ベクトル解析

10. ストークスの定理

1 ストークスの定理 –1–

S: C2 級の曲面n : S 上の正の向きの単位法線ベクトルC: Sの境界互いに交わらない有限個の C1 級の単一閉曲線からなるC の正の向きは, それにそってC 上を進むときS の表側が左側に見えるように定める

a : Sを含む開集合で C1 級とするベクトル場

このとき、次の式が成り立つ （ストークスの定理）∫C

a · dr =

∫∫S

(rota)n dS

証明 –2–

曲面 S を次のような小曲面 S1, S2, ..., Sm に分割する:

D は uv 平面内の A(0, 1), B(0, 0), C(1, 0) を頂点とする三角形の内部各Siは次のパラメタパラメーター表示をもつ：

Si : r = ri(u, v) ((u, v) ∈ D)

このような三角形分割はつねに可能だが、証明は難しいので省略。ストークスの定理を各Siについて証明すれば十分である:∫

C ′a · dr =

∫∫Si

(rota)n dS

単位法線ベクトル –3–

n =1∣∣∣∣∂r∂u × ∂r

∂v

∣∣∣∣∂r

∂u× ∂r

∂v

∂r

∂u× ∂r

∂v=

(∂x

∂u,∂y

∂u,∂z

∂u

)×

(∂x

∂v,∂y

∂v,∂z

∂v

)=

(∂y

∂u

∂z

∂v− ∂z

∂u

∂y

∂v,∂z

∂u

∂x

∂v− ∂x

∂u

∂z

∂v,∂x

∂u

∂y

∂v− ∂y

∂u

∂x

∂v

)=

(∂(y, z)

∂(u, v),∂(z, x)

∂(u, v),∂(x, y)

∂(u, v)

)

dS =

∣∣∣∣∂r∂u × ∂r

∂v

∣∣∣∣dudvであったので、外積の長さの部分はキャンセルする

a = (a(x, y, z), 0, 0) の場合に示す –4–

a = (0, b(x, y, z), 0),a = (0, 0, c(x, y, z))の場合も同様。

rota =

(0,∂a

∂z,−∂a

∂y

)なので ∣∣∣∣∂r∂u × ∂r

∂v

∣∣∣∣ (rota)n =∂a

∂z· ∂(z, x)∂(u, v)

− ∂a

∂y· ∂(x, y)∂(u, v)

したがって∫Si

(rota)n dS =

∫D

{∂a

∂z· ∂(z, x)∂(u, v)

− ∂a

∂y· ∂(x, y)∂(u, v)

}dudv

ここで面積分を計算する時はa(r(u, v)) = a(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

と u, v の関数に引き戻して考えている.

合成関数の微分法則 –5–

∂a

∂u=

∂x

∂u

∂a

∂x+

∂y

∂u

∂a

∂y+

∂z

∂u

∂a

∂z∂a

∂v=

∂x

∂v

∂a

∂x+

∂y

∂v

∂a

∂y+

∂z

∂v

∂a

∂z

の第一式に ∂x

∂vを、第二式に ∂x

∂uをかけて差をとると

∂a

∂u

∂x

∂v− ∂a

∂v

∂x

∂u=

∂a

∂y

(∂y

∂u

∂x

∂v− ∂y

∂v

∂x

∂u

)+

∂a

∂z

(∂z

∂u

∂x

∂v− ∂z

∂v

∂x

∂u

)= −∂a

∂y· ∂(x, y)∂(u, v)

+∂a

∂z· ∂(z, x)∂(u, v)

したがって∫Si

(rota)n dS =

∫∫D

{∂a

∂u

∂x

∂v− ∂a

∂v

∂x

∂u

}dudv

D は 三角形 A(0, 1), B(0, 0), C(1, 0) の内部だった –6–

D = {(u, v) | 0 ≦ u ≦ 1− v, 0 ≦ v ≦ 1}= {(u, v) | 0 ≦ v ≦ 1− u, 0 ≦ u ≦ 1}

したがって∫∫D

{∂a

∂u

∂x

∂v− ∂a

∂v

∂x

∂u

}dudv =

∫∫D

∂a

∂u

∂x

∂vdudv −

∫∫D

∂a

∂v

∂x

∂ududv

=

∫ 1

0

{∫ 1−v

0

∂a

∂u

∂x

∂vdu

}dv −

∫ 1

0

{∫ 1−u

0

∂a

∂v

∂x

∂udv

}du

部分積分を行なうと∫ 1−v

0

∂a

∂u

∂x

∂vdu =

[a∂x

∂v

]u=1−v

u=0

−∫ 1−v

0

a∂2x

∂u∂vdu

∫ 1−u

0

∂a

∂v

∂x

∂udv =

[a∂x

∂u

]v=1−u

v=0

−∫ 1−u

0

a∂2x

∂u∂vdu

したがって　 –7–∫Si

(rota)n dS =

∫ 1

0

{[a∂x

∂v

]u=1−v

u=0

}dv −

∫ 1

0

{[a∂x

∂u

]v=1−u

v=0

}du

=

∫ 1

0

{a(1− v, v)

∂x

∂v(1− v, v)− a(0, v)

∂x

∂v(0, v)

}dv

−∫ 1

0

{a(u, 1− u)

∂x

∂v(u, 1− u)− a(u, 0)

∂x

∂v(u, 0)

}du

次に線積分∫C ′a · drを考える

C ′は三角形ABCの像である。 BC, CA, ABの像をそれぞれC1, C2, C3

とおく. B(0, 0), C(1, 0), A(1, 0) である

線積分を順に考える –8–∫C ′a · dr =

∫C1

a · dr +

∫C2

a · dr +

∫C3

a · dr

ここでa = (a(u, v), 0, 0), r = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) とC1: (u, 0), 0 ≦ u ≦ 1

−C2: (u, 1− u), 0 ≦ u ≦ 1

−C3: (0, v), 0 ≦ v ≦ 1に注意すると∫

C1

a · dr =

∫ 1

0

a(u, 0)∂x

∂u(u, 0) du∫

C2

a · dr =

∫ 0

1

a(u, 1− u)dx

du(u, 1− u) du

= −∫ 1

0

a(u, 1− u)

(∂x

∂u(u, 1− u)− ∂x

∂v(u, 1− u)

)du∫

C3

a · dr = −∫ 1

0

a(0, v)∂x

∂v(0, v) dv

ここで、前に計算した –9–∫Si

(rota)n dS =

∫ 1

0

{a(1− v, v)

∂x

∂v(1− v, v)− a(0, v)

∂x

∂v(0, v)

}dv

−∫ 1

0

{a(u, 1− u)

∂x

∂v(u, 1− u)− a(u, 0)

∂x

∂v(u, 0)

}du

と比較すれば ∫Si

(rota)n dS =

∫C ′a · dr

を得る。同様にして a = (0, b(x, y, z), 0),a = (0, 0, c(x, y, z)) の場合にも証明することでストークスの定理を得る。 [証明終]

ストークスの定理を用いれば 閉曲線上の線積分をそれを周にもつ曲面上の面積分に直すことができる.

グリーンの定理 –10–

ストークスの定理の特別な場合として、曲面が xy 平面内にあるときグリーンの定理が成り立つ.

定理　D をxy平面の有界な領域で,その境界 C は互いに交わらない有限個の区分的にC1級の単一閉曲線からなっているとする.

そのとき D を含む開集合でC1 級の関数f (x, y), g(x, y)に対して∫∫D

(∂g

∂x− ∂f

∂y

)dxdy =

∫C

f dx + g dy

が成り立つ. ここで, C には D に対して正の向き (D の内部が左手になるように進む向き)をつけておくものとする.

証 明 –11–

曲面Sとしてxy平面内の領域 D をとり S 上の正の方向の単位法線ベクトルとして, n = (0, 0, 1) をとる.

a = (f (x, y), g(x, y), 0)

とおく. ストークスの定理より∫S

(rota)n dS =

∫C

a · dr

であるが

rota =

(−∂g

∂z,∂f

∂z,∂g

∂x− ∂f

∂y

)=

(0, 0,

∂g

∂x− ∂f

∂y

)より,

(rota)n =∂g

∂x− ∂f

∂y

S は xy 平面内にあるので r = (x, y, 0) である –11–

したがって ∫S

(rota)n dS =

∫S

(∂g

∂x− ∂f

∂y

)dxdy

また ∫C

a · dr =

∫C

f dx + g dy

よりグリーンの定理を得る.　 [証明終]

問題1 –13–

任意の単一閉曲線C に対して，∫C

xdx + ydy + zdz = 0

を示せ.

[解] C を境界とする曲面をS とする. a = (x, y, z) とおくとrota = 0

であるから，ストークスの定理により∫C

xdx + ydy + zdz =

∫C

a · dr =

∫∫S

(rota)ndS = 0

問題2 –14–

ストークスの定理を用いて，線積分∫C

x5dx + x3dy + z6dz

を求めよ. ただしC は円柱x2 + y2 = 1 と平面 3x + 2y + z = 2との交線であり， Cには図のようにxy平面の反時計まわりに対応する向きをつけてある.

[解]

D = {(x, y) |x2 + y2 ≦ 1}として，曲面 S は

S : r = (x, y, 2− 3x− 2y), (x, y) ∈ D

で a = (x5, x3, z6)とするとrota = (0, 0, 3x2)

となる. ストークスの定理より∫C

a · dr =

∫∫S

(rota)ndS.

平面 3x + 2y + z = 2の正の向きの単位法線ベクトルn =

1√14(3, 2, 1)

となるから，(rota)n =

3√14x2

また dS =√

1 + (−3)2 + (−2)2 dxdy =√14 dxdy –16–

以上のデータをまとめて∫C

a · dr =

∫∫S

(rota)ndS

=

∫∫D

3√14x2√14 dxdy

=

∫∫D

3x2 dxdy

=

∫ 1

0

∫ 2π

0

3(r cos θ)2 r drdθ

=3

4π

(最後の二重積分は極座標に変換した）

問題　閉曲線Cに沿う線積分∫C

a · drを求めよ. –17–

(1) a = (z, 0, y), C : 3点 (0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)をこの順に結んでできる三角形の周.

(2) a = (y, 3z, 5x). C: 円柱x2 + y2 = 1 と平面 z = x+ 1の交線で向きは原点から見て時計まわり(3) a = (y, 2z,−y). C: 球面x2 + y2 + z2 = 6zと平面 z = x + 3との交線で向きは原点から見て時計まわり