7/28/2019 Exam 1996

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1 1 . I f x i s a p o s i t i v e i n t e g e r s u c h t h a t x

3

+ 8 x

2

+ 1 2 x

,3 8 5 = 0 , t h e n x i s

a l e s s t h a n 6 b b e t w e e n 7 a n d 1 1 c b e t w e e n 1 2 a n d 2 0

d b e t w e e n 2 2 a n d 3 4 e l a r g e r t h a n 5 0

1 2 . L e t s n d e n o t e t h e s u m o f t h e d i g i t s o f n . F o r e x a m p l e , s 1 9 7 =

1 + 9 + 7 = 1 7 . L e t s

2

n = s s n ; s

3

n = s s s n , a n d s o o n .

W h a t i s t h e v a l u e o f s

1 9 9 6

1 9 9 6 ?

a 1 8 b 4 c 1 2 d 7 e 0

1 3 . G i v e n t h a t f x = x

5

, 1 x

3

+ 1 , g x = x

2

, 1 x

2

, x + 1 , a n d

h x i s a p o l y n o m i a l s u c h t h a t f x = g x h x , w h a t i s t h e v a l u e o f

h 1 ?

a 0 b 2 c 3 d 5 e u n d e n e d

1 4 . I n a c e r t a i n f o o t b a l l l e a g u e , t h e o n l y w a y t o s c o r e i s t o k i c k a e l d g o a l

f o r 3 p o i n t s o r s c o r e a t o u c h d o w n f o r 7 p o i n t s . T h u s t h e s c o r e s 1 , 4

a n d 8 a r e n o t p o s s i b l e . H o w m a n y p o s i t i v e s c o r e s a r e n o t p o s s i b l e ?

a 5 b 6 c 9 d 1 1 e i n n i t e l y m a n y

1 5 . D a v e c a n a n s w e r e a c h p r o b l e m o n a c e r t a i n t e s t i n 6 m i n u t e s . M i c h a e l

c a n a n s w e r e a c h p r o b l e m i n 1 m i n u t e . S u p p o s e M i c h a e l r e s t s f o r t w o

h o u r s i n t h e m i d d l e o f a n s w e r i n g t h e p r o b l e m s b u t D a v e w o r k s s t r a i g h t

t h r o u g h t h e t e s t w i t h o u t s t o p p i n g . S u p p o s e f u r t h e r t h a t t h e y n i s h

t h e t e s t a t t h e s a m e t i m e . H o w l o n g d i d i t t a k e D a v e t o a n s w e r a l l t h e

p r o b l e m s ?

a 2 h o u r s a n d 1 0 m i n u t e s b 2 h o u r s a n d 1 2 m i n u t e s

c 2 h o u r s a n d 1 5 m i n u t e s d 2 h o u r s a n d 1 8 m i n u t e s

e 2 h o u r s a n d 2 4 m i n u t e s

3

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1 6 . S u p p o s e t h a t f x = x

5

+ a x

4

+ b x

3

+ c x

2

+ d x + e a n d t h a t f 1 =

f 2 = f 3 = f 4 = f 5 . T h e n a =

a , 8 b 1 0 c , 1 5 d 2 2 e , 3 5

1 7 . S u p p o s e t h a t t h e a n g l e b e t w e e n t h e m i n u t e h a n d a n d h o u r h a n d o f a

c l o c k i s 6 0

. I f t h e m i n u t e h a n d i s 1 6 i n c h e s l o n g a n d t h e h o u r h a n d i s

1 0 i n c h e s l o n g , t h e n w h a t i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t i p e n d s o f t h e

h a n d s i n i n c h e s ?

a 1 0 b 1 1 c 1 2 d 1 3 e 1 4

1 8 . S u p p o s e t h a t t h e n u m b e r s 1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 , 3 2 , 6 4 , 1 2 8 , 2 5 6

a r e p l a c e d i n t o t h e n i n e s q u a r e s i n s u c h a w a y t h a t

t h e p r o d u c t o f t h e n u m b e r s a p p e a r i n g i n a n y r o w ,

c o l u m n o r d i a g o n a l i s t h e s a m e . W h a t i s t h e v a l u e

o f t h i s c o m m o n p r o d u c t ?

a 5 1 2 b 4 0 9 6 c 8 1 9 2 d 1 6 3 8 4 e 3 2 7 6 8

1 9 . S u p p o s e t h a t f x i s a f u n c t i o n s u c h t h a t f o r e v e r y r e a l n u m b e r x , i

f x + f 1

,x = 1 1 a n d i i f 1 + x = 3 + f x . T h e n f x + f

,x

m u s t e q u a l

a 8 b 9 c 1 0 d 1 1 e 1 2

2 0 . L e t t w o 8

1 2 r e c t a n g l e s s h a r e a c o m m o n

c o r n e r a n d o v e r l a p . T h e d i s t a n c e f r o m t h e

b o t t o m r i g h t c o r n e r o f o n e r e c t a n g l e t o t h e

i n t e r s e c t i o n p o i n t a l o n g t h e r i g h t e d g e o f t h a t

r e c t a n g l e i s 7 . W h a t i s t h e a r e a o f t h e s h a d e d

r e g i o n ?

8

12

7

12 8

a 3 6 b 4 5 c 4 8 d 5 4 e 5 6

4

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2 1 . A d r a w e r c o n t a i n s s o c k s . W h e n t w o s o c k s a r e d r a w n a t r a n d o m , t h e

p r o b a b i l i t y t h a t b o t h a r e r e d i s 5 1 4 . W h i c h o f t h e f o l l o w i n g c a n b e

t h e n u m b e r o f s o c k s i n t h e d r a w e r ?

a 5 b 6 c 7 d 8 e 9

2 2 . S u p p o s e t h a t t h e r e a r e n p o i n t s i n t h e p l a n e a n d t h a t e a c h o f t h e s e

p o i n t s i s j o i n e d t o e x a c t l y t h r e e o f t h e o t h e r s b y s t r a i g h t l i n e s e g m e n t s .

T h e n a p o s s i b l e v a l u e o f n w o u l d b e

a 1 1 b 1 5 c 1 8 d 2 7 e 3 9

2 3 . W e h a v e 2 0 t h o u s a n d d o l l a r s t h a t m u s t b e i n v e s t e d a m o n g 4 p o s s i b l e

m u t u a l f u n d s . E a c h i n v e s t m e n t m u s t b e i n u n i t s o f 1 t h o u s a n d d o l l a r s ,

a n d t h e r e a r e m i n i m a l i n v e s t m e n t s t h a t n e e d t o b e m a d e i f o n e i s t o

i n v e s t i n t h e s e f u n d s . T h e m i n i m a l i n v e s t m e n t s a r e 2 , 2 , 3 a n d 4 t h o u -

s a n d d o l l a r s . H o w m a n y d i e r e n t i n v e s t m e n t s t r a t e g i e s a r e a v a i l a b l e i f

a n i n v e s t m e n t m u s t b e m a d e i n e a c h m u t u a l f u n d ?

a 2 2 0 b 2 4 0 c 2 6 0 d 2 8 0 e 3 0 0

2 4 . T e n c i r c u l a r c o i n s a r e t h r o w n o n t h e s t r e e t s o t h a t n o t w o o f t h e m

o v e r l a p o r t o u c h , a n d n o t h r e e o f t h e m h a v e a t a n g e n t l i n e i n c o m m o n .

W h a t i s t h e t o t a l n u m b e r o f l i n e s w h i c h a r e t a n g e n t t o t w o o f t h e c o i n s ?

a 6 0 b 1 0 0 c 1 8 0 d 2 4 0 e 3 6 0

2 5 . I n h o w m a n y w a y s c a n y o u w a l k u p a s t a i r w a y w i t h 6 s t e p s i f y o u

c a n t a k e o n e o r t w o s t e p s a t a t i m e ? F o r e x a m p l e , y o u c a n w a l k u p

a s t a i r w a y w i t h 3 s t e p s i n t h r e e d i e r e n t w a y s : i T a k e t h r e e s i n g l e

s t e p s . i i T a k e o n e s t e p a n d t h e n t w o s t e p s . i i i T a k e t w o s t e p s a n d

t h e n o n e s t e p .

a 9 b 1 0 c 1 1 d 1 2 e 1 3

5

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2 6 . S u p p o s e t h a t A B = A C = 4 ,

6

C A B i s a r i g h t

a n g l e a n d P i s t h e m i d p o i n t o f A B . W h a t i s

t h e s m a l l e s t p o s s i b l e v a l u e o f t h e p e r i m e t e r o f

4 P M N ?

A B

C

P

M

N

a 5 b 4 + 2

p

2 c 6 d

p

4 0 e

p

5 0

2 7 . L e t f

1

x = x + 7

2

x

2

, x + 1

3

x

5

+ 3 x

2

, 4

2

. S u p p o s e t h a t f

2

x =

f

1

x + 1

,f

1

x , f

3

x = f

2

x + 1

,f

2

x , f

4

x = f

3

x + 1

,f

3

x ,

a n d s o o n . W h a t i s t h e s m a l l e s t p o s i t i v e i n t e g e r n s u c h t h a t f

n

1 =

f

n

2 = f

n

3 = = f

n

2 5 ?

a 1 8 b 1 9 c 2 0 d 2 2 e 2 5

2 8 . T h e 4 6

t h

d i g i t a f t e r t h e d e c i m a l i n t h e d e c i m a l e x p a n s i o n o f

1

1 9 9 6

i s

a 0 b 1 c 4 d 6 e 8

2 9 . L e t a a n d b b e i n t e g e r s s u c h t h a t

1 +

1

2

+

1

3

+

1

4

+ +

1

5 8 0

+

1

5 8 1

=

a

b

:

I f a a n d b h a v e n o c o m m o n p r i m e f a c t o r s , w h a t i s t h e l a r g e s t p o w e r o f

3 d i v i d i n g b ?

a 3

0

b 3

1

c 3

3

d 3

4

e 3

5

3 0 . L e t x

1

; x

2

; x

3

; : : : b e t h e n u m b e r s w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f o n e

o r m o r e d i e r e n t p o w e r s o f 3 w i t h x

1

x

2

x

3

. F o r e x a m p l e ,

x

1

= 3

0

= 1 , x

2

= 3

1

= 3 , a n d x

3

= 3

0

+ 3

1

= 4 . W h a t i s t h e v a l u e o f

x

1 0 0

?

a 9 7 2 b 9 8 1 c 9 9 9 d 1 0 0 2 e 1 0 5 3

6