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Estructuras AlgebraicasTrabajo Final

Teorıa Radical de Jacobson

Albornoz, Romina SoledadFacultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

17 de junio de 2015

Resumen

La nocion de radical fue una extension de la nocion de semisimplicidad.Esto puede ser algo sorprendente, sin embargo, cabe destacar que el radicalfue estudiado en el contexto de anillos no asociativos (es decir, algebras deLie de dimension finita) antes que en anillos asociativos. En el trabajo de E.Cartan, el radical de un algebra de Lie de dimension finita A (digamos sobreC) se define como el ideal resoluble maximal de A.Cartan caracterizo la semisimplicidad de las algebras de Lie en terminos delas formas de Killing no-degeneradas, y mostro que cualquier algebra de Liees una suma directa finita de algebras de Lie simples. Ademas, clasifico lasalgebras de Lie simples (sobre C), de dimension finita. Por lo tanto, la es-tructura de la teorıa de las algebras de Lie semisimples, finito dimensionalesesta completamente determinada. En el desarrollo de la teorıa de algebras dedimension finita sobre un cuerpo, Wedderburn define para cada algebra A unideal, rad A, que es el ideal nilpotente de A mas grande, es decir, la sumade todos los ideales nilpotentes de A. En paralelo con la teorıa de Cartan, unalgebra A (de dimension finita) es semisimple si y solo si su radical es cero.Tal algebra A es producto directo de un numero finito de algebras simplesde dimension finita Ai, y cada Ai es un algebra de matrices sobre un algebrade division de dimension finita. Esta hermosa teorıa de Wedderburn sentolas base moderna para el estudio de la estructura de las algebras de dimen-sion finita. Artin extendio la teorıa de Wedderburn a anillos con la condicionmınimal (apropiadamente llamados anillos Artinianos). Para tales anillos R,la suma de todos los ideales nilpotentes de R es nilpotente, por lo que R tieneun ideal maximo nilpotente rad R, llamado el radical de Wedderburn de R.La teorıa de Wedderburn de algebras simples y semisimples se puede exten-der con exito para anillos que satisfacen la condicion de cadena descendenteen los ideales de un solo lado. ¿Que pasa con los anillos que no satisfacen lacondicion de cadena descendente de Artin? Para estos anillos R, la suma detodos los ideales nilpotentes ya no necesita ser nilpotente; por lo tanto, R nopuede poseer un ideal maximo nilpotente, y ası ya no tenemos la nocion deun radical de Wedderburn. El problema de encontrar la generalizacion apro-piada del radical de Wedderburn para anillos arbitrarios ha permanecido sinabordarse durante casi cuarenta anos. Finalmente, en un paper fundamentalen 1945, N. Jacobson inicio la nocion general de radical de un anillo arbitrario

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Estructuras Algebraicas Trabajo Final Teorıa Radical de Jacobson

R: por definicion, el radical de R (de Jacobson), rad R, es la interseccion detodos los ideales maximales a izquierda (o a derecha) de R. Para anillos quesatisfacen a un solo lado la condicion minimal, el radical de Jacobson coincidecon el radical clasico de Wedderburn, por lo que, en general, el anterior es unbuen sustituto a este ultimo. Desde su creacion, la teorıa general del radical deJacobson ha demostrado ser fundamental para el estudio de la estructura deanillos. En este trabajo, vamos a presentar la definicion y propiedades basicasdel radical de Jacobson, y estudiaremos el comportamiento del radical bajociertos cambios de anillos.

Departamento de Matematica - UNLP Hoja 2 de 38


Indice

1. Preliminares 4

2. El Radical de Jacobson 8

3. El Radical de Jacobson Bajo Cambio de Anillos 18

4. Anillos de Grupo y el Problema deJ-semisimplicidad 27



1. Preliminares

Definicion 1.1. Un grupo es un conjunto G provisto de una operacion binaria· : G×G→ G que verifica:

a) Asociatividad: para todo g, h, k ∈ G (g · h) · k = g · (h · k)

b) Elemento neutro: para todo g ∈ G, ∃e ∈ G tal que g · e = e · g = g

c) Inverso: para todo g ∈ G, ∃g−1 ∈ G tal que g · g−1 = g−1 · g = e

Si ademas para todo par g, h ∈ G se verifica g · h = h · g entonces el grupo sedice abeliano o conmutativo.

Definicion 1.2. Sea G un grupo y H un subconjunto de G no vacıo. H essubgrupo de G si y solo si satisface las siguientes condiciones:

a) Si a, b ∈ H entonces a · b ∈ Hb) Si a ∈ H entonces a−1 ∈ H

En tal caso anotamos H ≤ G.

Definicion 1.3. Sea S un subconjunto de un grupo G. 〈S〉 denota la intersec-cion de todos los subgrupos deG que contienen a S. 〈S〉 = ∩{H ≤ G : S ⊆ H},〈S〉 es el menor subgrupo de G que contiene a S. Decimos que G es finita-mente generado si S es finito y 〈S〉 = G. Decimos que G es un grupo cıclicosi S = {a} (tiene un solo elemento) y G = 〈S〉.

Definicion 1.4. Si G es un grupo, llamamos centro de G al conjunto Z(G) ={a ∈ G : ab = ba ∀b ∈ G}. Z(G) es un subgrupo.

Proposicion 1.5. G es abeliano si y solo si G = Z(G).

Definicion 1.6. El orden de G, denotado |G|, es el cardinal del conjuntoG. El orden de un elemento a ∈ G, denotado o(a) es el orden del subgrupogenerado por a.

Definicion 1.7. Si cada elemento g de un grupo abeliano G tiene orden finito,se dice que G es un grupo de torsion.

Definicion 1.8. Un anillo (R,+, ·) es un conjunto R con dos operaciones+ : R × R → R (adicion o suma) y · : R × R → R (multiplicacion) quesatisface las siguiente propiedades.

a) (R,+) es un grupo abeliano. Se escribe el elemento identidad como 0(e = 0).

b) a · (b · c) = (a · b) · c (· es asociativa)

c) a · (b + c) = a · b + a · c y (b + c) · a = b · a + c · a (· es distributiva aizquierda y a derecha sobre +) (Escribiremos ab en lugar de a · b)

Si R cumple a), b) y c) diremos que R es un anillo.

d) Si R 6= {0} y la multiplicacion en R tiene un elemento identidad, esdecir, hay un elemento 1 ∈ R con a1 = 1a = a para todo a ∈ R. LuegoR se dira anillo con identidad. En este caso 1 6= 0.

d) Si la multiplicacion de R es conmutativa, ab = ba para todo a, b ∈ R, Rse dira un anillo conmutativo.

Definicion 1.9. Sean R un anillo, a 6= 0 y b 6= 0 elementos de R tal queab = 0, diremos que a y b son divisores de cero del anillo R.



Definicion 1.10. SiR es un anillo con identidad, un elemento a ∈ R es unidado invertible si a tiene un inverso multiplicativo, es decir, si existe b ∈ R conab = 1 = ba. U(R) denota el conjunto de todas las unidades de R. U(R) esun grupo con · llamado grupo de las unidades.

Definicion 1.11. Un anillo R es un dominio ıntegro si es un anillo conmu-tativo con identidad tal que R no tiene divisores de cero.

Definicion 1.12. Un anillo R con identidad es un anillo de division si U(R) =R \ {0}, es decir, todo elemento distinto de cero tiene inverso multiplicativo.

Definicion 1.13. R es cuerpo si R es un anillo de division conmutativo.

Definicion 1.14. Si R es un anillo con identidad, luego la caracterıstica deR denotada por char(R) es el menor numero natural tal que n · 1 = 0. Sin · 1 6= 0 para todo n ∈ N, luego el conjunto char(R) = 0.

Proposicion 1.15. Si R es un dominio ıntegro, entonces char(R) = 0 ochar(R) es un numero primo.

Definicion 1.16. Un subconjunto S de un anillo R es subanillo si S, bajo laoperacion de multiplicacion y suma de R, es un anillo. Ası, S es un subanillo deR si y solo si S es subgrupo de R con la suma, y cerrado bajo la multiplicacion.

Definicion 1.17. Una funcion f : R → S , donde R y S son anillos, es unmorfismo de anillos si f(a + b) = f(a) + f(b) y f(ab) = f(a)f(b) para todoa, b ∈ R. Si f es invertible, es decir, existe un morfismo de anillos g : S → Rtal que f ◦ g = 1S y g ◦ f = 1R, luego decimos que f es un isomorfismo deanillos. Si f es un morfismo de anillos, tenemos que el conjunto Ker(f) ={a ∈ R : f(a) = 0} y Im(f) = {b ∈ S : b = f(a)} para algun a ∈ R. Im(f) yKer(f) son subgrupos abelianos y subanillos de S y R respectivamente.

Definicion 1.18. Dados R y S anillos, se dira que la aplicacion f : R −→ Ses un homomorfismo de anillos si se verifican las siguientes dos condiciones:

1) f(a+ b) = f(a) + f(b),

2) f(a · b) = f(a) · f(b),

donde a, b son elementos de R.

Definicion 1.19. Sea R un anillo y sea I ⊆ R. Decimos que I es un ideal deR si y solo si:

1) I es subgrupo de R con la suma.

2) rI ⊆ I para todo r ∈ R y

3) Ir ⊆ I para todo r ∈ R.

Un subconjunto I ⊆ R que cumple 1) y 2) se dice ideal a izquierda de R,mientras que si I satisface 1) y 3) I se dice ideal a derecha de R. Un idealde R es ideal a izquierda e ideal a derecha de R. Si R es conmutativo losconceptos de ideal a izquierda, ideal a derecha e ideal son identicos. Pero paraanillos no conmutativos son generalmente conceptos distintos.

Observacion 1.20. {0} y R, son ideales de R.

Lema 1.21. Si R es un anillo de division, entonces los unicos ideales de Rson {0} y R.



Definicion 1.22. Dado un elemento r ∈ R, se obtiene un ideal (por ejemploa izquierda) de R de la siguiente forma:Sea (r) = {xr/x ∈ R}. Este es el menor ideal a izquierda de R que contienea r, se llama el ideal principal generado por r.

Teorema 1.23 (Primer Teorema de Isomorfismos). Sea f : R → S un mor-fismo de anillos. Entonces R/Ker(f) ∼= Im(f).

Teorema 1.24 (Segundo Teorema de Isomorfismos). Sea R un anillo, I ⊆ Run ideal, y sea S ⊆ R un subanillo. Entonces S+ I es subanillo de R, I es unideal de S + I, S ∩ I es un ideal de S, y (S + I)/I ∼= S/(S ∩ I).

Teorema 1.25 (Tercer Teorema de Isomorfismos). Sea R un anillo y seanI, J ideales de R con I ⊆ J . Entonces J/I es un ideal de R/I y R/J ∼=(R/I)/(J/I).

Definicion 1.26. Un ideal M de un anillo R, se dice maximal si M 6= R yM es tal que si I es un ideal con M ⊆ I ⊆ R entonces I = M o I = R.

Teorema 1.27. Sea R un anillo con identidad y sea I 6= R un ideal de R.Entonces hay un ideal maximal de R que contiene a I.

Teorema 1.28. Sea R un anillo con identidad conmutativo. Entonces unideal M de R es maximal si y solo si R/M es cuerpo.

Definicion 1.29. Un ideal P de un anillo conmutativo R se dice que es primosi P 6= R y P es tal que si ab ∈ P entonces a ∈ P o b ∈ P . Un elemento p ∈ Res primo si el ideal Rp =< p > es un ideal primo.

Teorema 1.30. Sea R un anillo conmutativo con identidad, entonces el idealP de R es primo si y solo si R/P es un dominio ıntegro.

Teorema 1.31. Sea R un anillo conmutativo con unidad y sea I un ideal. SiI es maximal, entonces I es primo.

Definicion 1.32. Sea R un anillo con identidad (no necesariamente conmuta-tivo). UnR-modulo a izquierda es un grupo abelianoM con una multiplicacionescalar · : R×M →M , que satisface los siguientes axiomas. En estos axiomas,a, b son elementos de R y m,n son elementos de M .

a) a(m+ n) = am+ an

b) (a+ b)m = am+ bm

c) (ab)m = a(bm)

d) 1m = m

Analogamente se define un R-modulo a derecha.

Observacion 1.33. Si R es un anillo conmutativo todo R-modulo a izquierdatambien tiene la estructura de R-modulo a derecha.

Lema 1.34. Si M es un R-modulo y N es un subconjunto no vacıo de M ,entonces N es un R-submodulo de M si y solo si am1 + bm2 ∈ N para todom1,m2 ∈ N y a, b ∈ R.

Teorema 1.35 (Primer Teorema de Isomorfismos). Sean M y N modulossobre el anillo R y sea f : M → N un morfismo de R-modulos. EntoncesM/Ker(f) ∼= Im(f).



Teorema 1.36 (Segundo Teorema de Isomorfismos). Sea M un R-modulo ysean N , P submodulos. Entonces existe un isomorfismo de R-modulos tal que(N + P )/P ∼= N/(N ∩ P ).

Teorema 1.37 (Tercer Teorema de Isomorfismos). Sea M un R-modulo ysean N , P submodulos de M con P ⊆ N . Entonces M/N ∼= (M/P )/(N/P ).

Definicion 1.38. Sea M1, . . . ,Mn una coleccion finita de R-modulos. En-tonces el producto cartesiano M1 × . . . ×Mn es un R-modulo con las opera-ciones (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) y a(x1, . . . , xn) =(ax1, . . . , axn) con xi, yi ∈ Mi y a ∈ R, donde el elemento 0, es claramente(0, . . . , 0). El R-modulo ası construido se llama la suma directa de M1, . . . ,Mn

y se denota M1 ⊕ . . .⊕Mn o (n⊕i=1

Mi). La suma directa tiene una importante

propiedad de morfismos que puede usarse para caracterizar sumas directas.Para describir esto, supongamos que fi : Mi → N , morfismos de R-modulos.

Existe f : M1 ⊕ . . . ⊕Mn → N definida por f(x1, . . . , xn) =n∑i=1

fi(xi), es un

morfismo de R-modulos.

Definicion 1.39. Sea M un R-modulo. Un subconjunto S de M es basede M , M 6= ∅ si y solo si todo x ∈ M puede escribirse unicamente comox = a1x1 + · · ·+ anxn para x1, . . . , xn ∈ S y a1, . . . , an ∈ R.

Definicion 1.40. Si un R-modulo M tiene solamente a {0} y M como submo-dulos, M se llamara R-modulo simple (o irreducible).M se dira semisimple (o completamente reducible), si y solo si M es sumadirecta de submodulos simples.Un anillo R se dice semisimple si y solo si RR es un R-modulo simple.

Definicion 1.41. Un R-modulo cıclico M es un R-modulo en el que existeun elemento x ∈M con R · x = 〈x〉 = M .

Definicion 1.42. Un R-modulo M es R-modulo libre si tiene una base.

Definicion 1.43. Se dice que un R-modulo M es artiniano si y solo si todocociente de M es finitamente generado. El anillo R se dira artiniano en casode que R sea artiniano como R-modulo.

Definicion 1.44. Dado un grupo G y un anillo de base k, se le puede asociarde manera natural un anillo llamado anillo del grupo G y notado k[G]. Loselementos de k[G] son combinaciones lineales fnitas con coeficientes en k deelementos del grupo G, es decir que como conjunto:

k[G] = {∑g∈G

λg · g tal que λg ∈ k y λg = 0 salvo para finitos elementos de G}.

La suma en k[G] se define pensando que los elementos de G forman un base,es decir:

∑g∈G

λg · g +∑h∈G

µh · h :=∑g∈G

(λg + µg) · g.

Si las dos primeras sumas son finitas, la tercera tambien lo es. El producto sedefine a partir del producto de G, de la estructura de anillo de k, y del hechode que el producto tiene que ser distributivo con respecto a la suma, es decir:

(∑g∈G

λg · g) · (∑h∈G

µh · h) =∑

h,g∈G(λg · µh) · g · h :=

∑g∈G

(∑h∈G

λg·h−1 · µh) · g



Por ejemplo, si se tienen dos elementos λ · g, µ ·h ∈ k[G], el producto de estosdos es simplemente (λ · g) · (µ · h) = (λµ) · (g · h), y si se tienen sumas finitasde elementos de este tipo, el producto se calcula a partir de los productos decada sumando imponiendo la ley distributiva.

Definicion 1.45. Dado un anillo R, un R-modulo M se dira noetheriano si ysolo si todo submodulo de M es finitamente generado (en particular M mismoes de tipo finito).

Definicion 1.46. Si M es un R-modulo, una cadena de longitud n en M esuna sucesion de submodulos de M de la forma

0 = M0 ⊆M1 ⊆ · · · ⊆Mn = M

Si la cadena es maxima, es decir, ya no se pueden insertar submodulos, diremosque la cadena es una serie de composicion de longitud n de M .

Definicion 1.47. Un anillo conmutativo se dice local si tiene un unico idealmaximal.

Definicion 1.48. Para cada extension algebraica K/k podemos encontraruna extension normal E/k que contiene a K. Este cuerpo E se dice que es laextension normal de K sobre k. Si K/k es finita, entonces tambien lo es E/k.

Notaciones:MR R-modulo a derecha M .

RN R-modulo a izquierda N .kG aniillo de grupo del grupo G sobre el anillo k.[K : F ] grado de la extension de cuerpo.

2. El Radical de Jacobson

Como mencionamos en la introduccion, el radical de Jacobson de un anilloR, denotado por rad R, se define como la interseccion de todos los idealesmaximales a izquierda de R. Notar que si R 6= 0, los ideales maximales aizquierda siempre existen por el Lema de Zorn. Si R = 0, entonces no hayideales maximales a izquierda; en este caso, se define el Radical de Jacobsoncomo 0.

En la definicion anterior de rad R, se utilizo ideales maximales a izquierdade R, por lo que rad R deberıan llamarse el radical a izquierda de R y demanera similar podemos definir el radical a derecha de R (interseccion de losideales maximales a derecha). Resulta que, afortunadamente los radicales aizquierda y a derecha coinciden, por lo que la distincion es, despues de todo,innecesaria. Vamos a tratar de probar este resultado: esto se hace mediantela obtencion de una caracterizacion simetrica a izquierda-derecha del radical(izquierda) rad R. Primero probamos un lema que caracteriza a los elementosdel rad R en terminos de los elementos de R invertibles a izquierda, y enterminos de R-modulos simples a izquierda.

Lema 2.1. Sea y ∈ R, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1) y ∈ radR2) 1− xy es invertible a izquierda para cualquier x ∈ R,

3) yM = 0 para cualquier R-modulo simple a izquierda M .



Demostracion. 1) ⇒ 2) Supongamos y ∈ rad R. Supongamos que existe unx ∈ R tal que 1− xy no es invertible a izquierda, entonces R · (1− xy) $ R,pues al menos 1 6∈ R · (1−xy), R · (1−xy) esta contenido en un ideal maximala izquierda m de R. Ası (1−xy) ∈ m e y ∈ m, pues y esta en la interseccion detodos los ideales maximales a izquierda, luego 1 ∈ m. Absurdo, pues, si 1 ∈ meste ideal serıa R, y habıamos visto que esta estrictamente contenido en R.

2)⇒ 3) Supongamos que ym 6= 0 para algun m ∈M Entonces R·ym = Mpues es M es un R-modulo simple a izquierda. En particular, m = xym paraalgun x ∈ R, ası (1 − xy)m = 0. Usando 2) tenemos que m = 0 y esto nopuede suceder.

3)⇒ 1) Para cualquier ideal maximal a izquierda m, R/m es un R-modulosimple a izquierda, luego yR/m = 0 lo que implica que y ∈ m. Por definicion,tenemos y ∈ rad R.

Para cualquier R-modulo a izquierda M , el anulador de M se define como:

ann M := {r ∈ R : rM = 0}.

Es facil ver que esto es un ideal de R. Consideremos el caso especial deun modulo cıclico M : podemos tomar M como R/A, donde A es un ideal aizquierda de R. En este caso:

ann M = {r ∈ R : r ·R/A = 0} = {r ∈ R : rR ⊆ A}.

Es facil ver que es el ideal de R mas grande contenido en A. A veces es llamadonucleo del ideal a izquierda: A.(Si R es un anillo conmutativo entonces, es claroque R/A = A). El Lema (2.1) tiene la siguiente consecuencia inmediata.

Corolario 2.2. rad R =⋂ann M donde M recorre todos los R-modulos

simples a izquierda. En particular, rad R es un ideal de R.

El siguiente resultado es un refinamiento del Lema (2.1). Se agrega unacuarta condicion a la lista de (2.1) la cual es mas fuerte que la condicion (2).Podrıamos haber probado las cuatro equivalencias, pero la prueba a conti-nuacion mostrara que es mas conveniente demostrar (2.1) ( y (2.2)) primero,antes de agregar la cuarta condicion equivalente.

Lema 2.3. Sea y ∈ R, son equivalentes:

1) y ∈ rad R2’) 1−xyz ∈ U(R) (el grupo de las unidades de R) para cualquier x, z ∈ R.

Demostracion. Dado que 2′) ⇒ 2) en (2.1) (tomando z = 1), tenemos que2′) ⇒ 1) . Veamos que 1) ⇒ 2′). Sea y ∈ rad R, x, z ∈ R. Por (2.2) tenemosque yz ∈ rad R, por (2.1), existe u ∈ R tal que u(1− xyz) = 1. Nuevamentepor (2.2), xyz ∈ rad R, aplicando otra vez (2.1) obtenemos que u = 1+u(xyz)es invertible a izquierda. Ya que u tambien es invertible a derecha, tenemosu ∈ U(R) y por lo tanto 1− xyz ∈ U(R).

Observacion 2.4. Como 2) y 2′) involucran unicamente la nocion de elemen-tos invertibles e invertible a izquierda, tal vez no sea descabellado pedir unademostracion directa para 2)⇒ 2′) que no sea utilizando la nocion de radical.Tal prueba se puede dar, usando que: dados a, b ∈ R tal que 1− ba es inver-tible a izquierda (respectivamente invertible), entonces 1 − ab es invertible aizquierda (respectivamente invertible).



Supongamos que y ∈ R verifica 2) de (2.1). Sean x, z ∈ R. Entonces existev ∈ R tal que v(1 − zxy) = 1. Ahora v = 1 + (vzx)y, luego v es invertiblea izquierda, ademas de ser invertible a derecha. Ası v ∈ U(R), por lo tan-to 1 − z(xy) ∈ U(R). Usando lo mencionado anteriormente se deduce que1− (xy)z ∈ U(R).

Corolario 2.5.

A) rad R es el ideal a izquierda mas grande (y por lo tanto el ideal masgrande) A ⊆ R tal que 1 + A ⊆ U(R).

B) El radical a izquierda de R coincide con su radical a derecha.

Demostracion. A) se desprende de (2.1), (2.2) y (2.3). Puesto que A) dauna caracterizacion simetrica a izquierda-derecha del rad R, se deduce laconclusion B). (Por supuesto, 2′) en (2.3) es otra caracterizacion simetrica aizquierda-derecha del rad R.)

Listaremos una propiedad mas del radical de Jacobson. Omitiremos sudemostracion, pues es inmediata.

Proposicion 2.6. Sea A un ideal de R que esta en rad R. Entoncesrad (R/A) = (rad R)/A.

La nocion de radical de Jacobson de un anillo conduce a una nueva nocionde semisimplicidad, que introduciremos a continuacion.

Definicion 2.7. Un anillo R se dice Jacobson semisimple (o J-semisimplepara abreviar) si rad R = 0.

Los anillos Jacobson semisimples, se llaman tambien anillos semiprimiti-vos. A partir de ahora usaremos alternadamente ambos terminos. Claramen-te, este ultimo termino puede ser un poco misterioso en este momento. Yaque, todavıa no hemos introducido el concepto de anillos primitivos. En estepunto el lector debe tener en cuenta que en muchos libros y artıculos, “J-semisimplicidad” se toma como la definicion de “semisimplicidad”. No vamosa adoptar esta convencion, ya que va a confundir los anillos J-semisimples enel sentido de (2.7) con los anillos semisimples.Por ası decirlo, los anillos Jacobson semisimples estan en todas partes: pa-ra cualquier anillo R, R/rad R es un anillo J-semisimple asociado a R (ver(2.6)). Uno podrıa esperar para estudiar la estructura de un anillo R, estu-diando primero la estructura de R/rad R. Los anillos R y R/rad R tienenciertas propiedades comunes que veremos a continuacion.

Proposicion 2.8. R y R/rad R tienen los mismos modulos simples a izquier-da. Un elemento x ∈ R es invertible a izquierda (respectivamente invertible)si y solo si x ∈ R es invertible a izquierda (respectivamente invertible) enR := R/rad R.

Demostracion. El primer enunciado se deduce facilmente de (2.2). Para lasegunda afirmacion es suficiente probar el caso en el que es invertible a iz-quierda.⇒) Se ve claramente.⇐) Sea y ∈ R tal que y x = 1 ∈ R. Entonces 1−xy ∈ R, ası yx ∈ 1+rad R ⊆U(R). Claramente esto implica que x tiene un inverso a izquierda en R.



A continuacion vamos a estudiar la relacion entre ideales de R, rad R yel nil (respectivamente nilpotente). Primero vamos a recordar las definicionesapropiadas.

Definicion 2.9. Un ideal a un lado (o a ambos) A se dice nil si A consistede elementos nilpotentes; A se dice nilpotente si An = 0 para algun numeronatural n.

Notar que An = 0 significa que a1 · · · an = 0 para cualquier conjuntode elementos a1, . . . , an ∈ A. Esta condicion es mas fuerte que ser nil. Porejemplo, en el anillo conmutativo R = Z [x1, x2, x3, . . .] /

(x1

2, x23, x3

4, . . .),

el ideal A generado por x1, x2, x3, . . . es nil, pero no es nilpotente. Una de lasventajas de “nilpotente” sobre “nil” se ve a traves del siguiente resultado.

Lema 2.10. Sea Ai (n ≤ i ≤ m) un conjunto finito de ideales a izquierda deR. Si cada Ai es nilpotente, entonces A1 + · · ·+ Am tambien es nilpotente.

Demostracion. Por induccion sobre m.Es suficiente ver el caso m = 2. Cambiando las notaciones, sean A, B, idealesa izquierda nilpotentes, es decir An = 0 = Bn. Para C = A+B,afirmamos queC2n = 0. Para ver esto consideremos el siguiente producto de 2n elementos deC (ai ∈ A, bi ∈ B).

(a1 + b1) · · · (a2n + b2n)

Cuando desarrollamos este producto, cada termino es un producto de 2n ele-mentos, algunos de A y algunos de B. En cada uno de estos terminos, habraal menos n factores de A, o de lo contrario, al menos n factores de B. ComoA, B son ideales a izquierda, se sigue de An = 0 = Bn que tal producto escero, y ası C2n = 0, lo que implica que C es nilpotente.

Lema 2.11. Sea A un ideal a izquierda (respectivamente a derecha) tal queA ⊆ R es nil, entonces A ⊆ rad R.

Demostracion. Sea y ∈ A. Entonces para cualquier x ∈ R, xy ∈ A es nilpo-

tente. Ası tenemos que 1−xy tiene un inverso (dado por∞∑i=0

(xy)i). Luego por

(2.1) tenemos que y ∈ rad R.

Ahora estamos listos para demostrar que el radical de Jacobson proveeuna buena generalizacion del radical de Wedderburn, ya que, en el caso deanillos artinianos a izquierda, los dos radicales coinciden.

Teorema 2.12. Sea R un anillo artiniano a izquierda. Entonces rad R esel ideal a izquierda nilpotente mas grande, y tambien es el ideal a derechanilpotente mas grande.

Demostracion. Usando el lema anterior, bastarıa probar que J := rad R esnilpotente. Aplicando la condicion de cadena descendente a izquierda a

J ⊇ J2 ⊇ J3 ⊇ · · · ,

existe un entero k tal que

Jk = Jk+1 = · · · = I



Afirmamos que I = 0. En efecto, si I 6= 0, entonces, entre todos los ideales aizquierda A tal que I · A 6= 0, podemos elegir uno que sea minimal, digamosA0 (por la CCD a izquierda). Fijado un elemento a ∈ A0 tal que I · a 6= 0,entonces

I · (Ia) = I2a = Ia 6= 0,

Ası, por la minimalidad de A0, tenemos que I · a = A0 . Por lo tanto, a = yapara algunos y ∈ I ⊂ rad R. Pero entonces (1−y)a = 0 implica que a = 0 pues1− y ∈ U(R), esto no puede suceder, ası que debemos tener I = Jk = 0.

Corolario 2.13. En un anillo artiniano a izquierda, cualquier ideal a izquier-da nil es nilpotente.

En la teorıa de anillos, hay muchos resultados similares de “nil implicanilpotente”. El de arriba es el primero que nos encontramos en nuestra expo-sicion. Si R es un anillo conmutativo, entonces cualquier elemento nilpotentede R esta contenido en rad R (ya que todos los elementos nilpotentes for-man un ideal nil). Si R no es conmutativo, puede ser que esto no suceda. Porejemplo, sea D un anillo de division, y R = Mn(D) (n ≥ 2) (el conjunto delas matrices n× n con entradas en D). Usando la estructura conocida de losideales a izquierda de R, es facil ver que rad R = 0. Por lo tanto, R no tieneideales a izquierda nil distintos de cero, sin embargo, los elementos nilpotentesabundan.

El siguiente teorema da la conexion basica entre los anillos semisimples, ylos anillos J-semisimples definidos en (2.9).

Teorema 2.14. Sea R un anillo, son equivalentes:

1) R es semisimple.

2) R es J-semisimple y artiniano a izquierda.

3) R es J-semisimple, y satisface CCD en ideales principales a izquierda.

Demostracion. Si B1, . . . , Bn son ideales a izquierda en un anillo R.R = B1⊕. . .⊕Bn si y solo si, existen e1, . . . , en idempotentes, e1,+ . . .+, en =1 tal que eiej = 0 para i 6= j, Bi = Rei ∀i.1)→ 2). Supongamos que R es semisimple, y sea A = rad R. Existe un ideala izquierda B tal que R = A ⊕B, y e, f idempotentes, tal que A = R · e,B = R · f , y e+ f = 1. Luego f = 1− e es una unidad, pues e ∈ A = rad R.Como f2 = f , se sigue que f = 1, y ası e = 0. En particular, A = R · e = 02)→ 3). Es trivial.3) → 1). Supongamos R satisface 3). Podemos obtener las siguientes dospropiedades de R.

a) Todo ideal a izquierda A 6= 0 contiene un ideal minimal a izquierda I. Enefecto, podemos elegir I el minimal de la familia de ideales principales aizquierda distintos de cero ⊆ A. Entonces I es claramente mınimo comoideal a izquierda.

b) Todo ideal minimal a izquierda B es una suma directa de RR. (De hecho,como B 6= 0 = rad R, existe un ideal a izquierda maximal m que nocontiene a B. Entonces B ∩m = 0 y ası RR = B⊕m.)

Ahora supongamos que R no es semisimple. Tomemos el ideal minimal aizquierda B1 y escribamos RR = B1 ⊕ A1. Luego A1 6= 0, entonces por a)existe un ideal minimal a izquierda B2 ⊆ A1. Por b), B2 es sumando directo



en RR y por lo tanto en A1, finalmente podemos escribir A1 = B2 ⊕ A2.Continuando de esta manera, podemos obtener una cadena descendente deideales a izquierda A1 % A2 % A3 % · · · . Estos son suma directa de RR, asıson ideales principales a izquierda de R. Esto contradice 3), luego R debe sersemisimple.

En el teorema anterior, probamos que 2) ⇒ 1) pasando por la condicion3). Sin embargo, la demostracion no es mucho mas facil. Por lo tanto, tambienpodemos demostrar un resultado mas general incorporando la condicion 3),que parece ser mas debil que la condicion 2). Mas importante es la clase deanillos que satisfacen la CCD en ideales principales a izquierda que resultanser de interes particular: estos son los anillos perfectos a derecha (¡no a iz-quierda!). Usando esta terminologıa, 1) ⇔ 3) en el teorema dice que R essemisimple si y solo si R es J-semisimple y perfecto a derecha. Cuando Artinprobo los teoremas analogos de estructuras de Wedderburn para los anilloscon la condicion de cadena descendente (CCD) a izquierda, en 1927, el noparecıa darse cuenta que la CCD a izquierda implica la condicion de cade-na ascendente (CCA) a izquierda. A lo largo de su trabajo, asumio, que losanillos en consideracion satisfacen ambas condiciones de cadena. Este resul-tado (CCD a izquierda implica la CCA a izquierda) se obtuvo algunos anosmas tarde, de forma independiente por C. Hopkins y J. Levitzki. Usando lanocion del radical de Jacobson, ahora vamos a dar una demostracion de esteimportante resultado.

Teorema 2.15 (Hopkins - Levitzki, 1939). Sea R un anillo tal que rad Res nilpotente, y R = R/rad R es semisimple. (Tal R se dice semiprimario).Entonces para cualquier R-modulo RM , son equivalentes:

1) M es noetheriano.

2) M es artiniano.

3) M tiene una serie de composicion.

En particular, A) un anillo es artiniano a izquierda si y solo si es noetherianoa izquierda y semiprimario; B) cualquier modulo a izquierda finitamente ge-nerado sobre un anillo artiniano a izquierda tiene una serie de composicion.

Demostracion. Por (2.12) y (2.14), un anillo artiniano a izquierda es semipri-mario. Por lo tanto, A) se deduce de la equivalencia de 1) y 2), aplicada almodulo regular a izquierda RR. B) se desprende de la equivalencia 2) y 3),pues un modulo a izquierda finitamente generado sobre un anillo artiniano aizquierda tambien es artiniano. Sabemos que M es noetheriano y artinianosi y solo si M tiene una serie de composicion (finita). Luego para cualquier

RM , 3) implica 1) y 2). Para completar la demostracion, es suficiente mostrarque 1) ⇒ 3) y 2) ⇒ 3) para anillos semiprimarios. Supongamos que M esartiniano o noetheriano. Para J = rad R, fijado un entero n tal que Jn = 0 ysea R = R/J . Consideremos la filtracion

M ⊇ JM ⊇ J2M ⊇ · · · ⊇ JnM = 0

Es suficiente probar que cada factor de la filtracion J iM/J i+1M tiene una seriede composicion. Pero J iM/J i+1M es noetheriano o artiniano, como modulosobre R. Como R es semisimple, J iM/J i+1M es suma directa de de R-modulossimples. La condicion de cadena sobre J iM/J i+1M implica que esta sumadirecta debe ser finita, por lo que J iM/J i+1M tiene una serie de composicioncomo un R-modulo.



A continuacion veremos algunos ejemplos que aclaran el concepto de radi-cal de Jacobson.

1) Para anillos conmutativos R en general, rad R puede no ser igual alradical nil Nil R. Por ejemplo, si R es un dominio conmutativo local,entonces Nil R = 0, pero rad R es el unico ideal maximal de R, que esdistinto de cero, si R no es un cuerpo.

2) Cualquier anillo simple R es J-semisimple, ya que rad R es un ideal( R, debe ser cero.

3) Sea R un anillo tal que S := U(R)∪{0} es un anillo de division. EntoncesR es J-semisimple. Para ver esto, notemos que S ∩ rad R es un ideal enS, por lo tanto es cero. Sea y ∈ rad R. Entonces 1 + y ∈ U(R) ⊆ S.Restando 1, vemos que y ∈ S ∩ rad R = 0

Corolario 2.16. Cualquier anillo R libremente generado por un conjunto deindeterminadas {xi} sobre un anillo de division k es J-semisimple.

Demostracion. Esta demostracion sale pensando en el grado de un polinomio.Un polinomio con indeterminadas {xi} es invertible si y solo si es una cons-tante diferente de cero en k. Por lo tanto, U(R) ∪ {0} = k ası el Corolario sededuce del anterior ejemplo 3).

Por exactamente el mismo razonamiento sobre el grado, tambien podemosdeducir de 3):

Corolario 2.17. Sea k un anillo de division. Entonces cualquier anillo depolinomios k [{xi}] en el que las variables {xi} conmutan, es J-semisimple.

4) Sea k un cuerpo, y R una k-algebra. Un elemento x ∈ R se dice algebrai-co sobre k si satisface una ecuacion polinomial no trivial con coeficientesen k. Tenemos la siguiente interesante descripcion de los elementos al-gebraicos del radical de Jacobson de R.

Proposicion 2.18. Sea x ∈ rad R, donde R es una k-algebra. Entonces x esalgebraico sobre k si y solo si es nilpotente.

Demostracion. ⇐) Es obvio.⇒) Sea x ∈ rad R, algebraico sobre k. Escribimos una ecuacion polinomialpara x, con grados ascendentes, es decir

xr + a1xr+1 + · · ·+ anx

r+n = 0

Donde ai ∈ k. Dado que

1 + a1x+ · · ·+ anxn ∈ 1 + rad R ⊆ U(R),

Se sigue que xr = 0 por lo que debemos tener que r ≥ 1 y x es nilpotente.

Una k-algebra R se dice que es un algebra algebraica si cada elemento x ∈ Res algebraico sobre k. La Proposicion anterior, junto con (2.11), implican losiguiente:

Corolario 2.19. Sea R un algebra algebraica sobre k. Entonces rad R es elideal nil mas grande de R.



En este momento debemos mencionar algunos ejemplos de algebras al-gebraicas. En primer lugar, cualquier algebra de dimension finita sobre uncuerpo k es claramente una k- algebra algebraica. Entonces, en general, unalgebra algebraica es una k-algebra, la cual es union de sus k-subalgebrasde dimension finita. Otros ejemplos estan dados por algebras de grupo kGsobre grupos G, que son localmente finitas (cualquier subgrupo finitamentegenerado de G es finito): aquı, cualquier elemento α = a1g1 + · · · + angn dekG pertenece a la k-subalgebra de dimension finita kH, donde H es el grupo(finito) generado por gi, · · · , gn. En particular, si G es un grupo abeliano detorsion, entonces kG es una k-algebra algebraica. Existen algunas consecuen-cias mas de (2.18) que involucran la consideracion de los numeros cardinales,|k| y dimkR. Daremos algunas de estas consecuencias a continuacion.

Teorema 2.20 (Amitsur). Si dimkR < |k| (como numeros cardinales), dondeR es una k-algebra. Entonces rad R es el ideal nil mas grande de R.

Demostracion. Es suficiente mostrar que rad R es nil. Primero supongamosque k es un cuerpo finito. La hipotesis implica que R es un anillo finito. Enparticular R es artiniano a izquierda, por (2.12), rad R es nilpotente. En loque sigue, podemos suponer que k es infinito. Para ver que rad R es nil, essuficiente probar (por (2.18)) que todo r ∈ rad R es algebraico en k. Para todoa ∈ k∗ = k\{0}, a− r = a

(1− a−1r

)∈ U(R). Como dimkR < |k| = |k∗|, los

elementos {(a− r)−1 : a ∈ k∗} no pueden ser k-linealmente independientes.Por lo tanto existen elementos distintos a1, · · · , an ∈ k∗ tales que existe unarelacion de dependencia

n∑i=1

bi (ai − r)−1 = 0

Donde bi ∈ k no son todos nulos. Eliminando los denominadores, tenemosn∑i=1

bi (a1 − r) · · · (ai − r) · · · (an − r) = 0,

Donde el “sombrero” significa la omision del factor.Luego r es una raız del k-polinomio

f(x) =∑bi (a1 − x) · · · (ai − x) · · · (an − x).

Dado que f(ai) = bi∏i 6=j

(aj − ai) es distinto de cero para algun i, f no es el

polinomio nulo. Por lo tanto, r es algebraico sobre k.

Corolario 2.21. Sea R un algebra numerablemente generada sobre un cuerpok no numerable. Entonces rad R es el ideal nil mas grande de R.

Demostracion. Como k-espacio vectorial, R tiene una base numerable, por loque la hipotesis dimkR < |k| se satisface en la Proposicion.

Para concluir esta seccion, vamos a demostrar el siguiente resultado quees de fundamental importancia en la teorıa de anillos y modulos.

Lema 2.22 (Nakayama). Sea J un ideal a izquierda, J ⊂ R, son equivalentes:

1) J ⊆ rad R.

2) Para cualquier R-modulo a izquierda finitamente generado M , J ·M =M implica que M = 0.



3) Para cualquier R-modulo N ⊆M tal que M/N es finitamente generado,N + J ·M = M implica que N = M .

Demostracion. 1) ⇒ 2). Supongamos que M 6= 0. Entonces, entre todos lossubmodulos ( M , existe uno que es maximal, digamos M ′. Este M ′ existepor el Lema de Zorn, teniendo en cuenta que M es finitamente generado. AsıM/M ′ es simple, y por lo tanto J · (M/M ′) = 0; es decir, J ·M ⊆ M ′. Enparticular, J ·M 6= M .2)⇒ 3). Se deduce aplicando 2) al cociente de modlos M/N .3) ⇒ 1). Supongamos que algun elemento y ∈ J no esta en rad R. Entoncesy /∈ m para algun ideal maximal a izquierda m de R. Tenemos que m+J = R,con mas razon, m + J ·R = R. De 3) se sigue que m = R, absurdo.

Aunque hemos llamado al Lema (2.22) de Nakayama, la idea detras deeste Lema se origino a partir del trabajo de mas de un matematico. En elcaso conmutativo y cuando M es un ideal de R, 1) ⇒ 2) fue descubierto yutilizado eficazmente por W. Krull. La formulacion teorica de modulos de 2)y 3) anterior, se debe a G. Azumaya y T. Nakayama. Cuando Nakayama sepregunto a sı mismo cual serıa la atribucion correcta de (2.22), sugirio modes-tamente que deberıa ser atribuida a Krull-Azumaya en el caso conmutativo, ya Jacobson-Azumaya en el caso no conmutativo. Como es obviamente dema-siado complicado de nombrar, seguiremos a la mayorıa de los matematicos yllamaremos a (2.22) Lema de Nakayama. Habitualmente, este Lema se utilizaen la parte 3) con J = rad R.

Cerraremos esta seccion discutiendo una clase muy importante de anillos,que estan “entre” anillos semisimples y anillos J-semisimples. Estos son losanillos regulares de von Neumann, descubiertos (alrededor de 1935) por Johnvon Neumann en el marco de su trabajo en geometrıa y algebra de operadorescontinuos. El siguiente resultado memorable se encuentra en el libro de vonNeumann “Continuous Geometry”; Parte II, Capıtulo 2, Teorema 2.2.

Teorema 2.23. Sea R un anillo, son equivalentes:

1) Para cualquier a ∈ R, existe x ∈ R tal que a = axa.

2) Todo ideal principal a izquierda es generado por un idempotente.

2’) Todo ideal principal a izquierda es suma directa de RR.

3) Todo ideal a izquierda finitamente generado, es generado por un idem-potente.

3’) Todo ideal a izquierda finitamente generado, es suma directa de RR.

Como la condicion 1) es simetrica a izquierda-derecha, vemos que el mismoteorema tambien se cumple si cambiamos la palabra “izquierda” por “derecha”en las ultimas cuatro condiciones. Si un anillo R satisface alguna de estascondiciones, decimos que R es un anillo regular de von Neumann.

Demostracion. En la demostracion del Teorema (2.14) usamos un resultadoque nos permite obtener 2)⇔ 2′) y 3)⇔ 3′). Probemos que 1)⇔ 2). Supon-gamos que se cumple 1), y consideremos un ideal principal a izquierda R · a.Tomemos x ∈ R tal que axa = a. Entonces

e := xa = xaxa = e2,



y e ∈ R · a mientras a = axa = ae ∈ R · e, ası R · a = R · e. Para la vuelta,supongamos que vale 2), tomemos a ∈ R. Escribiendo R · a = R · e dondee = e2, tenemos que e = xa y a = ye para algun x e y ∈ R. Entonces

axa = ye · e = ye = a

Es claro que 3) ⇒ 2), faltarıa ver que 2) ⇒ 3). Por induccion, es suficienteprobar que, para cualesquiera dos e, f , I = Re + Rf esta generado por unidempotente. Ahora I = Re + Rf(1 − e) y Rf(1 − e) = Re′ para algunidempotente e′, para el cual e′e ∈ Rf(1 − e)e = 0. Luego, e′(e′ + e) = e′, loque nos lleva facilmente a

I = Re+Re′ = R(e′ + e).

Por lo tanto, I = Re′′ para algun idempotente e′′. (La eleccion explıcita parae′′ es e+ e′ − ee′.)

Corolario 2.24. Semisimple =⇒ regular von Neumann =⇒ J-semisimple.

Demostracion. La primer implicacion se desprende de la caracterizacion 2’) delos anillos regulares de von Neumann. Teniendo en cuenta esta caracterizacion,vemos que la regularidad de von Neumann es un debilitamiento natural de lasemisimplicidad. Para la segunda implicacion, supongamos que R es regular devon Neumann, y consideremos un a ∈ rad R. Escribiendo a = axa (para algunx ∈ R), tenemos que a(1−xa) = 0, por lo tanto a = 0 pues 1−xa ∈ U(R).

Vamos a ver que el resultado (2.14) tiene el siguiente resultado analogo.

Teorema 2.25. Los anillos semisimples son exactamente los anillos a iz-quierda (respectivamente a derecha) noetherianos regulares de von Neumann.

Demostracion. Sabemos que un anillo R semisimple a izquierda es a la veznoetheriano a izquierda y artiniano a izquierda. Ademas, por (2.24), R es devon Neumann. Ahora bien, si R es un anillo artiniano a izquierda y regularde von Neumann, entonces todo ideal de R es finitamente generado y por lotanto suma directa de RR, por la caracterizacion 3’) de (2.23). Por lo tanto,R es semisimple (a izquierda).

Corolario 2.26. Si un anillo regular de von Neumann es noetheriano a iz-quierda, entonces es noetheriano y artiniano.

Notemos que los productos directos y cocientes de anillos regulares devon Neumann, son regulares de von Neumann. Cualquier anillo de Boole (unanillo en el que cada elemento es idempotente) es regular de von Neumann.De manera mas general, cualquier anillo en el cual cada elemento a satisfacean(a) = a para algun n(a) ≥ 2 es regular de von Neumann.

Para un elemento a de un anillo R regular de von Neumann, por lo generalexiste mas de un x ∈ R tal que a = axa. Tales x pueden ser considerados comouna especie de seudo-inversa de a. (Si a ∈ U(R), entonces, es claro que x esunico y x = a−1.) La idea de esta seudo-inversa se ve mejor en la demostracionde la siguiente Proposicion, que ofrece una gran clase de ejemplos de anillosregulares de von Neumann.

Proposicion 2.27. Sea M un modulo semisimple (a derecha) sobre un anillok. Entonces R = End(Mk) es regular de von Neumann.



Demostracion. Sea f ∈ R, con K := kerf . Fijado un k-submodulo N ⊆ Mtal que M = K ⊕N . Entonces f mapea N isomorficamente en N ′ := f(N), ypodemos encontrar otro k-submodulo K ′ ⊆ M tal que M = K ′ ⊕N ′. Ahoradefinimos g ∈ R tal que g(K ′) = 0 y g|N ′ sea la inversa de f |N . Entonces,claramente tenemos que fgf = f .

Si k fuera un anillo de division, entonces Mk siempre es semisimple. Enel caso especial, cuando M tiene dimension finita n, sobre k, la Proposicionmuestra que Mn(k) es regular de von Neumann. Tomando producto directofinito de tales anillos de matrices, tenemos una forma indirecta de ver que losanillos semisimples son regulares de von Neumann. Podrıamos haber tomadoproductos directos infinitos para obtener ejemplos no semisimples.

3. El Radical de Jacobson Bajo Cambio de

Anillos

El problema principal que vamos a considerar en esta seccion es el siguien-te: supongamos que S es un anillo, y R es un subanillo de S, ¿que tipo derelaciones se mantienen entre el radical de Jacobson de R y el radical de Ja-cobson de S? En general, no podemos esperar que un radical determine elotro, pero si nos dan informacion extra sobre el par de anillos R y S, es razo-nable esperar que ciertas relaciones de inclusion se den entre rad R y rad S,o entre rad S y S · (R ∪ rad S). Esta seccion esta dedicada a resultados deeste tipo. En particular, vamos a considerar el comportamiento del radical deJacobson bajo extensiones polinomicas de anillos, y bajo extensiones escalaresde algebras sobre cuerpos.

Para comenzar esta seccion, vamos a trabajar primero con los anillos con-mutativos. Determinar el comportamiento del radical de Jacobson bajo ex-tensiones polinomicas, resulta ser bastante sencillo en el caso conmutativo. Apartir de este momento T = {ti : i ∈ I} es un conjunto (no vacıo) de variablesconmutativas independientes sobre un anillo conmutativo R. Recordemos queNil R denota el ideal de elementos nilpotentes de R. El siguiente teorema nosda una determinacion completa del radical de Jacobson de R[T ] = R[ti : i ∈ I].

Teorema 3.1 (E. Snapper). Sea R un anillo conmutativo y sea R[T ] el anillode polinomios sobre R. Entonces rad R[T ] = Nil(R[T ]) = (Nil R)[T ].

Demostracion. Recordemos que un anillo se dice reducido si no tiene ele-mentos nilpotentes no nulos. Como R/Nil R es reducido, es facil ver que(R/Nil R)[T ] es reducido. Pero

(R/Nil R)[T ] ∼= R[T ]/(Nil R)[T ],

lo que implica que (Nil R)[T ] = Nil(R[T ]). Tambien,Nil(R[T ]) ⊆ rad (R[T ]),por lo que solo queda por demostrar la inclusion inversa. Para ello, suponga-mos que T tiene un solo elemento, digamos t. Sea

f(t) = r0 + · · ·+ rntn ∈ rad(R[t]).

Entonces

1− tf(t) = 1− r0t− · · · − rntn+1 ∈ U(R[t]).



Sea p un ideal primo en R. Entonces la invertibilidad del polinomio anterioren (R/p)[t] implica que ri ∈ p. Dado que esto es valido para todos los idealesprimos p ⊂ R, tenemos que ri ∈ Nil R, por un teorema estandar de algebraconmutativa. Por lo tanto, f(t) ∈ (Nil R)[t].

Corolario 3.2. Sean R y T como antes. Entonces R[T ] es Jacobson semi-simple si y solo si R es reducido.

A continuacion obtendremos algunos resultados generales acerca de unaclase de anillos conmutativos llamados anillos de Hilbert. Primero probamosel siguiente resultado en extensiones de anillos conmutativos finitamente ge-nerados.

Teorema 3.3. Sea R ⊆ A un dominio conmutativo tal que A es finitamentegenerado como R-algebra, y R es J-semisimple. Entonces A tambien es J-semisimple.

Demostracion. Es suficiente tratar el caso en que A = R[a]. Podemos suponerque a es algebraico sobre el cuerpo cociente K de R, pues, de otra manera, porel Teorema de Snapper hemos terminado. Supongamos que existe un elementodistinto de cero b ∈ rad A. Entonces a y b son ambos algebraicos sobre K.Sean

n∑i=0

riti,

m∑i=0

siti ∈ R[t]

polinomios, con los menores grados posibles n,m ≥ 1, satisfechos por a y brespectivamente. Como A es un dominio

so = −m∑i=1

sibi ∈ rad A

no es cero, y ası rns0 6= 0. De rad R = 0, podemos encontrar un ideal maximalm de R tal que rns0 /∈ m. Al encontrar a S = R\m, rn se convierte en unaunidad, por lo que a satisface una ecuacion monica sobre S−1R; en particular,S−1A = (S−1R)[a] es finitamente generado como modulo sobre S−1R. Por ellema de Nakayama (2.22),

(rad S−1R) · S−1A $ A.

En particular, m ·A $ A.Sea m′ un ideal maximal de A contenido en m ·A. Entonces, es claro quem′ ∪R = m, y ası s0 /∈ m implica que s0 /∈ m′, contradiciendo el hecho de ques0 ∈ rad A.

Ahora es conveniente definir los anillos de Hilbert. Un anillo conmutati-vo (respectivamente dominio) R se dice anillo de Hilbert (respectivamente,dominio de Hilbert), si cada ideal primo de R es una interseccion de idealesmaximales. Si R es un dominio de Hilbert, entonces R es J-semisimple.

Corolario 3.4. Sea R ⊆ A un anillo conmutativo tal que A es finitamentegenerado como R-algebra y R es un anillo de Hilbert. Entonces A tambien esun anillo de Hilbert. (En particular, rad A = Nil A.)

Demostracion. Sea p ⊂ A un ideal primo. Entonces A/p es un dominio fini-tamente generado sobre R/p ∩ R. Este ultimo es un dominio de Hilbert asırad(R/p∩R) = 0. Por el Teorema, rad(A/p) = 0, lo que significa precisamen-te que p es la interseccion de todos los ideales maximales que contienen a p.Por lo tanto, A es de Hilbert.



Teorema 3.5. Sea R ⊆ A un dominio conmutativo tal que A es finitamentegenerado como R-algebra. Si A es un cuerpo, entonces tambien lo es R, yA/R es una extension finita (algebraica) de cuerpos.

Demostracion. Primero tratemos el caso: A = R[a]. Claramente a es algebrai-co sobre el cuerpo cociente en R. Sea

n∑i=0

riti ∈ R[t]

un polinomio (con rn 6= 0) satisfecho por a, y sea m un ideal maximal enR con rn /∈ m. Tal ideal maximal existe porque rad R = 0. Como vimos enla demostracion de (3.3), m · A $ A. Como A es un cuerpo, el ideal m · Adebe ser cero. Por lo tanto, m es cero, lo que implica que R es un cuerpo.Para ver el caso general, sea A = R[a1, . . . , am] y escribimos R′ = R[a1]. Por(3.3), rad R′ = 0. Por hipotesis inductiva (sobre m), podemos ver que R′ esun cuerpo y cada ai (2 ≤ i ≤ m) es algebraico sobre R′. Por el primer caso,podemos concluir que R es un cuerpo y ai es algebraico sobre R. Se sigue que,cada ai es algebraico sobre R y que A/R es una extension de cuerpos finita(algebraica).

En el caso especial, cuando R es un cuerpo. El Teorema anterior (3.5)se conoce como Lema de Zariski en algebras conmutativas. Dicho de otramanera, esto dice que, para cualquier cuerpo R, y cualquier ideal maximal mdel anillo de polinomios R[x1, . . . , xm], el anillo cociente R[x1, . . . , xm]/m esuna extension de cuerpos finita de R. En el caso de que R sea algebraicamentecerrado, esto implica, en particular, que m tiene la forma (x1−b1, . . . , xm−bm)para convenientes b1, . . . , bm ∈ R.De ello se deduce que cualquier ideal propio A $ R[x1, . . . , xm] tiene un ceroen Rm: esta es la denominada Debil Nullstellensatz. La Fuerte Nullstellensatzes esencialmente la traduccion geometrica del hecho de que rad A = Nil Apara cualquier algebra afın A (conmutativa) sobre un cuerpo. En (3.3), (3.4),(3.5), hemos logrado extender estos resultados basicos de algebra conmutativaa un entorno un poco mas general, mediante el uso de la nocion del radicalde Jacobson. Nuestro procedimiento aquı sigue las ideas de Eagon [1].

Vamos a abandonar los anillos conmutativos y a considerar nuevamenteanillos cualesquiera. Nuestro proximo objetivo sera extender el resultado (3.1)al caso no conmutativo. El problema principal en este caso es que los elementosnilpotentes de R ya no necesitan formar un ideal (o incluso un grupo conla suma), por lo que primero tenemos que encontrar una sustitucion parala expresion (Nil R)[T ] en el Teorema de Snapper. Ademas, dado que lademostracion de este teorema depende en gran medida de la conmutatividadde R, se necesitan nuevas ideas para extender la demostracion en el caso deanillos no conmutativos.

Antes de examinar R[T ], sera conveniente recoger algunos datos generalessobre el comportamiento del radical bajo un cambio de anillos. A continuacion,en el primer resultado, consideraremos un par de anillos R ⊆ S y estudiaremoscondiciones suficientes sobre R y S de las cuales podamos concluir queR ∩ rad S ⊆ rad R.

Proposicion 3.6. Sean R ⊆ S dos anillos. Supongamos, ya sea

1) como R-modulo a izquierda, RR es suma directa de RS, o

2) existe un grupo G de automorfismos de un anillo S tal que R es elsubanillo de puntos fijos SG := {s ∈ S : g(s) = s ∀g ∈ G}.



Entonces R ∩ rad S ⊆ rad R.

Demostracion. Primero supongamos que se verifica 1). Escribimos S = R⊕Tdonde T es un R-submodulo a izquierda adecuado de RS. Hemos terminadosi podemos demostrar que r0 ∈ R ∩ rad S ⇒ 1− r0 es invertible a derecha enR. Sea

1 = (1− r0)(r + t) = (1− r0)r + (1− r0)t,

donde r ∈ R y t ∈ T . Como S = R ⊕ T y 1 ∈ R, implica que (1 − r0)r = 1,como querıamos. A continuacion supongamos que R = SG, donde G es comoen 2). Se sigue como en la demostracion de 1). Para r0 ∈ R ∩ rad S, sea(1− r0)s = 1 donde s ∈ S. Es claro que s esta fijo bajo la accion de G. Por lotanto s ∈ SG = R, ası 1− r0 es invertible a derecha en R.

Sea i : R→ S un homomorfismo de anillos. Vamos a investigar condicionessuficientes bajo las cuales podamos concluir que i(rad R) ⊆ S. Una tal condi-cion que viene rapidamente a la mente es que i : R→ S sea suryectiva. Bajoesta suposicion, y una facil aplicacion de (2.1) vemos que i(rad R) ⊆ rad S.Trataremos de desarrollar una condicion suficiente mas general. Notemos que,vıa el homomorfismo i : R → S, podemos ver a S como un bimodulo RSR.Para facilitar la notacion, denotaremos las R-acciones a izquierda y a derechade S por multiplicacion: por ejemplo, si r ∈ R y s ∈ S, r · s significara i(r)s.

Proposicion 3.7. Sea i : R→ S como antes. Supongamos que

S = R · x1 + · · ·+R · xn

donde cada xj conmuta elemento a elemento con i(R). Entonces i(rad R) ⊆rad S.

Demostracion. Notemos que si M es un S-modulo a izquierda, tambien sepuede ver a M como un R-modulo a izquierda a traves de i. Sea J := rad R.Para probar que i(J) ⊆ rad S, es suficiente mostrar que J actua de maneratrivial sobre todo S-modulo simple a izquierda M (ver (2.1)). EscribimosM = S · a para algun a ∈M . Entonces

M = (R · x1 + · · ·+R · xn)a = R · x1a+ · · ·+R · xna,

ası RM es finitamente generado. Consideremos J ·M . Este es un S-submodulode M , ya que

xj(J ·M) = xjJ ·M = J · xjM ⊆ J ·M .

Dado que, M 6= 0, por el Lema de Nakayama (2.22) tenemos que J ·M $M .Recordando que SM es un modulo simple, tenemos que J ·M = 0, como sequerıa.

Observacion 3.8. La demostracion anterior muestra que la conclusioni(rad R) ⊆ rad S, es valida bajo la siguiente hipotesis considerablementemas debil en xj (1 ≤ j ≤ n): Para cada xj , existe un automorfismo de anilloσj de R tal que xj · r = σj(r) · xj . Pues, bajo estas hipotesis, ya tenemosxj · J ⊆ σj(J) · xj = j · xj (J = rad R siendo claramente invariante bajotodos los automorfismos de R), y el resto de la demostracion sale sin ningunamodificacion.

La Proposicion anterior se utiliza con mayor frecuencia en la siguienteforma, un tanto mas simple:



Corolario 3.9. Sea R un anillo conmutativo y S un R-algebra tal que S esfinitamente generado como R-modulo. Entonces (rad R) · S ⊆ rad S.

Despues de los preliminares anteriores, ahora continuaremos con las ex-tensiones polinomiales, R ⊂ S := R[T ], donde T = {ti : i ∈ I} es un conjuntono vacıo de variables independientes (conmutativas). (Por supuesto, no va-mos a asumir que R es conmutativo). El siguiente buen resultado de Amitsur[2], describe la estructura del radical de S = R[T ], proporcionando ası unresultado analogo no conmutativo al Teorema de Snapper (3.1)

Teorema 3.10 (Amitsur). Sean R un anilllo, y S = R[T ]. Sean J = rad S yN = R∩J . Entonces N es un ideal nil en R, y J = N [T ]. En particular, si Rno tiene ideales nil distintos de cero, entonces S es de Jacobson semisimple.

La prueba de este importante teorema se presentara en varios pasos. Enlo que sigue, las notaciones introducidas en (3.10) seran fijadas. Vamos ademostrar primero la parte mas facil.

Proposicion 3.11. N es un ideal nil de R.

Demostracion. Sea a ∈ N y t = ti0 una de las variables. Entonces 1 − at esinvertible en R[T ], digamos (1 − at)g(T ) = 1. Ajustando todas las variablesti (i 6= i0) iguales a cero, tenemos

(1− at)(a0 + a1t+ · · ·+ antn) = 1

para algunos aj ∈ R. Comparando los coeficientes, tenemos que

ao = 1, a1 = aa0 = a, · · · , an = aan−1 = an,

y 0 = aan = an+1, como se deseaba.

Los siguientes dos resultados establecen la veracidad de (3.10) en el casode una variable, T = {t}.

Proposicion 3.12. Sea S = R[t], J = rad S, y a0, · · · , an ∈ R.Si f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ ant

n ∈ J , entonces aiti ∈ J para todo i.

Demostracion. La conclusion es claramente verdadera para n = 0. Por induc-cion, supongamos que la conclusion es verdadera para los menores que n (paratodos los anillos R). Sea p un numero primo > n, y sea R1 el anillo

R[ζ]/(1 + ζ + · · ·+ ζp−1).

Para simplificar las notaciones, escribiremos ζ para la imagen de ζ en R1;entonces ζp = 1 en R1. Notemos que, para cualquier entero positivo j < p,tenemos que

p ∈ (ζj − 1)R1. (1)

En efecto, en el anillo cociente R1/(ζj − 1)R1 tenemos que ζ

j= 1 y ası ζ = 1.

Por lo tanto, 1 + ζ + · · ·+ ζp−1 = 0 implica que p = 0.Ahora bien, sea S1 = R1[t] y J1 = rad S1. Como

S1 = S ⊕ ζS ⊕ · · · ⊕ ζp−2S

y ζ es central en S1, tenemos J1 ∩ S = J por (3.6) y (3.7). Aplicando elautomorfismo t→ ζt sobre S1, f(t) ∈ J ⊆ J1 lleva a f(t) ∈ J1 y por lo tanto

ζnf(t)− f(ζt) = a0(ζn − 1) + a1(ζ

n − ζ)t+ · · ·+ an−1(ζn − ζn−1)tn−1 ∈ J1



Usando la hipotesis inductiva (sobre R1), tenemos que ai(ζn− ζi)ti ∈ J1 para

todo i ≥ n − 1. Usando (1), vemos que paiti ∈ J1 ∩ S = J . Aplicando este

razonamiento a otro primo q > n, tambien qaiti ∈ J ; por lo tanto, ait

i ∈ Jpara todo i ≥ n− 1. Dado que f(t) ∈ J , resulta que ant

n ∈ J

Proposicion 3.13. Con las notaciones de (3.12), si f(t) ∈ J , entonces ai ∈ Jpara todo i.

Demostracion. Aplicando el automorfismo t→ t+ 1 sobre R[t], la conclusionanterior ait

i ∈ J implica que

ai(1 + t)n = ai + nait+ · · ·+ aitn ∈ J

Aplicando nuevamente (3.12), vemos que ai ∈ J

Volviendo al Teorema de Amitsur (3.10), nuestro trabajo sera deducir elcaso general para multiples variables del caso de una variable establecido en(3.13).

Demostracion. (3.10). La conclusion deseada J = N [T ] (N = J ∩ R) sig-nifica que, si un polinomio f(T ) ∈ J , entonces todos los coeficientes debenpertenecer a J . Veamos esto por induccion sobre el numero de variables mque aparecen en f . Si m = 0, es claro. Si m > 0, fijamos una variable t que

aparece en f . Escribimos T = T0∪{t} (union disjunta) y f(T ) =∑iai(T0)t

i.

Aplicando (3.13) a R[T ] = R[T0][t], vemos que ai(To) ∈ J para todo i. Dadoque el numero de variables que aparecen en cada ai(t0) es ≤ m− 1, se verificala induccion.

En este punto, vamos a hacer algunos comentarios sobre el Teorema deAmitsur (3.10). Una desventaja de este teorema es que no “determina” queN = R∩ rad R[T ], aparte de eso es un ideal nil. Ahora, en cualquier anillo R,siempre hay un ideal nil mas grande, ya que la suma de todos los ideales niles nil. Notemos a este ideal nil mas grande con Nil∗R; denominado nilradicalsuperior de R. Un problema interesante es determinar si N en el Teorema deAmitsur es igual a Nil∗R, de modo que rad R[T ] = (Nil∗R)[T ]. En otraspalabras:

Problema 3.14. Si I es un ideal nil de R, ¿I[T ] ⊆ rad R[T ]?

Si I es nilpotente, digamos In = 0, entonces es claro que I[T ]n = 0 pode-mos deducir de (2.11) que I[T ] ⊆ rad R[T ]. Pero si I solo es nil, y R no esconmutativo (3.14) sigue siendo un problema difıcil sin resolver en la teorıade anillos. De hecho, (3.14) resulta ser equivalente a otro problema famoso enla teorıa de anillos llamado Conjetura de Kothe.

Si R es un algebra sobre un cuerpo k, es posible obtener un resultadoanalogo a (3.10) para el algebra R(T ). Aquı, R(T ) se define como la extensionescalar de la k-algebra R cuando extendemos los escalares de k a k(T ), conla funcion natural sobre el cuerpo k en el conjunto de variables T . Dado quek(T ) es cociente de cuerpos de k[T ] y R⊗kk[T ] = R[T ], R[T ] es la localizacionde R[T ] en el conjunto central multiplicativo k[T ] \ {0}. Para la estructuradel radical de R(T ), tenemos el siguiente resultado analogo de (3.10), tambiendebido a Amitsur.

Teorema 3.15. Sea J ′ = rad R(T ) y N ′ = R ∩ J ′. Entonces N ′ es un idealnil de R, y J ′ = N ′(T ) := N ′⊗k k(T ). En particular, si R no tiene ideales nildistintos de cero, entonces R(T ) es Jacobson semisimple.



Demostracion. La prueba aquı recorre la misma lınea que en el caso de unaextension polinomica. Siempre que ai ∈ R, repitiendo los argumentos anterio-res, podemos demostrar en el caso de una variable que:∑

i

aiti ∈ rad R(t) =⇒ ∀i, ai ∈ rad R(t). (2)

En el caso de multiples variables, consideremos f(T )/g(T ) ∈ J ′, donde f(T ) ∈R[T ] y 0 6= g(T ) ∈ k[T ]. Tenemos que f(T ) ∈ g(T )J ′ ⊆ J ′, por lo que essuficiente probar que f(T ) ∈ J ′ implica que todos los coeficientes de f estan enJ ′. Por induccion sobre el numero de variables que aparecen en f , escribimosf(T ) =

∑ai(T0)t

i como en la demostracion de (3.10), donde T = T0∪{t}. SeaR∗ = R(T0), considerada como un algebra sobre k∗ = k(T0), podemos hacerlas siguientes identificaciones:

R(T ) = R⊗k k(T0)⊗k(T0) k(T0, t) = R∗ ⊗k∗ k∗(t) = R∗(t).

De∑ai(T0)t

i ∈ J ′ de (2) (aplicada a R∗) podemos concluir que ai(T0) ∈ J ′para todo i, hemos terminado como antes, por induccion.

Para completar la demostracion de (3.15) todavıa tenemos que demostrarque N ′ es un ideal nil de R. De hecho una afirmacion un poco mas fuertees verdadera para extensiones escalares de algebras. Ahora vamos a examinarcon mas detalle el comportamiento del radical de algebras bajo extensionesescalares. El resultado (3.17) que demostraremos a continuacion, en particular,implicara que el ideal N ′ de (3.15) es nil.

Sea R una k-algebra donde k es un cuerpo, y sea K ⊇ k una extension decuerpos. Podemos formar el algebra RK := R⊗kK, en donde la multiplicacionse define por

(r ⊗ a)(r′ ⊗ a′) = rr′ ⊗ aa′ para r, r′ ∈ R y a, a′ ∈ K

La K-algebra RK se llama extension escalar de R para el nuevo cuerpo escalarK. El subanillo R ⊗ k = R ⊗ 1 de RK es isomorfo a R por lo que seraidentificado con R. Tengamos en cuenta que no es necesario imponer ningunacondicion sobre la extension K ⊇ k; por lo tanto, esto puede ser una extensiontrascendental, ası como una extension algebraica. La siguiente secuencia deresultados describen las relaciones entre los radicales rad R y rad RK .

Teorema 3.16. Para cualquier k-algebra R y cualquier extension de cuerposK/k, tenemos R ∩ rad RK ⊆ rad R. Si K/k es una extension algebraica, osi dimkR <∞, entonces R ∩ rad RK = rad R. Si [K : k] = n <∞, entonces

(rad RK)n ⊆ (rad R)K(= (rad R)⊗k K).

Demostracion. Sea {ei} una base de K como k-espacio vectorial, donde ei0 =1. Entonces

RK = R⊕⊕i 6=i0

R · ei

es una descomposicion en suma directa de RK como R-modulo a izquierda.Por lo tanto, R ∩ rad RK ⊆ rad R por (3.6). Si dimkR < ∞, entoncespor (2.12) rad R es nilpotente, ası (rad R)K ⊆ RK tambien es nilpotente.Por lo tanto (rad R)K ⊆ rad RK luego rad R ⊆ R ∩ rad RK . En el caso:[K : k] = n < ∞, la descomposicion en suma directa para RK anterior esfinita, y cada ei centraliza R. Por (3.7), tenemos que rad R ⊆ R ∩ rad RK ,como se querıa. Finalmente, veamos que (rad RK)n ⊆ (rad R) ⊗ K, sea V



un R-modulo simple a derecha. Entonces V K = V ⊗k K es un RK-modulo aderecha. Visto como R-modulo,

V K ∼=n⊕i=1

(V ⊗ ei)

tiene longitud n de composicion. Por lo tanto, visto como RK-modulo, V K

tiene longitud de composicion≤ n. Ası, para cualquier z ∈ (rad RK)n, V K ·z =0. Escribimos z =

∑ri⊗ ei donde ri ∈ R. Para cualquier v ∈ V , tenemos que

0 = (v ⊗ 1)(∑ri ⊗ ei) =

∑vri ⊗ ei =⇒ vri = 0 (1 ≤ i ≤ n)

Luego, V · ri = 0 y ası ri ∈ rad R para todo i, de lo que obtenemos z =∑ri ⊗ ei ∈ (rad R)⊗K

Si K/k no es una extension algebraica, la inclusion R ∩ rad Rk, no puedeser una igualdad. De hecho, vamos a demostrar a continuacion que, en estecaso, R∩rad RK es siempre un ideal nil. Ası pues, si rad R no es nil, tenemosuna inclusion estricta R ∩ rad RK $ rad R.

Proposicion 3.17. Sea K/k un extension de cuerpos que no es algebraica.Entonces para cualquier k-algebra R, r ∩ rad RK es un ideal nil de R. (Estomuestra, en particular, que el ideal N ′ de (3.15) es nil).

Demostracion. Sea a ∈ R ∩ rad RK y sea t ∈ K trascendental sobre k.Aplicando la primera parte de (3.16) a la extension k(t) ⊆ K, vemos quea ∈ R ∩ rad Rk(t). Para ver que a es nilpotente, basta suponer que K = k(t).Dado que 1− at ∈ U(RK), existe una ecuacion

(1− at) · f(t)/g(t) = 1,

donde

f(t) = b0 + b1t+ · · ·+ bmtm ∈ R[t] (bm 6= 0),

g(t) = c0 + c1t+ · · ·+ cm+1tm+1 ∈ k[t].

Comparando los coeficientes, obtenemos c0 = b0, ci = bi − abi−1 (1 ≤ i ≤m+ 1), con la convencion de que bm+1 = 0. Resolviendo los bi en terminos delos cj , tenemos por induccion que

bi = aic0 + ai−1c1 + · · ·+ ci.

Para i = m, que bm 6= 0 implica que c0, . . . , cm no son todos nulos.Para i = m+ 1, la ecuacion

0 = bm+1 = am+1c0 + · · ·+ acm + cm+1

muestra que a es algebraico sobre k. Como a ∈ rad Rk(t), de (2.18) se tieneque a es nilpotente.

A partir de ahora vamos a centrar nuestra atencion en las extensionesescalares de algebras cuando K/k es una extension algebraica separable. Eneste caso, se puede obtener informacion muy especıfica: vease (3.19).

Lema 3.18. Sea R una k-algebra, y K/k una extension algebraica separable.Si R es J-semisimple, entonces tambien lo es RK .

Demostracion. Si z ∈ rad RK , entonces, para algun L ⊂ K de grado finitosobre k, tenemos por (3.16) que z ∈ RL ∩ rad RL. Por lo tanto podemossuponer que K/k es finito. Sea E la extension normal de K sobre k; entoncesE/k es de Galois finita. Por (3.16) (aplicado a E/K),



rad RK ⊆ rad (RK)E = rad RE .

Por lo tanto es suficiente mostrar que rad RE = 0. Sea e1, . . . , en una k-basede E, y sea G el grupo de Galois de E/k. Podemos extender la G-accion aRE = R⊗k E identificando σ ∈ G con 1⊗ σ. Dado cualquier elemento

z =∑iri ⊗ ei ∈ rad RE ,

tenemos, para cualquier σ ∈ G y cualquier ındice j:

σ(zej) = σ

(∑iri ⊗ eiej

)=∑iri ⊗ σ(eiej).

Estos elementos pertenecen a rad RE , ya que rad RE es un ideal de RE quees invariante bajo todos los automorfismos. Resumiendo estos elementos sobreσ ∈ G y escribiendo “tr” para el cuerpo traza de E/k, obtenemos∑

iri ⊗

∑σ ∈ Gσ(eiej) =

∑iri ⊗ tr(eiej) =

∑iritr(eiej)⊗ 1.

Este elemento pertenece a R∩ rad RE ⊆ rad R = 0 (ver (3.16)): por lo tanto∑iritr(eiej) = 0 para todo j. Dado que E/k es separable, la traza

(x, y) 7−→ tr(xy)

es no-degenerada; equivalentemente, la k-matriz (tr(eiej)) es invertible. Delas ecuaciones lineales

∑iritr(eiej) = 0, llegamos a la conclusion, que ri = 0

para todo i, y ası z = 0.

Teorema 3.19. Sea R una k-algebra, y K/k una extension algebraica sepa-rable. Entonces rad (RK) = (rad R)K .

Demostracion. Por (3.16), tenemos que (rad R)K ⊆ rad (RK). Por otro lado,

RK/(rad R)K ∼= (R/rad R)K .

Dado que R/rad R es J-semisimple, el Lema implica que (R/rad R)K esJ-semisimple. Por (2.6), se deduce que rad (RK) = (rad R)K .

Tenga en cuenta que la hipotesis de que K/k sea separable, es esencialen (3.18) y en (3.19). Si K contiene elementos inseparables sobre k, es facilencontrar contraejemplos. El siguiente contraejemplo es quizas el favorito detodos. Sea k un cuerpo de caracterıstica p > 0 y supongamos que a ∈ k \ kp.Sea K = k(α) donde αp = a, por lo que K es una extension puramenteinseparable de k. Como k-algebra, R := K es claramente semisimple (¡es uncuerpo!), pero la extension escalar RK = R⊗k K = K ⊗k K es isomorfa a

K ⊗k k[t](tp−a)

∼= K[t](tp−a) = K[t]

(tp−αp) = K[t](t−α)p .

No es semisimple; de hecho, su radical es claramente un ideal nilpotente (t−α)/(t−α)p. A traves del isomorfismo, tenemos que rad (K⊗kK) esta generadopor el elemento nilpotente 1⊗ α− α⊗ 1. De hecho, con la notacion anterior,AK nunca es J-semisimple para cualquier k-algebra A que contiene a K ensu centro, ya que A⊗k K tiene un elemento central nilpotente 1⊗ α− α⊗ 1.



4. Anillos de Grupo y el Problema de

J-semisimplicidad

Ya sabemos como se forma un anillo de grupo. Esta formacion no solo esuna buena fuente de ejemplos de anillos no conmutativos, ası como de ani-llos conmutativos, sino que tambien proporciona la conexion basica entre lateorıa de anillos y la teorıa de representaciones de grupo. Ideas y resultadosde la teorıa de anillos han tenido un impacto muy importante en el desa-rrollo de las representaciones de grupos. Alrededor de 1920, Emmy Noetherintrodujo el punto de vista de que las representaciones de grupos equivalena modulos sobre los anillos de grupo asociados. Desde este punto de vista, lateorıa de estructuras de Wedderburn de algebras de dimension finita, tieneinterpretaciones naturales en el marco de representaciones de grupo finitas.En particular, esto permitio a Noether volver a probar eficazmente muchosde los resultados de Frobenius y Schur de la teorıa de representaciones, desdela perspectiva de la teorıa de anillos. Esta seccion estara dedicada al estudioelemental de anillos de grupo, con especial enfasis en la cuestion de semisim-plicidad (y J-semisimplicidad). Comenzaremos recordando la relacion basicaentre el grupo de representaciones y modulos sobre anillos de grupo. Parasimplificar las cosas, se supone que los coeficientes de base forman un cuerpok. Para cualquier grupo G (multiplicativo), sea R = kG el anillo de grupo (oalgebra de grupo) de G sobre k. Una representacion de G sobre k de dimensionn se define clasicamente como un homomorfismo D de G en GLn(k), recorde-mos que GLn(k) es el grupo lineal general de las matrices invertibles n×n deG sobre k. (D es por Darstellung, la palabra en aleman para representacion.)Dado dicho homomorfismo, G actua entonces como el grupo de las transfor-maciones lineales sobre kn; denotamos esta accion por (σ, v) 7−→ σ · v, paraσ ∈ G y v ∈ kn. Si extendemos esta accion para el anillo de grupo R = kGtomando (∑

σ∈Gaσσ

)· v =

∑σ∈G

aσ(σ · v),

el espacio vectorial kn se convierte en un R-modulo (a izquierda). Por el con-trario, si se nos da un R-modulo V tal que dimkV = n, entonces G actuacomo un grupo de transformaciones lineales sobre V , fijando una k-base sobreV , obtenemos una representacion D de G por matrices invertibles n × n. Siusamos una k-base diferente para V , un calculo rutinario demuestra que la re-presentacion resultante D′ de G, difiere de D′ en un automorfismo interior deGLn(k). Dos representaciones D, D′ que difieren en un automorfismo interiorde GLn(k) se dicen equivalentes. Es facil demostrar que dos representacionesequivalentes generan un par de kG-modulos (a izquierda) isomorfos. De estemodo, las clases de equivalencia de representaciones de G de dimension finitapueden identificarse con el isomorfismo de clases de kG-modulos a izquierda dedimension finita sobre k. En este sentido, el estudio de las representaciones deG y el estudio de los kG-modulos (a izquierda) son esencialmente equivalentes.Las k-representaciones de G dadas por kG-modulos irreducibles se llaman re-presentaciones irreducibles de G. Clasicamente, la teorıa de representacion degrupos finitos sobre cuerpos de caracterıstica cero es de especial importancia.El resultado teorico de anillos mas elemental en este contexto es que el anillode grupo asociado, es un anillo semisimple. Este resultado famoso se debe aH. Maschke (1898). El Teorema de Maschke tambien es valido para cuerpos



k cuya caracterıstica no divide al orden de G (como ha senalado Dickson),pero lo contrario no es valido. Enunciamos a continuacion este teorema deMaschke, con sus modernos retoques.

Teorema 4.1. Sean k un anillo y G un grupo finito. Entonces R = kG essemisimple si y solo si k es semisimple y |G| · 1 es una unidad en k.

Demostracion. ⇐) Sea W un R-submodulo de un R-modulo a izquierda V .Queremos demostrar que W es suma directa de R-modulos de V . Fijamosun k-homomorfismo f : V → W tal que f |W es la identidad. (Tal funcionexiste pues W suma directa de k-modulos de V .) Modificaremos f en g con lasmismas propiedades de f pero tal que g sea un homomorfismo de R-modulos.Si podemos encontrar tal g, entonces V = W ⊕ ker(g) da lo que queremos.Definimos g : V → V mediante la siguiente aplicacion:

g(v) := |G|−1∑σ∈G

σ−1f(σv), v ∈ V .

Ya que g(v) ∈ |G|−1∑σ∈G

σ−1 ·W ⊆ W , podemos ver el k-homomorfismo g de

V en W . Si v ∈W , entonces

g(v) = |G|−1∑σ∈G

σ−1(σv) = v.

ası g es la identidad en W . Por ultimo, el siguiente calculo muestra que g esun R-homomorfismo: para cualquier τ ∈ G,

g(τv) = |G|−1∑σ∈G

σ−1(f(στ · v)) = |G|−1∑σ′∈G

τσ′−1f(σ′v) = τg(v).

⇐) Supongamos ahora que R = kG es semisimple. Tenemos un homomorfismode anillos

ε : kG→ k

definida tomando ε|k = Idk y ε(G) = 1. Por lo tanto, k es semisimple. Ter-minamos mostrando que cualquier primo p divisor de |G| es una unidad en k.Por el Teorema de Cauchy en la teorıa de grupos, existe un elemento σ ∈ Gde orden p. Puesto que el anillo semisimple R es regular de von Neumann (ver2.24), existe un elemento α ∈ R tal que (1− σ)α(1− σ) = 1− σ,

[1− (1− σ)α] · (1− σ) = 0

Por el Lema (4.2), podemos escribir

1− (1− σ)α = β · (1 + σ + · · ·+ σp−1)

para algun β ∈ R. Aplicando ε tenemos que 1 = ε(β) · p, por lo que p = p · 1es invertible en k.

Lema 4.2. Para r ∈ R = kG, y σ ∈ G de orden p, r · (1− σ) = 0 si y solo sir ∈ R · (1 + σ + · · ·+ σp−1).

En el teorema de Maschke, hemos considerado solo grupos finitos. La si-guiente proposicion explica por que.

Proposicion 4.3. Sea k 6= 0 un anillo, y G un grupo infinito. Entonces elanillo de grupo R = kG nunca es semisimple.

Demostracion. Sea ε : kG → k definida anteriormente, sea A := ker(ε).Supongamos que R = kG es semisimple, tenemos que R = A ⊕ B dondeB ⊂ R es un ideal a izquierda conveniente. Escribimos



A = R · e y B = R · f ,

donde e, f son idempotentes ortogonales. Es evidente que e y f no son cero.Tenemos A · f = Re · f = 0, por lo que (σ − 1)f = 0, es decir, f = σfpara cualquier σ ∈ G. Sea τ ∈ G un elemento del grupo que aparece en fcon un coeficiente distinto de cero, entonces στ aparece en f con el mismocoeficiente, para cualquier σ ∈ G. Esto significa que f involucra a todos loselementos del grupo G; ya que G es infinito, esto contradice la definicion deanillo de grupo.

Despues de que Jacobson introdujo el radical de Jacobson en 1945, se ob-tuvo una nueva nocion de semisimplicidad para los anillos que posiblementeno satisfagan las condiciones de cadena: un anillo R se dice Jacobson semisim-ple si rad R = 0. Serıa natural preguntarse si el anillo de grupo de un grupoarbitrario sobre un cuerpo de caracterıstica cero es siempre J-semisimple. Elprimer resultado en este sentido se debe a C. Rickart [3] quien utilizo metodosde algebras de Banach para mostrar que, para cualquier grupo G, el algebrade grupo compleja y real CG y RG son, en efecto, J-semisimples. Mas tarde,Amitsur y Herstein mostraron independientemente que kG es J-semisimplepara cualquier cuerpo k no numerable de caracterıstica cero. Mejorando aunmas este resultado, Amitsur [4] mostro que, para cualquier cuerpo k de carac-terıstica cero, kG es J-semisimple excepto quizas cuando k es un cuerpo denumeros algebraicos (es decir, cuando k es una extension algrebraica de Q).En este caso, permanecen algunas dificultades, y el problema parece estar aunsin resolver. Se ha dedicado un importante trabajo a las clases especiales degrupo, por ejemplo, grupos ordenados, grupos abelianos, grupos resolubles (osolubles), y ciertos grupos lineales. para todas las clases especiales considera-das hasta ahora, las respuestas conocidas del problema de J-semisimplicidadhan sido afirmativas. Tambien se han obtenido resultados analogos para cuer-pos de caracterıstica p.

A continuacion, vamos a ver una serie de resultados sobre el problema de J-semisimplicidad descrito anteriormente. Vamos a seguir el orden cronologicode estos resultados pese al hecho (obvio) que los resultados posteriores sonmas fuertes que los anteriores. La motivacion de este enfoque es, en parte,que queremos preservar la perspectiva historica del problema: el resultadoiniciador fue el de Rickart sobre la J-semisimplicidad de CG y RG que dio elimpulso principal para resolver el mismo problema sobre cuerpos arbitrariosde caracterıstica cero. Una segunda razon para incluir el resultado de Rickartes que la prueba de Rickart utiliza ciertas ideas interesantes de la teorıa dealgebras topologicas. Se espera que el estudio de esta prueba de un vistazode la interaccion entre los metodos puramente de la teorıa de anillos y losmetodos de analisis funcional y analisis complejo.

Teorema 4.4 (Rickart). Para cualquier grupo G, el algebra de grupo complejaCG es J-semisimple. (Teniendo en cuenta (3.7), esto implica que el algebrade grupo real RG tambien es J-semisimple).

Vamos a presentar una demostracion de una forma un poco disimulada,siguiendo a Passman [5] , pp. 269-271. En esta version de la demostracion,no se necesita introducir la terminologıa general de las algebras de Banachutilizadas en el paper de Rickart. Sin embargo, esta prueba sera suficientepara transmitir los metodos analıticos de Rickart.

Primero vamos a dar un panorama de la demostracion. Para cualquierelemento α =

∑αgg en el algebra de grupo compleja CG, definimos la traza



de α como tr(α) = α1 ∈ C. La demostracion de (4.4) consta de dos partesprincipales.

Lema 4.5 (Parte Algebraica). Si rad(CG) 6= 0, existe un elemento α ∈rad(CG) tal que, para cualquier m ≥ 1,

tr(α2m) ∈ R y tr(α2m) ≥ 1

Lema 4.6 (Parte Analıtica). Para cualquier α ∈ rad(CG),

lımn→∞

tr(αn) = 0 en C.

Obviamente, estos dos lemas dan la conclusion deseada. ¡Ahora debemosprobar estos lemas! Dado que la parte algebraica es la mas facil, vamos ahacerla primero.

Comenzamos recordando la idea de involucion. Por una involucion en unanillo k, queremos decir un homomorfismo ∗ : k → k tal que a∗∗ = a y(ab)∗ = b∗a∗ para todo a, b ∈ k. (Esto ultimo implica que 1∗ = 1.) Por ejemplo,si k es un anillo conmutativo, la aplicacion identidad a → a∗ = a da unainvolucion en k, y la aplicacion transposicion de matrices da una involucionen Mn(k). La aplicacion usual “conjugacion compleja” da una involucion enC.

Si k es un anillo con involucion −, podemos definir sobre un anillo de grupokG:

(∑αgg)∗ =

∑αgg

−1.

Es facil chequear que esto da una involucion sobre kG extendiendo la in-volucion dada sobe k. A continuacion, tomaremos k = C, con “barra” (−)determinada como conjugacion compleja. El algebra de grupo R = CG tieneentonces una involucion ∗, como se definio anteriormente.

Demostracion. (4.5). Para cualquier α =∑αgg ∈ R, tenemos

tr(α∗α) =∑g∈G

αgαg =∑g∈G|αg|2 = |α1|2 = |tr α|2,

donde |z| denota el modulo de un numero complejo z. En particular, si α es unelemento ∗-simetrico (es decir, α∗ = α), entonces por induccion sobre m ≥ 1tenemos tr(α2m) ≥ |tr α|2m en R. Si rad(R) contiene un elemento distinto decero β =

∑βgg, entonces tr(β∗β) =

∑|βg|2 6= 0 y tenemos

α := β∗β/tr(β∗β) ∈ rad R

pues rad R es un ideal. Claramente, α∗ = α, tr(α) = 1, ası que por lo quehemos dicho anteriormente, tr(α2n) es un numero real ≥ 1 para todo n.

Vamos a tratar de hacer la “Parte Analıtica” (Lema 4.6). Para comen-zar la demostracion, primero vamos a establecer algunas notaciones. Paraα =

∑αgg ∈ R, definimos |α| =

∑|αg| ∈ R. Se comprueban facilmente las

siguientes propiedades:

1) |tr α| ≤ |α|,2) |α+ β| ≤ |α|+ |β|,3) |αβ| ≤ |α| · |β|,

Teniendo en cuenta 2), si definimos una funcion distancia sobre R por



dist(α, β) := |α− β|,

R se convierte en un espacio metrico, y ası podemos hablar de la continuidadde las funciones en R. Por ejemplo, por la propiedad anterior 1), tr : R → Ces una funcion continua (C-lineal).

Fijado α un elemento de rad R, para cualquier z ∈ C, 1− zα ∈ U(R), porlo que podemos definir una funcion ϕ : C→ R dada por

ϕ(z) = (1− zα)−1 ∈ R.

La demostracion de (4.6) depende de las siguientes tres propiedades de ϕ

A) ϕ es continua en cada z ∈ C.

B) ϕ es diferenciable en cada z ∈ C.

C) Si |z| es suficientemente pequeno, entonces ϕ(z) =∞∑n=0

αnzn ∈ R.

Aquı A) es una consecuencia del hecho de que la aplicacion inversa en R escontinua. Para dar una prueba mas detallada, considerar dos puntos y, z ∈ C.Dado que ϕ(y) y ϕ(z) conmutan, tenemos

ϕ(y)− ϕ(z) = [(1− zα)− (1− yα)] (1− yα)−1(1− zα)−1 =

= (y − z)aϕ(y)ϕ(z)(3)

Esto implica que, para un z dado, |ϕ(y)| esta acotada en un entorno de z.De hecho, de (3) tenemos

|ϕ(y)| ≤ |ϕ(z)|+ |y − z| · |αϕ(y)| · |ϕ(z)|,

ası

|ϕ(y)| · (1− |y − z| · |αϕ(z)|) ≤ |ϕ(z)|.

Si y esta suficientemente cerca de z, podemos hacer que la expresion entreparentesis sea ≥ 1/2, por lo que |ϕ(y)| ≤ 2|ϕ(z)|, y (3) da

|ϕ(y)− ϕ(z)| ≤ 2|α| · |y − z| · |ϕ(z)|2.

Esto implica A), y tambien muestra que

ϕ′(z) := lımy→z

ϕ(y)− ϕ(z)

y − z= lım

y→zαϕ(y)ϕ(z) = αϕ(z)2, (4)

para todo z ∈ C. Sea ahora z tal que |z| · |α| < 1. Entonces |zα| = |z||α| < 1,

y el argumento de la serie geometrica usual muestra que ϕ(z) =∞∑n=0

znαn. De

hecho, para cualquier entero N :

ϕ(z)−N∑n=0

znαn = ϕ(z)

{1− (1− zα)

N∑n=0

znαn}

= ϕ(z)(zα)N+1,

ası ∣∣∣∣ϕ(z)−N∑n=0

znαn∣∣∣∣ ≤ |ϕ(z)| · |zα|N+1.

Dado que ϕ(z) esta acotada cerca de cero, vemos que∣∣∣∣ϕ(z)−N∑n=0

znαn∣∣∣∣→ 0 cuando N →∞,



demostrando C).

Demostracion. (4.6). Para cualquier elemento de un grupo g ∈ G, podemosdefinir trg : R −→ C enviando cualquier α =

∑h∈G

αhh ∈ R a αg ∈ C. Esta

aplicacion es claramente continua y C-lineal, y nuestra aplicacion anteriortraza “‘tr” es justo tr1. Para cualquier α fijo, α ∈ rad R y g ∈ G, veremos deforma mas general que

lımn→∞

trg(αn) = 0

Sea

f = trg ◦ ϕ : C→ C; es decir, f(z) = trg(1− zα)−1.

Por B), f es una funcion entera (con f ′(z) = tr(αϕ(z)2)), y por C):

f(z) = trg

( ∞∑n=0

αnzn

)=∞∑n=0

trg(αn)zn (5)

para |z| suficientemente pequeno. En particular, (5) da la expansion de Tayloren el origen. Como f es entera, de un teorema muy conocido en analisiscomplejo, garantiza que esta serie de Taylor tiene un radio de convergenciainfinito, y converge a f en todo C. En el punto z = 1, esto da

(?) f(1) =∞∑n=0

trg(αn).

Pero entonces el enesimo termino de esta serie debe converger a 0 como sequerıa.

Observacion 4.7. Por definicion, f(1) es trg(1 − α)−1. Si supieramos que

|α| < 1, entonces (1 − α)−1 =∞∑n=0

αn se verificarıa en R y tendrıamos la

ecuacion (?) tomando traza. Pero, por supuesto, no sabıamos que |α| < 1, ni

que∞∑n=0

αn podrıa converger en R. Por lo tanto, tenemos que recurrir a un

teorema basico de funciones enteras para justificar la ecuacion fundamental(?).

Mientras que la demostracion de (4.6) fue disenada para utilizar una canti-dad mınima de analisis, algunas observaciones sobre sus conexiones escondidasde algebras de Banach estan en orden. En la demostracion original de Ric-kart, G se considera como un grupo localmente compacto con la topologıadiscreta, y se considera la C-algebra de L1-funciones integrables de G en Ccon respecto a la medida de Haar. La multiplicacion de funciones esta dadapor la “convolucion”. Esta algebra, tradicionalmente denotada por L1(G), quepodrıa llamarse la “version del analista” del algebra de grupo: es un algebrade Banach sobre C. El algebra de grupo discreta CG puede ser incluida comoun subanillo denso de B := L1(G) mediante la identificacion

∑αgg con la

funcion g → αg. Para cualquier elemento α en el algebra de Banach B, elconjunto resolvente de α es

{z ∈ C : z − α ∈ U(B)},

y sobre este conjunto resolvente, la “funcion resolvente”

ψ(z) = (z − α)−1



es analıtica, con valores en B. La funcion ϕ usada en nuestra demostracion de(4.6) es solo una variante de ψ, es decir, ϕ(z) = ψ(z−1)/z. El argumento en(4.6), aplicado en el contexto general de funciones analıticas con valores en unespacio de Banach, muestra que el radical de un algebra de Banach complejaB es “topologicamente nil”, es decir, para cualquier elemento α en B, se tieneque αn → 0. De esto se desprende facilmente que rad B es topologicamenteel ideal nil mas grande en B (a un lado o a ambos lados). Este es, por lotanto, el hecho general que subyace en el lema analıtico (4.6). Por otro lado,el lema algebraico (4.5) utilizo fundamentalmente la ∗-involucion sobre CG,esto equivale a aprovechar la estructura estandar del algebra C∗ en L1(G). Ladiscusion en 2’ de las propiedades de los elementos ∗-simetricos, muestra, fun-damentalmente que en una C∗-algebra, el unico ideal nil topologico a un lado,es el ideal nulo. En particular, este razonamiento es suficiente para mostrarque cualquier C∗-algebra sobre C es de Jacobson semisimple.

Habiendo explicado la demostracion del teorema de Rickart, vamos a volverahora a la teorıa de anillos mas tradicional. Nuestro proximo objetivo es ana-lizar los resultados de Amitsur sobre la J-semisimplicidad de anillos de grupoen caracterıstica cero y resultados analogos de Passman en caracterıstica p.Los metodos que utilizamos para establecer estos resultados seran puramentealgebraicos. Comenzamos probando un resultado de ideales nil unilaterales enanillos de grupo de caracterıstica cero. La idea utilizada en la demostracionde la siguiente proposicion es muy similar a la utilizada para el Lema (4.5).

Proposicion 4.8. Sea k un anillo con una involucion ∗ tal que∑α∗iαi = 0 =⇒ todo αi = 0 en k.

Entonces, para cualquier grupo G, el anillo de grupo R = kG no tiene idealesa izquierda nil distintos de cero. En particular, esta conclusion se verifica enlos siguientes dos casos:

a) k es un anillo conmutativo que es formalmente real, en el sentido de que∑α2i = 0 =⇒ todo αi = 0

b) k es un cuerpo algebraicamente cerrado de caracterıstica cero.1

Demostracion. Para α =∑αgg ∈ R, definimos tr(α) = α1 como antes, y

extendemos ∗ a una involucion en R definiendo α∗ para∑α∗gg

−1. Ya que

tr(α∗α) =∑α∗gαg,

la hipotesis sobre (k,∗ ) equivale a:

tr(α∗α) = 0 =⇒ α = 0 en R.

Supongamos que R tiene un ideal a izquierda nil distinto de cero B, digamos0 6= β ∈ B. Entonces 0 6= γ := β∗β ∈ B, y γ∗ = γ. Tomando n ≥ 1 tenemosque γn 6= 0 = γn+1. Para α := γn tenemos que α∗α = α2 = γ2n = 0, peropor lo que hemos dicho mas arriba, α = 0, pero esto es absurdo. Si k es unanillo conmutativo formalmente real, podemos tomar la involucion ∗ como laidentidad sobre k y aplicar el razonamiento anterior. Sea ahora, k un cuerpoalgebraicamente cerrado de caracterıstica cero. Por un teorema basico de lateorıa de cuerpos, sabemos que k = k0[i], donde k0 es un cuerpo real cerrado

1La conclusion de que kG no tiene ideales a izquierda nil distintos de cero en realidad se cumplepara todos los cuerpos k de caracterıstica cero, sin la hipotesis de que k sea algebraicamentecerrado. Sin embargo, no vamos a demostrar aquı este resultado mas general.



⊂ k, e i =√−1 un cuerpo-real cerrado es un cuerpo formalmente real sin

adecuadas extensiones algebraicas formalmente reales. Definiendo (a+ bi)∗ =a− bi sobre k (a, b ∈ k0), el hecho que k0 es formalmente real da:

0 =∑

(aj + bji)∗(aj + gji) =

∑a2j +

∑b2j =⇒ aj = bj = 0 ∀j.

Por lo tanto, la primera parte de la proposicion se puede aplicar a kG.

Tenga en cuenta que la ultima parte de la Proposicion se puede utilizarpara dar otra prueba para el Teorema de Maschke en el caso de caracterısticacero. En efecto, sea k un cuerpo de caracterıstica cero, y sea G un grupofinito. Dado que kG es artiniano, (rad kG)n = 0 para algun n, y por lo tanto((rad kG) ·k)n = 0 donde k es la clausura algebraica de k. Por la proposicion,tenemos (rad kG) · k = 0 y por lo tanto rad kG = 0, demostrando que kGes semisimple. (En el caso de caracterıstica p, puede hacerse una observacionsimilar despues de la demostracion de (4.10).) Sin embargo, el razonamiento de(4.8) funciona para cualquier grupo G, y ahora nuestro objetivo es conseguirteoremas sobre la J-semisimplicidad de kG para grupos posiblemente infinitos.De hecho, ahora estamos listos para probar el siguiente resultado de Amitsur[4], el cual se extiende al Teorema de Rickart desde el cuerpo de base complejaa “casi” cualquier cuerpo de caracterıstica cero.

Teorema 4.9 (Amitsur). Sea K una extension de cuerpo no algebraica de Q.Entonces para cualquier grupo G, el anillo de grupo KG es J-semisimple

Demostracion. Sea F = Q({xi}), donde {xi} es una base trascendente paraK/Q. Observe que la extension escalar QG ⊗Q F es FG. Sea J = rad FG.Por (3.15), N = J ∩ QG es un ideal nil de QG y J = N ⊗Q F = N · F .Sin embargo, por la parte a) de la Proposicion (4.8), QG no tiene ideales aizquierda nil distintos de cero; por lo tanto N = 0 y ası J = 0. Esto muestraque FG es J-semisimple. Ya que estamos en caracterıstica cero, K/F es unaextension algebraica separable. Por lo tanto, por (3.18), la extension escalarFG⊗F K = KG es tambien J-semisimple.

A continuacion vamos a tratar de obtener un resultado analogo al anteriorcuando la caracterıstica sea p. En primer lugar, necesitamos una caracterısticap analoga para la no existencia de ideales unilaterales nil distintos de cero.Para ello, introducimos la siguiente nocion teorica de grupo: para un primo p,decimos que un grupo G es un p′-grupo si G no tiene elementos de orden p.Notar que, por el Teorema de Cauchy, si G es un grupo finito, esta condicionsignifica que p no divide al orden de G.

El resultado analogo a (4.8) para caracterıstica p, independientemente de-bida a D.S Passman y I.G. Connell, es el siguiente:

Proposicion 4.10. Sea k, un anillo conmutativo reducido de caracterısti-ca prima p > 0. Sea G un p′-grupo. Entonces R = KG no tiene ideales aizquierda nil distintos de cero.

Demostracion. Supongamos que R tiene un ideal a izquierda nil distinto decero B,

0 6= β =∑βgg ∈ B.

Despues de multiplicar a izquierda a β por algun elemento adecuado del grupo,se puede suponer que tr(β) = β1 6= 0. Afirmamos que tr(βp) = (tr(β))p. Deser ası, iterando tenemos que



tr(βpn) = (tr(β))p

n 6= 0

para todo n, y tenemos la contradiccion deseada. Para mostrar nuestra afir-macion, notar que

tr(βp) = tr ((∑βgg)p) =

∑βg1βg2 . . . βgp ,

donde la suma es sobre el conjunto S (ordenado) de p-uplas (g1, . . . , gp) deelementos del grupo tal que g1 · · · gp = 1. El grupo cıclico H = 〈σ〉 de ordenp, actua sobre S mediante

σ ∗ (g1, . . . , gp) = (g2, . . . , gp, g1)

Las H-orbitas en S tienen cardinal 1 o p. Para una orbita de cardinal p, dadoque todas las p-uplas en la orbita realizan la misma contribucion a tr(βp), lacontribucion total es un multiplo de p, y por lo tanto es cero. Miremos ahorauna orbita con un solo elemento H ∗ (g1, . . . , gp). Debemos tener g1 = g2 =· · · = gp y por lo tanto, gp1 = 1. Dado que G es un p′-grupo, g1 = g2 = · · · = gp.Por lo tanto, hay una unica orbita con un solo elemento en S, y su contribuciona tr(βp) es βp1 , como se querıa.

Con el fin de demostrar el analogo de (4.9) para caracterıstica p, necesita-mos el siguiente resultado intermedio.

Proposicion 4.11. Sea K/F una extension de cuerpo algebraica de carac-terıstica p, y sea G un p′-grupo. Si FG es J-semisimple, tambien lo es KG.

Demostracion. Primero supongamos que [K : F ] = n <∞. Por (3.16),

(rad(KG))n ⊆ (rad FG) ·K,

y, por hipotesis, rad FG = 0. Ası, rad KG es un ideal nipoltente. Por laproposicion anterior, rad KG = 0. Ahora abandonemos la hipotesis de que[K : F ] = n < ∞. Dado un elemento α ∈ rad KG, podemos encontrarun cuerpo K0 ⊆ K de grado finito sobre F tal que α ∈ K0G. Segun(3.16),tenemos

α ∈ K0G ∩ rad KG ⊆ rad K0G.

Pero para el caso que ya hemos tratado, rad K0G = 0 y ası α = 0.

El siguiente Teorema es analogo al Teorema de Amitsur (4.9) y fue probadopor Passman en 1962.

Teorema 4.12 (Passman). Sea K una extension de cuerpo no algebraica deFp (el cuerpo de elementos p). Entonces para cualquier p′-grupo, el anillo degrupo KG es J-semisimple.

Demostracion. Como antes, sea {xi} una base (no vacıa) trascendente paraK/Fp y sea F = Fp({xi}). Por (4.10), FpG no tiene ideales a izquierda nildistintos de cero. Razonando como en la demostracion de (4.9), vemos queFG es J-semisimple. Aplicando (4.11) a la extension algebraica K/F , se sigueque KG tambien es J-semisimple.



Tal vez sea razonable suponer que (4.9) y (4.12) continuan siendo ciertosen el caso que K es algebraico sobre el cuerpo primo. Para probar esta conje-tura, bastarıa demostrar que, para cualquier grupo G, QG es J-semisimple, yque en el caso en que G es un p′-grupo, FpG es J-semisimple. Una vez cono-cidos estos casos, el caso general se puede deducir a partir de (3.18) (ya queun cuerpo primo es perfecto de modo que todas sus extensiones algebraicasson separables). A pesar de un gran esfuerzo este problema ha permanecidosin resolver. Por sorprendente que pueda parecer, si K es un cuerpo primopresenta hasta el momento dificultades insuperables.

En el caso de caracterıstica p, tambien se pueden pedir condiciones ne-cesarias para que un anillo de grupo KG sea J-semisimple. Una condicionnecesaria bastante obvia es que cualquier subgrupo normal finito H ⊆ G de-be ser un p′-grupo. Pues, si existe H tal que |H| es divisible por p, entoncesel elemento α =

∑h∈H

h esta en el centro de KG con α2 = |H|α = 0. Pero

entonces KG · α es un ideal no nulo con cuadrado nulo y ası KG no es J-semisimple. Sin embargo, para que KG sea J-semisimple, no es necesario queel mismo G sea un p′-grupo. Por ejemplo, si G es el grupo diedral infinito,entonces G tiene elementos de orden 2, pero Wallace ha demostrado que KGes J-semisimple para todos los cuerpos K de caracterıstica 2. Si G es el grupoque consiste de las permutaciones de un conjunto infinito S moviendo solo unnumero finito de elementos de S, entonces G tiene elementos de orden p paratodos los primos p, pero Formanek ha demostrado que KG es J-semisimplepara todos los cuerpos, independientemente de sus caracterısticas.

Ahora finalizamos esta seccion estudiando algunos otros problemas re-lativos de anillos de grupo que estan relacionados con el problema de J-semisimplicidad. Uno de estos es el problema unidad, y el otro es el problemadivisor-cero. Estos problemas son de interes principalmente para la clase degrupos libres de torsion, es decir, si todos los elementos del grupo, menos laidentidad, tienen orden infinito, (grupos sin elementos de orden finito, salvola identidad).

En primer lugar vamos a definir el concepto de “unidades no triviales”.En un anillo de grupo kG sobre un anillo k, siempre tenemos las unidadesa · g, donde a es una unidad en k y g ∈ G. Estas son llamadas las unidadestriviales de kG; otras unidades de kG se llaman unidades no triviales. Comoejemplo, para cualquier grupo G, con a lo sumo cuatro elementos, el anillo degrupo ZG tiene solo unidades triviales. Para ver esto, primero supongamosque |G| = 2. Entonces ZG ∼= Z[t]/(t2 − 1), que es isomorfo a

{(a, b) ∈ Z× Z : a ≡ b(mod2)}.

Ası, ZG tiene exactamente cuatro unidades, que son necesariamente triviales.Los calculos para |G| = 3, 4 son similares. Por otro lado, si |G| = 5, se puedever que ZG tiene unidades no triviales.

Para grupos infinitos, un ejemplo simple para tener en cuenta es el delgrupo cıclico infinito G = 〈x〉. Para un dominio k, kG es el anillo de lospolinomios de Laurent k[x, x−1], y un simple razonamiento sobre su grado,muestra que kG tiene solo unidades triviales, y es un dominio. Repitiendoeste razonamiento, se ve que lo mismo vale para cualquier grupo abeliano librefinitamente generado, y por lo tanto tambien para cualquier grupo abelianolibre de torsion.

En general, para cualquier grupo G libre de torsion y cualquier dominio k,los siguiente problemas son importantes para el estudio de anillos de grupo:



Problema 4.13 (U). ¿Todas las unidades de kG son triviales ?

Problema 4.14 (R). ¿Es Siempre kG reducido?

Problema 4.15 (D). ¿Es siempre kG un dominio?

Problema 4.16 (J). Si G 6= 1, ¿es kG J-semisimple?

Notese que desde que se supone a G libre de torsion, no tenemos queimponer la hipotesis de p′-grupo, incluso si k tiene caracterıstica p > 0. Notesetambien que, para que el problema D tenga una respuesta afirmativa, la “libre-torsion” de G es una condicion necesaria, ya que si G tiene un elemento x deorden finito n > 1, entonces

(x− 1)(xn−1 + · · ·x+ 1) = 0 en kG

muestra que kG tiene divisores de cero. De hecho, la idea del Problema D esque, es valido si no existe tal elemento de orden finito, entonces quizas kG notendra divisores de cero.

Los cuatro problemas planteados en (4.13)-(4.16) estan conectados. Larelacion conocida entre los cuatro se puede resumir como sigue:

4.17.R ks +3 D

U

;C

�#J

Aquı, U =⇒ R significa que si la respuesta al Problema U es “sı”, entoncestambien lo es la respuesta al Problema R, etc. Dado que cualquier dominio esreducido, la implicacion D =⇒ R es trivial. La implicacion inversa R =⇒ D esbastante profunda y requiere un trabajo considerable para su prueba. Vamosa probar la siguiente Proposicion que da las otras dos implicaciones U =⇒ R,U =⇒ J , bajo hipotesis mucho mas debiles sobre k y G.

Proposicion 4.18. Sea k 6= 0 un anillo y G 6= {1} un grupo tal que A = kGsolo tiene unidades triviales.

1) Si k es reducido y G no tiene elementos de orden 2, entonces A esreducido.

2) A es J-semisimple excepto cuando |k| = |G| = 2

Demostracion. 1) Es suficiente mostrar que, para α ∈ A, α2 = 0 =⇒ α = 0.De α2 = 0, tenemos

(1− α)(1 + α) = 1− α2 = 1

ası 1− α es una unidad, y tenemos 1− α = ag para algun a ∈ U(k) y g ∈ G.Si g 6= 1, la ecuacion

0 = α2 = (1− ag)2 = 1− 2ag + a2g2



da una contradiccion pues g 6= 1 6= g2 y por lo tanto no hay ningun terminoque cancele a 1. Por lo tanto debemos tener g = 1, de donde α = 1 − a ∈ k.Pero entonces α2 = 0 =⇒ α = 0 ya que k es reducido. Para 2), notemos que si|k| = |G| = 2, decir G = 〈g〉, implica que U(A) = G, pero rad A = {0, g−1} 6=0, por lo que este caso es una excepcion. Ahora supongamos que no estamosen este caso y que α ∈ rad A. Entonces la unidad 1 − α tiene la forma ag,donde a ∈ U(k) y g ∈ G. Sostenemos nuevamente que g = 1. Supongamos, encambio, que g 6= 1. Si |k| ≥ 3, existe b ∈ k \ {0, 1} y

1− αb = 1− b+ abg

es una unidad no trivial. Si |G| ≥ 3, existe h ∈ G \ {1, g−1} y ahora

1− αh = 1− h+ agh

es una unidad no trivial. Por lo tanto, debemos tener que g = 1, por lo queα = 1− a ∈ k. Ahora para cualquier h 6= 1, la unidad 1 + αh debe ser trivial,por lo tanto α = 0

La utilidad de la implicacion “R =⇒ D”, radica en el hecho de que, combi-nada con (4.18) 2), da la implicacion “U =⇒ D” que no es tan facil de obtenerde manera directa. Para la prueba de la “R =⇒ D” se necesitan varios lemasde la teorıa de grupo.

Referencias

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