forelesningsnotater i fys398 – fysikk i stråleterapifolk.uio.no/emalinen/underv/fys398.pdf(eller...
TRANSCRIPT
FYS398 – Fysikk i stråleterapi
Versjon 1.1 August 2002
Eirik Malinen
Fysisk institutt
Universitetet i Oslo
Postboks 1048 Blindern
0316 Oslo
Kilder
Bøker:
David W. Anderson: “Absorption of Ionizing Radiation” (ISBN 0-8391-1821-X).
Frank H. Attix: "Introduction to Radiological Physics and Radiation Dosimetry"
(ISBN 0-471-01146-0).
Lars Hallstadius & Sven Hertzman: “Joniserande strålnings vekselverkan med
materia” (Lunds Universitet).
P. C. Hemmer: “Kvantemekanikk” (ISBN 82-519-1564-3).
Faiz M. Khan: "The Physics of Radiation Therapy" (2. ed., ISBN 0683-04502-4).
Rapporter, artikler, nettpublikasjoner og notater:
IAEA (International Atomic Energy Agency).
ICRU (International Commission on Radiation Units and Measurements).
NIST (National Institute of Standards and Technology).
P. Andreo, M. J. Berger, G. A. Carlsson, J. H. Hubbell, I. Kawrakow, L. Kissel, S.
Kullander, N. Olsson, R. Ribberfors, D. W. O. Rogers, S. M. Seltzer m.fl.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 2
Noen ord til de få dette angår
Dette er forelesningsnotater utarbeidet for kurset FYS398, gitt det noe provisoriske
navnet “Medisinsk fysikk i stråleterapi”. Notatene omhandler vekselvirkningsteori,
dosimetri og bestrålingsutstyr, med en forventet arbeidsbelastning på rundt 1½
vekttall (4-5 studiepoeng). Sidene inkluderer også en forelesning om
elektronbehandling. Dag Rune Olsen har forøvrig ansvaret for den andre halvdelen av
kurset.
I utgangspunktet ble disse notatene utarbeidet for undertegnedes egen del, og
sidene har sannsynligvis feil og mangler. Jeg har heller ikke hatt tid til layoutmessige
detaljer som figurtekst og nummerering av likninger. Håpet er likevel at en viss
forståelse skal kunne oppnås for en leser med de rette bakgrunnskunnskapene.
Kvalitetssikring (for å bruke et favorittord blant medisinske fysikere) av det faglige
innholdet håper jeg forøvrig at leserne kan bidra med – all kritikk tas i mot med takk.
Eirik Malinen
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 3
Innhold
1. Tverrsnitt..............................................................................................5
2. Ladde partiklers vekselvirkning med materie..................................8
3. Fotonvekselvirkninger......................................................................29
4. Nøytronvekselvirkninger..................................................................52
5. Beskrivelse av strålefelt.....................................................................58
6. Dosimetri for indirekte ioniserende stråling...................................64
7. Dosimetri for ladde partikler...........................................................73
8. Kavitetsteori.......................................................................................77
9. Monte Carlo simuleringer................................................................83
10. Medisinsk bestrålingsapparatur.....................................................94
11. Elektronbehandling........................................................................108
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 4
1. Tverrsnitt
Tverrsnittsbegrepet står sentralt i vekselvirkningsteori, og skal her belyses med et
ganske så enkelt utgangspunkt. Vi ser på en kule med radius r1, som beveger seg mot
en kule med radius r2, der sistnevnte antas være i ro:
vrr1
r2
Slik ser situasjonen ut langs bevegelsesretningen til kule #1:
r1+r2
Vekselvirkning mellom de to kulene antar vi skjer ved at de kommer i fysisk kontakt
med hverandre, dvs. at vi har en slags støtprosess. Tverrsnittet defineres nå som
flateinnholdet av alle mulige innfallsretninger til kule #1 som resulterer i kontakt
mellom de to kulene. Vi ser at dette flateinnholdet blir:
221 )rr( +π=σ
Tverrsnittet σ avhenger dermed av utstrekningen til begge kulene. Før vi har
introdusert reelle vekselvirkninger, innser vi allerede at tverrsnittet er en størrelse som
avhenger av både den ioniserende partikkelen og det stoffet partikkelen traverserer.
Hvis vi nå antar at kulene er så små at vi på forhånd ikke vet hvordan de
kolliderer, vil kulene etter støtprosessen spres med forskjellig retning og hastighet
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 5
(eller energi) fra gang til gang. Dette betyr at de har en retnings- og energifordeling
etter støtet.
2
12 1 θ
θ kaller vi nå spredningsvinkelen. Det videre resonnementet rundt tverrsnitt kan
relativt enkelt visualiseres ved en tenkt målesituasjon, der spredningen av en
partikkelstråle skal studeres med et array av detektorer slik som vist nedenfor.
∆θ
Detektor
Prøve
Partikkelstråle
Detektoren gir i utgangspunktet kun et mål på antall partikler som treffes, og hver
detektor definerer et romvinkelelement ∆Ω=sinθ∆θ∆ϕ. Det differensielle tverrsnittet
kan da defineres som:
∆Ω=
∆Ωσ∆ 1
flateenhetper partikler infallende antallmentetromvinkele iinn spredt partikler antall
På tilsvarende måte kan man f.eks. definere seg tverrsnitt m.h.p. kinetisk energi,
∆σ/∆T, d.v.s. antall partikler som spres per energiinkrement.
Det differensielle tverrsnittet mhp. romvinkelen Ω, utgjort av vinklene θ og ϕ,
der fordelingen av sistnevnte vinkel er isotrop hvis vi antar sylindersymmetri i
spredningen, blir dermed:
Ωθσ
=σΩ d)(d
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 6
σΩ vil dermed være et flateinnhold per romvinkelintervall. Den infinitesimale
sannsynligheten for å finne en partikkel spredd ut i romvinkelintervallet [Ω, Ω+dΩ]
vil dermed være:
σΩσ
=ΩσΩσ
= Ω
πΩ
Ω
∫d
dddp
4
ICRU (rapport 33) har definert tverrsnittet for en målpartikkel (eller målenhet,
target entity) som utsettes for et innfallende felt av partikler, som P over Φ, der P er
sannsynligheten for at en vekselvirkning finner sted og Φ er fluensen (dvs. antall
inkommende partikler per flateenhet):
Φ=σ
P
For å gå tilbake kulene våre, kan vi forestille oss et ”strålefelt” av N kuler med radius
r1, som er spredd utover et areal A med retning mot kulen med radius r2:
A
Sannsynligheten for at èn partikkel skal treffe den stillestående kulen blir P=Atr/A, der
Atr=π(r1+r2)2 er det samlede arealet definert av radius r1 og r2, dvs. tverrsnittet slik vi
definerte det i starten av denne seksjonen. Sannsynligheten for at N partikler skal
treffe blir dermed NP. Fluensen Φ er N/A, slik at tverrsnittet for vekselvirkningen
blir:
221tr
tr )rr(AAN
AANP
+π===Φ
=σ
slik som utledet tidligere, men i dette tilfellet fra ICRUs definisjon.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 7
2. Ladde partiklers vekselvirkning med materie
Vekselvirkningsprosesser mellom mikroskopiske partikler har generelt en
kvantemekanisk natur, og det kreves dermed at evalueringen av slike prosesser gjøres
innenfor kvantefysikkens rammeverk. Desverre er det slik at mange av
vekselvirkningene vi skal se på, kun kan fullstendig forklares ved ganske avanserte
metoder (f.eks. kvanteelektrodynamikk). Vi kommer derimot til å visualisere mange
av vekselvirkningene gjennom et klassisk vindu, og noen ganger forsøke oss med
kvantemekaniske betrakninger. Det viktigste er at man får en følelse av hva de
forskjellige vekselvirkningene innebærer og når de er viktige, og så får den eksakte
matematiske formen på tverrsnittene heller hvile litt lenger bak i hukommelsen.
Elastisk spredning
Elastisk spredning er prosesser der den kinetiske energien er bevart i noe som kan
tenkes være et slags ”støt” mellom legemer i bevegelse. Med støt menes det at
elektromagnetiske vekselvirkninger formidler energioverføringer, slik at partikler i
bevegelse avbøyes. Elastiske spredningsprosesser er ofte veldig stemoderlig behandlet
i lærebøker, men er meget viktige når man skal diskutere doseavsetning fra elektroner
og fotoner. I tillegg er mange av de følgende betrakningene ganske instruktive for
måten man tenker på i vekselvirkningsteori. Vi ser nå på en vekselvirkning mellom en
partikkel med ladning ze, masse m1 og hastighet v, og en partikkel med ladning Ze og
masse m2 som står i ro. Partiklene virker på hverandre med en gjensidig like stor
Coulombkraft, som hele tiden er rettet langs forbindelseslinjen mellom de to
ladningene (såkalt sentralkraft/-sentralbevegelse). Vi forestiller oss nå et før/etter
scenario der avstanden mellom partiklene i begge tilfellene er så stor at
Coulombkraften er neglisjerbar:
r
1vr
2vrχZe, m2ze, m1, v 2
12 1 θ
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 8
Ut fra kravet om bevaring av kinetisk energi og bevegelsesmengde kan man sette opp
følgende likninger:
χ=θχ+θ=
+==
sinvmsinvmcosvmcosvmvm
vm21vm
21vm
21T
2211
22111
222
211
210
Egentlig skulle Coulombpotensialet stå oppført i energilikningen, men denne antas
altså være ”liten” før og etter vekselvirkningen har funnet sted. Vinklene θ og χ er
derimot bestemt av vekselvirkningen, slik at avbøyningen og energioverføringen må
bestemmes ved å løse generelle bevegelseslikninger for systemet. Ved å kombinere de
enkle likningene ovenfor, kan man imidlertid få ut noen instruktive opplysninger om
elastiske vekselvirkninger:
χ−
χ=θ
+χ
−=+
χ=
2cosmm
2sintan
)mm(cosmm41vv,
mmcosvm2v
2
1
221
221
121
12
Vi innser at 0 ≤ χ ≤ π/2, siden ingen bakoverspredning er mulig for partikkelen som
opprinnelig var i ro. Videre har vi at v2,maks fås når cosχ =1, dvs. når χ=0. Dette
innebærer at maksimal overført energi til partikkel #2 blir:
0221
21
2
21
12
2maks,22maks,2maks T
)mm(mm4
mmvm2m
21vm
21TE
+=
+
===
Uten kjennskap til potensialet som er årsaken til vekselvirkningen, kan altså den
maksimalt overførte energien til målpartikkelen bestemmes. Merk at vi bruker
notasjonen E som overført energi, mens T forbeholdes kinetisk energi.
Ut fra relasjonene ovenfor har vi laget en oversikt over viktige spesialtilfeller
av kollisjonsprosesser:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 9
a) m1>>m2 b) m1=m2 c) m1<<m2
2/0 π≤χ≤
χ≤θ≤ − 2sin
mmtan0
1
21
01
2maks T
mm4E =
2/0 π≤χ≤
2/2/0
π=χ+θπ≤θ≤
0maks TE =
2/0 π≤χ≤
π≤θ≤0
02
1maks T
mm4E =
Tilfelle a) kan tenkes å være en vekselvirkning der et proton (i bevegelse) avbøyes av
et elektron (som altså er i ro før kollisjonen). Elektronet kan sendes ut i hvilken som
helst vinkel mellom 0 og 90°, mens protonets maksimale avbøyningsvinkel vil kun
være 0.03°. Maksimalt overført energi fra protonet til elektronet blir kun 0.2% av
protonets opprinnelige kinetiske energi. Tilfelle b) kan representere et elektron-
elektron støt, der vinkelen mellom elektronene er 90° etter støtet (jfr. biljard). I tillegg
kan det innkommende elektronet overføre all sin kinetiske energi til elektronet som
opprinnelig var i ro. Tilfelle c) kan være et støt mellom et innkommende elektron og
en atomkjerne, som vi for enkelhets skyld kan anta er et proton. Elektronet kan i dette
tilfelle avbøyes tilbake langs innfallsretningen, men maksimalt overført energi er bare
0.2% av elektronets kinetiske energi.
Ved å sette opp de relativistiske likningene som krever bevaring av kinetisk
energi og bevegelsesmengde, fås:
20 1 2 0 1
0 1 2 0 1
22 1
1 22 2 2
2 1
1 2
22 2
2
T T T , T m c ( 1) etc.
p p p , p m v etc.
m cos1 ( 1)m m 1 v, ,
c1m cos1 ( 1)m m
cv 1
= + = γ −
= + = γ
χ+ γ − γ + ⇒ γ = γ = β =
−β χ− γ − γ +
⇒ = γ −γ
uur uur uur
Relativistisk blir maksimalt overført energi i tilfelle a) lik:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 10
2
22
222
2maks2
2
2 1cm2)1(cmE
11
β−β
=−γ=⇒β−β+
≈γ
Fra utredningene gjort ovenfor, innser vi at elektroner vil kunne spres betraktelig mot
andre elektroner, eller mot protoner og atomkjerner. For innkommende protoner og
andre kjernepartikler vil maksimal spredningsvinkel mot elektroner være særdeles
liten. For å kunne kvantifisere vinkelfordelingen til disse spredningsprosessene, må vi
imidlertid se på tverrsnittet for energioverføring og vinkelavbøying.
Vi skal i det videre forsøke oss på en utledning av det differensielle tverrsnittet
for en energioverføring fra en infallende partikkel med ladning ze og masse m1 til en i
utgangspunktet stasjonær partikkel med ladning Ze og masse m2. Følgende størrelser
defineres:
rur
vr
r b
y
η
m2, Ze
m1, ze
x
Kraften som virker på partikkel 2 er gitt ved:
2
r20
x y
zZeF u4 r
F Fsin , F Fcos
=πε
= η =
v r
η
Bevegelsesmengden overført til partikkel 2 i løpet av et infinitesimalt øyeblikk
dt, og andre nødvendige relasjoner, blir:
trpdr
trdp Fdt
dx xv , tandt b
=
= η
rr
=
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 11
2 2
d 1 dx bdtan dtd cos bd vcos
η⇒ η = = ⇒ =
η η η η
Total overført bevegelsesmengde ptr fås dermed ved å integrere kraften fra η lik -90°
til 90°, men av symmetrigrunner blir den integrerte kraften langs x-aksen null, slik at
j
bv4zZe2jdcos
bv4zZep
cosbr,j
cosrd
v4bzZej
cosvbdcosFp
0
22/
2/0
2
tr
2/
2/2
0
22/
2/2tr
rrr
rrr
πε=ηη
πε=⇒
η=
ηη
πε=
ηη
η=
∫
∫∫π
π−
π
π−
π
π−
Her er det antatt at hastigheten til den innfallende partikkelen forandrer seg lite
gjennom bevegelsen, slik at v kan flyttes utenfor integrasjonstegnet. Overført energi
til partikkel 2 blir dermed:
2
0
2
22
2tr
bv4zZe
m2
m2pE
πε
==
Denne overførte energien er definert for en viss støtparameter b, og energien antas
altså være gitt over et meget kort tidsrom. Det effektive arealet som partikkel 1 ”ser”
når den passerer partikkel 2 er σ=πb2, og det differensielle tverrsnittet mhp.
støtparameteren er dermed dσ=|2πbdb|. Men den overførte energien er en funksjon av
støtparameteren, slik at:
( )22
2e
2e2
2
e22
2
22e
22e
2e0
2
e
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
E1cmr)zZ(
mm2
E1
vmcm)zZ(r2
dEd
cm4er
dEE1
v4zZe
m2dbdb2
E1
v4zZe
m2b
βπ
=π
=σ
⇒
πε=
πε
π=σ=π⇒
πε
=
der re kalles den klassiske elektronradiusen. Husk at z er ladningen til den
inkommende partikkelen, mens m2 og Z tilhører partikkelen som før spredningen er ”i
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 12
ro”. Hvis sistnevnte er et elektron, blir m2=me og Z=-1, og tverrsnittet får en form som
man ofte finner i lærebøker.
Vi ser at for små energioverføringer går dette tverrsnittet mot uendelig. Dette
resultatet fås på grunn av Coulombkraftens uendelige rekkevidde. I reelle stoffer vil
derimot omliggende ladninger skjerme for spredningssenteret ved store avstander, slik
at man klassisk kan argumentere for at det eksisterer en minimal overført energi, Emin.
Emax har vi funnet tidligere, ved hjelp av betrakningene rundt bevaring av kinetisk
energi og bevgelsesmengde. Hvis partikkel 2 er et proton, ser vi at tverrsnittet for
energioverføring blir me/mp≈0.00054 av hva det er hvis begge partiklene er
elektroner. Elastisk spredning mellom elektroner og atomkjerner innebærer dermed en
ekstremt liten energioverføring, sammenliknet med spredning mellom elektroner.
Vi innser fra resonnementene ovenfor at en viss overført energi innebærer en
viss spredningsvinkel, eller vice versa. Hvis vi tenker oss en innfallende elektronstråle
mot et gitt stoff med atomnummer Z, skal vi nå se på den elastiske spredningen
mellom et elektron og en atomkjerne. Dette betyr at z=1 og m1=me<<m2, der me er
elektronmassen, slik at en del sammenhenger nå blir lettere å hanskes med.
Vinkeltverrsnittet dσ/dΩ kan finnes ved å bruke differensialregning på
sammenhengen E(v2(χ(θ)))=½m2v22. Vi ser at:
222tan
2cos2sintan
cosvmm2
mcosvm2m
21vm
21E
mm
22
2
21
2
2
12
222
21
θ−
π=χ⇒χ−=
χχ
−≈θ
χ=
χ≈=
⇒<<
)2/(sin1cmr
4Z
dd
sin21
dd
ddE
dEd
dd
42
2e
2e
2
θβ=
θσ
θπ=
Ωσ
⇒
θσ
=θσ
⇒
Dette tverrsnittet kalles det klassiske Rutherfordtverrsnittet, og en alternativ utledning
av dette er f.eks. gjort i Hemmers ”Kvantefysikk”. Vi ser at små vinkelspredninger er
de mest sannsynlige, og ut fra argumentet gjort for det differensielle tversnittet mhp.
energi, må det finnes en minimal vinkel θmin. Den maksimale energiføringen Emaks vil
medføre at θ=180°, hvilket også er den minst sannsynlige vinkelen. Det som de to
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 13
utgavene av Rutherfordtverrsnittet viser er dermed at små vinkelavbøyninger og små
energioverføringer er de mest sannsynlige.
Det kan være en god øvelse å regne ut tverrsnittet for elektron-elektron
spredning. Her må man imidlertid huske på at elektroner er identiske partikler, og at
man dermed etter spredningen ikke vet hvilken som er den primære partikkelen. Man
må dermed summere tverrsnittene for spredning av hvert elektron, både det ”primære”
(spredt med vinkel θ) og det sekundære (spredt med vinkel 90°-θ). Resultatet blir:
1 2
el el
2 2e e
2 4 4el el
d d ( ) d ( / 2 ) , m md d ( ) d ( / 2 )
r m cd 14 cosd sin cos
−
−
σ σ θ σ π −θ = + = Ω Ω θ Ω π −θ σ ⇒ = θ + Ω β θ θ
1
Vi ser at dette tverrsnittet naturlig nok ikke avhenger av Z (som er satt lik –1), men
for Z uavhengige elektroner (i et tenkt atom) blir tverrsnittet per atom proporsjonalt
med Z. Dette fordi tverrsnittene for uavhengige begivenheter kan summeres. Dermed
har vi Z2-avhengighet for elektron-kjernespredning, mot Z-avhengighet for elektron-
elektron spredning. Elastisk spredning mot atomkjerner vil dermed dominere, spesielt
når atomnummeret til stoffet som traverseres øker. Men fra formen på dσ/dE, ser man
at energioverføringen i det sistnevnte tilfellet er veldig liten. “Moralen” er dermed at
spredning mot elektroner resulterer i de største energitapene og de minste
vinkelavbøyningene, mens spredning mot atomkjerner fører til små
energioverføringer og større vinkelavbøyninger. Ha alltid i bakhodet at det finnes
relativistiske og andre mer eksotiske korreksjoner til disse utrykkene, men at
tverrsnittene ført opp her i grove trekk beskriver virkeligheten.
Inelastisk spredning mot elektroner
Som sagt i innledningen av den forrige seksjonen, er elastisk spredning en prosess der
den kinetiske energien er bevart. Men i reelle situasjoner vil den inkommende ladde
partikkelen vekselvirke med f.eks. bundne elektroner, der bindingsenergien tilsvarer
den energien som skal til for å forandre elektronets kvantetilstand, dvs. eksitere eller
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 14
ionisere det tilhørende molekylet/atomet. Hvis en eksitasjon eller ionisasjon skjer, vil
dermed energiregnskapet måtte inkludere bindingsenergier. Spredningsprosessen
kalles nå inelastisk, siden den kinetiske energien før og etter kollisjonen ikke er
bevart. Elastisk spredning er dermed begrenset til å gjelde de vekselvirkningene som
innebærer at det bundne elektronet ikke forandrer tilstand, dvs. ved meget små
energioverføringer. Vi kommer i det videre til å fokusere mest på energiavsetningen
ved inelastisk spredning.
Bethe gjorde på 30-tallet en kvantemekanisk utledning av tverrsnittet for
inelastisk spredning ved såkalte myke kollisjoner (”soft collisions”). Dette er
spredningsprosesser der den innfallende partikkelen påvirker atomet som en helhet,
hvilket medfører eksitasjoner eller ionisasjoner. Betingelsen er at den ioniserende
partikkelen passerer såpass langt unna atomet/molekylet at en direkte spredning med
et enkelt atomært elektron ikke inntreffer. Bethe lot den innfallende ioniserende
partikkelen være representert ved en planbølge ∼ hrr /rpie ⋅ . Vekselvirkningen innebærer
en forandring i bevegelsesmengde, hvilket gir den utgående bølgen ∼ e . Det
atomære systemet som utsettes for partikkelen vil, via en Coulombvekselvirkning,
være i en eksitert/ionisert tilstand etter spredningen:
hrr /r'pi ⋅
h
rr /rpie ⋅
0ψh
rr /r'pie ⋅
kψ
*
k
2
0
2
tot Em2'pE
m2pE +=+=
dvs. at tilstandsenergien Ek>E0 (bindingsenergier antas her være negative). Ved hjelp
av første ordens tidsavhengig perturbasjonsteori, eller alternativt den såkalte 1. Born-
approksimasjonen, vil spredningstverrsnittet for et innkommende elektron mot et
atom med atomnummer Z fremkomme, der atomet energetisk heves til tilstand k,
som:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 15
2
k
Z
1j
/r)'pp(i0k
k22
22eeksoft
je)'pp(
)'pp(E1crm2
dE)(d
ψψ=−ε
−εβ
π=
εσ
∑=
⋅− hrrrrr
rr
der indeksen j svarer til det j’te atomære elektronet. Dette utrykket er gyldig for
elektroner, positroner og tyngre kjerner som innfallende partikler. Første del
gjenkjenner vi fra det ikke-relativistiske Rutherford-tverrsnittet. Nå er muligens
formen på det kvadrerte matriseelementet noe forvirrende for de som håpet de hadde
lagt kvantemekanikken bak seg, men )'pp(krr
−ε kan sees på sannsynligheten for at
systemet heves fra grunntilstanden til tilstand k. Dette innebærer at en energi E=Ek-E0
overføres til atomet med en ”sannsynlighet” )'pp(krr
−ε . Videre vil den minste
energien som er mulig å overføre i et inelastisk støt være Emin= (Ek-E0)min, dvs. være
den overgangen som representerer det minste energigapet fra grunntilstanden til en
mulig eksitert tilstand. Hvis 0p →r
)'pr−
, dvs. ved meget lave partikkelenergier, er kun
elastiske støt mulige og =Zp(kr
ε 2.
I første ordens tidsavhengig perturbasjonsteori antas det at vekselvirkningen er
”svak” i forhold til størrelsen av den uperturberte Hamiltonoperatoren. Dette kan
tolkes som at vekselvirkningen effektivt foregår over et (relativt) meget kort
tidsintervall, dvs. at hastigheten til den innkommende partikkelen er mye større enn de
atomære elektronenes (som her antas svirre i Bohr-baner). Ved lave partikkelenergier
vil dermed feilen på tverrsnittet øke (se skallkorreksjoner).
I tillegg til såkalte myke kollisjoner, kan man tenke seg at den innfallende
partikkelen traverserer så nære atomet at den direkte spres mot en av de tilhørende
elektronene, hvilket kalles harde kollisjoner. I evalueringen av denne prosessen, antas
det atomære elektronet være fritt, slik at man ikke-relativistisk vil ende opp med
Rutherfordtverrsnittet differensiert mhp. energi. For partikler med masse mye høyere
enn elektronet blir den relativistiske formen på dette tverrsnittet:
( )maks2
22
22
e2
ehard E/E1
E1zcmr2
dEd
β−β
π=σ
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 16
Vær sikker på at du ser sammenhengen mellom dette og det ikke-relativsitiske
differensielle tverrsnittet utledet tidligere for elastisk spredning (la β→0 osv.). Emaks
er den tidligere nevnte maksimalt overførte energien fra den ladde partikkelen til
elektronet. For elektroner og positroner er utrykket mer komplisert, hvilket vi kommer
tilbake til senere.
Bremseevne ved inelastisk spredning mot elektroner
Ut fra tverrsnittet som beskriver overført energi per atom per inkommende partikkel,
er det mulig å beregne energiavsetningen langs et infinitesimalt linjestykke av
partikkelbanen. Anta at vi har en ioniserende partikkel som beveger seg et stykke dx
gjennom et stoff med n partikler per volumenhet:
dx σ
m1v
Antall ”targets” per arealenhet blir dermed nVdx. Sannsynligheten for å treffe et
”target” blir nVdxσ. Midlere avsatt kinetisk energi Td over linjestykket dx kan finnes
ved å bruke tverrsnittet som funksjon av energi, og summere over alle mulige
energioverføringer:
maks
min
E
V k k V Vk E
ddT n dx E (E ) n dx E dE n dxEdEσ
= σ = =∑ ∫ σ
der E er den midlere energien avsatt per vekselvirkning. Bethes videre utledning av
dx/Td
pp(krr
−ε
for myke kollisjoner følger en ganske komplisert teori, der han evaluerer
og definerer ut fra denne et midlere ionisasjons- og eksitasjonspotensial, I. )'
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 17
Denne størrelsen er definert som den midlere energien som behøves for å eksitere
eller ionisere det aktuelle atomet, og vil selvfølgelig variere fra grunnstoff til
grunnstoff. Ettersom bindinger mellom atomer påvirker denne størrelsen, kan I også
defineres for molekyler. Nedenfor er I per atomnummer gitt varierende med
atomnummeret. Ved å ta gjennomsnittet av I/Z for alle de 92 grunnstoffene vist
ovenfor, fås (10.6±2.0) eV, slik at 11 eV kan brukes som en tommelfingerregel for det
midlere eksitasjonspotensial per atomnummer.
Atomnummer, Z
0 20 40 60 80 100
Eksi
tasj
onsp
oten
sial
, I/Z
[eV
]
8
10
12
14
16
18
20
22
Myke kollisjoner er definert som overføring av energi opp til en tenkt
maksimalverdi; Emaks, soft. Dette fordi myke kollisjoner antas skje utenfor en viss
støtparameter, og tverrsnittet innenfor denne effektive radiusen gjelder for harde
kollisjoner. Hvis vi definerer Emaks,soft≡H(≡Emin,hard), er Bethes relativistiske utrykk for
energiavsetningen per lengde– og tetthet lik:
β−
β−β
β
π=
ρ=
ρ
222
22e
2
2
A2
e2
ecol soft
col softI)1(Hcm2lnz
AZNcmr2S
dxTd1
NA er Avogadros tall, og (Z/A) er antall elektroner per atomvekt. NA(Z/A) er dermed
antall elektroner per gram av absorbatoren. Dette utrykket er gyldig for både
elektroner og tyngre kjerner, som undertegnede har valgt å kalle masse-
kollisjonsbremseevnen (mass collision stopping power). Nytten av dele på tettheten
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 18
blir forhåpentligvis klarere etterhvert. Energitapet ved inelastisk spredning mot
elektroner kalles ofte kollisjonstap.
For harde kollisjoner er utledningen av utrykket for bremseevnen enklere,
ettersom tverrsnittet har en mere tiltalende form, spesielt når den innkommende
partikkelens masse m1 er mye større enn elektronet. Tverrsnittet skal nå integreres fra
H til Emaks, og S/ρ for harde kollisjoner blir, ved å anta at H<<Emaks og m1>>me:
β−
β
π=
ρ2maks
2
2
A2
e2
ecol ardh
HElnz
AZNcmr2S
Den totale ”collision stopping power” fås dermed ved å summere bidragene fra myke
og harde kollisjoner, og sette inn for Emaks utledet tidligere:
β−
β−β
β
π=
ρ+
ρ=
ρ
22
22e
2
2
A2
e2
e
col ardhcol softcol
I)1(cm2lnz
AZNcmr4
SSS
For elektroner og positroner blir utrykket for den totale bremseevnen mer komplisert,
ettersom massen til den inkommende partikkelen er lik massen til det bundne
elektronet, og all kinetisk energi T kan overføres i det inelastiske støtet. I tillegg er
elektroner identiske partikler, slik at det er umulig å avgjøre hvilken av de spredte
partiklene som var den innkommende (eller primære). Det elektronet med høyest
energi etter støtet defineres dermed som den primære, slik at stopping power fås ved å
integrere tverrsnittet opp til T/2. De generelle utrykkene for stopping power for
elektroner og positroner kan fås ved å se i f.eks. Attix.
Skallkorreksjon, tetthetseffekt
Den 1. Born-approksimasjonen antar som nevnt tidligere at hastigheten til den
innkommende ladde partikkelen er mye høyere enn den til de atomære elektronene.
Utrykket for kollisjonsbremseevnen blir dermed mindre korrekt ettersom den
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 19
kinetiske energien til partikkelen avtar, og for å ta hensyn til denne effekten er det
innført en såkalt skallkorreksjon, C/Z. De hardest bundne atomære elektronene, dvs.
de i ”K-skallet”, har høyest hastighet i det atomære orbitalhierarkiet, slik at disse vil
bidra mest. Ettersom bindingsenergien øker med økende atomnummer, vil også
skallkorreksjonen øke tilsvarende. Skallkorreksjonen fører altså til en reduksjon i
masse-kollisjonsbremseevnen, slik den er beskrevet av Bethes utrykk presentert
tidligere. For eksempel vil skallkorreksjonen for 2 MeV protoner i grafitt (rent
karbon) bli mindre enn 3.5% av masse-kollisjonsbremseevnen beskrevet av Bethe,
mot ca. 10% i kobber. Denne korreksjonen vil altså avta med økende energi.
Når en ladd partikkel passerer gjennom et medium, vil dette resultere i en
midlertidig polarisering av atomer/molekyler nær sporet til den ladde partikkelen.
Dipolfeltet satt opp av disse vil igjen føre til en svekkelse av feltene fra
atomer/molekyler lengre unna den ioniserende partikkelen. Polariseringen vil igjen
føre til at den totale feltstyrken fra elektronene i mediet avtar, og denne effekten vil
være spesielt fremtredende i medier med stor tetthet. Vekselvirkningene mellom den
ioniserende partikkelen og fjernt beliggende atomer blir dermed svekket, slik at
massekollisjonsbremseevnen reduseres. Hvis mediet derimot er en gass, kan
avstanden mellom hvert molekyl bli så stor slik at polarisering av ett atom/molekyl
ikke vil påvirke feltene fra andre. Ved økende tetthet vil derimot fenomenet bli
signifikant, og kalles dermed tetthetseffekten.
Det elektriske feltet fra en ladd partikkel med relativistisk hastighet opplever
en såkalt Lorentz-sammentrekning, der intensiteten av feltet avtar langs og øker
normalt på fartsretningen til partikkelen. I faste stoffer vil dermed polariseringen bli
enda sterkere ved relativistiske hastigheter, slik at tetthetseffekten spesielt blir
fremtredende ved høye energier. Merk at tunge kjerner skjelden kommer opp
relativistiske hastigheter, slik at tetthetseffekten kan antas å være neglisjerbar i dette
tilfellet. Nedenfor vises den prosentvise reduksjonen i massekollisjonsbremseevnen
for elektroner i forhold til bremseevnen evaulert uten tetthetskorreksjonen. For
elektroner i energiområdet 5-20 MeV, og som antas gå gjennom vann, må altså
Bethes utrykk for massekollisjonsbremseevnen reduseres med mellom 5-10%. Hvis
derimot mediet er vanndamp, er altså ikke tetthetskorreksjonen nødvendig.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 20
Tetthetskorreksjon
Kinetisk energi [MeV]
1 10 100
Pros
ent r
eduk
sjon
i S co
l
0
5
10
15
20
25
VannGull
Linear Energy Transfer (LET)
LET er, eller ihvertfall var, et sentralt begrep når problemstillinger rundt
strålebiologiske konsekvenser av ioniserende ladde partikler skal diskuteres. Kort
fortalt kan den primære ioniserende partikkelen sette igang nye sekundære elektroner
med høy kinetisk energi (jfr. harde kollisjoner). Disse ”δ-strålene” kan frakte den
overførte energien fra primærpartikkelen langt vekk fra det primære sporet, slik at noe
av energiavsetningen ikke lenger kan betraktes som ”lokalt” deponert. Hvis et proton
f.eks. traverserer en cellekjerne, kan noen av de energirike sekundærelektronene
avsette energi utenfor kjernen. Dette betyr at bremseevnen, slik beskrevet ovenfor,
overestimerer den deponerte energien til kjernen, som antas være det sensitive
volumet av en celle. Tilsvarende vil også gjelde volum med lav tetthet, der
rekkevidden til sekundærpartikkelen kan være stor. Dette er et problem ved
ionekammerdosimetri, som vi skal komme tilbake til senere.
Men hva om vi definerer en størrelse der vi antar at energiavsetninger opp til
en viss terskelverdi ∆ antas avsatt ”lokalt”? Hvis vi ser på Bethes utrykk for myke
kollisjoner, gjaldt denne opp til en viss verdi H, der tverrsnittet for harde kollisjoner
tok over. Hvis vi antar at en lokal energideponering skjer ved myke kollisjoner opp til
∆, blir den begrensede bremseevnen, eller Linear Energy Transfer, ved innsetting
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 21
β−
β−
∆ββ
πρ=
ρ
ρ=∆
∆2
22
22e
2
2
A2
e2
e I)1(cm2lnz
AZNcmr2
dxdTL
Merk multiplikasjonen med tettheten. Tetthets- og skallkorreksjonen antas her være
neglisjerbar. Konvensjonelt betraktes denne i enheter av keV/µm, der µm-enheten er
valgt på bakgrunn av celledimensjoner. En typisk verdi for ∆ som man ofte finner i
eldre publikasjoner er 100 eV, og LET blir i dette tilfellet dermed L100. Antagelsen var
dermed at sekundære elektroner med kinetisk energi opp til 100 eV avsatte all sin
energi ”lokalt”. I dag har imidlertid mer avansert mikrodosimetri og Monte Carlo
simuleringer erstattet bruken av LET.
Bremsestråling
Bremsestråling er utsendelsen av et foton fra en ladd partikkel som beveger seg i et
generelt Coulombfelt, og partikkelens energitap kalles kalles ofte strålingstap.
Sannsynligheten for slike prosesser kan, spesielt for høyenergetiske elektroner,
overstige den for inelastisk spredning mot elektroner. Det finnes ingen enhetlig teori
som gir en fullgod beskrivelse av bremsestråling, slik at forskjellige teorier benyttes i
forskjellige energiområder.
Utgangspunktet for vekselvirkningen er altså en nedbremsing av en ladd
partikkel i nærværet av f.eks. en atomkjerne. Klassisk elektromagnetisme forteller at
hvis en ladd partikkel utsettes for et elektrisk felt, vil partikkelen akselleres og dermed
sende ut elektromagnetisk stråling. Under en kontinuerlig påvirkning vil den ladde
partikkelen stråle ut elektromagnetisk stråling med relativt lav frekvens. I
kvanteteorien snakker man heller om en viss sannsynlighet for at partikkelen skal
avbøyes, og sende ut et kvant med en viss frekvens. Denne sannsynligheten er ikke
spesielt stor, men totalt mengde utstrålt energi fra det nedbremsede elektronet må bli
lik i det klassiske og kvantemekaniske tilfellet. Dermed blir energien til de enkelte
fotonene, ”korrekt” utledet fra kvantefysikk, mye større enn forutsagt ved klassisk
elektromagnetisme. Vi kan likevel benytte oss av elektromagnetismen for å finne
noen tommelfingerregler ved bremsestråling.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 22
Larmor’s formel beskriver den utstrålte effekten fra en aksellerert ladd
partikkel med ladning ze:
30
22
c6a)ze(P
πε=
der a er aksellerasjonen. For en partikkel med ladning ze som utsettes for en kraft fra
en partikkel med ladning Z, vil vi ha at kraften langs feltlinjen blir:
2
20
2
20
2
mZP
mr4zZea
r4zZemaF
∝⇒
πε=⇒
πε==
Ved å sammenlikne et proton og et elektron, som har samme ladning (med motsatt
fortegn), og som passerer det samme Coulombfeltet, ser vi at ustrålt energi vil bli mye
høyere for elektronet (en faktor (mp/me)2≈18362). For protoner og andre tyngre kjerner
blir dermed bremsestrålingstapet minimalt sammenliknet med elektroner. I tillegg ser
vi at utstrålt energi er proporsjonalt med Z2, dvs. at sannsynligheten for
bremsestråling øker kraftig med atomnummeret. Vi kommer i det videre å kun
diskutere bremsestråling for elektroner.
Elektronet kan i en bremsestrålingsprosess overføre all sin kinetiske energi til
fotonet, dvs. at
Th maks =ν
hvis bevegelsesmengden som overføres til atomkjernen (evt. det atomære elektronet)
neglisjeres.
Teorien for beregning av tverrsnittet for bremsestråling er for komplisert å
komme inn på i dette kompendiet. Bethe og Heitler gjorde utledninger allerede på 30-
tallet, men disse har blitt forbedret med forskjellige teorier for forskjellige
energiområder for henholdsvis elektroner og kjerner. Det totale strålingstapet
reflekteres dermed i både strålingstap fra kjerner og elektroner, og det viser seg at
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 23
vekselvirkninger med kjerner er viktigst, og dominerer totalt ved høye atomnummer.
Nedenfor er tverrsnittet, gitt på formen
)h(d
dhZ1
2 νσ
ν
for bremsestråling i karbon og wolfram vist.
10 MeV elektroner
Fotonenergi, hν [MeV]
0 2 4 6 8 10 12
Tver
rsni
tt, hν(
dσ/dν)/Z
2 [cm
2 ]
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Karbon (Z=6)Wolfram (Z=74)
Strålingstapet per lengdeenhet for bremsestråling kalles Radiative Stopping Power, og
en approksimativ utgave for elektron-kjerne og elektron-elektron vekselvirkninger
gjengis her:
)Z,T(B)cmT(A
ZNrSr
2e
2A2
erad +α=ρ
der α≈1/137 (finstrukturkonstanten), og )Z,T(Br er en dimensjonsløs faktor som
varierer med elektronenergi og atomnummer. Denne faktoren er gitt i figuren
nedenfor. Vi ser at for lave atomnummer varierer )Z,T(Br ganske signifikant med
energien, men denne effekten blir mindre ettersom atomnummeret øker. Den
observante leser vil se at F.H. Attix oppgir noen verdier av )Z,T(Br som ikke helt
samsvarer med figuren nedenfor. Undertegnede tror imidlertid at hans gamle helt
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 24
Frank Herbert har forvekslet denne størrelsen med en tilsvarende definert for
tverrsnittet. Sistnevnte må imidlertid integreres over alle mulige energioverføringer
før man kommer til utrykket for stopping power (se inelastisk spredning).
Kinetisk energi [MeV]
0.01 0.1 1 10 100
0
10
20
30Z=1Z=10Z=20Z=40Z=80
)Z,T(Br
Ettersom tverrsnittet for en energioverføring for bremsestråling er lite tilgjengelig, vil
dette også gjelde fordelingen av spredningsvinkler for elektronet og fotonet. Som en
huskeregel kan man si at fotonene generert av laveenergetiske elektroner spres
nærmest normalt på infallsretningen, mens høyenergetiske elektroner resulterer i
fremoverrettet bremsestråling:
T=1-100keV
elektronets innfallsretning
T=1-100MeV
Lobene altså forteller noe om sannsynligheten for å finne et foton i en gitt retning, der
fotonet genereres av et elektron med den oppgitte kinetiske energien.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 25
Total bremseevne, rekkevidde og beslektede tema
Bremseevnen for ladde partikler vil være sammensatt av bidraget fra kollisjoner og
strålingstap:
ρ
+ρ
=ρ
radcol SSS
De to bidragene dominerer imidlertid i forskjellige energiområder, slik at man ofte
kan neglisjere strålingstapet i forhold til kollisjonstapet, eller vice versa. Hvis man er
interessert i verdier for stopping power generelt, er det beste å slå opp i tabeller
istedetfor å bruke analytiske uttrykk. Dette gjelder spesielt for strålingstap, der de
teoretiske tverrsnittene er kompliserte og beheftet med mange usikkerheter. For
medier med lavt atomnummer (Z<10), vil imidlertid strålingstapet fra elektroner være
veldig lite. National Institute of Standards and Technology (NIST) har hjemmesider
der du kan få bremseevnen på tabellform for bl.a. elektroner og protoner. Nedenfor er
den totale bremseevnen sammen med kollisjons- og strålingstapet vist for elektroner.
Denne er sammenliknet med bremseevnen for protoner, der strålingstapet som nevnt
er neglisjerbart. I tillegg inkluderer bremseevnen for protoner elastisk spredning mot
atomkjerner, som vil gi et signifikant bidrag ved veldig lave energier.
Kinetisk energi [MeV]
0.01 0.1 1 10 100
Mas
sebr
emse
evne
[MeV
cm2 /g
]
0.01
0.1
1
10
100
1000
Elektroner, total Elektroner, kollisjonerElektroner, strålingstapProtoner, total
H2O
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 26
Hvis mediet som traverseres ikke er et grunnstoff, og ingen har gjort seg bryet
med å gjøre nøyaktige beregninger av bremseevnen, kan Braggs regel være nyttig.
Hvis et stoff er sammensatt av forskjellige grunnstoff med vektfraksjon wi, sier
regelen at totale bremseevnen kan antas være den vektede summen av de forskjellige
atomene i stoffet:
∑∑ =
ρ
=ρ
jj
ii
i ii m
mw,SwS
Her kommer bl.a. fordelen av å ha bremseevnen i enheter av tettheten inn –
summasjonen kan foretas direkte. Braggs regel antar at bindingseffekter er
neglisjerbare, hvilket ikke alltid vil være tilfelle. Tenk på f.eks. etyn (acetylene) med
strukturformel H-C≡C-H, der en stor del av de opprinnelig atomære elektronene vil
bidra til trippelbindingen mellom de to karbonatomene. Den midlere
eksitasjonsenergien per karbonatom i etyn vil dermed bli forskjellig fra den til fritt
karbon, der sistnevnte implisitt ville vært brukt i Braggs regel.
Rekkevidden til en ladd partikkel er definert i Attix som forventningsverdien
til veilengden partikkelen traverserer før den kommer til ro i det aktuelle mediet.
CSDA-rekkevidden (Continous Slowing Down Approximation) er definert ut fra
masse-bremseevnen som:
∫−
ρ
=ℜ0T
0
1
CSDA dTdx
dT
Den resiprokale bremseevnen, dvs. dx/dT, er nettopp lengde traversert per
energiintervall, slik at integralet over alle energier opp til inngangsenergien T0 gir
rekkevidden. CSDA-rekkevidden kan for alle praktiske formål antas være lik den
reelle rekkevidden. Siden bremseevnen er definert per tetthet, blir enheten til ℜ
g/cm
CSDA
2 og må dermed divideres med tettheten for å få rekkevidden i cm. Braggs regel
kan også anvendes på rekkevidder:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 27
1 i
itot i
w=
ℜ ℜ∑
For protoner og andre tyngre ladde partikler som opplever lite spredning og bremse-
strålingstap i sin ferd gjennom et stoff vil variasjonen i rekkevidde og energitap være
liten. Denne variasjonen kalles forøvrig straggling, og er en statistisk størrelse.
Elektroner og positroner vil ha en høy grad av både rekkevidde- og energi-straggling.
Den såkalte projiserte rekkevidden <t> (”projected range”), som er definert som
forventningsverdien av partikkelens lengste penetrasjonsdybde langs
innfallsretningen, vil dermed bli veldig forskjellig fra CSDAℜ for elektroner.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 28
3. Fotonvekselvirkninger
Fotoner kan, ved ikke å ha noen ladning eller masse, i utgangspunktet virke mindre
håndgripelige enn f.eks. elektroner og protoner. Formalismen som beskriver
vekselvirkninger mellom fotoner og materie er imidlertid ikke mere komplisert,
ihvertfall hvis man holder seg til semiklassisk teori.
Bakgrunnen for den videre diskusjonen er at man representerer fotonet med et
vektorfelt )t,r(Ar
, der formen på feltet velges som en planbølge. Denne bølgen
vekselvirker nå med et atomært system, eller mer spesielt, de enkelte elektronene i
atomet:
)t,r(A
r
For et elektron som er under påvirkning av vektorfeltet, vil elektronets imp
gitt ved Aeprr
− . Hamiltonoperatoren for vekselvirkningen blir dermed:
( ) )r(VAepm21H
2+−=
rr
I et atomært system vil selvsagt de forskjellige elektronene vekselvi
hverandre og atomkjernen, og dette representeres ved den potensielle energ
Siden planbølgeformen ble valgt for vektorfeltet, blir feltet divergensfritt
∇∼pr ) og vi kan skrive:
2
e
2
e
2
e
Am2eAp
me)r(Vp
m21H
rrrr+⋅++=
Vanlig prosedyre i kvantemekanikk er å ta for seg de to første led
Hamiltonoperatoren presentert her, og forsøke å finne et så nøyaktig
tilstander som mulig (eksakte løsninger fås kun for en-elektronsystemer). De
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1
?
uls være
rke med
ien V(r).
(husk at
dene til
sett med
to neste
29
leddene kan behandles som perturbasjoner, dvs. små forstyrrelser i forhold til de indre
atomære vekselvirkningene. Videre viser det seg at disse leddene beskriver h.h.v.
fotoelektrisk effekt og generelle fotonspredningsprosesser (Rayleigh, Compton), og vi
skal ta en nærmere titt på evalueringen av disse.
Generelle betrakninger rundt spredning
I fotonspredning vil et inkommende foton spres av et atomært system etter at en eller
annen vekselvirkninging har funnet sted:
)t,r(Ainn
r
0ψkψ
)t,r(Aut
r
θ
*
Hvis fotonet spres koherent, vil dette ikke innebære et nevneverdig tap av kinetisk
energi, samtidig som atomet forblir i sin grunntilstand (jfr. elastisk spredning for
ladde partikler). Ved inkoherent spredning, kan fotonet miste en signifikant mengde
av energien, og atomet blir eksitert eller ionisert. Generelt kan
vekselvirkningsprosessen beskrives ved den perturberende Hamiltonoperatoren:
*utinn
e
2
AAm2e'H
rr⋅=
Når vektorfeltet beskrives med en planbølge blir Hamiltonoperatoren:
t)(ir)kk(i
utinn
)trk(iutut
)trk(iinninn
innututinn
ututinninn
ee'H
eA,eA
ω−ω⋅−
ω−⋅ω−⋅
ε⋅ε∼⇒
ε∼ε∼
rrr
rrrr
rr
rrrr
innεr og utε
r er polarisasjonsvektoren til hhv. den innkommende og utgående bølgen.
Akkurat som i vekselvirkningsteorien for ladde partikler, anvendes 1. ordens
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 30
tidsavhengig pertubasjonsteori på Hamiltonoperatoren ovenfor. Det differensielle
tverrsnittet mhp. romvinkel og energi blir
)EE(erdd
dinnut0k
2
kr)kk(i
02
utinninn
ut2e
ut
utinn ω−ω+−δψψε⋅εωω
=Ωω
σ ⋅− hhrr rrr
Diracs deltafunksjon vil plukke ut nettopp de energihoppene (Ek-E0) som tilsvarer en
energioverføring lik ved integrasjon over ωutinn ω−ω hh ut. For å få tverrsnittet til en
kollektiv effekt fra alle elektronene, må det summeres over alle elektronkoordinater rj
i matriseelementet (se Bethes utrykk for inelastisk parttikkel-spredning). Vi skal nå
over til å se på noen spesialtilfeller og hvordan tverrsnittet da fremkommer.
Koherent spredning
Koherent spredning kalles også Rayleigh-spredning, og er en prosess der fotonet, uten
å miste bevegelsesmengde, spres av atomet som en helhet. Ved koherent spredning vil
ωut=ωinn, eller alternativt utinn kkrr
= , og tilstanden til atomet forblir uforandret
(ψk=ψ0), slik at tverrsnittet kan forenkles til en ganske tiltalende form:
22utinn
2e
2
0r)kk(i
02
utinn2
e )Z,,h(Frerdd
utinn θνε⋅ε=ψψε⋅ε=Ωσ ⋅− rrrr rrr
F(hν, θ, Z) kalles den atomære formfaktoren, og avhenger av atomær struktur
(beskrevet av bølgefunksjonene) og energien til det inkommende fotonet (gitt
ved innkr
). θ er, som vist tidligere, vinkelen mellom innfalls- og utgangsretningen. Se
nå på:
)2/sin(c
4cos22kkk
c22kkk,coskk2kkkk
utinn
innututinn2ut
2innutinn
θπν
=θ−=−⇒
πν=
λπ
===θ−+=−
rr
rr
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 31
( ) απ=α−=⋅−⇒
θν
=θλ
=
cosxr4cosrkkrkk
)2/sin(c
)2/sin(1x:Definerer
utinnutinn
rrrrr
Vi ser at formfaktoren dermed kan defineres som en funksjon av x og Z, der x er en
variabel som avhenger av både fotonenergien og spredningsvinkelen. Nedenfor er
F(x,Z) per atomnummer vist for noen utvalgte grunnstoffer.
x [Å-1]
0.01 0.1 1 10 100
F(x,
Z)/Z
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
CAlCuPb
Vi ser fra figuren ovenfor at når x→0 (dvs. hν→0), vil formfaktoren per atomnummer
gå mot 1. Teoretisk innser man at når k→0, vil 1e r)kk(i utinn →⋅−rrr
, og dermed
1e2
0r)kk(i
0utinn →ψψ ⋅−
rrr
, hvilket fremgår fra figuren.
Vi har hittil ikke sett på leddet 2utinn ε⋅εrr , som vi kan kalle polarisasjons-
bidraget til tverrsnittet. Hvis de inkommende fotonene har en isotrop fordeling av
, kan det midlere polarisasjonsbidraget vises å være: innεr
)cos1(21 22
utinn θ+=ε⋅εrr
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 32
Hvis vi videre antar at k→0, dvs. at energien til det inkommende fotonet er lav, vil
tverrsnittet bli:
)cos1(2r
dd 2
2e
Th
θ+=
Ωσ
Dette tverrsnittet beskriver det man kaller Thomsonspredning, og kan i klassisk
elektromagnetisme beskrives ved at fotonet absorberes av de atomære elektronene,
som starter å svinge i fase med hverandre. Denne svingebevegelsen vil igjen føre til
utsendelsen av et foton, nå med en retningsfordeling beskrevet av tverrsnittet ovenfor.
Dette inntreffer typisk når fotonbølgelengden blir sammenlignbar med diameteren til
det spredende atomet. Vi ser at Thomsonspredning kun er et spesialtilfelle av
Rayleigh-spredning.
Inkoherent spredning
Inkoherent spredning kalles også Comptonspredning, og er en spredningsprosess der
det spredte fotonet har mistet noe av sin energi til et atomært elektron. Hvis vi går
tilbake til det generelle utrykket for det differensielle tverrsnittet per romvinkel- og
energiintervall, vil ψ0 og ψk være hhv. start- og sluttilstanden for elektronet. Hvis
elektronet antas være fritt etter spredningsprosessen, bruker vi planbølgetilnærmelsen
og setter hrr /rpi
k e ⋅∼ψ , der pr
er elektronimpulsen. Den videre utledningen av
tverrsnittet er imidlertid noe komplisert, men følger mye av det som ble gjort for
koherent spredning. Det hele koker ned til at tverrsnittet for inkoherent spredning kan
skrives som:
)Z,x(Ssin2r
dd 2
ut
inn
inn
ut
2
inn
ut2e
θ−
ωω
+ωω
ωω
=
Ωσ
S(x,Z), der x ble definert tidligere, kalles strukturprofilen, og er en størrelse som
reflekterer strukturen til det spredende atomet (slik som formfaktoren).
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 33
Hvis bindingsenergien til elektronet er liten i forhold til fotonets energi, kan
man i utgangspunktet anta at det spredende elektronet er fritt. Klein og Nishina gjorde
nettopp denne antagelsen, og i dette tilfellet vil strukturprofilen S(x,Z) bli lik 1 per
spredende elektron (denne vil være mindre enn 1 hvis bindingsenergien er
signifikant). Klein-Nishina tverrsnittet per elektron for Comptonspredning er dermed:
θ−
ωω
+ωω
ωω
=
Ωσ 2
ut
inn
inn
ut
2
inn
ut2e
e,KN
sin2r
dd
Vi skal nå se på kinematikken som beskriver det forenklede bildet av
prosessen, der det atomære elektronet antas være i ro før spredningen:
T
ϕ
e- θhν
hν’
Bevaring av energi og bevegelsesmengde kreves:
2e
22
ututinn
utinn
cTm2T)pc(
sinpsinc
h,cospcosc
hc
hThh
+=
ϕ=θν
ϕ+θν
=ν
+ν=ν
der p er (den relativistiske) impulsen til det utgående elektronet. Disse likningene kan
enkelt løses, og man får:
)cos1(
cmh1
hh2
e
inn
innut
θ−ν
+
ν=ν
θ
ν+=ϕ
2tan
cmh1cot 2
e
inn
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 34
Slik som for elastisk spredning mellom ladde partikler har man nå etablert en
sammenheng mellom overført kinetisk energi og spredningsvinkel. Vi ser at den
maksimalt overførte energien til elektronet fås når hνut er minimal, dvs. når θ=180°.
Fotonet spres dermed tilbake langs innfallsretningen, og elektronet vil bevege seg
motsatt vei. Når hν/mec2>>1, ser vi at energien til tilbakespredte fotonet ikke kan bli
større enn mec2/2 (0.26 MeV). I tilfeller der man ønsker å skjerme for tilbakespredte
fotoner kan man dermed velge en tykkelse på skjermen som tilsvarer denne energien i
penetrasjonsevne. Videre kan det totale tverrsnittet beregnes ved å integrere over alle
mulige romvinkler:
∫∫π
π
θθθνΩσ
π=ΩθνΩσ
=νσ04
dsin),h(dd2d),h(
dd)h(
Attix viser et utrykk for det totale Klein-Nishina-tverrsnittet, utledet fra integrasjonen
av det differensielle tverrsnittet vist ovenfor. Utrykket føres ikke opp her. Hvis man
antar at elektronene i det spredende atomet virker uavhengig av hverandre, vil
spredningstverrsnittet per atom i Klein-Nishinas approksimasjon være:
e,KNa,KN Zσ=σ
der σKN,e er det elektroniske tverrsnittet. Hvis ikke bindingsenergien er neglisjerbar,
vil altså det atomære tverrsnittet avhenge av strukturfaktoren S(x,Z). Sistnevnte vil gå
mot Z når fotonenergien er “høy”. Nedenfor er tverrsnittet for comptonspredning
illustrert for noen grunnstoffer, der effekten av strukturfaktoren S(x,Z) tydelig
fremtrer ved lave fotonenergier. Klein-Nishina tverrsnittet går mot en maksimal
grense når hν→0, men dette innebærer altså en overestimering. Vi ser at feilen ved
lave fotonenergier øker ettersom atomnummeret øker, da dette innebærer en høyere
effektiv bindingsenergi.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 35
Fotonenergi [MeV]
0.01 0.1 1 10 100Inko
here
nt a
tom
ært
tver
rsni
tt pe
r ato
mnu
mm
er
σ
a/Z [c
m2 ]
10-26
10-25
10-24
Klein-NishinaKarbon (Z=6)Kobber (Z=29)Bly (Z=82)
Vi ser forøvrig at for energier som er relevante for stråleterapi (>1 MeV), kan
strukturfaktoren med god tilnærmelse sees bort fra.
Hvis vi tar for oss Klein-Nishinas utrykk for det differensielle
spredningstverrsnittet, har vi at:
( ) ( )Th
22e2
2ehh
e,KN ddcos1
2rsin2
2r
dd
innut
Ωσ
=θ+=θ− →
Ωσ ν→ν
dvs. at det inkoherente tverrsnittet går mot det klassiske Thomsontverrsnittet i det vi
kan kalle den koherente grensen. Tilsvarende vil strukturfaktoren gå mot
formfaktoren kvadrert.
Ut fra Klein-Nishinas tverrsnitt for Comptonspredning, har vi plottet det
differensielle tverrsnittet dσ/dθ nedenfor. Det fremgår av figuren at det spredte
fotonet blir mer fremoverrettet ettersom fotonenergien øker.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 36
Fotonspredningsvinkel, θ
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Diff
eren
siel
t tve
rrsn
itt, dσ/
d θ [c
m2 /ra
dian
]
0.0
5.0e-26
1.0e-25
1.5e-25
2.0e-25
2.5e-25
3.0e-25
0.01 MeV0.1 MeV1 MeV10 MeV
Ut fra K-N kan man også f.eks. finne vinkelfordelingen til de spredte elektronene:
ϕθ+θ
ν+
Ωσ
=
ϕθ
ϕπθπ
Ωσ
=ΩΩ
Ωσ
=
Ωσ
γ
γ
γ
γ
32
ee
sin)cos1(sin
)mc/h(11
dd
dd
sin2sin2
dd
dd
dd
dd
der dΩγ/dΩe finnes ved hjelp av relasjonen mellom spredningsvinklene θ og ϕ vist
tidligere (indeks e viser til elektronet, og γ til fotonet). Utrykket ovenfor kan
bearbeides til det ender opp slik vist i Attix (s.135).
Videre kan også tverrsnittet for at det spredte fotonet skal ha energi i
intervallet [hνut, hνut+ d(hνut)] beregnes:
ν
−
νν
−+−νν
+νν
νπ
=
νθ
θπΩσ
=νΩ
Ωσ
=νσ
22e
utut
ut2
2e
2e
ututut
hcm1
hh11
hh
hh
)h(cmr
)h(ddsin2
dd
)h(dd
dd
)h(dd
Dette utrykket beskriver spekteret av de spredte fotonene, og er plottet i figuren
nedenfor.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 37
Fotonenergi, hνut [MeV]
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
d σ/d
(hν u
t) [c
m2 /M
eV]
0.0
2.0e-25
4.0e-25
6.0e-25
8.0e-25
1.0e-24
1.2e-24
1.4e-24
1.6e-24
1.8e-24
hν=1 MeV
hν=0.5 MeV
Toppunktet i lavenergidelen av fotonspekteret ovenfor kalles “backscatter edge”, og
tilsvarer altså at fotonet er spredd 180° i forhold til innfallsretningen. I tillegg vil,
spesielt for lave fotonenergier, spekteret ha en tydelig topp ved maksimalenergien, og
denne kalles “Compton edge”.
Fotonabsorpsjon
Fotonabsorpsjon er generelt reaksjoner der fotonet i sin helhet absorberes av et
atomært/molekylært/nukleært system. Systemet vil, ved tilførsel av energi, forsøke å
kvitte seg med dette via forskjellige mekanismer. Dette kan være utsending av et
elektron (ved fotoelektrisk effekt) eller kjernepartikler (ved fotonukleære prosesser),
eller deeksitasjoner (ved absorpsjon av lavenergetiske fotoner).
Generelt kan vi betrakte fotonabsorpsjon som en prosess der et foton (γ)
absorberes av en “partikkel” X. Resultatet kan tenkes å være at X sender ut en
partikkel b, og X blir dermed forandret til en ny partikkel Y. Vi setter opp likninger
for bevaring av (relativistisk) energi og inpuls, der partikkel X antas være i ro før
støtet:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 38
( ) ( ) ( ) ( ))0p(ppp
cpcmcpcmcmhEEEh
XYbh
2b
22b
2Y
22Y
2XbYX
rrrrr=+=
+++=+ν⇔+=+ν
ν
Vi ønsker nå å finne et utrykk for terskelverdien for en fotonabsorpsjonsreaksjon, dvs.
den minimale energien et foton kan ha for å absorberes av systemet (eller
“partikkelen”). Minimal overført energi innebærer i første omgang at
vinkelspredningen av partiklene Y og b er minimal, dvs. at p Ybh ppmin
+=ν . Hvis vi
videre antar at b og Y står i ro i massesentersystemet (med hastighet vCM i
labsystemet), vil impulsen (i labsystemet) fordeles i forhold til massene:
( )
min min
min
b CM Y CM
b Yb h Y
b Y b Y
min h
22 2 4min X min b Y
v v , v vm mp p , p
m m m mh p c
h m c (h ) m m c
ν ν
ν
= =
⇒ = =+ +
ν =
⇒ ν + = ν + +
hp
Vi kan videre kvadrere likningssettet, og får:
( ) ( )( ) ( )
( )
−++−+=ν⇒
+=+ν⇒
++ν=+ν
2X
2X
2Y
2b2
X2
Y2
bmin
42Yb
22X
2Xmin
42Yb
2min
22Xmin
cm2cmcmcm1cmcmcmh
cmmcmcmh2
cmm)h(cmh
Vi ser dermed at terskelverdien for fotonabsorpsjon overstiger differansen i hvilenergi
mellom de tre partiklene som inngår i regnskapet. Dette skyldes at rekylen til den
absorberende partikkelen gir et bidrag til energiregnskapet, hvilket kan være lite eller
stort, alt ettersom hvilke prosesser vi studerer. Betydningen av disse utledningene bør
bli klarere etterhvert.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 39
Fotoelektrisk effekt
Fotoelektrisk effekt er en prosess der fotonet absorberes av et atom/molekyl, der
sistnevnte vil eksiteres eller ioniseres. Generelt kan vi betrakte en fotoabsorpsjons-
reaksjon som X + γ→e- + X+, der X er det absorberende atomet, γ det inkommende
fotonet, e- er det eventuelle utgående elektronet fra systemet, og X+ er det ioniserte
atomet:
e- θ
γ
X+X
Bindingsenergien til elektronet som forlater atomet X, vil nå tilsvare differansen i
hvileenergi mellom de tre partiklene:
+=ν⇒
=−+ +
2X
min
2X
2X
2e
cm2BE1BEh
BEcmcmcm
Siden elektroniske bindingsenergier er i størrelseorden eV→keV, og hvileenergier for
atomer er fra MeV→GeV, vil bidraget fra rekylen til atomkjernen være neglisjerbar
for fotoelektrisk effekt. Hvileenergiene ser vi representerer et generelt
energiregnskap, siden det vi spør om er hvor mye energi man har før og etter
reaksjonen. Bindingsenergien vil dermed komme inn som en vesentlig størrelse her.
Vi kan nå gå tilbake Hamiltonoperatoren vist i de generelle betrakningene om
foton-vekselvirkninger, og se på utrykket:
Apme'H
e
rr⋅=
Dette vil være den perturberende Hamiltonoperatoren i tilfellet fotoelektrisk effekt,
som altså beskriver en vekselvirkning mellom den innkommende bølgen og det
utgående elektronet (atomet antas være i ro før og etter støtet). Hemmer har i
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 40
“Kvantemekanikk” behandlet utledningen av tverrsnittet for fotoelektrisk relativt
utførlig, og denne utledningen kommer kun til å skisseres her.
Det inkommende fotonet beskrives ved en planbølge gitt ved vektorfeltet
)trk(i
0 eAA ω−⋅ε=rrrr
og det utgående elektronet representeres ved bølgen:
h
rr /rpie ⋅∼ψ
Det antas nå at elektronet er i en sfærisk-symmetrisk s-tilstand før absorbsjonen, og
ved hjelp av tidsavhengig perturbasjonsteori på leddet Aprr⋅ fremkommer tverrsnittet
på formen:
420
230
3e0
32
Zqa1
pZa
cmpe8
dd
+
⋅ε
ωπε=
Ωσ
rr
h
a0 er Bohrradien til elektronet i den gitte tilstanden, p er impulsen til elektronet, og q
er impulsoverføringen:
kpqr
h
rr
−=
der kr
representerer forplantingsretningen til fotonet, som for vår planbølge står 90°
på polarisjonsretningen . Ved å anta at bindingsenergien er neglisjerbar i forhold til
foton- og elektronenergien, foreta noen vinkelbetrakninger, og anta at p<<m
εr
ec, fås:
θ+θ
ν
α=Ωσ cos
cmp41sin
hcmZr22
dd
e
22/72
e542e
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 41
der re og α er hhv. den klassiske elektronradiusen og finstrukturkonstanten. Dette
utrykket gjelder for upolariserte fotoner, dvs. at polariseringen av fotonfeltet er
isotrop. Som nevnt var bindingsenergien antatt neglisjerbar, slik at vi kan sette:
θ
ν+θ
ν
α=Ωσ
⇒
ν=⇒ν=
coscm
h241sinh
cmZr22dd
hm2phpm21
2e
22/72
e542e
e2
e
Vi har dermed det differensielle tverrsnittet for fotoelektrisk effekt utrykt ved fotonets
(eller alternativt elektronets) energi og elektronets spredningsvinkel. Det differensielle
tverrsnittet mhp. spredningsvinkelen θ finner vi på vanlig måte:
Ωσ
θπ=θσ
ddsin2
dd
Vi ser at tverrsnittet avhenger av Z5, dvs. at fotoelektrisk effekt avhenger sterkt av
absorbatorens atomnummer. Dette tverrsnittet er beregnet for elektroner i K-skallet,
og for elektroner med høyere kvantetall vil den effektive kjerneladningen som disse
opplever være mindre. Dette fordi innenforliggende elektroner kan tenkes å skjerme
for kjernen. Dermed vil det effektive tverrsnittet avhenge av Z i en lavere potens enn
5, og Attix oppgir at denne ligger mellom 4 og 4.6. I tillegg avtar tverrsnittet med
energien i -7/2, hvilket forteller at lave fotonenergier gir størst sannsynlighet for
fotonabsorpsjon. Tverrsnittet går mot uendelig når fotonenergien går mot null, men en
av antagelsene ved utledningen av tverrsnittet var at bindingsenergien er neglisjerbar,
hvilket naturlig nok ikke er tilfellet. Feilen på tverrsnittet blir dermed større ved lave
energier. I tillegg var det antatt at elektronet oppholdt seg i et s-type orbital, hvilket
også kunne vært et p, d,f ...-orbital. En god (=tidkrevende) øvelse kan være å sette inn
andre typer orbitaler i Hemmers integralutregning, og se på formen på tverrsnittet!
Nedenfor er tverrsnittet differensiert mhp. elektronvinkelen θ vist i et
polardiagram, og det fremgår at utsendelsen av elektronet blir mer fremoverrettet
ettersom fotonenergien øker. Merk at det differensielle tverrsnittet er normert etter det
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 42
totale tverrsnittet, hvilket innebærer at arealet innen hver lobe er konstant i figuren.
Ellers ville loben for 1 keV dominere totalt, ettersom tverrsnittet faller med (hν)-7/2.
Fotoelektrisk tverrsnitt (dσ/dθ)/σ
0.00 0.01 0.02 0.03 0.040.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.000.010.020.030.040.00
0.01
0
30
60
90
120
150
180
1 keV50 keV100 keV
Som følge av fotonabsorpsjonen, vil det ioniserte atomet ha en vakans i
orbitalet (“skallet”) som det utsendte elektronet befant seg i. Dette vil umiddelbart
besettes av et elektron med høyere kvantetall, hvilket innebærer en reduksjon av
tilstandsenergien til det atomære systemet. Overskuddenergien kan atomet kvitte seg
med på flere måter, og en mulighet er utsendelse av såkalte fluorescerende
røntgenstråler. Disse vil ha en energi svarende til differansen i tilstandsenergi mellom
de nivåene elektronovergangen til vakansen foregår. Ettersom dette vil være skarpe
overganger, vil røntgenstrålene ha energi hνK ved overganger L- til K-skallet, hνL fra
M til L-skallet osv. Sannsyligheten for utsendelsen av slike fotoner er gitt ved det
såkalte flourescerende utbyttet (“fluorescence yield”), og kalles hhv. YK og YL.
Videre finnes det en størrelse som heter “fractional participation”, der pK eller pL er
andelen av K- eller L-elektroner som sendes ut etter fotoabsorpsjonen. Som en liten
digresjon innser vi at i utgangspunktet monoenergetiske fotoner, som penetrerer et
tenkt materiale, dermed blir et større og større spekter av primære, spredte og
karakteristiske/flourescerende fotoner ettersom penetrasjondypet øker.
Auger-effekten er en prosess der atomet etter ionisasjonen og eventuell
utsendelse av fluorescerende røntgenstråler, bruker resten av overskuddsenergien til å
sende ut et elektron fra en av de ytre skallene i atomet. Dette er en et alternativ
mekanisme til flourescerende røntgenstråler. I tillegg til elektronet, som i
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 43
utgangspunktet sendes ut ved fotoelektrisk effekt, kan dette altså akkompagneres av
lavenergetiske Auger-elektroner. Attix behandler Auger-effekten og tilliggende
temaer veldig nøye, men vi skal ikke gå nærmere inn på dette for øyeblikket.
Pardannelse
Pardannelse er en prosess der et elektron-positron par skapes av et foton i det
elektriske feltet fra en kjerne eller et elektron:
γ
e-
e+
Denne prosessen kan kun skje i nærheten av en ladd partikkel, som igjen må kunne ta
opp en viss bevegelsesmengde for at energi og impuls skal bevares. Hvis vi går
tilbake til vårt energiregnskap for beregning av terskelverdien for absorpsjon av det
inkommende fotonet, vil vi ha tre partikler som inngår:
+−
+−
++=
++=+ν
ν eeXh
eeXX
pp'pp
EE'EEhrrrr
Kjernen eller elektronet, som bidrar med sitt elektriske felt til pardannelsen, får en
økning i impuls, slik at EX etter fotonabsorpsjonen er gitt en merket-notasjon. Husk at
denne partikkelen antas å være i ro før støtet. Alle de argumentene som ble brukt
tidligere, slik som at partiklene står i ro i massesenteret, brukes også nå.
Terskelverdien for pardannelse blir dermed:
( )
−+++−++=ν
+−
+− 2X
2X
2X
2e
2e2
X2
X2
e2
emin cm2cmcmcmcm
1cmcmcmcmh
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 44
+=ν⇒
== +−
2X
2e2
emin
2e
2e
2e
cmcm1cm2h
cmcmcm
Vi ser at for et pardannelse i feltet fra f.eks. et proton blir terskelverdien for prosessen
kun 0.05% høyere enn 2mec2=1.022MeV. Hvis pardannelsen derimot skjer i feltet fra
et atomært elektron, vil terskelverdien bli 4mec2 (siden mX=me). Dette fordi elektronet
kan ta opp mer av fotonimpulsen enn en tyngre atomkjerne. Pardannelse i feltet fra et
elektron kalles dermed ofte triplettdannelse, ettersom det atomære elektronet får en
rekylenergi slik at det løsrives fra sin atomære tilstand. Totalt fås dermed tre frie
partikler etter fotonabsorpsjonen; to elektroner og et positron (selv om det ene
elektronet altså ikke er “skapt”).
Energien fra fotonet fordeles mellom elektronet og positronet
(+rekylpartikkelen), og det er mest sannsynlig at de har lik kinetisk energi. Tverrsnitt
for pardannelse/triplettdannelse har generelt en meget komplisert form. Bethe og
Heitler utledet et utrykk, som for fotonenergier mellom ca. 8 og 15 MeV tar formen:
−
να=σ
27218
cmh2ln
928Zr 2
e
22epd
som viser at tverrsnittet øker svakt med fotonenergien og med kvadratet av
atomnummeret. Dette er altså et atomært tverrsnitt, ettersom pardannelsen skjer i
feltet fra en kjerne. Hvis triplettdannelse skal inkluderes i tverrsnittet, kan Z2
approksimativt erstattes med Z(Z+0.8).
Nedenfor har vi plottet (tabulerte) tverrsnitt for par- og triplettdannelse separat
som funksjon av fotonenergi. Tverrsnittet er dividert med Z2 for pardannelse, slik at
Z- avhengigheten kun vil vises som en screening-effekt. Dette er, som nevnt tidligere,
skjerming av kjerneladningen av omkringliggende elektroner. Jo flere elektroner som
skjermer for kjernen, dess mindre blir den effektive kjerneladningen i tverrsnittet.
Videre er tverrsnittet for triplettdannelse dividert med Z, ettersom hvert atom bidrar
med Z elektroner til tverrsnittet for denne prosessen. Sannsynligheten for
triplettdannelse per elektron er naturlig nok uavhengig av atomnummeret.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 45
Fotonenergi, hν [MeV]
1 10 100
Ato
mæ
rt tv
errs
nitt,
σpd
/Z2 [c
m2 ]
0
1e-27
2e-27
3e-27
4e-27
5e-27
6e-27
C (Z=6)Al (Z=13)Cu (Z=29)Pb (Z=82)Triplettdannelse (σtd/Z)
Vinkelspredningen av elektronet og positronet er generelt fremoverrettet, og denne
effekten øker med fotonenergien. En tommelfingerregel er at rms-vinkelen til disse
partiklene ved høye fotonenergier er:
2e
2e
2/
0
2
rms cmTcm
ddd
+≈
σ
θθσ
θ=θ
∫π
T er den midlere energien som overføres til positronet eller elektronet, og ved å anta
at den kinetiske energien til kjernen er neglisjerbar, vil denne være:
2
cm2hT2
e−ν=
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 46
Fotonukleære prosesser
En fotonukleær absorpsjon er en reaksjon der et foton absorberes av en atomkjerne,
som deretter sender ut minst en kjernepartikkel. Denne prosessen kalles noen ganger
fotodisintegrasjon. En (γ, n)-reaksjon er for eksempel en prosess der fotonet absoberes
og et nøytron sendes ut fra den eksiterte kjernen. For slike typer vekselvirkninger kan
man bruke relasjonene vi fant for utregning av terskelverdier for fotonabsorpsjon.
Disse terskelverdiene avhenger av bindingsstrukturen i de respektive atomkjernene,
og er i størrelsesorden MeV. Tverrsnittet for disse reaksjonene er vanligvis mye
lavere enn for fotonvekselvirkningene nevnt tidligere. Undertegnede skal forsøke å
finne fram noen illustrative eksempler på tverrsnitt etterhvert!
Problemet med fotonukleære prosesser i stråleterapi er aktiveringsproduktene
som dannes under strålebehandlingen. Ustabile atomer i luft og bestrålingsapparatur
kan utgjøre et strålevernmessig problem. De mest relevante aktiveringsproduktene er
nøytronemittere, siden nøytroner kan ha en ganske lang rekkevidde.
Størrelser relatert til fotonspredning- og absorpsjon
Tverrsnitt er i vår sammenheng en størrelse som i utgangspunktet relateres til
atomer/molekyler eller elektroner. I et gitt stoff med en viss tetthet, vil tverrsnittet per
vektenhet fortelle om tettheten av “targets” i absorbatoren. Denne størrelsen kalles
masse-attenueringskoeffesienten, og er definert ved:
aA
Aσ
ρN
=µ
der σa er det atomære tverrsnittet, og NA/A er antall atomer per gram av absorbatoren.
Hvis man opererer med elektroniske tverrsnitt, slik som f.eks. Klein-Nishina, vil vi ha
at
eA
AZN
σ=ρµ
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 47
der σe er det elektroniske tverrsnittet, og atomet har Z elektroner.
Attix har innført en nomenklatur som er ganske praktisk når man ser på totale
tverrsnitt. Det totale tverrsnittet for et foton vil naturlig nok være summen av
tverrsnittene for alle de mulige vekselvirkningene, slik at:
ρσ
+ρκ
+ρσ
+ρτ
=ρµ R
der Attix definerer τ, σ, κ, σR som hhv. tverrsnittet for fotoelektrisk effekt,
comptonspredning, par- og triplettdannelse og Rayleighspredning. Nedenfor er det
totale tverrsnittet plottet for et utvalg av stoffer, der bidraget fra de forskjellige typene
vekselvirkninger fremkommer.
I de forskjellige vekselvirkningene kan fotonet tilføre atomet mer eller mindre
av sin energi, og dette gis av energiregnskapet for prosessen. Fraksjonen av overført
energi til ladde partikler blir:
νh
T
der T er den midlere kinetiske energien gitt til den (eller de) ladde partiklene som
frigjøres i prosessen. Tverrsnittet per vektenhet for at fraksjonen skal overføres til
atomet, eller masse-energioverføringskoeffesienten, blir dermed:
ν
−νρκ
+νρ
σ+
νν−ν−ν
ρτ
=νρ
µ=
ρµ
hcm2h
hT
hhYphYph
hT 2
eLLLKKKtr
Rayleighspredning vil ikke inngå her, ettersom denne prosessen ikke innebærer
overføring av energi. For fotoelektrisk effekt vil noe av fotonenergien omdannes til
karakteristisk K,L,M...-stråling, slik at dette må subtraheres fra utgangsenergien til
fotonet.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 48
Energi [MeV]
0.001 0.01 0.1 1 10 100
Mas
se-a
ttenu
erin
gsko
effe
sien
t [cm
2 /g]
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
RayleighComptonFotoelektriskPar- og triplettdannelseTotal
Oksygen (Z=8)
Energi [MeV]
0.001 0.01 0.1 1 10 100
Mas
se-a
ttenu
erin
gsko
effe
sien
t [cm
2 /g]
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
Kobber (Z=29)
Energi [MeV]
0.001 0.01 0.1 1 10 100
Mas
se-a
ttenu
erin
gsko
effe
sien
t [cm
2 /g]
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
Uran (Z=92)
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 49
Videre skal vi definere en størrelse som blir mer interessant når vi nærmer oss
dosimetriske problemstillinger. Hvis de sekundære, ladde partiklene gir opphav til nye
fotoner, vil disse fotonene frakte energi bort fra det opprinnelige
vekselvirkningspunktet. Hvis vi definerer størrelsen g som fraksjonen av de
sekundære ladde partiklenes kinetiske energi som forsvinner som strålingstap, vil
masse-energiabsorpsjons-koeffesienten være definert ved:
)g1(tren −ρµ
=ρµ
For lavenergetiske fotoner vil g være nær null, ettersom bremsestrålingstapet er
minimalt ved lave elektronverdier.
Braggs regel kan også anvendes på attenueringskoeffesienten til molekyler
eller stoffer med kjent sammensetning:
∑
ρµ
=ρµ
i iiw
der wi er vektfraksjonen til de respektive atomene i stoffet. Denne regelen kan også
anvendes på masse-energioverføringskoeffesienten. Denne er ikke direkte anvendbar
for masse-energiabsorpsjonskoeffesienten, ettersom denne er definert ut fra hvordan
ladde partikler taper energi i forskjellige stoffer. Fotonene vekselvirker med
enkeltvise atomer/molekyler, mens de ladde partiklene vil kontinuerlig vekselvirke
ettersom den beveger seg fra sitt utgangspunkt. Dermed kan strålingstapet fra disse
komme fra andre enheter enn utgangsatomet, som faktoren g er definert for.
Et foton beveger gjennom et infinitesimalt linjestykke dx av et gitt materiale.
Vi døper sannsynligheten for vekselvirkning per lengdeenhet til µ. For et stråleknippe
av N fotoner, har vi at antall fotoner som har gått tapt i sin ferd gjennom linjestykket
er:
x0eNNdxNdN
µ−=⇒
µ−=
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 50
der N0 er antall partikler som går inn i linjestykket. Dette utrykket refereres ofte til
som Lamberts lov, og µ kalles den lineære attenueringskoeffesienten. Det er muligens
ikke opplagt hvordan denne størrelsen oppstår i forbindelse med resonnementene om
tverrsnitt ovenfor. Hvis σa er det atomære tverrsnittet for en vekselvirkning, og antall
atomer per volumenhet er nV (=n/V), vil “tverrsnittstettheten” bli σanV. For et
linjestykke med tykkelse x, har vi at:
S
nxSxnx
Vnxn a
aaaVσ
=σ=σ=σ
der S er arealet av flaten som penetreres, og x er tykkelsen. σa/S er forholdet mellom
det atomære tverrsnittet og flatens fysiske utstrekning, og denne tilsvarer
sannsynligheten for et “treff” (dvs. vekselvirkning). σa/V blir dermed sannsynligheten
per lengdeenhet. Multiplisert med n atomer innenfor linjestykket, fås den totale
sannsynligheten for vekselvirkning per lengdenhet, hvilket vi har definert som µ.
Dermed har vi:
aA
aA
aV AN
ANn σ=
ρµ
⇒σρ=σ=µ
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 51
4. Nøytronvekselvirkninger
Nøytroner er elementærpartikler uten ladning, og vekselvirker kun med materie via
kjernereaksjoner. Slike reaksjoner kan enkelt skrives:
bYnX +→+
eller alternativt . Aktuelle vekselvirkninger mellom nøytroner og kjerner er
elastisk eller inelastisk spredning, og proton- eller γ-produksjon etter innfanging/
absorpsjon.
Y)b,n(X
Hvis nøytroner er i termisk likevekt med sine omgivelser, kaller vi disse for
termiske (“thermal”) nøytroner. Den midlere kinetiske energien til slike nøytroner
skal i dette tilfellet tilsvare Boltzman-faktoren:
kTmv21 2 ≈
Den kinetiske energien til termiske nøytroner ved 20°C blir dermed 0.025eV, hvilket
tilsvarer en hastighet på 2200 m/s. Man deler gjerne nøytroner inn etter
energiområder:
Type Energiområde
Kalde eller termiske nøytroner ≤ 0.025 eV
Langsomme nøytroner 0.025 eV < T < 1 keV
Intermediære nøytroner 1 keV < T < 0.5 MeV
Raske nøytroner 0.5 MeV < T < 10 MeV
Høyenergetiske nøytroner 10 MeV < T
Elastisk spredning mellom nøytroner og atomkjerner er en viktig type vekselvirkning,
spesielt i det intermediære energiområdet. Vi husker fra betrakningene gjort for
elastisk spredning mellom ladde partikler, at forholdet mellom massene til de to
partiklene vil bestemme hvor mye energi som kan overføres i en vekselvirkning.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 52
vr
nvr
AvrχmAmn 2
12 1 θ
Hastigheten til de partiklene etter støtet var gitt ved:
χ+
−=χ+
=⇒
≈
22nA
nA
cos)1A(
A41vv,cosv1A
2v
Amm
Maksimalt overført energi tilsvarer når χ=0° (og dermed θ=180°, tilbakespredning),
og vi får:
00
2
maks0min
022
AAmaks
TT1A1AETT
T)1A(
A4vm21
E
α=
+−
=−=⇒
+==
Vi ser at hvis nøytronet spres elastisk mot et proton, kan dette tape all sin energi i
vekselvirkningen. Energioverføringen blir mindre ettersom kjernens atomnummer
øker. Ut fra relativt enkle betrakninger kan man vise at den gjennomsnittlige energien
til et nøytron etter k spredninger er
αα−
α+=ξ= ξ− ln
11,eTT k
0k
For et 2 MeV nøytron som elastisk bremses ned til termisk energi (0.025 eV), trengs i
gjennomsnitt kun 18 kollisjoner med et proton, mot 115 for 12C.
Elastisk spredning kalles gjerne for nøytronmoderering, ettersom effekten av
absorbatoren er å redusere (modere) den effektive nøytronenergien til strålefeltet.
Effektive moderatorer er gjerne stoffer som inneholder mye hydrogen (f.eks. vann),
og der sannsynligheten for absorpsjonsprosesser er liten.
Det kan i utgangspunktet defineres to typer elastisk spredning.
Potensialspredning skyldes en regelrett refleksjon på kjernes overflate (p.g.a. sterke
kjernekrefter). Resonansspredning tenkes å skje ved at nøytronet, eller rettere sagt en
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 53
tenkt nøytronbølge, går inn i kjernen og spres deretter ut igjen. I dette tilfellet må
nøytronenergien være såpass høy at transiente kjernetilstander kan skapes (dvs. i
størrelsesorden MeV). Forståelsen av dette fenomenet er beslektet med koherent
spredning av fotoner.
Generelt kan nøytronspredninger ved lave energier (opp til noen MeV)
beskrives ved hjelp av den såkalte partialbølgemetoden (se f.eks. Hemmers
Kvantefysikk). Her representeres nøytronet med en bølge, der bølgelengden er gitt
ved de Broglie-bølgelengden
mvh
ph≈=λ
I denne metoden utrykkes den spredte bølgen ved hjelp av Legendre-polynomer (Pl).
En reduksjon i bølgens amplitude betyr en viss sannsynlighet for absorpsjon, mens et
faseskift indikerer en spredning. Hvis både faseskift og amplitudereduksjon has,
innebærer dette en inelastisk spredning. For at metoden skal være praktisk anvendbar,
må den benyttes på tilfeller der et lite antall av slike polynomer er tilstrekkelig for å
beskrive den fysikalske situasjonen. Typisk kan man si at for bølgelengder mye større
en kjernens utstrekning, kan første ledd i Legendre-utviklingen brukes, hvilket
tilsvarer såkalte s-bølger. Ved hjelp av betrakinger i massesenteret til de spredte
partiklene, er det mulig å finne en ganske enkel form på spredningstverrsnittet.
Spredning av s-bølger vil være uavhengig av energien, og man kan ofte se at
tverrsnittet for reelle stoffer er ganske konstant ved lave energier. Det viser seg at
tverrsnittet for potensialspredning opp til ca. 1 MeV blir
2ps R4π=σ
der R er kjernens effektive utstrekning. Dette er 4 ganger mer en det klassiske
tverrsnittet, hvilket visstnok kan tolkes som en interferens-effekt. Nedenfor vises
tverrsnittet for nøytronvekselvirkning med 27Al, og det fremgår at elastisk s-type
potensialspredning dominerer opp til ca. 10 keV.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 54
Vinkelfordelingen som følge av s-bølgespredningen lar seg også utlede relativt enkelt.
Nedenfor er er en slik fordeling plottet i et polardiagram.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 55
Absorpsjon av nøytroner er avhengig av energiregnskapet, dvs. hva slags
kjerne som skapes, hvilke(n) partikler som sendes ut og med hva slags kinetisk energi.
Ved absorpsjon dannes en såkalt compound-kjerne, som er kortlivet og vil
desintegrere med utsendelse av enten fotoner eller andre partikler. For reaksjoner som
skjer ved lave nøytronenergier (opp mot keV), kan man vise at tverrsnittet går som
v1
ab ∼σ
Denne avhengigheten vil ofte overskygges av såkalte resonanser. Dette inntreffer når
energien til nøytronet "eksakt" svarer til eksitasjonsenergien til compound-kjernen.
Sannsynligheten for innfanging er i disse tilfellene veldig høy. Noen eksempler på
absorpsjonsreaksjoner er 3He(n,p)3H, 6Li(n,α)3H, 14N(n,p)14C og 10B(n,α)6Li.
Nedenfor er tverrsnittet for absorpsjonsreaksjoner ved lave energier i forskjellige
grunnstoffer vist.
Inelastisk spredning innebærer at nøytronet taper litt av sin energi i
spredningsprosessen, og der re-emitteringen av nøytronet fra compound-kjernen
akkompagneres av andre partikler, f.eks. fotoner eller protoner. Terskelverdien for en
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 56
(n,nγ) er gjerne ca. 0.5 MeV. Ved høye energier (> 10 MeV) kan ofte mer enn en
partikkel emitteres, f.eks. (n,2n).
Til slutt har vi, spesielt for tunge kjerner, også muligheten for fisjon, der
nøytronet absorberes og en kjernespalting finner sted. Ved fisjon av 235U vil, i tillegg
til dannelsen av kjernefragmenter, i gjennomsnitt 2.4 nøytroner og en energi på rundt
200 MeV frigjøres. Fisjon kan også skje med lettere kjerner, men da må den kinetiske
energien til nøytronet være veldig høy (>50 MeV).
Nøytroner har vært brukt i behandlinger av kreftpasienter, ettersom disse setter
igang tunge, ladde partikler som avsetter energien sin veldig lokalt (i forhold til
elektroner). Det benyttes gjerne en partikkelaksellerator (se notater om syklotron), der
man lar partikkelstrømmen (f.eks. av protoner) treffe et target med høyt tverrsnitt for
(p,n)-reaksjoner. Nøytronfeltet er alltid kontaminert av høyenergetiske fotoner,
hvilket innebærer at doseavsetningen blir relativt kompleks.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 57
5. Beskrivelse av strålefelt
Når vi snakker om et strålefelt, tenker vi oss et felt av ioniserende partikler med en
spesiell energi- og retningsfordeling. Vi definerer en infinitesimal kule med tversnitt
dA. Av N partikler i et generelt strålefelt, vil et visst antall dN treffe kulen. Fluensen
er nå definert som:
dAdN
=Φ
Fluensen vil dermed være antall partikler per flateenhet, og arealet dA kan tenkes å
stå normalt på enhver partikkels bevegelsesretning inn mot kulen. Fluensen er en
punktstørrelse, dvs. den kan defineres (evt. måles) hvor som helst i strålefeltet, og
skrives ofte som )r(r
Φ . Videre er fluensen en forventnings- eller middelverdi av et
generelt stokastisk strålefelt med en gitt fordelingsfunksjon i rom og tid. Vi kunne
dermed skrevet dA/Nd , der N er en middelverdi. Hvis strålefeltet er en komposisjon
av partikler med en diskret kinetisk energifordeling , kan vi skrive: n1iiT =
∑∑==
Φ==+⋅⋅⋅++=Φn
1i
in
1ii
n21 )T(NdAd
dA)T(dN
dA)T(dN
dA)T(dN
Hvis strålefeltet har en kontinuerlig energifordeling, vil den differensielle fluensen
(mhp. energi), dvs. antall partikler per flate per kinetisk energi i intervallet T+dT,
være:
dTd
TΦ
=Φ
Vi kan videre definere energifluensen, som kan tenkes på som energimengden som
passerer gjennom kulen per flateenhet:
∫ Φ=Ψ dTT T
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 58
som for et diskret spektrum gir
∑=
Φ=Ψn
1i
iiT
Energifluensen er dermed summen av alle partikkelenergier som treffer kulen per
arealenhet dA. Den differensielle energifluensen mhp. energi blir:
TT TΦ=Ψ
For tidsavhengige felter, og felter som har en romlig variasjon, bør
utgangspunktet være en fordelingsfunksjon som tar hensyn til alle disse variablene. Vi
definerer en differensiell fluxtetthet mhp. kinetisk energi (T), romvinkel (Ω) og tid (t):
dtdTdd3
t,,T ΩΦ
=Φ Ω
der romvinkelelementet er gitt i sfæriske koordinater ved:
ϕθθ=Ω ddsind
i et koordinatsystem definert nedenfor.
vr
z
y
x
θ
ϕ
dΩ
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 59
vr gir retningen til den inkommende partikkelen i forhold til det gitte aksesystemet.
Fluensen blir dermed:
∫∫∫ ΩΦ=Φ Ω dtdTdt,,T
og energifluensen blir tilsvarende:
∫∫∫ ΩΦ=Ψ Ω dtdTdT t,,T
Til slutt blir den differensielle energifluensen mhp. kinetisk energi lik:
Tt,,TT TdtdTdTd
Φ=ΩΦ=Ψ
=Ψ ∫∫ Ω
Som et eksempel kan vi ta for oss et isotropt strålefelt, dvs. at alle romvinkler utgjort
av θ og ϕ er like sannsynlige innenfor den infinitesimale kulen vår. Dette innebærer at
den differensielle flukstettheten mhp. romvinkel, dvs. ΦΩ, blir konstant. Hvis vi
integrer over alle mulige vinkler ϕ, vil den differensielle fluensen mhp. θ bli:
∫π
θ
Ω
Φθπ=ϕΦθ=Φ=θΦ
⇒
Φ==ϕθθ
Φ=
ΩΦ
=Φ
2
0
00
02
sin2dsindd
.konstddsin
ddd
Fordelingsfunksjonene ΦΩ og Φθ er skissert i figuren nedenfor.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 60
Isotropt strålefelt
Romvinkel, Ω
Vinkel, θ
Diff
eren
siel
l flu
ens (
rela
tive
enhe
ter)
0
1
2
3
4
5
6 ΦΩ
Φθ
0 2π 4π
π/3 2π/3 π0
Størrelsene ovenfor er egentlig utledet fra definisjonen av radians: for et
generelt felt av N partikler med kinetisk energi T og retning definert av romvinkelen
Ω i punktet definert av rr , er den differensielle radiansen mhp. energi:
⊥Ω
Ω==
dAdtdTd)r,,T,t(Nd
dT)r(p)r(p
4
T
rrr
)r(pTr blir dermed forventningsverdien av antall partikler som passerer et punkt rr per
intervall av de fire variablene definert ovenfor, der står normalt på hver enkelt
partikkels bevegelsesretning
⊥dA
v/vrr=Ω . Hvordan fluensen og energifluensen uttrykkes
ved radiansen, kan være igjen som en enkel øvelse.
For å eksemplifisere dette med fluens og energifluens, må vi nødvendigvis ta
noen begivenheter på forskudd. Fotonspekteret som fås fra et røntgenapparat består av
bremsestrålingsfotoner fra elektroner under nedbremsing, i tillegg til karakteristisk
stråling fra target-materialet. Spekteret kan måles ved en proporsjonalteller
(”proportional counter”), der styrken på pulsen som skapes i måleanretningens
sensitive volum er proporsjonal med det inkommende fotonets energi. Hvis styrken
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 61
på pulsene (pulshøyden) ordnes i stigende kanalnummer, presenteres ofte spekteret
som intensitet (antall pulser) per energiintervall som funksjon av energi (dvs.
kanalnummer). Antall pulser i et gitt kanalnummer vil være proporsjonalt med antallet
fotoner med svarende energi. Røntgenspekteret blir dermed et relativt mål på den
differensielle fluensen mhp. energi, Φhν. Hvis spekteret er gitt som strålingsenergi
(pulshøyde multiplisert med antall pulser) per energiintervall som funksjon av
fotonenergi, tilsvarer dette den differensielle energifluensen, Ψhν. Nedenfor er det gitt
et eksempel på hvordan forskjellen mellom differensiell fluens og energifluens vil
utarte seg for et fiktivt røntgenspektrum. Merk at grafene er normert etter hhv. Φ og
Ψ, dvs. at de viser:
ΨΨ
=νΦν
Φν=Ψ
ΦΦ
=νΦ
Φ=Φ ν
ν
ν
νν
νν
ν
νν
∫∫h
h
0h
hnormh
hh
0h
hnormh maxmax
)h(dh
h,)h(d
Ut fra de spektrale fordelingsfunksjonene kan man beregne forventnings-
verdier av størrelser som er inbefattet i fordelingene. Midlere fotonenergi blir f.eks.:
ΦΨ
=
νΦ
νΦν=>ν<
∫
∫ν
ν
ν
ν
Φ max
max
h
0h
h
0h
)h(d
)h(dhh
hvilket lett kan verifiseres i det monoenergetiske tilfellet. Merk at Φ>ν< h ikke er lik
middelenergien beregnet ut fra den differensielle energifluensen:
Φ
ν
ν
ν
ν
ν
ν
Ψ >ν≠<Ψ
νΦν=
νΨ
νΨν=>ν<
∫
∫
∫h
)h(d)h(
)h(d
)h(dhh
max
max
max h
0h
2
h
0h
h
0h
Ulikheten gjelder bortsett fra det nevnte monoenergetiske tilfellet. For de to
fordelingene nedenfor blir < =48 keV, mens Φ>νh Ψ>ν< h =54 keV.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 62
Fiktivt røntgenspektrum(uten karakteristisk stråling fra target-materialet)
Fotonenergi, hν [keV]
0 20 40 60 80 100Diff
eren
siel
l flu
ens /
diff
eren
siel
l ene
rgifl
uens
(r
elat
ive
enhe
ter)
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
Φhν
Ψhν
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 63
6. Dosimetri for indirekte ioniserende stråling
Vi har i tidligere forelesninger snakket om ioniserende stråling og forskjellige typer
vekselvirkningsprosesser med materie. Disse vekselvirkningene vil medføre at en viss
energimengde avsettes i mediet som traverses, og denne energideponeringen vil
avhenge av stråletype, energi og absorbator. Noen størrelser som er viktige for
forståelsen av dosimetri skal først gjennomgås, før vi går over til mere praktisk
anvendbare teorier. Vi skal for det meste følge konvensjonene til F.H. Attix, men vær
oppmerksom på at det finnes mere kompliserte (og muligens mer korrekte) teorier for
dosimetri.
Den første størrelsen vi skal definere kalles overført energi (energy
transferred), εtr. Denne er, innenfor et tenkt volum V av en absorbator, definert som:
QRR rlu,outu,intr Σ+−=ε −
der Rin,u er den totale strålingsenergien fra partikler uten ladning (=fotoner eller
nøytroner) som går inn i volumet V og Rout,u-rl er strålingsenergien fra partikler uten
ladning som går ut av volumet V, bortsett fra de som oppstått som strålingstap (rl,
radiative loss) fra ladde partikler i V. ΣQ er energien som netto fås ut ved
konvertering av masse til energi eller vice versa. ΣQ er positiv hvis masse omformes
til energi (f.eks. positronannihilering), og negativ hvis energi går med til å skape
masse (f.eks. pardannelse). For et fotonfelt med kvantenergi lavere enn terskelverdien
1.022 MeV (2x elektronhvilemassen) for pardannelse, kan vi se bort i fra ΣQ. Dette
fordi ingen pardannelse kan skje, og ingen positroner kan dermed oppstå. εtr blir
dermed summen av den kinetiske energien til alle ladde partikler (i dette tilfellet
elektroner) som har blitt satt i bevegelse av fotonene. εtr er i utgamgspunktet en
stokastisk størrelse, nettopp fordi energioverføringene som skjer i volumet V er
stokastiske.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 64
Vi kan nå definere en størrelse som kalles kerma, kinetic energy release per
mass unit:
dmdK trε=
der dm/d trε er forventingsverdien av overført energi per masseenhet av volumet V.
Det er, i følge Attix, legitimt å droppe middelverdi-notasjonen, fordi differensialet
indikerer en overgang fra en stokastisk til en ikke-stokastisk variabel. Jeg tror likevel
vi kommer til å skrive dm/trεd , slik at det ikke oppstår misforståelser. Kerma
tilsvarer den kinetiske energien til ”frigjorte” ladde partikler per masseenhet som
følge av vekselvirkninger mellom indirekte ioniserende stråling og den aktuelle
absorbatoren.
Se på et tynt sjikt med tykkelse x av absorbatoren:
Ψ
x
Fotonfeltet er karakterisert ved energifluensen Ψ, som for monoenergetiske fotoner
forenkles til Nhν/S, der N er antall fotoner og S er tverrsnittsarealet til det enkle feltet.
Sannsynligheten per lengdeenhet for at fotonet skal vekselvirke og gi en kinetisk
energi T til en ladd partikkel er, som vi husker, gitt ved energioverførings-
koeffesienten µtr. Overført energi blir nå:
xNh trtr νµ=ε
Ved å se bort fra differensialdefinisjonen av kerma, setter vi:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 65
ρµ
Ψ=⇒
ρµΨ
=ρµΨ
=µΨ
=νµ
=ε
=
tr
trtrtrtrtr
K
SxxS
VxS
mxS
mxNh
mK
Dermed fås kerma til slutt som en funksjon av energifluensen og masse-
energioverføringskoeffesienten. Dette enkle resonnementet gir en forklaring på
overgangen mellom den formelle definisjonen av kerma og det mer anvendelige
sluttutrykket. Det er litt snodig at lærebøker ikke forsøker å bruke noe liknende som
en forklaring på hvordan kerma kan utrykkes ved energifluensen, men kanskje det
bare er undertegnede som er så treg at han ikke umiddelbart ser sammenhengen.
Hvis man har et spekter av fotoner, vil kerma’en gis av den differensielle
energifluensen:
∫ν
ν νρµ
Ψ=maxh
0
trh )h(dK
Ettersom energioverføringskoeffesienten avhenger av fotonenergien (i tillegg til
absorbatorens atomnummer), må denne has innenfor integraltegnet.
Kerma består altså av den kinetiske energien som er frigitt til ladde partikler,
og disse ladde partiklene kan igjen tape energi via i prinsippet to forskjellige typer
vekselvirkninger: kollisjonstap og strålingstap. Sistnevnte vil altså konvertere noe av
den kinetiske energien tilbake ”kvante”energi. Hvis vi snakker om små punktvolum,
vil disse bremsestrålingsfotonene ta med seg energi vekk fra det aktuelle området. Vi
definerer nå en størrelse som kalles netto overført energi ved:
QRR u,outu,inntr Σ+−=ε
der Rout,u nå er all strålingsenergi, for våre tilfeller kun i form av fotoner, som
transporteres ut av volumet. Vi sitter dermed igjen med den kinetiske energien til
sekundære elektroner som ikke går tapt ved bremsestrålingsgenerering. Ut fra dette er
det mulig å defrinere noe som kalles kollisjonskerma:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 66
dmdK
ntr
cε
=
Men hvilken kjent størrelse kan denne relateres til? Vi husker energiabsorpsjons-
koeffesienten, og at denne var definert som
)g1(tren −ρµ
=ρµ
der g var fraksjonen av kinetisk energi til sekundærelektronene som forsvant ved
strålingstap. Kollisjonskerma blir, ved samme resonnement som for kerma, dermed:
K)g1(K trenc <
ρ−µ
Ψ=ρµ
Ψ=
For lavenergetiske fotoner i et medium med lavt atomnummer er strålingstapet veldig
lite, slik at Kc≈K med god tilnærmelse.
Til slutt skal vi definere kanskje den viktigste av størrelsene i denne
sammenhengen, nemlig absorbert energi (min oversettelse, eng.: energy imparted):
QRRRR c,outc,inu,outu,in Σ+−+−=ε
der Rin,c og Rout,c er strålingsenergien i form av kinetisk energi til ladde partikler som
som hhv. går inn og ut av volumet V. Denne størrelsen tar dermed hensyn til all
energiavsetning som skjer i volumet, og dosen avsatt defineres ved:
dmdD ε
=
Enheten til dose (og også kerma og kollisjonskerma) er Gy=J/kg. Men hvorfor har vi
gått gjennom definisjonen av kerma og kollisjonskerma når vi her sitter med et utrykk
som tydelig definerer dosen avsatt i det lille volumet vårt? Svaret ligger naturlig nok i
at det generelt er vanskelig å få et analytisk utrykk for dosen, siden vi ikke har noen
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 67
attenueringskoeffesienter som kan relateres til denne. Det finnes derimot en del
spesialtilfeller der dosen kan tilnærmes med kerma eller kollisjonskerma, og der de
sistnevnte størrelsene er veldig nyttige for forståelsen av doseproblematikkken. Vi
skal komme tilbake til dette litt senere.
En størrelse som er viktig innen dosimetri er den såkalte eksposisjonen
(exposure). Anta at vi har et luftfylt volum V som utsettes for et strålefelt. I dette
volumet vil det skapes en mengde positive og negative ioner, og antallet av enten
positive eller negative ladninger kalles Q. Eksposisjonen defineres dermed som antall
ladninger frigjort i volumet per massenhet, dvs:
dmdQX =
Q er i utgangspunktet en stokastisk variabel, men her dropper vi notasjonen om
forventningsverdi. Vi innser at mengden frigjorte ladninger må på en eller annen måte
være relatert til energiavsetningen, og vi definerer nå den midlere energien brukt i
gassen på å danne et ionepar som W
1
. Vi forestiller oss videre en fordeling av n
elektroner med kinetisk energi satt i gang av fotoner. Det energitapet i volumet
som går med til å skape ionepar vil være kollisjonstap, mens strålingstap ikke vil
bidra. Energien avsatt i gassvolumet som resulterer i ionepar blir dermed:
niiT =
∑=
−=n
1iiiip,tot )g1(TE
Antall ionepar som dannes fra et elektron med energi Ti kaller vi nå Ni. Sistnevnte kan
imidlertid også stamme fra bremsestrålingsfotoner som absorberes i volumet, og vi er
kun interessert i de ioneparene som dannes på grunn av kollisjonsvekselvirkninger.
Den reelle Ni blir dermed mindre, og vi kan definere (1−fi) som andelen ionepar som
skyldes kollisjonstap. Det totale antallet ionepar dannet ved kollisjonstap blir dermed:
∑=
−=n
1iiiip,tot )f1(NN
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 68
Attix velger å kalle fi for gi’, men sistnevnte er ikke et bremsetrålingstap, selv om
størrelsen blir en konsekvens av nettopp dette tapet. Til slutt kan man definere W
som:
∑
∑
=
=
−
−== n
1iii
n
1iii
ip,tot
ip,tot
)f1(N
)g1(T
NE
W
Eksperimentelt er denne bestemt til å være 33.97 eV/ionepar for elektroner satt i gang
i luft av høyenergetiske fotoner. Hvis den resulterende elektronenergien blir relativt
lav (i størrelsesorden noen keV), vil denne verdien bli høyere, ettersom den økte
ionisasjonstettheten rundt lavenergetiske elektroner kan føre til flere rekombinasjoner
mellom ioner. Elektronene må dermed avsette mer energi for å danne et ionepar, og
dette vil spesielt være aktuelt for tyngre ladde partikler, som har en mye høyere
ionisasjonstetthet (et mål på ioniasjonstettheten er som kjent stopping power).
Eksposisjonen i luft kan relateres til kollisjonskerma ved:
We
WeK
We
dmd
dmdQX en
c
ntr
ρµ
Ψ==ε
==
der W/e er ladning frigjort per energienhet. Husk at alle størrelser i vårt tilfelle er
oppgitt for luft. Det totale antall ladninger Q blir netto overført energi multiplisert
med ladning som dannes per energi nødvendig for å skape et ionepar. Ved å måle
antall ioner, f.eks. i et ionisasjonskammer, kan dermed et mål på kollisjonskerma’en i
luft fås.
Vi forlater eksposisjon foreløpig, og skal nå se på noen spesieltilfeller der dose
relativt enkelt kan relateres til kerma eller kollisjonskerma. Sentralt i dette
resonnementet står det som kalles ladd partikkellikelvekt, eller charged particle
equilibrium (CPE). Vi tar for oss et fotonfelt som treffer et ”stort” volum V, som igjen
innholder et ”lite” volum v:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 69
v
V Fotoner
En ladd partikkelikevekt oppnås når antall ladde partikler av en gitt type og energi
som går inn i volumet v er lik antall partikler av samme type og energi som forlater v.
Angrensingene til volumene v og V antas være separert med en avstand som minst
tilsvarer rekkevidden til elektronene satt i gang innenfor V. Ladd partikkellikevekt vil
nå has i volumet v hvis følgende er oppfylt:
Volumet V har en homogen atomær komposisjon
Tettheten av mediet er homogent
Fotonfeltet må være uniformt over volumet, dvs. at ingen signifikant attenuering
kan finne sted.
Ingen inhomogene elektriske eller magnetiske felter kan være tilstede.
Vi skal ikke gå i detalj i disse punktene, men bare konstatere at visse betingelser må
oppfylles for at CPE oppnås.
v
CPE:
Ved å se på utrykket for absorbert energi, har vi (ΣQ sees for enkelthets skyld bort
fra):
c
CPE
trnu,outu,in
c,outc,in
c,outc,inu,outu,in
KD
RR
RR:CPERRRR
=⇔
ε=−=ε⇒
=
−+−=ε
Vi ser dermed at dosen blir lik kollisjonskerma hvis CPE er tilstede i det lille volumet.
Hvis vi har den samme fotonfluensen over to stoffer A og B med forskjellig atomær
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 70
komposisjon, og CPE eksisterer i begge tilfellene, kan forholdet i dose mellom de to
stoffene skrives som:
A
B
en
Ben
Aen
B,c
A,cCPE
B
A
c
CPEen
c
)/()/(
KK
DD
KD,K
ρµ
≡ρµρµ
==⇒
=ρµ
Ψ=
Denne relasjonen viser seg å være nyttig når doser i forskjellige medier skal beregnes,
men de mest kritiske betingelsene er altså fotonfeltet ikke opplever en signifikant
dempning, og at elektronrekkevidden er kort i forhold til volumenes diameter. For et
ionisasjonskammer der CPE er oppnådd, vil altså dosen til luft fremkomme ved:
eWXKD luft,c
CPE
luft ==
Når energien til det inkommende fotonfeltet øker, vil penetrasjonsevnen til de
resulterende ladde partiklene øke raskere enn penetrasjonsevnen til fotonene. Ved å se
på dempningen av en fotonstråle innenfor en maksimumsrekkevidde av
sekundærelektronet, fremkommer det fra tabellen nedenfor at en signifikant
fotonabsorpsjon inntreffer innenfor vårt lille volum v når fotonenergien er et sted
mellom 1 og 10 MeV (tabellen er hentet fra Attix).
Fotonenergi
(MeV)
Dempning (%) i vann innenfor
maksimal rekkevidde av
sekundærelektron
0.1 0
1 1
10 7
30 15
Dette innebærer at CPE ikke er tilstede i vann for energier høyere enn noen MeV. For
slike energier inntreffer imidlertid noe som kalles transient ladd partikkellikevekt
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 71
(transient charged particle equilibrium, TCPE). Denne sies å eksistere innenfor et gitt
område hvis dosen er proporsjonal med Kc, og der proporsjonalitetskonstanten er
større enn 1. Vi kan forestille oss at høyenergetiske elektroner satt i gang et sted før
det aktuelle volumet treffer dette, og gir en viss energiavsetning. Innenfor den
avstanden som elektronene har tilbakelagt, har imidlertid fotonfeltet blitt attenuert. I
det aktuelle volumet vårt blir det dermed satt i gang færre ladde partikler i forhold til
antallet som kommer inn ”upstream”. Vi har dermed at Rin,c>Rout,c, hvilket medfører
at D>Kc, og ved TCPE has:
1f,K fD TCPEcTCPE
TCPE>=
Faktoren fTCPE (min notasjon) beskriver altså proporsjonaliteten mellom dose og
kollisjonskerma ved TCPE. Nedenfor vises en figur fra Attix, der poenget med TCPE
kommer frem.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 72
7. Dosimetri for ladde partikler
Før vi skal snakke om såkalt kavitetsteori, er det nødvending med noen betrakninger
rundt energiavsetning fra ladde partikler. Som vi husker, er stoppeevnen (stopping
power) det makroskopiske målet på slike energiavsetninger. Begrepet absorbert dose
ble definert under avsnittet om indirekte ioniserende stråling. For et ”rent” strålefelt
som kun består av ladde partikler, vil den absorberte energien (energy imparted) i et
volum V fremkomme som:
cc,outc,in RRR ∆=−=ε
der ∆Rc er differansen mellom strålingsenergien som transporteres inn og ut av
volumet (vi neglisjerer konvertering fra masse til energi og vice versa). Over et lite
volum vil energitapet fra ladde, energetiske partikler tilsvare kollisjons-stoppeevnen
multiplisert med avstanden som traverseres. Absorbert energi fra det primære
strålingsfeltet og medfølgende δ-elektroner blir dermed:
δ∆+
=∆=ε ∑ Rs
dxdTR
ii
i,cc
der Ti er kinetisk energi til en primær partikkel som treffer volumet, og som går en
(liten) sporlengde si gjennom volumet. Husk at indeksen c svarer til
kollisjonsvekselvirkninger (dvs. ikke strålingstap). ∆Rδ er differansen mellom
strålingsenergien transportert inn og ut av volumet med δ-elektroner. Hvis volumet er
omsluttet av et større og tilsvarende medium, kan man ofte anta δ-elektronlikevekt,
slik at ∆Rδ=0. Utrykket er gyldig hvis stoppeevnen ikke forandrer seg over volumet,
hvilket i praksis innebærer at volumet er lite eller at vi opererer med en gass.
Tδ2
s2 T2
s3 T3
T1 s1
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 73
Kravene om kort rekkevidde for δ-elektroner i forhold til volumets utstrekning og at
stoppeevnen samtidig skal forandre seg lite er, spesielt for elektroner, vanskelig å
oppnå. Maksimalt overført energi fra en tung kjerne til et elektron husker vi var gitt
ved:
2
22
2maks 1cm2E
β−β
=
hvilket innebærer relativt små energioverføringer i forhold til hvis primærpartikkelen
er et elektron. I dette tilfellet kan elektronet overføre all sin kinetiske energi. For
tunge, ladde partikler kan dermed δ-elektronlikevekt antas med god tilnærmelse i de
fleste tilfeller, mens strengere krav til bestrålingsbetingelsene må stilles hvis dette skal
gjelde for elektroner.
Se på en tynn folie med tykkelse ∆x som traverseres av en parallell
partikkelstråle:
∆x
Φ
Fluensen Φ er gitt ved i dette enkle tilfellet gitt ved N/S, der S er arealet strålen er
spredt over. Siden folien er “tynn”, antas det at stoppeevnen ikke forandrer seg
nevneverdig under bevegelsen. Hvis vi antar δ-partikkellikevekt (eller at δ-
rekkevidden er liten), og at partikkelstrålen ikke avbøyes signifikant gjennom ∆x, vil
dosen fremkomme som:
N
i 1 c,i c
1 dT N dTD xm m dx m dxN , m V S xS
=
ε = = ∆ = ∆
Φ = = ρ = ρ ∆
∑ x
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 74
cdxdTD
ρ
Φ=⇒
Dosen til folien fremkommer altså uavhengig av tykkelsen, så lenge man antar at
stoppeevnen forblir uforandret gjennom traverseringen. For materialer med lavt
effektivt atomnummer, vil elastisk spredning være relativt lite forekommende. I dette
tilfellet vil approksimasjonen gjennomført ovenfor også bli mer anvendelig for
elektroner. Hvis man har et mål på den midlere spredningsvinkelen θrms, og
sporlengden gjennom folien kalles s, blir dosen:
∆x
rmscc cos1
dxdT
xs
dxdTD
θ
ρ
Φ=∆
ρ
Φ=⇒
s
θrms
Samme utrykk kan selvfølgelig brukes hvis partikkelstrålen har en viss innfallsvinkel,
som kan substitueres med θrms.
Hvis folien som traverseres av den ladde partikkelen blir så tykk at
kollisjonsstoppeevnen forandrer seg signifikant, kan ikke lenger utrykkene ovenfor
benyttes for beregning av dosen. Hvis vi ser på en folie med tykkelse t, antas det at
energien til en ladd partikkel før den treffer folien har energi T0, og energi Tex når den
forlater folien:
T0
Lengden av folien vil, i CSDA-appr
0
ex
1T
T
dTx ddx
− ∆ = ∫ T
slik at Tex i utgangspunktet kan finn
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1
∆x
Tex
oksimasjonen, tilsvare:
es analytisk ved å løse det bestemte integralet.
75
Tapet av kinetisk energi i volumet blir dermed:
ex0 TTT −=∆
Metoden for å løse denne problemstillingen i praksis, er å subtrahere rekkevidden til
de opprinnelige partiklene (dvs. med energi T0) med lengden ∆x, slik at den såkalte
residuale rekkevidden fås: resℜ
res
ex 0
x
T T
ℜ =ℜ−∆
b b
resℜ vil ha en svarende kinetisk energi Tex, som kan slås opp i passende tabellverk.
Dosen vil til slutt fremkomme, ved tilsvarende resonnement brukt tidligere, som:
Tt
D ∆ρΦ
=
Dette utrykket gjelder strengt tatt kun for tunge ladde partikler, ettersom volumet
ikke lenger antas å være “tynt”, og inelastisk spredning for elektroner vil øke
sporlengden. I tillegg antas det at bremsestrålingstapet er neglisjerbart, ettersom ∆T er
avhengig av den totale stoppeevnen. Ved å ta en omvei om det såkalte “radiation
yield” er det mulig å forbedre doseutrykket for elektroner, men vi skal ikke gå i detalj
rundt dette. Det viktigste er at man kjenner begrensingene på de antagelsene som er
gjort.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 76
8. Kavitetsteori
Vi tar opp resonnementet om ladde partikler, og ser nå på et felt med partikler som
beveger seg over et grensesjikt mellom to typer medier. Det ene mediet er plassert
som et tynt lag mellom det andre. Vi behøver ikke anta noe om den atomære
sammensetningen til de tilstøtende stoffene, men det kan f.eks. være vann og luft. Det
antas at fluensen til det ladde partikkelfeltet ikke forandrer seg over grensesjiktet.
x k
x
Φ
Det tynne sjiktet kalles ofte for en kavitet, og vi døper det svarende mediet for k.
Stoffet rundt gassen kan vi kalle x, hvilket i det fleste situasjoner tilsvarer kavitetens
vegg. Vi antar at altså fluensen Φ ikke forandrer seg over kaviteten, og at kun ladde
partikler er ansvarlig for energiavsetningen i kaviteten. Dosen til gassen blir dermed:
ck
k dxdTD
ρ
Φ=
Hvis δ-partikler antas å være inkludert i fluensen, behøver man ikke anta noen form
for likevekt. Hvis kaviteten istedetfor hadde vært erstattet med materialet x, ville
dosen tilsvarende blitt:
cx
x dxdTD
ρ
Φ=
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 77
Forholdet i dose mellom de to mediene blir dermed:
cxk
ck
cx
k
x S
dxdTdx
dT
DD
=
ρ
Φ
ρ
Φ=
Forholdet mellom dosene er dermed gitt som ratioen mellom kollisjonsstoppeevnen i
de forskjellige mediene. Dette er den enkleste formen på det vi kaller Bragg-Gray-
relasjonen. De to kritiske antagelsene var altså:
Kaviteten må være så liten at den ikke perturberer partikkelfeltet.
Dosen avsatt i kaviteten stammer kun fra ladde partikler.
Disse to antagelsene kalles ofte B-G-betingelsene.
Hvis partikkelfeltet består av et spekter av elektronenergier, hvilket det som
oftest gjør, må man integrere over alle mulige partikkelenergier for å finne den
svarende dosen:
∫∫
ρ
ΦΦΦ
=
ρ
Φ=maxmax T
0 ckT
T
0 ckTk dT
dxdTdT
dxdTD
c
xk
ck
cx
k
x
ckk
SSS
DD
SD
==⇒
Φ=⇒
Vi bruker nå en middelverdi-notasjon, ettersom kollisjonsstoppeevnen er tenkt midlet
over et fluenspektrum gitt ved ΦT.
Vi kan nå tenke oss at vi har et ionekammer som består luftfylt rom innenfor
en vegg laget av et gitt materiale, f.eks. grafitt. Ionekammeret er plassert i vann, som
er det mediet man er interessert i å finne dosen til. Systemet utsettes nå for et
høyenergetisk fotonfelt:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 78
luft
vann Φe
vann
Ψγ
grafitt
Under ideelle betingelser vil en ladningsmengde Q produseres i gassen, og
eksposisjonen vil være gitt ved:
cgrlugrafitt
cgrlu
luft
grafittluft
SeW
mQD
SD
D,
WeD
mQX
=⇒
===
Dosen til kammerveggen er nå gitt ved relasjonen ovenfor. Men vi interessert i dosen
gitt til vann, og hvis målebetingelsene tilfredstiller at CPE eksisterer i målepunktet,
har vi at:
va
gr
enc
grluvann
va
gr
enCPE
grafitt
vann
SeW
mQD
DD
ρµ
=⇒
ρµ
=
Når forelesningen skal dreie seg om ionisasjonskammer, vil liknende relasjoner stå
ganske sentralt. Den knytter altså ionedannelsen i gassen til dosen gitt til mediet som
omslutter kaviteten. Det antas altså at fotonfeltet ikke avsetter energi i gassen. I en
reell målesituasjon vil utgangspunktet være denne relasjonen, som videre korrigeres
for enkelte mer eksotiske effekter (f.eks. korreksjon av målt i forhold til reelt indusert
ladningsmengde). Noe av problemet vil videre være å beregne forholdet mellom
stoppeevnene og energiabsorpsjonskoeffesientene. Hvis vi tar for oss grafitt og luft,
fremkommer det av figuren nedenfor at Sgrafitt/Sluft synker kontinuerlig ettersom
energien øker, fordi tetthetseffekten kun gir utslag for grafitt. Energiabsorpsjons-
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 79
ratioen mellom vann og grafitt viser seg å øke svakt med fotonenergien, slik at de to
forholdstallene drar dosen til vann i hver sin retning (i dette spesifikke tilfellet). Man
trenger uansett et mål på elektronfluensen og fotonfluensen for å kunne beregne
dosen, og vi skal komme tilbake til dette senere.
Kinetisk elektronenergi [MeV]
0 5 10 15 20
S graf
itt/S
luft
0.84
0.86
0.88
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
Fotonenergi [MeV]
0 5 10 15 20
(µen
/ρ) g
rafit
t/(µ e
n/ρ) v
ann
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
Ingen antagelser om ladd partikkellikevekt behøves for å komme frem til
utrykket for dosen til kavitetsveggene gjort ovenfor. Dette fordi man har antatt at det
totale elektronfeltet er inneholdt i fluensen Φ. Hvis kaviteten oppfører seg som en
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 80
Bragg-Gray-kavitet, skal denne altså ikke perturbere strålefeltet og forrykke
strålingsbalansen på noen måte. Det å finne et mål på den totale elektronfluensen er
imdlertid ganske komplisert, og her trengs det typisk tyngre teoretiske betrakninger
til. Hvis kaviteten plasseres et sted i det bestrålte mediet der δ-partikkellikevekt
eksisterer, kan dette hjelpe på noen av betrakningene.
Ettersom kavitetsteorien skal anvendes på f.eks. ionekammere, viser det seg at
Bragg-Gray-teorien har sine mangler. Spesielt fordi veggen til et ionekammer skal
bestå av et ledende materiale (alt dette skal foreleses i mer detalj av Dag Rune). Dette
medfører at δ-partikkellikevekt ikke kan oppnås, hvilket bør bli tatt tatt hensyn til.
Spencer forbedret teorien til Bragg og Gray ved å se på på den begrensede
stoppevnen, og å komme med forslag til beregninger av den differensielle
energifluensen inkludert δ-partikler. Vi skal ikke gå i detalj i Spencers kavitetsteori,
men bare slå fast at sluttutrykket hans bærer mange likhetstrekk med det utledet av
Bragg og Gray.
En ganske illustrerende kavitetsteori er den til Burlin. Se på de to ekstreme
tilfellene der kaviteten er liten i forhold til det omgivende mediet, og omvendt:
x
k
e-
e- e-
γ
e- e-
e- γ
x
k
k
cx
k x
SDD
= ρ
kenx
k x
DD
µ = ρ
I det første tilfellet kan som kjent Bragg-Gray kavitet brukes, siden all
energiavsetningen inne i kaviteten skjer via elektroner. I det andre tilfellet vil volumet
til kaviteten være så stort at CPE kan oppnås, og dosen blir dermed utrykt ved masse-
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 81
energiabsorpsjonskoeffesienten. Men hva med kaviteter der ingen av disse
ekstremforholdene eksisterer? Det er her Burlin kommer inn, og forsøker knytte
sammen de to teoriene til noe som kan anvendes på alle typer kaviteter. Dosen
mellom kaviteten k og det omkringliggende mediet x skriver han nå som:
k
x
enc
kx
x
k )d1(SdDD
ρµ
⋅−+⋅=
der d er en størrelse som er relatert til størrelsen av kaviteten. Vi innser at d må være
mellom 0 og 1, og d=1 hvis kaviteten fungerer som en Bragg-Gray-kavitet.
Tilsvarende, hvis d=0, funger kaviteten som en “fotondetektor”, og dosen er gitt ved
masse-energiabsorpsjonsforholdet. Vi skal heller ikke her gå i detalj i rundt
evalueringen av d, men denne størrelsen må opplagt ha noe med rekkevidden av
elektroner i forhold til kavitetens dimensjoner å gjøre.
Det viser seg å være veldig praktisk hvis den atomære sammensetningen til
kaviteten (inkludert vegg) likner sammensetningen til det mediet der dosen skal
evalueres. Grunnen til dette ligger i utrykket
va
gr
enc
grluvann S
eW
mQD
ρµ
=
fordi store forskjeller i atomær sammensetning kan føre til store stoppeevneratioer, og
også ødelegge partikkellikevekten som i utgangspunktet var antatt. Hvis man hadde
målt i vann, ville det beste vært å ha en kavitet der veggen består av is, og gassen av
vanndamp! Likevel vil tetthetseffekten komme inn og gi en effekt, og dette er det
umulig å unngå, hvis ikke man går over til å bruke væskefylte kammere.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 82
9. Monte Carlo simuleringer
De siste forelesningene har blant annet vist behovet for gode estimater av f.eks.
elektronfluens i Bragg-Gray-kavitetsteori, slik at dosen til mediet av interesse blir,
ved målinger og teori, beregnet mest mulig korrekt. De prosessene som fotoner og
elektroner undergår når de passerer gjennom et stoff er relativt godt forstått med
tilhørende analytiske eller eksperimentelle tverrsnitt. Problemet er at et i
utgansgpunktet ”rent” fotonfelt vil etterhvert gå over til å inneholde spredte fotoner og
løsrevne elektroner når feltet traverserer materie. Spredning og sekundærpartikler, i
tillegg til kompleks bestrålingsgeometri, vil alltid vanskeliggjøre en analytisk
bestemmelse av doseavsetningen, slik som forsøkes i bl.a. kavitetsteorien. Man sier at
strålingstransporten av fotoner og elektroner i et stoff er koblet, siden fotoner alltid gir
opphav til elektroner og vice versa. Generelt finnes altså ingen analytiske løsninger
for strålingstransport. Men hva om man kunne simulere hver enkelt ioniserende
partikkels vei gjennom mediet ved hjelp av kjente tverrsnitt, og dermed f.eks.
bestemme energy imparted i volumet av interesse? I Monte Carlo simuleringer brukes
vilkårlige tall og sannsynlighetsfordelinger for å beregene utfallet av prosesser som
kan tenkes være sammensatt av mange forskjellige delprosesser, hver med sine
sannsynlighetsfordelinger. MC simulering av strålingstransport kan defineres som:
Å simulere vandring til individuelle partikler ved å benytte vilkårlige tall til å
”sample” fra sannsynlighetsfordelinger (tverrsnitt) til de respektive
vekselvirkningsprosesser.
Anvendelsesområdet innenfor strålingsfysikk er mange, f.eks. stråleterapi,
røntgendiagnostikk, strålevern, reaktorteknologi og partikkelakselleratorer.
Utgangspunktet for MC simuleringer er altså vilkårlige tall, som kan genereres
via flere forskjellige algoritmer. Mange programspråk har en innebygget ”random
number generator”, men det er viktig å sjekke at de tallene man får ut tilfredstiller
krav om uniformitet (alle tall skal være like sannsynlige) og periodelengde (hvor
mange tall som genereres før man igjen ender opp med det første tallet i serien).
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 83
Fotontransport
Vi kan tenke oss at bevgelsen av et foton gjennom et gitt stoff skal simuleres. Det
første vi i denne sammenhengen spør etter er: hvor langt går fotonet før det
vekselvirker? Vi husker Lamberts utrykk for intensiteten til en uendelig smal
fotonstråle gjennom et stoff, der vekselvirkningssannsyligheten per lengdeenhet var
gitt ved µ:
x0eNN µ−=
der N er antall partikler igjen i strålen etter å ha passert en avstand x. N0 er antall
partikler ved inngangen til mediet. Men dette utrykket forteller egentlig om
sannsynligheten for at et foton fortsatt finnes langs strålens innfallsretning.
Sannsynligheten for at fotonet har vekselvirket blir dermed:
xvv e1p µ−−=
Veilengden til dette ene fotonet kan nå simuleres ved å sette sannsynligheten pvv lik et
vilkårlig tall R1 mellom 0 og 1:
µ
−=µ−
−=⇒−= µ− 111
x1
Rln)R1ln(xe1R 1
Siden R1 er et vilkårlig tall mellom 0 og 1, vil 1-R1 være tilsvarende. Vi har nå funnet
et mål på veilengden til foton #1. Nedenfor er det vist veilengdefordelingen av tusen
fotoner med energi 1 MeV gjennom vann. Forventningsverdien av veilengden blir,
etter en normalisering av fordelingsfunksjonen , 1/µ: xe µ−
µ==⇒
µ=⇒==
∫
∫∞
∞µ−
1dx)x(xfx
C1dx)x(f,Ce)x(f
0
!
0
x
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 84
der C er en normaliseringskonstant til sannsynlighetsfordelingen for veilengden, f(x).
Hvis samplingen var foretatt korrekt, bør altså gjennomsnitts-veilengden for de tusen
fotonene være ganske lik 1/µ, som for 1 MeV fotoner i vann skal være ca. 14.1cm.
Veilengde [cm]
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
Ant
all f
oton
er
0
50
100
150
200
250
300
350
Middelverdi, <x>=13.7cm
Forventningsverdi, (1/µ)=14.1cm
Etter å ha bestemt veilengden til fotonet, skal det avgjøres hva slags vekselvirkning
som finner sted. For fotoner finnes i prinsippet fire typer vekselvirkninger, hvis vi ser
bort fra fotonukleære prosesser: Fotoelektrisk effekt, Rayleighspredning,
Comptonspredning og pardannelse. For den gitte energien gis den totale
vekselvirkningssannsynligheten ved µ:
κ+σ+σ+τ=µ R
der symbolene står for de fire respektive vekselvirkningene definert ovenfor. Når
fotonet nå skal vekselvirke, vil sannsynligheten for at f.eks. Comptonspredning
inntreffer være:
µσ
=comptonp
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 85
Hvis vi nå deler inn talllinja fra 0 til 1 i intervaller svarende til de respektive
sannsynligheter, kan vilkårlige tall benyttes til å sample fra de forskjellige
vekselvirkningene:
R1→Comptonspredning R2→Pardannelse
κ/µτ/µ σR/µ σ/µ0 1
Nå var muligens eksempelet med 1 MeV fotoner i vann litt kjedelig, fordi
sannsynligheten for Comptonspredning er her mye større enn sannsynligheten for de
andre prosessene (pardannelse er jo ikke mulig ved denne energien). Sannsynligheten
er 0.99915 for Comptonspredning, 0.00079 for fotoelektrisk effekt og 0.00006 for
Rayleoghspredning. Ved å simulere 1000 fotoner 10 ganger, fikk undertegnede hhv.
0.9983, 0.0008 og 0.0009, hvilket altså ga mere fotoelektrisk effekt og
Rayleighspredning enn forventet.
Hvis vi videre antar at kun Comptonspredning finner sted i mediet, blir neste
oppgave å finne ut hvor mye energi fotonet har avsatt, og med hvilken resulterende
vinkel det spres. I dette tilfellet bruker vi det differensielle Comptontverrsnittet:
)cos1(cm
h1
h'h,sinsin'h
hh
'hh
'hrdd
2e
22
2e
θ−ν
+
ν=νθ
θ−
νν
+νν
νν
π=θσ
Vi må her bruke et lite knep for å kunne sample fra denne fordelingen. Ut fra den
normaliserte fordelingen (fordelingsfunksjonen dividert med dennes maksimalverdi)
av spredningsvinkler vist nedenfor, ser vi at det må velges to vilkårlige tall for å
godkjenne eller forkaste paret med (normalisert) vinkel og sannsynlighet. Denne
metoden kalles ”the rejection technique”, der man bruker flere virkelige tall for å
sample mulige utfall fra utfallsrommet.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 86
Spredningsvinkel
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Sann
synl
ighe
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Normalisert spredningsvinkel
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
(R1,R2): godtatt
(R3,R4): forkastet
Ved å benytte ”the rejection technique” på comptonfordelingen, vil den samplede
fordelingen typisk fremkomme slik som nedenfor. Her er n lik antall ganger som par
av vilkårlige tall testes, og antall godtatte parkombinasjoner må bli mindre enn dette.
Suksessraten kan bestemmes av arealet dekket av grafen relativt til arealet spent ut av
aksesystemet, og er i dette tilfellet rundt 50%.
Spredningsvinkel
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Frek
vens
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035ComptonfordelingSamplet fordeling, n=103
Samplet fordeling, n=105
n=antall sampler
Siden et lite antall sampler gir en ganske rufsete fordeling, er det i figuren ovenfor
valgt å normalisere etter arealet av fordelingskurvene.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 87
Hvis sannsynligheten er veldig høy over et lite område av utfallsrommet, vil
”the rejection technique” typisk føre til at man bruker mye tid på å finne mulige
kombinasjoner av de to vilkårlige tallene. Det finnes en metode som kalles ”the
distribution function method”, der den kumulative fordelingsfunksjonen benyttes.
Hvis man har en normalisert fordelingsfunksjon f(θ) (f.eks. Klein-Nishina), der θ er
en generell variabel, vil den kumulative fordelingsfunksjonen bli:
∫θ
θθ=θ0
'd)'(f)(F
Vi trekker nå et vilkårlig tall R, og får:
)R(FR)(F 1−=θ⇒=θ
Metoden betinger altså at den kumulative fordelingsfunksjonen har en veldfinert
invers funksjon, hvilket jeg tviler på er tilfellet for Comtponfordelingen!
Elektrontransport
Den videre simuleringen av de spredte fotonene kan nå gjøres på samme måte som
skissert ovenfor. Ut fra den samplede vinkelfordelingen til fotonene, er det mulig å
bestemme energien overført til elektronene som befinner seg i de forskjellige
vekselvirkningspunktene. Nå begynner imidlertid situasjonen å komplisere seg, fordi
tverrsnittet for elektron-elektronvekselvirkninger er mye større enn mellom fotoner og
elektroner. Dette gir seg f.eks. utslag i at den midlere veilengden for elektroner er mye
kortere enn for fotoner, og antall vekselvirkningspunkter vil for elektroner gå mot
”uendelig”! For eksempel vil et 0.5 MeV elektron vekselvirke rundt 10000 ganger ved
nedbremsing til 1 keV i aluminium, og dette elektronet vil igjen gi opphav til nye
elektroner osv. I forhold til fotoner vil elektroner dermed bremses ned ”kontinuerlig” i
et stoff, og det vil være mere praktisk å evaluere elektronet etter at det har tilbakelagt
visse gitte steglengder. Denne metoden kalles ”condensed history technique”, eller
makroskopisk Monte Carlo (i motsetning til mikroskopisk Monte Carlo, som ville
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 88
vært den korrekte måten å behandle problemet på). Dette medfører at en del kunstige
parametere må innføres, men vi skal i det videre kun skissere grunnprinsippene for
makroskopisk MC.
Generelt har man at for hvert steg sn som elektronet foretar seg, antas det at
dette beveger seg rettlinjet i følge Contious Slowing Down Approksimasjonen
(CSDA). Etter at steglengden er tilbakelagt, og elektronet befinner seg i et virtuelt
vekselvirkningspunkt (#n), vil det deponere energi i følge et totaltverrsnitt som
beregnes på bakgrunn av steglengden. Den kondenserte historien blir dermed:
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
210
210
210
21
rrruuuEEEss0
der En er energien, un retningsvektoren og rn posisjonen til elektronet etter å ha
beveget seg en sporlengde sn fra sitt utgangspunkt n-1.
n+2n+1 n
n-1
n-2
I en såkalt ”class II condensed history technique” vil ”mindre viktige” hendelser slik
som inelastiske kollisjoner uten generering av δ-partikler antas være lokalt deponert i
vekselvirkningspunktet. ”Viktige” hendelser slik som bremsestråling og utsendelse av
δ-partikler betraktes separat, der hver enkelt av disse hendelsene simuleres
”mikroskopisk”. Class II-teknikken (i motsetning til class I, som vi dropper å snakke
om her) kalles ”mixed”, fordi makroskopisk MC benyttes på de mindre viktige
hendelsene, mens mikroskopisk MC brukes på de betydningsfulle. Denne teknikken
er illustrert nedenfor.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 89
Hva som skal behandles som mikroskopisk og makroskopisk er det opp til
brukeren av MC-koden å definere. Typisk kan man i simuleringer av doseavsetning i
store volum ha en høy terskel for hva man definerer som mikroskopisk, og likevel få
et godt mål på dose.
Ettersom MC simuleringer av elektroner er såpass kompliserte, blir det ingen
praktiske regneeksempler i dette kompendiet. For tunge ladde partikler (eksempelvis
α-partikler) er sannsynligheten for både spredning (og dermed utsendelse av δ-
partikler) og bremsestråling minimal, slik at man i slike tilfeller kan gjøre mange
antagelser som forenkler tilværelsen.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 90
Eksempler på MC simuleringer
MC simuleringer har mange viktige anvendelser innen stråleterapi, slik som
beregninger av strålingsutbyttet fra lineærakselleratorer, dosefordelingen i pasienter
som følge av ekstern stråleterapi og mere basal dosimetri.
Undertegnede har selv jobbet med helt enkle simuleringer gjort med en fritt
tilgjengelig kode som kalles EGSnrc, eller Electron Gamma Shower. Koden ble
utviklet ved bl.a. ved Oak Ridge National Laboratories (USA) og National Research
Council (Canada), og benytter bl.a. class II condensed history technique i algoritmen
for elektrontransport. Nedenfor følger et eksempel på simulering av primærsporet til
20 MeV elektroner i bly. Vi ser tydelig hvordan inelastisk spredning og
bremsestråling gir opphav til store vinkelavbøyninger ettersom partiklene beveger seg
innover i mediet.
Dyp
, mm
0
2
4
6
8
Det neste eksempelet illustrerer en problemstilling som er relevant for stråleterapi. I
utviklingen av programvare for beregninger av dosefordelingen i pasienter ved
strålebehandling, er det relativt komplisert å beregne elektrontransporten over
grensesjikt mellom medier med store forskjeller i atomær sammensetning og tetthet.
Dette kan f.eks. være mellom bløtvev og bein eller bløtvev og lunge. Nedenfor
beveger 18 MeV elektroner seg gjennom et volum som enten kun består av vann, eller
med et 2 cm tykt lag med bein plassert inne i vannfantomet. Vi ser at det oppstår et
stor dosegradient i grensesjiktet mellom de to mediene. Hvis man tenker seg en
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 91
pasient med en bensvulst, vil altså svulsten oppleve et litt “kaldt” doseområde nær
bløtvevet. Deretter bygger dosen seg opp gjennom svulsten, før det igjen blir et kaldt
område bak tumoren. Hvis lungevev hadde ersattet beinstumpen i simuleringen, ville
effekten blitt omvendt: bløtvevet (eller vannet) ville fått “kalde” doseområder inntil
lungevevet, mens dosemaksimum ville inntruffet inne i lungevevet.
Dyp, cm
0 2 4 6 8 10
Rel
ativ
dos
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 VannVann, bein fra 2 til 4 cm
Undertegnede var interessert i finne responsen ved eksponering for lavenergetisk
røntgenstråling til dosimetere bestånde av alanin, sammenliknet med vann. I
simuleringene ble det antatt at et dosimeter ble plassert i et vannfantom, og ble
bestrålt rett under vannflaten:
Røntgenstråler
vann
Detektor (vann eller alanin)
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 92
Fra kavitetsteorien husker vi at hvis CPE, dvs. ladd partikkellikevekt, eksisterer over
detektoren vår, kunne forholdet mellom dosen til alanin og dosen til vann skrives
som:
vann
alanin
enCPE
alanin
vann
DD
ρµ
=
Siden vi diskuterer monoenergetiske fotoner, behøves ingen spektral middelverdi av
masse-energieabsorpsjonskoeffesienten å beregnes. For Monte Carlo simuleringenes
del, ble et sett med simuleringer foretatt med alanin i posisjonen anvist ovenfor, og
tilsvarende for vann. Ut fra beregningene kan doseforholdet Dvann/Dalanin beregnes.
Nedenfor vises både MC simuleringer og beregninger gjort med kavitetsteori, og
figuren viser at disse i stor grad samsvarer. Dette betyr at antagelsen som ble gjort om
CPE i stor grad viser seg å være ”riktig” for de røntgenenergiene undersøkt her.
Fotonenergi [keV]
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Dva
nn/D
alan
in
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
KavitetsteoriMonte Carlo
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 93
10. Medisinsk bestrålingsapparatur
Røntgenrøret
Røntgenstråler er som kjent bremsestråling fra energetiske elektroner som bremses
ned i et materiale med høyt atomnummer. Utgangspunktet er et evakuert glassrør, som
inneholder en katode og en anode (h.h.v. negativ og positiv pol). Over katoden og
anoden settes det opp en stor spenning, gjerne på flere hundre kilovolt. Katoden består
bl.a. av et filament, gjerne av wolfram, som det går en strøm gjennom. Ved
oppvarming vil elektroner løsne fra filamentet ved en prosess som kalles termionisk
emission, og de frie elektronene vil dermed akselleres mot anoden. Selve anoden er
gjerne konstruert av kobber, men har et ”target” vendt mot elektronstrålen som må ha
et høyt smeltepunkt. Target er ofte laget av wolfram, som har et smeltepunkt på
3370°C. Materialet tåler dermed varmeutviklingen som følge av den intense
bombarderingen av elektroner. Hvis vi ser på det såkalte strålingsutbyttet (radiation
yield) for f.eks. 100 keV elektroner i wolfram, er dette kun rundt 1%. Resten vil
dermed dissiperes som varme, og for en strøm på 20 mA tilsvarer dette en effekt på
2000W. Varmeutviklingen vil skje over et ganske lite område av target, ettersom det
for noen typer røntgenrør er ønskelig å ha et så lite fokus som mulig.
Anoden kan avkjøles ved forskjellige prinsipper. Varmen kan ledes vekk fra
target via anoden, hvor sistnevnte kjøles ned av vann, olje eller luft. I tillegg finnes
noen røntgengeneratorer med anoder som roterer under eksponeringen, hvillet fører til
at varmeutviklingen spres over et mye større område. Varmen som dissiperes her vil
deretter effektivt tas opp i et oljereservoar rundt røret. Reservoaret skal i tillegg
fungere som isolasjon av høyspenningsdelen, dvs. selve røret, til røntgenenheten.
Target må være konstruert slik at fokus på røntgenstrålen tilfredstiller de krav
som stilles til røntgenenhetens bruksområde. Fokalpunktet er området på target der
røntgenstrålene emitteres, hvilket tilsvarer tverrsnittet til elektronstrålen. Nå er anoden
bygd opp slik at det er en vinkel litt større enn 90° mellom elektronenes
innfallsretning og flaten til anoden. Dette fordi, i lavenergitilfellet,
bremsestrålingsfotonene generes rundt normalen til innfallsretningen til elektronene.
(Retningsfordelingen blir mer foroverrettet ettersom elektronenergien øker, men dette
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 94
kommer vi tilbake til for lineærakselleratorer.) Dette innebærer at det effektive
fokalpunktet blir mindre enn elektronstrålens tverrsnitt, og denne effekten kalles
linjefokus. Vinkelen mellom anoden og elektronstrålen kan varieres, og er typisk 6°-
17° for diagnostisk røntgenutstyr. Dette gir en effektiv størrelse av fokus på
0.1x0.1mm2 til 2x2mm2, hvilket betyr at elektronstrålen i utgangspunktet er i
størrelsesorden cm2. For røntgenapparater med et stråleterapeutisk bruksområde, vil
den effektive størrelsen på fokus typisk være 5x5cm2. Filamentet på katoden er viktig
for størrelsen på fokus, ettersom dette bestemmer tverrsnittet av elektronstrålen.
Et lite fokus er viktig innen diagnostikk, hvilket medfører skarpere
røntgenbilder. Hvis man tenker seg at fokus består av en mengde punktkilder, vil et
større fokus smøre ut det projiserte bildet av f.eks. en beinstruktur:
Pasientkontur
Beinstruktur
Fokus
Detektor
Intensitet
Penumbra
Projeksjonen av kanten til strukturen blir dermed uskarp, og man får det som kalles en
penumbra. Ordet kommer fra umbra, som betyr skygge, hvilket gjør at penumbra blir
halvskygge. Med et lite fokus fås en liten penumbra, hvilket øker den diagnostiske
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 95
kvaliteten på det eventuelle røngtenbildet. Dere vil komme tilbake til dette begrepet
når man skal se på dosefordelinger fra terapimaskiner.
Et problem ved røntgenappareter er den såkalte hælen som opptrer i
intensitetsprofilen av røntgenstrålen. På grunn av forskjellig attenueringslengde til
fotonene som genereres i target, kommer det flere fotoner ut fra den delen av røret
som ligger nærmest katoden. Dette kan kompenseres for ved å bruke filtere som
svarer til intensitetsprofilen som resulterer fra den enkelte rørspenningen.
Kretsoppbyggingen av et røntgenrør er relativt komplisert, og vi skal ikke
forsøke oss på en detaljert gjennomgang. I læreboka til Khan ser vi at
kretsdiagrammet for et selv-likerettende røntgenrør består av to spenningsenheter.
Den ene gir aksellerasjonspotensialet over katoden og anoden, mens den andre setter
spenningen over filamentet, som dermed bestemmer elektronstrømmen.
Høyspenninngen over anoden og katoden settes opp via en ”step up” transformator,
der spenningsinstillingen bestemmes via en autotransformator (grov) og en ”rheostat”
(fin). Spenningen over filamentet bestemmes av en ”step down” transformator som
nedtransfomerer nettspenningen til typisk 10 V. Filamentstrømmen blir da gjerne 6A.
Konstruksjonen kalles selv-likerettende, fordi anode-katode-løsningen blir en slags
diode, som kun leder strøm fra katoden til anoden, og ikke vice versa.
Rørspennningen, sammen med elektronstrømmen fra filamentet, varierer i
utgangspunktet med tiden. For noen røntgenrør benyttes en likerettet vekselspenning
over anoden og katoden for å sikre at spenningen kun har et fortegn. Brolikerettere og
glattekondensatorer kan imidlertid generere et likesspennningssignal, slik at
spenningen over røret holder seg konstant. Dermed blir energifordelingen til
elektronene som treffer anoden skarpere. Khan diskuterer mye rundt likeretting og
resulterende variasjon i røntgenintensitetet, men dette er unødvendig å gå for mye inn
på. Det kan imidlertid ofte være litt forvirring rundt oppgitt røntgenspenning for
vekselstrømsløsningen, og her må man passe på om maksimal- eller rms-verdien er
oppgitt.
Røntgenspektra er som nevnt et kontinuerlige, dannet av bremsestrålings-
fotoner. I tillegg akkompagneres disse av karakteriske fotoner fra target-materialet,
dvs. K, L,... stråling. Dette fordi man har inelastisk spredning mellom det
innkommende elektronet og et atomære elektroner, slik at vakanser i forskjellige
atomære skall opptrer. Ved deeksitasjoner emmiteres dermed karakterisk stråling (se
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 96
fotoelektrisk effekt). Intensitetsforholdet mellom bremsestråling og karakteristiske
fotoner av ufiltrert røntgenstråling er typisk 4:1.
Røntgenspekteret, eller den differensielle energfluensen mhp. fotonenergi, for
bremsestrålingsfotoner kan beskrives ved Kramers semiempiriske regel:
)hh(KZh makshh ν−ν=Φν=Ψ νν
der K er en konstant og hνmaks er den maksimale fotonenergien, hvilket tilsvarer
inngangsenergien T0 til elektronet. En forenklet utledning av denne er at for hvert
veiinkrement ∆x som elektronene passerer i target, taper den en konstant energi ∆T.
For hvert veiinkrement antas at energifluensfordelingen er flat, dvs. at
energiintensiteten til alle fotonenergier er like sannsynlig. Ved inngangen til
inkrement k vil elektronene ha energi Tk=T0-k∆T, og fotonspekteret vil dermed
strekke seg fra 0 til Tk. Det totale spekteret fra anoden blir dermed å summere
bidraget fra alle inkrementene:
νΨh
∆T∆T
hν T0=hνmaks
Den lineære formen på det differensielle energifluensspekteret fremgår nå av figuren.
I denne ”utledningen” antas det at strålingstapet er uavhengig av den kinetiske
energien, hvilket approksimativt er riktig for ikke-relativistiske elektroner.
I første omgang vil røntgenstrålen dempes i selve anoden og glassrøret, før
den skal gjennom et “vindu” (gjerne av beryllium). Etter utgang fra vinduet, er en stor
del av de lavenergetiske fotonene absorbert. Røntgenspekteret vil dermed gå mot null
intensitet ved lave fotonenergier. I tillegg til det vi kan kalle den primære filtreringen,
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 97
kan spekteret manipuleres ved å introdusere nye filtre for å øke gjennomsnittsenergien
til strålen. Dette kalles ”beam hardening”. Typiske filtermaterialer er bly, tinn, kobber
og aluminium. Et problem er imidlertid generering av karakteristisk stråling i filteret,
men dette kan kompenseres for ved å legge nok et filter lenger vekk fra strålen. Dette
filteret bør ha en Z-verdi som er noe lavere, ettersom tverrsnittet for fotoelektrisk
effekt er høyt for energier som svarer til litt over K-absorpsjonskanten (se
fotoelektrisk effekt). Kombinasjonsfiltere kalles gjerne Thoreus-filtere.
Kvaliteten til røntgenstråling er ofte definert som strålens hardhet, eller dens
evne til å penetrere materie. Et enkelt mål på kvalitet er det såkalte halvverdilaget,
som tilsvarer den tykkelsen av et stoff som reduserer intensiteten av fotonstrålen til
halvparten. I følge Lambert har vi:
µ=⇒
==⇒= µ−µ−
2lnHVL
e21
IIeII HVL
0
x0
Anta at vi har en fiktiv ”røntgen”stråle med N fotoner sammensatt av tre
kvanteenergier med lik intensitetet; 10, 20 og 100keV. Denne strålen går nå gjennom
grafitt, og attenueringen er vist nedenfor. Typisk, på en logaritmisk skala, vil
attenueringen ikke fremkomme som lineær hvis en fordeling av fotonenergier er
tilstede. ”Beam hardening” vil føre til at man til slutt ender opp med de mest
høyenergetiske komponentene. Et mål på strålens homogenitet er den såkalte
homogenitetskoeffesienten:
2
1
HVLHVL
=η
der HVL1 og HVL2 hhv. er det første og andre laget av absorbatoren som halverer
fotonintensiteten (se figur). For vår fiktive stråle er η lik 0.44, og dette kjennetegner et
veldig inhomogen felt m.h.p. penetrasjonsevne.
Alle betrakningene om attenuering forutsetter at man har en såkalt
smalstrålegeometri (”narrow beam geometry”). I dette tilfellet antas at detektoren er
langt unna attenuatoren, og at primærstrålen kun slippes gjennom en liten åpning.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 98
Denne geometrien skal minimalisere innspredt stråling i detektoren, slik at man kun
måler attenuering av primærstrålen. IAEA definerer forøvrig HVL, ut fra et
dosimetrisk ståsted, som tykkelsen av en absorbator som reduserer luftkermaraten fra
en “smalstråle” med 50%.
Dyp [cm]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Inte
nsite
t, I/I
0
0.25
0.5
1
HVL2
HVL1
Lineærakselleratorer
Under og etter 2. verdenskrig ble det utviklet mikrobølgekilder med høy effekt og høy
frekvens beregnet for anvendelser innen radarteknologi. Slike pulsede dioder har
evnen til å skape så kraftige elektromagnetiske felter at, i passende konstruksjoner,
elektroner kan akselleres opp til en kinetisk energi på flere titalls MeV. Prinsippet for
slike typer mikrobølgegenerering kan illustreres ved en såkalt dobbeltkavitetklystron:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 99
Mikrobølger med lav effekt (amplitude) genereres av en svingekrets med spesielle
spoler og kondensatorer. Bølgene ledes deretter ut i den første kaviteten, som vi kan
kalle ”buncher’en”. Her slippes også elektroner ut fra et filament, lik det som finnes i
et røntgenrør. Kaviteten er konstruert slik at mikrobølgemønsteret blir stående, med et
tidsavhengig longditunalt elektrisk felt. Elektroner som slippes tidlig i den negative
perioden av det elektriske feltet bremses effektivt, mens de etterfølgende ikke
påvirkes i like stor grad osv. Dermed fokuseres elektronene romlig i kaviteten, før de
akselleres gjennom drifttuben. Lengden av denne er definert slik at når en
elektronpuls kommer ut i den andre kaviteten (”catcher’en”), vil det elektriske
(resonans)feltet i denne være maksimalt rettet mot bevegelsesretningen til
elektronene. Dermed fås en maksimal retardasjon av elektronene, som avgir
elektromagnetisk stråling. Pulsfrekvensen av elektronene bestemmes av de stående
mikrobølgene i de to kavitetene, slik at frekvensen til de pulsede ”energipakkene” ut
av klystronen vil være lik mikrobølgefrekvensen.
Klystronen er, i motsetning til en magnetron, avhengig av en mikrobølge-
generator. Magnetronen genererer mikrobølger med relativt høy effekt direkte ved
aksellerasjon av elektroner i et komplekst elektrisk og magnetisk felt. Ofte foretrekkes
imidlertid klystronen fremfor magnetronen, ettersom førstnevnte kan produsere
mikrobølger med høyere effekt, og dermed vil gi et høyere effektivt
aksellerasjonpotensial.
De forsterkede mikrobølgene transporteres gjennom en bølgeleder ut til selve
akselleratortuben. Denne transporten er synkronisert med en modulator, som også
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 100
styrer selve elektronstrømmen (via et filament osv.) ut til tuben. Utgangsenergien til
elektronene er gjerne 50 keV. Inngangspartiet til akselleratortuben kan fungere som
en ”buncher”, slik at elektronene her fokuseres og sendes videre i pulser. Den
sylindriske akselleratorstrukturen (tuben) er såkalt ”disk-loaded”, dvs. at skiver er
ekvidistant plassert langs tubens lengderetning. For en såkalt ”standing wave
accelerating structure” vil det oppstå resonansforhold i tuben med stående
mikrobølger. Når den synkroniserte elektronpulsen entrer en kavitet der det elektriske
feltet er positivt i forhold til elektronenes bevegelsesretning, vil disse akselleres
videre. Når elektronene sendes to kaviteter videre langs tuben (for en såkalt π/2-
løsning), vil mikrobølgefeltet i denne nå være positivt. Slik akselleres elektronene
gjennom tuben, til strålen til slutt treffer target eller en såkalt sprederfolie.
Ofte kan flere foton- og elektronenergier fås ut fra en og samme
lineæraksellerator. Dette kan realiseres ved å endre effekten, dvs. amplituden, på
mikrobølgefeltet.
Hvis høyenergetiske fotoner er det ønskede sluttproduktet, lar man elektronene
treffe et target av f.eks. wolfram, og bremstråling, som dominerer i foroverretningen,
generes. Man sier gjerne at prinsippet for fotongenerering er av “transmission type”
eller “straight through design”, ettersom fotonene kommer ut fra den andre siden av
target. Hvis lineærakselleratoren har en relativt kort lengde på tuben, setter dette
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 101
begrensinger på det effektive aksellerasjonpotensialet. Disse rørene (med potensial
opp mot 6 MV) har imidlertid den fordelen at de kan monteres vertikalt, og dermed
peke rett mot behandlingsbordet. Hvis høyere potensialer ønskes, blir
aksellerasjonstuben så lang at disse må installeres horisontalt. Dermed må en såkalt
“bending magnet” benyttes for å avbøye elektronstrålen, slik at denne vender ned mot
behandlingsbordet. Etter at fotonene har forlatt target og avgrenses av en primær
kollimator, treffer disse et utjevningsfilter. Dette filteret skal gjøre tverrsnittsprofilen
av stråleintensiteten flat, slik at en homogen dosefordeling sikres. Etter dette has et
nytt sett med kollimatorer, som brukes til å variere størrelsen på strålefeltet. Disse
består av to sett med kjever, gjerne av bly, som kan flyttes inn og ut i strålefeltet.
Maksimal størrelse på feltet er ofte 40x40 cm i en avstand på 1 m fra fokus på
moderne lineakselleratorer. I tillegg til dette kan også feltet formes manuelt med
blokker, kiler og filtere, eller automatisk med dynamisk kile og
mangebladskollimator. Det resulterende fotonspekteret blir uansett ganske komplisert,
ettersom fotonene attenueres i target og utjevningsfilteret, i tillegg til at spredt stråling
fra kollimatorer og resten av konstruksjonen spres inn i strålen. En tommelfingerregel
er at den midlere fotonenergien er 1/3 av maksimalenergien, der sistnevnte tilsvarer
det effektive aksellerasjonspotensialet.
Ved utgangen av akselleratorhodet sitter et eller flere ionekammere, som
monitorerer stråleutbyttet. Utslaget på disse er gjerne kalibrert i forhold til en
referanse. Det kalibrerte ionekammerutslaget defineres i monitorenheter, der f.eks.
100 monitorenheter kan defineres som stråleutbyttet som gir en dose på 1Gy en meter
fra akselleratorens fokus. Vi skal komme tilbke til ionekammere og doser etterhvert!
I utgangspunktet er diameter på elektronstrålen typisk rundt 3mm. Hvis
elektronene skal brukes i strålebehandlingen, erstattes target med en spredefolie,
gjerne av bly, som sprer elektronstrålen slik at den får den nødvendige utstrekningen.
Dette vil føre til en kontaminering av elektronfeltet med bremsetrålingsfotoner,
hvilket vil gi et økt dosebidrag til pasienten. For noen akselleratorer benyttes et
elektromagnetisk felt for å spre elektronstrålen, slik at mye av fotonkontamineringen
kan unngås. I tillegg benyttes ofte en såkalt elektrontubus, hvilket er en forlengelse av
lineæakselleratoren mot pasienten. Denne skal sikre fokus av elektronstrålen, ved å
fange opp spredte elektroner (fra luft og aksellerator).
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 102
Moderne lineæakselleratorer skal ta opp så lite plass som mulig, være enkel å
betjene, gi et mangfoldig tilbud av foton- og elektronenergier, og ha mange
bevegelsmuligheter. Nedenfor ser vi en skisse av en moderne lineæraksellerator.
“Gantry” er den bevegelige delen av maskinen som kan rotere rundt pasienten. Det
punktet som defineres ut fra kollimatoraksen og gantrys rotasjonsakse kalles
akselleratorens isosenter. Dette befinner seg gjerne 100 cm fra strålens fokus. I tillegg
kan behandlingsbordet roteres, slik at mulighetene er mange for å “treffe” tumorer
med kompleks beliggenhet i pasienten. Isosenter kan defineres fysisk ved tre
veggmonterte lasere, og disse brukes til i “sikte inn” strålefeltet på pasienten.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 103
Syklotron
Prinsippet for syklotronen ble tenkt ut allerede i 1920-årene, og E.O. Lawrence fikk
Nobelprisen i fysikk i 1939 for utviklingen av denne typen partikkelaksellerator.
Syklotronen er bygd opp av to tilliggende D’er, som er halvsirkelformede objekter av
f.eks. kobber. Over D’ene er det satt opp en oscillerende høyspenning med
radiofrekvens, som skal aksellere ladde partikler når de befinner seg i mellomrommet.
Når den ladde partikkelen er innenfor en av D’ene, vil sistnevnte fungere som et
Faraday-bur, slik at det elektriske feltet ikke påvirker bevegelsen her. D’ene er
plassert mellom en kraftig elektromagnet, slik at partikkelbevegelsen inne i D’ene blir
en sirkel.
Br
)t(Er
vr
ionekilde (q>0)
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 104
Det tidsavhengige elektriske feltet er “tunet” på en slik måte at frekvensen passer til
omløpsfrekvensen til de ladde partiklene. Retningen til Er
er altså i utgangspunktet
tenkt å være rettet langs bevegelsesretningen til den ladde partikkelen. Ved Lorentz
kraftlov kan man vise at omløpstiden for en partikkel i et magnetfelt er gitt ved:
qBm2π
=Γ
der m er den relativistiske massen til den ladde partikkelen. I utgangspunktet er altså
frekvensen uavhengig av hastigheten, men sistnevnte vil komme inn som et
relativistisk bidrag til massen:
cv,
11,mm
20 =ββ−
=γγ=
Når hastigheten øker, øker også den relativistiske massen, og omløpstiden i
syklotronen øker dermed med hastigheten. Bevaring av energi ved aksellerasjonen av
en ladd partikkel i det elektriske feltet gir:
qVcm)1(cm)1(
ldEV,qVTT2
0f2
0e
fe
+−γ=−γ⇒
⋅=+= ∫rr
qB
mcm
qV2
cmqV
020
f
20
fe
+γπ
=Γ⇒
+γ=γ⇒
Tf og Te er kinetisk energi hhv. før og etter aksellerasjonen. Omløpstiden vil dermed
øke med en faktor tilsvarende qV/m0c2. Typisk kan V=100 kV, og for et proton blir
dette forholdet 0.0001. Γ forandrer seg dermed lite, nettopp fordi protonet må få tilført
meget høy energi før det når en relativistisk hastighet. For et elektron blir derimot
forholdet 0.2. Dette innebærer at ut fra de prinsippene vi har skissert, passer ikke
elektroner til å bli aksellerert i en syklotron. Dette fordi det elektriske feltet (med
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 105
konstant frekvens) etterhvert ikke vil være i fase med elektronet og dets økende
omløpsfrekvens. Det er mulig å lage en faseskift-konstruksjon som tar hensyn til dette
(disse kalles synkrosyklotroner), men for elektronaksellerasjon i stråleterapi finnes det
altså mere effektive og rimeligere metoder.
Syklotroner brukes i strålebehandling ved store institusjoner som har råd til
slikt utstyr. Fordelen ved tunge ladde partikler er lite spredning og en veldefinert
doseavsetning (Bragg-peak etc.). Ved hjelp av såkalte “trimmere” kan denne
doseavsetningen effektivt manipuleres. Protoner og liknende partikler brukes f.eks. til
behandling av tumorer i øyet, siden det vi kan kalle dosepresisjonen er meget høy.
Svedberg-laboratoriet i Sverige er det eneste stedet i Norden som driver med slike
typer behandlinger.
Betatron
Betatronen var mye brukt på 50-60 tallet, før lineærakselleratorene overtok
mesteparten av markedet innen stråleterapi. Prinsippet for denne partikkel-
akselleratoren er at elektroner slippes ut i en smultringformet, evakuert tube. Over
tuben er det satt opp et komplekst tidsavhengig magnetfelt, som skal holde
elektronene i en sirkulær bane med nogenlunde konstant radius, aksellere disse ved et
elektrisk felt og ta de ut av banen etter de har nådd en ønsket hastighet. Deretter
treffer elektronene et target, og bremsestråling generes. I utgangspunktet er betatronen
en fleksibel maskin, men fotonfluensen som fås ut er generelt for lav til at en god
doserate kan oppnås.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 106
Mikrotron
Mikrotronen er slags mellomting mellom en lineæraksellerator og en syklotron, der
elektroner akselleres i en konstruksjon som likner den til syklotronen:
Her genereres mikrobølger i en kavitet plassert mellom D’ene for å aksellere
elektronene, og man lar deretter disse reise et helt multiplum av mikrobølgeperioder
før de igjen akselleres. I en “racetrack”-mikrotron blir dermed elektronbanen lik en
amerikansk INDY-500 racerbane.
Fordelen med en mikrotron foran en lineæraksellerator er at man kun bruker
èn kavitet i aksellerasjonen (i motsetning til “disk-loaded”-strukturen), og at
konstruksjonen vil selektere ut et meget smalt spekter av elektronenergier. Sistnevnte
kommer fra at man via konstruksjonen av D’ene og det eksterne magnetfeltet kan
plukke ut nettopp de elektronene med “riktig” energi. Sistnevnte kan også oppnås
med gode “bending magnets” i lineærakselleratorer. Race-track mikrotroner brukes i
dag i stråleterapi (en produsent er f.eks. Scanditronix i Sverige).
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 107
11. Elektronbehandling
Vi skal starte med en kort teoretisk gjennomgang av en størrelse relevant for
diskusjonen rundt doseavsetningen fra høyeneregetiske elektroner. Mass scattering
power, eller masse-spredningsevnen, er definert som middelverdien av den kvadrerte
spredningsvinkelen (per tetthet- og lengdeenhet) et elektron opplever når den beveger
seg gjennom et inifinitesimalt linjestykke dx:
dxd 2
ρθ
2θ
dx
Desverre er notasjonen til denne størrelsen ofte gitt som T/ρ, der T absolutt ikke viser
til kinetisk energi. Denne notasjonen skal vi forsøke å unngå! Den midlere
spredningsvinkelen vil avhenge av mediets evne til å spre partikkelen, hvilket på
enkleste form var gitt ved Rutherfordtverrsnittet, som beskriver spredning av et
elektron mot en atomkjerne:
)2/(sin1cmr
4Z
dd
42
2e
2e
2
θβ=
Ωσ
Tverrsnittet viser at små vinkelspredninger er de mest sannsynlige, og at
spredningssannsynligheten øker med atomnummeret i annen potens. Ut fra
Rutherfordtverrsnittet kan helt enkle utgaver av masse-spredningsevnen utledes på
liknende måte som for stoppeevnen:
∫π
ΩΩσ
θ=ρθ
4
2A2
ddd
AN
dxd
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 108
Vi husker at det klassiske Ruthefordtverrsnittet ikke tar hensyn til kvantemekanisk
natur (f.eks. atomær struktur), hvilket bl.a. gir problemer i evalueringen av maksimal
og minimal spredningsvinkel. I litteraturen finnes imidlertid både tabulerte verdier og
mer kompliserte analytiske uttrykk. Nedenfor er teoretiske masse-spredningsevner for
forskjellige grunnstoffer vist, og en tommelfingerregel er at )dx/(d 2 ρθ er
proporsjonal med ∼Z2 og avtagende med elektronets kinetiske energi (∼T-1.6).
Kinetisk energi [MeV]0.1 1 10 100
Mas
s sca
tterin
g po
wer
[rad
2 cm2 /g
]
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000Karbon (Z=6)Kobber (Z=29)Bly (Z=82)
Hvis det antas at alle spredningshendelsene i stoffet som traverseres er statistisk
uavhengig av hverandre, kan en Gaussfordeling brukes til å beskrive
vinkelfordelingen til elektronene. Dette viser seg å være en relativt grov tilnærmelse,
og ved f.eks. Monte Carlo simuleringer bør andre teorier benyttes (eksempelvis
Molières teori for multippelspredning). Som et mål på fordelingens varians kan 2θ
benyttes, og fordelingen vil (ihvertfall teoretisk) være sentrert rundt 0°. Sistnevnte
kommer fra spredningsprosessenes sylindrisk-symmetriske natur.
Betrakningene ovenfor var gjort for å friske litt opp i elektronenes egenskaper
når de vekselvirker med materie. Vi husker at spredningsvinkel og avsatt energi var
fullstendig korrelerte størrelser, slik at en energifordeling med en viss middelverdi og
varians finnes i hvert punkt inne i mediet. Det forventes at variansen øker etterhvert
som elektronene kommer dypere inn i mediet, mens den midlere elektronenergien
avtar. Disse effektene kalles, som nevnt tidligere, for straggling. Elektronene fra en
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 109
lineæraksellerator er i utgangspunktet relativt monoenergetiske, men vil etter
passering av spredningsfolie og traversering til et gitt dyp i mediet av interesse ha en
gitt energifordeling:
Primærstråle
MeV 15E0 = MeV 12E1 = MeV 8E2 =
Spredefolie Absorbator
Energi [MeV]4 6 8 10 12 14 16
Flue
ns
PrimærstråleStråle etter passering av spredefolieStråle i et gitt punkt i absorbator
I det fiktive eksempelet ovenfor er det antatt at elektronene i utgangspunktet har en
energi på 15 MeV, hvilket reduseres til 12 MeV etter spredefolien, i tillegg til at
variansen i fordelingen øker.
Eksempelet ovenfor viser at det er nødvendig med et rammeverk for
spesifikasjon av f.eks. midlere elektronenergi, der målgruppen er medisinske fysikere.
Dette er spesielt viktig ved doseoppmålinger, der en karakterisering av elektronstrålen
er nødvendig. Dybdedosekurven i vann gir indirekte et mål på både elektronenergien
og variansen i energi. Ut fra dybdedosekurven er det mulig å hente ut rekkevidden
(practical range, se figur), og beregne den mest sannsynlige elektronenergien ved
inngangen til vannfantomet ut fra relasjonen:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 110
p3p210p RCRCC)E( ++=
Koeffesientene er gitt ved C1=0.22 MeV, C2=1.98 MeV cm-1 og C3=0.0025 MeV
cm−2. Rp (oppgis i cm) tilsvarer altså skjæringspunktet mellom tangenten fra den
tydelig nedadgående delen av dybdosekurven og lengdeaksen. For at dette utrykket
skal være appliserbart for alle mulige kilde-til-overflate avstander, skal
dybdedosekurven korrigeres med en divergensfaktor før man finner Rp. For lave
elektronenergier blir ikke denne korreksjonen spesielt stor, p.g.a. den korte
rekkevidden til disse.
Teoretisk, med en Gaussfordeling av elektronenergien, vil vi selvfølgelig ha at
00p E)E( = , men i praksis brukes utrykket
5040 RCE =
der C4=2.33 MeV cm-1, og R50 er dypet der dosen har falt til 50% av maksimaldosen.
Videre kan den mest sannsynlige elektronenergien og den midlere elektronenergien
som en funksjon av dypet z utrykkes ved:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 111
−=
−=
p
0z
p0pzp R
z1EE,Rz1)E()E(
En (irriterende enkel) tommelfingerregel sier videre at energitapet per cm traversert
vann er på ca. 2 MeV.
Måling av dosen fra elektroner foretas med det som er praktisk for de
forskjellige målesituasjonene. Dette innebærer at absoluttdosimetri gjøres med
ionekammere, dybdedoser og såkalte profiler (tverrscan) med dioder eller
ionekammere, og kontrollmålinger under behandling med TLD eller dioder. Film kan
f.eks. brukes til måling av tverrsnittsfordelingen av dosen i forskjellige plan over
strålen, og til direkte måling av isodosefordelinger.
For absoluttdosimetri (dvs. måling av ubyttet fra lineæakselleratoren i et
relevant fantom) bør et planparallelt ionekammer benyttes, der kammervolumet skal
være så lite som mulig. Sistnevnte kreves fordi den såkalte perturbasjonseffekten, som
har sin fysiske opprinnelse i forskjellen mellom fluensen i kaviteten og fluensen i
målepunktet uten kaviteten, øker med kavitetens (vindu, elektroder og luftvolum)
størrelse. Hvis sylindriske kammere benyttes, må buildup-cap’en fjernes (hvis mulig,
og hvis ikke denne er meget tynn). Som målefantom vil det beste være å bruke vann,
selv om andre materialer, som solid water og polystyren, også kan benyttes. Fantomet
må være stort nok til at ”all” relevant spredt stråling blir tatt hensyn til.
Utgangssstørrelsen til feltet i måledyp eller fantomoverflate bør være rundt 10x10 cm.
Ved absoluttdosimetri kommer også andre aspekter inn, slik som riktig
spenning over elektrodene i kammeret, perturbasjonsfaktoren til kammeret og den
såkalte ”displacement factor” (sistnevnte kun relevant for sylindriske kammere), men
vi skal ikke gå i detalj rundt disse.
Hvis man har kontroll på alle de mulige parameterne i måleoppsettet, skal
dosen avsatt i ionekammerets gass være gitt ved:
gasair MNeWXD ==
der M er elektrometerets utslag (gjerne i nC), og Ngas er kalibreringsfaktoren for
kammeret (dvs. i Gy/nC). Alle korreksjonsfaktorer, slik som for rekombinasjon av
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 112
ioner (Pion) og korreksjon for temperatur, luftfuktighet og trykk antas ligge i Ngas.
Disse faktorene må innføres ved reelle oppmålinger, men vil i dette resonnementet
bare komplisere utledningene og er utelatt. Hvis vi nå benytter oss av Bragg-Gray
kavitetsteori, vil dosen til mediet fremkomme som:
( )
( )∫
∫
∆∆
∆∆
∆∆∆
Φρ
Φρ≈
ρ
ρ
=
ρ
= maxTairTair
maxTmedTmed
E
med
airE
med
airgas
E
med
airairmed
dT /L
dT /LL,LMNLDD
zzz
der indeksen zE indikerer at målingen er foretatt i måledyp z, og denne energien skal
i den korrekte tabellen gi et svarende stoppeevneforhold som benyttes til utregning av
dosen. Merk altså at L svarer til en begrenset stoppeevne, som ligger i den utvidete B-
G-teorien til Spencer og Attix. Perturbasjonsfaktoren (Prepl, som alltid er mindre enn
1) er også utelatt her, men vil ligge veldig nære 1 hvis et så tynt vindu (eller buildup-
cap) som mulig benyttes på kammeret. Sistnevnte innebærer også at Φair→Φmed. Hvis
mediet som det måles i er forskjellig fra vann, og dosen til vann er det som ønskes,
bør følgende relasjon benyttes:
watermed
E
water
medmedwater
z
SDD Φ
ρ
=
Khan oppgir dette utrykket i læreboken sin, og nevner noen av problemene i
fobindelse med dette. Det mest grunnleggende spørsmålet er hvordan
elektronfluensen ser ut i de forskjellige mediene. Hvis, i tillegg, tverrsnittet for
bremsestråling er forskjellig, mener undertegnede at forholdet mellom stoppeevnene
vil gi et feilaktig bidrag til dosen. Nok et problem er hva som er det effektive
måledypet i fantomet i forhold til vann, f.eks. hvor i fantomet dosemaksimum opptrer.
Dybdedoser fra elektroner kan altså bestemmes ved ionekammere, dioder eller
film. Måleoppsettet i et vannfantom er typisk som følger:
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 113
Elektroner fra lineæraksellerator
vanntank
detektor Motorisert arm som holder detektor
Detektoren flyttes langs eller normalt på strålefeltet, hvis det som ønskes er hhv.
dybdedoser eller profiler (tverrscan). Noe av problemet med slike dybdosemålinger er
at man i prinsippet skal korrigere detektorens avlesning med stoppeevneforhold,
perturbasjonsfaktorer osv. i hvert eneste målepunkt. Nedenfor vises målinger av
dybdedosen fra diverse elektronfelt med ionekammer eller diode.
Film passer dårlig til absoluttdosimetri, ettersom svertningen avhenger sterkt
av emulsjonen som brukes, og går raskt i metning med økende dose. Ved relativt lave
dosenivåer passer den imidlertid bra til relativmålinger, og spesielt for måling av
isodosefordelinger. I tillegg skal visstnok ikke stoppeevneforholdet mellom film og
vann variere mye for de aktuelle elektronenergiene. Nedenfor vises svertningen av en
film plassert mellom to fantomblokker, der filmen er plassert langs elektronstrålen. I
denne figuren er den resulterende ”isotetthetskurven” vist. Dette er den optiske
tettheten (OD) i filmen, og bør i prinisppet korrigeres med en faktor som går fra OD
til dose, hvis isodosekurven er ønskelig. Dermed bør alltid film med en tilnærmet
lineær doserespons benyttes, slik at disse korreksjonene blir minimale.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 114
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 115
De to figurene ovenfor viser de viktigste karakteristikkene ved elektronfelt,
nemlig den relativt raskt avtagende dybdedosekurven og den dråpeformede
isodosefordelingen. Begge kurvene skyldes naturlig nok de to fundamentale
prosessene som gir opphav doseavsetningen; energitap og spredning. Lavenergetiske
elektroner spres mye lettere enn høyenergetiske (se figuren for masse-
spredningsevnen), slik at dråpeformen er spesielt tydelig ved lave energier. Denne blir
mer langstrakt når energien øker. Dette gir seg samme uttrykk i buildup-regionen:
Lavenergetiske elektroner spres meget effektivt over et lite område, og bygger relativt
rakst opp dosen til et maksimum. For høyenergetiske elektroner vil oppbyggingen
skje mer gradvis og over et større område, i tillegg til at variansen i elektronenes
energifordelingen øker kraftig med dypet. Dette fører også til at den negative
gradienten etter dosemaksimum blir slakere for høyenergetiske elektroner. Nedenfor
vises isodosekurver for forskjellige elektronfelt. Husk også at fotonkontamineringen
av elektronfeltet (både fra maskin og pasient) gir et bidrag til dosen, hvilket vises
tydelig som en ”hale” i dybdosen.
Uniformitetsindeksen er definert som arealet som dekkes av 90%-isodosen normalt på
feltaksen i forhold til arealet som finnes innenfor den geometriske definisjonen av
feltgrensene (som ofte i praksis defineres av 50%-isodosen). Denne gir dermed et mål
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 116
på flatheten (flatness) til elektronfeltet. Maksimalverdien skal her typisk ikke
overstige mer enn ±3% av dosen i sentralstrålen. Asymmetrien i feltet skal heller ikke
overstige mer enn 2% for punkter liggende på hver side av sentralstrålen.
Elektronsfeltet fås, som nevnt tidligere, ved å benytte såkalte spredefolier, som sprer
den i utgangspunktet meget smale elektronstrålen ut til en ønsket størrelse. På mange
maskiner finnes en såkalt dual-folie, der strålen først spres, og der neste folie utjevner
feltet. Dette skal visstnok fungere bedre enn å foreta hele operasjonen i ett, hvilket
kan skyldes at enklere å utjevne den spredte strålen etter det første filteret. For
kollimering av feltet benyttes først fotonkollimatorene, som stilles inn på en
feltstørrelse større enn eller lik den som skal has ut. Deretter innsettes en applikator
(ofte kalt tubus), som nesten strekker seg nesten ned til pasienten. Dette for å
minimalisere bidraget fra spredte elektroner i akselleratorhodet og luft.
Konstruksjonen av lineærakselleratoren med ”bending magnet”, spredefolie,
applikatorer (tubus) osv. vil gjøre at signifikante forskjeller opptrer i dose-
karakteristikkene mellom forskjellige maskintyper. 12 MeV elektroner fra en Varian
Clinac gir ikke nødvendigvis det samme utbyttet som 12 MeV fra en Siemens Primus,
selv om klinikker som har utstyr fra forskjellige produsenter forsøker å tilpasse
maskinene til en dybdedose som svarer til sykehusets ”standard”.
Typisk blir kalibreringen av utbyttet til maskinen gjort med en feltstørrelse på
10x10 cm. Ved andre feltstørrelser vil dosemålingen gjerne oppgis som en
”feltstørrelsesfaktor”
YxY
10x10
DoseDoseFF =
Denne vil typisk være mindre enn 1 for felter større enn
referansefeltstørrelsen, p.g.a. høyere andel innspredt stråling i sentralstrålen.
Referansedypet i fantomet er gjerne det dypet som gir maksimalt avsatt dose, som ofte
kalles dmax. I dette dypet kalibreres maskinen (med feltstørrelse 10x10 cm) til å gi et
utbytte på f.eks. 1 Gy per 100 monitoreenheter (ME). Hvis en behandling gis med et
15x15 cm felt, som kan ha FF=0.95, multipliseres monitorantallet med denne faktoren
slik at dosen blir korrigert i forhold til feltstørrelsen.
Siden elektronstrålen i utgangspunktet ikke har noe fokus, men divergerer ut
fra området rundt spredefolien og spres i applikator og luft, er det definert noe som
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 117
kalles virtuelt fokus. Khan beskriver flere metoder for hvordan man kan finne dette
punktet, men vi dropper alle detaljer rundt dette. Litt av problemet med elektroner er
at hvis avstanden fra virtuelt fokus til et punkt av interesse i fantomet økes, vil en
avstandskorreksjon underestimere fallet i dose. Dette skyldes at bidraget fra innspredt
stråling fra applikator og luft vil føre til at fokus ligger nærmere pasient/fantom enn
posisjonen til spredefolien. Denne effekten er spesielt fremtredende ved lave
elektronenergier (siden mest spredning oppleves her), men blir mindre hvis
feltstørrelsen øker.
Elektronenergiene som vanligvis tilbys fra lineærakselleratorer er fra 6-20
MeV. Forskjellige kliniske indikasjoner avgjør hva slags elektronenergier som skal
brukes for den enkelte pasient. Elektroner brukes til behandling av oveflatiske
tumorer, eller tilsvarende som maksimalt strekker seg 6-7 cm under huden. Dette kan
være hudkreft, leppekreft, såkalte booster’e til lymfeknuter, lesjoner i brystvegg og
svulster i hode/hals-regionen. Dosedekningen som klinikeren ønsker i tumoren kan
variere, men vanlig praksis er å la den terapeutiske rekkevidden av elektronfeltet gå til
90%-isodosen. Bakenfor dette punktet antas det at dosen ikke er tilstrekkelig til å få et
godt terapeutisk resultat. Hudsparing er veldig relevant for behandlig med fotoner,
men fås ikke på tilsvarende måte med elektroner, og ihvertfall ikke ved høye energier.
Elektroner benyttes oftest som enkle felt, men også i flerfeltsteknikker
sammen med fotoner. Utgangspunktet i en standard behandlingsplanlegging er at
klinikeren vurderer utbredelsen til tumor, og spesielt hvor dypt innenfor huden denne
strekker seg. Utbredelsen sammenlignes deretter med isodosekart, der det primære
målet er at hele målvolumet (innbefattet alle usikkerheter) faller innenfor 90%-
isodosen. Noen ganger jenkes det på dette kravet, f.eks. ved bestråling av brystveggen
etter fjerning av bryst i forbindelse med brystkreft. Her kommer lungen inn som et
risikoorgan.
Siden spredningen av elektroner er høy, må man ofte være litt romsligere med
feltgrensene i forhold til utbredelsen av tumor enn for fotoner. Dette gjelder spesielt
ved lave energier. Nok et problem er at dosegradienten bak dosemaksimum blir
slakere ettersom energien øker, og dette innebærer at eventuelt friskt vev bak tumor
får en betraktelig dose (denne effekten fås ikke med tyngre ladde partikler, f.eks.
protoner). Derfor er det skjelden at de høyeste energiene (typisk over 20 MeV)
benyttes, og disse erstattes dermed med fotoner.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 118
Hvis innfallvinkelen til elektronsstrålen på pasientoverflaten er ulik 90º, dvs.
at elektronfeltet er vinklet eller at pasientkonturen ikke er rett, vil avstandseffekter
(som både inkluderer selve avstandsfaktoren og forandring i spredningsforhold) gi
inhomogeniteter i dosen. For å visualisere dosefordelingen, kan det være nyttig å
forestille seg elektronstrålen utgjort av små ”pencil beams”:
Ut fra visualiseringen ovenfor, vil det øverste av de to punktene i det vinklede
tilfellet relativt sett motta mer spredt stråling enn det nederste. Dette innebærer at
oppbyggingen av dosen skjer raskere, men dosefallet etter dosemaksimum blir
slakere. Husk på at vi i disse tilfellene diskuterer dosen langs sentralstrålen.
Dosefordelingen på hver side av sentralstrålen (i planet som visualiseres ovenfor) vil
naturlig nok ikke være symmetrisk.
Nedenfor vises dosefordelingen fra en 12 MeV elektroner innfallende på et
sylindrisk polystyren-fantom. Stiplede linjer viser beregnede verdier, mens heltrukne
representerer målinger. Beregningene er gjort med utgangspunkt i utrykket:
)d,(OFgdf
df)d,f(D)d,gf(D2
0 θ
++
+=+
D0(f,d) er dosen i et gitt punkt i et standard vannfantom, der f er avstanden til fokus
fra fantomoverflaten, og d er dypet i fantomet. Det kvadrerte leddet kjenner vi igjen
som avstandsfaktoren, mens OF er det vi kan kalle hellningsfaktoren (obliquity
factor). Denne vil naturlig nok avhenge hellningsvinkelen og det gitte dypet. Khan
oppgir at denne kan være 1.18 ved en 60 º vinkel for 9 MeV elektroner i
dosemaksimum. Selvfølgelig finnes det simuleringsprogrammer som mer nøyaktig
kan simulere doseavsetningen fra elektroner, men alle disse sliter med å gi en korrekt
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 119
beskrivelse av spredningseffekter. Dette gjør også at simuleringen av
strålingsabsorpsjonen i inhomogene medier er vanskelig, men Dag Rune kommer
forhåpentligvis nærmere inn på dette.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 120
Vevsinhomogeniteter gir opphav til dosegradienter, hovedsakelig på grunn av
at spredningseffekter avhenger sterkt av vevets effektive atomnummeret og at
rekkevidden til elektroner tilnærmet er proporsjonal med tettheten (så lenge man ikke
nærmer seg gassfase). En metode som kalles “Coefficient of Equivalent Thickness
method” (CET) utnytter nettopp at attenueringen i et gitt stoff er proporsjonal med
attenueringen i vann. Hvis et “skive” av vann med tykkelse z erstattes med et annet
medium, vil den resulterende effektive tykkelsen bli z x CET. Hvis tettheten i det nye
mediet er lavere enn for vann blir CET<1 osv. Det effektive dypet der en viss dose
oppnås etter at strålen har passert inhomogeniteten blir dermed:
)CET1(zddeff −−=
Dette er en veldig enkel tilnærming til problemet rundt inhomogeniteter, ettersom
spredning er kritisk for doseavsetningen, spesielt i grensesjiktene (se kapittel 9).
Nedenfor gjengis en fin figur fra Khan, som viser effekten av lunge på
isodosefordelingen:
I figuren ovenfor ser man også at en såkalt bolus er lagt på brystveggen. Bolusen
består av et vevsekvivalent materiale, som enten benyttes for å øke overflatedosen,
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 121
utjevne irregulære overflater eller redusere rekkevidden til elektronene i enkelte deler
av feltet.
Videre skal vi prate litt om”skjøteproblematikk”, som oppstår når flere felter,
både av elektroner og fotoner, sammen skal gi dose til et målvolum:
felt 1 felt 2
Pasientkontur
mål-volum
Skal man i slike tilfeller f.eks. la feltgrensene ligge inntil hverandre på pasientens
hudoverflate? Ovenfor ser vi hvordan divergensen gjør at hvert enkelt felt vil gi et
dosebidrag i området som er dekket av det andre feltet. Man kunne tenke seg å løse
dette med å rotere gantry på akselleratoren slik at de to divergenslinjene blir
parallelle, men i dette tilfellet skal det veldig lite til før pasienten får 200 % (ved
overlapping) eller 0 % av dosen. Denne teknikken kan imidlertid brukes i hode/hals-
regionen, når pasienten er godt fiksert og ikke kan bevege seg. Vanligvis velges et
imidlertid et såkalt ”skjøtedyp”, dvs. et dyp der divergenslinjene skal skjære
hverandre. Dette kan gjøres ut fra en klinisk vurdering i de enkelte tilfeller, men ofte i
følge en standard praksis (f.eks. skjøting i 1 cm dyp). Uansett fås problemer med
varme og kalde regioner, som kan føre til økte senskader og/eller residiverende
tumorvev. Nedenfor vises et bilde fra Khan, der to 19 MeV elektronfelter skjøtes mot
hverandre.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 122
Videre ser vi på et tilfelle der 9 MeV elektroner skjøtes mot et 6 MV fotonfelt:
I det sistnevnte eksempelet vil det varme området fås i volumet avgrenset av
fotonfeltgrensen, siden spredte elektroner vil bidra relativt mer til dosen i fotonfeltet
enn vice versa.
Blokking av deler av elektronfeltet kan gjøres for å få feltet mere konformt i
forhold til målvolumet. Ved blokking må man alltid ha i bakhodet at dette forandrer
på doseutbyttet i et gitt dyp, slik at dette bør kompenseres med en effektiv
feltstørrelsesfaktor. Avgrensing og blokking (dvs. forming) av feltene kan gjøres med
høy-Z materialer slik som f.eks. Cerrobend, som har et relativt lavt smeltepunkt og
kan smeltes og formes i spesielle maskiner på klinikken.
FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 123