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8/14/2019 filelanguage and automata 6

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C o n t e x t - F r e e G r a m m a r s

N o t a t i o n f o r r e c u r s i v e d e s c r i p t i o n o f l a n g u a g e s .

E x a m p l e :

R o l l ! R O L L C l a s s S t u d s = R O L L

C l a s s ! C L A S S T e x t = C L A S S

T e x t ! C h a r T e x t

T e x t ! C h a r

C h a r ! a o t h e r c h a r s

S t u d s ! S t u d S t u d s

S t u d s !

S t u d ! S T U D T e x t = S T U D

G e n e r a t e s d o c u m e n t s " s u c h a s :

R O L L C L A S S c s 1 5 4 C L A S S

S T U D S a l l y S T U D

S T U D F r e d S T U D

R O L L

V a r i a b l e s e . g . , S t u d s r e p r e s e n t s e t s o f s t r i n g s

i . e . , l a n g u a g e s .

3I n s e n s i b l e g r a m m a r s , t h e s e s t r i n g s s h a r e

s o m e c o m m o n c h a r a c t e r i s t i c o r r o l l .

T e r m i n a l s e . g . , a o r R O L L = s y m b o l s

o f w h i c h s t r i n g s a r e c o m p o s e d .

3 T a g s " l i k e R O L L c o u l d b e

c o n s i d e r e d e i t h e r a s i n g l e t e r m i n a l o r t h e

c o n c a t e n a t i o n o f 6 t e r m i n a l s .

P r o d u c t i o n s = r u l e s o f t h e f o r m H e a d !

B o d y

3 H e a d i s a v a r i a b l e .

3B o d y i s a s t r i n g o f z e r o o r m o r e v a r i a b l e s

a n d o r t e r m i n a l s .

S t a r t S y m b o l = v a r i a b l e t h a t r e p r e s e n t s t h e

l a n g u a g e . "

N o t a t i o n : G = V ; P ; S = v a r i a b l e s ,

t e r m i n a l s , p r o d u c t i o n s , s t a r t s y m b o l .

E x a m p l e

A s i m p l e r e x a m p l e g e n e r a t e s s t r i n g s o f 0 ' s a n d 1 ' s

s u c h t h a t e a c h b l o c k o f 0 ' s i s f o l l o w e d b y a t l e a s t

a s m a n y 1 ' s .

S ! A S

A ! 0 A 1 A 1 0 1

N o t e v e r t i c a l b a r s e p a r a t e s d i e r e n t b o d i e s f o r

t h e s a m e h e a d .

1


2/5

D e r i v a t i o n s

A w h e n e v e r t h e r e i s a p r o d u c t i o n

A !

3 S u b s c r i p t w i t h n a m e o f g r a m m a r , e . g . ,

G

, i f n e c e s s a r y .

3E x a m p l e : 0 1 1 A S 0 1 1 0 A 1 S

*

m e a n s s t r i n g c a n b e c o m e i n z e r o

o r m o r e d e r i v a t i o n s t e p s .

3 E x a m p l e s : 0 1 1 A S *

0 1 1 A S z e r o s t e p s ;

0 1 1 A S

*

0 1 1 0 A 1 S o n e s t e p ; 0 1 1 A S

*

0 1 1 0 0 1 1 t h r e e s t e p s .

L a n g u a g e o f a C F G

L G = s e t o f t e r m i n a l s t r i n g s w s u c h t h a t

S

*

G

w , w h e r e S i s t h e s t a r t s y m b o l .

A s i d e : N o t a t i o n

a ; b ; : : : a r e t e r m i n a l s ; : : : ; y ; z a r e s t r i n g s o f

t e r m i n a l s .

G r e e k l e t t e r s a r e s t r i n g s o f v a r i a b l e s a n d o r

t e r m i n a l s , o f t e n c a l l e d s e n t e n t i a l f o r m s

A ; B ; : : : a r e v a r i a b l e s .

: : : ; Y ; Z a r e v a r i a b l e s o r t e r m i n a l s .

S i s t y p i c a l l y t h e s t a r t s y m b o l .

L e f t m o s t R i g h t m o s t D e r i v a t i o n s

W e h a v e a c h o i c e o f v a r i a b l e t o r e p l a c e a t e a c h

s t e p .

3 D e r i v a t i o n s m a y a p p e a r d i e r e n t o n l y

b e c a u s e w e m a k e t h e s a m e r e p l a c e m e n t s

i n a d i e r e n t o r d e r .

3T o a v o i d s u c h d i e r e n c e s , w e m a y r e s t r i c t

t h e c h o i c e .

A l e f t m o s t d e r i v a t i o n a l w a y s r e p l a c e s t h e

l e f t m o s t v a r i a b l e i n a s e n t e n t i a l f o r m .

3 Y i e l d s l e f t - s e n t e n t i a l f o r m s

R i g h t m o s t d e n e d a n a l o g o u s l y .

l m

r m

, e t c . , u s e d t o i n d i c a t e d e r i v a t i o n s a r e

l e f t m o s t o r r i g h t m o s t .

2


3/5

E x a m p l e

S

l m

A S

l m

A 1 S

l m

0 1 1 S

l m

0 1 1 A S

l m

0 1 1 0 A 1 S

l m

0 1 1 0 0 1 1 S

l m

0 1 1 0 0 1 1

S

r m

A S

r m

A A S

r m

A A

r m

A 0 A 1

r m

A 0 0 1 1

r m

A 1 0 0 1 1

r m

0 1 1 0 0 1 1

D e r i v a t i o n T r e e s

N o d e s = v a r i a b l e s , t e r m i n a l s , o r

3 V a r i a b l e s a t i n t e r i o r n o d e s ; t e r m i n a l s a n d

a t l e a v e s .

3A l e a f c a n b e o n l y i f i t i s t h e o n l y c h i l d

o f i t s p a r e n t .

A n o d e a n d i t s c h i l d r e n f r o m t h e l e f t m u s t

f o r m t h e h e a d a n d b o d y o f a p r o d u c t i o n .

E x a m p l e

S

A S

A S

A 1

0 1 0 A 1

0 1

E q u i v a l e n c e o f P a r s e T r e e s , L e f t m o s t , a n d

R i g h t m o s t D e r i v a t i o n s

T h e f o l l o w i n g a b o u t a g r a m m a r G = V ; P ; S

a n d a t e r m i n a l s t r i n g w a r e a l l e q u i v a l e n t :

1 S

*

w i . e . , w i s i n L G

2 S

*

l m

w

3 S

*

r m

w

4 . T h e r e i s a p a r s e t r e e f o r G w i t h r o o t S a n d

y i e l d l a b e l s o f l e a v e s , f r o m t h e l e f t w

O b v i o u s l y 2 a n d 3 e a c h i m p l y 1 .

3


4/5

P a r s e T r e e I m p l i e s L M R M D e r i v a t i o n s

G e n e r a l i z e a l l s t a t e m e n t s t o t a l k a b o u t a n

a r b i t r a r y v a r i a b l e A i n p l a c e o f S

3 E x c e p t n o w 1 n o l o n g e r m e a n s w i s i n

L G

I n d u c t i o n o n t h e h e i g h t o f t h e p a r s e t r e e .

B a s i s : H e i g h t 1 : T r e e i s r o o t A a n d l e a v e s w =

a

1

a

2

; : : : ; a

k

A ! w m u s t b e a p r o d u c t i o n , s o A

l m

w a n d

A

r m

w

I n d u c t i o n : H e i g h t 1 . T r e e i s r o o t A w i t h

c h i l d r e n X

1

X

2

; : : : ; X

k

T h o s e X

i

' s t h a t a r e v a r i a b l e s a r e r o o t s o f

s h o r t e r t r e e s .

3T h u s , t h e I H s a y s t h a t t h e y h a v e L M

d e r i v a t i o n s o f t h e i r y i e l d s .

C o n s t r u c t a L M d e r i v a t i o n o f w f r o m A b y

s t a r t i n g w i t h A

l m

X

1

X

2

X

k

, t h e n

u s i n g L M d e r i v a t i o n s f r o m e a c h X

i

t h a t i s a

v a r i a b l e , i n o r d e r f r o m t h e l e f t .

R M d e r i v a t i o n a n a l o g o u s .

D e r i v a t i o n s t o P a r s e T r e e s

I n d u c t i o n o n l e n g t h o f t h e d e r i v a t i o n .

B a s i s : O n e s t e p . T h e r e i s a n o b v i o u s p a r s e t r e e .

I n d u c t i o n : M o r e t h a n o n e s t e p .

L e t t h e r s t s t e p b e A X

1

X

2

X

k

S u b s e q u e n t c h a n g e s c a n b e r e o r d e r e d s o t h a t

a l l c h a n g e s t o X

1

a n d t h e s e n t e n t i a l f o r m s

t h a t r e p l a c e i t a r e d o n e r s t , t h e n t h o s e

f o r X

2

, a n d s o o n i . e . , w e c a n r e w r i t e t h e

d e r i v i a t i o n a s a L M d e r i v a t i o n .

T h e d e r i v a t i o n s f r o m t h o s e X

i

' s t h a t a r e

v a r i a b l e s a r e a l l s h o r t e r t h a n t h e g i v e n

d e r i v i a t i o n , s o t h e I H a p p l i e s .

B y t h e I H , t h e r e a r e p a r s e t r e e s f o r e a c h o f

t h e s e d e r i v a t i o n s .

M a k e t h e r o o t s o f t h e s e t r e e s b e c h i l d r e n o f a

n e w r o o t l a b e l e d A

E x a m p l e

C o n s i d e r d e r i v a t i o n S A S A A S A A

A 1 A A 1 0 A 1 0 1 1 0 A 1 0 1 1 0 0 1 1

4


5/5

S u b d e r i v a t i o n f r o m A i s A A 1 0 1 1

S u b d e r i v a t i o n f r o m S i s S A S A

0 A 1 0 0 1 1

E a c h h a s a p a r s e t r e e ; p u t t h e m t o g e t h e r w i t h

n e w r o o t S

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