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7/26/2019 FEMat-(Taller03-Relaciones)^C-beta

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F ACU LTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓNPEDAGOGÍA MEDIA EN M ATEM ÁTICA

(Taller N◦03: Relaciones)c

Fundamentos Estructurantes de la Matemática

Relación de Equivalencia

Sea A un conjunto y R una relación sobre A. R es una relación de equivalencia si y sólo si esrefleja, simétrica y transitiva.

I. Pruebe que cada una de las siguientes relaciones es una relación de equivalencia.

1. Sea X el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de {1,2,3} y R una relaciónsobre X definida como

∀ A, B ∈ X , A R B ⇔ el menor elemento de A es igual al menor elemento de B

2. Sea S = {1,2,3} y R sobre S definida como

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}

3. Sea R la relación sobre definida como

x ≡ y ( mod 5)

que se lee “ x es congruente a y módulo 5” y significa que la diferencia x − y es divisiblepor 5.

4. Sea A =

− {0} y ≈ la relación sobre A× A definida como

(a, b) ≈ (c, d) ⇔ ad = b c

5. Sea A = {1,2,3, . . . ,9} y sea ∼ la relación sobre A× A definida como

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c

II. Pruebe que si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A, entonces R−1 tambiénes una relación de equivalencia sobre A.

Partición

Una partición P de un conjunto A es un conjunto finito o infinito de subconjuntos no vacíosy disjuntos entre sí, cuya unión es A. Simbólicamente, si Ai es un subconjunto que está en lapartición, se tiene que:

1. (∀ Ai ∈ P )( Ai = ∅)

1



2. (i = j) ⇒ ( Ai ∩ A j = ∅)

3. A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = A

Dada una partición de un conjunto A, la relación R inducida por la partición se define sobre

A como x R y ⇔ (∃ Ai ∈ P )( x , y ∈ Ai )

Teorema: Sea A un conjunto con una partición y R la relación inducida porla partición. Entonces R es refleja, simétrica y transitiva.

Así, una relación sobre un conjunto A inducida por una partición será una relación de equiva-

lencia; y toda relación de equivalencia inducirá una partición sobre A.

Clase de Equivalencia

Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia sobre A. Para cada elemento a de A, laclase de equivalencia de a o clase de a –que se denota a– es el conjunto de todos los x de A queestén relacionados a a por R. Simbólicamente,

a = { x ∈ A | x R a}

y también(∀ x ∈ A)( x ∈ a ⇔ x R a)

Lema 1: Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia sobre A, y a y b elementos de A. Si a R b, entonces a = b.

Lema 2: Si A es un conjunto, R una relación de equivalencia sobre A, y a y b elementos de A, entonces o a ∩ b = ∅, ó a = b.

Teorema: Si A es un conjunto y R una relación de equivalencia sobre A,entonces las distintas clases de equivalencia de R forman una partición de A;es decir, la unión de las clases de equivalencia es igual a A, y la intersecciónde dos clases distintas es vacía.

III. Cada relación R siguiente es una relación de equivalencia sobre el conjunto A dado.Encuentre las distintas clases de equivalencia de R.

1. A = {0,1,2,3,4}; R = {(0, 0), (0, 4), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 0), (4, 4)}

2. A = {1,2,3, . . . ,20}; R se define como

∀ x , y ∈ A, x R y ⇔ x ≡ y ( mod 4)

2



3. A = {(1, 3), (2, 4), (−4,−8), (3, 9), (1, 5), (3, 6)}; R se define como

∀(a, b), (c, d) ∈ A, (a, b) R(c, d) ⇔ ad = b c

4. X = {a, b, c}, A = ( X ); R se define como

∀U , V ∈ ( x ), U R V ⇔ N (U ) = N (V )

(Esto es, la cardinalidad de U es igual a la de V .)

IV. Sea R la relación de congruencia módulo 3. ¿Cuáles de las siguientes clases de equiva-lencia son iguales?

7,−4,−6,17,4,27,19

V. Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Demuestre que:

1. (∀a ∈ A)(a ∈ a)

2. (∀a, b ∈ A)(b ∈ a ⇒ a R b)

3. (∀a, b, c ∈ A) [(b R c ∧ c ∈ a) ⇒ b ∈ a]

4. (∀a, b ∈ A)(a ∈ b ⇒ a = b)

Relación de Orden Parcial

Sea R una relación sobre el conjunto A. R es una relación de orden parcial si y sólo si esrefleja, antisimétrica y transitiva.

VI. Pruebe que cada una de las siguientes relaciones es una relación de orden parcial, o déun contraejemplo.

1. Sea un conjunto de conjuntos y se define la relación “es subconjunto de”, ⊆, sobre como

∀U , V ∈ , U ⊆ V ⇔ (∀ x )( x ∈ U ⇒ x ∈ V )

2. Sea | la relación “divide a” sobre A =

+. Es decir,

∀a, b ∈ A, a|b ⇔ b = ka, para algún k ∈

3. Sea S ⊆

y se define la relación ≤ sobre S como∀ x , y ∈ S, x ≤ y ⇔ ( x < y )∨ ( x = y )

4. Se define R sobre

×

como

∀(a, b), (c, d) ∈ × , (a, b) R(c, d) ⇔ (a < c)∨ [(a = c)∧ (b ≤ d)]

5. Se define R sobre como

3



∀a, b ∈ , a R b ⇔ b = a r , para algún r ∈

6. Se define R sobre

como

∀m, n ∈ , m R n ⇔ todo factor primo de m es un factor primo de n

VII. Suponga que existe una relación R sobre un conjunto A que sea refleja, simétrica, transi-tiva y antisimétrica. ¿Qué se puede concluir sobre R? Justifique su respuesta.

Relación de Orden Total

Sea R definida sobre un conjunto A. R es total sobre A ⇔ (∀ x , y ∈ A)[( x R y )∨ ( y R x )]

Si una relación R es de orden parcial sobre A, y además total sobre A, entonces R es unarelación de orden total sobre A.

VIII. Pruebe que las siguiente relaciones son de orden total, o dé un contraejemplo.

1. Considere la relación “divide a” sobre el conjunto A = {1,2,22, 23, . . . , 2n}, con n ∈

+0 .

2. Sea A = {a, b, c, d} y R la relación definida como

R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (c, a), (a, d), (c, d), (b, c), (b, d), (b, a)}

3. Sea A = {a, b, c, d} y R la relación definida como

R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (c, b), (a, d), (b, a), (b, d), (c, d), (c, a)}

4. Sea A = {1,2,3,4,5} y R la relación definida como

∀(a, b), (c, d) ∈ A× A, (a, b) R(c, d) ⇔ (a ≤ c ∧ b ≤ d)

4

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