao a solucao do correspondente sistema de Timoshenko

com amortecimento indefinido decai com a seguinte taxa

ln3/2(t)/√t

quando o dado inicial esta no domınio do operador D(A).

v

ABSTRACT

In this work we consider the asymptotic behavior of the solutions of the Timoshenko

system in the interval (0, l) ⊂ R. We introduce two contributions to this model. First, it is

concerning to the stability. We show that the solution decays to zero as

ln3/2(t)/√t

provided the initial data belongs to the domain D(A). Moreoever we show that the rate of

decay is optimal. That is, it is not possible to get a better rate except for the logarihtm.

This result improves all the known results about the asymptotic behavior of the Timoshenko

system. Our second contribution is concerning to the polynomial decay of the Timoshenko

model when the function a(x), which produces the dissipative mechanism, changes signal.

This phenomenon is know as undefinite damping. More precisally if

‖a− a‖L2(0, l) < ε,

for ε small enough, then the solution of the corresponding Timoshenko system with undefinite

damping decays to zero as

ln3/2(t)/√t

provided the initial data belongs to the domain D(A).

vi

A liberdade de espırito e impossıvel com a massificacao da cultura

e da educacao. Ora, a liberdade de espırito exige, rebeldia, sub-

versao, ruptura, conflito, solidao e recriacao. Aquele que procura o

aplauso facil nao pode aspirar a nobreza de caracter. O timorato,

aquele que procura atingir a felicidade no meio dos compromissos,

da submissao e do servilismo, nunca deixara de ser um escravo.

F. Nietzsche

Um Livro Para Espıritos Livres.

(Humano, Demasiado Humano, 1878)

vii

Conteudo

Introducao 1

1 Preliminares 6

1.1 Os Espacos Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Desigualdades de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Teorema de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2 Tipo de um semigrupo e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 O Modelo de Timoshenko para Vigas 25

2.1 Modelo Conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Modelo Dissipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Modelo nao Dissipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 As Hipoteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2 O metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Notacoes e formulacao de semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Falta de estabilidade Exponencial 32

3.1 Falta de estabilidade exponencial

Caso: Dirichlet - Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Falta de Estabilidade: Caso Dirichlet - Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Taxas Otimas de Decaimento 37

4.1 Metodo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

viii

4.1.1 Estimativas uniformes em η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Decomposicao da solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Otimalidade da taxa de decaimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Problemas em aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Amortecimento indefinido 54

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Decomposicao das solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3 O Metodo de Ponto Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.1 Estimativas Uniformes para η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 O Resultado Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Referencias 71

ix

Introducao

Grande parte dos sistemas mecanicos existentes em projetos de alta engenharia, na atua-

lidade incluem, alem de estruturas rıgidas, as estruturas flexıveis onde a viga e um modelo

fundamental de tais construcoes. O estudo deste corpo ou elemento mecanico chamado viga

flexıvel ou elastica ou simplesmente viga se remonta a antiga Grecia e Roma, onde ja existiam

alguns estudos evidenciados nas construcoes da engenharia da epoca, que posteriormente na

Idade Media iriam se perder para, em seguida, na Renascenca, aparecer novamente com os

manuscritos de mecanica de Leonardo da Vinci (1452-1519); e nestas famosas notas (alias,

primeira bibliografia sobre o assunto) onde se descobrem os primeiros escritos a respeito da

viga. Seguidamente, no decorrer do tempo, os estudos so iriam se aprimorar. Cabe men-

cionar neste ponto Galileo (1564-1642) que comeca a desenvolver ja um estudo focado nas

propriedades da resistencia da viga. Ele estabelece que a resistencia de uma viga retan-

gular e proporcional ao comprimento e ao quadrado da altura da secao transversal, tendo

como hipotese, no caso de fraturas, que as forcas internas da viga estejam uniformemente

distribuıdas sobre a secao transversal.

Uma contribuicao que mais adiante seria de vital importancia para atingir um estagio

superior na teoria das vigas, e acrescentado por Hooke (1635-1703) que enuncia a importante

lei que leva seu nome, Lei de Hooke que diz: ”Para pequenas deformacoes de um objeto (ex.

uma viga flexıvel), o deslocamento ou o tamanho da deformacao e diretamente proporcional

a forca”.

A diferenca de Galileo, os estudos de Jacob Bernoulli (1654-1705) se direcionam ao proces-

so de deformacao da viga elastica; foi ele que descobriu que a curvatura de uma viga flexıvel

em qualquer ponto e proporcional ao momento flexural naquele ponto. Neste tempo, ja os

1

primeiros estudiosos tinham reconhecido que o efeito mais importante em uma viga vibrando

transversalmente e o efeito da flexao. Com relacao a isso, o modelo de Euler-Bernoulli inclui

a energia potencial devida a flexao e a energia cinetica devida ao deslocamento lateral. Ja

neste perıodo da historia, Newton (1642-1727) havia inventado o Metodo Cientıfico, exposto

no seu livro ”Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, a teoria classica da mecanica e

o calculo Infinitesimal, mais tarde publicado, melhorado e incrementado por Leibniz (1646-

1716). E com a matematizacao da ciencia fısica que Euler (1707-1783), profıcuo escritor

matematico de todos os tempos (ao redor de 800 publicacoes), e Lagrange (1736-1813) es-

tabelecem as primeiras teorias das equacoes diferenciais, gerando os primeiros modelos do

movimento transversal de uma viga. Porem se sabe que o primeiro a formular a equacao

diferencial do movimento de vibracao de uma viga foi o sobrinho de Jacob, Daniel Bernoul-

li (1700-1782). Muitos avancos sobre curvas e placas elasticas foram obtidos por Euler e

Bernoulli. O primeiro e relevante modelo sobre vigas ate hoje usado nos seus princıpios

basicos leva o nome de modelo de viga de Euler-Bernoulli. Alem deste modelo, se acrescen-

tam outros mais que sao motivo de estudo na atualidade tais como, o modelo de Rayleigh,

de Vlasov, de Timoshenko, e outros mais. Cada modelo destes obedece as propriedades das

diferentes estruturas elasticas, sendo que a viga representa um modelo fundamental destes.

Podemos citar inumeras utilidades dos sistemas mecanicos modelados por vigas, tais

como projetos de estrada, ferrovias, pontes, asas de avioes, bracos roboticos, plataformas

flutuantes em petroleo como estruturas fixas ou submersıveis, satelites flexıveis e muitas

estruturas mais.

O modelo unidimensional da barra fina de metal ductil segundo a teoria de Timoshenko

esta representado pelas equacoes acopladas de movimento (1), (2), munidas das expressoes

(3), (4) que denotam as condicoes de contorno e as condicoes iniciais respectivamente.

ρ1 ϕtt − κ (ϕx − ψ)x = 0 em ]0, l[×(0, ∞) (1)

ρ2 ψtt − b ψxx − κ (ϕx − ψ) + a(x)ψt = 0 em ]0, l[×(0, ∞) (2)

Com as seguintes condicoes de contorno

2

ϕ(0, t) = ϕ(l, t) = ψx(0, t) = ψx(l, t) = 0, ∀t > 0. (3)

e as condicoes iniciais.

ϕ(x, 0) = ϕ0(x), ϕt(x, 0) = ϕ1(x), ψ(x, 0) = ψ0(x), ψt(x, 0) = ψ1(x) ∀x ∈]0, l[ (4)

onde ϕ denota o deslocamento transversal da barra, e ψ o angulo de rotacao da secao

transversal, as constantes ρ1, ρ2, κ, e b sao numeros reais positivos. Para uma deducao fısica

deste modelo, pode-se ver as seguintes referencias [10, 18, 34, 42].

Na equacao (2) se introduz um mecanismo dissipativo, que pode ser considerado como

um atrito, o qual e denotado por a(x)ψt. Existem diversos resultados em relacao ao com-

portamento assintotico quando a e positivo. Por exemplo Soufyane [38], Rivera e Racke [30],

[31], [32] mostraram estabilidade exponencial das solucoes se, e somente se, as velocidades

de propagacao sao iguais,

ρ1

κ=ρ2

b(5)

Isto e, um mecanismo dissipativo e suficiente para estabilizar todo o sistema de Timo-

shenko quando as velocidades de propagacao sao iguais. Quando esta identidade nao e valida

mostra-se que o sistema nao e exponencialmente estavel. Isto e mostrado usando o teorema

de Pruss, que estabelece que um semigrupo de contracoes, definido sobre um espaco de

Hilbert, e exponencialmente estavel se, e somente se, o resolvente e uniformemente limitado

sobre todo o eixo imaginario. Mostrar que o semigrupo nao e exponencialmente estavel e

equivalente a mostrar que o operador resolvente nao e uniformemente limitado sobre o eixo

imaginario, isto e,

lim|β|→+∞

||(i β I −A)−1|| −→ ∞ (6)

3

Resultados dos autores, Rivera, Racke e Liu mostram no caso da falta de estabilidade

exponencial que o sistema pode ser estabilizado com taxas que dependem da regularidade

dos dados iniciais. Para o sistema de Timoshenko eles mostram que quando as velocidades

de propagacao sao diferentes,

ρ1

κ6= ρ2

b

a energia de primeira ordem decai com uma taxa de 1/√t, quando os dados estao limitados

no domınio do operador. Rivera e Racke usaram o metodo da energia para encontrar este

resultado. Liu utiliza a limitacao do operador resolvente. Isto e, um semigrupo e polinomial-

mente estavel se todo o eixo imaginario esta contido no resolvente, e o operador resolvente

verifica a seguinte estimativa.

1

βl||(i β I −A)−1|| ≤ C (7)

Esta desigualdade implica que o correspondente semigrupo S(t) decai da seguinte forma

‖S(t)w‖ ≤ C

(ln(t)

t

)1/l

ln(t)‖w‖D(A).

Note que aparece um logaritmo na expressao do decaimento. Isto nao permite afirmar

que o decaimento seja do tipo 1/t1/l, mas apenas 1/t−ε+1/l, para algum ε positivo.

Neste trabalho, se apresentam duas contribuicoes para este modelo. O primeiro e que

com relacao ao decaimento se mostra que a taxa de decaimento e do tipo ln3/2(t)/√t e ainda

se mostra que esta taxa e otima. Isto e, nao e possıvel obter uma melhor taxa exceto pelo

logaritmo. Este resultado melhora todos os resultados de decaimento polinomial conhecidos

para a equacao de Timoshenko. A segunda contribuicao e que se consegue mostrar decai-

mento do sistema de Timoshenko quando a funcao a(x) que produz o mecanismo dissipativo,

muda de sinal. Note que, neste caso, a energia do sistema de Timoshenko verifica

4

d

dtE(t) = −

∫ l

0

a(x) |ϕt|2 dx (8)

sendo esta expressao indeterminada em relacao a seu sinal; impossibilitando, com isto, con-

cluir se a energia e crescente ou decrescente, e a este fato se denomina de damping indefinido.

A ideia central para conseguir decaimento e considerar que a media a da funcao a(x),

esteja proxima da funcao na norma de L2. O metodo que se usa e o metodo de Fourier e o

de ponto fixo; alem de outras estimativas finas.

Capıtulo 1

Preliminares

No conteudo deste primeiro capıtulo se introduzirao alguns espacos e se enunciarao algu-

mas definicoes e teoremas que se precisarao para poder desenvolver o trabalho em questao.

1.1 Os Espacos Lp(Ω)

Seja p ≥ 1. Denote-se por Lp(Ω) a classe de todas as funcoes mensuraveis u, para as quais

|u|p e uma funcao integravel sobre Ω. Em Lp(Ω) define-se a norma

‖u‖pLp =

∫

Ω

|u(x)|pdx ; 1 ≤ p <∞,

com esta norma Lp(Ω) e um espaco de Banach. No caso p = ∞, Lp(Ω) e o espaco formado

por todas as funcoes u, essencialmente limitadas sobre Ω. De esta forma, L∞(Ω) munido da

norma

‖u‖L∞ = supx∈Ω

ess|u(x)|

e um espaco de Banach. Quando p = 2, L2(Ω) e um espaco de Hilbert com produto interno

(u, v) =

∫

Ω

u(x)v(x)dx

e norma

‖u‖2 =

∫

Ω

|u(x)|2dx.

6

Alem disso, sejam α = (α1, α2, ..., αn) ∈ INn, x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, |α| =

∑ni=1 αi e

denote-se por Dα o operador derivada de ordem |α|, definido por

Dα =∂|α|

∂xα11 ∂xα2

2 ...∂xαnn

Quando α = (0, 0..., 0) define-se Dαu := u. Com estas notacoes define-se o espaco

Wm,p(Ω) =u ∈ Lp(Ω) , Dαu ∈ Lp(Ω) , |α| ≤ m no sent. das distrib.

.

Seja a norma

‖u‖pm,p =

∑

|α≤m

∫

Ω

|Dαu(x)|pdx,

com esta norma, Wm,p(Ω) e um espaco de Banach. O espaco Wm,p(Ω) e chamado de espaco

de Sobolev de ordem m. Alem disso define-se o espaco de Banach Wm,p0 (Ω) como sendo o

fecho de C∞0 (Ω) no espaco Wm,p(Ω), isto e

Wm,p0 (Ω) = C∞

0 (Ω)W m,p(Ω)

.

Quando p = 2, Wm,2(Ω) e denotado por Hm(Ω), e este espaco e um espaco de Hilbert com

produto interno definido por

(u, v)m,2 =∑

|α|≤m

∫

Ω

Dαu(x)Dαv(x)dx

e norma dada por

‖u‖2m,2 =

∑

|α|≤m

∫

Ω

|Dαu(x)|2dx.

Lema 1.1 (Desigualdade de Holder) Seja f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lq(Ω) com 1 ≤ p, q ≤ ∞ e1

p+

1

q= 1. Entao fg ∈ L1(Ω) e

∫

Ω

|f(x)g(x)|dx ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq

Demonstracao.- Ver [5],[1] nas referencias.

7

1.2 Desigualdades de Sobolev

Teorema 1.1 (Sobolev, Gagliardo, Niremberg) Seja 1 ≤ p < N e considere p∗ tal que

1p∗

= 1p− 1

N, entao

W 1,p(RN) ⊂ Lp∗(RN)

e alem disso, existe uma constante C > 0 tal que

‖u‖Lp∗ ≤ C‖∇u‖Lp, ∀u ∈ W 1,p(RN)

Demonstracao.- Ver [1],[5] nas referencias.

Observacao 1.1 No caso unidimensional segue imediatamente

W 1,p(R) ⊂ L∞(R)

com a imersao contınua. De fato, tome-se u ∈ W 1,p(R), sem perda de generalidade, pode-se

supor que u ∈ C∞0 (R). Tome-se agora x ∈ R. Como R = ∪i∈N ] − i,−i + 1]∪]i, i+ 1] tem-se

que x ∈]a, a + 1] portanto pode-se escrever

u(x) − u(y) =

∫ y

x

du

dsds, para x, y ∈]a, a+ 1]. (1.1)

Demonstracao.- Integrando a desigualdade anterior sobre ]a, a + 1] com respeito a y e

usando o teorema do valor medio para integrais tem-se

u(x) =

∫ a+1

a

u(y) dy +

∫ y0

x

du

dsds, x, y0 ∈]a, a + 1]

usando a desigualdade de Holder, tem-se

|u(x)| ≤(∫ a+1

a

|u(y)|p dy) 1

p

+

(∫ a+1

a

|duds

|p ds) 1

p

.

de onde conclui-se

‖u‖L∞(a,a+1) ≤ ‖u‖W 1,p(R)

sendo a um inteiro qualquer tem-se

‖u‖L∞(R) ≤ ‖u‖W 1,p(R)

de onde segue o resultado.

8

Observacao 1.2 Da identidade (1.1) segue que

|u(x) − u(y)| ≤ |x− y|1− 1p‖duds

‖Lp(R)

Portanto as funcoes de W 1,p(R) sao contınuas.

Observacao 1.3 Como consequencia do resultado anterior, u ∈ Wm,p(RN) e possui uma

derivada parcial nula em Lp(RN), entao u = 0.

Corolario 1.1 Seja u ∈ W 1,p(RN ) para 1 ≤ p < N , entao para todo q ∈ [p, p∗] e valido

‖u‖Lq(RN ) ≤ C‖u‖αLp(RN )‖u‖1−α

W 1,p(RN )onde

1

q=α

p+

1 − α

p∗

em particular tem-se

W 1,p(RN) ⊂ Lq(RN), ∀q ∈ [p, p∗],

com imersao contınua

Demonstracao.- Ver [26], [1] nas referencias.

Corolario 1.2 Para p = N se verifica

W 1,N(RN) ⊂ Lq(RN), ∀q ∈ [N,∞[

com imersao contınua.

Demonstracao.- Ver [5], [26] nas referencias.

Observacao 1.4 A imersao acima e estrita para N > 1. De fato, para isto basta considerar

a funcao f(x, y) = ln(x2 + y2), e simples verificar que f ∈ W 1,1(B1(0)), onde B1(0) e a bola

do R2 centrada no zero e de raio unitario e que f nao e limitada na bola. Pode-se tambem

construir um exemplo em W 1,1(R2), utilizando o operador de prolongamento P . De fato,

P (f) ∈ W 1,1(R2) e P (f) nao e limitada.

9

Teorema 1.2.1 (Teorema de Morrey) Seja p > N entao tem-se

W 1,p(RN) ⊂ L∞(RN) ∩ C(RN )

com imersao contınua. Alem disso, verifica-se

|u(x) − u(y)| ≤ C|x− y|α‖∇u‖Lp (1.2)

onde α = 1 − Np

e C e uma constante positiva.

Demonstracao.-

Ver [1] nas referencias.

Os teoremas anteriores facilmente podem ser estentidos para os espacos Wm,p como mostra

o seguinte corolario.

Corolario 1.3 Seja m um inteiro m ≥ 1 e 1 ≤ p <∞, entao se verifica.

1

p− m

N> 0 ⇒ Wm,p(RN) ⊂ Lq(RN) onde

1

q=

1

p− m

N1

p− m

N= 0 ⇒ Wm,p(RN) ⊂ Lq(RN) ∀q ∈ [p,∞[

1

p− m

N< 0 ⇒ Wm,p(RN) ⊂ L∞(RN) ∩ C(RN),

com as imersoes contınuas. Alem disso, se m − np> 0 nao e um numero inteiro, denote-se

por

k =

[m− N

p

]e θ =

[m− N

p

]− k, 0 < θ < 1.

Verifica-se que para todo u ∈ Wm,p(RN) e valido

‖Dαu‖L∞ ≤ ‖u‖W m,p ∀α, |α| ≤ k

e ainda tem-se

|Dαu(x) −Dαu(y)| ≤ C|x− y|θ ‖u‖W m,p q.sx, y ∈ Rn, ∀α, |α| = k.

Em particular Wm,p(Rn) ⊂ Ck(Rn).

10

Demonstracao.- A demonstracao e baseada na seguinte formula de recorrencia.

p∗0 = p,1

p∗i=

1

p∗i−1

− 1

N.

para i = 1, · · · , m. Fazendo q = p∗m obtem-se

1

q=

1

p∗m−1

− 1

n=

1

p∗m−2

− 2

N= · · · =

1

p∗0− m

N=

1

p− m

N.

aplicando o teorema 1.1 tem-se

‖u‖Lq ≤ C‖∇u‖L

p∗m−1

≤ C‖∇2u‖L

p∗m−2

≤ C‖∇3u‖L

p∗m−3

≤ · · · ≤ C‖∇mu‖Lp∗0.

Suponha1

p− m

N= 0 ⇒ 1

p− m− 1

N> 0

da primeira parte deste teorema encontra-se

u,∂u

∂xi∈ Wm−1,p(RN) ⊂ Lp∗(RN) onde

1

p∗ =1

p− m− 1

N=

1

N

e ainda

‖u‖Lp∗(RN ) ≤ C‖u‖W m−1,p(RN ), ‖ ∂u∂xi

‖Lp∗(RN ) ≤ C‖u‖W m,p(RN )

de onde se segue u ∈ W 1,N(RN), pois p∗ = N . Pelo corolario 1.3 conclui-se

‖u‖Lq(RN ) ≤ C‖u‖W 1,p∗(RN ) ≤ C‖u‖W m,p(RN ), ∀q ∈ [p,∞[.

Finalmente, considere1

p− m

N< 0.

Sem perda de generalidade pode-se supor que m e o menor numero para o qual e verdadera a

desigualdade acima. Caso que m = 1 o resultado segue imediatamente. Suponha que m ≥ 2,

entao tem-se

1

p∗ =1

p− m− 1

N> 0.

11

Da primeira parte deste teorema segue

u,∂u

∂xi∈ Wm−1,p(RN) ⊂ Lp∗(RN )

de onde segue que u ∈ W 1,p∗(RN), e ainda

‖u‖W 1,p∗(RN ) ≤ C‖u‖W m,p(RN ).

como1

p∗ − 1

N=

1

p− m

N< 0.

pelo teorema 1.2.1 segue que W 1,p∗(RN) ⊂ L∞(RN) com imersao contınua. De onde segue o

resultado.

Corolario 1.4 Seja Ω um aberto limitado de fronteira de classe C1, ou tambem Ω = RN+ .

Seja 1 ≤ p <∞, entao se verifica.

p < N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) onde1

q=

1

p− 1

N

p = N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [p,∞[

p > N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ L∞(Ω) ∩ C(Ω),

com imersoes contınuas. Alem disso, se m− Np> 0 nao e um numero inteiro, denota-se por

k =

[m− N

p

]e θ =

[m− N

p

]− k, 0 < θ < 1.

Verifica-se que para toda u ∈ Wm,p(Ω) e valido

‖Dαu‖L∞ ≤ ‖u‖W m,p ∀α, |α| ≤ k

e ainda

|Dαu(x) −Dαu(y)| ≤ C|x− y|θ ‖u‖W m,p .

Em particular Wm,p(Ω) ⊂ Ck(Ω).

Demonstracao.- A prova faz uso dos operadores de Prolongamento.

12

Teorema 1.2 (Rellich-Kondrachov) Suponha Ω um conjunto limitado de classe C 1, nestas

condicoes tem-se

p < N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [1, p∗[ onde1

p∗=

1

p− 1

N

p = N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈ [1,∞[

p > N ⇒ W 1,p(Ω) ⊂ C(Ω),

com as imersoes compactas.

Demonstracao.-

No caso p > n aplica-se o teorema 1.2.1 e o teorema de Arzela-Ascoli. Nos casos restantes

se aplica o criterio de compacidade em Lp. Denota-se por B, a bola unitaria de W 1,p. Seja

1 ≤ q ≤ p∗, pode-se escrever1

q=α

1+

1 − α

p∗

Sejam ω ⊂⊂ Ω, u ∈ B, e h < dist(ω,Ωc). das desigualdades de interpolacao tem-se

‖τhu− u‖Lq(ω) ≤ ‖τhu− u‖αL1(ω)‖τhu− u‖1−α

Lp∗(ω).

Portanto

‖τhu− u‖Lq(ω) ≤ C|h|‖∇u‖αL1(Ω))‖u‖1−α

Lp∗(Ω)≤ C|h|.

de onde segue

‖τhu− u‖Lq(ω) ≤ ε

para h suficientemente pequeno. Finalmente, das desigualdades de Holder tem-se

‖u‖Lq(Ω\ω) ≤ ‖u‖Lp∗(Ω\ω)|Ω \ ω|1− qp∗ < ε

Para ω escolhido convenientemente. De onde pelo teorema 1.2.1 segue que B e compacto

em W 1,p.

Corolario 1.5 Seja Ω um aberto limitado do RN entao a imersao

Wm,p(Ω) ⊂ W j,p(Ω)

e compacta para m > j.

13

Demonstracao.- Seja ϕν uma sequencia limitada em Wm,p(Ω), entao existe uma sub-

sequencia (ainda denotada) de ϕν , tal que

ϕν → ϕ forte em Lp(Ω)

Da mesma forma conclui-se para j < m que

Dαϕν → Dαϕ forte em Lp(Ω)

para |α| ≤ j. O que significa que ϕν converge forte em W j,p(Ω).

Observacao 1.5 As imersoes compactas indicadas nos teoremas 1.2. somente sao validas

em dominios limitados. De fato, se mostrara que o espaco W 1,p(]0,∞[) nao esta imerso

compactamente em Lp(]0,∞[). Para isto tome-se uma funcao ϕ ∈ C10(R) nao nula com

suporte contido em ]0,∞[,

limν→∞

ϕν(x) = limν→∞

ϕν(x− ν) = 0 (1.3)

Por outro lado, esta sequencia e limitada em W 1,p(]0,∞[), pois

‖ϕν‖pW 1,p =

∫ ∞

0

|ϕ(x− ν)|p dx+

∫ ∞

0

|ϕx(x− ν)|p dx =

∫ ∞

0

|ϕ|p dx+

∫ ∞

0

|ϕx|p dx

para todo ν ∈ IN , pois o suporte da funcao ϕ esta contido em ]0,∞[. Se a imersao fosse

compacta em Lp(]0,∞[), existiria uma subsequencia ϕνkque converge forte para uma funcao

χ.

ϕνk→ χ forte Lp(]0,∞[)

Esta ultima convergencia implica que existe uma subsequencia (denotada da mesma forma)

que converge quase sempre em ]0,∞[, isto e

ϕνk(x) → χ(x) q.s. ]0,∞[

Da convergencia em (1.3) conclui-se que χ = 0. Mas isto e contradictorio, pois pela con-

vergencia forte tem-se

∫ ∞

0

|ϕ(x)|p dx = limν→∞

∫ ∞

0

|ϕ(x− νk)|p dx = 0

O que contradiz a escolha de ϕ.

14

A seguir se enuncia o teorema das derivadas intermediarias para abertos Ω do RN satis-

fazendo a propriedade do cone. Para facilitar a exposicao se comecara considerando o caso

unidimensional.

Teorema 1.3 (Teorema das derivadas intermediarias) Sejam a e b numeros reais tais que

−∞ ≤ a < b ≤ ∞, para 1 ≤ p < ∞ e 0 < ε0 < ∞. Entao existe uma constante

K = K(ε0, p, b− a) tal que para todo 0 < ε ≤ ε0 e para toda f ∈ W 2,p(a, b) se verifica

∫ b

a

|f ′(t)|p dt ≤ Kε

∫ b

a

|f ′′(t)|p dt+Kε−1

∫ b

a

|f(t)|p dt.

A desigualdade acima e valida para todo ε > 0 quando b− a = ∞

Demonstracao.- Ver [26], [6] nas referencias.

Corolario 1.6 Seja ]a, b[ um intervalo nao limitado. Entao existe uma constante positiva

K tal que

‖f ′‖Lp(a,b) ≤ K‖f‖12

Lp(a,b)‖f ′′‖12

Lp(a,b), ∀f ∈ W 2,p(a, b)

Demonstracao.- Do teorema (1.3) segue que para todo ε > 0

∫ b

a

|f ′(t)|p dt ≤ Kε

∫ b

a

|f ′′(t)|p dt+Kε−1

∫ b

a

|f(t)|p dt

tomando ε =(

‖f‖Lp(a,b)

‖f ′′‖Lp(a,b)

)p/2

, segue o resultado.

Observacao 1.6 Denote-se por |||f |||p2,p = ‖f‖pLp(a,b) + ‖f ′′‖p

Lp(a,b). Do teorema (1.3) obtem-

se

‖f ′‖Lp(a,b) ≤ Kε|||f |||2,p +1

ε‖f‖Lp(a,b)

Tomando ε = ε0‖f‖Lp(a,b)

|||f |||2,p, e substituindo na expressao acima tem-se a existencia de uma

constante positiva, tal que

‖f ′‖Lp(a,b) ≤ K|||f |||122,p‖f‖

12

Lp(a,b)

15

Como consequencia do teorema(1.3) tem-se o seguinte resultado.

Corolario 1.7 Suponha f ∈ Lp(a, b) e f (m) ∈ Lp(a, b) entao existe um ε0 > 0 tal que para

todo ε ≤ ε0 se verifica

‖f (j)‖Lp(a,b) ≤ K

εm−j‖f (m)‖Lp(a,b) +

1

εj‖f‖Lp(a,b)

Para j = 1, · · · , m. Se b− a = ∞, ε pode ser qualquer numero real.

Demonstracao.- Por densidade pode-se supor f ∈ C∞0 ([a, b]). Do teorema (1.3) tem-se

‖f ′‖pLp(a,b) ≤ K

η‖f ′′‖p

Lp(a,b) +1

η‖f‖Lp(a,b)

, ∀0 ≤ η ≤ ε0. (1.4)

para f ′ ∈ Wm,p(a, b) no lugar de f se tem

‖f ′′‖pLp(a,b) ≤ K

ε‖f ′′′‖p

Lp(a,b) +1

ε‖f ′‖Lp(a,b)

pode-se supor K > 1. Do teorema (1.3) tem-se

‖f ′′‖pLp(a,b) ≤ Kε‖f ′′′‖p

Lp(a,b) +K2η

ε‖f ′′‖Lp(a,b) +

K2

ηε‖f‖Lp(a,b)

tomando η = ε2K2 < ε0 tem-se

1

2‖f ′′‖p

Lp(a,b) ≤ K1

ε‖f ′′′‖p

Lp(a,b) +1

ε2‖f‖Lp(a,b)

sustituindo a desigualdade na expressao (1.4) segue que

‖f ′‖pLp(a,b) ≤ K2

ε2‖f ′′′‖p

Lp(a,b) +1

ε‖f‖Lp(a,b)

de onde e valida a afirmacao feita para m = 3. Usando inducao sobre m segue o resultado.

16

Observacao 1.7 O corolario anterior estima as derivadas intermediarias em termos da

funcao e da ultima derivada. Isto e equivalente a afirmar que se u ∈ Lp(a, b) e dm

dtmu ∈ Lp(a, b)

entao tem-se dj

dtju ∈ Lp(a, b) para j = 1, · · · , m.

Observacao 1.8 O teorema das derivadas intermediarias pode-se apresentar na forma de

interpolacao como sendo

‖f (j)‖Lp(a,b) ≤ C‖f‖j/mLp(a,b)‖f‖

1−j/mW m,p(a,b)

ou em termos das normas dos espacos Wm,p(a, b)

‖f‖W j,p(a,b) ≤ C‖f‖j/mLp(a,b)‖f‖

1−j/mW m,p(a,b)

Pode-se mostrar tambem que estas desigualdades sao tambem validas para espacos fra-

cionarios, isto e quando 0 ≤ j ≤ m sao numeros reais.

1.3 Semigrupos

Nesta secao se apresentarao resultados que serao de utilidade para mostrar a existencia e

unicidade nos casos dissipativo e nao dissipativo das equacoes a ser tratadas nas proximas

secoes. Nesta secao X denotara um espaco de Banach.

Definicao 1.1 Uma famılia de operadores S(t) : X −→ X, t ∈ R+ satisfazendo

• S(0) = I

• S(s) S(t) = S(s+ t)

e chamado de semigrupo.

Observacao 1.9 O operador S(t) denota o semigrupo gerado pelo operador limitado A. E

simples verificar que derivadas de ordem k deste operador verificam

d2

dt2S(t) = A2(St),

dk

dtkS(t) = AkS(t)

Portanto, para calcular a derivada de ordem k do operador S, basta compor o semigrupo T

com o operador A k-vezes. Logo pode-se escrever

dk

dtkS(t) = [AS(

t

k)]k, ou

dk

dtkS(t) = [

d

dtS(t

k)]k

17

Observacao 1.10 Outra propriedade importante e que se A e um operador limitado, entao

o semigrupo S(t) gerado por A e uma funcao que pode ser extendida analıticamente a todo o

plano complexo. Isto e S pode ser considerado uma funcao analıtica. Logo o semigrupo ge-

rado por um operador limitado e uma funcao entera. Posteriormente se vera que o recıproco

desta propriedade e tambem verdadera.

Teorema 1.4 Um semigrupo eAt e uniformemente contınuo se, e somente se A e limitado.

Demonstracao.- Ver [27], pag 50.

Para tratar de semigrupos gerados por operadores nao limitados se introduz a seguinte

definicao.

Definicao 1.2 Um semigrupo S(t) e fortemente contınuo, ou e de classe C0, se

limt→0

S(t)x = x, em X.

E simples verificar que todo semigrupo uniformemente limitado e de classe C0. O recıproco

nao e verdadeiro. Isto e, quando o semigrupo e gerado por um operador nao limitado, o

limite depende de x.

Definicao 1.3 Um semigrupo S(t) e limitado, se existe M ≥ 1, tal que

‖S(t)‖ ≤M.

Se M = 1, diz-se que S(t) e um semigrupo de contracoes

Definicao 1.4 O operador A e gerador infinitesimal de um semigrupo S, se

D(A) = x ∈ X; limt→0

S(t)x− x

t, existe em X

e para cada x ∈ D(A) temos

Ax = limt→0

S(t)x− x

t=

d

dtS(t)x

∣∣∣∣t=0

.

18

Da definicao anterior pode-se reescrever o dominio do operador como sendo

D(A) = w ∈ X; Aw ∈ X.

Em resumo, dado um semigrupo e simples encontrar seu gerador, e suficiente apenas avaliar

o limite da definicao do gerador infinitesimal. O problema inverso e mais complexo e se

resolve usando o teorema de Hille-Yosida, que se estudara mais adiante.

Observacao 1.11 Denote-se por S(t) o semigrupo gerado pelo operador A. E simples ver-

ificar que derivadas de ordem k deste operador verificam

d2

dt2S(t)x = A2S(t)x,

dk

dtkS(t)x = AkS(t)x,

para x ∈ D(Ak). Portanto, para calcular a derivada de ordem k do operador S, basta compor

o semigrupo S com o operador A k-vezes. Desta forma podemos escrever

dk

dtkS(t)x = [AS(

t

k)]kx, ou

dk

dtkS(t)x = [

d

dtS(t

k)]kx.

Definicao 1.5 A equacao

Ut = AU, U(0) = U0

e autonoma, quando A e um operador independente de t.

Teorema 1.5 Seja X um espaco de Banach e F : X −→ X uma contracao. Entao F possui

um ponto fixo, isto e, existe um unico ponto x ∈ X, tal que F (x) = x.

Demonstracao.- Ver [27] nas referencias.

1.3.1 Teorema de Hille-Yosida

Antes de enunciar o teorema de Hille-Yosida, considere-se as seguintes definicoes

Definicao 1.1 Seja A um operador definido sobre um espaco de Banach X. Denota-se por

ρ(A), o conjunto resolvente de A definido como

ρ(A) = λ ∈ C; (λI − A)−1 ∈ L(X);

19

e denota-se o espectro de A por σ(A), definido como o complemento de ρ(A) respeito a A,

isto e, σ(A) = C \ ρ(A).

Observacao 1.1 Todo operador A limitado ou nao, comuta com seu operador resolvente.

De fato

A(λI − A)−1 = −(λI − A)(λI − A)−1 + λ(λI − A)−1

= −(λI − A)−1(λI − A) + (λI − A)−1λI

= [(λI − A)−1][−(λI − A) + λI]

= (λI − A)−1A.

Definicao 1.2 Seja H um espaco de Hilbert. Um operador A e dissipativo se

Re (AU,U)H ≤ 0, ∀ U ∈ D(A)

Teorema 1.1 Seja H um espaco de Hilbert e S(t) o semigrupo gerado por A. Entao, S e

um semigrupo de contracoes se, e somente se A e dissipativo.

Demonstracao.- Suponha que S(t) e um semigrupo de contracoes, entao ‖S(t)‖ ≤ 1, e

ainda

(S(h)w − w,w)H = (S(h)w,w)H − (w,w)H ≤ ‖w‖2H − ‖w‖2

H = 0

Dividindo por h e tomando limite h→ 0 para w ∈ D(A) tem-se

(Aw,w)H ≤ 0.

Recıprocamente, para w ∈ D(A) tem-se que a funcao U(t) = S(t)w verifica

Ut = AU, U(0) = w

aplicando produto interno com U na equacao acima, obtem-se

(Ut, U)H = (AU,U)H ≤ 0 ⇒ d

dt‖U‖2

H ≤ 0.

de onde segue

‖U(t)‖H ≤ ‖w‖H.

20

lembrando a definicao de U , tem-se

‖S(t)w‖H ≤ ‖w‖H ⇒ ‖S(t)‖H ≤ 1.

Portanto, o semigrupo e de contracoes.

A seguir se estabelece uma condicao necessaria e suficiente para que um operador nao

limitado A seja o gerador infinitesimal de um semigrupo C0 de contracoes.

Teorema 1.2 (Hille-Yosida) Um operador A linear, nao limitado e um gerador infinite-

simal de um semigrupo C0 de contracoes se, e somente se

(i) A e fechado e D(A) = X.

(ii) O conjunto resolvente ρ(A) de A contem R+ e para todo λ > 0, e valido

‖(λI − A)−1‖ ≤ 1

λ

Demonstracao.- Ver [27], pag 63.

Seja X um espaco de Banach e seja X∗ seu dual. Denota-se o valor de x∗ ∈ X∗ calculado

em x ∈ X por 〈x∗, x〉 ou 〈x, x∗〉. Para todo x ∈ X define-se o conjunto F (x) ⊂ X∗ como

sendo

F (x) :=x∗ : x∗ ∈ X∗ e 〈x∗, x〉 = ‖x‖2 = ‖x∗‖2

. (1.5)

Do teorema de Hahn-Banach segue que F (x) 6= ∅ para todo x ∈ X.

Corolario 1.1 Seja A um operador fechado densamente definido em X. Se A e A∗ sao

dissipativos, entao A e o gerador infinitesimal de um semigrupo de contracoes em X.

Demonstracao.- Ver [27], pag 87.

Teorema 1.3 (Teorema de Lummer Phillips) Seja A um operador linear com domınio

denso em X. Entao,

21

(i) Se A e dissipativo e existe λ0 > 0 tal que Im (λ0I − A) = X, entao A e o gerador

infinitesimal de um semigrupo C0 de contracoes.

(ii) Se A e o gerador infinitesimal de um semigrupo C0 de contracoes sobre X, entao

Im (λI − A) = X para todo λ > 0 e A e dissipativo.

Demonstracao.- Ver [27], pag 86

Lema 1.1 Seja S : X −→ X um operador linear e contınuo com inversa contınua. Seja

B ∈ L(B) tal que

‖B‖ < 1

‖S−1‖entao S +B e linear contınuo e inversıvel.

Demonstracao.- Ver [27], pag 87.

Teorema 1.4 Seja X um espaco de Banach e seja A o gerador infinitesimal de um semi-

grupo C0 S(t) = eAt de X, satisfazendo ||S(t)|| ≤ M eω t. Se B e um operador linear limi-

tado de X, entao A + B e o gerador infinitesimal de um semigrupo C0 S(t), satisfazendo

||S(t)|| ≤M e(ω+M ||B||) t.

Demonstracao.- Ver [36] teorema 1.1, pagina 76.

Teorema 1.5 Seja A um operador linear (nao limitado), dissipativo e com dominio denso

em X. Se 0 ∈ %(A), entao A e o gerador infinitesimal de um semigrupo C0 de contracoes.

Demonstracao.- Ver [27], pag. 88.

Lema 1.2 Seja S um operador de X, entao ρ(S) e um conjunto aberto e portanto o espectro

de S, σ(S) e um conjunto fechado em C.

Lema 1.3 Suponha S um operador contınuo entao o espectro de S e um conjunto fechado

e limitado, isto e, um conjunto compacto. Mais precisamente

σ(S) ⊂ B‖S‖(0) = z ∈ C; ‖z‖ ≤ ‖S‖.

22

Definicao 1.3 O raio espectral do operador S denotado como Rσ(S) se define como o raio

do menor cırculo complexo, centrado na origem, que contem todos os elementos do espectro

de S.

A seguir se enunciara a formula de Gelfand para o raio espectral.

Lema 1.4 Seja S um operador linear e contınuo, o raio espectral de S, Rσ(S), e definido

como

Rσ(S) = limk→∞

‖Sk‖1/k.

1.3.2 Tipo de um semigrupo e Estabilidade

Nesta secao se caraterizara o comportamento assintotico de um semigrupo C0. Se sabe

que um semigrupo C0 gerado por A satisfaz a seguinte desigualdade

‖eAt‖ ≤Meωt, (1.6)

se esta desigualdade e valida entao tambem sera valida

‖eAt‖ ≤ Me(ω+n2)t, ∀ n ∈ Z. (1.7)

Resulta interessante entao encontrar o menor elemento ω ∈ R que verifique (1.6). Com

este proposito se introduz a seguinte definicao.

Definicao 1.4 Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo C0, se diz que ω0(A) e o

tipo do semigrupo gerado por A se

ω0(A) = limt→∞

ln ‖eAt‖t

= inft>0

ln ‖eAt‖t

(1.8)

Lema 1.5 Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo C0 de contracoes. Se ω0(A) = 0

tem-se

‖eAt‖ = 1 (1.9)

23

Lema 1.6 Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo C0, entao o limite superior do

espectro de A e menor ou igual que o tipo do operador eAt, isto e,

ωσ(A) ≤ ω0(A). (1.10)

Teorema 1.6 Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo C0. Entao

ω0(A) = infµ ∈ R; ‖(λI − A)−1)‖ <∞, ∀ Re λ ≥ µ := inf N0 (1.11)

Demonstracao.- Ver [27], pag 117.

Teorema 1.7 Seja S(t) = eAt um semigrupo C0 de contracoes definido num espaco de

Hilbert. Entao S(t) e exponencialmente estavel se, e somente se

ρ(A) ⊇ iβ : β ∈ R ≡ iR e lim|β|→∞

||(iβI −A)−1|| <∞ (1.12)

onde ρ(A) e o conjunto resolvente de A.

Demonstracao.- Ver [27], pag 120.

Quando o semigrupo nao e de contracoes, tem-se a seguinte caracterizacao

Teorema 1.8 Seja S(t) = eAt um semigrupo C0 definido num espaco de Hilbert. Entao S(t)

e exponencialmente estavel se, e somente se

ρ(A) ⊇ λ : Re λ ≥ 0 e ||(λI −A)−1|| < M (1.13)

para todo Reλ ≥ 0, onde ρ(A) e o conjunto resolvente de A.

Demonstracao.- Ver [24], pag 9.

Teorema 1.9 (Teorema de Liu-Zheng) Seja A seja o gerador infinitesimal de um semi-

grupo C0 uniformemente limitado tal que iR ⊂ %(A). Suponha

1

λl‖(iλI − A)−1‖ ≤ C

Entao para todo k ∈ IN existe uma constante Ck satisfazendo

‖T (t)w‖ ≤ Ck

(ln(t)

t

)k/l

ln(t)‖w‖D(Ak).

Demonstracao.- Ver [24], pag 19.

24

Capıtulo 2

O Modelo de Timoshenko para Vigas

A equacao da Viga de Timoshenko possui as seguintes variaveis

• φ denota uma deformacao transversal

• ψ denota o angulo de rotacao da secao transversal.

Estes dois elementos definen a deformacao da viga de Timoshenko modelada pelas seguintes

equacoes, nos diferentes modelos que se apresentaram a seguir

2.1 Modelo Conservativo

Considere-se

ρ1 ϕtt − κ (ϕx − ψ)x = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.1)

ρ2 ψtt − b ψxx − κ (ϕx − ψ) = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.2)

aqui todas as constantes ρ1, ρ2, κ, b sao positivas. Este sistema e chamado de sistema conser-

vativo porque nao possui nenhuma dissipacao. As condicoes de contorno que se consideram

sao

ϕ(0, t) = ϕ(l, t) = ψx(0, t) = ψx(l, t) = 0, t ≥ 0, (2.3)

25

com as seguientes condicoes iniciais

ϕ( . , 0) = ϕ0, ϕt( . , 0) = ϕ1, ψ( . , 0) = ψ0, ψt( . , 0) = ψ1 em (0, l). (2.4)

O interesse principal no decorrer deste trabalho e estudar as propriedades assintoticas da

solucao do sistema de Timoshenko. Se menciona alguns resultados relativos ao sistema de

Timoshenko com dissipacao. Lembre-se que a energia associada ao sistema de Timoshenko

e definida por

E(t) =1

2

∫ l

0

(ρ1 |φt|2 + ρ2 |ψt|2 + κ |φx − ψ|2 + b |ψx|2) dx

No caso anterior o sistema e conservativo porque

d

dtE(t) = 0.

Isto e a energıa se conserva sempre

E(t) = E(0).

2.2 Modelo Dissipativo

Considerem-se os modelos com dissipacao atuante apenas na segunda equacao, tal como

ρ1 ϕtt − κ (ϕx − ψ)x = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.5)

ρ2 ψtt − b ψxx − κ (ϕx − ψ) + γ ψt = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.6)

com γ > 0. Neste caso o modelo e dissipativo e tem-se que

d

dtE(t) = − γ

∫ l

0

|ψt|2 dx.

Soufyane [40] provou que o sistema e exponencialmente estavel se e somente se

ρ1

κ=ρ2

b(2.7)

No caso em que nao exista decaimento exponencial foi provado por Rivera e Racke [29] que o

sistema e polinomialmente estavel. O metodo que eles usaram para mostrar isto e o chamado

metodo da energıa.

26

2.3 Modelo nao Dissipativo

O principal resultado a mostrar e que o sistema de Timoshenko com damping indefinido,

isto e quando a(x) muda de sinal, decai polinomialmente.

Considere-se o seguinte sistema

ρ1 ϕtt − κ (ϕx − ψ)x = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.8)

ρ2 ψtt − b ψxx − κ (ϕx − ψ) + a(x)ψt = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.9)

aqui a energıa e dada pord

dtE(t) = −

∫ l

0

a(x) |ψt| 2 dx.

Como a(x) pode mudar de sinal, nao sabemos se a energıa e crescente ou decrecente. Por

este motivo chamamos a este damping de indefinido.

No caso em que as velocidades de propagacao sejam iguais Racke e Rivera [31]; mostraram

que existe decaimento exponencial. Porem nada se conhece no caso em que as velocidades

de propagacao sejam diferentes. Este trabalho consiste em mostrar que neste caso existe

decaimento polinomial.

2.3.1 As Hipoteses

Considere-se as seguintes hipoteses

• γ = 1l

∫ l

0a(s) ds positivo.

•∫ l

0| a(s) − a| 2 ds < ε2 para algum ε suf. pequeno. Isto e, a diferenca de a(x) e sua

media a e pequena em L2(0, l).

27

2.3.2 O metodo

A ideia principal consiste em mostrar, usando as tecnicas espectrais que o sistema dissi-

pativo

ρ1 ϕtt − κ (ϕx − ψ)x = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.10)

ρ2 ψtt − b ψxx − κ (ϕx − ψ) + γ ψt = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.11)

decai exponencialmente. Isto e se mostrara que o resolvente satisfaz uma identidade da

forma

‖(i β I − A)−1F‖ ≤ β2‖F‖

que segundo o teorema de Liu- Zheng, exposto no capıtulo anterior, implica o decaimento

exponencial. Se mostrara usando uma tecnica de ponto fixo, que esta identidade se preserva

quando a(x) satisfaz as hipoteses anteriormente mencionadas.

Desta forma se mostrara o decaimento polinomial para o seguinte sistema com damping

indefinido

ρ1 ϕtt − κ (ϕx − ψ)x = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.12)

ρ2 ψtt − b ψxx − κ (ϕx − ψ) + a(x)ψt = 0 em (0, l) × (0, ∞), (2.13)

2.4 Notacoes e formulacao de semigrupos

Para dar uma formulacao precissa usando semigrupos, se introduzira o espaco de fase Hcomo sendo

H = H10 (0, l) × L2(0, l) ×H1

∗ (0, l) × L2∗(0, l), (2.14)

com

L2∗(0, l) :=

v ∈ L2(0, l) :

∫ l

0

v dx = 0

, (2.15)

H1∗ (0, l) :=

v ∈ H1(0, l) :

∫ L

0

v dx = 0

, (2.16)

28

e munido com norma

||U ||2H =

∫ l

0

(ρ1 |φ1|2 + ρ2 |ψ1|2 + κ |φx − ψ|2 + b |ψx|2) dx

= ρ1 ||φ1||2L2(0, l) + ρ2 ||ψ1||2L2(0, l) + κ ||ϕx − ψ||2L2(0, l) + b ||ψx||2L2(0, l). (2.17)

onde U = (φ, φ1, ψ, ψ1)′ ∈ H, define um espaco de Hilbert.

Agora se apresenta uma formulacao de semigrupos a qual e necessaria para as proximas

secoes. Seja U = (φ, φt, ψ, ψt)′, entao U formalmente satisfaz

Ut = AU, U(0) = U0

onde U0 = (φ0, φ10, ψ0, ψ

10)

′e A e dado por

A =

0 I(·) 0 0

κρ1∂2

x(·) 0 − κρ1∂x(·) 0

0 0 0 I(·)

κρ2∂x(·) 0

(− κ

ρ2I + b

ρ2∂2

x

)(·) − γ

ρ2I(·)

(2.18)

com dominio

D(A) =U = (φ, φ1, ψ, ψ1)

′ ∈ H : φ ∈ H2(0, l), φ1 ∈ H10 (0, l),

ψ ∈ H2(0, l), ψx ∈ H10 (0, l), ψ1 ∈ H1(0, l)

.

Nao e dificil mostrar que A e o gerador de um semigrupo C0 de contracoes S(t) = etA sobre

H.

Teorema 2.1 O operador A e o gerador infinitesimal de um semigrupo C0 de contracoes.

Demonstracao.- Para mostrar isto e suficiente provar que A e dissipativo, com dominio

denso e 0 ∈ ρ(A). De fato, apos um simples calculo obtem-se que

Re(AU, U)H = − γ

∫ l

0

|ψ1|2 dx ≤ 0

Logo A e dissipativo. E simples verificar que o domınio D(A) e denso em H. Finalmente

se mostrara que 0 ∈ ρ(A). Para chegar a este resultado se mostrara que existe uma unica

solucao de

−AU = F, in H

29

onde F = (f 1, f 2, f 3, f 4)′. Em termos das componentes se tem

−φ1 = f 1 ∈ H10 (0, l)

− κ (φx − ψ)x = ρ1f2 ∈ L2(0, l)

−ψ1 = f 3 ∈ H1∗ (0, l)

− b ψxx − κ (φx − ψ) + γ ψ1 = ρ2f4 ∈ L2

∗(0, l).

Das equacoes anteriores, a existencia de ψ1 e φ1 e imediata. Assim o problema se reduz a

mostrar a existencia de solucao do seguinte sistema

− κ (φx − ψ)x = ρ1f2 ∈ L2(0, l) (2.19)

− b ψxx − κ (φx − ψ) = ρ2f4 + γ f 3 ∈ L2

∗(0, l). (2.20)

usando o lema de Lax Milgran obtem-se que existe uma unica solucao do sistema men-

cionado acima verificando-se

(φ, ψ) ∈ H10 (0, l) ×H1

∗ (0, l)

usando (2.19) e (2.20) obtem-se

φ ∈ H10 (0, l) ∩H2(0, l) , ψ ∈ H2(0, l) , ψx(l) = ψx(0) = 0

Desta forma A e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0.

O que em particular significa que o sistema (2.10)-(2.11) e bem posto. Isto e,

Teorema 2.2 Considere-se os dados iniciais (φ0, φ1, ψ0, ψ1)′ ∈ H, entao existe uma unica

solucao fraca do sistema (2.10)-(2.11) satisfazendo

(φ, φt, ψ, ψt)′ ∈ C(0, ∞ : H).

Mais ainda se os datos iniciais (φ0, φ1, ψ0, ψ1)′ ∈ D(A), entao existe uma unica solucao

fraca do sistema (2.10)-(2.11) satisfazendo

(φ, φt, ψ, ψt)′ ∈ C1([0, ∞[: H), (φ, φt, ψ, ψt)

′ ∈ C0([0, ∞[: D(A)).

30

No caso nao dissipativo tem-se denotado por

a∞ = sup|a(x)| : x ∈ [0, l]

O operador A esta dado por

A =

0 I(·) 0 0

κρ1∂2

x(·) 0 − κρ1∂x(·) 0

0 0 0 I(·)

κρ2∂x(·) 0

(− κ

ρ2I + b

ρ2∂2

x

)(·) − a(x)

ρ2I(·)

(2.21)

Definimos o operador B como sendo

B =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 − a∞

ρ2I(·)

(2.22)

claramente o operador A dado por

A = A + B

e dissipativo. De fato

Re (AU, U) = Re (AU, U) + Re (BU, U) =

∫ l

0

[a(x) − a∞]|ψ1|2 dx ≤ 0

Usando o mesmo resultado como no caso dissipativo encontra-se neste caso tambem que A e

o gerador infinitesimal de um semigrupo C0. Basta usar resultados de perturbacao contınua

de semigrupos.

31

Capıtulo 3

Falta de estabilidade Exponencial

Nesta secao se mostrara que o sistema de Timoshenko quando fornecido de apenas um

mecanismo dissipativo nao e exponencialmente estavel em geral, apenas, quando as veloci-

dades de propagacao da constante com o deslocamento transversal sao iguais. Porem esta

condicao nunca se verifica na pratica. Portanto desde o ponto de vista fısico, pode-se afirmar

que o sistema de Timoshenko com um unico mecanismo dessipativo nunca e exponencial-

mente estavel.

O problema da falta de estabilidade exponencial e um problema bastante tecnico e so-

mente foi mostrado com rigor matematico no caso especial em que o sistema satisfaz a

condicao de Dirichlet e Neumann. No caso de outras condicoes como Dirichlet - Dirichlet

ou Neumann - Neumann o problema esta em aberto. Neste capıtulo se mostrara a falta de

decaimento para o caso especial de condicoes de contorno do tipo Dirichlet - Neumann.

3.1 Falta de estabilidade exponencial

Caso: Dirichlet - Neumann

Nesta secao se mostrara a falta de estabilidade exponencial da solucao do sistema de

Timoshenko. Um ponto importante aqui e o significado desta falta de estabilidade exponen-

cial. A falta de estabilidade quer dizer que existem dados iniciais para os quais a solucao do

correspondente sistema de Timoshenko nao decai exponencialmente. Porem podem existir

32

dados iniciais para os quais o sistema pode decair exponencialmente. Desta forma pode-se

verificar em geral que quando um sistema dissipativo nao e exponencialmente estavel entao

o tipo do semigrupo e necessariamente nulo.

O resultado que se mostrara neste capıtulo esta provado nas referencias [46] ou [28] que

por comodidade para o leitor e reproduzida de uma forma simples a seguir.

Teorema 3.1 Suponhaρ1

κ6= ρ2

b

entao o sistema de Timoshenko nao e exponencialmente estavel.

Demonstracao.- Para verificar a falta de estabilidade e suficiente mostrar que existe

uma sequencia de numeros reais (λn) in R tal que

limn→∞

|λn| = ∞

e existe tambem uma sequencia (Vn)n ⊂ D(A) de elementos do dominio de A e uma sequencia

limitada (Fn)n ⊂ H tal que

(i λn −A)Vn = Fn

e que verifique

limn→∞

‖Vn‖H = ∞.

Escolhendo os valores de F ≡ Fn da seguinte forma

F = (0, f 2, 0, f 4)′

,

onde

f 2(x) = sin(n π x

l

), f 4(x) = cos

(n π xl

).

33

Entao

‖Fn‖2H = l

A funcao V = (φ, φ1, ψ, ψ1)′, solucao da equacao resolvente em termos de suas componentes

e dada por

i λ φ− φ1 = 0, (3.1)

i λ φ1 − κ (φxx − ψx) = f 2, (3.2)

i λ ψ − ψ1 = 0, (3.3)

i λ ψ1 − b ψ3xx + κ (φx − ψ) + γ ψ1 = f 4. (3.4)

eliminando φ1, ψ1 obtem-se um sistema para φ, ψ dado por

−ρ1 λ2 φ− κφxx + κψx = f 2, (3.5)

−ρ2 λ2 ψ − b ψxx + κ (φx − ψ) + i γ λ ψ = f 4. (3.6)

O ponto central onde se usa as condicoes de contorno e que pode-se supor que a solucao

do sistema acima pode ser dado como

φ(x) = A sin

(j x π

l

), ψ(x) = B cos

(j x π

l

)(3.7)

Desta forma o problema de encontrar uma solucao para o sistema (3.5), (3.6) se reduz a

resolver um sistema de equacoes lineares em A, B que se determinaram a seguir. Substituindo

as expressoes (3.7) em (3.5) e (3.6), encontra-se que A e B devem satisfazer

34

(ρ1 λ

2 − κj2 π2

l2

)A− κ

j π

lB = 1, (3.8)

κj π

lA+

(ρ2 λ

2 − i γ λ− bj2 π2

l2− κ

)B = 1. (3.9)

Lembre-se que λ e um numero real qualquer, pudendo escolherse uma sequencia de elementos

λj que simplifique o problema. Como por exemplo

λ ≡ λj =

√κ j π√ρ1 l

:= α0 j

logo, conclui-se de (3.8)

B ≡ Bj =l

κ j π:=

α1

j(3.10)

obtem-se logo da equacao (3.9) que A e dada por

A = − 1

κ l

(ρ2

ρ1− b

κ

)+

i γ√κ3 ρ1 j π

+l

j2 π2 κ+

l

κ j π,

:= α2 +α3

ji+

α4

j+α5

j2. (3.11)

onde os elementos αi sao numeros reais nao nulos que nao dependem de j ∈ IN. Entao tem-se

encontrado a solucao do sistema espectral

φ(x) =

(α2 +

α3

ji +

α4

j+α5

j2

)sin

(j π x

l

),

φ1(x) = α0

(α2 j + α3 i+ α4 +

α5

j

)sin

(j π x

l

),

ψ(x) =α1

jcos

(j π x

l

),

ψ1(x) = α0 α1 cos

(j π x

l

).

35

Portanto

∫ l

0

|φ1|2 dx =l

2

∣∣∣∣α0

(α2 j + α3 i+ α4 +

α5

j

)∣∣∣∣2

=l

2α2

0

([α2 j + α4 +

α5

j

]2

+ α23

)

=l

2α2

0

(α2

2 j2 + 2α2 α4 j + 2α2 α5 +

[α4 +

α5

j

]2

+ α23

)

≥ l

2α2

0

(1

2α2

2 j2 − 8α2

4 + 2α2 α5 +

[α4 +

α5

j

]2

+ α23

)

Finalmente conclui-se

limλ→∞

‖Vn‖H ≥ limλ→∞

∫ l

0

|φ1|2 dx = ∞.

O que completa a prova.

Observacao 3.1 Mostrar que um sistema nao possui decaimento exponencial quer dizer,

que existem dados iniciais para os quais a solucao pode ser arbitrariamente lenta. Mas

tambem podem existir outros dados iniciais para os quais exista decaimento exponencial.

3.2 Falta de Estabilidade: Caso Dirichlet - Dirichlet

Neste caso o problema esta em aberto. A dificuldade esta no fato em que nao e possıvel

encontrar solucoes exatas que nos permitam verificar as condicoes do teorema de Pruss.

Uma posibilidade para mostrar a falta de estabilidade neste caso e tentar estimar a solucao,

a partir do proprio sistema espectral, porem esto nao parece uma tarefa simples, porque as

estimatimas devem ser obtidas para uma sequencia de numeros reais λj → ∞. Ate a presente

data nao se conhecem resultados sob Falta de estabilidade exponencial para condicoes de

contorno Dirichlet - Dirichlet.

36

Capıtulo 4

Taxas Otimas de Decaimento

Neste capıtulo se mostram dois resultados que vem a ser a contribuicao original do presente

trabalho. Em primeiro lugar se mostra que a taxa de decaimento da energia associada ao

sistema de Timoshenko (2.10)-(2.11) e da forma

ln3/2(t)/√t quando t→ ∞.

Em segundo lugar, se mostra que esta taxa e otima quando o sistema de Timoshenko possui

um unico mecanismo dissipativo.

Considere-se o sistema espectral associado ao modelo de Timoshenko

iηφ− Φ = f 1, (4.1)

iρ1ηΦ − k(φxx − ψx) = ρ1f2, (4.2)

iηψ − Ψ = f 3, (4.3)

iρ2ηΨ − bψxx − k(φx − ψ) + γΨ = ρ2f4. (4.4)

onde η e um numero real. Eliminando Φ,Ψ obtem-se o seguinte sistema para φ e ψ

−ρ1η2φ− kφxx + kψx = ρ1f

2 + iρ1ηf1, (4.5)

−ρ2η2ψ − bψxx − k(φx − ψ) + iηγψ = ρ2f

4 + iρ2ηf3. (4.6)

37

Lema 4.1 Com as notacoes usadas anteriormente tem-se que para toda F = (f1, f2, f3, f4)′,

a solucao U = (φ,Φ, ψ,Ψ)′do sistema espectral dado em (4.1), (4.2), (4.3) e (4.4) verifica

γ

∫ π

0

|Ψ|2 dx = Re (F, U)H.

Demonstracao.- Lembrando que operador A e dissipativo e verifica

Re (AU,U)H = −γ∫ π

0

|Ψ|2 dx.

da equacao espectral se tem

iηU − AU = F ⇒ iη‖U‖2 − (AU,U)H = (F, U)H

tomando parte real e usando a relacao acima se segue o resultado.

Lema 4.2 Seja α > 0. Suponha

∫ π

0

(|Ψ|2 + |φ|2) dx ≤ C|η|α‖F‖2.

Entao se verifica

∫ π

0

|ψx|2 dx ≤ C|η|α‖F‖2,

∫ π

0

|Φ|2 + |φx|2 dx ≤ C|η|2+α‖F‖2

para todo F = (f1, f2, f3, f4)′ ∈ H.

Demonstracao.- Note que da hipotese e a equacao (4.3) segue que

∫ π

0

|ψ|2 dx ≤ C|η|α−2‖F‖2, ∀|η| ≥ 1.

Multiplicando a equacao (4.4) por ψ encontra-se

iη

∫ π

0

Ψψ dx+ b

∫ π

0

|ψx|2 dx + k

∫ π

0

|ψ|2 dx− k

∫ π

0

φψx + γ

∫ π

0

Ψψ dx =

∫ π

0

ρ2f4ψ dx

usando (4.3) e a desigualdade de Poincare, existe uma constante positiva tal que

∫ π

0

|ψx|2 dx ≤ C

∫ π

0

(|φ|2 + |Ψ|2) dx+ c1

∫ π

0

|f 3|2 dx+ c2

∫ π

0

|f 4|2 dx,

isto e ∫ π

0

|ψx|2 dx ≤ C|η|α‖F‖2.

38

Finalmente de (4.1) segue

∫ π

0

|Φ|2 dx ≤ 2|η|2∫ π

0

|φ|2 dx +

∫ l

0

|f1|2 dx.

logo ∫ π

0

|Φ|2 dx ≤ C|η|α+2‖F‖2

usando (4.2) encontra-se finalmente que

∫ π

0

|φx|2 dx ≤ C|η|α+2‖F‖2

de onde segue a demonstracao.

4.1 Metodo de Fourier

Em virtude dos resultados de existencia e unicidade o sistema acima esta bem posto.

Usando series de Fourier pode-se expressar a solucao deste sistema atraves das seguintes

series

φ(x) =2

l

∞∑

j=1

Aj sinjπx

l

ψ(x) =2

l

∞∑

j=1

Bj cosjπx

l

onde tanto Ai como Bi sao funcoes de η. Esta representacao e possıvel pelas condicoes de

contorno que foram selecionadas. Note que o sistema de senos e cosenos e ortogonal e satisfaz

∫ l

0

φ(x) sinjπx

ldx = Aj

∫ l

0

ψ(x) cosjπx

ldx = Bj

Por simplicidade e sem perda de generalidade suponha l = π. Multiplicando o sistema

(4.5)–(4.6) por sin(jx) e cos(jx) respectivamente encontra-se

39

(−ρ1η2 + kj2)Aj − kjBj = f 2

j + iρ1ηf1j , (4.7)

−kjAj + (−ρ2η2 + bj2 + iγη + k)Bj = f 4

j + iρ2ηf3j . (4.8)

onde

f 1j =

2

π

∫ π

0

f 1(x) sin(jx) dx; f 2j =

2

π

∫ π

0

f 2(x) sin(jx) dx;

f 3j =

2

π

∫ π

0

f 3(x) cos(jx) dx; f 4j =

2

π

∫ π

0

f 4(x) cos(jx) dx;

resolvendo este sistema se tem

Aj =(f 2

j + iρ1ηf1j )(−ρ2η

2 + bj2 + iγη + k) + (f 4j + iρ2ηf

3j )kj

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2;

de forma analoga

Bj =(f 4

j + iρ2ηf3j )(−ρ1η

2 + kj2) + (f 2j + iρ1ηf

1j )kj

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2.

O proximo objetivo e estimar os coeficientes Aj e Bj. Denote-se por D a seguinte ex-

pressao

D(η, j) = (−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η

2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

= (−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η

2 + bj2 + k) − k2j2 + iγη(−ρ1η2 + kj2)

logo tomando norma complexa,

P (η, j) := |D|2 = [(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η

2 + bj2 + k) − k2j2]2 + γ2η2(−ρ1η2 + kj2)2

esta expressao e um polinomio positivo de quarto grau em η com um parametro discreto j

tambem de quarto grau.

40

4.1.1 Estimativas uniformes em η

O proposito desta secao e estimar uniformemente os coeficientes de Fourier em termos de

η isto fornecera as estimativas para o decaimento polinomial que se procura. Outro ponto

importante nesta secao e que o resolvente e um operador contınuo com relacao a η, portanto,

as estimativas que interessam e para valores de η grandes. O seguinte lema e importante no

que segue.

Lema 4.1 Com as notacoes acima existe uma constante positiva C verificando

P (η, j) ≥ Cj2

Demonstracao.- Lembre-se o seguinte

P (η, j) := [(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η

2 + bj2 + k) − k2j2]2 + γ2η2(−ρ1η2 + kj2)2

:= P1(η) + P2(η) .

isto e

P1(η) = [(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η

2 + bj2 + k) − k2j2]2

P2(η) = γ2η2(−ρ1η2 + kj2)2 .

Note que nao existe nenhum ponto que anule ao polinomio P . Logo o ponto η0 que minimiza

P deve minimizar P1 ou P2. Denote-se x = −ρ1η2 + kj2 , logo

η2 = − x

ρ1+kj2

ρ1,

entao P pode ser reescrito como sendo

P (x) =

ρ2

ρ1x2 +

[(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k

]x− k2j2

︸ ︷︷ ︸:=q(x)

2

+ γ2η2x2

Procura-se agora um ponto de mınimo para q. Derivando e igualando a zero,

q′(x) = 2ρ2

ρ1

x +

[(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k

]= 0 ,

41

de onde

x = − ρ1

2ρ2

[(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k

].

Assim o ponto de mınimo de q e dado por

m = − ρ1

4ρ2

[(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k

]2

− k2j2 ,

e o ponto que anula q e dado por

rj =ρ1

ρ2

−

(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k ±

√[(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k

]2

+ 4ρ2

ρ1

k2j2

.

Denotando por

r+j =

ρ1

ρ2

−

(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k +

√[(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k

]2

+ 4ρ2

ρ1

k2j2

.

r−j =ρ1

ρ2

−

(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k −

√[(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k

]2

+ 4ρ2

ρ1

k2j2

.

Note que

r−j ≈ r− := −2ρ1

ρ2

(b− ρ2k

ρ1

)j2 = α0j

2,

para valores grandes de j. Lembrando que x = −ρ1η2 + kj2 segue que neste caso

η2 := η2j = β0j

2 .

Por outro lado

r+j ≈ r+ := 2k2

(b− ρ2k

ρ1

)−1

:= α1 = cte

quando j → ∞. Assim tem-se neste caso tambem temos

η2 = η2j ≈ β1j

2

quando j → ∞.

42

P assume seu mınimo quando x = r+ ou x = r− ou x = 0. Verificando, encontra-se

P (r−j ) ≈ γ2η2r2− = γ2η2α0j

2 = γ2β0η2α0j

4.

P (r+j ) ≈ γ2η2r2

+ = γ2β1α1j2

Logo para j suficientemente grante tem-se

P (η) ≥ cj2 ,

de onde segue a demonstracao.

4.2 Decomposicao da solucao

Para encontrar as estimativas que levem ao decaimento polinomial se decompoe a solucao

do sistema espectral nas seguintes cuatro partes

φ = φ1 + φ2 + φ3 + φ4

Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4

ψ = ψ1 + ψ2 + ψ3 + ψ4

Ψ = Ψ1 + Ψ2 + Ψ3 + Ψ4

onde cada uma das componentes ψi, Ψi, φi, Ψi verifica

iηφi − Φi = δi1f1, (4.9)

iρ1ηΦi − k(φi

xx − ψix) = δi2f2, (4.10)

iηψi − Ψi = δi3f3, (4.11)

iρ2ηΨi − bψi

xx + k(φix − ψi) + γΨi = δi4f4. (4.12)

onde δij e o delta de Kronecker (δij = 1 se i = j, δij = 0 se i 6= j). Eliminando Φi e Ψi das

equacoes acima, encontra-se

−ρ1η2φi − k(φi

xx − ψix) = δi2f2 + ρ1ηδi1f1,

−ρ2η2ψi − bψi

xx + k(φix − ψi) + iγηψi = δi4f4 + ρ2ηδi3f3 .

43

Decompondo atraves de suas series de Fourier tem-se

φi(x) =2

l

∞∑

j=1

Aij sin

jπx

l

ψi(x) =2

l

∞∑

j=1

Bij cos

jπx

l.

da mesma forma que a secao anterior se obtem

A1j =

iρ1ηf1j (−ρ2η

2 + bj2 + iγη + k)

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

A2j =

f 2j (−ρ2η

2 + bj2 + iγη + k)

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

A3j =

iρ2ηf3j kj

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

A4j =

f 4j kj

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

B1j =

−iρ1ηf1j kj

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

B2j =

−f 2j kj

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

B3j =

iρ2ηf3j (−ρ1η

2 + kj2)

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

B4j =

f 4j (−ρ1η

2 + kj2)

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

Denote-se

U i = (Φi, φi,Ψi, ψi)

O seguinte lema e a chave para obter a taxa de decaimento.

44

Lema 4.1 Nas condicoes acima, se verifica a seguinte desigualdade

‖U1‖ ≤ C|η|2‖F 1‖ ,

e mais ainda

∫ π

0

(|Ψ1|2 + |ψ1x|2 + |φ1|2) dx ≤ C|η|2‖F‖2 ,

∫ π

0

(|Φ1|2 + |φ1x|2) dx ≤ C|η|4‖F‖2.

onde F 1 = (f 1, 0, 0, 0).

Demonstracao.- Denote-se

x = (−ρ1η2 + kj2) , y = (−ρ2η

2 + bj2)

da definicao de Aij tem-se

A1j =

iρ1ηf1j (−ρ2η

2 + bj2 + iγη + k)

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

=iρ1ηf

1j (−ρ2η

2 + bj2 − k) − γρ1η2f 1

j

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + k) + k2j2 + iγη(−ρ1η2 + kj2)

=iρ1ηf

1j (y + k) − γρ1η

2f 1j

x(y + k) − k2j2 + iγηx,

multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador obtem-se

A1j =

γρ1η2(y + k)x− γρ1η

2[x(y + k) − k2j2]

[x(y + k) − k2j2]2 + γ2η2x2f 1

j

+ρ1η(y + k)[x(y + k) − k2j2] − γ2ρ1η

3x

[x(y + k) − k2j2]2 + γ2η2x2if 1

j

=γρ1η

2k2j2

[x(y + k) − k2j2]2 + γ2η2x2f 1

j

+ρ1η(y + k)[x(y + k) − k2j2] − γ2ρ1η

3x

[x(y + k) − k2j2]2 + γ2η2x2if 1

j .

Assim, tomando conjugado complexo na expressao anterior, multiplicando por f 1j e us-

ando o Lema 4.1 tem-se que existe uma constante c positiva tal que

45

Re∞∑

j=1

jA1

jjf1j ≤ c|η|2

∞∑

j=1

j2|f 1j |2 ⇒ Re

∫ π

0

φxf1x dx ≤ c‖F 1‖2 .

Por outro lado, lembrando a definicao de P (η, j) temos,

tem-se

B1j =

iρ1ηf1j kj

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

=−ρ1η

2(−ρ1η2 + kj2)f 1

j kj − iρ1ηf1j kj[(−ρ1η

2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 − k) + k2j2]

P (η, j),

de onde segue que

ReB1

jjf1j =

−ρ1η2(−ρ1η

2 + kj2)k|f 1j j|2

P (η, j).

Note que existe uma constante positiva C tal que

∣∣ρ1η2(−ρ1η

2 + kj2)∣∣ ≤ CP (η, j) ,

logo

Re∞∑

j=1

B1

jjf1j ≤ C

∞∑

j=1

|jf 1j |2 ⇒

∣∣∣∣∫ π

0

ψf 1x dx

∣∣∣∣ ≤ C

∫ π

0

|f 1x |2 dx

dai segue que

(U1, F 1)H =

∫ π

0

(φx − ψ)f 1x dx ≤ C|η|2

∫ π

0

|f 1x |2 dx ≤ C|η|2‖F 1‖2 .

do lema 4.1 segue que∫ π

0

|Ψ1|2 dx = (F, U)H =

∫ π

0

(φx − ψ)f 1x dx ≤ C|η|2

∫ π

0

|f 1x |2 dx ≤ C|η|2‖F 1‖2 .

Usando os mesmos argumentos encontramos que∞∑

j=1

|A1jf

1j |2 ≤ c|η|2

∞∑

j=1

j2|f 1j |2 ⇒

∫ π

0

|φ1|2 dx ≤ c|η|2‖F 1‖2 .

Das duas desigualdades obtemos∫ π

0

|Ψ1|2 + |φ1|2 dx ≤ c|η|2‖F 1‖2 .

Usando o Lemma 4.2 segue o resultado.

46

Lema 4.2 Estando nas condicoes acima, se verificam as seguintes desigualdades

‖U i‖ ≤ C|η|3/2‖F i‖

mais ainda,

∫ π

0

(|Ψi|2 + |ψix|2 + |φi|2) dx ≤ C|η|1/2‖F‖2 ,

∫ π

0

(|Φi|2 + |φix|2) dx ≤ C|η|3/2‖F‖2

para i = 2, · · · , 4 .

Demonstracao.- Para mostrar este resultado, se usara a decomposicao anterior e se

provara que a estimativa acima e valida para cada i = 2, 3, 4.

Estimativa de U i

Denotando por

mj :=(−ρ2η

2 + bj2 + iγη + k)

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

Temos que

A1j = iρ1ηmjf

1j ,

Do Lema anterior segue que

Re

∞∑

j=0

j2A1jf

1j = Re η2

∞∑

j=0

imj |jf 1j |2 ≤ cη2

∞∑

j=0

|jf 1j |2.

Lembrando a definicao de A2j

A2j =

f 2j (−ρ2η

2 + bj2 + iγη + k)

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2,

Portanto temos que

A2j = mjf

2j

Como

γ

∫ π

0

|Ψ2|2 dx = Re (U2, F 2)H = Re (Φ2, f 2)H

Lembrando que

47

Re (Φ2, f 2)H = Re

∞∑

j=0

iηA2jf

2j = Re

∞∑

j=0

iηmj|f 2j |2 = |η|Re

∞∑

j=0

imj|f 2j |2 ≤ c|η|

∞∑

j=0

|f 2j |2

De onde segue que

∫ π

0

|Ψ2|2 dx ≤ c|η|‖F 2‖2H.

Analogamente temos que ∫ π

0

|φ2|2 dx ≤ c|η|‖F 2‖2H.

De onde pelo Lema 4.2, segue o resultado para U 2.

Estimemos agora U 4. Do Lema 4.1 temos

γ

∫ π

0

|Ψ4|2 dx = Re (U4, F 4)H =

∫ π

0

Ψ4f 4 dx

Dai segue imediatamente que ∫ π

0

|Ψ4|2 dx ≤ c‖F 4‖2H.

Claramente, temos que ∫ π

0

|φ4|2 dx ≤ c‖F 4‖2H.

De onde pelo Lema 4.2, segue o resultado para U 4.

Finalmente estimemos agora U 3. Fazendo

µj :=(−ρ1η

2 + kj2)

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2

De onde segue que

B4j = µjf

4, B3j = iρ2ηµjf

3,

Usando os mesmos argumentos que aqueles usados na estimativa de Ψ2 encontramos que

∫ π

0

|Ψ3|2 dx ≤ c|η|‖F 3‖2H.

Claramente, temos que ∫ π

0

|φ3|2 dx ≤ c|η|‖F 3‖2H.

48

De onde pelo Lema 4.2, segue o resultado para U 3.

Corolario 4.3 Com as mesmas hipoteses do lema 4.2 existe uma constante positiva tal que

∫ π

0

|Ψ4|2 + |ψ4x|2 dx ≤ c‖F 4‖2

H.

e ainda

‖U4‖2 ≤ C|η|2‖f 4‖2

Para η grande.

Demonstracao.- Consequencia imediata do Lema 4.2.

Finalmente pode-se enunciar o teorema principal deste capıtulo.

Teorema 4.4 O semigrupo associado ao sistema de Timoshenko dado em (2.10) - (2.11)

decai uniformemente na forma

‖S(t)U0‖ ≤ C| ln3/2(t)|√t

‖U0‖D(A)

Demonstracao.- E consequencia imediata do lema 4.2, Lema 4.1 e do teorema de Liu

et al.

Observacao 4.1 Este resultado melhora resultados conhecidos sobre decaimento ja conheci-

dos para o sistema de Timoshenko com uma dissipacao friccional. A otimalidade deste

resultado sera desenvolvida na seguinte seccao.

4.3 Otimalidade da taxa de decaimento

Observacao 4.2 De acordo com o teorema de Liu-Zheng , existe decaimento uniforme quan-

do se obtem a seguinte estimativa

1

λl‖(iλI − A)−1‖ ≤ C , l > 0

49

o qual significa que o correspondente semigrupo satisfaz

‖S(t)U0‖ ≤ C

(ln(t)

t

)1/l

ln(t)‖U0‖D(A).

A taxa de decaimento podera aumentar si os valores de l definidos acima diminuem. No

teorema 4.4 mostra-se que o valor de l para o sistema de Timoshenko e l = 1. A seguir

prova-se que nao e possıvel diminuir este valor na desigualdade acima.

Teorema 4.5 A taxa de decaimento encontrada no teorema 4.4 e otima salvo por um ε > 0.

Demonstracao.- Para isto se mostrara que existe uma sequencia de elementos (ηj)j ⊂ R

com limj→∞

|ηj| = ∞ e (Fj)j ⊂ H limitada tal que a solucao (Uj)j ⊂ D(A), do sistema

(iηj − A)Uj = Fj

verifica

limj→∞

1

β1−ε‖Uj‖H = ∞.

tomando

F = (0, f 2, 0, 0)′,

onde

f 2(x) =sin(jx)√

ρ1

.

Logo

‖Fn‖2H = π

A solucao Uj = (φ,Φ, ψ,Ψ)′ do sistema (iη − A)Uj = F verifica

iηφ− Φ = 0, (4.13)

iρ1ηλΦ − k(φxx + ψx) = ρ1f2, (4.14)

iηψ − Ψ = 0, (4.15)

iρ2ηΨ − bψ3xx − k(φx − ψ) + γΨ = 0. (4.16)

Eliminando Φ,Ψ do sistema anterior obtem-se

−ρ1η2φ− kφxx + kψx = ρ1f

2, (4.17)

−ρ2η2ψ − bψxx − k(φx − ψ) + iγηψ = 0. (4.18)

50

Para isto assuma-se

φ(x) = A sin(jx), ψ(x) = B cos(jx) (4.19)

sustituindo estes valores no sistema (4.17), (4.18) encontra-se um novo sistema algebrico nas

variaveis em A, B da forma

(−ρ1η2 + kj2)A− kjB =

√ρ1 (4.20)

−kjA + (−ρ2η2 + iγη + bj2 + k)B = 0 (4.21)

Aj =(√ρ1)(−ρ2η

2 + bj2 + iγη + k)

(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + iγη + k) − k2j2;

Note que

|Aj|2 = ρ1(−ρ2η

2 + bj2 + k)2 + γ2η2

[(−ρ1η2 + kj2)(−ρ2η2 + bj2 + k) − k2j2]2 + γ2η2(−ρ1η2 + kj2)2

Tomando x := xj = r+j como no Lema 4.1, isto e

r+j =

ρ1

ρ2

−(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k +

√[(b− ρ2k

ρ1

)j2 + k

]2

+ 4ρ2

ρ1k2j2

.

r+j ≈ r+ := 2k2

(b− ρ2k

ρ1

)−1

:= α1 = cte

segue que η = ηj e tal que

−ρ1η2j + kj2 = r+

j , ⇒ ηj =

√k

ρ1j −

r+j

ρ1≈ α0j

Onde α0 e uma constante positiva. Esta escolha de η = ηj nos fornece.

|Aj|2 = ρ1

(−ρ2η2j + bj2 + k)2 + γ2η2

j

γ2η2j (−ρ1η

2j + kj2)2

= ρ1

(−ρ2η2j + bj2 + k)2 + γ2η2

j

γ2η2jx

2j

≈ ρ1

(−ρ2η2j + bj2 + k)2 + γ2η2

j

γ2α1α0j2

≈ (−ρ2kj2 + bρ1j

2 + kρ1)2 + γ2ρ1η

2j

ρ1γ2α1α0j2

51

De onde concluimos que

|Aj|2 ≈ c0j2

para valores grande de j. Supomhamos agora que o decaimento seja da forma t−1/2−ε.

Entonces devemos ter que

η−2+δ‖U‖H ≤ C‖F‖H

Para algum δ > 0 e para todo F ∈ H. Usando a sequencia Uj temos que

‖U‖2H ≥

∫ π

0

|φx|2 dx = j2A2j ≈ c0j

4

Para ηj segue que

η−2+δj ‖U‖2

H ≥≈ c0j2η−2+δ

j = c1jδ → ∞.

Portanto tem-se encontrado uma sequencia de elementos de ηn os quais verificam

limj→∞

1

η2−δ‖(iηjI − A)‖ = ∞

Portanto nao e possıvel melhorar esta taxa de decaimento.

4.4 Problemas em aberto

Taxas de Decaimento

O metodo que fora usado para obter o decaimento com taxa

ln3/2(t)√t

, (4.22)

assim como para obter a taxa otima, obtidos para o sistema de Timoshenko, depende muito

da condicao de contorno do tipo Dirichlet - Neumann. Isto e a condicao de Dirichlet para o

deslocamento transversal e a condicao de Neumann para a cortante. Este metodo nao pode

ser utilizado para outras condicoes de contorno. Portanto, mostrar a otimalidade das taxas

de decaimento para o caso Dirichlet - Dirichlet e um problema em aberto.

52

Falta de Estabilidade Exponencial

A falta de estabilidade exponencial para o sistema de Timoshenko foi mostrado por

diferentes autores quando as velocidades de propagacao sao diferentes isto e

ρ1

ρ2

6= k

b,

para as condicoes de Dirichelt - Neumann. Ate onde conhecemos na literatura, nada existe

provado sobre a falta de estabilidade exponencial no caso das condicoes Dirichlet - Dirichlet.

Acredita-se que estes resultados devem continuar sendo validos, porem o metodo usado na

demonstracao deve ser diferente.

53

Capıtulo 5

Amortecimento indefinido

Neste capıtulo se mostrara que o sistema de Timoshenko com amortecimiento indefinido

e assintoticamente estavel. Em particular tambem se mostrara que a solucao deste sistema

decai com uma taxa de

ln3/2(t)√t

quando t→ ∞.

5.1 Introducao

O sistema de Timoshenko e dado pelas seguintes equacoes

ρ1ϕtt − κ(ϕx − ψ)x = 0 em (0, l) × (0,∞), (5.1)

ρ2ψtt − bψxx − κ(ϕx − ψ) + a(x)ψt = 0 em (0, l) × (0,∞), (5.2)

neste capıtulo se consideraram as seguintes condicoes de contorno

ϕ(0, t) = ϕ(l, t) = ψx(0, t) = ψx(l, t) = 0, t ≥ 0, (5.3)

e as condicoes iniciais

ϕ(·, 0) = ϕ0, ϕt(·, 0) = ϕ1, ψ(·, 0) = ψ0, ψt(·, 0) = ψ1 em (0, l), (5.4)

54

sendo a : (0, l) → R uma funcao limitada que muda de sinal. Exemplos tıpicos desta classe

de funcoes sao ilustrados nos seguintes graficos,

1

-1

ε 1

y=a(x)

y=a(x)

0 l

Este tipo de problema nao pode ser estudado usando o metodo da energia. De fato, a

energia associada ao sistema de Timoshenko vem dada por

E(t) =1

2

∫ l

0

(ρ1 |φt|2 + ρ2 |ψt|2 + κ |φx − ψ|2 + b |ψx|2) dx

multiplicando a equacao (5.1) por φt e a equacao por (5.2) por ψt, integrando sobre (0, l) e

somando os produtos resultantes encontra-se

d

dtE(t) = −

∫ l

0

a(x)|ψt(x)|2 dx ,

como a funcao a(x) muda de sinal nao e possıvel determinar se a derivada da energia e

positiva ou negativa, por este motivo este amortecimento e denominado de amortecimento

indefinido. Para determinar se o sistema e exponencialmente estavel ou nao deve-se utilizar

um outro metodo.

Neste capıtulo se usara o metodo espectral introduzido por Liu, Pruss, Cheng e Gearhart.

Estes autores desenvolveram independentemente estas ideias a inıcios dos anos 80. Se usara

alem do metodo de Ponto Fixo para o decaimento, introduzido em [32] e [30], as propriedades

de invarianca e o seguinte teorema.

As hipoteses a considerar para a funcao a(x) sao as seguintes:

• a ∈ L∞(0, l)

55

•∫ l

0|a(x) − a|2 dx ≤ ε

onde a e uma funcao que pode mudar de sinal, porem deve estar proximo a sua media na

norma de L2. Esta condicao posibilita o caso em que a seja grande na norma de L∞.

Para mostrar o decaimento polinomial no caso de dissipacao indefinida usaremos o

seguinte teorema devido a Liu et al.

Teorema 5.1 Seja S(t) um semigrupo C0 de operadores lineares num espaco de Hilbert com

gerador infinitesimal A. Entao se

1

ηl‖(iβI − A)−1‖ ≤ C , l > 0

se verifica que

‖T (t)U0‖ ≤ C

(ln(t)

t

)1/l

ln(t)‖U0‖D(A).

Demonstracao.- Veja Liu [47], Para um resultado semelhante sugerimos ao leitor intere-

ssado ver os artigos de [33], [38].

Deve-se agora estimar a solucao da equacao resolvente em termos do parametro η

iηU −AU = F (5.5)

onde F ∈ H com F = (f1, f2, f3, f4)′. Daqui deve-se mostrar que iR ⊂ %(A) e que existe

uma constante positiva C > 0 tal que

sup‖f‖

1

ηl‖U‖ = sup

‖f‖

1

βl‖(iβ − A)−1F‖ ≤ C‖F‖

Em termos dos coeficientes, sustituindo φt por φ e ψt por ψ, a equacao resolvente acima

pode ser reescrita como

56

iηφ− Φ = f 1 (5.6)

iηρ1Φ − k(φx − ψ)x = ρ2f2 (5.7)

iηψ − Ψ = f 3 (5.8)

iηρ2Ψ − bψxx − k(ϕx − ψ) + a(x)Ψ = ρ2f4. (5.9)

5.2 Decomposicao das solucoes

O metodo a ser usado nesta secao se baseia na decomposicao das solucoes em duas com-

poentes, para aplicar o metodo de ponto fixo. Para isto denote-se por γ a media da funcao

a, isto e

γ =1

l

∫ l

0

a(x) dx = a

A correspondente equacao espectral e dada por

(λ−A)W = F (5.10)

onde

A =

0 I(·) 0 0

kρ1∂2

x(·) 0 − kρ1∂x(·) 0

0 0 0 I(·)

kρ2∂x(·) 0

(− k

ρ2I + b

ρ2∂2

x

)(·) −a(x)

ρ2I(·)

(5.11)

com domınio

57

D(A) =U = (ϕ, ϕ1, ψ, ψ1)′ ∈ H : ϕ ∈ H2(0, l) , ϕ1 ∈ H1

0 (0, l) ,

ψ ∈ H2(0, l) , ψx ∈ H10 (0, l) , ψ1 ∈ H1(0, l)

.

Foi mostrado no primeiro capıtulo que A e o gerador de um semigrupo C0 de contracoes

S(t) = etA sobre H. Para utilizar argumentos de ponto fixo se decompora a seguir o operador

A como sendo

A = Aγ − (a(x) − γ)B

onde

Aγ =

0 I(·) 0 0

kρ1∂2

x(·) 0 − kρ1∂x(·) 0

0 0 0 I(·)

kρ2∂x(·) 0

(− k

ρ2I + b

ρ2∂2

x

)(·) − γ

ρ2I(·)

, B :=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 −I/ρ2

.

Desta forma para W = [φ φ1 ψ ψ1]′ e F = [F 1 F 2 F 3 F 4]′ a equacao espectral (5.10) pode

ser escrita como

(λ− Aγ) W = F + (A− Aγ)W

= F − (a− a)BW

5.3 O Metodo de Ponto Fixo

A vantagem de reescrever a equacao anterior dessa forma e que o operador Aγ e dissipativo

e pode-se repeter os mesmos passos que aqueles feitos no caso constante. Reescrevendo

a equacao anterior em termos de suas componentes, e sustituindo os valores de ϕ1 e ψ1

encontra-se

ρ1λ2ϕ− k(ϕx − ψ)x + γλϕ = γλϕ+ g1 (5.12)

58

ρ2λ2ψ − bψxx − k(ϕx − ψ) + aλψ = (a− a)λψ + g2 (5.13)

ϕ(0) = ϕ(L) = ψx(0) = ψx(L) = 0 (5.14)

onde

g1 := ρ1F2 + ρ1λF

1, g2 := ρ2F4 + ρ2λF

3 + aF 3. (5.15)

As equacoes (5.12) e (5.13) podem serem reescritas da seguinte forma

ϕxx − (ρ1λ

2 + γλ

k︸ ︷︷ ︸≡β2

)ϕ = ψx +γ

kλϕ− 1

kg1. (5.16)

ψxx − (ρ2λ

2 + aλ+ k

b︸ ︷︷ ︸≡α2

)ψ = −kbϕx +

a− a

bλψ − 1

bg2. (5.17)

Assim introduzimos os operadores Nα(g) e Dβ(g) que denotam a solucao dos problemas de

Neumann e Dirichlet respeitivamente, isto e

wxx − α2w = g, wx(0) = wx(l) = 0

isto e

w = Nα(g).

vxx − β2v = g, v(0) = v(l) = 0

isto e

v = Dβ(g).

Portanto a solucao das equacoes (5.16) e (5.17) podem ser escritas como

ϕ = Dβ

(ψx +

γ

kλϕ− 1

kg1

), (5.18)

59

ψ = Nα

(−kbϕx +

a− a

bλψ − 1

bg2

), (5.19)

onde

Dβ(g) = − 1

α

sinh(αx)

sinh(αl)

l∫

0

sinh(α(l− s))g(s)ds+1

α

x∫

0

sinh(α(x− s))g(s)ds.

Nα(g) = − 1

α

cosh(αx)

sinh(αl)

l∫

0

cosh(α(l − s))g(s)ds+1

α

x∫

0

sinh(α(x− s))g(s)ds.

Usando (5.8) para λ = iη, se tem

Ψ = iηψ − f 3, Φ = iηϕ− f 1

isto e,

Φ = iηDβ

(ψx +

γ

kλϕ− 1

kg1

)− f 1, (5.20)

Ψ = iηNα

(−kbϕx +

a− a

biηψ − 1

bg2

)− f3, (5.21)

Observacao 5.1 Seja g ∈ H10 (0, l). Fazendo integracao por partes temos

Dβ(g) =1

β2

sinh(βx)

sinh(βl)

l∫

0

g(s)d (cosh(β(l − s))) − 1

β2

x∫

0

g(s)d (cosh(β(x− s)))

= −g(x)β2

− 1

β2

sinh(βx)

sinh(βl)

l∫

0

cosh(β(l − s))gx(s)ds+1

β2

x∫

0

cosh(β(x− s)gx(s)ds

:= −g(x)β2

+1

βMβ(gx).

Onde

Mβ(f) = − 1

β

sinh(βx)

sinh(βl)

l∫

0

cosh(β(l − s))f(s)ds+1

β

x∫

0

cosh(β(x− s)f(s)ds

Note que

|βMβ(f)(x)| ≤ c

∫ l

0

|f |2 ds

60

O ponto fixo

A ideia de ponto fixo e definir atraves das identidades acima funcoes H(v, w) e G(v, w)

H(v, w) = iηDβ

(wx +

γ

kiηv − 1

kg1

),

= iηDβ (wx) − η2Dβ

(γkv)− iηDβ

(1

kg1

)

Usando a observacao 5.1 temos que

H(v, w) = iηDβ (wx) +γη2

kβ2v(x) − γη2

kβMβ (vx) − iηDβ

(1

kg1

)

Assumindo que g1 = 0, lembrando as definicoes dos operadores Dβ e Mβ, usando a desigual-

dade de Cauchy-Schwarts, concluimos que existe uma constante c positiva tal que

|H(v, w)| ≤ cγ|v(x)| + c

(∫ l

0

|wx|2 + γ|vx + w|2 dx)1/2

. (5.22)

Onde usamos a desigualdade de Poincare. Por outro lado,

G(v, w) = iηNα

(−kbvx +

a− a

biηw − 1

bg2

),

= −iη kbNα(vx) −

η2(a− a)

bNα((a− a)w) − iη

1

bNα(g2)

desta forma as equacoes (5.12), (5.13) se transformam em

ρ1λ2ϕ− k(ϕx − ψ)x + γiηϕ = γH + g1, (5.23)

ρ2λ2ψ − bψxx − k(ϕx − ψ) + iηaψ = (a− a)G(v, w) + g2. (5.24)

Logo a equacao resolvente pode ser reescrita como

iηφ− Φ = f 1 (5.25)

iηρ1Φ − k(φx − ψ)x + γΦ = γH + f 2 (5.26)

iηψ − Ψ = f 3 (5.27)

iηρ2Ψ − bψxx − k(ϕx − ψ) + aΨ = (a− a)G(v, w) + f 4. (5.28)

61

Desta forma o operador se define como sendo

P : H10 ((0, l)) ×H1((0, l)) −→ H1

0 ((0, l)) ×H1((0, l)),

(v, w) 7→ (ϕ, ψ),

onde cada elemento (v, w) associa a solucao (ϕ, ψ) do sistema de Timoshenko. Desta forma

se P tem um ponto fixo, entao o sistema e equivalente ao problema (5.12)–(5.13).

5.3.1 Estimativas Uniformes para η

Lema 5.1 Seja λ = r + iη com r > − a2, denote-se α como sendo

α = A(η) + iB(η)

definida pelas variaveis A e B. Entao existe C positivo tal que

|A| ≤ C, |B| ≤ C|η|, | sinh(αx)| ≤ C, | cosh(αx)| ≤ C

para todo x ∈ [0, l].

Demonstracao.- Lembrando que

α =

√ρ2λ2 + λa+ k

b.

logo

α =√ρ2r2 + ar + iη(a+ 2rρ2) + k − ρ2η2 = A+ iB

elevando ao quadrado

ρ2r2 + ar + k − ρ2η

2 = A2 − B2

η(a+ 2rρ2) = 2AB

resolvendo este sistema obtem-se

A2 =ρ2r

2 + ar + k

2+

−ρ2η2 +

√ρ2

2η4 + [2ρ2r2 + 2ra+ a2 + k]η2 + (ρ2r2 + ra+ k)2

2

B2 = −ρ2r2 + ar + k

2+ρ2η

2 +√ρ2

2η4 + [2ρ2r2 + 2ra+ a2 + k]η2 + (ρ2r2 + ra+ k)2

2

62

destas expressoes se conclui

|A| ≤ C, |B| ≤ c|η|,

para valores grandes de η. Portanto tem-se

sinh(αx) =1

2

eAx(cos(Bx) + i sin(Bx)) − e−Ax(cos(Bx) − i sin(Bx))

= cos(Bx) sinh(Ax) + i sin(Bx) cosh(Ax).

de onde segue que

| sinh(αx)| =

√cos2(Bx) sinh2(Ax) + sin2(Bx) cosh2(Ax)

=

√sinh2(Ax) + sin2(Bx) ≤ C

De forma analoga se obtem

| cosh(µ0x)| =

√sinh2(Ax) + cos2(Bx).) ≤ C

de onde segue a demonstracao

O operador Nα verifica as seguintes propriedades

Lema 5.2 Seguindo as notacoes usadas anteriormente

|Nα(vx)(s)| ≤c

|λ|‖vx‖L2 , |λ|2|Nα((a− a)w)(s)| ≤ c‖a− a‖L2‖λw‖L2.

De forma analoga temos

|Dβ(vx)(s)| ≤c

|λ|‖vx‖L2 .

Demonstracao.- Lembrando a definicao de N

Nα(g) = − 1

α

cosh(αx)

sinh(αl)

l∫

0

cosh(α(l − s))g(s)ds+1

α

l∫

0

sinh(α(x− s))g(s)ds.

lembrando

α2 =ρ2λ

2 + aλ+ k

b

63

do lema 5.1 encontra-se

| cosh(α(l − s))| ≤ C,

∣∣∣∣cosh(αx)

sinh(αl)

∣∣∣∣ ≤ C,

lembrando que

|α| ≤ c|λ|

se segue o resultado.

Um ponto importante e verificar que o ponto fixo do operador P e de fato a solucao do

sistema (5.12)–(5.13). Para tal, esta propriedade e enunciada em forma do seguinte lema

Lema 5.3 Suponha

γ2 +

∫ l

0

|a(x) − a|2 dx < ε

entao o ponto fixo do operador P definido acima e solucao do sistema (5.12)–(5.13).

Demosntracao.- Denote-se por (ϕ, ψ) o ponto fixo, e seja

ϕ = H(ϕ, ψ) = Dβ

(ψx +

γ

kλϕ− 1

kg1

),

ψ := G(ϕ, ψ) = −kbNα(ϕx) +

λ

bNα((a− a)ψ) − 1

bNα(g2),

lembrando as definicoes de Dβ e Nα, verificamos que ψ satisfaz

ϕxx − β2ϕ = ψx +γ

kλϕ− 1

kg1

ψxx − α2ψ = −kbϕx +

λ

b(a− a)ψ − 1

bg2,

ϕ(0) = ϕ(l) = 0, ψx(0) = ψx(l) = 0,

de onde segue que

λ2ϕ− k(ϕx − ψ) + γλϕ = γλϕ+ f1 (5.29)

ρ2λ2ψ − bψxx − k(ϕx + ψ) + aλψ = λ(a− a)ψ + g2. (5.30)

64

Por outro lado como (ϕ, ψ) e um ponto fixo de P , se tem

λ2ϕ− k(ϕx − ψ) + γλϕ = γλϕ+ f1 (5.31)

ρ2λ2ψ − bψxx − k(ϕx − ψ) + aλψ = λ(a− a)ψ + g2. (5.32)

Conclui-se desta forma que a diferenca Φ := ϕ− ϕ, Ψ := ψ − ψ verifica a seguinte equacao.

Φxx − β2Φ =γλ

bΦ

Ψxx − α2Ψ =λ(a− a)

bΨ.

ou equivalentemente

Φ = Dβ(γλ

bΦ)

Ψ = Nα(λ(a− a)

bΨ).

Usando as estimativas de Dβ, Nα conclui-se que existem constantes positivas c1, c2, verifi-

cando

‖Φ‖ ≤ c1γ‖Φ‖L2 ,

‖Ψ‖L2 ≤ c1‖a− a‖L2‖Ψ‖L2,

que implica em Φ = Ψ = 0 se ‖a− a‖L2 e γ sao pequenhos, o que mostra o resultado.

5.4 O Resultado Principal

Lema 5.2 Com as mesmas notacoes o operador P e uma contracao quando

γ2 + ‖a− a‖L2 ≤ ε

para ε > 0 suficientemente pequeno.

Demonstracao.- Se provara que se ‖a − a‖L2 e γ2 sao pequenhos, entao P e uma

contracao. Para isto considere

(ϕj, ψj) := P (vj, wj), j = 1, 2,

65

e a definicao seguinte

(ϕ, ψ) := (ϕ1 − ϕ2, ψ1 − ψ2), (v, w) := (v1 − v2, w1 − w2).

Entao (ϕ, ψ), (v, w) satisfaz em

iηφ− Φ = 0 (5.33)

iηρ1Φ − k(φx − ψ)x + γΦ = γH(v, w) (5.34)

iηψ − Ψ = 0 (5.35)

iηρ2Ψ − bψxx − k(ϕx − ψ) + aΨ = (a− a)G(v, w). (5.36)

Usando as tecnicas multiplicativas obtemos

γ

∫ l

0

|Φ|2 dx+ a

∫ l

0

|Ψ|2 dx = Re

∫ l

0

γHΦ + (a− a)GΨ dx

De onde temos

γ

∫ l

0

|Φ|2 dx + a

∫ l

0

|Ψ|2 dx ≤∫ l

0

γ|H|2 +1

a|a− a|2|G|2 dx

Da desigualdade (5.22) encontramos

γ

∫ l

0

|Φ|2 dx+ a

∫ l

0

|Ψ|2 dx ≤ cγ3

∫ l

0

|v|2 + |vx − w|2 dx

+c|a− a|2L2

∫ l

0

|vx − w|2 + |iηw|2 dx

≤ cγ3

∫ l

0

|vx + w|2 + |w|2 dx

+c|a− a|2L2

∫ l

0

|vx − w|2 + |iηw|2 dx (5.37)

Multiplicando a equacao (5.34) e (5.36) por ϕ, ψ e somando os produtos resultantes obtemos

k

∫ l

0

|ϕx − ψ|2 dx+ b

∫ l

0

|ψx|2 dx ≤ ρ1

∫ l

0

|Φ|2 dx+ ρ2

∫ l

0

|Ψ|2 dx

+γRe

∫ l

0

Hϕ+ (a− a)Gψ dx

Assim temos que

66

kγ

∫ l

0

|ϕx − ψ|2 dx+ bγ

∫ l

0

|ψx|2 dx ≤ γρ1

∫ l

0

|Φ|2 dx+ ρ2γ

∫ l

0

|Ψ|2 dx

+Re

∫ l

0

γ2Hϕ+ γaGψ dx

Para η grande temos que

kγ

∫ l

0

|ϕx − ψ|2 dx+ bγ

∫ l

0

|ψx|2 dx ≤ 2γρ1

∫ l

0

|Φ|2 dx+ 2ρ2γ

∫ l

0

|Ψ|2 dx

+Re

∫ l

0

γ3|H|2 + γa|G|2 dx

Usando (5.22) e a desigualdade (5.37) temos que

kγ

∫ l

0

|ϕx − ψ|2 dx + bγ

∫ l

0

|ψx|2 dx ≤ cγ3

∫ l

0

|vx − w|2 + |w|2 dx

+c|a− a|2L2

∫ l

0

|vx − w|2 + |iηw|2 dx

Da desigualdade (5.37) segue que

γ

∫ l

0

|Φ|2 dx+ a

∫ l

0

|Ψ|2 dx + kγ

∫ l

0

|ϕx − ψ|2 dx+ bγ

∫ l

0

|ψx|2 dx

≤ cγ3

∫ l

0

|vx − w|2 + |w|2 dx+ c|a− a|2L2

∫ l

0

|vx − w|2 + |iηw|2 dx

Note que ∫ l

0

|w|2 dx ≤ 1

|η|

∫ l

0

|iηw|2 dx

De onde temos

γ

∫ l

0

|Φ|2 dx+ a

∫ l

0

|Ψ|2 dx + kγ

∫ l

0

|ϕx − ψ|2 dx+ bγ

∫ l

0

|ψx|2 dx

≤ cγ3

∫ l

0

|vx − w|2 dx + cγ3

|η|2∫ l

0

|iηw|2 dx+ c|a− a|2L2

∫ l

0

|vx − w|2 + |iηw|2 dx

ou

γ

∫ l

0

|Φ|2 dx+ a

∫ l

0

|Ψ|2 dx+ kγ

∫ l

0

|ϕx − ψ|2 dx+ bγ

∫ l

0

|ψx|2 dx

≤ c(γ3

|η|2 + |a− a|2L2)

∫ l

0

|iηw|2 dx+ (cγ3 + c|a− a|2L2)

∫ l

0

|vx − w|2 dx

67

introduzimos agora a norma

‖U‖γ = γ

∫ l

0

|Φ|2 dx+ a

∫ l

0

|Ψ|2 dx+ kγ

∫ l

0

|ϕx − ψ|2 dx+ bγ

∫ l

0

|ψx|2 dx

Claramente segue que se

γ2 < k/2c, |a− a|2L2 <1

2cminkγ, a

and η large enought we have that there exists a positive constant c0 < 1 such that

‖U‖γ ≤ c0‖V ‖γ

Com

V = (v, iηv, w, iηw).

De onde segue a demonstracao.

Nestas condicoes se pode enunciar o resultado principal deste capıtulo.

Teorema 5.3 Suponha

∫ π

0

|a− a|2 dx ≤ ε

para ε << 1. Entao a solucao do sistema de Timoshenko com dissipacao indefinida decai

para zero com a seguinte taxa

‖U(t)‖ ≤ C ln3/2(t)√t

‖U0‖D(A)

Demonstracao.- Como existe um ponto fixo para o sistema de Timoshenko entao pode-

se reescrever

iηφ− Φ = f1 (5.38)

iηρ1Φ − k(φx − ψ)x + γΦ = γiηH(φ, ψ) + f2 (5.39)

iηψ − Ψ = f3 (5.40)

iηρ2Ψ − bψxx − k(ϕx − ψ) + aΨ = (a− a)G(φ, ψ) + f4. (5.41)

68

decompondo esta expressao em duas componentes

φ = φ0 + φ4, ψ = ψ0 + ψ4, Φ = Φ0 + Φ4, Ψ = Ψ0 + Ψ4.

onde

iηφ0 − Φ0 = f1

iηρ1Φ0 − k(φ0

x − ψ0)x + ηΦ0 = f2

iηψ0 − Ψ0 = f3

iηρ2Ψ0 − bψ0

xx − k(ϕ0x − ψ0) + aΨ0 = f4.

e

iηφ4 − Φ4 = 0

iηρ1Φ4 − k(φ4

x − ψ4)x + γΦ4 = γiηH(φ, ψ)

iηψ4 − Ψ4 = 0

iηρ2Ψ4 − bψ4

xx − k(ϕ4x − ψ4) + aΨ4 = (a− a)G(φ, ψ).

Dos resultados do capıtulo 4 tem-se

∫ π

0

|ψ4x|2 + |φ4

x − ψ4|2 + |Ψ4|2 + |Φ4|2 dx ≤ C(γ2 + |a− a|2L2)

∫ π

0

|G(φ, ψ)|2 + η2H(φ, ψ)|2] dx

Pela linearidade de G e H seque que

|G(φ, ψ)|2+η2|H(φ, ψ)|2 ≤ c(|G(φ0, ψ0)|2 + η2|H(φ0, ψ0)|2 + |G(φ4, ψ4)|2 + η2|H(φ4, ψ4)|2

).

Note que existe uma constante positiva tal que

∫ π

0

|ηH(φ4, ψ4)|2 dx ≤ C

∫ π

0

|ψ4x|2 + |φ4

x − ψ|2 + |Ψ4|2 + |Φ4|2 dx∫ π

0

|G(φ4, ψ4)|2 dx ≤ C

∫ π

0

|ψ4x|2 + |φ4

x − ψ|2 + |Ψ4|2 + |Φ4|2 dx

tomando

γ2 +

∫ π

0

|a− a|2 dx < ε

69

para ε > 0 pequeno se encontra

∫ π

0

|ψ4x|2 + |φ4

x−ψ4|2 + |Ψ4|2 + |Φ4|2 dx ≤ C(γ2 + |a−a|2L2)

∫ π

0

|G(φ0, ψ0)|2 + |ηH(φ0, ψ0)|2 dx

como

∫ π

0

|ψ0x|2 + |φ0

x − ψ0|2 + |Ψ0|2 + |Φ0|2 dx ≤ Cη2‖F‖2

logo tem-se

∫ π

0

|ψ4x|2 + |φ4

x − ψ4|2 + |Ψ4|2 + |Φ4|2 dx ≤ Cη2‖F‖2

Desta forma conclui-se

∫ π

0

|ψx|2 + |φx − ψ|2 + |Ψ|2 + |Φ|2 dx

≤ C

∫ π

0

|ψ0x|2 + |φ0

x − ψ0|2 + |Ψ0|2 + |Φ0|2 dx

+C

∫ π

0

|ψ4x|2 + |φ4

x − ψ4|2 + |Ψ4|2 + |Φ4|2 dx

≤ Cη2‖F‖2

de onde segue o resultado.

Observacao 5.2 Ate onde se conhece, este e o unico resultado de decaimento para sistemas

nao dissipativos.

70

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