Exercices : Martine Quinio

Exo7

Variables alatoires discrtes

Exercice 1Une entreprise pharmaceutique dcide de faire des conomies sur les tarifs daffranchissements des courrierspublicitaires envoyer aux clients. Pour cela, elle dcide daffranchir, au hasard, une proportion de 3 lettres sur5 au tarif urgent, les autres au tarif normal.

1. Quatre lettres sont envoyes dans un cabinet mdical de quatre mdecins : quelle est la probabilit desvnements :A : Au moins lun dentre eux reoit une lettre au tarif urgent.B : Exactement 2 mdecins sur les quatre reoivent une lettre au tarif urgent.

2. Soit X la variable alatoire : nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 10 lettres : Quelle estla loi de probabilit de X , quelle est son esprance, quelle est sa variance ?

Correction H [006005]

Exercice 2On prend au hasard, en mme temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont dfectueuses. Calculer laprobabilit des vnements :A : au moins une ampoule est dfectueuse ;B : les 3 ampoules sont dfectueuses ;C : exactement une ampoule est dfectueuse.Correction H [006006]

Exercice 3Un avion peut accueillir 20 personnes ; des statistiques montrent que 25% clients ayant rserv ne viennent pas.Soit X la variable alatoire : nombre de clients qui viennent aprs rservation parmi 20. Quelle est la loi deX ? (on ne donnera que la forme gnrale) quelle est son esprance, son cart-type ? Quelle est la probabilitpour que X soit gal 15 ?Correction H [006007]

Exercice 4Loral dun concours comporte au total 100 sujets ; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors lesujet trait parmi ces trois sujets. Un candidat se prsente en ayant rvis 60 sujets sur les 100.

1. Quelle est la probabilit pour que le candidat ait rvis :

(a) les trois sujets tirs ;

(b) exactement deux sujets sur les trois sujets ;

(c) aucun des trois sujets.

2. Dfinir une variable alatoire associe ce problme et donner sa loi de probabilit, son esprance.

Correction H [006008]

Exercice 5Un candidat se prsente un concours o, cette fois, les 20 questions sont donnes sous forme de QCM. Achaque question, sont proposes 4 rponses, une seule tant exacte. Lexaminateur fait le compte des rponses

1

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exactes donnes par les candidats. Certains candidats rpondent au hasard chaque question ; pour ceux-la,dfinir une variable alatoire associe ce problme et donner sa loi de probabilit, son esprance.Correction H [006009]

Exercice 6Dans une poste dun petit village, on remarque quentre 10 heures et 11 heures, la probabilit pour que deuxpersonnes entrent durant la mme minute est considre comme nulle et que larrive des personnes est ind-pendante de la minute considre. On a observ que la probabilit pour quune personne se prsente entre laminute n et la minute n+1 est : p = 0.1. On veut calculer la probabilit pour que : 3,4,5,6,7,8... personnes seprsentent au guichet entre 10h et 11h.

1. Dfinir une variable alatoire adapte, puis rpondre au problme considr.

2. Quelle est la probabilit pour que au moins 10 personnes se prsentent au guichet entre 10h et 11h ?

Correction H [006010]

Exercice 7Si dans une population une personne sur cent est un centenaire, quelle est la probabilit de trouver au moins uncentenaire parmi 100 personnes choisies au hasard ? Et parmi 200 personnes ?Correction H [006011]

Exercice 8Un industriel doit vrifier ltat de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas chant. Daprsdes statistiques prcdentes, il value 30% la probabilit pour une machine de tomber en panne en 5 ans ;parmi ces dernires, la probabilit de devenir hors dusage suite une panne plus grave est value 75% ;cette probabilit est de 40% pour une machine nayant jamais eu de panne.

1. Quelle est la probabilit pour une machine donne de plus de cinq ans dtre hors dusage ?

2. Quelle est la probabilit pour une machine hors dusage de navoir jamais eu de panne auparavant ?

3. Soit X la variable alatoire nombre de machines qui tombent en panne au bout de 5 ans, parmi 10machines choisies au hasard. Quelle est la loi de probabilit de X , (on donnera le type de loi et lesformules de calcul), son esprance, sa variance et son cart-type ?

4. Calculer P[X = 5].

Correction H [006012]

Exercice 9Une population comporte en moyenne une personne mesurant plus de 1m90 sur 80 personnes. Sur 100 per-sonnes, calculer la probabilit quil y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m (utiliser une loi dePoisson). Sur 300 personnes, calculer la probabilit quil y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m.Correction H [006013]

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Correction de lexercice 1 N

1. On utilise une loi binomiale, loi de la variable alatoire : nombre de lettres affranchies au tarif urgentparmi 4 lettres n = 5, p = 35 . On obtient P(A) = 1 (

25)

4 = 0.9744, P(B) =(4

2

)(25)

2(35)2 = 0.3456.

2. La loi de probabilit de X est une loi binomiale, loi de la variable alatoire : nombre de lettres affranchiesau tarif urgent parmi 10 lettres. n = 10, p = 35 , son esprance est np = 6, sa variance est np(1 p) =

125 .

Correction de lexercice 2 NOn utilise une loi hypergomtrique

P(A) = 1 (103 )

(153 )= 0.73626

P(B) = (53)

(153 )= 2.1978102

P(C) = (51)(

102 )

(153 )= 0.49451

Correction de lexercice 3 NSoit X la variable alatoire nombre de clients qui viennent aprs rservation parmi 20. La loi de X est uneloi binomiale de paramtres n = 20, p = 0.75. Son esprance est np = 15, son cart-type est

np(1 p) =

15 0.25. La probabilit pour que X soit gal 15 est(20

15

)0.75150.255 = 0.20233.

Correction de lexercice 4 NLa variable alatoire associe ce problme est X nombre de sujets rviss parmi les 3 ; son support estlensemble {0,1,2,3}. La loi de X est une loi hypergomtrique puisque lvnement [X = k], pour k comprisentre 0 et 3, se produit si le candidat tire k sujet(s) parmi les 60 rviss, et 3k sujets parmi les 40 non rviss.Alors :

1. Les trois sujets tirs ont t rviss : P[X = 3] = (603 )

(1003 ).

2. Deux des trois sujets tirs ont t rviss : P[X = 2] = (602 ).(

401 )

(1003 ).

3. Aucun des trois sujets : P[X = 0] = (403 )

(1003 ).

La loi de probabilit de X est donne sur le support {0,1,2,3} par :

P[X = k] =

(60k

).( 40

3k)(100

3

)Rsultats numriques :k = 0 : P[X = 0] ' 6.110102k = 1 : P[X = 1]' 0.289k = 2 : P[X = 2]' 0.438k = 3 : P[X = 3]' 0.212Lesprance est E(X) = 1.8 (selon la formule E(X) = np).

Correction de lexercice 5 NPuisque les rponses sont donnes au hasard, chaque grille-rponses est en fait la rptition indpendante de20 preuves alatoires (il y a 420 grilles-rponses). Pour chaque question la probabilit de succs est de 14 etlexaminateur fait le compte des succs : la variable alatoire X , nombre de bonnes rponses, obit une loibinomiale donc on a directement les rsultats. Pour toute valeur de k comprise entre 0 et 20 : P[X = k] =Ck20(

14)

k(1 14)20k, ce qui donne la loi de cette variable alatoire.

Quelle est lesprance dun candidat fumiste ? Cest E(X) = np = 5

3

Correction de lexercice 6 NUne variable alatoire adapte ce problme est le nombre X de personnes se prsentant au guichet entre10h et 11h. Compte tenu des hypothses, on partage lheure en 60 minutes. Alors X suit une loi binomiale deparamtres n = 60 et p = 0.1. On est dans le cas de processus poissonnien : on peut approcher la loi de X parla loi de Poisson de paramtre = 600.1 = 6. Lesprance de X est donc E(X) = 6 ;On peut alors calculer les probabilits demandes : P[X = k] = 6

ke6k! . Valeurs lues dans une table ou calcules :

P[X = 3]' 0.9%; P[X = 4]' 13.4%; P[X = 5] = P[X = 6]' 16.1%; P[X = 7] ' 13.8%;P[X = 8]' 10.3%.Remarque : de faon gnrale si le paramtre dune loi de Poisson est un entier K, on a : P[X = K 1] =KK1eK(K1)! =

KKeKK! = P[X = K] .

Calculons maintenant la probabilit pour que au moins 10 personnes se prsentent au guichet entre 10h et 11h :Cest P[X > 10] = 19k=0 6

ke6k! ' 8.39210

2.

Correction de lexercice 7 NLa probabilit p = 1100 tant faible, on peut appliquer la loi de Poisson desprance 100p = 1 au nombre X decentenaires pris parmi cent personnes. On cherche donc : P[X > 1] = 1P[X = 0] = 1 e1 ' 63%.Sur un groupe de 200 personnes : lesprance est 2 donc : P[X > 1] = 1 e2 ' 86%. La probabilit desvnements : [X = 1] et [X = 2] sont les mmes et valent : 0.14. Ainsi, sur 200 personnes, la probabilitde trouver exactement un centenaire vaut 0.14, gale la probabilit de trouver exactement deux centenaires.Cette valeur correspond au maximum de probabilit pour une loi de Poisson desprance 2 et se gnralise. SiX obeit une loi de Poisson desprance K, alors le maximum de probabilit est obtenu pour les vnements[X = K1] et [X = K].

Correction de lexercice 8 N

1. 30% est la probabilit de lvnement Panne, not Pa ; la probabilit pour une machine donne de plusde cinq ans, dtre hors dusage est P(HU) = P(HU/Pa)P(Pa)+P(HU/nonPa)P(nonPa) = 0.3 0.75+0.4 0.7 = 0.505.

2. La probabilit pour une machine hors dusage de navoir jamais eu de panne auparavant est P(nonPa/HU)=P(HU/nonPa)P(nonPa)/P(HU) = 0.4 0.7/0.505 = 0.55446.

3. La loi de probabilit de X est une loi binomiale, n = 10, p = 0.4, esprance 4.

4. P[X = 5] =(10

5

)(0.3)5(0.7)5 = 0.10292

Correction de lexercice 9 NLe nombre X de personnes mesurant plus de 1.90m parmi 100 obit une loi de Poisson de paramtre 10080 .La probabilit quil y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m est donc 1P[X = 0] = 1 e 10080 =1 e 54 = 0.71350.Sur 300 personnes : la probabilit quil y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m est donc 1P[Y =0] = 1 e 30080 = 0.97648.

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