ビーム力学の基礎大見　和史

高エネルギー加速器セミナー2011.5.11

加速器、ビーム• RF加速

加速空洞ー振動電磁場で加速

電子源、イオン源

静電場では高エネルギーに加速できない

線形加速器（LINAC)

円形加速器Circular accelerator, Ring

加速空洞• 電場が進行方向を向いたときだけ加速（陽子）

• 空洞に加速に寄与するモードが誘起されるよう、電磁波を空洞に導入

• ビームは加速位相に合わせて、集団で加速される。バンチ構造

fRF=500MHz(KEKB,PF)2856MHz(LINAC)~1.5MHz(J-PARC)

Feynman integralではモード数のみを問題にしているが加速器では特定のモードに注目する

位相安定化（円形加速器）• 加速電場　正弦波

• 青橙の場合速い粒子は中心より加速が小さい大きい。• 加速電圧は中心に対する時間差に比例して小さく大きくなる

• どちらの位相に乗せると安定かは設計による。いずれにしても重心の周りに単振動させるようにする。

ビーム粒子の到着時刻

バンチ重心の受ける加速電圧

電磁石• ビームを移送させたい方向に偏向磁石を配置。

• ビームが広がらないように収束磁石を配置。Bx = ay Fx = −evBy = −evax

By = ax Fy = evBx = evay

線形力ー重心の周りで単振動するように設計。

すべての粒子を水平に一様に曲げる

By = b Bx = 0

真空、ビーム寿命• ビーム蓄積時間

• 1時間ー1日 KEKB, KEK-PF

• J-PARC RCS 40ms MR 2s

• ビーム寿命を決めるものー残留ガスとの衝突。10-7 Ps程度の真空度

KEKの加速器Energy 長さ current #bunch bunch

shape（x,y,z）

粒子数

(bunch)

GeV ｍ A mm 1010

KEK-Linac 8max 480 (50Hz) 1-10

KEKB 4&7 3016 1600 0.1x0.001x5

6

KEK-PF 2.5 187 0.5 250 1x0.1x10 0.5

ATF 1.5 139 1- 0.2x0.02x5

1

J-PARC(RCS) 0.2->3 348 2 20x20x 70000

4000

J-PARC(MR) 3->30 1567 8 10x10x 20000

4000

運動エネルギー

世界の加速器Energy 長さ current #bunch bunch

shape（x,y,z）

粒子数

(bunch)

GeV ｍ A mm 1010

LHC (2011) 3500 26670 11

LHC (design) 7000 26670 0.5 2808 0.016x0.016x75

11

Tevatron 1000 187 36 0.04x0.04x430

30

RHIC 200 3833 0.07x0.07x500

40

SPring8 8 1436 0.1 0.2x0.02x4

0.3-1

LCLS (SLAC FEL) 1

衝突加速器のバンチ形状は衝突点

ちょっとした問題• KEKB、J-PARCの電流値は

• KEK-LINACのピーク電流(バンチの局所電流)は

• J-PARC MR 出射時のビームパワーは何W, 繰り返し0.3Hz

• 500MHzの空洞でKEKBは最大何バンチ蓄積できるか。

特殊相対論

• 運動エネルギー 180MeV(RCS入射エネルギー)の陽子のE, p, β,γは？

γ =1�

1− β2

β =�

1− 1γ2

答え•e=1.6022x10-19 C, Mp=0.938 GeV•c=299,792,458 m/s

•KEKB 1.54A JPARC-MR 9.8A

•J-PARC 30e9x8x4e13x1.6e-19x0.3=461kW•5120バンチ•E=1.118 GeV, p=0.608 GeV/c, β=0.54, γ=1.19

横方向(進行方向に垂直な面)の運動• 運動方程式

• ある進行方向位置sでのx,y,t

Fx = ecβax

Fx = 0収束磁石それ以外

重心の全運動量 : p0

粒子の全運動量 : p

px = Fx mcγx = px

s = cβt�px

p0

��=

ea

p0x � =

d

ds

px

p0=

mγcβ

p0x� =

p

p0x�

x�� =ea

px a=const<0では調和振動子

ビーム粒子の線形運動• 横方向 a=B’=const

S2 =�

0 1−1 0

��

xpx

p0

��

= S2

� eap0

00 1

� �xpx

p0

�

�xpx

p0

�= exp

�S2

� eap0

00 1

�s

��xpx

p0

�

s=0

Bx = ay Fx = −evBy = −evax

By = ax Fy = evBx = evay

転送行列• a>0 ｘ方向は収束ー三角関数、ｙ方向は発散ー双曲関数

• a<0 ｘ方向は発散ー双曲関数、ｙ方向は収束ー三角関数

My(s + ∆s, s) = exp�S2

�− ea

p00

0 1

�s

�

=

cosh

��eap0

∆s� �

eap0

sinh��

eap0

∆s�

� p0ea sinh

��eap0

∆s�

cosh��

eap0

∆s�

Mx(s + ∆s, s) = exp�S2

� eap0

00 1

�s

�

=

cos

��eap0

∆s� �

eap0

sin��

eap0

∆s�

−� p0

ea sin��

eap0

∆s�

cos��

eap0

∆s�

a>0の場合

進行方向の運動• 速度、到着時刻

• 軌道長による到着時刻遅れ• エネルギーの大きな粒子は偏向磁石内で大回りするため軌道長が伸びる。モーメンタムコンパクションファクター αp

β =pc

E

t =s

cβ− s

cβ0= − s

cβ0

∆β

β0

∆β

β0=

∆pE − p0∆E

p0E=

1γ20

∆p

p0

t = −T0

γ20

∆p

p0T0 =

s

cβ0

∆L = αp∆p

p0

t

T0=

�αp −

1γ20

�∆p

p0= ηp

∆p

p0

• 加速空洞での加速

• 進行方向の線形運動

δE = eV t

進行方向の運動

�−βctp−p0

p0

��

= S2

�eV

β0cp00

0 ηp

��−βctp−p0

p0

�

�−βctp−p0

p0

�= exp

�S2

�eV

β0cp00

0 ηp

�s

� �−βctp−p0

p0

�

s=0

δp

p0=

EδE

pp0=

eV

β0cp0t

転送行列

• 個々の加速器パーツ毎のH

M(s2, s1) = exp [SH(s2, s1)]

M(s, s0) =n�

i=1

M(si, si−1)

HQM,x =� ea

p00

0 1

�HQM,y =

�− ea

p00

0 1

�

HRF,z =

�eV

β0p00

0 0

�HDrift,z =

�0 00 ηp

�

HDrift,xy =�

0 00 1

�

ビーム力学の基本• 非常に長時間でのビーム粒子の運動が対象。

• 第一歩として線形近似

• ビーム粒子の運動を調和振動子的に扱う。

• 調和振動子の安定性が主題

加速器業界標準の変数• 正準共役

• 運動量は重心の全運動量で規格化、ビーム粒子の進行方向に対する傾き

px =px

p0

z = −βct pz =p− p0

p0

シンプレクティック行列• 古典ハミルトニアン系

• N自由度、Mは2Nx2N行列

S =

S2 0 ...0 S2 ...... ... ...... 0 S2

M tSM = S1自由度の場合、シンプレクティック条件とdetM=1は同値

→ det M = 1

シンプレクティック群• シンプレクティック行列の積はシンプレクティック

• 対称行列Hによる指数表現M = exp(SH)

(AB)tSAB = BtAtSAB = S

シンプレクティック変換(含非線形）

• 初期条件 x0=(x,px,y,py,z,pz)0, sでの位相空間位置

• Poisson bracketの保存

• Jacobian

x(x0, s) x = x0 + S∂H

∂xds

�∂x

∂x0

�t

S

�∂x

∂x0

�=

�1 +

∂

∂x0S

∂H

∂x0ds

�t

S

�1 +

∂

∂x0S

∂H

∂x0ds

�

= S +

�S

∂

∂x0S

∂H

∂x0+

�∂

∂x0S

∂H

∂x0

�t

S

�ds = S

[xi, xj ] ≡∂xi

∂xk,0Sk�

∂xj

∂x�,0= Sij

det�

∂xi

∂xk,0

�= 1 位相空間体積保存

ユニタリティ

• ユニタリー群、積もユニタリー

• エルミート行列による指数表現

• 確率保存

U†U = 1

(U1U2)†U1U2 = U†2U†

1U1U2 = 1

U = exp(H) H† = H

保存則ーLiouvilleの定理• N粒子の6N次元位相空間における体積は不変

• 位相空間体積の保存• 相互作用のないN粒子の場合、粒子の分布する

6次元位相空間体積は不変

x

px

相互作用のないN粒子

• sにおけるxでの密度は、s0での変換前の位置M-1xの密度が保存されている。

ψ(x, s0) =N�

i=1

δ(x− x0,i)

ψ(x, s) = ψ(M−1x, s0)

初期分布

ψ(x, s) =N�

i=1

δ(x−Mx0,i) = det M−1N�

i=1

δ(M−1x− x0,i)

= detM−1ψ(M−1x, s0)

ビームの粒子分布• 簡単な例ー位相空間内でのガウス分布

規格化det

�γ0 α0

α0 β0

�

= β0γ0 − α20 = 1

ψ = ψx(x, px)ψy(y, py)ψz(z, pz)

ψx(x, px, s0) =N

2πεxexp

�− (γ0x2 + 2α0xpx + β0p2

x)2εx

�

xx =�

x px

�t

=N

2πεxexp

�− 1

2εxxt

x

�γ0 α0

α0 β0

�xx

�

分布の変化

• 位相空間内でのビーム形状（α, β）は変わる。

• 位相空間面積(体積)を表すεx、エミッタンスは変わらない。

�γ αα β

�= M−1t

�γ0 α0

α0 β0

�M−1

det�

γ αα β

�= 1 det M = 1

=N

2πεxexp

�− 1

2εxxt

xM−1t

�γ0 α0

α0 β0

�M−1xx

�ψx(xx, s) = ψx(M−1xx, s0)

ビーム形状の変化• 入射時のビーム形状 (α, β)0 をあたえれば、あらゆる場所のビーム形状が計算できる。

M =�

m11 m12

m21 m22

�

加速• 物理運動量を使っていれば、加速によって位相空間体積は不変

• 加速器の運動量は重心の運動量で規格化されている。加速空洞の前後でx,y方向の運動量が変わる。

x

pxMacc =

�1 ∆s0 p0,a

p0,b

�

p0,a → p0,b det Macc =p0,a

p0,b< 1

加速によるエミッタンスの変化

εb = εaβaγa

βbγb

εbβbγb = εaβaγa

ψx(M−1xx, sb)det M

=N

2πεx,a

p0,b

p0,aexp

�− 1

2εx,a

p0,b

p0,axt

x

�γb αb

αb βb

�xx

�

円形加速器• 周回行列M = M(s + L, sn−1)...M(s2, s1)M(s1, s)

βγ − α2 = 1

周回の始点に依存

= exp�µS2

�γ(s) α(s)α(s) β(s)

��

周回によるビーム分布の変化• 入射ビーム　(α0,β0)

• n周後の形状　(α1,β1)

• エミッタンスは変わらないが形状は周回毎に変わる。変えないようにできるか？

�γn αn

αn βn

�= exp

�nµ

�γ αα β

�S

��γ0 α0

α0 β0

�exp

�−nµS

�γ αα β

��

ψx(xx, s0 + L) = ψx(M−1xx, s0)

=N

2πεxexp

�− 1

2εxxt

xM−1t

�γ0 α0

α0 β0

�M−1xx

�

ビーム形状の変化の例

x

px

オレンジの楕円は何でしょう？

周回行列の固有値、固有ベクトル• expの型の部分

•

S

�γ αα β

�=

�α β−γ −α

�

����α− λ β−γ −α− λ

���� = 0 → λ2 = −1

R =�

v1 v2

�=

1√β

�β β

i− α −i− α

�

�γn αn

αn βn

�= R−1t exp

�nµ

�i 00 −i

��Rt

�γ0 α0

α0 β0

�R exp

�−nµ

�i 00 −i

��R−1

周回に対して不変なビーム

• 入射ビームの形状が加速器の変換にマッチしていれば、入射ビームは周回に対して不変。

�γ αα β

�=

�γ0 α0

α0 β0

�

周回に対する不変量• マッチしたビームが不変であることから、分布関数のexpの型は不変量

Wx = xtx

�γ αα β

�xx = γx2 + 2αxpx + βp2

x

xtxM t

�γ αα β

�Mxx = xt

x

�γ αα β

�xx

まとめ• 位相空間内のビームの大きさはエミッタンスで特徴付けられる。

• 位相空間分布の形はα,β関数などのツイスパラメータと呼ばれるもので特徴付けられる。

• 加速するとエミッタンスは小さくなる。• 円形加速器では加速器特有のα,β関数があり、ビーム形状と一致している場合、ビーム分布は不変。

• ビームの周回に対する不変量、加速器特有のα,β関数。