PROBABILIDAD

2. ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Estadstica descriptiva describe las regularidades o caractersticas existentes en un conjunto de datos, organizndolos en tablas y representaciones grficas y analizndolos mediante la obtencin de ndices estadsticos representativos (medidas de tendencia central y de dispersin).

2.1 Conceptos bsicos. Muestreo y tipos de muestreo. -Poblacin: Colectivo que se desea estudiar, puede ser finita infinita, pero normalmente incluye demasiados individuos para poder estudiarlos a todos.

-Muestra: es el subconjunto de la poblacin sobre el que se recogern y analizarn datos, con el objeto de extraer conclusiones para toda la poblacin.-Variable: caracterstica observable medida en la muestra, que vara en la poblacin. Existen diferentes tipos de variables en funcin de los valores que puede tomar y/o de cmo ha sido su medicin.

-Muestreo: Es el procedimiento que permite obtener una muestra que sea representativa de la poblacin. Se llama muestreo aleatorio, a aqul en que los individuos son seleccionados al azar. a) Muestreo aleatorio simple: todos los individuos de la poblacin (N) tienen igual probabilidad de ser elegidos. Es el ms habitual aunque no siempre es posible realizarlo. Presenta la ventaja de que puede asumirse la independencia de los valores observados entre los sujetos y cuando el tamao de la poblacin es muy grande es irrelevante si se permite o no la posibilidad de que los individuos puedan ser reelegidos (muestreo con reemplazamiento).b) Muestreo aleatorio sistemtico: para obtener una muestra de n individuos, se toma un nmero aleatorio k entre 1 y h=N/n, como integrantes de la muestra se tomaran a los individuos: K, k+h, k+2h, k+3h, , k+(n-1)h. La muestra podra no ser representativa si los datos dentro de los grupos estn ordenados segn alguna caracterstica que tenga que ver con el parmetro de inters.c) Muestreo aleatorio estratificado: Es el mtodo ideal cuando la poblacin se divide en varios grupos o estratos cuya representacin en la muestra se desea asegurar. Consiste en tomar una submuestra en cada grupo manteniendo en la muestra la proporcionalidad que se da en la poblacin.

Es decir, si N: tamao de la poblacin y Ni el tamao del estrato i, , y se desea obtener una muestra de tamao n, en cada estrato se seleccionarn ni individuos, siendo

Este tipo de muestreo posibilita la inferencia en cada grupo, y es tanto ms efectivo cuanto ms homogneos son los estratos internamente, respecto a la caracterstica sobre la que se desea inferir. Es algo ms costoso que el muestreo aleatorio simple pero puede ser ms preciso, ya que elimina como posible fuente de sesgos la caracterstica que define los grupos. d) Muestreo aleatorio por conglomerados: Se eligen al azar grupos de sujetos y se estudian todos los individuos de cada grupo seleccionado. Los conglomerados deben ser lo ms homogneos entre s y lo ms heterogneos posibles dentro de ellos. Se puede reducir bastante el coste del estudio y si los conglomerados no tienen la misma cantidad de individuos pueden establecerse pesos.2.1 Representacin numrica. Una vez recogida una muestra aleatoria de tamao n de una variable X, , los valores obtenidos se presentan y resumen mediante una tabla de frecuencias (TDF). En una tabla de frecuencia las filas son las p categoras distintas de la variable X obtenidas en la muestra a las que llamaremos modalidades, ordenadas de menor a mayor. xi: valores o modalidades de la variable registrados en la muestra. Adems de la columna con las modalidades, la TDF debe constar de al menos una de las columnas siguientes:- fi: frecuencias absolutas ordinarias: nmero de casos en que se da en la muestra cada modalidad: fi =ni- hi: frecuencias relativas ordinarias: probabilidad de la modalidad xi:

(%)i: Porcentaje ordinario:

- Fi: frecuencias absolutas acumuladas: nmero de casos que toman un valor inferior a la modalidad i-sima: . Si solo se conocieran las frecuencias absolutas acumuladas, las frecuencias absolutas ordinarias podran calcularse como:

- Hi: frecuencias relativas acumuladas: probabilidad de tomar una modalidad inferior a la i-sima: . Si solo se conocieran las frecuencias relativas acumuladas, las frecuencias relativas ordinarias podran calcularse como:

- (%)acum,i: Porcentaje acumulado: porcentaje de valores inferiores a la modalidad i-sima

Nota 1: los indicadores acumulados slo tienen sentido si la variable es cuantitativa (discreta o continua).Nota 2: Si solo se muestra una frecuencia relativa o un porcentaje como columna en la TDF, ser necesario proporcionar tambin el nmero de individuos en la muestra (n) para tener toda la informacin. Nota 3: Categorizacin de una variable continua: Cuando se toma una muestra de una variable cuantitativa continua es necesario categorizar la variable por medio de intervalos equiespaciados para poder resumir el resultado de la muestra en una tabla de frecuencia. En este caso la tabla de frecuencia se realiza utilizando como modalidades los valores llamados marcas de clase. Si se desea trabajar con k intervalos, las respectivas marcas de clase se obtienen siguiendo los siguientes pasos.

1.) Obtener la sensibilidad. Sensibilidad es la unidad de medida o precisin del aparato que se ha utilizado para la medicin. 2.) Calcular la Amplitud del intervalo total: A= xmax-xmin+s

3.) Se obtiene la longitud (l) de cada intervalo redondeando por exceso a un mltiplo de la sensibilidad el cociente:

4.) Los lmites exactos (LE) de los sucesivos intervalos se obtienen fijando como lmite inferior del primero s0= xmin-s/2 y sumando l sucesivamente. Es decir los k intervalos sern:

siendo:

Se llaman lmites aparentes (LA) a aquellos que tienen por extremos valores observables.

Dados los lmites aparentes se obtienen los lmites exactos correspondientes restando y sumando s/2 a los extremos inferior y superior respectivos de cada intervalo.Dados los lmites exactos se obtienen los lmites aparentes correspondientes sumando y restando s/2 a los extremos inferior y superior respectivos de cada intervalo.

5.) Se llama marca de clase de un intervalo a la media de sus dos lmites exactos: . Las marcas de clase coinciden con LA y LE.Alternativa: utilizar intervalos cerrados por un extremo y abiertos por el otro siempre buscando la continuidad. Las marcas de clase sern los puntos medios de los intervalos correspondientes. Este procedimiento ignora el conocimiento de la precisin del aparato de medida y es el que suele usarse con la edad.

Notar que con la edad los intervalos suelen expresarse en aos cumplidos: 0-4 aos, 5-9 aos,, 65-70. Debe tenerse en cuenta que en lo relativo a los clculos estos intervalos son equivalentes a [0,5[, [5,10[,, [65, 70[.Ejemplo 1 Durante los meses de julio y agosto, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas mximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29,

29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29, 27, 40, 28, 30, 33, 27, 27, 30, 30,

32, 33, 32, 34, 34, 35, 32, 28, 29, 28, 30, 32, 31, 30, 30, 31, 32, 33, 36, 38,

32, 26

Agrupar en 4 intervalos de igual amplitud. Presentar lmites exactos y despus obtener los lmites aparentes.

xmin=26 ; xmax=40; s=1. Luego A=40-26+0,5=14,5.

Como se desean k=4 intervalos, la longitud de cada intervalo viene dada por el cociente: 14,5/4=3,625. L es el mltiplo de la sensibilidad inmediatamente superior al cociente, luego l=4.

Los extremos de los 4 intervalos se generan aadiendo l=4 al extremo inferior que se toma por definicin xmin-s/2=26-0,5=25,5.

En nuestro caso, los 4 intervalos con lmites exactos son: 25,5-29,5 ; 29,5-33,5; 33,5-37,5; 37,5-41,5Los 4 intervalos con lmites aparentes seran: 26-29 ; 30-33; 34-37; 37-41.Ejemplo 2 Sea X: nmero de partos previos en una muestra de 795 embarazadas. Hubo 655 mujeres con ningn parto previo. 123 con 1 parto previo, 16 con 2 partos previos y tan solo 1 con 3 partos previos. Construir la tabla de frecuencia con todos sus elementos.xifiFihiHi(%)i(%)acum.,i

0655655655/795=0,8240,82482,4%82,4%

1123655+123=778123/795=0,1550,824+0,155=0,97915,5%97,9%

216778+16=79416/795=0,0200,979+0,02=0,9992%99,9%

31797+1=7951/795=0,001100%0,1%100%

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Nota 4: Cuando la variable represente la ocurrencia de cierto fenmeno en intervalos de tiempo consecutivos y con periodicidad constante (das, meses, aos) se dice que se trata de una serie temporal o cronolgica. En estos casos la presentacin numrica de los datos es una TDF sin proporciones y porcentajes, ya que no tienen sentido en este contexto. Adems si el fenmeno estudiado est relacionado con una poblacin cuyo nmero de individuos ha variado a lo largo del tiempo, es conveniente incluir en la tabla una columna que muestre el nmero de veces que ocurri el fenmeno por cada 10k individuos.Ejemplo 5

Tablas de contingencia

Si estudiamos dos variables [X con M modalidades e Y con M modalidades] la variable conjunta tendr M*M modalidades y la presentacin de los datos la haremos mediante una tabla de doble entrada [tabla de contingencia] con contendr las modalidades y el nmero (o proporcin) de casos que observamos de cada una de ellas.

Cada celda contiene el numero de casos que presentan a la vez una modalidad de X y una de Y. Asi el valor 19 (f32) indica que 19 casos presentan a la vez el valor M3 de la variable X y el valor M2 de la variable Y.

Si sumamos todas las frecuencias de la fila 2, obtendremos el nmero de casos en la modalidad M2 de la variable X. Esta frecuencia se denota por .

Si sumamos todas las frecuencias de la columna 3, obtendremos el nmero de casos en la modalidad M3 de la variable Y. Esta frecuencia se denota por .

A las frecuencias resultantes de sumar toda una fila o columna se les llama frecuencias marginales y proporcionan la TDF de cada una de las variables estudiadas, Si sumamos todas las frecuencias obtendremos el numero total de casos y lo mismo ocurre si sumamos las frecuencias marginales de cualquiera de las dos variables estudiadas.

Las tablas de contingencia pueden presentarse tambin en porcentajes, dividiendo por la frecuencia total y multiplicando por 100. Segn la frecuencia que se utiliza como total se obtienen diferentes resultados.

Ingresos en la unidad de obstetricia Hospital Dr Peset. Ao 1996.

Tabla 1

Evol/lugarMaternidad (M)Dilatacin (D)Paritorio (P)total

Normal444285A=14743

Otra3021253

total47430616796

A: 14 ingresos ocurridos por paritorio y con evolucin no normal.

Si se divide por el total de individuos en la muestra (n total de datos), la tabla resultante expresa la distribucin de probabilidad conjunta de las variables X e Y. La suma de todos sus elementos ser 100.

Tabla 2Evol/lugarMaternidad (M)Dilatacin (D)Paritorio (P)total

NormalB=55,835,81,893,3

Otra3,82,60,36,7

total59,538,42,0100

B: 55,8% de ingresos ocurridos por maternidad y con evolucin normal

Si se divide por la frecuencia marginal de la fila correspondiente, la tabla resultante expresa la distribucin de probabilidad condicionada a tipo de evolucin. Las nuevas frecuencias marginales por filas sern 100.

Tabla 3Evol/lugarMaternidad (M)Dilatacin (D)Paritorio (P)total

Normal59,7638,361,88100

Otra56,6039,62C=3,77100

total58,1838,992,83100

C: Los ingresos por paritorio suponen un 3,77% de los ingresos con evolucin no normal, i.e. de los ingresos con evolucin no normal, el 3,77% fueron por paritorio. Si se divide por la frecuencia marginal de la columna correspondiente, la tabla resultante expresa la distribucin de probabilidad condicionada al lugar de ingreso. Las nuevas frecuencias marginales por columnas sern 100.

Tabla 4Evol/lugarMaternidad (M)Dilatacin (D)Paritorio (P)total

Normal93,6793,1487,5091,44

Otra6,336,86D=12,508,56

total100100100100

C: Los ingresos con evolucin no normal, suponen un 12,5% de los ingresos por paritorio, i.e. de los ingresos por paritorio, el 12,5% tienen una evolucin no normal. El porcentaje de ingresos con evolucin no normal es casi el doble cuando el ingreso es por paritorio que cuando es por maternidad o dilatacin.2.2 Representacin grfica. Aunque la tabla de distribucin de frecuencias contiene toda la informacin disponible en ocasiones resulta necesario presentarla mediante un grafico para conseguir una mejor visin de conjunto.

VARIABLES CUALITATIVAS O VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETASSe basan en el principio de proporcionalidad entre reas y frecuencias.

*Diagrama de sectores

Se asocia a cada modalidad un sector circular con ngulo central proporcional a la frecuencia de dicha modalidad. As el ngulo ((i) que corresponder a una modalidad con frecuencia fi se obtiene fcilmente mediante la regla de tres:

Ejemplo 6: El grfico de sectores de los datos sobre trasplantes del ejemplo 3 se muestra a continuacin. El ngulo que correspondera por ejemplo a la categora hgado es:

-> grados

*Diagrama de barras

Sobre unos ejes coordenadas marcamos en el eje de abscisas las posibles modalidades y sobre el eje de ordenadas la frecuencia (o porcentaje). Sobre cada modalidad trazamos rectngulos de base constante y altura igual a la frecuencia (o porcentaje) correspondiente [en el ejemplo se representan las proporciones de las modalidades de la variable Lugar de ingreso]

*Diagrama de barras dobles

Similar al diagrama de barras, se utiliza para representar conjuntamente dos o ms variables

cualitativas y se basa en los datos recogidos en la tabla de contingencia [en el ejemplo se representan las frecuencias/casos de las modalidades de la variable conjunta Lugar de ingreso Evolucin del parto]

*Diagrama de barras estratificado

Presenta las modalidades de una variable condicionadas a una segunda variable. Normalmente se expresa en porcentajes [en la primera grfica se representan los porcentajes de las modalidades de la variable Evolucin del parto condicionada a la variable Lugar de ingreso; en la segunda los porcentajes de las modalidades de la variable Lugar de ingresocondicionada a la variable Evolucin del parto]

*Grficos de secuencia de Serie temporal o perfil ortogonal se representan en abcisas las posibles modalidades y en ordenadas las correspondientes frecuencias (en ocasiones utilizaremos las cifras relativas calculadas: ndices, tasas, ...). Uniendo los puntos obtenemos el perfil ortogonal. En algunos casos hay que recurrir a una escala semi-logartmica para que los perfiles se puedan apreciar (en la evolucin de la mortalidad en el Camp de Turia en el eje de ordenadas se representa el logaritmo decimal de las defunciones por 1000 habitantes).

N diario de casos de gripe en Valencia obtenidos a partir del sistema de declaracin obligatoria (EDO) para el periodo 2006-2009.

VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS

*Histograma asociamos a cada clase o intervalo un rectangulo cuya base sera la longitud de la clase (trabajaremos con limites exactos) y cuya rea sera igual a la frecuencia (proporcion o porcentaje) correspondiente a dicha clase. La altura de cada barra se vendr dada por tanto por: siendo ai la amplitud del intervalo correspondiente. Nota: si todos los intervalos tienen la misma amplitud pueden utilizarse como alturas las frecuencias, es decir:

*Polgono de frecuencias consideramos los pares formados por la marca de cada clase y su

correspondiente frecuencia (proporcin o porcentaje). Al representar estos puntos y unir dos

consecutivos mediante una linea recta obtenemos el poligono de frecuencias.

*Polgono acumulativo o curva de distribucin si consideramos la proporcin (porcentaje) de una clase uniformemente repartida a lo largo de ella, podremos definir a la proporcin acumulada a un punto del intervalo como:

esta funcin es montona creciente y su representacin grfica la llamaremos polgono acumulativo.

2.3 Medidas de tendencia central y de dispersin. Son medidas numricas que se emplean para describir conjuntos de datos. Permiten conocer la muestra y a veces detectar errores en los datos registrados. Adems algunas de estas medidas sern la base para hacer inferencias, esto es, para sacar conclusiones sobre el fenmeno recogido en toda la poblacin a la que representa la muestra.

*Medidas de tendencia: Las medidas de tendencia central son aquellas que intentan caracterizar el centro de la distribucin. Las ms importantes son la media aritmtica, la mediana y la moda. En general para describir variables cualitativas ninguna, salvo la moda tiene sentido. Para describir variables cuantitativas son muy tiles, sobre todo las dos primeras.

*Medidas de dispersin: son aquellas que cuantifican la dispersin de los datos observados (recorrido, intervalo intercuartlico, varianza y coeficiente de variacin)* Media aritmtica: es la suma de las observaciones en todos los individuos, dividido por el tamao muestral:

Es decir, supuesta una barra sin peso que empezara en el dato de menor valor y acabara en el de mximo, si se colocaran en las posiciones correspondientes a los datos tantos kilos como su frecuencia, la media aritmtica sera el punto dnde se ha de apoyar la barra para que sta se mantuviera en equilibrio.

Ejemplo 6: X: nmero de hijos en 500 mujeres entre 20 y 30 aos

Nota: Caso de calcular la media aritmtica de una distribucin cuantitativa continua, a partir de su tabla de frecuencia, como xi se utilizarn las marcas de clase de los intervalos.

Propiedades de la media:

La media aritmtica se mide en las mismas unidades de la variable y se ubica entre el mnimo y el mximo de los valores recogidos.

La media depende directamente de los valores de la variable, por lo que es sensible a datos extremos, de hecho cuando se dan este tipo de valores o bien la distribucin no es simtrica se recomienda no usar la media sino la mediana como medida de tendencia central. La media aritmtica es un operador lineal:

Cuando se incorporan nuevos datos, x2, a una muestra, x1, la media aritmtica tambin puede actualizarse, sin necesidad de ser recalculada:

la suma de las desviaciones en torno a la media es cero:

Ejemplo 7: En una variable dicotmica (0: fracaso, 1: xito) la probabilidad muestral de xito es tambin la media. Por ejemplo si en una muestra de 280 individuos, 93 resultaron afectados de cierta enfermedad, la probabilidad de enfermar: 93/280, sera el resultado de sumar todos los valores de la variable, o sea todos los 1 y dividir por el total.

Ejemplo 8: X=N de lesiones causadas por el virus de la viruela en membranas ovulares.

N de lesiones

Marca de clase(xi) fi hi Fi Hi

[0,10)510,012510,0125

[10, 20)1560,07570,0875

[20, 30)25140,175210,2625

[30,40)35140,175350,4375

[40,50]45170,2125520,65

[50, 60)5580,1600,75

[60, 70)6590,1125690,8625

[70, 80)7530,0375720,9

[80, 90)8560,075780,975

[90, 100)9510,0125790,9875

[100, 110)10500790,9875

[110, 120)11510,0125801

totales801,00

Ejemplo 9: Supongamos que la media de ingresos urgentes diarios en un hospital es 10, Cul es la media de ingresos semanales? X=N de ingresos urgentes, Y=n de ingresos semanales, Y=7X ->

Ejemplo 10: Supongamos que la media de ingresos diarios por causas circulatorias en Valencia es 9 y por causas respiratorias es 3. Entonces la media de ingresos por causas cardio-respiratorias sera 12:X=N de ingresos circulatorios, Y=n de ingresos respiratorios, Z=n de ingresos cardio-respiratorios Z=X+Y -> .

Ejemplo 11: Supongamos una muestra de 20 datos en los que la media muestral result 18, se obtienen 10 nuevos datos que tienen una media de 16, la media aritmtica del conjunto es:

* Mediana: Es el valor de la variable que deja atrs la mitad de la frecuencia, o dicho de otro modo, es el primer valor de la variable que divide a la muestra en dos grupos con el mismo nmero de individuos. Cuando no es posible, se prefiere dejar por debajo algo ms que hacerlo por delante. Es decir, colocados en orden ascendente y tantas veces como se repiten en la muestra, la mediana sera el dato central. Si se tratara de una muestra con un nmero par de datos por convenio se da como mediana la media aritmtica de los dos valores en torno al centro.

Cuando se calcula la mediana partiendo de una tabla de frecuencia, se hace segn las siguientes reglas:

- En variables discretas: Se da como mediana el primer valor que tiene una frecuencia absoluta acumulada superior a n/2. De existir un dato con frecuencia absoluta acumulada exactamente igual a n/2, se da como mediana la media entre dicho valor y el siguiente

Ejemplo 12:

- En variables continuas se calcula mediante la frmula

La frmula viene de haber aplicado la ley de proporcionalidad de tringulos sobre el polgono de frecuencias acumulado:Ejemplo 13: Calcular la mediana de la siguiente distribucin.

n/2=250. Luego la mediana est entre 1 y 2:

Propiedades de la Mediana

La mediana no depende de los valores de la variable, tan solo de la frecuencia con la que se dan, por lo que no es sensible a datos extremos.

En caso de distribuciones simtricas, la media y la mediana toman el mismo valor. En caso de distribuciones asimtricas, la mediana es mejor medida de tendencia central que la media.

En el mismo sentido que la mediana puede trabajarse con otro porcentaje del tamao muestral y calcular los llamados percentiles. Algunos percentiles, muy usados, tienen nombres especiales. Por ejemplo se llaman cuartiles (Q1,Q2,Q3) a los valores que separan la distribucin en 4 partes con igual frecuencia, es decir a los valores que dejan atrs respectivamente el 25, el 50 y el 75% de los datos. Los deciles (D1,,D9) son los puntos que separan a la distribucin en 10 partes con igual frecuencia. Los percentiles se calculan igual que la mediana sin ms que cambiar n/2 por la fraccin de la frecuencia correspondiente. Por ejemplo si se va a calcular el percentil 25, n/2 se sustituir por 25n/100, es decir por n/4.* Moda: es el valor ms frecuente de la muestra. Si la variable es continua hablamos de intervalo modal.Propiedades de la Moda La moda no tiene porqu ser nica, las distribuciones con una sola moda se llaman unimodales.

En caso de distribuciones simtricas y unimodales, la media, la mediana y la moda coinciden

Ejemplo 14:

* Varianza: es una medida de alejamiento de los valores de la variable con respecto a la media

Propiedades de la Varianza- El clculo anterior es equivalente a:

-Se mide en las unidades de la variable al cuadrado.

-La varianza es un operador cuadrtico, que no depende de los cambios de origen. Es decir: Var(AX+B)=A2Var(x)

-La varianza de la suma de dos variables solo es igual a la suma de las varianzas en el caso en que las dos variables son independientes.* desviacin tpica: Es la raz cuadrada positiva de la varianza:

Propiedades de la desviacin tpica- La desviacin tpica se mide en las mismas unidades que la variable. Por tanto, es comparable con la media de la distribucin. Cuando la variable es simtrica sin datos extremos suele darse como rango habitual de los valores de la variable como:

Ejemplo 15:

* Coeficiente de variacin: es una medida relativa de dispersin que permite as comparar la dispersin entre dos variables.

Ejemplo 16: Supongamos que deseamos saber si el peso dentro de una muestra de obesos, es ms variable que el peso dentro de una muestra de anorxicos. En la primera muestra la desviacin tpica es de 6 kilos y en la segunda es de 3, el peso medio en la primera muestra es de 100 kg, mientras que en la segunda es de 40 kg. As pues, el peso en la muestra de anorxicos es ms variable en trminos relativos. (CV(anorxicos)=0.075; CV(obesos)=0.06).* Recorrido: diferencia entre el mnimo y el mximo: R=xmax-xmin* Rango intercuartlico: diferencia entre el percentil primero y tercero: RI= Q3-Q1 El rango intercuartlico es el rango del 50% centrado de la muestra. Un RI pequeo indica que los valores estn muy concentrados en torno a la mediana. EMBED Excel.Sheet.8

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Hoja2

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