fisica - cap 02 - cinematic a en 1 dimension

8/7/2019 Fisica - Cap 02 - Cinematic A en 1 Dimension

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MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIN

Captulo 2


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2

CONTENIDOS:

Posicin.

Sistema de Referencia. Trayectoria.

Desplazamiento. Velocidad media e instantnea.

Aceleracin media e instantnea. M.R.U.A.

Caso Particular: g= a


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Ejemplos de movimientos en una dimensin:


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4

POSICIN

O x(t)

El mvil siempre posee una posicin.

x

r

La posicin es la MF que mide dnde est la

partcula en un determinado instante t.r

El cuerpo en movimiento (mvil) se considerar comouna PARTCULA, es decir como un punto con masa.


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5

POSICIN

O x(t)

x

r

El vector posicin se define como el vector quecomienza en el origen del SR y termina dnde se

encuentra la partcula.

rEl eje cartesiano x est fijo a la Tierra y sta y el ejeforman lo que se llama el Sistema de Referencia (SR).

r (t) i=

x


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POSICIN

De su definicin se deduce que la posicin deuna partcula:

es una MF Vectorial,

que sus dimensiones son: L1M0T0 = L y suUM en el SI es el metro = m y

que ella depende del SR y de dnde est lapartcula en el instante que interesa.


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La partcula se mueve en una lnea recta, eje xen este ejemplo.

Puede alejarse o acercarse respecto del origendel SR o combinaciones de ambos movimientos.

La partcula comienza su movimiento en unpunto xo en el instante to : Posicin inicial.

En el instante t1 (t1 > t0) ocupaba la posicin x1 ; En el instante t2 (t2 > t1) ocupaba la posicin x2 y

En el instante t ocupa la posicin x(t)

POSICIN


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La Trayectoria de la partcula, en estos casos, esuna lnea recta y est determinada por losdiferentes puntos que ha ocupado, ocupa y ocuparla partcula.

Cmo se anotan estos diferentes puntos por dondepasa la partcula?

O

t 1

x 1x(t)

t 2

x 2

x

POSICIN

t


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9

Cuando la trayectoria de una partcula es unalnea recta el movimiento de dicha partcula se

denomina Movimiento Rectilneo (MR).La ecuacin que nos dice dnde est la partcula en

cualquier instante t se llama Ecuacin de Itinerario.

Y es la LEY fundamental de la cinemtica.

POSICIN

r r(t)=


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DESPLAZAMIENTO.

Se define como el cambio de posicin de unapartcula mientras se mueve entre dos posiciones.

El desplazamiento es la MF que mide cunto hacambiado la posicin y en qu direccin.

1 1 r ix=t1: 2 2 r ix=t2: Por definicin la posicin para cada instante es:

O x 1t 1

x 2

t 2

1r

2r

r

x


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1 2r r = r+ Por suma de vectores se tiene:

Luego:

2 1r r r =

Donde es el vector desplazamiento. O sea, es la posicin final menos la posicin inicial.

r

DESPLAZAMIENTO.


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El desplazamiento de una partcula es un vector,cuya completa interpretacin requiere conocer:

su valor (mdulo o magnitud) y la direccin enque est dirigido.

DESPLAZAMIENTO.

En la direccin x se tiene:

2 1 2 1; (t ) (t ) = = x x x x x x


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1. El vector desplazamiento est relacionado con elcambio de posicin del cuerpo;

2. Se consideran dos posiciones: la posicin inicial x1que ocupa la partcula en el instante t1 y laposicin final x2 que es en donde se encuentra enel instante t2

3. El mdulo del vector desplazamiento es unalongitud, luego se mide en metros.

Observaciones:

DESPLAZAMIENTO.


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4. La magnitud del vector desplazamiento casi

nunca coincide con el camino recorrido.

DESPLAZAMIENTO.

Ejemplo: Una partcula va desde el punto A alpunto B y despus al punto C.

Determinar el mdulo del desplazamiento y elcamino recorrido


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= AC = ACx Camino recorrido = Suma de mdulos de AB y BC

A CB

Mdulo del desplazamiento = Mdulo del vector AC

d = AB + BC = AB + BC

DESPLAZAMIENTO.

Ejemplo:


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16

5. Respecto del signo del vector desplazamiento:

Si es (+) implica que el cuerpo se ha

desplazado en la direccin positiva del eje dereferencia.

Si es (-) indica que la partcula se hadesplazado en la direccin negativa del eje dereferencia.

Si el vector resultante es nulo significa que elcuerpo volvi al mismo lugar desde el cual

parti o que nunca se movi del lugar.

DESPLAZAMIENTO.


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Ejemplo:

La posicin de una partcula est dada por laecuacin de itinerario siguiente:

Determinar su desplazamiento entre 2 s y 4 s

DESPLAZAMIENTO.

22m m5m 10 t 2 ts s= + x


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Para el instante inicial: t1 = 2 s

La posicin inicial es: x1 = 5 + 10*2 2*22

x1 = + 7 m

Para el instante final: t2 = 4 s

La posicin final es: x2 = 5 + 10*4 2*42

x2 = + 3 m

DESPLAZAMIENTO.

Ejemplo:

17 m i = +x

2 3 m i = +x

Segn la ecuacin de itinerario dada:


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Por definicin el desplazamiento es:

4 m i =

x

DESPLAZAMIENTO.

Ejemplo:

Por lo tanto:

2 1 = x x x

( 3 7 ) m i = x


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20

VELOCIDAD MEDIA.

1 1 r i= x 2 2 r i= x

x1 x2

x

0r

2 1 r ( ) i = x x2 1r r r =

La velocidad media es la MF que mide cun rpido yen qu direccin se est desplazando una partcula,para un intervalo de tiempo dado.

Por definicin de posicin y desplazamiento, para losinstantes t1 y t2 se tiene:


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21

El tiempo empleado es:

2 1r r r = Para el desplazamiento:

Se define la velocidad media como el desplazamientorealizado por unidad de tiempo.

desplazamiento realizadovelocidad media

tiempo empleado=

VELOCIDAD MEDIA.

2 1t t t =


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22

Luego la velocidad media de la partcula entre lasposiciones inicial y final (o entre los instantes t1 y t2)es:

rv

t

=

La componente escalar de la velocidad media enel eje x es:

v tx

x =

VELOCIDAD MEDIA.

2 1

2 1

r rv

t t

=

2 1

2 1

vt t

x

x x =


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2.- La velocidad media se mide en m/s

3.- La velocidad media depende en formadirecta del desplazamiento e inversa deltiempo.

4.- Si = 0 m/s puede significar que elcuerpo no se ha movido de su posicin obien hizo un viaje y volvi al mismo puntodesde el cual parti.

Observaciones:1.- La velocidad media es una MF vectorial.

VELOCIDAD MEDIA.


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24

Ejemplo: La posicin de una partcula est dada por

Determinar su velocidad media entre 2 s y 4 s

El desplazamiento, determinado antes, es:

r 4 m i = El intervalo de tiempo es:

VELOCIDAD MEDIA.

2

2

m m

5m 10 t 2 ts s= +

x

t 4s 2s 2 s = =


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25

Ejemplo:

Luego, por definicin la velocidad media es:

rv

t

=

VELOCIDAD MEDIA.

m v 2 isx

=

4 m iv

2 sx

=


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26

La velocidad instantnea de una partcula es suvelocidad media determinada en un intervalo detiempo muy pequeo.

Tan pequeo, que se puede considerar un instante.

VELOCIDAD INSTANTNEA.

x(t1) x(t2)x(t)0

x

La velocidad instantnea es la MF que midecun rpido y en qu direccin se estdesplazando una partcula, para un instante de

tiempo dado.


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27


Matemticamente corresponde a:

t 0

r

v lim t =

2 1

t 02 1

(r r )v lim(t t )

=

t 0

v lim v

= < >

VELOCIDAD INSTANTNEA


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Usando clculo la velocidad instantnea es :

La velocidad instantnea se puede determinarcalculando la derivada de la posicin de lapartcula respecto del tiempo.

drv

dt=

La componente escalar de la velocidad instantneaen una dimensin es: d

v dtx

x

=




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29

Ejemplo: La posicin de una partcula est dada por:

Determinar:

a) su velocidad media entre 2 s y 3 s y entre 2 s y 5 s

b) su velocidad instantnea en 2 s; 3 s y 5 s

a) Sea: t1

= 2 s t2

= 3 s t3

= 5 s

x1 = + 28 m x2 = + 28 m x3 = + 4 m


22

m m4m 20 t 4 t

s s

= + x

Reemplazando en la ecuacin de itinerario dada, se tiene:



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a) Por definicin de velocidad media se tiene:


2 1

2 1

vt t

x

x x = 12

28m 28mv 3s 2s

< > =

13

m v 8 is

< > = 12 m v 0 is< > =

13

4m 28mv 5s 2s

< > =



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O sea:

b) Por definicin de velocidad instantnea se tiene:


dv

d t=

x

x

2

m mv 20 8 t

s s=

x

Luego: 1m v 4 is

= +x

2m v 4 is

= x

3

mv 20 is= x


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Velocidad Instantnea a partir de un Grfico x = x(t)

O

x

x

t

0

m

s

Velocidad Media de la partcula entre los instantes t y t :


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33

x

t

x = x(t)

t1

x2

xt

V

t

=x

x

Velocidad Media de la partcula entre los instantes t1 y t2:

x1

x

tt2 s

m

0

O sea, la velocidad mediaes la pendiente de la recta

que une los puntos 1 y 2

Velocidad Instantnea en: x = x = x(t )


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34

x

t

x = x(t)x

t

x1

t1

La velocidad instantnea, v1, es el valor de la pendiente

para la tangente a la curva x(t) en el punto (t1,x1).

Velocidad Instantnea en: x = x1 = x(t1)

s0

m

Velocidad Instantnea en: x = x(t)


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35

x

t

x = x(t)

xt

m = = vt

xx

Tangente

x

t

Una vez trazada la tangente, el valor de su pendientenos da la velocidad instantnea en el punto x.

Velocidad Instantnea en: x x(t)m

s0



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Ejemplo: La posicin de una partcula est dada por

Determinar:a) la velocidad instantnea en 2 s y 5 s

b) dibuje la curva x = x(t) y encuentre grficamentela velocidad en 2 s y 5 s

22m m24 t 2 ts s= x




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a) La velocidad es:

b) Tarea.


Ejemplo:

2

m mv 24 4 t

s s

= x

Luego:

1v 24 4 2= ix

2v 24 4 5= ix

1

mv 16 isx = +

2 m v 4 isx= +

ACELERACIN


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Si sobre una partcula de masa m se ejerceuna fuerza total no nula, entonces la partculase mover con una cierta aceleracin.

ACELERACIN.

Se evidencia que un cuerpo est acelerado cuando:

cambia su velocidad en mdulo,

cambia su velocidad en direccin o

cambia su velocidad en mdulo y en direccin

simultneamente.

ACELERACIN


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39

Si sobre una partcula de masa m acta unafuerza resultante no nula, entonces la partcula

se mover con una cierta aceleracin.

ACELERACIN.

Si una partcula tiene aceleracin, entonces ella

tiene, continuamente, un cambio de velocidad y,por supuesto, un cambio de su posicin.

La aceleracin es la MF que mide cun rpidoest cambiando la velocidad y en qu direccin.

ACELERACIN


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40

Ejemplo:v

GF

ACELERACIN.

ACELERACIN


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41

RF

ACELERACIN.

Ejemplo:

ACELERACIN


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42

Si conoce las velocidades en dos instantes, entoncesla definicin de la aceleracin media es:

RFm

a =

2 1

2 1

v v

t t

=

a

ACELERACIN.

Si se conoce la fuerza resultante, ,sobre m,entonces la aceleracin es:

RF

v

t

= a

ACELERACIN.


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La definicin de aceleracin instantnea es:

t 0

vlim

t =

a

ACELERACIN.

d v

d t= a

Es decir, la aceleracin media es igual al cambiode la velocidad por unidad de tiempo, para unintervalo de tiempo dado.

Es decir, la aceleracin instantnea es igual a la

derivada de la velocidad con respecto al tiempo.

ACELERACIN.


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Caso unidimensional:

2 1

2 1

v v

t t

= x xxa La componente escalar de la aceleracin media es:

La componente escalar de la aceleracin instantnea:

t 0

vlim

tx

xa

=

ACELERACIN.

dv

dt= x

xa

ACELERACIN.


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Observaciones:1.- La aceleracin es una MF vectorial.

2.- El signo asociado a la aceleracin depende slode la direccin del sistema de referencia y de ladireccin de la aceleracin.

x

a

xa

> 0a

< 0a

ACELERACIN.

ACELERACIN.


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4.- La aceleracin puede o no ser constante, es decirpuede o no cambiar en el tiempo.

ax

= (3t 2,8) m/s2

ax = + 4,7 m/s2

ax

= 9 sen(6,28t) m/s2

ax = 0 m/s2

Por ejemplo:

C C N.

3.- La aceleracin tiene dimensiones L1M0T-2, luegose mide en m/s2 y

Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado.


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47

2 1

2 1

v v

t tx

x x

a

=

Considerando el punto 1 como el punto de partida

y designando sus caractersticas como: t0; x0; v0x

O x1 x2

t1 t2

v1x v2x

x

Como la aceleracin es constante, la aceleracin

instantnea es igual a la aceleracin media, o sea:

2 0v vx x


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0

0

v v

t t

x

x xa

=Si el punto 2 es uno cualquiera de la trayectoria,

entonces no es necesario especificar el nmero 2:

2 0

2 0t t

x

x xa =

Luego:

Esta es la ley que permite determinar vx

en funcin

del tiempo t, o sea vx = vx(t), para un M.R.U.A.

( ) 0 0v v t t xx x a+ =

Ecuacin de Itinerario del M.R.U.A..


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Ahora, determinemos la posicin de la partculapara cualquier instante, o sea x = x(t)

to

xov0x

Existen dos mtodos para obtener x(t) cuando seconoce la aceleracin y las condiciones iniciales:

mtodo grfico y mtodo analtico.

x

m0

t

xv

x

a) Mtodo grfico.


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El rea que existe entre el eje del tiempo, la rectav

x

(t) y los trazos punteados para t0

y t, da eldesplazamiento, para ese intervalo de tiempo.

El grfico de la ecuacin vx = v0x + ax (t t0) es:

vx

t0 t

tv0x

vx

0

vx

vx

= vox + ax (t - t o )


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0 0 0 0 01" rea" v (t t ) (t t ) v v2x x xx x= + =

0 0 0 0 0

1

v (t t ) (t t ) (t t )2x xx x a = +

2

0 0 0 0

1v (t - t ) (t t )

2x x

x x a = +

t o t

vx

vox ax (t t o )

t

vx

v0x

0

Ecuacin de Itinerario del M.R.U.A..


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52

Luego, la ecuacin de itinerario de la partcula es:

20 0 0 0

1v (t t ) (t t )

2x xx x a= + +

Esta es la ley que permite determinar la posicin xen funcin del tiempo t, o sea x = x(t), para unM.R.U.A.

Ejemplo:m/s vx


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53

85 14

t

10

- 3s

04

11

Determine el desplazamiento para los intervalos:

a) 0 s a 6 s

b) 6 s a 11 s

c) 11 s a 14 s

b) Mtodo Analtico.


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Sea ax la aceleracin constante del mvil.

Las condiciones iniciales del movimiento de lapartcula para el instante t0 son: posicin x0 yvelocidad v0x.

0 x0

t0

v0x

vx

x

x

t

Conocida la expresin matemtica de la aceleracinl d d t i l id d


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que posee el cuerpo, se puede determinar su velocidad

y su posicin, usando el mtodo de integracin.

Por definicin de aceleracin se tiene:

dv

dt

x

x

a =

dv dtx x

a=

d v d tx x

a=

Integrando la ecuacin anterior, se tiene:

La velocidad vara entre v0x y vx, la aceleracin es


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0x xuna constante y el tiempo cambia de t

0a t, o sea:

0 0

v t

v tdv dt

x

x

x xa=

El resultado de esta operacin es:

Luego la velocidad es:

( ) 0 0v v t t xx x a+ =

( ) 0 0v v t t xx x a =

Ahora, determinaremos la posicin x = x(t)


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Por definicin de velocidad se tiene:d

vdtx

x= d v dtx

x =Reemplazando la ecuacin de la velocidad, se tiene:

0 0d (v t t ) dtx x xx a a= + 0 0

d v dt t dt t dtx x x

x a a= +

]0 0d v (t t ) dtx xx a= +

Integrando la ecuacin anterior, se tiene:


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58

0 0 0 0

t t t

0 0t t t

dx v dt t dt t dtx

x x x

x

a a= + El resultado de esta operacin es:

2 2

0 0 0 0 0 0

1

v (t t ) (t t ) t (t t )2x x xx x a a = + Y ordenando estos trminos se tiene:

20 0 0 0

1v (t t ) (t t )

2x xx x a= + +

De las dos leyes del M.R.U.A., x = x(t) y vx

= vx(t),

d b l l d


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Demostracin:

se puede obtener una tercera ley, la que da vx

enfuncin de x, o sea, vx = vx(x)

Se despeja (t t0) de la ley de vx(t) y se reemplazaen la ley de x(t), es decir:

00

v vt t x x

xa

=2

0 00 0

(v v ) (v v )1v

2x x x x

x x

x x

x x aa a

= + +

Simplificando se tiene:


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Resolviendo los parntesis del segundo miembro y

reordenando los trminos se llega a:

20 0 0 01 1v (v v ) + (v v )2x x x x x

x x

x xa a

= Multiplicando por 2ax se tiene:

20 0 0 02 ( ) 2v (v v ) (v v )x x x x x xa x x = +

2 20 0v v 2 ( )x x xa x x= +

Caso Especial: Aceleracin de Gravedad.


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61Superficie Terrestre

Todo objeto ubicado en las cercanas de lasuperficie de la Tierra es atrado por ella.

m

Todo objeto (en reposo o en movimiento) ubicadoa unos pocos kilmetros de la superficie terrestre,y debido slo a la influencia de la Tierra, tiene una

aceleracin de 9,8 m/s2 dirigida hacia el centro deella, llamada aceleracin de gravedad, g

g

Un cuerpo puede bajar, subir o ser lanzado en


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Superficie Terrestre

cualquier direccin y la aceleracin de gravedadsiempre est dirigida hacia el centro de la Tierra.

v

g g gvv

Signo asociado a la aceleracin de gravedad.


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Superficie Terrestre

y

0

2

mg = 9,8

s 2mg = 9,8 s+

y

0

Leyes del Lanzamiento Vertical, hacia arriba yhacia abajo y de la Cada Libre


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Usando el sistema de referencia mostrado, conorigen en la superficie terrestre, se tiene:

2

0 0 0 0

1v (t t ) g(t t )2yy y= +

hacia abajo, y de la Cada Libre.

y

0

m

g

2

mg 9,8 cte.

sya = = =

0 0v v g(t t )y y=

2 2

0 0

v v 2g( )y y

y y=

Ejemplo:

U l t l d d d l i ti l t h i ib


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65

Una pelota es lanzada, desde el piso, verticalmente hacia arribacon una rapidez inicial de 15 m/s

a) Cunto tiempo demora en alcanzar la altura mxima?

b) Cunto es la altura mxima alcanzada?c) Determine la velocidad para t = 2 s

d) Determine la velocidad con que llega al piso.e) Determine la aceleracin en el punto de altura mxima.

f) Determine el camino recorrido por la pelota.g) Resuelva el problema colocando el origen del sistema dereferencia en el punto de altura mxima.

Caso General.


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Si se considera el caso general en que el mvilse puede mover en una de las tres direccionesdel espacio clsico, las leyes del M.R.U.A. son:

2

0 0 0 0

1

r r v (t t ) (t t )2 a= + +

cte.a = 0 0v v (t t )a= +

2 20v v 2 ra= + i

Casos Particular.


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67

Si se considera el caso especial enque el instante inicial sea t0 = 0 s, lasleyes del M.R.U.A. se reducen a:

2

0 0

1

r r v t t2 a= + +

cte.a = 0v v ta= +

2 20v v 2 ra= + i

fisica - cap 02 - cinematic a en 1 dimension

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