Fenomeni di mescolamento nei corsi d'acqua

Stefano LanzoniDipartimento di Ingegneria Idraulica, Marittima e Geotecnica

Universitá di Padova

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DINAMICA DEGLI INQUINANTI LEZIONE 1

• Modalitá esame: Colloquio ORALE

• Bibliogra�a:

- Appunti dalle lezioni- Schnorr, J.L., Environmental Modelling. Fate and Transport ofPollutants in Water, Air and Soil, John Wiley, New York, 1996.- Rutherford, J.C., River Mixing, John Wiley, New York, 1996- Fischer, J.L., Imberger, List, Koh and Brooks, Mixing in Inlandand Coastal waters, Academic Press, 1976.

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PROGRAMMA DEL CORSO

• Fenomeni di Trasporto

Avvezione/Convezione Diffusione Dispersione

• Richiami di cinetica delle reazioni chimiche• Richiami di modelli di equilibrio chimico

• Dinamica degli inquinanti nei corsi d'acqua

• Dinamica degli inquinanti negli ambienti lacustri

SCOPI DEL CORSO

• Analizzare i meccanismi di trasporto degli inquinanti

• Determinare le concentrazioni di esposizione chimica al �ne divalutare il rispetto dei criteri di qualit delle acque (i.e., soglie ditossicit acuta/cronica)

• Effettuare previsioni af�dabili di scenari futuri al variare dellecondizioni al contorno.

METODOLOGIA

• Studio del Bilancio di Massa viene utilizzato per valutare la dinamica della concentrazionee, quindi, il grado di inquinamento

• Studio della Dinamica della Concentrazione Modalitá di trasporto da parte del campo idro-dinamico Processi chimici, �sici, biologici

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ELEMENTI BASE DI UN BILANCIO DI MASSA

i) de�nizione di un ben de�nito volume di controllo V;- In�nitesimo ⇒ Eq. Differenziale- Finito (e.g., intero lago) ⇒ Eq. Integrale

ii) determinazione dei �ussi in entrata e uscita dal volume di control-lo;- Misure- Modelli numerici

iii) determinazione delle modalitá di trasporto (i.e., campo idrodina-mico) all'interno del volume di controllo

iv) determinazione delle reazioni chimiche all'interno del volume dicontrollo.

Variazione di massa in V = Massa entrante - Massa uscente± Reazioni

Note:

+ : sostanza prodotta in V

- : sostanza che si degrada/decade in V

- Inquinante Passivo: sostanza trasportata senza in�uenzare il campoidrodinamico

- Inquinante Non-Reattivo: sostanza per cui il termine di reazione nullo.

- In condizioni stazionarie il termine di accumulo nullo.

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ESEMPIO DI BILANCIO DI MASSA DI UN CORPO IDRICONATURALE

L'acqua puó essere vista come una sostanza che si conserva(conservazione della massa liquida)

�V = ∑ �usso super�ciale entrante - ∑ �usso super�ciale uscente+ ∑ �usso �ltrazione entrante - ∑ �usso �ltrazione uscente+ Precipitazione - Evaporazione

Nei �umi e nei laghi �V puó essere misurato valutando le variazionidi livello ed, eventualmente, di area super�ciale.

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FORMULAZIONE DEL MODELLO

• Schematizzazione matematica (± sempli�cata)

• Determinazione dei coef�cienti e delle costanti che compaiononel modello da dati di letteratura da prove di laboratorio da prove di campo

NB: Si puó procedere ad adattamento (tuning) dei coef�cient, ma mai al di fuoridegli intervalli sperimentali riportati in letteratura.

CALIBRAZIONE E VERIFICA DEL MODELLO

• Dati di campo relativi alle concentrazioni e ai �ussi di massa.Sono opportune due serie indipendenti di misure:

una prima serie per la calibrazione una seconda serie per la veri�ca

• Individuazione dei criteri con cui valutare la bontá del modello.

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FENOMENI DI TRASPORTO

1) Trasporto da parte della corrente

- convezione: trasporto di una proprietá intrinseca della fase�uida (e.g., quantitá di moto)

- avvezione: trasporto di una sostanza disciolta o sospesa nellafase �uida

Nota: In assenza di gradienti di velocitá l'elemento �uido (e le sostanze in essodisciolte) viene trasportato dalla corrente senza deformarsi

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2) Trasporto connesso ai fenomeni di diffusione (diffusione moleco-lare e turbolenta)

- molecolare: mescolamento dovuto all'agitazione molecolare. Il moto casualedelle molecole provoca una migrazione delle sostanze disciolte dalle re-gioni ad alta concentrazione a regioni a bassa concentrazione in base allalegge di Fick.Non ha una grande importanza nei corpi idrici eccetto che nel caso deltrasporto all'interfaccia aria-acqua o nei pori dei sedimenti.

- turbolenta: mescolamento dovuto alle �uttuazioni turbolente di velocitá econcentrazione.La diffusione turbolenta é di molti ordini di grandezza superiore a quellamolecolare.La diffusione turbolenta é, in generale, anisotropa (di-pende dalla dire-zione) e non omogenea (dipende dalla posizione).

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3) Trasporto connesso ai fenomeni di dispersione (associati ai gra-dienti spaziali)

- E' dovuta all'interazione tra un campo di moto turbolento e una non unifor-me distribuzione di velocitá per cui nel campo di moto si generano deigradienti di velocitá.

• Il trasporto di sostanze inquinanti nei corsi d'acqua fortementecondizionato dall'avvezione e, sia pure in maniera minore, dalladispersione. Viceversa, nei laghi e negli estuari generalmente ladispersione il meccanismo predominante.

• La strati�cazione termica o salina crea, se stabile, dei gradientidi densitá che tendono a diminuire i fenomeni dispersivi in quantouna particella �uida, spostata dalla sua condizione di equilibrio,tende a ritornarvi.

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ESEMPIOEsempio di immissione di un inquinante in un corso d'acqua

A) In un intorno dell'immissione il mescolamento condizionato dallaquantitá di moto e dagli effetti di galleggiamento.

B) La diffusione turbolenta e il trasporto da parte della correntedeterminano un ulteriore mescolamento sia lungo la verticale siain direzione trasversale.

C) Quando il mescolamento sulla sezione trasversale completo (ovve-ro particelle di inquinanti si sono distribuite sull'intera sezione)entrano in gioco gli effetti di dispersione longitudinale legati allanon uniforme distribuzione di velocitá nella sezione.

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NOTA: I gradienti spaziali della velocitá sono associati a

- pro�lo logaritmico della velocit lungo la verticale;

- variazioni trasversali dovute alle variazioni di quota del fon-do ealla presenza delle sponde;

- variazioni trasversali dovute alla presenza di curve;

- variazioni trasversali dovute alla presenza di espansioni laterali(dead zones);

- azione del vento su corpi idrici estesi (i.e. con ampio fetch) qualilaghi, lagune, foci �uviali;

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LEZIONE 2

• CONCENTRAZIONE Concentrazione volumetrica (Kg=m3)

cs = lim�V→0

�Ms�V

NOTA: se ci sono N specie chimiche CS = CS1 + CS2 + ::: + CSN

Concentrazione di massa (%)

cs = lim�M→0

�Ms�M

�V: Volume fase �uida�M: Massa della fase �uida contenuta in V�Ms: Massa di soluto contenuta in V

Densitá della fase �uida (Kg=m3)

� = lim�V→0

�M�V

Legame tra concentrazione volumetrica e di massa

cs =cs�

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• VELOCITA'In una miscela in cui avviene un processo di diffusione le velocitá

delle componenti possono essere diverse.

u: velocitá media della miscela;vS: velocitá di diffusione della specie S (i.e., velocitá relativa

della specie S)uS = u + vS: velocitá assoluta della specie S

• FLUSSO DI MASSA ASSOLUTO

qS = cSuS [qS] = (M=L3)(L=T) = M=(L2T)

NOTA: se ho N specie il �usso di massa é coś� de�nito:

cuS = cS1uS1 + cS2uS2 + ::: + cSNuSNcon cSiuSi �usso di massa speci�ca della specie i-esima

• FLUSSO DI MASSA RELATIVO

qrS = cS(uS � u) = cSvS

• PORTATA DI MASSA (�usso di massa che, nell'unitá di tempo,attraversa la super�cie S)

QS =∫qS � ndS [QS] = M=T (1)

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• ASSIOMI DI FICK Fluido in quiete Concentrazione massica costante (c=cost)

1) Il �uido di massa di soluto funzione del gradiente di concen-trazione

~q = f(∇c)2) Il processo é isotropo (non dipende dalle direzione)3) Il processo é omogeneo (non dipende dalle posizione)4) Il legame lineare

⇓

~q = �D ∇c

Il �usso di soluto diretto nel senso delle concentrazioni decrescentiD = D(T; p) coef�ciente di diffusione molecolare

- D aumenta con la temperatura T- D inversamente proporzionale alla pressione p

[q] = M=(L2T) [∇c] = (M=L3)(1=L)

⇓

[D] = L2=T

D ∼ (1 � 2) � 10�5 cm2=sEsempi:

- D = 1:1 10�5 cm2=s NaCl (in acqua a 15 ◦C)- D = 1:4 10�5 cm2=s KMnO4 (in acqua a 15 ◦C)

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L'EQUAZIONE DELLA DIFFUSIONE MOLECOLARE

E' l'equazione che deriva dal bilancio di massa del soluto in assenzadi reazioni chimiche

dMdt

= 0

Sia dato un volume di controllo V(t), variabile nel tempo

M =∫Vc dV ⇒ d

dt∫VcdV = 0

Ma

ddt

∫VcdV =

∫V0

ddt

(Jc) dV0 =∫V0(Jdcdt

+ cdJdt

) dV0

- V0: volume �sso occupato dal �uido al tempo t

- J : Jacobiano della trasformazione (cambiamento di coordinatenegli integrali)

dV(t) = J(t)dV0Si puó dimostrare che:

dJdt

= J ∇ � (~u +~vs) = J ∇ �~us

dove l'operatore divergenza de�nito come:

∇ �~us =@usx@x +

@usy@y +

@usz@z

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Ne consegue che:

ddt

∫VcdV =

∫V0

dcdt

+ c∇ �~us J dV0 = ∫V

dcdt

+ c∇ �~usdV = 0

e, data l'arbitrarietá di V,

dcdt

+ c∇ �~us = 0

D'altra parte, ricordando che

d � � �dt

= @ � � �@t +~us � ∇ � � �

Si ottienedcdt

+c∇ �~us =@c@t +~us �∇c+c∇ �~us =

@c@t +∇ �(c ~us) =

@c@t +∇ �(c ~u)+∇ �(c~vs)

per cui

@c@t + ∇ � (c ~u) = �∇ � (c~vs)

In�ne, ricordando la Legge di Fick estesa al caso di un �uido inmovimento

~qr = c~vs = �D ∇c

e che il coef�ciente di diffusione molecolare non non dipende dallospazio

�∇ � (c~vs) = ∇ � (D ∇c) = D∇ � (∇c) = D∇2c

si ottiene l'equazione della Diffusione Molecolare:

@c@t + ∇ � (c u) = D∇

2c

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Nel caso di un �uido l'equazione di continuitá risulta:

@�@t + ∇ � (� ~u) = 0

e, per un �uido incomprimibile (� = cost)

∇ �~u = 0

Pertanto:

∇ � (c ~u) = c ∇ �~u +~u � ∇c

Nel caso di �uido incomprimibile l'equazione della Diffusione Moleco-lare puó essere quindi scritta come

@c@t +~u � ∇c = D∇

2c

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LEZIONE 3L'EQUAZIONE DELLA DIFFUSIONE TURBOLENTA

Consideriamo un campo di moto turbolento e, seguendo l'approccio diReynolds, introduciamo la decomposizione:

~u =< ~u > +~u ′ c =< c > +c′

dove la media sulla turbolenza de�nita come:

〈 � � � 〉 = 1T∫ T0� � �dt 〈 � � � 〉 = 1N

N∑1� � �

Turbolenza Turbolenzastazionaria non stazionaria

Poniamo:~U =< ~u > C =< c >

e osserviamo che

〈c′〉 = 〈u′〉 = 0

Sostituiamo la decomposizione di Reynolds nell'equazione della dif-fusione molecolare

@c@t + ∇ � (c u) = D∇

2c

e operiamo la media sulla turbolenza. Avremo:

〈 @(C + c′)

@t + ∇ � [(C + c′) (U + u′)] = D∇2(C + c′) 〉

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Osservando che gli operatori @ � � � =@t, ∇2, < � � � > sono lineari, per cui:

@@t(a + b) =

@a@t +

@b@t ; ∇

2(a + b) = ∇2a + ∇2b; 〈a + b〉 = 〈a〉 + 〈b〉

si avrá:

〈@(C + c′)

@t 〉 = 〈@C@t 〉 + 〈

@c′@t 〉 =

@〈C〉@t +

@〈c′〉@t =

@〈C〉@t

〈∇2(C + c′)〉 = 〈∇2C〉 + 〈∇2c′〉 = ∇2〈C〉 + ∇2〈c′〉 = ∇2C

D'altra parte il termine non lineare ∇ � (~uc) = ∇ � (~U +~u ′)(C + c′) porge:

〈∇ � [(~U +~u ′)(C + c′)]〉 = 〈∇ � (~UC) + ∇ � (~u ′c′)+ ∇ � (~u ′C) + ∇ � (~Uc′)〉= 〈∇ � (~UC)〉 + 〈∇ � (~u ′c′)〉+ 〈∇ � (~u ′C)〉 + 〈∇ � (~Uc′)〉= ∇ � (~UC) + ∇ � 〈~u ′c′〉

Pertanto, l'equazione di conservazione della massa di soluto, mediatasulla turbolenza, porge:

@C@t + ∇ � (C U) = D∇

2C � ∇ � 〈u′c′〉

Il termine < ~u ′c′ > rappresenta il �usso turbolento di soluto, indottodalle �uttuazioni turbolente del campo �uido (ovvero della miscela).Analogamente a quanto accade per il moto turbolento necessariointrodurre una relazione di chiusura che consenta di esprimere ~q T infunzione delle grandezze medie C e ~U.

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L'ipotesi di Taylor, di analogia alla legge di Fick valida per la diffu-sione molecolare, comporta che:

~q T = 〈c′~u ′〉 = 〈(c � C)(~u � ~U)〉 = �~E � ∇C

ovvero: il �usso turbolento di soluto proporzionale al gradiente diconcentrazione media C attraverso il tensore della diffusivitá tur-bolenta

~E =

Exx Eyx EzxExy Eyy EzyExz Eyz Ezz

L'introduzione di tale tensore legata al fatto che il processo di dif-fusione turbolenta , in generale anisotropo (ovvero, in ogni punto, di-pende dalla direzione considerata). Si noti che nel caso di turbolenzaomogenea e isotropa il tensore si riduce ad uno scalare

In de�nitiva possiamo scrivere l'equazione della diffusione turbolen-ta come:

@C@t + ∇ � (C

~U) = D∇2C + ∇ � (~E � ∇C)

Se, tuttavia, si sceglie un sistema di riferimento coincidente con gliassi principali del tensore, solo i tensori diagonali sono non nulli, i.e.

~E =

Exx 0 00 Eyy 00 0 Ezz

Nel seguito, per semplicitá di notazione, indicheremo con:

Exx = ex; Eyy = ey; Ezz = ez;

rispettivamente, i coef�cienti di diffusione turbolenta longitudinale,verticale e trasversale.

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L'equazione per lo studio della diffusione turbolenta nei corpi idrici(corsi d'acqua, laghi), pertanto, puó essere posta nella forma

@C@t + ∇ � (C U) = D∇

2C + @@x(ex@C@x) +

@@y(ey

@C@y ) +

@@z(ez

@C@z )

e, nel caso di �uido incomprimibile (∇ � ~U = 0):

@C@t + U � ∇C = D∇

2C + @@x(ex@C@x) +

@@y(ey

@C@y ) +

@@z(ez

@C@z )

D'altra parte risulta che:

D � min(ex; ey; ez)

Possiamo quindi trascurare la diffusione molecolare a fronte di quellaturbolenta.

• PROBLEMA: E' necessario esprimere ~E (i.e., ex, ey, ez) in funzionedelle caratteristiche del moto mediato sulla turbolenza. A que-sto scopo necessario introdurre strumenti di tipo probabilistico

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SOLUZIONI DELLA EQUAZIONE DELLA DIFFUSIONEMOLECOLARE

• Eq. Avvezione-Diffusione (per �uido incomprimibile e in assenzadi reazioni)

@c@t = ~u � ∇c + D∇

2c

• Eq. Diffusione (per �uido in quiete, i.e., ~u = 0)

@c@t = D∇

2c

• Condizioni iniziali (per t=0)

c(~x;0) = c0(~x)

• Condizioni al contorno (super�cie S del volume V)

- sono speci�cati i valori di C su S al variare di t- é speci�cato il �usso relativo ~qrs = c~vs attraverso S, al variare

di t

Nota: l'Equazione della Diffusione é lineare. Se anche le condizioni alcontorno sono lineari si puó applicare la sovrapposizione degli effetti.

⇓

soluzioni complesse somma di soluzioni elementari note

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DIFFUSIONE 1-D: SOLUZIONE FONDAMENTALE

@C@t = D

@2C@x2

• Condizioni iniziali (per t=0)Immissione istantanea di una massa di soluto M nell'origine (x =0) all'istante iniziale (t = 0), i.e.

c(x;0) = M�(x)

�(x): funzione delta di Dirac (funzione generalizzata de�nibileattraverso opportune funzioni di forma). Essa tale che:

∫ 1�1�(x)dx = 1;

∫ 1�1f(x)�(x � x0)dx = f

0 x � x0f(x0) x = x0

• Condizioni al contorno (per x → ±1 )

Il campo di moto in�nitamente esteso nella direzione x. Impongoche c si mantenga limitata per x → 1.

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LEZIONE 4

Osserviamo che:

i) c = c(x; t;M;D)ii) data la linearitá C ∝ M

∫ 1�1c(x; t) dx = M

iii) per la conservazione della massa (non ho reazioni) ad ogni istante

iv) nell'origine, data isotropia del processo, deve essere, per simme-tria,

@C@xjx=0 = 0

i) + ii) ⇒ c = Mf(x; t; d)

D'altra parte, in base all'analisi dimensionale:

[D] = L=T2 ⇒ L ∝ (DT)1=2

- Assumo (D; t) come grandezze fondamentali

- Assumo x come grandezza derivata e la adimensionalizzo con L =(4Dt)1=2, i.e.

� = x√4Dt

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e poniamo

c = M√4Dt

g(�)

Osserviamo che � = �(x; t) e, quindi,

@�@t = �

12t

x√4Dt

= � 12t�;@�@x =

1√4Dt

e, ricordando la regola di derivazione di una funzione di funzione:

@c@t = �

12t

M√4Dt

g + M√4Dt

dgd�

@�@t = �

12t

M√4Dt

g + �dgdt

@c@x =

M√4Dt

dgd�

@�@x =

M4Dt

dgd�

@2c@x2

= M4Dtd2gd�2

@�@x =

M4Dt

1√4Dt

d2gd�2

Sostituendo nell'equazione della diffusione:

M4Dt

� 12t(g + �dgd�

) =

D 14Dtd2gd�2

M√4Dt

d2gd�2

+ 2 �dgd�

+ 2 g = 0

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Integro una volta in �:

dgd�

+ 2 � g + k = 0

Ma, in base alla condizione iv)

@C@xjx=0 = 0 ⇒

dgd�

j�=0 = 0 ⇒ k = 0

Integro ancora e ottengo

dgg = �2�d� ⇒ ln g = ��

2 + ln k1 ⇒ g = k1e��2

Impongo la condizione integrale (iii)

M =∫ 1�1c(x; t) dx =

∫ 1�1

M√4Dt

k1 e��2 dx

= M k1∫ 1�1

e��2 d� = M k1√�

e, in de�nitiva, ottengo una Distribuzione Gaussiana della concen-trazione:

c = M√4�Dt

e�x2=(4Dt)

NOTA: la distribuzione gaussiana tende alla distribuzione di Diracquanto t → 0

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PROPRIETÁ DELLA DISTRIBUZIONE FONDAMENTALE

Le caratteristiche della concentrazione sono descritte dai suoi mo-menti statistici.

M0 =∫ 1�1c dx = M

M1 =∫ 1�1x c dx = � M0

M2 =∫ 1�1

(x � �)2 c dx = �2 M0

Mn =∫ 1�1

(x � �)n c dx

• Il momento di ordine 0 coincide con la massa di soluto M• Per come abbiamo costruito la soluzione (simmetrica rispetto al-l'origine dell'asse x) il momento di ordine 1 é nullo. Anche la mediade�nita come � = M1=M0 é nulla. Il baricentro della nuvola diinquinante, quindi, non dipende dal tempo.

� = 1M0

∫ 1�1x c dx = 1√

4�Dt

∫ 1�1x e�x2=(4Dt) dx

=√4Dt√�

∫ 1�1� e��2 d� = 0

• Il momento di secondo ordine é legato all'ampiezza della nuvola diinquinante. La varianza della nuvola, de�nita come �2 = M2=M0,é pari al quadrato della lunghezza della nuvola.

• Tutti i momenti di ordine dispari sono ≡ 0.

• Tutti i momenti di ordine pari sono esprimibili in funzione di �2

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• Si puó dimostrare che la Distribuzione Gaussiana vale per qual-siasi distribuzione di concentrazione che

i) soddisfa l'eq. della diffusioneii) C → O;x → ±1iii) @c=@xj±1 → 0

• La varianza della nuvola �2 cresce linearmente con il tempo t econ D

�2 = 1M0

∫ 1�1

(x � �)2c dx = MM01

√4�Dt

∫ 1�1x2e�x2=(4Dt)dx

= 4Dt√�

∫ 1�1�2e��2d� = 4Dt√

�

√�2

ovvero

�2 = 2Dt d�2

dt= 2D

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SOLUZIONE PER UNA DISTRIBUZIONE DICONCENTRAZIONE INIZIALE ASSEGNATA E INDIPENDENTE

DAL TEMPO

@C@t = D

@2C@x2

• Condizioni Inizialic(x;0) = c0(x) � 1 < x < 1

• Condizioni al Contornoc(±1; t) = 0 t > 0

Posso considerare tale problema come la somma di tanti distribuzio-ni di concentrazione ottenute immettendo istantaneamente in � unamassa

dM = c0(�)dV = c0(�)(d� � 1 � 1) dc0 = [c0(�)(d� � 1 � 1)] �(x � �)

Utilizzando la soluzione fondamentale ottengo:

c(x; t; �) = dM√4�Dt

e�(x��)2=(4Dt) = c0(�)d�√4�Dt

e�(x��)2=(4Dt)

Sommando le varie distribuzioni, ovvero integrando su �, ottengo

c(x; t) =∫ 1�1

c d� = 1√4�Dt

∫ 1�1c0(�)e�(x��)

2=(4Dt) d�

29

Si noti che, in assenza di reazioni, la massa si deve conservare:

∫ 1�1c(x; t) dx =

∫ 1�1dx

1√4�Dt

∫ 1�1c0(�)e�(x��)

2=(4Dt) d�

=∫ 1�1

c0(�)√�

d�∫ 1

�1e�(x��)2=(4Dt) d

x√4Dt

=

∫ 1�1c0(�) d�

LA FUNZIONE ERRORE

erf(z) = 2√�

∫ z0e��2d�

erf(�z) = erf(z)erf(0) = 0erf(1) = 1erf(�1) = �1

erfc(z) = 1 � erf(z)

30

DISTRIBUZIONI INIZIALI PARTICOLARI

• Distribuzione a gradino 1

c(x;0) ={0 x < 0c0 x � 0

c(x; t) = c0√4�Dt

∫ 10e�(x��)2=(4Dt) d�

� = x � �√4Dt

⇒

� = 0 � = �x=

√4Dt

� → 1 � → �1d� = �

√4Dtd�

c(x; t) = c0√�

∫ 0�1e��2d� +

∫ x=√4Dt0

e��2d�

c(x; t) = c02

1 + erf x√

4Dt

• Distribuzione a gradino 2

c(x;0) ={0 x > 0c0 x � 0

c(x; t) = c02

1 � erf x√

4Dt

31

• Distribuzione costante in un intervallo �nito

c(x;0) ={0 jxj > ac0 jxj � a

c(x; t) = c02

erf a � x√

4Dt

+ erf a + x√

4Dt

c(0; t) = c0 erf a√

4Dt

• Distribuzione costante esternamente ad un intervallo �nito

c(x;0) ={0 jxj < ac0 jxj � a

c(x; t) = c02

erfc a � x√

4Dt

+ erfc a + x√

4Dt

c(0; t) = c0 erfc a√

4Dt

32

LEZIONE 5

CONCENTRAZIONE NOTA IN UN PUNTO ECOSTANTE NEL TEMPO

• Condizioni Inizialic(x;0) = c0(x) � 1 < x < 1

• Condizioni al Contornoc(0; t) = c0 t > 0

La soluzione sará del tipo

cc0

= f(�); � = x√4Dt

Utilizzando la regola di derivazione di una funzione di funzione

1c0@c@t =

dfd�

@�@t = �

12t

dfd�

1c0

@c@x =

dfd�

@�@x =

1√4Dt

dfd�

1c0

@2c@x2

= 14Dtd2fd�2

⇓

� 12t�dfd�

� D 14Dtd2fd�2

= 0

33

Sempli�cando e riordinando

d2fd�2

+ 2�dfd�

= 0

inoltre, in base alla condizioni iniziali ed al contorno

c(x;0) = 0 ⇒ lim�→±1

f = 0

c(0; t) = c0 ⇒ f(0) = 1 t > 0

Integrando

dfd�

= k1 e��2; f = k1

∫ �0e��2d� + k2

ovvero

f = k1√�2 erf(�) + k2

ed utilizzando le condizioni iniziali e al contorno

f(0) = 1 t > 0 ⇒ k2 = 1

lim�→±1

f = 0 ⇒ k1√�2 erf(±1) + 1 = 0

34

ovvero

k1 = �2=√� x > 0

k1 = 2=√� x < 0

da cui

x > 0 c(x; t) = c0(1 � erfx

√4Dt

) = c0 erfcx

√4Dt

x > 0 c(x; t) = c0(1 � erfjxj

√4Dt

) = c0 erfcjxj

√4Dt

NOTA: La Massa di inquinante contenuta nel �uido aumenta nel tem-po (con

√t). Infatti

M =∫ 1�1cdx = c0

∫ 1�1erfc( x√

4Dt)dx = c0

√4Dt

∫ 1�1erfc(�)d�

e, quindi,

M = 1:1284 c0√4Dt; dM

dt= 0:5642 c0

√√√√4Dt

Per mantenere costante la concentrazione nell'origine (i.e, c=c0 = 1in x = 0 la massa che dall'esterno deve essere immessa nel sistemanell'unitá di tempo é dM=dt.

35

CONCENTRAZIONE NOTA IN UN PUNTO E VARIABILE NELTEMPO

• Condizioni Inizialic(x;0) = c0(x) � 1 < x < 1

• Condizioni al Contornoc(0; t) = c0(t) t > 0

De�niamo t = � + d� e, ovviamente, d� = t � �. Sviluppando in serie diTaylor si avrá:

c0(� + d�) = c0(�) +dc0d�

j� d� + � � �

La distribuzione di concentrazione che si ottiene per t > � immet-tendo nell'origine una concentrazione costante pari a dc0=d�j�d� é:

dc(x; �) = dc0d�

d� erfc( x√4Dd�

)

Sommando i vari contributi (i.e., ∫ t�1 dc)si ottiene:c(x; t) =

∫ t�1

dc0d�

erfc( x√4Dd�

) d�

Pertanto, nota la variazione temporale di c0 nell'origine (i.e., dco=d�),é immediato determinare la distribuzione di concentrazione.

NOTA: La soluzione per una immissione di una concentrazione co-stante c0 nell'origine si ottiene imponendo che dc0=d� = c0�(�).

36

SOLUZIONE FONDAMENTALE 2-D E 3-D

Nel caso 2-D de�niamo c come concentrazione di massa per unitá disuper�cie, i.e.,

c = lim�A→0

�M�x�y

con �A = �x�y. La soluzione fondamentale é quella che si ottienedal seguente problema:

@c@t = D

@2c@x2

+ @2c@y2

• Condizioni Iniziali (per t = 0)

c(x; y;0) = M�(x)�(y)

• Condizioni al Contorno (per x; y → ±1)

c(x; y; t) = 0 x → ±1; y → ±1

Separando le variabili, ovvero ponendo c = c1(x; t)c2(y; t), e sostituen-do nell'equazione della diffusione 2-D si ottiene

c1@c2@t � D

@2c2@x2

+ c2@c1@t � D

@2c1@x2

= 0Imponendo che siano soddisfatte separatamente le equazioni tra pa-rentesi quadre

@c1@t � D

@2c1@x2

= 0 ⇒ c1 =k1√4�Dt

e�x2=(4Dt)

@c2@t � D

@2c2@x2

= 0 ⇒ c2 =k1√4�Dt

e�y2=(4Dt)

37

e, quindi

c = k1√4�Dt

k2√4�Dt

e�(x2+y2)=(4Dt)

E imponendo la conservazione della massa

∫ 1�1dy

∫ 1�1cdx = M ⇒ M = k1 k2

e, in�ne

c = M4�Dt e�(x2+y2)=(4Dt)

• Nel caso 2-D in cui Dx � Dy:

c = M4�t

√DxDy

e�[x2=(4Dxt)+y2=(4Dyt)]

• Nel caso 3-D in cui Dx � Dy � Dz:

c = M4�t

√DxDyDz

e�[x2=(4Dxt)+y2=(4Dyt)+z2=(4Dzt)]

38

AVVEZIONE UNIFORME E DIFFUSIONE LONGITUDINALE

@c@t + u � ∇c = D∇

2c

u = (u0;0;0) ⇒ u � ∇c = u0@c@x; ∇

2c = @2c@x2

Il problema da risolvere diventa

@c@t + u0

@c@x = D

@2c@x2

• Condizioni Iniziali

c(x;0) ={0 x > 0c0 x � 0

• Condizioni al Contorno

c(x; t) ={0 x → 1c0 x → �1

Scelgo un sistema di riferimento mobile con velocitá u0, de�nendo� = x � u0t.

@@x →

@@�

⇒ @c@t = D@2c@�2

@@x →

@@t � u0

@@�

39

Osservando che all'istante iniziale c(x;0) ≡ c(�;0) consegue che lasoluzione é identica a quella di una distribuzione iniziale a gradino

c(�; t) = c02

1 � erf �√

4Dt

e, quindi

c(x; t) = c02

1 � erfx � u0t√

4Dt

AVVEZIONE UNIFORME E DIFFUSIONE 2-D

@c@t + u � ∇c = D∇

2c

Considero una concentrazione di massa per unitá di super�cie c =c(x; y) ed un campo di moto uniforme sopra e sotto la piastra per cui:

u = (u0;0;0); ⇒ u � ∇c = u0@c@x; ∇

2c = @2c@x2

+ @2c@y2

e, quindi

@c@t + u0

@c@x = D

@2c@x2

+ D@2c@y2

40

Consideriamo condizioni stazionarie per cui @c=@t = 0. Inoltre, os-serviamo che nel caso di diffusione molecolare l'effetto connessoalla diffusione longitudinale é decisamente inferiore a quello indottodalla avvezione. Infatti:

D@2c=@x2

u0@c=@x∼

D=L2xu0=Lx

= Du0Lx= D�

�u0Lx

ovvero

Du0Lx

= P�1ex = S�1c R�1e � 1

L'equazione della avvezione diffusione di sempli�ca come segue:

u0@c@x = D

@2c@y2

E, facendo la seguente sostituzione

� = xu0⇒ @c@� =

@c@x

dxd�

= u0@c@x

Si ottiene il problema:

@c@� = D

@2c@y2

c(y;0) ={0 y > 0c0 y � 0

la cui soluzione porge

c = c02

1 � erf y√

4D�

ovvero

c = c02

1 � erf y√

4Dx=u0

41

AVVEZIONE UNIFORME E DIFFUSIONE 3-D

@c@t + u � ∇c = D∇

2c

Considero una concentrazione di massa per unitá di volume c = c(x; y; z)ed un campo di moto uniforme per cui:

u = (u0;0;0); ⇒ u � ∇c = u0@c@x; ∇

2c = @2c@x2

+ @2c@y2

+ @2c@z2

Pertanto

@c@t + u0

@c@x = D[

@2c@x2

+ @2c@y2

+ @2c@z2

]

Considero una immissione di inquinante continua in corrispondenzadell'origine del sistema di riferimento. La massa immessa nell'unitádi tempo é pari ad �M. Considero uno strato di �uido di larghezzadx, in moto con velocitá u0. Quando tale strato di �uido attraversal'origine in esso viene iniettata una massa �Mdx=u0.

42

Tale massa diffonde all'interno della striscia dando luogo ad una di-stribuzione di concentrazione areale c(y; z):

c = lim�x;�y→0

�M�y�z

;

identicamente uguale a quella che si ottiene dalla soluzione fonda-mentale 2-D immettendo nell'origine una massa �Mdx=u0, i.e.,:

c =�Mdxu0

14�Dt exp

�y2 + z24Dt

Osservando che la concentrazione volumetrica é legata a quella area-le dalla relazione c = c dx e lo strato di �uido si trova ad una distanzax al tempo t = x=u0 si ottiene:

c =�M

4�Dx exp�y2 + z24Dx u0

43

LEZIONE 6

TURBOLENZA

La Turbolenza é una quantitá complessa che puó essere de�nita soloattraverso un insieme di proprietá.

• Irregolare nel tempo e nello spazio.• Dissipativa

• Rotazionale• Tridimensionale• Non-omogenea• Anisotropa

• Non-lineare

- Nonostante l'irregolaritá nello spazio e nel tempo é possibile de�-nire dei valori medi tramite le operazioni di media temporale omedia d'insieme

~u =< ~u > + ~u ′ ~U =< ~u >

- La produzione di energia turbolenta é legata alla presenza di ter-mini del tipo < u′xu′y > @Ux=@y nell'equazione dell'energia turbolen-ta. Sono dunque i macrovortici che estraggono energia dal motomedio.

- La maggior parte dell'energia turbolenta viene dissipata localmen-te dai microvortici che si generano attraverso il processo di vor-tex stretching. Il termine (~! � ∇~u) che compare nell'equazionedella vorticitá

@~!@t +~u � ∇~! + ~! � ∇~u = �∇

2~!

é infatti responsabile di un processo tipicamente tridimensio-nale per cui a partire dai macrovortici, interagenti con il motomedio, si formano in cascata vortici sempre piú piccoli �no adarrivare ai microvortici, la cui dimensione (scala di Kolmogorov)é determinata dalla viscositá del �uido.

44

- In una corrente a pelo libero, si possono individuare due strati.Nello strato esterno si formano dei macrovortici leggermenteanisotropi i.e., allungati nella direzione del moto. La massimaproduzione di energia turbolenta si ha tuttavia nello strato diparete, dove si ha un signi�cativo gradiente di velocitá e si for-mano dei macrovortici piú piccoli e fortemente anisotropi, ov-vero con �ssata orientazione. La vorticitá diffonde dalla parete(�∇2~!) trasportando energia cinetica nella regione esterna.

- L'energia cinetica turbolenta tende tuttavia a diminuire localmen-te in virtú della dissipazione viscosa che si realizza alla scaladei microvortici (scala di Kolmogorov), comportando la trasfor-mazione dell'energia cinetica turbolenta in calore.

- La turbolenza tende ad essere non-omogenea ed anisotropa allascala dei macrovortici. I microvortici che si realizzano in se-guito al processo di vortex stretching tendono invece ad essereomogenei ed isotropi.

45

SOLUZIONE DI UN CAMPO DI MOTO TURBOLENTO

Le caratteristiche di un generico campo di moto turbolento sono com-pletamente descritte dalle equazioni di Navier-Stokes associate al-l'equazione di continuitá, che per un �uido incomprimibile porgono.

@u@t + u � ∇u = �

1�∇p + �∇

2u

∇ � u = 0

Si hanno infatti quattro equazioni per le quattro incognite ux; uy; uze p.

Tuttavia, al �ne di risolvere tutte le scale connesse alla turbolenza,é necessario utilizzare una dimensione della griglia di calcolo ed untempo di calcolo inferiori, rispettivamente alla dimensione dei mi-crovortici ed all'inverso della loro frequenza di rotazione, ovvero

�x;�y;�z <√�=!max �t < 1=!max

Ció impone un onere computazionale eccessivo, eccetto che per geo-metrie molto semplici e numeri di Reynolds relativamente elevati(∼ 104 � 105)

Nella Large Eddy Simulation vengono risolte solo le scale spazialie temporali relative ai vortici piú grandi (i.e, posso aumentare �x e�t), mentre il comportamento dei microvortici alla scala di kolmogo-rov viene concettualizzato sfruttando il loro carattere omogeneo edisotropo.

Ai �ni applicativi, sfruttando la decomposizione di Reynolds, mi li-mito a determinare il valore delle grandezze mediate sulla turbolen-za, introducendo delle opportune leggi di chiusura che speci�cano itermini �uttuanti in funzione delle grandezze medie.

46

DESCRIZIONE STATISTICA DELLA TURBOLENZA

La turbolenza é una grandezza complessa rappresentabile solamentetramite un insieme di numeri razionali

• Valori medi

f =< f > +f′; < f′ >= 0

i) Turbolenza stazionaria: media temporale

@ < f >@t = 0 ⇒ < f >=

1T∫ T0f(t)dt

ii) Turbolenza non stazionaria: media d'insieme

@ < f >@t � 0 ⇒ < f >=

1N

N∑i=1ai(t)

La media d'insieme, come vedremo, puó anche essere de�nitain senso probabilistico:

F =< f >=∫ 1�1ap(fj~x; t)df

dove p(aj~x; t) é la probabilitá che nel punto ~x e all'istante t,la proprietá f sia compresa tra f e f + df:

47

• Intensitá turbolenta √< u′2i > = �ui

L'intensitá turbolenta coincide dunque con lo scarto quadraticomedio �2ui delle �uttuazioni di velocitá u′i .

• Intensitá turbolenta relativa (i.e., normalizzata con la velocitámedia)

√< u′2i >< ui >

;

• Funzioni di correlazione spazio-temporale

Qij(~x1;~x2; t1; t2) =< u′i(~x1; t1) u′j(~x2; t2) >

- i = j: correlazione (o autocorrelazione)- i � j: correlazione incrociata (o covarianza)

• Coef�cienti di correlazione spazio-temporale

Rij(~x1;~x2; t1; t2) =< u′i(~x1; t1) u′j(~x2; t2) >√

< u′2i (~x1; t1) > < u′2j(~x2; t2) >=< u′i(~x1; t1) u′j(~x2; t2) >�ui(~x1; t1)�uj(~x2; t2)

48

• Funzioni e coef�cienti di correlazione spaziali

- Funzione di correlazione longitudinale F- Coef�ciente di correlazione longitudinale f

F(r;~x; t) =< u′‖(~x; t) u′‖(~x +~r; t) > f(r;~x; t) =F(r;~x; t)F(0;~x; t)

- Funzione di correlazione laterale G- Coef�ciente di correlazione laterale g

G(r;~x; t) =< u′⊥(~x; t) u′⊥(~x +~r; t) > g(r;~x; t) =G(r;~x; t)G(0;~x; t)

49

• Funzioni e coef�cienti di correlazione temporale

- Funzioni di correlazione temporale Euleriana Qij- Coef�cienti di correlazione temporale Euleriana Rij

Qij(~x; t1; t2) =< u′i(~x; t1) u′j(~x; t2) >;

Rij(~x; t1; t2) =Qij(~x; t1; t2)

�ui(~x; t1)�uj(~x; t2)

- Funzioni di correlazione temporale Lagrangiana QLij- Coef�cienti di correlazione temporale Lagrangiana RLij

QLij(�;~X) =< v′i(t0;~X) v′j(t0 + �;~X) >

RLij(�;~X) =QLij(�;~X)

�vi(t0;~X)�vj(t0 + �;~X)

dove v′(t;~X) é la �uttuazione turbolenta al tempo t della ve-locitá (Lagrangiana)della particella che all'istante iniziale t0si trova nel punto ~X.

50

• Turbolenza stazionaria

- Al tendere all'in�nito dell'intervallo di integrazione T la mediatemporale, Ui(~x), tende a coincidere con la media probabili-stica, < ui(~x) >. Inoltre, la media non dipende dal tempo.

< ui(~x; t) >= limT→11T∫ T=2�T=2

ui(~x; t + �)d� = Ui(~x)

- Le funzioni e i coef�cienti di correlazione temporale dipendonounicamente da � = t2 �t1 e non dagli istanti t1 e t2 considerati.

Qij(~x; t1; t2) = Qij(~x; �); Rij(~x; t1; t2) = Rij(~x; �);

Le condizioni di turbolenza stazionaria si realizzano spesso nellapratica (corrispondendo alla condizione di moto moto permanen-te).

• Turbolenza omogenea

- Al tendere all'in�nito del volume di integrazione x1x2x3 la me-dia spaziale, Ui(t), tende a coincidere con la media pro-babilistica, < ui(t) >. Inoltre, la media non dipende dallospazio.

< ui(~x; t) >= limV→11V∫ x1=2�x1=2

∫ x2=2�x2=2

∫ x3=2�x3=2

ui(~x +~�; t)d~� = Ui(t)

- Le funzioni e i coef�cienti di correlazione temporale dipen-dono unicamente da ~r = ~x2 � ~x1 e non dalle posizioni ~x1 e ~x2considerate.

Qij(~x1;~x2; t) = Qij(~r; t); Rij(~x1;~x2; t) = Rij(~r; t);

- La turbolenza omogenea, in senso assoluto, é una astrazio-ne matematica: richiede infatti un dominio �uido in�nitamenteesteso.- É tuttavia possibile individuare all'interno del campo �uido re-gioni omogenee limitate, di dimensioni piccole rispetto alle scaledelle disomogeneitá macroscopiche e suf�cientemente lontanada pareti e super�ci libere.

- É inoltre possibile de�nire regioni omogenee in un piano o lungouna determinata direzione (e.g., moto uniforme).

51

• ERGODICITÁ: Una variabile é detta ergodica se tutte le possi-bili forme di media (temporale, spaziale, probabilistica, d'insie-me) convergono alla stessa quantitá.

- Un processo stazionario e omogeneo é ergodico, i.e.

Qij(~x1;~x2; t1; t2) = Qij(~r; �); Rij(~x1;~x2; t1; t2) = Rij(~r; �);

con � = t2 � t1 e ~r = ~x2 �~x1.

- Una variabile ergodica diventa statisticamente indipendenteda se stessa per � → 1 e ~r → 1

- Una variabile ergodica diventa scorrelata nel tempo per t → 1e nello spazio per ~r → 1

- L'ipotesi di turbolenza stazionaria e omogenea é molto restrittiva:

Omogeneitá ⇒ campi di moto non limitati

Stazionarietá ⇒ produzione continua di energia turbolenta

- É quindi evidente che la stazionarietá, necessitando di gradienti delmoto medio per poter produrre energia turbolenta, non é in generalenon compatibile con l'omogeneitá.

- Tuttavia nel caso di un campo di moto omogeneo in una determi-nata direzione (e.g., moto uniforme in un canale), é possibile averestazionarietá (in tal caso la turbolenza estrae energia dai gradientiverticali e trasversali del moto medio).

• TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE: La densitá di probabilitádei valori medi di variabili stazionarie tende ad avere la stessaforma, ovvero é di tipo Gaussiano

52

PROPRIETÁ DELLE FUNZIONI DI CORRELAZIONE

Nell'ipotesi di turbolenza stazionaria e omogenea si ha:

f(�x) = f(��x); g(�y) = g(��y);

REij(�) = REij(��); RLij(�) = RLij(��)

Inoltre:

f(0) = g(0) = REij(0) = RLij(0) = 1

f(r) � 1; g(r) � 1; REij(�) � 1; RLij(�) � 1

Sviluppando in serie di Taylor in un intorno di r = 0 e � = 0:

f(r) = 1 + r2

2

@2f@r2

r=0

+O(r4) ' 1 � r2

�2f

g(r) = 1 + r2

2

@2g@r2

r=0

+O(r4) ' 1 � r2

�2g

Rij(�) = 1 +�22

@2Rij@�2

�=0

+O(�4) ' 1 � �2

�2E

RLij(�) = 1 +�22

@2RLij@�2

�=0

+O(�4) ' 1 � �2

�2L

53

Otteniamo coś� le seguenti scale caratteristiche che danno delleindicazioni sulle strutture vorticose presenti nel moto turbolento:

• Microscala e macroscala spaziale longitudinale

��2f = �12

@2f@�2x

�x=0

; �f =∫ 10f(�x)d�x

• Microscala e macroscala spaziale trasversale

��2g = �12

@2g@�2y

�y=0

; �g =∫ 10g(�y)d�y

• Microscala e macroscala temporale euleriana

��2E = �12

@2REij@�2

�=0

; TE =∫ 10REij(�)d�

• Microscala e macroscala temporale lagrangiana

��2L = �12

@2RLij@�2

�=0

; TL =∫ 10RLij(�)d�

In generale �f � �g ⇒ anisotropia

La macroscala temporali euleriana consente di scegliere l'intervallodi tempo (T � TE) per cui la media temporale tende a coincidere conla media probabilistica. Inoltre, per t >> TE la velocitá diventa scor-relata e perde memoria delle sue caratteristiche iniziali. Analogo éil ragionamento per le scale spaziali.

54

SPETTRO 1D DI ENERGIA

• Nell'analizzare le caratteristiche di un campo di moto turbolentoé spesso piú comodo lavorare nel dominio delle frequenze, ! = 2�=tanziché nel dominio del tempo t.

• Le trasformate di Fourier consentono di passare dal dominio deltempo al dominio delle frequenze, e viceversa. Indicata con f(t) unafunzione assolutamente integrabile, non necessariamente periodica,e con i l'unitá immaginaria di un numero complesso si ha:

a(!) = 12�∫ 1�1f(t)e�i!t dt; f(t) =

∫ 1�1a(!)ei!t d!

Trasformata diretta Trasformata inversa

• La funzione a(!) é la densitá dello spettro e rappresenta comesono distribuite le frequenza del segnale rappresentato da f(x).

• Ad esempio, considerando per semplicitá il caso unidimensionale, lafunzione di correlazione temporale R(�), puó essere scritta come

Ex(!) =12�

∫ 1�1R(�)e�i!� d�; R(�) =

∫ 1�1Ex(!)ei!t d!

dove E(!) rappresenta lo spettro 1D di energia, che descrive comesono distribuite le frequenze contenute in R(�).

55

IPOTESI DI TAYLORNelle ipotesi di:

- Moto unidirezionale uniforme: ~u = (Ux;0;0) + (u′x; u′y; u′z)

- Turbolenza stazionaria dUx=dt = 0

- Turbolenza omogenea ~u(~x +~�) = ~u(~x) ???

L'equazione di Navier Stokes nella direzione del moto porge:

@u′x@t + Ux

@u′x@x = �

u′x@u′x

@x + u′y@u′x@y + u

′z@u′x@z

� 1�@p′@x

+�@2u′x@x2

+ @2u′x@y2

+ @2u′x@z2

essendo ju′ij ∼ u0 e Ux ≡ U0.Nelle ulteriori ipotesi, usualmente soddisfatte nella pratica, che:

- ju′xj � Ux- U0L=� � 1si ottiene:

@u′x@t

∼= Ux@u′x@x

⇓I) f(�x) = RE(�)II) �f = Ux�EIII) �f = UxTE

Le relazioni I) e II) si realizzano sicuramente per imicro-vortici che,per effetto del processo di vortex stretching, tendono ad essereomogenei e isotropi.

La relazione III) risulta valida solo se anche i macro-vortici sonoomogenei e isotropi. Tuttavia, a livello di macro-vortici non é pos-sibile avere omogeneitá in senso assoluto, ma un campo di moto puóessere omogeneo in una determinata direzione (e.g., quella di un motouniforme)

56

ANALISI STATISTICA DELLA DIFFUSIONE TURBOLENTA

Sotto opportune condizioni la diffusione turbolenta puó essere ana-lizzata in analogia con la diffusione molecolare, ride�nendo oppor-tunamente i coef�cienti di diffusivitá. Tali condizioni sono quelleassociate all'ipotesi di Taylor, ovvero:

• Moto unidirezionale uniforme• Turbolenza omogenea e stazionaria

• Consideriamo dunque una nuvola di tracciante immessa nell'origine.Essa si modi�ca in seguito a:

• Vortici di piccola scala ⇒ distorsione della nuvola• Vortici di grande scala ⇒ trasporto e aumento dellanuvola

- L'origine del sistema di riferimento, in cui é inizialmente localizzatala nuvola, si muove di moto rettilineo e uniforme.- Il baricentro della singola nuvola in genere non coincide con l'originedel sistema di riferimento.- Il moto del baricentro delle singole nuvole varia per ogni realiz-zazione.

57

- t suf�cientemente piccoli: il baricentro di una singola nuvola noncoincide con il baricentro dell'insieme (nuvola media) delle singolenuvole

- t suf�cientemente grandi: la nuvola é aumentata di dimensioni alpunto tale da non risentire dei microvortici. I baricentri delle singolenuvole e il baricentro della nuvola media coincidono

- Il problema, data la sua complessitá, deve essere studiato proba-bilisticamente. Per quanto riguarda la concentrazione in un puntode�niamo

• la probabiltá che nel punto ~x all'istante t la concentrazione siacompresa nell'intervallo c � c + dc

p(cj~x; t)

• media d'insieme:

C(~x; t) =< x(~x; t) >=∫ 1�1c p(cj~x; t)dc

58

• Proprietá statistiche di una singola nuvola

Indicata con c(~x; t) la concentrazione nel punto ~x = (x1; x2; x3) possia-mo de�nire:

• M: Massa della singola nuvola

• ~xG = (xG1; xG2; xG3): Baricentro della singola nuvola

• ~� = (�1; �2; �3): Varianza della singola nuvola

M =∫∫∫ 1

�1c(~x; t)dx1dx2dx3

xGi =1M

∫∫∫ 1�1xi c(~x; t)dx1dx2dx3

�i =1M

∫∫∫ 1�1(xi � xGi)2 c(~x; t)dx1dx2dx3

• Proprietá statistiche dell'insieme (nuvola media) delle singole nu-vole

• `: dimensione caratteristica della singola nuvola

• L: dimensione caratteristica della nuvola media (dell'insieme del-le singole nuvole)

59

• Proprietá statistiche della nuvola media

C(~x; t) = =∫∫∫ 1

�1c(~x; t) p(cj~x; t)d~x

XGi = =1M

∫∫∫ 1�1xi C(~x; t)d~x

�2i =1M

∫∫∫ 1�1(xi � XGi)2 C(~x; t)d~x

con

C(~x; t) =< c(~x; t) >; XGi =< xGi >; d~x = dx1dx2dx3

La relazione tra �2xi e �2xi si ricava osservando che

�2i =1M

∫∫∫ 1�1(x2i + x2Gi � 2xixGi) c(~x; t)d~x

= 1M∫∫∫ 1

�1x2i c(~x; t)d~x +

x2GiM

∫∫∫ 1�1c(~x; t)d~x � 2xGiM

∫∫∫ 1�1xi c(~x; t)d~x

= 1M∫∫∫ 1

�1x2i c(~x; t)d~x +

x2GiM M � 2

xGiM MxGi =

1M

∫∫∫ 1�1x2i c(~x; t)d~x � x2Gi

e, facendo la media d'insieme

< �2i >=1M

∫∫∫ 1�1x2i C(~x; t)d~x� < x2Gi >

D'altra parte

�2i =1M

∫∫∫ 1�1x2i C(~x; t)d~x +

X2GiM

∫∫∫ 1�1C(~x; t)d~x � 2XGiM

∫∫∫ 1�1xi C(~x; t)d~x

= 1M∫∫∫ 1

�1x2i c(~x; t)d~x +

X2GiM M � 2

XGiM MXGi

= 1M∫∫∫ 1

�1x2i C(~x; t)d~x � X2Gi

60

Pertanto

< �2i > =1M

∫∫∫ 1�1x2i C(~x; t)d~x� < x2Gi >

�2i =1M

∫∫∫ 1�1x2i C(~x; t)d~x � X2Gi

da cui:

< �2i >= �2i + X2Gi� < x2Gi >

ma:

< (xGi � XGi)2 >=< x2Gi � 2xGiXGi + X2Gi >=< x2Gi > �X2Gi

per cui, in de�nitiva,

�2i =< �2i > + < (xGi � XGi)2 >

La varianza della nuvola media �2i (rispetto al valore atteso del suobaricentro XGi) é maggiore della media di insieme della varianzadi ciascuna nuvola < �2i >, la differenza essendo data dallo scartoquadratico medio < (xGi � XGi)2 > dei baricentri di ciascuna nuvola, xGi,rispetto al baricentro della nuvola media, XGi.

61

De�niamo ora:

• Dimensione caratteristica singola nuvola: `(t) =[(�21 + �22 + �23)=3

]1=2• Dimensione caratteristica nuvola media: L(t) =

[(�21 +�22 +�23)=3

]1=2Dalla relazione tra le varianze �2i e < �2i > consegue che:

L2(t) =�21 +�22 +�23

3

=< �21 + �22 + �23 >

3 +〈(xG1 � XG1)2 + (xG2 � XG2)2 + (xG3 � XG3)2

〉3

= < `2 > +〈(xG1 � XG1)2 + (xG2 � XG2)2 + (xG3 � XG3)2

〉3

E, posto

x′Gi = xGi � XGi

si ottiene, in�ne

L2(t) =< `2 > +〈x′2G1 + x

′2G2 + x

′2G3〉

3

La dimensione della nuvola media eccede la media delle dimensionidella singole nuvole.

• Al �ne di quanti�care meglio la crescita della nuvola media é op-portuno studiare il problema dal punto di vista lagrangiano.

62

De�niamo dunque

• Posizione iniziale particella: ~X0• Velocitá (lagrangiana) particella: ~v

• Traiettoria particella: ~x(~X; t) = ~X + ~Y(~X; t)

• Spostamento particella: ~Y(~X; t)

• Fluttuazioni spostamento singola particella: ~Y′ = ~Y� < ~Y >• Fluttuazioni velocitá singola particella: ~v′ =~v�

~x(~X; t) = ~X +∫ t0+�t0

~v(~X; t)dt; ~Y(�) =∫ t0+�t0

~v(~X; t)dt

- Conviene inoltre de�nire anche la probabilitá punto di vista la-grangiano come.

• la probabiltá che una particella, localizzata nel punto ~X all'istanteiniziale t0, all'istante generico t sia compresa nell'intorno ~x + d~xdel punto ~x

p(~xj~X; t)

• Indicate con- M: massa totale della nuvola- m: massa associata ad una singola particella �uida- M/m: numero totale di particelle

si ottiene che

C(~x; t) = Mm mp(~Yj~X; t) = Mp(~Yj~X; t)

63

Ne consegue che

XGi =1M

∫∫∫ 1�1xi C(~X; t)d~x

=∫∫∫ 1

�1xi p(~Yj~X; t)d~x

=∫∫∫ 1

�1(Xi + Yi) p(~Yj~X; t)d~Y

= Xi+ < Yi >

e, quindi

~Y = ~x � ~X ⇒ < xi >= XGi< ~Y >=< ~x > �~X ⇒ < Yi >= XGi � XiXGi = Xi+ < Yi > ⇒ Y′i = xi � XGi

Ne consegue che

�2i =1M

∫∫∫ 1�1(xi � XGi)2 C(~x; t)d~x

=∫∫∫ 1

�1Y′2i p(~Yj~X; t)d~Y

= < Y′2i >

e, in de�nitiva,

L2(t) =�21 +�22 +�23

3 =< Y′21 + Y

′22 + Y

′23 >

3

• Nel caso in cui l'inquinante venga immesso nella forma di una nu-vola iniziale che occupa un certo volume V0 con una determinataconcentrazione iniziale si ottiene

L2(t) = L2(t0) +< Y′21 + Y

′22 + Y

′23 >

3

64

• La determinazione delle dimensioni caratteristiche della nuvolamedia é dunque legata alla determinazione della covarianza delle �ut-tuazioni degli spostamenti Dij(t):

Dij(�; t0;~X) =< Y′i(~X; �)Y′j(~X; �) >

Ovvero

L2(t) = L2(t0) +D11 + D22 + D33

3• Al �ne di determinare il comportamento di Dij (e, quindi, di L) énecessario distinguere tre diversi intervalli di tempo

I) � � TLII) � < TLIII) � > TL

dove TL é la macroscala temporale Lagrangiana

TL =∫ 1t0Rij(X; �)d�

• É inoltre utile osservare che:

Dij(�; t0;~X) = <∫ t0+�t0

v′i(~X; �1)d�1∫ t0+�t0

v′j(~X; �2)d�2 >

=∫ t0+�t0

∫ t0+�t0

< v′i(~X; �1)v′j(~X; �2) > d�1d�2

=∫ t0+�t0

∫ t0+�t0

RLij(�1; �2;~X)d�1d�2

65

I) Per piccoli tempi (i.e., � → 0 ⇒ t ' t0) la particella �uida sitrova in un intorno di ~X: é possibile ipotizzare che la sua velocitá nonvari signi�cativamente e sia approssimativamente uguale alla velocitáeuleriana in tale punto, ovvero:

~v(t0 + �;~X) '~v(t0;~X) = ~u(~X; t0) t = t0 + �

Ne consegue che:

~Y =∫ t0+tt0

v(�;~X)d� ' ~u �; ~Y′ = ~Y� < ~Y >=' (~u� < ~u >) � = ~u′ �

Dij(�;~X) = < u′i(~X; t0)u′j(~X; t0) > �2 = Qij(~X; t0) �2

⇓

L2(t) = L2(t0) +Q11 +Q22 +Q33 >

3 �2

- In generale la funzione di correlazioneQij dipende dalla posizione ~Xe dal tempo t0; risulta indipendente da ~X nel caso di turbolenza omo-genea; risulta indipendente da t0 nel caso di turbolenza stazionaria;risulta costante nel caso di turbolenza omogenea e stazionaria.

- Nel caso particolare di turbolenza stazionaria (e.g., galleria delvento) é suf�ciente misurare la velocitá nel punto ~X per un tem-po suf�cientemente lungo al �ne di determinare le caratteristichestatistiche della turbolenza. Le misure di Simmons e Salter (1938) eTownsend (1947) indicano una distribuzione di densitá di probabilitámolto prossima ad una Gaussiana a valle della griglia.

66

III) Per tempi grandi (i.e., � � TL) é possibile studiare la strutturadi Dij solo nell'ipotesi di turbolenza omogenea e stazionaria. In talcaso, infatti:

< v(~X; t) >=< u[x(~X; t); t0] >= ~U; ⇒ < Y(�) >= U�

Inoltre:

QLij(~X; �; t0) = QLij(�); RLij(~X; �; t0) = RLij(�)

Ne consegue che:

Dij(�) = < Yi(~X; t0)Yj(�) >

=∫ t0+�t0

∫ t0+�t0

< v′i(~X; �1)v′j(~X; �2) > d�1d�2

=∫ t0+�t0

∫ t0+�t0

RLij(�2 � �1)d�1d�2

ed introducendo le variabili ϕ = �2 � �1, = (�1 + �2)=2

Dij(�) =∫ �0dϕ

∫ ��ϕ=2ϕ=2

[RLij( ) + RLji( )]d

=∫ �0(� � ϕ)[RLij(ϕ) + RLji(ϕ)]dϕ

= �ui�uj∫ �0(� � ϕ)[QLij(ϕ) +QLji(ϕ)]dϕ

Nel caso di i = j di nostro interesse si ha quindi

Dii(�) = 2 �2ui∫ �0(� � ϕ)QLij(ϕ)dϕ = 2

∫ �0(� � ϕ)RLij(ϕ)dϕ

• É importante sottolineare che nel derivare tale relazione é suf�-ciente che il campo di moto sia omogeneo solo nella direzione x. Per-tanto, molti campi di moto di interesse pratico (e.g, il moto all'internodi tubazioni e canali).

67

De�niamo

Ti =∫ 10RLii(�)d�

essendo la scala integrale temporale Lagrangiana T de�nita come

T = max(Ti)

Per � � Ti la correlazione RLii(�) → 0. Pertanto, ipotizzando sia �nitol'integrale ∫ �

0ϕRLii(ϕ)dϕ = Ri

per tempi � suf�cientemente grandi si ottiene la relazione asintotica

Dii(�) � 2 �2ui∫ 10(� � ϕ)QLij(ϕ)dϕ = 2 �2ui (Ti � � Ri)

ovveroDii(�) � 2 �2uiTi �

La varianza dello spostamento delle particelle, dunque, tende a cre-scere linearmente con il tempo, per tempi suf�cientemente lunghi(i.e., � � T).In modo del tutto analogo, per tempi suf�cientemente grandi si ot-tiene la seguente espressione per Dij:

Dij(�) �√�2ui �2ujTij � con Tij =

∫ 10

[RLij(�) + RLji(�)

]d�

• La varianza degli spostamenti delle particelle Dij, per tempi suf�-cientemente lunghi, tende dunque crescere linearmente con il tem-po. Tale risultato é del tutto analogo a quello che si ottiene nellostudio del moto Browniano che porta alla diffusione molecolare.Per tempi molto piccoli, invece Dij cresce con in quadrato del tempo.Per valori intermedi del tempo, la dipendenza di Dii dal tempo di-venta piú complessa ed é strettamente associata alla forma dellafunzione di correlazione RLij. Tuttavia, nel caso in cui la funzione RLijsi mantenga ovunque positiva la varianza Dij risulta dipendere es-senzialmente dalla intensitá turbolenta �2ui e dal tempo scala Ti e solodebolmente da RLij, manifestandosi solo nell'intervallo Ti � t � 5Ti.

68

Il tensore della diffusivitá turbolenta

Eij =12dDijdt

69

Legge di obukov

70

LEZIONE 8

ANALOGIA DI REYNOLDS

L'analogia di Reynolds postula che:

Diffusione turbolenta ≡ Diffusione turbolentaQuantitá di moto Soluto passivo

�T ∝ u∗D0 ez ∝ u∗D0

�T = ez

• Andamento di �T

�0 = D0if u2∗ = �0� = gD0if if =u2∗gD0

⇒ ⇒� = (D0 � z)if �0� = g(D0 � z)if

�� = u

2∗D0�zD0

D'altra parte

� = �L + �T = �dUdz

� � < u′xu′y > = �dUdz

+ � �TdUdz

con

• ��: sforzo tangenziale viscoso

• �T: sforzo tangenziale turbolento

da cui

�T =�=�

dU=dz⇒ �T =

u2∗dU=dz

yD0

71

IL PROFILO LOGARITMICO DI VELOCITÁ

Consideriamo lo sforzo tangenziale turbolento � = �� < u′xu′y > eipotizziamo che:

• � ∼= �0• ju′xj = `jdUdz j , U =< u >

• ju′xj ∼ ju′yj

• u′x > 0 ⇒ u′y < 0

• ` = kz

con k costante di Von Karman. Si avrá quindi:

�0 = �(kz)2(dUdz

)2 ⇒ u∗ =√√√√�0� = k z

dUdz

da cui, separando le variabili:

1u∗

dU = 1kdzz ⇒

U(z)u∗

= 1kln z + k1

Osservando che Ujz=D0 = Umax, la costante di integrazione k1 risulta

k1 =Umaxu∗

� 1klnD0

In de�nitiva:

U(z)u∗

= 1kln ( zD0

) + Umaxu∗

72

Indicata con U0 la media sulla profonditá si ha:

U0u∗

= 1D0

∫ D00

1kln zD0

+ Umaxu∗

dze, posto � = z=D0,

U0u∗

=∫ 10

1kln �) + Umaxu∗

d� = 1k∫ 10ln (�)d� + Umaxu∗

= 1k[� ln � � �]10 +

Umaxu∗

∼= �1k+ Umaxu∗

ovvero

Umaxu∗

= 1k+ U0u∗

e, in de�nitiva

U(z)u∗

= 1k

[ln ( zD0

)]+ U0u∗

Sostituendo tale distribuzione di velocitá nella relazione che forni-sce �T risulta

�T =�=�

dU=dz= u

2∗

dU=dzzD0

= kzu∗u2∗ (D0 � z)

D0

e, riordinando i vari termini,

�T = u∗D0 kzD0

(1 � zD0)

73

MESCOLAMENTO VERTICALE

Utilizzando:

• l'analogia di Reynolds (i.e., ez = �T)

• la distribuzione di �T derivante dal modello turbolento di Prandtl

possiamo dunque scrivere:

ez = u∗D0 kzD0

(1 � zD0)

e, mediando sulla verticale:

ez0 =1D0

∫ D00

ezdz =k6 u∗D0

ovvero:

ez0 = 0:067 u∗D0

• Tale andamento é stato confermato sperimentalmente. Gli espe-rimenti, d'altra parte, mostrano che il pro�lo verticale di con-centrazione é poco sensibile alla distribuzione verticale di ey(Jobson e Sayre, 1970). A �ni pratici, in molti problemi é quindipossibile utilizzare il valore medio eyy0

• Le strutture turbolente (vortici) sono caratterizzate da una lun-ghezza scala simile nelle direzioni x e y. Tramite un bilancio deglisforzi su un elemento �uido (Hintze, 19xx) é infatti possibile di-mostrare che gli sforzi turbolenti sono tali per cui �Txy ∼ �Txx, percui, sfruttando l'analogia di Reynolds,

ex = ez ∝ u∗D0

74

TRASCURABILITÁ DELLA DIFFUSIONE TURBOLENTALONGITUDINALE

In genere, il contributo alla dinamica della concentrazione della dif-fusione turbolenta longitudinale fornisce é trascurabile rispetto alcontributo dovuto alla avvezione.

Si consideri, per semplicitá, l'equazione del bilancio di massa, me-diata sulla turbolenza, nel caso di moto unidirezionale piano e �uidoincomprimibile. Trascurando la diffusione molecolare si ha:

@C@t + U

@C@x︸ ︷︷ ︸ =

@@x(ex

@C@x)︸ ︷︷ ︸ +

@@z(ez

@C@z )︸ ︷︷ ︸

O(U0Lx) O(ex

L2x) O( ez

D20)

- U0: velocitá media- D0: profonditá media- Lx: lunghezza scala variazioni longitudinali di C

U0=Lxex=L2x

= U0 Lxex∝ U0 Lxu∗D0

� 1

Infatti, per gli alvei naturali:

LxD0

' 102 � 103m1 � 10m ' 10 � 100

Inoltre:

u∗ =√√√√�0� ; U0 = �

√D0if; �0 = D0if

⇓

U0u∗

= �√g ' 10 � 15

con � coef�ciente di Chezy.

75

MESCOLAMENTO TRASVERSALE

Non esiste una trattazione teorica che consenta di determinare ez.Se, infatti di procedesse come nel caso del del mescolamento verti-cale, utilizzando l'analogia di Reynolds e la teoria di Prandtl avremmo:

ey = `2y@U@y

Ma, in un moto piano (e.g., canale rettangolare molto largo) @U=@y = 0.Si avrebbe coś� ey = 0: assurdo!

Bisogna procedere sperimentalmente. I dati di letteratura indicanoche:

- In un canale rettilineo molto largo (i.e., in assenza di correntisecondarie):

0:10 <ey

u∗D0< 0:26

- In un canale rettilineo con deboli correnti secondarie:

0:15 <ey

u∗D0< 0:30

- In un canale debolmente meandriforme:

0:30 <ey

u∗D0< 0:90

Tali valori numerici indicano che ey � 2ez. Ne consegue che il me-scolamento trasversale é di due ordini di grandezza piú lento delmescolamento verticale. Infatti:

Tz ∝L2zez; Ty ∝

L2yey;

da cui, osservato che Lz = D0 e Ly ∼ B:

TyTz

∝LyLz

2 ezey

∼= BD0

2 12 = O(10

2)

76

SOMMARIO COEFFICIENTI DIFFUSIONE TURBOLENTA

ex ∝ u∗D0ez ∝ u∗D0ey ' 2ez

• Dall'analisi degli ordini di grandezza, la diffusione turbolentalongitudinale risulta trascurabile rispetto all'evvezione, i.e.,

U0=Lxex=L2x

� 1

• Dall'analogia di Reynolds �T = ey e dal modello di chiusura diPrandtl:

ez = u∗D0 kzD0

(1 � zD0)

ez0 = 0:067 u∗D0

• Dai dati sperimentali:

ex ∼ 0:15u∗D0

77

DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DEL COEFFICIENTE DIDIFFUSIONE TURBOLENTA VERTICALE, ez

É possibile determinare il valore medio (sulla profonditá) del coef�-ciente di diffusione verticale tramite indagini di campo. Tali indaginidiventano fondamentali i) nel caso di un inquinante che ha un pesospeci�co diverso da quello dell'acqua oppure ii) nel caso di un cor-so d'acqua fortemente irregolare (in cui le circolazioni secondarieverosimilmente in�uenzano sensibilmente il mescolamento verticale)

• Lunghezza scala del mescolamento verticale

• Misura della distribuzione di concentrazione

78

DISPERSIONE IDRODINAMICA

Nella dispersione agiscono in concomitanza due processi �sici:

• La convezione non uniforme• La diffusione trasversale

Ad esempio in una condotta in moto laminare avremo:

- Pura convezione non uniforme. Ad ogni istante t > 0 la nuvola ditracciante assume un andamento simile a quello del pro�lo di velo-citá, ovvero un paraboloide. La rapiditá con cui aumenta la distanzadelle particelle é superiore a quella in cui l'unico meccanismo é quellodiffusivo.

- Pura diffusione trasversale. Il processo di diffusione (in tal ca-so molecolare, essendo il moto laminare) tende a rendere uniformela concentrazione sull'intera sezione. In un tempo suf�cientementelungo ogni particella di soluto ha visitato l'intera sezione e la velocitámedia di ciascuna molecola di soluto é pari alla velocitá media nellasezione. Inoltre, la posizione della particella é indipendente da quellache aveva inizialmente.

- L'effetto combinato della convezione non-uniforme e della diffu-sione trasversale é analogo ad un processo di random walk, ovvero dáluogo ad una diffusione longitudinale con diffusivitá ef�cace assaidiversa da quella molecolare.

79

CAMPO VICINO, INTERMEDIO, LONTANO

Il problema dell'evoluzione del campo di concentrazione nel tempoe nello spazio puó essere affrontato con una diversa modellazionematematica, in relazione alla zona in esame. Infatti

• Nel campo vicino (i.e., nelle vicinanze della immissione) il mesco-lamento é condizionato dalla quantitá di moto e dagli effetti digalleggiamento: é in tal caso necessario usare un modello 3D.

• Nel campo intermedio,(i.e., a distanze O(10 � 100D0), dopo chel'inquinante si é diffuso sulla verticale, ad una distanza), l'evo-luzione della concentrazione é governata dalla convezione non-uniforme e dal mescolamento turbolento trasversale: é suf�-ciente usare un modello 2D.

• Nel campo lontano (i.e., a distanze O(10 � 100B), dopo che il me-scolamento trasversale é completato) la distribuzione della con-centrazione sulla sezione é pressoché uniforme: é suf�cienteusare un modello 1D.

La dispersione entra in gioco nel momento in cui l'equazione del bi-lancio di massa viene mediata sulla verticale (moto 2D) o sull'interasezione (moto 1D). Consideriamo, dunque, l'equazione 3D del bilanciodi massa, mediata sulla turbolenza:

80

EQUAZIONE 2D DEL BILANCIO DI MASSA

Consideriamo, dunque, l'equazione 3D del bilancio di massa, mediatasulla turbolenza:

@C@t +

@(CU)@x +

@(CV)@y +

@(CW)@z =

@@x(ex

@C@x) +

@@y(ey

@C@y ) +

@@y(ez

@C@z )

Integriamo tale equazione lungo la verticale z tra la quota del fondo�(x; y) e quella della super�cie libera H(x; y; t), ricordando

• Regola(Leibnitz) di derivazione sotto il segno di integrale∫ H�

@f@x dz =

@@x

∫ H�f dz � fjH

@H@x + fj�

@�@x

• Condizione cinematica sulla super�cie libera (i.e., dFH=dt = 0, conFH = z �H) @H

@t + U@H@x + V

@H@y �W

z=H

= 0

• Condizione cinematica al fondo (i.e., dF�=dt = 0, con F� = z � �)@�@t + U

@�@x + V

@�@y �W

z=�

= 0

• Condizioni dinamiche sulla super�cie libera e sul fondo[~qT �~n

]z=H = 0;

[~qT �~n

]z=� = 0;

81

Inoltre, poiché il versore ~n della normale esterna alla super�cie con-siderata, F = 0, é dato da

~n = ∇Fj∇Fj

osserviamo che:

~nH =(�@H=@x; 1; �@H=@y)√1 + (@H=@x)2 + (@H=@y)2

; ~n� =(�@�=@x; 1; �@�=@y)√1 + (@�=@x)2 + (@�=@y)2

e ricordando che il �usso turbolento di soluto é

~qT =ex@C@x; ey

@C@y ; ez

@C@z

possiamo riscrivere le condizioni dinamiche sulla super�cie e sul fon-do come

�ex@C@x@H@x � ey

@C@y

@H@y + ez

@C@z

z=H

= 0�ex@C@x

@�@x � ey

@C@y

@�@y + ez

@C@z

z=�

= 0

L'equazione 2D del bilancio di massa diventa quindi:

@@t

∫ H�Cdz + @@x

∫ H�CUdz + @@y

∫ H�CWdz

�C

@H@t + U

@H@x + V

@H@y �W

z=H

+C

@�@t + U

@�@x + V

@�@y �W

z=�

= @@x∫ H�ex@C@xdy +

@@y

∫ H�ey@C@ydz

�ex@C@x

@H@x + ey

@C@y

@H@y � ez

@C@z

z=H

+ex@C@x

@�@x + ey

@C@y

@�@y � ez

@C@z

z=�

82

Ne consegue che

@@t

∫ H�Cdz + @@x

∫ H�CUdz + @@y

∫ H�CVdz = @@x

∫ H�ex@C@xdz +

@@y

∫ H�ey@C@ydz

E, de�nendo:∫ H�Cdz = D0C0;

∫ H�CUdz = D0CU;

∫ H�CVdz = D0CV;

∫ H�ex@C@xdz = D0ex

@C@x;

∫ H�ey@C@ydz = D0ey

@C@y

si ottiene:

@(D0C0)@t +

@(D0CU)@x +

@(D0CV)@y =

@@x

D0ex@C@x + @@y

D0ey@C@y

Introduciamo ora, con un ragionamento analogo a quello seguito perottenere le equazioni di Reynolds, la decomposizione

C = C0 + C; U = U0 + U; V = V0 + V;

con

C0, U0, V0: valori medi sulla verticale

C, U, V: scostamenti rispetto alla media

Ne consegue che:

CU = C0U0 + CU0 + C0U + CU

CV = C0V0 + CV0 + C0V + CV

ex@C@x = ex0

@C0@x + ex

@C0@x + e0

@C@x + ex

@C@x

ey@C@y = ey0

@C0@y + ey

@C0@y + ey0

@C@y + ey

@C@y

83

Sostituendo nell'equazione 2D del bilancio di massa:

@(D0C0)@t +

@(D0C0U0)@x +

@(D0C0V0@y =

@@x

D0ex0@C0@x + D0ex@C@x � D0

CU

+ @@y

D0ey0@C0@y︸ ︷︷ ︸ +D0ey@C@y � D0

CV︸ ︷︷ ︸

Diffusione DispersioneTurbolenta

L'analisi di Taylor indica che, per tempi suf�cientemente lunghi do-po l'immissione (i.e., t > D20=ey), ovvero dopo che l'inquinante si émescolato sulla verticale, tende a stabilirsi un bilancio tra avvezio-ne/convezione non uniforme e diffusione.Tale bilancio implica che:

�CU = kx@C0@x

e, per analogia

�CV = ky@C0@y

Inoltre, l'analisi di Taylor mostra che:

kx � ex; ky � ey;

per cui

�CU � ex@C@x; �

CV � ey@C@y

84

In de�nitiva l'equazione 2D del bilancio di massa, (i.e., mediatasulla verticale), risulta:

@D0C0@t +

@(D0U0C0)@x +

@(D0V0C0)@y =

@@x(D0kx

@C0@x ) +

@@y(D0ky

@C0@y )

e, utilizzando l'equazione di continuitá per un �uido incomprimibile,mediata sulla verticale z:

@D0@t +

@(D0U0)@x +

@(D0V0)@y = 0

si ottiene, in alternativa:

@C0@t + U0

@C0@x + V0

@C0@y =

1D0

@@x(D0kx

@C0@x ) +

1D0

@@y(D0ky

@C0@y )

Tale equazione consente di studiare la dinamica di un soluto passivo inun corso d'acqua, suf�cientemente a valle della zona di immissione,ovvero nel campo intermedio e nel campo lontano.

Problema: come determinare i coef�cienti di mescolamento longi-tudinale kx, e trasversale ky in funzione dei parametri idrodinamici?

z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �@U@x +

@V@y +

@W@z = 0

∫ H�

@U@x dz +

∫ H�

@V@y dz +WjH �Wj� = 0

@@x

∫ H�

Udz + @@y∫ H�

Vdz +W � U@H@x � V

@H@y

H︸ ︷︷ ︸�W � U@�@x � V

@�@y

�︸ ︷︷ ︸

= 0

@H=@t @�=@t@D0@x +

@(D0U0)@x +

@(D0V0)@y = 0

85

COEFFICIENTE DI MESCOLAMENTO LONGITUDINALE IN UNMOTO PIANO(Elder, 1959)

Si consideri:• Moto unidirezionale uniforme turbolento• Canale rettangolare molto largo (i.e., B � D0)• Sistema di assi cartesiani principali

Indicati con

C =< c >; C0 =1D0

∫ D00

C(z)dz ~U =< ~u >; ~U0 =1D0

∫ D00

~U(z)dz

in base alle ipotesi fatte avremo:

~U = [U(z);0;0] ~U � ∇C = U(z)@C@xTrascurando il contributo della diffusione molecolare, l'equazionedella diffusione turbolenta diventa pertanto:

@C@t + U(z)

@C@x =

@@x(ex

@C@x) +

@@z(ez

@C@z )

- Condizioni al contorno: annullamento del �usso di massa sul fondoe sulla super�cie libera

ez@C@z = 0 z = 0; D0

É evidente che:C = C(x; z; t)

inoltre, introducendo l'analogia di Reynolds:

ez = �T(z) = u∗D0 kzD0

(1 � zD0); ez0 =

1D0

∫ D00

ezdz = 0:067 u∗D0

86

Vogliamo dimostrare (Elder, 1959) che, integrando tale equazionesulla verticale, la dinamica della concentrazione media C0 é governa-ta da una equazione della avvezione-diffusione con coef�ciente didiffusione longitudinale ef�cace

kx = 5:86u∗D0

A tale scopo poniamo

ex0kx

= 0:0675:86 = � � 1

Indicata con U0 = (1=D0) e consideriamo i seguenti tempi scala

• T0: mescolamento turbolento trasversale• T1: convezione alla scala della nuvola di inquinante

• T2: dispersione idrodinamica longitudinale

de�niti come:

T0 =D20ex0

; T1 =L0U0

; T2 =L20kx

e tali che:

T0 � T1 � T2

In particolare, ponendo:

� = T0T1= D0L0

U0D0ex0

�2 = T0T2= ksex0

D0L0

2

ne consegue che:

D0L0

= �3=2; Pe =U0D0ex0

= ��1=2

87

Analizziamo l'ordine di grandezza dei vari termini rispetto al ter-mine di diffusione verticale, ricordando che ex0 = ey0 ed osservandoche

@C@t =

@C@t1

+ @C@t2

Otteniamo:

@C=@t1@(ez @C=@z)@z)

∼ 1=T1ez0=D20

= T0T1= �

@C=@t2@(ez @C=@z)@z)

∼ 1=T2ez0=D20

= T0T2= �2

U@C=@x@(ez @C=@z)@z)

∼ U0=L0ez0=D20

= T0T1= �

@(ex @C=@x)@x)@(ez @C=@z)@z)

∼ex0=L20ez0=D20

= (D0L0)2 = �3

Pertanto:

frac@C@t1︸ ︷︷ ︸ + frac@C@t2︸ ︷︷ ︸ + U@C@x︸ ︷︷ ︸ =@@x(ex

@C@x)︸ ︷︷ ︸ +

@@z(ez

@C@z )

O(�) O(�2) O(�) O(�3)

e, moltiplicando entrambe i membri per D20=ex0,:

- Tale analisi degli ordini di grandezza suggerisce che:

C = C0 + �C1 + �2C2 +O(�3)

Sostituendo tale sviluppo nell'equazione del bilancio di massa, ai variordini di approssimazione avremo:

88

O(�0)

@@z(ez

@C0@z)

= 0 0 � z � D0

ez@C0@z = 0 z = 0; D0

Tale problema al contorno comporta che C0 non dipende da z, ovvero,

C0 = C0(x; t1; t2)

O(�)

C0@t1

+ UC0@x =@@z(ez

@C1@z ) 0 � z � D0

ez@C1@z = 0 z = 0; D0

Integrando lungo z, tenendo conto che C0 non dipende da z e che∫D00 Udz = U0D0 si ottiene:

@C0@t1

+ U0@C0@x = 0 ⇒

@C0@t1

= �U0@C0@x

Il problema al contorno diventa coś�

(U � U0)C0@x =

@@z(ez

@C1@z ) 0 � z � D0

ez@C1@z = 0 z = 0; D0

Esso puó essere risolto ponendo

C1 = N(z)@C0@x

89

Si ottiene coś� il problema al contorno, alle derivate ordinarie,

(U � U0) =ddz

(ezdNdz

) 0 � zD0

ezdNdz

= 0 z = 0; D0

Integrando una prima volta (indicando con � la variabile di integra-zione)

ezdNdz

=∫ z0[U(�) � U0]d� +N1

dove la costante di integrazione N1 = 0 per soddisfare le condizionidi �usso nullo sui contorni.

Integrando una seconda volta

N(z) =∫ z0

d�ez

∫ �0[U(�′) � U0]d�′ +N0

dove la costante di integrazione N0 é determinata imponendo che

∫ D00

C1dz =@C0@x

∫ D00

Ndz = 0 ⇒∫ D00

Ndz = 0 ⇒ C = C0+O(�2)

dove C é la concentrazione media sulla verticale. Ne consegue cheN0 é uguale ed opposto al valor medio lungo la verticale dell'integraleche compare in N, ovvero

N0 =∫ D00

d�ez

∫ �0[U(�′) � U0]d�′

90

O(�2)

@C0@t2

+ @C1@t1+ U@C1@x =

@@z(ez

@C2@z ) 0 � z � D0

ez@C2@z = 0 z = 0; D0

Ma, dai problemi agli ordini precedenti:

C1 = N@C0@x

@C0@t1

= �U0@C0@x

⇓@C1@t1

= �N(z) @2C0@x2

; @C1@x = N(z)@2C0@x2

da cui:

@C0@t2

�N(z) [U(z) � U0 +@2C0@x2

= @@z(ez@C2@z )

e, integrando lungo la verticale:

D0@C0@t2

+∫ D00

N(z) [U(z) � U0]dz@2C0@x2

= 0

Ovvero:

@C0@t2

= kx@2C0@x2

con kx coef�ciente di dispersione longitudinale pari a:

kx =1D0

∫ D00

N(z) [U0 � U(z)]dz

91

Il problema al contorno all'ordine O(�2) pertanto diventa

@@z(ez

@C2@z ) = fkx + N(z) [U � U0]g

@2C0@x2

0 � z � D0

ez@C2@z = 0 z = 0; D0

e, posto:

C2 = M(z)@2C0@x2

ddz

(ezdMdz

) = kx + N(z) [U � U0] 0 � z � D0

ezdMdz

= 0 z = 0; D0

92

Mettendo assieme i risultati ai vari ordini di approssimazione abbia-mo

C(x; z; t1; t2) = C0(x; t1; t2) + �N(z)@C0@x + �

2M(z) @2C0@x2

+O(�3)

Integrando sulla verticale e ricordando che ∫D00 N(z)dz = 0C(x; z; t1; t2) = C0(x; t1; t2) + �2M(z)

@2C0@x2

+O(�3)

Inoltre, sommando le equazioni mediate sulla verticale:

( @@t1+ @@t2

)C0 + U0@C0@x = kx

@2C0@x2

+O(�3)

ovvero:

@C0@t + U0

@C0@x = kx

@2C0@x2

+O(�3)

con

kx =1D0

∫ D00

N(z) [U0 � U(z)]dz

93

Calcoliamo ora il coef�ciente di dispersione longitudinale. Ricordan-do l'andamento del pro�lo di velocitá e della diffusivitá turbolentaverticale:

U � U0 =u∗k[1 + ln(1 � �)

]; ez = u∗D0 ez = u∗D0 k�(1 � �) � =

zD0

abbiamo che

N(z) �N0 =∫ z0

dz′ez(z′)

∫ z′0

[U(z′′) � U0]dz′′

= 1k2

∫ z0

dz′u∗D0 �′(1 � �′)

∫ z′0u∗

[1 + ln(1 � �′′)

]]dz′′

= D0k2

∫ �0

d�′�′(1 � �′)

∫ �′0

[1 + ln(1 � �′′)

]]d�′′

= �D0k2

∫ �0

(1 � �′) ln(1 � �′)�′(1 � �′)d�′

= �D0k2

∫ �0

ln(1 � �′)�′ d�

′

e, risolvendo l'integrale per serie

N(z) = D0k2

1∑n=1

�n

n2� 0:648

Calcoliamo in�ne kx:

kx =1D0

∫ D00

N(z) [U0 � U(z)]dz

= D0u∗k3

∫ 10

∫ �′

0

ln(1 � �′′)�′′ d�

′′

︸ ︷︷ ︸ [1 + ln(1 � �)]︸ ︷︷ ︸d�′

Nk2=D0 [U � U0]k=u∗ovvero:

kx = 5:86 u∗D0

94

OSSERVAZIONI SULLA TRATTAZIONE DI ELDER

• La trattazione di Elder, che consente di determinare il coef-�ciente di dispersione longitudinale di una corrente piana (i.e.,2D), é basata sulla teoria sviluppata da Taylor per lo studiodella dispersione causata dal moto nelle tubazioni.

• Il coef�ciente di dispersione kx risulta di un ordine di grandezzamaggiore del coef�ciente di diffusione turbolenta longitudinaleex.

• Le variazioni della concentrazione sulla verticale sono piccole,i.e., O(�3).

• Il problema all'ordine � indica che esiste un bilancio tra avvezionenon-uniforme e diffusione turbolenta verticale.

Vediamo ora qual'é il contributo alla dispersione dovuto alla diffusio-ne turbolenta longitudinale, integrando lungo la verticale il relativotermine che compare nell'equazione del bilancio di massa nel caso diun moto piano

@C@t + U(z)

@C@x =

@@x(ex

@C@x) +

@@z(ez

@C@z )

Ricordando che C = C0(x; t) +O(�3), a meno di termini O(�3) abbiamo

∫ D00

@@x(ex(z)

@C@x)dz =

∫ D00

@@x(ex(z)

@C0@x )dz =

@2C0@x2

∫ D00

ex(z)

= @2C0@x2

D0 ex0 = 0:067 u∗D0@2C0@x2

Tale contributo va sommato a quello dispersivo dovuto alla convezionenon uniforme, ovvero

@C0@t + U0

@C0@x = (kx + 0:067 u∗D0)︸ ︷︷ ︸

@2C0@x2

)

(5:86 + 0:067) u∗D0 = 5:93 u∗D0

95

COEFFICIENTE DI MESCOLAMENTO TRASVERSALE

• Canale rettilineo. Il contributo relativo della diffusione tur-bolenta e delle correnti secondarie a ky non �e ancora a tut-t'oggi chiaro (Rutherford, 1994, p. 108). Sulla base ai datisperimentali, si puó in generale assumere che:

0:15 <ky

D0u∗< 0:3

• Canali con deboli curvature. Il ruolo delle correnti secondariediventa predominate. Sulla base dei dati disponibili (Rutherford,1994; Lau and Krishnappan (1981); Fisher et al., 1979) si pu�oassumere :

0:3 <ky

D0u∗< 0:9

Un canale si puó classi�care come debolmente meandriformequando B0U0=(r0u∗) < 2 (essendo B0: larghezza della sezione; U0:velocit�a media nella sezione; u∗: velocit�a di attrito media nellasezione; r0: raggio di curvatura all'apice della curva (Fisher et al.(1979), p. 112).

• Canali con forti curvature. Aumentando il raggio di curvaturale correnti secondarie indotte dal moto in curva favoriscono ilmescolamento trasversale per cui:

1 <ky

D0u∗< 3

In presenza di piccoli raggi di curvatura il rapporto kyD0u∗ pu�otuttavia superare il valore 3 Sayre (1973).

- I dati sperimentali suggeriscono inoltre che ky varia in direzionetrasversale in modo tale che:

ky(y)D(y)u∗(y)

=ky(y)

D(y)√D(y) g if

' cost ⇒ ky(y) ∝ D(y)3=2

96

DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DEL COEFFICIENTE DIMESCOLAMENTO TRASVERSALE, ky

97

EQUAZIONE 1D DEL BILANCIO DI MASSA

Consideriamo l'equazione 2D del bilancio di massa:

@D0C0@t +

@(D0U0C0)@x +

@(D0V0C0)@y =

@@x(D0kx

@C0@x ) +

@@z(D0ky

@C0@y )

e assumiamo che le sponde siano descritte dalla relazione:

FB = y �B(x)2 = 0

Integrando l'equazione 2D in direzione trasversale y si ottiene

∫ B=2�B=2

@(D0C0)@t dy +

∫ B=2�B=2

@(D0U0C0)@x dy =

∫ B=2�B=2

@@x(D0kx

@C0@x )dy

�[D0V0C0]B=2 + [D0V0C0]�B=2 + [D0ky@C0@y ]B=2 � [D0ky

@C0@y ]�B=2

e, applicando la regola di derivazione sotto il segno di integrale (Leib-nitz)

@@t

∫ B=2�B=2

D0C0 dy +@@x

∫ B=2�B=2

D0U0C0 dy =@@x

∫ B=2�B=2

(D0kx@C0@x )dy

+D0C0

2 (@B@t + U0

@B@x � 2V0

B=2

�D0C0

2 (@B@t + U0

@B@x � 2V0

�B=2

+D0

ky@C0@y � kx@C0@x

12@B@x

︸ ︷︷ ︸

B=2

�D0

ky@C0@y � kx@C0@x

12@B@x

︸ ︷︷ ︸

�B=2[~qk �~nb

]B=2

[~qk �~nb

]�B=2

98

Osservando che la condizione cinematica sulle sponde richiede

dFBdt

= 12@B@t +

1BU0

@B@x � V

y=±B=2

= 0

e, dovendo essere nullo alle pareti il �usso dispersivo di inquinante~qk, de�nito come

~qk = D0kx@C0@x ; ky

@C0@y

ne consegue

@@t

∫ B=2�B=2

D0C0 dy +@@x

∫ B=2�B=2

D0U0C0 dy =@@x

∫ B=2�B=2

(D0kx@C0@x )dy

e, de�nendo:

A =∫ B=2�B=2

D0 dy; Q =∫AUdydz =

∫ B=2�B=2

D0U0 dy;

C = 1A∫ B=2�B=2

D0C0 dy =1A∫ACdydz

Qm =∫ B=2�B=2

D0U0C0 dy =∫ACUdydz = CQ

Kx@C@x '

1A∫ B=2�B=2

(D0kx@C0@x )dy

In de�nitiva l'equazione del bilancio di massa 1D per una correntemonodimensionale in moto vario risulta

@CA@t +

@CQ@x =

@@x(KxA@C)

99

D'altra parte, ricordando che l'equazione di continuitá, scritta per untubo di �usso porgez

@A@t +

@Q@x = 0

l'equazione della avvezione-dispersione puó in�ne porsi nella forma

@C@t +

QA@C@x =

1A

@@x(KxA@C)

z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Equazione di continuitá 2D:

@D0@t +

@D0U0@x +

@D0V0@y = 0

Integrando in direzione trasversale y:∫ B=2�B=2

@D0@t dy +

∫ B=2�B=2

@D0U0@x dy + [D0V0]B=2 � [D0V0]�B=2 = 0

Applicando la regola di Leibnitz e la condizione cinematica alle spon-de:

@@t

∫ B=2�B=2

D0 dy +@@x

∫ B=2�B=2

D0U0 dy =

12

@B@t + U0

@B@t � 2D0V0

B=2

�

12

@B@t + U0

@B@t � 2D0V0

�B=2

e, ricordando le de�nizioni di area A e portata volumetrica Q,:

@@tA +

@Q@x = 0

100

OSSERVAZIONI SULLA DISPERSIONE LONGITUDINALE

Consideriamo la dispersione longitudinale in un canale in condizioni dimoto uniforme (i.e, @A=@x = @Kx=@x = 0)

@C@t + U

@C@x = Kx

@2C@x2

; U = Q=A

L'equazione é formalmente analoga a quella della avvezione-diffusionemolecolare unidirezionale. In altre parole la dispersione longitudinalepuó essere studiata con un modello �ckiano, sostituendo Kx a D.

Per una immissione istantanea di una massa M in x = 0 al tempo t = 0risulta quindi:

C(x; t) = MA√4�Kx t

exp�(x � U t)24Kx t

Tale soluzione, é detta soluzione di Taylor e comporta che:

i) L'andamento temporale di C in una �ssata sezione presenta unaasimmetria, con una fase di crescita piú rapida di quella di esau-rimento.

ii) L'andamento spaziale di C per un �ssato istante é Gaussiano. Per-tanto, come evidenziato nella discussione della soluzione fonda-mentale della diffusione molecolare:- la varianza della nuvola cresce linearmente con il tempo

d�dt

= 2Kx

- i momenti di ordine dispari sono nulli (i.e. la nuvola é perfetta-mente simmetrica rispetto a x = 0)

101

I dati sperimentali, tuttavia, indicano l'esistenza di varie zone a valledella sezione di immissione. In particolare, e si considera l'andamentosperimentale della varianza �2 e del coef�ciente di asimmetria s dellaconcentrazione media sulla sezione, si ottiene:

Si possono quindi individuare le seguenti regioni:

- Zona avvettiva (x < Lx)In tale zona la varianza della concentrazione non cresce linear-mente e la distribuzione spaziale della concentrazione ad un �s-sato istante é fortemente asimmetrica (la nuvola di inquinanteha un fronte molto piú ripido della coda). Tale asimmetria, chetende a raggiungere un massimo all'interno della zona avvetti-va, é dovuta alla avvezione-non uniforme ed, eventualmente, allacon�gurazione iniziale della nuvola.

- Zona di equilibrio (x > Lx)In tale zona, come evidenziato da Taylor, di stabilisce approssi-mativamente un equilibrio tra avvezione trasversale non-uniforme(che favorisce la dispersione longitudinale) e mescolamento tra-sversale (che, invece, contrasta la dispersione longitudinale). Lavarianza tende a crescere linearmente con il tempo; l'asimmetriadella nuvola tende a diminuire progressivamente.

- Zona Gaussiana (x > a Lx)La distribuzione della concentrazione diventa Gaussiana.

102

- La lunghezza Lx della zona avvettiva é strettamente connessa altempo scala euleriano, ∝ B2=kz, che una particella impiega per visi-tare l'intera sezione, ovvero

Lx = kUB2kz

0:3 < k < 0:6

- La presenza di zone morte, tuttavia, comporta un aumento sostan-ziale del coef�ciente �.

- Il modello Fickiano di dispersione longitudinale (che prevede unadistribuzione Gaussiana della concentrazione) risulta applicabile solosuf�cientemente all'interno della regione di equilibrio, i.e. per x > a Lxcon

- a = 2:5 Fischer et al. (1979)- a = 4 � 5 Denton (1990)- a = 10 Sayre (1968)

- a = 50 Liu e Cheng (1980)

103

LEZIONE xx

COEFFICIENTE DI DISPERSIONE LONGITUDINALE

I dati di letteratura (Rutherford, 1994, p.201) indicano che Kx puóvariare entro un ampio intervallo di valori:

4 < KxB0u∗

< 100

ovvero, indicato con Cf (= g=�2) il coef�ciente di resistenza (che neglialvei naturali ∼ 0:1 � 0:01)

4√Cf <

KxU0B0

< 100√Cf

La grande variabilitá di Kx é connessa a diverse cause

- Gradienti spaziali di velocitá trasversali dovuto alla particolaregeometria delle sezioni

- Variazioni dei gradienti spaziali di velocitá in relazione alle varia-zioni di portata

- Correnti secondarie dovute alla presenza di curve

- Effetto delle cosiddette zone morte (e.g., golene laterali)

Esistono diverse metodologie per calcolare Kx

• Formule semi-empiriche

• Stima da misure del campo di velocitá• Metodo dei momenti• Calibr