La modelisation cinematique et dynamique du robot SCARA en utilisant SOLIDWORKS et verification par MATLAB/SIMULINK FERNINI Brahim(Magister en mecanique option :robotique)Departementde mecaniqueFacult de science de lingenieur,universit de Blida , Algerie.Septembre 2011E-mail : fernini.brahim12@gmail.com.4-1 Introduction: Partant des fondements thoriques abords dans les chapitres prcdents ,qui consistent a la modlisation en robotique avec tous ces axes dtudes ,la modlisation des robots qui comportent le modle gomtrique et cinmatique et dynamique pour dcrire le comportement du robot dans une volution connue ,dans ce chapitre on va utiliser le logiciel Solidworks pour la modlisation du robot SCARA et vrification des rsultats avec le logiciel MATLAB, toute en vrifiant la thorie.4-2Modlisation des bras manipulateurs: La ralisation dun simulateur permettant de dcrire ltat et le comportement global dune structure mcanique articule comme tout autresystme.ncessite de combiner plusieurs concepts mathmatique.Le problme principale dans la modlisation est de trouver une relation entres les consignes donnes dans lespace oprationnel de la tache et des postures des lments du robot dans lespace articulaire : cette relation permet de fournir une interface masquant.Le problme mathmatique a lutilisateur par le biais dun programme informatique pour manipuler un robot de manire interactive.Vu la complexit et la non linarit des problmes, un modle complet du comportement rel dun robot nest pas ralisable, ltude cinmatique et dynamique des robots se fait gnralement sur des modles simplifis. Obtenus en introduisant des hypothses simplificatrices qui permettent de rsoudre les quations qui reprsentent ces modles.Dans ce chapitre nous allons dcrire la thorie sous-jacente aux problmes de modlisation des robots de type SCARA tout en posant les hypothses suivantes :- chaque corps composant le robot est assimil un solide indformable.- Chaque articulation ne possde quun seul degr de libert4-3Problme de la cinmatique directe: Ayant les variables articulaires d'un robot, nous pouvons dterminer la position et l'orientation de chaque lien du robot, parce que un ensemble donn de caractristiques gomtriques du robot. Nous attachons les coordonnes de chaque lien et dterminons sa configuration dans les liens voisins suivre la mthode de mouvement rigide. Une telle analyse s'appelle la cinmatique directe. [13]

Figure 4-1 : le lien i avec son articulation initiale i-1 et son articulation finale i.4-3-1Les paramtres de (D-H) du robot SCARA choisi: Figure 4-2 : Schma du robot de typeSCARAFigure 4-3 : schma du robot SCARA a laide logiciel Solidworks.Figure 4-4 : Schma cinmatique du robot SCARALink ia

i

id i 1 1l001* 2 2l 0 02* 3 0 0

3d*0 4 0 0

4d4** les articulations variables.

Tableau4-3-1 : DH paramtres du robot SCARA4-3-2Calcul la matrice de transformation homogne par deux mthodes: 4-3-2-1 : La premire mthode : Cette mthode consiste faire tourner les bras autour de son axe de rotation(z) et la projection suivant laxe(x) et laxe(y) comme montre le schma suivant Figure 4-5 : la rotation des deux liens autour de son axe de rotation.On obtient les rsultats suivant :Sachant que :1 1cos c ..(4.1)1 1sin s ..(4.2)2 2cos c ....(4.3)2 2sin s .....(4.4)1 2 12cos( ) c + ...(4.5)1 2 12sin( ) s + ....(4.6)1 1 1 11 1 1 1 01000 0 1 00 0 0 1c s l cs c l sT1 1 1 1 1 ]..... (4.7)2 2 2 22 2 2 2 12000 0 1 00 0 0 1c s l cs c lsT1 1 1 1 1 ].... (4.8)2331 0 0 00 1 0 00 0 10 0 0 1Td 1 1 1 1 1 ]..... (4.9)4 44 4 3440 00 00 0 10 0 0 1c ss cTd1 1 1 1 1 ] (4.10)Les quations du modle cinmatique directe sont donnes donc :0 0 1 2 34 1 2 3 4T TT TT ... (4.11) Pour Lobtention de la matrice 04Tvoir (programme appendice (c))124 124 1 1 2 12124 124 1 1 2 12 043 4000 0 10 0 0 1c s l c l cs c l s l sTd d +1 1+ 1 1 1 ]. (4.12)4-3-2-2 : La deuxime mthode :Supposer que la position initiale du SCARA est quand le bras est tir le long de l'axe x avec tous les articulations sont parallles a laxe-zsi on met l'origine pour tre sur la premire articulation, la rotation est donn par :1 11 11 10 00 0( )0 0 1 00 0 0 1c ss cA1 1 1 1 1 ]...... (4.13)Pour la deuxime rotation laxe x est dcal selon la direction de x par la distance 1l : La rotation est donn par :2 2 1 22 2 1 22 20 (1 )0( )0 0 1 00 0 0 1c s l cs c l sA 1 1 1 1 1 ]. (4.14)Meme chose pour la troisieme rotation :4 4 1 2 44 4 1 2 43 30 ( )(1 )0 ( )( )0 0 1 00 0 0 1c s l l cs c l l sA + 1 1 + 1 1 1 ]. (4.15)Larticulation finale est prismatique le dplacement se fait selon laxe z :4 33 41 0 0 00 1 0 0( )0 0 10 0 0 1A dd d 1 1 1 1 1 ]. (4.16)04 1 1 2 2 3 3 4 3( ) ( ) ( ) ( ) T A A A A d .. (4.17)124 124124 124 04000 0 10 0 0 1Xyzc s ks c kTk1 1 1 1 1 ]. (4.18)1 1 2 12 1 2 124( )Xk l c l c l l c + +. (4.19)1 1 2 12 1 2 124( )yk l s l s l l s + +... (4.20)3 4 zk d d ... (4.21)Le point 1 2( , 0, 0)Tl l + aprs le mouvement nous donne( , , )Tx y z donn par :1 2 124 124124 12400 00 0 1 01 0 0 0 1 1Xyzl l x c s ky s c kz k+ _ _1 1 1 1 1 , ] ,... (4.22)1 1 2 12x l c l c +.. (4.23)1 1 2 12y l s l s +.. (4.24)3 4z d d . (4.25)La matrice de transformation homogne scrit sous la forme :124 124 1 1 2 12124 124 1 1 2 12 043 4000 0 10 0 0 1c s l c l cs c l s l sTd d +1 1+ 1 1 1 ]. (4.26)4-4Le modle cinmatique inverse: Le problme de la cinmatique inverse se compose la dtermination des variables articulaires correspondant une position et une orientation donnes de lorgane terminal. La solution ce problme est d'importance fondamentale afin de transformer les caractristiques de mouvement, assign a lorgane terminal dans l'espace oprationnel, en mouvements d'espace communs correspondants cela permettent l'excution du mouvement dsir.Le problme de la cinmatique inverse est beaucoup plus compliqu pour les raisons suivantes : [32]Les quations rsoudre sont en gnral non linaires, et il n'est pas ainsi toujours possible de trouver une solution exacte. Les solutions multiples peuvent exister. Les solutions infinies peuvent exister, par exemple, dans le cas d'un manipulateur cinmatiquement redondant. Il ne pourrait y avoir aucune solution admissible, en raison de la structure cinmatique de manipulateur.L'existence des solutions est garantie seulement si la position et l'orientation donnes de lorgane terminal appartiennent la zone de travail adroite de manipulateur. [39]4-4-1Le problme gnral de la cinmatique inverse :Le problme gnral de la cinmatique inverse peut tre nonc comme suit : donn une transformation homogne de 4x4 :0 1RHR OT 11 ]..... (4.27) Trouver les solutions possibles de cette quation :01( ...... )Rn n HT q q T . (4.28)On a :01 1 1( ...... ) ( )......... ( )n n n nT q q A q A q ... (4.29)Sachant que H reprsente la position et lorientation dsires de lorgane terminal et notre problme est de trouver les valeurs des articulations 1( ...... )nq qde sorte que 01( ...... )Rn n HT q q T 4-4-2Dtermination des variables articulaires du robot SCARA:

4-4-2-1La position dsire0 0 0 1X X X Xy y y y RHz z z zn o a pn o a pTn o a p _ ,.... (4.30)4-4-2-2Calcul la variable articulaire 2 :Daprs la dfinition du modle cinmatique inverse [40]01( ...... )Rn n HT q q T On obtient: 1 1 2 12 Xp l C l C +.... (4.31)1 1 2 12 yp l S l S + (4.32)2 2 2 2 21 1 2 12 1 2 1 122Xp l c l c l l c c + + ..... (4.33)

2 2 2 2 21 1 2 12 1 2 1 122yp l s l s l ls s + +..... (4.34) 2 2 2 21 2 1 2 1 12 1 122 ( )X yp p l l l l c c s s + + + +... (4.35) Sachant que : 2 21 11 c s + (4.36)2 212 121 c s + .. (4.37)On utilise les relations trigonomtriques :12 1 2 1 2c c c s s (4.38)12 1 2 1 2s s c c s + (4.39)On remplace (4.38) et (4.39) dans (4.35) on obtient :2 2 2 21 2 1 2 22X yp p l l l l c + + +.. (4.40)On peut tirer 2c :2 2 2 22 1 21 21( )2X yC p p l ll l + .. (4.41)22 21 S C t . . (4.42)222tan SaC t.. (4.43)4-4-2-3Calcul la variable articulaire 1 par deux mthodes: 4-4-2-3-1 La premire mthode :En arrangeant les deux quations (4.31) et (4.32) et on applique les quations (4.38) et (4.39) on obtient :1 2 2 1 2 2 1( )Xp l l c c lss + ....(4.44)2 2 1 1 2 2 1( )yp l s c l l c s + +....(4.45)On utilise la mthode de Kramer on obtient :1 2 2 2 2 2 21 2 2 2 22 2 1 2 2( ) ( )l l c l sl l c l sl s l l c+ 1 + + 1+ ].... (4.46)Et on a :2 2 2 21 2 2 2 2( ) ( )X yp p l l c l s + + +...... (4.47)On peut tirer :1 2 212 2xyl l c psl s p 1 + 1 1 ] (4.48)2 211 2 2xyp l scp l l c 1 1+ 1 ]... (4.49)1 2 2 2 211 2 2( )y xX yl l c p l s pssp p+ +....... (4.50)1 2 2 2 211 2 2( )x yX yl l c p l s pccp p+ + +..... (4.51)On peut tirer 1 :On a 22 21 S C t 1 2 2 2 2111 1 2 2 2 2( )tan tan( )y xx yl l c p l s psa ac l l c p l s p+ + tm ...(4.52) 4-4-2-3-2 La deuxime mthode: 1 1 1 2 2 x ypc ps l l c + +. (4.53)1 1 2 2 x yps pc l s + t. (4.54)Daprs (4.53) on peut tirer :1 1 2 2 11( )yxc l l c psp + ... (4.55)On remplace (4.55) dans (4.54) :2 2 1 2 21 2 2( )( )x yx ypl s p l l csp p+ ++m.... (4.56)1 2 2 2 21 2 2( ) )( )x yx yp l l c pl scp p+ t+.... (4.57)2 2 1 2 211 2 2 2 2( )tan( ) )x yx ypls p l l cap l l c pls+ ++ tm... (4.58)Lquation (4.58) est vrifie avec lquation (4.52).Le signe ( t ) indique coude haut et coude bas (elbow up and elbow down).4-4-3 Equation du coude haut (elbow up): 222tan SaC ... (4.59)2 2 1 2 211 2 2 2 2( )tan( ) ( )x yx ypls p l l cap l l c pls+ + ++ ... (4.60)4-4-4 Equation du coude bas (elbow down): 222tan SaC +... (4.61)2 2 1 2 211 2 2 2 2( )tan( ) ( )x yx ypl s p l l cap l l c pl s + ++ +...... (4.62)4-4-5Vrification des rsultatsobtenus: Pour une position dsire0.86xp et 1.5yp on doit vrifier lquation (4.31) et (4.32) : avec1 21 l l m . 4-4-5-1Application numrique :Pour coude haut (elbow up) :On applique lquation (4.41) et (4.42) dans (4.59) et (4.60)190deg 260deg Do lquation (4.31) et (4.32) vrifi.Pour coude bas (elbow down) :On applique lquation (4.41) et (4.42) dans (4.61) et (4.62)130deg 260deg Do lquation (4.31) et (4.32) vrifi.Et dpres la matrice de transformation homogne on tire :3 4 zd p d ..... (4.63)On a :30 .... (4.64)4-4-6 : Calcul langle : Lquation finale qui reprsente le robot est :0 1 2 3 01 2 3 4 4RHT TT TT T ..... (4.65)On doit mettre lquation (4.10) sous la forme ;3 2 1 1 1 0 1 14 3 2 1( ) ( ) ( ) ( )RHT T T T T .... (4.66)Inverse des matrices a t fait par logiciel Matlab (calcul formel) (voir appendice(C))12 12 12 12 12 12 12 12 1 2 212 12 12 12 12 12 12 12 1 2 3430 0 0 1X y x y X y X yX y x y X y X yz z z zn c n s oc o s a c as p c p s l c ln s nc os oc a s ac p s pc l sTn o a p d+ + + + 1 1 + + + + 1 1 + 1 ](4.67)Par identification (4.67) avec (4.10) on obtient :4 12 12 x yC n C nS +... (4.68)4 12 12 x yS nS nC +. (4.69)12 12412 12tanx yx ynS nCan C nS ++. (4.70)4-4-6-1Calcul de la vitesse linaire: 1 1 1 2 12 12 XP l S l S . (4.71)1 1 1 2 12 12 yP l C l C +..... (4.72)On utilise la mthode de Kramer pour tirer 1 :12 1212 2X yPC PSl S + .... (4.73)1 1 2 12 1 1 2 1221 2 2( ) ( )X yP l C l C P l S l Sl l S + + .. (4.74)4-4-6-2La vitesse de translation: 3 zd P .. (4.75)12 12 12 12 1244( )x y x ynS nC n C nSC + + .. (4.76)4-4-6-3Calcul de lacclration: 12 12 12 12 12 1 2 1 211 2( ) ( )X y X yPS P C PC P S l Cl S + + + .. (4.77)21 1 1 12 12 2 1 1 1 1 12 12 2 12 1 2 2 221 2 2[( ) ( ) ( ) ( )y x y x y x X yP S P C l P S P C l PC P S l P S PC l l l Cl l S + + + + + + .(4.78)3 zd P ..... (4.79)2 212 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 4 4442( ) ( ) ( )y y y x y x y xn C n S n S n C n C n S n S n C SC + + + ..(4.80)4-5Application: On considre un robot SCARAavec11 l et 21 l , on va tudier le mouvement de deux posturescoude bas et coude haut pour faire une comparaison nergtique par les deux postures pour une mme nature de trajectoire et mme position dsire et mme longueur dans un intervalle de temps de 1s.Figure 4-6 : le schma du robot SCARA Dans notre tude.4-5-1 La position initiale (home position): La position initiale a t obtenue a partir de la matrice de transformation homogne (4.12)quand 10 et20 .come montre le schma suivant :Figure 4-7 : La position initiale (home position) du robot SCARA pour les deux postures, a laide logiciel Matlab/simulink.Figure 4-8 : La position initiale (home position) du robot SCARA pour les deux postures, a laide logiciel Solidworks.2Xp 0yp 4-5-2 La position dsire: 0.86Xp 1.5yp 4-5-3 Lquation du mouvement pour coude bas (elbow down) pour la position initialeet dsire: 4 3 2110 10 10 t t t + + .....(4.81)4 3250 10 t t + .... (4.82)Vrification du polynme par deux mthodes :A t=0s10 20 On remplace 10 et20 dans (4.31) et (4.32) on trouve :2Xp et 0yp (la position initiale)Ou bien on remplace 2Xp et 0yp dans (4.41) (4.42) (4.61) et (4.62) on trouve :10 et 20 (la position initiale).A t=1s.130 et 260 On remplace130 et260 dans(4.31) et (4.32) on trouve :.0.86Xp et 1.5yp (la position dsire)Ou bien on remplace 0.86Xp et 1.5yp dans les quations (4.41) (4.42) (4.61) et (4.62) on trouve :130 et260 . (La position dsire)4-5-4 Lquation du mouvement pour coude haut (elbow up) pour la position initiale etdsire: 4 3 2160 20 10 t t t + + .....(4.83)4 3250 10 t t .....(4.84)Vrification du polynme par deux mthodes :A t=0s10 20 On remplace 10 et20 dans (4.31) et (4.32) on trouve :2Xp et 0yp (la position initiale)Ou bien on remplace 2Xp et 0yp dans (4.41) (4.42) (4.59) et (4.60) on trouve :10 et 20 (la position initiale).A t=1s.190 et 260 On remplace190 et260 dans(4.31) et (4.32) on trouve :0.86Xp et 1.5yp (la position dsire)Ou bien on remplace 0.86Xp et 1.5yp dans les quations (4.41) (4.42) (4.59) et (4.60) on trouve :190 et260 (la position dsire)Le choix de ces polynmes doit satisfaire les conditions suivantes conditions :- Dans lintervalle de temps doit vrifier la position initiale et la position dsire.- A chaque instant les deux postures (coude bas et coud haut) ont mmes coordonnes Xpetyp.- Pour les deux postures ont une mme nature de trajectoire.- Pour les deux postures ont mme trajectoire et mme longueur de la trajectoire.- Le degr 4 est gnralement utilis en robotique.Remarque :On appelle coude bas (elbow down) par posture1 et coude haut (elbow up) par posture 2 dans la suite de notre travail.4-5-5 Vrification de trajectoire :On applique les relations (4.81), (4.82), (4.83) et (4.84) dans (4.31) et (4.32) on obtient le tableau suivant :Temps (sec)Posture1 Posture2Tita1 (deg)Tita2 (deg)Xp(m)yp(m)zp(m)Tita1 (deg)Tita2 (deg)Xp(m)yp(m)zp(m)0 0 0 2 0 -0.63 0 0 2 0 -0.630.1 0.11 0.015 1.99 0.004 -0.63 0.126-0.0151.99 0.004 -0.630.2 0.49 0.16 1.99 0.02 -0.63 0.65 -0.16 1.99 0.02 -0.630.3 1.25 0.67 2 0.05 -0.63 1.92 -0.67 2 0.05 -0.630.4 2.49 1.92 1.996 0.12 -0.63 4.41 -1.92 1.996 0.12 -0.630.5 4.37 4.37 1.98 0.21 -0.63 8.75 -4.37 1.98 0.21 -0.630.6 7.05 8.64 1.95 0.39 -0.63 15.69 -8.67 1.95 0.39 -0.630.7 10.73 15.43 1.88 0.62 -0.63 26.16- 15.431.88 0.62 -0.630.8 15.61 25.6 1.71 0.927 -0.63 41.21 -25.6 1.71 0.927 -0.630.9 20 40.09 1.44 1.20 -0.63 59.04-40.091.44 1.20 -0.631 30 60 0.86 1.5 -0.63 90 -60 0.86 1.5 -0.63 Tableau 4-5-5 : la position des deux postures durant 1s.On remarque a chaque instant les deux postures ont une mme coordonne Xp et yp cela veut dire que les deux postures ont mme nature de trajectoire et mme longueur.4-5-5-1Vrification de trajectoire a laide Solidworks: Posture1: Figure 4-9 : La trajectoire obtenue a laide du dplacement de posture1.Posture2:

Figure 4-10 : La trajectoire obtenue lors du dplacement de posture2.Figure 4-11 : La trajectoire obtenue lors du dplacement des deux postures en mme temps.4-5-5-2Vrification de trajectoire a laide Matlab: 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 200 . 511 . 5D e p l a c e m e n t d u r o b o t ( le s d e u x p o s t u r e s ) s u i va n t x e n ( m )Deplacement du robot (les deux postures) suivant y en (m)Figure 4-12 : la trajectoire obtenue lors du dplacement des deux postures.4-5-6 : La variation des angles des deux postures: 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5-1-0.500.511.52time(sec)la variation des angles des deux postures (rad) tita1(posture1)tita2(posture2)tita1(posture1)tita2(posture2)Figure 4-13: La variation des angles des deux postures.4-5-7 Vrification des rsultats en utilisant: 4-5-7-1le logiciel Solidworks :On va vrifier les rsultats du tableau 4-5-5 en utilisant le logiciel Solidworks pour diffrents valeur de temps.On prend par exemple les valeurs a t=0.4s et a t=0.6s ett=1s :A t=0.4sPosture1: Figure 4-14 : La position de posture1 l instant t=0.4sposture2 :Figure 4-15 : La position de posture2 l instant t=0.4s.A t=0.6s : Posture1: Figure 4-16: La position de posture1 l instant t=0.6sPosture2: Figure 4-17: La position de posture2 l instant t=0.6s.A t=1sPosture1: Figure 4-18 : La position de posture1 linstant t=1sPosture2: Figure 4-19 : La position de posture2 linstant t=1s.4-5-7-2MATLAB/simulink:t=0.4sPosture1 :Figure 4-20 : La position de posture1 l instant t=0.4sPosture2Figure 4-21 : Figure 4-17 : La position de posture2 l instant t=0.4s.t=0.6sPosture1Figure 4-22 : Figure 4-18: La position de posture1 l instant t=0.6sPosture2Figure 4-23 : Figure 4-19: La position de posture2 l instant t=0.6s.t=1s posture1Figure 4-24 : La position de posture1 linstant t=1sPosture2Figure 4-25 : La position de posture2 linstant t=1s.Remarque : les variables articulaires exprimes dans Matlab/simulink sont en (rad).4-5-8 Orientation de la matrice de transformation homogne pour les deux postures a t=1sPosture1: Figure 4-26 : lorientation de la matrice de transformation homogne posture(1) a t=1sPosture2: Figure 4-27 : lorientation de la matrice de transformation homogne posture(2) a t=1sLes rsultats obtenus laide logiciel Solidworks et MATLAB/simulink montrent une similitude entre la thorie et la pratique. Cette similitude obtenue donne le degr de fiabilit des rsultats obtenus de ce modle cinmatique. On peut tirer profit de cette analyse pour tudier le comportement du robot dans les deux postures a fin dtablir un bilan nergtique comparatif de ces deux postures. laide logiciel Solidworks on peut tirer :posture1: Le lien1: Dplacement suivant x:0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00Dure (sec)435448462476490Dpl en trans - X (mm)0. 00 0. 10 0. 20 0.30 0. 40 0. 50 0.60 0. 70 0. 80 0.90 1.00D ur e( sec )- 33 3- 25 0- 16 6- 830Vitesse CM - X (mm/sec)Figure 4-28 : dplacement et la vitesse du lien1 suivant x(posture1) Dplacement suivant y:0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00Dure (sec) 36 94152210268Dpl en trans - Y (mm)0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00Dure (sec)0163327490653Vitesse CM - Y (mm/sec)Figure 4-29 : dplacement et la vitesse du lien1 suivant y (posture1) Le lien2: Dplacement suivant x:0. 00 0. 10 0. 20 0. 30 0. 40 0. 50 0. 60 0. 70 0. 80 0. 90 1. 00D ur e( s ec )85610 1911 8213 4615 09Dpl en trans - X (mm)0. 00 0.10 0. 20 0. 30 0.40 0. 50 0.60 0. 70 0.80 0. 90 1.00Dur e ( sec)- 3529- 2647- 1765- 8820Vitesse CM - X (mm/sec)Figure 4-30 : dplacement et la vitesse du lien2 suivant x(posture1)Dplacement suivant y:0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00Dur e (sec)36 279 522 7651007Dpl en trans - Y (mm)0. 00 0.10 0.20 0. 30 0. 40 0. 50 0. 60 0.70 0. 80 0.90 1. 00D ur e( sec)0525105015742099Vitesse CM - Y (mm/sec)Figure 4-31 : dplacement et la vitesse du lien2 suivant y(posture1)Posture2: Le lien1: Dplacement suivant x:0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00Dure(sec)-28101231360490Dpl en trans - X (mm)0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00Dur e (sec)-2810-2107-1405-7020Vitesse CM - X (mm/sec)Figure 4-32 : dplacement et la vitesse du lien1 suivant x (posture2)Dplacement suivant y:0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00Dure (sec) 36164291418546Dpl en trans - Y (mm)0. 00 0. 10 0. 20 0. 30 0. 40 0.50 0. 60 0. 70 0. 80 0. 90 1. 00D ur e( sec )- 5025355685911 63Vitesse CM - Y (mm/sec)Figure 4-33 : dplacement et la vitesse du lien1 suivant y (posture2)Le lien 2: Dplacement suivant x:0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00Dur e ( sec )41068596012341509Dpl en trans - X (mm)0. 000. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 901. 00D ur e( sec )- 60 89- 45 67- 30 44- 15 220Vitesse CM - X (mm/sec) Figure 4-34 : dplacement et la vitesse du lien2 suivant x (posture2)Dplacement suivant y:0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00Dur e ( sec)36 352 667 9831298Dpl en trans - Y (mm)0. 00 0. 10 0. 20 0. 30 0. 40 0. 50 0. 60 0. 70 0. 80 0. 90 1. 00D ur e( s ec ) 071014 2021 3028 40Vitesse CM - Y (mm/sec)Figure 4-35 : dplacement et la vitesse du lien2 suivant y (posture2)On remarque daprs les rsultats obtenus que le dplacement et la vitesse des liens 1et2de la posture2 est suprieur au dplacement et la vitesse des liens1 et 2 de la posture1 .cette diffrence nous donne une ide sur la diffrence nergtique consomm par les deux postures et ce pour la mme trajectoire et mme position dsire.4-5-9 La position du robot durant la simulation: Posture1: Figure 4-36 : La position de posture1 a linstant t=0s (home position).Figure 4-37 : La position de posture1 l instant t=0.8sFigure 4-38 : La position de posture1 linstant t=1s (la position dsire)Posture2: Figure 4-39 : La position de posture2 a linstant t=0s (home position).Figure 4-40 : La position de posture2 l instant t=0.8sFigure 4-41 : La position de posture2 linstant t=1s (la position dsire)Figure 4-42: Les deux postures pour un robot SCARA.Figure 4-43 : Les deux postures laide logiciel Solidworks pour notre cas.Figure 4-44 : Les deux postures laide le logiciel Solidworks.4-6Analyse de lorgane terminal: Dans notre cas lorgane terminal fait lopration (pick and place), soit une translation suivant laxe (z).4-6-1 Prcision dans la prise dobjet:Lorgane terminal agrippe lobjet et loriente avec prcision selon une trajectoire pralablement tablie.Le schma suivant montre le systme le plus utilis dans lopration (pick and place) :Figure4-45 : organe terminal avec 4 tringleries de barre.Louverture et la fermeture de ce systme se font soient par commande lectrique, hydraulique ou pneumatique.4-6-2 Orientation de lorgane terminal :Lorientation de lorgane terminal doit satisfaire la matrice de la position dsire,et laxe de lorgane terminal doit tre vertical, dans ce cas nimporte valeur de 4est accepte. [33] La position dsire dpend essentiellement de lorientation de lobjet manipuler sur la scne de manipulation. Si on considre que lorientation de lorgane terminal et lobjet manipuler ont des axes parallles; cela veut dire que lorgane terminal na pas besoin dune rotation quand il arrive a la position dsire pour agripper lobjet40 on a sauf le dplacement linaire. Comme montre le schma suivant :Figure 4-46 : schma avec Solidworks montre lorientation de lorgane terminal et lobjet manipuler sur la scne de manipulation.Figure 4-47 : lorientation de lorgane terminal et lobjet manipuler sur la scne de manipulation.Dans ce cas La matrice de la position dsire est sous la forme :Pour la posture1 :0 1 0 0.861 0 0 1.50 0 1 0.6350 0 0 1RHT _ ,. (4-85)Vrification:On a une rotation suivant laxe (z).(4.85) = (4.12)1240 c A t=1s 1 290 + Donc : 40 Ou bien on applique la relation (4.70) on trouve :Identification (4-85) avec (4-30) on peut tirer :0Xn et 1yn

donc40 .Pour la posture2 :0.86 0.5 0 0.860.5 0.86 0 1.50 0 1 0.6350 0 0 1RHT _ ,.(4-86)Vrification:On a une rotation suivant laxe (z).(4.86) = (4.20)1240.86 c A t=1s 1 230 + Donc : 40 Ou bien on applique la relation (4.70) on trouve :Identification (4-86) avec (4-30) on peut tirer 0.86Xn et 0.5yn donc40 .4-6-1-2 Dplacement linaire: On veut que lorgane terminal quand il arrive la position dsire se dplace de 5mm 1sSoit lquation de mouvement sous la forme :30.63 0.005zp t + .. (4.87)Et on a : 0 1 t 3 zd p ..... (4.88)Rsultat de simulation:0.00 0.10 0.20 0. 30 0. 40 0.50 0.60 0. 70 0.80 0. 90 1. 00Dur e ( sec)630631633634635Dpl en trans - Z (mm)0.00 0.10 0. 20 0. 30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00D ur e ( sec)0.0000.0040.0070.0110.015Vitesse CM - Z (mm/sec)

Figure 4-48: Dplacement et vitesse linaire de lorgane terminal (Solidworks) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00Dure(sec)0.0000.0070.0150.0220.030Accl CM - Z (mm/sec**2)

Figure 4-49 : Acclration linaire de lorgane terminal (Solidworks)4-6-1-3 Vrification des rsultats obtenus a laide le logiciel Matlab: Dplacement linaire: 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 10 . 6 30 . 6 3 10 . 6 3 20 . 6 3 30 . 6 3 40 . 6 3 50 . 6 3 60 . 6 3 7t i m e ( s e c )Dep lineaire (m)0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 100 . 0 0 50 . 0 10 . 0 1 5t i m e ( s e c )Vit lineaire (m/sec)Figure 4-50 : Dplacement et vitesse linaire (MATLAB) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.0050.010.0150.020.0250.03time (sec)Acc lineaire (m/sec**2)Figure 4-51 : Acclration linaire de lorgane terminal (MATLAB)4-7Calcul des vitesses dans lespace oprationnel: Le modle cinmatique direct permet de dterminer la vitesse de lorgane terminal dans lespace oprationnel en fonction de la vitesse des variables articulaires.Le modle est dcrit par lquation :( ) X Jqq (4.89)Sachant que J sappelle la matrice jacobienne ou le manipulateur jacobien.4-7-1 La matrice jacobienne: Loutil principalement utilis pour traiter le problme de la cinmatique, et particulirement des modles gomtriques et cinmatique des robots est la la matrice jocobienne .elle reprsente un oprateur permettant de lier les vitesses des corps dun robot exprimes dans diffrents espaces vectoriels.En considrant la fonction f dfinie comme suit : [32]: f Q w . (4.90)( ) q x f Q ... (4.91)Ou Qet w sont deux espaces vectoriels de dimensions (respectivement) m et nLa diffrentiation de lquation ( ) x f Q donne :fdx dqq.. (4.92)On dfinit alors, la matrice jacobienne comme suit :[ ]( )fJ qq 1 1 ].. (4.93)4-7-2 La matrice jacobienne pour un point quelconque: On considre un manipulateur de trois liens :Figure 4-52 : manipulateur plan a 3 bras.La matrice jacobienne est sous la forme :0 0 1 10 1( ) ( ) 0( )0c cz o o z o oJqz z 11 ].. (4.94)Sachant que :0 1001z z 1 1 1 1 ].... (4.95)La matrice jacobienne est sous la forme 6xn ; et n le nombre de liens.4-7-3 La matrice jacobienne du robot SCARA: Maintenant on va calculer le jacobien du robot SCARA [42][34] ; on a les articulations 1,2 et 4 sont rotoides et larticulation 3 est prismatique et puisque 4 3o o est parallle a 3z.3 4 3( ) 0 z o o Le jacobien est sous la forme :0 4 0 1 4 1 20 1 3( ) ( ) 00z o o z o o zJz z z 11 ].. (4.96)On a :10izJ 1 1 1 ].... (4.97)1 iz : Pour les joints rotodes0 : pour les joints prismatique.Sachant que :1 11 1 10l co l s 1 1 1 1 ]...... (4.98)1 1 2 122 1 1 2 120l c l co l s l s+1 1 + 1 1 ]...... (4.99)1 1 2 124 1 1 2 123 4l c l co l s lsd d+ 1 1 + 1 1 ]....... (4.100)Et on a :0 1 2 3z z z z .... (4.101)Finalement on obtient la matrice jacobienne suivante :1 1 2 12 2 121 1 2 12 2 120 00 00 0 1 00 0 0 00 0 0 01 1 0 1l s l s l sl c l c l cJ 1 1+ 1 11 1 1 1 ].. (4.102)4-7-4 Les vitesses dans lespace oprationnel: ( ) X Jqq . .1 1 2 12 2 12 1 1. .1 1 2 12 2 12 2 2. .3 3. .4 4. .5 5. .6 60 00 00 0 1 00 0 0 00 0 0 01 1 0 1l s l s l s x ql c l c l c x qx qx qx qx q 1 11 111+ 111 111 111 111 111 111 11 ] ] ].. (4.103)1 1 2 12 2 12 11 1 2 12 2 12 2430 00 00 0 1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 1 0 1l s l s l s Xl c l c l c YZd V 111 111+ 111 111 111 111 111 111 11 ] ] ].. (4.104)Rsultat de simulation: Posture1: 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8-6-4-20246time(sec)vitesse opeartionelle posture(1) (m/sec) dxdydzVFigure 4-53 : espace oprationnel de posture1.Posture2: 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8-6-4-2024time(sec)vitesse operationelle posture(2) (m/s) dxdydzVFigure 4-54: espace oprationnel de posture2.4-8 La singularit du robot SCARA: Dune faon gnrale, pour n'importe quel robot, redondant ou pas, il est possible de dcouvrir quelques configurations, appeles les configurations singulires, dans lesquelles le nombre du DDL de lorgane terminal est infrieur la dimension dans laquelle elle fonctionne gnralement. Les configurations singulires se produisent quand :1. Deux axes des joints prismatiques deviennent parallles2. Deux axes des joints rotoides deviennent identiques.Aux positions singulires, lorganeterminal perd un ou plusieurs degrs de libert, puisque les quations cinmatiques deviennent linairement dpendantesles solutions deviennent non dfinies. Des positions singulires doivent tre vites. Comme les vitesses exiges pour dplacer lorgane terminal deviennent thoriquement infinies.Les configurations singulires peuvent tre dtermines de la matrice jacobienne.La matrice jacobienne J rapporte les dplacements infinitsimaux de lorgane terminal. [34][35][36]L'identification et l'action d'viter des configurations de singularit sont trs importantes en robotique. Certaines des raisons principales sont :1. Certaines directions de mouvement peuvent tre inaccessibles.2. Certaines des vitesses communes sont infinies.3. Certains des couples communs sont infinis.4. L n'existera pas une solution unique au problme inverse de cinmatique.Dtection des configurations singulires utilise le dterminant du Jacobian peut tre une tche pnible pour les robots complexes. Cependant, pour des robots ayant un poignet sphrique, il est possible de couper le problme de dtection de singularit en deux problmes spars :1. coude les singularits en rsultant du mouvement des bras de manipulateur.2. Singularits de poignet rsultant du mouvement du poignet.Nous avons dj calculle Jacobian complet pour lemanipulateur SCARA. Nous pouvons voir gomtriquement que la seule singularit du bras de SCARA est quand le coude est entirement prolong ou entirement rtract. On a la matrice jacobienne :1 1 2 12 2 121 1 2 12 2 120 00 00 0 1 00 0 0 00 0 0 01 1 0 1l s l s l sl c l c l cJ 1 1+ 1 11 1 1 1 ]Le dterminant de J est sous la forme :1 1 2 12 2 12 1 1 2 12 2 12det( ) [( )( ) ( )( )] j l S l S l C l C l C l S + ................................. (4.105)Figure 4-55 : La singularit du robot SCARA.On vite 20, On va tudierla variation de det(J)en fct de 2 pour diffrentes valeurs de1 Rsultat :Figure 4-56 : La variation de det(J) en fct de 2 pour diffrentes valeurs de1On remarque que le det(J) varie entre 1.5 et -1.5 cest une fonction sinusodale Exemple : Pour 122.5 on vite que 23.01 car le det(J)=0.cest la singularit du robot SCARA. [37]4-9 La manipulabilit: Plusieurs facteurs doivent tre pris en compte lors du choix du mcanisme et de la taille du robot manipulateur durant la phase de conception, ou lors de la dtermination de la posture du manipulateur dans lespace de travail pour effectuer une tche oprationnelle. Un facteur important parmi ceux ci est la facilit de changement arbitraire de la position et de lorientation de lorgane terminal. Yoshikawa ([Yoshikawa90], [Yoshikawa84], [Yoshikawa85]) a dvelopp une approche pour lvaluation quantitative de la capacit du manipulateur des points de vues cinmatique et dynamique. Lauteur a introduit le concept de lellipsode de manipulabilit partir duquel il a dfini quelques mesures pour caractriser la capacit de manipulation.[38]La manipulabilit est une quantit qui reprsente la capacit du manipulateur se dplacer autour dune configuration donne. Elle permet danalyser la cinmatique des systmes mcaniques. La manipulabilit est utilise dans diverses applications : lors de la conception des mcanismes, dans la planification de trajectoire ou la commande des systmes mcaniques.4-9-1 Application de la manipulabilit au robot SCARA: Figure 4-57 : les variables articulaires dans le robot SCARA.La configuration du bras manipulateurs est donne par les angles de rotation 1 Bq et 2 Bq des deux liaisons. Si lon considre uniquement la position de lorgane terminal (OT), donne par :1 1 1 2 122 1 1 2 12BBX lC lCX l S l S +' +..... (4.106)Avec: 1 1cos( )BC q . (4.107)1 2sin( )BS q .. (4.108)12 1 2cos( )B BC q q +........ (4.109)12 2 1sin( )B BS q q +......(4.110) Et 1l et 2l les longueurs des bras.Dans ce cas la matrice jacobienne est sous la forme :1 1 2 12 2 121 1 2 12 2 12( )Bl S l S l SJl C l C l C 1 + 1+ ]. (4.111)On examine lvolution de la manipulabilit quand la position de lOT suit une ligne droite.Rsultat:Figure 4-58 : la manipulabilit dun robot SCARA.Le graphe montre la facilit de changement arbitraire de la position et lorientation de lorgane terminal.[38]La forme ellipsode caractrise les forces de lorgane terminalqui peuvent tre produites par les couples des articulations, et cela pour les deux postures. .[39]4-9-2 mesure de la manipulabilit du robot SCARA: Pour un robot SCARA redondant :det( * ') w J J ...........................................................................................(4.112)Pour le calcul de w voir appendice (C).0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.9time(sec)la manipulabilit (w)Figure 4-59 : mesure de la manipulabilit en fonction du temps4-9- 3calcul lespace de travail du robot SCARA: 33 23Ll dQl d +.(4.113)Sachant que :1 2l l l +..(4.114)30.635 d (4.115)Donc :1.31LQ .(4.116)On remarque qu t=1s0.86 wet 1.31LQ cela veut dire que le robot a une bonne Configuration. [15] 4-10 Calcul les couples des articulations: Le robot SCARA est suppos un robot plan dont la masse de lorgane terminal est ngligeable par rapport aux deux masses du lien 1 et 2 [40] [41]Figure 4-60 : Schma dynamique du robot SCARA4-10-1 Paramtre des liens :A laide du logiciel Solidworks on peut tirer les paramtres des liens du robot SCARA :On considre que la base du robot possde une hauteur initiale 0l :N du lien Longueur du lien (m)Masse du lien (Kg)Position du centre de masse /repre du lien (m)Tenseur dinertie /repre du lien(2. Kg m )1 1 16.92 (0.5, 0,0)0 0 00 5.29 00 0 5.29 1 1 1 1 ]

2 1 16.92 (0.5, 0,0)0 0 00 5.29 00 0 5.29 1 1 1 1 ]3 0.63 1.215 (0, 0,0.315)0.1303 0 00 0.1303 00 0 0 1 1 1 1 ]Tableau 4-10-1 : Paramtres des liens dune structure SCARA4-10-2 Calcul les couples des articulations: 4-10-2-1 par la mthode de Lagrange :Les quations de Lagrange oprent partir de lnergie cintique et lnergie potentielle dun systme, le lagrangien scrit sous la forme :id L Ldt q q _ ,...(4.117)L K V ..(4.118)K : nergie cintique de lorgane terminal.V : nergie potentielle de lorgane terminal.Lnergie cintique du systme est une fonction quadratique des vitesses articulaires :1( )2TK q Mqq ..(4.119)( ) Mq : est la matrice dinertie de dimensions (n*n) symtrique dfinie positive, (50)Lnergie potentielle du systme est sous la forme :)Tiii i iV mgT S ...(4.120) [ , , , 0]TX y zg g g g : Vecteur des acclrations de la gravit exprim dans 0RLe modle obtenu peut tre mis sous la forme matricielle suivante :( ) ( , ) ( ) Mqq Nqq q Gq + + ...(4.121)Ou :0 0max( , ).T nk kij kk i jj iT TM tr Hq q _ ,...(4.122))01( )jnTjjjjiTGq mg Sq......(4.123)( ) Mq : Matrice dinertie du manipulateur, symtrique et rgulire dfinie positive [39][42]( , ) Nqq q : Vecteur des termes de Coriolis et centrifuges.( ) Gq : Vecteur des actions de la gravit.0kT: La matrice de transformation homogne.) ) ) )[ , , ]i i i i Ti ix iy iz S S S S : Position du centre de masse (m) du corps i exprime en iRi i Ti iH rr dm : Matrice des pseudo-inerties du corps i. )))) ) )222i i ii x x i y y i z zi xi x y i x z ii i ii x x i y y i z zi yi x y i y z iii i ii x x i y y i z zi zi x z i y z ii x i y i zi i i iI I II I m SI I II I m SHI I II I m Sm S m S m S m 1 + + 1 1 1 + 1 1 1+ 1 1 1 ] .(4.124)Calcul la matrice des pseudo-inerties du corps i :A laide du tableau 4-10-1 on peut tirer :5.29 0 0 8.460 0 0 00 0 0 08.46 0 0 16.92iH 1 1 1 1 1 ]...(4.125)i i iixx ixy ixzi i i ii ixy iyy iyzi i iizx izy izzI I II I I II I I 1 1 1 1 ] : Tenseur dinertie du corps i en ioexprim dansiR.2 2( )i i iixx y z iI r r dm + : Moment dinertie.i i iixy X y iI r r dm : Produit dinertie.Application:12q _

, Vecteur des variables articulaires.12 _

, Vecteur des couples gnraliss. 4-10-2-1-1 La matrice dinertie: 2 2 22 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 22 22 2 2 2 1 2 2 22 ( )( )ml ml l c m m l ml ml l cMqml ml l c ml _ + + + +

+ ,..(4.126)4-10-2-1-2 Matrice de Coriolis et de centrifuge: 2 2 1 2 2 2 2 1 2 22 2 1 2 12( , )0ml l s ml l sMqqml l s _

,...(4.126)4-10-2-1-3 Vecteurs des forces de gravit: 2 2 12 2 1 1 12 2 12( )( )m lgc m ml gcGqm lgc+ + _

, (4.127)On applique lquation (4.106) on trouve :21 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 21 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 12 1 2 1 1( ) (2 )( ) 2 ( )ml ml l cm m l ml ls ml ls ml gc m m l gc + + ++ + + + +(4.128)2 22 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 12 2 2 1 2( ) m l l c m l l s m l gc m l + + + + ..(4.129)4-10-2-2 Vrification des rsultats par lalgorithme de Newton-Euler: On applique lalgorithme de newton-Euler on obtient les rsultats suivant :Lorgane terminal est de masse ngligeable donc :30 f ...(4.130)30 n ..(4.131)La rotation de la base du robot est nulle donc :00 ..(4.132)00 ..(4.133)00 0gY ..(4.134)La rotation entre deux liens successives est donn par :1 11 1 1000 0 1i iii i ic sR s c+ ++ + +1 1 1 1 ]..(4.135)1 111 1000 0 1i iii i ic sR s c+ +++ + 1 1 1 1 ]..(4.136)Rcursive arrire du lien 1 :11 1 1100 Z 1 1 1 1 ]....(4.137)1 11 1 1100 Z 1 1 1 1 ]..(4.138)1 1 111 1 1 10 000 0 1 0 0c s gss c g gc 111 111 111 111 ] ] ]....(4.139)2 21 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1000 0 0 0Cl gs l gsl gc l gc 11 +11 11 11 + + + 11 11 11 11 ] ] ] ].....(4.140)21 1 1 1 111 1 1 1 1 10ml m gsF ml m gc 1 + 1 + 1 1 ].(4.141)11000N 1 1 1 1 ]....(4.142)Rcursive arrire du lien 2 :221 200 1 1 1 1 + ]..(4.143)221 200 1 1 1 1 + ]... (4.144)2 22 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 122 22 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 12000 0 1 0 0c s l gs l s l c gss c l gc l c l s gc 11 + +1 11 1 + + + 11 1 11 1 ] ] ]...(4.145)2 22 1 2 1 1 2 1 1 2 122 22 2 1 2 1 1 2 1 1 2 120 ( )( ) 00 0 0Cl l s l c gsl l c l s gc 11 + +1 11 1 + + + + + 11 1 11 1 ] ] ]..(4.146)2 22 1 1 2 2 1 1 2 2 12 2 2 1 22 22 2 1 1 2 2 1 1 2 2 12 2 2 1 2( )( )0m l s m l c m gs m lF m l c m l s m gc m l 1 + + 1 + + + + 1 1 ].....(4.147)22000N 1 1 1 1 ]..(4.148)Rcursive avant du lien 2 :2 22 2f F ..(4.149)222 22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 12 2 2 1 200( )nm l l c m l l s m l gc m l 1 1 1 1 + + + + ]....(4.150)Rcursive avant du lien 1 :2 2 22 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 12 2 2 1 2 1 1 1 1 11 21 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 12 2 2 1 2 1 1 1 1 10 ( )0 ( )0 0 1 0 0c s ml s ml c mgs ml m l mgsf s c ml c ml s mgc ml m l mgc 11 + + +1 11 1 + + + + + 11 1 11 1 ] ] ]..(4.151)112 22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 12 2 2 1 22 2 21 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 12 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1200( )0 00 0( ) ( )nml l c ml l s ml gc mlm l m l gc ml ml ml gss ml l c ml gcc 1 1 1 1 + + + + ] 11 11+ 11 11 + + + + + + ] ](4.152)i T ii i in Z (4.153)21 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 21 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 12 1 2 1 1( ) (2 )( ) 2 ( )ml ml l cm m l ml ls ml ls ml gc m m l gc + + ++ + + + +..(4.154)2 22 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 12 2 2 1 2( ) m l l c m l l s m l gc m l + + + + ....(4.155)4-10-2-3 Vrification des rsultats par la mthode de la mcanique classique: 2 21 1 1 112K m l ....(4.156)1 1 1 1sin V m gl ......(4.157)2 1 1 2 1 2cos cos( ) x l l + + ....(4.158)2 1 1 2 1 2sin sin( ) y l l + + .....(4.159)2 1 1 1 2 1 2 1 2sin ( ) sin( ) x l l + + ..(4.160)2 1 1 1 2 1 2 1 2cos ( ) cos( ) y l l + + +..(4.161)2 2 22 2 2v x y + ...(4.162)2 2 2 2 2 22 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ) 2 ( ) cos v l l l l + + + + ..(4.163)22 2 212K m v .....(4.164)2 2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 21 1( ) ( ) cos2 2K m l ml ml l + + + + ..(4.165)2 2 2 2 1 1 2 1 2[ sin sin( )] V mgy mgl l + + ....(4.166)1 2 1 2L K V K K V V + .....(4.167)2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 21 2 1 1 2 2 1 21 1( ) ( ) ( ) cos2 2( ) sin sin( )L m m l ml ml lm m gl mgl + + + + + + +..(4.168)2 21 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 21( ) ( ) (2 ) cosLm m l ml ml l + + + + +.(4.169)2 21 2 1 1 2 2 1 2122 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2( ) ( )(2 ) cos (2 ) sind Lm m l mldtml l ml l + + ++ + +....(4.170)1 2 1 1 2 2 1 21( ) cos cos( )Lm m gl mgl + +....(4.171)22 2 1 2 2 1 2 1 22( ) cosLm l m l l + +.....(4.172)22 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 22( ) cos sind Lm l m l l m l ldt + + .(4.173)22 1 2 1 1 2 2 2 2 1 22( ) sin cos( )Lml l mgl + +...(4.174): 21 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 21 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 12 1 2 1 1( ) (2 )( ) 2 ( )ml ml l cm m l ml ls ml ls ml gc m m l gc + + ++ + + + +..(4.175)2 22 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 12 2 2 1 2( ) m l l c m l l s m l gc m l + + + + ...(4.176)Rsultats de simulation: Posture1: 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1050100150200250300350400time(sec)energie cinetique totale (posture1) (J)Figure 4-61: la variation de lnergie cintique totale (posture1).0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1050100150200250300350time(sec)energie potentielle totale posture(1) (J)Figure 4-62: la variation de lnergie potentielle totale (posture1).0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1350400450500550600650700750800850time(sec)couple de l'articulation(2) posture(1) (N.m)Figure 4-63: le couple de larticulation1 (posture1)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1160180200220240260280300320340couple de l'articulation(2) posture(1) (N.m)Figure 4-64 : le couple de larticulation2 (posture1)Posture2: 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10100200300400500600700time(sec)energie cinetique totale posture(2) (J)Figure 4-65 : la variation de lnergie cintique totale (posture2).0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1050100150200250300350400450time(sec)energie potentielle totale posture(2) (J)Figure 4-66 : la variation de lnergie potentielle totale (posture2). 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 14005006007008009001000time(sec)couple de l'articulation(1) posture(2) (N.m)Figure 4-67: le couple de larticulation1 (posture2)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-150-100-50050100150200250300350time(sec)couple de l'articulation(2) posture(2) (N.m)Figure 4-68 : le couple de larticulation2 (posture2)4-11Comparaison entre les deux postures: On remarque daprs les rsultats de simulation obtenus que :- la variation dnergie cintique totale de posture2 est suprieure a lnergie cintique totale de posture1 avec : 243.02 J J .- la variation dnergie potentielle totale de posture2 est suprieure a lnergie potentielle totale de posture1 avec 82.95 V J .Cette variation des nergies, cintique et potentielle, est due au dplacement et la vitesse des liens 1 et 2 pour les deux postures.On remarque aussi, que le couple de larticulation1 de posture2 a t=1s est 1446.33 . Nm avec un max 1900 . Nm par contrele couple de larticulation1 de posture1 est 1395.18 . Nm avec un max1820 . Nm .Par ailleurs, le couple de larticulation2 de posture2 a t=1s est 2127 . Nm avec un max 2300 . Nm par contrele couple de larticulation2 de posture1 est 2319.65 . Nm avec un max2330 . Nm .On peut dduire que le travail fourni par la posture2 est suprieur au travail fourni par la posture1.Le choix de posture1 est tout dsign dans lventualit dune conomie dnergie . [39][43]4-12 Conclusion: Dans ce chapitre la modlisation du robot SCARA a t faite par le logiciel Solidworks,ce logiciel a vrifi la thorie des robots SCARA.La vrification des rsultats obtenus par deux logiciels Solidworks et Matlab nous a permis de valoriser qualitativement et mettre en relief la pertinence du modle tudi. Cette application nous a permis de constater quil existe une similitude entre la thorie et la pratique relative la conception de ce logiciel.Dans notre cas, nous pouvons conclure au vue des rsultats obtenus par lanalyse comparative des deux postures que les nergies dissipes par la premire posture est inferieur a celle dissip par la deuxime posture et ce pour une mme trajectoire et mme dure selon la prsentation numre ci-dessus.Le choix de posture est tout dsign dans lventualit dune conomie dnergie.