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E q u i v a l e n c e o f C F G ' s a n d P D A ' s

T h e t i t l e s a y s i t a l l .

W e ' l l s h o w a l a n g u a g e L i s L G f o r s o m e

C F G i f a n d o n l y i f i t i s N P f o r s o m e P D A

P

O n l y I f C F G t o P D A

L e t L = L G f o r s o m e C F G G = V ; P ; S

I d e a : h a v e P D A A s i m u l a t e L M d e r i v a t i o n s i n

G w h e r e a l e f t - s e n t e n t i a l f o r m i s r e p r e s e n t e d

b y

1 . T h e s e q u e n c e o f i n p u t s y m b o l s t h a t A h a s

c o n s u m e d f r o m i t s i n p u t f o l l o w e d b y

2 A ' s s t a c k t o p l e f t m o s t .

E x a m p l e : I f q ; a b c d ; S

*

q ; c d ; A B C t h e n

t h e L S F r e p r e s e n t e d i s a b A B C

M o v e s o f A

I f a t e r m i n a l a i s o n t o p o f t h e s t a c k t h e n

t h e r e b e t t e r b e a n a w a i t i n g o n t h e i n p u t . A

c o n s u m e s a f r o m t h e i n p u t a n d p o p s i t f r o m

t h e s t a c k i f s o .

3T h e L S F r e p r e s e n t e d d o e s n ' t c h a n g e !

I f a v a r i a b l e B i s o n t o p o f t h e s t a c k t h e n

P D A A h a s a c h o i c e o f r e p l a c i n g B o n t h e

s t a c k b y t h e b o d y o f a n y p r o d u c t i o n w i t h

h e a d B

F o r m a l C o n s t r u c t i o n o f A

A = f q g V ; ; q ; S w h e r e i s d e n e d b y :

1 . I f B i s i n V t h e n q ; ; B = f q B !

i s i n P g

2 . I f a i s i n t h e n q ; a ; a = f q g

E x a m p l e

G = f S A g f 0 1 g ; P ; S w h e r e P c o n s i s t s o f S !

A S A ! 0 A 1 A 1 0 1

A = f q g f 0 1 g f 0 1 ; A ; S g ; ; q ; S w h e r e i s

d e n e d b y :

3 q ; ; S = f q ; A S q g

3 q ; ; A = f q 0 A 1 q A 1 q 0 1 g

3 q 0 0 = f q g

3 q 1 1 = f q g

1

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O n l y - I f P r o o f i . e . , G r a m m a r P D A

P r o v e b y i n d u c t i o n o n t h e n u m b e r o f s t e p s

i n t h e d e r i v a t i o n S

*

l m

t h a t f o r a n y x

q ; w x ; S

*

q ; x ; w h e r e

1 w =

2 i s t h e s u x o f t h a t b e g i n s a t t h e

l e f t m o s t v a r i a b l e = i f t h e r e i s n o

v a r i a b l e .

A l s o p r o v e t h e c o n v e r s e t h a t i f q ; w x ; S

*

q ; x ; t h e n S

*

w

I n d u c t i v e p r o o f s i n r e a d e r .

A s a c o n s e q u e n c e i f y i s a t e r m i n a l s t r i n g

t h e n S

*

y i q ; y ; S

*

q ; ; i . e . y i s i n

L G i y i s i n N A

P D A t o C F G

A s s u m e L = N P w h e r e P = Q , ; ; q

0

Z

0

K e y i d e a : u n i t s o f P D A a c t i o n h a v e t h e n e t

e e c t o f p o p p i n g o n e s y m b o l f r o m t h e s t a c k

c o n s u m i n g s o m e i n p u t a n d m a k i n g a s t a t e

c h a n g e .

T h e t r i p l e q Z p i s a C F G v a r i a b l e t h a t

g e n e r a t e s e x a c t l y t h o s e s t r i n g s w s u c h t h a t P

c a n r e a d w f r o m t h e i n p u t p o p Z n e t e e c t

a n d g o f r o m s t a t e q t o s t a t e p

3M o r e p r e c i s e l y q ; w ; Z

*

p ; ;

3A s a c o n s e q u e n c e o f a b o v e q ; w x ; Z

*

p ; x ; f o r a n y x a n d

I t ' s a Z e n t h i n g : q Z p i s a t o n c e a t r i p l e

i n v o l v i n g s t a t e s a n d s y m b o l s o f P a n d y e t t o

t h e C F G w e c o n s t r u c t i t i s a s i n g l e i n d i v i s i b l e

o b j e c t .

3 O K ; I k n o w t h a t ' s n o t a Z e n t h i n g b u t

y o u g e t t h e p o i n t .

C o m p l e t e p r o o f i s i n t h e r e a d e r . W e ' l l j u s t

g i v e s o m e e x a m p l e s a n d t h e i d e a b e h i n d t h e

c o n s t r u c t i o n .

E x a m p l e : a p o p p i n g r u l e e . g . p i n

q ; a ; Z

3 q Z p ! a

2

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A r u l e t h a t r e p l a c e s o n e s y m b o l a n d s t a t e b y

o t h e r s e . g . p Y i n q ; a ; Z

3F o r a l l s t a t e s r q Z r ! a p Z r

A r u l e t h a t r e p l a c e s o n e s t a c k s y m b o l b y t w o

e . g . p ; X Y i n q ; a ; Z

3 F o r a l l s t a t e s r a n d s q Z s !

a p X r r Y s

D e t e r m i n i s t i c P D A ' s

I n t u i t i v e l y : n e v e r a c h o i c e o f m o v e .

q ; a ; Z h a s a t m o s t o n e m e m b e r f o r a n y q

a Z i n c l u d i n g a =

I f q ; ; Z i s n o n e m p t y t h e n q ; a ; Z m u s t

b e e m p t y f o r a l l i n p u t s y m b o l s a

W h y C a r e ?

P a r s e r s a s i n Y A C C a r e r e a l l y D P D A ' s .

T h u s t h e q u e s t i o n o f w h a t l a n g u a g e s a D P D A

c a n a c c e p t i s r e a l l y t h e q u e s t i o n o f w h a t

p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s y n t a x c a n b e p a r s e d

c o n v e n i e n t l y .

S o m e L a n g u a g e R e l a t i o n s h i p s

A c c e p t a n c e b y e m p t y s t a c k i s h a r d f o r a

D P D A .

3O n c e i t a c c e p t s i t d i e s a n d c a n n o t a c c e p t

a n y c o n t i n u a t i o n .

3T h u s N P h a s t h e p r e x p r o p e r t y i f w

i s i n N P t h e n w x i s N O T i n N P f o r

a n y x 6=

H o w e v e r p a r s e r s d o a c c e p t b y e m p t y i n g t h e i r

s t a c k .

3T r i c k : t h e y r e a l l y p r o c e s s s t r i n g s f o l l o w e d

b y a u n i q u e e n d m a r k e r t y p i c a l l y $ e . g .

i f t h e y a c c e p t w $ t h e y c o n s i d e r w t o b e a

c o r r e c t p r o g r a m .

I f L i s a r e g u l a r l a n g u a g e t h e n L i s a D P D A

l a n g u a g e .

3A D P D A c a n s i m u l a t e a D F A w i t h o u t

u s i n g i t s s t a c k a c c e p t a n c e b y n a l s t a t e .

I f L i s a D P D A l a n g u a g e t h e n L i s a C F L

t h a t i s n o t i n h e r e n t l y a m b i g u o u s .

3 A D P D A y i e l d s a n u n a m b i g u o u s

g r a m m a r i n t h e s t a n d a r d c o n s t r u c t i o n .

3