exemple 2 - 1 - met iacobi.pdf
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Exemple 2 - 1 - Met Iacobi.pdf
1/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
1
1. Metoda Iacobi
Problema
Fie sistemul de n ecua\ii cu n necunoscute:
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
nnnnnn
nn
nn
b xa xa xa
b xa xa xa
b xa xa xa
L
LL
L
L
2211
22222121
11212111
[n care: i x ( )ni ,,1L=
- necunoscutele,iia ( )n ji ,,1, L= - coeficien\ii necunoscutelor,
ib ( )ni ,,1L= - termenii liberi ai ecua\iilor.
Se cunoaște o primă estimare a necunoscutelor:)0(
i x , ni L,3,2,1= .
Se calculează valorile neconoscutelor, cu o eroarea relativă aproximativă de calcul
mai mică decât o valoare impusă.
Principiul metodei
o
Se efectuează un calcul iterativ în care rădăcinile din iterația curentă secalculează în funcție de valoarea rădăcinilor din interația anterioară, după
formula:
⋅−⋅= ∑≠
=
+
n
i j j
k
jiji
ii
k
i xaba
x1
)()1( 1 , ni L,3,2,1=
unde : )1( +k i x este valoarea necunoscutei j x în iterația curentă,
)(k
j x este valoarea necunoscutei j x în iterația anterioară.
o Calculul iterativ se repetă până când eroarea relativă aproximativă de
calcul a fiecărei necunoscute este mai mică decât cea impusă.
o Condiții de aplicabilitate a metodei:
- să nu se anuleze numitorul: 0≠iia , ni L,3,2,1=
- sistemul să fie diagonal: ∑≠
=
>
n
i j j
ijii aa1
, ni L,3,2,1=
Observa ț ie:Ordinea ecuațiilor în sistem poate fi schimbată astfel încât condițiile să fie satisf ăcute.
-
8/18/2019 Exemple 2 - 1 - Met Iacobi.pdf
2/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
2
Exemplu de calcul
Problemă:
Să se rezolve sistemul de mai jos prin metoda Iacobi:
−=−−
−=+−−
=−+
1552
927
23
321
321
321
x x x
x x x
x x x
Se cunoaște o primă estimare a necunoscutelor:
=
=
=
0
0
0
)0(3
)0(
2
)0(
1
x
x
x
Eroarea relativă aproximativă de calcul a rădăcinii trebuie să fie mai mică de 0,1%.
Date problemă:
−=−−
−=+−−
=−+
1552
927
23
321
321
321
x x x
x x x
x x x
;
=
=
=
0
0
0
)0(3
)0(
2
)0(
1
x
x
x
%1,0=admε
Cerință:
=
=
=
?
?
?
3
2
1
x
x
x
pentru admε ε <
Rezolvare:
Verificarea condițiilor de aplicabilitate a metodei:
- să nu se anuleze numitorul:
03 ≠ (coeficientul lui 1 x din prima ecuație diferit de zero)
07 ≠− (coeficientul lui 2 x din a doua ecuație diferit de zero);
05 ≠− (coeficientul lui3
x din a treia ecuație diferit de zero).
⇒ condiție îndeplinită
-
8/18/2019 Exemple 2 - 1 - Met Iacobi.pdf
3/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
3
- sistemul să fie diagonal:
pentru prima ecuație: 113 −+>
pentru a doua ecuație: 217 +−>−
pentru a treia ecuație: 125 −+>−
⇒ condiție îndeplinită
Determinarea formulelor iterative de calcul a necunoscutelor (din fiecare ecuație se
explicitează câte o necunoscută):
−
+−−=
−
−+−
=
+−=
+
+
+
5
215
7
29
3
2
)(
2
)(
1)1(
3
)(
3
)(
1)1(
2
)(
3
)(
2)1(
1
k k k
k k
k
k k
k
x x x
x x
x
x x x
Calculul iterativ:
o Itera ț ia 1:
1=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=+−
=+−
=
35
00215
5
215
2857,17
0209
7
29
6667,03
002
3
2
)0(
2
)0(
1)1(
3
)0(
3
)0(
1)1(
2
)0(
3
)0(
2)1(
1
x x x
x x x
x x x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
%1,0%1001003
03100
%1,0%1001002857,1
02857,1100
%1,0%1001006667,0
06667,0100
)1(
3
)0(
3
)1(
3)1(
3
)1(
2
)0(
2
)1(
2)1(
2
)1(
1
)0(
1
)1(
1)1(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este îndeplinită
-
8/18/2019 Exemple 2 - 1 - Met Iacobi.pdf
4/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
4
o Itera ț ia 2: 2=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=
+−
=
+−
=
0095,35
2857,16667,0215
5
215
0476,27
326667,09
7
29
2381,13
32857,12
3
2
)1(
2
)1(
1)2(
3
)1(
3
)1(
1)2(
2
)1(
3
)1(
2)2(
1
x x x
x x x
x x
x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅
−
=⋅
−
=
%1,0%3165,01000095,3
30095,3100
%1,0%2093,371000476,2
2857,10476,2100
%1,0%1538,461002381,1
6667,02381,1
100
)2(
3
)1(
3
)2(
3)2(
3
)2(
2
)1(
2
)2(
2)2(
2
)2(
1
)1(
1
)2(
1)2(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este îndeplinită
o Itera ț ia 3: 3=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=+−
=+−
=
0857,35
0476,22381,1215
5
215
9687,17
0095,322381,19
7
29
9873,03
0095,30476,22
3
2
)2(
2
)2(
1)3(
3
)2(
3
)2(
1)3(
2
)2(
3
)2(
2)3(
1
x x x
x x x
x x x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
%1,0%4691,21000857,3
0095,30857,3100
%1,0%0083,41009687,1
0476,29687,1100
%1,0%4019,251009873,0
2381,19873,0100
)3(
3
)2(
3
)3(
3)3(
3
)3(
2
)2(
2
)3(
2)3(
2
)3(
1
)2(
1
)3(
1)3(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este îndeplinită
-
8/18/2019 Exemple 2 - 1 - Met Iacobi.pdf
5/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
5
o Itera ț ia 4: 4=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=
+−
=
+−
=
0012,35
9687,19873,0215
5
215
0263,27
0857,329873,09
7
29
0390,13
0857,39687,12
3
2
)3(
2
)3(
1)4(
3
)3(
3
)3(
1)4(
2
)3(
3
)3(
2)4(
1
x x x
x x x
x x
x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅
−
=⋅
−
=
%1,0%8167,21000012,3
0857,30012,3100
%1,0%8424,21000263,2
9687,10263,2100
%1,0%9760,41000390,1
9873,00390,1
100
)4(
3
)3(
3
)4(
3)4(
3
)4(
2
)3(
2
)4(
2)4(
2
)4(
1
)3(
1
)4(
1)4(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este îndeplinită
o Itera ț ia 5: 5=k
Calculul necunoscutelor:
=
−
+⋅−−=
−
+−−=
=
−
⋅−+−=
−
−+−=
=+−
=+−
=
0103,35
0263,20390,1215
5
215
9948,17
0012,320390,19
7
29
9916,03
0012,30263,22
3
2
)4(
2
)4(
1)5(
3
)4(
3
)4(
1)5(
2
)4(
3
)4(
2)5(
1
x x x
x x x
x x x
Verificarea condiției de oprire a calculului iterativ:
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
>=⋅−
=⋅−
=
%1,0%3043,01000103,3
0012,30103,3100
%1,0%5811,11009948,1
0263,29948,1100
%1,0%7777,41009916,0
0390,19916,0100
)5(
3
)4(
3
)5(
3)5(
3
)5(
2
)4(
2
)5(
2)5(
2
)5(
1
)4(
1
)5(
1)5(
1
x
x x
x
x x
x
x x
ε
ε
ε
⇒ condiția de oprire a calcului iterativ nu este îndeplinită
-
8/18/2019 Exemple 2 - 1 - Met Iacobi.pdf
6/6
REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE DE ECUAȚ II
6
o Itera ț iile 6,7,8,9,10:
Calculele se fac la fel în continuare, obținându-se rezultatele din tabelul de mai jos.
Tabel. Rezultate pentru itera ț iile 6,7,8,9,10
Iterația Necunoscutele Eroarea relativă aproximativă
k )(1
k x )(2k x )(3
k x )(1
k ε )(2
k ε )(3
k ε
6 1,0052 2,0042 2,9977 1,3497 0,4683 0,4218
7 0,9978 1,9986 3,0012 0,7359 0,2777 0,1183
8 1,0009 2,0007 2,9994 0,3031 0,1031 0,0609
9 0,9996 1,9997 3,0002 0,1297 0,0478 0,0267
10 1,0002 2,0001 2,9999 0,0585 0,0207 0,0109
După cea de-a 10-a iterație condiția de oprire a calcului iterativ este îndeplinită: