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Vibraciones y Aeroelasticidad
Dpto. de Vehículos Aeroespaciales
P. García-Fogeda Núñez & F. Arévalo Lozano
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
Flutter Phenomenon
PART 1: AEROELASTIC EQUATIONS WITHOUT EXPLICIT
FORMULATION OF AERODYNAMIC TERMS
Next weeks…
PART 2: FORMULATION OF THE AERODYNAMIC FORCES
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CLASSICAL LINEAR FLUTTER WHERE WE ARE IN THE COLLAR’S DIAGRAM ?
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PHYSICAL EXPLANATION OF FLUTTER … FIRST CONTACT …
General
V-Tail Flutter
Aeromodel
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PHYSICAL EXPLANATION OF FLUTTER … CONCEPT OF NORMAL MODES IN THE A/C …
Generic Transport Aircraft (GTA) FE Model
2D “Typical Section”
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PHYSICAL EXPLANATION OF FLUTTER … an easy-to-understand phenomenon with a tricky mathematical treatment …
“ It has been said that the development
of unsteady airload theory for
oscillating wings did more to promote
misunderstanding of the flutter
phenomenon that any other factor” (Bisplinghoff, “Principles of Aeroelasticity”)
Then, let’s start today with a physical explanation of the
flutter with focus on:
UNSTEADY AERODYNAMICS
COALESCENCE OF MODES
CONTROL SURFACE FLUTTER
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PHYSICAL EXPLANATION OF FLUTTER – UNSTEADY AERODYNAMICS “Typical Section” with pure rotational motion
Let’s start with …
1DOF: Pure rotation around the elastic axis
Let’s assume we know the expression of the aerodynamic moment (next slide)
Let’s play with the equations !
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PHYSICAL EXPLANATION OF FLUTTER – UNSTEADY AERODYNAMICS Equations with aerodynamic terms
Notes: photo from http://history.nasa.gov/SP-4305/ch4.htm
Theodore Theodorsen, the NACA 's Norwegian import,
complained that many LMAL engineers were weak in
mathematics.
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PHYSICAL EXPLANATION OF FLUTTER Unsteady Aerodynamics – The influence of the wake
For this example … R
Rotational axis ahead of
¼-chord line
Reduced frequency k
less than 0.0435
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PHYSICAL EXPLANATION OF FLUTTER – COALESCENCE OF MODES “Typical Section” with heaving (bending) + pitching (torsion)
For this example … R
Lift is determined by the
instantaneous angle of attack
Lift acts at the aerodynamic
center
(t)
U
L
MAC
AC
h(t)
EA
Kh
K
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PHYSICAL EXPLANATION OF FLUTTER – CONTROL SURFACE Control Surface deflection coupled with bending / torsion
Mass balance move forward the CS CoG
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LAGRANGE’S EQUATIONS OF 3D “TYPICAL SECTION”
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LAGRANGE’S EQUATIONS Kinetic Energy
EA
(t)
c
h(t)
x
z
U
Kh
K
K
h(t=0)
c(t=0)
1c/2
2c/2
3c/2
c/2 c/2
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LAGRANGE’S EQUATIONS Damping
Viscous damping proportional to the speed (Fluid viscosity, dampers,…)
Structural damping proportional to the displacement (Mechanical friction)
Dam
pin
g f
orc
e f
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LAGRANGE’S EQUATIONS Elastic Deformation
EA
(t)
c
h(t)
x
z
U
Kh
K
K
h(t=0)
c(t=0)
1c/2
2c/2
3c/2
c/2 c/2
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FORMULATION OF LAGRANGE EQUATIONS Non-dimensional formulation
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FORMULATION OF LAGRANGE EQUATIONS h-DOF INERTIA FORCES
(t)
c(t)
x
z
U
EA
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FORMULATION OF LAGRANGE EQUATIONS -DOF INERTIA FORCES
(t)
c(t)
x
z
U
EA
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FORMULATION OF LAGRANGE EQUATIONS c-DOF INERTIA FORCES
(t)
c(t)
x
z
U
EA
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AEROELASTIC EQUATION IN FREQUENCY-DOMAIN Harmonic response is assumed
Solution Method #01: Set equal to zero both real and
imaginary parts to obtain “k” and “”
What happens if rigid body modes are involved in the motion ?
Alternative method: invert the mass matrix
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Solution Method #02: Vg-METHOD
NOTE: The structural damping
is substituted by a generic “g”
and the problem is converted
into an EIGENVALUE
PROBLEM with iteration in “k”
till “g” matches the structural
damping “g”
NO FLUTTER
FLUTTER
DIVERGENT
Mode 2
Mode 1
Mode 2
Mode 1
FLUTTER
POINT
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… AND THE REAL SITUATION : AIRCRAFT DESIGN AEROELASTIC MODEL OF THE A330-MRTT TANKER AIRCRAFT
FINITE ELEMENT MODEL
LUMPED MASS MODEL
UNSTEADY SUBSONIC AERODYNAMICS
(DOUBLET-LATTICE METHOD)
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AND … IN MORE COMPLEX STRUCTURES LIKE A/C
Finite Element Model to obtain
1. Mass Matrix (lumped masses) [Mij]
2. Stiffness Matrix [Kij]
3. The normal modes (generalized
coordinates or DOFs) [ij]
Aerodynamic Doublet-
Lattice Model to obtain
the generalized aero
forces [Qij]
[ij]
=0
Notes: see videos of flutter calculations
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… AND THE REAL SITUATION : AIRCRAFT DESIGN FLUTTER EQUATION AND VG METHOD
Contrary to the “typical section”, the aerodynamic forces depend on Mach number and the Vg
method will require iterations to match density (flight altitude), Mach number, and Flight Speed.
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… AND THE REAL SITUATION: FLUTTER EQUATION AND VG METHOD
FLIGHT SPEED [KTAS]
FR
EQ
UE
NC
Y [
Hz] “k” increases
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INFLUENCE OF PARAMETERS ON FLUTTER SPEED RATIO h/
Moderate aft CG location
Ratio bending/torsion around 1.0
Assuming incompressible flow
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INFLUENCE OF PARAMETERS ON FLUTTER SPEED Mass parameter
Linear tendency
Dense medium (Light personal airplanes at low
altitude, submerged lifting surfaces on
high-speed ships and submarines, …)
Assuming incompressible flow
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INFLUENCE OF PARAMETERS ON FLUTTER SPEED Distance CoG to AC : ½ + a + x
h/ = 0
2m/bS = 10
r = 0.5
Principle of mass balancing: a CoG ahead of the Elastic Axis (EA) suppresses flutter completely, at least for the forward EA
positions (a<0)
1 / 2 a
x
h/ = 0.707
2m/bS = 10
r = 0.5
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INFLUENCE OF PARAMETERS ON FLUTTER SPEED Effect of Mach number
h/ = 0
a=0
x=0.2
r=0.5
Flight at a fixed ambient state
corresponds to a certain horizontal
straight line; no flutter is expected if this
line falls entirely within the stable zone for
all Mach numbers of interest
Tra
nsonic
Supersonic Subsonic
STABLE UNSTABLE
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Next weeks… the wild side of the Aeroelasticity:
UNSTEADY AERODYNAMICS
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“Escuela Técnica Superior de Ingeniería Aeronáutica y del Espacio”
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID