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MS 204 – DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS

Contrôle de connaissances

Lundi 5 Novembre 2012 – Durée : 3 heures

N.B. Documents autorisés : polycopié de MS204, notes, textes et corrigés des PC. Le contrôleest composé de trois exercices indépendants. Les vecteurs sont notés avec des caractères gras.

Exercice 1 : Ondes dans un fluide en rotation

On s’intéresse aux ondes susceptibles de se propager dans l’atmosphère terrestre ou l’océan,c’est-à-dire sur des milieux de très grandes dimensions et soumis à une rotation d’ensemble. Leproblème est simplifié afin de s’abstraire de la courbure de la Terre, si bien que l’on considère unecouche bidimensionelle de fluide incompressible, de masse volumique ρ, de hauteur h, et soumiseà une rotation d’ensemble décrite par le vecteur rotation Ω.

h

y

x

z

Ω

FIGURE 1 – Couche de fluide d’épaisseur h soumise à une rotation d’ensemble homogène décritepar le vecteur Ω.

1. On définit le nombre de Rossby par :

RO = U

ΩL (1)

où U est la vitesse caractéristique de l’écoulement, L la dimension caractéristique des structures

atmosphériques et Ω la vitesse angulaire de la Terre. Quels sont les effets relatifs comparés par cenombre? Dans quelle limite a-t-on RO ≪ 1 ? Comparer les nombres de Rossby dans le cas d’unécoulement atmosphérique avec U ≃ 10 m/s et L ≃ 103 km, et le cas d’un typhon avec U ≃ 100m/s et L ≃ 10 km. Commentez.

2. On se place dans le cas RO ≪ 1, et on admet que l’équation de Navier-Stokes s’écrit pour lavitesse relative v dans le repère tournant :

∂ v

∂t = −grad

p

ρ − 2Ω ∧ v (2)

où p représente la pression. En prenant la divergence de cette équation, montrez une relation simplereliant le laplacien de la pression à ρ, Ω et ωz, où ωz représente la composante verticale de lavorticité ω = rot v.

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3. En prenant le rotationnel de (2), faites apparaitre une relation simple entre ∂ωz∂t

, Ω et ∂vz∂z

. Enéliminant ωz , montrez que l’on a :

∂ △ p

∂t = 4ρΩ2

∂vz∂z

(3)

4. En utilisant la composante verticale de l’équation de Navier-Stokes (2), éliminez la vitesseverticale pour faire apparaitre l’équation de propagation pour la pression :

∂ 2 △ p

∂t2 = −4Ω2

∂ 2 p

∂z 2 (4)

les ondes solutions de cette équation sont appelées ondes inertielles.

5. Établir la relation de dispersion pour une onde harmonique de pulsation ω et de vecteur d’ondek. La propagation est-elle dispersive? Isotrope? Montrer que la pulsation ne dépend que de ladirection de propagation de l’onde, pas de sa longueur d’onde, et s’écrit simplement en fonctionde l’angle θ entre le vecteur d’onde et l’axe de rotation (0z ) :

ω2 = 4Ω2 cos2 θ (5)

Quelle est la pulsation maximale des ondes géostrophiques inertielles ? Pour quel angle intervient-elle ? Dans quelle direction se propage une onde engendrée par une source vibrant très lentement?

6. Pour une onde tridimensionnelle, on note la vitesse de phase cφ = ω||k||2k, et la vitesse degroupe cg = ∇kω. Calculez ces vitesses, et montrez que cg est perpendiculaire à k.

7. A partir de la relation d’incompressibilité, montrez que l’on a : k.u = 0. Représentez, dans leplan (x0z) (On supposera que la partie horizontale de la propagation est telle que ky = 0, ce qui ne

pose aucune restriction sur la généralité du problème) : un front d’onde, les vitesses de phase et degroupe cφ et cg, ainsi que le mouvement des particules.

Exercice 2 : Localisation dans un système faiblement désaccordé

On considère deux pendules consistant enune masse m reliée à son centre de rota-

tion O1 et O2 par des fils inextensibles etsans masse de longueurs respectives L1 etL2. Les deux masses sont reliées entre ellespar un ressort linéaire de raideur k. Le butde l’exercice est de montrer que lorsque lespendules sont faiblement désaccordés, lesvibrations peuvent se localiser sur l’un oul’autre des pendules.

O1

O2

θ θ21

k

x

y

m

m

L1 L 2

1. Calculez l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système. A l’aide du formalisme deLagrange, donnez les équations du mouvement.

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2. En considérant des angles petits, et en posant que les longueurs des deux pendules sont proches,soit : L1 = L, L2 = L(1 + △L), linéarisez et simplifiez les équations obtenues à la questionprécédente. Exprimez-les sous forme matricielle MẌ + KX = 0, avec X = [θ1 θ2]t, et donnezles matrices K et M en fonction de △L, ωk et ωg tels que :

ω2k = k

m, ω2g =

g

L, (6)

3. Calculez les pulsations propres ω1,2 du système couplé. En notant R = ωkωg

, ω̄1,2 = ω1,2ωg

, montrezque l’on obtient la relation suivante pour ces fréquences propres :

2ω̄21,2 = 2R2 + 1 +

1

1 + △L ±

4R4 + 1 −

2

1 + △L +

1

(1 + △L)2

1/2(7)

Commentez les valeurs des fréquences propres lorsque△L=0. Que se passe-t-il si de plus la rai-deur k du ressort de liaison tend vers 0 ?

4. Calculez les déformées modales φ1 et φ2 correspondant aux pulsations propres ω1,2 du systèmecouplé. Que valent ces vecteurs lorsque △L=0 ?

5. la figure 2 montre comment les modes propres dépendent du paramètre de désaccord △L,pour deux valeurs différentes du coefficient de couplage R. Les lignes continues montrent lescarrés des pulsations propres adimensionnées λ = ω̄21,2 en fonction de △L. Les modes propressont représentés par les graphes insérés aux valeurs △L=-0.04, 0 et 0.04, où l’on a dessiné lesvaleurs relatives des deux coordonnées de φ1 et φ2 (en notant φ11 et φ12 les deux coordonnées deφ1). Par exemple, la figure 2(a) pour la valeur△L=-0.04 montre que les deux composantes de φ1sont de signe opposé, et quasiment égales en valeur absolue.

φ11

12φ

21φ 22

φ

FIGURE 2 – Variations du carré des pulsations propres adimensionnées λ = ω̄21,2 en fonctiondu paramètre de désaccord △L, pour deux valeurs différentes du paramètre de couplage R. (a) :R =0.5, (b) : R =0.025. Inséré dans les figures : représentation des valeurs des valeurs relativesdes deux coordonnées de φ1 et φ2 pour 3 valeurs de △L différentes. Tiré de C. Pierre : Modelocalization and eigenvalue loci veering phenomena in disordered structures, Journal of Sound and vibration, 126(3), pp. 485-502, 1988.

Commentez les comportements observés lorsque R =0.5 et R =0.025. Pourquoi parle-t-onde modes localisés dans le cas R =0.025 ? Les comportements observés se retrouvent-ils dans lesformules démontrées aux questions 3 et 4 ?

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6. On considère désormais les équations non linéaires com-plètes où l’on ne suppose plus les angles petits, tout en conser-vant l’hypothèse que le ressort ne travaille que dans la directionhorizontale (hypothèse des rotations modérées). Montrez que le

fait de poser θ2=0 équivaut à considérer le système représentéci-contre. Donnez l’équation du mouvement non linéaire. En ladéveloppant à l’ordre 3 en θ1, indiquez la fréquence propre dusystème, et précisez si la non-linéarité est raidissante ou assou-plissante.

O1

θ1

x

y

m

L1

7. On suppose désormais que le ressort horizontal est non linéaire, si bien que sa force de rappels’écrit en kX + kNLX 3, où X représente son élongation. Donnez l’équation du mouvement non-linéaire. En la développant à l’ordre 3 en θ1, trouvez la valeur minimale qu’il faut donner à kNLafin de rendre la non linéarité du système raidissante.

Exercice 3 : Modes de poutres et de plaques minces

1. On considère une poutre mince en flexion selon les hypothèses d’Euler-Bernoulli. On noteraE le module d’Young, I le moment d’inertie des sections, ρ la masse volumique et S l’aire dela section droite. On suppose une section rectangulaire d’épaisseur h et de largeur b, si bien queS = bh et I = bh3/12. La longueur de la poutre est notée Lx, et on suppose que les conditions auxlimites sont de type simplement supportée (ou rotulée) aux deux bornes du domaine. Calculez les

modes normaux du système (fréquences propres ω p et déformées modales φ poutre p (x)).

2. On considère une plaque de dimensions latérales Lx × Ly, d’épaisseur h. Suivant les hypo-thèses de Kirchhoff-Love, le modèle pour les vibrations de flexion de plaques minces équivalentau modèle d’Euler-Bernoulli pour les poutres donne la dynamique suivante :

ρh∂ 2w

∂t2 + D△△w = 0, (8)

où w(x,y,t) est le déplacement de transverse (mouvements de flexion), et D = Eh3

12(1−ν 2) est la

raideur en flexion (ν le coefficient de Poisson). Donnez la relation de dispersion, commentez.

Comparez la vitesse de phase des ondes de flexion dans le cas de la poutre et de la plaque. Com-mentez.

3. On suppose des conditions aux limites de type simplement supportées pour la plaque, quis’écrivent :

w = 0 et ∂ 2w

∂x2 = 0 en x = 0 et x = Lx, (9a)

w = 0 et ∂ 2w

∂y2 = 0 en y = 0 et y = Ly. (9b)

On souhaite calculer les modes propres vibratoires pour la plaque mince. Montrez qu’une so-lution à variables séparées de la forme Φ plaque(m,n) (x, y) = φ poutrem (x).φ poutren (y) convient. Donnez lesfréquences propres correspondantes. On prendra soin de normaliser les modes Φ plaque(m,n) (x, y).

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4. On se place dans le cas Ly ≪ Lx. On classe les fréquences propres de la plaque par ordrecroissant. Comparez les premières fréquences de la plaque à celles de la poutre. Quel est le numérodu mode pour lequel apparait des déformations selon y, propre à la plaque? Appliquez au casLx = 100Ly.

5. On reprend le cas de le poutre, et on suppose désormais qu’elle est soumise à deux effortsopposés, situés de part et d’autre du centre de la poutre, en x = Lx/2 − a et x = Lx/2 + a, où

a est une donnée. Les deux forces sont des impulsions temporelles de signe opposé. Montrez, enutilisant des arguments de type propagation d’ondes, que le déplacement du centre de la poutresera identiquement nul. Démontrez-le par le calcul en utilisant la projection modale.

Formulaire

On rappelle les formules suivantes. Pour un scalaire u :

rot(gradu) = 0 (10)

Pour deux vecteurs A et B :

rot(A ∧B) = (B.grad)A− (A.grad)B−Bdiv(A) + Adiv(B) (11)

div(A ∧B) = −A.rotB+ B.rotA (12)

Expression de l’opérateur bi-laplacien en coordonnées cartésiennes :

∆∆ =

∂ 4

∂x4 +

∂ 4

∂y4 + 2

∂ 4

∂x2∂y2

(13)

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