UFABC – Fenômenos Térmicos – Prof. Germán Lugones MÓDULO 2 – TEMPERATURA E A TEORIA CINÉTICA DOS GASES

Exemplos do Módulo 2

Exemplos de Termômetros, Escalas de temperatura

e Expansão térmica de líquidos e gases

Exercício01Emumtermômetrodegásavolumeconstante,apressãoa20,0°Céde0,980atm.(a)Qualéapressãoa45,0°C?(b)Qualéatemperaturaseapressãofor0,500atm?

!

Em!um!termômetro!a!gás!a!volume!constante,!a!Pressão!varia!linearmente!com!a!Temperatura.

P = aT + b com a = ΔPΔT

T = −273°C→ P = 0!atm ⇒ a = 0,980 − 020 + 273

→ a = 3,34 ×10−3

0 = 3,34 ×10−3 × (−273)+ b → b = 0,91 ⇒ P = 3,34 ×10−3T + 0,91

P = 3, 34 ×10−3 × 45 + 0, 91P = 1, 06!atm

(a)

!

0,5 = 3,34 ×10−3T + 0,91

T = 0,5 − 0,913,34 ×10−3

T = −123°C

(b)

Em um termômetro de gás a volume constante, a pressão a 20°C é de 0,98atm. (a) Qual é a pressão a 45,0°C? (b) Qual é a temperatura se a pressão for 0,500 atm?

Em um termômetro a gás a volume constante a pressão varia linearmente com a temperatura.

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplos de Teoria Cinética dos Gases

Descrição macroscópica de um gás ideal:

onde moléculas/mol é o número de Avogadro e é a constante de Boltzmann, definida como

PV = nRT ⟹ PV = nNARNA

T ⟹ PV = NkT

NA = 6,022 × 1023 k

k =RNA

=8.31J/(molK)

6.02 × 1023mol−1= 1.38 × 1023J/K

Resumo de equações da teoria cinética dos gases

Teoria cinética dos gases:

- Pressão:

- Usando PV = nRT:

- Isolando da anterior:

- Usando :

- A energia interna de um gás monoatômico é igual a energia cinética média:

- Caminho livre medio:

p =nM (v2

x )med

V=

nMv2rms

3V=

Nmv2rms

3V

vrms =3RTM

= =3kTm

32 kT = 1

2 mv2rms

v2rms = 3(v2

x )med = 3(v2y )med = 3(v2

z )med

12 kT = 1

2 m(v2x )med

12 kT = 1

2 m(v2y )med

12 kT = 1

2 m(v2z )med

Eint = Kmed = 32 nRT  (gás monoatômico) 

λ =1

2πd2 ⋅ NV

Distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann:

Usando :

Capítulo 18 — Propriedades térmicas da matéria 263

18.5 VELOCIDADES MOLECULARESComo dissemos na Seção 18.3, nem todas as moléculas de um gás têm a mesma

velocidade. A Figura 18.22 mostra um esquema experimental para medir velocida-des moleculares. Uma substância é vaporizada em um forno quente; as moléculas do vapor passam por uma fenda na parede do forno e atingem uma câmara a vá-cuo. Uma série de fendas bloqueia todas as moléculas, exceto as que se deslocam paralelamente a um feixe estreito, que é dirigido para um par de discos giratórios. A molécula que passa por uma fenda no primeiro disco é bloqueada pelo segundo, a menos que atinja o segundo disco no momento em que a fenda esteja alinhada com a direção do feixe. Os discos funcionam como seletores de velocidade que deixam passar somente moléculas com velocidades dentro de um certo intervalo de velocidade muito pequeno. Esse intervalo pode ser alterado fazendo-se variar a velocidade de rotação dos discos, de modo que possamos medir o número de moléculas cujas velocidades estejam dentro do limite determinado pelos intervalos selecionados.

Para descrever os resultados de tais medidas, definimos uma função f(v), de-nominada função de distribuição. Se estamos medindo um total de N moléculas, o número dN de moléculas cujas velocidades estão no intervalo entre v e v ! dv é dado por

dN " Nf(v) dv (18.29)

Podemos dizer também que a probabilidade de que uma molécula escolhida ao acaso tenha velocidade no intervalo entre v e v ! dv é dada por f(v)dv. Logo, f(v) é a probabilidade por unidade de intervalo de velocidade; ela não é igual à proba-bilidade de que uma molécula tenha velocidade exatamente igual a v. Como a pro-babilidade é um número puro, f(v) possui unidades de inverso de velocidade (s/m).

A Figura 18.23a mostra a função de distribuição para cada temperatura especifi-cada. Em cada temperatura, a altura da curva para qualquer valor de v é proporcio-nal ao número de moléculas com velocidades nas vizinhanças de v. O pico da curva indica o valor da velocidade mais provável vmp para a temperatura correspondente. À medida que a temperatura aumenta, a energia cinética molecular média aumenta e, portanto, o pico de f(v) é deslocado para velocidades cada vez mais elevadas.

A Figura 18.23b mostra que a área embaixo da curva entre dois valores de v representa a fração de todas as moléculas cujas velocidades se encontram nesse intervalo. Toda molécula deve ter algum valor de v, de modo que a integral de f(v) sobre todos os valores de v deve ser igual a um para qualquer valor de T.

Conhecendo-se f(v), podemos calcular a velocidade vmp mais provável, a velo-cidade média vméd e a velocidade quadrática média vrmq. Para calcular a vmp, basta achar o ponto onde df/dv " 0, que fornece o valor da velocidade na qual a curva atinge seu pico. Para calcular vméd, tomamos o número Nf(v)dv de moléculas que possuem velocidades em cada intervalo dv, multiplicamos cada um desses números pelas respectivas velocidades v e somamos todos esses produtos (integrando-se sobre todos os valores de v desde zero até o infinito) e, finalmente, dividimos o resultado por N. Ou seja,

Discos giratórios

Câmara de vácuo

Detector

Motor

MoléculaMoléculas com altas velocidades saem do forno.

Fendas !xas criam um feixe estreito de moléculas.

x = vt

v

u = vtFigura 18.22 Uma molécula com velocidade v está passando pela fenda do primeiro disco giratório. Quando ela atinge o segundo disco, ambos giraram de um ângulo de seleção u. Se v " vx/u, a molécula passa pela fenda do segundo disco e atinge o detector.

Figura 18.23 (a) Curvas da função de distribuição de Maxwell- -Boltzmann f(v) para três temperaturas. (b) As áreas sombreadas sob a curva representam a fração de moléculas cujas velocidades se encontram em determinado intervalo. A velocidade mais provável vmp em uma dada temperatura é o pico da curva.

(b)

v1 v2 vA

T3

vmp

f (v)

Ov

Fração de moléculas com velocidades entre v1 e v2

Fração de moléculas com velocidades maiores que vA

O

(a)

f (v)T1

T2

T3

T3 7 T2 7 T1

v

Quando a temperatura aumenta:r�B�DVSWB��BDIBUBEB�r�P�QJDP��EFTMPDBEP�QBSB� velocidades maiores.

vméd =q

0 vf 1v2 dv (18.30)

A velocidade quadrática média é determinada de modo semelhante; a média de v2 é dada por

1v22méd =

q

0 v2f 1v2 dv (18.31)

e o valor da vrmq é a raiz quadrada do resultado anterior.

Distribuição de Maxwell-BoltzmannA função f(v) que descreve a distribuição real das velocidades moleculares de-

nomina-se distribuição de Maxwell-Boltzmann. Ela pode ser deduzida a partir de considerações de mecânica estatística. Porém, essa dedução está fora dos nossos objetivos. Eis aqui o resultado:

(18.32)

Velocidade molecular

Massa de uma molécula de gás

Massa de uma molécula de gás

Velocidade molecularFunção da

distribuição de Maxwell--Boltzmann

f1v2 = 4pa b3>2v2e-mv2>2kT

2pkTm

Constante de Boltzmann

Constante de Boltzmann

Temperatura absoluta do gás

Também podemos expressar essa função em termos da energia cinética transla-cional de uma molécula, que será designada por #. Ou seja, P = 1

2 mv2.. Convidamos você a verificar que, ao substituir essa expressão na Equação 18.32, o resultado é

f 1 P2 =8p

m a

m2pkT

b

3>2

Pe-P>kT (18.33)

Essa expressão mostra que o expoente da função de distribuição de Maxwell--Boltzmann é igual a –#/kT e a forma da curva é determinada pelos valores de # e kT em cada ponto. Deixamos a você como um exercício provar que o pico de cada curva ocorre quando # " kT, correspondendo à velocidade mais provável vmp, dada por

vmp =Ä

2kTm

(18.34)

Para determinar a velocidade média, substituímos a Equação 18.32 na Equação 18.30, calculamos a integral fazendo a mudança de variável v2" x e integrando por partes a seguir; o resultado é

vméd =Ä

8kTpm

(18.35)

Finalmente, para calcular a velocidade quadrática média, substituímos a Equa-ção 18.32 na Equação 18.31. O cálculo da integral resultante exigiria uma série de acrobacias matemáticas, porém você pode achá-la em uma tabela de integrais. O resultado é

vrmq =Ä

3kTm

(18.36)

Esse resultado concorda com a Equação 18.19; ele deve concordar para que a distribuição de Maxwell-Boltzmann seja consistente com o princípio da equiparti-ção da energia e com outros cálculos da teoria cinética.

Book_SEARS_Vol2.indb 263 02/10/15 1:52 PM

m /k = M/R

f(v) = 4π ( M2πRT )

3/2

v2e−Mv2/2RT

Capítulo 18 — Propriedades térmicas da matéria 263

18.5 VELOCIDADES MOLECULARESComo dissemos na Seção 18.3, nem todas as moléculas de um gás têm a mesma

velocidade. A Figura 18.22 mostra um esquema experimental para medir velocida-des moleculares. Uma substância é vaporizada em um forno quente; as moléculas do vapor passam por uma fenda na parede do forno e atingem uma câmara a vá-cuo. Uma série de fendas bloqueia todas as moléculas, exceto as que se deslocam paralelamente a um feixe estreito, que é dirigido para um par de discos giratórios. A molécula que passa por uma fenda no primeiro disco é bloqueada pelo segundo, a menos que atinja o segundo disco no momento em que a fenda esteja alinhada com a direção do feixe. Os discos funcionam como seletores de velocidade que deixam passar somente moléculas com velocidades dentro de um certo intervalo de velocidade muito pequeno. Esse intervalo pode ser alterado fazendo-se variar a velocidade de rotação dos discos, de modo que possamos medir o número de moléculas cujas velocidades estejam dentro do limite determinado pelos intervalos selecionados.

Para descrever os resultados de tais medidas, definimos uma função f(v), de-nominada função de distribuição. Se estamos medindo um total de N moléculas, o número dN de moléculas cujas velocidades estão no intervalo entre v e v ! dv é dado por

dN " Nf(v) dv (18.29)

Podemos dizer também que a probabilidade de que uma molécula escolhida ao acaso tenha velocidade no intervalo entre v e v ! dv é dada por f(v)dv. Logo, f(v) é a probabilidade por unidade de intervalo de velocidade; ela não é igual à proba-bilidade de que uma molécula tenha velocidade exatamente igual a v. Como a pro-babilidade é um número puro, f(v) possui unidades de inverso de velocidade (s/m).

A Figura 18.23a mostra a função de distribuição para cada temperatura especifi-cada. Em cada temperatura, a altura da curva para qualquer valor de v é proporcio-nal ao número de moléculas com velocidades nas vizinhanças de v. O pico da curva indica o valor da velocidade mais provável vmp para a temperatura correspondente. À medida que a temperatura aumenta, a energia cinética molecular média aumenta e, portanto, o pico de f(v) é deslocado para velocidades cada vez mais elevadas.

A Figura 18.23b mostra que a área embaixo da curva entre dois valores de v representa a fração de todas as moléculas cujas velocidades se encontram nesse intervalo. Toda molécula deve ter algum valor de v, de modo que a integral de f(v) sobre todos os valores de v deve ser igual a um para qualquer valor de T.

Conhecendo-se f(v), podemos calcular a velocidade vmp mais provável, a velo-cidade média vméd e a velocidade quadrática média vrmq. Para calcular a vmp, basta achar o ponto onde df/dv " 0, que fornece o valor da velocidade na qual a curva atinge seu pico. Para calcular vméd, tomamos o número Nf(v)dv de moléculas que possuem velocidades em cada intervalo dv, multiplicamos cada um desses números pelas respectivas velocidades v e somamos todos esses produtos (integrando-se sobre todos os valores de v desde zero até o infinito) e, finalmente, dividimos o resultado por N. Ou seja,

Discos giratórios

Câmara de vácuo

Detector

Motor

MoléculaMoléculas com altas velocidades saem do forno.

Fendas !xas criam um feixe estreito de moléculas.

x = vt

v

u = vtFigura 18.22 Uma molécula com velocidade v está passando pela fenda do primeiro disco giratório. Quando ela atinge o segundo disco, ambos giraram de um ângulo de seleção u. Se v " vx/u, a molécula passa pela fenda do segundo disco e atinge o detector.

Figura 18.23 (a) Curvas da função de distribuição de Maxwell- -Boltzmann f(v) para três temperaturas. (b) As áreas sombreadas sob a curva representam a fração de moléculas cujas velocidades se encontram em determinado intervalo. A velocidade mais provável vmp em uma dada temperatura é o pico da curva.

(b)

v1 v2 vA

T3

vmp

f (v)

Ov

Fração de moléculas com velocidades entre v1 e v2

Fração de moléculas com velocidades maiores que vA

O

(a)

f (v)T1

T2

T3

T3 7 T2 7 T1

v

Quando a temperatura aumenta:r�B�DVSWB��BDIBUBEB�r�P�QJDP��EFTMPDBEP�QBSB� velocidades maiores.

vméd =q

0 vf 1v2 dv (18.30)

A velocidade quadrática média é determinada de modo semelhante; a média de v2 é dada por

1v22méd =

q

0 v2f 1v2 dv (18.31)

e o valor da vrmq é a raiz quadrada do resultado anterior.

Distribuição de Maxwell-BoltzmannA função f(v) que descreve a distribuição real das velocidades moleculares de-

nomina-se distribuição de Maxwell-Boltzmann. Ela pode ser deduzida a partir de considerações de mecânica estatística. Porém, essa dedução está fora dos nossos objetivos. Eis aqui o resultado:

(18.32)

Velocidade molecular

Massa de uma molécula de gás

Massa de uma molécula de gás

Velocidade molecularFunção da

distribuição de Maxwell--Boltzmann

f1v2 = 4pa b3>2v2e-mv2>2kT

2pkTm

Constante de Boltzmann

Constante de Boltzmann

Temperatura absoluta do gás

Também podemos expressar essa função em termos da energia cinética transla-cional de uma molécula, que será designada por #. Ou seja, P = 1

2 mv2.. Convidamos você a verificar que, ao substituir essa expressão na Equação 18.32, o resultado é

f 1 P2 =8p

m a

m2pkT

b

3>2

Pe-P>kT (18.33)

Essa expressão mostra que o expoente da função de distribuição de Maxwell--Boltzmann é igual a –#/kT e a forma da curva é determinada pelos valores de # e kT em cada ponto. Deixamos a você como um exercício provar que o pico de cada curva ocorre quando # " kT, correspondendo à velocidade mais provável vmp, dada por

vmp =Ä

2kTm

(18.34)

Para determinar a velocidade média, substituímos a Equação 18.32 na Equação 18.30, calculamos a integral fazendo a mudança de variável v2" x e integrando por partes a seguir; o resultado é

vméd =Ä

8kTpm

(18.35)

Finalmente, para calcular a velocidade quadrática média, substituímos a Equa-ção 18.32 na Equação 18.31. O cálculo da integral resultante exigiria uma série de acrobacias matemáticas, porém você pode achá-la em uma tabela de integrais. O resultado é

vrmq =Ä

3kTm

(18.36)

Esse resultado concorda com a Equação 18.19; ele deve concordar para que a distribuição de Maxwell-Boltzmann seja consistente com o princípio da equiparti-ção da energia e com outros cálculos da teoria cinética.

Book_SEARS_Vol2.indb 263 02/10/15 1:52 PM

Curvas da função de distribuição de Maxwell-Boltzmann para três temperaturas.

f(v)

∫∞

0f(v)dv = 1

fr(v1, v2) = ∫v2

v1

f(v)dv

fr(vA, ∞) = ∫∞

vA

f(v)dv

vmp =2RTM

vmed =8RTπM

vrms =3RTM

Um tanque usado para encher balões de hélio tem um volume de 0,3 m³ e contém 2 moles de gás hélio a 20 °C. Suponha que o hélio se comporte como um gás ideal. (A) Qual é a energia cinética translacional total das moléculas do gás?

Como o gás é monoatômico, a energia cinética translacional total das moléculas é a energia interna do gás.

(B) Qual a energia cinética média por molécula?

Eint =32

nRT =32

(2,00mol)(8,31J/mol ⋅ K)(293K)

= 7,30 × 103J

12

m0v̄2 =32

kBT =32 (1,38 × 10−23J/K)(293K)

= 6,07 × 10−21J

Exemplo 5

Pergunta capciosa. E se a temperatura for elevada de 20°C para 40°C? Como 40 é 2 vezes maior que 20, o total da energia translacional das moléculas do gás seria duas vezes maior?

Resposta A expressão para a energia total de translação depende da temperatura, e o valor para a temperatura deve ser expresso em kelvins, não em graus Celsius. Portanto, a razão entre 40,0 e 20,0 não é uma razão apropriada. Convertendo as temperaturas Celsius para Kelvin, 20°C são 293K e 40°C são 313K. Assim, a energia total translacional aumenta por um fator de apenas:

313K/293K = 1,07

a) Qual é o livre caminho médio 𝜆 de moléculas de oxigênio à temperatura

e a uma pressão ? Suponha que o diâmetro das moléculas é e que o gás é ideal. [Obs: ]

Solução: O livre caminho médio é

Para um gás ideal temos , logo:

O livre caminho médio é aproximadamente 380 vezes o diâmetro da molécula.

T = 300K p = 1 atmd = 290 pm 1p = 1pico = 10−12

λ =1

2πd2N/V

PV = NkT ⟹ N/V = P/(kT )

λ =1

2πd2N/V=

kT

2πd2P

= (1.38 × 10−23J/K)(300K)

2π (2.9 × 10−10m)2 (1.01 × 105Pa)= 1.1 × 10−7m

Exemplo 6

(b) Suponha que a velocidade média das moléculas de oxigênio é . Qual é o tempo médio entre colisões para qualquer molécula? Qual é a frequência f das colisões?

Solução: O tempo médio entre colisões é dado por:

A frequência das colisões é:

Uma molécula de oxigênio sofre cerca de 4 bilhões de colisões por segundo.

v = 450 m/st

t = distância 

 velocidade =

λv

=1.1 × 10−7m

450m/s= 2.44 × 10−10s ≈ 0.24ns

f =1t

=1

2.44 × 10−10s= 4.1 × 109s−1

Uma amostra de 0,500 mol de um gás hidrogênio está a 300 K.

(A) Encontre a velocidade média, a velocidade rms, e a velocidade mais provável das moléculas de hidrogênio.

vmed =8π

kTm

= 1,60 (1,38 × 10−23J/K)(300K)

2 (1,67 × 10−27kg)= 1,78 × 103m/s

vrms = 3kTm

= 1,73 (1,38 × 10−23J/K)(300K)

2 (1,67 × 10−27kg)= 1,93 × 103m/s

vmp = 2kTm

= 1,41 (1,38 × 10−23J/K)(300K)

2 (1,67 × 10−27kg)= 1,57 × 103m/s

Exemplo 7

(B) Encontre o número de moléculas com velocidades 400 m/s e 401 m/s.

A fração de moléculas é: onde

e .

Para obter o número de moléculas multiplicamos a fração pelo número total de moléculas N:

fr(v1, v2) = ∫v2

v1

f(v)dv ≈ f(v)Δv

f(v) = 4π ( m2πkT )

3/2

v2e−mv2/2kT Δv = v2 − v1

Nfr(v1, v2) = N∫v2

v1

f(v)dv ≈ Nf(v)Δv

Avaliamos a constante na frente de :

Avaliamos o expoente na distribuição de Maxwell-Boltzmann:

Finalizamos o cálculo:

v2

4πN ( m0

2πkBT )3/2

= 4πnNA ( m0

2πkBT )3/2

= 4π(0,500mol)(6,02 × 1023mol−1) [2 (1,67 × 10−27kg)

2π (1,38 × 10−23J/K)(300K) ]3/2

= 1,74 × 1014s3/m3

−m0v2

2kBT= −

2 (1,67 × 10−27kg)(400m/s)2

2 (1,38 × 10−23J/K)(300K)= − 0,0645

Nf(v)Δv = (1,74 × 1014s3/m3)(400m/s)2e−0,0645(1m/s)

= 2,61 × 1019moleculas