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8/2/2019 FEM Taylor
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V a r i a t i o n a l E q u a t i o n s a n d V a r i a t i o n a l T h e o r e m s
N o t e s f o r C E 2 3 1 : V e r s i o n 1 . 0
R o b e r t L . T a y l o r
D e p a r t m e n t o f C i v i l a n d E n v i r o n m e n t a l E n g i n e e r i n g
U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y
B e r k e l e y , C a l i f o r n i a 9 4 7 2 0 - 1 7 1 0
E - M a i l : r l t @ c e . b e r k e l e y . e d u
O c t o b e r 1 9 9 9
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C o n t e n t s
1 I n t r o d u c t i o n 1
2 I n t r o d u c t i o n t o S t r o n g a n d W e a k F o r m s 2
2 . 1 S t r o n g f o r m f o r p r o b l e m s i n e n g i n e e r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 . 2 C o n s t r u c t i o n o f a w e a k f o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 . 3 H e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m : S t r o n g f o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 . 4 H e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m : W e a k f o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 I n t r o d u c t i o n t o V a r i a t i o n a l T h e o r e m s 8
3 . 1 D e r i v a t i v e s o f f u n c t i o n a l s : T h e v a r i a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 . 2 S y m m e t r y o f i n n e r p r o d u c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 . 3 V a i n b e r g ' s m e t h o d : C o n s t r u c t i o n o f v a r i a t i o n a l t h e o r e m s . . . . . . . . . . . 1 0
3 . 4 V a r i a t i o n a l n o t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
4 S m a l l D e f o r m a t i o n : L i n e a r E l a s t i c i t y 1 3
4 . 1 C o n s t i t u t i v e E q u a t i o n s f o r L i n e a r E l a s t i c i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
5 V a r i a t i o n a l T h e o r e m s : L i n e a r E l a s t i c i t y 1 7
5 . 1 H u - W a s h i z u V a r i a t i o n a l T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
5 . 2 H e l l i n g e r - R e i s s n e r V a r i a t i o n a l T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
5 . 3 M i n i m u m P o t e n t i a l E n e r g y T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
i
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C h a p t e r 1
I n t r o d u c t i o n
I n t h e s e n o t e s , C h a p t e r s 2 a n d 3 p r o v i d e a n i n t r o d u c t i o n t o f o r m u l a t i o n o f p r o b l e m s i n b o t h
a s t r o n g a n d a w e a k f o r m . T h e s t r o n g f o r m o f a p r o b l e m i s g i v e n a s a s e t o f p a r t i a l d i e r e n -
t i a l e q u a t i o n s w h e r e a s , t h e w e a k f o r m o f a p r o b l e m i s a s s o c i a t e d w i t h e i t h e r a v a r i a t i o n a l
e q u a t i o n o r a v a r i a t i o n a l t h e o r e m . V a i n b e r g ' s t h e o r e m i s i n t r o d u c e d t o i n d i c a t e w h e n a
v a r i a t i o n a l t h e o r e m e x i s t s f o r a g i v e n v a r i a t i o n a l e q u a t i o n . A v a r i a t i o n a l s t a t e m e n t p r o v i d e s
a c o n v e n i e n t b a s i s f o r c o n s t r u c t i n g a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s ( e . g . , n i t e e l e m e n t m e t h o d s ) . I n i -
t i a l l y , t h e l i n e a r h e a t e q u a t i o n i s u s e d a s a n e x a m p l e p r o b l e m t o d e s c r i b e s o m e o f t h e d e t a i l s
c o n c e r n i n g u s e o f s t r o n g a n d w e a k f o r m s .
C h a p t e r 4 p r o v i d e s a s u m m a r y o f t h e s t r o n g f o r m f o r a l i n e a r e l a s t i c i t y p r o b l e m . I n
C h a p t e r 5 v a r i a t i o n a l t h e o r e m s a r e p r e s e n t e d i n t h r e e f o r m s . T h e r s t f o r m , k n o w n a s t h e
H u - W a s h i z u f o r m , p r e s e n t s a v a r i a t i o n a l t h e o r e m w h i c h i n c l u d e s a l l t h e e q u a t i o n s f o r e l a s t o -
s t a t i c s : B a l a n c e o f l i n e a r m o m e n t u m , s t r a i n - d i s p l a c e m e n t e q u a t i o n s , c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s ,
a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r b o t h t r a c t i o n a n d d i s p l a c e m e n t . T h e s e c o n d f o r m , k n o w n a s t h e
H e l l i n g e r - R e i s s n e r f o r m , i n c l u d e s a l l t h e e q u a t i o n s e x c e p t t h e s t r a i n - d i s p l a c e m e n t e q u a t i o n s
w h i c h m u s t t h e r e f o r e b e p r o v i d e d i n a s t r o n g f o r m . F i n a l l y , t h e l a s t f o r m d i s c u s s e d i s t h e
p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y w h i c h i n c l u d e s o n l y t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s ( i n
t e r m s o f d i s p l a c e m e n t ) a n d t h e t r a c t i o n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . A l l o t h e r e q u a t i o n s m u s t b e
p r o v i d e d i n s t r o n g f o r m .
1
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C h a p t e r 2
I n t r o d u c t i o n t o S t r o n g a n d W e a k
F o r m s
2 . 1 S t r o n g f o r m f o r p r o b l e m s i n e n g i n e e r i n g
M a n y p r o b l e m s i n e n g i n e e r i n g a r e m o d e l e d u s i n g p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( P D E ) . T h e
s e t o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s d e s c r i b i n g s u c h p r o b l e m s i s o f t e n r e f e r r e d t o a s t h e s t r o n g
f o r m o f t h e p r o b l e m . T h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s m a y b e e i t h e r l i n e a r o r n o n - l i n e a r . L i n e a r
e q u a t i o n s a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h e a p p e a r a n c e o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e ( s ) i n l i n e a r f o r m
o n l y , w h e r e a s , n o n - l i n e a r e q u a t i o n s i n c l u d e n o n l i n e a r t e r m s a l s o . V e r y f e w p a r t i a l d i e r e n t i a l
e q u a t i o n s m a y b e s o l v e d i n c l o s e d f o r m - o n e c a s e b e i n g t h e l i n e a r w a v e e q u a t i o n i n o n e s p a c e
d i m e n s i o n a n d t i m e . S o m e e q u a t i o n s a d m i t u s e o f s o l u t i o n s w r i t t e n a s s e r i e s o f p r o d u c t s o f
o n e d i m e n s i o n a l f u n c t i o n s f o r w h i c h e x a c t s o l u t i o n s m a y b e c o n s t r u c t e d f o r e a c h f u n c t i o n .
A g a i n , i n g e n e r a l i t i s n o t p o s s i b l e t o t r e a t g e n e r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s o r p r o b l e m s h a p e s
u s i n g t h i s a p p r o a c h . A s a n e x a m p l e c o n s i d e r t h e P o i s s o n e q u a t i o n
@
2
u
@ x
2
+
@
2
u
@ y
2
= q ( x y ) ( 2 . 1 )
d e n e d o n t h e r e g i o n 0 x a , 0 y b w i t h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n u = 0 o n a l l e d g e s .
T h i s d i e r e n t i a l e q u a t i o n m a y b e s o l v e d b y w r i t i n g u a s a p r o d u c t f o r m
u =
X
m
X
n
s i n (
m x
a
) s i n (
n y
b
) u
m n
( 2 . 2 )
w h i c h w h e n s u b s t i t u t e d i n t o t h e e q u a t i o n y i e l d s
X
m
X
n
m
a
2
+
n
b
2
s i n (
m x
a
) s i n (
n y
b
) u
m n
= q ( x y ) ( 2 . 3 )
T h e s o l u t i o n m a y n o w b e c o m p l e t e d b y e x p a n d i n g t h e r i g h t h a n d s i d e a s a d o u b l e s i n e s e r i e s
( i . e . , F o u r i e r s e r i e s ) a n d m a t c h i n g t e r m s b e t w e e n t h e l e f t a n d r i g h t s i d e s . E v a l u a t i o n o f t h e
2
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C H A P T E R 2 . I N T R O D U C T I O N T O S T R O N G A N D W E A K F O R M S 3
s o l u t i o n r e q u i r e s t h e s u m m a t i o n o f t h e s e r i e s f o r e a c h p o i n t ( x y ) o f i n t e r e s t . C o n s e q u e n t l y ,
i t i s n o t p o s s i b l e t o g e t a n e x a c t s o l u t i o n i n c l o s e d f o r m . I n d e e d , u s e o f a n i t e s e t o f t e r m s
l e a d s t o a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n w i t h t h e a c c u r a c y d e p e n d i n g o n t h e n u m b e r o f t e r m s u s e d .
M o r e g e n e r a l s o l u t i o n s m a y b e c o n s t r u c t e d u s i n g s e p a r a b l e s o l u t i o n h o w e v e r , a g a i n , t h e
s o l u t i o n s a r e o b t a i n e d o n l y i n s e r i e s f o r m . I n t h e s e q u e l , w e w i l l b e c o n c e r n e d w i t h t h e
c o n s t r u c t i o n o f a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s t o p r o b l e m s i n e l a s t i c i t y { o n e s u c h a p p r o x i m a t i o n
b e i n g a r e d u c e d t h e o r y f o r b e a m s , p l a t e s , o r s h e l l s . A c c o r d i n g l y , w e n o w d i r e c t o u r a t t e n t i o n
t o r e w r i t i n g t h e s e t o f e q u a t i o n s i n a f o r m w e c a l l t h e w e a k f o r m o f t h e p r o b l e m . T h e w e a k
f o r m w i l l b e t h e b a s i s f o r c o n s t r u c t i n g o u r a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s .
2 . 2 C o n s t r u c t i o n o f a w e a k f o r m
A w e a k f o r m o f a s e t o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i s c o n s t r u c t e d b y c o n s i d e r i n g 4 s t e p s :
1 . M u l t i p l y t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y a n a r b i t r a r y f u n c t i o n w h i c h c o n t r a c t s t h e e q u a -
t i o n s t o a s c a l a r .
2 . I n t e g r a t e t h e r e s u l t o f 1 . o v e r t h e d o m a i n o f c o n s i d e r a t i o n , .
3 . I n t e g r a t e b y p a r t s u s i n g G r e e n ' s t h e o r e m t o r e d u c e d e r i v a t i v e s t o t h e i r m i n i m u m o r d e r .
4 . R e p l a c e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s b y a n a p p r o p r i a t e c o n s t r u c t i o n .
2 . 3 H e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m : S t r o n g f o r m
T h e a b o v e s t e p s a r e m a d e m o r e c o n c r e t e b y c o n s i d e r i n g a n e x a m p l e . T h e g o v e r n i n g p a r t i a l
d i e r e n t i a l e q u a t i o n s e t f o r t h e t r a n s i e n t h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n i s g i v e n b y
;
d
X
i = 1
@ q
i
@ x
i
+ Q = c
@ T
@ t
( 2 . 4 )
w h e r e : d i s t h e s p a t i a l d i m e n s i o n o f t h e p r o b l e m q
i
i s t h e c o m p o n e n t o f t h e h e a t u x i n
t h e x
i
d i r e c t i o n Q i s t h e v o l u m e t r i c h e a t g e n e r a t i o n p e r u n i t v o l u m e p e r u n i t t i m e , T i s
t e m p e r a t u r e i s d e n s i t y c i s s p e c i c h e a t a n d t i s t i m e . T h e e q u a t i o n s h o l d f o r a l l p o i n t s
x
i
i n t h e d o m a i n o f i n t e r e s t , .
T h e f o l l o w i n g n o t a t i o n i s i n t r o d u c e d f o r u s e t h r o u g h o u t t h i s r e p o r t . P a r t i a l d e r i v a t i v e s
i n s p a c e w i l l b e d e n o t e d b y
( )
i
=
@ ( )
@ x
i
( 2 . 5 )
a n d i n t i m e b y
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C H A P T E R 2 . I N T R O D U C T I O N T O S T R O N G A N D W E A K F O R M S 4
_
T =
@ T
@ t
( 2 . 6 )
I n a d d i t i o n , s u m m a t i o n c o n v e n t i o n i s u s e d w h e r e
a
i
b
i
=
d
X
i = 1
a
i
b
i
( 2 . 7 )
W i t h t h i s n o t a t i o n , t h e d i v e r g e n c e o f t h e u x m a y b e w r i t t e n a s
q
i i
=
d
X
i = 1
@ q
i
@ x
i
( 2 . 8 )
B o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e g i v e n b y
T ( x
j
t ) =
T ( 2 . 9 )
w h e r e
T i s a s p e c i e d t e m p e r a t u r e f o r p o i n t s x
j
o n t h e b o u n d a r y , ;
T
, a n d
q
n
= q
i
n
i
= q
n
( 2 . 1 0 )
w h e r e q n
n
i s a s p e c i e d u x f o r p o i n t s x
j
o n t h e u x b o u n d a r y , ;
q
, a n d n
i
a r e d i r e c t i o n
c o s i n e s o f t h e u n i t o u t w a r d p o i n t i n g n o r m a l t o t h e b o u n d a r y . I n i t i a l c o n d i t i o n s a r e g i v e n b y
T ( x
i
0 ) =
T
0
( x
i
) ( 2 . 1 1 )
f o r p o i n t s i n t h e d o m a i n , , a t t i m e z e r o . T h e e q u a t i o n s a r e c o m p l e t e d b y g i v i n g a r e l a t i o n -
s h i p b e t w e e n t h e g r a d i e n t o f t e m p e r a t u r e a n d t h e h e a t u x ( c a l l e d t h e t h e r m a l c o n s t i t u t i v e
e q u a t i o n ) . T h e F o u r i e r l a w i s a l i n e a r r e l a t i o n s h i p g i v e n a s
q
i
= ; k
i j
T
j
( 2 . 1 2 )
w h e r e k
i j
i s a s y m m e t r i c , s e c o n d r a n k t h e r m a l c o n d u c t i v i t y t e n s o r . F o r a n i s o t r o p i c m a t e r i a l
k
i j
= k
i j
( 2 . 1 3 )
i n w h i c h
i j
i s t h e K r o n e c k e r d e l t a f u n c t i o n (
i j
= 1 f o r i = j = 0 f o r i 6= j ) . H e n c e f o r a n
i s o t r o p i c m a t e r i a l t h e F o u r i e r l a w b e c o m e s
q
i
= ; k T
i
( 2 . 1 4 )
-
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C H A P T E R 2 . I N T R O D U C T I O N T O S T R O N G A N D W E A K F O R M S 5
T h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n m a y b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t e m p e r a t u r e b y s u b s t i t u t i n g E q .
2 . 1 4 i n t o E q . 2 . 4 . T h e r e s u l t i s
( k T
i
)
i
+ Q = c
_
T ( 2 . 1 5 )
T h e e q u a t i o n i s a s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n a n d f o r i s o t r o p i c m a t e r i a l s w i t h c o n s t a n t
k i s e x p a n d e d f o r t w o d i m e n s i o n a l p l a n e b o d i e s a s
k
@
2
T
@ x
2
1
+
@
2
T
@ x
2
2
+ Q = c
@ T
@ t
( 2 . 1 6 )
W e n o t e t h a t i t i s n e c e s s a r y t o c o m p u t e s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e t e m p e r a t u r e t o c o m p u t e
a s o l u t i o n t o t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n . I n t h e f o l l o w i n g , w e s h o w t h a t , e x p r e s s e d a s a w e a k
f o r m , i t i s o n l y n e c e s s a r y t o a p p r o x i m a t e r s t d e r i v a t i v e s o f f u n c t i o n s t o o b t a i n a s o l u t i o n .
T h u s , t h e s o l u t i o n p r o c e s s i s s i m p l i e d b y c o n s i d e r i n g w e a k ( v a r i a t i o n a l ) f o r m s . T h e p a r t i a l
d i e r e n t i a l e q u a t i o n t o g e t h e r w i t h t h e b o u n d a r y a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s i s c a l l e d t h e s t r o n g
f o r m o f t h e p r o b l e m .
2 . 4 H e a t c o n d u c t i o n p r o b l e m : W e a k f o r m
I n s t e p 1 , w e m u l t i p l y E q . 2 . 4 b y a n a r b i t r a r y f u n c t i o n W ( x
i
) , w h i c h t r a n s f o r m s t h e s e t o f
d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o n t o a s c a l a r f u n c t i o n . T h e e q u a t i o n i s r s t w r i t t e n o n o n e s i d e o f a n
e q u a l s i g n . T h u s
g ( W q
i
T ) = W ( x
i
)
c
_
T ; Q + q
i i
= 0 ( 2 . 1 7 )
I n s t e p 2 w e i n t e g r a t e o v e r t h e d o m a i n , . T h u s ,
G ( W q
i
T ) =
Z
W ( x
i
)
c
_
T ; Q + q
i i
d = 0 ( 2 . 1 8 )
I n s t e p 3 w e i n t e g r a t e b y p a r t s t h e t e r m s i n v o l v i n g t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s ( i . e . , t h e t h e r m a l
u x v e c t o r i n o u r c a s e ) . G r e e n ' s t h e o r e m i s g i v e n b y
Z
i
d =
Z
;
n
i
d ; ( 2 . 1 9 )
N o r m a l l y , i s t h e p r o d u c t o f t w o f u n c t i o n s . T h u s f o r
= V U ( 2 . 2 0 )
w e h a v e
-
8/2/2019 FEM Taylor
8/23
C H A P T E R 2 . I N T R O D U C T I O N T O S T R O N G A N D W E A K F O R M S 6
Z
( U V )
i
d =
Z
;
( U V ) n
i
d ; ( 2 . 2 1 )
T h e l e f t h a n d s i d e e x p a n d s t o g i v e
Z
U V
i
+ U
i
V ] d =
Z
;
( U V ) n
i
d ; ( 2 . 2 2 )
w h i c h m a y b e r e a r r a n g e d a s
Z
U V
i
d = ;
Z
U
i
V d +
Z
;
( U V ) n
i
d ; ( 2 . 2 3 )
w h i c h w e o b s e r v e i s a n i n t e g r a t i o n b y p a r t s .
A p p l y i n g t h e i n t e g r a t i o n b y p a r t s t o t h e h e a t e q u a t i o n g i v e s
G ( W q
i
T ) =
Z
W ( x
i
)
c
_
T ; Q
d ;
Z
W
i
q
i
d
+
Z
;
W q
i
n
i
d ; = 0 ( 2 . 2 4 )
I n t r o d u c i n g q
n
, t h e b o u n d a r y t e r m m a y b e s p l i t i n t o t w o p a r t s a n d e x p r e s s e d a s
Z
;
W q
n
d ; =
Z
;
T
W q
n
d ; +
Z
;
q
W q
n
d ; ( 2 . 2 5 )
N o w t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n E q . 2 . 1 0 m a y b e u s e d f o r t h e p a r t o n ;
q
a n d ( w i t h o u t a n y l o s s
i n w h a t w e n e e d t o d o ) w e c a n s e t W t o z e r o o n ;
u
( N o t e t h a t W i s a r b i t r a r y , h e n c e o u r
e q u a t i o n m u s t b e v a l i d e v e n i f W i s z e r o f o r s o m e p a r t s o f t h e d o m a i n ) . S u b s t i t u t i n g a l l t h e
a b o v e i n t o E q . 2 . 2 4 c o m p l e t e s s t e p 4 a n d w e o b t a i n t h e n a l e x p r e s s i o n
G ( W q
i
T ) =
Z
W ( x
i
)
c
_
T ; Q
d ;
Z
W
i
q
i
d
+
Z
;
q
W q
n
d ; = 0 ( 2 . 2 6 )
I f i n a d d i t i o n t o t h e u s e o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n w e a s s u m e t h a t t h e F o u r i e r l a w i s s a t i s e d
a t e a c h p o i n t i n t h e a b o v e i n t e g r a l b e c o m e s
G =
Z
W
c
_
T ; Q
d +
Z
W
i
k T
i
d
+
Z
;
q
W q
n
d ; = 0 ( 2 . 2 7 )
-
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C H A P T E R 2 . I N T R O D U C T I O N T O S T R O N G A N D W E A K F O R M S 7
W e n o t e t h a t t h e a b o v e f o r m o n l y i n v o l v e s r s t d e r i v a t i v e s o f q u a n t i t i e s i n s t e a d o f t h e
s e c o n d d e r i v a t i v e s i n t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n . T h i s l e a d s t o w e a k e r c o n d i t i o n s t o
d e n e s o l u t i o n s o f t h e p r o b l e m a n d t h u s t h e n o t i o n o f a w e a k f o r m i s e s t a b l i s h e d . F u r t h e r -
m o r e , t h e r e a r e n o a d d i t i o n a l e q u a t i o n s t h a t c a n b e u s e d t o g i v e a n y a d d i t i o n a l r e d u c t i o n s
t h u s , E q . 2 . 2 7 i s s o m e t i m e s s a i d t o b e i r r e d u c i b l e 4 , C h a p t e r 9 ] .
-
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C h a p t e r 3
I n t r o d u c t i o n t o V a r i a t i o n a l T h e o r e m s
3 . 1 D e r i v a t i v e s o f f u n c t i o n a l s : T h e v a r i a t i o n
T h e w e a k f o r m o f a d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s a l s o c a l l e d a v a r i a t i o n a l e q u a t i o n . T h e n o t i o n o f
a v a r i a t i o n i s a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n c e p t o f a d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n a l ( i . e . , a f u n c t i o n o f
f u n c t i o n s ) . I n o r d e r t o c o n s t r u c t a d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n a l , i t i s n e c e s s a r y t o i n t r o d u c e a
s c a l a r p a r a m e t e r w h i c h m a y b e u s e d a s t h e l i m i t i n g p a r a m e t e r i n t h e d e r i v a t i v e 1 ] . T h i s
m a y b e d o n e b y i n t r o d u c i n g a p a r a m e t e r a n d d e n i n g a f a m i l y o f f u n c t i o n s g i v e n b y
T
( x ) = T ( x ) + ( x ) ( 3 . 1 )
T h e f u n c t i o n i s a n a r b i t r a r y f u n c t i o n a n d i s r e l a t e d t o t h e a r b i t r a r y f u n c t i o n W i n t r o d u c e d
i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e w e a k f o r m . T h e f u n c t i o n i s c a l l e d t h e v a r i a t i o n o f t h e f u n c t i o n
T a n d o f t e n w r i t t e n a s T ( ( x ) a l o n e a l s o m a y b e c a l l e d t h e v a r i a t i o n o f t h e f u n c t i o n ) 1 ] .
I n t r o d u c i n g t h e f a m i l y o f f u n c t i o n s T
i n t o t h e f u n c t i o n a l w e o b t a i n , u s i n g t h e s t e a d y
s t a t e h e a t e q u a t i o n a s a n e x a m p l e , t h e r e s u l t
G
= G ( W T
) =
Z
W
i
k T
i
d ;
Z
W Q d
+
Z
;
q
W q
n
d ; ( 3 . 2 )
T h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n a l w i t h r e s p e c t t o n o w m a y b e c o n s t r u c t e d u s i n g c o n v e n t i o n a l
m e t h o d s o f c a l c u l u s . T h u s ,
d G
d
= l i m
! 0
G
; G
0
( 3 . 3 )
w h e r e G
0
i s t h e v a l u e o f G
f o r e q u a l t o 0 . T h e c o n s t r u c t i o n o f t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c -
t i o n a l r e q u i r e s t h e c o m p u t a t i o n o f v a r i a t i o n s o f d e r i v a t i v e s o f T . U s i n g t h e a b o v e d e n i t i o n
w e o b t a i n
d ( T
)
i
d
=
d
d
( T
i
+
i
) =
i
( 3 . 4 )
8
-
8/2/2019 FEM Taylor
11/23
C H A P T E R 3 . I N T R O D U C T I O N T O V A R I A T I O N A L T H E O R E M S 9
W i t h t h i s r e s u l t i n h a n d , t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n a l w i t h r e s p e c t t o i s g i v e n b y
d G
d
=
Z
W
i
k
i
d ( 3 . 5 )
T h e l i m i t o f t h e d e r i v a t i v e a s g o e s t o z e r o i s c a l l e d t h e v a r i a t i o n o f t h e f u n c t i o n a l . F o r
t h e l i n e a r s t e a d y s t a t e h e a t e q u a t i o n t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o i s c o n s t a n t , h e n c e t h e
d e r i v a t i v e i s a v a r i a t i o n o f G . W e s h a l l d e n e t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n a l r e p r e s e n t i n g
t h e w e a k f o r m o f a d i e r e n t i a l e q u a t i o n a s
d G
d
= A ( W ) ( 3 . 6 )
T h i s i s a n o t a t i o n c o m m o n l y u s e d t o d e n e i n n e r p r o d u c t s .
3 . 2 S y m m e t r y o f i n n e r p r o d u c t s
S y m m e t r y o f i n n e r p r o d u c t r e l a t i o n s i s f u n d a m e n t a l t o t h e d e r i v a t i o n o f v a r i a t i o n a l t h e o r e m s .
T o i n v e s t i g a t e s y m m e t r y o f a f u n c t i o n a l w e c o n s i d e r o n l y t e r m s w h i c h i n c l u d e b o t h t h e
d e p e n d e n t v a r i a b l e a n d t h e a r b i t r a r y f u n c t i o n . A n i n n e r p r o d u c t i s s y m m e t r i c i f
A ( W ) = A ( W ) ( 3 . 7 )
S y m m e t r y o f t h e i n n e r p r o d u c t r e s u l t i n g f r o m t h e v a r i a t i o n o f a w e a k f o r m i s a s u c i e n t
c o n d i t i o n f o r t h e e x i s t e n c e o f a v a r i a t i o n a l t h e o r e m w h i c h m a y a l s o b e u s e d t o g e n e r a t e a
w e a k f o r m . S y m m e t r y o f t h e f u n c t i o n a l A a l s o i m p l i e s t h a t t h e t a n g e n t m a t r i x ( c o m p u t e d
f r o m t h e s e c o n d v a r i a t i o n o f t h e t h e o r e m o r t h e r s t v a r i a t i o n o f t h e w e a k f o r m ) o f a G a l e r k i n
m e t h o d w i l l b e s y m m e t r i c .
A v a r i a t i o n a l t h e o r e m , g i v e n b y a f u n c t i o n a l I ( T ) , h a s a r s t v a r i a t i o n w h i c h i s i d e n t i c a l
t o t h e w e a k f o r m . T h u s , g i v e n a f u n c t i o n a l I ( T ) w e c a n c o n s t r u c t G ( W T ) a s
l i m
! 0
d I ( T
)
d
= G ( T ) ( 3 . 8 )
N o t e t h a t u s e o f E q . 3 . 1 l e a d s t o a r e s u l t w h e r e r e p l a c e s W i n t h e w e a k f o r m . T h u s , f o r
t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n t o b e e q u i v a l e n t t o t h e w e a k f o r m m u s t b e a n a r b i t r a r y f u n c t i o n
w i t h t h e s a m e r e s t r i c t i o n s a s w e e s t a b l i s h e d i n d e n i n g W . V a r i a t i o n a l t h e o r e m s a r e q u i t e
c o m m o n f o r s e v e r a l p r o b l e m c l a s s e s h o w e v e r , o f t e n w e m a y o n l y h a v e a f u n c t i o n a l G a n d
d e s i r e t o k n o w i f a v a r i a t i o n a l t h e o r e m e x i s t s . I n p r a c t i c e w e s e l d o m n e e d t o h a v e t h e
v a r i a t i o n a l t h e o r e m , b u t k n o w l e d g e t h a t i t e x i s t s i s h e l p f u l s i n c e i t i m p l i e s p r o p e r t i e s o f t h e
d i s c r e t e p r o b l e m w h i c h a r e b e n e c i a l ( e . g . , s y m m e t r y o f t h e t a n g e n t m a t r i c e s , m i n i m u m o r
s t a t i o n a r y v a l u e , e t c . ) . A l s o , e x i s t e n c e o f a v a r i a t i o n a l t h e o r e m y i e l d s a w e a k f o r m d i r e c t l y
b y u s i n g E q . 3 . 8 .
-
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C H A P T E R 3 . I N T R O D U C T I O N T O V A R I A T I O N A L T H E O R E M S 1 0
3 . 3 V a i n b e r g ' s m e t h o d : C o n s t r u c t i o n o f v a r i a t i o n a l t h e -
o r e m s
T h e c o n s t r u c t i o n o f a v a r i a t i o n a l t h e o r e m f r o m a w e a k f o r m i s p e r f o r m e d a s f o l l o w s 2 ] :
1 . C h e c k s y m m e t r y o f t h e f u n c t i o n a l A ( W ) . I f s y m m e t r i c t h e n t o 2 o t h e r w i s e , s t o p :
n o v a r i a t i o n a l t h e o r e m e x i s t s .
2 . P e r f o r m t h e f o l l o w i n g s u b s t i t u t i o n s i n G ( W T )
W ( x ) ! T ( x t ) ( 3 . 9 )
T ( x t ) ! T ( x t ) ( 3 . 1 0 )
t o d e n e G ( T T )
3 . I n t e g r a t e t h e f u n c t i o n a l r e s u l t f r o m ( b ) w i t h r e s p e c t t o o v e r t h e i n t e r v a l 0 t o 1 .
T h e r e s u l t o f t h e a b o v e p r o c e s s g i v e s
I ( T ) =
Z
1
0
G ( T T ) d ( 3 . 1 1 )
P e r f o r m i n g t h e v a r i a t i o n o f I a n d s e t t i n g t o z e r o g i v e s
l i m
! 0
d I ( T
)
d
= G ( T ) = 0 ( 3 . 1 2 )
a n d a p r o b l e m c o m m o n l y r e f e r r e d t o a s a v a r i a t i o n a l t h e o r e m . A v a r i a t i o n a l t h e o r e m i s a
f u n c t i o n a l w h o s e r s t v a r i a t i o n , w h e n s e t t o z e r o , y i e l d s t h e g o v e r n i n g d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a s s o c i a t e d w i t h s o m e p r o b l e m .
F o r t h e s t e a d y s t a t e h e a t e q u a t i o n w e h a v e
G ( T T ) =
Z
T
i
k T
i
d ;
Z
T Q d +
Z
;
q
T q
n
d ; ( 3 . 1 3 )
T h e i n t e g r a l i s t r i v i a l a n d g i v e s
I ( T ) =
1
2
Z
T
i
k T
i
d ;
Z
T Q d +
Z
;
q
T q
n
d ; ( 3 . 1 4 )
R e v e r s i n g t h e p r o c e s s , t h e r s t v a r i a t i o n o f t h e v a r i a t i o n a l t h e o r e m g e n e r a t e s a v a r i a t i o n a l
e q u a t i o n w h i c h i s t h e w e a k f o r m o f t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n . T h e r s t v a r i a t i o n i s
d e n e d b y r e p l a c i n g T b y
T
= T + ( 3 . 1 5 )
-
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C H A P T E R 3 . I N T R O D U C T I O N T O V A R I A T I O N A L T H E O R E M S 1 1
a n d p e r f o r m i n g t h e d e r i v a t i v e d e n e d b y E q . 3 . 1 2 . T h e s e c o n d v a r i a t i o n o f t h e t h e o r e m
g e n e r a t e s t h e i n n e r p r o d u c t
A ( ) ( 3 . 1 6 )
I f t h e s e c o n d v a r i a t i o n i s s t r i c t l y p o s i t i v e ( i . e . , A i s p o s i t i v e f o r a l l ) , t h e v a r i a t i o n a l t h e o r e m
i s c a l l e d a m i n i m u m p r i n c i p l e a n d t h e d i s c r e t e t a n g e n t m a t r i x i s p o s i t i v e d e n i t e . I f t h e
s e c o n d v a r i a t i o n c a n h a v e e i t h e r p o s i t i v e o r n e g a t i v e v a l u e s t h e v a r i a t i o n a l t h e o r e m i s a
s t a t i o n a r y p r i n c i p l e a n d t h e d i s c r e t e t a n g e n t m a t r i x i s i n d e n i t e .
T h e t r a n s i e n t h e a t e q u a t i o n w i t h w e a k f o r m g i v e n b y
G =
Z
W
c
_
T ; Q
d +
Z
W
i
k T
i
d
+
Z
;
q
W q
n
d ; = 0 ( 3 . 1 7 )
d o e s n o t l e a d t o a v a r i a t i o n a l t h e o r e m d u e t o t h e l a c k o f t h e s y m m e t r y c o n d i t i o n f o r t h e
t r a n s i e n t t e r m
A =
_
T
6= ( _ T ) ( 3 . 1 8 )
I f h o w e v e r , w e r s t d i s c r e t i z e t h e t r a n s i e n t t e r m u s i n g s o m e t i m e i n t e g r a t i o n m e t h o d , w e
c a n o f t e n r e s t o r e s y m m e t r y t o t h e f u n c t i o n a l a n d t h e n d e d u c e a v a r i a t i o n a l t h e o r e m f o r t h e
d i s c r e t e p r o b l e m . F o r e x a m p l e i f a t e a c h t i m e t
n
w e h a v e
T ( t
n
) T
n
( 3 . 1 9 )
t h e n w e c a n a p p r o x i m a t e t h e t i m e d e r i v a t i v e b y t h e n i t e d i e r e n c e
_
T ( t
n
)
T
n + 1
; T
n
t
n + 1
; t
n
( 3 . 2 0 )
L e t t i n g t
n + 1
; t
n
= t a n d o m i t t i n g t h e s u b s c r i p t s f o r q u a n t i t i e s e v a l u a t e d a t t
n + 1
, t h e r a t e
t e r m w h i c h i n c l u d e s b o t h T a n d b e c o m e s
A =
T
t
=
t
T
( 3 . 2 1 )
s i n c e s c a l a r s c a n b e m o v e d f r o m e i t h e r t e r m w i t h o u t a e c t i n g t h e v a l u e o f t h e t e r m . T h a t
i s ,
A = ( T ) = ( T ) ( 3 . 2 2 )
-
8/2/2019 FEM Taylor
14/23
C H A P T E R 3 . I N T R O D U C T I O N T O V A R I A T I O N A L T H E O R E M S 1 2
3 . 4 V a r i a t i o n a l n o t a t i o n
A f o r m a l i s m f o r c o n s t r u c t i n g a v a r i a t i o n o f a f u n c t i o n a l m a y b e i d e n t i e d a n d i s s i m i l a r t o
c o n s t r u c t i n g t h e d i e r e n t i a l o f a f u n c t i o n . T h e d i e r e n t i a l o f a f u n c t i o n f ( x
i
) m a y b e w r i t t e n
a s
d f =
@ f
@ x
i
d x
i
( 3 . 2 3 )
w h e r e x
i
a r e t h e s e t o f i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . S i m i l a r l y , w e m a y f o r m a l l y w r i t e a r s t
v a r i a t i o n a s
I =
@ I
@ u
u +
@ I
@ u
i
u
i
+ ( 3 . 2 4 )
w h e r e u , u
i
a r e t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s o f t h e f u n c t i o n a l , u i s t h e v a r i a t i o n o f t h e v a r i a b l e
( i . e . , i t i s f o r m a l l y t h e ( x ) ) , a n d I i s c a l l e d t h e r s t v a r i a t i o n o f t h e f u n c t i o n a l . T h i s
c o n s t r u c t i o n i s a f o r m a l p r o c e s s a s t h e i n d i c a t e d p a r t i a l d e r i v a t i v e s h a v e n o d i r e c t d e n i t i o n
( i n d e e d t h e r e s u l t o f t h e d e r i v a t i v e i s o b t a i n e d f r o m E q . 3 . 3 ) . H o w e v e r , a p p l y i n g t h i s c o n -
s t r u c t i o n c a n b e f o r m a l l y p e r f o r m e d u s i n g u s u a l c o n s t r u c t i o n s f o r a d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n .
F o r t h e f u n c t i o n a l E q . 3 . 1 4 , w e o b t a i n t h e r e s u l t
I =
1
2
Z
@
@ T
i
( T
i
k T
i
) T
i
d ;
Z
@
@ T
( T Q ) T d
+
Z
;
q
@
@ T
( T q
n
) T d ; ( 3 . 2 5 )
P e r f o r m i n g t h e d e r i v a t i v e s l e a d s t o
I =
1
2
Z
( k T
i
+ T
i
k ) T
i
d ;
Z
Q T d +
Z
;
q
q
n
T d ; ( 3 . 2 6 )
C o l l e c t i n g t e r m s w e h a v e
I =
Z
T
i
k T
i
d ;
Z
Q T d +
Z
;
q
q
n
T d ; ( 3 . 2 7 )
w h i c h i s i d e n t i c a l t o E q . 3 . 2 w i t h T r e p l a c i n g W , e t c .
T h i s f o r m a l c o n s t r u c t i o n i s e a s y t o a p p l y b u t m a s k s t h e m e a n i n g o f a v a r i a t i o n . W e m a y
a l s o u s e t h e a b o v e p r o c e s s t o p e r f o r m a l i n e a r i z a t i o n o f v a r i a t i o n a l e q u a t i o n s i n o r d e r t o
c o n s t r u c t s o l u t i o n p r o c e s s e s b a s e d o n N e w t o n ' s m e t h o d .
-
8/2/2019 FEM Taylor
15/23
C h a p t e r 4
S m a l l D e f o r m a t i o n : L i n e a r E l a s t i c i t y
A s u m m a r y o f t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r l i n e a r e l a s t i c i t y i s g i v e n b e l o w . T h e e q u a t i o n s a r e
p r e s e n t e d u s i n g d i r e c t n o t a t i o n . F o r a p r e s e n t a t i o n u s i n g i n d i c i a l n o t a t i o n s e e 4 , C h a p t e r
6 ] . T h e p r e s e n t a t i o n b e l o w a s s u m e s s m a l l ( i n n i t e s i m a l ) d e f o r m a t i o n s a n d g e n e r a l t h r e e
d i m e n s i o n a l b e h a v i o r i n a C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m , x , w h e r e t h e d o m a i n o f a n a l y s i s i s
w i t h b o u n d a r y ; . T h e d e p e n d e n t v a r i a b l e s a r e g i v e n i n t e r m s o f t h e d i s p l a c e m e n t v e c t o r ,
u , t h e s t r e s s t e n s o r , , a n d t h e s t r a i n t e n s o r , . T h e b a s i c g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e :
1 . B a l a n c e o f l i n e a r m o m e n t u m e x p r e s s e d a s
r + b
m
= u ( 4 . 1 )
w h e r e i s t h e m a s s d e n s i t y , b
m
i s t h e b o d y f o r c e p e r u n i t m a s s , r i s t h e g r a d i e n t
o p e r a t o r , a n d
u i s t h e a c c e l e r a t i o n .
2 . B a l a n c e o f a n g u l a r m o m e n t u m , w h i c h l e a d s t o s y m m e t r y o f t h e s t r e s s t e n s o r
=
T
( 4 . 2 )
3 . D e f o r m a t i o n m e a s u r e s b a s e d u p o n t h e g r a d i e n t o f t h e d i s p l a c e m e n t v e c t o r , r u , w h i c h
m a y b e s p l i t a s f o l l o w s
r u = r
( s )
u + r
( a )
u ( 4 . 3 )
w h e r e t h e s y m m e t r i c p a r t i s
r
( s )
u =
1
2
r u + ( r u )
T
( 4 . 4 )
a n d t h e s k e w s y m m e t r i c p a r t i s
r
( a )
u =
1
2
r u ; ( r u )
T
( 4 . 5 )
B a s e d u p o n t h i s s p l i t , t h e s y m m e t r i c p a r t d e n e s t h e s t r a i n
= r
( s )
u ( 4 . 6 )
1 3
-
8/2/2019 FEM Taylor
16/23
C H A P T E R 4 . S M A L L D E F O R M A T I O N : L I N E A R E L A S T I C I T Y 1 4
a n d t h e s k e w s y m m e t r i c p a r t d e n e s t h e s p i n , o r s m a l l r o t a t i o n ,
! = r
( a )
u ( 4 . 7 )
I n a t h r e e d i m e n s i o n a l s e t t i n g t h e a b o v e t e n s o r s h a v e 9 c o m p o n e n t s . H o w e v e r , i f t h e
t e n s o r i s s y m m e t r i c o n l y 6 a r e i n d e p e n d e n t a n d i f t h e t e n s o r i s s k e w s y m m e t r i c o n l y 3
a r e i n d e p e n d e n t . T h e c o m p o n e n t o r d e r i n g f o r e a c h o f t h e t e n s o r s i s g i v e n b y
!
2
4
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
3 1
3 2
3 3
3
5
( 4 . 8 )
w h i c h f r o m t h e b a l a n c e o f a n g u l a r m o m e n t u m m u s t b e s y m m e t r i c , h e n c e
i j
=
j i
( 4 . 9 )
T h e g r a d i e n t o f t h e d i s p l a c e m e n t h a s t h e c o m p o n e n t s o r d e r e d a s ( w i t h n o s y m m e t r i e s )
r u !
2
4
u
1 1
u
1 2
u
1 3
u
2 1
u
2 2
u
2 3
u
3 1
u
3 2
u
3 3
3
5
( 4 . 1 0 )
T h e s t r a i n t e n s o r i s t h e s y m m e t r i c p a r t w i t h c o m p o n e n t s
!
2
4
1 1
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
3 1
3 2
3 3
3
5
( 4 . 1 1 )
a n d t h e s y m m e t r y c o n d i t i o n
i j
=
j i
( 4 . 1 2 )
T h e s p i n t e n s o r i s s k e w s y m m e t r i c , t h u s ,
!
i j
= !
j i
( 4 . 1 3 )
w h i c h i m p l i e s !
1 1
= !
2 2
= !
3 3
= 0 . A c c o r d i n g l y ,
! !
2
4
!
1 1
!
1 2
!
1 3
!
2 1
!
2 2
!
2 3
!
3 1
!
3 2
!
3 3
3
5
=
2
4
0 !
1 2
!
1 3
; !
1 2
0 !
2 3
; !
1 3
; !
2 3
0
3
5
( 4 . 1 4 )
T h e b a s i c e q u a t i o n s w h i c h a r e i n d e p e n d e n t o f m a t e r i a l c o n s t i t u t i o n a r e c o m p l e t e d b y
s p e c i f y i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . F o r t h i s p u r p o s e t h e b o u n d a r y , ; , i s s p l i t i n t o t w o
p a r t s :
S p e c i e d d i s p l a c e m e n t s o n t h e p a r t ;
u
, g i v e n a s :
u =
u ( 4 . 1 5 )
w h e r e
u i s a s p e c i e d q u a n t i t y a n d
-
8/2/2019 FEM Taylor
17/23
C H A P T E R 4 . S M A L L D E F O R M A T I O N : L I N E A R E L A S T I C I T Y 1 5
s p e c i e d t r a c t i o n s o n t h e p a r t ;
t
, g i v e n a s :
t =
n
=
t ( 4 . 1 6 )
w h e r e
t i s a s p e c i e d q u a n t i t y .
I n t h e b a l a n c e o f m o m e n t u m , t h e b o d y f o r c e w a s s p e c i e d p e r u n i t o f m a s s . T h i s m a y
b e c o n v e r t e d t o a b o d y f o r c e p e r u n i t v o l u m e ( i . e . , u n i t w e i g h t / v o l u m e ) u s i n g
b
m
= b
v
( 4 . 1 7 )
S t a t i c o r q u a s i - s t a t i c p r o b l e m s a r e c o n s i d e r e d b y o m i t t i n g t h e a c c e l e r a t i o n t e r m f r o m t h e
m o m e n t u m e q u a t i o n ( E q . 4 . 1 ) . I n c l u s i o n o f i n e r t i a l f o r c e s r e q u i r e s t h e s p e c i c a t i o n o f t h e
i n i t i a l c o n d i t i o n s
u ( x 0 ) = d
0
( x ) ( 4 . 1 8 )
_ u ( x 0 ) = v
0
( x ) ( 4 . 1 9 )
w h e r e d
0
i s t h e i n i t i a l d i s p l a c e m e n t e l d , a n d v
0
i s t h e i n i t i a l v e l o c i t y e l d .
4 . 1 C o n s t i t u t i v e E q u a t i o n s f o r L i n e a r E l a s t i c i t y
T h e l i n e a r t h e o r y i s c o m p l e t e d b y s p e c i f y i n g t h e c o n s t i t u t i v e b e h a v i o r f o r t h e m a t e r i a l . I n
s m a l l d e f o r m a t i o n a n a l y s i s t h e s t r a i n i s e x p r e s s e d a s a n a d d i t i v e s u m o f p a r t s . W e s h a l l
c o n s i d e r s e v e r a l a l t e r n a t i v e s f o r s p l i t s d u r i n g t h e c o u r s e h o w e v e r , w e b e g i n b y c o n s i d e r i n g
a l i n e a r e l a s t i c m a t e r i a l w i t h a n a d d i t i o n a l k n o w n s t r a i n . A c c o r d i n g l y ,
=
m
+
0
( 4 . 2 0 )
w h e r e
m
i s t h e s t r a i n c a u s e d b y s t r e s s e s a n d i s c a l l e d t h e m e c h a n i c a l p a r t ,
0
i s a s e c o n d
p a r t w h i c h w e a s s u m e i s a s p e c i e d s t r a i n . F o r e x a m p l e ,
0
a s a t h e r m a l s t r a i n i s g i v e n b y
0
=
t h
= ( T ; T
0
) ( 4 . 2 1 )
. L P w h e r e T i s t e m p e r a t u r e a n d T
0
i s a s t r e s s f r e e t e m p e r a t u r e . T h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s
r e l a t i n g s t r e s s t o m e c h a n i c a l s t r a i n m a y b e w r i t t e n ( i n m a t r i x n o t a t i o n , w h i c h i s a l s o c a l l e d
V o i g t n o t a t i o n ) a s
= D
m
= D ( ;
0
) ( 4 . 2 2 )
w h e r e t h e m a t r i x o f s t r e s s e s i s o r d e r e d a s t h e v e c t o r
=
1 1
2 2
3 3
1 2
2 3
3 1
T
( 4 . 2 3 )
t h e m a t r i x o f s t r a i n s i s o r d e r e d a s t h e v e c t o r ( n o t e f a c t o r s o f 2 a r e u s e d t o m a k e s h e a r i n g
c o m p o n e n t s t h e e n g i n e e r i n g s t r a i n s ,
i j
)
=
1 1
2 2
3 3
2
1 2
2
2 3
2
3 1
T
( 4 . 2 4 )
-
8/2/2019 FEM Taylor
18/23
C H A P T E R 4 . S M A L L D E F O R M A T I O N : L I N E A R E L A S T I C I T Y 1 6
T e n s o r M a t r i x I n d e x
I n d e x 1 2 3 4 5 6
a b 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1
2 1 3 2 1 3
T a b l e 4 . 1 : T r a n s f o r m a t i o n o f i n d i c e s f r o m t e n s o r t o m a t r i x f o r m
a n d D i s t h e m a t r i x o f e l a s t i c c o n s t a n t s g i v e n b y
D =
2
6
6
6
6
6
6
4
D
1 1
D
1 2
D
1 3
D
1 4
D
1 5
D
1 6
D
2 1
D
2 2
D
2 3
D
2 4
D
2 5
D
2 6
D
3 1
D
3 2
D
3 3
D
3 4
D
3 5
D
3 6
D
4 1
D
4 2
D
4 3
D
4 4
D
4 5
D
4 6
D
5 1
D
5 2
D
5 3
D
5 4
D
5 5
D
5 6
D
6 1
D
6 2
D
6 3
D
6 4
D
6 5
D
6 6
3
7
7
7
7
7
7
5
( 4 . 2 5 )
A s s u m i n g t h e e x i s t e n c e o f a s t r a i n e n e r g y d e n s i t y , W (
m
) , f r o m w h i c h s t r e s s e s a r e c o m p u t e d
a s
a b
=
@ W
@
m
a b
( 4 . 2 6 )
t h e e l a s t i c m o d u l u s m a t r i x i s s y m m e t r i c a n d s a t i s e s
D
i j
= D
j i
( 4 . 2 7 )
U s i n g t e n s o r q u a n t i t i e s , t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n f o r l i n e a r e l a s t i c i t y i s w r i t t e n i n i n d i c i a l
n o t a t i o n a s :
a b
= C
a b c d
(
c d
;
0
c d
) ( 4 . 2 8 )
T h e t r a n s f o r m a t i o n f r o m t h e t e n s o r t o t h e m a t r i x ( V o i g t ) f o r m i s a c c o m p l i s h e d b y t h e i n d e x
t r a n s f o r m a t i o n s s h o w n i n T a b l e 4 . 1
T h u s , u s i n g t h i s t a b l e , w e h a v e
C
1 1 1 1
! D
1 1
C
1 2 3 3
! D
4 3
e t c : ( 4 . 2 9 )
T h e a b o v e s e t o f e q u a t i o n s d e n e s t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r u s e i n s o l v i n g l i n e a r e l a s t i c
b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s i n w h i c h t h e i n e r t i a l f o r c e s m a y b e i g n o r e d . W e n e x t d i s c u s s
s o m e v a r i a t i o n a l t h e o r e m s w h i c h i n c l u d e t h e e l a s t i c i t y e q u a t i o n s i n a f o r m a m e n a b l e f o r
d e v e l o p m e n t o f a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s .
T h e i n c l u s i o n o f i n e r t i a l f o r c e s p r e c l u d e s t h e d e v e l o p m e n t o f v a r i a t i o n a l t h e o r e m s i n a
s i m p l e f o r m a s n o t e d i n t h e p r e v i o u s c h a p t e r . W e c a n a d d t h e i n e r t i a l e e c t s t o t h e v a r i a t i o n a l
e q u a t i o n s w h i c h r e s u l t f r o m a n y v a r i a t i o n a l t h e o r e m u s i n g d ' A l e m b e r t s p r i n c i p l e .
-
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C h a p t e r 5
V a r i a t i o n a l T h e o r e m s : L i n e a r
E l a s t i c i t y
5 . 1 H u - W a s h i z u V a r i a t i o n a l T h e o r e m
I n s t e a d o f c o n s t r u c t i n g t h e w e a k f o r m o f t h e e q u a t i o n s a n d t h e n d e d u c i n g t h e e x i s t e n c e o f a
v a r i a t i o n a l t h e o r e m , a s d o n e f o r t h e t h e r m a l p r o b l e m , a v a r i a t i o n a l t h e o r e m w h i c h i n c l u d e s
a l l t h e e q u a t i o n s f o r t h e l i n e a r t h e o r y o f e l a s t i c i t y ( w i t h o u t i n e r t i a l f o r c e s ) w i l l b e s t a t e d .
T h e v a r i a t i o n a l t h e o r e m i s a r e s u l t o f t h e w o r k o f t h e C h i n e s e s c h o l a r , H u , a n d t h e J a p a n e s e
s c h o l a r , K . W a s h i z u 3 ] , a n d , t h u s , i s k n o w n a s t h e H u - W a s h i z u v a r i a t i o n a l t h e o r e m . T h e
t h e o r e m m a y b e w r i t t e n a s
I ( u ) =
1
2
Z
T
D d ;
Z
T
D
0
d
+
Z
T
( r
( s )
u ; ) d ;
Z
u
T
b
v
d
;
Z
;
t
B u
T
t d ; ;
Z
;
u
t
T
( u ;
u ) d ; = S t a t i o n a r y ( 5 . 1 )
N o t e t h a t t h e i n t e g r a l d e n i n g t h e v a r i a t i o n a l t h e o r e m i s a s c a l a r h e n c e , a t r a n s p o s e m a y
b e i n t r o d u c e d i n t o e a c h t e r m w i t h o u t c h a n g i n g t h e m e a n i n g . F o r e x a m p l e ,
I =
Z
a
T
b d =
Z
( a
T
b )
T
d =
Z
b
T
a d ( 5 . 2 )
A v a r i a t i o n a l t h e o r e m i s s t a t i o n a r y w h e n t h e a r g u m e n t s ( e . g . , u , , ) s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s
w h e r e t h e r s t v a r i a t i o n v a n i s h e s . T o c o n s t r u c t t h e r s t v a r i a t i o n , w e p r o c e e d a s i n t h e
p r e v i o u s c h a p t e r . A c c o r d i n g l y , w e i n t r o d u c e t h e v a r i a t i o n s t o t h e d i s p l a c e m e n t , U , t h e
s t r e s s , S , a n d t h e s t r a i n , E , a s
u
= u + U ( 5 . 3 )
= + S ( 5 . 4 )
1 7
-
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C H A P T E R 5 . V A R I A T I O N A L T H E O R E M S : L I N E A R E L A S T I C I T Y 1 8
= + E ( 5 . 5 )
a n d d e n e t h e s i n g l e p a r a m e t e r f u n c t i o n a l
I
= I ( u
) ( 5 . 6 )
T h e r s t v a r i a t i o n i s t h e n d e n e d a s t h e d e r i v a t i v e o f I
w i t h r e s p e c t t o a n d e v a l u a t e d a t
= 0 . F o r t h e H u - W a s h i z u t h e o r e m t h e r s t v a r i a t i o n d e n i n g t h e s t a t i o n a r y c o n d i t i o n i s
g i v e n b y
d I
d
= 0
=
Z
E
T
D d ;
Z
E
T
D
0
d
+
Z
S
T
( r
( s )
u ; ) d +
Z
T
( r
( s )
U ; E ) d
;
Z
U
T
b
v
d ;
Z
;
t
U
T
t d ;
;
Z
;
u
n
T
S ( u ;
u ) d ; ;
Z
;
u
t
T
U d ; = 0 ( 5 . 7 )
T h e r s t v a r i a t i o n m a y a l s o b e c o n s t r u c t e d u s i n g 3 . 2 3 f o r e a c h o f t h e v a r i a b l e s . T h e r e s u l t
i s
I =
Z
T
D d ;
Z
T
D
0
d
+
Z
T
( r
( s )
u ; ) d +
Z
T
( r
( s )
u ; ) d
;
Z
u
T
b
v
d ;
Z
;
t
u
T
t d ;
;
Z
;
u
n
T
( u ;
u ) d ; ;
Z
;
u
t
T
u d ; = 0 ( 5 . 8 )
a n d t h e t w o f o r m s l e a d t o i d e n t i c a l r e s u l t s .
I n o r d e r t o s h o w t h a t t h e t h e o r e m i n f o r m 5 . 7 i s e q u i v a l e n t t o t h e e q u a t i o n s f o r l i n e a r
e l a s t i c i t y , w e n e e d t o g r o u p a l l t h e t e r m s t o g e t h e r w h i c h m u l t i p l y e a c h v a r i a t i o n f u n c t i o n
( e . g . , t h e U , S , E ) . T o a c c o m p l i s h t h e g r o u p i n g i t i s n e c e s s a r y t o i n t e g r a t e b y p a r t s t h e
t e r m i n v o l v i n g r
( s )
U . A c c o r d i n g l y ,
Z
T
r
( s )
U d = ;
Z
U
T
r d +
Z
;
t
t
T
U d ; +
Z
;
u
t
T
U d ; ( 5 . 9 )
G r o u p i n g a l l t h e t e r m s w e o b t a i n
d I
d
= 0
=
Z
E
T
D ( ;
0
) ; ] d
+
Z
S
T
( r
( s )
u ; ) d ;
Z
U
T
( r + b
v
) d
+
Z
;
t
U
T
( t ;
t ) d ; ;
Z
;
u
n
T
S ( u ;
u ) d ; = 0 ( 5 . 1 0 )
-
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C H A P T E R 5 . V A R I A T I O N A L T H E O R E M S : L I N E A R E L A S T I C I T Y 1 9
T h e f u n d a m e n t a l l e m m a o f t h e c a l c u l u s o f v a r i a t i o n s s t a t e s t h a t e a c h e x p r e s s i o n m u l t i p l y i n g
a n a r b i t r a r y f u n c t i o n i n e a c h i n t e g r a l t y p e m u s t v a n i s h a t e a c h p o i n t i n t h e d o m a i n o f t h e
i n t e g r a l . T h e l e m m a i s e a s y t o p r o v e . S u p p o s e t h a t a n e x p r e s s i o n d o e s n o t v a n i s h a t a
p o i n t , t h e n , s i n c e t h e v a r i a t i o n i s a r b i t r a r y , w e c a n a s s u m e t h a t i t i s e q u a l t o t h e v a l u e o f
t h e n o n - v a n i s h i n g e x p r e s s i o n . T h i s r e s u l t s i n t h e i n t e g r a l o f t h e s q u a r e o f a f u n c t i o n , w h i c h
m u s t t h e n b e p o s i t i v e , a n d h e n c e t h e i n t e g r a l w i l l n o t b e z e r o . T h i s l e a d s t o a c o n t r a d i c t i o n ,
a n d t h u s t h e o n l y p o s s i b i l i t y i s t h a t t h e a s s u m p t i o n o f a n o n - v a n i s h i n g e x p r e s s i o n i s f a l s e .
T h e e x p r e s s i o n w h i c h m u l t i p l i e s e a c h v a r i a t i o n f u n c t i o n i s c a l l e d a n E u l e r e q u a t i o n o f t h e
v a r i a t i o n a l t h e o r e m . F o r t h e H u - W a s h i z u t h e o r e m , t h e v a r i a t i o n s m u l t i p l y t h e c o n s t i t u t i v e
e q u a t i o n , t h e s t r a i n - d i s p l a c e m e n t e q u a t i o n , t h e b a l a n c e o f l i n e a r m o m e n t u m , t h e t r a c t i o n
b o u n d a r y c o n d i t i o n , a n d t h e d i s p l a c e m e n t b o u n d a r y c o n d i t i o n . I n d e e d , t h e o n l y e q u a t i o n
n o t c o n t a i n e d i s t h e b a l a n c e o f a n g u l a r m o m e n t u m .
T h e H u - W a s h i z u v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s e r v e s a s a c o n v e n i e n t b a s i s f o r c o n s t r u c t i n g a p -
p r o x i m a t e s o l u t i o n s t o p r o b l e m s i n l i n e a r e l a s t i c i t y . T h e r e a r e o t h e r v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s
w h i c h c a n b e d e d u c e d d i r e c t l y f r o m t h e p r i n c i p l e . T w o o f t h e s e , t h e H e l l i n g e r - R e i s s n e r
p r i n c i p l e a n d t h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y a r e p r e s e n t e d b e l o w s i n c e t h e y a r e
a l s o o f t e n u s e d i n c o n s t r u c t i n g a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s i n l i n e a r e l a s t i c i t y .
5 . 2 H e l l i n g e r - R e i s s n e r V a r i a t i o n a l T h e o r e m
T h e H e l l i n g e r - R e i s s n e r p r i n c i p l e e l i m i n a t e s t h e s t r a i n a s a p r i m a r y d e p e n d e n t v a r i a b l e c o n -
s e q u e n t l y , o n l y t h e d i s p l a c e m e n t , u , a n d t h e s t r e s s , , r e m a i n a s a r g u m e n t s i n t h e f u n c t i o n a l
f o r w h i c h v a r i a t i o n s a r e c o n s t r u c t e d . T h e s t r a i n s a r e e l i m i n a t e d b y d e v e l o p i n g a n e x p r e s s i o n
i n t e r m s o f t h e s t r e s s e s . F o r l i n e a r e l a s t i c i t y t h i s l e a d s t o
=
0
+ D
; 1
( 5 . 1 1 )
T h e n e e d t o d e v e l o p a n e x p r e s s i o n f o r s t r a i n s i n t e r m s o f s t r e s s e s l i m i t s t h e a p p l i c a t i o n o f t h e
H e l l i n g e r - R e i s s n e r p r i n c i p l e . F o r e x a m p l e , i n n i t e d e f o r m a t i o n e l a s t i c i t y t h e d e v e l o p m e n t
o f a r e l a t i o n s i m i l a r t o 5 . 1 1 i s n o t p o s s i b l e i n g e n e r a l . O n t h e o t h e r h a n d , t h e H e l l i n g e r -
R e i s s n e r p r i n c i p l e i s a n i m p o r t a n t l i m i t i n g c a s e w h e n c o n s i d e r i n g p r o b l e m s w i t h c o n s t r a i n t s
( e . g . , l i n e a r e l a s t i c i n c o m p r e s s i b l e p r o b l e m s , t h i n p l a t e s a s a l i m i t c a s e o f t h e t h i c k M i n d l i n -
R e i s s n e r t h e o r y ) . T h u s , w e s h a l l o n o c c a s i o n u s e t h e p r i n c i p l e i n o u r s t u d i e s . I n t r o d u c i n g
5 . 1 1 i n t o t h e H u - W a s h i z u p r i n c i p l e l e a d s t o t h e r e s u l t
I ( u ) = ;
1
2
Z
0 T
D
0
d ;
1
2
Z
T
D
; 1
d
;
Z
T
0
d +
Z
T
r
( s )
u d ;
Z
u
T
b
v
d
;
Z
;
t
u
T
t d ; ;
Z
;
u
t
T
( u ;
u ) d ; ( 5 . 1 2 )
T h e E u l e r e q u a t i o n s f o r t h i s p r i n c i p l e a r e
r
( s )
u =
0
+ D
; 1
( 5 . 1 3 )
-
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C H A P T E R 5 . V A R I A T I O N A L T H E O R E M S : L I N E A R E L A S T I C I T Y 2 0
t o g e t h e r w i t h 4 . 1 , 4 . 1 5 a n d 4 . 1 6 . T h e s t r a i n - d i s p l a c e m e n t e q u a t i o n s a r e d e d u c e d b y e i t h e r
d i r e c t l y s t a t i n g 4 . 6 o r c o m p a r i n g 5 . 1 1 t o 5 . 1 3 . T h e r s t t e r m i n 5 . 1 2 m a y b e o m i t t e d s i n c e
i t s r s t v a r i a t i o n i s z e r o .
5 . 3 M i n i m u m P o t e n t i a l E n e r g y T h e o r e m
T h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y e l i m i n a t e s b o t h t h e s t r e s s , , a n d t h e s t r a i n ,
, a s a r g u m e n t s o f t h e f u n c t i o n a l . I n a d d i t i o n , t h e d i s p l a c e m e n t b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e
a s s u m e d t o b e i m p o s e d a s a c o n s t r a i n t o n t h e p r i n c i p l e . T h e M P E t h e o r e m m a y b e d e d u c e d
b y a s s u m i n g
= r
( s )
u ( 5 . 1 4 )
a n d
u = u ( 5 . 1 5 )
a r e s a t i s e d a t e a c h p o i n t o f a n d ; , r e s p e c t i v e l y . T h u s , t h e v a r i a t i o n a l t h e o r e m i s g i v e n
b y t h e i n t e g r a l f u n c t i o n a l
I ( u ) =
1
2
Z
( r
( s )
u )
T
D ( r
( s )
u ) d ;
Z
( r
( s )
u )
T
D
0
d
;
Z
u
T
b
v
d ;
Z
;
t
u
T
t d ; ( 5 . 1 6 )
S i n c e s t r e s s d o e s n o t a p p e a r e x p l i c i t l y i n t h e t h e o r e m , t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n m u s t b e
g i v e n . A c c o r d i n g l y , i n a d d i t i o n t o 5 . 1 4 a n d 5 . 1 5 t h e r e l a t i o n
= D ( ;
0
) ( 5 . 1 7 )
i s g i v e n .
T h e p r i n c i p l e o f m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y i s o f t e n u s e d a s t h e b a s i s f o r d e v e l o p i n g
a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s i n w h i c h o n l y d i s p l a c e m e n t a p p r o x i m a t i o n s a r e n e e d e d .
-
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B i b l i o g r a p h y
1 ] F . B . H i l d e b r a n d . M e t h o d s o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s . P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i s N J ,
2 e d i t i o n , 1 9 6 5 ( a l s o D o v e r P r e s s , 1 9 9 2 ) .
2 ] M . M . V a i n b e r g . V a r i a t i o n a l M e t h o d s f o r t h e S t u d y o f N o n l i n e a r O p e r a t o r s . H o l d e n - D a y
I n c . , S a n F r a n c i s c o , C A , 1 9 6 4 .
3 ] K . W a s h i z u . V a r i a t i o n a l M e t h o d s i n E l a s t i c i t y a n d P l a s t i c i t y . P e r g a m o n P r e s s , N e w
Y o r k , 3 e d i t i o n , 1 9 8 2 .
4 ] O . C . Z i e n k i e w i c z a n d R . L . T a y l o r . T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d , v o l u m e 1 . M c G r a w - H i l l ,
L o n d o n , 4 e d i t i o n , 1 9 8 9 .
2 1