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FEMで流れ問題が解ける仕組み～８０/９０年代のノートから～

滝　佳弘　　名城大学シミュレーションの計算力学研究室

[email protected]

HTC 2012, Japan2012.6.28 ( Thu.), TOKYO

How FEM solve flow problems- from my 80s/90s note-

も

mailto:[email protected]

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シミュレーションの計算力学研究室

アウトライン

・流れ問題が与えてくれたもの

・モデル問題（移流・拡散方程式）

・風上差分からSU-PG法，そしてStabilized法

・多次元化

・対称システム方程式へ

・グリッド vs. 要素

・ A L E

2


非圧縮性流体の支配方程式

問題点

１．対流項の存在

２．非圧縮性と要素

低減選択積分、非適合要素、etc

3

・流れ問題が与えてくれたもの


a dvdx

= 0 xL ≤ x ≤ xR

dvdx

≅12

vn+1 − vnΔx

+vn − vn−1

Δx⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=vn+1 − vn−12Δx

0 = v8 − v6 = v6 − v4 = v4 − v2( )= 0 − 0

0 = v7 − v5 = v5 − v3 = v3 − v1( )= 1−1

対流項

１次微分の中心差分（２次精度）

Wiggle 解も許してしまう

4


境界値問題「保存則」と「境界条件」

保存則は原因がなければ物理量は変化しない

　原　因　１．ソース項

　２．B.C.

5

・モデル問題（移流・拡散方程式）


0

y

x

dy

dx

y + ∂ y

∂ ydyvv

∂x + ∂ x

xdxv v

xv

yv

∂+ ∂

ydy

∂∂x+ dx

f f

0

y

x

dy

dx

yq

xq∂

x + ∂ x

xdxq q

y +∂ y

∂ydyq q

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Time Derivative In Out∂ϕ∂tdxdy = ϕvxdy − ϕ +

∂ϕ∂x

dx⎛⎝⎜

⎞⎠⎟vx +

∂vx∂x

dx⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dy

+ϕvydx − ϕ +∂ϕ∂y

dy⎛⎝⎜

⎞⎠⎟vy +

∂vy∂y

dy⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

+qxdy − qx +∂qx∂x

dx⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dy

+qydy − qy +∂qy∂y

dy⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

+ fdxdy

スカラ-量の移流拡散問題

スカラー量の収支

6

移流効果拡散効果


ベクトル表示、３次元化

∂ϕ∂t

+ v ⋅∇ϕ −κΔϕ − f = 0

v dϕdx

−κd2ϕdx2

= 0 0 ≤ x ≤ L

ϕ = 0 at x = 0ϕ =1 at x = L

定常１次元モデル問題

正解

ϕ =1

1 − ePe1 − e

PexL

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Pe = vL / k( )ペクレ数（Peclet number）といい移流項と拡散項の大きさの比率

i( ) Pe <<1

ii( ) Pe >>1

拡散項が支配的

移流項が顕著

移流拡散問題の厳密解

7

移流項拡散項

ϕ

L0


＜差分解＞

aa- 1 a+1

h

差分格子

メッシュは等間隔hとする

１．２次精度の中心差分

ddx a

≈12h

−1, 0, 1( )

d2

dx 2 a

≈1h2

1, − 2, 1( )

格子点aについての差分表示

v2h

−1, 0, 1[ ]− kh2

1,−2, 1[ ]⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 0

局所ペクレ数（local Pectet number）α = vh / kβ =1 / α とおくき整理

v2h

− 1+ β( ), 2β, 1− β⎡⎣ ⎤⎦

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 0

8

シミュレーションの計算力学研究室階差形式の差分解

代入

− 1 + β( ) + 2βA + 1 − β( )A2{ }ϕa−1 = 0

有意な解

A =−2β ± 2β( )2 − 4 1 − β( ) − 1+ β( ){ }

2 1 − β( )

=1β +1β −1

=1 + α1 − α

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

明らかに，１は無意味である．もう一方の解はα > 1 ⇒ A < 0 -＞　振動する解（wiggle）となり正しい結果が得られなくなる

9

ϕa+1 = Aϕa = A2ϕa−1 = = Aaϕ1 = A

a+1ϕ0

シミュレーションの計算力学研究室２．風上差分と人工拡散効果、最適風上法

この振動解（wiggle）を解消する差分法があるが１次精度のため精度落ちが著しい．風上差分がこれである．物理量の変化は流れにそって風上からくることを考慮しようというものである

風上差分

移流項へ代入

ddx a

≈1h

−1, 1, 0( ) v > 0

≈1h0, −1, 1( ) v < 0

vh

−1, 1, 0[ ] − kh2

1, − 2, 1[ ]⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

ϕa −1

ϕa

ϕa +1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ = 0

整理vh

− 1+12β⎛

⎝ ⎞ ⎠ , 1 + β( ), −

12β⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ = 0

階差形式の差分解は次式より

− 1 +12β⎛

⎝ ⎞ ⎠ + 1 + β( )A + −

12β⎛

⎝ ⎞ ⎠ A

2 = 0 A =1β + 2β

= 2α +1( )

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

振動解（wiggle）はなくなる、しかし精度はチェックの必要 10

シミュレーションの計算力学研究室人工拡散微分方程式に人工拡散の項を加えて安定化を試みる手法

v dϕdx

− κ +κ ( ) d2ϕdx 2

= 0 0 ≤ x ≤ L κ 人工拡散係数

移流項に中心差分格子点aについての差分表示

v2h

−1, 0, 1[ ] − κ +κ h2

1, − 2, 1[ ]⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ = 0

κ = vh / 2と選べば風上差分と等価

不安定解と安定な解

11

シミュレーションの計算力学研究室最適風上法格子点上で正解が得られるような方法はあるのだろうか？この答えが最適風上差分法である．これについて説明する．中心差分法は拡散効果が不足して不安定、一方で風上差分法は拡散効果が大きすぎて安定ではあるが精度に欠ける．そこで、この両者を線形結合して最適な差分法が作れないかという試みがなされた

ξ × central difference( ) + 1− ξ( ) × upwind diffrence( )orcentral difference( ) +κ artificial diffusivity( )

ξ,κ を格子点上で正解が得られるように決定

人工拡散項を加える手法を使って最適な場合を誘導

v dϕdx

− κ +κ( ) d2ϕdx2

= 0 0 ≤ x ≤ L

ϕ = 0 at x = 0ϕ = 1 at x = L

格子点aについての３項差分表示

v2h

−1, 0, 1[ ]− κ +κh2

1,−2, 1[ ]⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 0

12


13

整理v2h

− 1+η( ), 2η, 1−η⎡⎣ ⎤⎦

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 0

where

η =2vh

κ +κ( ) = 1α+2vh

κ

ϕa−1 =1

1− ePe1− e

Pexa−1L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

11− ePe

1− ePe

xaL e

−Pe hL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕa =1

1− ePe1− e

PexaL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ϕa+1 =1

1− ePe1− e

PexaL e

Pe hL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

ϕa が格子点上で正解になるには


３項差分表示式へ代入

− 1+η( ) + 2η + 1−η( ){ } + 1+η( )e−PehL − 2η − 1−η( )ePe

hL

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭ePe

xaL = 0

左辺第１項はゼロ、それゆえ第２項の係数がゼロになれば良いη について解く

η =ePe h

L +1

ePe h

L −1= coth Pe h

2L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= coth vh

2κ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= coth α( )ゆえに

κ =vh2

η −1α

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=vh2

coth α( ) − 1α

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

格子点上で正解と一致する差分解が得られる

14

α

2κ / vh


３．ガラーキン法とペトロフ・ガラーキン法ガラーキン法では次のように定式化される

0 = W v dϕdx

−κd2ϕdx2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ dx

0

L

∫重み関数と試験関数に同じものを選ぶと２次精度を有し、構造解析ではベストの方法と知られている．しかし移流項を持つ問題に対しては中心差分法と同様に不安定解になる．そのことを示す

部分積分

0 = Wvdϕdx

+dWdx

κdϕdx

⎛ ⎝

⎞ ⎠ dx0

L

∫ −Wκdϕdx 0

L

FEMで離散化するために領域を長さ hの部分領域（要素）nel h = L nel( )個に分割

0 = Wvdϕdx

+dWdx

κdϕdx

⎛ ⎝

⎞ ⎠ dxΩe∫⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

e=1

nel

∑ −Wκ dϕdx 0

L

Ω e = xe, xe+1[ ]

aa- 1 a+1element=a-1 element=a

-1 10

FEMの視点から

15

・SU-PG法からStabilized法


a a −1, a領域の中の第節点をかこむ要素についてe = a −1x = N1 ξ( )xa −1 + N2 ξ( )xa

e = ax = N1 ξ( )xa + N2 ξ( )xa+1

where

N1 ξ( ) = 121− ξ( ), N2 ξ( ) = 1

21+ ξ( )

dN1dξ

= −12, dN2

dξ=12

微分係数

dx = dxdξ

dξ

a −1要素については

dx =dN1dξ

xa−1 +dN2

dξxa

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭ dξ

=12

−xa−1 + xa{ }dξ

=h2dξ

16


試験関数と重み関数e = a −1

ϕ = N1 ξ( )ϕa −1 + N2 ξ( )ϕa = N1, N2[ ] ϕa−1

ϕa

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

W = N1 ξ( )Wa−1 + N2 ξ( )Wa = N1, N2[ ] Wa−1

Wa

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

= Wa −1,Wa{ } N1N2⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

e = a

ϕ = N1 ξ( )ϕa + N2 ξ( )ϕa+1 = N1, N2[ ] ϕa

ϕa+1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

W = N1 ξ( )Wa + N2 ξ( )Wa+1 = N1, N2[ ] Wa

Wa+1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

= Wa ,Wa +1{ } N1N2⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

微分係数

他も同様

17

シミュレーションの計算力学研究室要素積分

e = a −1

Wa−1,Wa{ } N1N2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥v 2h

dN1dξ, dN2

dξ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ϕa−1

ϕa

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+ Wa−1,Wa{ }

dN1dξdN2

dξ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2hκ 2h

dN1dξ, dN2

dξ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ϕa−1

ϕa

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

−1

1

∫h2dξ

= Wa−1,Wa{ } N1N2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥v dN1

dξ, dN2

dξ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+

dN1dξdN2

dξ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2κh

dN1dξ, dN2

dξ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

dξ−1

1

∫ϕa−1

ϕa

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= Wa−1,Wa{ } Ca−111 Ca−1

12

Ca−121 Ca−1

22

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

Ka−111 Ka−1

12

Ka−121 Ka−1

22

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

ϕa−1

ϕa

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

Ca−111 Ca−1

12

Ca−121 Ca−1

22

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

N1N2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥v dN1

dξ, dN2

dξ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dξ−1

1

∫

= vN1dN1dξ

N1dN2

dξ

N2dN1dξ

N2dN2

dξ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

dξ−1

1

∫

Ka−111 Ka−1

12

Ka−121 Ka−1

22

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

dN1dξdN2

dξ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2κh

dN1dξ, dN2

dξ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dξ−1

1

∫

=2κh

dN1dξ

dN1dξ

dN1dξ

dN2

dξdN2

dξdN1dξ

dN2

dξdN2

dξ

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

dξ−1

1

∫

18

シミュレーションの計算力学研究室例えば

Ca−111 = vN1

dN1dξ

dξ−1

1

∫

= v 121 −ξ( ) − 1

2⎛ ⎝

⎞ ⎠ dξ−1

1

∫= −

14v 1 − ξ( )dξ

−1

1

∫

= −14v ξ −

12ξ 2⎡

⎣ ⎤ ⎦ −1

1

= −12v

Ka−111 =

2κhdN1dξ

dN1dξ

dξ−1

1

∫

=2κh

−12

⎛ ⎝

⎞ ⎠ −

12

⎛ ⎝

⎞ ⎠ dξ−1

1

∫= κ2h

1dξ−1

1

∫= κ2h

ξ[ ]−11 = κ

h

合成

v2

−1, 0, 1[ ] − kh 1, − 2, 1[ ]⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

ϕa −1

ϕa

ϕa +1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ = 0

a第番目の方程式

整理v2

−1, 0, 1[ ] +2khv

−1, 2, − 1[ ]⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ = 0

v2h

− 1+ β( ), 2β, 1− β⎡⎣ ⎤⎦

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 0

β =1 / αα = vh / k

中心差分の場合と等価になり不安定 19

シミュレーションの計算力学研究室ペトロフ・ガラーキン法（Petrov-Galerkin method）重み関数の選び方に自由度を持たせその第１次の微分係数の項まで考慮しその大きさを任意に与えることで風上～最適～中心差分法と同じ効果が得られることが示せる重み関数

˜ W = W +τdWdx

拡散項を部分積分

移流項にこの重み関数をそして拡散項に従来の重み関数を与え弱形式を求める

0 = W + τdWdx

⎛ ⎝

⎞ ⎠ v

dϕdx

⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

+ W −κd2ϕdx2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ dx

0

L

∫

0 = Wv dϕdx

+dWdx

κ + τv( ) dϕdx

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭dx

0

L

∫ −Wκ dϕdx 0

L

第１次の微分係数は人工拡散と同じ効果を有することが分かるFEMで節点における漸化式

v2

−1− 2τh, 4τ

h, 1− 2τ

h⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+2khv

−1, 2, −1[ ]⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 0

20

シミュレーションの計算力学研究室τ の選び方

τ = 0

v2

−1, 0, 1[ ] + 2khv −1, 2, −1[ ]⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 0

τ =κv

v2

−1, 0, 1[ ] + 2hv

κ +κ( ) −1, 2, −1[ ]⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 0

where

κ =vh2

coth α( ) − 1α

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

τ =h2

v2

−2, 2, 0[ ] + 2khv −1, 2, −1[ ]⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ϕa−1

ϕa

ϕa+1

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

重み関数の分布

aa- 1 a+1

aa- 1 a+1

aa- 1 a+1

21

中心差分

最適風上差分

風上差分

シミュレーションの計算力学研究室Stabilized Methodへ道のり移流項と拡散項に異なる重みを与えるのは定式上で合理性に欠ける

重み関数を２つの項に乗じた形式

0 = W + τ dWdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dϕdx

−κ d2ϕdx2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭dx

0

L

∫部分積分

0 = Wv dϕdx

+dWdx

κ + τv( ) dϕdx

−dWdx

τκ d2ϕdx2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭dx

0

L

∫ −Wκ dϕdx 0

L

右辺の中括弧内の第３項目は試験関数にC 0関数を選べばゼロになりペトロフ・ガラーキン法と等価

22


風上差分の場合の τ =h2とその方向も加味したものに置き換える

h2 v

v dWdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dϕdx

−κ d2ϕdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

L

∫

= v dξdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−1

v dWdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dϕdx

−κ d2ϕdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

L

∫

= v dξdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dξdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−12v dWdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dϕdx

−κ d2ϕdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

L

∫

安定化法の誘導につながることが示せる

0 = W v dϕdx

−κ d2ϕdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

L

∫

+ τ dWdx

v dϕdx

−κ d2ϕdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

L

∫右辺の第１項はガラ-キン法による重み付き残差法であり、第２項はそれによって生ずる誤差を緩和させる項と解釈できる．そしてさらに誤差緩和の係数の代わりに重み関数の誤差項に置き換えると次の形式が得られる

23


一般化の試みとして拡散項も考慮した重み関数にして、次のように変形し、２次形式にするとLeast square 形式の基礎式に

v dξdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dξdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ κ d

2ξdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

κ d2ξdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪

−12

v dWdx

−κ d2Wdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dϕdx

−κ d2ϕdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

L

∫

ソ-ス項を追加して整理

0 = W v dϕdx

−κ d2ϕdx2

− S⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

L

∫

+ τ v dWdx

−κ d2Wdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dϕdx

−κ d2ϕdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

L

∫where

τ = v dξdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dξdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ κ d

2ξdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

κ d2ξdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪

−12

24


25

右辺第２項の誤差に関する項の評価を要素レベルに局所化すれば次に示す一般化された安定化法（Least-squared stabilized method）が得られる

0 = W v dϕ

dx−κ d

2ϕdx2

− S⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

L

∫ + τ L W( )L ϕ( )dxΩe∫⎡⎣ ⎤

⎦e=1

nel

∑

L = v ∂∂x

−κ∂2

∂x2

τ = v dξ

dx⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v dξdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ κ d

2ξdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

κ d2ξdx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪

−12

Stabilizer 機能の局所作用

誤差のある要素にだけ stabilizer が作用する


３次元スカラーの非定常移流拡散問題∂ϕ∂t

+ v ⋅∇ϕ −κΔϕ − s = 0 in Ω

空間・時間ガラ-キン法と安定化法を組み合わせた変分形式

0 = WQ∫

∂ϕ∂t

+ v ⋅∇ϕ −κΔϕ − S⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dQ in Q

+ τL W( ) ⋅ L ϕ( ) − S{ }dQQe∫⎡⎣⎢

⎤⎦⎥e=1

nel

∑残差演算子

L =∂∂t

+ v1∂∂x1

+ v2∂∂x2

+ v3∂∂x3

−κ ∂2

∂x12 +

∂2

∂x22 +

∂2

∂x32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∂∂t

+ vi∂∂xi

−κ ∂2

∂xi2 i = SUM (1 ~ 3)

26

・多次元化


0x1

x2

t ξ0-1

-1

1

11

ξ2

ξ t

τ =∂ξt∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂ξt∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ v1

2 ∂ξ1∂x1

∂ξ1∂x1

+ v22 ∂ξ2∂x2

∂ξ2∂x2

+ v32 ∂ξ3∂x3

∂ξ3∂x3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

+κ ∂2ξ1∂x1

2

∂2ξ1∂x1

2 +∂2ξ2∂x2

2

∂2ξ2∂x2

2 +∂2ξ3∂x3

2

∂2ξ3∂x3

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎤

⎦⎥

−12

27

安定化係数

要素と母要素


非圧縮性流体の支配方程式を対称システム方程式系で表現

A0V,t + ˜ A iV,i − ˜ K ijV, j( ),i− S = 0

ρ ∂v∂t

+ v ⋅∇v⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −∇p + µΔv + f

∇ ⋅v = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪in Ω

非圧縮性ナビアスト-クス方程式

等価

28


対称システム方程式のための空間・時間ガラーキン法と安定化法（Stabilized Method）

A0V,t + ˜ A iV,i − ˜ K ijV, j( ),i− S = 0

変分形式

0 = W ⋅ A0V,t + AiV,i - KijV, j( ), i - S( )Qn∫ dQ

+ LW( )Qne∫

e=1

Nel( )n∑ ⋅τ LV − S( )dQ (Least - Square)

L = A0∂∂t

+ Ai∂∂xi

−∂∂xi

Kij∂∂x j

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟N ⋅S differential operater( )

τ =∂ξt∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

A02 +

∂ξi∂x j

∂ξi∂xk

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟Aj Ak

⎛

⎝⎜

+∂ξi∂xk

∂ξ j

∂xl

∂ξ j

∂xm

∂ξi∂xn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Kkl Kmn

⎞

⎠⎟

−12

Least − squaresmatrix( )

29

・対称システム方程式へ


30

・グリッド vs. 要素

要素内の積分モニター点で安定化パラメーターを評価

グリッドに沿わない流れの場合には風上効果の方向に対する種々工夫が必要


31

ALE-Arbitrary Lagragian Eulrerian


32


33

Γm

Γm

u= g

Ω

u=0

Γf

x1o

2x

Adjust the moving boundary and Keep the well-conditioned mesh

Problem statement of mesh movement

Mesh Update 問題の記述


Δu = 0 in Ω u = g on Γ m moving boundary u = 0 on Γ f fixed boundary

Governing equation

whereu :displacement vectorg : prescribed displacement at moving boundary

Strain typeLaplace equation type✓

✓

34


Variational Form

where

Given , find such that

space of trial function and weighting function

U = u | u ∈ H 1 Ω( )( )nsd ,{ u = g on Γ m and u = 0 on Γ f }W = w |w ∈ H 1 Ω( )( )nsd ,{ w = 0 on Γ }

∇u,∇w( ) = 0, ∀w ∈W

∇u,∇w( ) = ui, jΩ∫ wi, jdΩ

u ∈Ug

35


+ W ! V1 "V2{ }d##1$#2%

スライド面上においての変数の連続性は弱形式（積分量）の補償条件を課する

36

Altair/AcuSolveを推奨します

End

End

End

End

femで流れ問題が解ける仕組み - altair...

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