exercicios-resolvidos-de-calculo-i (1)
TRANSCRIPT
Capítulo 9
Exemplos Diversos
Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Análise do IME-UERJ,por ceder, gentilmente estes exercícios.
9.1 Limites
[1] Determine o valor da constante ����� para que exista ������ �� ������������� � ������ e calcule o
limite.
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:� ������� ����� � ���� � !� ������� ����� � ���� �
� �����"�#����� � �$�� �����"�#����� � �$� !�����%� ����� � �$� ����&� � �����"�'����� � ���(�
! �*)�+�-, � � � � ��.�/�0� ���1�"�#����� � �$�(�32
!�+�-, ��4� � �5�1�"�#����� � �$�(� �
� �� � ���1�"�#����� � �$�(�76Logo, a condição necessária para que o limite exista é que a primeira parcela seja nula, isto é,� !98� ; então:
������ �� �5����� ����� � ����.� ! ������ �
�:�; � � ���1�"�#����� � �$�(� ! �
�< 6
[2] Calcule: ������:� )�=3>@?�A���� 2CBEDEFHGJILKINMOBADEF�GJILK .
Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão:
=3>@? �A�$��%� =P>H? �A��� ! QSRUTV �W�X�QSRUTV �W 6
Fazendo Y ! � � QSRUTV �W , temos que
� � Y ! QURSTV �W . Por outro lado observamos que se
��Z [,
então Y Z\[ e: =3>@? �A����%� =3>@? �A�$� !�X� YY !
�Y�C� 6
333
334 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Logo:
��� �� � ) =3>@?�A���� 2CBEDEFHGJILKINMOBADEF�GJILK ! ������ :� ���X� Y ������ 8 ! � ���� � ���X� Y ���� ���X� Y � � 8 ! > � 8 6
[3] Calcule: ��� ���� ) Y� �A�$� 2 � � V � �W .Solução : Primeiramente reescrevamos o expoente da expressão. Fazendo Y ! �$� Y� � �A�$� , temosque Y� �A��� ! � �X� Y e
Y� � , �$� ! , Y� �A����+� Y� � �A�$� !, � � � YY 6
Por outro lado observamos que se� Z � �
, então Y Z\[ e:
������ � ) Y� �A��� 2 � � V � �W ! ������ :� ) � �+� Y 2��� � M �� ! ������ :� )�� �+� Y�� � � 2 2�� 8 � � ! > � � 6
[4] Determine as constantes ����� � � tais que
������ �"! ) � � � � �� 8 �(�(� �����#$#$#5��� 2 ! [ 6
Solução : Primeiramente reescrevamos a expressão:
) � �"� � � � 8 �(�(� ���� #$#$# ��� 2 ! � � 8 �(�(� � � �"� � � #$#$# � � � � 8 �(�(� ���� #$#$# ��� !� 8 �(�(� � � � ��� � � � #$#$# � � � � � ���� #$#$# ��� 6
Sabemos que ������ �"!% �A���& �A��� ! [ se �' ��( � & �*) �' �+( � % � . Logo, � ��� ! [ e � ! [ , ou seja � ! � e
� ! [ .[5] Calcule:
������ �"!, � �.- �"� � �%� � � 6
Solução : Primeiramente racionalizemos a expressão:
, � �.- � � � �%� � � ! ), � �.- �"� � �%� � � 2 )
- � �./ � � � � � � �- � �./ � � � � � � � 2
!� �./ �"� � ��� �
- �"� / � � � � � � � !/ �"� � �
- �"� / �"� � � � � �
!� 0� � � 1 0� � 0� � �
��� !, ��� - 8
�5� , 8 � - 8�2 ���6
9.1. LIMITES 335
Logo:
������ �"!, � � - � � � �%� � � ! ��� �� �"!
, �5� - 8��� , 8 � - 8 2 �#�
!�, 6
[6] Determine a função definida por:
� �A�$� ! � ���T �"!
�T� �
� , �T���.�T� ����[ 6
Solução : Observe que, se� ! [ , então
� �E[ � ! [ ; se� ! , temos:
� � , � ! �����T �"!
,T� �
� , �T�C, �T! �����T �"!
, � ,T� ,/,T! , � , 6
Se[��C��� ,
, temos:
�����T �"!
�T� �
� , �T�����T! �����T �"!
F � �� F- �5� � � � � T! [ �
logo� �A�$� ! [ se
[�C��� ,. Agora estudemos o caso
� ) ,:
�����T �"!
�T� �
� , �T��� �T! � ���T �"!
F � � F- �5� � � � � T! �����T �"!
� �- �5� � � � � T
! � � 6
Então:
� �A��� !�� � [
se[��C��� ,
, � ,se� ! ,� �
se� )�, 6
[7] Calcule:
� ���� 8�T�1�T � 8 ��� T �
� � 6@6@6H6@6@6 ��� � ���%� ?�%��� 6Solução : Dividindo os polinômios:
�T���T � 8 ��� T �
� � 6@6@6�6@6@6 ��� � �1�%� ? ! �A������� %T�A�$� �
onde%T�A��� ! � T � 8 �C, � T �
� ��� �T ��� � 6@6@6 �'� ? �-, � �
� ��� ? �C��� � � ? . Logo:
��� �� 8�T���T � 8 ��� T �
� � 6@6@6H6@6@6 ��� � �1��� ?����� ! � ���� 8%T�A��� ! %
T����� 6
Por outro lado,%T����� ! �5�C, ���X� 6@6@6H6@6@6 �'� ? �-, � �#� ? ����� � ? ! T
VT� 8 W� .
[8] Calcule: ������:� ����� = �A���/����� =P>H? �A������� � � ��� , �C����� , .
336 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Solução : Seja� �A�$� ! ��� = �A���/����� =P>H? �A������� . Se
� � � ������[ , então�:� � =3>@? �A�$� ��[ e
��� =P>H? �A������� !! �:� , logo� �A�$� ! ��� = �A�$��� � . Se
[ � � � � � então[ � =3>@? �A�$� � � e
��� =P>H? �A������� ! [ , logo� �A��� ! � � = �A��� . Se� ! � � , então
��� =P>H? � � � � ��� ! � e� � � � � ! �:� . Logo
� �A�$� !�� � ��� = �A�$� ��� se
� � � �C��� [��� = �A�$� se[��C��� � ��:�
se� ! � � 6
Então
��� �� � � � �A�$� ! ������ � � ��� = �A��� ! � ������� � M
� �A�$� ! ��� �� � M� � = �A��� �#� ! , 6
Consequentemente, ������ � � ��� = �A���&����� =3>@? �A�$����� � não existe.
[9] Calcule:
�������� � =3>@? � �"������ �� � Y� � �A���/� � ��� Y� �A�$� 6Solução : Primeiramente reescrevamos o numerador:
=3>@? � � ��� �� � ! =P>H? �A��� ��� = � � �� � � =3>@? � � �� � ��� = �A�$� ! �, ) � � = �A���&� � � =P>H? �A��� 2! =P>H?
�A���, ) � � Y� �A��� � � � 2 �
pois =3>@? �A����! [ , então:
=P>H? � �"� ���� ���� Y� � �A�$� � � ��� Y� �A�$� !=3>@? �A��� ����� Y� �A�$�/� � � �, � � Y� �A��� � ��� Y� �A���&� � � � � ��� Y� �A��� � � � � !
=P>H? �A���, � � Y� �A��� � ��� Y� �A�$� � � � � 6Logo:
������ � � =3>@? � � � ���� ���� Y� � �A���&� � � � Y �A���:! ������ � � =3>@? �A�$�, ��� Y� �A��� � ��� Y� �A�$� � � � � !�, ; 6
9.2 Continuidade
Analise a continuidade das seguintes funções:
[1]� �A�$� !
QURSTV �W� � se
���! [�se� ! [ 6
Solução : Claramente, o problema é determinar se�
é contínua em[. Reescrevamos a função:
� �A�$� !�� � �QURUTV �W se
� ��[�se� ! [
QURUTV �W se
� )�[ 6
9.2. CONTINUIDADE 337
Logo,
������ � M� �A�$� ! � ������ � � =3>@?
�A�$�� ! �:� e ��� ��:� � � �A��� ! ��� �� � � =P>H?
�A���� ! � 6
Então�
não é contínua em[.
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
Figura 9.1: Gráfico de�
.
[2]� �A�$� ! , 8�� � �, 8�� �#� .
Solução : Reescrevamos a função:
� �A��� ! , 8�� ���, 8�� ��� !� , 8�� �#� � �-,, 8�� ��� ! �+�
,, 8�� ��� 6
Sabendo que ����� � � M 8 !���
e ����� � � � 8 ! ���, temos:
������ � M� �A�$� ! ��� �� � M
) �+� ,, 8�� �#� 2 !
�:�e ������ � � � �A�$� ! ������ � � ) �X�
,, 8�� ��� 2 !
� 6Então,
�não é contínua em
[.
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
Figura 9.2: Gráfico de� �A�$� ! � ��� I � 8� ��� I � 8 .
[3]� �A�$� ! ������ �"! ���
� ��� > � ���� �(��� > � �
338 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Solução : Se����[
, então, ������ �"! > � ! [ e � ���� �"! ����� > � � ! ���. Logo,
� ���� �"! ���� ��� > � ���� �L��� > � � !
[ 6Se� )�[
, então:
��� �L�5� > � � ! ��� � > � � �5� �> � � � ! ��� � > � � � ��� �L����> � � ! � Y � ��� �L�5�
�> � �
��� � �5� > � � ! ��� � > � � ��� �> � ��� ! � � � > � � � ��� � ����> � � ! Y � � � � ���
�> � � 6
Logo:
������ �"! ����L�5� > � ���� � �5� > � � ! ��� �� �"!
�"� ���� 8 � �D I � ��
��� ���� 8 � �D � �� ! � 6
Se� ! [ , então ��� �� �"!
,��� � ��� > � � !
[. Reescrevendo a função:
� �A��� ! [
se����[
� � se� ) [ 6
Então,�
é contínua em � .
-3 3
3
Figura 9.3: Gráfico de�
.
Determine as constantes tais que as seguintes funções sejam contínuas:
[1]� �A�$� !
�� � ��"���
se���'� �� � = � � � � se� ��C�����
? �"� � se� )�� 6
Solução : Se� ! � � , então
� ��� � � ! � � = ��� � � ! � � . Por outro lado:
� ���� ��� M� �A�$� ! � ���� ��� � � � ��� � ! � � �
���e ������ ��� � � �A��� ! ������ ��� ��� = � �
�� � ! �:� 6
9.2. CONTINUIDADE 339
Como os limites laterais devem ser iguais, temos que� �
���� ! �:� , isto é, � !
�� . Se
� ! � ,então
� � � � ! � � = � � � ! �:� . Por outro lado:
������ � M� �A�$� ! ������ � ��� = � �
�� � ! �:� e ������ � � � �A�$� ! ������ �� ? �"� � � ! � ? ��� 6
e Como os limites laterais devem ser iguais, temos que� ? ��� ! �:� , isto é, ? ! �
�� . Logo:
� �A�$� !�� � � � ��� se
���'� ���� = � � � � se� ��C��� �
� � � ��� se� )�� 6
-3 3
-1
1
Figura 9.4: Gráfico de�
.
[2]� �A�$� !
�� � QSRUTV 8(8 � �(� W� � � se
��� ,� se
� ! , 2 � � � ��� � 0� � � 2 ��� � � � se� ) , 6
Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:
� � � � � � � �O, � ��� �� � � � ����� ; !�A����, � � �A� ��� ��A����, � � �A� ����� 6
Por outro lado: QSRUTV 8(8 � �(� W� � � ! QURST
� 8(8 V � � W W� V � � W , fazendo Y ! ���-, , temos que� Z , � , então Y Z\[ � ,
e: =3>@? ���O�����-,O, �� �%� � ! =P>H?� �O� �A���-, �(��+�A���-, � ! =3>@?
� �O� Y �� Y !�O�� ) =P>H? � �O� Y ��O� Y 2 6
Se� ! , , então
� � , � ! � . Logo:
������ � M� �A��� ! ������ � M
=3>@? � �O� �A� �-, �(��+�A���-, � ! ������ � M�O�� ) =3>@? � �O� Y ��O� Y 2 !
�O��� ���� � � � �A��� ! � ���� � �
� � � � � � � �O, � ��� �� � � � �.�5� ; ! ������ � �� ���� ��� !
�O�� 6
340 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Então, � ! 8(8� e:
� �A��� !�� � QURSTV 8(8 � �(� W� � � se
��� ,8(8� se
� ! , 2 � � � ��� � 0� � � 2 ��� � � � se� ) , 6
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
Figura 9.5: Gráfico de�
.
[3]� �A�$� !
�� � R BEDEFHGJILK� 8 se
����[�� � = � � ��� � ? se
[��C����� 2 � 8(8 � � # � 0� 8 � � 2 � � � ��� 0� 8�� se
� )�� 6Solução : Primeiramente fatoremos os polinômios:� � ���O��� � � � � � ��� � �� � � ; � � � � � ��� < !
�A��� � � � �A� �����O��A��� � � � �A� �C, � 6
Se� ! [ , então
� �E[ � ! �� ? , e:
������:� M� �A��� ! ������ � M
> QSRUTV �W �C�� ! ������ � M
)�> QURSTV �W ���=3>@? �A�$� 2
)U=3>@? �A���� 2 ! � �� ����:� � � �A��� ! � ����:� � � � ��� = � � �$�$� ? � ! �
� ? �logo, �
� ? ! � . Se� ! � , então
� � � � ! � �� ? , e:
������ � M� �A�$� ! ������ � M
����� = � � ��� � ? � ! � �
� ? ������� � � � �A��� ! ������ � �
�A��� � � � �A� �����O��A��� � � � �A� �C, � ! ������ � �
� ������"�C, ! ; �
logo,�
�� ? ! ; . Então, temos o sistema:
�� ? ! ��
�� ? ! ; �
que tem soluções � ! � �� e ? ! �� .� �A�$� !
�� � R BADEF�GJILK� 8 se
����[� ����� Q
V � �W� � �� se[�������
2 � 8(8 � � # � 0� 8 � � 2 � � � ��� 0� 8�� se� )�� 6
9.2. CONTINUIDADE 341
-2 2 4 6
1
2
3
4
Figura 9.6: Gráfico de�
.
[4]� �A�$� !
��� �� 0� V�� � � � W� ����� � � � V 8(8 �W se
���C[����
se� ! [
QURSTVT�W
��� V 8 � 8 �(� �W se� )C[ 6
Solução : Se� ! [ , então
� �E[ � ! �� �
. Logo, necessáriamente devemos ter que:
������ � M� �A�$� ! �
� � ;�
! � �E[ � ! ���� �
isto é, � ! ; . Por outro lado:
� ����:� � � �A��� ! � ����:� � ) =3>@?� ? �$�? � 2 ) ? �
��� �������@[O[&�$� 2 ! ? ������ � �) ���� �������@[O[&�$� 2
! ? � ����:� � )�
��� �������@[O[&��� �I2 6
Como: ������:� � ��� �����#�@[O[&�$� �I ! ���� ��� �� � � ��� ���@[O[&��� �I � ! ���
� > 8 �(� � ! �@[O[ , temos, � ���� � � � �A��� ! ?�@[O[ ;
por outro lado, ������:� � � �A��� ! � �E[ � , temos que ? ! � [O[ e:
� �A��� !��� ��
0� 8 �� ����� � � � V 8(8 �W se����[
�se� ! [
QSRUTV � �(� �W
��� V 8 � 8 �(� �W se� )�[ 6
-0.1 -0.05 0.05 0.1
Figura 9.7: Gráfico de�
.
342 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
9.3 Derivada
[1] Considere a função� �A�$� ! � � � � � = � , ���N� � ��� = � ; ��� , onde � ��� � � � � . Sabendo que
� � � � � ! � ,� �E[ � ! ��� �E[ � ! ��� � �E[ � ! � V � W �E[ � ! [ e que�
pode ser escrita na forma� �A��� ! =3>@? T
�A���, ? ��� ,
determine � ���0� � e ? .
Solução : Primeiramente note que� �E[ � ! � � � � � , ��� � �E[ � ! � � ; � e
� � � � � ! � � � � � ; logo,obtemos o sistema: �� �
� � � � � ! [� � � � � ! �� � ; � ! [ �
cuja solução é � ! �� , � ! � 8� e� ! 8
� ; então:
� �A��� ! �< ���� = � , �$�, � ��� = � ; �$�< 6
Por outro lado,��� = � ; ��� ! , ��� = � � , ���&��� e
��� = � , �$� ! �X��, =P>H? � �A��� , logo:
� �A��� ! �< �� � = � , ���, � � � = � ; ���<
!�; �
� � = � , ���, � � � = � � , ���;! =3>@?
� �A��� 6Então � ! �� , � ! � 8� , � ! 8� e ? ! ; .[2] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva � ! � ' � =P>H? � � 8� �no ponto onde a curva intersecta o eixo dos
�.
Solução : Determinemos a interseção da curva com o eixo dos�
. Se � ! [ , temos:
� ' � =P>H? � �%� �, � ! [ � �%� �, ! [ � � ! � 6
Logo, o único ponto de interseção é��� � [ � . Por outro lado, os coeficientes angulares da reta
tangente e da reta normal à curva são, respectivamente:
� 8 ! � � !�
� � �C, ��� � � � � 8 ����� !�,
� � ! ��� �! � / �X�C, ��� ��� � � � ����� ! � , 6
Logo, as equações da reta tangente e da reta normal são, respectivamente:
� !�, �A������� �
�%�-,� ! �
� ! � ,+�A���C��� �, � �
� ! , 6[3] Determine a equação da reta normal à curva � ! �� ? �A��� , que é paralela à reta
, �&� ,�� � ! [ .
9.3. DERIVADA 343
Solução : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficienteangular da reta
, ���-,���� ! [ é � 8 ! � . O coeficiente angular da reta normal à curva é:
� � ! ��� �! �
��5� � ? �A��� 6
Como as retas são paralelas, temos que � 8 ! � � , isto é:
� ��5� � ? �A��� !
��
� ? �A��� ! � , �� � ! > � � �
logo, temos que � � ! > � � � ? � > � � � ! � , > � � . A equação da reta normal à curva que passa peloponto
� > � � � � , > � � � é:
��C, > � � ! �%� > � � � �
� � ! � � > � � 6
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
Figura 9.8: A reta �� � ! � � > � � .
[4] Determine os parâmetros � , � e� �*� tais que a parábola � ! � � � � � � � � tangencie a reta
� ! � no ponto de abscissa�
e passe pelo ponto���:� � [ � .
Solução : Como o ponto���:� � [ � deve pertencer à parábola, substituindo na equação, temos
que: ����� � � � � � ! [ 6Como a parábola deve tangenciar a reta � ! � no ponto de abscissa
�, temos que se � ! � , então� ! � . Isto é, o ponto
��� � ��� é comum à reta e à parábola; substituindo na equação, temos que:� , � � � � � � ! � 6O coeficiente angular da reta é � 8 ! � e o coeficiente angular da reta tangente à parábola é� � ! � � ! , � � � � , logo � � ����� ! , � � � . Como � 8 ! � � :� � � , � � � ! � 6Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema: �� �
� � � � � ! [� � � � � ! �, � � � ! � �
344 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
cuja solução é: � ! � ! 8� e � ! 8� .
1
1
2
Figura 9.9: Exemplo [4].
[5] A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela equação� ! �+� � � ��� �*� � � , sendo
� � � � �O�. Um caçador, munido de um rifle está localizado no
ponto� , � [ � . A partir de que ponto da colina, a fauna estará
�@[O[ �segura?
Solução : Denotemos por% � ! �A� � � � � � o ponto além do qual a fauna não pode ser vista pelo
caçador, situado no ponto� , � [ � . A fauna estará a salvo, além do ponto
% � onde a reta que liga� , � [ � à colina seja tangente à mesma.
2
Figura 9.10: Vista bidimensional do problema.
Observe que � � ! � , � �#��� é o coeficiente angular de qualquer reta tangente à parábola; logo,no ponto
% � , temos �� ! � , � � �#��� e a equação da reta tangente é:
��� � ! ��� , � � �����O���A��� � � � 6
Como a reta passa por� , � [ � , temos:
����� �� � ! ��� , � � �#���O��� , � � � � 6
O ponto% � também pertence à parábola; então:
� , �� � ! �X� �� ����� � � � � � 6
9.3. DERIVADA 345
Igualando (1) e (2):
� �� � ; � � � �O, ! �A� � � < ���A� � � ; � ! [ �� � ! < e � � ! � 6
Então,% � ! � < � � � e a fauna estará a salvo a partir de
� ) <.
[6] A reta tangente à curva � ! �X�� � , � � � �
no ponto��� � , � é também tangente à curva em
um outro ponto. Ache este ponto.
Solução : O coeficiente angular da reta tangente à curva é � � ! � ; � � � ; � � � , como��� � , �
é um ponto comum à reta e a curva, temos �� ����� ! � . A equação da reta tangente que passa
pelo ponto��� � , � é: � ! � � � . Para determinar os pontos comuns à curva e à reta tangente,
resolvemos o sistema: � ! �+�
� ��, � � ���� ! �"�#� �
obtendo� � �-, � � ��� ! �A� � ����� � ! [ e
� !�� � . O ponto procurado ��:� � [ � .
-1 1
2
Figura 9.11: Exemplo [6]
[7] O ponto% ! � � � � � pertence à parábola
� � ! ; � . Determine todos os pontos&
da parábolatais que a normal em
&passe por
%Solução : Um ponto arbitrário da parábola é
& ! � � � � �� � e o coeficiente angular da reta normalà curva é: � 8 ! � 8��� ! �
� . A equação da reta normal à curva no ponto&
é:
�� � �; ! �
,� �A��� � � 6
Mas a normal passa pelo ponto� � � � � , logo:
� � � �; ! �,� � � � � � � � � � , < � � ; < ! � � � � ��� � ��, ��� � � ; � ! [ 6
Os pontos procurados são& 8 ! ��� ; � ; � , & � ! ��� , � ��� e
& � ! � � � � � .
346 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
-4 -2 6
1
4
9
Figura 9.12: Exemplo[7].
[8] Nos pontos de interseção da reta� �
��'� ! [ com a curva � ! � � � ; � � � , traçam-se as
normais à curva. Calcule a área do triângulo formado pelas normais e pela corda que subtendeos referidos pontos de interseção.
Solução : Determinemos os pontos de intersecção da reta���
���� ! [ com a curva:
� ! � � � ; � � �� ! �"��� 6
Obtemos� � � � �+� ; ! �A� � �����A� � ; � ! [ ; então
� ! � e� ! ; ; logo temos os pontos
% 8 ! ��� � , �e% � ! � ; � � � . Por outro lado, os coeficientes angulares das normais são dados por:
� ! ��� �! �
�, ��� ; �
������ ! 8� e �
� ; � ! � 8� . As equações das normais em% 8 e
% � , são respectivamente:
,�� � ! � �; � ��� ! , ; 6
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de intersecção das retas normais:
,� ! �"���; � ! �+�"��, ; �
obtemos � ! #� e� ! � . Seja
% � ! � � � #� � . A área do triângulo de vértices% 8 , % � e
% � é dada por� ! � � �� , onde:
� !�����
� � �� ; �, � ��� ,�����! �� �, � � !
� �; ( 6 � 6
9.3. DERIVADA 347
1 4 6
2
4
6
Figura 9.13: Exemplo [8].
[9] Esboce o gráfico da curva �� ! � � �A� ��� � .
Solução : Primeiramente observamos que se mudamos � por�� , a equação da curva não muda;
logo a curva é simétrica em relação ao eixo dos�
. Por outro lado, � ! � �A�$� ! � � � �"��� , logo� � �
� � � ! � � � � �����. Se
� ! � � , então � ! [ e se � ! [ , então� ! [ ou
� ! � � . A curvaintersecta os eixos coordenados nos pontos
�E[ � [ � e��� � � [ � . Determinemos os pontos críticos,
derivando � ! � �A��� e igualando a zero:
�� !
�+�A� ��, �, � �"��� ! [ �
� ! � , 6Note que �
� ��� � �não existe e
�é contínua em
� ! � � ; como� � �
� � � ! � � � � � ��� , no ponto� ! � � a reta tangente à curva é vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinalde �
�ao redor do ponto
� ! � , :�� )�[ � � )'� ,�� ��[ � ���'� , �
logo,� ! � , é ponto de mínimo local e � ! � , . Pela simetria em relação ao eixo dos
�, se
consideramos � ! �+� � �"��� , o ponto��� , � , � é de máximo. A curva não possui pontos de
inflexão ou assíntotas.
-3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Figura 9.14: Exemplo [9].
[10] Dada uma circunferência de raio ' , determine o comprimento de uma corda tal que a somadesse comprimento com a distância da corda ao centro da circunferência seja máxima?
348 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Solução :
yy
rx
Figura 9.15: Exemplo [9].
Com as notações do desenho,� � �
�� ! ' � ; então � ! � ' � � � � . O comprimento da corda é� ! , � ; logo
� ! , � ' � � � � . Logo, a função que devemos maximizar é:� �A��� ! � � , � ' � � � � .
Derivando e igualando a zero:
� � �A��� ! �+� , �� ' � � � � !
[ � , � ! / ' � � � � � � � � ! ' � ��
� ! '� � 6Derivando novamente:
� � � �A��� ! , ' �� ' � � � � � � � � � � � � � '� � � ! � �� �; ' ��[ 6
Logo, �� � é ponto de máximo e� � �� � � !
� � ' .[11] Determine o cilindro circular reto de volume máximo que pode ser inscrito num conecircular reto.
Solução :
B E C
D
A
x
y
Figura 9.16: Seção bidimensional do problema.
Com as notações do desenho, sejam ' e � o raio e a altura do cone, respectivamente;�
e � o raioa altura do cilindro. Por outro lado, o � ��� � é semelhante ao � ��� � ; temos:
������ !
� �� � � �
�! '' � � � � ! � ' � ' � ��� ����� 6
9.3. DERIVADA 349
O volume do cilindro é � ! � � � � ; logo, de�����
temos que a função a maximizar é:
��A�$� ! � �' � ' �
� � � � � 6Derivando e igualando a zero:
�� �A�$� ! � �' � , ' � � ��� � ! [ �
� ! [ ou� !
, '� 6como
���! [ , o único ponto crítico é� ! � �� . Estudemos o sinal de
, ' � � � :, ' � � � ) [ � [ �C��� , '�, ' � � ��� [ � � ) , '� 6
Então� ! � �� é ponto de máximo. Logo, o cilindro de volume máximo inscrito num cone tem
raio da base igual a,�� �
do raio da base do cone e altura igual a� � �
da altura do cone.
[12] Determine o trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio' .Solução :
B
CD
An
2r
y
x h
Figura 9.17:
O triângulo� � �
é retângulo pois é inscrito num semi-círculo; note que � ! , ' ��, ? . Sabe-mos que num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e suaprojeção sobre a hipotenusa; logo:
� � ! , ' ? � ? !� �, ' e � ! , ' �-, ? ! , ' � �
�' 6
Então, o perímetro%
, é:
% �A��� ! , � �C, ' � ��' �C, ' � % �A��� ! ; ' �C, ��� �
�' 6
Derivando e igualando a zero:
% � �A�$� ! � , �' �C, ! [ � � ! ' 6
350 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Derivando novamente: % � � �A��� ! � ,' � % � � � ' � ��[ 6Logo,
% ! � ' . O trapézio de perímetro máximo que pode ser inscrito num semi-círculo de raio' tem base maior igual a, ' , base menor igual a ' e lados não paralelos iguais a ' .
9.4 Integração
[1] Calcule � !� ��� � Y� �A�$� �=3>@? �A��� ��� = �A����� � .
Solução : Fazendo : ( ! ��� � Y� �A��� � � � ( ! QUR �� V �W� � V �W � � � � ( ! �
QURSTV �W ��� Q
V �W . Então:
� !� ( � ( ! ( �, � � ! ��� � � Y� �A��� �, � � 6
[2] Calcule � !� =3>@? �A��� ��� = �A����5� =3>@?
� �A����� � .Solução : Fazendo : Y ! =P>H? �A��� � � Y ! ��� = �A�$� � � . Então:
� !� Y�5� Y
� � Y ! � Y��� � Y � � � � Y !� ' � Y� � Y � �, � � ! � ' � Y� � =3>@? � �A�$� �, � � 6
[3] Calcule � !� �- �5��� � � / �����1� � � � �
�.
Solução : Note que����� � � / �������.��� � ! ���1� � �'������� � � � ������� ! �����1� � ������� � �����.�H� ,
então; - �5��� � � / ������� � � � ! / ����� � - ��� / ����� � 6Agora, fazendo: ( ! ��� / �5���.� � � ( ! �
� ������� � � �logo,
� !� � (� ( ! , � ( � � ! , - ��� / �������5� � 6
[4] Calcule � !� � � ' � Y� �A�$� � ? �A� � ����� � � .
Solução : Integramos por partes:
( ! � ? �A� � �#��� � � ( ! , ������ ��� �
��� ! � � ' � Y� �A�$� � � � � ! � � � ' � Y� �A��� � � 6
9.4. INTEGRAÇÃO 351
Denotemos por � 8 !� � � ' � Y� �A�$� � � . Para achar � , novamente integramos por partes:
( ! � ' � Y� �A��� � � ( ! � ����1�.�� � ! � � � � � !
� �, 6
Logo:
� 8 !� � � ' � Y� �A���, � �, �
� ����1�.� � � !
� � � ' � Y� �A�$�, � �, �� �X� �
���1�.��� � �!� � � ' � Y� �A���, � �, ) �%� � ' � Y� �A�$� 2 ! �A�
� ����� � ' � Y� �A�$�, � � , 6Voltando a � : � � ( ! � � 8 )A�A� � ����� � ' � Y� �A��� � � 2 ! � � ' � Y� �A���&� � � � 8 e:
�� � ( ! � 8 � � ' � Y� �A���&� � �
Então:
� ! ( � � � � � ( ! �, ) ������� � � � ' � Y� �A���&� � 2 ) � ? �A� � �����/�C� 2 � � ' � Y� �A��� ��� � � 6[5] Calcule � !
� ��� =3>@? �A�$���� ��� = �O�A����� � .
Solução : Fazendo� ! � � Y , � � ! � � Y ; se
� ! [ , então Y ! � e se� ! � , então Y ! [ . Por ouro
lado: � =P>H? �A����5� ��� = � �A��� !� � � Y � =P>H? � � � Y ���� ��� = �O� � � Y � !
� � � Y � =P>H? � Y ��5� ��� = � � Y � 6Logo:
� ! �� ��� � � Y � =3>@? � Y ��5� � � = � � Y � � Y !
� ��
�:=P>H? � Y ���� ��� = �O� Y ��� Y� � �
, � !� ��
�:=P>H? �A������ ��� = �O�A����� � 6Observe que a integral definida não depende da variável de integração. Fazendo ( ! ��� = �A��� ,então � ( ! � =P>H? �A��� � � e:
, � ! � � � � 88� (��� ( � ! �
� 8� 8
� (�5� ( � ! � ) � ' � Y� �����/� � ' � Y� ���:��� 2 ! ��, 6
Logo � ! � �� .
[6] Verifique que: � 8���� � � � �
T �� !
, �T� ?�� � ��S, ? ����� � � ? � � 6
352 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Solução : Fazendo� ! =3>@? � Y � , � � ! ��� = � Y � � Y ; se
� ! [ , então Y ! [ e se� ! � , então Y ! � � . Por
outro lado,���X� � � �
T �� ! � �X� =P>H? � � Y � � T ��� = � Y � � Y ! ��� = � T � 8 � Y � � Y , então:
� T! � 8�
���X� � � �T �� ! �
� � ��
��� = � T � 8 � Y � � Y �integrando por partes:
� T! ��� = � T � Y � =P>H? � Y �
����
� � ���C, ? �
� � ��
��� = � T � 8 � Y � =3>@?� � Y � � Y
! , ? �� � ��
��� = � T � 8 � Y � � Y �-, ?� � � ��
��� = � T � Y � � Y! , ? �
� � ��
��� = � T � 8 � Y � � Y �-, ? � T �isto é � T
!, ?, ? ��� � T � 8 , como � � !
� � � ��
��� = � Y � � Y ! � , logo:
� 8 !,� � � !
,� ! ��� ,��� �� � !
;� � 8 !
��� ,�� ;��� ��� �� � ! � � � � !
��� ,�� ; � ���� ��� � � �
� � ! <� � � !��� ,�� ; � � � <��� ��� � � ��� �
...
� T!
���*,�� ; � � � 6@6@6 � � , ? �-, ���*, ?��� ��� � � ��� 6@6@6 �-� , ? �C�����-� , ? ���������� 6
Multipliquemos�����
por��� ,�� ; � � � 6@6@6 �-� , ? ��, ��� , ?��� ,�� ; � � � 6@6@6 �-� , ? ��, ��� , ? , então:
� T!� ����� , ��� ,�� , ��� ,��� ��� ,� ; � 6@6@6 � ,+� ? ������� , ? � ���� ,� ��� ; � � � 6@6@6 �-� , ? �-, ��� , ? � , ? �����
!, �T� ��� ,�� ��� ; � � � 6@6@6 ��� ? ������� ? � �� , ? �#� � �
!, �T� ?�� � �� , ? ����� � 6
[7] Determine a área da região limitada pelas curvas� � ! ,� � e
� �� ! � ���� � � , onde
� � .
Solução : Se mudamos�
por�+�
, as equações não mudam, logo as curvas são simétricas emrelação ao eixo dos � . Determinemos as interseções das curvas com os eixos coordenados. Se
9.4. INTEGRAÇÃO 353
� ! [ , então � ! [ e � �� �
�� ! [ ; se � ! [ , então
� ! [ ; logo os pontos�E[ � [ � e
�E[ � �� são ospontos de interseção das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo � ! ���� e � ! � 2 � � � � ,determinamos a interseção das curvas, resolvendo o sistema:
� ! ����� ! � 2 � � � � �
donde,� � � � � � �C,� � ! [ ; fazendo ( ! � � temos ( � � � ( �C,�
�! [ e
� ! � . Note que� ! [ é o único ponto crítico de ambas as curvas; para a parábola é um ponto de mínimo e paraa outra curva é um ponto de máximo.
Figura 9.18: Região do exemplo [7].
Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor 2:
� ! , ��
�� ��.� � .� �
� �,� � � � ! � )�� , � �� 2 ( 6 � 6
[8] Determine a área da região limitada pela curva� � � � � �
�� ! [ e pelos eixos coordenados.
Solução : Se mudamos�
por�X�
e � por�� , a equação não muda, logo a curva é simétrica
em relação ao eixo dos�
e dos � . Determinemos os pontos de interseção da curva com os eixoscoordenados. Se
� ! [ , então � ! [ e se � ! [ , então� � �A� � � ��� ! [ ; logo os pontos
�E[ � [ � , ���:� � [ �e��� � [ � são os pontos de interseção da curva com os eixos. Consideramos � ! � � � �X� � � ; logo� � � �:� � � � . Não é difícil ver que em
� ! [ a curva possui um ponto de mínimo local e que� ! � � �� são pontos de máximo local.
-1 1
0.4
-1 1
0.4
Figura 9.19: Região do exemplo [8].
354 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Pela simetria da região, calculamos a área no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor,.
� ! , � 8�� � / �X� � � � � 6
Fazendo� ! =3>@? � Y � , então � � ! ��� = � Y � � Y e
� � � �X� � � � � ! =3>@? � � Y � ��� = � � Y � � Y ; então:
� ! , �� � �� =3>@? � � Y � ��� = � � Y � � Y !
�, �
� � ��
� , =P>H? � Y � ��� = � Y � � � � Y!�, �
� � �� =3>@? � � , Y � � Y !
�;� � � ��
�(�X� ��� = � ; Y � � � Y! � < ( 6 � 6
[9] Determine a área da região limitada pelas curvas����� � � < � ! [ , ; � � � � � � � ! [ ,
�� � � �C� ! [ e o eixo dos � .
Solução : Determinemos as interseções das curvas:
����� ��� � � ! < �; � � � � ! � �
� , � ��� � � ! < �
�� � � ! �
� � � ; � � � � ! � ��� � � ! �
De�����
obtemos � ! � � , logo� ! � ; de
� , �obtemos � ! �@[ , logo
� ! � e de� � �
obtemos � ! � ,logo
� ! , .
1 2 3 4 5 6
4
5
9
10
1 2 3 4 5 6
4
5
9
10
Figura 9.20: Região do exemplo [9].
Logo:
� ! , ��� / � � ; � � � � 8 �� /
���� � � � �
� 8 �# /�� � � � ! , [ ( 6 � 6
[10] Determine o volume da calota esférica de altura � se a esfera tem raio�
.
9.4. INTEGRAÇÃO 355
h
R
Figura 9.21: Região do exemplo [10].
Solução : Fazendo uma rotação da esfera se for necessário, consideramos � ! � � � � �.�e a
seguinte região:
RR-h
Figura 9.22:
Logo:
� ! � ���� ���
� / � � � ��� � � � � ! � ���� ���
� � � � � � � � � ! � ) � � ��� � �� ����
�
� ��� 2 !� � � � � � � � �� ( 6 � 6
Em particular, se � ! �, então � ! � � � 2� é o volume da semi-esfera de raio
�; se � ! , �
então� !
� � � 2� é o volume da esfera de raio�
.
[11] Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelascurvas � ! > � � ��� , � ! > � �#� e o eixo dos
�, em torno do eixo dos
�.
Solução : Determinemos os pontos de interseção das curvas:
� ! > � � ���� ! > � ��� � > � � � > � � , ! [ � > � ! , �
� ! � � ? � , � 6
356 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2
1
2
3
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2
1
2
3
Figura 9.23: Região do exemplo [11].
Logo:
� ! � � ���� TV � W
� � > � ��� � � � � > � � ��� � � � � � ! � � ���� T V � W)7� > � � ��� > � � �C, > � 2 � �
!�O� �; ( 6 � 6
[12] Calcule o comprimento de arco da curvas � � � ! � � situado dentro do círculo� � �
�� ! � .
Solução : Determinemos os pontos de inteseção das curvas: � � � ! � �� � ��� ! � � � � � � � � � � ! � � ������� � � � � � � � � � ! [ � � ! � 6
-1-2 1 2
-1
-2
1
2
Figura 9.24: Região do exemplo [12].
Pela simetria da curva, consideremos� ! � � � � � � , derivando
� � ! � � �� � 8�� � ; então:
� ! , � 8�, ��� ; � �; � � 6
Fazendo ( ! ���� � ��
, obtemos:
� ! <; �� 8 � � � � �8
� ( � ( ! � � ;, � ( 6 � 6
9.4. INTEGRAÇÃO 357
[13] Calcule a área da região determinada por �� ! 2�
��� e sua assíntota, � �! [ .Solução : Se mudamos � por
�� , a equação não muda, logo a curva é simétrica em relação ao
eixo dos�
. Note que a curva intersecta os eixos na origem.
Figura 9.25: Região do exemplo [13].
A equação da assíntota é� ! , � ; então consideramos � ! - �2�
��� e:
� ! , ���
�, � �, � � � � � ! , ������( � � M
� ��, � �, � � � � � 6
Fazendo� ! , � =P>H? � � Y � , temos que � � ! ; � =3>@? � Y � ��� = � Y � � Y . Por outro lado:
, � �, � � � � � !� � �� , � � � � � ! < �
� =3>@?� � Y � � Y 6
Temos,� ! [ � Y ! [ e
� !�� � =3>@? � � Y � ! �� � ; se �Z\, � � � Y ! � � . Então:
, � ��, � �, � � � � � !
� �, ) =P>H? � ; Y �&� < =P>H? � , Y � ���H, Y 2 � �! ��, ) =P>H? � ; � �/� < =P>H? � , � � �#�H, � 2 6
Logo:� ! ������( � � �
� �, ) =P>H? � ; � �/� < =P>H? � , � � �#�H, � 2 ! � � � � ( 6 � .
[14] Calcule a área da região limitada pela curva � !�
���&�A� ����� , ���'� e o eixo dos�
.
Solução : Devemos calcular a área da região ilimitada:
358 CAPÍTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Figura 9.26: Região do exemplo [14].
Logo:
� ! � �"!8
� ��.�/�A� �#��� ! ������ �"!� �
8� ����/�A� �����
! � ���� �"!� �
8� � �� � �� � � �
� ��� � � � ! ��� �� �"! )7� � ? � � � ��� ���5� � ? � � �����/� � ? � , � 2
! � ���� �"! ) � ? � ����� � � �� ���X� � ? � , � 2 ! � ���� �"! ) � ? �(���
�� � �
�� ��� � � ? � , � 2! � �X� � ? � , � � ( 6 � 6