fast multipole method for the symmetric boundary element

38
HAL Id: inria-00070591 https://hal.inria.fr/inria-00070591 Submitted on 19 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element Method in MEG/EEG Jan Kybic, Maureen Clerc, Olivier Faugeras, Renaud Keriven, Théodore Papadopoulo To cite this version: Jan Kybic, Maureen Clerc, Olivier Faugeras, Renaud Keriven, Théodore Papadopoulo. Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element Method in MEG/EEG. [Research Report] RR-5415, INRIA. 2006, pp.34. inria-00070591

Upload: others

Post on 28-Apr-2022

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

HAL Id: inria-00070591https://hal.inria.fr/inria-00070591

Submitted on 19 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Fast Multipole Method for the Symmetric BoundaryElement Method in MEG/EEG

Jan Kybic, Maureen Clerc, Olivier Faugeras, Renaud Keriven, ThéodorePapadopoulo

To cite this version:Jan Kybic, Maureen Clerc, Olivier Faugeras, Renaud Keriven, Théodore Papadopoulo. Fast MultipoleMethod for the Symmetric Boundary Element Method in MEG/EEG. [Research Report] RR-5415,INRIA. 2006, pp.34. �inria-00070591�

Page 2: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--54

15--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

Thème BIO

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Fast Multipole Method for the Symmetric BoundaryElement Method in MEG/EEG

Jan Kybic — Maureen Clerc — Olivier Faugeras — Renaud Keriven — Théo Papadopoulo

N° 5415

Décembre 2004

Page 3: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element
Page 4: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Téléphone : +33 4 92 38 77 77 — Télécopie : +33 4 92 38 77 65

��������� ���� ������������������������� �����"!$#&%'%(���)�� �*,+-�.�/0�����)#123�4%(�4/.�5�����������6 7/���198;:<1=198

>@?BADCFEHG�IKJMLONQPR?BS�TVUWUXAZY\[KUXT7J]N_^F[`IbaHI`UWT0cd?BS�e@UXTV?]fXN�g0UWAh?]S�iDCjUXTVIba@UWAkNQl�m�nXop<?]qh?]i�o@q_o]S�[`o

rksut3v$w�x�y{zD|~}M�O���{t7v\wV�k���������������X��w7��h�{����w��<z��O�O�����7w��

�4�����]���{����w��{wV��s�w3����s�w��] �¡£¢u¤�¡�|¦¥§�V��w3v�����w�¨�©�©�¢�|«ª�¢��B�£��wV�

¬�­)®7¯3°�±�²�¯�³ rks�w´�W�3���u���£�{wµ�{�����O���¶�W�·�£¸��{s�w¹¸b�W�{ºk�£����w7�¶wV�»�{���W�����£�{���¼�������u�¶w7v����½���-wV�{�{w3�O¾��������¿u���������{w3�À�]w�¸b����w����W�¶ÁM�������{s�w����MÁ�w3���{w.����������w3vÂ�£¸_v�������w3�{�£¾4���u��w7�¶wV�»���{��¾Ãw7�u��w7��su�£�����W������sM�ÄÃÅjÆdÇ�È£ÆQÆdÇ�É»Ê rks�w&�{�Mv\v$w3�{����� Ç ���¶w7�{ËM���Ì�]�����B���£���Íw3��w3v$w7�W��v$w3�{s��O�½�������7����������w������.���.�O�ÏÎ$¾�3����w��{�j�u�{w�¸b�W��Á�w7�{�Ì�����{�Ww\�u�{�W���¶w7v����BwV�3���u��w���¸��Ï���.���Wv$���O���£�{�����u���d���Wv$���¶w3ÐO�Ï���À�£�u�½v$w3v$�W�{���w7�X������w3v$w3�X��� Ê�Ñ w��Ow7�������¶�]w<��¸K�����_v����Ï���¶�]����w�¾Ò�u�W��wV�&���7��w3��w3�������¶�W�\¸b���_�{s�wÓ���Mv$v$w����{���§x ÆdÅ º��¶�{s�3��v$����w�ÐO�¶��� Ê yÒ������w7����w7�<�0s���w3���£����s����3���)���{���u�»�����{w��£¸Q��s�w$w3��w3v$w3�X���<���u������������ÐM��v�����w7��¸K���Ó�¶�X�{w7��¾�W�»���¶�W�u���u�{�¶�u�Í����suw3�����7�£�Qsu���{v$�W�����7��w�ÐO�u���u�{�¶�W�u� Ê rks�w0�W�3��w7�¶w7���£�{wV��v$w���s��O�Ô���.�{s���º��À�{�j�]w�����W�3�3�����£�{w����_�{s�w��O����w7�»��v$w���s��O��Õ��Ww���¸b���k�����{�Ww<�u�{�W���¶w7v��_�¶�������]�£��s�¸K�W����w3���£�B�&v$����w<wV���W����v$���3�£������{w7�{v��k�£¸�v$w3v$�����0���W�u�{��v$�O�{����� ÊÖj×XØ@Ù�Ú.Û °�Ü�®�³�Ý ����� Å ���¶�{���B�W�¶w Å w��{su�M�ÞÕux������u�u�£��� Æ �¶w7v$w3�X� Å w���s��O��Õ ÆQÆ_Ç Õ ÅjÆdÇ

ßHà@á�â3ã`á�ä�å¶æ»äMç)è�è�éëêëá�ì_à@í7î£á�ä`â�áïã`êëð�ñ{ò»ó£ô�ð�õ�é ãöíQæ�å£÷uéëá�ð�ã`äKêëð{ô�éV÷Bâ�ø»êëâVá�á�äKêëâ�ø�ò3à@ù�á�ðÒú_ûOá�ðÒúVâ�êëð�ô�é�ü)âVê ý�á�äKñÃê ãöí�êëâ_þuäÃô�ø»õVá�òà�ù�á�ðÒú�ÿÞá�è�õ�î�éëêëð��uá � ô�êëé�����íVî�êëð��)å¶á�é�� ð�ý7õVã� ð�ù�ò�ã`á�é��� ���������������������������� ìVíVñ`ñ���áhêëñHô �Kæ»êëâ3ãHè�äKæ��Ká�ðïã)î£á�ã �@á�á�â�÷"!�þ]à$#@÷"!&%4ü)é � #�'(!)ÿ)'öç*�

Page 5: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

�������0������ ���� 3���.3��� ���F ���� ��.0� �� �����)�.3&�� 3�./ ��� 3���198;:<1=1Z8 �������4��4%(�4/.�)���F/� �� ��0������*k �����

� � ®���� � ³�� �¼�{�V���W�¶�O���¶�W�=��� ���2�������u�¶t7v\wÌ�O�¶��w7�����7�¶wV�»�{���W�����£�{���X��wÍw7�����u�=�����3��w7�X�����&�]�������¶w�u�{�W���¶t7v$w����MÁ�w3���{w��OwF����v��£�W������� È �7�¶wV�»�{���Mw3�u�3�3��sB�£���������£�us��¶w Ê � ��¸b����v.���������¶�W� �u���\�7�¶�7v$w3�X���¿B�����Ó�{���{¸K�������X��w7�Ó�{�Mv\�3�{�����X��wV�§wV�����3w3�{�{w7�������7�3���{w�Õ@v��£���Ów7�����O�ÏÎ&�3�¶��w��0v$w��{�{��w$w3�����uÁX��w$�������Ow�W�{�X��v��£���¶���£�Ww7���]���u�\�OwV�����£�����W�u���Ow0�{w7v\�B���Ow��3�����3���_w3�\�Ow���������w0v\�7v$�����{w Ê�� �W�u�����7������Á����B��u��w.���7���7�¶�7���£�{�����F�Ow�����v$���{su�M��w.���Mv$�����{���X��w��u���4����w�v$�3�{s��O�Ow�v.���¶�{�����W�¶w.����������w Ê � w��������u�����BwwV���&�OwÍ�3�{�7w3�$����wÍ���{���u���{����wFs��¶�7��������su���X��w�w��0��� �£�u���{�O��s�w7�$�¶wV�$�¶�X�{w7���W�»���¶�W�u�$�¶�W�¶�X���£����w7�\�u���&�Ow7����3Á�w7�¶�W���]w3v$w3�X���Ów7�½su�£��v$�������X��w7�Ó�{��s��3�����W�uw7� Ê � �F���W�¶�O���¶�W�À�W�3�3�3���3���3w\w7���.�£�u�����h�u�{�V������w��X��w$����{�����O���¶�W���Ow$�O�3�u�����VÕ]�{������w7�������£�X�Ó���¶�B�<���£�u���Ow�w��Óv$�����u�������u�{v��£�B�Ow�w3�Ìv$�3v$�����{w\���u�Ó��w��W�{�X�v����¶��������wV� Ê�·Û ¯V® Ù ²�� � ®�³ Å �3�{s��O�Ow Å �u�Ï���¶� ����w��4�£�u���OwWÕ Æ ���3v$w3�X����¿u�����4���u��¸K�W�����W�uw7�7Õ ÆdÆdÇ Õ ÅjÆ_Ç

Page 6: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ª

5 6 /.�)�����F0*d�� ���/rksuw�x������B���£��� Æ �¶w7v\w7�X� Å w3�{s��O�Ô����º����Ow7�¶�½�u�{w7�¼¸b���\���W�¶ÁM�����j�{suw0¸b�W�{ºk�£���½�£�u�Ô���MÁ�w7���{w&�������O¾��w3v����£¸ Å �£���uw��{�; Æ �¶wV�»�{���Mw3�u�3w3��sB�£���������£�usX� Ä`ÅjÆ_Ç�È�ÆQÆdÇ�É �W� ��w7�£�������������Ww3�Wv\w3�{���¶wV�87�¤�Õ�¨�9 Ê yÒ��u�O¸b���{�{���B���{w7�¶�0�¶wV���������\sM���WwÓ�¶����w7���4���O���{w7v$�kº�su����sj�3�����]w�su�����0�{�$su���u�O��w Êrks�w Ý ����� Å �u�Ï���¶�]����w Å w���s��O� Ä Ý ÅÍÅÍÉ 7 ª:9u���7��w3��w3�������¶�W���������u�Ï¿B�7�£�X�{�����OwV����w7���{w7�H�{suwk�W���Mv$�O���£��¾

���3���O�{��v$w§�£�B�$v\w7v$���������Wv$���¶w3ÐO�Ï�����£¸Þ���W�¶ÁM�����Ó�{suw�¸b����º������ ÅjÆdÇ�È£ÆQÆdÇ �������u�¶w7v Ê�Ñ w§�Ow7���������BwV�wV�£���¶��w3�Q�Ó�u�{w7�¶��v$�¶�u���{�\�������W�¶w3¾Ã��w3ÁWw3� Ý ÅÍÅ ¸b���Q�{s�w§����������w�¾Ò������w3�h���������W����s;7 ¢:9���su���dº�w4w3ÐX��w3�u�\s�w7�{w���0v����Ï���ϾÒ��w3Á�w7� Ý ÅÍÅ �£�u�Í�W���£���§¸b���<�{suw��{�Xv$v$w����{���.x ÆdÅ 7 ¡�9 Ê rH�0�{s�w��BwV���Ó�£¸Q�W���§ËM����º���w7����w�Õ��s��������������3�¶wÓ�OwV�{�3�{���BwV�_�{s�wÓ���u�¶�$��v\�u�¶w7v\w7�X�������¶�W���7�£�u������w§�£¸����7����������w3���$�{����ÁM�¶�u���{suw ÅÍÆdÇ�È�ÆQÆ_Ǹb�W�{ºk�£���¹����������w3v ¸b������w7�£�����������jsuw7���=v\�O�Ow7���F�OwV�{�3�{���]w7�´�M� v$w7�{s�w7��º��Ï��s2��ÁWw3�0ªW©�Õ ©�©�©½�]�����X���Ä=< ©uÕ ©W©�©��u��ËM����º��u� É ���F������������wÓ�Bw7���{���B�£�����Wv\�u�O�{w7� Ê4> ���£��s�w3�4�u�����X��wÓ¸bwV�������{wÓ��¸��W���4�£���u�{�X����s���h��s�w§�����¶���¶�����{���£���������{s�w§�{�Mv$v\w3�{������x ÆdÅ ���\�{s�w4¸b����º������ ÅjÆdÇ�È£ÆQÆdÇ �������u�¶w7v·º��¶�{s���w7��w3���£������]�������W�Ì���W�u�{�����{�����Í��¸§�Í�M��v.�]w3���£¸§�3���u�������W�\�����B�O�u�»���¶ÁM�¶���½�{w7�������u�7Õ)���u���{wV���½�£¸���s�w��3���W�{�{���3�£��uw7���{w7��Á��W�¶�uv\w������]��������� Ê?4@A? BDCFEAG3HIC�JLKNM4O�Prksuw Ý �����¶�{w Æ ��w3v$w3�X� Å w3�{s��O� Ä Ý ÆdÅÍÉ ��v$���¶w7v$w3�X���£�{�����Q7 R:9������3���u�£�u�¶w\�£¸k���W�¶ÁM������������������w3v,��¸��s����d�{��S7w4���O���{wV�W�u�¶��w7�Q��º_w7�¶�¶¾`¸b�W�{v$wV�\���u�$�����]�����������3���¶���.�3�����{wV�»�dª�¥2v$w7�{s&º�s�����s����dÁ�w3�������ÏÎ&���u�Ï������£�O����v��������7�£���¶�&�Ww3��w7���£�{w<¸b�{�Wv �{suw�s�w7�W� Å �4y����3���u�k�����{suw������{¸K���3wÓv\wV��suw7� Êrks�w7�{wF�����£�¹w�ÐM�{w7�u�{�¶ÁWw����Ï��w3���������{wj�OwV�£���¶�u�̺��¶�{s Ý ÅÍÅ 7 ªuÕ <�T ¤7©:9_¸b�W��������ÁX�¶���£�{�����u���d�W�\w7�¶wV�»¾

���{�Wv��£���uw��{���Ó�{�7���{�{w3�������&�3�����3�����£�{�����u� Ê,U ��º_w7Á�w7�7ÕO�W���¶���\¸bw3ºZ�£���{s��W���4�3���u�{���Ow3�k��s�w�w3��w7���{���W�����£�{���Å ��ÐOº_w7�¶�H���{�W����w3v ���u���{suw.���Mv$v$w����{����x ÆdÅ �£�u���{�X����sF�£�u��w7Á�w3�Í�{�$�{suw3���������&���{wV���§�������u�¶w7v$�º��¶�{sF�W���¶�0����wÓ���W��w3�{¸K���3wV7�¤�¤�9 Êrks�w��u�{wV��������w7�»��w7�M¾ Ý�Ý r¼���7��w3��w3�������¶�W�W7�¤V¨�9ÒÕ����$���Ï��w3���u�����¶ÁWw��W�3�3w3��w3�����{������v$w��{su�M�ÞÕ����h����v$�u���{wV�

���$�����4���������W����s��¶�j}MwV�»�{�����Í¡ Ê ¤ Ê?4@�X YZO�M4[*E\CF] J^C`_*a�bcH�b\M�arksuw��{w7���£�{�����u�{s������]w���º�w3w7�F�{s�w��3���{��w3�X�§�{��������w��Ow7�u�{�Ï���0d$e����u���{s�w��3�����{wV���]���B�O�¶�u�\���u�O�B��w7���]�£¾��w3�X�{���£�gfR�����Ó�����B�O�u�»���¶�u��w7�MÁX��������v$w3�X�����Q����Á�w3���M���{suw4�W�B���{�Ͼï�������������£���u�{��ÐO��v$�£�{��������¸ Å ��ÐOº_w7�¶�wV�X�u�����¶�W�u�*7¶¤Vª�Õ3¤7¢:9 h

ikjmlh f&n^oqp0o h

i d`e ���rtsvu Ä ¤ Érksuw<¸b�W�{ºk�£���&�u�{�W���¶w7v����W�u�{�������k��¸��3�����3�������{�����Wf ����Á�w7�8d e �£�u� l Ê?4@�w xyCFa^CzO�G{EAbA|`CFJ~}�CzG{J�]�M�J�CFEÑ w4�W���¶�$���W�u�{���Ow7�d����w7�3w3º�����w4�3���u�������X�_���W�u�O�u���{��ÁX�¶���\s�w7�W�$v\�O�Ow7���7ÕXº��Ï��s0�O���]w7�{w7�W�������B�O�u�»���¶ÁM�¶�{��w7��3�����{wV���]���B�O�¶�u���{���O� �@w3��w3�X���{���{�{��w����M�BwV� Ê }M�B��s�v$�O�Ow3���<�7�£�Ì�Bw$���W�u�����{�B�»�{wV�j��w7�����¶��� Ä �£�¶�{su�����Ws���£�]���������u�{�¶� É ¸b�{�Wv��{w3��v$w7�W��w7� Å ��yk������� Êrks�w.���{w7ÁM�¶�W�u�4�£�u���{�X����s�wV��7¶¤WÕ�¡�Õ3¤V¡ T ¤���9@su��Á�w��u�{w7�j�0����v$���¶w.�����Ww3��w7��v\�O�Ow7� Ä Ý �����u�{w&¤WÕu��w�¸ö� É»ÊU ��º_w7Á�w7�7Õk�¶�������3�¶wV�£�&��su���F�¼��w7���§s�wV��� Ä Ý ��������w ¤WÕ4v$���u�O�¶w É ���&�����]�������W���7�£���¶�µv\�W�{wÌ�¶�X���{���3�£�{w Ê

ÿ)ÿ â�� ������

Page 7: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¢ ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

������� ������ � �� �� �

���������

� �� �

� �

���! #"

��$��%

& $ %

Ý ��������w§¤�'Hr)���W�O�Ï���¶�W�u�£������ÕV�{s�w�s�wV�������Hv$�O�Ow7�¶wV�.�����§�{w����£¸B��w7���{wV���{w7�������u� Ä ��w�¸ö� É Õ�º�su�¶��w_�<�{wV�£�Ws�w7�W����<v.�u��sÌv\�W�{w\���Wv\�u�¶���3�£�{w7� Ä v$���u�O�¶wWÕ@�{���£�u�{Á�w7�����£�)���O��¸b�{�Wv �{s�w)(§����������w U ��v��£�Ì���{����w7��� É»Ê rks�wv$�O�Ow7�Q�������]�W�{w7�Ísuw3��w$�W�{�{��v$w7�Ó�u�¶wV��w3º����{w$�3���u�������X���3���u���u�»���¶ÁM�¶����ÕHº��¶�{sÔ���{���¶�{���£���j�u�������Ï���¶�W���¶�u�Ä �{����sX� É»Ê

rksuw������Ww3��w7�Ív$�O�Ow7�Q¸K�£�������{�F¸b���.w�Ð��£v$����w$�{�jv$�O�Ow3�Q�{s�w��W�Bw7���¶�u�W������w7�{w3�X�����½�{s�w&�{ËM���¶� Ä w3�Ww7� É Õ�W�$�{s�w$���u�u�»���¶�W�´�Bw3��º_w7w3�µ�{s�wj��º��½s�w3v$�����us�w3��w7�$ÁM���À�{s�wÍ�3�������u���3���¶���W�{��vFÕd�W�$�{s�w��������¶� �£�B��{ËM�����<�Ow3¸bw7�»���0�7�£�u�{w7�¹�M�¹�{������w7�{� Ê rks�w�w��@w7�»���£¸��{�u��s´�Ow�¸bwV�»�������¹��s�w����O�3�£��� S7�����¶�W�´���3�3����������7�£�Í�]w$���������¶¿B�7�£�X�&7�¤#*:9 Ê�Ñ w��{suw3��w�¸b����w.�u�{�W�B�X��w\�&��w7ºZ¸b����v.���������¶�W�F�{su�£�Ó�7�£�Ìsu�£�u���¶w\�£�����Ï�������{��B�£�{�{�¶�{�����������$�£¸)�{s�w��{�u���3wÓ�¶�X�{�$ÁW������v$w7�����W�{��w7�{�]���u�O�����.�{�&�O���]w7�{w7�X���������{��wÓ���M�BwV� ÊÑ w0���W�u�{���Ow7�.�F����w7�3w3º�����w0�3���u�������X�.�����B�O�u�»���¶ÁM�¶����s�wV���Àv$�O�Ow3�_�u�£�{�{�¶�{�����������F��s�w0�{�u���3w��¶�X�{�

+-,/.&�����K�������X�.�����u��w7���{w7�½�W�Bw7�Ô��w3���103254�u�u�u�403687�2\���u��sÀ��su���:9 6;=< 2 0 ;?> 036@7A2'o r s Ê rks�wÁW������v$w7�:032B4�u�u�u#4�036�º��¶�{s �����B�O�u�»���¶ÁM�¶�{��w7� l ; �3�����{wV���]���u�À���Ìsuw7���¼�{���{�{��wV�\���u� ���{w��]�����u��w7��Õº�su�¶��wC036@7A2��{w7���{wV��w7�X������s�w<���¶�VÕWsB���d�3���u���u�»���¶ÁM�¶��� l 687�2�oED��£�u�$w3ÐX��w3�u�u�Q���.���O¿u���¶��� Ä Ý �¶�W����w�¤�Õ������sX� ÉÝ ���4wV����sF�u�£���F0 ; 4�08GF�{s�w7�¶�<����v$v$���F�]�����B���£���IH ; G;oKJL0 ;1M JL08G�����w3�¶�{suw3�§w7v$�O�����W�4�3����]w§�OwV���Wv\�]�W�{w7�\���X�{����¿u���¶�{w§�X�uv.�]w3�d��¸@�3�����uw7�»��w7�\��w3���u�����Q�����{¸K���3w7��NVÕW�{s�w7�¶�Q�u����v$�����POÍ�B�W�¶�X���¶���

�M�0��w�¿u���¶�{������¸b����vQ0 ; ���R08G Ê � �£��wÓ�{su�£�4w7�W��sIH ; G����k��w3���u�����k���¶v$�X����w3ÁWw3���Mº�s�w3��w Ê?4@TS U M�a^a^CAV$H�CFJ-W G�X�EAGYV CZX�O�M4[*E\CF]\[}O�¶�u�3w4��s�w<�3���u�O�B�»�{��ÁM�Ï���\���_�{�����]�W�{w7�\���.�]w§����w7�3w3º�����w§�3���u�������X�7ÕXº_w§�7�£�$¸K�W�»�{�W�d�W�O� l ¸b����v Ä ¤ É �{��M��w3���j�&�{w��§��¸ � �£�������3w�����������w3v��4�3������wV�»��w7�F�M���]���u�u���£�����3���u���Ï���¶�W�u����v\�]�W�{�������{suw����W�X�{���X�u�Ï�����¸)�]�£��w3�X�{���£��f ���u�F�������{w7�X��]8o l J_^�f5���3�{�X�{�d�{s�w����X�{w7��¸K�W��w7�#'

l ;a` f oqp ���F�£����0 ; Ä ¨ Éb fdc#e5f�gVo b ]_c#e5f�g ohD �W�����¶��H ; G u Ä ª É

i çÌñÃõ�äbå�ô�ð�ákj&êëñ)ð�æ»âVâ�á�ð�ã`á�ì�ê åuå¶æ»ä�á�ô�ðÒú�è�ô�êëä�æ�åBè£æ»êëâ3ã`ñPlnmporqsj�ãÃúVá�äKá�êëñ�ô�è�ô�ãÃú�êëâtj�î£áïã ��á�á�âslÀô�âVì1o���çñÃõ�äbå�ô�ð�áhêëñÞäKá�ø»õVé ô�ä�ê å�ô�ãHá�ô�ðÒúÓè£æ»êëâ�ã)ê ãHð�ô�â�î£áhéëæ3ð�ô�éëé í�ô�èVè�ä`ævuVê � ô�ã`á�ìÓî�í�ôdú3í7è£á�ä`è�é ô�âVá��

'(!�ÿ 'öç

Page 8: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¡

?4@�� ����]�]�C`H�Ogb�V��NM��^a�J�GtO��EACF]�CFa,H � C`H�}�M�Jrksuw½�{�Mv$v\w3�{�����Ì�]�����u�u�£���´w3��w3v$w3�X�Fv\w3�{s��O� Ä x ÆdÅ�É 7먣©:9Ó�{���£�u��¸b����v��&��s�w¼�O���]w7�{w7�W�������Ów7�X�u��¾���¶�W�u� Ä ¨ É ¸b�W��f ��� r s ���W���§���{w��H��¸M���X�{w7�����£�£wV�W�B���{�����B��º��Ï��s�����ËM����º��u�3f �£�u� ]����Ó�{suwQ�B�W���u�����{��w7�H ; G ÕO��w7�O�B�������\�{s�w��O��v$w3�u�{�¶�W�u�£���¶���&�£¸)�{s�w��������u�¶w7v Ê rks�w7�¶�4����������w�����SV���{�������¶wV�����������\�{�Mv$v\w3�{������{�O����w3v5�£¸Þ������w7���_wV�W�B���{�����B� Ê rks�wÓ���Mv$v$w��{�����§x ÆdÅ ¸b�W�{v��������{�����0���_v$����w<���Wv$���¶���3�£�{wV�����O�kv$����w�W�3�3�����£�{wk�£�u���M��v$w3�����7�£���¶������������w_��su�£���{suw4�£�¶�{w3���u�£�{��Á�wk�O�����u�¶w3¾Ã������w7�)�£�B�\�{��������w�¾Ò�����Ww3��x Æ_Å 7ë¨O¤�9 Êrksuw������¶�W�¶�u���h���Mv$v$w��{������x Æ_Å º��W��¸b����v.��������w7��¸b������s�w������Ww3��w7��v\�O�Ow7�^7ë¨O¤�9ÃÕÞº�w&�{su�£���Q����Á�w$�¶���ÁWw3���������0¸b���k��s�w���w7��w3���£����S7w7�0s�w7�W�0v$�O�Ow3�H�¶�Í}MwV�»�{�����j¨ Ê?4@�� ��G�[ HD]��^E\H�bvX"M�E\C ]�C`H�}^M Jrksuw Ý �W��� Å ���Ï���¶�]����w Å w��{su�M� Ä Ý ÅÍÅÍÉ 7 ªuÕ�¢uÕ < Õ�*�94���0�Ôs���w3���£����s����3���4�£��������ÐO�¶v��£�{����� �£���������¶�{s�vº�su����s��{�������¶¿B�3���X�{������w7�O�B��w7�4�{s�w��{��v$w����u�jv$w3v$�����F����v$����w�ÐO�¶���F�{wV�W�u�¶��w7��¸b�W�§��s�w.��w7�{�����O�{�����j��¸��s�wQ���¶�uw7�£�Þ�{�O����w3vR�£¸Mw7�X�u�£�{�����u���u�{�O�O�u�3w7���M�4��s�wdx ÆdÅ½Ê rH�4�7�£������������w��{s�wQv��£�{���ÏÐM¾ÒÁ�w7���{�W�]�u�{�O�O�u������uw3w7��w7���X���{s�w��¶�{w7���£�{��Á�wk���W�¶ÁWw3�VÕ��Ï�h���£Ë�wV�����OÁ��£�X���£��w��£¸B�{s�w�¸K�W�»�h�{sB���h�¶�X��w3�����»���¶�W���]w���º�w3w7�\�{���{¸K���3ww7�¶w7v$w3�X���$�OwV����w7���{w7�\�X������ËX���Ôº��¶�{s �O���������u��w Ê rks�w��¶���u��w3�B��wF�£¸Ó���W�{�W���¼�£¸<w3��w3v$w3�X���$º�su����sµ����{�OÎ&����w3�X���¶�½¸K����¸b����v �Ì�]�����W����¸§�¶�X��w3��w7���$�7�£� �]wFw�ÐO����w7����wV�Ô�������B�£���¶�½���u����w7�W�¼�£¸��¶�B�O�¶ÁM���O�u���¶��� Êrksu�����OwV����w7�W��wV�d��s�wÓ��Á�w7�����¶�@���Wv\�u�¶w3ÐM�¶���&��¸��3�����3�������{�����\�{suw�v��£�{���ÏÐM¾ÒÁ�w7���{�W�_�����O�O�u���4�{w7���{wV��w7�X�{�������s�wÓ�u�£����º����{w<���X�{w7���W�»�{�����B�_�]w���º�w3w7� + w3��w3v$w3�X����¸b�{�Wv���� +������{����� +�� Ê z<���4�W���£�O�������¶�W�0�£¸)�{s�wÝ ÅÍÅ ���¶�W�����Ï��s�v ���§�Ow7�������¶�]w7�����j}Ow7�»���¶�W��ª Ê

� !\#&%'%'���)�� 3*�+·���/����.�H#~12��4%'�4/�� �����������rksuw.���Mv$v$w����{����x ÆdÅ �u�{w7� Ç ��w3w7�j���Ow7�X�{�¶�{��w7�����&���W�XÁWw3�{���{s�w��O� �@w3��w3�X��������¸b����v Ä ¨ É ���X�{�0���{w��§��¸���X�{w7�����£��w7�X�u�£�{�����u� Ê rks������WsF�Ï���4���Wv\�u�¶w3�{w.�Ow7�{��Á������¶�W�����§��Á����¶���£����wÓ�¶� 7ë¨O¤�9ÃÕ�º�w�������ÁWw3���¶�<�£�X�£����u�{��w��u�WÕ�v$��ËM�¶���4�{s�w��£���������u�{������wQ��su�£���Ww7�@���<���¶����º�¸b�W�H��s�wd�Ww3��w7�����¶� S3wV��s�w7�W��v$�M��w3� Ä }Mw7���{�����&¤ Ê ª É Õ�W���£���{wV���O��su�¶�X�{wV���¶� 7 ¨W¨�9 ÊX�@A? ��O�CzC �5[�X�GYV C [ M,E!��H�bAM�a� w��k�u�_¿u�����k�����B�����Ow3�k�\���W�¶�O���¶�W�&�£¸ Ä ¨ É º��¶�{s��W�O�4���W�u�����Ow7�{��������s�w<�]���u�u���£�������W�u�O�¶�{�����u� Ä ª É ÕO���_�¶¸º�wÓº_w7�{wÓ�������F�¶�O¿B���Ï��w����B����wÓ��¸����W�u�����£�X�4���W�u�O�u���{��ÁM�Ï��� ÊhÑ w��{su�£���Þ�3���¶�

" ; o$# j p ;&%(' n*) l ; Ä ¢ É�j¸b�{w7w�¾ï���u�W��w��{�����O�{�����Ô��¸ l ; ` " ; o p ; �¶�¼wV����s 0 ; º��¶�{s l ;,+o D ÊjÑ w&su��ÁWw&�Ow7�3��v$�B�X��wV�À�{s�w�{���u���3w7����� p;o.- ; p ; Õ��{�u��s&��su����¸b�����£��� / +0 0 ; Õgp ; ��/1�3o D Ê rks�w§¸b�u�u�»���¶�W� ' �324�3o . ) j6587:9 2 9 n���_�{s�w Ç ��w3w3�0¸b���u���{�������£¸Þ��s�w � �£�������3�����&���]w3��������� Ê yÒ��¸b��������º4�Q¸b����v5��s�wÓ���{�W�Bw7�����¶wV�d��¸Þ�{suw Ç ��w3w7�¸b�u�u�»���¶�W� 7ë¨O¤�9��{su�£� " ; �{�£�{����¿Bw7� Ä ¨ É»Êrks�w&¸b�{w7w0���B����w&�{�����O���¶�W� " ; �{�£�{����¿uwV�Ó�{suw<;\S7w3���Í�������O¿u���¶���8= Ä �����{w7��> ���y7 ¨�¤�9 É ���W�u�O�¶�{�����ÞÕº�su����s�w3�u�{����w7����su��� " ; ���������W����suw7�,S3w3���$�¶��¿u���¶�{w3���&¸K���k¸b�{�Wv��£���Þ�{��������wV� Êyï�r0 6@7A2 Ä �£��� É Õ)º�suw3��w l 6@7A2 o D�Õ�º_w&��su�X�X��w " 6@7A2 o D�Õ��FÁ��£�����Ô�{�����O���¶�W�À��¸k�{s�w0���W�������W�wV�X�u�����¶�W��º�s�����s����4�����{�$����v$�u�£�{������w�º��¶�{s���s�w��B�W���u�����{�������B�O�Ï���¶�W�?> Ê

ÿ)ÿ â�� ������

Page 9: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

R ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

X�@�X U M�a,H�b a(��M��F[�� M4Og] M��WH�}^C [���] ]�C`H�OgbvV�� �� w����u�$����º �Ow7���������BwFs���º��{�Ô���W�XÁWw3�{�.��s�wj�u�£�{�{���£���O���@w3��w3�X�{���£��wV�W�B���{�����B� Ä ¨ É Õ����u�µ�B�W���u�����{��3���u���Ï���¶�W�u� Ä ª É �¶�X�{�\��s�w��¶�X��w3�����£�]¸b�W�{v������£�{����� Ê yï�Fw7�W��s 0 ; º�w��Ow�¿u�uw��.¸b�u�u�»���¶�W�

� ; o�� f$# " ; ��� 0 ;# " ; w7���{w3º�suw3��w)4Ä ¡ É

sB�£��v\�W����� Ä ` � ; o D É ��� r s�� JL0 ; �£�u�0����v$�������j�������W������s�w$�B�W���u�����{� JL0 ; Ä �]w���º�w3w7� 0 ; �£�B�r s�� 0 ; É �W�3�3�����O�¶�u���{�� � ;���� f o f ; ���u� l ; � J_^ � ;���� f������o ] ; ÕOº�s�w7�{w"f ; �����{suw���w7���{�����»�{�����0�£¸tf�W�j�{suw��]�����B���£��� Ê$Ä rks�w<����v$����¸ pÀ�]w���º�w3w3� 0 ; ���u� 08G������Ow�¿u�uw7���W��� p e5f�g o p ;e5f�g # p Ge5f�g Õº�suw3��w8p ;e5f�g Õ���w7�{� Ê p Ge f�g Õ����{w$��s�w0����v\�¶�����£¸^pµº�s�w7�¼�£�������W�W��s������j�j�B�W�¶�X�.�W�½�{s�w����u��¸K�W��w H ; G¸b����v 0 ; Õ���w7�{� Ê 08Gzu É� �W�u�����Ow7�4�{suw.���u��¸K�W��wsH ; Go�� Ê Ý �������7Õ]º�w.�£���u�¶���{s�w���w3����w7�{w3�X�����{�����jrks�w7����w3v Ä�> ���Bw7�u�O�¶Ð¨ É ���\�7�£������������w§��s�wÓ�¶��v$�Ï����¸ � ; oqf # " ; ¸b�{�Wv 0 ; ����º������u���dÕO�B���������{s�wÓÁ��£����w7����¸3f �£�u�s]0�W����¶�@��s�w��]�����u�u�£���RJL0 ; Õ���� J 0 ; '

j f # " ; n��� o � � ; �! ##"$ < e f�% j'& � $ b � ; c $ #)( � $ b J ^ � ; c $ n o f �! #*"$ < e5f�% j+& � $ f $ # l � 2; ( � $ ] $ nº�suw3��w & ���u�,($�£��w���s�w<�O�W������w�¾��{wV��� Ê �{�¶���W�¶w3¾Ã������w7�h�B���{w7�W�������u���X�{w3�W���������]w3������������7ë¡OÕ�¨�¤�9 Ä ��w7w§�£���{�> ���]w3�u�O�¶Ð�¤ É ÕM�{suwÓ�{���u���������O���k���u�O���3�£�{w<�{s�wÓ���£����w��k�£�u���{��������w������{¸K���3w7�_�{suw3�&�W�Bw7���£�{w����B�W�ÞÕ��£�B�º�w��{��v ��Á�w7�§�£�����{w7�������u�C0.-�����������w7�X�4�{� 0 ; Ê }Mw7�3���u�ÞÕ]º�w.������������s�w$rks�w3�W�{w7v����&�{suw����¶v$�¶����¸� G oqf # " G ¸b����vQ0 G �{��ºk�£�����/�n'j f # " G n 7� o � � G �! , "$ < e g0% j'& � $ b � G c $ #)( � $ b J ^ � G c $ n o f �! , "$ < e g0%�1 & � $ f $ # l � 2G ( � $ ] $32º�suw3��w.��s�w&�������À��su�£�u��w\�����7�£�u�{w7���X�Í�{s�w ;��¶�Mºk�£���4=.������w3�X���£�{�����Í��¸4� º��Ï��s½�{wV���]w7�������I0 G65 �{su�����sB�£���Ww7�d�{s�wÓ���������£¸Þ��s�wÓ������v��£�@�Ow3����Á��£�{��Á�wdJ ^ ���XÁW����Á�wV���¶� & �£�B�1] Ê rksu����ËO�_�{���{s�w����W�X�{���X�u�Ï�����¸ " ; Õ " G ÕB�£�u�f5���3�{�X�{�4�Ôº_w��7�£�F�������{�����»�k��s�wÓ��º_�$����w3ÁM�����u��wV�W�B���{�����B��'

j " G # " ; n � o,# ! & �7� f � , � l � 2G , l � 2; �'( �7� ] � #8"9 $;: <7= j & � $ f $ # l � 2< ( � $ ] $ n Ä R ɺ��¶�{s ��>s4@? � 0)A ��H ; - 4CB �CDFE +oHG4I > A ��H - GA4@G �FDFE +oJB/I Ê }M�¶v$�������{����Õ��X��w3Á��£���u�£�{����� j�l J_^ � nk���$�]�£��s�{���Ow7�k��¸;�½º�w��Ww�� 'j l G J ^ " G # l ; J ^ " ; n � o$# � l ; , l G �'K �7� f � , ! &,L�7� ] � # "9 $;: <7= � l < K � $ f $ # &,L� $ ] $ � Äm<£Éº��¶�{sÍ�{s�w\�{��v\w �M>s4@? � 椄 w�su��Á�w��W�O�����¶�uw7�j�0�{w��<�£¸Qw7�X�u�£�{�����u�4¸b����f �£�B�?]j�{sB���<v��u���<s��W���F�W����¶���{����¸K�W��wV� Ê � �£��w��{sB�����{���u��w l 6@7A2 o D&�{s�w �u��º ]��W�����W���k�{s�w�w�ÐM�{w7�{�B�£�)�{���{¸K���3w7�4���CD0�£�B�F�{s�w�3�����{wV���]���B�O�¶�u���{w7�{v��4�������£���]w7��� Ê

'(!�ÿ 'öç

Page 10: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 <

X�@�w � bv[!V O�C`H�b\|`G3H�b\M,a M�� ��a�P�a�M�K aF[ G{a^J [ �^O � G�V C�[rksuw��{���{¸K����wV� H ; G �£��w0���{���£���W�������{wV��Õhº��¶�{s¹Á�w3�{�{����wV�$����v$v$���¼�{�Ô��w7Á�w7�����_�{����¸K�W��wV�\�{su���{wV� Ê rH��B�£���£�u�3w�����������ÐM��v������¶�W�&w3���{�W���7Õ£��s�w��]�£�{w7�X�{���£�zf-�����O��������w��{� S3wV�&�W�0��s�w������{¸K���3w7���u�{�¶�u������w7�3w3º�����w������w7���4��¤Ów3��w3v$w3�X�����������.�£�u�0�{suw �u��º ]F�u�{�����\�{s�w�����w7�3w3º�����w��3���u�������W�4�Q©$w7�¶w7v$w3�X������� �XÕO�¶��Ë�w���;7 ¨�¤�9 U ��º�w3Á�w7�7Õ����u�¶��Ë�w��{suw� � Õ���s�w���¤�¸b���u���{�����u��� � �{�u�����{w3Á�w7���������{���£�u����w7�)º�s�����s\v$�¶�WsX���]w3����������j�O� �@w3��w3�X�.�{���{¸K����wV� Ê�Ñ w&�{su�£�����{s�w7�{w3¸b����w��Ow7�3��v$�B�X��w\��s�w3v;����� � o - ��� 9 � = ���� � ÕHwV����sÀ�£¸��{s�w�B�£�{�{���£�M¸b���u���{�����u������ � �{�����]���{�{w7�\�W���¶�����$���uw Ä ������w3�X�{wV� É �{������������w�� � ���£�u�$suw3�u�3w��Bw7�¶�W���������Ó����������$����w��{����¸K�W��w Ê�Ñ w��£�u���{��ÐO��v����{w<�{suwt+�o +�� , +��d���uËX�u��º��u�����

f o 6��"� < 2 "� � 9 � =�� � � � ��� ���u� ]8o 6��" � < 2�� � � Ä � ɺ�suw3��wd+��XÕ��{wV��� Ê +��d���{w��{suwÓ�{�£���£���M��v��Bw7���k��¸�ÁWw3�{�{����w7�7ÕM�{wV��� Ê �{������������w7�7ÕO�������W���k�£���Þ���u��¸K�W��w7� ÊX�@TS � bv[!V O�C`H�b\|`G3H�b\M,a M��WH�}^CqC� (�^G�H�bAM�a�[!<������� � Ç �£��w3��ËM�¶�=���������W����sHÕ�º�wj���£Ë�wÌ�{�7�£���£�&�����O�O�u�������£¸��]�£�{sD�����Ow7�0�£¸ Äm<£É º��Ï��sD��¤Ì�u���{���¸b�u�u�»���¶�W�u�"��#h�£�u����¸)�]�£�{sj�{����w7�k�£¸ Ä R É º��¶�{sj�Q©$�u�W������¸b���u���{�����u��%$�Õ��W� H ; G8o �8'

& � l GaJ_^ " G # l ; J_^ " ; n4'��#)(* +�, -.0/o - #1� 9 # = 1 - � �

� -��� 9 � = E2#3� � � j54 n # �3��� , - � � �76 #1� � j58 L n # �3� 2 Ä * É

& � " G # " ; ��49%$ (* +:, -;=<o.- � �

� -� � 9 � = ?>$ � � j 8 n $ � � , - � � �@? $ � j A n $ � u Ä ¤7© É

rksuwÓ����������w�����S7w7�����]w3�����{�W�kv$�£�{�����3w7�����{wj 4 � #3� � � o & K � $ ���� � 45���# � ( Ä ¤�¤ ÉjBA � $ � o & ( � $ ���4' $ ( Ä ¤V¨ Éj 8 n $ � � o j 8 L n � � $ o & & � $ �C�� � 4'�$ ( o & & L$ � %$4'���� � ( 4 Ä ¤7ª É

º�suw3��w���#�ÕD%$\���{w\�Ow�¿B��w7�����Í��s�w$�����{¸K���3w�> o H < : - �W� H - : < 4 ? o B84@GdÕ�0 - �W�������3w3�X�<���I0 < �£�B���s�w����W�u�����£�X�������{wÓ�W�¶ÁWw3���X� 'EE#1� � � 6 #3� � ?F$ � � ? $ � ���W�u�O�¶�{�����

# � l ; , l G � ! # ! � l � 2; , l � 2G � > oH�# l ; . # . # l � 2; > oZH ; -B4FE +oHG# l ; # . . # l � 2; > oZH - ; 4FE +oHG# l G . # . # l � 2G > oZH - G 4FE +oHB# l G # . . # l � 2G > oZHaG - 4FE +oHBD D D D �£��s�w3��º�����w

Ä ¤3¢ É

ÿ)ÿ â�� ������

Page 11: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

� ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

rksuw�����Á����X���£�Ww��£¸k�{su���\�O���{�3�{w3�{� S7�����¶�W�Ô���\�j�W�X�O�½�u�������u��w0�£¸k�{s�w���w3���u�����{�¶���Í�£¸���s�w0���X�{w7�������{wV���w3��v��<���u�j��s�w\�{�Mv$v\w3�{���j�£�u�Í�{�u�����{�Ï�����£¸d�{s�w$���O���{w7v,v$�£�{���ÏÐ���Õ�������ÁM����w7���{sB���Óº_w������Ow3�<�{s�wwV�X�u�����¶�W�u�k���kº����Ï�{�{w3�j���B��ÁWw�Õ Ä * É Õ Ä ¤7© É ���u���{s�w����uËX�u��º��u�k���k����� � /�� �� Õ Ä � É»Êrks�w\�O���u���¶w��¶�X��w3�����£���4���MÁ��W�¶ÁWw7�F���Íw3Á��£���u�£�{�������{suw�w7�¶w7v\w7�X���<�£¸Qv������{����wV� 8 L Õ 8 Õ A ���{w��O����w�B�£�{�{���0�£�u���¶�X�����7�£���¶� 7�¤V¡�Õ�¨�ª�Õ�¨£¢:9 5 ��s�w������{w3�����X�{w7�����£�����£��wÓ�7�£������������w7���M��v$w3�����7�£���¶�&�B�������F¤�R£¾Ã�]�����X����{���£�u����wd�X�u���O����������wQ�{�u�¶w�7 ¨W¡�9 Ê)Æ ��w3v$w3�X�����<�£¸u�{s�w�� U }.�£��w_�3�����3�������{wV���M���£�.�W���£�O���¶ÁWwd�M��v$w3�����3�£��X�u�W�O�����{�u�{w��u�{�¶���\��s�w � �����u�W��Ë�R�¶�������£���v7 ¨ R�9 Ê¥<��������w�����S7w7�����]w3��������� 4 �����£���u�{��ÐO��v$�£�{wV�&�u�{�¶�u����s�w���w3�����{����� Ä 7먣©:9ÃÕ rks�w7����w3v ª Ê ª Ê ¨ É '

& K�� �# � 45� �$ � ( o,# � � # ��� O�#!� ��� $ ��� O $ � & ( %$'��49�#3� ( Ä ¤V¡ ɺ�suw3��w��{suw��u�������������4¤��u�W�����§¸b���u�»���¶�W�u� � #1� � / � o j � #1� i / , B #3� n2 #1� � /1���£�B� � $'� ��/ � o j � $'� i / ,B�$ � n %$ � ��/1�d�£��wÓ�����u�B�W����w7���������0�W�0���{���£���W�¶wV��� � �{wV��� Ê�� � º��¶�{sF���W�{v��£��� O�# � Õ OD$ � Ê��� ° ×M×��)× ®7¯ × Ü �b± ØB× °�®}O�����]�W�{w��{suw�s�wV����v\�O�Ow7���{���3���u�{�������£¸Q��s��{w7w.��wV����w7�������Ww3���3Õ]�Ow3�����{wV� .4 ! 4�� Ê rks�w��{�O����w3v Ä * É ÕÄ ¤7© É º����¶�{w7�������

�! #"%$& ('*) +-,., /10&2(+�,32 4 /6587 ß ,., 7 ß ,32/10&2(+�2%, � #'*$9 (:;) +�2.2</109=#+�23= 7 ß2%, /6587 ß2.24 /109=#+>=%2 09=?+@=.= 4 7 ß=%2/65A7 ,., 7 ,32 4 �! CB "" $& AB "' )ED ,., /10�F ,2 D ,327G2%, /6587�2.2 7G23= /10�F ,2 DH2%, �! B "" $& B "' )EDI2.2J;KKKKLM N;O PQR ������

S ,S 2S =T ,T 2J;KKKKLM N;O PUV ������

W ,W 2W =X ,X 2J;KKKKLM N*O PY

º�suw3��w�/ ; Õ-� ; �£��w���s�w�����ËM����º��Ì�{w7�{v���¸b����v Ä � É �3�����{wV���]���u���¶�����{����s�w&���u��¸K�W��w B Ê }O�¶v$�������{����ÕZ ; Õ[ ; �£��w§��s�w����W�{��w7�{�B�W�u�O�����$���W�����3w§��w3��v���¸b�{�Wv Ä * É Õ Ä ¤7© É�Êrks�w"S7w3���$���¶�O��ËO�����Wv$wÓ¸b�{�Wv �{s�w�¸K���»����su���4������w7����¤��£�B��ª����\�u�£���{�W�u��sj�$����v$v$���FÁW������v$w���u�0�{sM�u�4�O�$�����4�¶�X��w3�����»� Ê�·Û ° ×�\]×I�)× °�± �d¯ Û^]dÛ � Û_\BØyÒ¸H�{s�w<�{�W�B�W�¶�W���$����v$����w§�Ww3��w7�����`ÕXº�w<�3���0���\�������Ww3�d�u�����X��w7�¶�����Ow7�W���ϸb���u��ËM����º��u��º��Ï��s��{���{¸K����wV� Êrksuw������M��ËX¾ï�O���£���W�u�£�����{���u�»������w����§�¶�X���§�u�O�4�{suw.���Mv$v$w����{�F�£�u����s�w���Á�w7�����¶�@¸b�W���{¾Ã�����O��Ë����{���u�»������w��¸G�¹�{w7v��£��� ' `

4 8 L8 Aba* +:, -c` /� a* +�, -d o

` Z [ a* +�, -e u Ä ¤�R É

Ý ����w3ÐO��v$���¶wWÕ����W�u�����Ow7�k�{s�w�v$�O�Ow3�H�¶� Ý �¶�W����w�¨�Õ����W�u�������{�����$�£¸���º_�$su���ϸö¾ï���us�w3��w7�3H@f��£�u� H@gkº��¶�{s��s�w&���£v$w$���W�O�¶�B�3ÕÞw7�u�����W�{�����FÁ�������v$w7�Óº��¶�{sÔ�3���u�O�B�»�{��ÁM�Ï���¶wV� l 2��£�u� l � ÕH�W�¶��wV�Ì�{���Ww���s�w3�����¶�W����������{ËrH@h.���u�Ô���u�����u�OwV�¼º��¶�{s���� �������{�Ww3�.�{��s�w7�{w H�i0w7�u�����W�{�������ÍÁW������v$w&º��¶�{s �3���u�O�B�»�{��ÁM�Ï��� l s Õ�¶���{w3�¶¸Q�������3w7�F�����&���W�O¾ï�����B�O�u�»���¶ÁWw�v$w7�O����v Ê yï�j��s����<�7���{w�ÕB�{s�w\�����uv$�£�{�����3w7��sB��Á�w���s�w�¸b�W�¶����º��¶�u�

'(!�ÿ 'öç

Page 12: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 *

���

���

���

���

� ���

��

Ý �¶�W����w�¨�' Æ Ð��£v$����w��£¸h���Ww3��w7�����`ÕM���W�O¾Ò��w7���{wV�&�����]��������� Ê

���{���u���{����w'

4 o����� l 2 , l s � 4 f f # l s 4 f g # l 2 4 f h # l s 4 f i# l s 4 g3f � l � , l s � 4 g3g # l � 4 g3h # l s 4 g3i# l 2 4 h.f # l � 4 h.g � l 2 , l � � 4 h.h D# l s 4 i f # l s 4 i g D l s 4 i i

�����

8 o�� # ! 8 f f 8 f g 8 f h 8 f i8 g3f # ! 8 g3g 8 g3h 8 g3i

8 h.f 8 h.g # ! 8 h.h D��

���u�A o

�� � l � 22 , l � 2s � A f f # l � 2s A f g # l � 22 A f h# l � 2s A g3f � l � 2� , l � 2s � A g3g # l � 2� A g3h# l � 22 A h.f # l � 2� A h.g � l � 22 , l � 2� � A h.h�� u

X�@�� � C��G3H�b\M�a G{a^J X�O�CAV M�a�J^b\H�bAM�a^b a��rksuw�v����{���¶Ð��´���<�Ow�¿B��w7�j�M� Ä ¤�R É sB���4��ËWw3����w3�H�£¸d�O��v$w3�u�{�¶�W�Ô¤�ÕB�{w7���£�{w7�������{suw��¶�B�Ow���w3��v\���u�W�����¸Þ�{suwÓ���u�{�����O�{w<�¶w7Á�w3���_�£¸H��s�w��B���{w3�X�������`f Ê !§�{�¶�u�\�Ow �B�����¶�W� 7ë¨ < Õ�¨:�:9]º�w<�W�O�����¶���.��w3�W�������_v��£�{���ÏÐ� � o � ,���� ����� Ä ¤ <£Éº�suw3��w � ����� ��su�X�X��wV�Q¸b�W�_w3Ð��£v$����w������W�¶�O���¶�W�0º��¶�{s�v\wV�£�������{¸K���3w§�]�£��w3�X�{���£� S3w7�{�\�£�u�!� ��������v����¶��3���u�������X����su�W�{w3�&���&�£���u�{��ÐO��v$�£�{w7�¶�$v���ÐO��v\� S3w���s�w����W�u�O�¶�{�����������$�£¸ � � Êÿ)ÿ â�� ������

Page 13: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¤V© ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

rks�wÓv������{�¶Ð � �������{s�w7���u�{wV�����B�O�Ï���¶�W��w7�0�M�&�Ï�����O���£���W�u�£� Ê yï�����{s�w7��º��������7ÕM�¶�u���{wV���0�£¸��{����ÁM�¶�u�� ���Zo �uÕMº�w��{����Á�w�� 8 � � 8 � � 8 � 2 � �3o 8 ��ÕOº�s�w7�{w 8 ���k���O���£�W���u���Bv��£�{���ÏÐ0�{�u��s&��su�����£���Þ�O���£�W���u���w7�¶w7v$w3�X���k��¸ 8 � � 8 �£��w�w7�X�u�£�@���j¤Ó�¶�Fv��£�W���Ï���u�Ow ÊX�@�� � H�CzO�G3H�b���CZ[ M,E���CzOrksuw�v��£�{���ÏÐ �À���h�������u�O�Q�{w7���£�{��Á�w7�¶��º�w3���u���{���u�»�����{wV�L'H�{�¶�B��wk�{suw.K&Õ (@Õ & �¶�X�{w7���W�»���¶�W�u���£�����Ow7�3�{wV���{wº��¶�{s��O�������£�u�3w<�]w���º�w3w7�&�¶�X��w3�����»���¶�u�.w3��w3v$w7�W���3ÕX��s�w<w7�¶w7v$w3�X���_�{w7�u�������Ww�����v����¶��w3����º�����¸b�{�Wv5�{s�w�����������B�£� Ê rks�w3��w�¸b�W�{wWÕÞ�¶�.���.���OÁ��£�X���£��w7���u�<���Í�u�{w��Ï��w3�����{��Á�w$v$w���s��O����¸b�W�.�{����ÁX��������� o � Ê�Ñ wsB��Á�w&�{w3��w7�»��w7�Ì�{suw Å y � � Æ }Ô���¶�W�����Ï��s�v 7ë¨ *:9ÃÕ�º�s�����sÔ�������Ó�{�M����Á����u�u���B����w�v$w3�{s��O�¼�{�¶v$���������{��3�������u�W����wd�W���W�O�¶w7�X�)�£�u���Ow7�{������wV�Ó¸b���h�{�Xv$v$w����{���Q�u�O���u�£����w7�3w7���{���{���¶���]�W�{�Ï���¶ÁWw�¾ï�Ow�¿u�u�Ï��w_v������{����wV� Ê�Q�{wV�����B�O�Ï���¶�W�������$�{wV�O�u��wV�_�{s�w��M��v��Bw7�4�£¸��Ï��w3�����{�����B�k�X���£��������ÐO�¶v��£�{w3���$��º�� Ê

� �0���Þ� � �»�� ��Ì�.�� �������0���rksuw��¶�{w7���£�{��Á�w ÄÃÅ y � � Æ } É v$w��{su�M�À���7��wV�{�{w7�4�{s�w$v������{�¶Ð��=�������F�{su�{�W����sÍv��£�{���ÏÐM¾ÒÁ�w7���{�W�§v.�u�Ï���Ͼ�u�¶���3�£�{�����u� ��� Ê rks�w��3��v$����w�ÐO�¶������¸d������w7v.���������$�{s�w\v������{�¶Ð��D�£�u�j��¸h�{s�w����µv.���¶�{���������7���{������������p+����{Õ@º�s�w3��ws+ ���§�{s�w��{�������)�M��v��Bw7�<��¸Q����ËM����º��u� 椄 �¶�{s��{s�w Ý ÅÍÅ 7 ª�Õ < 9ÒÕu��s�w�v��£�{���ÏÐj�O�Mw7��u�£����w3wV�¼���Ì�]wF¸b����v$w7� w�ÐO�������3�Ï���¶� ���u�µv.���¶�{���������7���{�����B�\���{wF���7��w7�¶w7���£�{w7� Ê Ñ w�¿B�����\���X�{���O�O�u��w��s�w������������¶�W�u���£�B����w7�����£�{w��{suw�Ë�w7�&����w7���k�]w3su�¶�u����s�w Ý ÅÍÅ v$w���s��O��Õ���s�w3�F����w7�{w3�X�k�{s�w����]w7�3�Ï¿B��{��s�w7�{���3���@su�£��v$��������w�ÐO�u�£�B������� Ä }MwV�»�{�����F¢ É �£�u�0�����¶�����k��s�w Ý Å�Å �����������u�{�W���¶w7v Êw�@A? � J�CzG{E bv[ CFJ � � �� w��Q�u�Q���{wV��w7�X����s�w4ËWw3�����Ow7�Ó�]w3su�¶�u����s�w Ý ÅÍÅ 7 < 9 Ê�Ñ w§�O���{s����Q���\¸K�£���{���.���u�������W�»���{w7�{v��h���$�����Ow3��u�£���{�Fs����Ow\�{s�w$v��£���Ì���OwV�����Bw7s����u�Ì�3��v$�������7����w7�j¸b�W�{v������£w Ê.Ñ w\�{suw3�½���]w7�3�����¶����w��{suw\���OwV���<¸b�����s�w ÅjÆdÇ�È£ÆQÆdÇ ����������w3v Ê}M�u���B�X��w&�{su�£��º�w&su��Á�w$�����3�����3�������{w$��s�w0���X�{w7���W�»�{�����½�]w���º�w3w7�½��º_�j�W�{�W���u����¸kw7�¶w7v$w3�X���7Õ

���u���§ÕM��s��{�W����s��{suwÓ¸b����v.�����

� $^o�"#� �� p # $ � #�4~¸b���4�£��� � 0 � u Ä ¤�� É}O�����]�W�{w_¸b�u����s�w3����su���h¸b�W�hw7����s\w3��w3v$w7�W���Þ�����Õ���w7�{� Ê � �����§Õ���s�wk�{w7�{v�p # $4�3�����]w4�£�u���{��ÐO��v����{w7�¶�º����¶���{w7�j��� p # $���� $8���������� #!����� Ä ¤#* É� $���� ��Õ£��w7�{� Ê �� # �����{Õ������3�£����w7������w�ÐO�u���u������� Ä �{�<�Bw�v����Ow_v$����wd����w7�3���{wQ�����{w7� É �£�u���D���H�{s�wk��w7�X�{w3���¸k�{s�w�w�ÐO�u���u������� Ê rks�w0w3ÐM�B�£�u�{�¶�W���0# ��� �������3���¶��w7�Ô�W�O�{w7� Ä ¸K�£�VÕ��W�.v����Ï���¶�]����w É 5 ��s�w0w3ÐM�B�£�u�{�¶�W��� # ���������$�7�£���¶wV�¼������w3� Ä ��w7���7ÕQ�W�$�¶�O�3��� É�Ê rks�wV��wF�£��w&¸b���B�»�{�����B��� $ ��r s"!$# Õ �� #���r s"! �# Õº��¶�{sµ�����¶��������w0�O��v����¶�u� # Õ �# Ê rksuw&���]w3�����������%� # � �#&! r �����j�u�¶���¶�uw7�£�VÕ����£�\��w7�3w7���{���{���¶��3��v$v.���������¶ÁWw�ÕO�W�Bw7���£�{��� Ê

'(!�ÿ 'öç

Page 14: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¤W¤

Ñ w��£�������Ow�¿u�uwk�W���O�¶�{���������]w3�����{�W����� � # � # ! # �£�u� �� � �# � �#�! �# Õ�º��Ï��s\�O�����{���¶�����{��ÁX�¶�������º4���������*� ���Vo��� �� ��, �� �� �4���u��� � �� ��� �^o���� ���*� ,,��� �� �§�£�u�À��su���{���������<¸b����{��v$v������¶�W� - �¼���u��-��� Ê yÒ�4���k��s�w3�Fw7�W���$�����{wV�£����������w Ä ¤�� É �{�

� $ ��� $�������� �� � ?4 � �3o � $�������� 1 ��"# �� � # �� #!����� 2 4 Ä ¨£© É

º�suw3��whº_wd�{�����]�W�{wd��v����¶�{�����¶���3�£�{����� Ä �{�7�£���¶��� É ���]w3�������¶�W� r � # ! # º��Ï��s��{suwQ�u���������£�W�{w3v����W�����7� Êrksuw��{w7�{v �� � 4 ���{ÕO�3���¶��w7�����v�/.g. �� ���� �����£ÕW��w3�u�{wV��w7�W�����{suw<���W�¶��w7���{��Á�w4����u�uw3�u�3w§�£¸Þ���¶�Bw3��w3v$w3�X���_���R���h�]�����X� �9�£�u�\�3�����]w�����w7�7�£������������w7� Ê rks�����ºk����Õ�º�wksu��Á�w���w7�O�u�3w7�.�{s�wk�M��v��Bw7�h�£¸B�W�Bw7���£�{�����u�¸b����v 9 9�9 � 9 �{� 9 9 , 9 � 9 Õ�� Ê w Ê ÕX¸b�{�Wv ���p+�� �)�{� ��� + � Ê yï�0�.�O�B�£�B¸K���{s��¶�W�ÞÕXº_w���su���¶�]�Ow�¿B��w<����W�O�{w7�k¿uw3����� � ?4 ���3o.- �#� ��

�# � # ��� � Ê

w�@�X xyO�M���X�b a���GtE �4M4Ogb\H�}^]yï�������Ow3�)¸b��� Ä ¤#* É �{������������ÐM��v�����w,p # $�º��¶�{s$�§�W�¶ÁWw3������w7�3���{�������XÕ��¶�h������wV��w7�����£���<��su�����{suw�w7�¶w7v$w3�X����_�£�u� � �]w������/���=���\���� �:�=� � Ê�Å ����wÓ���{wV������w7�¶�WÕ

� #!��� ���� � $������ � ��� "! # # $ o !%$ p # $ # � $�������� ��0# ����� $�& �=4 Ä ¨O¤ ɺ�suw3��w � # �����{Õ � $���� �_���{w��O�������£�B��w7��¸b�{�Wv w7�¶w7v\w7�X��� �_�{wV��� ÊH� �{�&�]�����X� �0Õ'�Ì�$�{w7���£�{��Á�w��O�������£�u�3w Ê� �W�u�{w7�X��w3�X���¶�WÕd���.�{s�wj�3���u�O�¶�{����� # # $j�¶� Ä ¨�¤ É �O�Mw7�\���£��s��W���¼¸b�����£���k�u�£���������" � �<Õd�Ìv$����w�3��v$�������7����w7�Í���¶�W�����Ï��s�v���su�£�Í�{s�w\����w\���u����wV����w7�F�M� Ä ¨�© É ���<��w3wV�Ow7�ÞÕ]�B�������&��s�w\w�ÐO�u�£�B������� Ä ¤#* É�W������º�s�w3���Ï�4���k�{�£¸bw��{���O�$���BÕO� Ê w Ê º�s�w7���3���u���Ï���¶�W� # # $ �����{�£�{����¿uwV� Ê rks�w�����v$����w7���k�W��wÓ���k�7�£���¶wV���s�ws� ����$�/.=���W� %&��� �I���(�c% �:.À���¶�W�����Ï��s�v Ä�> �����W�{�¶�{s�v ¤ É�Ê yÒ�<���§�u���{w7�����j�O��ÁM�����¶���&�{s�w�w7�¶w7v$w3�X������� �£�u� �´���X�{�&�{�u���������¶�����3���u���{���£����wV���3w3�����7Õu�{�$�{su�£���{s�w����X�{w7���W�»�{�������]w���º�w3w3�F¸K���§��w7�¶���4�7�£�F�Bw�7�£���{��w7�0���O���u�{�����$�{s�w�w3ÐO�u�£�u�{����� Ä ¤#* É»ÊÑ w.�{su�£���Þ�{���&�{su�£�4���������u� ��\���u� ���)���{w)�����/���=���c���� �:�=� � Ä �\�3���u���Ï���¶�W�F��w3�����{w7� # � ��!4 ���3� É

���=¸b�W�&�£��� � 0 ��OÕ � 0 ��� # # $ s�������� ÊD> �B�£������MÕ ���§º�s�����s¹�����u�£��º_w7�¶�¶¾ï��w7�u�£������w7�¼º������4�Bw�7�£���¶wV�Q.$� �� Ê rksuw&��w7�u�£���£�������Ï�����3���u���Ï���¶�W� # � � 4 � � � )!+* � 0 � 4 � 0 � � D � #!�����,�-� � $���� ��7�£���Bw���w3�u���W��w7���M�0�$�����{�W����w7�k���O�4w7�W����w3�����&��s�w7��Ë&�3���u�O�¶�{�����

# � � 4 � � � o # � � � 4 � � � )! � � � 4 ���* +�, -�(. /10�243(5 � ���7698;: ��� �* +�, -< 2 �(. =>/

Ä ¨�¨ É

º��¶�{s � � � 4 � �to@?"ACB# ���D � # ����� ���u� 6E8;:!�����to�?)FHG$ I8J: � $�������u> �������������3���Þº������£¸Q�O��ÁM���O����� ��£�u���´���X�{�&�W�{�W���u���������&�u�������Ï���¶�W�Í���u�W��w����X�{�&��w7�����£�u�������£�4�3w3�������¸)���Ow3�X�����7�£�H�{��S7w 7 < 9 ÊK ° × ²ILK®>L Û>�rksuw_�£�����W�{�¶�{suv Ä �£�u�����¶�X�¶���)�¶v$������Á�w7v\w7�X������su���)¸b�����¶��º É �����£�u���{��ÐO��v����{wh������s�w_�{w3�B��wd�{su�£�)���u����w7�W���¸<�3�����3�������{��������� w3ÐO�W�»�\Á����¶�uw���¸ � oNM /hÕQº�suw3��wOM o A p # $ I # $ �����{s�w��¶�X��w3�����»���¶�W�¼v������{�¶Ð�ÕQ�Ï�

ÿ)ÿ â�� ������

Page 15: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¤�¨ ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

����������� ���� '�� êëìVì�éëá # � ô�â4êëâ3ã`á�äÃô�ðïã`êëæ»â������� � � %7áïã`ñ)æ�åuá�éëá � á�â�ã`ñ��¼ô�âVì�� ��ô�äKá{ô�éWý�á�ðïã`æ»ä"!�#Òò%$aq&�' � � ��� � �uç�ý�á�ðïãÃæ»äHæ�å�ý»ô�éëõ�á�ñ�(*)kñÃæ_ã`ú�ô�ã�ô�è�è�äKæ�u7ê � ô�ãÃá�é í&(*),+.- #0/21 !�#435# )�å¶æ»äHô�éëé76kq&�)�þ�ô�äKã`ê ãÃêëæ»â<ãÃú�áQá�éëá � á�â3ã`ñ�å�äKæ � �Ôêëâ�ãÃæ�ð�á�éëéëñ8�,9 �Hê ã`ú�ð�á�â3ã`á�ä`ñ;:<9 �= þ�ô�äKã`ê ãÃêëæ»â<ãÃú�áQá�éëá � á�â3ã`ñ8��êëâ�ãÃæ�ð�á�éëéëñ8�?> �Hê ã`ú<ð�á�â3ã`á�ä`ñ�:,> �@A ���5BDC�EF HGJI�KLK �M>MN �O á�ñ`ãÃô�î�éëêëñ`ú<ã`ú�áhéëêëñ`ã8PQ>uæ�å]ô�éëéWð�á�éëéëñ8�,9kãÃú�ô�ã�ô�äKá&��á�éëéXñÃá�è�ô�ä`ô�ã`á�ìÓå¶äKæ � �?> �Hê ã`ú<äKá�ñÃè£á�ð�ã)ãÃæR:,> �S T

P > +VUW� 97XMY,Z\[ � 9 m2� >^] _ ���W`A ���5BaC�E HGbI*K�K �,93q&PQ>cN �ð{ô�éëð�õ�é ô�ã`áhãÃúVáhêëâ�â�á�ä #\d�á�éëìÓæ�å��,9§ô�ãe:,>f

gh [ �,9mJ:,>ji?+ klm#j/%1 D !�#gn # [ :,>4i

A ���5BaC�E HI�K�I�opI*q7r 6 q��?>cN �s ñÃõ � ã`ú�á�t*uFv Gbwq7r v^xzy�{ r x wFq7| å¶ä`æ � ð�á�éëéëñ�êëâ&P > ô�â�ì4ãÃúVá K�w*G u K�GJwFq7r v^x\y*{ r x wFq7| å�äKæ � ã`ú�á�äKá�ñ`ã _ �<}5P > ` �~(*)�+ m1 D /%� : n ) [ :,>0i��

gh [ �<9 m^:�>0i� �J� ����^��� �*�z���z�^�0�j� �^�F�� m#0/21 D��/%� : !�#435# )� �J� �� ���4� � � ���j�4�z�^�0�j� �^�F�

�7�£������������w7���£�µ����������ÐO�¶v������¶�W� � 2 e�e <4�^� o M 2 e�e <0�^� / Ê yÒ¸§º�w��7�£�¼�]���u�u�Ô��s�w�w7�{�����"���¶� Ä ¨O¤ É �M���su�X�X�������F���{���¶�������¶w$v$�����¶v���vÂ��w3�������¶ÁWw\�����������u��w �HÕÞ�{suw3�À�{s�w$w7�{�����Ó�£¸_�{s�w$ÁWw7�»����� � �����M���u��wV��M� > �¶�W�����Ï��s�v�¤Ó�����B�W���u�OwV���{s�w����£v$wÓº���� Ê rksu���������O���{�3�u����wV�0���Í}Mw7���{�����F¢ Ê <Mʬ�® Ø � ] ¯ Û ¯>LK²�² Û � ] � ×�� Lö¯ Ø> �{�{��v$�����F�{su�£�.�]�£�{s� ���u� �9su��Á�w&���B�W�O� 9 9 � 9 � 9 � + w3��w3v$w3�X���3Õ�º_w&�7�£�Ô�£�B�£��� S7w$�{s�w�W���Mv$�O���£�{�����3��v$����w�ÐO�Ï���F��¸ > ���������¶�{s�v ¤��W�F+ !�� Ê yÒ���{�����u�<���O�<�{su�£�<��s�w\�¶�O�3���H���X�{w3�������{�����u��uw3w7� ��� + �2�Q��)W� �����]w3�����{�����B��º�s�w3��w � ���4��s�w.�M��v��Bw7�<��¸Q��w3�����<���u� �Q� �{suw��M��v��Bw7�§�£¸Q�uw7�£��3w3�����Q�{�.���M�.����Á�w7�&��w7�¶�ÃÕX�W�{�{��v$w7�\�����]w§���{v$���¶�]���W�u�����£�X�d���u�Ow7�Bw7�u�Ow3�X���£¸ + Ê rks�w4����w3�u�{�O��wV�{�{��������£ËWw7� ��� + �@���]w3�������¶�W�u�)���u�Ó¸K���)���X�{w3�������{�����u� ��� + � � Ê rks�w3��w�¸b�W�{wWÕ7��s�w��BwV���h�������£�{w7���Ó���H�{�Ó�O��ÁM���Ow��s�w?+ w7�¶w7v\w7�X�����¶�X��� � �¢¡ +"�W�{�W���u�4��¸(��� ¡ + ��w7�¶w7v$w3�X���ÓwV����sÞÕ@º�s�����sÌ�W�¶ÁWw7�§�{s�w\�������u���¶�u����¶�W�����Ï��s�v ��¿u�u�£���3��v$����w�ÐO�Ï������¸ ���p+ sF£ ���Q���������]�W�{w7�&�{���{s�w��u�{�O��w�¾Ã¸b������w��£�������W�W��s Ä ¤�� É º�s�����s��w7�X������w7� ��� +����Q���]w3�������¶�W�u� Êw�@�w ��bAa���E\C ��E\C �,CFE � � � G{E �4M4Ogb\H�}�]rksuwÓ���������OÁ����W���£�Ww<��¸H�{suw�v\�����O��w�¾Òv��£�F�£�����W�{�¶�{s�v Ä�> �����W�{�¶�{s�v¤ É �����{su�£����s�w�������w3�{¾Ã¿uw3���0w3ÐO�u�£�O¾�{�����u��sB��Á�w��{���]wd��w7�7�£������������w7�§¸b���)w7����sÓ�u���¶�H�£¸ ��!4 ��� Ê }M���u�B�X��wh��s�w3��wQ���H���������u���������¶�W�Ó���]w3�����{�W�8¤��su���§�7�£�F���W�XÁWw3�{�k�����W�O�{w7��w�ÐO�u���u�������F�����]�����X�����.���W���&�£���¶�u��w3���W��w��£�������u���]�����W�����

�� $ ����� �3o¥¤R¦ D ¦ : � $ ��� �4��u Ä ¨�¢ É

'(!�ÿ 'öç

Page 16: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¤Vª

yï� �{s����\º����WÕhº_wF�3���¼��v\�u�{��ÁWw&�{suw > �¶�W�����Ï��s�v(¤��{�Í��su���$�{suw��W�O�{w7�.¿uw7���u���5�������Ôsu��Á�w0�{�À�Bw�7�£������������w7�\���B��w4���$�{�����£�B�¶�B����w7���$��¸Þ���u�3wk¸b���_w7����s$���X�{w3�������{�������������u� Ê rksuw3�$�£��wk�{s�w7���{���£�u�{�����{wV����j��w3�X��w3���Ó�£¸��£���h�£�{suw3����w7�¶����º�w$º����W�Ó���j�¶�X�{w7���W�»��º��¶�{s Ê rksuw��¶v$������Á�wV���£�����W�{�¶�{suv,�����7�£���¶wV�Ì��{��������w�¾Ò�¶w7Á�w7� Ý ÅÍÅ ���¶�W�����Ï��s�v Ä�> �¶�W�����Ï��s�v ¨ É»Ê����������� ���� ' %3êëâ�ø»éëá #��Máïý�á�éMó£ô�ñ`ã � õ�é ã`êëè£æ»éëá � áïãÃú�æ3ìÓêëâ�ãÃá�ä`ô�ðïãÃêëæ»â������� � � %7áïã`ñ)æ�åuá�éëá � á�â�ã`ñ��¼ô�âVì�� ��ô�äKá{ô�éWý�á�ðïã`æ»ä"!�#Òò%$aq&�' � � ��� � �uç�ý�á�ðïãÃæ»äHæ�å�ý»ô�éëõ�á�ñ�(*)kñÃæ_ã`ú�ô�ã�ô�è�è�äKæ�u7ê � ô�ãÃá�é í&(*),+.- #0/21 !�#435# )�å¶æ»äHô�éëé76kq&�)�þ�ô�äKã`ê ãÃêëæ»â<ãÃú�áQá�éëá � á�â3ã`ñ�å�äKæ � �Ôêëâ�ãÃæ�ð�á�éëéëñ8� 9 �Hê ã`ú�ð�á�â3ã`á�ä`ñ;: 9 �= þ�ô�äKã`ê ãÃêëæ»â<ãÃú�áQá�éëá � á�â3ã`ñ8��êëâ�ãÃæ�ð�á�éëéëñ8�?> �Hê ã`ú<ð�á�â3ã`á�ä`ñ�:,> �@A ���5BDC�EF HGJI�KLK �<9RN �O ð�ô�éëð�õ�é ô�ã`áQã`ú�áQæ»õVã`á�ä #zd�á�éëì�æ�å�� 9 ô�ãe: 9 �S

h [ � 9 m^: 9 i�+ lm#0/21 D !�# n # [ : 9 i

A ���5BDC�EF HGJI�KLK � > N �Tá�ñ`ãÃô�î�éëêëñ`ú<ã`ú�áhéëêëñ`ã8PQ>uæ�å]ô�éëéWð�á�éëéëñ8�,9���á�éëéXñÃá�è�ô�ä`ô�ã`á�ìÓå¶äKæ � �?> �Hê ã`ú�äKá�ñÃè£á�ð�ãHã`æ&:�>Ãò�ô�ñÞêëâ _ �W` �f ð�ô�éëð�õ�é ô�ã`áQã`ú�áQêëâ�â�á�ä(#zd�á�éëì�ìVõ�á�ãÃæ<PQ>]ô�ãe:,>s

gh [ PQ>pmJ:,>0i�+ klm1 D /2� : ��� D � : h [ �,9mJ:<9%i� �J� �k� � 1 D � � : )A ���5BaC�E HI�K�I�opI*q7r 6 q��?>cN �ñÃõ � ãÃúVá�t*uFv � I*K �&Gbwq7r v^xzy�{ r x wFq7| å¶ä`æ � ãÃúVáhð�á�éëéëñÞêëâ�PQ>Bô�â�ì§ãÃúVá K�w*G u K?GJwFq7r v^xzy�{ r x wFq7| å¶ä`æ � ã`ú�áhä`á�ñKã~ _ �,}5P > ` �

(*),+ n ) [ : > i�� gh [ P > m^: > i� �J� ����^��� ���j�4�z�^�4�z� �^�F�� m#0/21 D �/2� : !�#435# )� �J� �� ���4� � � �*�j�4�z�^�0�j� �^�5�

¬�® Ø � ] ¯ Û ¯>LK²�² Û � ] � ×�� Lö¯ ØÑ w&�u�{w&��s�w0���£v$w0�W�{�{��v$�O�{�����B������¸b��� > �¶�W�����Ï��s�v ¤ Ê rks�w0���O�3���Q�¶�X��w3�����»���¶�W�u��º����¶�k�£�X�£���½��w3wV����p+�� � � )W� �<�W�Bw7���£�{�����u��º�s��¶��w&��s�w��3�W���.�£¸k��s�w&¸K���.���W��w3�������{�����u�������{wV�O�u��wV�À�{� ��� � �F,h+ � Êrksu���k�W�¶ÁWw7���{suw����O���¶v��£��Á����¶��wÓ��¸ � � +�� £ s �£�u���£�F��ÁWw3���£���]�3��v$����w�ÐO�Ï���0�£¸ ���p+� £As � Êw�@TS � �^EcH�b ��E\C ��CFE � � � G{E �4M4Ogb\H�}�]rksuw�v��£����������w�Î&����w3�B���&��¸)��s�w��������W�¶w3¾Ã��w3ÁWw3� Ý ÅÍÅ Ä�> �����W�{�¶�{suv ¨ É ���k�{su�£�4������w7�¶�H�{� S3wÓ���k�W�O�{��v��£��{��v.���¶������w3�W�u�����À¸b���\su�£�B�O�¶�����À�¶�X��w3�����»���¶�W�u�\�����£�����O�������£�B��w7� Ê !§�{�����Ì�u�¶�½��w7�¶���.���\�Bw7��w�¿]�����£��¸b���sB�£�u�O��������¸K�£�<�¶�X��w3�����»���¶�W�u�§�{���u��w�v����X�Fw7�¶w7v\w7�X���§���{w.���������]w7�j���u������Ë�w3�Í�7�£��w��£¸h�����Ww��{suw3� Ê z<���s�w0���{s�w7��sB�£�u��Õh�B���������u�¶�À��w3�����.���.ºk�����{w3¸b���_¸b���\su�£�u���¶�����Ì�3�¶�X��w��¶�X��w3�����»���¶�W�u�.�{���u��w0�{�M��v��£�M�w7�¶w7v$w3�X���_�£��w4�¶w3¸ö�d���.�]w4�{��w7�£�{wV�$�X�$�O���{wV�»�_�7�£�������������¶�W�u�Q������s�w3�Q�{su���&v.���¶�{���]����w§w�ÐO�u���u�{�¶�W�u� Ê3> �u�

ÿ)ÿ â�� ������

Page 17: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¤7¢ ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

ÁM����w3¾ÃÁWw3���{� '��{v��£���¶w7�Ó�3w3�������¶v$������Á�w��{s�w�w3Î&����w3�u�3���£¸ksu���u�O���¶���j�3�¶�X��w$���W��w3�������{�����u�7ÕÞ���O���Bw7��¸b�W�{v�]�M�����¶�&¸b���k¸K�£�����X�{w7���W�»�{�����B� Ê> ���W�MÁX�����B���{�����O���¶�W�������{�$������������s���w3���£����sM���£¸��3w3�����k��¸��O���@w3��w3�X�4��� S3wV� Ê�Ñ w�����w7����w������{w7w���¸�3w3�����7Õ@���u��sF��su���Ó��s������O��w3���£¸hw7�W��sj�����O¾Ò��w7��¸Q�3w3����� ���{w���s�w3v��{w3��Á�wV�§��w7�¶���������X���£����w7�F����� Ê r)��w3w7�� �{wV��� Ê�� ���{wF����w7�£�{w7�¼¸b�{�Wv w3��w3v$w3�X���$�¶�¹�¶�u���O�&��w3��Â��w7�{� Ê ���O�����O�&�{w���� Ä �u�{�¶�u�À�u�£���£�{�����u�¸b����v > �����W�{�¶�{s�v���¤��£�u�j¨ É�Ê rks����§�¶wV�������{�&��v����Ï���ϾÒ��w3Á�w7� Ý ÅÍÅ �£�����W�{�¶�{suv�Õu�£¸ö�{w7���3���¶��w7�F�{�¶v$�����Ý ÅÍÅ 7 < 9 Ê� °�± � ® �b±�¯>L Û>�=Û_]Q× °�±O¯ Û °�®Ñ w������{��v$w<��s�wÓw�ÐO������w3�u�3w��£¸H��º��$v$����w<�������u�{���£�{�����0�W�Bw7���£�{�W��� 5 �£�����O��w3�{¾`���£¾Ò���O��w3�����]w3�����{�W���t'

� $���� � �3o�� ¦ D ¦ : � $���� � � Ä ¨�¡ É�£�u���£�F������w7��¾Ã�{��¾Ã������w7���W�Bw7���£�{�W� '

�� $���� � �3o� ¦ D ¦ : �� $���� � � Ä ¨:R Érksuw����]w3�����{�W���5�����B��wV�������3�����3�������{w\��s�w&�����{w3�Ó¿Bw3���À¸b����wV����sÀ�����O¾Ò��w7��¸���w7�¶� � ���À�{s�w&�{��w3w��¸b����v �{s�w��W�O�{w7�k¿uw3�����k�£¸h�£�����¶���4��s������O�{w7���R'

� ��� 4 ���&�3o �"� 5��(. � � < � 3 � � � � ¦��8¦�� � ���n4 � � ��u Ä ¨ <£É

yÒ�������3���¶��w7�j��� �� �=����� �\�Ì�£¸h��s�w����{w7w�� Ê }M��v$�¶���£������Õ@�O�����¶���&�{s�wv� �H�{. �=����� �c�½��su�W��wWÕB�W�Bw7���£�{�����������u�{���£�{w7�_��s�w��¶�u��w3�{¾`¿Bw3���&¸b����v �u���O¾Ò�¶wV��¸���w3�������¶���{��w3w � ���$�{s�w7�¶�4��su�¶���O��w3� Ä Ý ��������w�ª É»Ê�(� ¯ × °�±�²£¯ L Û_� ] �K± �!<�������\�{suw��{���£�u�{�����{���������]w3����������� �.Õ���£�u� ¤ÓÕ�º�w�����ºDsu��Á�w��{suwÓ¸b�{w7w7�O�Wv �£¸h�Ow7�3�����¶���&�£�4º�s�����s��w3ÁWw3�����0su���u�O��w�w7�W��sF�¶�X�{w7���W�»���¶�W���]w���º�w3w7�Í��w7�¶����¸b����v �{��w3wV��� �£�u� ��Ê�> �Í���X�{w7���W�»�{�����F�]w���º�w3w7��3w3����� � 0 � �£�u�!� 0 � �3�£� �]wÍsu���u�O��w7�¹�¶� ��º��Ôºk���M�#' Æ �¶�{s�w7���W�&�D����( �:�Ó�¶�X�{w7���W�»���¶�W�µ�M�w3ÐO���¶�����¶�{���Í�3�����3�������{�������£���)��s�w$�u�£����º����{w.���X�{w3�������{�����u� Ä ¤�� É �Bw3��º_w7w3�Ìw3��w3v$w3�X������¸ � ���u�"� Ê z<�7Õ�W�$�0���: Í�¶�X��w3�����»���¶�W� �M�Ô�u�{�¶�u����s�wj�£��������ÐO�¶v��£�{����� Ä ¤�� É�Ê r)�Ì�W�u�£���£�X�{w7w&��s�w��W�3�3�����W���½�£¸<�{s�w����������ÐO�¶v������¶�W�ÞÕ���w7�¶���0���{wÍ�W�����¹���¶����º_wV�¹�{�¼���X�{w7���W�»�0�u�{�����¼¸K���0���W��w3�������{�����u�0�ϸ���s�w3�´�£��wͺ�w3���Ͼ�{w3�B�£�����{wV�F�¶�Í�{s�w$��w7�u�{w.�£¸ Ä ¨W¨ É�Ê � ���{w��{su�£�<�¶¸Q��º_����w7�¶���<���{w.���£��º_w7�¶����w7�u�£������w7��Õ@�{��v$w.��¸h�{s�w7�¶���w7����w3�B�Ow3�X���kv$����sX���BwWÕu������s�w3���£��w���v��£����w3� Êr)��¸b�W�{v����¶� S3wWÕhº_wF�Ow�¿B��w��Ì�����£�$#Â����v$�]�W�{w7� �£¸§���O�3�£�k�£�B�Ô¸K�£�$���X�{w3�������{�����u�%#'&´�£�u�(#') 5

# & 4*# ) �+� � ��ÊD> �����u�£����� �,� 4-� � 0 # & v.�B���$�Bw����{wV���{wV�¼���O�3�£����� Ê > �u���¶� ��� 4-� � 0 # )Ä º�s�����s¼v.�u�����]w0º�w3���¶¾Ò�{w3�u�����£�{wV� É ���u�O���3����w7���{su�£�\�W�O�{w7��¿uw7��� � ��� 4 ���&�{ÕQ�3�����{wV���]���u���¶���F���Ì���¶�w7�¶w7v$w3�X�������.�¼Õ�v��u���Ó�]w��{���£�u�{���£�{wV�j�{� � � �£�u�Ì�£���u�¶��w7�Í�{�j�3�����3�����£�{w��{s�w$���W�X�{���¶�����{�����u���£¸/��W�����¶��w7�¶w7v$w3�X�������0� Ê> �����£� #���� �����/��� ���� �%'� �0�¶¸)�£���¶�X�{w7���W�»���¶�W�&�Bw3��º_w7w3�&wV����s&�B�£���_��¸H�¶wV��Á�wV�Q�£¸H�{��w3w7�1�5�£�B� � ���sB�£�u�O��w7�&w�Ð������{���\�W�u��w Ê yï���£��s�w3�_�{w7�{v��7ÕW�¶¸Hº�w§������w3�X�Q�{suw<wV�O��wV�d�����{suw§���{w7w/�-���ÞÕX¸b����v5�¶wV��Á�wV�h�{���s�w.���M�£�VÕB�£�B���{s�w�w7�O�Ww7�����j�{suw��{��w3w � �O��º��HÕ�¸b����v �{s�w��{�M�£�§�{����s�w.��w7��ÁWw7�7Õu�£�u�Fº�w.�W���jw7����w7�¸b����v2�,������¸b���kw7�W��s��,� 4-� � 0 # & > # ) ÕX�{s�w7�0¸b�W�_wV����s&�B�£���_��¸H�¶wV��¸Þ���O�OwV�'3 0 �5�£�B�8f 0 � Õ��s�w3��wÓv.�u���4�]w�w�Ð������{���&����wÓ�u�£�{s����W�¶���\¸b����v43Z�{�8f Ê

'(!�ÿ 'öç

Page 18: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¤�¡

�����������

� � � �

� �

� � � � � � � � � � � �� ��� ���

�� � ��� � �

� �

� � �� � � ��

� �

��� � � � �� ���

� �� � �� �

��� � � � ��� � � �� �� � �� �

� �

Ý ��������w�ª�' Ý ÅÍÅ ���X�{w3�������{�����u� Ê rks�w��W�O�{w7�k¿uw3�����4���{wÓ�������u���W�£�{w7�������{suwÓ�{��w3w � �����{�����$��s�w����O¾�{º�w3w3�F��sB���{w��u�{�¶���0���]w3�����{�W�� Ê rks�w7�����{wÓ�������u��¸bw7�{wV���{�����{w7w � ���u�j���W�XÁWw3�{�{wV�0���&������w3�§¿uw3������B�������\���]w3�����{�W�<¤ Ê rksuw�������w7�k¿uw3�����k�£��w����{�W�u�£�X����w7�&�O��º������0���{w7w � �u�{�����$���]w3�����{�W� Ê4> �k��w7�£¸�3w3�����7Õ���s�w�¸K���4�¶�X��w3�����»���¶�W�u�4�7�£������������w7��¸b�{�Wv���s�w�������w7��¾Ã¿uw3���j���Mw3Î��3�¶w7�X���4���{w��{��v$v$w7�Fº��¶�{sÍ���O�3�£����X�{w7���W�»�{�����B� Ê

! ] ¯ L �½± � L � ¯ × °�±�²�¯>L Û>� ] �b± �Ñ w�º����������¶��Ë�w��{��¿u�B�j�$�������j�¶�MÁW����ÁX�����\�{suw.��w7�����§���Wv$���O���£�{�����u���Þw��@���{� Ê Ý �������4�£¸Q�£���ÃÕuº�w�º����X����Ìv$������v\� S3w���s�wF�X�uv.�]w3�$�£¸§���O�3�������X�{w7���W�»�{�����B� 9 # & 9 Ê rks����$���$���7����v$��������s�wV�Ô�M�¼�u�{�¶�u�Ì���O�3�£����X�{w7���W�»�{�����B�$w�Ð������u�{�¶ÁWw3��� ��� �u���¶������¸���w7�£¸��3w3�������{su�£���£��wj���£��º_w7�¶�¶¾Ò�{w3�B�£�����{wV� Ê z<�u�3w 9 # & 9 ���v$������v\� S3wV��Õ��F���M�O�Ì����������ÐM��v������¶�W���£¸k��s�w��{w7v��£�����¶�u�F�3��v$���O�������¶�W�u�£�Qw��]�W�������Ó��s�w��M��v.�]w3����¸¸K�����¶�X��w3�����»���¶�W�u� 9 # ) 9 Ê> �������������3���d�£���u�{�X����sÀ�����{���OwV�{�3w3�u�Ô�{��v.���¶������w3�W�u�����̸b�{�WvÂ��s�w&���X�����{�Í�{s�w&��w7��ÁWw7�����¼�]�£��s���{w7w7� ��Õ � Ä º�s�����sFv.�u���§�]w�����w3�X�{���3��� É ���u�F���4wV����sF�¶w7Á�w7���{�����u�����u�Ow����¶�)�¶�X��w3�����»���¶�W�u���{sB���4su��ÁWw�u�£�$�Bw7w3�µ���¶��w7�W�O�Ì�{��w7����w7�¼�£�\su�¶�Ws�w3�\�¶w7Á�w7���7ÕQ�£���¶��º������Ì�������½�¶�X�{w7���W�»���¶�W�u�.�]w���º�w3w7� ��w7�¶���$���\�{s�w���£v$wÓ��w3Á�w7�{7 ªuÕ < 9 ÊÑ w��B��wF���{�¶����sX���¶�Ôv$����w&�Ww3��w7�����_�����£�u��w3�VÕh���£�$��w7�X�����{�����j��s�w0���{w7w7����Õ � �{�À�Bw�����w3�X�{���3��� Ê

Ñ w�º_�W����� �£�����Ì�¶��Ë�w��{�À�£���¶��º ���X�{w3�������{�����u���]w���º�w3w3�¹��w7�¶�����£�$��� �@w3��w3�X�$�¶w7Á�w3��� Ä �O���]w7�{w7�X�$�{��S7w7� É»ÊU ��º_w7Á�w7�7ÕB�{s�w$�Ww3��w7�����H�����{Ë���¸���s��M�X�������&��s�w$��v��£����w7���Ó�{���u�{w���#')´�£¸_���¶����ºk�£����w�¸K�£�Ó���X�{w3�������{�����u���su���kv��£ËWw7�_�{s�w������£��º_w7�¶�¶¾Ã¸b����v\wV�����d���M�\�O�¶Î&�����¶� ÊdÅ ����w3��Á�w7�7Õ�¸b���k��v\�u�¶w7v\w7�X�������¶�W�0��w7�W���W�u�Q��su���º��������Bw�w3ÐM�u�����¶��wV�0������w3� Ä }Ow7�»���¶�W�F¢ Ê R É º_wÓv.�B���4���¶v$�¶���{s�wÓ�M��v��Bw7���£¸���� �@w3��w3�X��¤R¦#"¦%$H���]w3������������W��v$w7���{����w7���M���{suw��X�uv.�]w3�Q��¸@�O���@w3��w3�X� � � #�� � Á�wV�»�{�W��� ÊHÑ w�su��ÁWw_��s�w3��w�¸b�W�{w��OwV�����Ow7�������£���������s�w7���{�����{���<�u��������w3� Ä�> ���������¶�{s�v ª É º��¶�{s��{suwÓ�W���O�¶�{�����u���������B���������¶�X���{su�£��¸b�W����w3����� �,� 4 � � 0 # ) Õ��s�w<�3w3��� �,���Q�uw3Á�w7�_�{v��£���¶w7�Q�{sB�£�0�3w3��� � Ê{> �_���3���u�{w7�X��w7�u��wWÕ �����u� ��º������B�]w§v$�W���{�����{s�wÓ�{��v$w�{� S3w�¸b����� �3�¶�X��w��{�0� Ä ���O��º�w3���¶¾Ò�{w3�u�����£�{wV� É Õ@º�s����¶w��3w3������� ¸b�u����s�w3����ºk���0��v����j�]w\�u�¶�W��w3���¶¸��s�w§�{w3�u�����������¶�¶���.���W�u�O�¶�{�������£������º4�h�Ï� Ê rks�w4���W�u�O�¶�{�����&���Q������w�¤V¨���� > �����W�{�¶�{suv-ª��{sB���_�Ow3�{w7�{v$����w7�º�suw��{suw3�k��w3���������_�u�¶�W��w3�_�{sB�£� �-�3���0�£�����BÕM�¶�u���{wV������¸Þ�{suw3�����usX�O�{���7�£�@��� S3wWÕX�3��v$�u���{w§�{s�w7�¶�k��w3Á�w7��������{s�wÓ���{w7w7� Ê

ÿ)ÿ â�� ������

Page 19: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¤�R ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

����������� ���� ' à@äKá�ô�ãÃádô�â�êëâ�ã`á�ä`ô�ðïãÃêëæ»â�èVé ô�â<å¶æ»ä)ô � õ�é ã`ê #��Máïý�á�éXó � � ô�éëø»æ»äKê ãÃú �������� � �BûOäKá�á�ñ��¹ô�â�ì���ò �Hê ãÃú<ð�á�éëéëñ8�,9§ô�âVì �?>]ô�ñÞéëá�ô�ý�á�ñ�' � � ��� � �uç�â�êëâ�ã`á�ä`ô�ðïãÃêëæ»â�èVé ô�â�� +���� m ������������&���������= �5BW� � � �������������� "!��$#7_&% äKæ7æ�ã)æ�å'�)(3ò�ä`æ3æ�ã)æ�å*��`@,+�+������������ "!��$# ô�ì�ì�ñÞãÃæ-����ò ���\êëâ3ã`á�äÃô�ðïã`êëæ»â�ñ�î£áïã ��á�á�â�ô�ñÃáïã/. _ å¶äKæ � �R`@ô�â�ìÓô_ð�á�éëé10 _ å¶ä`æ � ��i� �5��EB N � �5B ������������ "!��$#2[ .)m 0,i �O32 ���

+�+à�á�éëéëñ�å¶ä`æ � .µãÃæ�î£áhè�äKæ3ð�á�ñ`ñÃá�ìÓé ô�ã`á�äS,4 �\� B .65+7�<N �T

û�ô��»á98 å�äKæ � .f A3:2[ 8Fm^:<;;i>=@?BA�; [ :<;ei+�+ô�äKáC8Dô�â�ì�0 ��á�éëé #öñÃá�è�ô�ä`ô�ã`á�ìEDs �F �B �~ ô�ì�ì [ 8FmF0<i]êëâ�ãÃæ-���G=�H B2�JI�B A<[ 82âVæ�ã�ô�éëá�ô�åzi'K [ A$L [ :<Lpi�MNA�; [ :O;eiQP 0ÀêëñÞéëá�ô�å�i �F �B �=a@=a@ è�õVãHðÒú�êëéëì�äKá�âÓæ�å*8=êëâ3ã`æR.=WO

B2�JI�B ô�ì�ì�8´ãÃæ 2=WS A 0ÀêëñÞéëá�ô�å �F �B �= T ô�ì�ì U [&S m 0�i XFS q 2 ]_ã`æR� �=Wf= s B%�TI*B ð�ô�éëé ������������ "!��$#2[ 2 mF0 Z iBå¶æ»äÞô�éëéU0 Z ðÃú�êëéëì�äKá�â<æ�å>0��=a~

V&�Þ× ² �H¯>L �G\ ¯ � × L � ¯ × °�±u²£¯>L Û_� ] �b± �z<�B��w<�{s�w��¶�X��w3�����»���¶�W�0�����£�����k�3�{wV���{wV��ÕM�Ï������w�ÐOw7�3�O�{wV� Ä�> �¶�W�����Ï��s�v ¢ É º�s�w7��w3ÁWw3���{s�w ���À�����O�O�u�»����_��w3wV�Ow7��ÕM� Ê w Ê ���kw7����s��¶�{w7���£�{�����&��¸Þ�{suw<�W�O�{��v$��S7w3� Ê�� �£�{w<�{sB�����{s�w��¶�O�7�£�]�¶�X�{w7���W�»���¶�W�&���Mw�Î&����w3�X���3Õ��s�wk���O��w3�hw3ÐM�B�£�u�{�¶�W�u�� #�Õ����u�.�{s�w��W�Bw7���£�{��������Õ ]Õ�¤µ�7�£�.�]w�����w7�7�£������������w7� Ê rks�wk�{w7v$���¶�u�¶���Ó���X�����¸)w3ÐMwV���O���¶�u����s�w������£�j���W�u�{���������£¸h�£�u���¶�M�����\�{s�w��W�Bw7���£�{�W������Õ ]ÕB�£�u�.¤ÓÕu�£�B�&��s�w�����w7�3�����3�������{wV��3�Mw�Î&����w3�X����p # $ �£¸Q��s�w\�¶�X�{w7���W�»���¶�W�u�����{wV���{wV�j���M�7�£���¶� Ê*> �¶�W�����Ï��s�v��<ª��£�u�Í¢��OwV�{�3�{���Bw�������Á��£�������X���¸§��s�w Å ���¶�{�¶¾ � w3ÁWw3� Ý ����� Å ���Ï���¶�]����w Å w3�{s��O� Ä v$� Ý Å�Å ���&�{�¶v$����� Ý ÅÍÅÍÉ�Ê rks�w��{su�{w7wj��su���{w7�Ä �����£���������BÕ_����w3�B�£�����{�����HÕdw�ÐOwV���O���¶�W� É �£��wj�£�u���¶�W�����B�����Ô��w3�uw3�����{�����BÕ_���Wv$���¶�������¼�£�u�µw�ÐOwV���O���¶����\�������W����v5�¶�j�\Á�w7�{�0�{��v\�u�¶wÓ�������W����v\v$�����\���������u����w ʬ�® Ø � ] ¯ Û ¯>LK²�² Û � ] � ×�� Lö¯ Ø> ���Mv$�O���£�{��������v$����w�ÐO�¶�����£¸Þ��s�wÓv$� Ý ÅÍÅ �Ow3�]w3�B�������&��s�w����B���{���£�@��su�����W�»�{w7�{�����{���3�Q��¸H��s�w§���{w7w7������u� �.ÊhÑ w���sB�£����v$��Ë�w���º��$�{��v\�u�¶w�sM�M�B���{s�wV��wV��'

>r25'�rks�w7�{w��£��w�����v$�W��� � hkw7�¶w7v\w7�X���k���F���M�&�¶wV��¸���w3��� Ê> � '�rks�wÓ�M��v.�]w3���£¸)�¶wV��¸)�3w3�����_¸b����v �-�{sB���4�£��w§������º�w3���¶¾Ò�{w3�u�����£�{wV�\¸b�{�Wv �.�W�¶ÁWw3�&��w7�£¸)��w7�¶�¸b����v � ���4�£�kv$�X��� �Q� Ê4Ä }O�£v$w�sM�M�B���{s�wV���������k���Í}Mw7���{�����Fª Ê ¨ ÊëÉx��£��s � h Õ �Q� �£��w����W�u�����£�X���3Õ����u�Ow7�Bw7�u�Ow3�X���£¸d�{s�w\�{���������M��v��Bw7�Ó�£¸dw7�¶w7v\w7�X���d+ Ê�Ñ w\�{su���¶�

�{w3w$������w3���{su�£�Ó�{s�wV��w�sM�M�B���{s�wV��wV�Ó�£��w���w7�W���W�u�£����w����u�Ì���£���O�¶Î&�����¶���{��¸b���¶¿u��� Ä }MwV�»���¶�W�À¢ Ê R É»Ê > ��.�����B��wV�W�uw3�u�3w�Õ£��s�w§���O�3�����¶�X��w3�����»���¶�W�u�d�7�£���]w4w3Á����¶�u�£�{wV�$�¶� ���p+ ���{��v\wWÕX�{���u��w4wV����s�w7�¶w7v\w7�X�_�3���

'(!�ÿ 'öç

Page 20: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¤ <

����������� ���� ' ÷�uVá�ð�õVã`ádô�â�êëâ�ãÃá�ä`ô�ð�ã`êëæ»â�è�é ô�â§å�æ»äHô � õVé ãÃê #��Xá�ý�á�éWó � � ô�éëø»æ»ä`ê ã`ú �������� � �"'öâ�ãÃá�ä`ô�ð�ã`êëæ»â�è�é ô�â � + [ � � m � � iJ�VãÃäKá�á�ñ���ò��<�7ý�á�ðïã`æ»ä"!�# �BþBäKá�ð{ô�éëð�õ�é ô�ã`á�ìÓý»ô�éëõ�á�ñ"35# )£ò n #Òò��hò���ò � �' � � ��� � �uç�ý�á�ðïãÃæ»ä�(*)kñÃæ�ã`ú�ô�ã�ô�è�è�äKæ�u7ê � ô�ãÃá�é í�(*)�+ - #0/21 !�#435# )kå¶æ»äHô�éëé76kq��)�(*)<��� å¶æ»äHô�éëé76= +�+ûOäKá{ô�ã�éëæ7ð�ô�éWêëâ3ã`á�äÃô�ðïã`êëæ»â�ñA ���5BDC�EF [ 8Fm 0,i q���� N �@ A ���5BaC�E á�éëá � á�â3ã8$aq�8�ò�á�éëá � á�â�ãc6 q 0VN �O (*)<� (*) � !�#435# )S +�+ü)è #öñ ��á�á�è �@à�ô�éëð�õVé ô�ãÃáhæ»õVã`á�ä #\d�á�éëìÓä`á�ð�õ�äKñÃê ý�á�é íA ���5BDC�EF ð�á�éëé 8´å�äKæ � ã`ä`á�á/� N �T

fh [ 8Fm^:9L i?+

� �l-� � � � �4��� #0/ L !�# n # [ :9LRi $03�� $����������D3l-L � ���5� � � �J� L � � � � � � h [ 8 Z m^: L � i+�+��

æ�)â #öñ ��á�á�è �A ���5BDC�EF ð�á�éëéU0Ìå¶ä`æ � ãÃäKá�á<� N �s~gh [ 0am^:9;;i�+�� � � � � gh [ S m�:"!8i� �J� �!$# �^�z�4�����J� ;

g% klm� L � ; ) /'&)( ��� � � � h [ 8Fm^:CLpi A 0ÀêëñÞéëá�ô�å � �B �G A ����BDC�E á�éëá � á�â�ãM6 q�0VN �="H (*)9� (*) � n ) [ :<;�i�� gh [ 0am�:9;;i=2=

���X�{w7���W�»�4º��¶�{s��£�§v$�W��� �Q��� h �£��s�w3�<����wV� Ê � �£�����u���£�{�����&�����{w3�4¿uw3���������§���O�OwV�4��¸����{w7w � �O�����¶�����s�w$����w7�3�����3�������{�����À�£�u�Ì���O¾ï�{º_w7w3�À��su���{w7�Ó�uw3w7�u�&��� + �4�W�Bw7���£�{�����u�Ó���Óº�w3���ÃÕÞ�BwV�3���u��w\��s�w3��w��£��w+Âw3��w3v$w3�X�������u�&�£��v$�W��� +����O�OwV�����u�&wV����s&�u�M��w����u�&wV����s&w7�¶w7v\w7�X�����k���3�3w7����wV��w�Ð��W�»�{���$���u�3w Ê�Q�{�W�u�£�X���{�����.�{s�w�������w7��¿uw3���F�O��º����¶���{��w3w � �����{�\�{wV�W�u�¶��w7� ��� +��d���]w3�������¶�W�u� Êrks�w0�{w7v$���¶�u�¶���Í�3�W�����{�Í�]w0�W�3���W���X�{wV��¸b�W�.���W�u��w7�{�B�Ó�{s�w0���O��w3�{¾`���£¾Ò�¶���uw3�Ó�{���£�B���������¶�W�u�Ó�u�{�¶���

�W�Bw7���£�{�W��¤ÓÕ�º�s�����sÀ�����������]���{�{�����u���H�����{s�w$�M��v.�]w3�Ó��¸d¸K�£�Ó���X�{w3�������{�����u� 9 # ) 9 �¶���{s�w$�����£� Ê rH��u���Bw7���B�W���u���¶�7Õ�º�w���w3wV�&��º����������Ï���¶�W�u�£��sM�M�B���{s�wV��wV��'> s 'kyï�µ���M�½�{��s�w7�{w0�£¸§�����O���u�+*�ÕQ�{s�w7�{w��£��w0���$v$�W��� �-, �.* ) 68�0/21���w7�¶���.��¸§�����O���u���u�¶�W��w3��{sB�£�O6 Ê> ' Ý �W�4�£�M�0�3w3���Þº��Ï��sF���W�O�¶�B� 6MÕO��s�w����W�O�����£¸����¶�H�Ï������s��¶���O��w3�j�£��wÓ���4��w7�����76 )��43 Õ �43 �Z. Ê

> �W�£���ÞÕ �-, 4 � i 4 �43 ���{w.�3���u�������X���4���u�Ow7�Bw7�u�Ow7�W���£¸n+ Ê yÒ���7�£�Í�]w��{s���º��j�u�{�¶�u� > s ���u��> ��su������s�wQ�M��v��Bw7�Þ�£¸M¸K�£�����X�{w7���W�»�{�����B�Þ������w7�<�{��# ) ¸b�W�Þw7�W��s���w3���£��� � �M�4��s�wh�����£���u�¶��� > �¶�W�����Ï��s�vDª���4�£�§v$�W��� �-, �� �43 � /21 Ê U w3�u�3w��{suw��{�����£�)�M��v.�]w3�4��¸�¸K�£�4���X�{w3�������{�����u� 9 # ) 9 �����������]���{�{�����B�£�@�{�+ Ê rks�w7�{w3¸b����w�Õ@��s�w�v$� Ý ÅÍÅ �����£� ���p+ �<���¶�W�����Ï��s�vFÕ�º�s�����sÀ�������W�{wV�����¶v$������Á�w7v\w7�X����ÁWw3���{s�w

ÿ)ÿ â�� ������

Page 21: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¤�� ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

���p+����Ó�u�{�O��w�¸b������wF�£�������W�W��s Ê !4��¸b���{�{���u�£�{w7�¶�WÕdº�w�º����¶�4�{w3w���su���$�{suwF�3���u�������X���\�¶�MÁW����Á�w7� �£��w������s�w3�����£����w�ÕM�{���{suwÓ�W���Mv$�O���£�{���§�{���]w3���¶�W�{�¶���$�£¸Þ��s�w Ä v$� É Ý ÅÍÅ ���������£���]w7�����d¸b���k���£����w4Á��£����wV�_��¸+ Ê

� �µ��� ����� ���0� ��198;:<1=1Z8 +-�.�/������H# 123�4%(�4/.�5�������0���� ��º ��su���_º_w4sB��Á�w��Ow7���������BwV�\�{s�w4�Ww3��w7����� Ý ÅÍÅ ÕX�¶�$��s����_��wV�»���¶�W�\º�w§���������.�¶�d�{�Ó��s�w ÅÍÆdÇ�È�ÆQÆ_Ǹb�W�{ºk�£���Í�u�{�W���¶w7vFÕ��{�Í�X������ËM�¶�Íw7Á��£���u����w$�{s�w�v������{�¶Ð�ÁWw7�»�����������O�O�u����� Ä 4 /QÕ 8 L �_Õ 8 /hÕ A � É ��su��������]w7�£�k���j���O���{w3v Ä ¤�R É»ÊS^@A? �kX�}^CzOgbvV G{E }�GtOg]�M�a�bvVL[rksuw<���X�{w3�W�����u�W�Bw7���£�{������K0Õ�(@Õ & Õ & L �£���]���MÁ��W�¶ÁWw4�¶�X��w3���������¶�W�&�£¸H�{s�w��u���{���Q¸b���B�»�{�����B���d©�Õ ��¤<º��¶�{sÁ����{�����u���Ow3����Á��£�{��Á�wV���£¸§�{s�w Ç �{w7w3�Ô¸b�u�u�»���¶�W� ' ��2!4 2 �6� � . ) 9 2&# 2 � 9 Ê z<��w��3�£�µ�Ow7�3��v$�B�X��w0�{s�wÇ ��w3w7�0¸b�u�u�»���¶�W��ÁM�����{s�w��{��s�w7�{���3����su�£��v$�������<����������ÐO�¶v������¶�W��7 ��9�'

9 2 � # � 9 � 9 2 #�� 9 o ! .9 2 # 2 � 9 o��"� <��

�"� < � ��� � �� ���,# 2 � �4� �� �32 #���� Ä ¨:� ɺ�suw3��w �;�����{s�wF��w7�W��w3�$�£¸<w�ÐO�u�£�B������� ���u� � �� ��w7�{� Ê � �� ���{w0�{s�wF������w7�\��w7�{� Ê ���O��w3���{��s�w3�����3�£�sB�£��v\�W�����3� Ä�> ���]w3�u���ÏÐ�ª É»Ê^> �4��s�w��{w3���¶wV� Ä ¨:� É ���§�¶��¿u���¶�{w�Õ@º�w����{���B�3����w��¶�§�{�������Ow3��´�{�0���O���£����Ì���������{���3�£�����À�B�{�����¶w�w�ÐO����w7���{�¶�W�ÞÕQ���B�£���£�X�{w7w3�������£�¹���7��w3�����£�u�¶wF�£���u�{��ÐO��v$�£�{�����Ôw7�{������¸b��� 2XÕ:2 ��{�OÎ&����w3�X���¶��¸K���4�£�u����� Ê

9 2 � # � 9 �� 9 2 #�� 9* +:, - � � � � / � e 2 < 2 0 � �(3 � / /o ! .

9 2 # 2 � 9 o&"� <��

�"� < � � � � �� ���,# 2 � �4� �� �32 #���� ,Ôw7�{����� Ä ¨ * É

Ñ w��3�������¶��w7�W�O����w7���W����� S3w<�{suw������{�u���{����wÓ�£¸ Ä ¨�¤ É º��¶�{s � �����to�� ��� �d���u� ����� �to �� ����� ÊS^@�X � X"CzOgG�H�M4ODG�X�X�O�M���b ]�G�H�bAM�aÆ ����s��£¸���s�w§�W�Bw7���£�{�W��� K0Õ (@Õ & Õ & L �3���&����º �Bw��£���u�{��ÐO��v$�£�{wV���B������� Ä ¨ * É ÕXº��Ï��s&��s�w4¸b�W�{v��£������v��w�¿u��wV���¶�Í}MwV�»�{�����Fª Ê ¤ Ê! ]Q× °�±O¯ Û ° (r)�<����������ÐO�¶v�����wh�{suwk����������w�����S7w7���W�Bw7���£�{���;( Ä ¤�¨ É Õ�º_w��¶�X��w3��������w Ä ¨* É º��Ï��s���s�w��Q©§�B���{���H¸b���u���{�����u� # Ê Ý ����wV����s�w3��w3v$w3�X� Ä �{������������w É �Qº�w��Ow�¿u�uwÓ�{s�w��W�O�{w7��¾Ã¿uw3����w�ÐO�u�£�B�����������Mw�Î&����w3�X���

# � �� �����to�� � �� ����# 2�� �#!�324����2 Ä ª�© É�£�B�&��s�w��¶�u��w3�{¾`¿Bw3����w3ÐO�u�£�u�{�������3�Mw�Î&����w3�X���

#�� �� �����3o � � �� ���,# 24� # �32�����2Wu Ä ª�¤ É

'(!�ÿ 'öç

Page 22: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¤ *

rksuw��W�Bw7���£�{�W� (������{s�w7�F����������ÐO�¶v�����w7� Ä �¶¸�w7�¶w7v$w3�X��� �d���u� � �£��wÓº_w7�¶�¶¾ï��w7�u�£������w7� É �M�5�7 & ( # 4' $ (�o # � ����� � $

�� ����� ì�áïåo "� <�������� &�k< � � ����� �

� # . � � # � � �� ��� � $ � � �� ����� Ä ªW¨ É

º�suw3��w�º_w�su��ÁWw$�u��wV�À�{s�w����Mv$v$w��{������w3�������¶�W� � �� � # 2��"o �!# .�� � � �� ��28� Ê�Ñ w0�{w3w$��su������s�w�w�ÐM¾�B�£�u�{�¶�W���{�u�W��w # �W�kº_w7�¶�H�W�k�{suw��O�u�£�)���u�W��w �# Ä ¤ * É ���{wÓs��Wv\�W�¶�W���W�u�_�{����s�w����B����w���¸�� � ,h. �3����¶v$w3�B�������u���_�3��v$����w�ÐÌÁWw7���{����� 5 �£�Ôw�ÐO�u���u�{�¶�W� � ��� � � �7�£�Ô�]w0�OwV�{�3�{���BwV�Ô�M� � � , .�� � �3��v$����w�Ð�M��v��Bw7��� � �� Õ � � �� Ê rks�w&���u�O�Ï���¶�W� � ���u�Àv.���¶�{���������7���{����� r � # ! # ���{w��Ow3¿u��w7�Ô�W���������Ï���¶�W����u��v.���¶�{���������7���{�����F��¸H�{suw7�{w�����v$����w�Ð����Mw�Î&����w3�X��� Ê! ]Q× °�±O¯ Û ° &Ñ w_�����������4���������¶w7�W�)º��Ï��s��{wV���]w7���H��� 2_�{� Ä ¨ * É ���u�����W��w3�W���£�{wh��s�w_��w7�{���¶�Hº��¶�{s���s�wd�B���{���H¸b���u���{�����u��# Ä �d© É �£�u���0�$'� Ä �u�£�{�{���£�M��¤ É�Ê)Ñ w�¿u�u���{su�£��º�w_�uw3w7���{�Ó�Ow�¿B��w��W���O�¶�{�����u���Mw�ÐO�u�£�B���������3�Xw3Î&����w3�X���

# �� �� ��� �3o � h

� �� ���$# 24� i O%#1� � �# � ��28����2 Ä ª�ª É# � � � �� �����3o � h

� �� ���$# 24� i O # � � �# � ��28����2 Ä ª£¢ É�{�\�{su�£���{s�w�¸b�W�¶����º��¶�u�$����������ÐO�¶v������¶�W�&s��W�����

# 5�7 & & � �# � 4'�$ ( o,# 587 & � �# � 4 & L %$ ( o # �� � $

�� o -� : � �!# .�� � # � � � �� ����� $ � � �� ��� � Ä ªW¡ É

o $ � � # � � � o -� : � � # . � � $ � �� ����� # � � � � �� ����� Ä ª R Éz<�B��w7�{ÁWw§��su���4w7Á�w3���{su�����Ws0��s�w��£���u�{��ÐO��v$�£�{�����u�k���{wÓ�£�X�£������w3����w7�{w3�X���£����w<�M��� � , . �3�Ó�3��v$����w�Ð�3�Mw�Î&����w3�X���7Õ���s�w�w�ÐO�u���u�������$�{�u���3w7� # �£�B� �# ���{wk���Ó�������Ww3�h���X�{w3����su������wV�£����w Ê rksuwk�3�Mw�Î&����w3�X��� # ��3�����{wV���]���B�O�¶�u�§���.�ÓÁ�w7����w�Ð Ä ��¤4�u�W������¸b���u���{����� É �)�£��w4�3�����3�������{wV�\�X�\�£�W����w3�W�£�{�����<�{s�w4�3�Xw3Î&����w3�X���# �� ���j�£���Þ���W�u���{�¶�{�O���¶���\���{���£���W�¶wV���D#1� Ê! ]Q× °�±O¯ Û ° Kr)���3�����3�����£�{w j54 � #1� $'� o & K ���# � 45�C�$ � (§º�w��Ow�¿B��w��{s�w�w3ÐM�B�£�u�{�¶�W���3�Mw�Î&����w3�X���

# �� �� o,��� #1� � O%#1� � # � �� �£�u� $ �

� � �� o,��� $'� � OD$'�!� $ � � �� Ä ª <£É���$���O���£���0��s�w��£���u�{��ÐO��v$�£�{�����0¸b����v.�����5�7 & K�� �# � 4'� �$ � (�o # �

� ������� $ �� � �����to "� <�������� &� < � � ����� �

� # . � � # � � � � : � ��� � i $ � � � � : � ������u Ä ª � É

ÿ)ÿ â�� ������

Page 23: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¨�© ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

Æ ����s�w3ÐO�u�£�u�{�����j���<��w3�u�{wV��w7�W��w7�j�M��� � ,K. � �$ª�¥ ����v$����w�ÐÍÁWw7���{�����7ÕB� Ê w Ê �M� ��� � ,K. � ���3��v$����w�Ð�M��v��Bw7��� Ê rks�wj�u�{�u�����{����w7�&�£¸������O�¶�{����� �£�B�µv����¶�{�����¶���3�£�{����� �M�¼��w7�£���M��v��Bw7���0�£�������Ô¸b�W���{s�w�W���O�¶�{�����2���u�´���3�£�������¼�£¸���s�w � w3ÐM�B�£�u�{�¶�W�u� Ê rks�w������O�O�u����� Ä ª � É w7v$���¶���O������v$����w�Ð=���3��������u�{�O�O�u��� � i � ÊV> �<¸b�������Mw3Î��3�¶w7�X��� � Õ@�{s�w����Mw3Î��3�¶w7�X��� � �£��w�¿u�����Ó�7�£������������w7�j¸b�W���{s�w����W�u���{�¶�{�O���¶������{���£�u����w7�k�£�u�0�{suw3�Í�£��wÓ�£���W�{w7�W�£�{w7���{�\�{s�w�ÁWw3�{�{����wV� ÊS^@�w �VO�G{aF[ EAG3H�b a���]��^E\H�bvX"M�E\GtO OgC X^O�C�[ C�a�H�G3H�b\M�aF[rksuw.¸b�W�{v������W��¸b�W�<��s�w\���O��w3�{¾Ã�W�O�{w7�7Õ]�¶�u��w3�{¾Ã������w7�����u�Í�W�O�{w7��¾Ò������w3�����]w3�����������'��Õ�@Õ��{wV��� Ê ¤ Ä ¢u¤ É���{w��Ww3��w7�����¶� S3wV��¸b����v 7 ��9]���u���£��w����Ow3�X�{���3���O¸b�����£������s��{w7wk���M�BwV�Q�£¸�w3ÐM�B�£�u�{�¶�W�����Mw�Î&����w3�X��� Ä � 4 � 4 � É�u�{��ÁM���Ow7�\��su���k�{suw��W���O�¶�{�����0���u�&v����Ï���¶�u�¶���3�£�{�����0�W�Bw7���£�{�����u�_�£��w<��su������wV�&���7���W���O�����W�¶� Ä �M�$�u�{�¶���w7�¶w7v$w3�X��º����{w����Wv\�u�¶w3Ð0v.���¶�{���������7�����¶�W�����u�F�����O�¶�{������¸b���4�3�Mw�Î&����w3�X��� � É�Ê

� � � �� � ��� � o j ����� � n � � �� � o -� <�������� � � : � < � � ����� �� � � � �� � � � ��� # � � � �� �� � Ä ª* É� � � � �� � ��� � o j ��� � � n7� � �� � o -� < � � ����� & : �k< � � ����� �� � � � � �� � � � ��� # � � � � �� �� � Ä ¢W© É� � � �� � ��� � o j ¤���� � n � �� � o -� <�������� & : � < � � ����� �� � 7 � ��78� � ��� # � � � �� �� ��u Ä ¢u¤ É

yÒ¸k��s�w&���]w3�����������Ó�£��w$�{�j�]w0�u�{w7�Àv��£�M�Í���¶v$wV��º��¶�{s½�{suw0�{��v$w&�O� �@w3��w3�B��w&ÁWw7�»������� # ÀÕ��Ï������W�OÁ��£�X������w7���u�����&����w7���Wv$���O�{wÓ��s�w.Á����¶��wV� � �� ��� #� �_�£�u��� �� ��� # � Ê rks�w.���£v$w�� � ,h. �3��3��v$����w�ÐÀÁ����¶�uw7���7�£�½�Bw0�u��wV�À¸b�����]�£��s½�{s�w0���]w3�����{�W�����.Õ� 5 ��s�w&�W�Bw7���£�{��� ¤ ��w7w7����� ! � , . �3��3��v$����w�Ð0Á����¶��wV� ÊS^@TS �-CF]�M4O�QV M�] X*E\C���bcH��yï�0�����Ow3�d�{�\w�ÐOw7�3�O�{w > ���������¶�{s�v5¢��W�Qw3Î��3�¶w7�X�{���&���Q�]�W���{�¶����w�ÕMº�w§��w7w7�$�����u�{wV�3�£�����u���£�{w§���u�&���{����w'� É rksuw ���M�7�£���¶�X�{w7���W�»���¶�W�u��p # $ �¶�MÁW����Á�w7�9���9�{suwµ���O�3�£�������£� # ) Õ����W�{��w7�{�]���u�O����� ���D���Ìv\�X���

� h*�Q� + ) ! ��w7���@�X�uv.�]w3��� Ê� É rksuw����O��w3�Qw3ÐM�B�£�u�{�¶�W�u�� #H���Q���¶��w7�¶w7v$w3�X���7ÕW�3�����{wV���]���u���¶���<�{� ! � 5 +��L,R+�� � � �), .��3�^o 5 +�� �s,

.��3�Ó��w7���]Á����¶��wV� Ê� É rksuwÌ����w7�7�£������������w7�´Á����¶��wV���£¸���s�wÔ����suw3�����7�£��su�£��v$�������Íw3ÐM�B�£�u�{�¶�W�u���u��wV�=�M� �{suw.��Õ%]Õ ¤�W�Bw7���£�{�W���7ÕX�{s�w��������Ww7�����]w3�����$��s�w����]w3���������p¤ÓÕ����W�{��w7�{�B�W�u�O�������{� ! � ! � , . �3����w7����Á����¶�uw7� Ê

S^@�� � bA] b a�� M��;]��^E\H�b�X"M�EAG3O OgC X^O�C�[ C�a�H�G3H�b\M�a> �¶�B�{��v$�¶�u���{wV�����dsB��Á�w��]w3w3�0�Bw7��¸b�W�{v$w7�$�W�0���������u���£����� � º��¶�{s0��w7�W���¶�uv ���{�O�3w7�����W�Q���F. u 5 Ç�U S Êrksuw��{��v$�¶���X�§��¸h�{s�w�Á��£���¶�W�u�����]w3�������¶�W�u�����MÁ�����Á�wV���¶�Í��v$����w3v$w3�X�{�����0�{s�w Ý Å�Å �£��w.�{��v$v$���{� S3wV����jr)������w\¤ Êrks�wÓv$�W���kw�ÐO�Bw7�u�{�¶ÁWw<�������O¸b���{�{�u�u����w3�������u��Á��W���u�£����w�|(�{�$�3�����3�������{w<�{suwÓ�{��s�w7�{���3���BsB�£��v\�W�����

w3ÐO�u�£�u�{�����u�<�{suw3v���w7�¶ÁWw7� Ê rks�w��{w7�3���u�À�£�u���{su�¶����v$�X����w�ÐO�]w3�u�{��Á�w\���]w3�����{�����B�����{w$�£�u���¶�M�������{s�w�W�O�{w7�.���Ì������w7�\�{���£�u�{���£�{�����¼�W�Bw7���£�{�W� ¤ Ê > �������X�����Ô�£�M�½�£¸§�{s�w��{���£�B���������¶�W�¼���]w3�������������M�½�{s�w

'(!�ÿ 'öç

Page 24: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¨�¤

r��£�u�¶wF¤' > Á�w3���£�Ww7�Í�{��v\�����F�£¸k���Wv$w\�W�Bw7���£�{�����u�����MÁ�����Á�wV�j���Ì��s�w Ý ÅÍÅ ¸b��� � oQ. D�ÕH�{���{�{wV�Í�M���s�w�w3���£�B��wV�Í���¶v$w Ê rksuw$�{s��W����w7���Ó�W�Bw7���£�{�����u�Ó�7�£���������Bw�v$w7�W���u�{wV�Í��w3���������¶�Ì�O��w\�{�F��s�w&�3���¶���¶�u���ÁWw3��s�w7�W�Ów���� Ê x_� � º�w_���u�O���3�£�{w_�{s�w����3�������Hw�ÐO�u���u�{�¶�W�.���Mw�Î&�3�¶w7�W���3Õ�º�su�¶��w � �������u���)¸b������s�w_ÁWw7���{���w3ÐO�u�£�u�{�������3�Mw�Î&����w3�X���k�uw3w7��w7���{���£�u���{��ÐO��v����{w����]w3��������� K Ê

z<�Bw7���£�{�����&�����3�£�����u���£�{w rk��v$w � 6�� � Õ � Õ � ¸b�W��¤Ó�{������������w ¢M¨O¤�� Ê < ¡�£������� ¤=¸b��� � ªu¤���ª Ê ¡*�£������� ¤=¸b��� � ¤V©W¡�¢ Ê R�*�£������� �R¸b��� � *�ª�ª Ê ¤V©�£��������&¸b��� � < � � Ê *X¨�£������� �R¸b��� � ª�¤7© Ê © R�£��������&¸b��� � ¨:R�¤ Ê ¨�ª� �� ¸b���R¤ ��ª Ê RX¨8 # $'�h�O����w7�»���¶� ¢ <OÊ ©W©A # $ �O���{wV�»���¶� ¢Wª Ê ª�¢� �� ¸b�W��R�W� ¨�¨ Ê ¤Vª�R¸b��� � ¤V¨ Ê ¨ ��R¸b��� � ª Ê R R� � � , �

¸b�W� � 0 r �R© Ê ¤V©� � � , �

¸b�W� � �R© Ê ¤V©� � � , �

¸b�W� � �R© Ê ¤V©B � Õ B 0 r �R© Ê ¤V©

ÿ)ÿ â�� ������

Page 25: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¨W¨ ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

¸b�W�{v��������&���B��ÁWw Ä }MwV�»�{�����2¢ Ê ª É ��w7�X�����{wV� ��� � �\���]w3�����{�����B�3Õkº�s�����s´v��£Ë�wV�&�¶���Ô�]�£�{�{��w3��wV��˵��¸��s�w0���¶�W�����Ï��s�vFÕHw7�{�]w7�����£���������]w3��������� ¤-�{sB���.�W�Bw7���£�{w7�Ó�W�½��º����3w&����v����X�½���Mw3Î��3�¶w7�X��� Ê }Mw7Á�w3���£����������W�W��s�w7�_su��Á�w��]w3w3�F�������]�W�{w7�0�{���W�3��w7�¶w7���£�{w<�{s�w7vI'� É �B�������j� Ý�Ý r-�X�Í���£ËM�����F���OÁ��£�X���£��w\�£¸_�{s�w��3���MÁ��W�¶�O���¶�W�u�£�����{���u�»�����{w$��¸d�{suw��������u�{���£�{�����͸b�W��¾v������07 ��9 5

� É �B���������$��wV�W�uw3�u�3w���¸����£�������¶�W�ÞÕX�{���£�u�{���£�{�����F�£���������{suw���#4�£ÐM���7ÕM���u���£�����{s�w7���{���������¶�W��7 < 9 5� É �B���������\��������w�ºk��Á�w��{w7���{wV��w7�X�������¶�W��¸b���k¸K�W����w3�4�{��v$v����{�����N7 ª�9 Êrksuw7�{w$�W�3�3w3��w3�����{�����B�§��w7�O�B��w\�{s�w��3��v$����w�ÐO�Ï���͸b�{�Wv ��� � ���{�F�]w���º�w3w7� ��� ��������� � �4�£�u� ��� � s ��u�O�$���{w��������u�Ï¿B�7�£�X�{���Àv\�W�{w����Wv\�u�¶w3ÐÔ�{su���Ô�{s�w������O�{w3¾`¸b�W���3w��3���MÁ��W�¶�O���¶�W� Ä ¢B¤ É ���u�Ô��sM�u��¸K�����{w3��W������¸b����s�����sFÁ��£����wV���£¸�� 5 w Ê � Ê ¸b��� �� ! D\������s�w��3�W��wÓ��¸)��s�w Ý�Ý rR�£�u���{�X����s����3�3�����O�����.�����������w7����� Êrks�w��{��v$�¶�u�W���£�]��Á�w�����¸b���{�{���u�£�{w7�¶�Fv��£ËWw��{s�w$�{��S7w.�£¸h��s�w\���{�W����w3v ¸b����º�s�����s��Ï�Ó��������Á����X����¾

�Ww3�W�u���{����������� Ý ÅÍÅ ÁWw3��������� ÊFÆ ÁWw3�Ô���¼�jÁ�w7�{�À����v$���¶w��3���{w��£¸���º��j¸K�£���W�{�W���u�Ó��¸kw7�¶w7v$w3�X������X�{w7���W�»�{�����̤7©�©��{��v\wV�3Õ�º�w�¿u�u�j��su���Óº�w���w7w7��v\�W�{w.�{su��� ! DD�w7�¶w7v\w7�X�����¶�Ìw7�W��sÍ���������͸b�����{s�wÝ ÅÍÅ ���j�Bw�¸K�W����w3�Ó��su�£�¼�7�£�������������¶������s�w��u�£����º����{w$�¶�X�{w7���W�»���¶�W�u���O���{wV�»�{��� Ê Ý �W���{wV�£�h��w7��v$w����{��w7��u�£�4�£������w3���������{w�º�w3���Þ��w7�u�£������w7��ÕM���\º�wÓ�7�£��w7���{��v$�£�{w��{sB��� Ý ÅÍÅ �W�����&�����£�{���_�{�$�]wÓ�3��v$�]w��{�¶�{��Á�w¸b�W������������w3v��kº��¶�{sFv$����w§��su�£� .#D Ów3��w3v$w3�X��� ÊS^@�� �VO�CFCZ[ H�O ��V$H��^O�CÑ wFsu��Á�w��{wV����w7� ��º_�½�u�W�������£�������W�W��s�w7�.�{�½�Ww3��w7���£�{�����Í��s�wF�{��w3wF�����{�B�»�{�u�{w Ê rks�wN%'� ������. �� � ����������W�W��s0���W�u���������k�£¸����W�u�����{�B�»�{�����$�\���¶�B�£�����{��w3wÓ���F�������O¾ï�O��º��&¸K�W��su�¶�W� Ê yï��wV����s�����w3�j�$��w3�k��¸w7�¶w7v$w3�X�����]w3�������W�¶�����������u���{w7�W�Ó���O�Ow$�����������¶�Ó���X�{����º_�Fsu���¶ÁWw7�<�u�{�¶������s�w$�BwV�����O��ÁM���O�����F�����£��w�B�£���£���¶w7�@�{�&�W��w��£¸���s�w.���M�W���O���u�£�{w���ÐOw7�7ÕB���u�F�����������uw7���{����º��&��s��������{w7���u�M��w7� Ê rksuw.���u�¶�¶�����¶���0������{�W���]w7��¸b�������O�OwV��º��Ï��s½�¶wV�{����su�£� � h w7�¶w7v$w3�X��� Ê rks�w&��w7�W��w3����¸d�{suw��B�W���u�O�����j�]��Ð��£¸k�£���h�{s�ww7�¶w7v$w3�X�����3���X�����¶��wV�0���j�\���O�Ow�������su�W�{w3�F�����{suw�w3ÐO�u�£�u�{�����F��w3�X��w3�k¸b���k��s�w����O�Ow Êrks�w����{w7wÓ�3���u���{���u���{w7�&�{s����kºk���\sB�����{suwÓ�W�OÁ��£�X������w<�£¸)�]w3�����$���Ow7���¶�����u�£���£�B��w7���£�u��w3�B�£�����¶�u�

��s�w0���X�{w7���W�»�{�����B�Ó�{�Ì�Bw0�{��w7����w7�¼�£���£��v$�W�����{suw����Ow7���_���3���¶w Ê !4�O¸b�W�������u�£�{w3����Õ��]w7�{����w7���Ï���.���£����w7���w3�O��sÞÕQ��s�w3��wF���$�£�u�£�{suw3�\�¶v$�]���{���£�X�&�O����º��u����Ë ' > �\�{s�wj��w7�¶���3w3�X�{w7���$�3���¼���£Ë�wF�£�M�ÔÁ��£����wWÕQº_w�uw3w7�j�{���7�£������������w Ä �£�u�Í���{�W�{w É �{suw.�������u���������¶�W�j���]w3�����������k¸b���Ó�£�M����º_�&���X�{w7���W�»�{�����0�3w3�����7Õ@º�s�����s�{�M�����]w7�3��v$w7�_������s������¶�{��Á�w�ÕXw7�{�]w7�����£�����.¸b�W�_�W�Bw7���£�{���,¤ Ê Ý ���_w�Ð��£v$����w�ÕX¸b���_�����d�{s���w3w3¾Ò�{��s�w7�{w§s�w7�W�v$�O�Ow7�Bº��¶�{s +�o .. !� w3��w3v$w7�W���d���&���£���£�@�£�u� � h�o . w3��w3v$w7�W���d�]w3����w7��¸Þ�u�M��w�ÕX�{s�w7�{w<º_�W�������Bwª �W¨*£¢��������{���u�»�4�W�Bw7���£�{�W� ¤DÁ��£����w7�����$�Bw��3��v$���O��w7� ÊÝ ������s����4�{wV���{���ÞÕMº�w�su��Á�w��������O��w7�����������������3���Þ�������O�{��Á�wW��(��m�� � �������{�u���{����w Ê yÒ���4�3���u���{���u�»���¶�W�

�����������§º��¶�{sÔ���3�����3�����£�{�����Í��¸d��s�w$�B�W���u�O�������B��ÐÍ��¸��£����w3��w3v$w3�X��� ÊV> �ÓwV����sÍ��w3ÁWw3�ÃÕH���u�£��w3�X�<�]��Ð�����O��ÁM���OwV�����X�{�Fw3����sX�Ó����w3�X�{���3���Q�����u�B��ÐOw7� Ê�Æ ����sÀ�£¸d��s�w$w3����sX����s������O��w3���{s�w7�½�{wV��w3��Á�wV�§w7�¶w7v$w3�X���º�su�W�{w��3w3�X�{w7� Ä ��w7�W��w3�$�£¸�������ÁM�Ï��� É ¸K���¶���\�¶�X���À�¶���$�]��Ð Ê rks�wj�{���]���¶ÁM���������¹���$���{�W���BwV�¼¸b�W�$���O�Ow7�º��¶�{s½��w7�����{s�w7� � h w3��w3v$w7�W��� Ê&Æ v\�����������£�u��suw7���£��w\���{�u��w7� Ê&Æ ÐM�B�£�u�{�¶�W�Ô��w3�X��w3�������{w$�������¶�X�{��Ww3�Wv\w3�{�����7�£����w7�X�{w3�����£¸�w7�W��s��]��Ð Ê> �Í�O�»�����{w7w�v����0�����§�]w.º�w3���H�u�������u��wV� Ê�U ��º�w3Á�w7�7ÕO�¶�<���4��w3�������¶ÁWw3�����{su�£������º�ÕO¸b���<w�Ð��£v$����wÓ¸b����W���k����suw3�����7�£�]s�w7�W��v$�M��w3�@º��Ï��s +�o �!. ��� w7�¶w7v\w7�X�����������0¡���w3ÁWw3���_���{w<��w3wV�Ow7�0º��Ï��s � h o/. DD Ê

'(!�ÿ 'öç

Page 26: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¨�ª

1e-16

1e-14

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

0.1 1 10 100 1000

rela

tive

erro

r

relative distance

relerror 5

1e-16

1e-14

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

0.1 1 10 100 1000

rela

tive

erro

r

relative distance

relerror 10

1e-16

1e-14

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

0.1 1 10 100 1000

rela

tive

erro

r

relative distance

relerror 15

� o�� � o/. D � o .��

Ý ��������w�¢ ')rksuw���w3�������¶ÁWw_w7�{���������Ó����������ÐO�¶v�����w�. ) 9 2�� # 2 9 �u�{����� Ä ¨* É ���h�<¸b���u���{�����\�£¸]�{s�wk��w3�������¶ÁWw�����������u��w�¸b��� � o��_4#.#D�4#.�� Ê

yÒ���0v��£�����0�W�OÁ��£�X������wj���&��su�����{s�wÌw�ÐO�u�£�B�������=�3w3�X�{w7���&���{w����u�������W��w3wV� ��� ���¶wÌ���=� � ������w7�{������W�{���¹º��Ï��s=ËM����º��´���B��������� Ê rks�w7�{wÍ���{wF��s�w3��w�¸b�W�{wj�W�����¹�½���¶v$�¶�{wV�´�M��v.�]w3���£¸�Á�wV�»�{�W�������W�¶�u�¶����3w3�X�{w7���4�£¸��¶�X�{w7���W�»���¶���&�3w3�����§�£�u����sX�B�4�£�Í�W�3��w7�O��������w��M��v��Bw7�§��¸��O�����{���u�»�<�{���£�u�{���£�{���������]w3��������������$���{wV���Wv\�u�O�{w Ê Ý �����W���kv$�M��w3�Þº��¶�{s + o �_. ��� �W�����0ª < < R����]w3�����{�W���<¤R�£��w<��w7w7�OwV� Êrks�w7�{w��£��w&��º����]��ÐOw7�\�������O��������w7�½º��¶�{s¹w7�W��s¼��w3��� Ê Ý �������VÕ��{s�w7�{w�������s�w��3w3���_�]��Ð �Ow7�¶��v$�Ï���¶���

��s�w&��w7�¶�_�Ï����w7�ϸ Ê yÒ�����{� S3w7�.�£��w\w3Ð����»���¶��su�£�¶¸��£¸��{s�w&�{��S7w7����¸_��s�w&�u���{w7�X�Ó�]��ÐÀ���u�À�Ï�.�3���X�����¶�B�Ó�{s�w�3w3�X�{w7�����£¸��£���dw3��w3v$w7�W�����]w3�������W�¶���F���j�{suw0��w7�¶� Ê rksuw3�½�{suw3��w������F�B�W���u�O�����Í�]��Ð���su���.w7�u�����W�{w7����¶�Q�{s�w&w7�¶w7v$w3�X��� Ä ���£�§���u���.�{s�w7�¶�.�3w3�X�{w7��� É Õ)º�s�����sÀ������¸ö�{w7�½�{v��£���¶w7���{sB�£�À�{s�w���w3���Q�]��ÐÌ�������3����O�7�3���{�����u���¶���Ô�£�����À�Bwj�u�¶�W��w3� Ê¹Ñ wj�u�{wF�B�W���u�O�����Ô�]��ÐOw7���{�¼�Ow3�{w7�{v$����wFº�s�w���s�w3�$��º��Ô��w3�������£��wº�w3���¶¾Ò�{w3�u�����£�{wV� ÊS^@�� UN}�M�b�V CqM��RX^GtO�G{]�C`H�CzO [rksuwÓ��su������wÓ�£¸��j�£�B� �¹�����������OwV�0�M�����¶v$w.���u���W�3�3�����W���&�3���u�{����w3�����{�����B� ÊÖj× ° �)× ��± ]�] ° Û�� L �½±�¯>L Û>� ±�²W² �H°�±�² Ø��yÒ�����Ów7�W���Í�{�jw7�������������{s���su������s�w$�{�����u�7�����¶�W�Ìw7�{�����Ó�£¸ Ä ¨ * É ���Ó�������]���{�{�����u�����{��� 9 2 # � 9 ) 9 2�� #� 9 � &_7A2 º�s�����s �����B�W���u�OwV�¼�M� � � 9 &_7A2 = Ê yï� Ý �����u�{w�¢Íº_w���su��º-��s�w0��w3�������¶ÁWw0���7���������3�Ì��¸��{s�w����������ÐO�¶v������¶�W����¸3. ) 9 22� # 2 9 �u�{�¶�u� Ä ¨* É ¸b�W�§Á��£�������u��Á����¶��wV�4��¸ �2���§��¸b���u�»���¶�W�Í�£¸���s�w.��w3�������¶ÁWw�����������u��w 9 2 � #"� 9 ) 9 2 #"� 9 ¸b���:.#D ����£�u����v,�]�����W��� Ê rks�w��Ow3�]w3�B�Ow3�u�3w&���W�{��w7�{�B�W�u���§�����3w3���j�{���s�w�����w7�O���»���¶�W�0¸b�W�{v�������ÕM����ËM�¶���\���W���&���7�����u�W���{suw 5 ���¶�(�u�W�£�{�����$����w7�����{�¶�W� Ê� L � ×� ±�²W² �H°�±�² Ø ¯3°�±�Ü ×WÙ�Û���x����{s �R���u�����¶��B��w3�u�3wÀ�{s�wÀ����w7�����{�¶�W�=�£¸���s�w Ý Å�Å ����������ÐM��v������¶�W�=�£�u� ��s�w½��Á�w7�����¶�����¶v$w�3���u�{��v$�O���¶�W� Ê rksuwÌ�u������v$w��{w7� � Ä ¨* É �¶��B��w3�u�3w7���{suwÀ�{��S7w���¸��{s�w½��w7�¶�Ó��w7�¶�WsX�]����s��M�O�¹�{�¹�Bw���{wV����w7�À�¶�O�7�£���¶� 5 ¸b���\�jª�¥ �u�{�W���¶w7vº�w&w�ÐO�]w7�����{s�w0�X�uv.�]w3�.��¸���w7���.��w7�¶���Ó�{��������º-����� s Ê Ý ����O�����{��w3w3¾`���M�]w4��w7�¶�����{suw�v\������v.��v �u�{w�¸b���BÁ��£����w��£¸ ����� � � . 3 o ¡ � � . u �8�<suw3�u�3w��¶�O�3���ϾÒ���W��w3�������{�����ÿ)ÿ â�� ������

Page 27: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¨£¢ ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

1e-16

1e-14

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

1 10 100

rela

tive

erro

r

relative distance

error D10

1e-16

1e-14

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

1 10 100

rela

tive

erro

r

relative distance

error D10

1e-16

1e-14

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

1 10 100

rela

tive

erro

r

relative distance

error D10

¤�R��B�W�¶�X� ¨�¡��]�����W��� ¤7¢�¢$�B�W�¶�X�

Ý ��������w.¡_'_rks�w���w3�����{��Á�w�w7�{���������0�£���u�{��ÐO��v$�£�{wÓw3��w3v$w7�W�����£¸ 8 # � $ Õu¸b���t. D ����£�u����v ���{���£�u����w7���£�B�� o .#DuÕ�������¸b���u���{�����À�£¸Q��s�w\�{w7���£�{��Á�w.�O�������£�B��w\�u�������0�{s���w3w$�X�u���O����������w��{�u�¶wV� Ä�� � É '�¤�R&�]�����W��{�Mv$v\w3�{�����Q�{������������w � � Ä �¶w3¸ö� É ÕW¨�¡4�B�W�¶�X�)�u�{�O�O�u��� Ç ���u�{� � � Ä v\�����O��w É Õ�¤3¢W¢£¾Ò�B�W�¶�X�Þ�����O�O�u��� Ç ���u�{�� � Ä ������sX� É�Ê

�uw3����sM�B�W�{su�X�O�jsB����� s o ! �0��w7�¶��� Ê rks�w$����u��w7�u��w$�£¸��u�£���£v$w3�{w3� �R���Ì�{s�w��3��v$���O�����{�����À�£¸_�{s�ww3ÐO�u�£�u�{�������3�Mw�Î&����w3�X���7ÕO��w7�{� Ê �{���£�u�{�����{���������]w3�����������d��� ��� �:� ��Õ���w7�{� Ê ��� � �� ÊÑ w�su��ÁWw�w3ÐO�Bw7�{��v$w3�X�{wV�FÁ����{�����B�kÁ����¶�uw7����¸����£�u� � ���j�����k��s���w3w�¾Ò������w3�4�{��s�w7�{wÓv$�O�Ow3��� Ê rks�w

�W�O�{��v��£�]Á��£����w§��¸ ��º��W�d�£��ºk���M�d�Bw3��º_w7w3� � � . 3 �£�B� � Ê yï�0�W����w3�Q���.���¶v$�¶�k�{s�w��£v$�����X���£¸Hv$w3v$�W�{��uw3w7��w7�\�{����������w����{wV�3�����3�����£�{wV�����O�3���u���W��w3�������{���������Mw�Î&�3�¶w7�W���Qº�wk�{s�w7�{w3¸b����w§�OwV�����Ow7�\���.��w3� �0o ! Õ���j�£�W�{w7w3v$w3�X�kº��Ï��s 7 *�9 Êrks�w7�{w$���Ó���j���W�u��w7�u�{�u���£�]���O��º�su�£�����3�3���������j����¸b���u�u�£v$w3�X�����¶���Í��w7�X�����{wV�Í���j�3�£�����u���£�{w\�{s�w

ÅÍÆdÇ�È�ÆQÆ_Ç x ÆdÅ ���W��w3�������{�����u��¸b���$��s�wF�¶�MÁWw3����w Ä �{��������wF���Ow3�X���Ï¿B�7�����¶�W� É ���{�W����w3vFÕ_�O�uw����½�{s�wv$wV���{���{w7v$w3�X�Ó���u�Ìv\�O�Ow7�¶�����Fw3��������� Ê�Ñ w�su��ÁWw.��s�w3��w�¸b�W�{w$�Ow7�3����w7�Ì�{���{�u��w\�{s�w&�W�3���u���W���F�u�{�¶����W���_�{��s�w7�{���3���us�wV���$v$�O�Ow3���_º��Ï��s&ËM����º��&�£�u���¶�X�����7�£�B�{�����O���¶�W�$�{����s�w4¸b�W�{ºk�£���\����������w3vFÕX�{wV�W�u�¶���¶�u���s�w��O���@w3��w3�u�3wÍ�Bw3��º_w7w3� ��s�w Ý ÅÍÅ �£�B� �����O¾ Ý ÅÍÅ �¶v$����w3v$w7�W�������¶�W�u�����¼�Bw��¶wV�{�$��su�£� .�� ��¸��s�w�w7�{�����kº��¶�{sj��w7�{�BwV�»�4���$�{s�w.���u�£���X�{���3���H���W�¶���{����� Ê rks����<���W�{��w7�{�B�W�u���_�{���3�£�����u���£�{�����$�{s�w�x ÆdÅ���X�{w7���W�»�{�����B�_º��¶�{sF��w3�������¶ÁWw��W�3���u���W���&�£�]�����t.#D � Óº�s�����s���������������w7�X������w7�&�B�k�{���{w�� � o . D ʬ$²W² �H°�±u² Ø´Û�� ¯ � ×ÍÛ^]d× °�±O¯ Û °�± ]G] ° Û�� L �½±O¯ L Û_�yï�À�����Ow7�<���j��s��M�W�{w.��s�w&�£���u�{�W���{������w.�M��v$w3�����3�£�h�X�u�W�O���£�{����w\���{�O�3w7�O����w��{�F�¶v$����w3v$w7�W� Ä ª�©uÕ ªWª É Õº�w§w7Á��£���u����w7�$��s�w<��w3�������¶ÁWw§w7�{�����Q��¸)�£�u���{��ÐO��v����{����� A # $WÕ 8 #3� $�Õ 4 #1� $'��������¸b���u���{�������£¸H��w3�������¶ÁWw§�O����¾���£�u�3w4�]w���º�w3w3�$��s�w§w7�¶w7v$w3�X��� Ä �{�����£���W�¶wV� É ���u�$�{suw§�X�u���O����������w��{����w Ä�� � É �u�{w7�$¸b�W�3.#D 4���£�u�O�Wv$�¶��Ww3��w7���£�{wV�����{���£���W�¶wV���£¸Þ�O���]w7�{w7�X�_��� S3wV�3ÕW��su���BwV�d���u�\�����¶w7�W�������¶�W�u� Ê rks�w���w3�����{��Á�w4�����������u��w��]w���º�w3w7����{���£�u����w7��� 2 ���u� � � ºk���Qv$wV���{���{wV�$���h��s�w§�������¶��?�ACB�� � " 9� # � 9 ) ?)FHG� � ' 9� #�� 9 º��Ï��s���]w3��������s�w��3w3�X�{w7�4�£¸hw3ÐM�B�£�u�{�¶�W� Ê Ý �W�4�{suw.�O���{wV�»���3��v$���O�������¶�W�ÞÕB� . �B�W�¶�X� � �9���<�u��wV� Ä }MwV�»���¶�W�¨ Ê ¢ É Õ���������s���� � �·�����¶�u�W�Ow7�X�u�£�{w\º�s�w3�½�OwV�£���¶����º��¶�{sÀ�{s�w$���X�{w3�W���£�{�����Í��¸��{��s�w7�{���3���)su���{v$�W�����7�3ÕwV���]w7�3�����¶����¸b�W�Q���]w3��������� & Ê z<�B��w7�{ÁWw���� Ý �¶�W���{w§¡<��s�w4w3ÐX�����Ó�3�¶�W�u�\�£¸@�B�W�¶�X���d�¶�\��s�w4v$���u�O�¶w4¿u������w�Õ�3�����{wV���]���B�O�¶�u�&�{�����W��w3�������{�����u�<�{sB������su�������Ì�{��v,���S3w3��� Ê.Ñ w&�OwV�����Ow7���{���u�{w\�{s�w � � �0o ! ��]�����X�$�{w3�B���W�����{�O�O�B�»� Ç �£�u�����X�u�������£�{����w0��su���&�]w3�{¸b����v������OwV�X�u����w3��� 5 ���u����w7�W�������̸b���{�{s�w7���{s�w���X�{w7�������{�����������Ow3���O�MwV�k���£�4��v$���{��ÁWw��W�3�3�����W��� Ê

'(!�ÿ 'öç

Page 28: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¨W¡

S^@�� � a,HICFO�GYV$H�bAM�a ["C`H:KNCzCFa-[ C ��CzOgGtE&H�O�CzC�[yï�Ô�F�����£�B���£��� Ý ÅÍÅ ��s�w3��w����Ó���������W��w\�{��w3w$�{sB�������W��w3���������Óº��¶�{sÔ�¶���{w3�¶¸ Ê yï�½�����.�7���{w$º_w$su��ÁWw������w7�£��º��¶�{sÀv.���¶�{������w.���{w7w7�<¸b������º��0��w7�W���W�u��'�¤ É�Æ ����sÀ�����{¸K���3w.����su�£�u���¶wV���{w3�u�����£�{w3����Õ��{�0��su����]w3�{¾ï�����{¸K���3w����O¸b����v����{�����Í�{�u��s��W�§�3���u�O�B�»�{��ÁM�Ï���¶wV�<���XwV�§�u�£�<sB��Á�w����0�]w\���{�W�{wV�j���<wV����sÍw7�¶w7v$w3�X� ʨ É�Ñ w.su��ÁWw���º������M�BwV�§��¸QÁ����{���£�u�¶wV�4�������O�3���£�{w7�Fº��¶�{s�w7����sÌ�����{¸K���3w'��B���{w7�W�������tf������Ï���§ÁWw3�{�{����w7�Ä ��¤ É ���u���B��ºK]À�����Ï���Ó¸K���3w7��� D Ê Ý �W���£�M�jw�ÐM�{w7�{�B�£�h���u��¸K�W��w Ä ���W��w3�{¸K���3w\º��¶�{s½�£��� É �W�����F�{s�w&��¤���{w7wÓ���k���u�¶�¶�7Õu�{���u��w��{suw �u��ºr]����kËM����º����{�$�]w"S3w7�{���{s�w7�{w Ä }Mw3w��£���{�$}MwV�»���¶�W�j¨ Ê ¨ É»Ê Ý �W�kw�Ð��£v$����w�Õ¸b�W�<�&�{s�w7�¶��v$�M��w3�Hº��¶�{s + , �{��s�w3�����3�£�����u��¸K�W��w7�7Õ���s�w3��w.���{w1+ , ��¤��{��w3wV�§���u��� + , # . ���d©$�{��w3wV� Êrksuw����O¾ï��º�w3w7����sB���{w������]w3�{¸b����v$w7�F�{w3�u�����£�{w3���$¸b���§w7����s��{��w3wWÕ�s�w7�u��w����j������w3Ð��£v$����w��3���{w��{s�w7�{w���{w ! + , # .Ó���O¾ï�{º_w7w3�u� Ê> �{��w3w �;º��¶���k�¶�X��w3�����»� Ä ��s��{�W����sµ�O��º��O¾ï��º�w3w7�u� É º��Ï��sµ�£���k�£��s�w3���{��w3wV����su�������W�{��w7�{�B�W�u�À�{��{���{¸K���3w7�Ó�Ow3����v\�¶�{�����Í�F���Wv$v\�W�ÌÁW������v$w$º��Ï��s0� Ê�Æ �W��s½����º��O¾Ò�{º�w3w3�À���W�{��w7�{�B�W�u���§�{�F���uw\�u���O¾w7v$�O���������M��Ë�������s�w����O���{w7vZv$�£�{���ÏÐ�� Ä }MwV�»�{�����$¨ Ê ¢ É�Ê Ý �W��������w�Ð��£v$����w�Õ���s�w3��w�º��¶���O�Bw �v. ! + ,4# .�������º��O¾Ò�{º�w3w3�B� Ê> �¶�hw7�¶w7v\w7�X��� Ä ÁWw3�{�{����w7���£�B�j¸K���3w7� É sB��Á�w����������B�£���¶���������X��w$���Ow7�X�{�¶¿B�3�£�{�������M��v��Bw7�§��su�����]w�¾�3��v$w7�d�£�����u�Ow�Ð$�£¸@��s�w§���W�{��w7�{�]���u�O�����

�# ��� � # Á��£����������w Ä ¸b��� f9�{wV��� Ê ] Ä � É{É»Ê rks�w4ÁWw3�{�{w�Ð\�¶�B�O���3w7��W�.¸b����v D��{�?+ � # .WÕM�{s�wÓ���{���£�u����w����u�O����wV��¸b�{�Wv + � �{� + � ,r+ � # .^oh+�# . Ê

r)�$�{��w7�£����s�w�v.�u�Ï���¶����wÓ�{��w3wÓ���X�{w3�������{�����u��w3Î��3�¶w7�X�{��� '� É rksuw A Á��£����wV�4�£��w��{su���{wV�0�W�¶�W�u�£���¶� Ä ���3�{�X�{�k�£���@�{��w3wV� É ���&�3�£�����u���£�{w��{s�w 4 Á����¶�uw7�k�u�{�¶�u� Ä ¤�¡ É�Ê� É rksuw��£�{suw3������w7�7�£������������w7�À�O���{wV�»�����W��w3�������{�����u� Ä 8 Õ 4 É �£��w&�£�����F�{su�£��w7�À�������B�£���¶�F���F���£ËWw&���M¾Á����W���£�Ww<��¸)��s�w����Mv$v$w����{�&��¸H��s�w����O���{w7v�v������{�¶Ð �¹�¶� Ä ¤�R É�Ê� É rksuw§�����{w3�_w�ÐO�u���u���������3�Xw3Î&����w3�X��� � ���{w§�7�£������������w7���O����w7�»���¶��¸b����v5���Mw�Î&����w3�X��� � Ä ª <�É»ÊhÆ Á��£���O¾�£�{�����$���Mw�Î&����w3�X��� � Ä ª�© É �£�B� � Ä ªWª É �£�����\��su���{wV�Qv��£�M�����X�{w3��v$w7�O������w§��w7�{���¶���7ÕXw Ê � Ê �{s�w�Á��£����w7���¸ � �£�W��������w<�B�W�¶�M���Wv\���£��� Ê

� É rksuw\w3ÐO�u�£�u�{�����Ì�3w3�X�{w7������¸��£�����{��w3wV�Ó�¶��w$���½���3��v$v$���À�������Ì������su���Ó�{suw$�{su�£����s�w ��Õ1��£�B�¤·���]w3�������������7�£�Ì�Bw&�{su�£��w7� Ê rks�w7�����u�{��w3�X�{���Í�£���{���{su�£��w��{s�w$�����O¾Ò�¶w7Á�w7���]��Ð�ÕÞº�s�����s�¸b�u����s�w3��{��v\�u�¶�¶¿uw7�§���Wv\wÓ�W�Bw7���£�{�����u� Ê

w É �d©\�{��w3wÓ���O�Ow7�§�����X���£��� � �3�Mw�Î&����w3�X��� Ê ��¤Ó���{w7w����O�Ow7���3���X�����¶� � ���u� � ���Mw�Î&�3�¶w7�W�����{su�£�§�3����]wÓ�{���£�B��������w7������v.���¶������w3�W�u�{�¶�������{s�w�����¾Ò�{º_w7w3����su�W��w ʸ É rksuw������{w3��w�ÐO�u���u�������B�&�3�����3�����£�{wV�´�O�����¶��� �{s�wÌ���O¾ï��º�w3w7�´��su�W��w��7�£�´�]w��u�{w7�´�{�¼w7Á����¶�B���{w��s�w$�¶�X��w3�����»���¶�W�Í�£¸d�{s������{��w3w�º��Ï��sÀ���¶���£��s�w3�����{w7w7� Ê rks�w3��w�¸b�W�{wWÕ@���¶����s�w��u�O¾Ò�{º�w3w3�B���{s��W�������Bw�3��v$����w���w7�&�]w�¸b�W�{wÓ�£���]�{s�w��O��º���¾Ò�{º_w7w3�u� Ê � �W�X�{���£���¶º�����wWÕ£��s�w3��w<�������\��w3wV�&���\���{�W�{w§�{s�w�Á��£����w7������{�����\�{suw��O��º��O¾ï��º�w3w7�ÞÕX�{s�w7���3�����]w��3�����3�������{wV�0�W�0��s�w �u� Ê

S^@�� �VM\[ �^] ]�G3Okbv[ CrksuwÓ�������{�������u���{s������$¸bw7�£�{����w7�k��¸)���u� Ý Å�Å ���¶�W�����Ï��s�v �3�����]w��{��v$v$���{���{w7������¸b��������º4� Ê

ÿ)ÿ â�� ������

Page 29: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¨ R ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

� É yÒ�F���&���£���¶�W�{wV�¹¸b���F���Mv$v$w��{������x ÆdÅ Õ��£�B� �{s�w7�{w7�{w3¸b����wÍsu�W���{� ���W�Bw̺��Ï��s=��s�w����X�{w3�������{�����u��]w���º�w3w7����º��F�O� �@w3��w3�X�.�O��������w��{� S7�£�{�����u� Ä �d© È �4¤ É �£¸k��w7Á�w7�������{���{¸K����wV�<�{s��������Ws͸b�W�����O���]w7�{w7�W��W�Bw7���£�{�W��� Ä KR4 & 4 & L 4C( É Õu�{w3w��{w7���{�����j¨����u� 7 ¡�Õ�¨�¤�9 Ê

� É yÒ�§�7�£�F���W�Bw�º��¶�{sF���W��w3�������{�����u���]w���º�w3w3�F�O���]w7�{w7�X�4w3��w3v$w3�X���{��w3wV� Ê� É yÒ���u�{w7�Ó����w�Î&�3�¶w7�W���7����s������0��¸_���X�{w3��v$w7�O������w���w7�{���¶���7ÕÞ��Á��W���O�����0�{s�w\�{w7�Bw3�{�¶�{�����À�£¸�w�ÐO�Bw7�u�{�¶ÁWw�7�£�������������¶�W�u� Ê

� É Ý �����������Ô�¶�X�{w7���W�»���¶�W� Ä º_�W�{Ë É �u�����Ô���.w7�����£�u�¶����suw7�Ô�£�B�À�{s�w���w7�3w7���{���{�ÍÁ����¶��wV������w7�7�£������������w7� Êrksuw�º_�W�{Ë������£�����k�{s�w7�Fw�ÐOw7�3�O�{wV���£�4w7����s��¶�{w3�������¶�W�ÞÕMw3���¶v$���u�����¶�u����Á�w3��s�wV��� Ê

w É rksuw��M�������{w7wÓ���{���u���{����wÓ���k��������wV�F���\�{sB�����{suw3��wÓ���{wÓ���$w7v\�����&�����£�u��s�wV� ʸ É rksuw��OwV�����������Í��¸Qº�s�w���s�w3�<��º�����w7�¶���§���{w\����Î��3�¶w7�X�{����¸K���<���u�£�{�<���§�B���{w7�F���Ì���»���u�£���]�����u���¶����]��ÐOw7�d�£¸��{suw<���W�X���£����wV�$�u������s�w7�_���Q�W���]�W�{w7�\�{�.�{s�w<�B�W���u�O�������]��ÐOw7�d�£¸��{suw<��w7�¶���d�{s�w7v$�{w3��Á�wV� Ê

� É yÒ�4���k��v\�u�¶w7v\w7�X�{w7�F���F�$v\�O�O�u�����k���u��w�Î&����w3�X��¸K�W��s����������0��s�wÓ¸b���u���{�����u���Þ���������B�£��w�z��3��v$��� Ê

� 1��&������ 3%(�4/.�)�rksuw$�{���]w3���¶�W�����3�3���������F��¸d�{suw&���Mv$v$w��{�����\x ÆdÅ ºk�����£����w7�����F��w3v$���u���{������w7���¶�D7ë¡�9 Ê rks�w$���u��¾�]�W�{w.��¸h�{s����Ó��wV�»���¶�W�Í���§�{���Ow3v$�W�u�������£�{w���su�����{su���Ó���7���������3�0���§�u�£������v$������v$����wV�F�M����s�w Ý Å�Å�W�3�3w3��w3�����{�����½�������]�W�{w7�½���u�À�{su�£���¶���]w3��v$�Ï���.�u�.�{�Í�{��w7������� �Í�{��������w0���Wv$���O�{w7�.���¼��w7���{���B�£����w���¶v$wÓ¸K���������{�Ww3�k����������w3v��_�{s�w7���{s�w��O����w7�»� Ä ������¾Ò�W�3��w7�¶w7���£�{wV� É ��v$����w3v$w3�X���£�{����� ÊÑ wFsu��Á�w��u�{w7� �{s�wj���£v$w��{��s�w7�{���3���_suw7���µv$�O�Ow3�������\���q7ë¡�94�{�¶�u�3w����u�£���X�{���3���k�{�����O���¶�W�u�$�£��w

��Á����¶���£����w�¸b���0�{s�w7v Ê rks�w7�¹�3���u�{�����&��¸�ª �����B��w3�X���{���F����suw3��w7��º��¶�{s=�������¶��Dgu � �MÕ D�u � ! Õ����u�/. u D�Õ��w3���¶v$�¶�{�����.ÁW������v$w7�hº��¶�{s0�3���u���u�»���¶ÁM�¶�{��w7�F. u D�Õ�Dgu D . ! �OÕ�. u D����u�?D�u D�ÕW¸b����v �¶�u�{���Ow��{��ºk�£�����h�W�O���{���Ow Ê¥<���]w7�{w7�W����w7�{�����O���¶�W�Ìv$w7�{s�wV�Óº_w7�{w$�u�{w7�Àº��¶�{s 5 ! 4 ! � ! �£�B�r. D ! 5 ! ÁWw3�{�{����wV�<�]w3�������{¸K���3w�ÕÞº��¶�{s�3�����{wV���]���B�O�¶�u�.���£�������M��v.�]w3�4��¸��u��ËM����º��u��¸b���4�{s�w��{�Mv\v$w3�{������x ÆdÅ w7�X�u�����{� 585 �� 4�. ��� !� �£�B��_. ��� ÕX��w7�{�BwV�»�{��Á�w7�¶� Ê{> �O�¶�]�����£�4�{���u���3w<ºk���k�������3w7�����4�O�������£�u�3wtD�u 5 ! �Ó¸b����v ��s�w���w7�W��w3� Êrks�w�w�ÐO�]w3���¶v$w7�W���.º�w3��w0�]w3�{¸b����v$w7�Ô�W� ���3��v$���O��w3�\º��Ï��s¹�r. u Ç s�S 5 ���¶� >�Å ¥Âz<�O�{w7�{�W��u�{�O��wV�{�{����º��¶�{s � Ç x´��¸���sM�O�{���7�£�@v$w3v$����� Ê��@A? ��bAa���E\C �5[=X�}�CFO�C }^CzG{J ]�M�J�CFE�[rksuw�¿u�����$��w7�{��w7�.�£¸�w�ÐO�]w3���¶v$w3�X����ºk�����]w3�{¸b����v$w7�½�W� �Í�{�¶v$�����Ï¿Bw7�ÔÁWw3���������½�£¸���s�w0suw7���½v$�O�Ow7����3���X�����¶�u�¶���0����w\�����{¸K���3w����u�¶�WÕu¸b�W���0v\wV�£��������¸b�����3��v$�u���{�����W�Fº��Ï��sÍ�{��v$�¶�u�W�<�{w7�B�W����w7�F�M�jrk�����{���{����u���§�£s��W���Z7¶¤�¨�9h�u�{�¶�u������w7�3�����{wV�»��w7�M¾ Ý�Ý r9v$w3�{s��O� Ê rks�w$�����������£v��§º_w7�{w\�{�u�̺��¶�{sÀv���ÐO�¶v���v�M��v��Bw7�4�£¸hw7�¶w7v\w7�X���4�]w3�<��w3��� � h o ! DD�Õuw�ÐO�u�£�B�������������Ow3�� o .#DuÕ�v$�¶����v.�uv ��w3�������¶ÁWw��O���������u��w�Qo . u �MÕ)���u� Å y � � Æ }Ô��w3�������¶ÁWw����������������j��s���w7�{s��������o .#D ��� Ê rks�w0w3���£�u�{w7�À���¶v$w�Õ�v$w3v$�W�{���w7�X������w3v$w3�X���§�£�u�F�M��v��Bw7�§�£¸h�¶�{w7���£�{�����u�<�£��w���s���º��j���Ír��£����w7��¨��£�u�jª Ê rks�w���w7�{���¶���4��¸Qrk�����{���{����u�À�4�£s��W���F���{w$��w3�]���{�{w7�̺��¶�{sÀ�{s�w7�¶�.���{wV�����������½���W�X�{�����h�u������v\w3�{w7���k] o ��4 5 �����u��w\��s�w3�À��w7w3v

� ��� ���������$���E!���� #���� �������

'(!�ÿ 'öç

Page 30: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¨ <

r��£�u�¶w½¨_'¼rks�wÌw3���£�u�{w7� � � !����¶v$w½�£�u�´�M��v��Bw7����¸��Ï��w3�������¶�W�u�&��w7w7�OwV�´���µ�{����Á�wj��s�w�¸b�W�{ºk�£����u�{�W���¶w7v�¸b�W�Q�{suw<�{�¶���W�¶w3¾Ò�{��s�w7�{wkv$�O�Ow3���d�W�d��¸b���B�»�{�����0�£¸@�{s�w<�M��v.�]w3�Q��¸Þ����ËM����º��u�h¸b���Q��s�w§�O����w7�»�Ä ��� Ý ÅÍÅ�É ���u� Ý ÅÍÅ ¾ï���7��w3��w3������w7�´�{�Mv\v$w3�{�����Ìx Æ_Å v$w��{su�M�u� Ê rk��v\wÌ��w3wV�Ow7�´�{� ���W�¶ÁWwj�{s�w�u�{�W���¶w7v �u���������{s�wF�O���u���¶w�������w3�\�O���{wV�»�\���u�¼�u�{wV��������w7�»��w7�M¾ Ý�Ý r-v$w3�{s��O�¼��w3�]���{�{wV�Ô�M�Ôrk�����{���{����u���4�£s��W���;7�¤V¨�9]¸b�W���u�£���£v$w3�{w3����]8o � ) ]Wo 5 ���{wÓv��£��Ë�wV�&º��¶�{s L Ê

ûHê � á�� ñ�� '�ã`á�äÃô�ã`êëæ»â�ñü)â��3â�æ�)âVñ ì�êëäKá�ðïã)ñ`í � �~ì�êëäKá�ðïã�ì�é�� ß ó � � è�ä`á�ð�� #öó�ó�û)ß ó � � èVä`á�ð�� #öó�ó�û�ß����� �� ���

+ ���� �������� ��� ��� �������� ���� ��

+����� ���

������� ��� � �����+ ������ ���

������� ������ ��� ���������� � ����� �����

+������ ���

������� ������� ������ + ������� ����������� ��������� ������� ����������� �������� ������ + ������ ���

r��£�u�¶wÀª�' rks�wÀv$w3v$�����¹�{wV�W�u�¶��w3v$w3�X���&���¹�{����Á�wj��s�w̸b����º������ �������u�¶w7v ¸b�W�0��s�w½����������w½����suw3��wsuw7����v$�O�Ow3����������¸b���u���{�����F�£¸)�{s�w��M��v��Bw7���£¸�����ËM����º��u��¸b�W�_��s�w��O���{wV�»� Ä �u� Ý Å�ÅÍÉ �£�u� Ý ÅÍÅ ¾�W�3�3w3��w3�����{wV�.�{�Mv\v$w3�{�����kx ÆdÅ v$w���s��O���h��� Å x Ä ��s�w§�����{�u���Ov$w3v$�������u���£�Ww��u�B�»�{�B���{wV�Q�O��wk���Ó�{s�w�X�£���u�£�Ww<�3�����¶wV�»�{�W� É�ÊQÅ w3v$��������w7�X�����{w7v\w7�X����¸b���k��s�w��O�W������w�������w7���O�¶��w7���4�£�u������w7�3�����{wV�»�{wV�M¾ Ý�Ý rv$w3�{s��O���{w7�B�W����w7���M�&rk���{���£���]���u�0�§�£s��W���87¶¤�¨�9@¸b�����u�£���£v$w3�{w3��� ]8o � ) ]Wo 5 �£��w§v��£��Ë�wV��º��¶�{s L Ê

üHâ��7âVæ��Hâ�ñ ìVêëä`á�ðïã�ñKí � �«ì�êëäKá�ðïã)ì�é�� ß ó � � è�äKá�ð�� #�óuó�û ß����� ��� ���

+���

����� ��� ��������� ��� ���+���

������� �� ���+���

������� ��� ���������� ����� ���� + ����������� ���� �����

+������������ ������� ����������� ������� �����+����

���\�3�����{wV���]���B�\�{���{s�w�����w7�����{�¶�W�&�{wV�X���¶��w7� Ê � ���O¾ï���7��w7�¶w7���£�{w7�����¶��w7����v$w���s��O�&��w7�{���¶���_¸b�����B���{s������v$w3�{s��O���4���u�Z7¶¤�¨�9H�£��wÓ�£�������{s���º�� Ê> �7�������O�����k�{�4�{s�wd�{��v\�����X��¸b���H�{s�w_�O�¶��w7���)�������u�¶w7v�Õ7�{suw3���)���Wv$���O�{w7�)���u�Ó�¶v$����w3v$w7�W�������¶�W����w7w3v���4�]w_���Wv$�u�£���£����w��{�§�������@¸b���H�{s�w��{��v$wQ�M��v.�]w3�)�£¸O����ËM����º��u�7Õ�w3ÁWw3�Ó�{su�����WsÓ�{s�w7�<�u�{wQ��s�wd�O�W������w�¾������w7�§¸b�W�{v��������{����� Ê yÒ�.�����u�£��w3�X���¶�jsu�W���{s�w��W�OÁ��£�X������w\�£¸_���MÁ��W�¶ÁM��������º�w3���Ͼï���W�u�O�¶�{������wV��v��£�{���Ïк��¶�{s�w7�W���$����w7�3���u�O�¶�{�����u�¶���BÕW�uw3Á�w7�_��w7�X�������¶����v$����w4�{sB�£�0R���� < �¶�{w7���£�{�����u�_�£¸H�{s�w����O���¶v$� S3w7�*7�¤V¨�9 Êrksu����w3v$��su�W��� S3wV����s�w��W�{�{w3v����������¶v$w�º��Ï��s ��w7�{�BwV�»�.���Í��s�w�v��£�{���ÏÐM¾ÒÁ�w7���{�W�����{�O�O�B�»�$w3Á��£���u�����¶�W����¶v$w Ê

ÿ)ÿ â�� ������

Page 31: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

¨ � ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

r��£�u�¶wÌ¢ '¼rks�wÌw3���£�u�{w7� � � !����¶v$w½�£�u�´�M��v��Bw7����¸��Ï��w3�������¶�W�u�&��w7w7�OwV�´���µ�{����Á�wj��s�w�¸b�W�{ºk�£����u�{�W���¶w7v ¸b���Q��s�w<�{s���w3w3¾Ò�{��s�w7�{w4v$�O�Ow7���k���_��¸b���B�»�{�������£¸Þ��s�w§�M��v��Bw7�_��¸H����ËM����º��B�h¸b���_�{suw��O����w7�»�Ä ��� Ý Å�ÅÍÉ �£�u� Ý Å�Å ¾Ò�W�3�3w3��w3�����{wV�¼�{�Xv$v$w����{����x Æ_Å v$w���s��O��� Ê ��w3�������¶ÁWw�w7�{������º��Ï��sµ��w7�{�]w7�»����j�{suw0�£�u���¶�X�����7�£�d�{�����O�{�����½���.�����{�j�{w7�B�W����w7� Ê�Ñ w0���O���Bw3��º_w7w3�Ô�u���{w7�W��s�w7�{w7���{s�w&w3ÐM�{���£�]�������{wV�Á����¶��wÓ¸b�W�k�{s�w����£����wV�����������u�¶w7v�ÕM��su���§�3�����������£�4�]w��{����Á�w7���M�&��s�w��O���{wV�»�4v$w���s��O������wÓ�{��������Ë&��¸v$w7v\�W�{� Ê

ûHê � á�� ñ�� '�ã`á�ä`ô�ã`êëæ»â�ñ ÿÞá�é��Bá�äKä`æ»ä � � �ü)â �7â�æ�Hâ�ñ ì�êëäKá�ð�ã)ñ`í � � ó � � ì�êëäKá�ðïã�ñKí � �«ó � � ì�êëä`á�ðïã)ñ`í � �~ó � ������� ������ ������� ���� ���� � � ���� � � ������� ����� �������� ������� ���� ����� � � ����� � � �����

������� ������������ ����������� !+ç ����� !

+ç � � �����

z<��� Ý ÅÍÅ �£�����W�{�¶�{suvÂ�������¶ºk���O��¸K�����{w3�.�{su���Ô�{suw&����w7���W�{��w7���{wV�M¾ Ý ÅÍÅ ¸b�W�F] o 5 ���u�½�{suw3����{w����Wv\�B�£���£����w&w3ÁWw3� ¸b��� ] o � Ê z<� �{s�w��£��s�w3�$su���u��Õh��s�w Ý ÅÍÅ ���¶�W�����Ï��s�v ��w7w3v����{�À��w3wV�v$�W�{w�v$w3v$����� Ê � ���{w��{sB�����¶���{su�����7���{w Ä �¶��ºD�X�uv.�]w3�k�£¸��Ï��w3�����{�����B� É ÕM�{s�w Ý ÅÍÅ Á�w3���{�¶�W�0����¸K�����{w3����u�Í�B��wV�<��w7����v$w3v$�����F�{su������s�w��O���{wV�»�ÓÁ�w3���{�¶�W�Íw3ÁWw3�͸b�W�Óv\�O�Ow7���£�{w7�¶�Í�{��S7w7�����{�W����w3v��Ó�£�u���{s�w�{���@�X�u���O���������§�{��v$w.���Wv$���¶w3ÐO�Ï���&�{s���º4�k������w7�¶� Êrks�w§�������.���{s�w7�h�����������{s�wV� Ý Å�Å �¶v$����w3v$w3�X�����{�����$º�w�su��Á�w�¸b�W���u�\¸b���Q�{�Mv$v\w3�{������x ÆdÅ ���h�M�

z§¸hw3���£� Ê 7�¤�¤�9 Ê�> ¸ö�{w3�����W�{��w7���{�����$¸b���§�{s�w7�¶�<�u��w.�£¸h������� < ¾Ò�B�W�¶�X�4���W��w3�W���£�{�����F�{�u�¶wV� Ä ��s�w���w3����w3w���¸��s�w3���_�{��s�w7�{���3����su���{v$���u����w3ÐO�u�£�u�{�����$º��W�h�����_��w3�]���{�{w7� É Õ£��s�w3���Q���¶v$�����W���£��w4���Wv$�u�£���£����wk�{�.������� Ê��@�X � }�OgCzC �B[=X*}�CzO�C }^CzG{J�]�M J^CFEv[rksuw.�������W����v$�kº�w3��w������ͺ��¶�{s � h^o �D�D�Õ �yo\.#D�Õ � o\. u ���£�u����o .#D ��� Ê rks�w.w7�����u��wV���{��v$w�Õv$w7v\�W�{���{wV�W�u�¶��w3v$w3�X���3Õ)�X�uv.�]w3�.��¸��¶�{w7���£�{�����u�.�£�u�½����su�¶w7Á�w7�À���7���������3���£��w&�{s���º��½�¶�Ôr��£����w7��¢���u�F¡ ÊÑ w&���B��w7�{ÁWw���su������� Ý ÅÍÅ ���7��w3��w3�������¶�W�����£ËWw7�Ó�������3w$¸b������s�w0�{v$���¶��w7����v$w7�{s Ä + o 585 �� É»ÊÝ ���k��s�w�v$���u�O�¶w��W��w Ä + o . � � !� É Õ Ý ÅÍÅ ���������W���$v$w3v$�W�{�0����ÁM�¶�u�\�u�O�4���§�����¶���)�{�¶��º�w3� Ê Ý �W���{s�w

���£����wV���4v$wV��sÞÕ Ý ÅÍÅ w7�u�£����w7�§�u�§�{�&�����O�O�u�3w.��Á��£�����Í�{wV�����¶�7Õ]º�s�����sÍ���W�����Í���£�§�]w��7�£������������w7�F�M���s�w��O���{wV�»��v$w���s��O�0¸b�W�����W��Ë&�£¸�v$w3v$����� Ê

� � ��)*���H�� ��./��@A? � b�� V �^EcH�� M��'H�}�CqH�}�O�CzC [=X�}^CzO�C ]�M�J�CFErksuw3��w����{w���º��<�u�W�������{wV���{���u�)º�sM���{suw Ý Å�Å �]w3�{¸b����v���v.�u��s\�Bw3����w3�h¸b�W���{s�w��{�¶���W�¶w3¾Ò�{��s�w7�{w�v$�O�Ow3��3��v$�u���{wV�F�{���{s�w\��s��{w7w�¾ï���us�w3��w.v$�O�Ow3�p' Ý �������VÕ@�{s�w����W�u�O�¶�{�������������£¸d��s�w����O���{w7v,�������uw��W���Ow7�<��¸v��������¶�{�u��w�º_�W���{w�ÕO�]w7�7�£�u�{w��£¸��{suw��¶��ºR���W�u�O�u���{��ÁX�¶�����£¸��{s�w�v$�����O��w�������w3�4�3�����{wV���]���B�O�¶�u�.�����{s�w�{ËM����� Ê rks�w3��w�¸b�W�{wWÕBv��£�M���Ï��w3�������¶�W�u�§���{w��uw3w7��w7��Õ@º�s�����sÍw3v$��sB���{��S7w7�§�{s�w�v$�£�{���ÏÐM¾ÒÁ�wV�»�{�W�4�����O�O�u�»�w7Á��£���u�����¶�W�Í�{��v$w�Á�w7���{�u�<�{s�w��W�{�{w3v����¶w��{��v$w Ê }MwV�����B��ÕÞ�]w7�3���u�{w���s�w$�{su�{w7w$�{���{¸K���3w7�Ó�£��w\�3�¶�X��w��{�

'(!�ÿ 'öç

Page 32: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 ¨*

r��£�u�¶w�¡_'Qrksuw�v\w7v$�����&�{wV�X���¶��w3v$w7�W�����{�&�{����Á�w<�{s�wÓ¸b�W�{ºk�£�������{�W����w3v ¸b�W�k�{s�wÓ��s��{w7w����us�w3��wÓs�w7�W�v$�O�Ow7���������Ô¸b���B�»�{�����D�£¸���s�wÀ�X�uv.�]w3���£¸.���uËX�u��º��u��¸b�W�0��s�wÀ���¶��w7��� Ä ��� Ý ÅÍÅÍÉ �£�B� Ý ÅÍÅ ¾�W�3�3w3��w3�����{wV�����Mv$v$w����{���§x ÆdÅ v\w3�{s��O���_��� Å x ÊXÑ w����O�k�Bw3��º_w7w3�&�B�£��w3�X�{s�wV��wV�h��s�w<w3ÐM�{���£�]�������{wV�Á����¶��wÓ¸b�W�k�{s�w����£����wV�����������u�¶w7v�ÕM��su���§�3�����������£�4�]w��{����Á�w7���M�&��s�w��O���{wV�»�4v$w���s��O������wÓ�{��������Ë&��¸v$w7v\�W�{� Ê

üHâ��7âVæ��Hâ�ñ ìVêëä`á�ðïã�ñKí � � � ��� � ó � ������� ��� ������� ����� ������ ������

������� � � � � ��� �������

�W��w<�����£��s�w3�VÕW�{s�w7�{wÓ�£��w§v��£�M�$v$����w§w7�¶w7v\w7�X���d�{�\�Bw<�{��w7�£�{w7�0�¶�O�7�£���¶���£�B�$�{s�w��{���@�W�B���O���������k���¶v$w�3��v$����w�ÐO�¶���\�W������v$�����¶¸bw7�������Ï����w7�ϸ)¸b���kÁ�w7�{�$���£����w<���{�W����w3v�� Ê � w3Á�w7����s�w3��w7���7Õ���s�w Ý Å�Å w3�B�£����w7���u��������W�¶ÁWw�v$�����O��w�¾ï��� S3wV�0�u�{�W���¶w7v��3ÕOº�s�����s��u�£��w3����¿��4���Fv\w7v$�����$¸b���4���u�{��w3�X�4���Wv\�u�O�{w7��� Ê��@�X � ] X�E\C�] C�a�H�G3H�b\M�aU ��ÁM�¶��� �¶v$����w3v$w3�X��w7�=�{w3ÁWw3���£�4��¸���s�w�����ºk¾Ò�¶w7Á�w3�§�{�W�O�{����w7�0�¶�2�B���{s9z��7�£v$�<���u� � ��Õ�º�w��3����3�����¶v ��su���k�{suw§���¶v$w���Á�w3��s�wV���$�£¸)�u��������z��3�£v$�]���k�W�3��w7�O��������w�|'�¶wV�{�_��su�£�F¡£©��·�W�&�{suw���ÁWw3���£��w Êrksuw.v$w3v$��������Á�w3��s�wV��� �u�u�»���u����w7�<�Bw3��º_w7w3� ! � � � � D�0Õ@�Ow3�]w3�B�O�¶�u�0���Í�{s�w��W�£���u����w����W�¶��w7���{����{w��{�{�����W� Êrks�w�v$�X���.�3�{�¶�{���3���h�B�W�¶�X�����À��v$����w3v$w3�X�{�����F��s�w Ý ÅÍÅ �{������w7�À�W�O���{�F�]w&v$w3v$�����Ív��£�u����w3¾

v$w7�W� Ê4Å �W���4�£¸��{suw.v$w3v$�����0���4�B��wV�0���0���{����wÓ�{suw�����w7�3�����3�������{wV���¶�O�3���Þ���W��w3�������{�����u� Ê x����{��v$�¶������u�Í�3�����X�{��������s�w.v$�X���Ó���W���{�����u���{���.���]w3�������¶�W�u� Ä }Ow7�»���¶�W�Í¢ Ê ¡ É ÕBº�w��7�£�ÍwV�����£��������sF��su���<�{s�w7�{w�������¶���{��w§su���]w4�£¸Þ���7��w7�¶w7���£�{�������{s�w Ý Å�Å ¸b���Q�W���d�u�{�W���¶w7v-�{�¶�W���¶¿B�3���W���¶�\v$����w�ÕW������w7���d���Wv$���O���£�{�����O¾���¶���½v$����w�w3Î��3�¶w7�X�\w3ÐM�B�£�u�{�¶�W�u�\�£�u�¼�{s�w7�¶�\�{���£�B���������¶�W�u�����{w�w7���������¶���{s�w7� Ê �4w3�������3�¶���½�{��s�w3�����3�£�sB�£��v\�W�����3�k�M�&�u�{w3�u�����u���������3�¶wV��7 ªW©�9Þ��� � �£�{�{w7�{���£�0�]�����M����v$���£���"7 ª�¤�9Þv$����sX�4�]w��£�j�£�¶�{w7�{�u�£�{��Á�w��{��3���u�{���Ow3� Ê

� � �./�*�70�� ��./Ñ wdsB��Á�wQ�Ow7Á�w3�����]w7�.�k¸K�����)v����Ï���¶�]����wdv$w3�{s��O�Ó���<���7��w7�¶w7���£�{w��{suw_�{�Xv$v$w����{���Qx ÆdÅ ¸b�W�H��s�wQ¸b�W�{ºk�£���ÅÍÆdÇ�È�ÆQÆ_Ç �������u�¶w7v-��su�������k���k���7����������w<���_��s�w����Mv$v$w��{�����<x ÆdÅ º��Ï��s����¶��w7���k�W�{�{w3v����¶� Ê)Ñ �¶�{s���u�3�{wV���{�¶���$�{��S7w���¸)��s�w�����������w3v��Ï�4�Ww�����¸K�W����w3�4���u�0�B��wV�k�¶wV�{�kv$w3v$�W�{����su�£����s�w��O���{wV�»��v$w��{su�M� Ê

ÿ)ÿ â�� ������

Page 33: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

ªW© ��#�����(����t���� (��t����� �� ������ �� �� ����.���������� � �����:����

5 � ���Ì�4/0�F ��� 6 /��������)��Ô���������Ó�)�.�)�Ñ wÓ�{wV�3���¶�@s�w7�{w��{suwÓ¸b�����k���W��w3�W�����]�W�Bw7���£�{�W���_�¶�MÁW����Á�w7�0�¶���{suw����Mv$v$w��{�����<x ÆdÅ ÕB���k�Ow�¿B��w7�����Z7ë¡OÕ¨�©�Õ�¨O¤�9 Ê

j K&p n ��28� o���� J!^ : ^ � ' �32 # 2 � �cp ��2 � ��� � ��2 � �j+& p`n���28� o ��� J!^F� ' �32 # 2 � �cp ��2 ����� � ��2 ���j'& L p`n���28� o ��� J ^ ' ��2 # 2����cp ��2 �6��� � ��2 � �j (�p n ��28� o���� ' ��2 # 2 � �cp ��2 � ��� � ��2 � �

yÒ¸_º_w\�{wV�����{���»� 2\�{���Bw\�����{s�w$�{����¸K�W��w �¹���u�j�u�{w.��s�w\���£�����{������>·¸b��� JL0D�{s�w$�W�Bw7���£�{�����4���B��ÁWw��w�¿u��w$v��£�u���¶�u�W��¸b����v,¸b���B�»�{�����B���Ow�¿B��w7�Ì��� > ����¸b�u�u�»���¶�W�u���Ow3¿u��w7�À�W� � Ê Ý ���Ów�Ð���v\�u�¶wWÕ�¸b�����s�w����]w3��������� (0º�wÓsu��Á�w�'

j ( � $ p n ��28�to��$ ' ��2 # 2 � �=p �32 � ��� � ��2 � � 2 0 �� � ���Ì�4/0�F ��� � ���������H�4/.�)�Ó�� ��./��·�0�������4%rksuw�x����u�u���£��� Æ ��w3v$w3�X� Å w3�{s��O�������u�W��wV�&���0�{s�w�¸b���B���£v$w3�X���£�Þ��w7���{wV��w7�X�������¶�W�0rks�w7����w3v Ê Ý �����w������¶���k�����¶���4�����������7���{�������{�\��s�w ÆQÆdÇ ����������w3v��{w3¸bw3�k�{�7ë¨O¤�9 Ê��� ×MÛ ° × ��� �0×I] ° × ® ×9� ¯7±O¯ L Û_� ��� ×MÛ ° × �� �� ���P0 � r s � �'� � �:�.$� � �� ����.Z����� �{�/���Z�0 ���I��� �� � �:�.$� �� �# JL0�� � ��� � � �mr s�� JL0 � ! r � � �Z���� �%'��.g��(&� �.$(��m����.�� ` � o DD�/. r s�� JL0��B����:��� � � #��/.=�0���I� � AC?3�� � � $ � �328� $ � � �:.$� � AC?3�� � �

J �J � ��24�3ohD_����. �8� ��.$�:�=�@] ��28�������o J_^ � ��24���! z�I��.#P] o ,#" � � # &,L � ] ���� 2 +0 JL0� o # & � � , (6� ]

#P]%$ o ,#" � � , j'&)(! # &,L n � ] ���: 2 0 JL0� $ o j'*)(! # & n � � , (6� ]

�t���� � ( � ��. ���c���"���I����� ��.g�m�/��#8������ �:�=�: +�� �-,.,0/214365 ���87 ,:9./�;<5+=�>@?A94>B;DCFEG1:5�=IHJLKNM+OPM�QROSM�TUMWVRM+O�QYX[Z\M+]N^`_�aS_cbR^NT:bYdeTUfNK`M+OP_cgWQYXhKNQYOPiebR^`_jg+T:QY^kZmlnMWoRMW^NZ\OPM0fpbRXcqr^`bRie_jQYXjT.Z\_�s%M+OP_�^`oi!QR_�^`Xcq)_c^0^NbROPieQRX�_ctWQYaS_cbR^�QR^NZ�TU_coR^ug�bv^wVvM+^waS_cbR^kT+xzy#{NOPThd|bvX�Xcb~}2T[��f\aSbv^�QR^NZ���MWiG�NQROUa!� �~�'xzJLK`M

�|�<�n���

Page 34: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 576TSf`K`MWOS_jg+QRX%KNQYOPiebR^`_jg98;:<>=�?�@BADC _jT8 :<>=�?�@BADCFE G =�HJILK MNKOCQP=�HSR>K MNKOCQP =TI"UVC :XW'Y :9Y<Z=�[�\^]�?�C`_�a :cb}�KNM+OPM W :<d=�efC QYOPMhaSK`MBQvTSTSb\g�_jQ~aSM Z4l M+oRMW^NZ\OPM[fkbvX�qr^`bviz_jQYXjTW :< =�eDCFE Ug < HFP =�HhRiM�CQP=�HIjM�CQP =TUcIke$lVCTm :on lSp < m :p e < m : =�eqloIrUsC <t _cVRMW^.Q@VRMWg�aSbvO�u�}�_�aSKwvIQYOSaSM TU_jQY^4g+brbRO�Z\_�^kQ~aSM T =�ef@yxz@B{�CQ| }�MhZ\M�]N^NM#_�aPT�TSf`K`MWOS_jg+QRXkg�brbvOPZ\_c^NQYaSMWTQvT =�}�@T?�@QAfC �rq u E�~� e x {L�� E-~� }k[�\`]qA�]T����?}j]y���oA�]T����?}�[�\^]�? ��JLKNMh_c^`^`MWO�QY^kZ4bv{\aSMWO2TUf`KNM+OP_cgWQYX KNQROSiebR^N_cgWTIQROSM� :< = u C E�� mD�y�/� a�� �F�� �� � �� �/��� b �� ���^�� :< = u C�EL� m Y :9Y �X:< } < 8;:< =�?�@BAfC}�_�aSK � :< E � mD�y� �� � < m : ��  � <s¡ : �� ¢ =¤£!1.Ec¥ ?�/�3J¦B/2CF/21�§ H¨ fkbv^NTUbvOSM Z �rq aPK`M&v�t+M g�K© _�^`_jTUaSOPq bYdD��Z\{NgWQ~aS_cbR^6{`^kZ\M+OXª�OSbs« MWg a2l�¬X­s­`®�­s¯s°Nx± /c²~/�;</214=I/�H��6+�;³Nxqª�K`_�XcXc_�fNT |q´ xklnM QYKrq | ³`xq© bvTSK`M+O | QY^kZJ®hxNJL_ci!TSQROS_ |`µy¶ i!QYoR_c^`oe^`MW{`OPQRX QRg�aS_cVr_ a q.{NTU_c^`oh© � tQR^NZA��� t | ·0¸ +4+�+¹+�.»ºV�/.z�B�� ��/.»º��/.¼���Q�V��(��/.z�w��.z�J)o�������Qºs#½����º^��¾��/.$� | VRbvX x�6�° | ^`bNx35 | f`fnx5s¿�À»¿^Á | 6�¯s¯^Â\x� Á~�;©AxÄÃ�ÅYi'ÅYX�ÅY_c^`M+^ |J´ xÆÃ�QROS_ |´ xƳNx ¶y¶ iebR^`_cM+ie_ | ³`xÄÇ[^w{N{\aS_cXcQ | QR^NZ y@xÄÈGxelnbv{`^NQRTSi!QRQ |µ © QRoR^`M+aSbrM+^Ng+M+f`KkQYXcbRoRO�QYfNKwq`É aSK`MWbROPq | _c^NT aPOS{NizMW^waPQ~aP_�bv^ | QR^NZ0QRf`f`Xc_cgWQ~aP_�bv^NT#aSb:^`bR^`_c^rV~QRTS_�VvMTUaS{kZ\_�M TBbRd�aPK`M }IbROQÊw_c^`o:Kr{`i!QY^u�`O�QY_c^ | ·0Ë ��Ì�����ͤ�h�y�Æ�����`�� �.iÎ,�`#�����(�� | VvbRX xD°`Ï | ^`bkx�Á | f`fnx¿q6�5�À^¿`¯»Â |»Ð f`O xÑ6�¯`¯s5Nx� 5Y�"ÃGx�v�KNM+^`o | l�x t OPM+M+^NovQYO�Z | QR^NZÆÈGx ´ bsÊrK`Xc_c^ |�µTÐ d QvT a�QvZ`QYf`aS_cVRM�iG{NX aP_�fpbRXcM#QRX�ovbROP_ aPK`i _c^eaSK`OPM+M

Z`_�ieM+^kTU_cbR^NT | ·�Ò�Ó3Ô �V%X�$�� Ó Î,�^#�� Ó�| ^`bNxq6�ÏsÏ | f`f x`¿^°R��À»¿`¯v� | 6�¯`¯s¯Nx`� y#^NX�_c^`M��'x Ð V~QY_cXcQR�`XcMsÕ<KvaSaSfDÕ×ÖsÖQRi!Q~aSK x g+bRXcbRO�QRZ\bkx M Z\{$Ö~g+bR{`O�TSMWT�ÖsÂ�¿^­s­`ÖsÁ�­s­s5~d QYXcXØÖ�­s­sÏ^Ö fNQRfkMWOPTBÖsv�K`MW^`o t OPM+M+^NoRQYOPZ ´ bsÊrK`Xc_c^nx f%Zrd

� �ÚÙ�Û7ÜBÝ�ÞyÜ

Page 35: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

5^Á ��#�����(�� Ô ���� Q(��¤����sº^�� T�������Æ�� ��/Ì���.��¤Îc�����`�s�����V����� ¿R�;©Axqv�X�MWOPg |»´ x�Ç[M+OP_�VvM+^ | y@xNQR{`oRMWOPQvT | ³`x�Ç[qr�`_jg | QY^kZ.J[x�ªDQYfNQvZ\bRfpbR{NX�b |�µ JLK`M#d QRTUa�iG{`X�aS_cfkbvX�MieM+aSK`b\Z�d|bROhaSK`M!Z\_cOPMWg a��,Ös© � t f`OSbv�`XcM+i | · _�^iÎ� T��(B�Q�B�V�/.^ºV�Ä� � ¸ !�) ¸ x��uQRTSK`_c^`oYaPbR^ | �@xOv#x�Õ¶ � ��� | ¬ ¶ à | ³Y{`Xcq0Ás­s­`Á`x%� y#^`Xc_c^`M��'x Ð V~QR_�XjQY�`XcMsÕ�KwaSaSfDÕ×ÖsÖ~}�}�}�x �`_cbRieM Z\_cgWQYXc_�i!QRoR_c^`oNx bROPo»Ö� Ï~�;³Nx�Ç[qr�`_jg | ©ux�v�XcM+O�g | J[x Ð �`�pbR{NZ | y@x kQY{`ovM+O�QRT |,´ x4Ç[MWOS_cVRMW^ | QR^NZ J[x4ªDQYfNQvZ\bRfpbR{`Xcb |¤µyÐg+bRieiebR^�d|bROPieQRX�_jTSi d|bvO�aPK`Mz_�^waSMWoRO�QYX d|bROPiG{`XjQ~aP_�bv^NT2bRd�aSKNMGd|bvOS}LQYO�Z ��� t f`OSbv�`XcM+i | ·'¸ +4+4+�� T�V.����s(������V.��&�V.w���Q�V��(B��� ¸ %'��ºs�/.^º | ÁV­`­V¿ | Qvg+g�MWf\aSM Z d|bvO�f`{`�`Xc_jg+Q~aP_�bv^nx� °Y�;©Ax"v�XcM+O�g |�Ð xh�#M+OPVr_�MW{� | y@x�NQY{NoRM+O�QRT |;´ x*Ç[M+OP_�VvM+^ | ³Nx�Ç[qr�`_jg | QY^NZ J[x*ªDQYfNQvZ\bRfpbR{`Xcb |µ v�bRiefNQROS_jTSbR^ bYd�®L��© QR^NZ�D��©�izM+aSK`b\Z`T4d|bRO4aSK`M��,ÖV©)� t f`OPbR�`XcM+i | · _c^ Î� T��(B�B�Q�V�/.^ºV��y��) ¸�� ���&1�������� |qÐ {`oNx$ÁV­s­^Á\x�O � ´ xhÇexS®IMWQ~a�TUbv^ QR^NZ l�x t OPM+M+^NovQYO�Z |hµTÐ TUKNbROSa g+bR{`O�TSM bv^ d QvT a iG{NX aP_�fpbRXcM�ieM�aSKNbrZNT | ·_c^��Æ��Ì������������>�w��×� �/����Ì����½�������»�����¹�V.$� +��/�×� �$����( Î��9+,� | ©ux Ð _c^NTS}�bvOUaPK | ³`x6lnMWVRMWTSXcM+q |��x�l _�ovKva | QR^NZ ©ux © QYOPXcM�aUa�Q | ��Z`TWx y �rd|bRO�Z"!2^N_�VvM+O�TU_�a q ª�OSM TST | 6�¯s¯^ | f`f x¹6�À5»Ârx�� y#^`Xc_c^`M��'x Ð V~QY_cXcQR�`X�M`Õ@KwaSaSfDÕ×ÖsÖ~}�}�}�x i!Q~aPKnx g+QY^waPM+OP�`{`OPqRx QRgYx ^`t�Ö�#`i!Q~aPK`OQÊw�zÖ f%Zrd TBÖ~�kM Q~a�TUbv^%$ovOSMWM+^`owQYO�ZqÖ �pMWQYaPTSbR^`ovOSMWM+^`owQYO�Z x fpZrd� �Y�;©Ax Ð xk��f\aSbv^)QY^NZ®hxN�#M+i@�NQYOSa |`µ ©6{`X�aS_cfpbRXcM�aSO�QY^NTSXjQ~aS_cbR^.aSKNM+bROPq!d|bvO�aSK`M[aPK`OPM+M�& Z\_cieM+^NTS_�bv^NQYXl QYf`XjQRg+MhQR^NZJÃ2M+XcieK`bRX�aSt�M('w{NQ~aP_�bv^NT | · ! ¸ �*� Ò�Ó !z(�� Ó�Ô �V%X�$�� Ó�| VRbRX xÑ6�° | ^`bNx�¿ | f`fnx`�s°^Ï�À\�s¯^ |³R{`Xcq�6�¯s¯`Ï`x� ¯Y�"®hxG�#M+i@�NQYOSa�QY^NZ ��x*)#_cf |&µ JLK`M QRg+g+{`O�QRg�q�bRd4d QvT aAiG{NX aP_�fpbRXcM ieM�aSKNbrZNTud|bRO¼© Q��\}�MWX�X,+ T

M('w{NQ~aP_�bv^NT | ·*¸ +�+4+ Ô �V%X�$�� Ó !Ñ(�� Ó +�.^º Ó�| VRbvX x�Ï | ^`bkx^5 | fNfnx`¿w��À�ÏV° | 6�¯`¯R�`xk� y#^NX�_c^`M��'x Ð V~QY_cXjQY�`XcMsÕKwaSaSfDÕ×ÖsÖYZ�� x Z\bv_ x bROPo»Ö�6�­Nx�6`6�­s¯»Ö�¯`¯\xOÂ�6�¿^ÏV¯s5��6�­Y�"³Nx ´ QRK`bRXjQ |7µ �-�\fkMWOS_cieM+^waPT[bv^0_�aSMWOPQYaS_cVRMzieM�aSKNbrZNTBQY^NZ�aSKNM@d QvT a�i@{`X aP_�fpbRXcM!ieM�aPK`b\Z�_c^0MWX�M g�&aPOSbvi!QYoR^NM�aS_jg[TSgWQ~aSaSM+OP_c^`ozgWQYXjg�{`XjQ~aP_�bv^NT | · vI� ´ Ð v ¨ | J MWg�Knx ´ M+fnxkJ ´ Ö�ª Ð ÖV¯R�»Ö�¿`¯ | ¯v�`x��6s6+� t xey�d | y@x ¨ aSMW_�^r�NQvg�K | QY^NZ.��xGl�x/��M+^kZ\XcQR^NZ |&µTÐ d QRTUaAiG{`X�aS_cfkbvX�M �pbR{N^NZ`QYOPq�M+XcM+ieMW^va

ieM+aSK`b\Z�d|bROhaSK`M!TSqrizieM+aSOP_cg@�kbv{`^NZ`QROSq _c^waSMWoRO�QYX d|bROPiG{`XjQ~aP_�bv^ | · _�^NÎ� T��(Q�B�B���/.»º��'� � ¸ �X)�+,� |Ð {NTUaS_c^ | J10 | ! ¨ Ð�| ÁV­`­`Á\x�� y#^NX�_c^`M��'x Ð V QR_�XjQY�NX�M`Õ4KwaUaPfDÕOÖ`Ö~gWQ Vw_�a qRx g�Mvx {`aSM��`QvT+x MWZ\{zÖ _jQY�pM+iSÁV­`­`Á`Öd|{NX�XcfNQYfpM+O�T�Ö bYd x f%Zrd��6�Á~� ¨ xwJL_jTSTPQYOP_kQR^NZS³Nx ´ QRK`bRXjQ |�µyÐ f`OPMWg�bvOSOPMWg�aSM Z�&2-DJ izM+aSK`b\ZeaPbGQRgWg�MWX�MWOPQYaSM�aPK`M#TSbRXc{\aS_cbR^!bRd aSK`Md|bvOS}LQYO�Z6f`OPbR�`XcM+i-_c^�i!QYov^`M�aPbrM+^Ng+M+f`KNQRX�bvoRO�QYf`Krq | · Î,�`#�� Ó ���B� Ó )c���V� Ó�| ^`bkxq¿w� | f`fnxDÏsÁs5�À�Ï�¿76 |Ás­s­`5`x��6�5Y�"³Nx ¨ QROSV~QRT |�µ ®IQvTU_jg�ieQYaSK`MWi!Q~aS_jg+QRX\QY^NZ@M+XcMWg�aSOPbRi!QYov^`M�aP_cgIg�bv^Ng�MWf\aPT<bYdkaSK`ML�`_cbRi!QRoR^`M+aS_jg _c^rVRM+O�TSMfNOSbv�`X�MWi | · Î,�`#�� Ó ���B� Ó )o����� Ó�| VvbRX x�5`Á | ^`bkxD6 | fNfnxD6s6�À�Á`Á | 6�¯R�»Ârx��6�¿R�By@x3NQR{`oRMWOPQvT | IxSv�X54+ieMW^va |w´ x!��MWOS_jg�K`M |´ x'Ç[M+OP_cVRM+^ | J[x'ªDQYfNQvZ\bRfpbR{`Xcb | ³`x ´ bv�kMWOUa�T |J[x�È�_54+Vr_cX�XcM | Ix �#M+VRMWOS^kQ q | ³Nx t bvieMWT | t x�Ã�M+OPiebvTS_�XcX�b | ª<x�Ç#bROP^`f`OPbR�kT a | QY^NZA�@x l _�^NoRO�QY^NZ |µ JLK`M _c^rVRM+O�TSM-� � t QY^NZ © � t f`OPbR�NX�MWieT�Õ JLK`M QvZ�« bR_c^wa TUfkQRg�M QRf`f`OPbvQRg�K ¶ Õ�JLK`Mg+bR^waS_c^r{`bR{kT gWQRTSM | · ¶ ¬ ´c¶ Ð;| J M g�Knx ´ M+fnx 5`°^ÂV5 | © Q q 6�¯s¯`¯`x � y#^`Xc_c^`M��'x Ð V~QY_cXjQY�`XcMsÕKwaSaSfDÕ×ÖsÖ~}�}�}�x _c^`OP_cQNx d|O�Ö ´o´X´ JXÖ ´o´ &B5s°^ÂV5`x KwaSieX

�|�<�n���

Page 36: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

����������� ��� ������������������������ "!$#�%&%'���� ���(*),+,�-�/.��0+*132�+4+*1 5`5��6�Ï~�"³Nx�v#x�Z\M½©6{`^NgBÊ |�µTÐ Xc_c^`MWQROzZ\_jTPg�OPM�aS_ctWQYaS_cbR^�bRd2aSKNM:VvbRXc{`ieM.g+bR^NZ\{kg aSbvO@�pbR{N^NZ`QYOPqu_�^waPM+oRO�QYX

M('w{NQ~aP_�bv^0{NTS_c^`o:QR^NQYXcqwaS_jg+QRX�Xcq6_�^waSMWoRO�Q~aPMWZ)MWX�MWieM+^waPT | ·S¸ +4+�+ �� Q��.�� Ó )o����%'�Q� Ó +�.^º Ó�| VvbRX xÑ5s¯ |^NbNx7¯ | f`fnx7¯v�s°�À�¯s¯`­ | ¨ M+f\a xD6�¯`¯`Á\x��6�°Y�"³Nx¤v#x¤©6bvTSK`MWO |3´ x�®hx l MWQYKrq | QR^NZdª x ¨ x l M+}�_jT |ѵ ��� t QR^NZN© � t Õ-`bvOS}LQYO�Z0TSbRXc{\aP_�bv^NThd|bRO

_c^rVRMWOPTSM ieM�aPK`b\Z`T | ·¸ +4+4+��� Q��.����`(�� ����.7�J��.i)c���V%Æ�B�V��(Q�V�,+�.^ºs�/.$�B�� ��/.^º | VRbvX x�¿`° | ^NbNx�5 | f`fnxÁV¿^Ï�À�ÁsÏs¯ | © QYO xz6�¯`¯s¯`x��6� �9¬Gx t x t MW^Ng�MWOGQY^NZ ¶ x<y@xnJ<QY^`tWM+O |$µ `bvOS}LQYO�Z f`OPbR�`XcM+i�TUbvX�{\aP_�bv^0bRdIMWX�M g aPOSbvieQRoR^`M+aS_jg@TSbR{NOPg+M

_ci!QYov_�^`o�{NTU_c^`o�Q ^`M+} ®L��©Fd|bROPiG{`XjQ~aP_�bv^A}�_ aPK�K`_coRK&'bRO�Z\MWOBM+XcM+ieM+^wa�T | · Î,�^#�� Ó ���B� Ó )c���V� Ó�|VvbRX x�¿s¿ | ^`bNx�¯ | f`fnxqÁ`Á`ÂVÏ�À�Á`ÁY�^ | 6�¯s¯s¯Nx��6W�Y�"©Ax ¨ x»Ã�ÅYi'ÅYX�ÅY_c^`MW^4QY^NZJ³`x ¨ QROSV~QvT |�µy´ M QYXc_cTUaS_jghg�bR^kZ\{Ng aP_�Vr_�a qeoRM+bvieM�aSOPqzizb\Z\MWX%bYdnaPK`M#Kr{`i!QR^KNMWQRZAd|bROz_�^waSMWOSfNOSM+aPQ~aP_�bv^AbYd2^`MW{`OPbRi!QYov^`M�aP_cg ZNQ~aPQ | ·w¸ +4+4+ �� T��.7� Ó )c���V%Æ�B� Ó +�.^º Ó�| VRbRX x¤5s° |^NbNxqÁ | f`fnxD6�°`Ï�Àz6�Â�6 | NM+�nxf6�¯R�`¯`x��6�¯Y�;v#x t xz® 4W^NQYOhQY^NZ½³Nx t bRaSi!QY^ |»µ ©6b\Z\M+Xc_c^`o4bRdDfpbvTUa & TS{`OSov_cgWQYXn�NOPQR_�^)QR^NZ TyÊr{`XcXDZ\M�d|M g aPT#_c^ aSK`M� � t _�^rVvM+O�TUMzf`OPbR�`XcM+i }�_�aSKuaPK`M!�pbR{`^NZNQYOPq)M+XcM+ieM+^waGieM+aSK`b\Z | ·iÔ � �/.7��(B��������� T�B�q�`#����������Qºs# |^NbNxD6`6�5 | f`f x�¿v��À�ÏV° | Ás­s­^Á\x�OÁV­Y�"³Nx & v#x�¬ 4WZ4WX�M g | ��(B��»������(&��.z�Ä+����Q(�� T��%'��ºs.$������(9+���7��� ����.7��x ¨ f`OP_�^NoRM+O�È�MWOSXjQYo | ÁV­s­76Rx�OÁ�6+�"³Nx�Ç[qr�`_jg | ©uxÄv�XcM+O�g | J[x Ð �`�pbR{NZ | y@x NQY{NoRM+O�QRT |'´ x�Ç[MWOS_cVRMW^ | QY^NZ J[x;ªDQYfNQvZ\bRfpbR{`Xcb |µy¶ ^waSMWoRO�QYX#d|bROPiG{`XjQ~aP_�bv^NT.d|bRO:aSK`MA��� t f`OPbR�NX�MWi | ·¼¶ ¬ ´o¶ Ð;| J MWg�Knx ´ MWfnxc¿»ÂV5`Ï | `MW�nxXÁV­`­s5Nx� y#^`Xc_�^NM��'x Ð V~QR_�XjQY�`XcMsÕDKwaUaPfDÕ×ÖsÖ }�}�}1&�TUbvfnx _�^`OP_jQ`x d|O�Ö~OPQRf`fkbvOUa�TBÖYTUbvf`K`_jQ^Ö ´o´ &T¿�Â�5`Ï\x KwaSieX�OÁsÁ~�"³Nx�Ç[qr�`_jg�QY^kZJ©ux7v�XcM+O�g |Vµ ¨ qrizieM+aSOP_cg*®L��© QR^NZ i@{`X�aS_jTSgWQYXcM�d QvT aLiG{`X�aS_cfpbRXcMhieM+aSK`b\Z4d|bROIaSK`M

��ÖV© � t f`OSbv�`XcM+i | · _c^������ ¸ .7� �� �.$��� ����.z���f!q#�%������B�/�% �V.��&��.q�/.7Ì������/Ì��&�Ñ�.z(�� ����.z���D!Ñ��� T(B�¸ %Æ��ºV�/.»º0ÍF�/���^�/.����»�;�`�%'��. �� T�V�/.j��.z�Æ���Q�V �� | v�K`_�M+aS_ | ¨ MWf\aWxqÁs­s­`5`x�OÁV5Y�[�@x ´ x�� _�X�aSbv^ | ¨ x`©ux ´ QRb |sÐ x���x t Xc_jTSTSbR^ | �GxsÃGx ¨ g�KkQY{`�pM+OSa | y@x^©ux Ð X & ®�{N^NZ`QVÊ | QR^NZSv#x`©ux®I{\aPX�MWO |�µ ª<bYaPM+^waS_jQYX\_c^waSMWoRO�QYXjTnd|bvO<{N^`_ d|bvOSi8QY^NZ@X�_c^`M QYO�TUbv{`O�g�MLZ\_cTUaSOP_c�`{\aS_cbR^kTDbR^zfkbvX�qroRbv^NQYXrQY^kZ

fpbRXcqrK`MWZ`OPQRX Z\bvieQR_�^kT | ·&¸ +4+4+ �� T��.7� Ó ��.7� ��.q. Ó Î� Q�B����º Ó�| VRbRX x75^Á | ^`bNx$5 | fNfnxzÁ^Â�°�À�ÁY�76 | © QROWx6�¯R�s¿Nx�OÁ�¿R� Ð x ¨ x `MWOSov{NTSbR^ | 0@x�pKkQY^`o | QY^NZ t x ¨ aSOPbR_c^�Ê |^µTÐ g+bRief`XcM�aSM�Xc_c^`MWQRO#Z\_jTSg+OSM+aS_ctWQYaS_cbR^.d|bRO#gWQYXjg�{&

XjQ~aP_�^No4aPK`M@i!QRoR^`M+aS_jg�]NMWXcZ�{NTU_c^`o4aSK`Mz�kbv{`^NZ`QROSq6MWX�MWizMW^wahieM�aPK`b\Z | ·'¸ +�+4+ �� T�V.�� Ó )c���V%Æ�B� Ó+�.^º Ó�| VRbvX x�¿q6 | ^`bkxqÏ | f`f x�¿^Ï`Ï�À^¿»ÏV¯ | © Q q½6�¯s¯s¿Nx�OÁsÏ~�"³NxD¬Bx lnqr^`MWTPT[QY^NZ��@xf³YM TUfpM+O�TUMW^ |7µ ©6b\Z\M+O�Q~aPMzZ\MWoROPM+MeTUqrieieM�aPOS_jg 'w{NQvZ\O�Q~aS{NOSMzOS{NX�M T�d|bvO[aSK`MaPOS_jQY^NoRXcM | ·ÄÒ�Óz¸ .���� Ó �������s� ���`�q�×��(�� | VRbvX xÑ6�Ï | f`f xD6�¯�À»5`Á | 6�¯^ÂsÏ\x�OÁV°Y� ´ x^v�brbRXjT | �@xRl QR{`OP_�M | QY^NZzl�xVª�X�{`qri |�µTÐ XcoRbvOS_�aSKNi Â�°s¿7Õ3v�{`�NfNQRgBÊ $/$iÉ Q"v $/$ fNQvgBÊ~QYoRM d|bRO

QR{\aSbvi!Q~aS_jgGa }�b�&'Z\_cieM+^NTS_cbR^NQRX<g+{`�NQ~aP{`OPM | · � Ô � �� T��.7� Ó ������� Ó !z� �B� Í��� Q� | ^NbNxDÁV5 | f`fnxF6�Àz6�Ï |6�¯s¯»Ârx%� y#^NX�_c^`M��'x Ð V QR_�XjQY�NX�M`Õ<KwaSaSfDÕ×ÖsÖ~}�}�}�x gWT+x Êr{`X�MW{`VRMW^nx QRgYx �pM�Ö�#N^`_�^NMWT�Ö OPMWTSMWQYO�g�K$Ö`v !X®�ª Ð v�Ç�Ö

� �ÚÙ�Û7ÜBÝ�ÞyÜ

Page 37: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

5s¿ ��#�����(�� Ô ���� Q(��¤����sº^�� T�������Æ�� ��/Ì���.��¤Îc�����`�s�����V�����OÁ` � ¨ xvJL_jTSTPQYOP_NQY^kZƳNx ´ QYK`bvXcQ |�µ ��OSOPbRO�QR^NQYXcq\TU_jTDbYdnQ[^`MW} t QRX�MWOTÊr_c^eizM+aSK`b\ZzaPbBTUbvX�VvMLaSK`M�d|bvOS}LQYO�ZfNOSbv�`X�MWi _�^ © � t QR^NZ���� t {NTS_�^No)aSKNM:�pbR{N^NZ`QYOPq�M+XcM+ieM+^waeizM+aSK`b\Z | · vI� ´ Ð v ¨ | J MWg�Knx´ M+fnxNJ ´ Ö�ª Ð ÖV¯R�^ÖV5s¯ | 6�¯s¯R� | aSbR{NX�bv{NTUM | `O�QY^Ng+MRx�OÁY�Y� t x�<_cTPg�K`MWO | ®hxwJL_�Xco |»´ x^© brZ`OSM | Ix`Ã#QY^NTSM+O | ®hx^© MWTPTU^NQROSt | QY^kZ'ª x���Qvg�K |�µ y#^eieb\Z\M+Xc_�^No�aSK`M� _cXjTUbv^6aSM+OPie_�^kQYX _c^6aSKNM�®IbR{`^NZNQYOPq.QY^kZ <_c^`_�aSM@��X�MWizMW^wa9©6M+aSK`b\Z | ·&¸ +4+4+ �� T��.7� Ó )c���V%Æ�B� Ó+�.^º Ó�| VRbvX x�¿^¯ | ^`bkx75 | f`f xqÁ�6�Â�À�Á`Á�¿ | © QROWx7Ás­s­`Á`x�OÁV¯Y� ´ x¤®LQROSOPM�a | ©uxF®IM+OPOPq | J[x Ix�v�KNQY^ | ³NxD��MWizieMWX | ³NxD��bv^NQ~aPb | ³`xD�#bR^`owQYOPOPQ | È@x<��_ « ÊrK`bR{`a |´ x$ª<bRtWb | v#x ´ bviz_c^`M | QR^NZwÃBxkV QR^)Z\M+O�È�bR^NTUa | �q��%��q���V� ���,���V ����»��!z�V�×������V.d�y���F�/.$�B�� ;!q#����� ��%�����)o��/�����/.»º;)c����(����f���V ¸ � �� T��� �/Ì��o�������»����� x�ª�KN_�XjQRZ\MWX�fNK`_cQ7Õ ¨ ¶ Ð © | 6�¯s¯V¿ | Q V~QY_cXcQR�`X�M�d|OPbRi^NM�aSXc_c�nx� 5s­Y�"³Nx3©)QVÊr_�^Nb |$µ )�M�azQY^`bRaSK`MWO�d QRTUaBiG{`X�aS_cfpbRXcM ieM�aSKNbrZ�}�_ aPK`bR{\a@iG{`X�aS_cfkbvX�M T*É fkTUMW{NZ\bRfkQYOSaS_jg�XcM

i@{`X�aS_cfkbvX�M ieM�aPK`b\Z | ·NÒ�Ó�Ô ��%��q�� Ó Î��`#�� Ó�| VRbRX x�6�Ï�6 | ^`bkx�Á | f`fnx4¯�6�­�À�¯`ÁV­ | 6�¯s¯`¯ | Qvg+QvZ\M+ie_jgª�OSM TSTcª�OPbYd|M TSTS_cbR^NQRX |�¶ ^NgRx� 5�6+�[�@x Ð fNQYX�ÊRb~V QY^kZkª<xÑÈ�_jTPTSg�K`MWO |7µ NQvT a�i@{`X aP_�fpbRXcMeieM�aSKNbrZ�d|bRO[ie_jg�OPbRi!QYov^`M�aP_cgzTU_ciG{NXcQYaS_cbR^�bRdfpM+OP_cbrZ`_cg)TSq\T aPM+i!T | ·d¸ +4+4+ �� T�V.����s(�� ����.��k�V.�����ºs.$��� ��(�� | VvbRX x�5s¯ | ^NbNx,° | f`fnx,5s¿»ÂY��À»5s¿v�`­ |Ás­s­`5`x

�|�<�n���

Page 38: Fast Multipole Method for the Symmetric Boundary Element

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Futurs : Parc Club Orsay Université - ZAC des Vignes4, rue Jacques Monod - 91893 ORSAY Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier (France)

Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399