fft fundamento

7/18/2019 Fft fundamento

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16-7-2015TRANSFORMADA RAPIDA DE

FOURIER

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA YTELECOMUNICACIONES

PROFESOR: ING.MIGUEL ANGEL PANDURO

CURSO: PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES I

ALUMNO: JHONATHAN SANCHEZ RAMIREZ



INDICE

1 RESUMEN

2 FUNDAMENTOS

2.1 ANALISIS DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO

2.2 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)

2.3 EJEMPLO DE LA DFT

3 DEDUCCIÓN DEL ALGORITMO FFT DE COOLEY – TUKEY

3.1 EJEMPLO DEL ALGORITMO FFT

4 FFT EN MATLAB

4.1 SINTAXIS4.2 DEFINICIONES4.3 DESCRIPCIÓN4.4 EJEMPLO

5 BIBLIOGRAFIA



PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER - 1 -

TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)

1. RESUMEN

La transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform FFT) es un algoritmo

extremadamente rápido para calcular la transformada discreta de Fourier (DiscreteFourier Transform DFT), ambos son métodos que en la práctica ejecuta uncomputador sobre datos discretos. A menudo cuando se presentan señales en eltiempo de larga duración, se hace inviable ejecutar la DFT, por esto fue necesaria lacreación de la FFT, originalmente descubierta por Gauss (1805), fue redescubierta porJ. W. Cooley y O. W. Tukey en IBM durante 1960, C.S. Burrus, de la Universidad deRice University siendo jefe del departamento de Ingeniería, literalmente "escribió ellibro" de los algoritmos de la rápida Transformada Discreta de Fourier DFT. Existendistintos métodos para calcular la FFT, en general los podemos dividir en 2 tipos:decimación en el t iempo , y diezmado en la frecuencia . El algoritmo busca reducir elnúmero de multiplicaciones efectuadas en la DFT, reduciendo el número de cálculospara N datos de 2N2 a 2N·log2N, donde N debe ser una potencia de 2.Usualmente la

presentación del algoritmo FFT se realiza de forma polinomial pero también puede serpresentado de forma matricial. La FFT explota las simetrías en la matriz W (ec.2.7)para aproximarse a una matriz diagonal. En la actualidad existen algoritmos aun máseficientes de calcular la DFT que inclusive el algoritmo FFT de Cooley y Tukey.

2. FUNDAMENTO:

2.1 ANALISÍS DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO:

Una señal discreta [ ] x n será periódica si se cumple: [ ] [ ] x n x n N en donde N ,

periodo fundamental, es un entero mínimo. La exponencial compleja

2N j ne es un

ejemplo de función periódica discreta.

El análisis de Fourier en tiempo discreto es similar a su análogo en tiempo continuo,pero una de las grandes diferencias que presenta en que las series ahora nopresentaran infinitos términos sino que estarán determinados por el número delperiodo N .

Una señal periódica puede representarse en términos de exponenciales complejas dela forma:

22

1

2 1[ ] ( )N

N jk n

k

k N x n a e con N N N (2.1)

Esta es la representación de una serie de Fourier de una señal discreta periódica; para

hallar el k-ésimo coeficiente ak multipliquemos por

2

N jr n

e ambos miembros en (2.1):

2

2 2 2

1

[ ]N N N

N jr n jr n jk n

k

k N

e x n a e e





-N 1 n

-N 1

x p[n]

n

x[n]

N 2

N 2

Puesto que x[n] es periódica da lo mismo que 1 2[ ,n N N o [0,n N . Ahora

tomando sumatoria para 0 n N :

2 2 2 21 1 1 1 1

( )

0 0 0 0 0

[ ]N N N N

N N N N N jr n jr n jk n j r k n

k k n n k k n

e x n a e e a e (*)

Pero veamos que:

Entonces en (*):

2 21 1 1

( )

0 0 0[ ]N N

N N N jr n j r k n

k r

n k ne x n a e a N

Luego:

2

1

0

1[ ]N

N jk n

k

n

a e x nN

(2.2)

Esta última se llama ecu ación de anális is , es aplicable solo a una función periódicapara obtener su serie discreta de Fourier (SDF). Veamos ahora que en analogía a lavariable continua nuestros resultados se pueden extender para hallar la SDF deseñales de duración finita como se ve en la figura:

(a)

(b)

FIGURA 1:





Ahora, sea x[n] una señal aperiódica de duración N podemos construir una señal

periódica x p[n] de periodo N tal que:

1 2

2 1

[ ] ;[ ]

0 ;

p x n N n N x n

N n y n N (**)

Entonces podemos hallar la representación de la SDF de x p[n] sobre 1 2

N n N en

donde se debe cumplir que:

2110

[ ]N jk nN

k n pN a e x n

Ahora para que x p[n] se acerque mas a x[n] podemos hacer que el periodo sea más

grande, es decir que en la figura.1.b los ciclos de x p[n] estarán cada vez más alejados

y como 1 2[ ] 0 x n n fuera de N n N , podemos escribir:

2

1 [ ]N jk nk

n

a e x nN

(2.3)

Definamos la función:

( ) [ ] j j n

n X e x n e ,

Entonces en (2.3) vemos que:

1 ( )o j k

k N a X e , con

2

o N

De lo cual llegamos a:

( ) [ ]o o j k jk n

n

X e x n e (2.4)

Esta expresión se conoce como la t ransform ada de Fourier en t iempo disc reto . A

partir de (2.1) se observa que x[n] se puede expresar también como:

1

[ ] ( )o o j k jk n

k

x n X e eN

(2.5)

Como

( )o j k X e es periódica podemos coger el intervalo de la sumatoria de 0 a N-1, luego:

1 1

0 0

1[ ] ( ) ( ) [ ]o o o o

N N j k jk n j k jk n

k n

x n X e e X e x n eN

(2.6)





2.2 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT):Con el resultado de (2.6) podemos intentar calcular la transformada para un conjunto

de N datos, por simplicidad hagamos

( ) ( )o j k X e X k

Y

2

o N

N

jk n j k kne e w , desarrollando:

2

2

2

(0 )1

0

(1)1 1·0 1·1 1·( 1)

0

( 1)1 ( 1)0 ( 1)1 ( 1)( 1)

0

(0) [ ] (1 1 1)

(1) [ ] ( )

( 1) [ ] ( )

N

N

N N N

N

N N N

j nN

n

j nN N

n

j N nN N N N N

n

X e x n

X e x n w w w

X N e x n w w w

Puede ser expresado de forma matricial como:

(1)(1) (1)( 1)

( 1)(1) ( 1)( 1)

1 1 1(0) [0]

1(1) [1]

( 1) 1 [ 1]

N N

N N

N

N N N

X x

w w X x

X N w w x N

(2.7)

Equivalente a:

X W x donde W es denominada matriz de Fourier . Un hecho muyimportante y evidente es que W es una matriz simétrica. Ahora veamos algunos casos prácticos en donde se usa la DFT:

2 3 EJEMPLOS DE LA DFT

a.- Ejecutemos la DFT para el siguiente caso (N =4) por el método ordinario:

Calculando los valores de

24

( )( )

j knkn kn

N w e j :

nk

0 1 2 3

0 e0·0 =1 e0·1=1 e0·2 =1 e0·3=1

1 e1·0 =1 -j -1 j

2 e2·0 =1 -1 1 -1

3 e3·0 =1 j -1 -j

Entonces de la formula (2.7):

1 1 1 1 1 (0) 10

1 1 2 (1) 2 2

1 1 1 1 3 (2) 2

1 1 4 (3) 2 2

X

j j X j

X

j j X j

(2.8.1)

n 0 1 2 3x[n ] 1 2 3 4





b.- Veamos ahora el caso para n=8:

Procediendo como en el caso anterior encontramos ahora que:

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

j j j j j j

j j j j

j j j j j j W

j j j j j j

j j j j

j j j j j j

(2.8.2)

Entonces ejecutando W x X , obtenemos:

k 0 1 2 3 4 5 6 7

X(k) 36 -4 -j9.65 -4 -j4 -4 -j1.65 -4 -4+j1.65 -4 +j4 -4+j9.65

(*)O SERV CIÓN:

Veamos que en la ec. (2.8.1) pudimos haber realizado la siguientefactorización:

Observemos que:

24

4 ( ) j nk nk nk w e j

Entonces:

3

0 4( ) [ ] nk

n X k x n w

Desarrollando:

2 3( ) [0] [1]( ) [2]( ) [3]( )k k k X k x x j x j x j

[0] [1]( ) [2]( 1) [3]( )k k k x x j x x j

Reordenando: ( ) ( [0] [2]( 1) ) ( [1] [3]( 1) )( )k k k

X k x x x x j (*.1) ( [2·0] [2·1]( 1) ) ( [2·0 1] [2·1 1]( 1) )( )k k k x x x x j

Y sea ahora: [ ] [2 ] , [ ] [2 1] ; 0,1 par ipm x r x r x r x r r

Y además como el valor de (-1)k solo depende de si k es par o impar, podemos

hacer que:

( ) ( [0] [1]( 1) )r

par par par X r x x , y ( ) ( [0] [1]( 1) )r

ipm ipm ipm X r x x .

n 0 1 2 3 4 5 6 7x[n] 1 2 3 4 5 6 7 8





Entonces para visualizar esto mejor desarrollemos (*.1) para este caso:

(0) ( [0] [2](1) ) ( [1] [3](1) )(1)

(1) ( [0] [2]( 1)) ( [1] [3]( 1) )( )

(2) ( [0] [2](1) ) ( [1] [3](1) )( 1)

(3) ( [0] [2]( 1) ) ( [1] [3]( 1))( )

X x x x x

X x x x x j

X x x x x

X x x x x j

(*.2)

En donde x[0]=1, x[1]=2, x[2]=3, x[3]=4, entonces (0) 4 ; (1) 2 par par

X X

y (0) 6 ; ( 2)ipm ipm

X X , entonces:

(0) (0) (0)(1) 10

(1) (1) (1)( ) 2 2

(2) (0) (0)( 1) 2

(3) (1) (1)(1) 2 2

par ipm

par ipm

par ipm

par ipm

X X X

X X X j j

X X X

X X X j

(*.3)

Que es el mismo resultado que obtuvimos anteriormente, pero ahora senecesitaron efectuar menos multiplicaciones. La ec. (*.3) nos invita a hacer elsiguiente diagrama de desarrollo:

x[0] Xpar (0) X(0)

x[2] Xpar (1) X(1)

x[1] Ximp(0) X(2)

x[3] Ximp(1) X(3)

FIGURA 2

En la ecuación (2.7) y de los ejemplos a y b notamos que el número de

multiplicaciones complejas a ejecutar es N 2 (sin considerar el hecho que 0

1N

w ). El

método matricial que hemos visto en la práctica es ejecutado por un computador; sinembargo cuando N es muy grande como en señales de video y audio digitales

610N y se debe realizar 1012 multiplicaciones aproximadamente, entonces loscálculos resultaran muy tediosos, ocuparían mucha memoria y además tomaranmucho tiempo.

Esto último fue la motivación para desarrollar un método más directo para calcular laDFT, el algoritmo de la transformada rápida de Fourier FFT, el cual acabamos deintroducir implícitamente en la observación anterior.





3. DEDUCCIÓN DEL ALGORITMO FFT DE COOLEY – TUKEY:Partimos de la DFT para una señal dada polinomialmente como:

1

·

0

( ) [ ]N

k n

N

n

X k x n w (3.1)

Ahora asumiendo que el número de datos N es par, descomponemos la sumatoria ensus términos pares e impares:

/ 2 1 / 2 1

·2 ·(2 1)

0 0

( ) [2 ] [2 1]N N

k n k n

N N

n n

X k x n w x n w

/ 2 1 / 2 1

·2 ·2

0 0

[2 ] [2 1]N N

k n k k n

N N N

n n

x n w w x n w

Sea ahora: [2 ] [ ] [2 1] [ ] x n f n y x n g n donde el nuevo [0, / 2 1]n N ,

notemos que podemos hacer que:

2 2

/ 2·2 ··2

/ 2

N N j k n j k nk n kn

N N w e e w

Y definamos a:

/ 2 1 / 2 1

· ·

/ 2 / 2

0 0

( ) [ ] ( ) [ ]N N

k n k n

N N

n n

F k f n w G k g n w (3.2)

Además veamos que F (k) y G (k) son también periódicas:

2

/ 2

/ 2 1 / 2 1( / 2 )·( / 2)· ·

/ 2 / 20 0

( / 2) [ ] [ ] ( )N

N N j N nk N n k n

N N n n

F k N f n w f n w e F k

Análogamente para G (k); con N/2 como periodo mínimo. Entonces nuestro problema

de calcular una DFT para N datos se redujo ahora a calcular 2 DFT para N/2 datos

cada una. Nuevamente asumamos que N/2 es par y ahora, para F (k):

/ 2 1 / 4 1 / 4 1

· ·2 ·(2 1)

/ 2 / 2 / 20 0 0

( ) [ ] [2 ] [2 1]N N N

k n k n k n

N N N

n n n

F k f n w f n w f n w

/ 2 1 / 4 1 / 4 1

· ·2 ·2

/ 2 / 2 / 2 / 2

0 0 0

[ ] [ ] [ ] [0, / 4 1]N N N

k n k n k k n

N f N N f N n n n

f n w f n w w g n w n N

Donde f f , g f son lo mismo para f [n] que para x[n].

De igual forma para g[n]:

/ 4 1 / 4 1

·2 ·(2 1)

/ 2 / 20 0

( ) [2 ] [2 1]N N

k n k n

N N n n

G k g n w g n w





/ 4 1 / 4 1

·2 ·2

/ 2 / 2 / 2

0 0

[ ] [ ] [0, / 4 1]N N

k n k k n

g N N f N n n

f n w w g n w n N

Es decir que ahora sobre f[n] y g[n] se realizan 4 DFT de longitud N/4. Entonces

podríamos hacer múltiples divisiones del intervalo [0,N -1] mientras se pueda dividir N

entre 2.

Ahora estamos listos para generalizar el método, entonces:

Sea x un vector de datos, de longitud N =2m. Entonces sobre el intervalo [0,N -1] se

pueden realizar m particiones como se mostró anteriormente hasta llegar a una DFTde longitud 2 ,esta es la unidad básica del FFT conocida como mariposa (o butterflyen ingles) en donde solo se necesitara una multiplicación y 2 sumas complejas: como

se muestra en la figura:

Figura 3: Los elementos computacionales básicos de la transformada rápida de Fourier es la

mariposa. Toma dos números complejos, representados por a y b, y forma las cantidadesmostradas. Cada mariposa requiere una multiplicación compleja y dos sumas complejas.

3.1

EJEMPLO DEL ALGORITMO FFT

Para especificar la idea realicemos nuevamente el ejemplo b, para N=23 por elalgoritmo FFT:

Desarrollando:

7 ·

0 8( ) [ ] k n

n X k x n w (3.1.1)

0 2 3 4 5 6 7

8 8 8 8 8 8 8 8[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]k k k k k k k k x w x w x w x w x w x w x w x w

Donde se cumple para w :

2 28 4

2 228 84

2 · ·2 · ·

8 4

( 2 1)· ·(2 1)· ·

8 4 8

j n k j n k n k n k

j n k j k j n k n k n k k

w e e w

w e e e w w

Agrupando términos pares con impares:

0 2 3

4 4 4 4( ) ( [0] [2] [4] [6] )k k k k

X k x w x w x w x w

0 2 3

4 4 4 4 8( [1] [3] [5] [7] )k k k k k x w x w x w x w w





Tomamos: [2 ] [ ] [2 1] [ ] , 0,1,2,3 x r f r y x r g r r luego:

0 2 3

4 4 4 4( ) ( [0] [1] [2] [3] )k k k k X k f w f w f w f w

0 2 3

4 4 4 4 8( [0] [1] [2] [3] )k k k k k g w g w g w g w w (3.1.2)

Pero dentro de cada paréntesis de (3.1.2) podemos realizar una nueva factorización,sabiendo que:

2 24 2

2 2 24 2 4

2 · ·2 · ·

4 2

(2 1)· ·(2 1)· ·

4 2 4

j n k j n k n k n k

j n k j n k j k n k n k k

w e e w

w e e e w w

Entonces: 2 2

4 4 4( ) ( [0] [2] ) ( [1] [3] )k k k X k f f w f f w w

2 2

4 4 4 8( [0] [2] ) ( [1] [3] )k k k k g g w g g w w w

Nuevamente: [2 ] [ ] [2 1] [ ] , 0,1f g f s f s y f s f s s

Luego:

2 2 4( ) ( [0] [1] ) ( [0] [1] )k k k

f f g g X k f f w f f w w

2 2 4 8( [0] [1] ) ( [0] [1] )k k k k

f f g g g g w g g w w w (***)

Remplazando los índices iniciales:

2( ) ( [0] [4] ) ( [2] [6] )

j k j k j k X k x x e x x e e

2 4( [1] [5] ) ( [3] [7] )

j k j k j k j k x x e x x e e e

=> ( ) ( [0] [4]( 1) ) ( [2] [6]( 1) )( )k k k X k x x x x j

4( [1] [5]( 1) ) ( [3] [7]( 1) )( ) j k k k k x x x x j e (3.1.3)

Esta es la forma general de se obtiene k-ésimo termino para N=8, además vemos quese deberán ejecutar 4 DFT de longitud 2, y los resultados que se obtengan se usaranpara ejecutar 2 DFT de longitud 4, para lo cual se realizo 3 particiones. Para interpretarlo que indica la ec. (3.1.3) veamos la figura 4, donde cada flecha en diagonalrepresenta una suma y las acompañan sus factores multiplicativos:





FIGURA 4

El número total de cálculos que se realizara serán N =8 sumas para cada etapa ylog2N =3 etapas, haciendo el número de procesos básicos de (8)(3)=N log 2 N .

En general se cumple que para la FFT el número de cálculos es: N log 2 N .Comparando con la DFT de N 2 cálculos. Para cuantificar la diferencia veamos la

siguiente tabla para distintos valores de N :

N 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024N 2 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576

Nlog 2 N 2 8 24 64 160 384 896 2048 4608 10240

El número de cálculos es directamente proporcional al tiempo de solución:

FIGURA 5: Esta figura muestra que tan lento creceel tiempo de solución de un proceso de Nlog2N.





Esta diferencia en la rapidez de cálculos de la FFT + computación digital fuecompletamente responsable de la "explosión" del Procesamiento Digital de SeñalesDSP en los años 60's.

4. FFT EN MATLABPara terminar hay que mencionar que el algoritmo FFT se encuentra implementado enmuchos programas de computación. Veamos las instrucciones que se usan enMATLAB.

4.1 Sintaxis

Y = fft (x)Y = fft(X, n)Y = fft(X, [], dim)Y = fft(X, n, dim)

4.2 Definiciones

Las funciones Y = fft(x), y = ifft(X) implementan el par transformar y transformadainversa dado para vectores de longitud N por:

Dónde:

Es un N º raíz de la unidad.

4.3 Descripción

Y = fft(x) Y = fft(x) devuelve el discreto Transformada de Fourier (DFT) de vector x,calculado con una transformación (FFT) algoritmo de Fourier rápida.Si la entrada X es una matriz, Y = fft(X) devuelve la transformada de Fourier de cadacolumna de la matriz.Si la entrada X es una matriz multidimensional, fft opera en la primera dimensión másde un elemento.

Y= fft(X, n), Y = fft(X, n) devuelve el n -point DFT. Fft(X) es equivalente a fft(X, n)donde n es el tamaño de X en la primera dimensión más de un elemento.Si la longitud de X es menor que n, X se rellena con ceros a la longitud n.Si la longitud de X es mayor que n, la secuencia X se trunca. Cuando X es una matriz,la longitud de las columnas se ajustan de la misma manera.





Y = fft(X, [], dim) Y = fft(X, [], dim), Y = fft(X, n, dim) se aplica la operación FFT travésde la dimensión dim.

4.4 EJEMPLO

Ejecutar el ejemplo a y b:

A.-Para n=22, x= (1, 2, 3,4):

>> x=1:1:4

x =

1 2 3 4

>> y=fft(x)'

y =

10.0000

-2.0000 - 2.0000i

-2.0000-2.0000 + 2.0000i

B.-Para n=23, x= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8)

>> x=1:1:8

x =

1 2 3 4 5 6 7 8

>> y=fft(x)'

y =

36.0000

-4.0000 - 9.6569i

-4.0000 - 4.0000i

-4.0000 - 1.6569i

-4.0000

-4.0000 + 1.6569i

-4.0000 + 4.0000i

-4.0000 + 9.6569i





5. BIBLIOGRAFIA

OPPENHEIM, Alan V., WILLSKY, Alan S. y NAWAB, S. Hamid. Señales y

Sistemas. 2da. Edición, Prentice Hall, 1998.

ROBERTS, Michael J. Señales y Sistemas: Análisis mediante métodos de

transformada y MATLAB. 1ra. Edición, Mc Graw Hill, 2004. PROAKIS, John G. y MANOLAKIS, Dimitris G. Tratamiento Digital de

Señales. 4ta Edición. Prentice Hall, 2007.

Referencias en Internet: http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html https://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey_FFT_algorithm

http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html


https://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey_FFT_algorithm




fft fundamento

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x n x n n

n n nnjr n jr n jk nkk

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analisis de fourier