finite-element analyses of tapered piles under combined vertical and horizontal loadings.pdf

7/30/2019 Finite-element analyses of tapered piles under combined vertical and horizontal loadings.pdf

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Soil M echa nics and F oundation Engine ering, Vol. 37, No. 1, 2000D E S I G N

F I N I T E - E L E M E N T A N A L Y S IS O F T A P E RE D P I L E S U N D E RC O M B I N E D V E R T I C A L A N D H O R I Z O N T A L L O A D I N G S

A . L . G o t m a n U D C 6 2 4 . 1 5 4 . 0 4 2

A u n i v e r s a l m e t h o d o f a n a l y z in g t a p e r e d p i l e s u n d e r t h e c o m b i n e d a c t i o n o f a h o r i z o n ta l , v e r -t ic a l , a n d m o m e n t l o a d i n g i s de v e l o p e d u s in g t h e f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d a n d w i t h c o n s i d e r a t i o no f t h e i r b e n d in g s t i ff n e s s . I t i s d e ri v e d o n t he b a s i s o f e x p e r i m e n t a l d a t a t h a t t h e c o e f f i c i e n t o fs u b g r a d e r e a c t io n v a r i e s a s a f u n c t i o n o f t h e h o r i z o n t a l d i s p l a c e m e n t o f th e p i l e a n d t h e d e p t ho f t h e l a y e r u n d e r c o n s i de r a t io n . P r o c e d u r e s a r e p r o p o s e d f o r d e t e r m i n a t i o n o f t h e c o e f f i c i e n to f s u b g r a d e r e a c t i o n o n t h e b a si s o f d a t a f r o m s t a t i c p r o b i n g a n d f o r c o n s i d e r a t i o n o f t h e n on -l i n e a r it y o f t h e d e f o r m a t i o n o f t he s o i l b e d a n d p i l e m a t e r i a l , w h i c h m a k e s i t p o s s i b l e t o c al -c u l a t e t h e " l o a d - d i s p l a c e m e n t " c u r v e .

A n u m b e r o f p il e d e s i g n s a n d p i le f o u n da t i o n s , w h i c h a r e r e c o g n i z e d a s m o s t e f f e c t i v e , c a n b e i s o l a t -e d o n t h e b a s i s o f m a n y y e a r s o f r e s e a rc h a n d e x p e r i e n c e w i t h t h e w i d e s p r e a d u s e o f v a r i o u s s t r u c t u ra l s o l u -t i o n s o f p i le f o u n d a t i o n s , a n d a p r o c e d u r e f o r t h e i r in s t a l l a t i o n h a s b e e n m a s t e r e d s u f f i c i e n t l y b y c o n s t r u c t i o no r g a n i z a t i o n s a n d i s s u p p o r t e d b y a p p r o p r i a t e e q u i p m e n t . P r e c a s t p i l e s ( p r i s m a t i c p i l e s w i t h a s o l i d c r o s s s e c -t i o n , s h e l l p i l e s , h o l l o w c i r c u l a r p i l e s , a n d p y r a m i d a l p i l e s w i t h c a p s a n d h e a d s ) , a n d c a s t - i n - p l a c e p i l e s ( p i l e sc a s t i n p r e d r i l l e d h o l e s w i t h o r w i t h o u t p e d e s t a l s ) , w h i c h c a n b e c o n c r e t e d i n c y l i n d r i c a l h o l e s p u n c h e d i n t h eg r o u n d a n d p y r a m i d a l h o l e s t a m p e d i n t o t h e g r o u n d a r e c l a s s e d a m o n g t h e s e p i l e s . T h e y a r e d i s t i n g u i s h e d b yt h e s e c t i o n a l s h a p e a n d t a p e r o f t he s h a f t; a d i f f e r e n t m e t h o d o f a n a l y s i s m u s t t h e r e f o r e b e d e v e l o p e d f o r v i r -t u a l l y e v e r y d e s i g n .

O n e o f t h e m o s t w i d e l y u s e d t y p e s o f t a p e r e d p i l e s ( p y r a m i d a l p i l e s ) is d e s c r i b e d i n [ 1 ], f r o m w h i c hi t f o l l o w s t h a t t he m a j o r i t y o f m e t h o d s u s e d f o r th e a n a l y s i s o f t h e s e p i l es f o r a h o r i z o n t a l l o a d a r e b a s e d o nt h e F u s s - W i n k l e r m o d e l . M o r e o v e r , t h e f o u n d a t i o n b e d i s r e p r e s e n t e d a s u n i f o r m w i t h r e s p e c t t o d e p t h , a n dt h e p i l e i s c o n s i d e r e d " r i g i d " w h e n s u b j e c t e d t o b e n d i n g . I n h i s w o r k i n g d i a g r a m , M a m e d o v [ 2 ] c o n s i d e r s t h eb e n d i n g " s t i f fn e s s " o f a p y r a m i d a l p i l e , b u t d i s r e g a rd s t h e m u l t i p l e - l a y e r c h a r a c t e r o f t h e f o u n d a t i o n b e d - t h ec o e f f i c i e n t o f s u b g r a d e r e a c t i o n v a r i e s l in e a r ly w i t h d e p t h w i t h i n t h e l i m i t s o f th e e n t i r e l e n g t h o f t he p i l e . F o ra c ro s s s ec t i o n o f 0 . 6 m an d m o re , an d a su f f i c i en t ly l a rg e p i l e l en g th , t h e fo u n d a t io n b ed i s i n c lu d ed in th efu n c t io n in g a t a s i g n i f i can t d ep th (g rea t e r t h an 3 0 x 3 0 -c m p i l e s ) i n co n n ec t io n w i th t h e f ac t t h a t t h e p ro b a -b i l i t y o f a su d d e n j u m p w i s e c h a n g e i n th e p h y s i c o m e c h a n i c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s o i l i n c r e a s e s w i t h d e p t h .T o i m p r o v e t h e r e l ia b i l it y o f m e t h o d s u s e d f o r t h e a n a l y s i s , i t i s t h e r e f o r e n e c e s s a r y t o c o n s i d e r t h e m u l t i p l e -l a y e r c h a r a c t e r o f t h e f o u n d a t i o n b e d . W e h a d p r e v i o u s l y p r o p o s e d a s o l u ti o n w i t h a l l o w a n c e f o r th e m u l t i p l e -l a y e r c h a r a c t e r o f t h e f o u n d a t i o n b e d [ 3 ], bu t i t w a s g i v e n f o r " r i g i d " p i le s .

Transla ted f rom Osnovan iya, Fundamenty i Mekhan ika Grun tov , No . 1 , pp . 6 -12 , January -February , 2000 .0038-0741/00/3701-0005525.00 ~2000 Kluw er Ac adem ic/Plen um Publishers


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E lem e 345

. 1 ~ n - 1

n + l

C(x) cu rv e

' - '3 ~ P 2X

c ( x ) b l

( x )

X

Fig. 1 . Working diagra ms , a) Loading and partitionin g of piles into finite eleme nts;b) deformations of finite element of pile and reaction of soil; c) trapezoidalrod finite element of pile.

C o n s i d e r a t i o n o f t he n o n l i n e a r i t y o f t h e d e f o r m a t i o n o f t h e s o i l b e d a n d p i l e m a t e r i a l i s a n o t h e r p r o b -l e m .

" L i n e a r " m e t h o d s o f a n a l y s i s a r e o r i e n t e d t o w a rd c o n v e r g e n c e w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a w i t h in a r e s tr i c t -e d r a n g e o f d i s p l a c e m e n t s ( i n th e r e g i o n o f 8 - 1 0 m m ) . In d e s i g n i n g s i n g l e - p il e f o u n d a t i o n s , h o w e v e r , it is f r e -q u e n t l y n e c e s s a r y t o p re d i c t t he b e h a v i o r o f t h e pi l e s f o r d i s p l a c e m e n t s r a n g i n g f r o m 3 - 4 m m t o 2 5 - 3 0 m m .N u m e r o u s e x p e r i m e n t s i n d i c at e t h a t i n t h i s r a n g e o f d i s p l a c e m e n t s , t h e " l o a d - d i s p l a c e m e n t " d i a g r a m a s s u m e sa c l e a r l y e x p r e s s e d n o n l i n e a r p a t t e r n ; t o o b t a i n r e l i a b l e d a t a , t h e r e f o r e , t h i s n o n l i n e a r i t y s h o u l d b e c o n s i d e r e din t h e an a ly s i s .

T h e a c t u a l d e v e l o p m e n t o f a m e t h o d o f a n a l y s i s f o r t h e c o m b i n e d a c t i o n o f v e r t i c a l , h o r i z o n t a l , a n dm o m e n t l o a d s on " f l e x i b l e " a n d " r i g i d " p i l e s o f c o n s t a n t c r o s s s e c t i o n a n d t a p e r e d p i l e s o f a n y l e n g th i st h e r e f o r e p r e s e n t e d w i th c o n s i d e r a t i o n g i v e n t o t h e n o n l i n e a r i t y o f d e f o r m a t i o n s o f t h e s o i l b e d a n d p i l em a t e r i a l .

L e t u s r e p r e s e n t th e p i l e a s a f l e x i b l e r o d e m b e d d e d i n a m u l t i l a y e r f o u n d a t i o n b e d , w h i c h c a n b ec h a r a c t e r i z e d b y a c o e f fi c i e n t o f r e a c t i o n C ( x ), a nd p a r t i t i o n t h e p i l e ( r o d ) i n to n f i n i te e l e m e n t s o v e r i t sl e n g t h ( F i g . 1 ). A n i s o l a t e d f i n i te e l e m e n t h a s f o u r d e g r e e s o f f r e e d o m - d i s p l a c e m e n t s U ~ a n d U 2, a n d a n g l e so f ro t a t i o n tp~ an d ~ o f t h e en d s o f t h e e l em en t a t t h e n o d e s .

L e t u s u s e t h e e l e m e n t - d e f l e c t i o n f u n c t i o n i n t h e f o r m o f a c u b i c p o l y n o m i a l , a n d , h a v i n g d e t e r m i n e dt h e c o e f f i c i e n t s b e f o r e t he v a r i a b l e s w i t h c o n s i d e r a t i o n g i v e n t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n t he e n d s o f t h ee l e m e n t , w r i t e t h e e x p r e s s i o n f o r t h e d i s p l a c e m e n t s i n m a t r i x f o r m ( t h e s y m b o l " T " d e n o t e s t h e m a t r i x - t r a n s -p o s i t i o n o p e ra t io n )

U (x )= { iT [ U ] , ( 1wh ere {r} T= {r, r z r 3 r4};


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t e n a s

~ l ~ I 3 x 3= ( l ' - 3 x l " + 4 x ~ r, =2--~-_, 1 - 2 1 : x - n i x : + 8 ) ;r = , ( l ' + 3 x l ' - - 4 x '~ , r, - 2 1 " - x + S x ' ) ;{U} = {U, ~p, U2r r .

T h e L a g r a n g e p r i n c i p l e o f th e m i n i m u m p o t e n t i a l e n e r g y I -I o f a " p il e - so i l " s y s t e m , w h i c h c a n b e w r i t -

I IM 2 ( x ) d r + - f b C ( x ) d x - ( PI + N l~ p l) U I -- ( MI + Nt UI) r = min ,17=2!J ( x ) 2 ~ ( 2 )w h e r e M ( x ) i s th e b e n d i n g m o m e n t i n s e c ti o n x, N : P ~, a n d M ~ a re t h e v er t ic a l a n d h o r i z o n t a l l o a d s , a n db e n d i n g m o m e n t a p p l i ed t o t h e h e a d o f t h e p i le , r e sp e c t i v e l y , U ~ , a n d r a r e t h e d i s p l a c e m e n t a n d a n g l e o fr o t a t i o n o f t h e p i l e h e a d , C ( x ) i s t he c o e f f i c i e n t o f t h e s o i l ' s s u b g r a d e r e a c t io n i n s e c t i o n x , a n d b ( x ) i s thew i d t h o f a n e l e m e n t i n s e c t i o n x , c a n b e u s e d to d e t e rm i n e t h e s t i f f n e s s m a t r i x o f a r o d e l e m e n t e m b e d d e d i na l i n e a rl y d e f o r m a b l e s o i l b e d , w h i c h c a n b e c h a r a c t e ri z e d b y t h e c o e f f i c i e n t o f s u b g r a d e r e a c t i o n . T h e p o t e n -t ia l s h e a r e n e r g y c a n b e d i s r e g a r d e d i n v i e w o f i ts s m a l l n e s s a s c o m p a r e d w i t h th e p o t e n t i a l b e n d i n g e n e r g y .

O m i t t i n g t h e i n t e r m e d i a t e c a l c u l a t i o n s p e r f o r m e d i n a c c o r d a n c e w i t h f a m i l i a r p r o c e d u r e s o f t h e fi n i t e -e le me nt me tho d , l e t us wr i t e the s t i f fn ess m at r ix ILK311o f a n e l e m e n t , w h i c h c o n s i s t s o f t h e m a t r i x I IK ell o f t h eb e n d i n g s t i f f n e s s o f t h e b e a m ( i n o u r c a s e , p i l e ) a n d t h e m a t r i x I IK s ll o f t h e b e a r i n g s t i f f n e s s o f t h e s o i l

, K ~ t t = I r K s , + , K s , , ( 3 )+112 ,t2 .r a.A 2 ~ 1.IIK I I - f E J I x ~ - " tr J - t r J (4 )w h e r e II ?11-_J12 ' : ' ~ - ~ ~ d r , ,+112

I I K s l l = J " b C ( x ) { r } { r } d x .-112

(5 )

F o r a n e l e m e n t w i t h a c o n s t a n t s e c t i o n , E ji = c o n s t a n d b i = c o n s t ( i is t h e n u m b e r o f t h e e l e m e n t ) . I nt h e g e n e r a l c a s e , t h e c o e f f i c ie n t o f t h e s o i l' s su b g r a d e r e a c t i o n c a n b e a s s u m e d t o v a r y i n a c c o r d a n c e w i t h a n yl a w ; f o r s o l u t i o n o f th e s t a t e d p r o b l e m , h o w e v e r , l et u s a s s u m e i t t o b e c o n s t a n t w i t h i n t h e l i m i t s o f e a c hf i n i t e e l e m e n t .

I n t e g r a t i n g ( 4 ) a n d ( 5 ) w i t h c o n s i d e r a t i o n o f th e a s s u m p t i o n s a d o p t e d , i t i s p o s s i b l e t o d e t e r m i n e t h es t i f fn e s s c o m p o n e n t s o f a f in i t e e l e m e n t , w h o s e s e c t i o n i s c o n s t a n t O v e r t h e l e n g th ( t h is i s a f a m i l i a r m a t r i x s ,a n d i s n o t p r e s e n te d h e r e ) . F o r a p y r a m i d a l p i le , t h e b e n d i n g s t i f fn e s s E J , a n d t h e w i d t h b o f th e p i le v a r yo v e r t h e l e n g t h ; t h e s ti f f n e ss m a t r i x o f t h e e l e m e n t w i l l t h e r e f o r e t a k e o n a d i ff e r e n t f o r m .

L e t u s a s s i g n t h e l a w g o v e r n i n g t h e v a r i a ti o n o f t h e p i l e ' s c r o s s s e c t i o n b ( x ) w i t h d e p t h i n t h e f o r m/b ( x ) = ~ t Q ~ , - 2 x ~ 2 ) ; O , = b , + b 2 : ~ 2 = b , - b 2 , (6 )

w h e r e b~ a n d b z a r e th e c r o s s - s e c t i o n a l d i m e n s i o n s a t t h e t o p a n d b o t t o m o f a f i n i te e l e m e n t . T h e n , t h em o m e n t o f i n er t ia o f t h e s q u a r e s e c t i o n o f a t r a p e z o id a l e l e m e n t i n s e c t io n x

7


4/8

b ' ( x ) . 1192l 4 (7 )

S ubs t i t u t i ng (6 ) and (7 ) i n (4 ) and (5 ) , and i n t egra t i ng t he expres s i ons ob t a i ned , we can de f i ne t hes t i f fnes s ma t r i x fo r a tr apezo i da l r od e l em ent . T h i s ma t r i x con t a i ns 16 e l eme nt s o f w hi ch we can c i t e t he i n i -t i a l and f i na l ones

, ]5 6 0 [ ! 2 D i + 8 1 i C i ( 1 3 ~ l i + 7 ~ 2 i z j ;~ , , " ~ , k ; ' , , = 3 - ~ 1 _ T

= I - - - ~ - [ E 6 i ( D : )] ,k 4 4 i 1 6 8 0 [ I ~ ' - D i " ~ 2 r (8 )

whe re D~, D~ ," D~ ," and D / " a r e i n f l uen ce func t i ons t ha t de pen d on t he d i men s i ons o f t he f i n i te e l ement .L e t u s c o m p i l e t h e g e n e r a l i z e d m a t r i x e q u a t i o n f o r t h e s y s t e m

r ~ , ( 9 )w h e r e { F } = { p I M , P 2 M 2 . . . p , , + , ,M , ,+ , } T i s t he ma t r i x o f gene ra l i z ed fo r ces , I U x o , } = { U , t p , U ~ 2 . . . U , , + , q ~ , + , ~ ist he m a t r i x o f gene ra l i zed d i sp l acem ent s , and lIKe. ii i s the s ys t em ' s gene ra l i zed s t i f f nes s ma t r i x o f o rde r 2n + 2 .

Let us represent the st iffness matrix 11/(311o f an e l e m e n t i n t h e f o rm o f a u n i t m a t ri x

I l K " n I R ' '~ 'I IR , ,H = t , , ,k 2 l i

I I R , : k l [I I R ~ 2 1 1 , H ( l o )

(11)

M atr ix I1~ ,,11 can then be wr i t ten as

I I R , , H , I I R , ~ n ,I I R 2 , 1 1 , q l R 2 = U , I I ~ , t L )

I I R ~ - , I I :I 1 ~ _ , L (12)

~ 1 R 2 2 1 1 , ,_ , I I R , , I I , , ) I 1 ~ = 1 1 , ,I I R ~ , L I 1 ~ = 1 1


5/8

T h e u n f i l le d e l e m e n t s o f t h e m a t ri x a r e z e . ro e l e m e n t s .T h e e f f e c t o f a v e r t i c a l l o a d o n a h o r i z o n t a l l y l o a d e d p i l e i s a c c o u n t e d f o r b y a d d i n g t h e l o a d N ~

a p p l i e d a t n o d e I t o k2~ a n d s u b t r a c t i n g i t f r o m k n i n t h e s t i f f n e s s m a t r i x o f t h e f i r s t e l e m e n t . S o l v i n g s y s t e mo f E q s . ( 9 ) f o r U i a n d q~i ( i = 1 , 2 , 3 .. .. n + I ) , w e c a n d e t e r m i n e t h e d i s p l a c e m e n t s a n d a n g l e s o f r o t a t i o n o ft h e p i l e a t t h e n o d e s o f t h e e l e m e n t s .

W h e n t h e p r o b l e m i s s o l v e d b y t h e f i n i t e - e l e m e n t m e t h o d , m a x i m u m a c c u r a c y o f t h e re s u l ts i s a t t a i n e dw h e n t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s i n t h e m i d d l e o f a n e l e m e n t a r e d e te r m i n e d ; t h e r e f o r e , l et us a l so d e t e r m i n e t h ev a l u e s f o r t h e m i d d l e o f t h e e l e m e n t .

S u b s t i t u t i n g x = 0 i n ( 1 ) , w e h a v e

U i = 2 ( u , + u i +~ + ~ t , ( ~ o i + ~ o i + ~ .D i f f e r e n t i a t i n g ( 1 ) w i t h r e s p e c t t o x a n d s e t t i n g x = O , w e o b t a i n

( 1 3 )

~ o i = ' ~ t U ~ + ,- U ~ )-~ (~~ +, + r (14 )T h e s e c o n d a n d t h i r d d e r i v a ti v e s o f ( 1 ) w i t h r e s p e c t t o x , w h i c h a r e m u l t i p l ie d b y s t if f n e s s E J i w h e n

x = 0 , w i ll y i e ld e x p r e s s i o n s f o r d e t e r m i n a t i o n o f t h e b e n d i n g m o m e n t M , a n d t r a n s v e rs e f o r c e Q, f o r t h em i d d l e o f t h e it h e l e m e n t :

E 6 J i ,,

6E J i f 2 (UQ i = T L ~ i + , - U i ) - l i ( ~ i + , + q ~ i ) ] 9 ( 1 5 )T h i s c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e m a k e s i t p o s s i b l e t o c a l c u la t e v a r i o u s ta p e r e d p i l e d e s i g n s ( p r i s m a t i c ,

p y r a m i d a l , w e d g e - s h a p e , p y r a m i d a l - p r i s m a t i c , a n d b i p y r a m i d a l p i l e s w i t h a c a p a n d w i t h o n e o r s e v e r a lp e d e s t a l s ) , i n c l u d i n g " s t i f f " a n d " f l e x i b l e " p i l e s o f a n y l e n g t h .

F o r e a c h s p e c i f i c d e s i g n , h o w e v e r , it is n e c e s s a r y t o su b s t a n t ia t e e x p e r i m e n t a l l y t h e c o m p u t e d p a r a m -e t e r s o f th e s o i l b e d , w h i c h a r e u s e d i n th e a n a l y s i s . I n o u r c a s e , t h e c o e f f i c ie n t o f s u b g r a d e r e a c t i o n K i s s u c ha p a r a m e t e r .

T o d e t e r m i n e K a n d a c c o u n t f o r t h e n o n l i n e a r i t y , l e t u s e x a m i n e t h e o v e r a l l p a tt e r n o f t h e s t r e s s -s t r a i n s t a t e o f a " p i l e / f o u n d a t i o n - b e d " s y s t e m o n t h e b a s i s o f st a t ic h o r i z o n t a l - l o a d t e s ts o f a p y r a m i d a l p i l ef i t t e d w i t h l o a d c e ll s f o r m e a s u r i n g t h e n o r m a l p r e s s u r e o f t h e so i l a g a i n s t th e l a t er a l s u r f a c e o f t h e p i l e .T h e t e s t p il e w a s i n s t al l e d a t a si te c o m p o s e d o f c l a y e y s o i l s w i th t h e f o l lo w i n g p h y s i c o m e c h a n i c a l c h a r a c -t e r i s t i c s : p = 1 .9 2 t o n s / m 3, W = 0 . 2 9 , C = 0 . 0 2 8 M P a , r = 1 7 ~ a n d E = I 0 M P a . T h e d i s p l a c e m e n t s o f t h ep i l e h e a d ( F i g . 2 a ) a n d s h a f t ( F i g . 2 b ) , a n d t h e c o n t a c t s t r e s s e s o n t h e f r o n t f a c e ( F i g . 3 ) w i l l b e a n a l y z e ds i m u l t a n e o u s l y i n a m u t u a l r e l a t i o n .

I n th e i n it i al l o a d i n g s t a g e ( to a lo a d o f 2 2 . 8 k N ) , t h e d e p e n d e n c e o f d i s p l a c e m e n t o n h o r i z o n t a l l o a di s l in e a r ( s e e F i g . 2 a ) . M o r e o v e r , t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e p i le h e a d i s a ll o f 2 ra m . P u r e l y e l a s ti c d e f o r m a t i o n so f t h e s o il a n d p i le s h a f t o b v i o u s l y o c c u r in t h is s t a t e . T h e " l o a d - d i s p l a c e m e n t " c u r v e b e c o m e s n o n l i n e a r w i t hi n c r e a s i n g l o a d ; b y t h i s t i m e , t h e p i l e s h a f t h a s a l r e a d y b e e n i n c l u d e d i n t h e w o r k ( s e e c u r v e 2 i n F i g . 3 ) .

W i t h a f u r t h e r i n c r e a s e i n l o ad ( 5 6 . 6 k N ) , t h e n o r m a l r e s i s ta n c e o f t h e s oi l o n th e f r o n t f a c e i n c r e a s e su n i f o r m l y , w h e r e u p o n t h e m a x i m u m i n t e n s i ty i s o b s e r v e d n e a r t h e t ip o f t h e p i l e ( c u r v e 5 in F i g . 3 ) , w h e r et h e d i s p l a c e m e n t s a r e m a x i m u m . I n d i c a t i o n s o f f a il u r e o f t h e s o il f o u n d a t i o n b e d a p p e a r a f te r a l o a d o f 65 k N .


6/8

0 20 40 60 N, kN9

1 6 ] 4 " ~ 5 ~ i> 6 1~J, mm i ,

4 0 - 2 0 0 U , mm1,0 ~ /2 , 03 ,0 67 ~ /~ ~ ~ " Pile

L/ t /~-2L , m

Fig . 2. Experimenta l data on pile deformations, a) Heads; b) shafts.

M = 5N~-fF I . . . . . 0 , 2 0

123

1 , m

I ,PJ'" 0 1 / 1 ! 1 t '"

0 , 1 6 0 ~ 1 2 0 1 0 8 O r 0 4 0 O r 0 4 R , M P a

. - 1 I

Fig. 3. Curves of normal contact stresses. 1-6) N = 5.7-65 kN. Numbersof curves correspond to loads on curve in Fig. 2.

Using experimental data on the stress-strain state of the system, we can determine the K values for dif-ferent depths over the entire range of loads (see Table l).

/ , m

0.20.81.82.83.4

TABLE 1

R, MPa U, mfor H = 22.8 kN

0.0020.0010.001

0.00250.004

22.8Coefficient of subgrade reaction Kexperimentally determin ed for H of, kN

28.5 56.6 65900! 20017801040850

940129018501190790

5451440860660710

i.8!.21.78

2.63.4

3701110700510540

10


7/8

A s i s a p p a r e n t f r o m t h e ta b l e , t h e c o e f f i c i e n t K is a v a r i a b l e q u a n t i t y , d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g d i s -p l a c e m e n t , a n d i n c r ea s e s w i t h in c r e a s i n g d e p t h f o r e qu a l d i s p l a c e m e n t s . T h u s , t h e r e s u lt s o b t a i n e d c o n f i r m t h en o n l i n e a r i t y o f b e d d e f o r m a t i o n s w h e n t h e p i l e i s s u b j e c t ed t o a h o r i z o n t a l l o a d , an d m a k e s i t p o s s i b l e t o p r o -v i d e a q u a n t i t a t i v e e s t i m a t e o f t h i s n o n l i n e a r i t y .

T h e G o r b u n o v - P o s a d o v f o rm u l aK = E / (1 - / - t2)cod, (16 )

w h e r e t h e d e p e n d e n c e o f K o n t h e d i s p l a c e m e n t U an d d e p t h ! i s d i s r e g a r d e d , c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e K .I n p l a c e o f th e c o m p r e s s i o n m o d u l u s E , i t is e x p e d i e n t t o u s e t h e r e s i s ta n c e q o f t h e s o il b e n e a t h t h e

t ip o f a p r o b e , w h i c h c a n b e o b t a i n e d d u r i n g s t a ti c p r o b i n g a t a n y r e q u i r e d d e p t h u n d e r i n - s it u c o n d i t i o n s t oa c c o u n t f o r t h e d e p th a t w h i c h t h e so i l l a y e r o c c u r s . F o r m u l a ( 1 6 ) i s c o r r e c t e d b y i n v e r s e c a l c u l a t i o n s i nw h i c h t h e p i l e ' s d i s p l a c e m e n t a t g r o u n d l e v e l i s a p a r a m e t e r k n o w n f r o m t h e e x p e r i m e n t a l t e s t i n g o f 1 2 p i l e si n c l a y e y s o i l s , a n d c a n b e r e p r e s e n t e d a s

K = 84q~/(1 - /~2)d~o , (17)w h e r e ~ i s a c o e ff i c i e n t o f t h e . p r o b i n g r e g i m e .

V a r i a t i o n i n K w it h i n c r e a s in g p i l e d i s p l a c e m e n t i s g o v e r n e d b y i ts d e p e n d e n c e o n t h e s o i l 's d e f o r m a -t io n . A n i t e r a ti o n s c h e m e i s p r o p o s e d t o a c c o u n t f o r t h is f a c t ; i n th i s s c h e m e , a c a l c u l a t i o n i s p e r f o r m e d f o re a c h l o a d u s i n g t h e i n it ia l c o e f f i c i e n t o f s u b g r a d e r e a c t io n o b t a i n e d f r o m E q . ( 1 7 ) , a n d i s t h e n r e c a l c u l a t ed f o rt h e l o a d p a r a m e t e r s d e t e r m i n e d f r o m r e s u l t s o f t h e p r ev i o u s c a l c u l a t i o n . T h e n e w K v a l u e i s u s e d f o r t h e ne x tc a l c u l a t i o n ; t h e p r o c e s s is th e n r e p e a t e d t o f u l f i l lm e n t o f c o n d i t i o n a l c o n v e r g e n c e o f t h e o u t p u t p a r a m e t e r s o ft h e c a l c u l a t i o n i n s u c c e s s i v e i t e r a t i o n s .

T h e c o e f f i c i e n t o f su b g r a d e r e a c t i o n i s r e c a lc u l a t e d f r o m t h e f o r m u l a :

I f~ = K i _ t 1 - C r i -I , (18)where o 'h im i s t h e l i m i t i n g r e s i s t a n c e o f t h e s o i l a t a g i v e n d e p t h , t h e v a l u e o f w h i c h c o r r e s p o n d s t o q i n t h ep h y s i c a l s e n s e , a n d t i s a n o n l i n e a r i t y p a r a m e t e r ; f o r t h e p i le s u n d e r c o n s i d e r a t i o n , t = 2 i n c l a y e y s o i ls .

T h e p r o b l e m o f a c c o u n t i n g f o r t h e n o n l i n e a r i t y o f d e f o r m a t i o n o f th e p i le s h a f t a s a r e in f o r c e d - c o n -c r e t e s e c t i o n i s s o lv e d b y r e c a l c u l a ti n g t h e b e n d i n g s t if f n e ss i n t h e v a r i o u s s t a g e s o f lo a d i n g . T h e s t i f fn e s s c a nb e r e c a l c u l a t e d o n l y o n c e , s i n c e it s d e c r e a s e o c c u r s i n a j u m p w i s e m a n n e r , a n d c h a n g e s n e g l i g i b l y t h e r e af t e rw i t h i n c r e a s i n g w i d t h o f c r a c k o p e n i n g . P e r f o r m i n g t h e s e c a l c u l a t i o n s f o r a n u m b e r o f l o a d s , w e c a n o b ta i ns u f f i c ie n t d a t a t o p l ot th e " l o a d - d i s p l a c e m e n t " c u r v e .

A c o m p u t e r p r o g r a m , w h i c h p e r f o r m s a l l s ta g e s o f t h e c a l c u l a t i o n a u t o m a t i c a l l y a n d o u t p u t s a " l o a d -d i s p l a c e m e n t " c u r v e , b e n d i n g - m o m e n t d i a g r a m s , a n d d i a g r a m s o f t h e t ra n s v e r s e f o r c e s o v e r t he l en g t h o f t h ep i le , h a s b e e n d e v e l o p e d o n t h e b a s i s o f t h e p r o p o s e d c o m p u t a t i o n a l m e t h o d .F i g u r e 4 s ho w s r e su l ts o f c o m p u t e d a n d e x p e r i m e n ta l d a t a i n t h e f o r m o f " l o a d - d is p l a c e m e n t " d i a g ra m sf o r p y r a m i d a l p i l e s c a st in p u n c h e d h o l e s , w h i c h w e r e t e s t ed u n d e r a h o r i z o n a l l o a d u n d e r d i f f e r e n t s o il c o n d i -t i o n s . A s i s a p p a r e n t , t h e c o m p u t e d c u r v e s a r e s i m i l a r i n s h a p e t o t h e e x p e r i m e n t a l o n e s i n t h e d i s p l a c e m e n tr e g i o n t o 3 0 m m . A l l t h e o r e t ic a l c u r v e s " l i e " b e l o w t h e t e s t c u r v e s , i . e . , t h e c o m p u t e d d a t a p r o v i d e a c e r t a i n s a f e -t y f a c t o r . A l l t h e o r e t i c a l c u r v e s h a v e a s m o o t h c o n f i g u r a t i o n , a n d a s o c c u r r e d d u r i n g s t a t i c t e s t i n g ( s e e F i g . 4 ) , n oa b r u p t d i s c o n t i n u i t y i s o b t a in e d f o r t h e p l o t s i n t h e c a s e w h e n t h e p i l e f a i l s . T h e m o m e n t o f p i l e f a i l u re ( t h e h o r -i z o n t a l l o a d f o r w h i c h t h e p i l e i s r u p t u r e d ) , h o w e v e r , c a n b e d e t e r m i n e d b y c o n s t r u c t i n g a d i a g r a m b a s e d o n p i l ed a t a , a n d c o m b i n i n g i t w i t h a d i a g r a m o f t h e b e n d i n g m o m e n t , w h i c h i s e a s i l y c a l c u l a te d f o r a n y h o r i z o n t a l l o ad .

11


8/8

0 4 0 g O i ~ H . k N

' : V ...... , .......Uo,

51015

0 40 $0 1 2 0 H, k N

i0 .7. '0 4 0 60 11, kN

20

I U o , m m

0 . ' ~ 60 ~ H, kN

q, mml

0 6 0 t 2 0 1 ~ 1 ' I I . k N9 I i

U ~ . m m [ _ .~ - . .. . I , _

0 2.~ 50 75 tt, kN

Fig . 4 . "Load-d i sp lacemen t" cu rves fo r ho r i zon ta l ly loaded py ramida l p i le s ca s t i n punched ho les .! ) Expe r imen t ; 2 ) compu ted ; 3 ) expe r imen ta l fo r " r ig id" py ramida l me ta l l i c punch .

R E F E R E N C E SI.

2.

3.4 .

S . M . A l e i n i k o v a n d S . V . I k o n i n , " A n a l y s i s o f f o u n d a t i o n b e d s o f p y r a m i d a l p i l e s o n t h e b a s i s o f t h es e c o n d g r o u p o f l im i t i n g st a t es u n d e r c o m b i n e d v e r t i c a l , h o r i z o n t a l , an d m o m e n t l o a d i n g s , " Osn., Fundam.Mekh. Gruntov, No . 4 , 5 - 9 ( 1 9 9 7 ) .K . M . M a m e d o v , " A n a l y s i s o f f l e x i b l e a n d r i g id p y r a m i d a l p i l e s s u b j e c te d t o c o m b i n e d v e r ti c a l a n d h o r i-z o n t a l l o a d i n g s , " Uchenye Zapiski Vuzov MV i SSO AzSSR, Ser. 10, No. 2 , 106-113 (1994) 9A . L . G o t m a n , " An a l y s i s o f p y r a m i d a l p i l e s u n d e r c o m b i n e d v e r t i c a l, h o r i z o n t a l , a n d m o m e n t I o a d i n g s, "Osn., Fundam. Mekh. Gruntov, No . 1 , 12 -14 (1997) .P . Ya . Gr i g o r ' e v , " De f o r m a t i o n a n a l y s i s o f b e n d a b l e r e i n f o r c e d - c o n c r e t e e l e m e n t s , " Tr. Khabar. Inst. lnzh.Transp., No . 28 , 118-126 (1967) .

12

finite-element analyses of tapered piles under combined vertical and horizontal loadings.pdf

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