Astronomia posizionaleBibliografia essenziale

• F. Zagar, Astronomia Sferica e Teorica, Zanichelli, 1948

• F. Ayres jr., Trigonometry, Shaum’s Outline Series, 1954

An 11-hour exposure of the South Celestial Pole taken in Namibia by Josch HambschSource: http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap060915.html

Condizioni ottimali

Le osservazioni dovrebbero essere sempre condotte in prossimità delMeridiano locale (con z<35°)

A seconda dei casi può essere importante osservare in notti senza luna(dark) o con poca luna (grey)

A seconda dei casi (ma è sempre preferibile) può essere importanteosservare in condizioni atmosferiche perfette.

Il significato di “ottimale” cambia con il tipo di osservazione

The Modern Constellation System

Source: The Cosmic Perspective, 2004

Properties of the ModernConstellation System:(1.) The sky is divided into

88 constellations(2.) Each constellation is a well defined AREA on the sky(3.) Most Northern constellations are from the Greek / European mythologicaltradition(4.) The Southern constellations were given arbitrary names (e.g. Antlia =“The Air Pump”)

Source: Astronomy Today, 2002

2-Dimensional Projection

Unrelated Stars in3-Dimensions

Le Costellazioni sono proiezioni sulla sfera celestedella distribuzione tridimensionale delle stelle

Angoli diedri e triedriDue piani che si intersecano definisconoquattro angoli diedri

I piani ABC e DCB sono detti facce

BC è detta bordo

L’angolo formato dalle intersezioni diABC e DCB su un piano perpendicolare aBC è detto angolo piano del diedro

Tre piani che hanno un punto in comunedefiniscono 8 angoli triedri

Un triedro è O-XYZ

O è il vertice

OXY, OXZ e OYZ sono le facce (ZO, XO eYO i bordi)

Le facce (a due a due) formano tre angolidiedri e tre angoli piani XOY, XOZ e YOZ

Coordinate cartesiane e polari

α, β, γ angoli direttori

x, y, z coordinate cartesiane

Coordinate polari: r, u, v

Origine, asse polare, piano fondamentale

distanza r

angolo piano u tra asse polare (z) eraggio vettore, contato tra 0 e 180°

angolo diedro v tra semipianofondamentale e semipiano formato daasse polare e raggio vettore, contato tra0 e 360° in direzione fissata.

Conversioni\e

da polari a cartesiane

da cartesiane a polari

Sistemi di coordinate sulla sferaAd ogni punto della sfera corrisponde unraggio vettore

Ogni piano passante per il centro dellasfera definisce un cerchio massimo e duepoli (intersezioni della perpendicolare passanteper il centro)

Inverso:

Ogni cerchio massimo definisce un pianodiametrale

Un angolo sferico (BAC) è un angolo definitodall’intersezione di due cerchi massimi

Dati due punti della sfera non diametralmente opposti è sempre possibilefarli giacere su uno stesso (ed uno solo) cerchio massimo

Sistemi di coordinate sulla sfera - II

Fissata a e, quindi, l’equatore

Dati due punti B e C (direzioni β e γ ), sitracciano i cerchi massimi passanti per B e C(ABA’ e ACA’)

L’angolo tra un punto e un piano si misura conl’arco di cerchio massimo compreso tra il punto e lasua intersezione con l’equatore (Es. BB’)

L’angolo tra un punto ed il suo equatore è 90°

L’angolo piano associato al diedro tra due piani diametrali è dato da:

• l’angolo tra le tangenti ai cerchi massimi corrispondenti tracciate nei punti di incontroB’OC’ (arco B’C’);

• angolo sferico tra i due cerchi massimi BAC;

• angolo diedro tra i due cerchi massimi B’-AO-C’

Data una semiretta a uscente dal centro, sia A lasua intersezione con S:si definisce equatore di A (e del suo opposto A’) ilcerchio massimo definito dal piano perpendicolaread a e passante per il centro

Triangoli sferici• Tre punti definiscono 8 triangoli sferici di cui uno intereamente compreso

nello stesso emisfero (tutti i lati minori di un semicerchio)

• Analogamente: tre punti su una sfera definiscono un triedro con vertice nel centro

• Un triangolo sferico ha tre lati (AB,BC e AC) e tre angoli sferici

• un angolo diedro O-ABC

• Si definisce trirettangolo diriferimento o fondamentale quelloottenuto dalle intersezioni di unsistema cartesiano ortogonale.

(ABC è sferico, CDE non lo è)

Triangoli sferici - Teoremi utili• La somma di due lati è maggiore del terzo

• la somma dei tre lati è <360°

• se due lati (angoli) sono uguali, gli angoli (lati) opposti sono uguali

• se due angoli (lati) opposti sono diseguali, i lati (angoli) opposti sonouguali ed il lato (angolo) maggiore è opposto all’angolo (lato)maggiore

• La somma dei tre angoli è maggiore di 180° e minore di 540°

L’Eccesso sferico di un triangolo è dato da: E=α+β+γ -180°

• We can imagine that the angles of a sphericaltriangle need not add to 180o

• For example, consider anoctant cut out of a sphere…the sum of angles is 270o !

• In fact, the sum must be greater than 180o andthe sum of angles – 180o is called the sphericalexcess

Spherical Triangles

90o

90o

90o

Le coordinate terrestriCerchi massimi di riferimento:

• L’asse di rotazione terrestre individua due intersezioni PS e PN che sono i poli di uncerchio massimo detto Equatore

• Per ogni punto A, il cerchio massimo PSAPN è detto Meridiano di A

• Il meridiano passante per Greenwich è detto Primo Meridiano o Meridiano diRiferimento

Coordinate di un punto A:

• Latitudine : distanza angolare di Adall’equatore (angolo A’OA o arco AA’).E’ negativa se A è nell’emisfero Sud

• Longitudine: angolo (<180°) tra il primomeridiano e il meridiano di A (arco G’A’) oangolo sferico G’PNA’.Lg si misura in °, Est se il punto è ad Estdi Greenwich

Distanza di due punti A e BLa distanza tra due punti A e B è data dall’arco di cerchio massimo AB

AB identifica i due triangoli sferici APNB e APSB

1 arcmin = 1 miglio nautico

Si noti che seguire la rotta AB vuol dire nonavere un angolo costante (rotta) rispetto almeridiano dove si trova l’oggetto in movimento

Una traiettoria che conservi costantequest’angolo non è una geodetica ma unalossodromia

La Sfera Celeste - DefinizioniVerticale del Luogo di OsservazioneDefinita dalla normale al Geoide nel luogo di osservazione. Si approssima con ladirezione del filo a piombo.La verticale definisce sulla sfera celeste due intersezioni: Zenit e Nadir

Orizzonte astronomico o matematicoCerchio massimo definito dal piano diametrale della verticale. Si approssima con lasuperficie di un liquido.

Orizzonte apparente o naturaleOrizzonte vero (dipende dalla convessità della Terra)

Asse di rotazione (o asse del mondo)Prolungamento ideale dell’asse di rotazione terrestreDefinisce sulla sfera celeste due punti: Polo Celeste Nord (PN) e Polo CelesteSud (PS)

Latitudine astronomica del luogoAngolo tra asse del mondo e orizzonte astronomico

EclitticaLuogo dei punti della sfera celeste percorsi dal Sole (alternativamente: intersezionecon la sfera celeste del piano dell’orbita terrestre)

Sfera Celeste

The Earth and the Celestial Sphere

The celestial equator and the ecliptic

Sistema azimutale (o dell’osservatore)Definito da:Verticale del luogo di osservazioneOrizzonte Astronomico

NOMENCLATURA

Ogni cerchio massimo passante per Zenit e Nadir si chiama circolo verticale

Ogni cerchio massimo passante per Zenit e Nadir si chiama circolo verticale (pianovarticale, il piano diametrale associato)

Il piano verticale (circolo verticale) che contiene l’asse del mondo (il PN) è detto Pianodel Meridiano (Meridiano astronomico)

L’intersezione del Piano Meridiano con l’Orizzonte astronomico definisce la lineameridiana ed i punti cardinali Nord (N) e Sud (S)

La perpendicolare alla linea meridiana definisce il Punto di Vero Oriente (Est - E) e diVero Occidente (Ovest - W)

I cerchi minori paralleli all’orizzonte sono detti Almucantarat

Sistema azimutaleNOMENCLATURA

Le coordinate di una stella sono date da:

Azimuth (A):

Angolo tra il Circolo verticale passante perla stella ed il cerchio meridianoMisurato da Sud verso Occidente e da 0° a360°

Distanza Zenitale (z):

Lunghezza dell’arco di meridiano tra lastella e lo Zenit.Si misura in gradi tra 0° e 180°

oppure

Altezza (h):

Lunghezza dell’arco di meridiano tra il piededel circolo meridiano sull’orizzonte e lastella.Misurata in gradi tra 0° e 90° (verso loZenit) e tra 0 e -90° (verso il Nadir)

Z Notevoli:z(orizzonte)=90° z(Nadir)=180°

Azimuth notevoli:

A(Sud)=0° A(Ovest)=90°A(Nord)=180° A(Est)=270°

Alcuni fatti del sistema azimutaleCoordinate del Polo Celeste Boreale

A(PN)=180°, h= latitudine (φ), z=90°- φ

Coordinate del Polo celeste Australe

A(PS)=0°, h= - φ, z=90°+ φ

In Marina ed in Geodesia

l’Azimuth è misurato nello stesso senso maa partire da Nord (N-E-S-O)

Sistema di riferimento orarioAssi di riferimento:Asse del Mondo & Equatore Celeste

Circoli orari o di declinazionesono i cerchi massimi passanti per i Poli celesti• I cerchi minori paralleli all’equatore si chiamano paralleli celesti o di declinazione• L’intersezione (boreale) di Meridiano ed Equatore Celeste si chiama Mezzocielo

Fatti salienti• l’Equatore celeste interseca l’orizzonte astronomico nei punti E e O;• I Circoli orari tagliano perpendicolarmente l’Equatore ed i paralleli celesti;• Il Meridiano è l’unico circolo massimo in comune con il Sistema Azimutale (cerchio

orario di Zenit e Nadir & meridiano dei Poli Celesti).

Coordinate polari

distanza polare (d):arco di circolo orario tra stella e PN (da 0° a 180° a partire da PN)angolo orario (H):angolo che il circolo orario forma col Meridiano Sud (verso W da 0° a 360° oppure da0 a 24 h a causa dell’uniformità del moto di rotazione, 15° = 1 minuto)

Sistemi di riferimento azimutale ed orarioZ e n: Zenit e NadirPN e PS: Poli celesti Nord e SudR: StellaS,W,N,E:punti cardinaliM: Mezzocielo

SWNE: orizzonte astronomicoZWn: primo verticale occidentaleZen: primo verticale orientaleSMZPNPs: Meridiano celesteEMW: Equatore celesteZRQ1n: Circolo verticale di RPNRQ2PS: Cerchio orario di RRSRRi: parallelo di declinazione di R

ZPN: 90°-φ; colatitudine PNN: φ; latitudineZR: z; distanza zenitale Q1R: h; altezzaMZR=SQ1 A;Azimuth di R PNR: d; distanza polare di RRQ2: d; declinazione di R ZPNR=MQ2 H angolo orario di RZRPN: p; angolo parallattico di R

Fatti salienti sul Sistema OrarioFatti salienti:

paralleli celesti sono i luoghi dei punti che hanno la medesima distanza polarecircoli orari: luogo dei punti che hanno il medesimo angolo orario

Punti cardinaliH(West)= 6h H(Est)=18h H(Sud)=0h H(Nord)=12h

δ(West)=0° δ(Est)=0° δ(Sud)=90°+φ δ(Nord)=90°-φ

Zenit e NadirH(Zenit)=0h δ(Zenit)=φ H(Nadir)=12h δ(Nadir)=-φ

Moto diurno delle stellePer un osservatore boreale rivolto verso Sud, la sfera celeste ruota da E verso Ovest(senso orario)Per un osservatore australe rivolto verso Sud, da Est verso Ovest (in senso antiorario)

Per effetto del moto diurno, le stelle descrivono traiettorie lungo paralleli celesti:sorgono a Est (in L), h aumenta fino a RS (culminazione superiore) poi diminuisce finoal tramonto (in T). Raggiunge la culminazione inferiore in Ri.

Arco LRST = arco diurno; arco TRiL: arco notturno

Per un osservatore alla latitudine φ:

Stelle circumpolari boreali: δ ≥ 90°-φ(sempre visibili per un osservatore boreale):

Stelle che sorgono e tramontano: -φ ≤ δ ≤ 90°-φ

Stelle circumpolari australi: δ ≤ -φ(sempre invisibili per un osservatore boreale)

Moto delle stelle

Moto delle Stelle

(Path followedby the star in

the sky duringone rotation of

earth)

Generalità - IL’area (relativa o frazionaria) della zona circumpolare è:

Ai poli: Σ=1/2 (metà del cielo è sempre invisibile)All’equatore: Σ=0 (tutte le stelle sorgono e tramontano)A φ=60°; Σ=1/4

Esercizio n.1: determinazione del Cerchio Meridiano

I paralleli celesti sono simmetrici rispetto al Meridiano e, quindi, una stellaraggiunge la stessa altezza a due angoli orari simmetrici rispetto al CerchioMeridiano.Ciò implica che, dato un qualsiasi circolo meridiano (che si trova ad un angolo arispetto al CM) e detti a1 e a2 gli angoli rispetto a questo circolo formati da unastella negli istanti in cui raggiunge la stessa altezza, trovare a.

Soluzione:

Estendere il risultato agli Azimuth e mostrare che, anche in questo caso:

Conversione tra i sistemi altazimutale e orarioRicordando che z=90°- h, si ha:

(altazimutale -> orario)

(orario -> altazimutale)

Esercizio n.2

Riderivare le formule per il caso di una stella in culminazione superiore

Esercizio n.3

Derivare le formule differenziali:

Sistema equatorialePunto vernale o punto g o nodo ascendente:Punto di intersezione dell’eclittica con l’equatore in cui il Sole transita con declinazionecrescente

Assi di riferimento:Asse del Mondo & Circolo orario del punto Vernale o γ

Linea che congiunge il nodo ascendente ed il nodo discendente: linea degli equinoziCerchio orario che congiunge i due nodi: coluro degli equinoziCerchio orario contenente i poli dell’Equatore e dell’Eclittica: coluro dei solstizi

Coordinate equatoriali:

Declinazione (δ):misurata dall’equatore lungo il cerchio orario passante per la stellaMisurata da 0 a 90° nell’emisfero boreale; da 0° a -90° in quello australe

Ascensione Retta (RA):Angolo tra il cerchio orario del punto vernale γ e della stellaMisurata in 360° o 24 h, partendo da γ e in senso orario

Sistema Equatoriale

Right Ascension, Declination,and Position in the Sky

RightAscension

• Right ascension & hour angle

Hour angle

Right Ascension atthe meridian

=hour angle ofvernal equinox

= sidereal time

vernal equinox

North CelestialPole

star

Horizon

Celestial Equator

Units of Angle:1 Degree = 60 Arcminutes1 Arcminute = 60 Arcseconds

Source: Astronomy Today, 2002

• Frequently in Astronomy angles will be written in asystem of ʻ60sʼ

Example: Dec = +32.5° = +32° 30 arcminutes

Esempio di calcolo dell’osservabilità:

Problema:Data una stella di coordinate R.A. e Dec. (9h 22m 13s; –8° 15’ 33”)

Supponendo di osservare da Lagonegro:

Long. = ? Lat.= ?

Trovare:

A. In quale giorno A culmina a mezzanotte (tempo solare)

B. In quel giorno a che ora sorge ed a che ora tramonta

C. In quale periodo è osservabile (cioè h>30°)

Alcuni trucchi

Supponiamo di conoscere la A.R. (A) che transita al Meridiano di uncerto luogo a mezzanotte.

• Una notte dura in media 8 ore.

• Al tramonto avrò in meridiano A-4 e posso osservare fino a 2 ore dalmeridiano (in spettroscopia anche 3).

• Quindi una stella con R.A. = A-6 [A-7] è osservabile all’inizio dellanotte

• Una stella con R.A. = A+6 [A+7] è osservabile alla fine.

• Quindi, l’intervallo osservabile è [A-6;A+6]

Moto di Precessione

• Finally, the lectureʼsbeginning pictureshould (hopefully)make more sensenow

One last thing

Source: Universe, 2005