8/3/2019 Examen_correction_L1_Algbre_2005_2

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UTBM - MT12 - le 5 Novembre 2007

MedianCalculatrices interdites. Le seul document autorise est une feuille A4

recto-verso redigee a la main

Chaque exercice doit etre redige sur une feuilledifferente

Il sera tenu compte dans la correction de la presentation et de la redaction correcte desdemonstrations.

Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points

i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels sur C avec dimCE = 2 et dimCF = 3. Peut-

on trouver une application lineaire injective de E dans F qui ne soit pas surjective ?Justifier.

[ oui. Si {a1, a2} et une base de E et {b1, b2, b3} est une base de F, il suffitde considerer lapplication lineaire qui envoie a1 sur b1 et a2 sur b2.]

ii) Peut-on trouver une famille F = {f1, f2, f3} de R3 telle que {f1, f2}, {f2, f3} et

{f1, f3} soient toutes les trois libres etF soit liee ? Justifier.

[ oui. Par ex. {a1 =

100

, a2 =

010

, a3 =

110

}. On constate que 2 a

2 les vecteurs ne sont pas colineaires et a1 + a2 = a3 donc la famille nest pas

libre.]

iii) Soit F = vect{

100

,

010

,

123

} et G = vect{

001

,

120

,

124

},

sous-espaces vectoriels de R3. Quelle est la dimension de F G ? Justifier.

[ On verifie facilement que {

100

,

010

,

123

} est libre donc F = R3

donc G F donc FG = G. Or 4.

001

+

120

=

124

} donc dim(G) =

2.]

iv) Determiner, sans calculs fastidieux pour ne pas perdre de temps, a quelles condi-tions sur m R

det

m2 + 1 1 m2

m2 + 2 1 m2 + 1m2 + m 1 m2 3 m + 2

= 0.

[la premiere colonne egale la somme des deux autres donc le determinantest nul.]

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Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soient les vecteurs de R3 :

u =

a

a 1a

, v =

a

1 aa

.

1. A quelle condition necessaire et suffisante sur a R, les vecteurs u, v sont-ilsindependants ?

[Deux vecteurs sont lies ssi ils sont colineaires. Si a = 0, ils sont colinaires.Si a = 0, ces 2 vecteurs sont independants ssi a 1 = 1 a. La conditionest donc a = 0, 1]

2. Dans le cas ou u et v sont independants, trouver un vecteur w R3 telle que lafamille = {u , v, w} soit une base de R3.

[ On verifie facilement quen completant avec

100

, on a une famille

libre, il suffit de calculer le determinant par exemple.]

3. Quelles sont les coordonnees de X =

3.aa 1

3.a

dans ?

[ On a X= 2.u + v donc X =

210

.]

TOURNER LA PAGE S.V.P.

Exercice 3 (8 points) (NOUVELLE FEUILLE)

SoitC = {c1 =

1

00

, c2 =

1

00

, c3 =

0

01

} la base canonique de R

3

Soit lapplication lineaire donnee dans C par

f : R3 R3

x

y

z

A.

x

y

z

avec A =

1 1 00 2 02 2 3

.

1) SoitB = {b1 =

101

, b2 =

110

, b3 =

001

}, une la base de R3. Donner les

coordonnees dans B des vecteurs f(b1), f(b2), f(b3).

[f(b1) =

101

donc f(b1)B =

100

, f(b2) =

220

donc f(b2)B =

020

,

f(b3) =

003

donc f(b3)B =

003

.]

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2) En deduire la matrice D = Mf,B de f relativement a la base B.

[Donc D =

1 0 00 2 00 0 3

.]

3) Soit P la matrice de M3(R) la matrice de passage de la base canonique a la base B.P est la matrice telle que

V R3, coordC(V) = P.coordB(V).

Montrer que P est inversible et determiner son inverse.

[Donc P =

1 1 00 1 01 0 1

. det(P) = 1 d on c P est inversible. On trouve

facilement P1 =

1 1 00 1 01 1 1

]

4) Verifier que A = P.D.P

1

.5) Calculer D2, D3 et trouver une expression de Dn pour n N en fonction de n

(justifier).

[Donc Dn =

1 0 00 2n 00 0 3n

.]

6) En deduire une expression en fonction de n de An.(on commencera par exprimer An en fonction de P, D et n, puis on remplacera)[Donc An = PDnP (recurrence). On remplace ensuite pour trouver

An =

1 1 + 2

n

00 2n 0

1 3n 1 + 3n 3n

.]

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