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MATRICESOrlando Miguel Ospino Ospino Cod 2073782Diego Leonardo Ferreira Ortiz Cod 2073477Nafis Badrán Lizarazo Cod 2072339Erika Johana Villarreal Villarreal Cod 2073468Francy Guerrero Zabala Cod 2080751Diego Fernando Gómez Páez Cod 2072320
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
Un sistemalineal es unconjunto deecuacioneslineales sobreun cuerpo oun anilloconmutativo.De lasiguienteforma:
--a son los coeficientes constantes
-- b son los términos independientes
constantes
--n es el número de ecuaciones
NOTACIÓN MATRICIAL
Una matriz
consiste en un
arreglo
rectangular de
elementos
representado por
un solo símbolo.
Como se muestra
en la figura, [A] es
la notación breve
para la matriz y aij
designa un
elemento
individual de la
matriz.
Un conjunto horizontal de elementos se llama renglón (o fila); yuno vertical, columna.
El primer subíndice i designa el número de renglón en el cual estáel elemento. El subíndice j indica la columna. Por ejemplo, elelemento a23 está en el renglón 2 y la columna 3.
Tipo de matriz Definición Ejemplo
FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo
su orden 1×n
COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna,
siendo su orden m×1
RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de
filas que de columnas, siendo su orden m×n ,
TRASPUESTA Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a
la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por At ó AT
OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que
resulta de sustituir cada elemento por su
opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA
Si todos sus elementos son cero. También se
denomina matriz cero y se denota por 0m×n
TIPOS DE MATRICES
Tipo de matriz Definición Ejemplo
TIPOS DE MATRICES
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de
columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden
n.
Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann
Diagonal secundaria : son los elementos aij con
i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los
elementos de la diagonal principal tr A.
Diagonal principal :
Diagonal secundaria :
SIMÉTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At , aij = aji
ANTISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su
traspuesta.
A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii = 0
DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos
excepto los de la diagonal principal
ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos
excepto los de la diagonal principal que son iguales
Tipo de matriz Definición Ejemplo
TIPOS DE MATRICES
IDÉNTICA
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la diagonal
principal que son iguales a 1. También se
denomina matriz unidad.
TRIANGULAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos los
elementos por encima (por debajo) de la
diagonal principal nulos.
ORTOGONAL
Una matriz ortogonal es necesariamente
cuadrada e invertible: A-1 = AT
La inversa de una matriz ortogonal es una
matriz ortogonal.
El producto de dos matrices ortogonales es una
matriz ortogonal.
El determinante de una matriz ortogonal vale
+1 ó -1.
Tipo de matriz Definición Ejemplo
TIPOS DE MATRICES
NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su
traspuesta. Las matrices simétricas,
antisimétricas u ortogonales son
necesariamente normales.
INVERSA
Decimos que una matriz cuadrada A tiene
inversa, A-1, si se verifica que :
A·A-1 = A-1·A = I
MATRIZ
BANDEADA
Es una matriz que tiene todos sus elementos
cero, excepto los de una banda centrada en la
diagonal principal.
Matriz tridiagonal: ancho de banda de 3.
MATRIZ
AMPLIADA O
AUMENTADA
Es la que está formada por la matriz de
coeficientes y el vector de términos
independientes, los cuales se acostumbra
separar con una línea de puntos.
MULTIPLICACIÓN DE
MATRICES
Para multiplicar 2 matrices será necesario cumplir el siguiente requisito:
El número de columnas de la primera matriz deberá ser igual al número defilas de la segunda.
Este requisito en termino de orden será: (m,p)x(p,n)=(m,n). Donde el orden de laprimera matriz es (m,p), y de la segunda matriz es (p,n), por tanto el orden de lamatriz resultante sera (m,n).
• La primera fila de A
por todas las
columnas de
B, generara la
primera fila de la
matriz producto AB.
• La segunda fila de A
por todas las
columnas de
B, generara la
segunda fila de la
matriz producto AB.
• La tercera fila de A
por todas las
columnas de
B, generara la
tercera fila de la
matriz producto
AB, y así
sucesivamente.
MULTIPLICACIÓN DE
MATRICES
Ejemplo: hallar el producto de AB
El orden de A es (5,3) y el de B es (3,2), luego el orden de la matriz producto
será (5,2)
DETERMINANTE DE UNA
MATRIZ
El determinante de una matriz es un concepto fundamental del algebra
lineal con el cual se determina la existencia y la unidad de los resultados de
los sistemas de ecuaciones lineales. Para representar el determinante de
una matriz A usaremos det A, aunque también se acostumbra utilizar la
notación |A|.
El determinante está asociado a cualquier matriz cuadrada
DETERMINANTE DE UNA
MATRIZ
Forma 2: si A es una matriz de mxm entonces para
cualquier valor i y j, el ij-esimo menor de A (Aij) es la sub
matriz (m – 1)x(m – 1) de A obtenida luego de eliminar el
renglon i y la columna j de A.
Esta formula se
denomina expiación del
det A por medio de
cofactores de renglón i.
La ventaja de esta
fórmula es que
disminuye el cálculo del
det A para una matriz
de mxm cálculos que
requieren solo matrices
(m – 1)x(m – 1). Se
aplica la formula hasta
que det A pueda ser
expresado en términos
de matrices de 2x2.
Después se encuentran
los determinantes de
las matrices 2x2
pertinentes.
NOTACIÓN MATRICIAL
Ejemplo : determinar el determinante de la
matriz A
Se expande det A por medio de cofactores del renglón 1. Observe que a11
= 1, a12 = 2, a13 = 3.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE
ECUACIONES
Antes de analizar los métodoscomputacionales, describiremosalgunos métodos que sonapropiados en la solución depequeños sistemas de ecuacionessimultaneas que no requieren deuna computadora, Estos son:
• Método grafico
• Regla de cramer
• Eliminación de incógnitas
MÉTODO GRAFICO
Para dos ecuaciones se pueden obtener una solución algraficarlas en coordenadas cartesianas con un eje quecorresponda a x1 y el otro x2. Debido a que en estos sistemaslineales, cada ecuación se relaciona con una línea recta, lo cualse ilustra fácilmente mediantes las ecuaciones generales.
a11 x1 + a12x2 = b1
a21 x1 + a22x2 = b2
despejando x2.
MÉTODO GRAFICO
Con el método grafico resuelva:
MÉTODO GRAFICO
Para tres ecuaciones simultaneas, cada ecuación se representa como un plano en un sistema de coordenadas tridimensional. El punto en donde se intersecan los tres planos representa la solución. Para más de tres incógnitas, los métodos gráficos no funcionan y por consiguiente, tienen poco valor práctico para resolver ecuaciones simultáneas. No obstante, resultan útiles para visualizar propiedades de las soluciones
Por ejemplo, la figura 2
muestra tres casos que
pueden ocasionar problemas
al resolver sistemas de
ecuaciones lineales. La figura
2a presenta el caso en que
las dos ecuaciones
representan líneas paralelas.
En estos casos no existe
solución, ya que las dos
líneas jamás se cruzan. La
figura 2b representa el caso
en que las dos líneas
coinciden. En este existe un
número infinito de soluciones.
Se dice que ambos tipos de
sistemas son singulares.
Además, los sistemas muy
próximos a ser singulares
(figura 2c) también pueden
causar problemas; a estos
sistemas se les llama mal
condicionados.
REGLA DE CRAMER
Para más de tres ecuaciones, la regla de Cramer noresulta práctica, ya que conforme aumenta el númerode ecuaciones, los determinantes consumen tiempo alevaluarlos manualmente (o por computadora). Por esose utilizan otras alternativas más eficientes.
La regla de Cramer
establece que cada
incógnita de un
sistema de
ecuaciones lineales
algebraicas puede
expresarse como una
fracción de dos
determinantes con
denominador D y con
el numerador
obtenido a partir de
D, al reemplazar la
columna de
coeficientes de la
incógnita en cuestión
por las constantes b1,
b2,…….bn.
ELIMINACION DE INCÓGNITAS
Laeliminaciónde incógnitasmediantes lacombinacióndeecuacioneses unmétodoalgebraicoque se ilustracon unsistema dedosecuacionessimultáneas:
La estrategia básica consiste en multiplicar las ecuacionespor constantes, de tal forma que se elimine una de lasincógnitas cuando se combinen las dos ecuaciones. Elresultado es una sola ecuación en las que se puedendespejar la incógnita restante. Este valor se sustituye encualquiera de las ecuaciones originales para calcular la otravariable.
Observe que
las
ecuaciones
6 y 7 se
relacionan
directamente
con la regla
de Cramer,
que
establece.
ELIMINACION DE INCÓGNITAS
La eliminación de incógnitas se puede extender a sistemas con más
de tres ecuaciones. Sin embargo, los múltiples cálculos que se
requieren para sistemas más grandes hacen que el método sea
extremadamente tedioso para realizarse a mano. No obstante, la
técnica llega a formalizarse y programarse fácilmente en la
computadora.
BIBLIOGRAFÍA
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales
Steven c. Chapra, Métodos Numéricos Para Ingenieros. Quinta Edición
Parte 3
Álgebra lineal y sus aplicaciones Escrito por Gilbert Strang
Análisis numérico Escrito por Richard L. Burden,J. Douglas Faires
Introducción al álgebra lineal Escrito por José Manuel Casteleiro Villalba
Investigación de operaciones: aplicaciones y algoritmos Escrito por
Wayne L. Winston
