formulae and transposition

8/13/2019 Formulae and Transposition

http://slidepdf.com/reader/full/formulae-and-transposition 1/12

Gdrkuaì òfVròspdsjtjdo

0.9Jotrdfumtjdo

Gdrkuaì `ri usif griquiotay jo àkdst àa `spimts dg iobjoiirjob jo drfir td ria`ti ` pnysjmà quòtjtytd doi dr kdri dtnirs. Kòy wiaa-lodwo pnysjmà a`ws `ri fismrjhif usjob gdrkuaì. Gdr ix`kpai,ydu k`y n`vi àri`fy siio Dnk‚s a`w, v ; jX, dr Oiwtdo‚s simdof a`w dg kdtjdo, G ; k`.

Jo tnjs ]imtjdo wi fismrjhi tni prdmiss dg ivàu`tjob ` gdrkua`, ixpa`jo wn`t js kiòt hy tni suheimt

dg ` gdrkua`, òf sndw ndw ` gdrkua` js ri`rròbif dr tròspdsif. Vnisi `ri h`sjm sljaas riqujrif joàa `spimts dg iobjoiirjob.

Sririqujsjtis

Higdri st`rtjob tnjs ]imtjdo ydu snduaf . . .

• hi `hai td `ff, suhtr`mt, kuatjpay òf fjvjfiàbihr`jm gr`mtjdos

Ai`rojob Dutmdkis

Do mdkpaitjdo ydu snduaf hi `hai td . . .• tròspdsi ` gdrkua`

2> NIAK (8339)5Rdrlhddl 05 H`sjm @abihr`

http://www.ebookcraze.blogspot.com/



0. Ysjob gdrkuaì òf suhstjtutjdoJo tni stufy dg iobjoiirjob, pnysjmà quòtjtjis mò hi ria tif td i`mn dtnir usjob ` gdrkua`. Vnigdrkua` wjaa mdot`jo v`rj`hais òf mdostòts wnjmn riprisiot tni pnysjmà quòtjtjis. Vd ivàu`ti `gdrkua` wi kust suhstjtuti oukhirs jo pa`mi dg tni v`rj`hais.

Gdr ix`kpai, Dnk‚s a`w prdvjfis ` gdrkua` gdr ria`tjob tni vdat`bi, v, `mrdss ` risjstdr wjtn risjstòmivàui, X, td tni murriot tnrdubn jt, j. Vni gdrkua` st`tis

v ; jX

Ri mò usi tnjs gdrkua` td màmua`ti v jg wi lodw vàuis gdr j òf X. Gdr ix`kpai, jg j ; 0= @, òfX ; 9 ℧, tnio

v ; jX

; (0=)(9)

; 79

Vni vdat`bi js 79 W.

Odti tn`t jt js jkpdrtòt td p`y `ttiotjdo td tni uojts dg òy pnysjmà quòtjtjis jovdavif. Yoaiss `mdosjstiot sit dg uojts js usif ` gdrkua` js odt vàjf.

Ix`kpai 78Vni ljoitjm ioirby, L , dg ò dheimt dg k`ss K kdvjob wjtn spiif v mò himàmua`tif grdk tni gdrkua`, L ; 0

8Kv8.

Màmua`ti tni ljoitjm ioirby dg ò dheimt dg k`ss 9 lb kdvjob wjtn ` spiif dg 8k s∘0.

]dautjdo

Jo tnjs ix`kpai K ; 9 òf v ; 8. ]uhstjtutjob tnisi vàuis jotd tni gdrkua` wi ffof

L ; 0

8Kv8

;

0

8(9)(8

8

); 03

Jo tni ]J systik tni uojt dg ioirby js tni eduai. Niomi tni ljoitjm ioirby dg tni dheimt js 03 eduais.

NIAK (8339)5]imtjdo 0.95 Gdrkuaì òf Vròspdsjtjdo

2:




V`sl sl

Vni `ri`, @, dg tni mjrmai dg r`fjus r mò hi màmua`tif grdk tni gdrkua` @ ; σr8.

Jg wi lodw tni fj`kitir dg tni mjrmai, f, wi mò usi tni iqujvàiot gdrkua` @ ;σf8

6 . Gjof tni `ri` dg ` mjrmai n`vjob fj`kitir 3.0 k. Zdur màmua`tdr wjaa hi

priprdbr`kkif wjtn tni vàui dg σ.

Zdur sdautjdo

@ ;

@oswirσ(3.0)8

6

; 3.332: k8

Ix`kpai 7=Vni vdauki, W , dg ` mjrmua`r myajofir js iquà td jts mrdss-simtjdoà `ri`, @, tjkisjts aiobtn, n.

Gjof tni vdauki dg ` myajofir n`vjob fj`kitir 3.0 k òf aiobtn 3.= k.

]dautjdo

Ri mò usi tni risuat dg tni privjdus V`sl td dht`jo tni mrdss-simtjdoà `ri` @ ; σf8

6 . Vnio

W ; @n

; σ(3.0)8

6 Ò 3.=

; 3.3386

Vni vdauki js 3.3386 k=.

>3 NIAK (8339)5Rdrlhddl 05 H`sjm @abihr`




8. Xi`rròbjob ` gdrkua`Jo tni gdrkua` gdr tni `ri` dg ` mjrmai, @ ; σr8, wi s`y tn`t @ js tni suheimt dg tni gdrkua`. @v`rj`hai js tni suheimt dg tni gdrkua` jg jt `ppi`rs hy jtsiag do doi sjfi dg tni gdrkua`, usuàay tniaigt-nòf sjfi, òf odwniri iasi jo tni gdrkua`. Jg wi `ri `slif td tròspdsi tni gdrkua` gdr

r, dr sdavi gdr r, tnio wi n`vi td k`li r tni suheimt dg tni gdrkua`. Rnio tròspdsjob ` gdrkua`wn`tivir js fdoi td doi sjfi js fdoi td tni dtnir . Vniri `ri ffvi ruais tn`t kust hi `fnirif td.

Liy Sdjot 88

Xi`rròbjob ` gdrkua`

Zdu k`y m`rry dut tni gdaadwjob dpir`tjdos

• `ff tni s`ki quòtjty td hdtn sjfis dg tni gdrkua`

• suhtr`mt tni s`ki quòtjty grdk hdtn sjfis dg tni gdrkua`

• kuatjpay hdtn sjfis dg tni gdrkua` hy tni s`ki quòtjty

• fjvjfi hdtn sjfis dg tni gdrkua` hy tni s`ki quòtjty

• t`li ` „guomtjdo‚ dg hdtn sjfis dg tni gdrkua`5 gdr ix`kpai,

ffof tni rimjprdmà dg hdtn sjfis (j.i. jovirt).

Ix`kpai 76Vròspdsi tni gdrkua` p ; 9t∘ 02 gdr t.

]dautjdo

Ri kust dht`jo t do jts dwo do tni aigt-nòf sjfi. Ri fd tnjs jo st`bis hy usjob doi dr kdri dg

tni ffvi ruais jo Liy Sdjot 88. Gdr ix`kpai, hy `ffjob 02 td hdtn sjfis dg p ; 9t∘ 02 wi ffof

p + 02 ; 9t ∘ 02 + 02

sd tn`t p + 02 ; 9t

Fjvjfjob hdtn sjfis hy 9 wi dht`jo t do jts dwo5

p + 02

9 ; t

sd tn`t t ; p + 02

9 .


>0




Ix`kpai 79Vròspdsi tni gdrkua`

∕ 8q ; p gdr q .

]dautjdo

Gjrst wi squ`ri hdtn sjfis td rikdvi tni squ`ri rddt. Odti tn`t (∕

8q )8 ; 8q . Vnjs bjvis

8q ; p8

]imdof wi fjvjfi hdtn sjfis hy 8 td bit q ; p8

8 .

Odti tn`t jo bioirà hy squ`rjob hdtn sjfis dg ò iqu`tjdo k`y jotrdfumi ixtr` sdautjdos odt vàjfgdr tni drjbjoà iqu`tjdo. Jo Ix`kpai 79 jg p ; 8 tnio q ; 8 js tni doay sdautjdo. Ndwivir, jg wi

tròsgdrk td q ; p8

8 , tnio jg q ; 8, p mò hi +8 dr ∘8.

V`sl sl

Vròspdsi tni gdrkua` v ;∕

t8 + w gdr w.

Zdu kust dht`jo w do jts dwo do tni aigt-nòf sjfi. Fd tnjs jo sivirà st`bis.

Gjrst squ`ri hdtn sjfis td rikdvi tni squ`ri rddt5

Zdur sdautjdo

@oswir

v8 ; t8 + w

Vnio, suhtr`mt t8 grdk hdtn sjfis td dht`jo ò ixprissjdo gdr w5

Zdur sdautjdo

@oswir

v8 ∘ t8 ; w

Gjoàay, wrjti fdwo tni gdrkua` gdr w5

Zdur sdautjdo

@oswir

w ; v8

∘ t8





Ix`kpai 77

Vr`ospdsi x ; 0

y gdr y.

]dautjdo

Ri kust try td dht`jo `o ixprissjdo gdr y. Kuatjpayjob hdtn sjfis hy y n`s tni iffiimt dg rikdvjobtnjs gr`mtjdo5

Kuatjpay hdtn sjfis dg x ; 0

y hy y td bit

yx ; y Ò 0

ysd tn`t yx ; 0

Fjvjfi hdtn sjfis hy x td ai`vis y do jts dwo, y ; 0

x.

@atiro`tjviay5 sjkpay jovirt hdtn sjfis dg tni iqu`tjdo x ; 0

y td bit

0

x ; y .

Ix`kpai 72

K`li X tni suheimt dg tni gdrkua`8

X ;

=

x + y

]dautjdo

Jo tni bjvio gdrk X `ppi`rs jo ` gr`mtjdo. Jovirtjob hdtn sjfis bjvis

X

8 ;

x + y

=

Vnus kuatjpayjob hdtn sjfis hy 8 bjvis

X ; 8(x + y)

=


>=




V`sl sl

K`li X tni suheimt dg tni gdrkua` 0

X ;

0

X0

+ 0

X8

.

(`) @ff tni twd tirks do tni rjbnt5

Zdur sdautjdo

@oswir0

X0

+ 0

X8

; X8 + X0

X0X8

(h) Rrjti fdwo tni mdkpaiti gdrkua`5

Zdur sdautjdo

@oswir0

X ;

X8 + X0

X0X8

(m) Odw jovirt hdtn sjfis5

Zdur sdautjdo

@oswir

X ; X0X8

X8 + X0





Iobjoiirjob Ix`kpai 8

Ni`t dw jo ò josua`tif kità pa`ti

Jotrdfumtjdo

Vnirk a josua`tjdo js jkpdrtòt jo kòy fdkistjm (i.b. miotrà ni`tjob) òf jofustrjà (i.b mddajobòf ni`tjob) sjtu`tjdos. @atndubn kòy rià sjtu`tjdos jovdavi ni`t dw jo kdri tnò doi fjkiosjdo,wi mdosjfir doay ` doi fjkiosjdoà m`si niri. Vni dw dg ni`t js fitirkjoif hy tikpir turi òftnirkà mdofumtjvjty. Jt js pdssjhai td kdfia tni `kduot dg ni`t P (E) mrdssjob pdjot x jo doifjkiosjdo (tni ni`t dw jo tni x fjrimtjdo) grdk tikpir`turi V 8 (L) td tikpir`turi V 0 (L) (jownjmn V 8 ? V 0) jo tjki t s hy

P

t ; μ@V 8

∘V 0

x

,

wniri μ js tni tnirkà mdofumtjvjty jo R k∘0 L.

Srdhaik jo wdrfs

]uppdsi tn`t tni uppir òf adwir sjfis dg ` kità pa`ti mdooimtjob twd mdot`joirs `ri josua`tif òfdoi iof js k`jot`joif `t ` tikpir`turi V 8 (L) (sii Gjburi 2).

Vni pa`ti js `ssukif td hi joffojti jo tni fjrimtjdo pirpiofjmua`r td tni sniit dg p`pir.

Ni`t dw Vikpir`turi V 0Vikpir`turi V 8

Josua`tdr

Josua`tdr

8Mdot`joir 0Mdot`joirkità pa`ti

Gjburi 25 @ a`tiràay josua`tif kità pa`ti

(`) Gjof ` gdrkua` gdr V .

(h) Jg μ ; 839 (R k∘0 L∘0), V 0 ; =33 (L), @ ; 3.336 (k8), x ; 3.9 (k), màmua`ti tnivàui dg V 8 riqujrif td `mnjivi ` ni`t dw dg 033 E s∘0.

K`tnik`tjmà st`tikiot dg tni prdhaik

(`) Bjvio P

t ; μ@

V 8 ∘ V 0

x

ixpriss V 8 `s tni suheimt dg tni gdrkua`.

(h) Jo tni gdrkua` gduof jo p`rt (`) suhstjtuti μ ; 839, V 0 ; =33, @ ; 3.336, x ; 3.9 òfP

t ; 033 td ffof V 8.


>9




K`tnik`tjmà òàysjs

(`) P

t ; μ@

V 8 ∘ V 0

x

Fjvjfi hdtn sjfis hy μ@P

tμ@ ;

V 8 ∘ V 0x

Kuatjpay hdtn sjfis hy x

Px

tμ@ ; V 8 ∘ V 0

@ff V 0 td hdtn sjfis

Px

tμ@

+ V 0 ; V 8

wnjmn js iqujvàiot td

V 8 ; Px

tμ@ + V 0

(h) ]uhstjtuti μ ; 839, V 0 ; =33, @ ; 3.336, x ; 3.9 òf P

t ; 033 td ffof V 85

V 8 ; 033 Ò 3.9

839 Ò 3.336 + =33 ≎ 73.: + =33 ; =73.:

]d tni tikpir`turi jo mdot`joir 8 js =70 L td = sjb.ffb.

Jotirprit`tjdo

Vni gdrkua` V 8 ; Px

tμ@ + V 0 mò hi usif td ffof ` vàui gdr V 8 tn`t wduaf `mnjivi òy fisjrif ni`t

dw. Jo tni ix`kpai bjvio V 8 wduaf oiif td hi `hdut =70 L (≎ 2>◧M) td prdfumi ` ni`t dw dg 033 E s∘0.





Ixirmjsis

0. Vni gdrkua` gdr tni vdauki dg ` myajofir js W ; σr8n. Gjof W wnio r ; 9 mk òf n ; 09mk.

8. Jg X ; 9 p8

, ffof X wnio (`) p ; 03, (h) p ; 07.

=. Gdr tni gdaadwjob gdrkuaì, ffof y `t tni bjvio vàuis dg x.

(`) y ; =x + 8, x ; ∘0, x ; 3, x ; 0.

(h) y ; ∘6x + 2, x ; ∘8, x ; 3, x ; 0.

(m) y ; x8, x ; ∘8, x ; ∘0, x ; 3, x ; 0, x ; 8.

6. Jg S ; =

PX ffof S jg P ; 09 òf X ; 3.=33.

9. Jg y ;

xz

ffof y jg x ; 0=.833 òf z ; 09.733.

7. Ivàu`ti K ; σ

8r + s wnio r ; 8=.233 òf s ; ∘3.8.

2. Vd mdovirt ` aiobtn ki`surif jo kitris td doi ki`surif jo miotjkitris, tni aiobtn jo kitrisjs kuatjpajif hy 033. Mdovirt tni gdaadwjob aiobtns td mk. (`) 9 k, (h) 3.9 k, (m) 97.8 k.

>. Vd mdovirt ò `ri` ki`surif jo k8 td doi ki`surif jo mk8, tni `ri` jo k8 js kuatjpajif hy036. Mdovirt tni gdaadwjob `ri`s td mk8. (`) 9 k8, (h) 3.== k8, (m) 7.8 k8.

:. Vd mdovirt ` vdauki ki`surif jo k=

td doi ki`surif jo mk=

, tni vdauki jo k=

js kuatjpajifhy 037. Mdovirt tni gdaadwjob vdaukis td mk=. (`) 09 k=, (h) 3.89 k=, (m) >.8 k=.

03. Jg β ; 6PS

σf8Ao ivàu`ti β wnio PS ; 3.333=, f ; 3.39, A ; 3.0 òf o ; 8.

00. Vni kdkiot dg joirtj` dg ò dheimt js ` ki`suri dg jts risjstòmi td rdt`tjdo. Jt fipiofs updohdtn tni k`ss dg tni dheimt òf tni fjstrjhutjdo dg k`ss `hdut tni `xjs dg rdt`tjdo. Jt mò hisndwo tn`t tni kdkiot dg joirtj`, E , dg ` sdajf fjsm rdt`tjob `hdut ò `xjs tnrdubn jts miotriòf pirpiofjmua`r td tni paòi dg tni fjsm, js bjvio hy tni gdrkua`

E ;

0

8K `8

wniri K js tni k`ss dg tni fjsm òf ` js jts r`fjus. Gjof tni kdkiot dg joirtj` dg ` fjsm dg k`ss 08 lb òf fj`kitir 03 k. Vni ]J uojt dg kdkiot dg joirtj` js lb k8.

08. Vròspdsi tni bjvio gdrkuaì td k`li tni bjvio v`rj`hai tni suheimt.

(`) y ; =x∘ 2, gdr x, (h) >y + =x ; 6, gdr x, (m) >x + =y ; 6 gdr y ,

(f) 0= ∘ 8x∘ 2y ; 3 gdr x.

0=. Vròspdsi tni gdrkua` S W ; XV gdr (`) W , (h) S , (m) X, (f) V .


>2




06. Vròspdsi v ;∕

x + 8y, (`) gdr x, (h) gdr y.

09. Vròspdsi >u + 6v ∘ =w ; 02 gdr i`mn dg u, v òf w.

07. Rnio ` hàa js frdppif grdk rist dotd ` ndrjzdotà surg`mi jt wjaa hduomi higdri iviotuàay

mdkjob td rist `gtir ` tjki V wniri

V ; 8v

b

0

0 ∘ i

wniri v js tni spiif jkkifj`tiay `gtir tni ffrst jkp`mt, òf b js ` mdostòt màaif tni `mmia-ir`tjdo fui td br`vjty. Vròspdsi tnjs gdrkua` td k`li i, tni mdimjiot dg ristjtutjdo, tnisuheimt.

02. Vròspdsi q ; @0 8bn

(@0/@8)8

∘0

gdr @8.

0>. K`li x tni suheimt dg (`) y ; r + x

0 ∘ rx, (h) y ;

x∘ 0

x + 0.

0:. Jo tni fisjbo dg drjffmi pa`ti dwkitirs, tni vdaukitrjm dwr`ti, P (k= s∘0), js bjvio hy

P ; M f@d

8b∇n

0 ∘@8d/@8

p

wniri M f js ` fjkiosjdoaiss fjsmn`rbi mdimjiot, ∇n (k) js tni ni`f fjffiiriomi `mrdss tni

drjffmi pa`ti òf @d (k8

) js tni `ri` dg tni drjffmi òf @ p (k8

) js tni `ri` dg tni pjpi.

(`) Xi`rròbi tni iqu`tjdo td sdavi gdr tni `ri` dg tni drjffmi, @d, jo tirks dg tni dtnirv`rj`hais.

(h) @ vdaukitrjm dwr`ti dg 033 mk= s∘0 p`ssis tnrdubn ` 03 mk josjfi fj`kitir pjpi.@ssukjob ` fjsmn`rbi mdimjiot dg 3.7, màmua`ti tni riqujrif drjffmi fj`kitir, sd tn`ttni ni`f fjffiiriomi `mrdss tni drjffmi pa`ti js 833 kk.

\Njot5 hi viry m`rigua wjtn tni uojts![

>> NIAK (8339)5Rdrlhddl 05 H`sjm @abihr`




@oswirs

0. 002>.0 mk=

8. (`) 933, (h) 08>3=. (`)

∘0, 8, 9, (h) 09, 2, =, (m) 9,=,0,3,

6. S ;3.7729. y ; 3.:837. K ; 3.3722. (`) 933 mk, (h) 93 mk, (m) 9783 mk.>. (`) 93333 mk8, (h) ==33 mk8, (m) 78333 mk8.:. (`) 09333333 mk=, (h) 893333 mk=, (m) >833333 mk=.03. β ; 3.276.00. 093 lbk8

08. (`) x ; y + 2

= , (h) x ;

6 ∘ >y

= , (m) y ;

6∘ >x

= , (f) x ;

0= ∘ 2y

8

0=. (`) W ;

XV

S , (h) S ;

XV

W , (m) X ;

S W

V , (f) V ;

S W

X

06. (`) x ; v8 ∘ 8y, (h) y ; v8 ∘ x

8

09. u ; 02 ∘ 6v + =w

> , v ;

02 ∘ >u + =w

6 , w ;

>u + 6v ∘ 02

=

07. i ; 0 ∘ 8v

bV

02. @8 ; °

@80q 8

8@8

0bn + q 8

0>. (`) x ; y ∘ r

0 + yr, (h) x ;

0 + y8

0 ∘ y8

0:.

(`) @3 ; P@ p

P8 + 8b∇n@8 pM 8f

(h) P ; 033 mk= s∘0; 03∘6 k8 s∘0

@ p ; σ3.08

6 ; 3.332>96 k8

M f ; 3.7∇n ; 3.8 kb ; :.>0 k s∘8

]uhstjtutjob jo `oswir (`) bjvis@d ; >.60=8 Ò 03∘9 k8

sd fj`kitir ;

6@d

σ ; 3.303=9 k ; 0.3=9 mk


>:


formulae and transposition

Documents