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Tibor Tarnai Hungarian Institute for Building Science Budapest David Ferenc u. 6. H- 1 1 13, Hungary

French translation: Traduction frangaise : Jean-Luc Raymond

FINITE MECHANISMS AND THE TIMBER OCTAGON OF ELY CATHEDRAL

L ES MECANISMES FINIS ET LA CHARPENTE OCTOGONALE DE LA CATHEDRAL E D’EL Y

ABSTRACT

Using the example of the timber octagon of Ely Cathedral this paper shows that a ring structure, topologically equivalent to the edge network of an n-gonal antiprism where n is even, constitutes a finite mechanism if it is symmetric with respect to a plane passing through a vertex of the upper n-gon of the ring structure. In the Appendix by J. Eddie Baker (p. 17) it is proved that the existence of a plane of symmetry is, in general, not only sufficient but also necessary for mobility.

INTRODUCTION

Consider a bar-and joint structure whose network is topologically identical to the edge network of an n-gonal antiprism under the restrictions that the vertices of the lower n-gon are foundation joints and the sides of the lower n-gon (as bars) do not belong to the structure. This structure will be called ring.

Consider now a special type of ring structures, which is con- structed to two regular n-gons lying in parallel planes and the axis

Cet article utilise I’exemple de la charpente octogonale de la cathe- drale d’Ely pour montrer qu’une structure en anneau, topologique- ment equivalente au reseau d’aretes d’un antiprisrne n-gonal oh n est pair, constitue un mecanisme fini si elle est symetrique par rapporta un plan passant par un sommet du n-gone superieur de la structure en anneau. Dans I’appendice de J. Eddie Baker (p. 17), on montre que I’existence d’un plan de symetrie est, en general, non seulement suffisante mais aussi necessaire a la mobilite.

INTRODUCTION

Considerons une structure de barres et de joints dont le reseau est topologiquement identique au reseau d’aretes d’un antiprisme polygonal lorsque les sommets du polygone inferieur sont les joints de fondation et que les c6tes du polygone inferieur (en tant que barres) n’appartiennent pas a la structure. On appellera cette structure une structure en anneau.

Considerons maintenant un type special de structures en anneau :

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FIGURE 1

A 8-gonal ring structure with 8-fold rotational symmetry and mirror symmetry

Une structure en anneau 8-gonale possedant une symetrie de rotatian d'ordre huit et une symetrie de reflexion.

passing through the centers of the n-gons is perpendicular to these planes; and one of the n-gons is rotated relative to the other by angle x / n as shown in Figure 1. It has been known for nearly hundred years that a ring structure shown in Figure 1 is not rigid if n is even (Foeppl 1888), in spite of the fact that this structure satisfies Maxwell's rule:

b = 3j

where b is the total number of bars and j is the number of non- foundation joints. The structure would be expected rigid, but it is a finite mechanism of one degree of freedom. After the recent investigations (Tarnai 1980), (Pellegrino and Calladine 1984) we could think that the free finite motion is a consequence of the high level of symmetry of this structure.The structure in Figure 1 actu- ally has 8-fold rotational symmetry and mirror symmetry. This, in terms of the discrete symmetry groups, means that the structure in Figure 1 represents the dihedral group D8.

However, recently Professor J. Heyman called our attention to the factthata ring structure shown in Figure 1 can be constructed with lower order of symmetry so that the structure constitutes a finite mechanism. Heyman surprisingly mentioned the famous timber octagon of Ely Cathedral in England as an example. Details of his and Ms. Wade's investigations can be found in (Wade and Heyman 1985).

It is known that an infinitesimal mechanism under a projective or affine transformation always produces an infinitesimal mecha- nism again. [Engineers know this asa consequence of Sylvester's theorem (Halmos 1974): The rank of the compatibility matrix of a structure does not increase if it is multiplied by the matrix of a linear transformation.] A finite mechanism, however, in general, loses its free finite motions under such transformations and re- duces to an infinitesimal mechanism only (Wunderlich 1982).

celles qui sont construites a partir de deux polygones reguliers a n cdtes se situant dans des plans paralleles de tellefaGon que I'axe passant par les centres des polygones soit perpendiculaire a ces plans, et que I'un des polygones ait subi une rotation d'un angle x / n relativement a I'autre comme on le voit a la figure 1. On sait depuis pres de cent ans qu'une structure en anneau comme celle de la figure 1 n'est pas rigide si n est pair (Foeppl 1888), malgre le fait que cette structure satisfasse la regle de Maxwell

b = 3j

olj b represente le nombre total de barres et j le nombre de joints n'appartenant pas a la fondation. On s'attendait a ce que la struc- ture soit rigide, mais elle est en fait un mecanisme fini a un degre de liberte. D'apres les recherches recentes (Tarnai 1980), (Pellegrino et Calladine 1984), on pourrait croire que le mouve- ment fini libre est une consequence du haut niveau de symetrie de cette structure. La structure de la figure 1 possede en fait une symetrie de rotation d'ordre huit et une symetrie de reflexion. En utilisant le vocabulaire des groupes discrets de symetrie, ceci signifie que la structure de la figure 1 represente le groupe diedre D8 '

Toutefois, recemment, le Professeur J. Heyman attirait notre at- tention sur le fait qu'on pouvait construire une structure en anneau comme celle de la figure 1 avec un degre de symetrie inferieur de telle sorte que la structure constitue un mecanisme fini. i t o n - namment, Heyman mentionnait que lefameuxoctogone de bois de la cathedrale d'Ely en Angleterre en etait un exemple. On peut trouver les details de ses recherches et de celles de Mme Wade dans (Wade et Heyman 1985).

On sait que lorsqu'un mecanisme infinitesimal subit une transfor- mation projective ou affine, il produit toujours un mecanisme infinitesimal. [ Ce fait est connu des ingenieurs comme la consequence du theoreme de Sylvester (Halmos 1974): Le rang de

STRUCTURAL TOPOLOGY K 14

FIGURE 2

The timber octagon and the lantern of Ely Cathedral.

La charpente octogo- nale et la tour-lanterne de la cathedrale d’Ely.

Here, with the help of the example of the timber octagon of Ely Ca- thedral, we tty to find the most general transformation (the lowest order of symmetry) under which a ring structure like that in Figure 1 can form a finite mechanism.

THE BASIC STRUCTURE OF THE TIMBER OCTAGON OF EL Y CATHEDRAL

In the fourteenth century, in place of the collapsed crossing tower of Ely Cathedral an octagonal space (the Octagon) was formed and a timber structure was built over the Octagon in order to carry the Lantern. The octagon timber structure-though led to some dis- tress - stood in its original form for hundreds of years and was

la matrice de compatibilite d’une structure ne s’accroit pas si elle est multipliee par la matrice d’une transformation lineaire.] Tou- tefois, en general, un mecanisme fini perd ses mouvements finis sous de telles transformations et se reduit a un mecanisme sim- plement infinitesimal (Wunderlich 1982).

Ici, a I’aide de I’exemple de I’octogone de bois de la cathedrale d’Ely, nous tenterons de trouver la transformation la plus generale (le degre de symetrie le plus petit) sous laquelle une structure en anneau comme celle de la figure 1 peut constituer un mecanisme fini.

LA STRUCTURE DE BASE DE L’OCTOGONE DE BOlS DE LA CATHEDRAL E D’EL Y

Au quatorzieme siecle, la tourde croisee de la cathedrale d’Ely s’ef- fondra et on crea h sa place un espace octogonal (I’octogone) sur lequel on erigea une structure de bois pour porter la tour-lanterne. Lastructure de bois de I’octogone, quoique laissee dans un certain etat de detresse, conserva sa forme originale pendant des cen- taines d’annees et on ne laconsolida qu’au dix-huitiemesiecle. On peut voir a la figure 2 la charpente octogonale de la cathedrale. La figure 3 montre un modele simplifie de barres et de joints pour la charpente de bois principale, 00 les nervures courbes sont remplacees par des barres inclinees d’axes droits. L’octogone superieur de cette structure est regulier, mais celui de la base ne I’est pas : il est obtenu en coupant les coins d’un carre. La nef et le transept sont de largeuregale ( a = b) ; ainsi, en ce qui concerne la symetrie, la structure represente le groupe diedre 0,. A I’aide de geometrie elementaire, on peut facilement montrer que cette structure possede un mouvement similaire a celui de la structure de la figure 1. L’existence de cette mobilite finie est une des rai- sons pour lesquelles Wade et Heyman (1985) firent la remarque, apropos du design de la charpente octogonale, que c’etait un chef- d’oeuvre architectural, mais que sous sa forme originale, il con-

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strengthened for the first time only in the eighteenth century. The timber octagon of the Cathedral can be seen in Figure 2. Asimpli- fied bar-and-joint model of the main timber structure is shown in Figure 3 where the curved ribs are replaced by inclined bars of

tenait une certaine erreur structurale.

Si I’on admet que la nef et le transept aient des largeurs differentes ( a # b ) , alors on aura une plus grande reduction de la symetrie de

l a I

1 I 0

FIGURE 3

The basic structure of the timber octagon with 4-fold rotational symmetry and mirror symmetry ( a = b) .

La structure de base de la charpente octogonale possedant une syrnetrie de rotation d’ordre quatre et une syrnetrie de reflexion (a = b).

straight axis. The upper octagon of this structure is regular but the base one is not: it is obtained from a square by cutting off its corners. The widths of the Nave and the Transept are equal: a = b, thus the structure in respect of the symmetry represents the dihe- dral group D4. It is easy to show also by elementary geometry that this structure moves nearly in the same way as the structure in Figurel. Thisfinite movabilityisoneofthe reasonswhywadeand Heyman (1985) remarked on the design of the timber octagon that it “was an architectural masterpiece, but it was, in its original form, something of a structural mistake”.

If we supposed the widths of the Nave and the Transept to be different: a + 6, then the symmetry of the structure would reduce further, and the structure would represent the dihedral group D2 but would preserve the characteristics of a finite mechanism.

If, in imagination, we reduced the symmetries of the timber octa- gon further so that it had only one plane of mirror symmetry passing through the axis of the Nave or of the Transept, then the structure would represent the simplest dihedral group D, and would remain a finite mechanism. In a general case it is not even necessary the upper and lower octagons to be regular and inplane (Figure 4). Examining the structure in Figure 4 we found it to be a finite mechanism of one degree of freedom. (And whenever we wanted to transform the structure under preservation of its free finite motion, we could not drop its mirror symmetry.)

la structure; la structure representera alors le gr oupe diedre D2 tout en conservant les caracteristiques d’un mecanisme fini.

Si, I’imagination aidant, on reduit encore plus les symetries de la charpente octogonale de telle sorte qu’elle ne possede qu’un seul plan de symetrie par reflexion passant par I’axe de la nef ou du transept, alors la structure representera le groupe diedre le plus simple, 0, , et demeurera un mecanisme fini. De facon generale, il n’est meme pas necessaire que les octogones superieurs et inferieurs soient reguliers et qu’ils se situent dans un plan (figure 4). En observant la structure de la figure 4, on trouvera qu’elle possede un mecanisme fini a un degre de liberte. (Et chaque fois qu’on voudra transformer la structure tout en conservant son mouvement fini, on ne pourra pas laisser tomber sa symetrie de reflexion.)

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FIGURE 4

A movable ring structure in a general case.

Une structure en anneau mobile dans sa position generale.

EXISTENCE OF FINITE MECHANISM

So we obtained a sufficient condition of the existence of finite me- chanism notonlyfora8-gonal butforan n-gonal ring where n = 2k ( k = 2,3, . . .) . (Ourconjecturethatthemirrorsymmetryis, ingene- ral, also a necessary condition is proved by means of kinematics in the Appendix by J. Eddie Baker.)

Thus we have the following:

Proposition Let a bar-and-joint structure be constructed to two spatial n-gons such that the structure forms a ring. If n is even and the ring has a plane of symmetry passing through avertex of the upper n-gon then the ring structure - apart from some degenerate cases - is a finite mechanism.

Proof If the plane of symmetry passes through a vertex (say the 1st vertex A,) of the upper n-gon then this plane necessarily passes through the opposite vertex (n12 t 1 st vertex A n i 2 + , ) of the upper n-gon also; and the plane of symmetry of the structure will, in general, be plane of symmetry of the motions of the vertices of the upper n-gon. Namely, the paths of the vertices are determined by the sides of the lower n-gon which is also symmetric with respect to the plane of symmetry in question. The paths of the upper vertices are circular arcs obtained by rotation of the upper vertices about the corresponding sides of the lower n-gon as axes. Since the triangles determined by the vertices A, and An/2+1 of the upper n-gon and the sides a, and of the lower n-gon, respectively, have to be symmetric with respect to the plane of symmetry in question (Figure 4), the paths of both vertices A, and A,, 2+1 of the upper n-gon lie in the plane of symmetry. So the upper n-gon can be considered a symmetric closed n-bar chain whose joints can move along fixed, symmetrically arranged circular arcs. In a general case it is not easy to visualize the paths and the motion of

EXISTENCE D'UN MECANISME FIN1

On a ainsi obtenu une condition suffisante pour I'existence d'un mecanisme fini, non seulement pour une structure en anneau 8- gonale, mais aussi pour une structure en anneau n-gonale, ou n = 2k ( k = 2, 3, . . . ) . (La conjecture qui stipule qu'en general, la symetrie de reflexion constitue une condition necessaire, est demontree a I'aide de cinematique dans I'appendice de J. Eddie Baker.)

On a donc le resultat suivant :

Proposition Soit une structure de barres et de joints construite sur deux n- gones spatiaux de telle sorte que la structure ain; formee soit un anneau. Si nes t pair et si I'anneau possede un plan de symetrie contenant un sommet du polygone superieur, alors la structure en anneau est un mecanismefini (sauf pour quelques cas degeneres).

Preuve Si le plan de symetrie contient un sommet du n-gone superieur (disons le lersommet, A, ) alors il passe necessairement aussi par le sommet oppose du n-gone superieur (le ( n l 2 t1 )e sommet, An iP i l ) ; le plan de symetrie de la structure sera, en general, un plan de symetrie des deplacements des somrnets du n-gone superieur. C'est-a-dire que les trajectoires des sommets sont determinees par les cotes du n-gone inferieur qui, Iui aussi, est symetrique par rapport au plan de symetrie en question. Les trajectoires des sommets superieurs sont des arcs circulaires qu'on obtient en effectuant une rotation des sommets superieurs autour des axes que forment les c8tes correspondants du n-gone inferieur. Puisque les triangles formes par les sommets A, et A n i Z i l du n- gone superieur et les cBtes a, et ani2+1 du n-gone inferieur, res- pectivement, doivent Btre symetriques par rapport au plan de symetrieen question (figure4), les trajectoires des deux sommets A, et Ani2+, du n-gone supkrieur se situent sur le plan de symetrie.

rnDnlnr ,=cro l r r r i ,on , r 10 . A

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.Ill.

FIGURE 5

The paths of the vertices of the upper n-gon if the lower n-gon IS in-plane.

Les trajectoires des sommets du n-gone superieur lorsque le n-gone inferieur se situe dans un plan.

I \ I

this chain in space. Figure 5 shows the case where the lower n- gon is in-plane and so the projections of the paths on the ground plane are straight lines perpendicular to the corresponding sides of the lower n-gon. The closed n-bar chain corresponding to this ring can be seen in Figure 6. If we consider the half of this chain, on onesideofthe planeofsymmetry, wecan ascertainthatthis half chain is a one-degree-of-freedom finite mechanism. A new posi- tion of the half chain can be obtained from the old one in the fol- lowing way (see Figure 6): Move a little the first joint A,along its path. Draw a sphere of radius A,A,about the new locus of A,. This sphere will intersect the path of A, in two points. Choose the point of them which joint A, can arrive at by continuous motion. This point will be the new locus of A,. Draw a sphere of radiusA,A, about this point and continue the process until the new locus of An/,+, is obtained. Due to the mirror symmetry the other half of the chain will move similarly but in the mirror image and the displacements of the jointAn1,+, for both halves of the chain will be the same. Thus the motions of the parts of the closed chain are compatible, and so the whole chain, i.e., the ring is a finite mechanism.

FIGURE 6

Closed n-bar chain mechanism corresponding to the ring.

Le mecanisme de la chaine fermee de n barres correspondant a I'anneau.

On peut donc considerer le n-gone superieur comme une chaine symetrique fermee, constituee de n barres, dont les joints peuvent se deplacer le long d'arcs circulaires fixes symetriquement disposes. De faqon generale, il peut &re difficile de visualiser les trajectoires et le mouvement de cette chaine dans I'espace. La figure 5 illustre une situation dans laquelle le n-gone inferieur se situe dans un plan, de telle sorte que les projections des trajectoires sur le plan du sol sont des droites perpendiculairesaux cotes correspondants du n-gone inferieur. On voit a la figure 6 lachainefermee de nbarres associeeacetanneau. Si on considere la moitie de cette chaine qui se trouve de I'un des cotes du plan de symetrie, il est possible d'etablir que cette chaine est un mecanismefini aun degre de liberte. On peut obtenir une nouvelle position de la demi-chaine a partir de I'ancienne de la faqon sui- vante (voir la figure 6 ) : Deplacer un peu le premier joint A, le long de sa trajectoire. Tracer une sphere de rayon A,A, autour de la nouvelle position de A, . Cette sphere coupera la trajectoire de A, en deux points. Choisir parmi eux le point que le joint A, peut atteindre en un mouvement continu. C e point deviendra la nou- velle position de A,. Tracer une sphere de rayon A,A, autour de ce point et continuer ce processus jusqu'ace que la nouvelle position de A n l P I , soit determinee. Etant donne la symetrie de reflexion, I'autre moitie de la chaine se deplacera de faqon similaire a une reflexion pres; au joint A n i P i l ,on attribuera le meme deplacement dans les deux moities de la chaine. De cette faqon, les mouvements des parties de la chaine fermee sont compatibles, et ainsi lachaine entiere, c'est-a-dire I'anneau, est un mecanismefini.

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Remark However, in spite of the presence of a plane of symmetry the motion of the closed chain is not always symmetric. If the ring is so that, on one of the two halves of the ring, for a certain k the vertices A,, , A,, A,, of the upper n-gon and the side a,of the lower n-gon (Figure 5) are coplanar (both the sphere of center A,, and of radius A,,A,and the sphere of center A,, and of radius A,,A, are tangent to the circular path of vertex Ak) then in this position the mode of motion of the ring can change and its infinitesimal degree of freedom increases, that is, in this position the compati- bility of the ring bifurcates (Tarnai 1984). After passing this position (Figure 7) the ring can move not only symmetrically (Figure 8) but also non-symmetrically (Figure 9).

Remarque Malgre la presence d'un plan de symetrie, le mouvement de la chaine fermee n'est pas toujours symetrique. Si I 'anneau est tel que, sur I'une de sesdeux moities, pour un certain k , les sommets A,, , A, et A,, du n-gone superieur, et le c6te a,du n-gone inferieur (figure 5) sont coplanaires (la sphere de centre A,, et de rayon A,,A, et la sphere de centre A,, et de rayon A,,A,sont toutes deux tangentes a la trajectoire circulaire du sommet A, ) alors, dans cette position, le mode de mouvement de I'anneau peut changer et son degre de liberte infinitesimal s'accroit. En effet, dans cette position, il y a bifurcation de la compatibilite de I'anneau (Tarnai 1984). Apres avoir passe cette position (figure 7), I'anneau peut se mouvoir non seulement symetriquement (figure 8), mais aussi non symetriquement (figure 9).

FIGURE 7 - FIGURE a Position of the ring at the point of bifurcation of compatibility.

Position de I'anneau

de compatibilite.

Symmetrical motion of the ring.

Mouvement syme- trique de I'anneau.

au point de bifurcation .1)1'

FIGURE 9

Non-symmetrical motion of the ring

Mouvement non sy- metrique de I'anneau '111'

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SUPPLEMENTARY REMARKS

On the basis of all these a question can arise: If a low level of symmetry is enough in order that a ring structure be a finite mechanism, how has the structure of the timber octagon of Ely Cathedral been able to stand without collapse for hundreds of years? Well, it can have several reasons. Firstly, the bracing members and the joining structures can provide some rigidity. Secondly, the nodes of the timber structure are not frictionless pin joints but more or less rigid ones. Thirdly, the unavoidable geo- metrical random imperfections in construction, in general, are also against the movability, since almost all rings constructed with arbitrary bar lengths are rigid, what is more, infinitesimally rigid.

Finally, it should be noted that for odd values of n a ring structure, in general, is infinitesimally rigid but there exist special arrange- ments of the joints where the ring is an infinitesimal (but notfinite) mechanism (Tarnai 1980), (Whiteley 1985).

Acknowledgements I thank Professor J. Heyman for calling my attention to the unex- pected property of the timber octagon of Ely Cathedral and for sending me a copy of the manuscript of his paper (jointly with Ms. Wade) before its publication. I am also grateful to Dr. 2s. Gaspar for helpful discussions. .,1111.

NOTE

See Bibliography on page 20.

REMARQUES SUPPLEMENTAIRES

Compte tenu de ce qui precede, unequestion peut survenir: Si une structure en anneau n'a besoin que d'un petit degre de symetrie pour &re un mecanisme fini, comment est-il possible que la structure de la charpente octogonale de la cathedrale d'Ely ait pu se tenir sans s'effondrer pendant des centaines d'annees? I1 peut y avoir plusieurs raisons. Tout d'abord, les liens de contrevente- ment et la structure d'assemblage peuvent amener une certaine rigidite. Ensuite, les noeuds de la structure de bois ne sont pas des joints articules sans frottement: ils sont plus ou moins rigides. Enfin, les inevitables imperfections geometriques dues au hasard lors de la construction s'opposent aussi, en general, a la mobilite, puisque presque tous les anneaux construits avec un choix arbi- traire des longueurs de barres sont rigides, et meme infinitesimalement rigide.

Finalement, on doit noter que, lorsque n est impair, une structure en anneau est, en general, infinitesimalement rigide ; mais il existe certaines dispositions particulieres des joints qui font de I'anneau un mecanisme infinitesimal (mais non fini) (Tarnai 1980), (Whiteley 1985).

Remerciements L'auteur tient a remeicier J. Heyman pour avoir attire son attention sur la propriete inattendue de la charpente octogonale de la cathe- drale d'Ely et pour lui avoir fourni une copie du manuscrit de son article (conjointement avec Mme Wade) avant sa publication. L'auteur est aussi reconnaissant envers le docteurzs. Gaspar pour les discussions tres utiles qu'il a eues avec Iui. .11111.

Voir Bibliographie a la page 20.

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"'111"'

APPENDIX

J. Eddie Baker Department of Applied Mechanics The University of New South Wales P.O. Box 1 Kensington, N.S. W. 2033 Australia

French translation: Traduction franpise : Jean-Luc Raymond

Dr. Tarnai has demonstrated in the foregoing that a "ring" as defi- ned will have gross mobility if it possesses a plane of symmetry of the kind illustrated in Figure 4. His approach to the proposition is that of a structural analyst, afitting technique for a phenomenon which can be regarded as asingulardeparturefrom the well-estab- lished principles that govern the rigidity of a structure. This special type of behaviour takes on a different significance when perceived from the vantage point of a kinematician, wherebythe ring is inter- preted as a multi loop overconstrained linkage. Some of the is- sues common to the structural analyst and linkage kinematician have been explicated in (Baker 1980b), and the reader is first referred there in preparationforwhatfollows. [It should be pointed out, however, that the article was edited in such a way that some of the author's intended statements were distorted, and so the interested reader should contact him for a copy of the submitted typescript.]

This Appendix has two purposes. The first is to present an alterna- tive argument for the gross mobilityof the ring by kinematic consi- derations. The second is to show that, with the possible exception of singular cases possessing special metrical properties or degen- eracies, the ring's plane of symmetry is necessary, as well as sufficient, for its unexpected mobility. In order to accommodate the peculiar nature of this journal and its readership, the exposition will be kept as non-specialist as possible, and will rely to some extent on whatever appropriate results may be easily extracted

Dans I'article precedent, le docteur Tarnai a demontre qu'un ccanneau)' tel que defini a une mobil ite grossiere s'il possede un plan de symetrie du type illustre a la figure 4. Son approche a la proposition est celle d'un analyste de structures : une technique d'ajustement pour un phenomene qu'il est possible de considerer comme une exception aux principes bien etablis qui regissent la rigidite d'une structure. Ce type particulier de com portement rev& une signification differente lorsqu'il est percu de la position avan- tageuse d'un cinematicien ; I'anneau est alors interprete comme un mhcanisme surcontraint a boucles multiples. Quelques-uns des resultats propres a I'analyste en structures et au cinematicien des mecanismes ont ete expliques dans (Baker 1980b), et on suggere au lecteur de s'y referer en premier lieu pour se preparer a ce qui suit. [On doit toutefois noter que certains Bnonces in- tentionnels de I'auteur ont ete alteres lors de la publication de I'article ; le lecteur interesse pourra prendre contact avec I'auteur pour obtenir une copie du manuscrit soumis.]

Cet appendice a deux buts. Le premier est de presenter un argu- ment alternatif base sur des considerations cinematiques pour expliquer la mobilite grossiere de I'anneau. Le second est de montrer que, a I'exclusion possible de cas singuliers pourvus de proprietes metriques particulikres ou de degenerescences, le plan de symetrie de I'anneau est necessaire, aussi bien que suffisant, pour sa mobilite inattendue. Afin de s'adapter a la nature parti- culiere de cette revue et de ses lecteurs, la presentation fera appel

TOPOLOGIE STRUCTURAL€ N. 14

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I from the literature.

FIGURE 10

We begin by re-drawing the plan view of Figure 4above as Figure 10, and restrict our attention forthe present to one-half of the ring, wherein we replace the rigid bar-and-joint panels by plates, as shown, of which there will be (2n t 1) . The spherical joints (at the nodes) are concomitantly replaced by hinges along the edges of the plates wherever articulation is relevant. Clearly, there is no kinematic difference between the two formats, and the true joint freedoms have been thereby precisely defined, all passive de- grees of freedom eliminated in the substitution. The base of the assembly is the fixed linkof the latent mechanism, and the ( n t 1) plates hinged to the fixed link have a maximum each of 1 (relative) degree of freedom.

Now, each of the other n plates belongs to a potential spherical linkage (Phillips 1984), a group of four rigid members connected in a single loop with concurrent hinges. This type of kinematic chain forms an essential element in the spout of a cardboard drink carton, for example, and has been featured in various ways by researchers of linkage kinematics, such as in (Bennett 1905, Goldberg 1942, Baker 1981). It is also fundamental to the motion capabilityof Bricard’soctahedra(Bricard 1897, Baker 1980a). Any of these latter plates functions in a “regime” (Baker 1975) which limits its maximum number of degrees of freedom to 3, instead of 6. Each hinge which constrains these members relative to the adjacent ones reduces the number of degrees of freedom of the assemblage by 2. Consequently, the mobility of the half-ring, itself a multiloop linkage, is given by

( n t l ) t n . 3 - 2 n . 2 = 1 ,

as required.

The mobility is independent of the fact that the terminal edges of thefirstand last platesarecoplanar. When wetakeapairof mirror- image chains, however, the plane of symmetry so defined allows us to fasten the two pairs of end-plates rigidly, precisely because the motions of the contiguous plates can be identical. Hence, the

autant que possible a un langage non specialise, et on comptera dans une certaine mesure sur le fait que tous les resultats opportuns puissent ttre aisement retrouves dans la litterature.

On debute en retraqant la vue en plan de la figure 4 comme a la ligure 10, et on ne s’interesse, pour le moment, qu’a I’une des moities de I’anneau dans laquelle on remplace les panneaux ri- gides de barres et de joints par des plaques, comme illustre ; il y enaura(2n t 1). Les jointsa rotule (auxsommets)sont, defacon concomitante, remplaces par des charnieres qui se placent le long des aretes des plaques a chaque fois qu’une articulation est necessaire. De facon evidente, il n’existe pas de difference cinematique entre les deux formats, et les veritables liberles de joints ont ete de ce fait definis de facon precise, tous les degres de liberte passifs etant elimines lors de la substitution. La base de I’assemblage est le membre fixe du mecanisme latent, et les ( n t 1) plaques liees par une charniere au membre fixe possedent chacune un maximum de 1 degre (relatif) de liberte.

Maintenant, chacune des autres n plaques appartiennent a un mecanisme spherique potentiel (Phillips 1984), un groupe de quatre membres rigides lies en une boucle simple a I’aide de charnieres concourantes. Ce type de chaine c inhat ique cons- titue, par exemple, un element essentiel du becd’un carton de lait. Les chercheurs du domaine de la cinematique des mecanismes I’ont etudie de diverses facons (Bennett 1905, Goldberg 1942, Baker 1981). Elle est aussi fondamentale en ce qui a trait a la capacite de mouvement des octaedres de Bricard (Bricard 1897, Bakerl980a). Chacunede ces plaquesfonctionneal’interieurd’un ((regime)) (Baker 1975) qui limite a 3, au lieu de 6, son nombre maximal de degres de liberte. Chaque charniere qui etablit une contrainte sur ces membres relativement aux membres adjacents reduitde2 lenombrededegresde libertedel’assemblage. Conse- quemment, la mobilite du demi-anneau, qui est lui-mtme un mecanisme a boucles multiples, est donnee par

( n t l ) t n . 3 - 2 n . 2 = 1 ,

tel que demand6

STRUCTURAL TOPOLOGY R 14

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existence of a plane of symmetry for the ring is, apparently, both necessary and sufficient for its mobility. This conclusion is easily verified by calculating the mobility of the whole ring in the absence of a plane of symmetry. Using the above algorithm, we obtain the result

2 n t 2 n - 3 - 4 n - 2 = 0 ,

indicating that the ring would be a (simply rigid) structure.

Nevertheless, the possibility of some other special geometry giv- ing rise to motion capability is not precluded. In this context, the reader mayfind (Baker 1979, BakerandYu 1983) enlightening. Dr. Tarnai has also commented on the feasibility of asymmetric con- figurations of the ring, but gross mobility in such cases would depend on very special geometrical properties. Such speculations must be kept in perspective, however. The particular character of the ring's composition (its overconstraining properties) has been allowed for in the preceding arithmetic calculations. The classical (Grubler) method of counting linkage freedoms would have indi- cated a mobility of -6n for the ring. In the case of the remarkable Bricard octahedra, the classical count yields a mobility of -18 and one based on the above considerations indicates -3 ; the actual mobility of unity results from a large number of parametric condi- t ionsfor each of the three forms. The Bricard octahedra, of course, are not included in Dr. Tarnai's classification of ring structures. .11l11.

La mobilite est independante du fait que les ardtes terminales des premiere et derniere plaques soient coplanaires. Toutefois, lorsqu'on considere une paire de chaines symetriques, le plan de symetrie ainsi defini permet de lier les deux paires de plaques terminales de faGon rigide, precisement parce que les mouve- ments des plaques contigues peuvent dtre identiques. Ainsi, I'existence d'un plan de symetrie dans I'anneau est, apparemment, a la fois necessaire et suffisante a sa mobilite. On peut verifier facilement cette conclusion en calculant la mobilite de I'anneau entier en I'absence d'un plan de symetrie. En utili sant I'algorithme precedent, on obtient le resultat suivant :

2n t 2n.3-4n .2 = 0 ,

ce qui indique que I'anneau sera une structure (simplement rigide).

Neanmoins, la possibilite qu'une certaine geom etrie particuliere donne lieu a la capacite d'un mouvement n'est pas exclue. Dans ce contexte, (Baker 1979, Baker & Yu 1983) seront revelateurs. Le docteur Tarnai notait aussi la possibilite de realise r des anneauxde configurations asymetriques, mais, dans de tels cas, la mobilite grossiere depend de proprietes geometriques tres particulieres. On doit toutefois garder en perspective de telles speculations. Le caractere particulier de la composition de I'anneau (ses proprietes amenant une surcontrainte) a ete pris en consideration dans le calcul arithmetique precedent. La methode classique (Grubler) pour denombrer les degres de liberte d'une liaison aurait indique une mobilite de -6n pour I'anneau. Dans le cas des remarquables octaedres de Bricard, le denombrement classique donnerait une mobilite de -18 et celui fonde sur les considerations precedentes indiquerait -3 ; la veritable mobilite de I'unite e s t le resultat d'un grand nombre de conditions parametriques pour chacune des trois formes. Les octaedres de Bricard, evidemment, ne sont pas i n c h dans la classification des structures en anneau du docteur Tarnai. .11111.

BlBLlOGRAPH Y

TARNAl

FOEPPL 1888 August Foeppl Ueber das rhmiiche Fachwerk. Sclweizerische Bauzeitung 11 (1888),

Analysis of statically and kinematically indeterminate reticulated domes

Analyse des ddmes reticules statiquement el cinematiquement indetermines

HALMOS 1974 Paul R Halmos Finite-dimensional vector spaces. Springer-Verlag New York 1974

Theorems with respect to the rank of matrices

Theoremes concernant le rang des matrices

11 5-117

ADDlTlONAL BfBLlOGRAPHY BlBLIOGRAPHlE ADDlTlONNELLE BAKER

BAKER 1975 J o n Eddie Baker Mobility Analyses of Spatial Linkages. Doctoral Dissertation The University of New South Wales Sydney 1975

Mobility criteria for overconstrained linkages

Criteres de mobilite pour les mecanismes surcontraints

BAKER 1979 J o n Eddie Baker A Compendium of Line-Symmetric Four- Bars. ASME Transactions J M e c l Design 101

Relationship between line-symmetry and mobility in linkages

Relation entre la symetrie par rapport a une droite et la rnobilite dans les mecanismes

BAKER 198Oa J o n Eddie Baker An Analysis of the Bricard Linkages. Mechanism and Machine Theory 15

An algebraic analysis of the mobility of Bricard s linkages and octahedra

Une anaiyse algebrique de la mobiiite des mecanismes et des octaedres de Bricard

(1979) 509-514

(1980) 267-286

____- --- -- ^ I -*-" *,. .- . ,

PELLEGRINO & CAUADINE 1984 S. Pellegrino and C R. Calladine Matrix analysis of statically and kinematically indaterininate frameworks. Department of Engineering, University of Cambridge, reporl CUEDiD-strucVV4 110 (1984). Final version Int. J. Solids Structures, 22 (1986), 409-428.

lnfinitesimal and finite mechanisms, stiffening effect of self-stress on mechanisms.

Mbcanismes finis et infinitesimaux, effets des autocontraintes sur /'augmentation de la rigidite des mecanismes.

TARNAi 1980 Tibor Tarnai Simultaneous static end kinematic indeterminacy of space trusses with cyclic symmetry. Int J. Solids Structures 16 (19801, 347- 359

Rigidity of reticulated cylindrical towers

Rigidite des tours cylindriques reticulees

TARNAi 1984 Tibor Tarnai Bifurcation of aquiiibrium and bifurcation of compatibility. 16th IUTAM Congress, Lyngby Denmark August 1984 Abstract of Lectures lecture 652

Bifurcation of the manifoids of the kinematic parameters

Bifurcation des varietes des parametres cinematiques

WADE 8 HEYMAN 1985 Elizabeth Carol Wade and Jacques Heyman The timber octagon of Eiy Cathedral. Proc lnstn Civil Engineers Part I 1985 78 Dec 1421-1436

Structural repod on a staticaly and kinematically indeterminate structure

Rapport structural au sulet d'une structure statiquement el cin&nahouement indeterminee

WHITELEY 1985 Walter Whiteley When is a cylindrical tower rigid? Colloquium on Intuitive Geometry Balatonszeplak Hungary May 1985 Abstracts p 58

Infinitesimal rigidity of reticulated cylindrical towers

Rigidite infinitesimale des tours cylindriques reticulees

WUNDERLICH 1982 Walter Wunderlich Projective invariance of shaky structures. Acta Mechanica 42 (1982) 171.181

A proof of the theorem on prolective invariance of infinitesimal mechanisms

projective des mecanismes infinitesimaux

Une preuve du theoreme de l invariance

BAKER 1980b J o n Eddie Baker On Structures and Linkages. Structural Topology 5 (1980) 39-44

An ovewiew of kinematical techniques applicable to structural concerns

Un survol des techniques cinematiques applicables au contexte structural

BAKER 1981 J o n Eddie Baker On Mobility and Relative Freedoms in Muitiioop Linkages and Structures. Mechanism and Machine Theory 16

Relative and total numbers of degrees of freedom for complex linkages and structures

Nombres relatifs et totaux de degres de libede des mecanismes complexes et des structures

(1981) 583-597

BAKER & YU 1983 J o n Eddie Baker and Yu Hon-Cheung On Spatial Analogues of Kempe's Linkages and Some Generaiisations. Mechanism and Machine Theory 18 (1983) 457 466

A geometrical and algebraical investigation into the feasibility of constructing mobile spatial ensembles from various known overconstrained linkages by way of analogy with certain planar networks of linkages

Une recherche geometrique et algebrique sur la faisabilite de la construction d ensembles spatiaux mobiles a padir de divers mecanismes surcontraints connus en utilisant l anaiogie avec certains reseaux planaires de mecanismes

BENNETT 1905 G T Bennett The Parallel Motion of Sarrut and Some Allied Mechanisms. Philosophical Magazine 6s IX (1905)

A discussion of the possibilities for constructing hybrid linkages from simple ones

Une discussion sur les possibilites de construction de mecanismes <<hybrides. a partir de mecanismes simples

803-810

BRICARO 1897 Raoul Bricard Mdmolre wr la thdorie de i 'octaldn artlcuid. J. math pures et appl., Liouville. 3

Determination of the existence criteria for "deformable" octahedra 0 Determination du critire d'existence d'un octakdre ~~d8 fo rmab le~~

GOLDBERG 1942 Michael Goldberg Polyhedral Linkages. National Mathematics Magazine. XVI

The fabrication of spatial linkages from hinged flat plates.

l a fabrication de mecanismes spatiaux 2 partir de plaques planes a charnieres.

PHlWPS 1984 Jack R. Phillips Fnedom in Machinery. V.1, introducing S c w Theory. C.U.P., Cambridge, 1984.

A treatise on freedom and constraint in machine components via the theory of screws.

Un traite sur la libed.4 et la contrainte dans les composantes de machines utllisant la thborie des vis.

(1897), 113-148

(1942). 323-332