exploratory longitudinal analysis with multiway component ...cedric.cnam.fr/~saporta/pk.pdf · in...

Exploratory Longitudinal Exploratory Longitudinal Analysis with Multiway Analysis with Multiway

Component ModelsComponent Models

Pieter M. KroonenbergPieter M. KroonenbergDepartment of Education and Child Studies, Leiden UniversityDepartment of Education and Child Studies, Leiden University [email protected] [email protected]

STA201 STA201 Mai 2010, ParisMai 2010, Paris

THE THREE-MODE COMPANYLEIDEN UNIVERSITY

ContentsContentsSection 1: General principles

Overview longitudinal modellingThree-way dataThree-way longitudinal data

Section 2: Three-mode models and methodsIntroductionStochastic modelsThree-mode component models

Section 3: "Technical" intermezzo on three-mode component modelsSection 4: Exemples

Croissance et développement de l'organisation des hôpitaux HollandaisDéveloppement morphologique des jeunes FançaisesChangements des interactions entre mères et enfants pedant les six premiers mois

Section 1Section 1

General principlesGeneral principles


1.11.1Overview Modelling Longitudinal DataOverview Modelling Longitudinal Data


Multivariate longitudinal data

Fully-crossed data (Repeated measures)Several subjects have scores on several variables at various points in timeModelling depends on

the structure present or knownnumber of variables, subjects, and time pointsunderlying mechanism of changeassumptions about the data

Types of modellingStochastic modelling with or without latent structuresDescriptive (exploratory) modelling via component models

with functional restrictions on the time modewith general restrictions on the time modetime as an interpretational device


Stochastic modelling -1

Without latent structures general linear model

regression analysisautoregressive models: variables are predicted by the same variables measured earlier and possibly external variables

repeated measures analysis of variancevia doubly multivariate analysis of variance: measurements on the same variables at different time points are treated as a multivariate set andseveral different variables available make it doubly multivariate. Models are tested with complex Manova models including trends, mean differences, etc.


Stochastic modelling - 2Without latent structures

Multivariate time seriesfew variables, few subjects, many points in timecontinuous measurements of medical instrumentstrends in the stock marketskin conductance during an experiment from several electrods

TimeAm

plitu

de o

f ski

n co

nduc

tanc

e

14

12

10

8

6

4

Descent

Ascent

Base line

7006005004003002001000

21 3 4 5

Time series analysis: ARMA, ARIMA,ARMAV models, Fourier analysis


Stochastic modelling - 3

With latent structuresStructural equation modelling

Several measurements of the same latent construct(Causal) relationships are defined at the level of the latent variables rather than the observed ones.

time 1 time ktime 2


DISTAL5

RES5

APPRAV5

DISTAL8

RES8

APPRAV8

CRY5

LOC5

MAN5

PRM5

CMM5

RSM5

AVM5

DIM5

CRY8

LOC8

MAN8

PRM8

CMM8

RSM8

AVM8

DIM8

Stochastic modelling Strange Situation

Episode 5

Episode 8

Distal = Communication à distanceRes = Résistance contre la mamanApprAv = Conflict entre approcher et éviter la maman

crier

mouvement

manipulation des jouets

proximité

contact

résistance

éviter la mère

interaction à distance


Stochastic modelling - 4

Latent growth modelsDo one or more p-parameter functions underlie the set of curves

Three-mode covariance modelsStructural equation model for the

1..j..J 1..j..J 1..j..J

1..j.

.J1.

.j..J

1..j.

.J

k=1

k=1

k=2

k=2

k=3

k=3

Multivariable-multioccasion covariance matrix (j = variables; k = occasions)


Descriptive modelling

Basic aimDescribe the major patterns in the data and how they change over time without calling upon explicit distributional assumptions.

Major tools are projection into low-dimensional spacescurve fitting especially for the time mode

Time introduces (through autocorrelation)contiguity ordinality[a certain amount of (underlying) smoothness]


Handling the time mode -1

Time as interpretational devicethe most exploratory approach is to perform an analysis without paying attention to time during the analysis, i.e. ignoring it as a design aspect.time is then only used as an interpretational devicecontiguity and ordinality are primary principles for interpretation

Disadvantagesloss of (a priori) interpretabilitylack of real (imposed) smoothnessimportance and stochastic characteristics of irregularities hard to judge

AdvantagesData are surpreme, no artificial (untenable) restrictionsGood baseline for further investigation


Handling the time mode -2

General constraints on the time modeIn order to introduce more structure into the time mode, one may use specific knowledge about the underlying longitudinal process or guess at certain properties and introduce constraints on the components of the time mode, such as

smoothness (e.g. B-splines)ordinalitymonotonicity (e.g. I-splines)unimodality

Such restrictions generally reduce the fit of the model to the data,small reduction:

increase in interpretability (generally) reduction of parameters

large reduction:restriction and corresponding interpretation not warranted


Functional restrictionsReplace time mode components with parametric functions ("instrumental variables"; cf. "canonical CA")E.g. Gompertz curves

Advantage: A priori interpretability but other functions could also give an adequate fitDisadvantages: Possibly inadequate fit; function inappropriate

Handling the time mode - 3

(Source: Timmerman, 2001, Chap. 5)


1.21.2 Three-Way Data Three-Way Data


Three-way data array(fully crossed)

Xunderlining indicates (three-way) array

Subjects = first modei = 1, ... , I

Variables = second modej = 1, ... , J

Years = third modek = 1, ... , K

Subjects

Variables

Years


Slices

Horizontal slices

Xi

Lateral slices

Xj

Frontal slices

Xk

Slices are matrices


Fibres

Columns (column fibres)

xjk

Rows(row fibres)

xik

Tubes(depth fibres)

xij

Fibres are vectors


Traditional approaches to three-way data

k=1

k=K

X1

Mean1...i...I

1...j...J

k=1

k=K

1...j...J

1...i...I

1...i...I

1...i...I

X3

X2

X1

Averaging

k=1 k=K

1...j...J 1...j...J1...j...J

1...i...I X3X2X1

Variables replicated(wide matrix)

Subjects replicated(long matrix)

1..j..J 1..j..J 1..j..J

1..j.

.J1.

.j..J

1..j.

.J

k=1

k=1

k=2

k=2

k=3

k=3

Multivariable-multioccasion covariance matrix

k=1

k=K

S1

Covariance matrices


1.31.3 Three-Way Longitudinal Data Three-Way Longitudinal Data


Example200 inspectors rated the surface roughness of 15 metal loaves on 4 times (repeated measure)

200 x 4 x 15 three-mode data

4 types of inspectors; A,B,C and D (within-subject factor)

200

4

15

A

B

C

D

Repeated measures data (fully crossed - with a design on the subjects)


Three-way dataCross-sectional data

rjj'k correlation between scales j' and j at time point k

set of correlation/ covariance matrices;

no necessity for subjects to be the same not fully-crossed

Sampl

es/

Occ

asio

ns

1.......j'.......J1....

.j ....

.J

Variables

Variables

1....

.k...

...K

rjj'k


Cross-sectional data

Multi-Set DataDifferent samples of subjects each generate a matrix, say different age groups each produce a correlation matrix of the subtests of an intelligence test

Values only comparable within each matrix or matrix conditional

Often correlations or covariances: Two-mode three-way data (variables by variables by samples/years

k=1

k=K

k=2


Cross-sectional data

Each subject k generates a matrix but rows (time points) are different for each k frontal slice (subject), but variables are the same for each slice.

Subjects get their medication at different times with different intervalsDifferent batches evolve at different speeds over time; times at which they are measured do not have the same intervals

Each sample k generates a matrix but rows (subjects) are different for each k frontal slice (sample), but variables are the same for each slice.

Cross-sectional study of intelligence: comparing structure of intelligence tests for different age groups

k=1

k=K

k=2

1... j ...J

I1

IKI2

Multiset data are often converted to correlation/covariance matrices or similarity matrices and then analysed

Multi-set data


Multiblock models

Y+= X1 X2

Three-mode linear models(applications in chemistry)


Mother Activities

J categories

1st month

6th month

Child Activities

(I categories)

Three-way categorical data

Fully-crossed: t0, t-1, t-2

one variable lagged twice(variables décalés)

Behaviourat time 0

Behaviour at time -2

Behaviour at time -1

Cross-sectionaltwo variables fully-crossed;measured K times(transversal)

Section 2Section 2

Three-Mode Models and MethodsThree-Mode Models and Methods


Types of analysis techniquesStochastic-Nonstochastic

Stochastic TechniquesUse of distributional assumptionsMostly model testing or model search via model testingSubjects are replications and not necessarily interesting as individuals (exchangeable)

Data-Analytic Techniques'Population' techniquesSubjects are interesting as individuals: Interest in individual differences


2.12.1 Stochastic models Stochastic models


Stochastic modelsRepeated measures multivariate analysis of variance

Structural equations modelling on multivariable-multicondition matrix (=multitrait-multimethod matrix)

Three-way analysis of variance without replications(one observation per cell; not longitudinal?)

1..j..J 1..j..J 1..j..J

1..j.

.J1.

.j..J

1..j.

.J

k=1

k=1

k=2

k=2

k=3

k=3

k=1 k=K

1...j...J 1...j...J1...j...J

1...i...I X3X2X1


Multivariate repeated measures models

Repeated measures analysis of variance (with of without a design on the subject mode)

interpretation of significant multivariate trends

interpretation of significant univariate trends

interpretation of significance between group effects (if design is available on subjects)

Little regard for individual differences, only as groups (However, hierarchical linear models (HLM - random effects and mixed models ).

Problems with large interactions and complex structure in variables

k=1 k=K

1...j...J 1...j...J1...j...J

1...i...I X3X2X1

Variables replicated


Covariance modelsStructural equation modelling of multivariable-multioccasion matrix or multimode cov. matrix

if a good model fit, easy interpretation (a priori known)needs large amounts of data for testing of modelsstrong assumptions about distributions and variable structureNo regard for individual differences

s jk,jk = variance of variable j measured at time k

s j'k',jk = covariance of variable j measured at time k with variable j' measured at time k'

1..j..J 1..j..J 1..j..J

1..j.

.J1.

.j..J

1..j.

.J

k=1

k=2

k=3

k=1 k=2 k=3

s jk,j'k'

s j'k',jks jk,jk

s11,11

sJK,JK


2.22.2 Three-Mode Component Models Three-Mode Component Models


Common nonstochastic models

Tucker2 modelThree-mode principal component analysis with extended core array (Tucker)

Tucker3 modelThree-mode principal component analysis with full core array (Tucker)

Parafac modelParallel factors model [actually component model] with superdiagonal core array (Harshman, Carroll)

STATIS Structuration des TAbleaux a Trois Indices de la Statistique - (Escoufier, L'Hermier des Plantes, Lavit)Not a model but a method

AFM Analyse Factorielle Multiple (Escofier,Pagès)

Also a method - (with which I unfortunately have no practical experience)


Singular value decomposition

Xsubjects

variables

= A B'00

g11

g22

G

The singular value decomposition is the basic structure of a matrixA'A = I, B'B = I, G = diagonal (g12 = g21 = 0)P = BG & Q = AGFirst column of A is exclusively linked to first column of B, and the same for the second components, therefore they refer to the same component. xij = Σs(aisbjsgss)


SVD and PCA and Q-PCA

loadings for variables

A B'00

g11

g22

G

A F'=scores for subjects

Xsubjects

variables

Standard PCA

Xsubjects

variables

=

'loadings' for subjectsX' Q'=

'scores' for variables

subjects

variables

= B A'00

g11

g22

GX'subjects

variables

Q-PCA (ACP dual?)

B


Three-mode PCA: Replicated SVD

Replicated SVD is not really a three-mode model. No restrictions. Independent solutions for each k.

xijk = Σs(aisk bjsk gssk)

k=1

k=K

X1

XK= AK

B' K

0GK0

X1= A1

B' 1G10

0

X3= A3

B' 3G30

0

X2= A2

B' 2G20

0


Three-mode PCA: Tucker2 model

k=1

k=K

X1

XK = A B'GK

X1= A B'G1

X3= A B'G3

X2= A B'G2

True three-mode model with restrictions: Only one A and B for all subjects k.The singular value matrices Gk not diagonal anymore xijk = Σp Σq(aip bjq gpqk)


Three-mode PCA: Tucker3 mode l

True three-mode model with restrictions: One A and B and components C to describe the subjects. Singular values in core array G link and weight combinations of components.

xijk = Σp Σq Σr (aipbjqckrgpqr)

k=1

k=K

X1

X = A B'P

Q

RP

Q

R

C

G


Three-mode PCA: Parafac mod el

True three-mode model with restrictions: One A and B and components C to describe the subjects. Singular values in core array G weight combinations of components. Core array is superdiagonal.First column of A, B, and C are exclusively linked to each other, therefore they refer to the same component.

xijk = Σs ais bjs cks gsss

k=1

k=K

X1

a1

b1

c1

a2

b2

c2

aS

bS

cS

+ +g111 g222 g333xijk =

S

S

S

A CB SuperdiagonalCore Array


Three-mode PCA: Core arrays

Superdiagonal full core array (S = P = Q = R)

Extended core array (R = K)

Full core array

R=K

S

S

S

P

QR

S

S

K

Slice diagonal extended core array (S = P = Q)

C DA B


Tucker2model

Extended core array PxQxK

Parafacmodel

1. Superdiagonal core array SxSxS2. Diagonal frontal slices SxSxK

Tucker3model

Full core array PxQxR

PCA

on e

xten

ded

core

arr

ay

K ---

--> R

Diagonal core array; P=Q=R=Sno orthonormality restrictions

Diagonal frontal slices; P

=Q=S

no orthonormality restrictions

S

S

S

S

S

K

P

Q

R

S

S

K

Relations between component models


STATIS

Wk==== intrastructure k

W1 W1=X1X1'

WK WK= XKXK'

W W W W ====

vect

oris

edw

1

vect

oris

edw

K

..

.

C C C C = = = = W' W W' W W' W W' W

C C C C = = = = AAAAΦΦΦΦA' A' A' A'

C = C = C = C = Interstructure

first column ofA A A A :αααα = (αααα1,...,ααααK)

W = ΣΣΣΣkααααkWk= UΛΛΛΛU'

subject compromise components: U*=UΛΛΛΛ1/2 1/2 1/2 1/2 (princ. co-ord.)

W = = = = Compromise intrastructure

subject co-ordinates for each k: WkUΛΛΛΛ−−−−1/21/21/21/2 per condition k

variables for each condition k: ααααkXk'U intrastructure

Wk==== intrastructure k

W1 W1=X1X1'

WK WK= XKXK'

W W W W ====

vect

oris

edw

1

vect

oris

edw

K

..

.vect

oris

edw

1

vect

oris

edw

K

..

.

C C C C = = = = W' W W' W W' W W' W

C C C C = = = = AAAAΦΦΦΦA' A' A' A'

C = C = C = C = Interstructure

first column ofA A A A :αααα = (αααα1,...,ααααK)

W = ΣΣΣΣkααααkWk= UΛΛΛΛU'

subject compromise components: U*=UΛΛΛΛ1/2 1/2 1/2 1/2 (princ. co-ord.)

W = = = = Compromise intrastructure

subject co-ordinates for each k: WkUΛΛΛΛ−−−−1/21/21/21/2 per condition k

variables for each condition k: ααααkXk'U intrastructure

Section 3Section 3

ExemplesExemples

3.1 3.1Croissance et Développement de Croissance et Développement de

l'Organisation des Hôpitaux Hollandaisl'Organisation des Hôpitaux Hollandais

(revised version of lecture presented on 22/1/1982 in Utrecht for the "Studiegroep methodologie longitudinaal onderzoek")


Mise-en-scène

ProblèmeIl n'y a pas beaucoup de théorie sur la croissance et développement des organisations comme des hôpitaux, donc la modelisation est difficile.

QuestionsQuelles tendances sont présentes?Y-a-t'il des tendances différentes pour des types différents des hôpitaux?Y-a-t'il des changements dans la structure des hôpitaux?

Données188 hôpitaux, 23 variables, 11 ans ('56-'66)


Modes d'analyse

ConsidérationsLe nombre des hôpitaux (individus) est insuffisant pour les modèles d'equations structurelles et il n'y a pas assez de théorieBeaucoup de variables, plusieurs non-GaussiennesNombre moyen d'annees

Préparation des donnéesPlusieurs variables numériques étaient categorisées avec environ 10 catégories de tailles croissantes avec l'objectif de surmonter la dissymétrie de certaines variables (utilisant "optimal scaling").


Co-ordination Variables de coordinationFinDir financial director directeur financierQExter ratio qualfied nurses on/outside wards proportion infirmières diplomées sur/dehors les sallesQRatio ratio qualfied nurses/total number of nurses proportion infirmières diplomées/le total des infirmières Open openness franchise

Functionality Variables fonctionelsFuncti number of functions nombre des fonctionsRushIn Rushing index - divison of labour index de division de travailExStaf executive (managerial and supervising) staff nombre des cadres supérieurs NMProf non-medical professionals nombre des professionels non-médicalsAdmin administrative (i.e. clerical) staff nombre de personel de bureauParaMed paramedical staff nombre de personel paramédicalNonMed other non-medical staff nombre de personel non-médicalNurses total number of nurses nombre total des infirmièresOverall size Variables de tailleMedTech medical-technical facility index index des aménagements médico-techniquesStaff total staff personel totalBeds total number of beds nombre des litsPatient total number of patients nombre des patientsDifferentiation Variables de différenciationTraining training capacity capacité de formationResearch research capacity capacité de rechercheClinSp main polyclinical specialisations nombre des spécialisations cliniques de basePolySp main polyclinical specialisations nombre des spécialisations polycliniques de baseClinSub clinical subspecialisations nombre des sous-spécialisations cliniqeus principalesPolySub polyclinical subspecialisations nombre des sous-spécialisations polycliniques principales

Hospital study : Variables

(Classification sociologique théorique des variables)


Les modèles de Tucker

Tucker3: x ijk = ΣΣΣΣp ΣΣΣΣq ΣΣΣΣr (aipb jqckrgpqr)

Tucker2: x ijk = ΣΣΣΣp ΣΣΣΣq (aipb jqhpqk)

X

2

2

2

G

11 a

ns

188 hôpitaux

22 variables

A

2 composants des hôpitaux

188 hôpitaux

B

2 composantsdes variables

22 variables

2 composants des ans

C11 ans

Matrice noyau complète (Tucker3)

2

2

11

H

Matrice noyau allongée

(Tucker2)


Reconstitution des scores observés à base de composantes

Composantes hôpitaux: Hôpitaux typiquesComposantes variables: Variables latentesComposantes ans: Tendances

Elément dans la matrice noyau signifie le score d'un hôpital typique sur une variable latente pour une tendance particulière de tempsChaque hôpital observé est une combinaison ponderée des hopitaux types ponderés dans la mesure où chaque type est charactéristique pour cet hôpital (aip)Chaque variable est une combinaison ponderée des variables latentes (bjq)Chaque année est une combinaison ponderée des tendances (ckr)

hôpital type 1

taille

spécialisation

tendance 1 tendance 2

taille

spécialisationT3 matrice noyau

tendance 1 tendance 2

hôpital type 2


Exemples de matrices de correlationsentrée ans (à base de 188 x 22 observations) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 100 2 96 100 3 94 97 100 4 93 95 98 100 5 89 92 94 95 100 6 87 90 92 93 97 100 7 86 88 90 91 94 95 100 8 85 88 90 91 94 95 97 100 9 83 85 87 89 91 93 94 96 10010 81 84 86 87 90 91 93 95 97 10011 80 82 85 86 89 90 92 94 95 97 100

nombre de lits 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 100 2 97 100 3 97 98 100 4 96 98 99 100 5 95 96 98 98 100 6 94 96 97 98 99 100 7 94 95 97 97 98 99 100 8 93 95 96 97 98 98 99 100 9 92 94 95 95 97 97 98 99 10010 92 93 94 94 96 96 96 98 99 10011 91 92 93 93 95 95 95 97 97 99 100


-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966

Coo

rdin

nées

prin

cipa

les

Années

Composante 1

Composante 2

Tendances(coordonnées versus années)

Niveau

Croissance


-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Deu

xièm

e C

ompo

sant

e

Première Composante

Formation

Recherche

Dir Fin

MedTech

PropInfSalles PropInfDipl

Fonctions

Personel

DivTravail

CadresSup

NMProf

AdminParaMd

NonMedInfirmieres

LitsPatients

Franchise

ClinSpPolySp

ClinSub

PolySub

Espace des variables latentes

La théorie sociologique concernant les groupes des variables n'est pas complètement confirmée; les variables de coordination, les variables de taille et les variables fonctionnelles se comportent de la manière prévue, mais il n'y a pas une distinction entre les derniers types.

nombre des spécialisations

taille

degré de spécialisation


Espace des hôpitaux types

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Deu

xièm

e C

ompo

sant

e


135104

5

182

142 101

74

144

Le plafond des coordonnées est causé par des valeurs des spécialisations; plusieurs hôpitaux possèdent déjà toutes les specialisations possibles.

Examples scores hôpitaux R MT S NM B P PSmax:3 7 14 10 9 9 11182:56: 2 6 13 10 9 9 566: 2 7 14 10 9 9 8

101:56: 1 1 1 1 1 8 266: 1 1 1 1 1 9 2

135:56: 1 4 11 7 8 3 4 66: 2 5 11 9 8 4 4

144:56: 1 5 4 3 4 9 666: 1 6 9 2 7 9 9

R=Recherch;MT=MedTech;S=Personel;NM=NonMed;B=Lits;P=PolySpec;PS=PolySub


Exemples des scores hôpitaux

R MT S NM B P PSmax:3 7 14 10 9 9 11

101: (1e - -; 2e 0)56: 1 1 1 1 1 8 266: 1 1 1 1 1 9 2

55: (1e 0; 2e 0)56: 2 5 3 3 3 7 366: 2 5 4 2 4 9 6

182: (1e ++; 2e 0)56: 2 6 13 10 9 9 566: 2 7 14 10 9 9 8

R=Recherche;MT=MedTech;S=PersonellNM=NonMed;B=Beds;P=PolySpec;PS=PolySub


R MT S NM B P PSmax:3 7 14 10 9 9 11

5: (1e -; 2e +)56: 1 3 2 1 3 9 266: 1 3 2 1 3 9 2

142: (1e -; 2e +)56: 1 3 2 1 2 9 166: 1 5 4 1 3 9 3

144: (1e ++; 2e +)56: 1 5 4 3 4 9 666: 1 6 9 2 7 9 9

Scores des hôpitaux


R MT S NM B P PSmax:3 7 14 10 9 9 11

74: (1e - -; 2e - -)56: 1 2 1 1 1 1 166: 1 2 1 1 1 1 1

104: (1e -; 2e - -)56: 1 3 3 1 3 1 166: 1 3 4 2 3 1 1

135: (1e +; 2e - -)56: 1 4 11 7 8 3 4 66: 2 5 11 9 8 4 4


Valeurs brutes de la matrice noyau complète (gpqr)

Type 1: Hôpital genéral Type 2: Hospital 'specialisé' Taille Degré de Taille Degré de spécialisation spécialisation

niveau 150 1 -1 53croissance 2 -7 10 -5

Matrice noyau

Contributions proportionelles à l'ajustement (SS(Fit)): niveau .490 .000 .000 .060croissance .000 .001 .002 .000

L' hôpital général est déjà grand et reste grand (150)

L' hôpital général ne grandit pas et (comparativement) un peu moins spécialisé, c'est a dire devient un peu plus général (-7)

L' hôpital spécialisé est déjà spécialisé et reste comme ça (53)

L' hôpital spécialisé grandit un peu (10)

Contributions proportionelles à l'ajustement des 4 éléments majeurs de la matrice noyau:.490 + .001 + .060 + .002 = .553des autres 4 éléments = .006


A. Biplot modes emboîtés:[Nested-mode (or Interactively coded) biplot]

B. Biplot conjoint[Joint biplot]

Réprésentation dans l'espace des composants d'une entrée (dites, ckr ) des lignes qui sont une combinaison des autres deux entrées avec une entrée emboïtée dans l'autre.

Par exemple, le mode "temps" peut emboîté dans le mode "enfants". De cette manière il est possible de faire des trajectoires.

Réprésentation dans l'espace conjoint des composantes des deux entrées (variables et enfants) pour chaque composante de la troisième entrée (dites, ckr , coordonnée du temps)

Deux types de biplots

543

216Jean

Olivier

Gilbert

Ndeyevocaliser

sourir

actif

o

o

o


Biplot conjoint: Hôpitaux et variables

Hôpital général

Hôpital spécialisé

Première composante des ans (Niveau)

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

Deu

xièm

e C

ompo

sant

e (D

egré

de

Spé

cial

isat

ion

)

Première Composante (Taille )

Formation

RecherchePropInfSalles

PropInfDipl

NMedProfFranchise

ClinSpPolySp

ClinicalSub

PolySubFinDir

Lits, Personel,etc

10474


-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

Deu

xièm

e co

mpo

sant

e

Première composannte

Formation

RechercheNurseInOutQNurse

Lits,Personel, etc

ClinSpecPolySpec

Biplot conjoint: Hôpitaux et variables Deuxième composante des annees

(Croissance linéaire - analyse avec des contraintes)

104

95 154

135136

120

80

74

176 182

74 & 104 ne grandissent pas

PolySub

L'échelle des axesest inférieure à rapport la figure précédente(-1, 1)!

10155

Example55 (1e 0; 2e 0)56: 2 5 3 3 3 7 366: 2 5 4 2 4 9 6


Années

Taill

e de

s él

émen

ts d

es m

atric

e no

yeau

allo

ngé

'66'65'64'63'62'61'60'59'58'57'56

6

5

4

3

2

1

0

-1

h(1,1)

h(2,2)

h(1,2)

h(2,1)

Tucker2 matrice noyau allongé

le grand hôpital général grandit un peu et le petit hôpital général diminue un peu

l'hôpital spécialisé ne change pas dans son degré de spécialisation

l'hôpital spécialisé grandit un peu

l' hôpital général devient un peu moins spécialisé, c'est à dire il acquiert les spécialites qui lui manquait


Valeurs bruts de la matrice noyau complète (gpqr) sans et avec contraintes

Type 1: Hôpital genéral Type 2: Hospital 'specialisé' Taille Degré de Taille Degré de spécialisation spécialisation

niveau 150/150 1/1 -1 /-1 53/53croissance 2/6 -7/-7 10/10 -5/-3

Tucker3 avec contraintes

Modèle Tucker3 avec contraintes surcomposantes du tempsTendances strictement constantes & linéaires

Ajustement proportionel: .559 (sans) /.557 (avec contraintes)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

19561957195819591960196119621963196419651966

Coo

rdon

nées

Années

Composante normalisées


ConclusionsQuelles tendances?

Très stable avec une croissance linéaire faibleDes structures différentes pour différent types d'hôpitaux?

Deux groupes d'hôpitaux: des hôpitaux generaux et des hôpitaux spécialisés.

Les hôpitaux generaux ont des valeurs élévés ou grandissent un peu (ou vice versa); les grands restent grands et les petits restent petitsLes hôpitaux spécialisés restent spécialisés et grandissent un peu.

Y-a-t'il un grand changement dans les structures des hôpitaux?

Pas vraiment

laatste

3.23.2 Développement Morphologique des Jeunes Développement Morphologique des Jeunes

FrançaisesFrançaises


Mise-en-scène

QuestionsQuelles sont les relations entre les variables de croissance des jeunes filles?Le mode de changement dans leur croissance physique est-il le même pour toutes les filles? Ou certaines filles changent-elles de manière differente sur differentes variables?

Les données32 filles, 8 variables, 12 âges (4-15)


Age151413121110987654

1000

800

600

400

200

0

Tête

Poitrine

Jambe

Mollet

Bassin

Poids

Longueur

Longueur cap à coccyx (Torse)

Courbes moyennes (Fille moyenne)


1.5

2

2.5

3

3.5

2600 2620 2640 2660 2680 2700 2720

Dev

ianc

e (S

S(R

esid

u))

Degrees-of-Freedom

1x1x1 1x2x2 1x3x3

2x1x2

2x2x1 2x2x2 2x2x3

2x3x2 2x3x3

3x1x3

3x2x2 3x2x3

3x3x1

3x3x3

4x2x2 4x2x3

4x3x2 4x3x3

3x3x2

Graphique d'ajustement avec une enveloppe convexe

(Deviance plot with convex hull)

df = IxP + JxQ + KxR + PxQxR - P2

- Q2

- R2

(matrices en composantes) (matrice noyau) (non-singularité des matrices)

degrés de liberté

modèle préféré


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1ère

Composante

weight

length

crrump

head

chest

arm

calf

pelvis

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

weight

length

crrump

head

chest

arm calf pelvis

Composantes des variables et cercle de correlation

1ère

Composante

2e

Composante 3e

Composante


-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Coo

rdon

ées

Age

Composante 1Composante 2

Composantes de temps(1ère composante transformée pour être la plus constante possible

la 2e composante reste orthogonal a la 1 ère)


Croissance d'obésité(Coordonnées des filles x âge sur 1

erscomposantes des variables)

Fille moyenne

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Coo

rdon

nées

Com

posa

ntes

-

Obé

sité

1

2

3

4

5

6

7 8

9

10

11

12 13 14

15 16 17

18

19

20 21

22

23 24 25

26

27

28

29

30

Age


transversal

Poids par âge - Etats-Unis


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

2e

Composante

12

3

5

6 7

8 9

10

11

12

13

14

15

1617

19

20

21

22

23

24

25

27

28

29

30

Poids

Mollet

Bassin

HEAD 26

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.61

e reComposante

12

3

4 5

6 7

8 9

10

11

12

13

14

15

1617

18

19

20

21

22

23

24

25

27

28

29

30

Longueur

Torse

Poitrine

Jambe

HEAD 26

Biplot conjoint(1

ereComposante d'âge)

ObèseFrêle

Grand

Petit


-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

Deu

xièm

e C

ompo

sant

e


1

23

4

5

6 7

89 A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

M NO

PQ

RS

TU

1

2

3

4

5

67

89

A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

M NO

PQ

RS

TU

1

2

3

4

5

67

89

A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

M NO

PQ

RS

TU

1

2

3

4

5

67

8

9A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

M N

O

PQ

RS

T U1

2

3

4

5

67

8

9A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

MN

O

PQ

RS

T U1

2

3

4

5

67

8

9

A

BC

D

E

FGH

I

J

K

L

MN

O

P

QRS

TU 1

2

3

4

5

67

8

9

A

B CD

E

FG

H

I

J

K

L

M

N

O

P

QRS

TU

1

2

3

4

5

67

8

9

A

B CD

E

FG

H

I

J

K

L

M

N

O

P

QRS

TU

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B CD

E

FG

H

I

J

K

L

M

N

O

P

QRS

T

U1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B CD

E

FG

H

I

J

K

L

M

N

O

P

QRS

T

U1

2

3

4

5

67

8

9

A

B CD

E

FGH

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

RS

TU 1

2

3

4

5

67

8

9

A

BC

D

E

FGH

I

J

K

L

MN

O

P

Q

RS

T U

-

-

- - -

1

23

4

5

6 7

89 A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

M NO

PQ

RS

TU

1

2

3

4

5

67

89

A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

M NO

PQ

RS

TU

1

2

3

4

5

67

89

A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

M NO

PQ

RS

TU

1

2

3

4

5

67

8

9A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

M N

O

PQ

RS

T U1

2

3

4

5

67

8

9A

BCD

E

FGH

I

J

K

L

MN

O

PQ

RS

T U1

2

3

4

5

67

8

9

A

BC

D

E

FGH

I

J

K

L

MN

O

P

QRS

TU 1

2

3

4

5

67

8

9

A

B CD

E

FG

H

I

J

K

L

M

N

O

P

QRS

TU

1

2

3

4

5

67

8

9

A

B CD

E

FG

H

I

J

K

L

M

N

O

P

QRS

TU

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B CD

E

FG

H

I

J

K

L

M

N

O

P

QRS

T

U1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B CD

E

FG

H

I

J

K

L

M

N

O

P

QRS

T

U1

2

3

4

5

67

8

9

A

B CD

E

FGH

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

RS

TU 1

2

3

4

5

67

8

9

A

BC

D

E

FGH

I

J

K

L

MN

O

P

Q

RS

T U

Biplot Modes Emboîtés:Trajectoires


-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

Deu

xièm

e C

ompo

sant

e


1

2

3

4

6 7

8

9

11 1213

14

151617

18

19

20

21

2223

24

25 27

poids

longueurtorse

tête

poitrine

jambe

mollet

bassin

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

1

2

3

6 7

8

9

11 1213

14

151617

20

21

2223

24

25 27

Biplot Modes Emboîtés:Trajectoires(Trajectoires: Le numéro indice la moyenne par rapp ort au temps)

laatste

3.33.3Changements des interactions Changements des interactions

entre mères et enfants pendant les entre mères et enfants pendant les six premiers moissix premiers mois


Variables & Catégories

Comportement de la mèreSANS REGARD ENFANTREGARDERSTIMULEROFFRIRCONTACT PHYSIQUEAPAISER

Comportementde l'enfantInactifSourirRegarderVocaliserExplorerPleurerSucer

Mois après naissance123456

Van den Boom, Developmental Psychology,Amsterdam


Tableau de contingence à trois entrées

Activités mère

J catégories

1er

mois

6e

mois

Activités enfant

(I catégories)

TransversalDeux variables complètement croisées,mesurées K (= 6) fois


Mère Sans Regarder Stimuler Offrir Contact Apais er Rapport Physiq ue EnfantENFANT Mois 1 INACTIF 378 2197 206 335 851 1 SOURIR 225 1363 558 681 51 2 26 REGARDER 1346 4764 648 1735 1456 39VOCALISER 232 1135 220 919 46 5 58EXPLORER 14 73 19 44 84 1PLEURER 342 854 6 59 10 5 1178SUCER 166 243 83 105 11 6 44

Mois 2 INACTIF 157 1057 85 175 405 0SOURIR 212 1621 1042 983 41 8 19REGARDER 1460 4346 748 1802 1491 57VOCALISER 272 908 503 1049 40 3 53EXPLORER 44 149 26 50 66 12PLEURER 364 479 27 117 10 7 1297SUCER 757 552 102 195 24 4 61

Mois 3INACTIF 74 434 42 54 175 0SOURIR 260 1425 1112 1098 36 0 14REGARDER 2015 4580 719 1999 1222 47VOCALISER 350 836 520 1140 28 7 32EXPLORER 538 637 83 313 141 8PLEURER 220 538 8 140 7 7 873SUCER 483 429 104 230 23 3 50

Données Mère Sans Regarder Stimuler Offrir Contact Apais er Rapport Physiq ue EnfantENFANT


Mois 5INACTIF 116 155 2 13 40 0SOURIR 142 649 683 607 14 4 9REGARDER 1686 3512 580 1942 1008 60VOCALISER 529 864 282 792 20 3 22EXPLORER 1842 1796 387 1367 227 30PLEURER 381 558 10 228 7 7 833SUCER 762 430 77 275 18 2 35



Analyse de correspondanceà trois entrées

Tableau à trois entrées des proportions.

Eliminer l'influence des marges simples afin pour étudier seulement les déviations du modèle d'indépendence

Appliquer une analyse generalisée des valeurs singulières pour trouver une approximation de rang faible.

Calculer les mesures d'ajustement et leur partitions

Faire une réprésentation spatiale des dépendances globales, marginales et partièlles dans un seul biplot

Dequier (1973), Choulakian (1988), Kroonenberg (198 9), Carlier & Kroonenberg (1996, 1998)


I = enfant; J=mère; K=mois

Partitionner l'ajustement du modèle aux données


A. Biplot modes emboîtés:[Nested-mode (or Interactively coded) biplot]

B. Biplot conjoint[Joint biplot]

Réprésentation dans l'espace des composantes d'une entrée (dites, ckr ) des lignes qui sont une combinaison des autres deux entrées avec une entrée emboïtée dans l'autre.

Par exemple, le mode "temps" peut etre emboîté dans le mode "enfants". De cette manière il est possible de faire des trajectoires.

Réprésentation dans l'espace conjoint des composantes des deux entrées (variables et enfants) pour chaque composante de la troisième entrée (dites, ckr , coordonné du temps)

Deux types de biplots

543

216

Geert

Gilbert

Jean-Jacques

Jean

vocaliser

sourir

actif

o

o

o


Biplot Conjoint(1ère Composante du temps)

CONTACT PHYSIQUE

Composante 1 - Temps

Mois 1 1.22 1.33 0.94 0.95 0.86 0.8

Valeur plus ou moins stable pendant les mois avec un declin modéré

inactifsucerexplorer

STIMULER

REGARDER

APAISER

SANS RAPPORT ENFANT

OFFRIR

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3

-2

-1

0

1

2

vocalisingpleurer regarder

inactif

OFFRIR comportement mère

comportement enfant

sourir


Biplot Conjoint(Composante 2 du Temps)

Composante 2 - Temps

Mois 1 -1.42 -0.63 -0.14 0.55 1.16 1.5

Valeurs montent (presque linéaire avec âge)

inactif

OFFRIR comportement mère

comportement enfant

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

inactif

sourirsucer

explorer

CONTACT PHYSIQUE

STIMULER

REGARDER

APAISER

SANS RAPPORT ENFANT

OFFRIR


Biplot modes emboîtés(espace mère)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

REGARDER

SANS RAPPORT ENFANT

CONTACT PHYSIQUE

STIMULER OFFRIR

APAISER

inactif

sucer

regarder

sourir

vocaliser

pleurer

explorer

Composante2

Com

posa

nte

3

Les flèches commencent à 1 mois après la naissance et se terminent 6 mois après.

LETTRES CAPITALES = comportement mèreitalique = comportement de l'enfant


-1.5 -1 -0.5 0 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

0

0.5

1

1.5

2

inactif

souriresucer

explorer

Contact physique

Stimuler

Regarder

Apaiser

Sans rapport enfant

OffrirII

MM

IIMMCentroïde mère

Centroïde enfant

Comportement mère croissant

Comportement mère décroissant

Comportement enfant décroissant

Comportement enfant croissant

es

is

C

AS

O

S

R

Interactions I×T et M×T

laatste

exploratory longitudinal analysis with multiway component ...cedric.cnam.fr/~saporta/pk.pdf · in...

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