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Soluciones del Examen Canguro Matemtico Mexicano 2008. Nivel Estudiante

1. (e)El cubo originalmente tena 12 aristas. Al cortar se agregaron 3 aristas por cada uno de los 8vrtices, as que se agregaron 24 aristas. En total quedaron 36.

2. (a)omo dos das consecutivos !"ueves # viernes$ dice la verdad, # no %a# dos respuestas "untasiguales, entonces uno de los das que &alta es "ueves o viernes. 'i el que &alta es "ueves, entonces laprimera respuesta &ue en viernes, su nombre sera (ario # en martes %abra dic%o )edro, as que,e&ectivamente, %abra mentido el martes. )or otro lado, si al &inal &ue viernes, entonces su *ltimarespuesta %abra sido verdadera as que su nombre sera +eto, pero la respuesta del martes anterior%abra sido tambin +eto, de manera que no %abra mentido en martes # esto es imposible.

3. (e)omo QPB es un tringulo rectngulo con el ngulo QPB=4-o, entonces QBP=-

o.

A%ora, QPA=18-o12-

o4-

o=2-

o, # as QAP=18-

o/-

o2-

o=0-

o, de donde

ABC=1

218-

o0-

o=

o# de aqu que PBC=

o-

o=

o.

4. (d))ara lograr 1- puntos con dos n*meros distintos, lo mnimo que puede ser el ma#or de ellos es 6!pues 1-1/283046$ anlogamente, para obtener 18 puntos como suma de dos n*meros, lomimo que puede ser el menor de ellos es 8 !pues 1881-...110$. 5a *nica posibilidad de que%a#a un n*mero intermedio !que es el 0$ es con 4, 6, 8 # 1-. 5a suma de todos es 3.

. (c)El recorrido total se %ace en - min se quiere lograr que el intervalo sea de 1- min !que es el4- de 2$ para esto se necesitan camiones.

6. (a)En un tringulo la suma de cualesquiera dos lados debe ser ma#or que el otro. 7ecprocamente, sitres n*meros abc son tales que cab !#, por tanto cada uno de a , b # c es menor oigual que la suma de los otros dos$, entonces se puede construir un tringulo con esas dimensiones. 5as*nicas &ormas de lograr 12 como suma de tres n*meros que cumplan esta propiedad son 2, 34

# 444 !el ma#or de los n*meros no puede eceder , pues si &uera 6 o ms, la suma de los otros dosno sera ma#or que l$.

0. (c)9enemos quea1=-,a2=-1=1,a3=12=1,a4=13=2,a=24=2,a6=2=3,a0=36=3,

:bservamos entonces que la sucesi;n es -,

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11. (d)A las distancias de A , B ,D # E al crculo llammosles, respectivamente, a , b , d # e.9enemos que aeEC=6, # bdDC=. 'umando estas ecuaciones obtenemos

abdeECDC=11, pero ab=3, as que deECDC=8, # ste es el permetrobuscado.

12. (b):bservemos que3321=3

1613

161=3

813

813

161 =3

413

413

813

161.

)ero 341=8- # 3

41=82, as que stos son los divisores buscados # 8-82=66-.

13. (e)9enemos que rea AOB=1 /4, as que rea OAL=1 /8. 'i llamamos X al punto medio

de OL # tra=amos las rectas KX # RX , entonces el tringulo AOL queda partido en 4

tringulos iguales, tres de los cuales &orman el cuadriltiero KRLO , as que el rea de KRLO es

3 /4 del rea de OAL , es decir, 3 /32. >inalmente multiplicamos por 4.

14. (b)onviene %acer un esquema llamando d a la distancia entre r # s.

d d 2d r