exam ms 204 nov 2012 corrige

8/18/2019 Exam Ms 204 Nov 2012 Corrige

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MS 204 – DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS

Corrigé du contrôle de connaissances

Exercice 1 : Ondes dans un fluide en rotation

1. Le nombre de Rossby compare la vitesse du fluide par rapport à l’entrainement dû à larotation de la Terre et à la force de Coriolis. Quand RO ≪ 1, les effets de rotation et de forcede Coriolis sont dominants. La Terre effectue une rotation par jour, soit Ω = 2π/24 ∗ 60 ∗60 ≃ 7.27.10−5 rad/s. Dans le cas de l’écoulement atmosphérique il vient RO ≃ 0.137 ≪1 : les effets de la rotation de la Terre sont donc importants pour ces écoulements impliquantdes structures à très grande échelle et influent sur le sens des mouvements cycloniques,qui sont opposé dans les hemisphères nord et sud. A contrario pour le cas d’un typhon,RO ≃ 137.5 ≫ 1 : les effets dus à la rotation de la Terre peuvent être négligés.

2. En prenant la divergence de l’équation de Navier-Stokes il vient immédiatement :△ p =−2ρdiv(Ω ∧ v). En développant la divergence à l’aide du formulaire il vient finalement :

△ p = 2ρΩωz (1)

3. En prenant le rotationnel de l’équation de Navier-Stokes et en développant le rotationneldu produit vectoriel, il vient immédiatement : ∂ωz

∂t = 2Ω∂vz

∂z . En dérivant (1) par rapport au

temps et en éliminant ωz on trouve la relation demandée.4. En dérivant la composante verticale de Navier-Stokes par rapport à z il vient : ∂

2vz∂t∂z

=

−1ρ∂ 2 p∂z2

. Il suffit alors de dériver l’équation trouvée à la question précédente par rapport à t,

d’éliminer le terme en ∂ 2vz

∂t∂z, afin de faire apparaitre l’équation de propagation demandée sur

la pression.

5. On introduit une onde monochromatique pour la pression : p(x , y, z, t) = A exp[i(k.x−ωt)], avec k = [kx, ky, kz]t, il vient : ||k||2ω2 = 4Ω2k2z , avec ||k||

2 = k2x + k2y + k

2z .

En introduisant l’angle θ que fait le vecteur d’onde k par

rapport à l’axe (0z ), et avec des relations évidentes sur lestriangles on obtient :

ω2 = 4Ω2 cos2 θ. x

y

z

k

k

k x

y

z

kθ

Ω

π π /2

ω

θ

2

– Les ondes inertielles géostrophiques sont dispersives etanisotropes : la pulsation dépend directement de l’angle θque fait le vecteur d’onde avec l’axe (0z ).

– La pulsation maximale admissible est ω = 2Ω, soitle double de la fréquence de rotation. Elle est atteintelorsque le vecteur d’onde s’aligne sur la verticale.

– A contrario, pour une source vibrant très lentement,l’onde émise se propagera proche de l’horizontale.


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6. La vitesse de phase s’écrit simplement :

cφ = 2Ωkz||k||3

k

Après calcul, la vitesse de groupe s’écrit :

cg = 2Ω

||k||3

−kxkz−kykz

k2x + k2y

(2)

En développant k.cg on trouve bien que tous les termes s’annulent et donc que la vitesse degroupe est perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde.

7. En introduisant la solution onde pour le vecteur vitesse u dans l’équation d’incompressi-bilité on obtient immédiatement k.u = 0. On en déduit que le mouvement des particules doitêtre perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde. Ces mouvements sont indiqués

ci-dessous par les grandes flèches :

x

z

k cφ

cgθ

Exercice 2 : Localisation dans un système faiblement désaccordé

1. L’énergie cinétique s’écrit :

E c = 1

2m(L21θ̇

21 + L

22θ̇

22).

L’énergie potentielle est la somme de l’énergie potentielle de pesanteurs des deux masses,plus l’énergie élastique emmagasinée dans le ressort, soit :

E p = mgL1(1 − cos θ1) + mgL2(1 − cos θ2) + 1

2k(L2 sin θ2 − L1 sin θ1)

2.

En utilisant le formalisme de Lagrange, on aboutit aux équations suivantes qui gouvernent ladynamique du système :

mL21θ̈1 + mgL1 sin θ1 − kL1 cos θ1(L2 sin θ2 − L1 sin θ1) = 0, (3a)

mL22θ̈2 + mgL2 sin θ2 + kL2 cos θ2(L2 sin θ2 − L1 sin θ1) = 0. (3b)


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2. Les équations linéarisées s’écrivent :

θ̈1 + ω2gθ1 − ω

2k((1 +△L)θ2 − θ1) = 0, (4a)

θ̈2 +ω2g

1 + △Lθ2 +

ω2k1 + △L

((1 +△L)θ2 − θ1) = 0. (4b)

Soit une matrice de masse identité et une matrice de raideur telle que :

K =

ω2g + ω

2k −ω

2k(1 + △L)

− ω2

k

1+△L ω2k +

ω2g1+△L

(5)

3. Les fréquences propres sont les solutions de det(K− ω2I)=0, avec I la matrice identité.En remplaçant on trouve la relation demandée. Lorsque △L=0, on trouve :

ω21 = ω2g + 2ω

2k, (6)

ω22 = ω2g . (7)

La seconde pulsation propre correspond au mode où les deux masses oscillent en phase,on retrouve naturellement la pulsation propre d’un pendule simple. La première pulsationcorrespond au mode où les masses oscillent en opposition de phase, la raideur du systèmese trouve alors augmentée de celle du ressort, d’où le résultat obtenu. Si de plus k s’annule,alors R s’annule et on trouve une valeur propre double égale à la pulsation propre du pendulesimple.

4. Les vecteurs propres φ1,2 sont solutions de Kφ1,2 = ω21,2φ1,2, soit, pour simplifier les

calculs et utiliser le résultat précédent : 1ω2gKφ1,2 = ω̄

21,2φ1,2. En remplaçant on trouve :

φ 12

=

1

1(1+△L)R2

12 − 1

2(1+△L) ∓

R4 + 14 − 1

2(1+△L) + 1

4(1+△L)2

1/2 (8)

Lorsque△L = 0, on retrouve bien que le mode φ1 correspond au mode où les deux massesoscillent en opposition de phase, tandis que φ2 correspond au mode en phase.

5. Lorsque R =0.5, les deux fréquences propres varient peu en fonction de △L, et lesdéformées modales aussi. Ainsi à la pulsation ω̄1 correspond bien le mode en opposition dephase (φ1 = [1 − 1]

t) pour toutes les valeurs de △L explorées. De même, à ω̄2 correspond

le mode en phase, φ2 = [1 1]t. Le cas R =0.025 correspond en particulier à une valeurpetite de la raideur du ressort de couplage k. Dans ce cas-là, on observe tout d’abord quelorsque△L −→ 0, les deux pulsations propres tendent simultanément vers la valeur de 1, cf.question 3. Dès que l’on s’écarte de△L ≃ 0, on observe une variation rapide des fréquencespropres et des déformées modales associées. Les déformées modales pour △L = −0.04et 0.04 montrent qu’une des deux masses a une amplitude très grande comparativement àl’autre. On observe le phénomène de localisation des modes : l’énergie vibratoire se localisesur l’une des deux masses, au lieu d’être répartie entre le mode en phase et en oppostiion dephase, d’où le terme de modes localisés. On comprend que pour obtenir des modes localisésles ingrédients essentiels sont : un système faiblement désaccordés et des couplages faibles

entre sous-parties du système. La localisation se retrouve naturellement dans les formulestrouvées pour les déformées modales à la question précédente, à cause de la présence duterme en 1

R2 qui devient très grand lorsque R −→ 0.


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6. En posant θ2=0 il vient :

θ̈1 + g

L1sin θ1 +

k

m sin θ1 cos θ1 = 0 (9)

A l’ordre 3 :

θ̈1 +

g

L1+

k

m

θ1 −

g

6L1+

2k

3m

θ31 = 0 (10)

Le carré de la pulsation propre vaut gL1

+ km

. Le terme devant la non linéarité cubique estnégatif, on a donc affaire à une non linéarité assouplissante, ce qui est logique puisque l’ona affaire à un pendule.

7. Les équations du mouvement sont modifiées en :

θ̈1 + g

L1sin θ1 +

k

m sin θ1 cos θ1 +

kNL

m L31 sin

3 θ1 cos θ1 = 0 (11)

A l’ordre 3, il vient :

θ̈1 +

g

L1+

k

m

θ1 −

g

6L1+

2k

3m

θ31 +

kNLm

L21θ31 = 0 (12)

La non linéarité devient raidissante lorsque le coefficient devant le terme non linéaire estpositif, soit pour :

kNL ≥ mg

6L31

+ 2k

3L21

(13)

Exercice 3 : Modes de poutres et de plaques minces

1. Après calcul (cf. polycopié, pp. 48-52 pour le principe), on trouve comme déforméesmodales :

Φn(x) = 2Lx

sinnπxLx

, (14)où le facteur de normalisation

2Lx

a été choisi de telle sorte que Lx

0 Φ2n(x)dx=1. les fré-

quences propres associées s’écrivent :

ωn =

EI

ρS

n2π2

L2x. (15)

2. La relation de dispersion pour les plaques minces s’écrit :

ω2 = D

ρh||k||4, (16)


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le milieu est dispersif. Les vitesses de phase c poutreφ et c plaqueφ peuvent se réécrire :

c poutreφ =

Eh2

12ρ k, c plaqueφ =

Eh2

12ρ(1− ν 2)||k|| (17)

On observe que la vitesse des ondes de flexion dans les plaques est légèrement supérieureà celle des poutres, la seule différence provenant du facteur 1 − ν 2. L’absence du facteur ν dans le modèle de poutre provient de l’hypothèse que les sections restent indéformables, iln’y a donc pas d’effet Poisson.

3. La forme proposée (produit des fonctions propres de poutre) convient dans le sens où lesfonctions Φ plaque(m,n) (x, y) = φ

poutrem (x).φ

poutren (y) vérifient bien les conditions aux limites, ainsi

que le problème de Sturm-Liouville :

△△Φ plaque(m,n) (x, y) = ρh

D ω2Φ plaque(m,n) (x, y). (18)

Les fréquences propres s’écrivent simplement :

ωm,n = π2

D

ρh

m2

L2x+

n2

L2y

. (19)

et les déformées modales normalisées :

Φm,n(x, y) = 2

LxLysin

mπx

Lx

sin

nπy

Ly

, (20)

4. Quand Ly ≪ Lx, les modes de plus basses fréquences faisant intervenir des déforma-tions selon y apparaissent pour des fréquences très hautes, si bien que les premiers modes

de la plaque seront obtenus pour n=0 et auront pour fréquences ωm,0 =

Dρh

m2π2L2x

= Eh2

12ρ(1−ν 2)m2π2

L2x. On peut comparer ces fréquences à celles des poutres : ω poutre p =

Eh2

12ρ p2π2

L2x.

On retrouve la différence dû à l’effet Poisson (facteur 1 − ν 2) et qui s’explique par la diffé-rences des vitesses des ondes de flexion dans les deux cas.

La première fréquence de plaque faisant intervenir des déformations selon y sera néces-

sairement obtenue pour m = 0, n = 1, et vaut : ω0,1 =

Dρh

π2

L2y. En la comparant à ωm,0, on

comprend que ce premier mode selon y intervient après le meme mode tel que m = Lx/Ly.Si Lx = 100Ly, le premier mode se différenciant du cas poutre apparait donc en numéro100.

5. La force extérieure s’écrit : F (x, t) = Aδ (x−Lx/2+ A)δ (t)−Aδ (x−Lx/2−A)δ (t). Lesforces étant d’intensité opposée, par symétrie du problème la somme des ondes incidentes etréfléchies au centre de la poutre en x = Lx sera toujours nulle si bien que le point resteraau repos. En utilisant la projection modale, les équations modales s’écrivent : ∀n ≥ 1 :Ẍ n + ω

2nX n = F n(t), où la force modale vaut :

F n(t) = A

φ poutren (x + Lx/2)− φ poutren (x− Lx/2)

δ (t) (21)

Quand n est impair, F n = 0 car les déformées modales sont symétriques par rapport aucentre, et donc X n=0 pour tout temps. Quand n est pair, φ poutren (x + Lx/2) = −φ

poutren (x−

Lx/2), la réponse modale est non nulle. Cependant tous ces modes pairs étant anti-symétriquespar rapport au centre, ils y ont un nœud de vibration, si bien que la vibration au centre de lapoutre sera bien nulle pour tout temps.

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